MODELO ANALÍTICO E NUMÉRICO PARA ANÁLISE DAS VIBRAÇÕES LIVRES DE TANQUES CILÍNDRICOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA CIVIL CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL MODELO ANALÍTICO E NUMÉRICO PARA ANÁLISE DAS VIBRAÇÕES LIVRES DE TANQUES CILÍNDRICOS ROGER OTÁVIO PIRES MONTES GOIÂNIA 2011

2 ROGER OTÁVIO PIRES MONTES MODELO ANALÍTICO E NUMÉRICO PARA ANÁLISE DAS VIBRAÇÕES LIVRES DE TANQUES CILÍNDRICOS Monografa apresentada ao Curso de Graduação em Engenhara Cvl da Unversdade Federal de Goás para obtenção do título de Engenhero Cvl. Orentador: Dr. Frederco Martns Alves da Slva GOIÂNIA 2011

3 ROGER OTÁVIO PIRES MONTES MODELO ANALÍTICO E NUMÉRICO PARA ANÁLISE DAS VIBRAÇÕES LIVRES DE TANQUES CILÍNDRICOS Monografa apresentada ao Curso de Graduação em Engenhara Cvl da Unversdade Federal de Goás para obtenção do título de Engenhero Cvl. Aprovada em / /. Prof. Dr. Frederco Martns Alves da Slva (Presdente) Unversdade Federal de Goás Prof. Dra. Sylva Regna Mesquta de Almeda (Examnador) Unversdade Federal de Goás Prof. Dr. Zenón José Guzmán Nuñez Del Prado (Examnador) Unversdade Federal de Goás Atesto que as revsões solctadas foram fetas: Orentador Em: / /

4 Aos meus pas, que são a base e a projeção da mnha formação.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus, por ter me lumnado e guado nesta camnhada. Agradeço aos meus pas, que através de seus ensnamentos, me proporconaram uma excelente formação. Por me apoar e ncentvar em toda esta trajetóra, fazendo acredtar que todos os objetvos fossem alcançados, fato de extrema mportânca para que eu chegasse onde estou. graduação. Agradeço aos meus amgos, por todos os momentos vvdos durante este curso de Agradeço aos professores, que por suas experêncas e troca de nformações, apoaram e ncentvaram o desenvolvmento deste trabalho. Agradeço ao meu orentador, professor Frederco, que através de seus conhecmentos e pela sua dedcação, fo possível mnmzar os desafos mpostos por este trabalho, e por sempre ter dsponblzado seu tempo com muta prontdão durante estes últmos dos anos e meo.

6 RESUMO Este trabalho apresenta uma análse das vbrações lvres de um tanque clíndrco parcalmente cheo para dferentes condções de contorno, através do método analítco de Raylegh-Rtz e pelo método dos elementos fntos, utlzando o programa comercal ANSYS 6.1. Na formulação matemátca do método analítco é possível utlzar tanto a teora lnear de Donnell quanto a de Love. Consderam-se os efetos da superfíce lvre (sloshng) na nteração entre o fludo e o tanque. Os resultados referentes aos modos de vbração e as frequêncas naturas, obtdas numercamente e a partr do método dos elementos fntos, são comparados, observando-se a nfluênca da geometra, do nível de fludo nterno e das condções de contorno. A análse é feta ncalmente para um tanque clíndrco vazo e, em seguda, para um tanque preenchdo por um fludo deal. Palavras-chave: tanques; fludo; vbrações lvres; Raylegh-Rtz; ANSYS.

7 LISTA DE FIGURAS Fgura 1.1 Exemplos de tanques clíndrcos parcalmente cheos: (a) tanques de reservatóro de água; (b) tanques de desel e óleo lubrfcante Fgura 3.1 Sstema de coordenadas e geometra do tanque clíndrco parcalmente cheo Fgura 3.2 Superposção de efetos para o potencal de velocdade do fludo Fgura 4.1 Geometra, localzação dos nós e o sstema de coordenadas do elemento SHELL Fgura 4.2 Varação da dferença com o número de elementos utlzados no ANSYS Fgura 4.3 Varação das dferenças das frequêncas naturas em relação ao número de termos M Fgura 4.4 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastadoengastado pela teora lnear de Donnell para cascas abatdas e pela teora de Love Fgura 4.5 Comparação das frequêncas naturas consderando todas as nércas relatvas às velocdades axas, crcunferencas e transversas, e consderando apenas as nércas relatvas às velocdades transversas Fgura 4.6 (a) Prmero e (b) segundo modo de vbração para um tanque clíndrco vazo engastado em ambas as extremdades Fgura 4.7 (a) Espectro de frequêncas para tanque vazo apoado-apoado e (b) prmero modo de vbração Fgura 4.8 (a) Espectro de frequêncas para tanque engastado-engastado e (b) prmero modo de vbração Fgura 4.9 (a) Espectro de frequêncas para tanque engastado-lvre e (b) prmero modo de vbração Fgura 4.10 (a) Espectro de frequêncas para tanque engastado-apoado e (b) prmero modo de vbração Fgura 5.1 Geometra, localzação dos nós e o sstema de coordenadas do elemento FLUID

8 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos Fgura 5.2 Frequêncas naturas do tanque apoado-apoado e do efeto de sloshng para o prmero modo de vbração em cada nível do fludo Fgura 5.3 Frequêncas naturas do tanque engastado-engastado e do efeto de sloshng para o prmero modo de vbração em cada nível do fludo Fgura 5.4 Frequêncas naturas do tanque engastado-lvre e do efeto de sloshng para o prmero modo de vbração de cada nível de fludo Fgura 5.5 Frequêncas naturas do tanque engastado-apoado e do efeto de sloshng para o prmero modo de vbração em cada nível de fludo Fgura 5.6 Frequêncas naturas referentes ao prmero modo de vbração do tanque apoado-apoado cheo, para L=12,5, 30, 40 e 50 m Fgura 5.7 Frequêncas naturas referentes ao prmero modo de vbração do tanque apoado-apoado cheo, para L = 30, 40 e 50 m Fgura 5.8 Frequêncas naturas referentes ao prmero modo de vbração do efeto de sloshng de um tanque apoado-apoado cheo, varando a espessura, para L=12,5, 30, 40 e 50 m... 73

9 LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 Influênca do número de termos utlzado no ANSYS para a obtenção das frequêncas naturas de um tanque clíndrco engastado-engastado, para o prmero modo de vbração (m = 1 e n = 13) Tabela 4.2 Varação do número de termos M e as respectvas frequêncas naturas para um tanque clíndrco vazo engastado em ambas as extremdades, para o prmero modo de vbração: m = 1 e n = Tabela 4.3 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastadoengastado pela teora lnear de Donnell para cascas abatdas e pela teora de Love, para os cnco prmeros modos de vbração Tabela 4.4 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastadoengastado consderando todas as nércas relatvas às velocdades axas, crcunferencas e transversas, e consderando apenas a velocdade transversal, para os cnco prmeros modos de vbração Tabela 4.5 Frequêncas naturas de um tanque vazo engastado em ambas as extremdades para os vnte prmeros modos de vbração Tabela 4.6 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo apoado-apoado pelo método analítco e pelo ANSYS para os cnco prmeros modos de vbração Tabela 4.7 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastadoengastado pelo método analítco e pelo ANSYS para os cnco prmeros modos de vbração 47 Tabela 4.8 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastado-lvre pelo método analítco e pelo ANSYS para os cnco prmeros modos de vbração Tabela 4.9 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastado-apoado pelo método analítco e pelo ANSYS para os cnco prmeros modos de vbração Tabela 5.1 Comparação das frequêncas naturas de um tanque clíndrco apoadoapoado completamente cheo com a geometra utlzada por Gonçalves e Ramos (1996) Tabela 5.2 Modos de vbração obtdos no ANSYS para um tanque clíndrco apoadoapoado completamente cheo... 54

10 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos Tabela 5.3 Comparação das frequêncas naturas obtdas pelo método analítco e pelo ANSYS, varando o nível do fludo no tanque clíndrco apoado-apoado Tabela 5.4 Frequêncas naturas dos cnco prmero modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS para cada varação do nível do fludo em um tanque clíndrco apoado-apoado Tabela 5.5 Prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng para cada nível de fludo em um tanque clíndrco apoado-apoado Tabela 5.6 Frequêncas naturas do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-engastado Tabela 5.7 Frequêncas naturas dos cnco prmero modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada do nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-engastado Tabela 5.8 Prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng para a varação do nível do fludo em um tanque clíndrco engastado-engastado Tabela 5.9 Frequêncas naturas do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada nível do fludo para um tanque clíndrco engastado-lvre Tabela 5.10 Frequêncas naturas dos cnco prmero modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-lvre Tabela 5.11 Prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-lvre Tabela 5.12 Frequêncas naturas do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-apoado Tabela 5.13 Frequêncas naturas dos cnco prmero modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-apoado Tabela 5.14 Prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-apoado... 68

11 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos Tabela 5.15 Varação da espessura de um tanque clíndrco apoado-apoado com comprmento L=12,5 m, e suas respectvas frequêncas naturas, pelo método analítco e pelo método dos elementos fntos Tabela 5.16 Varação da espessura de um tanque clíndrco apoado-apoado com comprmento L=30 m, e suas respectvas frequêncas naturas, pelo método analítco e pelo método dos elementos fntos Tabela 5.17 Varação da espessura de um tanque clíndrco apoado-apoado com comprmento L=40 m, e suas respectvas frequêncas naturas, pelo método analítco e pelo método dos elementos fntos Tabela 5.18 Varação da espessura de um tanque clíndrco apoado-apoado com comprmento L=50 m, e suas respectvas frequêncas naturas, pelo método analítco e pelo método dos elementos fntos... 71

12 LISTA DE SÍMBOLOS Símbolos romanos a - rao do tanque clíndrco A m1n (t) - ampltudes modas, em função do tempo, do potencal de velocdade do fludo consderando um tanque flexível e sem superfíce lvre A s - coefcente de rgdez de membrana do tanque clíndrco b kn - B kn (t) - ampltudes modas do potencal de velocdade do fludo que descreve a superfíce lvre ampltudes modas, em função do tempo, do potencal de velocdade que descreve a superfíce lvre c - coefcente relaconado as funções de vga D s - coefcente de rgdez de flexão do tanque clíndrco E - módulo de elastcdade do materal f SLOSHING - frequênca de sloshng em um tanque nfntamente rígdo g - aceleração gravtaconal h - espessura do tanque clíndrco H - altura do fludo nterno no tanque clíndrco K - número de termos utlzados na expansão modal do fludo devdo ao efeto de sloshng (superfíce lvre) em um tanque com as lateras rígdas K x - mudança de curvatura na dreção axal K θ - mudança de curvatura na dreção crcunferencal K xθ - mudança de curvatura no plano x-θ

13 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos K 1 - K 2 - constante para análse do problema pela teora de Donnell, ou pela teora de Love constante para análse do problema consderando ou não as nércas relatvas às velocdades axas e crcunferencas do tanque clíndrco L - comprmento do tanque clíndrco L - função lagrangeana m - número de sem-ondas longtudnas M - M 1 - número de termos utlzados na expansão modal do campos de deslocamentos do tanque clíndrco número de termos utlzados na expansão modal do fludo que consdera o tanque com suas lateras flexíves e apoado sobre um fundo rígdo n - número de ondas crcunferencas r - coordenada na dreção radal t - tempo T F - energa cnétca do fludo que consdera o tanque com suas lateras flexíves e apoado sobre um fundo rígdo T s - energa cnétca do tanque clíndrco T SL - energa cnétca do fludo devdo ao efeto de sloshng u - campo de deslocamento na dreção axal u n - ampltude modal do campo de deslocamento na dreção axal U n (t) - ampltude modal, em função do tempo, do campo de deslocamento na dreção axal U s - energa nterna de deformação do tanque clíndrco

14 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos v - campo de deslocamento na dreção crcunferencal V - trabalho das cargas externas aplcadas na estrutura v n - ampltude modal do campo de deslocamentos na dreção crcunferencal V n (t) - ampltude modal, em função do tempo, do campo de deslocamentos na dreção crcunferencal x - coordenada na dreção axal w - campo de deslocamento na dreção transversal w, xx - mudança de curvatura na dreção transversal w, x - rotação na dreção transversal w n - ampltude modal do campo de deslocamentos na dreção transversal W n (t) - ampltude modal, em função do tempo, do campo de deslocamentos na dreção transversal z - coordenada na dreção transversal Símbolos gregos α - parâmetro da equação de dentdade relaconado as funções de vga ε kn - raízes da equação dferencal relaconadas a superfíce lvre do fludo ε MÍNIMO - menor raz da equação dferencal relaconadas a superfíce lvre do fludo ε x - campo de deformação na dreção axal ε xθ - campo de deformação no plano x-θ ε θ - campo de deformação na dreção crcunferencal θ - coordenada na dreção crcunferencal ν - coefcente de Posson

15 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos П - potencal de energa total do tanque clíndrco ρ - densdade do tanque clíndrco ρ FLUIDO - densdade do fludo ϕ - potencal de velocdade do fludo ϕ (F) - ϕ (SL) - potencal de velocdade do fludo devdo às paredes lateras flexíves do tanque clíndrco, desconsderando a superfíce lvre potencal de velocdade do fludo devdo ao efeto de sloshng, consderando as paredes lateras do tanque clíndrco rígdas ψ(x) - função de vga Ω - frequênca natural do tanque clíndrco Matrzes e vetores K - matrz de rgdez do sstema K E - matrz de rgdez do tanque clíndrco K ES - matrz de rgdez das equações de sloshng K SL - matrz de rgdez do fludo devdo ao efeto de sloshng M - matrz de massa do sstema M E - matrz de massa do tanque clíndrco M ES - matrz de massa das equações de sloshng M F - matrz de massa do fludo devdo à consderação das paredes flexíves do tanque clíndrco

16 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos M SL - matrz de massa devdo ao efeto de sloshng B - vetor das ampltudes modas do fludo devdo ao efeto de sloshng q - vetor das matrzes das ampltudes modas U - vetor das ampltudes modas na dreção axal V - vetor das ampltudes modas na dreção crcunferencal W - vetor das ampltudes modas na dreção transversal Funções matemátcas I n, - função modfcada de Bessel de prmera classe e de ordem n J n, - função de Bessel de prmera classe e ordem n

17 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO OBJETIVOS ORGANIZAÇÃO DO TEXTO CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA CAPÍTULO 3 - FORMULAÇÃO MATEMÁTICA FUNCIONAIS DE ENERGIA DO TANQUE CILÍNDRICO FUNCIONAIS DE ENERGIA DO FLUIDO CONDIÇÕES DE CONTORNO Tanque clíndrco smplesmente apoado nas extremdades Tanque clíndrco engastado nas extremdades Tanque clíndrco engastado em uma extremdade e lvre na outra Tanque clíndrco engastado em uma extremdade e apoado na outra FORMULAÇÃO MATRICIAL DO PROBLEMA CAPÍTULO 4 - VIBRAÇÕES LIVRES DO TANQUE VAZIO TESTE DA MALHA NO PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS CALIBRAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO ESPECTRO DE FREQUÊNCIAS PARA DIFERENTES CONDIÇÕES DE CONTORNO CAPÍTULO 5 - VIBRAÇÕES LIVRES DO TANQUE CILÍNDRICO PARCIALMENTE CHEIO CALIBRAÇÃO DA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS COM RESULTADOS OBTIDOS NA LITERATURA... 51

18 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 5.2. ESTUDO DA VARIAÇÃO DO NÍVEL DO FLUIDO NO TANQUE CILÍNDRICO Tanque clíndrco apoado-apoado Tanque clíndrco engastado-engastado Tanque clíndrco engastado-lvre Tanque clíndrco engastado-apoado ESTUDO DA GEOMETRIA DO TANQUE CILÍNDRICO CHEIO CAPÍTULO 6 - CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 76

19 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Tanques clíndrcos são amplamente utlzados nas engenharas cvl, mecânca, naval e aeronáutca, como por exemplo, para armazenamento de água, ou outro tpo de fludo. Na Fgura 1.1, apresentam-se exemplos de tanques clíndrcos utlzados paraa armazenamento de água, desel e óleo lubrfcante. Os tanques clíndrcos possuem uma geometra smples, mas podem apresentar um complexo comportamentoo quando submetdos a carregamentos ou preenchdos por um fludo. Conhecer esse comportamento e suas característcas dnâmcas (frequênca natural e modo de vbração) são de grande nteresse para se executar bons projetos. (a) (b) Fgura 1.1 Exemplos de tanques clíndrcos parcalmente cheos: (a) tanques de reservatóro de água; (b) tanques de desel e óleo lubrfcante Para o caso do tanque clíndrco estar em contato com um fludo nterno, um mportante fenômeno se apresenta ao projetsta que é a nteração entre o fludo e a estrutura. Essa nteração pode, em certos casos, provocar a nstabldade do tanque, prncpalmente, se o tanque clíndrco for esbelto. Para avalar os problemas de nstabldade de tanques clíndrcos parcalmente cheos, dversos autores desenvolveram estudos analítcos e expermentas com o ntuto de analsar os modos de vbração e as frequêncas naturas desta estrutura, observando a nfluênca da varação do nível do fludo no tanque clíndrco (com e sem a consderação da superfíce lvre do fludo), da geometra do tanque e das condções de contorno.

20 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 19 O objetvo destas análses lneares é nvestgar como esses fatores podem modfcar os modos de vbração e as frequêncas naturas do sstema, para que, na fase de projeto, tenham-se as frequêncas naturas do tanque clíndrco espaçadas das frequêncas naturas da superfíce lvre do fludo. Em uma stuação prátca da aplcação destas estruturas (Fgura 1.1a) o vento, por exemplo, pode exctar a superfíce lvre do fludo que, por sua vez, exctará as paredes do tanque clíndrco, caso a frequênca natural do tanque seja concdente ou próxma da frequênca natural da superfíce lvre OBJETIVOS O objetvo deste trabalho é obter as vbrações lvres de um tanque clíndrco parcalmente cheo, através do método analítco de Raylegh-Rtz e do método de elementos fntos através do programa comercal ANSYS 6.1. Pretende-se observar a nfluênca do fludo e da geometra do tanque nos modos de vbração e das frequêncas naturas da estrutura ORGANIZAÇÃO DO TEXTO Este trabalho está organzado conforme apresentado a segur. O Capítulo 2 apresenta uma revsão bblográfca sobre os estudos fetos por dversos autores relaconados à análse das vbrações lvres em tanques clíndrcos parcalmente cheos. O Capítulo 3 aborda a formulação matemátca do problema para analsar as vbrações lvres de um tanque clíndrco parcalmente cheo por um fludo, pela teora de Donnell e pela teora de Love, consderando dferentes condções de contorno para o tanque clíndrco. O Capítulo 4 apresenta os resultados obtdos pela formulação matemátca para um tanque clíndrco vazo consderando dferentes condções de contorno, comparando os resultados entre o método analítco e os obtdos com o programa comercal de elementos fntos ANSYS. Comparam-se, anda, os resultados obtdos pela teora lnear de Donnell e de Love além da nfluênca das nércas axas e crcunferencas na determnação dos modos de vbração do tanque.

21 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 20 O Capítulo 5 aborda os resultados obtdos pela formulação matemátca, analsando as vbrações lvres de um tanque clíndrco parcalmente cheo por um fludo, consderando dferentes condções de contorno, níves de fludo e geometras. Esta análse será feta a partr dos resultados do modelo analítco e do programa comercal de elementos fntos ANSYS. futuros. O Capítulo 6 apresenta as conclusões do trabalho e as sugestões para trabalhos

22 CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Neste capítulo serão apresentados os estudos fetos por dversos autores relaconados à análse das vbrações lvres em tanques clíndrcos parcalmente cheos, com dferentes condções de contorno. São encontrados na lteratura város trabalhos referentes a este assunto, em que alguns deles serão descrtos a segur. Estudos ncas fetos por Kana, Lndholm e Abramson (1966) envolvem resultados expermentas de um fenômeno de nstabldade, ocorrdos pelas vbrações lvres de um tanque composto por materal elástco e parcalmente cheo. Segundo eles, esse fenômeno ocorre próxmo aos modos de ressonânca do sstema, observando pequenas vbrações no tanque e na superfíce lvre do fludo. Além dsso, as característcas apresentadas pelo fludo e pela estrutura demonstram um sgnfcatvo comportamento não-lnear. Eles observam que a vbração elástca da parede do tanque, ocorre a frequêncas aproxmadamente duas vezes maores do que a osclação da superfíce do líqudo. Uma questão levantada pelos autores é a ncerteza de descrever o fenômeno ctado, consderando os modos de contrbução do tanque e da superfíce lvre do fludo. Devdo ao comportamento não-lnear do sstema, os autores afrmam que é necessáro utlzar mas graus de lberdade para fornecer outros modos de acoplamentos, com o ntuto de descrever melhor o problema. Posterormente, Chu e Kana (1967) também desenvolvem um estudo para analsar as vbrações não-lneares na dreção transversal de um tanque clíndrco parcalmente cheo. Eles obtêm resultados satsfatóros, embora haja dvergênca entre os valores obtdos numercamente e os valores obtdos expermentalmente, sugerndo o acréscmo de mas termos na expansão modal do sstema. Os autores afrmam que o fenômeno observado ocorre em consequênca do carregamento não-lnear, o qual provoca uma ampltude dependente da massa do tanque. Kana e Crag Jr. (1968) estudaram as osclações de um tanque clíndrco cheo de líqudo. Os resultados numércos obtdos são comparados com observações expermentas, os quas apresentam boa concordânca entre s, permtndo descrever o comportamento das vbrações do sstema. Os autores mostram através destes resultados que as grandes pressões

23 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 22 ax-smétrcas podem surgr em tanques de veículos espacas com frequêncas maores do que havam consderado para nvestgar apenas os modos ax-smétrcos lneares. Chba, Yamak e Tan (1984a), utlzaram a teora lnear de Donnell para cascas abatdas, para estudar as vbrações de um tanque clíndrco engastado em uma extremdade e lvre na outra, parcalmente cheo por líqudo ncompressível e não-vscoso. Fo feta a combnação de dos potencas de velocdade do fludo, consderando a flexão das lateras do tanque e a nfluênca da superfíce lvre do fludo. Através desse estudo, eles obtveram as frequêncas naturas do sstema, as quas foram comparadas com os resultados obtdos de forma expermental e numérca. Na mesma lnha de pesqusa, Chba, Yamak e Tan (1984b) realzaram uma análse numérca sobre o sstema ctado anterormente, em que foram analsadas as vbrações lvres, com dferentes níves do líqudo na estrutura. Os autores observaram que os modos de vbração varam com o número de ondas crcunferencas, e afrmam que as condções de superfíce lvre e do modo flexão da parede da casca nfluencam as frequêncas naturas do sstema e os modos de vbração. Contnuando seus estudos, Chba, Yamak e Tan (1985) executaram um trabalho expermental para valdar os resultados obtdos no trabalho anteror (CHIBA; YAMAKI; TANI, 1984b). Utlzaram dos clndros de poléster que foram preenchdos com água a uma taxa constante. Os expermentos foram realzados através da exctação da parede dos clndros, através de dos pequenos dspostvos localzados em posções dametralmente opostas, onde foram observadas as respostas de ressonânca da estrutura. Os autores obtveram valores compatíves entre a teora e os expermentos, demonstrada para as frequêncas naturas e os números de ondas crcuferencas (n) correspondentes. Além dsso, fo feta uma varação do modo de vbração com o número n para dferentes níves de água, valdando os resultados teórcos com os encontrados na lteratura. Gonçalves e Batsta (1988) avalaram as vbrações não-lneares de uma casca clíndrca smplesmente apoada, preenchda por um fludo deal (ncompressível, rrotaconal e não-vscoso). Para as vbrações da casca, são utlzadas as equações não-lneares de Sanders, e o potencal de velocdade do fludo é obtdo pela equação de Laplace. São apresentadas soluções para demonstrar os efetos do fludo e a nfluênca dos parâmetros da estrutura nas vbrações não-lneares da casca clíndrca. Os autores concluem que o comportamento das frequêncas ncas caracterza-se pela não-lneardade do acoplamento modal, que reduz a rgdez de membrana da casca e aumenta os efetos de nérca assocado com os segundos

24 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 23 termos harmôncos. Eles afrmam que a nteração fludo-estrutura provoca uma maor nãolneardade na casca clíndrca chea do que na casca vaza e que, em ambos os casos, esse efeto aumenta proporconalmente com o aumento do número de sem-ondas longtudnas (m) e o número de ondas crcunferencas (n). Chba (1993a) fez estudos expermentas sobre as vbrações não-lneares de um tanque clíndrco vazo engastado em uma extremdade e lvre na outra. Através do expermento, ele observou que as respostas com o número de ondas crcunferencas, n, ocorre na dreção crcunferencal e que, em tanques vazos, a máxma ampltude possu a tendênca de dmnur com o aumento de n. Contnuando este trabalho expermental, Chba (1993b) analsa a mesma estrutura, mas agora parcalmente chea por água (avalando a superfíce lvre do fludo), observando a não-lneardade da resposta da parede flexível do tanque e a varação do nível do líqudo. Estes resultados foram comparados com os estudos desenvolvdos sobre tanques vazos. No expermento, fo observada a combnação de algumas respostas, entre elas: dos modos de sloshng, que não afetaram as respostas da parede do tanque; e, a combnação de dos modos de flexão das paredes da estrutura que nfluencaram nas respostas da superfíce lvre. Outra conclusão mportante refere-se a que, ao desconsderar a nfluênca da superfíce lvre, as ampltudes da parede do tanque aumentam. O autor conclu que o grau de não-lneardade do sstema depende dos modos de vbração (número de ondas crcunferencas e sem-ondas longtudnas do tanque), do comprmento do tanque e do nível do líqudo contdo nele. Posterormente, Laks e Neagu (1997) fazem uma análse dnâmca dessa estrutura, utlzando uma combnação do método dos elementos fntos e a teora clássca de Sanders, com o ntuto de determnar as funções de deslocamentos que representam as deformações da estrutura, reduzndo nclusve o tempo de processamento computaconal. Além dsso, é analsada a nfluênca da superfíce lvre do fludo presente na casca clíndrca, observando as vbrações causadas pela nteração fludo-estrutura. Os resultados obtdos mostram concordânca com valores encontrados expermentalmente. Os autores observam que, para dferentes geometras da casca e de níves de fludo, há uma nfluênca sgnfcatva nos modos de vbração do sstema. Amabl (1997) analsou as vbrações lvres de um tanque clíndrco smplesmente apoado em ambas as extremdades, parcalmente cheo por um fludo não-vscoso e ncompressível, desconsderando a nfluênca da superfíce lvre. Este é modelado por uma

25 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 24 estrutura clíndrca conectada a uma placa crcular smplesmente apoada a uma fundação elástca de Wnkler. Além dsso, é nvestgada a flexão das paredes do tanque (estas osclam juntamente com o fludo) e a solução é obtda como um problema de autovalor utlzando o método de Raylegh-Rtz. Também são analsados os efetos do nível do fludo dentro do tanque e estes valores são comparados com resultados exstentes na lteratura. O autor afrma que o problema das vbrações lvres em tanques clíndrcos parcalmente cheos com líqudos tem um papel relevante em mutas aplcações de engenhara. Ele verfcou pelo seu trabalho que as frequêncas naturas e modos de vbração de tanques com espessuras pequenas são bastante afetadas pela presença de dferentes níves de água no mesmo. Contnuando os estudos sobre tanques clíndrcos parcalmente cheos, Amabl, Païdousss e Laks (1998) estudaram a dnâmca dessa estrutura, onde são analsadas as vbrações lvres, consderando a flexão das paredes lateras do tanque e o efeto de sloshng (superfíce lvre). O tanque é consderado flexível, possu anés enrjecedores ao longo de seu comprmento, e fundo flexível, o qual consste em uma placa crcular sobre uma fundação elástca de Wnkler. São estudadas duas stuações: uma em que consdera-se as paredes lateras flexíves e o fundo do tanque como rígdo; e a outra, na qual as paredes são rígdas e o fundo flexível. Os resultados das duas stuações são comparados. Também fo utlzado o método de Raylegh-Rtz para analsar a nteração fludo-estrutura. Os autores concluíram que a consderação do tanque flexível no efeto de sloshng depende da geometra do sstema e das propredades elástcas do materal do tanque, mas que efetos mas sgnfcatvos são observados em tanques muto flexíves. As dferenças obtdas no efeto de sloshng são observadas para níves baxos de líqudo e em consequênca da elastcdade do fundo rígdo. Outra mportante conclusão refere-se à flexão das paredes do tanque ser nfluencada pelo modo de vbração da superfíce lvre, além da dsposção dos anés enrjecedores ao longo do comprmento da estrutura. Outro trabalho desenvolvdo por Amabl (2000) refere-se ao problema de autovalor para analsar as vbrações de estruturas (placas, cascas e o sstema placa-casca) com a nfluênca da superfíce lvre de um fludo. É estudado um fludo de forma compressível e ncompressível e os modos de sloshng e flexão das lateras das estruturas smplesmente apoadas, utlzando o método de Raylegh-Rtz. Ele conclu que exste certa contradção entre o método sem-analítco que utlza a condção de sloshng em um problema de autovalor com as formulações desenvolvdas pelo método dos elementos fntos. A partr de resultados numércos obtdos, ele afrma que há uma grande nteração do prmero modo de vbração

26 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 25 (referente ao sloshng e flexão das paredes da estrutura) com um número fxo de ondas crcunferencas. Km, Lee e Ko (2004) analsaram as vbrações lvres de um tanque clíndrco enrjecdo com anés para algumas condções de contorno (como, por exemplo, smplesmente apoado nas extremdades e engastado-lvre) e parcalmente cheo com fludo. O fludo fo consderado como não-vscoso, ncompressível e rrotaconal, sendo possível através destas propredades, analsar o comportamento do mesmo através de seu potencal de velocdade. Para sto, fo utlzado o método de Raylegh-Rtz, sendo posterormente comparado com valores obtdos através do método dos elementos fntos. Os autores concluíram que as frequêncas naturas da flexão das paredes lateras do tanque e do efeto de sloshng são nfluencadas pelo nível do fludo no mesmo, as quas dmnuem à medda que o nível do fludo se eleva. Os anés enrjecedores utlzados para aumentar a rgdez do sstema são efcentes, mas dependem de uma boa dsposção destes ao longo do comprmento do tanque. Neste capítulo, são notados pontos mportantes presentes nos trabalhos de dversos autores a respeto dos modos de vbração de tanques clíndrcos parcalmente cheos, entre eles podem ser ctados: as frequêncas e os modos de vbração dependem da geometra e das propredades elástcas do tanque; o efeto de sloshng modfca o modo de vbração; conforme o tanque está mas cheo menor será a frequênca natural, ou seja, o nível do fludo altera os modos de vbração do sstema.

27 CAPÍTULO 3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Neste capítulo será abordada a formulação matemátca do problema para analsar as vbrações lvres de um tanque clíndrco parcalmente cheo por um fludo, consderando dferentes condções de contorno para o tanque clíndrco. Consdera-se, neste trabalho, um fludo ncompressível, rrotaconal e nãovscoso. Estas hpóteses smplfcam os cálculos para obtenção das frequêncas naturas do sstema, permtndo descrever o comportamento do fludo a partr de um potencal de velocdade (GONÇALVES; BATISTA, 1988; AMABILI; PAÏDOUSSIS; LAKIS, 1998; KIM; LEE; KO, 2004). É mportante ressaltar que o problema de nteração fludo-estrutura é consttuído pela vbração smultânea do tanque clíndrco e do fludo e, para esta análse, são fetas algumas consderações as quas são detalhadas no tem 3.2. A dscretzação do sstema contínuo tanque-fludo será feta pelo método de Raylegh-Rtz, obtendo-se expressões adequadas para o cálculo dos autovalores, referentes às frequêncas naturas da estrutura. É mportante destacar que, para a aplcação desse método, é necessára a obtenção das energas de deformação e cnétca do tanque clíndrco e da energa cnétca do fludo para a construção da energa total do problema. A segur apresenta-se a formulação matemátca para o cálculo dessas energas FUNCIONAIS DE ENERGIA DO TANQUE CILÍNDRICO Um tanque clíndrco é uma estrutura, geralmente tda como esbelta e, por sso, pode ser representada como uma casca clíndrca, a qual é defnda como um corpo cuja dstânca de qualquer ponto a uma superfíce de referênca (superfíce méda do tanque) é pequena se comparada com as demas dmensões que defnem esta superfíce o rao e o comprmento do tanque. Neste trabalho é consderado um tanque clíndrco de comprmento L, rao a, espessura h, de materal elástco lnear com módulo de elastcdade E, coefcente de Posson ν e densdade ρ. O tanque está sobre uma superfíce plana e rígda. Este se encontra

28 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 27 parcalmente cheo, até uma altura H, por um fludo não-vscoso, ncompressível e rrotaconal. As coordenadas axas, crcunferencas e transversas são denomnadas por x, θ e r (ou z), respectvamente, conforme Fgura 3.1. x a Superfíce lvre L H h Fludo r, z Fgura 3.1 Sstema de coordenadas e geometra do tanque clíndrco parcalmente cheo Os campos de deformações para o tanque clíndrco são dados por: ( x,θ, t) u ε x = x ε θ ε x θ ( x, θ, t) 1 v = w( x, θ, t) a x ( x, θ, t) v( x,, t) 1 u θ = + a θ x (3.1) (3.2) (3.3) onde u, v e w são os campos de deslocamentos nas dreções axas, crcunferencas e transversas na superfíce méda do tanque, respectvamente. equações: As mudanças de curvaturas em cada dreção são defndas pelas seguntes K x K θ 2 w = x ( x, θ, t) 2 ( x, θ, t) v ( x, θ, t) (3.4) 2 1 w = K (3.5) a θ θ ( x, θ, t) K v ( x, θ t) 2 1 w 1, K x = θ a x θ 2 x (3.6)

29 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 28 onde a constante K 1 pode assumr valores guas a 0 ou 1, permtndo uma análse do problema pela teora lnear de Donnell para cascas abatdas, ou pela teora de Love, respectvamente. equação: A energa nterna de deformação para o tanque clíndrco é dada pela segunte U s D 2π L = 0 0 s 2 As ε x + 2ν ε xεθ + εθ 1 ν + ε x ( k + 2ν k k + k + 2( 1 ν ) k )] dxadθ x x θ θ 2 xθ 2 θ (3.7) onde A s e D s são os coefcentes de rgdez de membrana e de flexão, respectvamente, expressos pelas seguntes equações: A s D s E h = 2 1 ν 3 E h = 12 ν 2 ( 1 ) (3.8) (3.9) A energa cnétca do tanque é expressa pela equação: 1 Ts = ρ h 2 2π L 0 0 u K 2 t 2 2 ( x, θ, t) v ( x, θ, t) w( x, θ, t) + K 2 t + t 2 dxadθ (3.10) onde a constante K 2 pode assumr valores guas a 0 ou 1, permtndo consderar ou não as nércas relatvas às velocdades axas e crcunferencas do tanque clíndrco. A possbldade de não se consderar tas velocdades não geram erros sgnfcatvos, devdo à velocdade no sentdo transversal ser bem maor em comparação às outras velocdades FUNCIONAIS DE ENERGIA DO FLUIDO Neste trabalho é consderado um fludo ncompressível, rrotaconal e nãovscoso, as quas são propredades que permtem descrevê-lo por um potencal de velocdade. Consdera-se pelo prncípo de superposção dos efetos, que o potencal de velocdade do fludo pode ser dvddo da segunte manera (GONÇALVES; BATISTA, 1988; AMABILI; PAÏDOUSSIS; LAKIS, 1998; KIM; LEE; KO, 2004): ( F ) ( SL) φ = φ + φ (3.11)

30 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 29 onde ( F ) φ é o potencal de velocdade do fludo assocado às lateras flexíves do tanque sem a consderação da superfíce lvre do fludo e ( SL) φ descreve o potencal de velocdade devdo ao efeto de sloshng (superfíce lvre) do fludo em um tanque com as lateras rígdas. Esta stuação pode ser representada pela Fgura 3.2, onde cada letra presente na fgura representa uma condção de contorno, que serão detalhadas posterormente. c b f e a d representada por: Fgura 3.2 Superposção de efetos para o potencal de velocdade do fludo O potencal de velocdade do fludo deve atender a equação de Laplace, a qual é 2 φ ( F ) ( F ( ) ) 2 ( F ( ) ) 2 ( F r, θ, x, t 1 φ r, θ, x, t 1 φ ( r, θ, x, t) φ ) ( r, θ, x, t) r 2 + r r + r 2 2 θ + x 2 = 0 (3.12) Além de atender as seguntes condções de contorno na nterface fludo-estrutura, são elas: a) O fundo do tanque é rígdo em x = 0, e a velocdade do fludo na dreção vertcal é zero. Esta relação é expressa por: φ ( F ) ( x, r, θ ) x = 0 x= 0 (3.13) b) O contato do fludo com a parede lateral, consderando-se esta como flexível, deve se mover radalmente com a mesma velocdade do tanque, então: ( F ) ( x, r, θ ) w( x, θ t) φ =, r t r= a (3.14) c) Na superfíce lvre do fludo para x = H, o potencal de velocdade do fludo é nulo para hpótese que consdera as paredes do tanque flexíves, então: φ ( F ) ( x, r, θ ) =0 x= H (3.15)

31 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 30 Já as condções de contorno mpostas ao fludo devdo ao efeto de sloshng, consderando as lateras do tanque e o fundo rígdos, são: d) O fundo do tanque em x = 0 é rígdo, assm a velocdade do fludo na dreção vertcal é nula, então: φ ( SL ) ( x, r, θ ) x = 0 x= 0 (3.16) e) A velocdade radal é nula, consderando as paredes do tanque como rígdas, logo: φ ( SL ) ( x, r, θ ) r = 0 r= a (3.17) f) A superfíce lvre do fludo, em x = H, movmenta-se segundo a equação: 2 φ ( φ + φ ) ( SL) ( F ) ( SL) = g 2 t x= H sendo g a aceleração gravtaconal. x (3.18) Após as consderações fetas anterormente para o potencal de velocdade, defnem-se as expressões para cada potencal de velocdade. Em relação ao caso, em que se consderam o tanque com suas lateras flexíves e apoado sobre fundo rígdo, o potencal de velocdade φ ( F ) é dado pela segunte expressão (KIM; LEE; KO, 2004): φ ( ) 1 F ( x r, θ ) = A ( t) cos ( 2m 1) π x ( 2m 1) I M M 1 1, m1 n n = 1 m1 = 1 2H π x cos( nθ ) 2H (3.19) onde A m1 n(t) são as ampltudes modas, I n é a função modfcada de Bessel de prmera classe e de ordem n, que representa o número de ondas crcunferencas. A equação (3.19) atende as condções de contorno (3.13) e (3.15), além de satsfazer a equação de Laplace representada pela expressão (3.12). Substtundo-se o potencal de velocdade dado pela equação (3.19) na condção de contorno (3.14), e, em seguda, aplcando-se o método de Galerkn com a função peso ampltudes A m1 n(t) são obtdas a partr da equação: cos ( 2m 1) 1 π 2H x, as

32 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 31 A m1 n = H 0 H 0 w t φ r ( x, θ, t) ( 2m 1) cos ( x, r, θ ) ( 2m 1) cos 1 π x dx 2H 1 π x dx 2H r= a (3.20) As ampltudes obtdas em (3.20) são substtuídas na equação (3.19) e são aplcadas na equação (3.21) para se obter a energa cnétca do fludo, a qual é dada por: T F 1 = ρ 2 2π H fludo 0 0 φ ( F ) ( x, r, θ ) ( x, θ, t) w t dxadθ (3.21) O potencal de velocdade do fludo devdo ao efeto de sloshng (superfíce lvre), em um tanque com as lateras rígdas é dado pela equação (3.22) (GONÇALVES; BATISTA, 1988): φ K x, r, θ = = B k 1 ε x t Ω cosh J a ε r cos nθ a ( SL ) kn kn ( ) ( ) ( ) kn n (3.22) onde, Ω é a frequênca natural do tanque, J n é a função de Bessel de prmera classe e ordem n, e B kn (t) são as ampltudes dos modos, dadas por: B kn ( t) = b sen( Ωt) kn (3.23) A equação (3.22) atende a condção de contorno (3.16) além de satsfazer a equação de Laplace apresentada em (3.12). Substtundo-se (3.22) na condção de contorno (3.17), obtém-se a segunte equação dferencal: dj n ( ε r/ a) k n dr =0 r= a (3.24) onde ε kn em (3.22) são as soluções da equação (3.24). Posterormente, estas soluções são substtuídas no potencal de velocdade defndo em (3.22) e aplcadas na equação que representa a energa cnétca do fludo devdo ao efeto de sloshng, que é dada por: T 2π H 1 ( S ( ) w ( ) ) ( x, θ, t) SL = ρ fludo φ x, r, θ r= a t dxadθ (3.25) Em seguda, os potencas de velocdade de cada consderação, expressos em (3.19) e (3.22), são substtuídos na equação de sloshng dada pela equação (3.18), que é

33 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 32 resolvda, na sequênca, empregando-se o método de Galerkn com a função peso o termo ε k nr J n. Obtém-se assm a segunte equação: a a 0 2 φ 2 t ( φ + φ ) ε k nr J dr = 0 ( SL) ( F ) ( SL ) + g x x= H n a (3.26) Após esta operação, são geradas K equações adconas ao sstema de equações, utlzadas para obter a frequênca natural da superfíce lvre do fludo nterno ao tanque clíndrco, que serão detalhadas no tem 3.4. Essas equações acoplam os efetos da superfíce lvre ao problema tanque-fludo CONDIÇÕES DE CONTORNO Neste trabalho, a análse das vbrações lvres de um tanque clíndrco vazo e parcalmente cheo será feta para dferentes condções de contorno do tanque, são elas: smplesmente apoado em ambas as extremdades; engastado em ambas as extremdades; engastado em uma extremdade e lvre na outra; e, engastado em uma extremdade e smplesmente apoado na outra. Para satsfazer tas condções serão empregadas as funções de vga para descrever a varação longtudnal do campo de deslocamento como uma soma dessas funções (KIM; LEE; KO, 2004; KARAGIOZIS; PAÏDOUSSIS; AMABILI, 2007). A segur será detalhada cada condção de contorno ctada anterormente Tanque clíndrco smplesmente apoado nas extremdades Para o caso de um tanque clíndrco smplesmente apoado nas extremdades, os deslocamentos transversas e as mudanças de curvatura devem ser nulos, a saber: w w ( 0, θ ) = w ( L, θ ) = 0 ( 0 θ ) = w ( L, θ ) 0, xx,, xx = (3.27) (3.28) As componentes dos deslocamentos nas dreções axas, crcunferencas e transversas são expressos pelas seguntes equações: u M mπ x L ( x, θ, t) = U ( t) cos cos( nθ ) = 1 n (3.29)

34 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 33 v w M mπ x L ( x, θ, t) = V ( t) sen sen( nθ ) = 1 M n mπ x L ( x, θ, t) = W ( t) sen cos( nθ ) = 1 n (3.30) (3.31) onde U n (t), V n (t) e W n (t) são as ampltudes de cada dreção em função do tempo, m o número de sem-ondas longtudnas, e n o número de ondas crcunferencas. Para o problema de análse das vbrações lvres, as ampltudes modas, ctadas anterormente, são substtuídas por funções harmôncas, os quas envolvem a freqüênca natural do tanque. Estas relações são dadas por: U V W n ( t) ( t) ( t) n n u n cos = v n cos w n cos ( Ω t) ( Ω t) ( ) Ω t (3.32) Tanque clíndrco engastado nas extremdades Em relação a um tanque clíndrco engastado em ambas as extremdades, os deslocamentos e a rotação na dreção transversal devem ser nulos, como apresentado a segur: w w ( 0, θ ) = w ( L, θ ) = 0 ( 0 θ ) = w ( L, θ ) 0, x,, x = (3.33) (3.34) As componentes dos deslocamentos nas dreções axas, crcunferencas e transversas são expressos pelas seguntes equações: u v w M ( x, θ, t) = U ( t) 1 ψ α x n = 1 M ( x) cos ( x, θ, t) V ( t) ψ ( x) sen( nθ ) =1 n ( nθ ) (3.35) = (3.36) M ( x, θ, t) W ( t) ψ ( x) cos( nθ ) = (3.37) =1 n Analogamente ao caso do tanque clíndrco smplesmente apoado nas extremdades, as ampltudes U n (t), V n (t) e W n (t) presentes nas equações (3.35) a (3.37) podem ser substtuídas pelas relações em (3.32). Já o termo ( x) ψ das equações (3.35) a

35 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 34 (3.37) representa a função de vga para o caso de engastamento em ambas as extremdades, o qual é dado por: ψ ( x) = [ cosh( α x) cos( α x) ] c [ senh ( α x) sen ( α x) ] onde α são soluções da segunte equação: (3.38) ( α L) cosh( α L) 1 cos = (3.39) e o coefcente c é dado por: c cos = sen ( α L) cosh( α L) ( α L) senh( α L) (3.40) Tanque clíndrco engastado em uma extremdade e lvre na outra Em relação a um tanque clíndrco engastado em uma extremdade e lvre na outra, os deslocamentos e a rotação na dreção transversal devem ser nulos na extremdade engastada: w ( 0, θ ) = 0 ( 0, θ ) 0 w, x = (3.41) (3.42) De forma análoga ao caso de tanques clíndrcos engastados nas extremdades, as expressões para os campos de deslocamentos são as mesmas, as quas são expressas pelas equações (3.35) a (3.37). A função de vga ( x) equação: ψ ( x) = [ cosh( α x) cos( α x) ] c [ senh ( α x) sen ( α x) ] onde α são soluções da segunte equação: ψ para este caso é alterada para a segunte (3.43) cos ( α L) cosh( α L) = 1 (3.44) e o coefcente c é dado por: c cos = sen ( α L) + cosh ( α L) ( α L) + senh ( α L) (3.45)

36 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos Tanque clíndrco engastado em uma extremdade e apoado na outra Para o caso de um tanque clíndrco engastado em uma extremdade e apoado na outra, os deslocamentos transversas devem ser nulos nas extremdades, as mudanças de curvatura devem ser nulas na extremdade apoada e a rotação na dreção transversal nula na extremdade engastada, a saber: w ( 0, θ ) = w ( L, θ ) = 0 ( 0, θ ) 0 w, x = ( L, θ ) 0 w, xx = (3.46) (3.47) (3.48) De manera smlar aos casos anterores, as expressões para os campos de deslocamentos, as quas são expressas pelas equações (3.35) a (3.37), são guas. A função de ψ para este caso é alterada para a segunte equação: vga ( x) ψ ( x) = [ cosh( α x) cos( α x) ] + c [ senh ( α x) sen ( α x) ] (3.49) onde α são soluções da segunte equação: ( α L) tanh( α L) 0 tan = (3.50) e o coefcente c é dado por: c cos = sen ( α L) cosh( α L) ( α L) senh( α L) (3.51) 3.4. FORMULAÇÃO MATRICIAL DO PROBLEMA O problema apresentado neste trabalho pode ser formulado matrcalmente, com o ntuto de obter as frequêncas naturas e modos de vbração de tanques clíndrcos parcalmente cheos. Incalmente, o potencal de energa total do tanque é expresso como: Π =U S V (3.52) onde U s, que é a energa nterna de deformação do tanque, é obtda na equação (3.7), e V são as cargas externas aplcadas na estrutura, as quas serão desconsderadas neste trabalho por se tratar de uma análse de vbração lvre.

37 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 36 representada por: Após serem defndos os funconas de energa, é obtda a função de Lagrange L = T Π (3.53) sendo T o somatóro das energas cnétcas do tanque clíndrco, obtda a partr da equação (3.10), e do fludo, consderando as parcelas referentes às lateras flexíves do tanque sem a consderação da superfíce lvre do fludo e do efeto de sloshng com as lateras do tanque rígdas, obtdas nas equações (3.21) e (3.25), respectvamente. A partr do prncípo de Hamlton, obtém-se: L L q =0 t q& (3.54) onde q são as parcelas das ampltudes modas em cada dreção da estrutura, dadas pelo segunte vetor: U V q = W B ( 3M +K ) (3.55) em que U, V, W e B são dados por: U U U = M U U 1, n 2, n M 1, n M, n V1, n W1, n B V2, n W2, n B, V = M, W = M, B = M V M n W 1, M 1, n B V W B 2, n K 1, n ( M ) M, n ( M ) M, n ( M ) K, n ( K ) 1, n (3.56) onde B k n são as ampltudes modas da função que descreve a superfíce lvre do fludo. Estas ampltudes são orgnadas na equação de sloshng, (3.22), acrescentando K equações ao sstema de equações do tanque. O problema será formulado da segunte manera: ( K ) ( ) 0 2 ( 3 M + K x3m + K ) Ω M ( 3M + K x3m + K ) q 3M + K = (3.57) sendo Ω as frequêncas naturas da estrutura, K a matrz de rgdez e M a matrz de massa do sstema, defndas, respectvamente, por:

38 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 37 K K = K E S 0 ( 3M x3m ) ( K xk ) ( ) K ( ) 3M x3m ES K xk M E + M F ( 3M x3m ) M S ( K xk ) ( ) ( ) M = 0 3M x3m M ES K xk (3.58) (3.59) onde a matrz K E, representa a matrz de rgdez do tanque clíndrco (equação (3.7)), K S a matrz de rgdez do fludo devdo ao efeto de sloshng (equação (3.26)), K ES a matrz de rgdez das equações de sloshng (equação (3.26)). Em relação à matrz M E, ela representa a matrz de massa do tanque clíndrco (equação (3.10)), M F a matrz de massa do fludo devdo à consderação das paredes flexíves do tanque (equação (3.21)), M S a matrz de massa devdo ao efeto de sloshng (equação (3.25)), e M ES a matrz de massa das equações de sloshng (equação (3.25)). É mportante ressaltar que este é um problema generalzado de autovalor e autovetor, o qual é caracterzado por não conter matrzes dagonas multplcando o autovalor do sstema. Sendo as frequêncas naturas do sstema e o vetor das ampltudes modas, os autovalores e autovetores, respectvamente.

39 CAPÍTULO 4 VIBRAÇÕES LIVRES DO TANQUE VAZIO Neste capítulo serão abordados os resultados obtdos pela formulação matemátca detalhada no capítulo anteror, com o objetvo de analsar as vbrações lvres de um tanque clíndrco vazo consderando dferentes condções de contorno. Esta análse será feta a partr da comparação dos resultados entre o método analítco e o programa comercal de elementos fntos ANSYS 6.1. Para a análse numérca pelo método analítco e pelo método dos elementos fntos, foram utlzados os seguntes valores para as propredades do tanque clíndrco vazo: módulo de elastcdade E = 206 GPa; coefcente de Posson ν = 0,3; densdade ρ = 7850 kg/m³; rao a = 25 m; comprmento L = 30 m; e espessura h = 0,030 m TESTE DA MALHA NO PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS Com o ntuto de analsar a nfluênca do número de elementos utlzados no programa de elementos fntos (ANSYS) para a obtenção das frequêncas naturas, fo feto um teste de convergênca da malha utlzada na modelagem do tanque clíndrco vazo. Para sso, no pré-processamento do programa, fo utlzado o elemento SHELL63, o qual é ndcado para superfíces clíndrcas como a estrutura em estudo. Esse elemento tem capacdade de representar tanto esforços de membrana quanto de flexão, ambos no plano x - y, onde os carregamentos normas são permtdos. O elemento possu ses graus de lberdade em cada nó, correspondentes às translações e às rotações nos mesmos, nas dreções x, y, e z. Esse elemento é defndo por quatro nós e está lustrado, com a sua geometra, localzação dos nós e o sstema de coordenadas, na Fgura 4.1.

40 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 39 Opção Trangular Fgura 4.1 Geometra, localzação dos nós e o sstema de coordenadas do elemento SHELL63 Tabela 4.1 Influênca do número de termos utlzado no ANSYS para a obtenção das frequêncas naturas de um tanque clíndrco engastado-engastado, para o prmero modo de vbração (m = 1 e n = 13) Nº de elementos ANSYS Ω ANSYS (rad/s) Dferença (%) , ,3940 4, ,2727 0, ,2400 0, ,2275 0, ,2212 0, ,2174 0, ,2149 0, ,2136 0, ,2124 0, Os valores das frequêncas naturas referentes ao teste da malha feto no ANSYS são apresentados na Tabela 4.1. Para esta análse fo utlzado um tanque clíndrco vazo engastado em ambas as extremdades, para o prmero modo de vbração (caracterzado por uma sem-onda longtudnal e treze ondas crcunferencas), e os valores obtdos no ANSYS para as frequêncas naturas do tanque encontram-se na Tabela 4.1. A dferença apresentada está em relação ao seu respectvo valor anteror na tabela. A varação do número de elementos utlzados e as dferenças provenentes do acréscmo destes são lustradas na Fgura 4.2.

41 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 40 Fgura 4.2 Varação da dferença com o número de elementos utlzados no ANSYS Pela análse do gráfco da Fgura 4.2 é possível notar que, com o acréscmo de elementos utlzados para a geração da malha na modelagem do tanque, as dferenças referentes à obtenção das frequêncas naturas são reduzdas consderavelmente, convergndo assntotcamente para zero. Estes valores também podem ser observadoss na Tabela 4.1. Portanto, é mportante frsarr que o refnamento da malha gera resultadoss mas precsos, obtendo uma boa análse para as vbrações lvres em estudo. Os resultados que serão apresentados para as dferentes condções de contorno foram obtdos utlzando elementos CALIBRAÇÃO DO MODELO ANALÍTICO Os campos de deslocamentos nas dreções axal, crcunferencal e transversal, defndos no Capítulo 3, estão em função do somatóro de M termos, compostos pelas ampltudes modas das funções de vgas. A utlzação de um número maor de M sgnfca promover um melhor refnamento dos resultados obtdos pelo método analítco. Entretanto, neste capítulo, será feto uma análse da convergênca do número de modos deste somatóro no método de Raylegh Rtz. Incalmente fo feto um estudo para analsar a nfluênca do número de termos M nos valores das frequêncas naturas do tanque. Utlzando um tanque clíndrco vazo e engastado em ambas as extremdades, com as dmensões dadas no níco deste capítulo, varou-se o número de modos M, obtendo suas respectvas frequêncas naturas, como pode ser observado pela Tabela 4.2..

42 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 41 Tabela 4.2 Varação do número de termos M e as respectvas frequêncas naturas para um tanque clíndrco vazo engastado em ambas as extremdades, para o prmero modo de vbração: m = 1 e n = 13 M Ω (rad/s) Dferença (%) 20,9213 3,51 20,9213 3,51 20,6518 2,17 20, ,17 20,5249 1,55 20,5249 1,55 A Tabela 4.2 mostra as frequêncas naturas para o prmero modo de vbração do tanque clíndrco vazo engastado nas extremdades, composto por uma sem-onda longtudnal e treze ondas crcunferencas. As dferenças ndcadas na tabelaa são em relação ao mesmo modo de vbração obtdo no ANSYS, o qual ndcou uma frequênca natural gual a 20,2124 rad/s. A varação das dferenças em relação ao número de termos M é lustrada na Fgura 4.3. Fgura 4.3 Varação das dferenças das frequêncas naturas em relação ao número de termos M Como pode ser analsado pela Fgura 4.3, o acréscmo de termos reduz a dferença relatva ao valor do ANSYS, gerando um refnamento dos resultados obtdos pelo método analítco. Neste trabalho, em vrtude do esforço computaconal que esta operação exge, fo utlzado para análse das frequêncas naturas das dferentes condções de contorno para um

43 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 42 tanque clíndrco vazo, M = 3. É mportante ressaltar que esse esforço é devdo às ntegrações numércas de funções não-lneares hperbólcas, consumndo um tempo de processamento computaconal sgnfcatvo. Além do estudo da nfluênca de M, fo feta uma análse do uso da teora lnear de Donnell para cascas abatdas, ou da teora de Love, com o objetvo de observar as dferenças entre os valores obtdos para a frequênca natural do tanque. Para o prmero modo de vbração do tanque clíndrco vazo engastado em ambas as extremdades (m = 1 e n = 13), faz-se uma análse comparatva utlzando as teoras de Donnell e Love, que pode ser vsto na Tabela 4.3. Tabela 4.3 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastado-engastado pela teora lnear de Donnell para cascas abatdas e pela teora de Love, para os cnco prmeros modos de vbração Ω Donnell Ω Love m n (rad/s) (rad/s) Dferença (%) , ,9225 0, , ,3627 0, , ,6518 0, , ,6959 0, , ,3908 0,28 Fgura 4.4 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastado-engastado pela teora lnear de Donnell para cascas abatdas e pela teora de Love As dferenças mostradas na Tabela 4.3 são em relação às frequêncas naturas obtdas pela teora de Love. Para lustrar os valores encontrados pelas duas teoras, os mesmos são ndcados na Fgura 4.4.

44 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 43 Pela análse da Fgura 4.4, os valores entre as duas teoras são relatvamente próxmos. A dferença está na consderação pela teora de Love das contrbuções dos campos de deslocamentos na dreção crcunferencal nas mudanças de curvatura. Em seguda, são fetas duas análses: a prmera consderando apenas a nérca em relação à velocdade na dreção w; e, em seguda, são analsadas a nfluênca das nércas relatvas às velocdades em cada dreção, u, v e w. Em ambos os casos, as frequêncas naturas para os cncos prmeros modos de vbração do tanque clíndrco vazo engastado em ambas as extremdades, são obtdas. Utlzou-se a teora lnear de Love onde as frequêncas naturas obtdas são apresentadas na Tabela 4.4. Tabela 4.4 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastado-engastado consderando todas as nércas relatvas às velocdades axas, crcunferencas e transversas, e consderando apenas a velocdade transversal, para os cnco prmeros modos de vbração n Ω Love (rad/s) K 2 =0 K 2 =1 Dferença (%) 11 23, ,9225-0, , ,3627-0, , ,6518-0, , ,6959-0, , ,3908-0,2285 O K 2, como explcado no Capítulo 3, sendo gual a 0 permte consderar apenas as nércas relatvas à velocdade transversal, e quando é gual a 1, consdera as nércas relatvas às velocdades em todas as dreções. As dferenças presentes na Tabela 4.4 estão em relação ao caso em que K 2 é gual a 1. Os valores obtdos são lustrados na Fgura 4.5. A possbldade de se desconsderar as nércas relatvas às velocdades axas e crcunferencas não gera dferenças sgnfcatvas. Isto se dá devdo às vbrações no sentdo transversal possuírem valores bem maores em relação às outras duas parcelas, axal e crcunferencal, pos a dferença entre os dos casos são relatvamente pequenas.

45 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 44 Fgura 4.5 Comparação das frequêncas naturas consderando todas as nércas relatvas às velocdades axas, crcunferencas e transversas, e consderando apenas as nércas relatvas às velocdades transversas 4.3. ESPECTRO DE FREQUÊNCIAS PARA DIFERENTES CONDIÇÕES DE CONTORNO Através do método analítco e da utlzação do programa de elementos fntos ANSYS fo possível obter uma análse das vbrações lvres para dferentes condções de contorno para um tanque clíndrco vazo. Pela modelagem do tanque vazo pelo método dos elementos fntos, fo observada a geração dos chamados companon modes, os quas se caracterzam por apresentar pares de mesmos valores de frequêncas naturas e modos de vbração com o mesmo número de ondas longtudnas e crcunferencas, porém as ondas crcunferencas apresentam uma defasagem angular. Esta observação é lustrada na Fgura 4.6 e na Tabela 4.5. A Fgura 4.6 apresenta o prmero e o segundo modos de vbração para um tanque clíndrco vazo engastado em ambas as extremdades, consttuído por uma sem-onda longtudnal e treze ondas crcunferencas. É mportante destacar que a dferença entre estes dos modos de vbração, está apenas nas ondas crcunferencas defasadas, embora apresente a mesma frequênca natural em ambos os casos. A Tabela 4.5 apresenta os valores das frequêncas naturas para os vntes prmeros modos de vbração obtdos no ANSYS, para o mesmo tanque, e seus respectvos modos de vbração. Assm observa-se a geração dos companon modes.

46 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 45 (a) (b) Fgura 4.6 (a) Prmero e (b) segundo modo de vbração para um tanque clíndrco vazo engastado em ambas as extremdades Tabela 4.5 Frequêncas naturas de um tanque vazo engastado em ambas as extremdades para os vnte prmeros modos de vbração Modo de vbração n Ω ANSYS (rad/s) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9727

47 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 46 Os resultados de ambos os métodos estudados neste trabalho, são mostrados através dos espectros de frequêncas, os quas permtem uma vsualzação da varação das frequêncas naturas com seus respectvos modos de vbração. Da Fgura 4.7 à Fgura 4.10 são mostrados estes espectros com seus cncos prmeros modos de vbração para as condções de contorno: smplesmente apoada em ambas as extremdades (Fgura 4.7); engastada em ambas as extremdades (Fgura 4.8); engastada em uma extremdade e lvre na outra (Fgura 4.9); e, engastada em uma extremdade e apoada na outra (Fgura 4.10). (a) m = 1 (b) m = 1 e n = 11 Fgura 4.7 (a) Espectro de frequêncas para tanque vazo apoado-apoado e (b) prmero modo de vbração Tabela 4.6 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo apoado-apoado pelo método analítco e pelo ANSYS para os cnco prmeros modos de vbração Modo de n Ω ANSYS Ω ANALÍTICO vbração (rad/s) (rad/s) Dferença (%) , ,5171 0, , ,5876 0, , ,3463 0, , ,3180 0, , ,6302 0,83 A Fgura 4.7a representa o espectro de frequêncas de um tanque clíndrco vazo smplesmente apoado nas extremdades. Já a Fgura 4.7b mostra o prmero modo de vbração do tanque vazo apoado-apoado, o qual é caracterzado por uma sem-onda longtudnal e onze ondas crcunferencas. Na Fgura 4.7a tem-se uma comparação do espectro de

48 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 47 frequêncas obtdas pela análse do método analítco com o programa de elementos fntos ANSYS. As dferenças apresentadas na Tabela 4.6 são em relação às frequêncas naturas obtdas pelo método dos elementos fntos, sendo mportante ressaltar que apresentou pequenas dferenças em comparação ao método analítco, valdando o mesmo. É possível observar uma pequena varação entre os valores obtdos, devdo a alguns fatores como, por exemplo, utlzar um número maor de termos referente à M (destacando que fo utlzado um valor gual a 3) na expansão modal apresentada pelas equações de (3.29) a (3.31), com o ntuto de reduzr a dferença entre as duas análses. (a) m = 1 (b) m = 1 e n = 13 Fgura 4.8 (a) Espectro de frequêncas para tanque engastado-engastado e (b) prmero modo de vbração Tabela 4.7 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastado-engastado pelo método analítco e pelo ANSYS para os cnco prmeros modos de vbração Modo de n Ω ANSYS Ω ANALÍTICO vbração (rad/s) (rad/s) Dferença (%) , ,6518 2, , ,6959 1, , ,3627 2, , ,3908 1, , ,9225 2,92 A Fgura 4.8a representa o espectro de frequêncas de um tanque clíndrco vazo engastado nas extremdades, além de apresentar uma comparação do espectro de frequêncas

49 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 48 obtdas pela análse do método analítco com o programa de elementos fntos ANSYS. Já a Fgura 4.8b mostra o prmero modo de vbração do tanque vazo engastado-engastado, caracterzado por uma sem-onda longtudnal e treze ondas crcunferencas. As dferenças mostradas na Tabela 4.7 estão em relação às frequêncas naturas obtdas pelo método dos elementos fntos. Embora tenha apresentado valores um pouco maores do que o caso anteror, os mesmos estão coerentes e são consderados bons resultados. Este aumento da dferença deve-se às ntegrações com funções hperbólcas que são realzadas numercamente, e ao aumentar o número de termos M mplca num tempo de processamento sgnfcatvo. Elas foram ctadas no Capítulo 3, nos campos de deslocamentos que envolvem funções hperbólcas. (a) m =1 (b) m = 1 e n = 9 Fgura 4.9 (a) Espectro de frequêncas para tanque engastado-lvre e (b) prmero modo de vbração Tabela 4.8 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastado-lvre pelo método analítco e pelo ANSYS para os cnco prmeros modos de vbração Modo de n Ω ANSYS Ω ANALÍTICO vbração (rad/s) (rad/s) Dferença (%) 1 9 8,4094 8,6122 2, ,7198 8,9370 2, ,8587 9,0549 2, , ,0485 1, , ,2676 2,48

50 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 49 A Fgura 4.9a representa o espectro de frequêncas e o prmero modo de vbração, respectvamente, para um tanque clíndrco vazo engastado em uma extremdade e lvre na outra, mostrando anda uma comparação do espectro de frequêncas obtdas pela análse do método analítco com o ANSYS. Já a Fgura 4.9b mostra o prmero modo de vbração do tanque vazo engastado-lvre, caracterzado por uma sem-onda longtudnal e nove ondas crcunferencas. As dferenças apresentadas na Tabela 4.8 são em relação às frequêncas naturas obtdas pelo ANSYS, sendo que os valores obtdos para a frequênca natural por ambos os métodos são consderados como bons resultados. (a) m =1 (b) m =1 e n= 12 Fgura 4.10 (a) Espectro de frequêncas para tanque engastado-apoado e (b) prmero modo de vbração Tabela 4.9 Comparação das frequêncas naturas de um tanque vazo engastado-apoado pelo método analítco e pelo ANSYS para os cnco prmeros modos de vbração Modo de n Ω ANSYS Ω ANALÍTICO vbração (rad/s) (rad/s) Dferença (%) , ,1032-1, , ,1585-1, , ,8949-1, , ,8750-1, , ,1734-1,06 A Fgura 4.10a representa o espectro de frequêncas e o prmero modo de vbração, respectvamente, para um tanque clíndrco vazo engastado em uma extremdade e smplesmente apoado na outra, e uma comparação do espectro de frequêncas obtdas pela análse do método analítco com o ANSYS. Já a Fgura 4.10b mostra o prmero modo de

51 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 50 vbração do tanque vazo engastado-apoado, o qual é caracterzado por uma sem-onda longtudnal e doze ondas crcunferencas. As dferenças apresentadas na Tabela 4.9 são em relação às frequêncas naturas obtdas pelo ANSYS, sendo nteressante observar que estes estão negatvos, devdo os valores obtdos pelo método analítco serem menores que os gerados pelo método dos elementos fntos, dferente das outras condções de contorno detalhadas anterormente. Neste capítulo, devem ser ressaltados alguns pontos mportantes, dentre eles podem-se ctar: para uma mesma geometra, ao modfcar as condções de contorno, o valor da frequênca natural e o modo de vbração são alterados; quanto maor a rgdez das condções de contorno do tanque maor será a sua frequênca natural, como exemplo, para o tanque engastado em ambas as extremdades, as frequêncas naturas são aproxmadamente 20 rad/s enquanto que para o tanque engastado em uma extremdade e lvre na outra elas são aproxmadamente guas a 9 rad/s. As demas condções de contorno fornecem frequêncas naturas que estão neste ntervalo.

52 CAPÍTULO 5 VIBRAÇÕES LIVRES DO TANQUE CILÍNDRICO PARCIALMENTE CHEIO Neste capítulo serão abordados os resultados obtdos pela formulação matemátca detalhada no Capítulo 3, com o objetvo de analsar as vbrações lvres de um tanque clíndrco parcalmente cheo por um fludo (ncompressível, rrotaconal e não-vscoso) consderando dferentes condções de contorno. Esta análse será feta a partr dos resultados do modelo analítco e do programa comercal de elementos fntos ANSYS. Incalmente os valores obtdos no ANSYS serão valdados com resultados encontrados na lteratura. Em seguda, será feta uma análse paramétrca da estrutura, observando a nfluênca da varação do nível do fludo e de alguns parâmetros geométrcos do tanque clíndrco CALIBRAÇÃO DA MALHA DE ELEMENTOS FINITOS COM RESULTADOS OBTIDOS NA LITERATURA Com o ntuto de valdar os resultados obtdos pela análse através do método dos elementos fntos, estes foram comparados com valores encontrados na lteratura. Para sso, fo utlzada a geometra utlzada por Gonçalves e Ramos (1996), a qual é caracterzada por: módulo de elastcdade E = 210 GPa; coefcente de Posson ν = 0,3; densdade ρ = 7850 kg/m³; rao a = 301,5 mm; comprmento L = 410 mm; e espessura h = 1,0 mm. A densdade do fludo é ρ F = 1000 kg/m³. Incalmente, fo feto um teste de convergênca de malha de elementos fntos, utlzados na modelagem do sstema pelo ANSYS, para a obtenção das frequêncas naturas. Fo utlzado o elemento SHELL63 (detalhado no Capítulo 4) para representar a superfíce do tanque clíndrco, e o elemento FLUID80, o qual é adequado para o cálculo das nterações fludo-estrutura. Este elemento possu três graus de lberdade em cada nó, correspondentes às translações nos mesmos, nas dreções x, y, e z. Ele é defndo por oto nós e está lustrado com a sua geometra, localzação dos nós e o sstema de coordenadas na Fgura 5.1.

53 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 52 Fgura 5.1 Geometra, localzação dos nós e o sstema de coordenadas do elemento FLUID80 Posterormente os valores das frequêncas naturas de um tanque clíndrco completamente cheo e apoado em ambas as extremdades foram obtdas para os ses prmeros modos de vbração a partr do método dos elementos fntos e comparadas com as frequêncas naturas presentes no trabalho de Gonçalves e Ramos (1996). Para cada análse do número de elementos utlzados no ANSYS, foram encontradas as frequêncas naturas de cada modo de vbração, as quas estão apresentadas na Tabela 5.1. As dferenças mostradas nesta tabela são em relação aos valores do ANSYS. Observa-se uma redução destas dferenças devdo ao melhor refnamento da malha de elementos fntos. Entretanto, em vrtude do consderável esforço computaconal que esta operação exge, fo observado o número de elementos que fornecem bons resultados para as vbrações lvres do sstema e utlzou este mesmo número para as outras análses. É mportante ressaltar, que para reduzr o tempo processamento, consderou-se a smetra crcunferencal do problema, o que faclta também a vsualzação do efeto de sloshng do fludo presente no tanque clíndrco. Através dos resultados obtdos, é possível valdar a utlzação do método dos elementos fntos, pos os valores obtdos estão próxmos aos encontrados na lteratura.

54 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 53 Tabela 5.1 Comparação das frequêncas naturas de um tanque clíndrco apoado-apoado completamente cheo com a geometra utlzada por Gonçalves e Ramos (1996) Nº de elementos no ANSYS n Ω GONÇALVES E RAMOS Ω ANSYS Dferença (Hz) (Hz) (%) 8 119,0 149,537-20, ,0 148,540-13, ,0 155,216-5, ,0 162,575 6, ,0 165,752 24, ,0 174,675 40, ,0 140,537-15, ,0 141,963-9, ,0 153,803-5, ,0 174,835-1, ,0 202,720 1, ,0 272,586-10, ,0 138,151-13, ,0 139,962-8, ,0 152,184-4, ,0 174,064-0, ,0 203,003 1, ,0 238,161 2, ,0 137,65-13, ,0 139,51-8, ,0 151,75-3, ,0 173,66-0, ,0 202,58 1, ,0 232,77 5,252

55 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 54 Tabela 5.2 Modos Modos de vbração obtdos no ANSYS para um tanque clíndrco clíndrc apoado-apoado apoado completamente cheo Modo de vbração m n m=1 n=8 (Ω = 137,65 Hz) m=1 n=9 (Ω = 139,51 Hz) m=1 n=10 (Ω = 151,75 Hz) m=1 n=11 (Ω = 173,66 Hz) m=1 n=12 (Ω = 202,58 Hz) m=1 n=13 (Ω = 232,77 Hz) Na Tabela 5.2 são apresentados os modos de vbração (número de ondas crcunferencas n e de sem--ondas longtudnas m)) presentes no trabalho de Gonçalves e

56 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 55 Ramos (1996) para o tanque clíndrco apoado-apoado completamente cheo e os obtdos pelo ANSYS. Os resultados que são apresentados foram obtdos utlzando elementos. Observa-se a partr da Tabela 5.2 que, apesar da dferença encontrada para as frequêncas naturas do tanque (Tabela 5.1), os modos de vbração obtdos são os mesmos ESTUDO DA VARIAÇÃO DO NÍVEL DO FLUIDO NO TANQUE CILÍNDRICO Uma mportante análse para o sstema em estudo é em relação à varação do nível do fludo no tanque clíndrco, onde se observa sua nfluênca nos modos de vbração da estrutura. Para sso, fo utlzada a segunte geometra para o tanque, tanto para o método analítco quanto para o método dos elementos fntos: módulo de elastcdade E = 206 GPa; coefcente de Posson ν = 0,3; densdade ρ = 7850 kg/m³; rao a = 25 m; comprmento L = 30 m; e espessura h = 0,030 m. A densdade do fludo é ρ F = 1000 kg/m³. Em seguda, comparam-se os valores obtdos em cada método e as dferenças encontradas entre eles para cada uma das condções de contorno Tanque clíndrco apoado-apoado Para o tanque clíndrco apoado em ambas as extremdades fo feto um estudo da varação do nível do fludo no mesmo, comparando os resultados das frequêncas naturas obtdas pelo método analítco e pelo método dos elementos fntos. É mportante ressaltar a nfluênca do número de termos M, M 1 e K utlzados no método analítco para a obtenção das frequêncas naturas do sstema. O termo M refere-se ao número de termos da expansão modal dos campos de deslocamentos nas dreções axal, crcunferencal e transversal do tanque clíndrco. Já o termo M 1 é o número de termos do somatóro da expansão modal do potencal de velocdade do fludo em relação ao caso em que se consdera o tanque com suas lateras flexíves e apoado sobre fundo rígdo. Por fm, o termo K é o número de termos do somatóro da expansão do potencal de velocdade do fludo devdo ao efeto de sloshng (superfíce lvre) em um tanque com as lateras rígdas. Um número maor destes parâmetros promove um melhor refnamento dos resultados obtdos. Entretanto, devdo ao tempo de processamento sgnfcatvo que esta operação exge, fo adotado para estes parâmetros, os quas geram valores relatvamente próxmos com os obtdos pelo ANSYS, M=5, M 1 =3 e K=3. Destaca-se

57 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 56 que o esforço computaconal se deve às númeras ntegrações numércas das funções hperbólcas presentes em cada um dos somatóros relaconados aos termos M, M 1 e K. É mportante ressaltar que as frequêncas apresentadas nas tabelas deste capítulo, denomnadas por Ω TANQUE referem-se às frequêncas naturas das paredes do tanque clíndrco, e Ω SLOSHING são referentes às frequêncas naturas devdo ao efeto de sloshng, em que as mesmas não são comparadas entre s. Os valores obtdos a partr dos dos métodos para as frequêncas naturas do tanque clíndrco smplesmente apoado nas extremdades e do efeto de sloshng do fludo, varando o nível do fludo, são apresentados na Tabela 5.3. Tabela 5.3 Comparação das frequêncas naturas obtdas pelo método analítco e pelo ANSYS, varando o nível do fludo no tanque clíndrco apoado-apoado Nível do Tanque Sloshng n fludo Ω ANSYS Ω ANALÍTICO Dferença Ω ANSYS (rad/s) (rad/s) (%) (rad/s) (rad/s) Vazo 11 14, ,5171-0, Ω ANALÍTICO 0,25L 13 14, , ,7668 0,9279 2,4174 0,50L 12 7,9231 6, ,9984 0,7532 2,3284 0,75L 12 5,7928 5, ,6145 0,8029 2,3294 1,00L 12 5,3388 4, ,6131 0,8047 2,2994 Ao analsar os resultados obtdos na Tabela 5.3, é mportante salentar que os modos de vbração do tanque para cada varação do nível do fludo são dferentes dos encontrados para o mesmo tanque vazo (CHIBA; YAMAKI; TANI, 1984), aumentando-se o número de ondas crcunferencas n. Além dsso, as dferenças entre os dos métodos mostram claramente a nfluênca do número de termos utlzados no método analítco, sendo necessára a utlzação de um número maor de termos para reduzr estas dferenças. Na Fgura 5.2 são mostradas as frequêncas naturas do tanque apoado-apoado (lnha contínua) e do efeto de sloshng (lnha tracejada) para o prmero modo de vbração em cada nível de fludo. Os números entre parêntess representam o modo de vbração (m, n) do tanque clíndrco.

58 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 57 Fgura 5.2 Frequêncas naturas do tanque apoado-apoado e do efeto de sloshng para o prmero modo de vbração em cada nível do fludo É mportante ressaltar que os valores mostrados para as frequêncas naturas devdo ao efeto de sloshng na Tabela 5.3 não são os mesmos entre o método analítco e o ANSYS. Os modos de vbração de sloshng que são apresentados pelo programa ANSYS são ordenados e apresentados de forma crescente. Assm, é dfícl afrmar se esses valores das frequêncas de sloshng são os correspondentes aos modos de vbração do tanque clíndrco. Já as frequêncas naturas do sloshng obtdas pelo método analítco são realmente os referentes aos respectvos modos de vbração do tanque. Na Tabela 5.4 são apresentadas as frequêncas naturas obtdas a partr do ANSYS para os cnco prmero modos de vbração do tanque clíndrco apoado-apoado e do efeto de sloshng em cada nível do fludo. Observa-se que, ao aumentar o nível do fludo, reduzem-se as frequêncas naturas do tanque clíndrco (GONÇALVES; BATISTA, 1988; AMABILI, 1997; KIM et al., 2004) e mudam-se os modos de vbração do tanque (CHIBA; YAMAKI; TANI, 1984). Apresentam-se na Tabela 5.5 o prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng para cada varação do nível do fludo em um tanque clíndrco apoado-apoado obtdo pela análse por elementos fntos. O prmero modo de vbração para cada nível de fludo está destacado na Tabela 5.4.

59 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 58 Tabela 5.4 Frequêncas naturas dos cnco prmero modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS para cada varação do nível do fludo em um tanque clíndrco apoado-apoado Nível do fludo n Ω TANQUE Ω SLOSHING (rad/s) (rad/s) 13 14,3822 0, ,4576 1,0995 0,25L 14 14,6901 1, ,9854 1, ,2870 1, ,9231 0, ,0299 1,0467 0,50L 11 8,0927 1, ,3441 1, ,6205 1, ,7928 0, ,8368 1,0756 0,75L 13 5,9829 1, ,1134 1, ,4359 1, ,3388 0, ,3606 1,0675 1,00L 13 5,5347 1, ,6035 1, ,9744 1,4042

60 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 59 Tabela 5.5 Prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng para cada nível de fludo em um tanque clíndrco apoado-apoado Nível do fludo Modo de vbração Sloshng m n 0,25L m=1 n=13 0,50L m=1 n=12 0,75L m=1 n=12 1,00L m=1 n= Tanque clíndrco engastado-engastado Para o tanque clíndrco engastado em ambas as extremdades, fo analsada a nfluênca da varação do nível do fludo nas frequêncas naturas pelo método dos elementos fntos. Nesta e nas demas condções de contorno, não foram fetos os estudos pelo método analítco, pos o esforço computaconal é sgnfcatvo, gerando problemas de memóra no computador, devdo às ntegrações numércas de funções não-lneares hperbólcas. Na Tabela 5.6 e na Fgura 5.3 são apresentadas entadas as frequêncas naturas do prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng em cada nível de fludo. Na Fgura 5.3 os números entre parêntess representam o modoo de vbração (m, n) ) do tanque clíndrco engastado-engastado, a

61 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 60 lnha contínua representa as frequêncas naturas do tanque e a lnha tracejada as frequêncas do efeto sloshng. Tabela 5.6 Frequêncas naturas do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-engastado Nível do fludo n Ω TANQUE Ω SLOSHING (rad/s) (rad/s) Vazo 13 20,2124-0,25L 14 15,4573 0,9279 0,50L 13 8,5608 0,7532 0,75L 12 6,7098 0,8029 1,00L 12 6,4277 0,8399 Fgura 5.3 Frequêncas naturas do tanque engastado-engastado e do efeto de sloshng para o prmero modo de vbração em cada nível do fludo Na Tabela 5.7 são mostradas as frequêncas naturas obtdas para os cnco prmeros modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng através do ANSYS, para cada varação do nível do fludo, em um tanque clíndrco engastado-engastado. Observa-se a redução das frequêncas e a modfcação dos modos de vbração ao aumentar o nível do fludo. O prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng para cada varação do nível do fludo em um tanque clíndrco engastado-engastado obtdo pela análse por

62 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 61 elementos fntos são apresentados na Tabela 5.8. O prmero modo de vbração para cada nível de fludo está destacado na Tabela 5.7. Tabela 5.7 Frequêncas naturas dos cnco prmero modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada do nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-engastado Nível do fludo n Ω TANQUE Ω SLOSHING (rad/s) (rad/s) 14 15,4573 0, ,5515 1,0994 0,25L 15 15,6678 1, ,9505 1, ,2339 1, ,5608 0, ,6645 1,0467 0,50L 14 8,7091 1, ,9642 1, ,1967 1, ,7098 0, ,7174 1,0756 0,75L 11 6,9197 1, ,9442 1, ,3972 1, ,4277 0, ,4528 1,0835 1,00L 11 6,6043 1, ,6828 1, ,0321 1,3895

63 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 62 Tabela 5.8 Prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng para a varação do nível do fludo em um tanque clíndrco engastado-engastado Nível do fludo Modo de vbração Sloshng m n 0,25L m=1 n=14 0,50L m=1 n=13 0,75L m=1 n=12 1,00L m=1 n= Tanque clíndrco engastado-lvre Em relação ao tanque clíndrco engastado em uma extremdade e lvre na outra, também fo analsada a varação do nível do fludo no mesmo, obtendo as frequêncas naturas pelo método dos elementos fntos. Na Tabela 5.9 e na Fgura 5.4 são apresentadas as frequêncas naturas do prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng em cada nível do fludo no tanque clíndrco engastado-lvre. Na Fgura 5.4 os números entre parêntess representam o modoo de vbração (m, n) ) do tanque clíndrco engastado-engastado, a lnha contínua representa as frequêncas naturas do tanque e a lnha tracejada as frequêncas do efeto sloshng.

64 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 63 Tabela 5.9 Frequêncas naturas do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada nível do fludo para um tanque clíndrco engastado-lvre Nível do fludo n Ω TANQUE Ω SLOSHING (rad/s) (rad/s) Vazo 9 8,4094-0,25L 9 8,1933 0,9278 0,50L 9 6,3737 0,7531 0,75L 9 3,9984 0,8027 1,00L 12 3,6781 0,8225 Fgura 5.4 Frequêncas naturas do tanque engastado-lvre e do efeto de sloshng para o prmero modo de vbração de cada nível de fludo Na Tabela 5.10 apresentam-se as frequêncas naturas obtdas para os cnco prmeros modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng através do ANSYS, para cada varação do nível do fludo, em um tanque clíndrco engastado-engastado. É observada a redução das frequêncas ao aumentar o nível do fludo, modfcando os seu modo de vbração. Além dsso, são apresentados na Tabela 5.11, os prmeros modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng, para cada varação do nível do fludo, em um tanque clíndrco engastadoengastado. O prmero modo de vbração para cada nível de fludo está destacado na Tabela 5.10.

65 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 64 Tabela 5.10 Frequêncas naturas dos cnco prmero modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-lvre Nível do fludo n Ω TANQUE Ω SLOSHING (rad/s) (rad/s) 9 8,1933 0, ,5068 1,0994 0,25L 10 8,6004 1, ,5190 1, ,7521 1, ,3737 0, ,5559 1,0465 0,50L 10 6, , ,0755 1, , , ,9984 0, ,0410 1,0747 0,75L 10 4,2308 1, ,3970 1, ,6681 1, , , , ,0615 1,00L 5 4, , , , , ,3870

66 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 65 Tabela 5.11 Prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-lvre Nível do fludo Modo de vbração Sloshng m n 0,25L m=1 n=9 0,50L m=1 n=9 0,75L m=1 n=9 1,00L m=1 n= Tanque clíndrco engastado-apoado Fnalmente, para o tanque clíndrco engastado em uma extremdade e apoado na outra, analsou-se se a varação do nível do fludo no mesmo, obtendo as frequêncas naturas pelo método dos elementos fntos. Na Tabela 5.12 e na Tabela 5.5 são apresentadas as frequêncas naturas do prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng em cada nível do fludo no tanque clíndrco engastado-apoado. Na Fgura 5.5 os números entre parêntess representam o modoo de vbração (m, n) ) do tanque clíndrco engastado-engastado, a lnha contínua representa as frequêncas naturas do tanque e a lnha tracejada as frequêncas do efeto sloshng.

67 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 66 Tabela 5.12 Frequêncas naturas do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-apoado Nível do fludo n Ω TANQUE Ω SLOSHING (rad/s) (rad/s) Vazo 12 17,3699-0,25L 13 14,4538 0,9278 0,50L 12 7,9407 0,7531 0,75L 12 5,7858 0,8027 1,00L 12 5,2980 0,8342 Fgura 5.5 Frequêncas naturas do tanque engastado-apoado e do efeto de sloshng para o prmero modo de vbração em cada nível de fludo Na Tabela 5.13 são mostradas as frequêncas naturas obtdas para os cnco prmeros modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng para cada varação do nível do fludo, em um tanque clíndrco engastado-engastado. Observa-se o mesmo comportamento encontrado nas demas condções de contorno, a redução das frequêncas e a modfcação do modo de vbração ao aumentar o nível do fludo. Os prmeros modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng, para cada varação do nível do fludo em um tanque clíndrco engastado-engastado, são apresentados na Tabela O prmero modo de vbração para cada nível de fludo está destacado na Tabela 5.13.

68 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 67 Tabela 5.13 Frequêncas naturas dos cnco prmero modos de vbração do tanque e do efeto de sloshng obtdas pelo ANSYS em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-apoado Nível do fludo n Ω TANQUE Ω SLOSHING (rad/s) (rad/s) 13 14,4538 0,9278 0,25L 0,50L 12 14,5160 1, ,7699 1, ,0382 1, ,3743 1, ,9407 0, ,0481 1, ,1009 1, ,3548 1, ,6268 1, ,7858 0,8027 0,75L 1,00L 11 5,8166 1, ,9820 1, ,0721 1, ,4340 1, ,2980 0, ,3012 1, ,4967 1, ,5119 1, ,9306 1,4032

69 Modelo analítco e numérco para análse das vbrações lvres de tanques clíndrcos 68 Tabela 5.14 Prmero Prmero modo de vbração do tanque e do efeto de sloshng em cada nível de fludo para um tanque clíndrco engastado-apoado Nível do fludo Modo de vbração m n m=1 0,25L n=13 m=1 0,50L n=12 m=1 0,75L n=12 m=1 1,00L 5.3. Sloshng n=12 ESTUDO DA GEOMETRIA DO TANQUE CILÍNDRICO CHEIO Outra mportante análse paramétrca de tanques clíndrcos cheos é a nfluênca da geometra nos modos de vbração da estrutura. Para sso, fo utlzada a segunte geometra: E = 206 GPa, coefcente de Posson ν = 0,3 e densdade ρ = 7850 kg/m³, rao a = 25 m e a espessura h varando de 0, a 0,040 m. O comprmento do tanque fo analsado em cada varação da espessura para L = 12,5 m, 30m, 40 m e 50 m, observando a sua nfluênca nos