ROBERTA SUERO OTIMIZAÇÃO DE PARÂMETROS DO MÉTODO MULTIGRID ALGÉBRICO PARA PROBLEMAS DIFUSIVOS BIDIMENSIONAIS

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1 ROBERTA SUERO OTIMIZAÇÃO DE PARÂMETROS DO MÉTODO MULTIGRID ALGÉBRICO PARA PROBLEMAS DIFUSIVOS BIDIMENSIONAIS Tese apresentada como requsto parcal para a obtenção do título de doutor em Cêncas no Programa de Pós-Graduação em Métodos Numércos em Engenhara, Setores de Tecnologa e Cêncas Exatas, Unversdade Federal do Paraná. Orentador: Prof. Dr. Carlos Henrque March. Co-orentador: Prof. Dr. Marco Augusto Vllela Pnto. CURITIBA 2010

2 S944o Suero, Roberta Otmzação de parâmetros do método multgrd algébrco para problemas dfusvos bdmensonas [manuscrto] / Roberta Suero. Curtba, f.. : l. [algumas color.] ; 30 cm. Impresso. Tese (doutorado) - Unversdade Federal do Paraná, Setor de Tecnologa e Cêncas Exatas, Programa de Pós-graduação em Métodos Numércos em Engenhara, Vllela Pnto. Orentador: Carlos Henrque March -- Co-orentador: Marco Augusto 1.Dnâmca dos fludos Processamento de dados. 2. Análse numérca (Multgrd). I. Unversdade Federal do Paraná. II. March, Carlos Henrque. III. Pnto, Marco Augusto Vllela. IV. Título. CDD: Bblotecára: CRB9/1585

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4 À mnha famíla pelo amor e apoo ncondconas.

5 AGRADECIMENTOS Agradeço ao Prof. Carlos Henrque March por acetar me orentar neste trabalho, agradeço também pelo apoo e os conhecmentos que me foram transmtdos até o momento. Ao meu coorentador Prof. Marco Augusto Vllela Pnto pela orentação, ncentvo e amzade. Agradeço aos amgos que, dreta ou ndretamente, me ajudaram no desenvolvmento deste trabalho, seja com ensnamentos ou em momentos de descontração, em especal aos amgos do LENA. Aos professores, colegas e funconáros do CESEC, em especal à Marstela Bandl, pela amzade e dedcação. Gostara de agradecer também à Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor (CAPES) pelo fnancamento deste trabalho. Agradeço anda aos membros da banca, Prof. Dr. Leandro Franco Souza, Prof. Dr. Lucano Kyosh Arak e Prof. Dr. Roberto Dalledone Machado pelo tempo dspensado, sugestões e crítcas apresentadas a esta tese.

6 RESUMO Este trabalho apresenta comparações de parâmetros entre os métodos multgrd algébrco (AMG) e multgrd geométrco (GMG) para as equações bdmensonas de Laplace e Posson, em malhas estruturadas quadrangulares e trangulares. Os parâmetros analsados são: número de terações nternas no solver, número de malhas e número de ncógntas. Para o AMG, também são estudados os efetos do fator de redução de malha e do fator de forte dependênca na malha grossa sobre o tempo de CPU necessáro para obter a solução numérca. Para malhas quadrangulares é empregado o método de dferenças fntas, e para malhas trangulares, o de volumes fntos. Os resultados são obtdos com uma adaptação do códgo computaconal AMG1R6 de Ruge e Stüben. Para o AMG são usadas as seguntes componentes multgrd: restrção por engrossamento padrão, prolongação padrão, esquema de correção (CS), solver Gauss-Sedel lexcográfco e cclo V. São fetos estudos comparatvos entre os tempos de CPU do método multgrd geométrco, multgrd algébrco e snglegrd (método de malha únca). Verfcou-se que: 1) o número ótmo de terações nternas obtdas para o AMG e GMG, em malhas quadrangulares, é o mesmo, porém dferente para malhas trangulares; 2) o número ótmo de malhas é o número máxmo, tanto para malhas quadrangulares quanto para malhas trangulares; 3) o AMG mostrou-se sensível à varação do fator de redução de malha e do fator de forte dependênca na malha grossa, tanto com relação às equações abordadas, quanto aos tpos de malha e 4) para malhas quadrangulares, o GMG resolve o problema em 20% do tempo gasto pelo AMG. Palavras-chave: dnâmca dos fludos computaconal, multgrd algébrco, multgrd geométrco, volumes fntos, dferenças fntas.

7 ABSTRACT Ths work presents comparsons of parameters between the algebrac multgrd (AMG) and geometrc multgrd (GMG) methods for Laplace and Posson two-dmensonal equatons n square and trangular structured grds. The analyzed parameters are: the number of nner teratons n the solver, the number of grds and number of unknowns. For AMG, the effects of the grd reducton factor and the strong dependence factor n the coarse grd on the necessary CPU tme to obtan the numerc soluton are studed. For square grds the fnte dfference method s used, and for the trangular grds, the fnte volume one. The results are obtaned wth the use of an adapted computatonal code from the orgnal AMG1R6 of Ruge and Stüben. For the AMG the followng multgrd components are used: restrcton by the standard coarsenng, standard nterpolaton, correcton scheme (CS), lexcographc Gauss-Sedel as solver and V cycle. Comparatve studes among the CPU tme of the geometrc and algebrac multgrd methods and snglegrd (method of unque mesh) are made. It was verfed that: 1) the optmum number of nner teratons obtaned for AMG and GMG, n square grds, s the same, however t has a value dfferent for trangular grds; 2) the optmum number of grds s the maxmum number, for both square and trangular grds; 3) AMG was shown to be senstve to both the varaton of the grd reducton factor and the strong dependence factor n the coarse grd, n relaton to the approached equatons, as lake to the mesh types, and 4) n square grds, the GMG solves the problem n 20% of the tme spend for AMG. Keywords: computatonal flud dynamcs, algebrac multgrd, geometrc multgrd, fnte volume, fnte dfference.

8 LISTA DE FIGURAS Fgura 1.1: Malha quadrangular Fgura 1.2: Malha trangular Fgura 2.1: Malha geométrca utlzada para Gauss-Sedel Fgura 2.2: Modos de Fourer Fgura 2.3: Comportamento da suavzação do erro em métodos teratvos Fgura 2.4: Número de ondas k=4, sobre uma malha fna com N=12 e sobre uma malha grossa com N=6 (Brggs et al., 2000) Fgura 2.5: Seqüênca do procedmento de seleção dos pontos (Adaptado de Falgout, 2006) Fgura 2.6: Ilustração de nfluêncas fortes e fracas sobre o ponto (BRIGGS et al., 2000) Fgura 2.7: Cclo V (Adaptado de Crag, 2007) Fgura 2.8: Dscretzação com dferenças fntas Fgura 2.9: Malha estruturada - volume concdente com o elemento (CORDAZZO, 2006) Fgura 2.10: Volume de controle para uma malha trangular Fgura 2.11: Condções de contorno com volumes fctícos (MALISKA, 2004) Fgura 3.1: Erros envolvdos nos métodos de engenhara (March, 2001) Fgura 3.2: Ordens efetva e aparente para temperatura no ponto médo para a equação de Laplace em malhas quadrangulares Fgura 3.3: Ordens efetva e aparente para temperatura méda para a equação de Laplace em malhas quadrangulares Fgura 3.4: Ordens efetva e aparente para a norma l do erro para a equação de Laplace em malhas quadrangulares Fgura 3.5: Ordens efetva e aparente para a norma l 1 do erro para a equação de Laplace em malhas quadrangulares Fgura 3.6: Erros numércos para o problema lnear em malhas quadrangulares Fgura 3.7: Erros numércos para o problema senodal em malhas quadrangulares Fgura 3.8: Comportamento da norma l do erro para a equação de Laplace em malhas quadrangulares Fgura 3.9: Tempo de CPU(s) versus número de ncógntas para a equação de Laplace em malhas quadrangulares... 80

9 Fgura 3.10: Ordens efetva e aparente para a temperatura no ponto médo para a equação de Laplace em malhas trangulares Fgura 3.11: Ordens efetva e aparente para a temperatura méda para a equação de Laplace em malhas trangulares Fgura 3.12: Ordens efetva e aparente para a norma l do erro para a equação de Laplace em malhas trangulares Fgura 3.13: Ordens efetva e aparente para a norma l 1 do erro para a equação de Laplace em malhas trangulares Fgura 3.14: Erros numércos para o problema lnear em malhas trangulares Fgura 3.15: Erros numércos para o problema senodal em malhas trangulares Fgura 3.16: Comportamento da norma l do erro para a equação de Laplace em malhas trangulares Fgura 3.17: Tempo de CPU(s) versus número de ncógntas para a equação de Laplace em malhas trangulares Fgura 3.18: Ordem efetva equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 3.19: Ordem aparente equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 3.20: Erros numércos equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 3.21: Norma l do erro para a equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 3.22: Tempo de CPU(s) versus número de ncógntas para a equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 4.1: Tempo de CPU versus número de terações nternas para o problema lnear em malhas quadrangulares Fgura 4.2: Tempo de CPU versus número de níves para o problema lnear em malhas quadrangulares Fgura 4.3: Influênca do fator de redução de malha no tempo de CPU para o problema lnear em malhas quadrangulares Fgura 4.4: Efeto do fator de forte dependênca na malha grossa no tempo de CPU para o problema lnear em malhas quadrangulares Fgura 4.5: Efeto do número de ncógntas no tempo de CPU para o problema lnear em malhas quadrangulares Fgura 4.6: AMG otmzado versus AMG padrão para o problema lnear em malhas quadrangulares

10 Fgura 4.7: Tempo de CPU versus número de terações nternas para o problema senodal em malhas quadrangulares Fgura 4.8: Tempo de CPU versus número de níves para o problema senodal em malhas quadrangulares Fgura 4.9: Influênca do fator de redução de malha no tempo de CPU para o problema senodal em malhas quadrangulares Fgura 4.10: Influênca do fator de forte dependênca na malha grossa no tempo de CPU para o problema senodal em malhas quadrangulares Fgura 4.11: Efeto do número de ncógntas no tempo de CPU para o problema senodal em malhas quadrangulares Fgura 4.12: AMG otmzado versus AMG padrão para o problema senodal em malhas quadrangulares Fgura 4.13: Tempo de CPU versus número de terações nternas para a equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 4.14: Tempo de CPU versus número de níves para a equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 4.15: Influênca do fator de redução de malha no tempo de CPU para a equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 4.16: Influênca do fator de forte dependênca na malha grossa no tempo de CPU para a equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 4.17: Efeto do número de ncógntas no tempo de CPU para a equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 4.18: AMG otmzado versus AMG padrão para a equação de Posson em malhas quadrangulares Fgura 4.19: Número de terações nternas para malhas quadrangulares Fgura 4.20: Número de níves para malhas quadrangulares Fgura 4.21: Fator de redução de malha para malhas quadrangulares Fgura 4.22: Fator de forte dependênca na malha grossa para malhas quadrangulares Fgura 4.23: Tempo de CPU para AMG, GMG e SG para malhas quadrangulares Fgura 5.1: Tempo de CPU versus número de terações nternas para o problema lnear em malhas trangulares

11 Fgura 5.2: Tempo de CPU versus número de níves para o problema lnear em malhas trangulares Fgura 5.3: Influênca do fator de redução de malha no tempo de CPU para o problema lnear em malhas trangulares Fgura 5.4: Efeto do fator de forte dependênca na malha grossa no tempo de CPU para o problema lnear em malhas trangulares Fgura 5.5: Efeto do número de ncógntas no tempo de CPU para o problema lnear em malhas trangulares Fgura 5.6: AMG otmzado versus AMG padrão para o problema lnear em malhas trangulares 138 Fgura 5.7: Tempo de CPU versus número de terações nternas para o problema senodal em malhas trangulares Fgura 5.8: Tempo de CPU versus número de níves para o problema senodal em malhas trangulares Fgura 5.9: Influênca do fator de redução de malha no tempo de CPU para o problema senodal em malhas trangulares Fgura 5.10: Influênca do fator de forte dependênca na malha grossa no tempo de CPU para o problema senodal em malhas trangulares Fgura 5.11: Efeto do número de ncógntas no tempo de CPU para o problema senodal em malhas trangulares Fgura 5.12: AMG otmzado versus AMG padrão para o problema senodal em malhas trangulares Fgura 5.13: Número de terações nternas para malhas trangulares Fgura 5.14: Número de níves para malhas trangulares Fgura 5.15: Fator de redução de malha para malhas trangulares Fgura 5.16: Fator de forte dependênca na malha grossa para malhas trangulares Fgura 5.17: Tempo de CPU para AMG, GMG e SG para malhas trangulares

12 LISTA DE TABELAS Tabela 1.1: Comparação entre os métodos de solução de problemas em engenhara (Adaptada de Tannehll et al., 1997) Tabela 1.2: Comparações entre multgrd geométrco e multgrd algébrco (Adaptado de CHANG et al., 1996) Tabela 2.1: Procedmento teratvo Gauss-Sedel (BURDEN e FAIRES, 2009) Tabela 2.2: Algortmo para fase setup do AMG (Adaptado de Cleary et al., 2000) Tabela 2.3: Escolha prelmnar do ponto em C (Ruge e Stüben, 1986) Tabela 2.4: Escolha fnal do ponto em C e defnção dos pesos da nterpolação (Adaptado de Iwamura et al., 2003) Tabela 2.5: Algortmo para gerar a matrz de coefcentes (HAASE e LANGER, 2002) Tabela 2.6: Algortmo CS para o AMG com duas malhas (Adaptado de BRIGGS et al., 2000) Tabela 3.1: Comparatvo da norma l do erro para a equação de Laplace em malhas quadrangulares Tabela 3.2: Valores de c e p para AMG, GMG e SG para a equação de Laplace em malhas quadrangulares Tabela 3.3: Comparatvo da norma l do erro para a equação de Laplace em malhas trangulares. 84 Tabela 3.4: Valores de c e p para AMG, GMG e SG para a equação de Laplace em malhas trangulares Tabela 3.5: Comparatvo da norma l do erro para a equação de Posson Tabela 3.6: Valores de c e p para AMG, GMG e SG para a equação de Posson em malhas quadrangulares Tabela 4.1: Dferenças entre os tempos de CPU para consderando o problema lnear em malhas quadrangulares Tabela 4.2: Dferenças entre os tempos de CPU para consderando o problema lnear em malhas quadrangulares Tabela 4.3: Valores de p e c para o problema lnear em malhas quadrangulares Tabela 4.4: Parâmetros estudados para o AMG para o problema lnear em malhas quadrangulares 99 Tabela 4.5 Valores de p e c para o problema lnear em malhas quadrangulares Tabela 4.6: Número de cclos para AMG e GMG para o problema lnear em malhas quadrangulares

13 Tabela 4.7: Dferenças entre os tempos de CPU para consderando o problema senodal em malhas quadrangulares Tabela 4.8: Dferenças entre os tempos de CPU para consderando o problema senodal em malhas quadrangulares Tabela 4.9: Valores de p e c para o problema senodal em malhas quadrangulares Tabela 4.10: Parâmetros estudados para o AMG para o problema senodal em malhas quadrangulares Tabela 4.11: Valores de p e c para o problema senodal em malhas quadrangulares Tabela 4.12: Número de cclos para AMG e GMG para o problema senodal em malhas quadrangulares Tabela 4.13: Dferenças entre os tempos de CPU para consderando a equação de Posson em malhas quadrangulares Tabela 4.14: Dferenças entre os tempos de CPU para consderando a equação de Posson em malhas quadrangulares Tabela 4.15: Valores de p e c para a equação de Posson em malhas quadrangulares Tabela 4.16: Parâmetros estudados para o AMG para a equação de Posson em malhas quadrangulares Tabela 4.17: Valores de p e c para a equação de Posson em malhas quadrangulares Tabela 4.18: Número de cclos para AMG e GMG para a equação de Posson em malhas quadrangulares Tabela 4.19: Valores de p e c para malhas quadrangulares Tabela 4.20: Ganhos obtdos com as otmzações para malhas quadrangulares Tabela 4.21: Número de cclos para AMG e GMG para malhas quadrangulares Tabela 5.1: Número de níves e de cclos para o problema lnear resolvdo em malhas trangulares para dferentes valores de Tabela 5.2: Dferenças entre os tempos de CPU para consderando o problema lnear em malhas trangulares Tabela 5.3: Dferenças entre os tempos de CPU para consderando o problema lnear em malhas trangulares Tabela 5.4: Valores de p e c para o problema lnear em malhas trangulares Tabela 5.5: Parâmetros estudados para o AMG para o problema lnear em malhas trangulares

14 Tabela 5.6: Valores de p e c para AMG padrão e otmzado para o problema lnear em malhas trangulares Tabela 5.7: Dferenças entre os tempos de CPU para L consderando o problema senodal em malhas trangulares Tabela 5.8: Número de níves e de cclos para o problema senodal resolvdo em malhas trangulares para dferentes valores de Tabela 5.9: Dferenças entre os tempos de CPU para consderando o problema senodal em malhas trangulares Tabela 5.10: Dferenças entre os tempos de CPU para consderando o problema senodal em malhas trangulares Tabela 5.11: Valores de p e c para o problema senodal em malhas trangulares Tabela 5.12: Parâmetros estudados para o AMG para o problema senodal em malhas trangulares Tabela 5.13: Valores de p e c para AMG padrão e otmzado para o problema senodal em malhas trangulares Tabela 5.14: Valores de p e c para malhas trangulares Tabela 5.15: Ganhos obtdos com otmzações em malhas trangulares Tabela B.0.1: Dferenças entre os tempos de CPU para o fator de redução de malha para o problema lnear em malhas quadrangulares

15 LISTA DE SÍMBOLOS a j Coefcentes da matrz A A c C Matrz de coefcentes Constante relaconada ao ajuste de curvas pelo método dos mínmos quadrados Conjunto de varáves que estão na malha grossa C Conjunto dos pontos em C que estão conectados a F C D x D y Conjunto dos pontos vznhos da malha grossa que nfluencam fortemente Deslocamento na dreção x Deslocamento na dreção y D s D w D Conjunto dos pontos vznhos que não estão na malha grossa Conjunto dos pontos vznhos da malha fna que nfluencam fortemente Conjunto dos pontos que nfluencam fracamente e h e E f F Erro algébrco Erro suavzado Erro de dscretzação Vetor ndependente do sstema lnear Conjunto de varáves que não estão na malha grossa F Conjunto dos pontos em F que estão conectados a F h H Malha fna Malha grossa H I Operador de restrção h h I H Operador de prolongação J Fluxo dfusvo k l 2 l Modos de Fourer Norma Eucldana Norma do máxmo (ou norma nfnto)

16 l Norma L 1 1 méda para o erro numérco L Número de níves L Número máxmo de níves máxmo L Número ótmo de níves ótmo L 0 Norma dos resíduos na estmatva ncal (teração 0) L m m N N N x N y Norma dos resíduos na teração m Contador do número de terações para o método Gauss-Sedel Número de ncógntas Conjunto de pontos que determna a vznhança de Quantdade de pontos na dreção x Quantdade de pontos na dreção y p p E p L p U q r m r S h S Expoente relaconado ao ajuste de curvas pelo método dos mínmos quadrados Ordem efetva do erro de dscretzação Ordem assntótca do erro de dscretzação Ordem aparente do erro de dscretzação Razão de refno entre as malhas Resíduo Resíduo na teração m Suavzador Conjunto de pontos que nfluenca fortemente D S Conjunto de pontos fortemente dependentes de C T S T T m U U h u V V x Conjunto de pontos que dependem fortemente de Tempo de CPU Temperatura méda Vetor de ncógntas Conjunto de varáves ndefndas Solução suavzada Solução aproxmada do sstema de equações Velocdade na dreção x

17 V y w j Velocdade na dreção y Função de nterpolação do multgrd algébrco Letras Gregas x y Dfusvdade térmca Tamanho dos volumes de controle na dreção x Tamanho dos volumes de controle na dreção y Fator de forte dependênca na malha grossa Valor ótmo para o fator de forte dependênca na malha grossa ótmo Número de terações nternas Número ótmo de terações nternas ótmo Operador nabla Fator de redução da malha Valor ótmo para o fator de redução de malha ótmo Medda de mportânca Solução numérca da varável de nteresse Solução analítca da varável de nteresse Conjunto de índces Coefcente de dfusão Subíndces N S E W I J K H H face localzada acma do ponto geral nodal face localzada abaxo do ponto geral nodal face localzada à dreta do ponto geral nodal face localzada à esquerda do ponto geral nodal posção do nó na dreção x posção do nó na dreção y k-ésma teração malha fna malha grossa

18 Abrevaturas e Sglas ADI AMG AMG1R6 CDS CFD CPU GMG m_maxmo MDF MSI MVF SG SOR TDMA Tol Alternate Drecton Implct Method Algebrac Multgrd Method Códgo computaconal de autora de Ruge e Stüben Central Dfferencng Scheme Computatonal Flud Dynamcs Central Processng Unt Geometrc Multgrd Method Número máxmo de terações para o método Gauss-Sedel Método de dferenças fntas Modfed Strongly Implct Method Método dos volumes fntos Método Snglegrd Sucessve Over Relaxaton TrDagonal Matrx Algorthm Tolerânca empregada para se nterromper o processo teratvo

19 SUMÁRIO 1 Introdução Generaldades em dnâmca dos fludos computaconal O problema Motvação Revsão bblográfca Objetvos Organzação do texto Fundamentação teórca Métodos teratvos e análse de convergênca Equação resdual Método multgrd algébrco Prncípos fundamentas Teora básca do AMG Engrossamento Prolongação Algortmos Modelos matemátcos e numércos Formulação para o método de dferenças fntas Formulação para o método dos volumes fntos Verfcação do códgo computaconal Equação de Laplace Malhas quadrangulares Equação de Laplace Malhas trangulares Equação de Posson Malhas quadrangulares Resultados para malhas estruturadas quadrangulares Equação de Laplace Problema lnear Número de terações nternas Número de níves L Fator de redução de malha Fator de forte dependênca na malha grossa... 96

20 4.1.5 Número de ncógntas N Otmzação do algortmo para o AMG Comparação entre número de cclos para AMG e GMG Equação de Laplace Problema senodal Número de terações nternas Número de níves L Fator de redução de malha Fator de forte dependênca na malha grossa Número de ncógntas N Otmzação do algortmo para o AMG Comparação entre número de cclos para AMG e GMG Equação de Posson Número de terações nternas Número de níves L Fator de redução de malha Fator de forte dependênca na malha grossa Número de ncógntas N Otmzação do algortmo para o AMG Comparação entre número de cclos para AMG e GMG Comparatvo para malhas quadrangulares Número de terações nternas Número de níves L Fator de redução de malha Fator de forte dependênca na malha grossa Número de ncógntas N Otmzação do algortmo para o AMG Comparação entre número de cclos para AMG e GMG Conclusões do Capítulo Resultados para malhas estruturadas trangulares Equação de Laplace Problema lnear

21 5.1.1 Número de terações nternas Número de níves L Fator de redução de malha Fator de forte dependênca na malha grossa Número de ncógntas N Otmzação do algortmo para o AMG Equação de Laplace Problema senodal Número de terações nternas Número de níves L Fator de redução de malha Fator de forte dependênca na malha grossa Número de ncógntas N Otmzação do algortmo para o AMG Comparatvo para malhas trangulares Número de terações nternas Número de níves L Fator de redução de malha Fator de forte dependênca na malha grossa Número de ncógntas N Otmzação do algortmo para o AMG Conclusões do Capítulo Conclusão Referêncas Apêndce A Defnção do operador de nterpolação Apêndce B Estudo complementar para o fator de redução de malha

22 22 1 Introdução Este capítulo descreve os problemas a serem abordados neste trabalho bem como sua mportânca em Dnâmca dos Fludos Computaconal (Computatonal Flud Dynamcs - CFD). Também é apresentada a motvação para a realzação deste estudo, a revsão bblográfca sobre o método multgrd algébrco (Algebrac Multgrd Method - AMG), os objetvos a serem alcançados e a organzação do texto. 1.1 Generaldades em dnâmca dos fludos computaconal A dnâmca dos fludos envolve a modelagem de fenômenos físco-químcos que são representados por modelos matemátcos, sendo que estes fenômenos estão relaconados à mecânca dos fludos, transferênca de calor e massa, combustão, entre outros. A resolução destes problemas va métodos numércos é o campo de estudos da dnâmca dos fludos computaconal. Segundo Fortuna (2000), o objetvo em CFD é reduzr o número de expermentos e explorar fenômenos que não poderam ser estudados em laboratóro de forma prátca. Para a solução de um problema em engenhara podem ser empregados três tpos de métodos: expermentas, analítcos e numércos, sendo que cada um possu suas vantagens e desvantagens conforme o problema a ser resolvdo. A Tab. 1.1, adaptada de Tannehll et al. (1997) compara os métodos acma ctados. De acordo com Ferzger e Perc (2002), o erro de modelagem é causado pelas smplfcações fetas sobre o fenômeno real na concepção do modelo matemátco. Os erros de modelagem afetam tanto as soluções analítcas quanto as numércas, porque ambas se baseam em modelos matemátcos.

23 23 Tabela 1.1: Comparação entre os métodos de solução de problemas em engenhara (Adaptada de Tannehll et al., 1997) Método Vantagens Desvantagens Expermental mas realsta equpamento exgdo, problemas de escala, dfculdades de medção, custo operaconal Analítco mas geral, fórmula fechada restrta a geometras e processos físcos smples, geralmente restrta a problemas lneares, erros de modelagem Numérco não há restrção quanto à lneardade, geometras e processos complcados, evolução temporal do processo erros numércos, prescrções das condções de contorno apropradas, custo computaconal, erros de modelagem Para que seja possível tratar numercamente as equações dferencas parcas, elas devem ser expressas na forma de operações artmétcas que o computador possa executar. Desta forma, recorre-se aos métodos numércos para se obter uma solução aproxmada, transformando o modelo contínuo em um modelo dscreto. Um método numérco pode resolver problemas mas geras, mas em contrapartda pode apresentar dversas fontes de erros numércos, que podem ser classfcadas em (MARCHI, 2001): Erros de truncamento: Ocorrem quando o modelo matemátco é aproxmado por um método numérco. Quando se tem apenas erros de truncamento (as outras fontes de erro são desprezíves), este erro denomna-se erro de dscretzação. Erros de teração: É defndo como sendo a dferença entre a solução exata das equações dscretzadas e a solução numérca em uma determnada teração (FERZIGER e PERIC, 2002). Erros de arredondamento: Ocorrem devdo à representação fnta dos números reas nos cálculos. Segundo Fortuna (2000), não podem ser evtados, mas podem ter seu efeto reduzdo pela utlzação de precsão dupla ou quádrupla nos cálculos. Erros de programação: São nerentes ao programador e à utlzação do códgo computaconal.

24 24 Para os problemas resolvdos neste trabalho, os erros de arredondamento são mnmzados devdo ao emprego de precsão dupla nos cálculos. Os erros de programação também são mnmzados devdo à verfcação do códgo computaconal através da análse de erros numércos (mas detalhes no Capítulo 3). Desta forma, tem-se a presença de erros de teração e de truncamento. O erro de teração está lgado à aplcação do método multgrd, vsto que os sstemas lneares resultantes da dscretzação das equações dferencas são resolvdos com o emprego de métodos teratvos. Os erros de truncamento são provenentes da aproxmação do modelo matemátco por um método numérco. O objetvo de um método numérco é obter a solução de uma ou mas equações dferencas através da substtução das dervadas exstentes por expressões algébrcas que envolvam a função ncógnta. O que caracterza um método numérco é a forma como estas expressões são obtdas. Estas expressões são aplcadas a cada ponto do domíno de cálculo já dscretzado, com as soluções obtdas nestes pontos. Exstem váras formas desta dscretzação ser feta. As mas conhecdas são: Elementos Fntos (HUGHES, 2000; REDDYE e GARTLING, 1994); Dferenças Fntas (FORTUNA, 2000; TANNEHILL et al., 1997); Volumes Fntos (MALISKA, 2004; VERSTEEG e MALALASEKERA, 2007). Um método numérco, então, rá fornecer a solução em um número fnto de pontos defndos pela malha computaconal. Nestes casos, os problemas abordados dão orgem a sstemas lneares do tpo: Au f (1.1) onde A é a matrz dos coefcentes, u é o vetor de ncógntas e f é o vetor ndependente. Geralmente, quanto mas pontos nodas, mas próxmo da solução analítca estará a solução numérca, pos o erro de truncamento (provenente da dscretzação) será menor. De acordo com a dstrbução destes pontos no domíno, a malha obtda pode ser unforme (os pontos que compõem a malha estão unformemente espaçados) ou não-unforme; estruturada (uma estrutura ou regulardade na dstrbução espacal dos pontos é apresentada) ou nãoestruturada.

25 25 Quando o objetvo é reduzr os erros de truncamento, os problemas devem ser resolvdos em malhas extremamente refnadas. Para estes casos, o sstema lnear é de grande porte. Em geral, a matrz de coefcentes é esparsa e, dependendo do tpo de malha, pode ser banda ou não (para malhas estruturadas ou não-estruturadas). No caso de sstemas de equações não-lneares, estes são representados por: u A f (1.2) Para resolver problemas de grande porte (conseqüênca da dscretzação em malhas mas refnadas) com matrzes esparsas, são utlzados métodos teratvos, como por exemplo: Jacob, Gauss-Sedel (BURDEN e FAIRES, 2009), ADI (Alternate Drecton Implct Method) (FERZIGER e PERIC, 2002), SOR (Sucessve Over Relaxaton) (HACKBUSCH, 1985), MSI (Modfed Strongly Implct Method) (SCHNEIDER e ZEDAN, 1981), entre outros. De acordo com Stüben (2001), a efcênca da solução numérca de grandes sstemas de equações requer uma herarqua no algortmo. Certamente um dos mas mportantes avanços nas últmas três décadas é devdo ao prncípo do método multgrd. Este método tem duas abordagens, que estão relaconadas à forma de entrada dos dados e na construção das malhas auxlares: o método multgrd geométrco (GMG) (Trottenberg et al, 2001 e Brggs et al, 2000), em que são necessáras nformações a respeto das malhas auxlares; e o método multgrd algébrco (AMG) (Ruge e Stüben, 1986; Brandt, 1986; Falgout, 2006 e Haase e Langer, 2002), em que é necessára a matrz de coefcentes. Desta matrz são retradas nformações a respeto da malha ncal, convenconada como a malha com mas ncógntas. O que os dos métodos têm em comum é o fato de o problema ser resolvdo empregando uma herarqua de malhas. O método multgrd algébrco é composto por etapas que levam à resolução do problema, detalhadas a segur. A resolução de um problema com o método multgrd algébrco, é dvdda em fase setup e fase de solução (KRECHEL e STÜBEN, 1999, CLEARY et al., 2000, TROTTENBERG et al., 2001 e WATANABE et al., 2005). De acordo com Falgout (2006), os métodos multgrd alcançam a otmaldade empregando dos processos complementares: suavzação e correção na malha grossa. A fase setup é uma fase ncal, responsável pela geração das malhas, construção dos operadores de transferênca entre as malhas (restrção e prolongação). A fase de solução é dreta e emprega os operadores gerados na fase setup para se resolver o problema. Esta

26 26 resolução se dá com o uso de malhas auxlares mas grossas (com menos pontos que a malha orgnal), que são vstadas conforme um cclo prevamente determnado. O operador de restrção transfere as nformações da malha fna para a malha medatamente mas grossa, e o operador de prolongação transfere as nformações da malha grossa para a malha medatamente mas fna. Cclo multgrd é a seqüênca com que as dversas malhas são vstadas, pode ser cclo V, W, F, entre outros. A suavzação envolve a aplcação de um método teratvo (solver) em uma determnada malha, como por exemplo, Gauss-Sedel (também chamado método de relaxação ou suavzador). A correção na malha grossa envolve a resolução da equação resdual nesta malha, obtendo uma aproxmação para o erro. Esta aproxmação é usada para corrgr a solução na malha medatamente mas fna (o erro é transferdo para esta malha). Fator de redução de malha é uma constante que quantfca se um ponto está fortemente conectado a outros. Fator de forte dependênca na malha grossa é uma constante que defne a forte dependênca no conjunto dos pontos que estão na malha grossa. Estes dos últmos parâmetros nterferem dretamente na construção das malhas auxlares na aplcação do AMG. 1.2 O problema Neste trabalho, os problemas abordados são descrtos pelas equações de Laplace e Posson bdmensonas, dscretzadas em um domíno de cálculo quadrado, sendo que a solução analítca para estas equações é conhecda. Para a equação de Laplace são abordados dos problemas dferentes: um problema com condção de contorno dada por uma função lnear a leste e ao norte, que neste trabalho é referencado por problema lnear. O outro problema tem como condção de contorno uma função senodal ao norte, que neste trabalho é chamado de problema senodal. Para todas as equações são consderadas condções de contorno de Drchlet. A equação de Laplace é dscretzada com o uso de malhas estruturadas quadrangulares e trangulares, que podem ser observadas nas Fgs. 1.1 e 1.2, respectvamente. A equação de Posson é dscretzada somente com o uso de malhas estruturadas quadrangulares.

27 27 1, j, j 1, j, j 1 1, j Fgura 1.1: Malha quadrangular Fgura 1.2: Malha trangular Para a dscretzação das equações governantes em malhas quadrangulares, é empregado o método de dferenças fntas (MDF). Para malhas trangulares é utlzado o método dos volumes fntos (MVF), sendo que, para este caso, as condções de contorno são aplcadas com a utlzação de volumes fctícos. Para a obtenção da solução numérca, é empregado o método multgrd algébrco (Algebrac Multgrd - AMG) a todos os problemas a serem resolvdos. 1.3 Motvação Um dos campos mas atraentes de pesqusa em análse numérca é o desenvolvmento de métodos que operam herarqucamente (com o uso de malhas auxlares) para buscar, de forma efcente, a solução de sstemas de equações com grande esparsdade, provenentes de malhas não-estruturadas (TROTTENBERG et al., 2001). Mutas vezes a resolução de problemas de mecânca dos fludos e transferênca de calor, com o uso de métodos numércos, torna-se nvável. Isto é devdo ao grande número de equações a serem resolvdas a cada passo teratvo, requerendo assm, um alto custo computaconal. Observa-se que, no níco dos cálculos, a taxa de convergênca é alta, passando a decar sensvelmente à medda que o processo teratvo avança (BRIGGS et al., 2000). Com o objetvo de melhorar a taxa de convergênca dos métodos numércos, város trabalhos estão sendo desenvolvdos, sendo que um dos métodos utlzados com este objetvo é o método multgrd (BRANDT, 1986; BRIGGS et al., 2000, TROTTENBERG et al., 2001; STÜBEN, 2001; HAASE e LANGER, 2002; FALGOUT, 2006).

28 28 De acordo com Stüben (2001), este método opera sobre uma herarqua de malhas, defnda a pror, pelo engrossamento de uma dada dscretzação da malha, em um modo geometrcamente natural (multgrd geométrco). Claramente, este procedmento é dreto para malhas estruturadas. Porém, a defnção de uma herarqua de malhas pode se tornar complcada para malhas não-estruturadas. A efcênca do método multgrd não tem sdo totalmente alcançada em aplcações realístcas em CFD. Com a crescente complexdade destas aplcações, aumenta também a procura por métodos mas efcentes e robustos. É esperado que estes métodos tenham uma boa redução do tempo de CPU, usem pouca memóra computaconal e possam abordar as nãolneardades e acoplamentos, sem grandes prejuízos ao seu desempenho (RUGE e STÜBEN, 1986). Um método que pode ser aplcado a problemas em que as localzações dos pontos são conhecdas, mas as malhas são não-estruturadas ou rregulares, é o método multgrd algébrco (BRANDT, 1986; RUGE e STÜBEN, 1986; STÜBEN, 2001; BRIGGS et al., 2000; TROTTENBERG et al., 2001 e FALGOUT, 2006). Este método também pode ser aplcado quando não se tem nenhuma nformação a respeto da geometra do problema (STÜBEN, 2001). De acordo com Trottenberg et al. (2001), as vantagens deste método são robustez, aplcabldade em stuações com geometras complexas e resolução de certos problemas que estão fora do alcance do multgrd geométrco. Conforme Brandt (1986), o AMG pode ser usado como um solver caxa-preta. Como o algortmo é baseado em uma dada matrz, ele pode ser usado para város problemas. Nestes problemas, não há necessdade de se dar atenção especal para as condções de contorno, ansotropas, fortes descontnudades em coefcentes, entre outros aspectos que normalmente requerem mas cudado na dscretzação e na resolução do problema. Além dsso, como a construção da matrz no AMG nos níves auxlares (nível com menos ncógntas) é baseada em fortes conexões algébrcas, problemas que envolvem equações ansotrópcas, com fortes conectvdades entre outros casos, podem também ser resolvdas pelo mesmo algortmo AMG. Outra aplcação do AMG é em problemas onde malhas não-estruturadas são empregadas e, por esse motvo, o método multgrd geométrco não é aplcável. Isto nclu dscretzação por elementos fntos com trangulações rregulares na malha com mas ncógntas, e matrzes de grandes dmensões que não são dervadas de problemas contínuos. Uma vantagem que o AMG apresenta sobre o multgrd geométrco é a forma como o

29 29 algortmo faz a correção na malha grossa, engrossando apenas nas dreções de suavzação geométrca (FALGOUT, 2006). De acordo com Trottenberg et al. (2001), o método multgrd (tanto geométrco quanto algébrco) é caracterzado por suas componentes: procedmentos de suavzação (solvers), estratéga de engrossamento, operador de malha grossa, operadores de transferênca de malhas fnas para malhas grossas (e vce-versa) e tpo de cclo. Neste trabalho são abordados problemas com geometras smples. Conforme Trottenberg et al. (2001), tas problemas não dão uma vsão geral do método, mas permtem fácl nvestgação do comportamento assntótco do AMG, bem como sua dependênca de város aspectos específcos como ansotropas, descontnudades, perturbações sngulares, entre outros. Conforme Trottenberg et al. (2001), uma smples modfcação no algortmo pode resultar em uma redução sgnfcatva no tempo de CPU. De acordo com Langer e Pusch (2006), para que o método multgrd seja realmente efcente, é necessáro adaptar as componentes do método de acordo com o delneamento físco do problema e a formulação varaconal. Com o desenvolvmento deste trabalho busca-se encontrar um algortmo com parâmetros ótmos para a resolução de problemas com o uso do método multgrd algébrco. Entende-se por algortmo com parâmetros ótmos como aquele que apresenta o menor tempo de CPU. Para este fm são observados parâmetros como: número de terações nternas (fetas pelo solver), número de níves de malha a serem utlzadas na resolução do AMG, fator de redução de malha (constante que quantfca o quanto um ponto está fortemente conectado a outros) e fator de forte dependênca na malha grossa. Pretende-se também avalar o efeto do número de ncógntas no tempo de CPU e fazer comparações entre os algortmos consderados como padrão (parâmetros mas utlzados na lteratura) e otmzado (com os parâmetros ótmos obtdos nos testes computaconas). Estas comparações envolvem o número de cclos (terações externas) que o AMG leva para atngr a tolerânca prevamente determnada, e também o coefcente c e o expoente p da equação t cn p, onde os valores para c e p serão determnados, N é o número de ncógntas e t é o tempo de CPU. Para esta últma análse, (ajuste de curvas pelo método dos mínmos quadrados) são utlzados os tempos de CPU obtdos para os quatro maores problemas resolvdos, de acordo com o tpo de malha empregado. Neste trabalho é utlzado como base o códgo computaconal AMG1R6 crado por Ruge e Stüben (1986). Esse programa resolve problemas dscretzados por dferentes

30 30 métodos, tanto para malhas estruturadas quadrangulares quanto para malhas trangulares. O AMG1R6 traz mplementado o solver Gauss-Sedel, o Gradente Conjugado e o método dreto YALE-SMP. O programa também pode ser executado para dferentes tpos de cclos (V, F, W), com dferentes estmatvas ncas (nula, constante e gual a 1, randômca). O AMG pode ser usado também como um pré-condconador. Neste códgo computaconal são consderadas dversas modfcações, para que os objetvos aqu propostos sejam alcançados. 1.4 Revsão bblográfca Desde o níco dos anos 90, houve um forte aumento no nteresse em métodos multníves algebrcamente orentados. Uma razão para sto, certamente, fo o aumento da complexdade geométrca das aplcações que, tecncamente, lmtaram o uso do método multgrd geométrco (STÜBEN, 2001). Conforme Chang et al. (1996), o método multgrd algébrco clássco fo ntroduzdo por Brandt, McCormck e Ruge em Fo prmero explorado por Stüben em 1983, e popularzado por Ruge e Stüben em De acordo com Ruge e Stüben (1986), o AMG pode ser usado para város tpos de problemas, onde a aplcação do método multgrd geométrco é dfícl ou mpossível. Estes tpos de problemas estão lstados a segur: problemas onde a dscretzação na malha mas fna não permte engrossamento unforme para todos os pontos; problemas causados pelo operador de transferênca entre as malhas, e não pelo domíno. Quando o engrossamento unforme é usado com nterpolação lnear, pode ser dfícl encontrar um processo de relaxação que suavze o erro de forma sufcente para admtr uma boa correção na malha grossa. Algumas vezes, sto pode até não ser possível. problemas em que as nformações são dadas apenas por uma matrz (não possuem nformações geométrcas). O método multgrd algébrco resolve sstemas de equações baseado nos prncípos do multgrd geométrco, mas de um modo que não requer conhecmento explícto da geometra do problema. O AMG determna as malhas grossas, os operadores de transferênca entre as malhas e as equações de malha grossa baseado somente nas entradas da matrz.

31 31 De acordo com Falgout (2006), desde a ntrodução orgnal do método, uma ampla varedade de algortmos AMG tem sdo desenvolvda. Estes algortmos desgnam dferentes classes de problemas e possuem dferentes propredades de robustez e efcênca. Conforme Trottenberg et al. (2001), do ponto de vsta espacal, o AMG tenta engrossar somente nas dreções em que a relaxação realmente suavza o erro. Porém, a nformação relevante está contda na matrz (em termos da magntude e dos snas dos coefcentes). Este processo pode ser melhorado tendo como base apenas a nformação da matrz, produzndo níves grossos que são localmente adaptados para as propredades de suavzação. Uma comparação entre os métodos multgrd geométrco e multgrd algébrco pode ser observada na Tab. 1.2 adaptada de Chang et al. (1996). Tabela 1.2: Comparações entre multgrd geométrco e multgrd algébrco (Adaptado de CHANG et al., 1996) Problema a ser resolvdo Multgrd Geométrco Multgrd Algébrco Problemas Contínuos Sstemas lneares de equações algébrcas Informação usada Estrutura geométrca do problema Somente as entradas da matrz Programa Preparado para cada problema Únco para todos os problemas Efcênca Muto boa Boa A equação de Laplace fo resolvda em Ruge e Stüben (1986), que apresentaram como resultados o tempo da fase setup e de um cclo V. Demonstraram a robustez e a efcênca do método multgrd algébrco em uma varedade de casos, nclundo domínos rregulares. Detrch (1995) resolveu a equação de Posson em malhas não-estruturadas e apresentou como resultados o número de terações (cclos) e o tempo de CPU (fase setup junto com cclo V). Para a obtenção dos resultados, consderou 4 níves de malha (fez 3 engrossamentos), sendo que o sstema de equações na malha mas grossa tem de 30 a 50 ncógntas. Consderou como otmzação o uso do método multgrd como pré-condconador e seus resultados foram comparados aos obtdos com o método de Cholesky ncompleto usado como pré-condconador. O AMG obteve os melhores resultados quando comparados o número de terações e o tempo de CPU. Outros autores também apresentaram estudos para a equação de Posson com AMG. Chang et al. (1996) trabalharam com malhas estruturadas e apresentaram resultados para o tempo de um cclo V e também para a fase setup. Utlzaram uma nova formulação para

32 32 nterpolação, que não somente melhorou a taxa de convergênca, como também pôde ser aplcada a casos mas geras, nclundo matrzes que não sejam dagonal domnante. Krechel e Stüben (1999) aplcaram AMG à equação de Posson, onde o prncpal objetvo fo o de analsar o fator de convergênca de um cclo V. Testaram duas formas de nterpolação combnadas com dferentes formas de se aplcar os passos de suavzação. Brggs et al. (2000) aplcaram o AMG à equação de Posson com o uso de malhas estruturadas e compararam os resultados aos obtdos com o método multgrd geométrco. Apresentaram a norma obtda em cada cclo V conforme o avanço do processo teratvo. Concluíram que, em termos de performance, o AMG é equvalente ao multgrd geométrco. Cleary et al. (2000) mostraram os resultados obtdos para a equação de Posson, tanto para malhas estruturadas quanto para malhas não-estruturadas. Em seus resultados, apresentaram os tempos obtdos para um cclo V e também para a fase setup. Para malhas estruturadas, o fator de convergênca não mostrou dependênca do tamanho da malha, e os tempos obtdos para a fase setup e para o cclo V apresentaram crescmento lnear com o número de ncógntas. Para malhas não-estruturadas (obtdas por trangulação unforme), o fator de convergênca mostrou dependênca com o tamanho da malha. Trottenberg et al. (2001) resolveram problemas tpo Posson com o uso do AMG em malhas estruturadas. Apresentaram resultados para tempos de CPU e número de cclos até a tolerânca estpulada em ser atngda. Apresentaram também resultados para o fator de convergênca para dferentes métodos. De acordo com os autores, é recomendada a aplcação do AMG a equações smples (Equações de Posson ou de Laplace) para o estudo de parâmetros que compõem o método. No presente trabalho, os resultados obtdos para a equação de Laplace são comparados aos obtdos para a equação de Posson em malhas quadrangulares estruturadas. O trabalho de Iwamura et al. (2003) aplcou o AMG1R6 de Ruge e Stüben (1986) a equações que foram dscretzadas com o método dos elementos fntos, em malhas nãoestruturadas em três dmensões. O problema resolvdo neste trabalho envolve a smulação numérca de escoamentos (modelagem da njeção de polímeros). Foram apresentadas comparações entre dversos algortmos utlzados, entre eles AMG1R6 padrão e AMG1R6 com gradente conjugado pré-condconado. Empregaram dferentes valores para o fator de redução de malha, dependendo do nível de malha que estava sendo tratado. Empregaram também dferentes valores para o fator de forte dependênca na malha grossa, dependendo de quantos níves estavam sendo utlzados para a resolução do problema. Concluem que sstemas smples nas malhas grossas (com operadores de complexdade pequenos) são obtdos

33 33 reduzndo substancalmente os sstemas no nível grosso pelo uso de um conjunto pequeno de pontos na malha grossa. O trabalho de Perera et al. (2006) apresentou uma nova abordagem para seleconar as malhas grossas. Esta abordagem fo baseada em uma escolha aproprada para o fator de redução de malha, que consderou a densdade da matrz durante o processo de engrossamento. Este procedmento levou a uma redução da dmensão da matrz para todos os níves, sem perder a robustez do método. Empregaram o AMG pré-condconado com o método gradente conjugado. Falgout (2006) resolveu a equação de advecção-dfusão, dscretzada com o método dos elementos fntos em malhas unformes. Como resultados apresentou o número de terações, níves de malha, tempo para a fase setup e tempo para resolver o problema. Os resultados obtdos neste trabalho foram os esperados para o método multgrd. O fator de convergênca ndepende do tamanho do problema e o aumento do tempo para resolver o problema e do tempo para a fase setup apresentaram crescmento lnear com o número ncógntas. O trabalho de Olvera et al. (2008) apresentou resultados para a equação de Laplace, dscretzada em malhas quadrangulares, resolvda com o método multgrd geométrco. Apresentou um estudo sobre o número de terações nternas (fetas pelo solver) e sobre o número de níves, encontrando valores ótmos para estes parâmetros. Pretende-se comparar qualtatvamente esses resultados aos obtdos no presente trabalho com o método multgrd algébrco. O trabalho de Gaspar et al. (2009) trouxe resultados para o método multgrd geométrco aplcado a malhas trangulares, dscretzadas com o método dos elementos fntos. Compararam duas estratégas de engrossamento. Fzeram testes para dferentes tpos de cclos (V, W e F) e também vararam o número de terações fetas pelo solver. Compararam número de terações externas e número de operações artmétcas. Pelo número de operações artmétcas concluíram que o melhor algortmo para o método multgrd geométrco é o cclo V com uma teração nterna para o solver. Em todos os trabalhos anterormente ctados, não se encontrou um estudo para a obtenção do número ótmo de terações nternas para o método multgrd algébrco. Também não se tem dados sobre o número ótmo de malhas (níves) a ser utlzado no AMG, apesar do valor para este parâmetro estar dsponível em alguns trabalhos. Detrch (1995) utlzou malhas com 4 níves, Krechel e Stüben (1999), utlzaram 7 níves, e resolveram até a malha mas grossa consderada, com 9 varáves. Trottenberg et al. (2001) apresentaram estudos para

34 34 dos níves de malha, Dumett et al. (2002) resolveram problemas com 7, 8, 9 e 11 níves, Retznger et al. (2003), utlzaram 6 níves mas não foram até a malha mas grossa possível e Falgout (2006) resolveu problemas com 5, 6, 8, 9, 12 e 13 níves. Brggs et al. (2000), Cleary et al. (2000) e Perera et al. (2006) utlzaram város tamanhos de problemas em seus testes computaconas, sendo que para todos eles, foram utlzados todos os níves de malha. Na lteratura também é observada dscordânca com relação aos crtéros de parada e tolerâncas utlzadas para o AMG. Detrch et al. (1995) empregaram o resíduo baseado na norma l 2 e levaram o processo teratvo até que se atnja a tolerânca de Chang et al. (1996) calcularam o resíduo admensonalzado pela estmatva ncal e mantveram a tolerânca fxa em 6 10, assm como Falgout (2006) que empregou a tolerânca de Cleary et al. (2000) calcularam a norma do resíduo de um cclo para outro. Nenhum desses autores nforma como fo determnada a tolerânca adotada. Neste trabalho, o crtéro de parada baseado na norma l 2 do resíduo, admensonalzada pela norma na estmatva ncal, é o adotado. Este crtéro de parada, além de ser empregado por Brggs et al. (2000) e Trottenberg et al. (2001), anda é o utlzado por Olvera et al. (2008), que terão seus resultados comparados aos obtdos nesta tese.a tolerânca é determnada para cada um dos problemas abordados. Mas detalhes sobre a obtenção da tolerânca para cada um dos problemas são apresentados no Capítulo 3. Observa-se que não se tem estudos para a nfluênca do fator de redução da malha sobre o tempo de CPU. Este número, que é uma constante entre 0 e 1, ( 0 1), quantfca se um ponto está fortemente conectado a outros. Este parâmetro nfluenca dretamente a geração das malhas auxlares para a aplcação do AMG. Usualmente é adotado 0, 25, conforme é recomendado em Trottenberg et al. (2001), que afrmaram que este é um valor padrão razoável. Ruge e Stüben (1986), Chang et al. (1996), Krechel e Stüben (1999) e Cleary et al. (2000) também utlzaram 0, 25. Por analoga ao GMG, consderando uma malha estruturada, 0, 25 ou 1 4 corresponde à nterpolação de quatro pontos (norte, sul, leste e oeste) para se obter o ponto da malha medatamente mas fna, o que corresponde à razão de engrossamento r 2 para o GMG. Brggs et al. (2000) utlzaram 0, 2 e Falgout (2006) empregou 0, 4. Perera et al. (2006) empregaram város valores de, pos seus dados de entrada estão na forma matrcal (estes valores foram obtdos por meo de um cálculo que leva em conta a densdade da matrz). Os resultados de Perera et al. (2006) sugerem que o uso de pequenos

35 35 valores para produzem uma grande redução na malha e no operador de complexdade. Em conseqüênca a sso, há uma redução nos tempos para a fase setup e para a fase de solução do AMG. Porém o uso de pequenos valores para pode aumentar o fator de convergênca, reduzndo a robustez do método. Para Campos et al. (2006), a escolha de nfluenca dretamente o número de pontos da malha em cada nível, ou seja, o número de entradas não-nulas de cada matrz. Grandes valores para geram matrzes nas malhas grossas com mas nformações a respeto das malhas mas fnas. Isto contrbu para a rápda convergênca em termos do número de terações. Por outro lado, esta melhora não resulta em menores tempos de CPU, já que cada nível é computaconalmente mas custoso. Não foram encontrados estudos da nfluênca do fator de forte dependênca na malha grossa no tempo de CPU. Este parâmetro é uma constante e seu valor, que dever ser postvo, está fxado em 0, 35, conforme encontrado em Ruge e Stüben (1986), Chang et al. (1996), Krechel e Stüben (1999), Brggs et al. (2000), Cleary et al. (2000) e Falgout (2006). Em Trottenberg et al. (2001) fo utlzado 0, 20 e em Iwamura et al. (2003), 0,35 e 0, 45, de acordo com o nível de malha que estava sendo resolvdo. Alguns dos parâmetros aqu estudados são comparados com os ótmos obtdos para o método multgrd geométrco, encontrados em Olvera et al. (2008). Exstem alguns trabalhos dsponíves na lteratura, que trazem comparações entre AMG e GMG. Resultados numércos podem ser encontrados em Brggs et al. (2000), que apresentaram comparações entre o método multgrd algébrco e geométrco para a equação de Posson 2D, dscretzada em malhas estruturadas quadrangulares, com o método de dferenças fntas. Deste exemplo, concluu-se que a norma obtda em cada cclo V com o AMG tem o mesmo fator de redução que o encontrado para o multgrd geométrco. Concluu-se anda que, para o caso de malhas estruturadas, o AMG utlza mas memóra computaconal e gasta mas tempo de CPU na resolução do problema, quando comparado ao multgrd geométrco (a fase setup do AMG gasta sete vezes mas tempo que um cclo V (tempo total) do GMG, para a malha com 64 ncógntas). Haase e Langer (2002) compararam os resultados obtdos para o método multgrd algébrco com os obtdos para o multgrd geométrco, para um problema de campo magnétco. Usaram apenas 3 malhas, tanto para o AMG quanto para o GMG, sendo que a malha consderada grossa para o AMG teve menos de 500 ncógntas, e para o GMG teve

36 ncógntas. Analsaram o tempo de CPU, número de terações e speedup, para o problema resolvdo com computação paralela. O trabalho de Watanabe et al. (2005) comparou os tempos de CPU para os dos métodos. Concluíram que os tempos obtdos para o AMG e o GMG aumentam lnearmente com o número de ncógntas, sendo que o GMG é aproxmadamente 3 vezes mas rápdo que o AMG. Langer e Pusch (2006) compararam os dos métodos (AMG e GMG), précondconados, para a equação de Laplace em 3 dmensões. Fzeram comparações do número de cclos para o AMG e o GMG. Wu e Elman (2006) resolveram a equação de advecção-dfusão dscretzada com o método de elementos fntos, empregando AMG e GMG, em malhas adaptatvas e unformes. Compararam o número de terações que cada método levou para convergr. Concluíram que a taxa de convergênca deterora quando os parâmetros dfusvos dmnuem. Campos et al. (2006) compararam a performance do AMG com GMG, ambos précondconados e com algortmos paralelos para um sstema não-lnear de equações dferencas. Apresentaram resultados para número de níves do GMG e número de níves e fator de redução de malha para o AMG, quando são utlzados dferentes números de processadores. O número de níves do GMG varou de 2 até 6, e do AMG, de 6 até 16. Os valores testados para o fator de redução de malha foram: 0,25; 0,50 e 0,75. Os resultados mostraram que, para o GMG, o número de níves ótmo, para um processador, é 2. Para o AMG, o melhor fator de redução de malha é 0,25, e o número de níves ótmo é Objetvos Este trabalho tem por objetvo otmzar os parâmetros do algortmo do método multgrd algébrco, através da avalação de seus parâmetros em malhas estruturadas quadrangulares e trangulares. Comparações qualtatvas são fetas com os parâmetros já conhecdos para o método multgrd geométrco. O método multgrd algébrco é aplcado às equações de Laplace e Posson. Os objetvos geras do trabalho são: Analsar os parâmetros do método multgrd algébrco em malhas estruturadas quadrangulares e trangulares.

37 37 Mnmzar o tempo de CPU para o método multgrd algébrco em malhas estruturadas quadrangulares e trangulares para as equações de Laplace e Posson. Os objetvos específcos são: Para a equação de Laplace, em um domíno de cálculo quadrado, dscretzado com malhas estruturadas quadrangulares e trangulares e para a equação de Posson, dscretzada em um domíno de cálculo quadrado com malhas estruturadas quadrangulares, pretende-se: Encontrar o número ótmo de terações nternas; Encontrar o número ótmo de malhas (níves); Encontrar o valor ótmo para o fator de redução de malha; Encontrar o valor ótmo para o fator de forte dependênca na malha grossa; Avalar o efeto do número de ncógntas no tempo de CPU; Avalar os parâmetros acma quando alteradas as condções de contorno para a equação de Laplace; Comparar os parâmetros ótmos encontrados para malhas estruturadas quadrangulares com os obtdos para malhas estruturadas trangulares; Comparar os parâmetros ótmos encontrados para o método multgrd algébrco em malhas estruturadas quadrangulares com os já conhecdos para o método multgrd geométrco. Comparar os parâmetros ótmos obtdos para a equação de Laplace com os obtdos para a equação de Posson, ambas com o AMG em malhas estruturadas quadrangulares; Obter resultados em malhas trangulares mas refnadas que as apresentadas na lteratura. 1.6 Organzação do texto Neste capítulo foram descrtas as generaldades em dnâmca dos fludos computaconas, além de ter apresentado os problemas a serem abordados nesta tese. Fo

38 38 apresentada anda a motvação para a realzação deste trabalho, além da revsão bblográfca, que ctou os trabalhos mas relevantes para a defnção dos objetvos desta tese. No próxmo capítulo é apresentada a fundamentação teórca sobre os métodos teratvos para a solução de sstemas de equações lneares, sobre o crtéro de convergênca a ser adotado, e a teora do método multgrd algébrco. Tem-se também as formulações para o método dos volumes fntos aplcado a malhas estruturadas trangulares e para o método de dferenças fntas aplcado à malhas quadrangulares. No capítulo 3 é apresentada uma análse dos códgos computaconas empregados na resolução das equações dferencas em questão. Esta análse é feta através do estudo de erros numércos. No capítulo 4 são apresentados os resultados obtdos em malhas quadrangulares, para as equações de Laplace e Posson. No capítulo 5 têm-se os resultados obtdos em malhas trangulares, para a equação de Laplace. No capítulo 6 são apresentadas as conclusões, as contrbuções desta tese, algumas recomendações prátcas para o uso do AMG, além de sugestões para trabalhos futuros. No apêndce A tem-se uma demonstração do operador de nterpolação para o AMG, e no apêndce B é apresentado um estudo complementar para o fator de redução de malha para o problema lnear em malhas quadrangulares.

39 39 2 Fundamentação teórca Neste capítulo é apresentada uma revsão dos métodos teratvos báscos e a fundamentação teórca do método multgrd algébrco. Na seqüênca, têm-se as formulações utlzadas na dscretzação das equações dferencas, tanto com o uso do método de dferenças fntas, para malhas estruturadas quadrangulares, quanto para o método dos volumes fntos, para malhas estruturadas trangulares. São apresentados também os modelos matemátcos e numércos aqu resolvdos, bem como as varáves de nteresse consderadas para a verfcação do códgo computaconal, utlzadas no Capítulo Métodos teratvos e análse de convergênca Os métodos numércos utlzados para a obtenção da solução de sstemas lneares podem ser dvddos em dos grupos (CUNHA, 2003): métodos dretos (que conduzem à solução exata, a menos de erros de arredondamento ntroduzdos pela máquna após um número fnto de passos) e métodos teratvos (que são baseados na construção de seqüêncas de aproxmações). Nos métodos teratvos, a cada passo, os valores calculados anterormente são usados para melhorar a aproxmação. Os métodos dretos podem ser nváves quando o sstema de equações é muto grande ou mal condconado. Por outro lado apresentam a vantagem de fornecer a solução após um número fnto de passos e de não dependerem de crtéros de convergênca. Os métodos dretos mas utlzados são (FORTUNA, 2000): elmnação de Gauss, fatoração LU, TDMA (TrDagonal Matrx Algorthm), sendo este últmo aplcado a sstemas trdagonas de equações. Os métodos teratvos geram uma seqüênca de vetores a partr de uma aproxmação ncal. Sob certas condções esta seqüênca converge para a solução exata, caso ela exsta. Segundo Fortuna (2000), os métodos teratvos apresentam a vantagem de serem aplcáves

40 40 quando o sstema de equações é não-lnear. De acordo com Burden e Fares (2009), estes métodos apresentam vantagens quando se tem problemas com mutas ncógntas, além de aprovetarem a esparsdade da matrz de coefcentes. Alguns exemplos de métodos teratvos: método de Jacob, Gauss-Sedel, SOR, ADI, MSI. Neste trabalho, o método empregado para a resolução de sstemas de equações algébrcas (solver), é o método de Gauss-Sedel com ordenamento lexcográfco. Este método é o utlzado, pos é o mas empregado pela lteratura além de ser de fácl mplementação. A aplcação deste método a uma equação qualquer está descrta a segur. Dada uma equação dferencal governante para o caso bdmensonal, uma equação algébrca é formada para cada volume de controle consderando o método dos volumes fntos (Eq. 2.1). Veja abaxo o exemplo de um esquema de 5 pontos, onde a localzação dos pontos pode ser observada na Fg. 2.1: n s e w a, ju, j a, ju 1, j a, ju1, j a, ju, j1 a, ju, j1 f, j (2.1) u 1, j u, j1 u, j u, j 1 u 1, j Fgura 2.1: Malha geométrca utlzada para Gauss-Sedel Na Eq. (2.1), a, j são os coefcentes, j u, são as varáves nodas ou nós do volume de controle e f, é o termo fonte. O método de Gauss-Sedel é um método teratvo usado para j resolver este tpo de sstema de equações. Este método resolve o sstema vstando equação por equação, teratvamente, usando em um mesmo cclo os valores das varáves já calculadas neste cclo teratvo. Pode-se reescrever a Eq. (2.1) na forma: m1 n m s m1 e m w m1 a, ju, j a, ju1, j a, ju1, j a, ju, j1 a, ju, j1 f, j (2.2)

41 41 onde o superíndce m representa a m-ésma teração e os subíndces, j representam a posção do nó na malha computaconal. Neste caso, como fo utlzado ordenamento lexcográfco, tem-se as ncógntas tomadas de oeste para leste e do sul para o norte, podendo-se consderar como conhecdas, na mesma teração, as varáves u, j1 e u 1, j. O procedmento para o método Gauss-Sedel está descrto na Tab Tabela 2.1: Procedmento teratvo Gauss-Sedel (BURDEN e FAIRES, 2009) Procedmento Gauss-Sedel para Au 0 1) Dados: m=0, m_maxmo e u ; m1 2) Calcular u pela Eq. (2.2) para todo, j;, j 3) Faça m receber m+1; 4) Volte ao passo 2 até convergr ou atngr m_maxmo. f Segundo Ferzger e Perc (2002), quando o método utlzado para se resolver os sstemas de equações é teratvo, como o adotado neste trabalho, é mportante adotar um crtéro de parada, conforme descrto a segur. Bascamente, deve-se lembrar que a dscretzação de uma equação dferencal através de um método numérco resulta na Eq. (1.1), que será repetda aqu para fns ddátcos: Au f (2.3) O resíduo para o sstema apresentado pela Eq. (2.3) é defndo genercamente por (Ferzger e Perc, 2002) r m m f Au (2.4) onde m u é a solução da ncógnta na teração m e partcular que será tratado neste trabalho, tem-se: m r é o resíduo na teração m. Para o caso m m m m m m r a, j 1u, j1 a, j1u, j1 a 1, ju1, j a 1, ju1, j a, ju, j (2.5) dado por: O crtéro para nterromper o processo teratvo com base no resíduo das equações é

42 42 L m Tol parar (2.6) 0 L onde m L é a norma dos resíduos na teração m; 0 L é a norma dos resíduos na estmatva ncal. Neste caso, os resíduos calculados são admensonalzados pela norma da estmatva ncal, e Tol, é a tolerânca admtda para nterromper o processo teratvo. A norma empregada pode ser norma l 1, norma Eucldana (ou norma l 2 ), norma do máxmo (ou norma l ) (KREYSZIG, 1999) entre outros. Neste trabalho é empregada a norma l 2 do resíduo, dada pela Eq. (2.7): L m r m 2 N m r j j1 2 (2.7) onde N é o número de ncógntas e m é a teração. Por questões prátcas, o crtéro de parada adotado neste trabalho é referencado por norma l 2 do resíduo nas ctações do texto que seguem. A tolerânca é estmada no próxmo capítulo, sendo que seu valor é obtdo com base em testes computaconas, que tem o processo teratvo levado até o erro de máquna ser atngdo. 2.2 Equação resdual No contexto do método multgrd, a equação resdual tem relevante mportânca para a obtenção da solução do sstema de equações. Em sstemas lneares, para a obtenção da equação resdual, deve-se supor que o sstema dado pela Eq. (2.3) possu solução únca, e que v é uma aproxmação calculada para u. Conforme Brggs et al. (2000), exstem duas mportantes meddas de v como uma aproxmação de u. Uma delas é o erro (também chamado de erro algébrco) dado por: e u v (2.8) A magntude do vetor do erro pode ser meddo através de normas de vetores (BURDEN e FAIRES, 2009). As normas mas utlzadas são: norma do máxmo (ou norma

43 43 nfnto) e norma Eucldana, ambas do erro, defndas pelas Eqs. (2.9) e (2.10), respectvamente: e max e (2.9) 1 jn j N 2 e j j1 e (2.10) 2 Mutas vezes, este erro é tão nacessível quanto a solução exata do sstema. Porém, uma medda calculável de como v se aproxma de u, é o resíduo dado por: r f Av (2.11) O resíduo é uma medda de quanto a aproxmação v falha ao satsfazer o problema orgnal. Seu módulo também pode ser meddo através de normas de vetores. A relação entre erro e resíduo é dada pela equação resdual: Ae r (2.12) Esta equação nforma que o erro satsfaz o mesmo conjunto de equações com a varável u, quando f é substtuída pelo resíduo r. A equação resdual apresenta uma grande vantagem. Supondo que uma aproxmação v seja determnada por algum método teratvo, o resíduo é calculado através da Eq. (2.11). Para se obter uma melhor aproxmação v, a equação resdual (Eq. (2.12)) é resolvda para e e então uma nova aproxmação é calculada usando a defnção do erro: u v e (2.13) dado por: Para sstemas de equações não-lneares, dados pela Eq. (1.2), tem-se que o resíduo é r f A v (2.14)

44 44 E a relação entre o erro ( e u v ) e o resíduo é dada pela equação resdual: A u Av r (2.15) A Eq. (2.15) reca na Eq. (2.12) quando se tem sstemas lneares. 2.3 Método multgrd algébrco Nesta seção é apresentada a teora para o método multgrd algébrco (AMG). São expostos os prncípos fundamentas deste método e os procedmentos aplcados para se fazer o engrossamento e a prolongação. São apresentados também os algortmos empregados na resolução de problemas com o uso do AMG Prncípos fundamentas O método multgrd é composto por dos prncípos báscos (WESSELING, 1992 e BRIGGS et al., 2000): prncípo de suavzação e prncípo de malha grossa. O prncípo de suavzação assegura que métodos teratvos clásscos (como Gauss-Sedel, por exemplo), quando aplcados apropradamente a problemas elíptcos dscretos, têm um forte efeto de suavzação sobre o erro de qualquer aproxmação. O prncípo de malha grossa afrma que, um termo de erro suave é bem aproxmado em uma malha grossa. Um procedmento em malha grossa gasta menos tempo de CPU e usa menos memóra computaconal que um procedmento em malha fna. Grande parte dos métodos teratvos padrão apresenta propredades de suavzação de erros locas de alta freqüênca (componentes osclatóros do erro), enquanto as baxas freqüêncas são mantdas pratcamente nalteradas. Deste modo, as prmeras terações do processo, geralmente apresentam rápda convergênca, caracterzando a presença de modos osclatóros do erro. Porém, após algumas terações a convergênca torna-se lenta, snalzando a presença de modos suaves (BRANDT, 1977; WESSELING, 1992). Para lustrar este procedmento, é resolvdo o exemplo encontrado em Brggs et al. (2000). A equação de Laplace undmensonal, dscretzada com o método de dferenças fntas, é resolvda com o uso do método de Jacob ponderado (com 2 3 ). Para a

45 Modos de Fourer 45 resolução deste problema, a estmatva ncal aplcada é dada pelos modos de Fourer, que são dados pela Eq. (2.16). Os modos de Fourer para alguns valores de k podem ser observados na Fg v j sen jk, 0 j n, 1 k n 1 n (2.16) onde j é a componente do vetor v, n é o número de elementos e k é o número de ondas ou modos de Fourer. Na Fg. 2.2 podem ser observados os modos de Fourer para k=1, k=2, k=6. Os valores para k denotam quantos meo-senos consttuem a curva v no domíno do problema. A notação v k ndca um vetor v que contém k ondas. 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2-0,4-0,6-0,8-1,0 v 1 v 2 v 6-1,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 x [m] Fgura 2.2: Modos de Fourer Nota-se na Fg. 2.2 que pequenos valores de k correspondem a ondas longas e suaves, enquanto que valores maores de k se referem a ondas mas curtas e osclatóras. De acordo com Brggs et al. (2000) e Trottenberg et al. (2001), os métodos teratvos, como Jacob e Gauss-Sedel, possuem propredades de suavzação, ou seja, são capazes de reduzr rapdamente as componentes de erros osclatóros (ou de alta freqüênca). Os modos de Fourer localzados na metade nferor do espectro, com 1 k N 2, são chamados de modos de Fourer de baxa freqüênca ou modos suaves. Os modos de Fourer localzados na metade superor do espectro, N 2 k N 1, são chamados de modos de

46 Erro Erro 46 Fourer de alta freqüênca ou modos osclatóros. Nota-se então que a defnção dos modos de Fourer como sendo modos suaves ou osclatóros, depende do número de ncógntas do problema que está sendo resolvdo. A equação de Laplace, dscretzada com o método de dferenças fntas, é resolvda agora com estmatva ncal dada pela combnação de dos modos de Fourer ( v2 v16). O domíno de cálculo é dscretzado com dos tamanhos de malhas dferentes: uma malha com 128 ncógntas e a outra com 32 ncógntas. Na Fg. 2.3 (a) pode-se observar a solução para esta equação na malha mas refnada, enquanto que na Fg. 2.3 (b), está lustrada a solução obtda para a malha mas grossa. Observa-se que, para as duas malhas, são consderadas três stuações: a estmatva ncal, o resultado após 10 e após 100 terações Estmatva Incal 10 terações 100 terações (a) 128 ncógntas x(m) Estmatva ncal 10 terações 100 terações (b) 32 ncógntas x(m) Fgura 2.3: Comportamento da suavzação do erro em métodos teratvos

47 47 Na malha mas refnada, Fg. 2.3 (a), após 10 terações, nota-se a suavzação das componentes de alta freqüênca, enquanto que as de baxa freqüênca permanecem pratcamente nalteradas. Após 100 terações, nesta malha, nota-se que os erros que eram de alta freqüênca estão suavzados, enquanto que, as componentes de baxa freqüênca, são pouco afetadas por esta propredade de suavzação. Já na Fg. 2.3 (b), para a malha mas grossera, depos de 10 terações, nota-se a suavzação das componentes de alta e baxa freqüênca. Após 100 terações, esta suavzação fca anda mas evdente, tanto para as componentes de alta quanto de baxa freqüênca. Na Fg. 2.4, obtda de Brggs et al. (2000) pode-se observar como as componentes de erro suave apresentam-se em uma malha fna e em uma malha grossa. Na parte superor da Fg. (2.4) tem-se o modo de Fourer para a malha fna e na nferor, o mesmo modo de Fourer projetado na malha medatamente mas grossa. Fgura 2.4: Número de ondas k=4, sobre uma malha fna com N=12 e sobre uma malha grossa com N=6 (Brggs et al., 2000) O modo de Fourer antes de ser projetado da malha com 12 ncógntas para a malha com 6 ncógntas, tem k=4 e, pela defnção, para N=12, tem-se um modo suave. Por outro lado, o modo de Fourer após ser projetado da malha fna para a malha grossa, tem N=6 para o mesmo k=4. Pela defnção, tem-se um modo osclatóro. Pode-se conclur que o modo de Fourer, quando projetado para a malha grossa, torna-se um modo osclatóro. Desta dscussão pode-se conclur que, na malha mas fna, os erros de alta freqüênca são suavzados e, na malha mas grossa são suavzados os erros de alta e baxa freqüênca. Como o nteresse é de se resolver problemas nas malhas mas refnadas possíves, quando os

48 48 erros na malha fna apresentarem comportamento suave, recomenda-se a transferênca do problema para uma malha com menos ncógntas (malha grossa). Nesta malha, as componentes de erro de baxa freqüênca serão suavzadas. Um esquema teratvo aproprado em dferentes níves de malha dará uma rápda redução das componentes de alta freqüênca correspondentes e, como este processo passa por todas as freqüêncas, uma rápda redução do erro global pode ser alcançada. A taxa de convergênca deal (teórca) do método multgrd é ndependente do tamanho da malha, ou seja, ndepende do número de pontos da malha (ROACHE, 1998 e FERZIGER e PERIC, 2002). Segundo Brggs et al. (2000) para qualquer algortmo multgrd, as mesmas componentes fundamentas são necessáras: deve haver uma seqüênca de malhas, operadores de transferênca entre as malhas, um suavzador (solver) e operadores de malha grossa e fna. No algortmo multgrd otmzado, tenta-se construr as componentes para os problemas e obter alta efcênca para o processo de solução. A déa de um algortmo multgrd robusto é escolher as componentes, ndependente do problema dado, para a maor classe de problemas possível (TROTTENBERG et al., 2001). Conforme Krechel e Stüben (1999), em qualquer abordagem com o método multgrd, suavzação e correção na malha grossa são usadas em conjunto para elmnar o erro. Isto é devdo às componentes do erro, que não podem ser corrgdas por um problema na malha grossa, que podem ser efcentemente reduzdas pela suavzação. No método multgrd geométrco, uma herarqua de malhas e nterpolação lnear são usadas, de forma que a relaxação pode ser escolhda de modo que o erro seja suavzado na déa geométrca usual. Abordagens mas robustas empregam componentes sofstcadas do multgrd, como suavzadores complexos, nterpolação operador-dependente, operadores de Galerkn e/ou malhas com múltplos sem-engrossamentos. Uma alternatva para se obter a robustez é a abordagem destes problemas com o método multgrd algébrco. A prncpal dferença entre multgrd algébrco e geométrco é que a aproxmação geométrca emprega uma herarqua de malhas fxa e uma nteração entre suavzação e correção da malha grossa é assegurada pela seleção aproprada do processo de suavzação. Em contraste a sto, o AMG fxa o suavzador a algum esquema de relaxação smples, tal como relaxação Gauss-Sedel, e então é forçado a ter uma nteração efcente com a correção da malha grossa pela escolha do nível grosso e nterpolação apropradas (TROTTENBERG et al., 2001). De acordo com Krechel e Stüben (1999), esta forma de se tratar os problemas com o AMG, resultará em uma grande flexbldade em adaptação das exgêncas específcas do

49 49 problema a ser resolvdo. Esta flexbldade rá fazer com que o AMG possa ser aplcado a város problemas aos quas o multgrd geométrco não pode ser empregado Teora básca do AMG Incalmente, no AMG, é feta a seleção de um esquema de relaxação, que permte determnar a natureza do erro suave. Como não se tem acesso à malha físca do problema, a déa de suavzação pode ser defnda algebrcamente. Conforme Trottenberg et al. (2001), do ponto de vsta algébrco, esta é uma questão mportante para dstngur erros suaves de não suaves. Defnção 2.1: Erro suave, ou algebrcamente suave, é qualquer erro que não é efetvamente reduzdo por um método de relaxação (Brggs et al., 2000). O próxmo passo é o uso desta déa de suavzação para seleconar as malhas grossas, que serão subconjuntos das ncógntas. É necessáro fazer a escolha do operador de transferênca entre as malhas que permte engrossamento efetvo. De acordo com BRIGGS et al. (2000), depos de defndo o esquema de relaxação, a malha grossa seleconada deve ser tal que as componentes suaves do erro sejam representadas acuradamente. O operador de nterpolação deve ser defndo de forma que as componentes suaves possam ser transferdas da malha grossa para a malha fna. Além dsso, o operador de restrção e a versão da malha grossa de A devem ser defndos usando as propredades varaconas. Fnalmente, são seleconadas as versões do operador da malha grossa, de forma que a correção da malha grossa tenha o mesmo efeto que no multgrd geométrco, ou seja, elmne as componentes de erro na varação do operador de nterpolação. Por questões ddátcas, as componentes do AMG serão aqu descrtas para dos níves de malha, onde os índces h e H rão denotar malha fna e malha grossa, respectvamente. A Eq. (2.3) pode ser reescrta como: A u h h f h ou h j a h j u h j f h h (2.17)

50 50 onde h denota o conjunto de índces corresponde a uma matrz esparsa. 1,2,...,n. Implctamente será assumdo que A h Para se obter os pontos nas malhas grossa e fna, é necessáro fazer uma partção de h em dos subconjuntos dsjuntos no nível grosso (varáves C) e h h h C F Assumndo que tal partção é dada e defnndo torna-se:, onde h C representa as varáves que estão h F é dado pelo conjunto complementar (varáves F). H C h, o sstema AMG no nível grosso A H u H f H ou l H a H kl u H l f H k k H (2.18) que é construído baseado no prncípo de Galerkn, ou seja, a matrz segunte forma: A H é defnda da A I A I (2.19) H H h h h H onde h I H e H I h denotam os operadores de nterpolação e restrção, respectvamente. Na subseção que trata de algortmos (subseção 2.3.5), pode-se observar como é feta a construção da matrz na malha medatamente mas grossa. Como em qualquer método multgrd, é necessáro um processo de suavzação com um correspondente operador de suavzação lnear forma: S h. Ou seja, um passo de suavzação é da u h 1 h I S A f h Shu h h h (2.20) onde h u é a solução suavzada e I h denota o operador dentdade. Conseqüentemente, o erro e h u h v h, onde h u denota a solução exata da Eq.(2.17), é transformado como: h h e She (2.21) onde h e é o erro suavzado. Neste trabalho, o AMG será empregado com processos de suavzação smples, como por exemplo, relaxação Gauss-Sedel.

51 51 A construção da partção C/F e dos operadores de transferênca h I H e H I h envolvem processos proxmamente relaconados e, sempre que forem menconados os operadores de transferênca, será assumdo mplctamente que uma partção C/F é dada. De acordo com Trottenberg et al. (2001), estas componentes necesstam ser seleconadas como uma nterface efcente entre suavzação e correção de malha grossa, para que a boa convergênca seja obtda. Uma observação mportante deve ser feta de acordo com Trottenberg et al. (2001): as partções C/F devem ser cradas tão unformes quanto possível, ou seja, com varáves em F sendo lmtadas pelas varáves em C para nterpolação. Embora não exsta prova algébrca, a nterpolação tende a ser consderavelmente melhor, resultando em convergênca muto mas rápda. Defnção 2.2: Um ponto é defndo sendo (dretamente) acoplado (ou conectado) ao ponto j h h se j 0 a. Defnção 2.3: A vznhança para o ponto é dada por: N h h h j j, a : 0 (2.22) j O prmero conceto mportante para o multgrd algébrco já fo dscutdo: quando um erro é consderado algebrcamente suave (Defnção 2.1). Um segundo conceto a ser examnado é o de forte dependênca ou forte nfluênca. É necessáro determnar que outras varáves são mas mportantes na -ésma equação, ou seja, quas valores de mportantes na -ésma equação para se obter u j são mas u. Para a determnação destas varáves é necessáro defnr alguns conjuntos de pontos, conforme explctado a segur. Defnção 2.4: Uma varável tem forte acoplamento negatvo (ou está fortemente n- acoplada) a outra varável j, se a j max a ak 0 k com fxo 0 1 (2.23) sendo aqu chamado de fator de redução da malha.

52 52 seja, Defnção 2.5: Denota-se S o conjunto de pontos que nfluencam fortemente, ou S j N : é fortemente n acoplada a j (2.24) Defnção 2.6: O conjunto de pontos que dependem fortemente do ponto é dado por: S T j j : S (2.25) Engrossamento Exstem váras formas para se fazer o engrossamento no método multgrd algébrco dsponíves na lteratura. Em Trottenberg et al. (2001) estão detalhados engrossamento padrão (baseado nas fortes conexões negatvas), engrossamento agressvo e anda engrossamento baseado nas fortes conexões postvas. Neste trabalho será mplementado o engrossamento padrão, devdo às entradas da matrz, que em geral, são negatvas. Outro fator que nfluencou nesta escolha é que o engrossamento agressvo apresenta duas desvantagens: faz com que a suavzação seja menos efetva e também com que a nterpolação seja menos acurada (TROTTENBERG et al., 2001). Para o engrossamento padrão, consdera-se que a partção C/F é baseada em acoplamentos dretos: para cada varável em F é necessáro ter um número mínmo de acoplamentos j N. Estes acoplamentos devem ser representados em C de forma que afetem o erro para o máxmo em. A partção C/F resultante será tal que todas as varáves em F tenham uma substancal conectvdade negatva (dreta) para a vznhança das varáves em C. Com este procedmento, o engrossamento é essencalmente feto nas dreções em que o erro algebrcamente suave vara lentamente. A proposta deste algortmo corresponde a uma escolha prelmnar do ponto em C. O procedmento é ncado quando é defnda alguma varável para se tornar uma varável em C. Todas as varáves j, que são fortemente n-acopladas a tornam-se varáves em F. Na seqüênca, das varáves ndefndas restantes (varáves que anda não foram tratadas), outra varável é defnda para se tornar uma varável em C. Todas as varáves ndefndas que são

53 53 fortemente n-acopladas a ela passam a ser varáves em F. Este processo é repetdo até que todas as varáves sejam tratadas. O procedmento completo pode ser observado na Fg Defnção 2.7: Para qualquer varável ndefnda, é calculada uma medda de mportânca, : T T S U 2 S F U (2.26) onde U, para qualquer estágo do algortmo, denota o conjunto de varáves ndefndas, S T U é a quantdade de varáves ndefndas que dependem fortemente de e S T F é a quantdade de varáves em F que dependem fortemente de. Para a obtenção de é necessáro que exsta uma tendênca na construção da partção, ncando em uma varável e segundo até que todas sejam atngdas. O fator age como uma medda de quanto a varável U é uma varável em C, dando o estado atual de C e F. Para um estêncl de 9 pontos sotrópco, os passos do engrossamento são lustrados na Fg Nessa fgura, o conjunto h aparece no canto superor esquerdo e a seleção fnal na parte nferor central da fgura. Os círculos representam os pontos, e os números que estão no seu nteror, são os valores calculados para. Os pontos que se encontram no contorno tornam-se varáves em F. Desta forma, tas varáves não requerem nterpolação. Depos de termnado o algortmo, todas as varáves em F têm (pelo menos) um forte n-acoplamento a uma varável em C. Na Fg. 2.5 (a), têm-se os valores de calculados para todos os pontos do domíno de cálculo. Na seqüênca, na Fg. 2.5 (b), toma-se o ponto que tem maor valor para, de acordo com ordenamento lexcográfco. Este ponto será um ponto em C. Os pontos que estão conectados a C, tornam-se pontos em F, conforme lustrado na Fg. 2.5 (c). Na seqüênca, são recalculados os valores de para os pontos que faltam ser tratados, conforme Fg. 2.5 (d). O procedmento é repetdo, consderando sempre ordenamento lexcográfco para a cração de um novo ponto em C. Para a construção da partção C/F o algortmo a ser segudo está detalhado na subseção

54 (a) (b) (c) (d) (e) (f) n n Pontos de Pontos da próxma nspeção h Pontos de C Novos pontos de C Pontos de F (g) (h) Fgura 2.5: Seqüênca do procedmento de seleção dos pontos (Adaptado de Falgout, 2006) Prolongação Conforme Trottenberg et al. (2001) para se obter rápda convergênca, erros algebrcamente suaves necesstam ser bem aproxmados pela nterpolação. Por outro lado, a dmensão do operador do nível grosso (e o tempo para calculá-lo) depende fortemente do número de varáves em C. Como a efcênca global é determnada pela velocdade de convergênca e a quantdade de trabalho por cclo, faz-se necessáro lmtar o número de

55 55 varáves em C garantndo que todas as varáves em F são fortemente conectadas às varáves em C. De acordo com Trottenberg et al. (2001), a prolongação no AMG pode ser obtda de váras formas: pelo método de nterpolação dreta, nterpolação padrão, nterpolação multpassos, nterpolação de Jacob ou anda fazendo um truncamento da nterpolação. Neste trabalho é utlzada a nterpolação padrão, que será detalhada a segur. Este procedmento é aplcado vsto que a partção C/F é construída por meo de engrossamento padrão. Esta estratéga assegura que exste uma forte conectvdade de F-C. Supondo que e, C erro suave que pode ser nterpolado para a malha fna fortemente um ponto em F, então o valor, é um conjunto de valores na malha grossa representando um C F. Se um ponto j em C nfluenca e j contrbu fortemente para o valor de e na - ésma equação (malha fna). Conforme Brggs et al. (2000) uma quantdade u na malha fna pode ser nterpolada por uma quantdade u j na malha grossa se depender fortemente de j. Isto é justfcado pelo fato de que o erro suave vara lentamente na dreção da forte conexão. por Desta forma, para cada ponto na malha fna, é defnda uma vznhança de, denotada N, que já fo defnda pela Eq. (2.22). Estes pontos podem ser dvddos em três categoras (BRIGGS et al., 2000): os pontos da vznhança da malha grossa que nfluencam fortemente, ou seja, o conjunto dos pontos nterpoladores que estão na malha grossa, denotado por C, onde C C S ; os pontos da vznhança da malha fna que nfluencam fortemente, ndcado s por D, que é dado por D D S onde D N C ; s os pontos que nfluencam fracamente, denotado por w D. É um conjunto que pode conter pontos na malha grossa e na malha fna. Estes pontos são chamados de vznhos fracamente conectados. O conjunto D w D S. w D é dado por Os pontos que possuem forte e fraca nfluênca sobre um ponto podem ser observados na Fg Os pontos da malha grossa são ndcados pelos círculos abertos. Os

56 56 pontos em C com forte nfluênca sobre são ndcados com as lnhas contínuas, os pontos em F que nfluencam fortemente com lnhas tracejadas, e os pontos em F que nfluencam fracamente com lnhas pontlhadas. +n-1 +n +n n-1 -n -n+1 Fgura 2.6: Ilustração de nfluêncas fortes e fracas sobre o ponto (BRIGGS et al., 2000) O operador de nterpolação h I H é dado por: H e se C h H I He H wje j se F (2.27) jc onde w j são os pesos da nterpolação dados pela Eq. (2.28), cuja dedução pode ser observada no Apêndce A: amamj aj s m D amk kc w j (2.28) a a w nd n Algumas varantes da nterpolação descrtas acma exploram os fortes acoplamentos em C, que aumentam o rao da nterpolação, ou seja, aumentam a quantdade de pontos que podem ser empregados na nterpolação. Em tas casos, é mportante truncar de manera adequada o operador de nterpolação antes da obtenção do operador de Galerkn (TROTTENBERG et al., 2001). Sem esse truncamento, o operador de Galerkn pode fcar muto grande e o processo de suavzação neste nível consderado mas grosso, pode fcar mas lento, além de utlzar mas memóra computaconal. Desta forma, antes de se obter o

57 57 operador de Galerkn na malha grossa, o operador de nterpolação será truncado, gnorando as conexões que são menores que a maor delas (em valor absoluto), por uma constante,. Os pesos restantes são recalculados, de forma que a soma total permaneça nalterada. Neste trabalho, esta constante é chamada de fator de forte dependênca na malha grossa, sendo que sua aplcação está lgada à construção de mas um conjunto de dados (IWAMURA et al., 2003), conforme Eq. (2.29): S D j D s a j : aj max a jl com 0 fxo lc max a k (2.29) O conjunto D S denota os pontos fortemente dependentes do conjunto C. De acordo com Iwamura et al. (2003), um grande valor para aumenta a quantdade de pontos que estão na malha grossa, e sto rá aumentar o trabalho computaconal. Na prátca, é sufcente que um ponto tenha pelo menos uma forte conexão negatva Algortmos A aplcação do AMG a um dado problema é um processo composto de duas partes (KRECHEL e STÜBEN, 1999; TROTTENBERG et al., 2001): a fase ncal, totalmente automátca, conhecda como fase setup. Nesta fase, são escolhdos os níves grossos e defndos os operadores de malha grossa e de transferênca entre as malhas; a fase de solução, que é dreta, usa apenas as componentes já defndas na fase setup. O objetvo desta etapa é melhorar o processo do cclo multgrd até que o nível de tolerânca desejado seja atngdo. As componentes necessáras para crar um algortmo para o AMG são (BRIGGS et al., 2000): esquema de relaxação, conjunto de pontos da malha grossa C, operador de malha grossa A H, e os operadores de transferênca entre malhas setup do AMG é dado na Tab. 2.2: H I h e h I H. O algortmo para fase

58 58 Tabela 2.2: Algortmo para fase setup do AMG (Adaptado de Cleary et al., 2000) h h 1) Partção em conjuntos dsjuntos C e H h a) Faça C ; h b) Defna a nterpolação I H ; H h 2) Faça T I I e h H A I A I ; H H h h h H h F ; H 3) Se for pequeno o bastante pare. Caso contráro, faça volte ao passo 1. h H e Para a partção de h são empregados dos algortmos consecutvamente: o prmero detalha a escolha prelmnar do ponto em C (Tab. 2.3) e o segundo faz a escolha fnal do ponto em C e defne os pesos da nterpolação (Tab. 2.4). Estes dos algortmos estão detalhados a segur: Tabela 2.3: Escolha prelmnar do ponto em C (Ruge e Stüben, 1986) h T T 1) Seja C F, U, e S U 2 S F C C e U U,, para todo. 2) Tome U com máxmo. Seja T 3) Para todo j S U, faça os passos 4 e 5. 4) Seja F F j e U U j. 5) Para todo l S U 1. j l l 6) Para todo j S U faça 1. 7) Se U, pare. Caso contráro, volte ao passo 2. j j. Tabela 2.4: Escolha fnal do ponto em C e defnção dos pesos da nterpolação (Adaptado de Iwamura et al., 2003) 1) Seja T. 2) Se T F, pare. Caso contráro, tome F T 3) Sejam C, S D, W D, 4) Seja d a e para k C, dk ak. W 5) Para cada j D, d d aj. e T T S e o conjunto C. S 6) Para cada j D, D se j S então d k dk aja jk a jl para k C, senão, se C seja senão D l C C C e F F S S C j, C C j D D j e volte ao passo 2.,, atualze. D S e volte ao passo 4. 7) Seja C C C, F F C e wk dk d para cada k C e volte ao passo 2.

59 59 Haase e Langer (2002) trazem um algortmo para a geração da matrz de coefcentes na malha medatamente mas grossa, que pode ser obtda a partr da Eq.(2.30): A H j k N l N j k Akllj (2.30) j Para aplcá-lo é necessáro defnr alguns conjuntos, obtdos depos que a fase setup é concluída. Estes conjuntos são montados com base na partção C/F. Para cada ponto de h, é determnado o conjunto dos vznhos grossos e o conjunto dos vznhos fnos, detalhados a segur: C F j C / a 0, F (2.31) j j F / a 0, F (2.32) j Os pesos da nterpolação podem ser calculados por: 1 j C Aj cj j F, j C (2.33) A c 0 caso contráro onde, A j são as entradas da matrz de coefcentes (da malha fna) e c j são os coefcentes dados por: c j F k l C A. A k A kl kj A k (2.34) O algortmo para gerar a matrz de coefcentes na malha mas grossa pode ser observado na Tab. 2.5:

60 60 Tabela 2.5: Algortmo para gerar a matrz de coefcentes (HAASE e LANGER, 2002) 1) A H 0 ; 2) Para todo k F C faça: k k 3) Determne F e C ; k k l F C k faça: 4) Para todo k l 5) T C C l C; 6) Para todo T faça: 7) Para todo j T faça: A A A 8) H,, j H,, j k kl lj h Depos das componentes algorítmcas (, H, I, I, A, A H h h H h H ) estarem prevamente defndas, um algortmo de dos níves pode ser montado. Este algortmo, aplcado recursvamente para outros níves, dará orgem ao cclo multgrd. Na Fg. 2.7 pode-se observar a lustração para uma malha estruturada quadrangular, onde estão descrtos os procedmentos a serem realzados em cada nível de malha. Ao lado do cclo, são mostradas as malhas utlzadas para um cclo V, ncando com uma malha de 33x33 nós até uma malha de 3x3 (a malha mas grossa). Esta forma de se vstar as malhas, que é utlzada para o método multgrd geométrco, pode ser aplcada de manera análoga ao AMG. 33x33 17x17 relaxa restrnge relaxa restrnge relaxa restrnge relaxa relaxa nterpola relaxa nterpola relaxa nterpola relaxa 9x9 5x5 3x3 restrnge relaxa nterpola Fgura 2.7: Cclo V (Adaptado de Crag, 2007) Outros tpos de cclos (W, F, entre outros) podem ser obtdos por analoga ao método multgrd geométrco. De acordo com Ruge e Stüben (1986) e Trottenberg et al. (2001), a forma mas usada para superar a convergênca h-dependente (dependente da malha), é o uso de cclos melhores como os cclos W ou F. Porém, além do fato destes cclos serem mas custosos (fato que pode ser consderável em AMG dependendo do engrossamento utlzado), eles terão o mesmo fator de convergênca que um método dos níves correspondente, o que

61 61 pode levar à convergênca h-dependente. Devdo a estes motvos, neste trabalho é empregado o cclo V. O algortmo CS para a aplcação do AMG em dos níves (cclo V) pode ser observado na Tab Tabela 2.6: Algortmo CS para o AMG com duas malhas (Adaptado de BRIGGS et al., 2000) h h h v AMGv, f h h 1) Iterar vezes Ahu f com estmatva ncal h h h h 2) Calcular o resíduo em : r f Ahv ; H H H h 3) Restrngr o resíduo para : r I h r ; H H H 4) Resolver AH e r em h h h H 5) Interpolar o erro para : e I He ; h h h h v 0 ; H, com estmatva ncal v 0 ; 6) Corrgr a aproxmação na malha fna v v e ; h h h 7) Iterar vezes A u f com estmatva ncal v. h 0 As aproxmações específcas para dos níves defndas acma podem ser estenddas para dversos níves de manera dreta, aplcando recursvamente a mesma estratéga. O cclo V para mas malhas é obtdo substtundo a solução dreta do problema na malha grossa com uma chamada recursva do AMG em todas as malhas. Assumndo que as equações no nível mas grosso são resolvdas exatamente, o cclo V resultante converge em apenas um passo de teração (TROTTENBERG et al., 2001). 2.4 Modelos matemátcos e numércos Para se alcançar os objetvos propostos neste trabalho, são resolvdos três problemas com o uso do método multgrd algébrco, todos com soluções analítcas conhecdas: equação de Laplace, consderando a temperatura como varável de nteresse, com condção de contorno dada por uma função lnear ao norte e a leste (problema lnear); equação de Laplace com condção de contorno dada por uma função senodal ao norte (problema senodal) e equação de Posson. Todas são consderadas em um domíno de cálculo quadrado, dado por x, y 2 : 0 x, y 1, que é dscretzado tanto com o uso de malhas estruturadas quadrangulares quanto de malhas estruturadas trangulares. Esta últma forma de dscretzação não é aplcada à equação de Posson. Para a dscretzação das equações, em malhas

62 62 quadrangulares é empregado o método de dferenças fntas e em malhas trangulares, o método dos volumes fntos. A equação de Laplace com condção de contorno dada por uma função lnear é dada por: 2 T 2 x T 2 T 2 y 0, 0 x, y 1 x,0 T0, y 0, Tx,1 x, T1, y y (2.35) Com solução analítca dada por: T x y x y, (2.36) dada por: A equação de Laplace, com condção de contorno dada por uma função senodal é 2 T 2 x T 2 T 2 y 0, 0 x, y 1 x,0 T0, y T1, y 0, Tx,1 senx (2.37) Com solução analítca dada por: T x y senx senh y, (2.38) senh A equação de Posson é dada por: 2 T 2 x T 2 T 2 y S, 0 x, y 1 x,0 T0, y T1, y Tx,1 0 (2.39) Com termo fonte dado por: S 2[(1 6x ) y (1 y ) (1 6y ) x (1 x )] (2.40)

63 63 E solução analítca dada por: T x, y x x y y (2.41) Os dos problemas resolvdos a partr da equação de Laplace são resolvdos em Olvera et al. (2008), onde se tem resultados a respeto de parâmetros ótmos (número de terações nternas e número de níves) para o método multgrd geométrco. Além dsso, a equação de Posson é a mesma empregada em Brggs et al. (2000), que a resolve em um problema teste para uma comparação entre AMG e GMG. O códgo computaconal empregado para a obtenção dos resultados aqu apresentados teve como base o programa AMG1R6, de Ruge e Stüben (1986). Deste códgo é utlzada a fase setup, que emprega engrossamento padrão (baseado nas fortes conexões negatvas) e prolongação padrão (mplementada devdo ao uso do engrossamento padrão). Para a fase de solução é empregado cclo V, estmatva ncal nula, solver Gauss-Sedel lexcográfco, crtéro de parada baseado na norma l 2 do resíduo e tolerânca de No códgo orgnal de Ruge e Stüben foram fetas dversas modfcações na fase de solução, para atender aos objetvos do presente trabalho. A forma de entrada dos dados também fo modfcada, de forma que, para cada tpo de malha (quadrangular ou trangular) exste um gerador de matrzes específco, acoplado ao programa prncpal. O gerador para malhas trangulares é de autora de Arak e Alves (2009), que o empregam para a obtenção de soluções numércas com o objetvo de fazer análse de erros numércos em malhas trangulares. A máquna empregada para a obtenção dos resultados desta tese é o CFD-9, que conta com processador Intel Core2Quad e 8 Gb de memóra, que é utlzada de forma total devdo ao uso do sstema operaconal 64bts. A lnguagem empregada é Fortran 2003, com complador Intel Fortran 9.1. O códgo obtdo para a resolução dos problemas com o emprego do AMG é verfcado através da análse de erros numércos, conforme detalhado no Capítulo 3. Para esta análse, o comportamento do erro numérco e de suas ordens é avalado para algumas varáves de nteresse: temperatura no ponto central do domíno de cálculo, temperatura méda (obtda pelas regras do retângulo ou do trapézo, de acordo com o tpo de malha empregado na dscretzação), norma l (norma nfnto) e norma l 1, ambas do erro numérco. Estas varáves de nteresse são detalhadas na sequênca.

64 64 Para a obtenção da temperatura no ponto central do domíno de cálculo é feta a substtução das coordenadas x 0,5e y 0, 5, nas soluções analítcas dadas pelas Eqs. (2.36), (2.38) e (2.41). A temperatura méda é obtda pela segunte equação: T m T x, y dxdy (2.42) onde x y T, é a solução analítca para cada equação. Outra varável de nteresse consderada para a verfcação do códgo computaconal é o erro numérco dado pela Eq. (2.43), meddo pela norma l do erro numérco, dada pela Eq. (2.9), repetda aqu na Eq. (2.44). E (2.43) l E max E( ) (2.44) 1N onde representa a solução analítca, é a solução numérca e N é o número de ncógntas. O valor para esta varável de nteresse deve tender à zero com o refno da malha. A últma varável de nteresse avalada é o erro numérco, sendo agora meddo pela norma l 1 do erro, dada pela Eq. (2.45). O valor analítco para esta varável de nteresse também tende a zero. l f 0 1 N (2.45) onde 0 e f são os valores para que varam conforme o tpo de malha (método empregado na dscretzação) utlzada. De acordo com Fortuna (2000), para tratar o modelo numérco computaconalmente, é necessáro expressar de forma adequada as equações e a regão (domíno de cálculo) onde elas são váldas. Como não é possível obter soluções numércas sobre uma regão contínua, devdo aos nfntos pontos da mesma, ncalmente o domíno de cálculo é dscretzado, sto é, dvddo em pontos (ou volumes). Nesses pontos (ou volumes) as soluções são obtdas, sendo

65 65 que ao conjunto dos pontos (ou volumes) dscretos dá-se o nome de malha. A dstrbução adequada dos pontos (ou volumes) no domíno de cálculo é fundamental para se obter uma solução numérca representatva do problema a ser resolvdo. Na seqüênca são apresentados os métodos numércos utlzados na dscretzação dos modelos matemátcos, onde os termos das equações são escrtos em função dos valores das ncógntas em pontos dscretos adjacentes. O resultado é um conjunto de equações algébrcas, geralmente lneares, que podem ou não estar acopladas. Nesta etapa, são ntroduzdas as condções de contorno do problema, normalmente modfcando-se apropradamente as equações para pontos perto das fronteras. As condções de contorno, juntamente com as propredades físcas do fludo, e os parâmetros do escoamento, especfcam o problema a ser tratado Formulação para o método de dferenças fntas O prncípo fundamental do método de dferenças fntas (MDF) é aproxmar através de expressões algébrcas, cada termo do modelo matemátco em cada nó da malha. Segundo Ferzger e Perc (2002), o ponto ncal é a equação da conservação na forma dferencal. O domíno de solução é coberto por uma malha, conforme lustrado na Fg Para cada ponto desta malha, a equação dferencal é aproxmada pela substtução das dervadas parcas por aproxmações em termos dos valores nodas das funções. O resultado é uma equação algébrca por nó (ponto) da malha, em que o valor de cada varável e de um determnado número de vznhos aparecem como ncógntas. 1, j, j 1, j, j 1 1, j Fgura 2.8: Dscretzação com dferenças fntas

66 66 Expansões em sére de Taylor ou ajuste polnomal são usados para obter as aproxmações para a prmera e segunda dervadas das varáves com respeto às coordenadas. Neste trabalho são aplcadas as aproxmações obtdas das expansões em sére de Taylor. Para a equação de Laplace e Posson são aplcadas aproxmações do tpo CDS-2 (Central Dfferencng Scheme) (Ferzger e Perc, 2002), com relação a x e a y, que são dadas pelas Eqs. (2.46) e (2.47), respectvamente. 2 1,, 1, x T T T x T j j j (2.46) 2 1,, 1, y T T T y T j j j (2.47) onde 1 1 N x x, 1 1 N y y, com x N e y N denotando a quantdade pontos nas dreções x e y, respectvamente. Estas aproxmações podem ser substtuídas na equação de Laplace, Eq. (2.35). Depos de rearranjados os termos, chega-se à segunte equação: , 2 1, 2 1, 2 1, 2, 2 2 j j j j j T y T y T x T x T y x (2.48) A Eq. (2.48) é válda para todos os pontos nternos, sendo que, as condções de contorno, que são dadas por temperaturas conhecdas, são transferdas para o termo fonte dos pontos nternos. Desta forma, não se tem equações para as varáves que estão nos contornos. A temperatura méda, que é calculada com a regra do trapézo, é dada por: N y x N j j j j j m T T T T y x T 2 2 1, 1 1, 1,, 4 (2.49) Formulação para o método dos volumes fntos

67 67 Para o método dos volumes fntos (MVF) não nteressam a forma e o modo como fo crado o volume elementar. A característca básca deste método é a ntegração das equações, na forma conservatva, sobre um volume elementar qualquer (MALISKA, 2004). De acordo com Ferzger e Perc (2002), o método dos volumes fntos pode ser aplcado a qualquer tpo de malha, sendo acetável também para geometras complexas. As malhas defnem somente os contornos do volume de controle e não necesstam ser relaconadas ao sstema de coordenadas. O método é conservatvo por construção, assm as ntegras de superfíce (que representam os fluxos dfusvos e advectvos) são as mesmas para os volumes de controle que compartlham os contornos. No método dos volumes fntos, o elemento é defndo como sendo a entdade geométrca delmtada pelos nós da malha, e o volume de controle é a regão do domíno de cálculo onde as equações dferencas governantes são ntegradas. Nas formulações em que o volume de controle é escolhdo como sendo o própro elemento, e as varáves de nteresse fcam armazenadas no centro do volume de controle (ou do elemento) são chamadas cell center, pos o centro do volume de controle concde com o centro do elemento (MALISKA, 2004). Esta formulação está lustrada na Fg Fgura 2.9: Malha estruturada - volume concdente com o elemento (CORDAZZO, 2006) As vantagens de uma abordagem baseada em volumes de controle estão lstadas em Mnkowycz et al. (1988): o esquema resultante da dscretzação pode ser consderado estrtamente conservatvo. O fato da dscretzação das equações governantes ser baseada no balanço do escoamento sgnfca que os termos nas equações algébrcas resultantes têm uma nterpretação físca específca. A mplementação do processo de dscretzação baseada no volume de controle é dreta e tem custo reduzdo.

68 68 Na dscretzação do modelo matemátco são necessáras expressões algébrcas para a varável dependente e sua dervada de prmera ordem, avaladas nas faces dos volumes de controle. Essas expressões são chamadas funções de nterpolação. Em geral, estas funções têm o objetvo de avalar o valor de uma propredade genérca na nterface do volume de controle bem como suas dervadas. Tradconalmente, o MVF utlza dos tpos de aproxmação (MALISKA, 2004): um para a determnação dos valores das dervadas de e outro para a determnação dos valores de nas nterfaces de ntegração. Normalmente, na avalação das dervadas é sufcente o uso de um esquema de dferenças centras, e na avalação de, é empregado algum mecansmo que consdere os efetos advectvos do problema. Exstem duas formulações, que podem ser empregadas, para a construção dos volumes de controle usando elementos trangulares (Malska, 2004): trangulação de Delaunay (por dagramas de Vorono) e método das medanas, sendo que neste trabalho, é aplcado o método das medanas. Para esta formulação, os volumes são gerados por uma trangulação que fornece as coordenadas dos vértces dos volumes. Na Fg pode ser observado um volume de controle que concde com o elemento em uma malha trangular estruturada. Nesta fgura, os elementos 1, 2, 3 e 4 são os volumes consderados reas e os volumes 5, 6, 7 e 8 são os volumes fctícos, utlzados para a aplcação das condções de contorno. Fgura 2.10: Volume de controle para uma malha trangular A equação dferencal parcal na forma conservatva é ntegrada, já que o MVF cra as equações aproxmadas através do balanço de conservação da propredade envolvda (massa, quantdade de movmento, entalpa, etc.). Os volumes de ntegração (elementos 1, 2, 3 e 4)