EFEITO DE PARÂMETROS DO MÉTODO MULTIGRID SOBRE O TEMPO DE CPU PARA A EQUAÇÃO DE BURGERS UNIDIMENSIONAL

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1 Proceedngs o te XXVI Iberan Latn-Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng CILAMCE 005 Brazlan Assocaton or Comutatonal Mecancs (ABMEC) & Latn Amercan Assocaton o Comutatonal Metods n Engneerng (AMC), Guaraar, Esírto Santo, Brazl, 19 t 1 st October 005 EFEITO DE PARÂMETROS DO MÉTODO MULTIGRID SOBRE O TEMPO DE PARA A EQUAÇÃO DE BURGERS UNIDIMENSIONAL M. A. V. Pnto marcov@demec.ur.br Deartamento de Matemátca e Estatístca UEPG, Ponta Grossa, PR, Brasl C. D. Santago cosmo@unbrasl.com.br Faculdades do Brasl Unbrasl, Curtba, PR, Brasl C.. Marc marc@demec.ur.br Deartamento de Engenara Mecânca, UFPR, Curtba, PR, Brasl Resumo. Neste trabalo estuda-se a nluênca de város arâmetros do método Multgrd geométrco sobre o temo de. Os arâmetros consderados são: a razão de engrossamento das malas, número de terações nternas, número de níves, tolerâncas e estmatvas ncas. O modelo matemátco consderado envolve um roblema de escoamento não-lnear undmensonal, equação de Burgers, com condções de contorno de Drclet. A equação derencal é dscretzada com o método de derenças ntas. No caso Multgrd, os sstemas de equações algébrcas são resolvdos com o método de Gauss-Sedel. Comarações são etas com dos métodos Snglegrd: Gauss-Sedel e TDMA. O algortmo Multgrd usado é o Esquema de Aroxmação Comleta (Full Aroxmaton Sceme) com cclo V. A restrção é eta or njeção e a rolongação or nterolação lnear. Alguns resultados conrmam os resultados da lteratura e outros novos são aresentados. Palavras-cave: Derenças ntas, Solvers, Razão de engrossamento, Escoamento undmensonal 1. INTRODUCÃO A dscretzação de modelos matemátcos que surgem na dnâmca dos ludos comutaconal conduz a grandes sstemas de equações algébrcas do to Ax b, (1) em que A é uma matrz quadrada, b é o vetor ndeendente e x é o vetor de ncógntas. Estes modelos surgem, geralmente, em enômenos íscos que envolvem ludos em movmento, com ou sem troca de calor (Fortuna, 000; Malska, 004). A estrutura da matrz A deende do método usado ara dscretzar o modelo matemátco. Um método muto usado é o método de derenças ntas (Golub e Ortega, 199; Tannell et al.,1997), onde, em roblemas undmensonas, o domíno x : 0 x 1 é artconado em subntervalos, ntroduzndo uma mala com os ontos x 1, onde 1,...,N 1 e N 1 / N tamano que denota-se or. A cada um dos é o comrmento de cada ntervalo. Isto estabelece uma mala de N 1 ontos nterores à mala, a

2 Proceedngs o te XXVI Iberan Latn-Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng CILAMCE 005 Brazlan Assocaton or Comutatonal Mecancs (ABMEC) & Latn Amercan Assocaton o Comutatonal Metods n Engneerng (AMC), Guaraar, Esírto Santo, Brazl, 19 t 1 st October 005 equação derencal que reresenta o enômeno ísco é substtuída or aroxmações de derenças ntas de rmera e segunda ordem (Tannell et al.,1997; Ferzger e Perc, 1999). Váras técncas numércas têm sdo estudadas ara resolver o sstema (1) com o menor custo comutaconal e a solução a mas róxma ossível da exata (sem erros de teração). A resolução or métodos dretos não é recomendável, vsto que na rátca, a matrz dos coecentes é muto grande e o custo da nversão da matrz é alto (Golub e van Loan, 1984). Os métodos teratvos são mas adequados ara roblemas de grande orte (Burden e Fares, 1997). A artr de uma estmatva ncal, o método gera uma seqüênca de soluções que, em geral, aroxma da solução exata do roblema. Os métodos do gradente conjugado (Burden e Fares, 1997) e do gradente conjugado ré-condconado (Denns e Scnabel, 1983) usam técncas que são mas esecícas ara geometras smles e roblemas cuja matrz dos coecentes seja mal-condconada. Para geometras mas comlexas, a técnca de decomosção de domíno (Perng e Street, 1991; La e Przekwas, 1996) é também usada. O método Multgrd, roosto orgnalmente or Fedorenko (1964) é aresentado como uma técnca numérca alternatva ara resolver teratvamente sstemas de equações do to (1). A déa básca é usar um conjunto de malas e alternar entre as terações em cada nível de mala e as aroxmações destas soluções em uma mala mas grossa (Brggs et al., 000). Então, oeradores que transerem vetores da mala na ara a mala medatamente mas grossa (restrção) são dendos. O mesmo rocedmento é alcado da mala grossa ara a mala medatamente mas na (rolongação). Os sstemas lneares em cada mala são resolvdos com um método teratvo com roredades de reduzr radamente os erros osclatóros (roredades de suavzação). Com este conceto, város trabalos oram ublcados aresentando bons resultados numércos ara os roblemas da dnâmca dos ludos. As conclusões de Fedorenko (1964) mostraram que a velocdade de convergênca com o uso da técnca Multgrd é melor que a dos métodos teratvos uros. O objetvo da técnca Multgrd é acelerar a convergênca de um esquema teratvo (Tannell et al., 1997). Os melores desemenos do método Multgrd são obtdos em roblemas totalmente elítcos (Wesselng, 199), ou seja, roblemas domnados ela dusão; e os menores em roblemas domnados ela advecção (Ferzger e Perc, 1999). O método Multgrd ode ser alcado a malas estruturadas, também camado de Multgrd geométrco (Wesselng e Oosterlee, 001), assm como em malas nãoestruturadas, conecdo como Multgrd algébrco (Stüben, 001). Em Brggs et al. (000) é comarado o uso do Multgrd geométrco e algébrco em um roblema de Posson bdmensonal com condção de rontera de Drclet. Em Wesselng e Oosterlee (001) mutos desaos anda são vstos na área geométrca, como a solução das Equações de Naver- Stokes, roblemas com erturbações sngulares, roblemas de camada lmte onde aarecem as malas ortemente dstorcdas, ou mesmo a aralelzação de algortmos. Brandt (1977) trabalou com o Multgrd geométrco em dversos roblemas de transerênca de calor e escoamento de ludos, undmensonas e bdmensonas, lneares e não-lneares. Ele ez comarações com as razões de engrossamento r 1 /, r 1 / 3 e r / 3, onde a razão de engrossamento é denda como r, () onde reresenta uma mala na, a mala medatamente mas grossa e o tamano do elemento da mala, ara o caso undmensonal e mala unorme. Para os roblemas

3 Proceedngs o te XXVI Iberan Latn-Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng CILAMCE 005 Brazlan Assocaton or Comutatonal Mecancs (ABMEC) & Latn Amercan Assocaton o Comutatonal Metods n Engneerng (AMC), Guaraar, Esírto Santo, Brazl, 19 t 1 st October 005 testados, a conclusão de Brandt (1977) é que a razão r 1 / é a recomendável, os, segundo ele, é a razão róxma da ótma e a mas ácl de rogramar. Stüben (1999) desenvolveu um estudo com as razões r 1 / e r 1 / 4 em malas não-estruturadas ara dversos roblemas de transerênca de calor, escoamento e eletromagnetsmo, bdmensonas e trdmensonas, lneares e não-lneares. Em seu trabalo, a razão r 1 / 4 se mostrou ecente ara roblemas ansotrócos (ansotroa dos coecentes e ansotroa devdo à malas altamente dstorcdas). Brggs et al. (000) trabalaram com a razão r 1 / armando ser uma rátca unversal e que r 1 / não traz vantagens. Moro (004) trabalou com as razões r 1 / e r 1 / 4 em malas estruturadas ara roblemas de dusão com termo onte. Em seu trabalo a razão r 1 / 4 se mostrou bastante ecente, com o temo de menor do que ara a razão r 1 /. Pnto et al. (005) trabalaram com as razões r 1 /, r 1/ 3, r 1/ 4, r 1/ 5 e r 1/ 8 ara roblemas undmensonas lneares (equação de dusão e equação de advecção-dusão). Neste trabalo a razão r 1 / mostrou-se mas ecente. Embora não aja razão ara usar o método Multgrd em uma dmensão, é ácl lustrar os rncíos do método e dervar alguns rocedmentos usados no caso geral (Ferzger e Perc, 1999). Pos, desta orma, uma grande quantdade de testes oderá ser eta devdo à radez da obtenção das soluções. Isto aclta o estudo de uma grande varação de arâmetros. Neste trabalo os seguntes arâmetros são estudados: dversas razões de engrossamento ( r 1, r 1 3, r 1 4, r 1 5 e r 1 8 ), o número de terações nternas e o número de níves. O objetvo é vercar o eeto desses arâmetros sobre o temo de ara o Multgrd geométrco. O algortmo Multgrd adotado é o Esquema de Aroxmação Comleta (Full Aroxmaton Sceme) com cclo V roosto em Wesselng (199). Os resultados são comarados com os obtdos na bblograa. São aresentados oeradores de restrção e rolongação ara qualquer razão de engrossamento no ntervalo (0,1). O modelo matemátco consderado neste trabalo envolve o roblema não-lnear undmensonal de escoamento, sto é, equação de Burgers com condções de contorno de Drclet. Este artgo está organzado da segunte orma: na seção é dada uma vsão geral do método Multgrd, aresentando os oeradores de restrção, rolongação e o método teratvo de Gauss-Sedel. Na seção 3, é dado o modelo matemátco e numérco. Nas seções 4 e 5 são descrtos os exermentos numércos com seus resultados e a conclusão do trabalo.. MÉTODO MULTIGRID A resolução de roblemas de mecânca dos ludos e transerênca de calor através de métodos numércos requer um custo comutaconal demasadamente alto e mutas vezes nvável devdo ao grande número de equações a serem resolvdas em cada asso teratvo. Um método alternatvo usado ara melorar a taxa de convergênca destes roblemas é o método Multgrd (Brggs et al., 000), que acelera consderavelmente a resolução dos sstemas lneares envolvdos no roblema. Métodos Multgrd são métodos teratvos de resolução de sstemas lneares, sendo, ortanto, ortemente deendentes da estmatva ncal atrbuída às ncógntas do roblema. Uma técnca ecente usada ara alvar as ortes osclações do resíduo em cada mala, dendo or R b Ax, (3)

4 Proceedngs o te XXVI Iberan Latn-Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng CILAMCE 005 Brazlan Assocaton or Comutatonal Mecancs (ABMEC) & Latn Amercan Assocaton o Comutatonal Metods n Engneerng (AMC), Guaraar, Esírto Santo, Brazl, 19 t 1 st October 005 é suavzar as osclações or um método de relaxação. Neste trabalo otou-se elo método de Gauss-Sedel, uma vez que ele ossu boas roredades de suavzação (Brggs et al., 000). As rmeras terações deste rocesso, geralmente, têm ráda convergênca, caracterzando a resença de modos osclatóros de erro. Porém, aós algumas terações, o rocesso torna-se lento snalzando a redomnânca de modos suaves (Brandt, 1977). Este é exatamente o momento onde é recomendável transerr o roblema de relaxação ara a mala mas grossa. Pos, os modos de erros suaves na mala na tornam-se erros osclatóros na mala grossa (Wesselng, 199). Para roblemas não-lneares, o método Multgrd é uma técnca que alterna entre assos de relaxação e soluções aroxmadas do roblema e da equação resdual em uma mala mas grossa (Full Aroxmaton Sceme) acelerando a convergênca do esquema de relaxação (Brggs et al., 000). A taxa de convergênca do Multgrd é ndeendente do tamano da mala, sto é, ndeende do número de ontos da mala (rsc, 1988; Ferzger e Perc, 1999). Não é muto eetvo usar somente dos níves de mala (Roace, 1998). Para obter o bom desemeno do Multgrd, dversos níves de malas devem ser usados (Tannell et al., 1997). Neste trabalo a razão de engrossamento ara malas unormes é dada ela Eq. (), onde: r 0 ; 0, 5 será denomnado engrossamento orte; r 0,5, engrossamento adrão e r 0,5 ;1, engrossamento raco. Neste trabalo estudou-se os engrossamentos orte e adrão alcados ao algortmo encontrado em Wesselng (199). Uma orma alternatva da Eq. () é * r,, q Z, q. (4) q Neste caso, a razão de engrossamento r é camada de razão ura se 1. Os oeradores de transerênca da mala na ara a mala grossa são camados de oeradores de restrção e são denotados genercamente or. Onde assume a solução aroxmada do roblema e também o resíduo R dado ela Eq. (3). Em Pnto et al. (005) o desenvolvdo um oerador de njeção com a sua orma generalzada ara qualquer r ( 0, 1) dado or: K. K. ; N, (5) r cr 1 r cr 1 q q com cr celng 1, K r cr 1, N N. e N o número de ntervalos q da mala medatamente mas na. A unção celng é denda or: celng : Z, com x celng x mn z Z / z x. (6) I A Eq. (5) não é calculada ara 1e N 1, os neste trabalo adota-se as condções de contorno de Drclet. Portanto tem-se R 0, 0,..., 0 nestes ontos. Os oeradores de transerênca da mala grossa ara a mala na são camados de oeradores de rolongação, ou nterolação, e são denotados genercamente or I. Onde assume a solução aroxmada do roblema e também a aroxmação do erro na equação resdual, ou seja, a correção. Como no caso do oerador de restrção, em Pnto et al.

5 Proceedngs o te XXVI Iberan Latn-Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng CILAMCE 005 Brazlan Assocaton or Comutatonal Mecancs (ABMEC) & Latn Amercan Assocaton o Comutatonal Metods n Engneerng (AMC), Guaraar, Esírto Santo, Brazl, 19 t 1 st October 005 (005) o desenvolvdo um oerador de nterolação lnear com a sua orma generalzada ara qualquer r 0, 1 dada or. K K. 1; N, (7) c 1 com celng 1, K c 1 c. q q c 3. MODELOS MATEMÁTICO E NUMÉRICO O roblema de escoamento não-lnear undmensonal (equação de Burgers) de um ludo ncomressível com condções de contorno de Drclet em regme ermanente e em coordenadas cartesanas ode ser adatado de Tannell et al. (1997) e reresentado matematcamente or: Re.u x u xx S, 0 x 1; u 0 0, u1 1, (8) S e Re 0. Para estas condções de contorno e termo onte, a solução analítca é dada or x Re u x e 1 e Re 1. Na Eq. (8) a varável u reresenta a velocdade. Suas dervadas rmera e segunda são reresentadas or u e u, resectvamente. x Re x Re Re Re onde u é a ncógnta, S é um termo onte dado or Re e e e 1 e 1 x A dscretzação do domíno é desenvolvda azendo-se uso de malas unormes em subntervalos (elementos) ntroduzdos elos ontos da mala dados or 1,..., N 1 e 1 / N xx x ( 1), onde é o comrmento de cada subntervalo. A equação derencal dada ela Eq. (8) é dscretzada de acordo com o método de derenças ntas. Nesta equação é utlzada derença atrasada (UDS) ara a dervada de rmera ordem (termo advectvo) e derença centrada (CDS) ara a dervada de segunda ordem (termo dusvo). Os esquemas UDS e CDS odem ser vstos em Tannell et al. (1997). A equação resultante é: N v Re. v 1 v 1 v v 1 S, N ; v 1 0, v N 1 1, (9) onde v é uma aroxmação (solução numérca) ara a solução exata x e S S x. A lnearzação da Eq. (9), como em Ferzger e Perc (1999), é da orma: onde v u * * v v v 1v1 v 1 v v 1 Re. S, ; 1 0, N v vn 1 v v e o índce * denota valores que são obtdos da teração anteror. * 1, (10)

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9 Proceedngs o te XXVI Iberan Latn-Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng CILAMCE 005 Brazlan Assocaton or Comutatonal Mecancs (ABMEC) & Latn Amercan Assocaton o Comutatonal Metods n Engneerng (AMC), Guaraar, Esírto Santo, Brazl, 19 t 1 st October 005 Fgura 3 - Temo de em unção do número de níves de malas 4.3 Razão de engrossamento A Fg. 4 mostra as dversas razões de engrossamento ara o método Multgrd e também uma comaração entre métodos Snglegrd Gauss-Sedel e TDMA em unção de dversos ara a Equação de Burgers. Pode-se notar que o método TDMA é o mas ecente de todos os métodos testados. Ele é segudo elos métodos Multgrd e nalmente elo método de Gauss- Sedel. Portanto, ara o roblema undmensonal testado, recomenda-se o uso do método dreto TDMA. A Fg. 5 é sugerda ara acltar a vsualzação das curvas reerentes às razões testadas nos métodos Multgrd. Para os mesmos, v e N, dentre os métodos Multgrd, ode-se erceber que r 1 3 t r 1 4 t r 1 5 t r 1 t r 1 8 t, na maora dos ontos do domíno em estudo. Portanto, no caso do Multgrd, recomenda-se o uso da razão r 1 3 ara o roblema em questão. Esta constatação é nédta e neserada, além de mostrar que a razão r 1 erde a egemona erante outras razões. Brandt (1977) ez comarações entre as razões de engrossamento r 1, r 1 3 e r 3 ara dversos roblemas, mas não se reeru à Eq. (8). Em seus estudos constatou que a razão r 1 é a recomendável, or estar mas róxma do ótmo e ser mas convenente e econômca ara o rocesso de nterolação. Pode-se constatar também a boa ecênca da razão r 3 ara alguns de seus roblemas. Brggs et al. (000) armam que r 1, em geral, não traz vantagens, sem eseccar ara quas roblemas ou classes de roblemas. Stüben (1999) desenvolveu um estudo com as razões r 1 e r 1 4 no caso do Multgrd algébrco, em que a razão r 1 4 mostrou-se ecente ara os casos de ansotroa. Em Pnto et al. (005) constatou-se que, dentre os métodos Multgrd testados, t r 1 t r 1 3 t r 1 4 t r 1 5 t r 1, na maora dos 8 N

10 Proceedngs o te XXVI Iberan Latn-Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng CILAMCE 005 Brazlan Assocaton or Comutatonal Mecancs (ABMEC) & Latn Amercan Assocaton o Comutatonal Metods n Engneerng (AMC), Guaraar, Esírto Santo, Brazl, 19 t 1 st October 005 ontos do domíno em estudo, tanto ara a equação de Posson como ara a de advecçãodusão, ambos roblemas lneares 1D. Fgura 4 - Temo de em unção da dmensão do roblema ara dversos métodos Fgura 5 - Temo de em unção da dmensão do roblema ara dversas razões ara o método Multgrd

11 Proceedngs o te XXVI Iberan Latn-Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng CILAMCE 005 Brazlan Assocaton or Comutatonal Mecancs (ABMEC) & Latn Amercan Assocaton o Comutatonal Metods n Engneerng (AMC), Guaraar, Esírto Santo, Brazl, 19 t 1 st October 005 Fazendo-se um ajuste ara as curvas da Fg. 4, com a curva geométrca t que: - a ara o método TDMA; - a ara os métodos Multgrd; - a.8578 ara o método de Gauss-Sedel. 4.4 Tolerânca e estmatva ncal a bn, tem-se Neste trabalo estudam-se também casos com varações tanto da tolerânca como da estmatva ncal v. Para a varação da tolerânca, estuda-se os casos onde 10 4 e 10 10, além de 10 7 usado nos resultados anterores. Os resultados dos estudos do número de terações nternas ótmo e do número de níves ótmo ara a equação de Burgers soreram ouca varação sobre o temo de : cerca de 10.81% ao se adotar ITI 3q e, na méda, cerca de 0.0% ao se adotar L L max mo. Para a varação de estmatva ncal, estuda-se os casos onde v 1, 1,..., 1 e v 1, 1,..., 1, além de v 0, 0,..., 0 usado nos resultados anterores. Os resultados do estudo do número de terações nternas ótmo soreram uma varação sobre o temo de mas substancal: varando entre 0.00% e 7.05% ao se adotar ITI 3q. Os resultados do estudo do número de níves ótmo soreram ouca varação; na méda, cerca de 0.11% ao se adotar L L max mo. Isto mostra que o roblema de mnmzação do temo de em unção das terações nternas e do número de níves é racamente deendente da tolerânca e ortemente deendente da estmatva ncal, elo menos ara a Equação de Burgers estudada. A raca deendênca da tolerânca e a orte deendênca da estmatva ncal, também oram constatadas em Pnto et al. (005). Vercou-se que a varação sobre o temo de, consderando a varação da tolerânca, o cerca de.40% ao adotar ITI q e 0.80% se L L max mo ara o roblema de Posson; e 3.40% com ITI q e 0.61% se L Lmax mo ara o roblema de advecção-dusão. A varação sobre o temo de, consderando a varação da estmatva ncal, o cerca de 8.70% com ITI q e 0.90% se L L ara o roblema max mo de Posson; e.00% azendo ITI q e 0.57% se L L max mo ara o roblema de advecçãodusão. 5. CONCLUSÃO Neste trabalo estudou-se a nluênca da razão de engrossamento de malas sobre o temo de do método Multgrd geométrco. O modelo matemátco consderado, equação de Burgers, reresenta um escoamento não-lnear undmensonal com condções de contorno de Drclet. A equação o dscretzada com o método de derenças ntas e o método Multgrd usado é o Esquema de Aroxmação Comleta (Full Aroxmtaton Sceme) com cclo V. Comarações oram etas com dos métodos Snglegrd: Gauss-Sedel e TDMA. Com base nos resultados deste trabalo, vercou-se que:

12 Proceedngs o te XXVI Iberan Latn-Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng CILAMCE 005 Brazlan Assocaton or Comutatonal Mecancs (ABMEC) & Latn Amercan Assocaton o Comutatonal Metods n Engneerng (AMC), Guaraar, Esírto Santo, Brazl, 19 t 1 st October 005 1) O número de terações nternas e o número de níves de malas aetam sgncatvamente o temo de. Recomenda-se usar ITI 3q e L ara as razões uras r 1 q L max mo e qualquer N. ) Os números ótmos de terações nternas e de níves de mala são racamente deendentes da tolerânca eseccada ara o roblema, mas ortemente deendentes da estmatva ncal. 3) Entre as razões de engrossamento de malas testadas com o método Multgrd, ara os mesmos, condção ncal e N, com Lmaxmo ara cada N e ITIotmo ara cada r, temse em geral que t r 1 3 t r 1 4 t r 1 5 t r 1 t r 1. Ou 8 seja, a razão r 1 3 resulta em menor temo de entre todas as razões consderadas. Segundo o conecmento dos autores, este resultado é nédto, vsto que não se encontrou na lteratura algo semelante. Agradecmentos Agradecemos o aoo do Laboratóro de Exermentação Numérca (LENA) do Deartamento de Engenara Mecânca da UFPR or dsonblzar sua nra-estrutura. O rmero autor agradece a Unversdade Estadual de Ponta Grossa elo suorte nancero. Agradecemos também aos amgos do LENA e esecalmente ao Lucano K. Arak. REFERÊNCIAS Brandt, A., Mult-Level adatve solutons to boundary-value roblems, Matematcs o Comutaton, Vol. 31, , Brggs, W. L. and enson, V.E., Mccormck, S.F., A Multgrd Tutoral, ª ed., SIAM, 000. Burden, R. L. and Fares, J. D., Numercal Analyss, 6ª ed., Brooks/Cole Publsng Comany, Denns, J. E. and Scnabel, R., Numercal Metods or Unconstraned Otmzaton and Nonlnear Equatons. Pratce all, Fedorenko, R. P., On te Seed o Convergence o an Iteraton Process, USSR Comut. Mat. And Mat. Pys., Vol. 4 (3), Ferzger, J.. and Perc, M., Comutatonal Metods or Flud Dynamcas, ª ed., Srnger, Fortuna, A. O., Técncas Comutaconas ara Dnâmca dos Fludos, Edus, 000. Golub, G.. and Ortega, J. M., Scentc Comutng and Derental Equatons: An Introducton to Numercal Metods, Academc Press, Inc., 199.

13 Proceedngs o te XXVI Iberan Latn-Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng CILAMCE 005 Brazlan Assocaton or Comutatonal Mecancs (ABMEC) & Latn Amercan Assocaton o Comutatonal Metods n Engneerng (AMC), Guaraar, Esírto Santo, Brazl, 19 t 1 st October 005 Golub, G.. and Van Loan, C., Matrx Comutatons, ª ed., Jons okns Press, Baltmore, rsc, C., Numercal Comutatonal o Internal and External Flows, Vol.1, Wley, La, Y. G. and Przekwa, A. J., A Multgrd algortm or a Multblock ressure-based low and eat transer solver, Numercal eat Transer, Part B, Vol. 30, , Malska, C. R., Transerênca de calor e mecânca dos ludos comutaconal, LTC, ª ed., 004. Mesquta, M. S. and De-Lemos, M. J. S., Otmal Multgrd solutons o two-dmensonal convecton-conducton roblems, Aled Matematcs and Comutaton, Vol. 15, , 004. Moro Flo, R. C., Alcação da Técnca Multgrd em Transerênca de Calor Comutaconal, XXV Iberan Latn_Amercan Congress on Comutatonal Metods n Engneerng, 004. Perng, C. Y. and Street, R. L., A Couled Multgrd-Doman-Slttng tecnque or smulatng ncomressble lows n geometrcally comlex domans, Internatonal Journal or Numercal Metods n Fluds, Vol. 13, , Pnto, M. A. V., Santago, C. D., Marc, C.., Eect o Parameters o a Multgrd Metod on Tme or One-dmensonal Problems, Proceedngs o COBEM 005. Roace, P. J., Fundamentals o Comutatonal Flud Dynamcs, ermosa Publsers, Stüben, K., Algebrac Multgrd (AMG): an ntroducton wt alcatons, n: GMD-Reort 70, November Stüben, K., A Revew o Algebrac Multgrd, Journal o Comutaton and Aled Matematcs, Vol. 18, , 001. Tannell, J. C., Anderson, D. A. and Pletcer, R.., Comutatonal Flud Mecancs and eat Transer, ª ed., Wasngton: Taylor & Francs, Wesselng, P., An Introducton to Multgrd Metods, Jon Wley & Sons, 199. Wesselng, P. and Oosterlee, C. W., Geometrc Multgrd wt Alcatons to Comutatonal Flud Dynamcs, Journal o Comutaton and Aled Matematcs, Vol. 18, , 001.