MÉTODO MULTIGRID DE CORREÇÕES ADITIVAS PARA A SOLUÇÃO NUMÉRICA ACOPLADA DAS EQUAÇÕES DE NAVIER- STOKES COM MALHAS NÃO-ESTRUTURADAS

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1 CMNE/CILAMCE 2007 Porto, 3 a 5 de Junho, 2007 APMTAC, Portugal 2007 MÉTODO MULTIGRID DE CORREÇÕES ADITIVAS PARA A SOLUÇÃO NUMÉRICA ACOPLADA DAS EQUAÇÕES DE NAVIER- STOKES COM MALHAS NÃO-ESTRUTURADAS Suse Crstne Keller *, Jonas Cordazzo 2, Clovs Ramundo Malska 3 e Tago Zolet 4 SINMEC Laboratóro de Smulação Numérca em Mecânca de Fludos e Transferênca de Calor Departamento de Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Santa Catarna UFSC Campus Unverstáro - Trndade Floranópols, SC, Brasl : suse@snmec.ufsc.br 2: jonas@snmec.ufsc.br 3: malska@snmec.ufsc.br 4: zolet5@yahoo.com.br Palavras-chave: Multgrd de Correções Adtvas (ACM), Método dos Volumes Fntos baseado em Elementos, equações de Naver-Stokes, solução acoplada. Resumo. A forma de promover a aglomeração dos volumes de controle em métodos multgrd algébrcos deve levar em consderação os coefcentes de conectvdade entre estes volumes. Quando um sstema de equações dferencas parcas é resolvdo, como ocorre quando as equações de Naver-Stokes são consderadas, exstem dversos coefcentes que podem ndcar a ansotropa do sstema lnear. Neste trabalho o método multgrd de correções adtvas (ACM) é aplcado ao problema do escoamento bdmensonal consderando dversas formas de aglomeração. As equações são dscretzadas pelo método EbFVM de forma acoplada. As dferentes formas de aglomerar foram comparadas entre em busca de ndcações para melhorar o rendmento do método multgrd desenvolvdo.

2 . INTRODUÇÃO Consderando a resolução de problemas de mecânca de fludos e transferênca de calor, pode-se ver que a taxa de convergênca dos métodos de solução do sstema lnear (solvers) é relatvamente alta no níco do processo, mas deca e acaba estagnando. O rápdo decrescmento do erro durante as prmeras terações deve-se ao fato que o solver elmna efcentemente, na malha mas fna, as componentes de alta freqüênca do erro (aquelas com comprmento de onda da ordem do tamanho do espaçamento da malha) restando as de baxa freqüênca (com comprmento de onda de ordem maor que o tamanho do espaçamento da malha) as quas são dfíces de remover. Salenta-se que a defnção do que são altas ou baxas freqüêncas de erro está ntmamente lgada ao grau de refnamento da malha utlzada. Como alternatva para este problema surgem os métodos multgrd, cuja déa básca é a utlzação de uma seqüênca de malhas juntamente com solvers teratvos a fm de reduzr todas as componentes de freqüênca de erro presentes na obtenção da solução de um sstema lnear. Na malha fna (orgnal), os modos de alta freqüênca de erro são efetvamente reduzdos, mas os de baxa freqüênca são dfíces de remover, sendo necessáras váras malhas grossas para atngr este objetvo. No método Multgrd de Correções Adtvas (ACM) [], utlzado neste trabalho, a dscretzação do sstema de equações lneares é efetuada somente na malha orgnal, enquanto que as equações das malhas grossas são geradas através do uso das equações do nível de malha medatamente superor (malha mas fna) e as soluções (correções) obtdas nas malhas grossas são smplesmente adconadas à solução da malha mas fna. Anda o método ACM possblta a utlzação da aglomeração adaptatva das células (volumes de controle). Este tpo de aglomeração é baseado nos coefcentes e leva em conta o efeto que a ansotropa deles causa no desempenho dos métodos numércos ([2], [3] e [4]). Um alto grau de ansotropa dos coefcentes causa escalas de tempo de propagação da nformação bastante dferentes, o que afeta drastcamente o comportamento da convergênca. Assm, no método ACM são adconadas as células com escalas de tempo de transporte de nformação de valor semelhante, reduzndo ou elmnado a grande varação entre as menores e as maores escalas de tempo de transporte de nformação nas células das malhas grossas. Dversos autores já empregaram este método na resolução de dferentes problemas físcos ([2], [5] e [6]). Para testar todas as potencaldades do método ACM é necessáro um método robusto para a aproxmação do sstema de equações. Para sso fo escolhdo o método de Volumes Fntos baseado em Elementos (EbFVM), o qual caracterza-se por ser um método conservatvo além de possbltar o uso de malhas não-estruturadas dscretzadas por elementos de dversos formatos [4]. Outro fator a ser consderado é a forma como será resolvdo o sstema lnear: acoplado ou segregado. Fo escolhda a solução acoplada do sstema de equações, pos à medda que todas as varáves de nteresse são avançadas ao mesmo tempo, o problema de acoplamento entre as varáves desaparece tornando o procedmento de solução mas estável e robusto em termos de convergênca. Assm, busca-se crar um solver robusto para a solução de problemas de escoamento que contemple a representação de geometras complexas através do uso de malhas não- 2

3 estruturadas, que respete a conservação das propredades físcas do escoamento e que resolva problemas grandes e complexos de engenhara de forma rápda e estável. 2. MÉTODO MULTIGRID DE CORREÇÕES ADITIVAS (ACM) O método Multgrd de Correções Adtvas (ACM) dfere dos métodos multgrd tradconas por gerar as equações da malha grossa sem o uso de operadores de nterpolação e restrção, pelo menos não no formato que estes são apresentados nos métodos multgrd clásscos. Como já menconado, no ACM é executada a adção das equações a fm de formar-se um bloco (novo volume de controle) obtendo assm uma nova malha, mas grossa. Nesta malha é calculada uma correção para o todo o bloco I (Fg. ), φ, a qual é somada à solução φ da malha do nível superor (mas fna) para a obtenção de φ ~, que é a solução corrgda. Como no método ACM as equações da malha grossa são obtdas somente adconando os coefcentes da malha fna, a aglomeração adaptatva (que leva em conta o grau de ansotropa dos coefcentes) é uma boa alternatva a ser testada, pos ela possblta a aglomeração na dreção do coefcente "forte" (maor) acelerando a solução do sstema lnear na malha grossa. * I Fgura Exemplo de aglomeração adaptatva em uma malha não-estruturada. A dedução da equação de correção tanto para malhas estruturadas como não-estruturadas é mostrada a segur. Consderando o sstema de equações escrto na forma A φ = A φ + b, () p nb nb nb onde A p é o coefcente central do volume de controle na equação para φ, A nb são os coefcentes que conectam o volume de controle aos volumes de controle vznhos, b é o 3

4 termo fonte e φ é a solução procurada. Os coefcentes da Eq. () podem ser obtdos pela aplcação do método de Volumes Fntos (FVM) ou pela aplcação do método de Volumes Fntos baseado em Elementos (EbFVM) a malhas estruturadas ou não-estruturadas [4]. Assm é defnda a equação da correção, cuja função é adconar as correções obtdas na malha grossa (φ * ) às melhores estmatvas de φ para cada volume da malha fna φ = φ + φ, (2) * I, onde * φ é a solução melhorada em cada volume e φ I, é a correção relaconada com todos os volumes que stuam-se no mesmo bloco I. Forçando a solução corrgda a ter resíduo zero (a fm de manter a conservação global das * propredades calculadas) é obtdo o sstema lnear para φ onde I, A Assm nb * * * * * p p NB NB p nb I, A φ = A φ + b, (3) b * p = r, (4) I, A = A A * P p nb I, A, (5) * NB = A, (6) I, nb A nb representa a conexão entre os volumes dentro do mesmo bloco e representa a conexão entre os volumes de blocos vznhos. * A Eq. (3) deve ser resolvda a fm de obter-se a correção φ I,, a qual é adconada a cada valor φ dos volumes de controle stuados dentro do bloco I. Assm, como já menconado a estmatva "melhorada" φ é obtda. Maores detalhes do método ACM podem ser encontrados nas referêncas [] e [4]. 3. AGLOMERAÇÃO ADAPTATIVA Como já comentado na seção anteror o prncípo do algortmo de aglomeração consste em adconar células com escalas de tempo de transporte de nformação "pequenas" (coefcentes "grandes") a fm de melhorar o desempenho do solver utlzado. O esquema de aglomeração adaptatvo começa com uma únca célula na malha fna e através de um conjunto de regras determna quas as células vznhas devem ser ncluídas em cada novo bloco da malha grossa. Os novos membros da célula (bloco) grossa são 4

5 examnados para determnar quas dos seus vznhos devem ser ncluídos, e assm sucessvamente até que a célula grossa alcance o tamanho desejado, ou não haja mas nenhum vznho a ser adconado. Utlzando a nomenclatura proposta por [2] a célula da malha fna cujos vznhos estão sendo examnados é conhecda como pa, e estes vznhos são conhecdos como flhos. E o pa do corrente pa é conhecdo como avô. O processo nca com a escolha de um novo pa. Para smplfcar, os prmeros pas de cada novo bloco são seleconados na mesma ordem de varredura do solver teratvo. É procurada uma célula que possu o maor coefcente de lgação com a célula pa, que aqu será denomnada de possível flho. Se esta é encontrada, é efetuada a prmera aglomeração. No momento da prmera aglomeração é defnda que a antga célula pa torna-se célula avô. A célula flho torna-se novo pa. Em seguda é efetuado o teste se o número de células aglomeradas no bloco é menor que um número pré-defndo de células por bloco. Se sm, o processo de aglomeração contnua. Segundo o esquema, agora é feta uma nova procura pelo melhor flho, se ele exste. Exstem duas possbldades de escolha do melhor flho : a prmera é a célula que possu boa posção geométrca no bloco e anda um grande coefcente de conexão com a célula "pa", sendo denomnada de S2. Se não for possível obter uma célula com boa posção geométrca, o melhor flho fca sendo a célula com a maor conexão com a célula pa, o S. A condção de boa posção geométrca no bloco refere-se ao fato da célula ter outros vznhos no bloco além do pa. De qualquer forma, a célula escolhda deve obrgatoramente satsfazer duas regras fundamentas. A prmera regra (Eq. (7)) estabelece que o coefcente que conecta o pa com o possível flho deve ser da mesma ordem ou maor que a metade do valor do coefcente que conecta o pa com o avô, ou seja, ( Afs Asf ) ( Agf Afg ) max, max, / 2, (7) onde o subscrto f representa a célula pa, s a célula possível flho e g a célula avô. Se esta regra for satsfeta parte-se para efetuar o teste da segunda regra. Um possível flho pode ser aglomerado com o pa se o coefcente que conecta o pa com o possível flho é da mesma ordem ou maor que metade do valor do coefcente que conecta o possível flho com seu melhor vznho, conforme pode ser vsto na Eq. (8) abaxo ( Afs Asf ) ( Asn Ans ) max, max, / 2, (8) onde novamente o subscrto f representa a célula pa, s a célula possível flho e n a célula melhor vznho. No caso do possível flho S2, anda é necessáro que o coefcente que o conecta com o "pa" seja maor que o coefcente que conecta o possível flho S com o "pa" dvddo por quatro. Isto para garantr que a célula além de estar bem posconada no bloco, tenha um coefcente de conexão relatvamente grande. Assm, este procedmento contnua até a célula grossa atngr o tamanho especfcado ou 5

6 não ter mas vznhos a serem adconados. Então, um novo pa é escolhdo dando orgem a uma nova célula (bloco) grossa e o processo aglomeração contnua até que a últma célula seja examnada. Segundo este procedmento de aglomeração é possível que tenham restado células que não satsfzeram as regras e não foram aglomeradas em nenhum bloco. Para elmnar este grande esforço computaconal com essas células soznhas, estas são forçadas a juntar-se à célula (bloco) da malha grossa de seu vznho com o qual possuem a mas forte conexão. O tamanho do agrupamento é outro fator que deve ser consderado. Tpcamente a aglomeração do multgrd clássco cra células grossas com blocos de 2x2 células. Assm fazendo-se um paralelo, pode-se crar aglomerações com quatro ou cnco células. Anda, o uso de agrupamentos com um pequeno número de células faz com que o valor da correção para o bloco seja menos dstorcdo. Assm, são necessáros város níves herárqucos de malhas grossas dependendo prncpalmente de quão fna é a malha orgnal. Consderando um problema de condução de calor onde temos somente uma varável a ser calculada fca óbva a escolha de qual coefcente do volume de controle consderado será utlzado como base para efetuar a aglomeração, porém no caso de problemas acoplados o esquema de aglomeração das células deve ser feto baseado nos coefcentes da varável ou nos coefcentes do conjunto de varáves que melhor represente o problema físco e as demas varáves presentes no problema são aglomeradas segundo o mesmo esquema. No caso de problemas de escoamentos, a varável mas mportante, geralmente, é a pressão, porém são fetos testes utlzando todas os coefcentes presentes na matrz do volume de controle além de normas, traço e determnante desta matrz de coefcentes para comprovar quas técncas trarão melhores resultados. No próxmo tem serão explcados alguns esquemas de aglomeração que foram testados. 3. Esquemas de aglomeração em problemas acoplados Consderando um problema de escoamento bdmensonal, onde o conjunto de equações (equações da conservação da quantdade de movmento lnear nas dreções x e y e equação de conservação da massa) é aproxmado de forma acoplada obtém-se um sstema de 3xN equações a 3xN ncógntas (com N gual ao número de volumes de controle). Este sstema lnear é dvddo em "blocos" onde cada um dos blocos representa um dos volumes de controle com seus nove coefcentes. A matrz de coefcentes e os vetores das ncógntas e dos termos ndependentes são mostrados na Eq. (9) abaxo [ A] = uu uv up [ A ] [ A ] [ A ] vu vv vp [ A ] [ A ] [ A ] Pu Pv PP [ A ] [ A ] [ A ] u u B v φ = B. (9) P P B [ ] = v [ B] Tem-se a tarefa de escolher entre os nove coefcentes da matrz A (da Eq. (9) acma) ou entre alguma possível combnação que envolva estes coefcentes, qual será o valor base 6

7 utlzado para realzar a aglomeração. Neste trabalho foram testados os nove coefcentes da matrz acma, além de alguns tpos de normas, traço e o determnante de matrz, os quas são vstos em mas detalhes a segur. 3.. Norma de Frobenus A norma de Frobenus de uma matrz é defnda por A F m n 2 2 aj. (0) j= = = Esta norma pode ser vsta como a norma 2 da coluna (ou lnha) de um vetor. No caso da matrz A, consste no somatóro de todos os elementos da matrz elevados ao quadrado, sendo então extraída a raz do somatóro. A norma de Frobenus também pode ser defnda da segunte forma H H ( ) ( ) 2 2 A = tr A A = tr AA F. () onde A H é a matrz hermtana e tr é o traço da matrz. Como os coefcentes das matrzes utlzadas neste trabalho são sempre números reas, a equação acma pode ser escrta como T T ( ) ( ) 2 2 A = tr A A = tr AA F. (2) onde A T é a matrz transposta. Os resultados obtdos por meo da aplcação da Eq. (0) ou da Eq. (2) são os mesmos, porém o que dfere é o tempo de computação necessáro para efetuar um procedmento ou outro. O procedmento apresentado na Eq. (2) acaba sendo mas custoso computaconalmente do que o procedmento da Eq. (0) Norma da Soma (colunas): A norma da soma de uma matrz é defnda por A n = max a. (3) j=,..., m = e corresponde ao máxmo dos somatóros dos módulos dos elementos das colunas. j Matrz hermtana é uma matrz complexa que satsfaz à segunte relação: a j = a j, onde a j é o complexo conjugado de a j. O traço de uma matrz é defndo como o somatóro dos elementos da dagonal prncpal da matrz. 7

8 3..3 Norma do Máxmo (lnhas): A norma do máxmo de uma matrz é defnda por A m = max a. (4) =,..., n j = e corresponde ao máxmo dos somatóros dos módulos dos elementos das lnhas Norma Eucldana: A norma eucldana de uma matrz é defnda por H H ( ) ρ( ) j 2 2 A = ρ A A = AA 2 onde ρ(a) desgna o rao espectral da matrz A. O rao espectral de uma matrz A é defndo como ( A) = =,...,. (5) ρ max λ. (6) onde λ,..., λ n são os autovalores de A. Assm, o rao espectral de uma matrz é defndo como o maor autovalor dessa matrz Traço da matrz n O traço de uma matrz quadrada, de ordem n, é gual à soma dos elementos da sua dagonal prncpal. Assm n tr( A) = a. (7) = 3..6 Determnante da matrz Consderando uma matrz A no formato a a a A a a a [ ] 2 3 = a3 a32 a 33 O determnante de uma matrz 3x3 pode ser calculado por. (8) det ( A) = aa22a33 + a2a23a3 + a3a2a32 a3a22a3 aa23a32 a2a2a33. (9) No próxmo tem será mostrado o esquema numérco o qual será utlzado para aproxmar 8

9 o sstema de equações e no qual o método ACM com aglomeração adaptatva será testado. 4. MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS BASEADO EM ELEMENTOS (EbFVM) O método de Volumes Fntos baseado em Elementos (Element based Fnte Volume Method EbFVM) ([4] e [7]) fo o método escolhdo para efetuar a aproxmação das equações utlzadas para resolver os problemas de escoamento de fludos e transferênca de calor. Neste método, o domíno computaconal é coberto por elementos, sendo que a partr destes são construídos os volumes de controle. Os volumes de controle são crados utlzando-se o método das medanas, o qual consste em juntar-se o centro dos elementos com as suas medanas. O volume de controle resultante é, então, formado por subvolumes de controle (SVC) de elementos vznhos. Os fluxos obtdos da ntegração das equações de conservação são avalados nos pontos de ntegração. Quanto mas pontos de ntegração na superfíce do volume de controle, mas bem aproxmada estará a equação. Váras regras de ntegração podem ser usadas para representar melhor os fluxos na superfíce usando pontos de ntegração e esquemas de nterpolação. Para que o esquema numérco permta a varredura por elementos, o cálculo de qualquer propredade ou nformação geométrca no ponto de ntegração deve depender somente dos valores da varável e dos dados geométrcos armazenados nos nós os quas defnem o elemento. Na Fg. 2 temos um exemplo de uma geometra dscretzada por quadrláteros, enfatzando as dferenças entre elementos (quadrláteros) e volumes de controle, os quas são construídos ao redor dos nós da malha. O elemento é defndo por meo das coordenadas dos nós da malha e nos nós estão armazenadas as ncógntas do problema. Fgura 2 Elemento e volume de controle no EbFVM. Cada elemento na malha é tratado de forma ndvdual no EbFVM não mportando quão dstorcdo o elemento possa estar em termos de coordenadas globas. Isto é possível devdo ao uso de coordenadas locas. Para escoamentos bdmensonas sem transferênca de calor, como é o caso do problema da cavdade com tampa móvel, aqu analsado, as equações apresentam-se no segunte formato 9

10 ( ρ ) x y ( ρu) + ( ρv) = 0, (20) u + ( ρuu) + ( ρ vu) = P + µ u u µ u v t x y x x x x, (2) y y x ( ρ ) v ( uv) ( vv) P v u ρ ρ µ µ v v + + = , (22) t x y y x x y y y y Nas Eqs. (2) e (22) pode-se notar a presença de uma parcela a mas do tensor tensão. Esta parcela podera ter sdo smplfcada, porém fo mantda com o objetvo de manter mplctamente nas equações da quantdade de movmento a nfluênca das duas componentes do vetor velocdade (em um problema bdmensonal). A presença de todas as componentes do vetor velocdade em todas as equações é mportante pos permte o acoplamento entre as equações quando não se deseja empregar métodos segregados de solução para o tratamento do acoplamento pressão-velocdade. A dscretzação das equações dferencas sobre os volumes de controle pode ser obtda por meo da ntegração das equações dferencas na forma conservatva sobre o volume de controle. Escrevendo as Eqs. (20), (2) e (22) em um formato geral ( ρφ ) φ φ φ ( ) + ρu jφ = Γ t x j x j x j E efetuando a ntegração sobre a Eq. (23), tem-se + S ( ρφ ) dv ( u j ) dv φ φ φ + ρ φ = Γ dv S dv + V t V x v j x j x j, (23) v. (24) Agora utlzando o teorema da dvergênca de Gauss, os termos advectvos e dfusvos podem ser representados sob a forma de ntegral de área ao nvés de volume. Assm a Eq. (24) assume a forma e obtém-se V ( ρφ ) ( ) φ φ + Γ φ dv ρu jφ dn j dn j S dv = 0 t S S o o MPφP MPφ P φ φ φ + ( ρujφ) n j nj S V 0 t Γ =, p p p x (26) j p onde o sub-índce P representa o nó consderado, p são os pontos de ntegração, M p é a massa x j v (25) 0

11 no volume de controle, o sobrescrto "o" sgnfca o valor no tempo anteror e n j é defndo como y quando j= e - x quando j=2. A equação para cada volume de controle é obtda pelo somatóro dos subvolumes de controle relaconados a cada nó. Na Fg. 3 tem-se uma malha de quatro elementos, cada qual sendo dvddo em quatro partes pelo método das medanas, dando assm orgem aos subvolumes de controle que formam cada um dos elementos consderados. Fgura 3 Representação do volume de controle e dos elementos envolvdos na sua formação. Quanto às funções de nterpolação empregadas no EbFVM para avalar as funções e dervadas nos pontos de ntegração da Eq. (26), optou-se neste trabalho pela utlzação do método FIELDS (Fnte Element Dfferental Scheme) cujas referêncas são encontradas em [4] e [7]. A razão para a escolha deste método fo este propõe as própras equações do movmento como funções de nterpolação para as varáves armazenadas nos pontos de ntegração, fazendo com que os efetos da físca do escoamento sejam ncorporados. 5. RESULTADOS O problema da cavdade com tampa móvel é um problema bastante mportante para a valdação de códgos computaconas pos, apesar de ser um problema bastante smples, possu as prncpas dfculdades encontradas em soluções numércas como o tratamento do acoplamento pressão-velocdade e das não-lneardades presentes no problema, prncpalmente, devdo aos termos advectvos. Para avalar o desempenho do método ACM, dferentes stuações físcas e parâmetros do multgrd serão empregados e testados no problema da cavdade com tampa móvel, como Malhas não-estruturadas com 089, 2627, 067, 2568 e volumes; Números de Reynolds 00, 400 e 000; Cclos multgrd: V, W e F; Solvers nternos do multgrd: Gauss-Sedel (ACM/GS) e ILU (ACM/ILU), sendo que no últmo nível (malha mas grossa) é utlzado o solver dreto LU; Funções de aglomeração do multgrd. 5. Cavdade com tampa móvel com número de Reynolds gual a 00 Neste prmero teste são comparados os resultados do multgrd obtdos com os cclos V,

12 W e F. Para sso é necessáro que alguns parâmetros sejam defndos a fm de tornar essa comparação possível como, por exemplo, o número máxmo de células na malha grossera, que defnrá quando o solver dreto passa a ser empregado. Alguns testes prelmnares mostraram que a escolha de 60 células (volumes) como número máxmo de células para utlzar o solver dreto gerou bons resultados, então esse parâmetro fo escolhdo. Da mesma forma fo necessáro defnr o número de células da malha fna que dão orgem a um bloco (célula) da malha grossa. Este número fo defndo gual a 4. O procedmento de aglomeração fo realzado somente no níco do processo (com base no prmero sstema lnear), e o coefcente escolhdo como crtéro para efetuar a aglomeração é o coefcente da varável pressão da equação de conservação da massa. Este coefcente fo escolhdo porque no caso de problemas de escoamentos a varável mas representatva é, geralmente, a pressão e também com base em nformações obtdas na lteratura uma vez que esse coefcente fo utlzado por Raw [5] em seus trabalhos apresentando bons resultados. Por fm, o resíduo máxmo permtdo na solução do sstema lnear é 0-5. Utlzando o solver Gauss-Sedel como solver nterno do método ACM (ACM/GS), obtém-se os resultados mostrados na Fg. 4(a), onde na ordenada tem-se o tempo de processamento e na abscssa tem-se o número de volumes de controle de cada uma das 5 malhas empregadas. Traçando a reta de tendênca para ACM/GS cclo W, que é o cclo que obteve os melhores resultados, tem-se y = 7E-04x,424 e R 2 =,o que concorda com a lteratura que aponta os métodos multgrd como aceleradores de convergênca que levam os solvers teratvos a tornarem-se de prmera ordem (O (n )), onde n é o número de nós da malha fna. Já para GMRES, y = 6E-07x 2,68 e R 2 = 0,99. Partndo-se para o uso do solver nterno ILU, a reta de tendênca encontrada para o ACM/ILU cclo W é y = 7E-04x,589 com R 2 =. Seus resultados são mostrados na Fg. 4(b). Tempo de Processamento (s) y = 6E-07x 2, y = 7E-04x,424 ACM/GS cclo V ACM/GS cclo W ACM/ILU cclo F GMRES Reta de Regressão de GMRES Reta de Regressão ACM/GS cclo W Tempo de Processamento (s) ACM/ILU cclo V ACM/ILU cclo W ACM/ILU cclo F GMRES Reta de Regressão ACM/ILU cclo W Número de Volumes de Controle y = 7E-04x, Número de Volumes de Controle (a) (b) Fgura 4 Comparação entre o solver GMRES e os dferentes cclos de ACM para cavdade Re = 00: (a) ACM/GS e (b) ACM/ILU. Na Fg. 5 é mostrada a comparação entre os métodos ACM/GS e ACM/ILU, para o cclo W, pos este obteve os melhores resultados. Para este caso onde o número de Reynolds consderado é baxo, o método ACM/GS mostrou ser a melhor opção. 2

13 Tempo de Processamento (s) Número de Volumes de Controle ACM/GS Cclo W ACM/ILU Cclo W GMRES Fgura 5 Comparação entre o solver GMRES e os métodos ACM/GS cclo W e ACM/ILU cclo W para cavdade Re = 00. No próxmo teste são comparados os esquemas de aglomeração que foram mplementados a fm de decdr qual coefcente ou conjunto de coefcentes será escolhdo como base para efetuar-se a aglomeração. Até agora, em todos os testes fo utlzado o coefcente da varável pressão da equação de conservação da massa, o A pp da Eq. (9). A partr desse momento serão testadas as outras possbldades apresentadas no tem 3. Na Tab. assoca-se um parâmetro numérco correspondente a cada esquema de aglomeração defnda neste trabalho. Quando for referencado o esquema de aglomeração, por exemplo, sabe-se que fo utlzada a norma da soma da matrz como crtéro de aglomeração. Parâmetro para a Aglomeração Coefcente 2 Coefcente 3 Coefcente 4 Coefcente 5 Coefcente 6 Coefcente 7 Coefcente 8 Coefcente 9 Coefcente Defnção da aglomeração uu A da matrz do volume de controle. uv A da matrz do volume de controle. up A da matrz do volume de controle. vu A da matrz do volume de controle. vv A da matrz do volume de controle. vp A da matrz do volume de controle. Pu A da matrz do volume de controle. Pv A da matrz do volume de controle. PP A da matrz do volume de controle. 0 A norma de Frobenus defnda como A norma da soma A = max aj. j,..., = n m = A F m n 2 2 aj. j= = = 3

14 Parâmetro para a Aglomeração 2 A norma do máxmo A Defnção da aglomeração m = max a. =,..., n j = H H 3 A norma eucldana A = ( A A) = ( AA ) 4 j ρ ρ. A norma de Frobenus defnda de forma dferencada T T ( ) ( ) 2 2 A = tr A A = tr AA F 5 O traço da matrz tr( A) = a. 6 n =. O determnante da matrz det A = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a. ( ) Tabela Parâmetro numérco correspondente ao tpo de esquema de aglomeração. Outros parâmetros utlzados nesta seção, onde é feta a comparação entre os dversos esquemas de aglomeração, são defndos na Tab. 2. Tpo de cclo multgrd W Solver nterno Gauss-Sedel Número de células máxmo para o solver dreto 60 Número fxo de terações do solver teratvo 5 Número máxmo de cclos 50 Aglomera somente no níco do processo Sm Resíduo máxmo aceto da solução 0-5 Tabela 2 Parâmetros adconas para o método ACM. Os esquemas que apresentaram os melhores resultados na malha mas fna (62883 volumes) foram escolhdos para serem testados nas outras malhas e seus resultados são mostrados na Tab. 3. Nas malhas mas fnas, os esquemas 6 e mostraram os melhores resultados, já nas malhas mas grossas fca dfícl avalar o comportamento dos esquemas, pos os resultados possuem valores muto próxmos. 4

15 Esquema de Aglomeração Malha 089 volumes Malha 2627 volumes Tempo de Processamento (s) Malha 067 volumes Malha 2568 volumes Malha volumes,86 5,33 24,39 66,453 9,375 9,78 4,954 23,093 69,28 24,266 0,734 5,235 24,25 68,766 25,703,828 5,235 24,297 66, ,79 5,234 24,29 69,047 25,82 3,875 5,359 23,547 67,265 29,672 4,766 5,344 24,625 70,32 28,39 5,859 4,969 24,42 69,828 24,5 6,828 5,485 24,437 63,844 89,937 Tabela 3 Tempos de computação para os esquemas de aglomeração em dferentes malhas para o problema da cavdade com tampa móvel com Re = 00. Para este problema também fo testada a realzação do procedmento de aglomeração toda vez que o sstema lnear é modfcado, porém sso não melhorou a efcênca do método multgrd, e por sso esses resultados não são aqu apresentados. Na Fg. 6 é mostrada a malha orgnal e na Fg. 7 são mostrados os três níves de aglomeração da malha de 089 volumes utlzando o esquema de aglomeração 6, o qual obteve os melhores resultados. Pode-se perceber que os volumes de controle das malhas grossas (que foram construídas a partr do processo de aglomeração) apresentam formas bastante rregulares e a aglomeração pode ocorrer pela conexão entre os vértces dos volumes de controle, pos os volumes vznhos não precsam necessaramente estar conectados pelas faces. Na Fg. 7(c) podemos ver algumas dessas aglomerações que aparecem preenchdas com a mesma cor. Fgura 6 Malha orgnal com 089 volumes de controle. 5

16 (a) (b) (c) Fgura 7 Malhas resultantes da aglomeração adaptatva esquema 6 com (a) 336 volumes, (b) com 24 volumes e (c) com 43 volumes. 5.2 Cavdade com tampa móvel com número de Reynolds gual a 400 Utlzando os mesmos parâmetros do problema anteror, ncam-se os testes consderando Gauss-Sedel como solver nterno do método ACM (ACM/GS), cujo desempenho pode ser vsto na Fg. 8(a). O cclo W obteve, novamente, os melhores resultados segudo pelo cclo F e pelo cclo V. Determnando a reta de regressão para ACM/GS cclo W, tem-se y =,2E-03x,425 com R 2 = e para GMRES, y = 7E-07x 2,223 com R 2 = 0,99. Consderando, agora, como solver nterno do método ACM o solver ILU (ACM/ILU) obtém-se os resultados mostrados na Fg. 8(b). Pode-se observar que os três cclos multgrd obtveram resultados muto próxmos. A reta de regressão para o cclo W (que obteve resultados um pouco melhores que os outros cclos) do ACM/ILU é y =,2E-03x,493 com R 2 =. Vale a pena ressaltar que as retas de regressão do ACM/GS cclo W e do ACM/ILU cclo W possuem nclnação muto próxmas como pode ser vsto na Fg. 9, sendo que ACM/GS obteve resultados um pouco melhores ACM/GS cclo V ACM/ILU cclo V Tempo de Processamento (s) y = 7E-07x 2, y =,2E-03x,425 ACM/GS cclo W ACM/GS cclo F GMRES Reta de Regressão ACM/GS cclo W Reta de Regressão de GMRES Tempo de Processamento (s) y =,2E-03x,493 ACM/ILU cclo W ACM/ILU cclo F GMRES Reta de Regressão ACM/ILU cclo W Número de Volumes de Controle Número de Volumes de Controle Fgura 8 Comparação entre o solver GMRES e os dferentes cclos de ACM para cavdade RE = 400: (a) ACM/GS e (b) ACM/ILU. 6

17 ACM/GS Cclo W ACM/ILU Cclo W GMRES Tempo de Processamento (s) Número de Volumes de Controle Fgura 9 Comparação entre o solver GMRES e os métodos ACM/GS cclo W e ACM/ILU cclo W para cavdade RE = 400. Apesar do método ACM/GS ter apresentado resultados um pouco melhores que o ACM/ILU, este apresentou uma varação bastante grande na quantdade de terações necessáras para atngr a convergênca do sstema lnear, dfcultando o ajuste de parâmetros do multgrd. Por sso optou-se por utlzar o método ACM/ILU nos casos mostrados a segur. Na Tab. 4 são apresentados os tempos de computação dos esquemas de aglomeração que tveram melhores resultados. De modo geral fca dfícl determnar qual o esquema apresentou os melhores resultados, pos sso depende da malha que está sendo consderada. Na malha mas fna o esquema 6, segudo do 0, apresentou os menores tempos de computação. Já na malha de 2568 volumes, os menores tempos foram obtdos utlzando os esquemas 0 e. Assm, de uma forma geral, o esquema 0 fo o que tornou o multgrd mas rápdo. Tempo de Processamento (s) Esquema de Aglomeração Malha 089 Malha 2627 Malha 067 Malha 2568 Malha volumes volumes volumes volumes volumes 3,859 0,5 48,282 47, , ,859 0,922 48,28 47, , ,844 0,953 48,25 46,25 47,56 3,859 0,469 48,032 46, , ,875 0,922 48,25 47, ,56 3 3,907,03 48,437 48,6 430, ,89,09 48,672 48, ,25 5 3,828 0,92 48,4 47,5 426, ,56,64 52,062 53,5 46,547 Tabela 4 Tempos de computação para os esquemas de aglomeração em dferentes malhas para o problema da cavdade com tampa móvel com Re = 400. Na Fg. 0 são mostrados os três níves de aglomeração da malha de 089 volumes utlzando o esquema de aglomeração 0. Pode-se perceber que os volumes de controle das malhas grossas apresentam, novamente, formas bastante rregulares. E como antes, elas foram obtdas de forma a não aparecer uma dreção preferencal, conforme o esperado no caso de um problema sotrópco. 7

18 (a) (b) (c) Fgura 0 Malha resultante da aglomeração adaptatva esquema 0 com (a) 283 volumes, (b) com 78 volumes e (c) com 20 volumes. 5.3 Cavdade com tampa móvel com número de Reynolds gual a 000 Consderando os mesmos parâmetros dos problemas anterores e ncando a análse com o uso do solver nterno Gauss-Sedel, notou-se que com o aumento do número de Reynolds, Gauss-Sedel apresentou dfculdades de convergênca. Esta só fo atngda com a redução do passo de tempo utlzado no método EbFVM, comprometendo, assm, o tempo de solução do problema. Sendo assm, na Fg. são apresentados os resultados utlzando como solver nterno do método multgrd o ILU (ACM/ILU). Nos exemplos anterores, o cclo W apresentou resultados muto próxmos ao cclo F, mas sempre melhores que este últmo. Porém neste exemplo, o cclo F apresentou resultados um pouco melhores, assm optou-se por traçar a sua reta de regressão. Dessa forma obtém-se y = 2,8E-03x,094 com R 2 = para ACM/ILU cclo F e y = 3E-06x 2,0479 com R 2 = 0,99 para GMRES, o que segue um padrão para retas de regressão com nclnação smlar para os três dferentes números de Reynolds testados pelo multgrd e pelo GMRES. Tempo de Processamento(s) y = 9E-06x, y = 3,2E-03x,0633 ACM/ILU cclo V ACM/ILU cclo W ACM/ILU cclo F GMRES Reta de Regressão ACM/ILU cclo W Reta de Regressão de GMRES Número de Volumes de Controle Fgura Comparação entre o solver GMRES e os dferentes cclos do ACM/ILU para cavdade Re = 000. Analsando os esquemas de aglomeração, na malha mas fna, de volumes de controle, Tab. 5, o esquema 9 apresentou um ganho consderável em relação aos outros esquemas. Porém na malha de 2568 volumes os esquemas 0, e 4 apresentaram os 8

19 melhores resultados. Neste caso, é possível apontar esses quatro esquemas, de forma geral, como os melhores. Tempo de Processamento (s) Esquema de Aglomeração Malha 089 Malha 2627 Malha 067 Malha 2568 Malha volumes volumes volumes volumes volumes 5,75 5,25 66,875 79,03 54,39 9 5,734 5,703 65,453 80, ,83 0 5,688 5,328 65,25 78,64 53,922 5,75 5,235 66,953 78,375 53, ,78 5,266 65,25 79,593 53, ,78 5,453 67,485 79,578 58,39 4 5,75 5,422 65,844 78, ,797 5,734 65,5 84,266 50, ,375 6,79 70,032 86,562 50,734 Tabela 5 Tempos de computação para os esquemas de aglomeração para o problema da cavdade com tampa móvel com Re = 000. Na Fg. 2 são mostrados os três níves de aglomeração da malha de 089 volumes utlzando o esquema de aglomeração 9. (a) (b) (c) Fgura 2 Malha resultante da aglomeração adaptatva esquema 9 com (a) 28 volumes, (b) com 75 volumes e (c) com 2 volumes. 6. CONCLUSÕES Dentre as prncpas conclusões pode-se ctar: A respeto dos cclos do multgrd, foram testados os três cclos V, W e F, tendo o cclo W o melhor desempenho na maora dos problemas. No problema da cavdade com tampa móvel com Re = 000, o cclo F obteve um desempenho apenas um pouco melhor. Assm, com base nos testes aqu realzados a confguração do cclo W, que efetua a maor parte do "trabalho" de solução dos sstemas lneares nos níves de malhas mas grossas mostrou ser a melhor opção para resolução dos város níves de sstemas lneares defndos para cada problema. 9

20 Quanto ao uso do solver nterno do método ACM, o ILU mostrou-se mas robusto que o Gauss-Sedel obtendo a convergênca mesmo nos casos em que o Gauss-Sedel falhou. Em alguns casos como o problema da cavdade com tampa móvel com número de Reynolds baxo, o Gauss-Sedel mostrou um desempenho um pouco melhor que o ILU. Quanto ao esquema de formação das malhas grossas, a lteratura apresenta modelos que empregam apenas o coefcente da varável pressão na equação de conservação da massa como parâmetro prncpal nas regras de aglomeração. Neste trabalho esta opção fo comparada com novos parâmetros. Foram concebdos dezesses crtéros possíves para efetuar a aglomeração. Os nove crtéros ncalmente propostos vêm da própra matrz do volume e os outros sete foram concebdos levando em conta valores característcos da matrz de coefcentes. Fo verfcado que o esquema usualmente empregado apresenta de fato bons resultados, mas que também é possível empregar nas análses outros esquemas como, por exemplo, a norma de Frobenus e o determnante da matrz (esquemas 0 e 6 da da Tab ). Embora este trabalho tenha contrbuído para um maor entendmento do comportamento do multgrd ACM face a seus dversos parâmetros, anda exste um bom número de parâmetros a serem testados a fm de torná-lo um solver cada vez mas robusto. REFERÊNCIAS [] Hutchnson, B. R., Rathby, A Multgrd Method based on the Addtve Correcton Strategy, Numercal Heat Transfer, Vol. 9, pp , (986). [2] S. R. Elas, Enhancements to Addtve Correcton Multgrd, Master thess, Waterloo, Ontaro, Canada, 46 p, (993). [3] S.R Elas, G.D. Stubley, G.D. Rathby, An Adaptatve Agglomeraton Scheme for Addtve Correcton Multgrd, Internatonal Journal of Numercal Methods n Engneerng, Vol. 4 (5), pp , (997). [4] C. R. Malska, Transferênca de Calor e Mecânca dos Fludos Computaconal, Ed. LTC, Ro de Janero, Brasl, (2004). [5] M. J. Raw, Robustness of Coupled Algebrac Multgrd for the Naver-Stokes Equatons, AIAA , 34 th Aerospace and Scences Meetng & Exhbt, 5-8 de Janero, Reno, NV, (996). [6] J. Cordazzo, Smulação de Reservatóros de Petróleo Utlzando o Método EbFVM e Multgrd Algébrco, Tese de Doutorado, Floranópols, SC, Brasl, 250 p, (2006). [7] M. J. Raw, A New Control-Volume-Based Fnte Element Procedure for the Numercal Soluton of the Flud Flow and Scalar Transport Equatons, Doctor thess, Waterloo, Ontaro, Canada, 68 p., (985). 20