Simulação numérica de moviment

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1 25 Revsta Braslera de Engenhara Agrícola e Ambental, v.7, n.2, p , 2003 Campna Grande, PB, DEAg/UFCG - Smulação numérca de movment vmento de água em solo não-saturado Prof. Adjunto, Depto Eng. Rural, CCAUFES/UFES. E-mal: pacol@npd.ufes.br (Foto) 2 Bolssta de PIBIC (CNPq-UFES), Graduando em Agronoma. E-mal: lma-l@bol.com.br Protocolo 7-2/8/ Aprovado em 29/4/2003 Paulo C. Olvera & José L. Lma 2 Resumo: Neste trabalho, o método de volumes fntos fo utlzado com esquema de dscretzação mas elaborado, chamado Flux-Splne, a fm de smular numercamente problemas undmensonas não lneares de nfltração de água em solo hdraulcamente homogêneo não-saturado. Problemasteste foram apresentados e resolvdos para alguns valores e combnações dos dos parâmetros admensonas de governo, para demonstrar as vantagens do novo esquema quando comparado ao tradconal esquema de dferença central. Os resultados obtdos mostraram melhor desempenho do esquema quando comparado à dferença central, em todos os casos smulados, demonstrando que o esquema pode ser recomendado para a smulação numérca de movmentação de água em solo hdraulcamente homogêneo não-saturado. Pala alavr vras-cha as-chave: dfusão, volumes fntos, movmento de água no solo Numercal smulaton of f water movement n an unsaturated sol Abstract: In ths work the fnte volume method was used wth an mproved scheme of dscretzaton called Flux-Splne, for the numercal study of non-lnear problems n un-dmensonal water flow n hydraulcally homogeneous unsaturated sol. Test-problems were presented and resolved to some values and combnatons of the two governng non-dmensonal parameters to demonstrate the advantages of the new scheme when compared to the tradtonal central dfference scheme. The results obtaned showed a better performance of the new scheme when compared to the central dfference scheme n all smulated cases, demonstratng that the scheme can be recommended for numercal smulaton of water movement n hydraulcally homogeneous unsatured sol. Key wor ords: dffuson, fnte volumes, water movement n sol INTRODUÇÃO Processos físcos, governados por dfusão pura aparecem em fenômenos de nteresse prátco como: escoamentos em meos porosos, em solos agrícolas, no processamento de almentos, na condução de calor em sóldos, em processos metalúrgcos contendo mudanças de fase, nos escoamentos potencas ou completamente desenvolvdos em dutos. Embora em alguns casos partculares se conheça a solução analítca para as equações que governam tas fenômenos, a presença de geometras não-regulares e/ou não-lneardades devdo à forte varação das propredades do meo (caso de solos agrícolas) e/ou condções de contorno partculares, mpossblta a solução desses problemas, com os métodos analítcos atualmente conhecdos, tornando obrgatóra a utlzação de métodos numércos. O esquema de dscretzação Flux-Splne fo desenvolvdo por Varejão (979). Neckele (985) comparou este esquema a outros dezesses utlzados na lteratura da área térmca e de fludos em problemas envolvendo convecção-dfusão. Em trabalhos posterores, Varejão et al. (99a), Varejão et al. (99b), Olvera (997) e Olvera (999) mostraram que o esquema apresenta desempenho superor para problemas de escoamento bdmensonal em regme permanente. Devdo ao bom desempenho do esquema em problemas de grande complexdade, como os acma ctados, tal esquema será aqu empregado com o objetvo de smular o comportamento da equação dferencal parcal não-lnear que governa o movmento de água em solo hdraulcamente homogêneo não-saturado. MATERIAL E MÉTODOS Dscretzação de dfusão undmensonal em regme permanente por volumes fntos A equação de governo para o caso geral de um fenômeno dfusvo undmensonal, em regme permanente, é:

2 252 P.C. Olvera & J.L. Lma dj φ S dx em que S φ é o termo fonte dstrbuído ao longo do domíno da varável dependente φ lnearzado na forma S φ Sc Sp φ, de acordo com Patankar (980); J é o fluxo dfusvo na dreção x dado por: φ J x Integrando a equação de governo (), sob a hpótese de que o termo fonte S φ e o coefcente de dfusão k são constantes em cada volume de controle de comprmento x e que os fluxos são dstrbuídos unformemente nas nterfaces dos volumes de controle, obtendo-se, pelo método dos volumes fntos, a expressão: J J ( Sc Spφ ) x A varável dependente φ, a ser calculada quando da smulação, é posconada no centro do volume de controle correspondente em x x /2. Maores detalhes do esquema Flux-Splne podem ser obtdos em Olvera (999). A equação para os fluxos na dreção da coordenada x é: em que: J Jhat DJ ( φ φ ) () (2) (3) (4) J x AIM DJ AP AIM AIP Sp x Ssp Jhat Jhat O método de resolução do sstema de equações algébrcas, para o fluxo J e a varável dependente φ, é descrto em detalhes por Olvera (999). Dscretzação de problema dfusvo transente utlzando-se o método de volumes de controle, com esquema Flux-Splne A dscretzação proposta por Patankar (980), para casos transentes, é totalmente mplícta no tempo, o que faz com que se obtenha, aprovetando-se a dedução anteror para o caso de regme permanente, as seguntes expressões: AP φ AIM φ AIP φ x o φ Sc o φ x Ssp φ old J Fgura. Dscretzação undmensonal para volumes fntos J x x () (2) (3) x (4) τ DJ x Jhat BJ (J J BJ 2,0 x ( J J ) ) CJ DJ 8 x (5) (6) (7) x AP AIM AIP Sp x τ (5) em que φ é o valor da varável dependente no tempo atual, φ old é o valor da varável dependente no tempo anteror e τ é o ntervalo de tempo admensonal. Equação de conservação de massa para a umdade no solo em regme transente A movmentação de água em solos não-saturados hdraulcamente homogêneos é regda pela equação de Rchards: CJ DJ 8 x (8) q 0 t (6) A expressão (4) quando substtuída na equação de governo ntegrada (3) fornece a equação de dscretzação da varável dependente, representada por: em que: AP Sc x Ssp φ AIM φ AIP φ AIP DJ (9) (0) O modelo aqu usado é váldo somente para solo hdraulcamente homogêneo onde, de acordo com Prevedello (996), o potencal mátrco h(u)[m], a condutvdade hdráulca k(u) [m s ] e a umdade dmensonal do solo U(x, t)[m 3 H2O m-3 solo ] são funções contínuas e derváves O fluxo total de água no solo é q -k H T [m s - ]. O potencal total atuando sobre a água no solo é a soma do potencal mátrco h mas o potencal gravtaconal z e, portanto, H T h z [m]. Na dreção z, o sentdo postvo fo arbtrado segundo-se R. Bras. Eng. Agríc. Ambental, Campna Grande, v.7, n.2, p , 2003

3 Smulação numérca de movmento de água em solo não-saturado 253 a gravdade e, desta forma, o fluxo total na dreção z, descrto pela equação de Buckngham-Darcy, é: q z D em que, neste caso, D k(dh/du) [m 2 s - ] é a dfusvdade hdráulca com dh/du obtdo da curva de retenção do solo. Para o caso undmensonal na dreção z, obtém-se então a segunte equação de governo: D 0 t z z [m 3 H2O m-3 solo s- ] (7) (8) Com sto, a equação de governo pode ser colocada na forma: JZ τ Z K H Κ Defnr-se-á [(/K)][ K/ )][( H mat / )] - como o parâmetro admensonal de solo PAS, notando-se que seu valor defne a mportânca do termo fonte (devdo ao potencal gravtaconal) com relação ao fluxo dfusvo, atuando num determnado volume de controle. O coefcente de dfusão Γ e o parâmetro PAS podem ser calculados, num caso geral, pelas equações combnadas de van Genuchten (980). Sob admensonalzação, estas equações fcam na forma: mat JZ (23) que pode ser escrta na forma:. D t z z [m 3 H2O m-3 solo s- ] Se o fluxo dfusvo dmensonal de umdade na dreção z devdo ao gradente de umdade, é jz U -D(/), obter-se-á: t jz U h U jz U [m 3 H2O m-3 solo s- ] (9) (20) e H Κ mat 2 α L C M M M 2 N Procedmento de admensonalzação Este procedmento será executado de forma a se obter os parâmetros admensonas que regem o fenômeno de movmento de água em solo hdraulcamente homogêneo, não-saturado. Para a admensonalzação do tempo usar-se-á: t td sat L C -2 em que D sat, é a dfusvdade hdráulca na umdade de saturação U sat admtndo que a curva de retenção e a curva da condutvdade hdráulca deste solo, são contínuas e derváves em todos os pontos (Prevedello, 996) e a curva de retenção é aproxmadamente lnear na mnênca de saturação. Para o espaço, tem-se: Z Z/L C. A condutvdade hdráulca admensonal é K k/k sat em que k sat é a condutvdade hdráulca na umdade de saturação U sat. A umdade é admensonalzada usando-se: (U - U 0 )/(U sat - U 0 ) em que U 0 é a umdade resdual do modelo de van Genuchten (980). A substtução das expressões em (20) fornece: em que U 0, U sat, M, N e α são os parâmetros ndependentes para cada tpo de solo. Valores desses parâmetros podem ser encontrados em Centuron & Androl (2000) para solos de Jabotcabal, SP. Usando-se os dados de Prevedello & Balena (2000) para area marnha e Latossolo Vermelho é mostrado, na Fgura 2, o comportamento conjunto da tangente à curva de retenção, da condutvdade e da dfusvdade hdráulca Γ, em função da umdade admensonal. Como o comportamento do produto K[( H mat )/ ]{[( H mat )/ ] sat } - é marcadamente exponencal assumr-se-á, para a dfusvdade hdráulca, um modelo smlar ao usado em Bacch et al.(99) para condutvdade hdráulca. Neste modelo, k k sat e γ(u Usat) resulta numa condutvdade hdráulca admensonal K e (γ U)( - ) e, sob esta hpótese, Γ e (γ C U)( - ) em que o novo γ C reúne a nfluênca conjunta da condutvdade hdráulca e da tangente à curva de retenção do solo. Desta forma obtém-se, para solo hdraulcamente homogêneo, a equação de governo: τ Z D D sat K H Κ em que H mat h/l C é o potencal mátrco admensonalzado. Defnndo-se D/D sat como o coefcente de dfusão Γ, obterse-á: Γ H mat H K mat sat mat JZ (2) (22) τ Z JZ PAS JZ em que o fluxo dfusvo de umdade é expresso por: JZ -e (γ C U)( - ) [ / Z] Influênca do parâmetro γ C U sobre a equação de governo Sob as hpóteses smplfcadoras anterormente descrtas e mpostas, o parâmetro γ C U defne o comportamento da dfusvdade hdráulca admensonal Γ. (24) (25) R. Bras. Eng. Agríc. Ambental, Campna Grande, v.7, n.2, p , 2003

4 254 P.C. Olvera & J.L. Lma Tang. à Curva de Retenção, Cond. e Df. Hdráulca - Area A..0 Tangente Tang. à curva à curva de retenção de retenção Condutvdade Cond. hdráulca hdráulca Dfusvdade Df. hdráulca hdráulca Dfusvdade Hdráulca Admensonal.0 γ C Gama*deltau U 5 5 γ Gama*deltau 5 C U 5 γ Gama*deltau 50 C U 50 Tang. à Curva de Retenção, Cond. e Df. Hdráulca - Latossolo B..0 Tang. à curva de retenção Cond. hdráulca Df. hdráulca.0 Umdade (U - Uo)/(Usat - Uo) Fgura 2. Curvas de condutvdade hdráulca, tangente à curva de retenção e dfusvdade hdráulca para area marnha (A) e latossolo (B) Pode-se observar, na Fgura 3, que para altos valores de γ C U, um elemento de solo se comporta de forma a absorver toda a umdade que nele chega, solando o elemento segunte, até que se atnjam altos valores de umdade, pos o valor da dfusvdade somente se afasta de zero perto da saturação. Este procedmento vsa facltar a smulação numérca da nfluênca das váras combnações possíves entre os dos parâmetros Γ e PAS, presentes na equação dferencal de governo, sem a necessdade de dados específcos orundos de dferentes tpos de solo. RESULTADOS E DISCUSSÃO Aplcação do esquema de dscretzação a problemas teste Os problemas-teste, a segur, foram construídos de forma a se mostrar o comportamento da equação dferencal de governo.0 Umdade (U - Uo)/(Usat - Uo) Fgura 3. Dfusvdade hdráulca admensonal Γ em função da umdade com relação a dferentes combnações dos parâmetros γ C U e PAS. Concomtantemente, será avalado o desempenho de cada esquema de dscretzação, em função dessas combnações. Problema-teste Infltração vertcal undmensonal de água em solo nãosaturado, para um valor de γ C U gual a 3,5 e PAS gual a um. O domíno do tempo τ fo feto gual a 25 e dvddo em 2000 partes. O domíno em Z fo feto gual a 0,30. Foram comparadas malhas de 25 e 50 volumes de controle sob os dos esquemas (Df. Central e Splne) utlzando-se a malha de 00 volumes de controle com o esquema de Dferença Central, aqu consderado como uma solução de referênca, no sentdo de apontar o comportamento do fenômeno. A condção ncal do solo é (Z, τ 0) 0,0 e as condções de contorno são (Z 0, τ > 0),0 e (Z 0,25, τ > 0) 0,0. Observa-se, na smulação numérca e tendo em vsta os resultados gráfcos apresentados na Fgura 4, uma precsão menor para o esquema de Dferenças Centras, devdo ao fato de que, no caso de grandes valores do parâmetro γ C U, o fenômeno assume comportamento em degrau, gerando grande gradente na frente de molhamento e dfcultando sua smulação. Observa-se que uma malha de 50 volumes de controle com o esquema Flux-Splne, fornece boa aproxmação do resultado obtdo com o esquema de Dferença Central com malha de cem volumes de controle (referênca), mplcando em menor esforço computaconal, prncpalmente em problemas multdmensonas transentes. Com o objetvo de mostrar a domnânca do comportamento exponencal da dfusvdade hdráulca sobre a equação de governo, a Fgura 5 demonstra, usando-se 50 volumes de controle e esquema Flux-Splne, a pequena nfluênca, neste caso, do parâmetro PAS sobre a frente de molhamento. R. Bras. Eng. Agríc. Ambental, Campna Grande, v.7, n.2, p , 2003

5 Smulação numérca de movmento de água em solo não-saturado 255 Profunddade Admensonal - Z z/lc vcs vcs -- df. central vcs vcs -- df. central vcs -- df. central vcs vcs - - splne vcs vcs - splne -.0 Umdade (U - Uo)/(Usat - Uo) Fgura 4. Umdade em função de Z para γ C U 3,5, τ 25 e PAS 0 com malhas de 0 e 30 volumes de controle. Na solução de referênca utlzou-se o esquema de Dferenças Centras com 20 volumes de controle. Para o tempo admensonal τ 0,25 dvddo em 240 ntervalos, obteve-se a solução descrta pela Fgura 6. Os demas problemas-teste serão resolvdos para este tempo. Profunddade Admensonal - Z z/lc vcs vcs - dc - dc vcs vcs - dc - dc vcs vcs - dc - dc 0 0 vcs vcs - splne vcs vcs - splne - splne Profunddade Admensonal - Z z/lc PAS PAS PAS Umdade (U - Uo)/(Usat - Uo) Fgura 6. Umdade em função de Z, para PAS 0 4,94, τ 0,25 e PAS Observa-se, na Fgura 6, que para esses valores de PAS 0 e PAS, o refnamento das malhas, tanto para Dferença Central como para Flux-Splne, conduz rapdamente a uma solução bastante aproxmada daquela tda como referênca devdo ao comportamento suave do fenômeno. O esquema Flux-Splne mostra-se para determnada malha, sempre mas próxmo da solução de referênca que o esquema de Dferenças Centras, confrmando novamente, neste caso, seu melhor desempenho Umdade (U - Uo)/(Usat - Uo) Fgura 5. Influênca de PAS sobre a posção do degrau para PAS 0 3,5 Os problemas-teste adante são propostos com o objetvo de se avalar o desempenho numérco dos esquemas de dscretzação para váras combnações dos parâmetros PAS 0 e PAS, que podem surgr durante a smulação de um caso real, em que os mesmos varam com a umdade, ao longo do espaço e do tempo. Problema-teste 2 Infltração vertcal undmensonal de água em solo nãosaturado, mpondo-se saturação em Z0, para um valor de PAS 0 4,94 e PAS. As condções, ncal e de contorno, são as mesmas do caso anteror. A solução numérca fo executada utlzando-se os esquemas de Dferença Central e Flux-Splne, Problema-teste 3 Infltração vertcal undmensonal de água em solo nãosaturado, a partr de mposção de saturação em Z gual a zero e Z gual a um, para PAS 0 4,94 e város valores de PAS. - Condção ncal: (Z, τ 0) 0,0 - Condções de contorno: (Z 0, τ > 0),0 e (Z, τ > 0),0 Vsto seu melhor desempenho, confrmado nos casos anterores, utlzou-se o esquema Flux-Splne com uma malha de 200 volumes de controle e 240 ntervalos de tempo, para geração das soluções para PAS gual a um, dez e qunze. A Fgura 7 mostra o comportamento do fenômeno para a combnação de baxo valor de PAS 0, em função da varação do parâmetro PAS. Valores menores de PAS 0 ao lado de valores altos de PAS, confguram um fenômeno onde o potencal gravtaconal se sobrepõe ao potencal mátrco. A ação de PAS é, neste caso, afastar a curva de qualquer smetra. Note-se R. Bras. Eng. Agríc. Ambental, Campna Grande, v.7, n.2, p , 2003

6 256 P.C. Olvera & J.L. Lma que, para valores menores de PAS, a curva tende a ser smétrca e o fenômeno passa a ser novamente domnado por dfusão pura. Profunddade Admensonal - Z z/lc Umdade (U - Uo)/(Usat - Uo) Fgura 7. Curva de umdade para τ 0,25, PAS 0 4,94 e alguns valores de PAS PAS PAS 0 0 PAS 5 5 Problema-teste 4 O objetvo deste problema fo verfcar as dfculdades na smulação numérca de problemas de nfltração de água no solo governados pelo potencal gravtaconal. A avalação dos esquemas de Dferença Central e Flux-Splne para nfltração de água em solo não saturado, com PAS 0 gual a 4,94 e PAS gual a 5, será conduzda para váras malhas, de forma a se vsualzar, neste caso, o desempenho dos dos esquemas. As condções de contorno e ncal são as mesmas do caso anteror. Profunddade Admensonal - Z z/lc dc - 0 vcs dc - 30 vcs Umdade (U - Uo)/(Usat - Uo) Fgura 8. Comportamento numérco com τ 0,25, PAS 0 4,94 e PAS Splne - 0vcs Splne - 30 vcs 0..0 referênca vcs A Fgura 8 mostra a dfculdade dos esquemas de Dferença Central e Flux-Splne para se aproxmarem da solução de referênca, aqu obtda com 240 volumes de controle. Nota-se que, para uma mesma malha, o esquema Flux-Splne está mas próxmo da solução de referênca que o esquema de Dferença Central. CONCLUSÕES. Os resultados das smulações numércas confrmam o bom desempenho do esquema Flux-Splne para problemas dfusvos undmensonas transentes não-lneares, em comparação com o tradconal esquema de Dferença Central usado por grande parte da lteratura de volumes fntos e dferenças fntas. 2. Dependendo da combnação entre os dos parâmetros admensonas, denomnados Γ e PAS, é necessáro o emprego de malhas mas refnadas para um tratamento numérco adequado da equação que governa o fenômeno de nfltração de água no solo. 3. No modelo aqu apresentado, o formato da frente de molhamento é governado pelo valor de PAS 0, pos o mesmo defne o comportamento exponencal da dfusvdade hdráulca Γ. Para baxos valores do parâmetro PAS 0, a frente sofre nfluênca marcante do parâmetro PAS. LITERATURA CITADA Bacch, O.O.S.; Corrente, J.E.; Rechardt, K. Análse comparatva de dos métodos smplfcados de determnação da condutvdade hdráulca de solos. Revsta Braslera de Cênca do Solo, Campnas, v.5, n.3, p , 99. Centuron, J.F.; Androl, I. Regme hídrco de alguns solos de Jabotcabal. Revsta Braslera de Cênca do Solo, Campnas, v.24, n.4, p , Neckele, A.O. Development and evaluaton of numercal schemes for the soluton of convecton-dffuson equatons. Unversty of Mnnesota, St. Paul, 985, 296p, PhD Thess Olvera, P.C. Esquema FLUX-SPLINE aplcado em cavdades abertas com convecção natural. Campnas: UNICAMP, p. PhD Thess Olvera, P.C. Esquema Flux-Splne aplcado a problemas dfusvos trdmensonas em regme permanente. Revsta Braslera de Engenhara Agrícola e Ambental, Campna Grande, v.3, n.3, p , 999. Patankar, S.V. Numercal heat transfer and flud flow. New York: Hemsphere Publshng Corporaton, New York, p. Prevedello, C.L. Físca dos solos com problemas resolvdos. a ed. Curtba: C.L, p. Prevedello, C.L.; Balena, S.P. Efeto de polímeros hdrorretentores nas propredades físco-hídrcas de dos meos porosos. Revsta Braslera de Cêncas do Solo, Campnas, v.24, n.4, p , R. Bras. Eng. Agríc. Ambental, Campna Grande, v.7, n.2, p , 2003

7 Smulação numérca de movmento de água em solo não-saturado 257 van Genuchten, M. A closed-form equaton for predctng the hydraulc conductvty of unsaturated sols. Sol Scence Socety Amercan Journal, v., p , 980. Varejão, L.M.C. Flux-Splne method for heat, mass and momentum transfer. Unversty of Mnnesota, St. Paul, p. Ph.D. Thess Varejão, L.M.C.; Patankar, S.V.; Kark, K.C. Flux-Splne method for convecton-dffuson problems. In: Smpóso Mnero de Mecânca Computaconal, Belo Horzonte, MG, p.6-74, 99a. Varejão, L.M.C.; Patankar, S.V.; Kark, K.C. Flux-Splne method for conducton-type problems. In: Smpóso Mnero de Mecânca Computaconal, Belo Horzonte, MG, p b. R. Bras. Eng. Agríc. Ambental, Campna Grande, v.7, n.2, p , 2003