Emprego de MER e CRE em Poisson 1D para análise do erro de variáveis secundárias

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1 Trabalo apresentado no III CMAC - SE, Vtóra-ES, 015. Proceedng Seres of te Brazlan Socety of Computatonal and Appled Matematcs Emprego de MER e CRE em Posson 1D para análse do erro de varáves secundáras Ana Elza Gonçalves Ferrera 1 Programa de pós-graduação em Engenara Mecânca, UFPR, Curtba, PR, Departamento de Engenara Mecânca. Carlos Henrque Marc Departamento de Engenara Mecânca, UFPR, Curtba, PR Resumo. No presente trabalo, fo estudado a redução do erro de dscretzação na solução da equação de Posson 1D. Analsou-se a nfluênca que a redução do erro nas soluções nodas pode exercer sobre os erros do cálculo das varáves secundáras temperatura méda e nclnação em x=0. Para a redução do erro de dscretzação nas soluções nodas, foram empregados os métodos MER e CRE. O decamento do erro a cada refno com extrapolação, ou sem extrapolação, fo acompanado pela méda da norma do erro dado pela dferença entra a solução numérca e analítca. Foram observadas as ordens efetvas dos erros de dscretzação em todas as varáves. Os resultados obtdos ndcam que com soluções nodas mas acuradas se confere, no máxmo, a acuráca de cada método empregado na determnação das varáves secundáras. Concluu-se que as soluções nodas precsam ter ordem de acuráca gual ou superor às ordens de acuráca dos métodos utlzados para cálculo das varáves secundáras para que se atnjam suas ordens teórcas. Nesse sentdo, o emprego de MER e também de CRE se mostraram efcentes para melorar a acuráca das soluções nodas e assm se obter a ordem teórca de acuráca dos métodos utlzados no cálculo de varáves secundáras. Palavras-cave. Multextrapolação de Rcardson, Extrapolação de Rcardson Completa, Erro de dscretzação, Varáves Secundáras 1 Introdução Os erros numércos podem ocorrer por nfluênca da dscretzação das equações dferencas, do arredondamento das operações, das terações e da programação empregada para a solução. Por meo de verfcação e valdação (V&V) de soluções para um campo de velocdades em um problema de Dnâmca de Fludos Computaconal (CFD), sabe-se que o erro de dscretzação (E) representa a prncpal fonte de erro numérco []. 1 DOI: / SBMAC

2 Fo utlzada, neste trabalo, a equação de Posson 1D, Eq. 1, resolvda pelo Método x de Dferenças Fntas (MDF) [1], em mala unforme e com o termo fonte f ( x) e, dt f ( x), 0 x 1. (1) dx Foram empregados os métodos de Multextrapolação de Rcardson (MER) [8] e Extrapolação de Rcardson Completa (CRE) [9]. Observou-se como a redução do erro, que estes métodos conferem às soluções nodas, mpacta no erro da solução de varáves secundáras como temperatura méda e nclnação em x 0. Ambos os métodos, para redução do erro de dscretzação, já foram comprovados na lteratura para soluções nodas. Para a resolução de um problema de condução de calor governado pela equação de Laplace D, MER reduz sgnfcatvamente o erro de dscretzação [6]. Já o emprego de MER na resolução numérca pelo Método de Volumes Fntos (MVF) da equação de Laplace D para até onze níves de extrapolação e se constata que a redução do erro numérco é dependente da varável de nteresse e da geometra de cálculo [7]. Por sua vez, em testes com CRE nas equações de Posson, advecção-dfusão, Laplace e Burgers pelo método de dferenças fntas, com aproxmações de 1ª, ª e 4ª ordens de acuráca se verfca que reduz o erro de dscretzação de soluções [4]. Neste trabalo, a seção apresenta a metodologa, com as mplementações que foram fetas para produzr os resultados. A seção 3 aborda os expermentos computaconas realzados e apresenta os resultados obtdos por meo de gráfcos. A seção 4 expõe as conclusões e, por fm, fazem-se agradecmentos e apresentam-se as referêncas utlzadas. Metodologa A Eq. 1, para resolução por MDF, fo dscretzada em mala unforme, representada na Fgura 1, Fgura 1: Representação de uma mala undmensonal unforme com N nós com a utlzação da aproxmação CDS- (Central Dfference Sceme de segunda ordem), Eq., dt T( x 1) T( x 1) T ( x ), () dx onde é o tamano dos elementos de mala, sto é =1/(N-1) e N o número de nós. Quanto maor o número de pontos utlzados numa aproxmação, maor o rsco de nstabldade do método numérco [3]. A utlzação do esquema CDS- se torna nteressante por ser de ª ordem de acuráca e envolver somente dos pontos nodas [5]. O sstema lnear resultante fo resolvdo com o método TDMA (TrDagonal Matrx Algortm) [10] para malas de N=3 nós a N= nós e razão de refno r. A varável secundára temperatura méda ( T ) fo calculada numercamente com a Regra DOI: / SBMAC

3 3 do Trapézo, Eq. 3, e com a Regra de Smpson, Eq. 4, N TT ( T( x 1 ) T( x )) (3) T S 3 N,4,6,... ( T( x 1 ) 4T ( x ) T( x 1)) onde N é o número de nós da mala undmensonal. A varável secundára nclnação em x 0 fo determnada a partr da dscretzação com os esquemas DDS (Dowstream dfference sceme) de prmera (DDS-1), segunda (DDS-) e tercera ordem (DDS-3), conforme a Eq. 5, Eq. 6 e Eq. 7 respectvamente. dt T() T(1) (5) dx x0 (4) dt dx 3T (1) 4T () T(3) x0 (6) dt dx 11T (1) 18T () 9T (3) T (4) x 0 6 Em pós-processamento fo empregado MER cuja expressão é dada pela Eq. 8 que, do ponto de vsta teórco, pode ser repetda nfntamente, g, m1 g 1, m1 g, m g, m1 PL 1 (8) r 1 onde é a solução numérca da varável de nteresse, m é o nível de extrapolação, PL é a ordem assntótca do erro e g é o número de malas. Fo calculado também CRE, onde se utlza a solução de todos os nós da mala, ou seja, de todo o campo do domíno de cálculo da Eq. 1. Para os nós ímpares, a CRE é empregada conforme a Eq. 9, g, 1 g Tcorrg, 0 (9) onde é a posção do nó e o termo de correção é dado pela Eq. 10, g g1 Tcorrg. PL r 1 O termo de correção é o estmador de Rcardson baseado na ordem assntótca. Para os nós pares, a expressão de CRE é mostrada na Eq. 11, g,1 g Tcorrg (11) (7) (10) e o termo de correção é dado pela méda dos termos de correção calculados para os nós ímpares conforme Eq. 1, Tcorr 1 g Tcorr g Tcorrg. (1) DOI: / SBMAC

4 4 O acompanamento do decamento do erro a cada refno com extrapolação, ou sem extrapolação, pode ser acompanado pela méda da norma do erro dado pela dferença entra a solução numérca e analítca (L 1), dada pela Eq. 13, 1 L 1 T ( x ) Ta( x ) (13) N 1 N 1 onde T é a temperatura numérca, Ta é a temperatura analítca e N é o número de nós da mala, nclundo os contornos. 3 Expermentos Computaconas Os códgos computaconas, dos métodos descrtos na seção, foram mplementados em lnguagem Fortran 90, com precsão quádrupla, e executados em um mcrocomputador de CPU Intel(R) Core(TM),.66 GHz e 8GB de RAM com sstema operaconal Wndows XP 003 de 64bts. O comportamento dos erros da temperatura méda e da nclnação em x=0, com a solução sem extrapolação e sob emprego de MER e CRE pode ser observado na Fgura. Com o emprego de MER é possível observar que o erro nas soluções nodas da Eq. 1 dmnu a cada nível de extrapolação. Analogamente, o efeto de CRE nas soluções nodas é de aumentar a ordem de acuráca das soluções nodas. Fgura : Erros da temperatura méda com Regras do Trapézo e Smpson, sem extrapolação e extrapoladas com MER e CRE. Na Fgura temos que E Trap- representa o erro da temperatura méda com a Regra DOI: / SBMAC

5 5 do Trapézo sem extrapolação; Em Trap-m, o erro da Regra do Trapézo com MER; Ec Trap-c, o erro da Regra do Trapézo com CRE; Ecm Trap cm, o erro da Regra Trapézo com MER sobre CRE. De manera análoga temos para a Regra de Smpson. A ordem efetva equvalente das curvas da Fgura, para as Regras do Trapézo e de Smpson sem extrapolação resultaram em. Após o emprego de CRE na temperatura méda pela Regra do Trapézo a ordem efetva equvalente não se altera e com a Regra de Smpson resultou em 4. Com MER, os erros dmnuem e as ordens efetvas equvalentes aumentam, até no máxmo 19 na 6ª extrapolação. A Regra do Trapézo possu ordem de acuráca teórca e a Regra de Smpson ordem 4. Nota-se que com melores resultados nodas, a maor ordem atngda é a ordem teórca do método de cálculo da varável secundára quando se aplca CRE. Contudo, MER se mostra efcente para atuar dretamente no decamento dos erros e aumento da ordem de acuráca ndependente da ordem de acuráca do método empregado no cálculo das varáves secundáras. A varável secundára nclnação em x=0 fo determnada com esquemas de ordem de acuráca 1 (DDS-1), (DDS-) e 3 (DDS-3). Sem o emprego das extrapolações, as ordens efetvas foram 1, e, respectvamente. Após as extrapolações com MER e com CRE ocorreu o que se pode ver na Fgura. Após o emprego de CRE, os resultados ndcam que o erro atngu a ordem teórca de cada esquema utlzado. Fgura 3: Erros da nclnação em x=0, com esquemas DDS-1 (IO1), DDS- (IO) e DDS-3 (IO3), sem extrapolação e extrapoladas com MER e CRE. Na Fgura 3 temos IO1 E, o erro da nclnação em x=0 com DDS-1 sem extrapolação; IO1 Em, o erro de DDS-1 com MER; IO1 Ec, o erro de DDS-1 com CRE; IO1 Ecm, o erro de DDS-1 com MER sobre CRE. Analogamente temos com uso de DDS- e DDS-3. A ordem efetva equvalente das curvas da Fgura 3, para o esquema DDS-1 sem extrapolação DOI: / SBMAC

6 6 resultou 1 e para DDS- e DDS-3 resultaram. Após o emprego de CRE, a ordem efetva equvalente não se alterou para DDS-1 e DDS- e para DDS-3 resultou 3. Com MER, os erros dmnuem e as ordens efetvas equvalentes aumentam, tendo apresentado melor desempeno com DDS-3 para MER sobre CRE, atngndo 14 na 8ª extrapolação. O emprego de CRE resultou em soluções nodas mas acuradas, como podemos observar pela redução da méda da norma L1 do erro mostrada na Fgura 4. O decamento da méda da norma L1 fca evdente pelo aumento da ordem efetva equvalente que, sem extrapolação, resultou e, após emprego de CRE, resultou 4. Fgura 4: Méda da norma do erro em 0 malas sem extrapolação e com CRE. 4 Conclusões Com o emprego de CRE fo possível obter a ordem teórca dos métodos mas acurados aplcados para as varáves secundáras, Regra de Smpson para a temperatura méda e esquema DDS-3 para a nclnação em x=0. Os resultados obtdos neste trabalo ndcam que soluções nodas mas acuradas são lmtadas pelas acurácas dos métodos de determnação das varáves secundáras. No níco da resolução, para a dscretzação da Eq. 1, fo empregado o esquema CDS- que possu ordem de acuráca. Isso nfluencou as soluções sem extrapolação das varáves secundáras, onde a máxma acuráca fcou lmtada em, mesmo para o esquema DDS- 3 com ordem 3 para a nclnação em x=0 e para a Regra da Smpson com ordem 4 para a ntegração e obtenção da temperatura méda. Assm, as soluções nodas precsam ter ordem de acuráca gual ou superor às ordens dos métodos utlzados no cálculo das varáves secundáras para que se atnjam suas ordens teórcas. Nesse sentdo, o emprego de MER e também de CRE se mostram efcentes para, a partr da melora da acuráca de soluções nodas, obter-se a ordem teórca de acuráca dos métodos utlzados no cálculo de varáves secundáras. DOI: / SBMAC

7 7 Agradecmentos Agradecemos ao programa de pós-graduação em Engenara Mecânca da UFPR; à nfraestrutura físca e computaconal da UFPR, especalmente o laboratóro de expermentação numérca Lena-1; à Capes, pela bolsa de doutorado da prmera autora e ao CNPQ pela bolsa do segundo autor. Referêncas [1] S. C. Capra e R. P. Canale, Métodos Numércos para Engenara. 5 ed. Tradução: Helena Castro, McGraw-Hll, (008). [] T. Castglone, F. Stern, S. Bova and M. Kandasamy, Numercal nvestgaton of te seakeepng beavor of a catamaran advancng n regular ead waves, Ocean Engneerng, v.38, p , (011). [3] A. O. Fortuna, Técncas Computaconas para Dnâmca dos Fludos, Edusp, (000). [4] F. de F. Gacomn, C. H. Marc e C. D. Santago, Multextrapolação de Rcardson para reduzr erro de dscretzação em campos de CFD, Anas do Congresso de Matemátca Aplcada e Computaconal, (013). [5] C. R. Malska, Transferênca de calor e mecânca dos fludos computaconal. ª ed., LTC, (004). [6] C. H. Marc, L. A. Novak e C. D. Santago, Múltplas extrapolações de Rcardson para reduzr e estmar o erro de dscretzação da Equação de Laplace D, Proceedng Seres of te Iberan Latn Amercan Congress on te Computatonal Metods n Engneerng, (008). [7] C. H. Marc, L. K. Arak, A. C. Alves, R. Suero, S. F. T. Gonçalves and M. A. V. Pnto, Repeated Rcardson extrapolaton appled to te two-dmensonal Laplace equaton usng trangular and square grds, Appled Matematcal Modellng, v. 37, n.1, p , (013). [8] L. F. Rcardson and J. A. Gaunt, Te Deferred Approac to te Lmt, Pylosopcal Proceedngs of te Royal Socety of London Seral A, v. 6, p , (197). [9] P. J. Roace and P. M. Knupp, Completed Rcardson Extrapolaton, Communcatons n Numercal Metods n Engneerng, v. 9, p , (1993). [10] H. K. Versteeg and W. Malalasekera, An ntroducton to computaconal fud dynamcs, te fnte volume metod, ed., Pearson/Prentce Hall, (007). DOI: / SBMAC