OTIMIZAÇÃO DO MÉTODO MULTIGRID ALGÉBRICO PARA AS EQUAÇÕES BIDIMENSIONAIS DE LAPLACE E POISSON

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1 VI CONGRESSO NACIONAL DE ENGENHARIA MECÂNICA VI NATIONAL CONGRESS OF MECHANICAL ENGINEERING 18 a 1 de agosto de 010 Campna Grande Paraíba - Brasl August 18 1, 010 Campna Grande Paraíba Brazl OTIMIZAÇÃO DO MÉTODO MULTIGRID ALGÉBRICO PARA AS EQUAÇÕES BIDIMENSIONAIS DE LAPLACE E POISSON Roberta Suero, roberta.suero@fpr.edu.br 1, Marco Augusto Vllela Pnto, marco_vllela@yahoo.com.br 3,4 Carlos Henrque March, march@ufpr.br 4 Lucano Kyosh Arak, lucarak@ufpr.br 4 Arlede Crstna Alves, aalves@up.edu.br 5 1 Programa de Pós-Graduação em Métodos Numércos em Engenhara, Unversdade Federal do Paraná, Curtba, PR Insttuto Federal de Educação, Cênca e Tecnologa do Paraná, Campus Paranaguá, PR 3 Departamento de Matemátca e Estatístca, Unversdade Estadual de Ponta Grossa, Ponta Grossa, PR 4 Departamento de Engenhara Mecânca, Unversdade Federal do Paraná, Curtba, PR 5 Núcleo de Cêncas Exatas e Tecnológcas, Unversdade Postvo, Curtba, PR Resumo. Este trabalho apresenta comparações de parâmetros entre os métodos multgrd algébrco (AMG) e multgrd geométrco (GMG) para as equações bdmensonas de Laplace e Posson, em malhas estruturadas quadrangulares e trangulares. Os parâmetros analsados são: número de terações nternas no solver, número de malhas e número de ncógntas. Para o AMG, também são estudados os efetos do fator de redução de malha e do fator de forte dependênca na malha grossa sobre o tempo de CPU necessáro para obter a solução numérca. Para malhas quadrangulares é empregado o método de dferenças fntas, e para malhas trangulares, o de volumes fntos. Os resultados são obtdos com uma adaptação do códgo computaconal AMG1R6 de Ruge e Stüben. Para o AMG são usadas as seguntes componentes multgrd: restrção por engrossamento padrão, prolongação padrão, esquema de correção (CS), solver Gauss-Sedel lexcográfco e cclo V. São fetos estudos comparatvos entre os tempos de CPU do método multgrd geométrco, multgrd algébrco e snglegrd (método de malha únca). Verfcou-se que: 1) o número ótmo de terações nternas obtdas para o AMG e GMG, em malhas quadrangulares, é o mesmo, porém dferente para malhas trangulares; ) o número ótmo de malhas é o número máxmo, tanto para malhas quadrangulares quanto para malhas trangulares; 3) o AMG mostrou-se sensível à varação do fator de redução de malha e do fator de forte dependênca na malha grossa, tanto com relação às equações abordadas, quanto aos tpos de malha; e 4) para malhas quadrangulares, o GMG resolve o problema em 0% do tempo gasto pelo AMG. Palavras-chave: dferenças fntas, volumes fntos, otmzação. 1. INTRODUÇÃO O método multgrd tem sdo amplamente aplcado devdo à sua efcênca na resolução de problemas de engenhara. Esta efcênca está lgada à rápda convergênca obtda na resolução de problemas com mutas ncógntas. O método multgrd tem duas abordagens, que estão relaconadas à forma de entrada dos dados e na construção das malhas auxlares: o método multgrd geométrco (GMG) (Trottenberg et al, 001 e Brggs et al, 000), em que são necessáras nformações a respeto das malhas auxlares; e o método multgrd algébrco (AMG) (Ruge e Stüben, 1986; Brandt, 1986; Falgout, 006 e Haase e Langer, 00), em que é necessára a matrz de coefcentes. Desta matrz são retradas nformações a respeto da malha ncal, convenconada como a malha com mas ncógntas. O que os dos métodos têm em comum é o fato de o problema ser resolvdo empregando uma herarqua de malhas que, para o GMG tem que ser conhecda prevamente. Para o AMG esta herarqua é gerada na fase setup (uma fase consderada ncal) partndo da matrz de coefcentes. Nas duas abordagens é necessáro: gerar as malhas auxlares, transferr nformações entre as malhas (operadores de restrção e prolongação), resolver os sstemas lneares em cada malha com o uso de um método teratvo (solver) e optar por um dos tpos de cclos (sequênca com que as dversas malhas são vstadas) dsponíves na lteratura (Brggs et al, 000 e Trottenberg et al, 001). De acordo com Trottenberg et al (001), uma smples modfcação no algortmo pode resultar em uma redução sgnfcatva do tempo de CPU. Conforme Langer e Pusch (006), para que o método multgrd seja realmente efcente, é necessáro adaptar as componentes do método de acordo com o delneamento físco do problema e a formulação varaconal. De acordo com Ruge e Stuben (1986), o método multgrd algébrco pode ser aplcado a problemas onde a aplcação do multgrd geométrco é dfícl ou nvável. Exemplos destas stuações são dados por problemas dscretzados em malhas não-estruturadas, quando as nformações são dadas apenas por uma matrz, quando o domíno

2 VI C on gr e s s o Na c o n a l d e E n ge n ha r a M e c ân c a, 1 8 a 1 de Ag os t o 0 1 0, Ca m p na G r a nde - P a r a í ba de cálculo é muto complexo, entre outros. Uma comparação entre os métodos multgrd algébrco e geométrco pode ser observada na Tab. (1), adaptada de Chang et al (1996). Tabela 1. Comparações entre multgrd geométrco e multgrd algébrco (Adaptada de Chang et al, 1996). Característca Multgrd Geométrco Multgrd Algébrco Problema a ser resolvdo Problemas contínuos Sstemas lneares de equações algébrcas Informação usada Estrutura geométrca do problema Somente as entradas da matrz Algortmo (Programa) Preparado para cada problema Únco para todos os problemas Efcênca Muto boa Boa O método multgrd algébrco pode ser aplcado a problemas em que as localzações dos pontos da malha são conhecdas, mas são não-estruturadas ou rregulares. Stüben (001) ressalta que este método pode ser aplcado quando não se tem nenhuma nformação a respeto da geometra do problema. De acordo com Trottenberg et al (001), as vantagens deste método são robustez, aplcabldade em stuações com geometras complexas e resolução de problemas que estão fora do alcance do multgrd geométrco. O objetvo deste trabalho é mnmzar o tempo de CPU para a resolução do AMG através do estudo das componentes do algortmo do método. Este trabalho apresenta comparações do número ótmo de terações nternas e do número ótmo de níves de malhas para o AMG e GMG. Estas comparações consderam os resultados obtdos com malhas estruturadas quadrangulares, para as equações de Laplace e Posson, e com malhas estruturadas trangulares, para a equação de Laplace. Este trabalho também nvestga o comportamento de dos parâmetros que nfluencam dretamente a geração das malhas auxlares do AMG: fator de redução de malha e fator de forte dependênca na malha grossa. Város trabalhos presentes na lteratura trazem comparações entre o AMG e o GMG. Estas comparações lmtam-se a: tempo de CPU, número de cclos e efcênca do método multgrd pelo estudo do speedup. Watanabe et al (005) observaram o crescmento do tempo de CPU conforme o número de ncógntas é aumentado, tanto para o AMG quanto para o GMG. Langer e Pusch (006) trazem comparações do número de cclos gastos pelo AMG e GMG; mostram também os tempos para a geração das malhas auxlares. O trabalho de Wu e Elman (006) também compara o número 6 de terações (cclos) que o AMG e o GMG levam para atngr a tolerânca estpulada em 10. O trabalho de Campos et al (006) traz a comparação da performance do AMG com GMG, ambos précondconados e com algortmos paralelos para um sstema não-lnear de equações dferencas. São varados número de níves do GMG e número de níves e fator de redução de malha para o AMG, quando são utlzados dferentes números de processadores. O trabalho de Gaspar et al (009) aplca o GMG a malhas trangulares. Trazem resultados para número de terações nternas e tpos de cclos para o GMG. Durante a revsão bblográfca não foram encontrados trabalhos que tratem da otmzação do algortmo do AMG e nem trabalhos que tragam resultados comparatvos para os parâmetros estudados no presente trabalho. Para o GMG tem-se resultados, em malhas quadrangulares, para o número de terações nternas e número de malhas em Olvera et al (008). Para malhas trangulares tem-se o trabalho de Gaspar et al (009) que traz resultados para o número de terações nternas para o GMG. Este artgo está dvddo da segunte forma: na seção é apresentada a teora do método multgrd algébrco; na seção 3, os modelos matemátco e numérco; na seção 4 são apresentados os expermentos numércos e seus resultados; e na seção 5, a conclusão do trabalho.. MÉTODO MULTIGRID ALGÉBRICO (AMG) O método multgrd algébrco é dvddo em duas etapas. A fase ncal, chamada fase setup, responsável pela geração das malhas e pela construção dos operadores de transferênca entre as malhas (restrção e prolongação). A fase de solução é dreta e emprega os operadores defndos na fase setup para se resolver o problema. Nesta fase, as malhas auxlares mas grossas (com menos pontos que a malha orgnal) são vstadas conforme um cclo prevamente determnado. Para a construção das malhas auxlares, é necessáro fazer uma partção dos pontos da malha orgnal, h h, onde denota o conjunto de índces {1,,...,n}. Esta partção resultará em dos subconjuntos dsjuntos: o conjunto C, que é composto pelos pontos que estão na malha grossa e seu complementar, conjunto F, que contempla os pontos que não estão na malha grossa. Esta partção é feta com base nas fortes conexões algébrcas, sendo que, para determná-la, é necessáro defnr alguns conjuntos, conforme Eqs. (1), () e (3): h N j : j, a 0 j (1) S j N : a j max a ak 0 k com fxo 0 1 ()

3 VI C on gr e s s o Na c o n a l d e E n ge n ha r a M e c ân c a, 1 8 a 1 de Ag os t o 0 1 0, Ca m p na G r a nde - P a r a í ba S T j j : S (3) T onde N é a vznhança do ponto, S determna o conjunto de pontos que nfluencam fortemente e S é o conjunto de pontos que dependem fortemente de. O parâmetro θ 0 1, que aqu será chamado de fator de redução de malha, é uma constante que quantfca o quanto um ponto está fortemente conectado aos outros. De acordo com Ruge e Stüben (1986), Trottenberg et al (001), Cleary et al (000), Krechel e Stüben (1999) e Chang et al (1996), o valor a ser empregado é θ=0,5. Brggs et al (000) utlzam θ=0,0 e Falgout (006), θ=0,40. Iwamura et al (003) empregam város valores de θ, que varam conforme a malha que está sendo resolvda. No presente trabalho é apresentado um estudo da nfluênca deste parâmetro sobre o tempo de CPU. Depos de feta a partção, para cada ponto, tem-se três outros subconjuntos, necessáros para se fazer o engrossamento da malha. O conjunto C C S, que contempla os pontos da vznhança da malha grossa que nfluencam fortemente. O conjunto D s D S, onde D N C, que são os pontos da vznhança de F que w nfluencam fortemente. O conjunto D D S, onde estão os pontos que podem estar tanto em C quanto em F, que são chamados de pontos fracamente conectados. O operador de nterpolação (que transfere as nformações entre as malhas) é dado pelas Eqs. (4) e (5) (Brggs et al, 000): H e se C h H I H e H w je j se F (4) jc onde, amamj aj s a m D mk kc w j (5) a a n w nd Outra constante que também é objeto de estudo neste trabalho é o fator de forte dependênca na malha grossa (ε). s Para o ponto j D é necessáro decdr quando um ponto está nfluencando fortemente um ponto em C, de tal forma que a nterpolação seja nfluencada. Para tanto, é necessáro defnr um conjunto de dados, conforme Eq. (6) (Iwamura et al, 003): S D s j D aj : aj max a jl com 0 fxo max a lc k (6) O parâmetro ε também é uma constante e seu valor, que dever ser postvo, está fxado em ε=0,35, conforme Ruge e Stüben (1986), Brggs et al (000), Cleary et al (000), Krechel e Stüben (1999), Chang et al (1996) e Falgout (006). Em Trottenberg et al (001) é utlzado ε=0,0 e em Iwamura et al (003), ε=0,35 e ε=0,45, de acordo com o nível de malha que está sendo resolvdo. Neste trabalho é apresentado um estudo da nfluênca deste parâmetro sobre o tempo de CPU. Mas detalhes a respeto do algortmo empregado para a nterpolação podem ser encontrados em Iwamura et al (003). O códgo computaconal empregado para a obtenção dos resultados aqu apresentados teve como base o programa AMG1R6, de Ruge e Stüben (1986). Deste códgo é utlzada a fase setup, que emprega engrossamento padrão (baseado nas fortes conexões negatvas) e prolongação padrão (mplementada devdo ao uso do engrossamento padrão). Para a fase de solução é empregado cclo V, estmatva ncal nula, solver Gauss-Sedel lexcográfco, crtéro de parada baseado na norma l do resíduo com base na estmatva ncal e tolerânca de No códgo orgnal de Ruge e Stüben foram fetas dversas modfcações na fase de solução, para atender aos objetvos do presente trabalho. A forma de entrada dos dados também fo modfcada, de forma que, para cada tpo de malha (quadrangular ou trangular) exste um gerador de matrzes específco, acoplado ao programa prncpal.

4 VI C on gr e s s o Na c o n a l d e E n ge n ha r a M e c ân c a, 1 8 a 1 de Ag os t o 0 1 0, Ca m p na G r a nde - P a r a í ba 3. MODELOS MATEMÁTICO E NUMÉRICO Para malhas estruturadas quadrangulares, as equações de Laplace e Posson são dscretzadas com o uso do método de dferenças fntas (Tannehll et al, 1997), em um domíno de cálculo quadrado untáro, sendo que as condções de contorno são do tpo Drchlet. As aproxmações empregadas para as dervadas da Eq. (7) são do tpo CDS-. Para as duas equações são conhecdas as soluções analítcas, conforme dado pela Eq. (7) e pela Tab. (): T T x y S (7) Tabela. Problemas resolvdos. Termo Fonte Solução Analítca Condções de Contorno S 0 T ( x, xy T(0, T ( x,0) 0, T( x,1) x, T(1, y S 0 senh( T ( x, sen( x) senh( ) S [(1 6x ) y (1 y ) (1 6y ) x (1 x )] T( x, ( x x )( y y ) 4 4 T(0, T ( x,0) T (1, 0, T( x,1) sen( x) T(0, T( x,0) 0, T(1, T( x,1) 0 Para malhas estruturadas trangulares, a equação de Laplace é dscretzada em um domíno de cálculo quadrado untáro, com o uso do método de volumes fntos (Malska, 004 e Ferzger e Perc, 00). A aplcação das condções de contorno é feta com o uso de volumes fctícos. Nesta forma de dscretzação, a equação dferencal parcal na forma conservatva é ntegrada. As equações de conservação, aproxmadas para os volumes de controle através de dferença central de segunda ordem de acuráca, são obtdas através da montagem elemento por elemento. Nos dos métodos de dscretzação chega-se a um sstema de equações algébrcas, do tpo AT=b, onde A corresponde à matrz de coefcentes, T representa o vetor de ncógntas e b é o termo fonte. 4. RESULTADOS Cerca de 700 smulações foram realzadas, sendo varados: número de terações nternas no solver (ν), número de níves de malha (L), fator de redução de malha (θ), fator de forte dependênca na malha grossa (ε) e número de ncógntas (N). Estes parâmetros são estudados para a Equação de Laplace, dscretzada em malhas estruturadas quadrangulares e trangulares e para a equação de Posson dscretzada em malhas estruturadas quadrangulares. Para a obtenção dos resultados são consderados três tamanhos de problema para os dos tpos de malha. Para os testes dos quatro prmeros parâmetros, para malhas quadrangulares, são consderados: problema pequeno (57x57 ncógntas), problema médo (105x105 ncógntas) e problema grande (4097x4097 ncógntas). Para malhas estruturadas trangulares, são consderados: problema pequeno ( 18 =6144 ncógntas), problema médo ( 0 = ncógntas) e problema grande ( 4 = ncógntas). Para avalar o efeto do número de ncógntas (N) no tempo de CPU são consderados todos os tamanhos de problema possíves até ser atngdo o tamanho máxmo (malhas quadrangulares: 5x5 até 4097x4097 ncógntas e malhas trangulares: =4 até 4 = ncógntas). O objetvo dos testes apresentados abaxo é encontrar o valor ótmo para cada um dos parâmetros testados. Entende-se por valor ótmo como sendo aquele que resulta no menor tempo de CPU quando aplcado ao AMG Número de terações nternas (ν) Para se encontrar o valor ótmo para este parâmetro são fetos testes para os três tamanhos de problema descrtos acma, tanto para malhas quadrangulares quanto para malhas trangulares. O valor de ν é varado de 1 até 0. Para os problemas consderados pequeno e médo, para os quas as smulações tem tempo de CPU nferor a 10 segundos, as smulações são repetdas 3 vezes, sendo que é tomada a méda artmétca destes tempos. Na Fg. (1), podem ser observados os resultados obtdos para cada uma das equações estudadas. Esta fgura traz resultados para o número de terações nternas para malhas quadrangulares com N=4097x4097= ncógntas e trangulares com N= 4 = ncógntas. Os resultados obtdos para os outros tamanhos de problema são qualtatvamente guas. O número ótmo de terações nternas para malhas quadrangulares, ndependente do problema a ser resolvdo, é ; ou seja, ν ótmo =. Para malhas trangulares, ν ótmo =1. Para os dos tpos de malha, observa-se que, quanto maor o número de terações nternas, maor é o tempo de CPU gasto para resolver o problema. Em Ruge e Stüben (1986), Krechel e Stüben (1999), Brggs et al (000), Trottenberg et al (001), Iwamura et al (003) e Falgout (006) é empregado ν=1 para a resolução dos problemas, para qualquer tpo de malha. Para malhas quadrangulares, observou-se que o valor de ótmo concde com o encontrado para o GMG, em Olvera et al (008). O

5 VI C on gr e s s o Na c o n a l d e E n ge n ha r a M e c ân c a, 1 8 a 1 de Ag os t o 0 1 0, Ca m p na G r a nde - P a r a í ba trabalho de Gaspar et al (009), que traz o GMG aplcado a malhas trangulares, também conclu que o valor ótmo para ν é Laplace Lnear - Quadrangular Laplace Senóde - Quadrangular Posson - Quadrangular Laplace Lnear - Trangular Laplace Senóde - Trangular ótmo 00 0 Laplace Lnear - Quadrangular Laplace Senóde - Quadrangular Posson - Quadrangular Laplace Lnear - Trangular Laplace Senóde - Trangular L ótmo Fgura 1. Número de terações nternas (ν) para malhas quadrangulares e trangulares Fgura. Número de níves (L) para malhas quadrangulares e trangulares. L Com base nos resultados obtdos, pode-se conclur também que o tpo de malha empregado, quadrangular ou trangular, nfluenca no número ótmo de terações nternas. Com esta otmzação para malhas quadrangulares, obtevese um ganho de 7,5%, 9,9% e 1,1% para as equações de Laplace (Lnear e Senóde) e Posson, respectvamente. Este ganho é com relação ao valor amplamente empregado pela lteratura, ν= Número de níves (L) Para o estudo da nfluênca do número de níves no tempo de CPU é utlzado o valor ótmo para o número de terações nternas para cada caso analsado. Para malhas quadrangulares, ν= e para malhas trangulares, ν=1. Na Fg. () pode-se observar o comportamento do tempo de CPU quando é varado o número de níves para malhas quadrangulares e trangulares. Desta análse, pode-se conclur que o número de malhas a ser empregado na resolução do AMG nfluenca no tempo de CPU, para os dos tpos de dscretzação aqu empregados. Observa-se que, quanto menor o número de níves de malha empregados, maor é o tempo de CPU para o AMG. Estes resultados concordam com os obtdos para o GMG em Olvera et al (008), onde o número ótmo de níves também é o máxmo. Durante a revsão bblográfca para o AMG, observou-se que alguns autores, como Ruge e Stüben (1986), Falgout (006) e Langer e Pusch (006) não se preocupam com o número de malhas a ser empregado. Nos trabalhos em que este dado está explícto, nota-se a utlzação de todos os níves de malha, como por exemplo em Krechel e Stüben (1999), Wu e Elman (006) e Iwamura et al (003). O trabalho que aplca o GMG a malhas trangulares, Gaspar et al (009), também utlza todos os níves de malha na resolução do problema. Não são encontrados estudos a respeto do efeto do número de malhas no tempo de CPU para o AMG. Pode-se conclur que o tpo de malha aqu empregada (quadrangular ou trangular) não exerce nfluênca no valor ótmo encontrado para o número de malhas. Os resultados apresentados acma são para as malhas mas refnadas, sendo que, para os outros tamanhos de problema, os resultados obtdos são qualtatvamente guas Fator de redução de malha (θ) Para o estudo deste parâmetro são consderados os valores ótmos obtdos para o número de terações nternas, (ν= em malhas quadrangulares e ν=1 em malhas trangulares). Para o número de malhas é consderado L=L máxmo. O fator de redução de malha é uma constante que quantfca o quanto um ponto está fortemente conectado a outro. Dependendo desta relação, um ponto pode ser consderado da malha grossa ou não. Exste uma dscordânca com relação aos valores empregados pelos autores que resolvem problemas empregando AMG. A maora dos trabalhos, como Ruge e Stüben (1986), Krechel e Stüben (1999), Trottenberg et al (001) e Iwamura et al (003) emprega θ=0,5. Brggs et al (000) empregam θ=0,0 e Falgout (006) usa θ=0,40. Nenhum dos trabalhos pesqusados justfca a escolha do valor para, apenas ressaltam que θ=0,5 é um valor padrão. Não se conhece na lteratura um estudo qualtatvo deste parâmetro para o AMG. Por analoga ao GMG, observou-se que θ=0,5 ou θ=1/4 corresponde à nterpolação de quatro pontos para a obtenção do ponto da malha medatamente mas fna, o que corresponde à razão de engrossamento r= para o GMG. Os outros valores aqu testados para este parâmetro têm correspondênca com o GMG: θ=0,11 corresponde à razão de engrossamento r=3 e θ=0,065 corresponde à razão r=4. Na Fg. (3) pode-se observar o comportamento do fator de redução de malha para os problemas resolvdos em malhas estruturadas quadrangulares e trangulares. Os resultados lustrados nesta fgura são os obtdos para as malhas mas refnadas, sendo que para os outros tamanhos de problema, os resultados são qualtatvamente guas. Conforme

6 VI C on gr e s s o Na c o n a l d e E n ge n ha r a M e c ân c a, 1 8 a 1 de Ag os t o 0 1 0, Ca m p na G r a nde - P a r a í ba pode ser observado na Fg. (3), o fator de redução de malha apresenta valores ótmos dferentes para os problemas abordados, que em geral é dferente do valor consderado padrão na lteratura (θ=0,5) Laplace Lnear - Quadrangular Laplace Senóde - Quadrangular Posson - Quadrangular Laplace Lnear - Trangular Laplace Senóde - Trangular ótmo Laplace Lnear - Quadrangular Laplace Senóde - Quadrangular Posson - Quadrangular Laplace Lnear - Trangular Laplace Senóde - Trangular ótmo ,05 0,10 0,15 0,0 0,5 0,30 0,35 0, ,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 Fgura 3. Fator de redução de malha (θ) para malhas quadrangulares e trangulares. Fgura 4. Fator de forte dependênca na malha grossa (ε) para malhas quadrangulares e trangulares. Para malhas quadrangulares, o valor empregado para θ não nfluenca na construção das malhas auxlares. Isto ocorre pos todos os vznhos estão fortemente conectados entre s, ndependente do valor empregado para θ, ou seja, todos os pontos sempre satsfazem a Eq. (1). Esta conclusão pode ser extraída da Fg. (3), onde nota-se a pequena varação entre os tempos de CPU obtdos para os valores de θ em malhas quadrangulares. Para malhas trangulares, a stuação descrta acma não se aplca, pos na vznhança de um ponto tem-se outros três (que podem ou não satsfazer a Eq. (1)). Assm, o valor do fator de redução de malha faz dferença para a construção das malhas trangulares, ou seja, quanto menor, melhor para os casos analsados, conforme pode ser observado na Fg. (3). Isto se deve ao fato de que, quanto menor o valor de θ, mas pontos serão usados para a construção dos níves de malha auxlares Fator de forte dependênca na malha grossa (ε) Para se encontrar o valor ótmo para ε, são utlzados os parâmetros ótmos encontrados acma, para cada um dos problemas abordados. O fator de forte dependênca na malha grossa é uma constante que defne a forte dependênca no conjunto de pontos que estão na malha grossa. Esta constante rá nfluencar na construção das malhas auxlares na aplcação do AMG. Este valor não é dvulgado na grande maora dos trabalhos que tratam do AMG, como em Krechel e Stüben (1999), Watanabe et al (005), Campos et al (006), Falgout (006) e em Langer e Pusch (006). Em Ruge e Stüben (1986) é utlzado ε=0,35. Em Iwamura et al (003), são empregados valores dferentes conforme o nível de malha que está sendo construído. Para este trabalho tem-se ε=0,35 para o número de níves menor ou gual a 3 e, ε=0,45 quando o número de níves for maor que 3. Em Trottenberg et al (001) é utlzado ε=0,0 na resolução da equação de Posson. No presente trabalho são testados város valores para ε. Na Fg. (4), pode-se observar o comportamento deste parâmetro para malhas quadrangulares e trangulares. Os resultados lustrados são os obtdos para os problemas resolvdos com mas ncógntas, sendo que os resultados para os problemas menores são qualtatvamente guas. Para a equação de Laplace, tanto para malhas quadrangulares, quanto para malhas trangulares, o valor ótmo para o fator de forte dependênca na malha grossa é o mesmo, ou seja, ε=0,35. Este resultado concorda com a lteratura. Para a equação de Posson este valor é dferente, ε=0,0. Este últmo resultado concorda com Trottenberg et al (001) que também resolve a equação de Posson com o uso do AMG Efeto do Número de Incógntas (N) Para avalar o efeto do número de ncógntas no tempo de CPU na resolução dos problemas em questão, foram tomados os parâmetros ótmos obtdos anterormente. Para o método multgrd, tanto algébrco quanto geométrco, em todos os problemas abordados, o expoente p (da equação t=cn P ), manteve-se próxmo da undade conforme o esperado. Para o método snglegrd (SG - método de malha únca), este valor manteve-se próxmo de dos. Os valores para p mostrados na Tab. (3) são obtdos por meo do ajuste de curvas pelo método dos mínmos quadrados, onde são utlzados os 4 pontos de cada curva com maor N, para se fazer o ajuste. Nas Fgs. (5) e (6), pode-se observar o comportamento do tempo de CPU conforme é varado o número de ncógntas para o AMG, GMG e SG em malhas quadrangulares e para o AMG e SG, em malhas trangulares, respectvamente. Os resultados apresentados nas Fgs. (5) e (6) são complementares aos apresentados na Tab. (3). Os

7 VI C on gr e s s o Na c o n a l d e E n ge n ha r a M e c ân c a, 1 8 a 1 de Ag os t o 0 1 0, Ca m p na G r a nde - P a r a í ba valores encontrados para p estão próxmos para o AMG e GMG. Isto reflete o fato destas curvas apresentarem pratcamente a mesma nclnação. A nclnação para a curva que representa o SG, quando comparado ao AMG e GMG, é dferente, fato que também pode ser confrmado pela Tab. (3), onde é observada a grande dferença entre os valores de p para estes métodos. Tabela 3. Valor de p em t=cn P. Problema resolvdo AMG GMG SG Laplace Lnear Quadrangular 1,05 1,09 1,9 Laplace Senóde Quadrangular 1,00 1,07 1,91 Posson Quadrangular 1,04 1,04,04 Laplace Lnear Trangular 1, ,88 Laplace Senóde Trangular 1, , ,1 0,01 AMG Laplace Lnear AMG Laplace Senóde AMG Posson GMG Laplace Lnear GMG Laplace Senóde GMG Posson SG Laplace Lnear SG Laplace Senóde SG Posson SG AMG GMG ,1 AMG Laplace Lnear AMG Laplace Senóde SG Laplace Lnear SG Laplace Senóde SG AMG 1E-3 0, E7 Número de ncógntas (N) E7 Número de ncógntas (N) Fgura 5. Tempo de CPU para AMG, GMG e SG para malhas quadrangulares. Fgura 6. Tempo de CPU para AMG e SG para malhas trangulares. Na Fg. (5), que lustra os resultados em malhas quadrangulares, pode-se observar que as curvas para o GMG e para o AMG possuem a mesma nclnação, para os três problemas analsados. Nota-se anda que estas curvas, para o AMG e GMG, estão um pouco afastadas. Este comportamento é esperado, já que o GMG é mas rápdo para malhas estruturadas quadrangulares. A razão entre os tempos de CPU obtdos para o AMG e GMG é de aproxmadamente 5, ou seja, o GMG resolve o problema em 0% do tempo gasto pelo AMG. Na Fg. (5) nota-se anda que a curva para o snglegrd, além de estar mas afastada das demas, possu nclnação dferente. Estes resultados concordam com os obtdos por Watanabe et al (005), que trazem um gráfco onde são comparados os tempos de CPU para o AMG e GMG. Para malhas trangulares, na Fg. (6), é observada a nclnação dferente para as curvas que correspondem ao AMG e ao SG, além destas curvas estarem bem afastadas. Este comportamento também é o esperado para malhas trangulares Otmzação do algortmo AMG Neste trabalho, o prncpal objetvo é a otmzação do códgo computaconal, através da análse de parâmetros prevamente determnados. Estes parâmetros são testados um a um, de forma a resultar em um conjunto ótmo para cada um dos casos analsados. Com este conjunto de otmzações, são obtdos ganhos em tempo de CPU para a resolução dos problemas abordados. A dferença entre o problema resolvdo com o algortmo padrão (ν=1, L=L máxmo, θ=0,5 e ε=0,35) e o algortmo otmzado cresce conforme aumenta o número de ncógntas. O algortmo ótmo contempla os parâmetros ótmos obtdos para cada problema acma estudado. Na Tab. (4) pode ser observada a razão entre os tempos de CPU para o programa otmzado e o padrão. Nesta tabela também podem ser observados os tempos de CPU para os problemas resolvdos com mas ncógntas. Conforme a Tab. (4), pode-se conclur que são alcançados ganhos em termos de tempo de CPU para todos os problemas resolvdos. A redução obtda do algortmo otmzado em relação ao padrão é de 8% a 15%. O problema que obteve o menor ganho é o de Posson, cuja resolução com o algortmo otmzado leva 9% do tempo obtdo com o algortmo padrão. Os problemas que obtveram melhores ganhos são os resolvdos em malhas trangulares. Para a equação de Laplace, cuja solução analítca é dada por uma função lnear, o algortmo otmzado leva 85% do tempo de CPU obtdo com o algortmo padrão. Na Tab. (5), podem ser observados os valores obtdos para o valor de p (em t=cn P ) tanto para o AMG otmzado, quanto para o AMG consderado padrão. Os valores do algortmo otmzado são menores (estão mas próxmos de um) que os valores obtdos quando é consderado o algortmo padrão. Nesta tabela, pode-se observar anda o número de

8 VI C on gr e s s o Na c o n a l d e E n ge n ha r a M e c ân c a, 1 8 a 1 de Ag os t o 0 1 0, Ca m p na G r a nde - P a r a í ba cclos (terações externas) que são realzados para o AMG atngr a tolerânca estpulada. Nota-se uma redução neste número para o algortmo otmzado. Para a equação de Laplace resolvda em malhas quadrangulares, esta redução é de quase metade. Tabela 4. Comparações do tempo de CPU entre o algortmo padrão e o otmzado. Problema resolvdo Padrão Otmzado t t CPU CPU (otmzado) (padrão) Laplace Lnear Quadragular 6, 55,8 0,90 Laplace Senóde Quadrangular 63,1 56,6 0,90 Posson Quadrangular 75,6 69,7 0,9 Laplace Lnear Trangular 11,8 96, 0,85 Laplace Senóde Trangular 115,1 99, 0,86 Tabela 5. Valor de p em t=cn P. Problema resolvdo AMG Padrão AMG Otmzado Cclos Padrão Cclos Otmzado Laplace Lnear Quadrangular 1,06 1, Laplace Senóde Quadrangular 1,05 1, Posson Quadrangular 1,1 1, Laplace Lnear Trangular 1,08 1, Laplace Senóde Trangular 1,07 1, CONCLUSÃO Neste trabalho são testados alguns parâmetros do método multgrd algébrco na resolução das equações de Laplace e Posson bdmensonas, sendo que a equação de Laplace é dscretzada em malhas estruturadas quadrangulares e trangulares, enquanto que a equação de Posson é resolvda apenas em malhas quadrangulares. Para malhas quadrangulares emprega-se o método de dferenças fntas para a dscretzação das equações dferencas parcas, e para as malhas trangulares, utlza-se o método de volumes fntos. Foram analsados os efetos dos seguntes parâmetros sobre o tempo de CPU: número de terações nternas (ν), número de malhas (L), fator de redução de malha (θ), fator de forte dependênca na malha grossa (ε) e número de ncógntas (N). Alguns dos resultados obtdos são comparados aos dsponíves para o GMG. Com a realzação deste trabalho, verfcou-se que: 1) O número de terações nternas afeta sgnfcatvamente o tempo de CPU. Para as equações de Laplace e Posson dscretzadas em malhas quadrangulares, ν ótmo =. Para malhas trangulares, encontrou-se ν ótmo =1. ) O número de níves empregados para a resolução do AMG afeta sgnfcatvamente o tempo de CPU. Para as equações acma ctadas, observou-se que L ótmo =L máxmo, para malhas quadrangulares e trangulares. Para o GMG o ótmo encontrado também é o número máxmo de malhas. 3) O fator de redução de malha vara conforme o problema que está sendo abordado: em malhas quadrangulares, para a equação de Laplace (Lnear) tem-se θ=0,0; para Laplace (Senóde), tem-se θ=0,5; e para Posson, tem-se θ=0,40. Para malhas trangulares o valor ótmo é θ=0,065. 4) O fator de forte dependênca na malha grossa também apresenta varações conforme o problema resolvdo. Em malhas quadrangulares, para a equação de Laplace, tanto lnear quanto senóde, tem-se ε=0,35. Para Posson, ε=0,0. Para malhas trangulares o valor ótmo é ε=0,35. 5) Com as otmzações fetas foram reduzdos o tempo de CPU, o valor do expoente p e o número de terações externas para todos os casos analsados. 6) Foram obtdos resultados em malhas mas refnadas que as apresentadas na lteratura, tanto para malhas trangulares quanto para malhas quadrangulares. 7) Para malhas quadrangulares, o GMG resolve o problema em 0% do tempo gasto pelo AMG. 6. AGRADECIMENTOS A prmera autora agradece ao Laboratóro de Expermentação Numérca (LENA), do Departamento de Engenhara Mecânca da UFPR, por dsponblzar sua estrutura, aos amgos do LENA e a CAPES (Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor) pelo suporte fnancero. O tercero autor é bolssta do CNPq (Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco). Os autores agradecem ao CNPq, à Fundação Araucára (Paraná) e à Agênca Espacal Braslera (AEB), através do Programa Unespaço, pelo apoo fnancero. Os autores agradecem ao Dr. K. Stüben pela cessão do códgo AMG1R6 utlzado neste trabalho.

9 VI C on gr e s s o Na c o n a l d e E n ge n ha r a M e c ân c a, 1 8 a 1 de Ag os t o 0 1 0, Ca m p na G r a nde - P a r a í ba 7. REFERÊNCIAS Brandt, A., 1986, Algebrac Multgrd Theory: The Symmetrc Case, Appled Mathematcs and Computaton, Vol. 19, pp Brggs, W. L., Henson, V. E. e McCormck, S. F., 000, A Multgrd Tutoral, ª Ed., SIAM, EUA, 193p. Falgout, R. D., 006, An Introducton to Algebrac Multgrd, Computng n Scence and Engneerng, pp Campos, F. O., Olvera, R. S. e Santos, R. W., 006, Performance Comparson of Parallel Geometrc and Algebrac Multgrd Precondtoners for Bdoman Equatons, Sprnger-Verlag Berln Hedelberg, pp Chang, Q., Wong, Y. S. e Fu, H., 1996, On the Algebrac Multgrd, Journal of Computatonal Physcs, Vol. 15, pp Cleary, A. J., Falgout, R. D., Henson, V. E., Jones, J. E., Manteuffel, T. A., McCormck, S. F., Mranda, G. N. e Ruge, J. W., 000, Robustness and Scalablty of Algebrac Multgrd, SIAM Journal on Scentfc Computng, Vol. 1, Nº 5, pp Ferzger, J. H. e Perc, M., 00, Computatonal Methods for Flud Dynamcs, Berln: Sprnger-Verlag, 43 p. Gaspar, F. J., Graca, J. L., Lsbona, F. J. e Rodrgo, C, 009, On geometrc multgrd methods for trangular grds usng three-coarsenng strategy, Appled Numercal Mathematcs, Artcle n press. Haase, G. e Langer, U., 00, Multgrd Methods: From Geometrc to Algebrac Versons, em Bourloux A. e Gander, M. J., Modern Methods n Scentfc Computng and Applcatons, Kluwer Academc Press, Dordrecht, pp Iwamura, C., Costa, F. S., Sbarsk, I., Easton, A. e L, N., 003, An effcent algebrac multgrd precondtoned conjugate gradent solver, Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, Vol. 19, pp Krechel, A. e Stüben, K., 1999, Operator Dependent Interpolaton n Algebrac Multgrd, Proceedngs of Ffth European Multgrd Conference, 4 p. Langer, U. e Pusch, D., 006, Comparson of Geometrcal and Algebrac Multgrd Precondtoners for Data-Sparse Boundary Element Matrces, Sprnger-Verlag Berln Hedelberg, pp Malska, C. R., 004, Transferênca de Calor e Mecânca dos Fludos Computaconal, [ Ed., Edtora LTC, 453 p. Olvera, F., Pnto, M. A. V. e March, C. H., 008, Efeto de roteros do método multgrd sobre o tempo de CPU para a equação de Laplace D, Proceedngs of the XXIX Congresso Ibero-Latno-Amercano de Métodos Computaconas em Engenhara, Maceó, Alagoas, Brasl, 1p. Ruge, J. e Stüben, K., 1986, Algebrac Multgrd (AMG), em S. F. McCormck, Multgrd Methods, volume 5 de Fronters n Appled Mathematcs, SIAM, Phladelpha, 57 p. Stüben, K., 001, A revew of algebrac multgrd, Journal of Computatonal and Appled Mathematcs, Vol. 18, pp Tannehll, J. C., Anderson, D. A. e Pletcher, R. H., 1997, Computatonal Flud Mechancs and Heat Transfer, Taylor e Francs. Trottenberg, U., Oosterlee, C. e Schüller, A., 001, Multgrd, Academc Press, 631 p. Watanabe, K., Igarash, H. e Honma, T., 005, Comparson of Geometrc and Algebrac Multgrd Methods n Edge- Based Fnte-Element Analyss, IEEE Transactons on Magnetcs, Vol. 41, Nº. 5, pp Wu, C., T. e Elman, H. C., 006, Analyss and Comparson of Geometrc and Algebrac Multgrd for Convecton- Dffuson Equatons, SIAM Journal on Scentfc Computng, Vol. 8, Nº 6, pp

10 VI CONGRESSO NACIONAL DE ENGENHARIA MECÂNICA VI NATIONAL CONGRESS OF MECHANICAL ENGINEERING 18 a 1 de agosto de 010 Campna Grande Paraíba - Brasl August 18 1, 010 Campna Grande Paraíba Brazl OPTIMIZATION OF THE ALGEBRAIC MULTIGRID METHOD FOR THE TWO-DIMNESIONAL EQUATIONS OF LAPLACE AND POISSON Roberta Suero, roberta.suero@fpr.edu.br 1, Marco Augusto Vllela Pnto, marco_vllela@yahoo.com.br 3,4 Carlos Henrque March, march@ufpr.br 4 Lucano Kyosh Arak, lucarak@ufpr.br 4 Arlede Crstna Alves, aalves@up.edu.br 5 1 Post-Graduate Program n Numercal Methods n Engneerng, Federal Unversty of Paraná, Curtba, PR Federal Insttute of Educaton, Scence and Technology of Paraná, Campus Paranaguá, PR 3 Department of Mathematcs and Statstcs, State Unversty of Ponta Grossa, Ponta Grossa, PR 4 Department of Mechancal Engneerng, Federal Unversty of Paraná, Curtba, PR 5 School of Exact and Technology Scences, Postvo Unversty, Curtba, PR Abstract. Ths work presents comparsons of parameters between the algebrac multgrd (AMG) and geometrc multgrd (GMG) methods for Laplace and Posson two-dmensonal equatons n square and trangular structured grds. The analyzed parameters are: the number of nternal teratons n the solver, the number of grds and number of unknowns. For AMG, the effects of the grd reducton factor and the strong dependence factor n the coarse grd on the necessary CPU tme to obtan the numerc soluton are studed. For square grds the fnte dfference method s used, and for the trangular grds, the fnte volume one. The results are obtaned wth the use of na adapted computatonal code from the orgnal AMG1R6 of Ruge and Stüben. For the AMG the followng multgrd components are used: restrcton by the standard coarsenng, standard nterpolaton, correcton scheme (CS), lexcographc Gauss-Sedel as solver and V cycle. Comparatve studes among the CPU tme of the geometrc and algebrac multgrd methods and snglegrd (method of unque mesh) are made. It was verfed that: 1) the optmum number of nternal teratons obtaned for AMG and GMG, n square grds, s the same, however t has a value dfferent for trangular grds; ) the optmum number of grds s the maxmum number, for both square and trangular grds; 3) AMG was shown to be senstve to both the varaton of the grd reducton factor and the strong dependence factor n the coarse grd, n relaton to the approached equatons, as lake to the mesh types; and 4) n square grds, the GMG solvesthe problem n0% of the tme spend for AMG. Keywords: fnte dfference, fnte volume, optmzaton.