Fluxo de Carga Não Iterativo para a Análise de Sistemas de Distribuição de Energia Elétrica Radiais e Malhados

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1 UNVERSDADE ESTADUAL PAULSTA JÚLO MESQUTA FLHO Campus de lha Soltera Dssertação de Mestrado Fluxo de Carga Não teratvo para a Análse de Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca Radas e Malhados Elson Batsta Puger Orentador: Prof. Dr. Marcos Julo Rder Flores lha Soltera SP Feverero 2013

2 UNVERSDADE ESTADUAL PAULSTA JÚLO MESQUTA FLHO Campus de lha Soltera PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARA ELÉTRCA Fluxo de Carga Não teratvo para a Análse de Sstemas de Dstrbução de Energa Elétrca Radas e Malhados Elson Batsta Puger Orentador: Prof. Dr. Marcos Julo Rder Flores Dssertação apresentada à Faculdade de Engenhara UNESP Campus de lha Soltera, para obtenção do título de Mestre em Engenhara Elétrca. Área de Conhecmento: Automação. lha Soltera SP Feverero 2013

3 FCHA CATALOGRÁFCA Elaborada pela Seção Técnca de Aqusção e Tratamento da nformação Servço Técnco de Bbloteca e Documentação da UNESP - lha Soltera. P978f Puger, Elson Batsta. Fluxo de carga não-teratvo para a análse de sstemas de dstrbução de energa elétrca radas e malhados / Elson Batsta Puger. lha Soltera : [s.n.], f. : l. Dssertação (mestrado) - Unversdade Estadual Paulsta. Faculdade de Engenhara de lha Soltera. Área de conhecmento: Automação, 2013 Orentador: Marcos Julo Rder Flores nclu bblografa 1. Fluxo de carga não-teratvo. 2. Equações dferencas lneares. 3. Sstema de equações lneares. 4. GRASP (Sstema operaconal de computador). 5. Metaheurístca GRASP. 6. Energa elétrca Dstrbução. 7. Reconfguração de sstema de dstrbução de energa elétrca.

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5 DEDCATÓRA Dedco este trabalho a Deus prmeramente pela força que me tem dado, a mnha esposa Gesane e todos os nossos famlares que tem contrbuído para a realzação deste trabalho, a todos os professores da pós, a todos os colegas e companhero de pesqusa e especalmente aos meus amgos: Marlon Borges, Érca Tatane, Julo Lopes, Vctor Alberto, Marca Crstna que contrbuíram muto na elaboração deste trabalho e ao Professor Marcos J. Rder pela pacênca e companhersmo.

6 AGRADECMENTOS Agradeço prmeramente a Deus pela força e pacênca, a qual é o motvo de estar termnado este trabalho. Também agradeço a mnha esposa pela pacênca, compreensão e por estar sempre ao meu lado me ncentvando a concretzar meu sonho. Fco grato pela mnha famíla, que mesmo dstante me apoaram e me ajudaram a suportar mutas dfculdades as quas surgem a todo o momento. Agradeço a professora Márca Crstna Dal Toé por sua amzade e carsma e pelo apoo, a qual me proporconou estar aqu. Também agradeço ao professor Josmar de Souza (professor da Unversdade Estadual de Mato Grosso) pelo apoo e por sua amzade. Também agradeço todos os amgos do laboratóro (LaPSEE) pela amzade, pela força que deram de forma dreta ou ndretamente para elaborar este trabalho. Agradeço a todos os professores da pós-graduação por contrbuírem de forma gradatva no processo de elaboração deste trabalho, em especal agradeço ao professor Marcos Julo Rder Flores pela força, pacênca, compreensão, pelo conhecmento que tem me transmtdo e pela excelente orentação a qual vem contrbundo na elaboração deste trabalho e na mnha profssão. Nem sempre temos palavras sufcentes para caracterzar quão grandes e quão mportantes seja a partcpação destes profssonas na carrera acadêmca de cada um que passa por aqu. Neste caso dexo para que Deus complete as frases as palavras para dar a eles as devdas qualdades merecdas. Também agradeço por toda a amzade que tenho conqustado aqu nesta cdade (lha Soltera - SP), especalmente ao meu grande amgo e parcero Josué Fernandes de Souza e sua esposa Dalla pelo apoo fraterno e fnancero que me proporconaram. Também agradeço a Capes pelo apoo fnancero, pos sem este apoo sera anda muto mas dfícl.

7 RESUMO Nesta dssertação de mestrado propõe-se um fluxo de carga não teratvo para calcular o ponto de operação em regme permanente de um sstema de dstrbução de energa elétrca radal ou malhado. No fluxo de carga proposto, as demandas do sstema de dstrbução de energa elétrca são modeladas através de aproxmações lneares em termos das partes real e magnára da magntude de tensão, tendo em conta que os ângulos de fase das tensões do sstema de dstrbução se mantém dentro de um ntervalo relatvamente pequeno e lmtado para as condções típcas de operação do sstema de dstrbução de energa elétrca. Os coefcentes das aproxmações lneares são obtdos a partr do método de mínmos quadrados. O fluxo de carga proposto está composto por três fases: 1) estmação da magntude de tensão mínma e do ângulo máxmo e mínmo de fase das tensões; 2) cálculo do ponto de operação em regme permanente ncal; e 3) correção do ponto de operação obtdo na fase 2. O fluxo de carga proposto fo mplementado na lnguagem de programação MATLAB (R2009a) e testado usando dferentes sstemas de dstrbução de energa elétrca de pequeno e grande porte. A partr dos resultados obtdos observou-se a efcênca e precsão do fluxo de carga proposto quando comparados com os métodos de fluxo de carga exstentes na lteratura. Tendo em conta estas característcas, fo resolvdo o problema de reconfguração de sstema de dstrbução de energa elétrca utlzando o fluxo de carga proposto com o auxlo da metaheurístca GRASP, com o objetvo de mostrar que o fluxo de carga é efcente e rápdo para resolver outros problemas típcos nos sstemas de dstrbução de energa elétrca. Palavras-chaves: Fluxo de carga não-teratvo. Sstema de equações lneares. Metaheurístca GRASP. Reconfguração de sstema de dstrbução de energa elétrca.

8 ABSTRACT Ths dssertaton proposes a load flow non-teratve to calculate the operatng pont n steady state of a radal or meshed electrc power dstrbuton system. n the proposed load flow, the demands of the electrc power dstrbuton system are modeled usng lnear approxmatons n terms of the real and magnary parts of the voltage magntude, takng nto account that the phase angles of the voltages of dstrbuton system remans wthn of a range relatvely small and lmted n the typcal condtons of electrc power dstrbuton system operaton. The coeffcents of the lnear approxmatons are obtaned from the least-squares method. The proposed load flow s composed of three phases: 1) estmate the mnmum voltage magntude and the maxmum and mnmum phase angle of voltages, 2) calculaton of the operatng pont n steady state ntal, and 3) correcton of the operatng pont obtaned n phase 2. The proposed load flow was mplemented n the programmng language MATLAB7.9.0 (R2009a) and tested usng several electrc power dstrbuton systems. The results obtaned showed effcency and accuracy of the proposed load flow when was compared wth the load flow methods exstng n the lterature. Gven these characterstcs, the reconfguraton problem of electrc power dstrbuton system was solved usng the proposed load flow wth the help of the GRASP metaheurstc, amng to show that the load flow s effcent and fast to solve other typcal problems n the electrc power dstrbuton systems. Keywords: Load flow non-teratve. System of lnear equatons. GRASP metaheurstc. Reconfguraton of electrc power dstrbuton system.

9 LSTA DE LUSTRAÇÕES Fgura 1 - Sstema teste de dstrbução de dos nós 34 Fgura 2 - Comportamento do ângulo j 37 Fgura 3 - Exemplo lustratvo para descrever o estado de operação de SDEE 38 Fgura 4 - Erro percentual da magntude da corrente do fluxo atual 42 Fgura 5 - Exemplo de um sstema teste de dos nós 43 Fgura 6 - Exemplo de um sstema teste malhado de três nós 50 Fgura 7 - Perfl da magntude de tensão do sstema teste de 33 nós 57 Fgura 8 - Perfl da magntude de tensão do sstema teste de 70 nós 59 Fgura 9 - Perfl da magntude de tensão do sstema teste de 136 nós 62 Fgura 10 - Perfl da magntude de tensão do sstema teste de 202 nós 64 Fgura 11 - Perfl da magntude de tensão do sstema teste de 400 nós 66 Fgura 12 - Perfl da magntude de tensão do sstema teste de 1080 nós 69 Fgura 13 - Perfl de Tensão Sstema 33 Nós malhado 71 Fgura 14 - Perfl de Tensão Sstema 70 Nós malhado 74 Fgura 15 - Perfl de Tensão Sstema 136 Nós malhado 76 Fgura 16 - Perfl de Tensão Sstema 417 Nós malhado 78 Fgura 17 - Sstema teste 14 nós com confguração ncal 84 Fgura 18 - Sstema teste 14 nós com a nova confguração 84 Fgura 19 - Fluxograma da fase construtva do GRASP 85 Fgura 20 - Fluxograma da fase de busca local do GRASP 87

10 LSTA DE TABELAS Tabela 1 - Resultados do sstema teste de 2 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 2 - Resultados do sstema teste de 2 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 3 - Resultados do sstema teste de 2 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 4 - Resultados do sstema teste de 3 nós malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 5 - Resultados do sstema teste de 3 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 6 - Resultados do sstema teste de 3 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 7 - Resultados do sstema teste de 33 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 8 - Resultados do sstema teste de 33 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 9 - Resultados do sstema teste de 33 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 10 - Resultados do sstema teste de 70 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 11 - Resultados do sstema teste de 70 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 12 - Resultados do sstema teste de 70 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 13 - Resultados do sstema teste de 136 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 14 - Resultados do sstema teste de 136 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 15 - Resultados do sstema teste de 136 nós usando a metodologa mostrada na seção

11 Tabela 16 - Resultados do sstema teste de 202 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 17 - Resultados do sstema teste de 202 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 18 - Resultados do sstema teste de 202 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 19 - Resultados do sstema teste de 400 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 20 - Resultados do sstema teste de 400 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 21- Resultados do sstema teste de 400 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 22 - Resultados do sstema teste de 1080 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 23 - Resultados do sstema teste de 1080 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 24 - Resultados do sstema teste de 1080 nós usando a metodologa mostrada na seção Tabela 25 - Resultados do sstema teste de 33 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 26 - Resultados do sstema teste de 33 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 27 - Resultados do sstema teste de 33 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 28 - Resultados do sstema teste de 70 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 29 - Resultados do sstema teste de 70 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 30 - Resultados do sstema teste de 70 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 31 - Resultados do sstema teste de 136 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 32 - Resultados do sstema teste de 136 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção

12 Tabela 33 - Resultados do sstema teste de 136 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 34 - Resultados do sstema teste de 417 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 35 - Resultados do sstema teste de 417 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 36 - Resultados do sstema teste de 417 nó malhado usando a metodologa mostrada na seção Tabela 37 - Resultados do sstema teste de 14 nós com a fase construtva do GRASP 84 Tabela 38 - Resultados do sstema teste de 14 nós com a metaheurístca completa 86 Tabela 39 - Análse comparatva da metodologa proposta e a lteratura atual 88 Tabela 40 - Análse comparatva da metodologa proposta e a lteratura atual 89 Tabela 41 - Análse comparatva da metodologa proposta e a lteratura atual 89 Tabela 42 - Análse comparatva da metodologa proposta e a lteratura atual 90

13 LSTA DE ABREVATURAS FC NR SDEE p.u. MP FC NR Fluxo de Carga Newton-Raphson Sstema de Dstrbução de Energa Elétrca Por Undade Metodologa proposta Fluxo de Carga de Newton-Raphson

14 LSTA DE SÍMBOLOS Conjuntos: b l Conjuntos de barras (nós) Conjuntos dos crcutos (ramos) Varáves: P Perda de potênca atva do sstema per1 Fluxo de corrente no crcuto k-m km kr k Parte real da corrente no nó k Parte magnára da corrente no nó k V Parte real da tensão no nó k kr V k V m e S m P t Parte magnára da tensão no nó k Magntude da tensão no nó m Valor da potênca aparente no nó m Perda de potênca atva do sstema P per Varação da perda de potênca atva do sstema P Perda atva no crcuto kmp Q Perda reatva no crcuto kmp o Corrente ncal do crcuto k-m km o Parte real da corrente ncal no crcuto k-m km r o Parte magnára da corrente ncal no crcuto k-m km Parte real da corrente no crcuto k-m km r Parte magnára da corrente no crcuto k-m km 1 2 P oo Componente real da tensão V m Componente magnára da tensão V m Potênca atva que sa da subestação

15 Q oo P on Q on Potênca reatva que sa da subestação Potênca atva que está sando no nó termnal n Potênca reatva que está sando no nó termnal n P Potênca atva que está sando no nó termnal 1 Q 1 PL, 1 Potênca reatva que está sando no termnal Potênca atva que está sando do nó m QL, 1 P Q V P o Q o Potênca reatva que está sando do no m Potênca atva no nó Potênca reatva no nó Magntude da tensão no nó Potênca atva na subestação Potênca reatva na subestação z oo Submatrz da matrz que é obtda ao dervar xon com respeto à x oo V j j V Magntude da tensão no nó j Ângulo de fase no nó j Magntude da tensão no nó re V Parte real da tensão no nó m V Parte magnára da tensão no re V Parte real da tensão no nó j j m V Parte magnára da tensão no nó j j j Corrente fasoral no crcuto j re Parte real da corrente na subestação Gk m Parte magnára da corrente na subestação Gk re Parte real da demanda de corrente no nó D m Parte magnára da demanda de corrente no nó D re Parte real da demanda de corrente no nó j Dj

16 m Parte magnára da demanda de corrente no nó j Dj re Parte real da corrente no crcuto k- k m Parte magnára da corrente no crcuto k- k re Parte real da corrente no crcuto -j j m Parte magnára da corrente no crcuto -j j re Parte real da corrente do gerador no nó s m Parte magnára da corrente do gerador no nó s Corrente fasoral de demanda no nó D V V j Tensão fasoral no nó Tensão fasoral no nó j Constantes: V k Nó de referênca (subestação) V Magntude da tensão no nó de referênca ref Tolerânca de convergênca especfcada (épslon) r Resstênca do crcuto k-m km x Reatânca do crcuto k-m km P k Q k S m P m Q m P Dj Potênca atva de carga no nó k Potênca reatva de carga no nó k Potênca aparente no nó m Potênca atva de carga no nó m Potênca reatva de carga no nó m Potênca de demanda no nó j Q Dj R j X j Z j Potênca reatva de demanda no nó j Resstênca no crcuto -j Reatânca no crcuto -j mpedânca no crcuto -j

17 S Potênca aparente de demanda no nó j Dj S j P D Q D a, b, c Potênca aparente no nó j Potênca atva de demanda no nó Potênca reatva de demanda no nó Coefcentes usados na lnearzação da parte real da corrente de demanda no nó d, e, f Coefcentes usados na lnearzação da parte magnára da corrente de demanda no nó V Tensão mínma estmada para o cálculo do ângulo máxmo e mínmo

18 SUMÁRO 1 NTRODUÇÃO ALGORTMOS DE FLUXO DE CARGA PARA SSTEMAS DE DSTRBUÇÃO RADAS Algortmo de fluxo de carga radal de varredura Método de soma de potêncas no fluxo de carga radal Fluxo de carga radal de Goswan-Basu Fluxo de carga radal de Baran-Wu Análse comparatva Fluxo de carga Newton-Raphson OBJETVOS ORGANZAÇÃO DO TRABALHO 31 2 CÁLCULO DO PONTO DE OPERAÇÃO DE UM SSTEMA DE DSTRBUÇÃO DE ENERGA ELÉTRCA ANÁLSE DA VARAÇÃO DO ÂNGULO DE FASE EM UM SSTEMA DE DSTRBUÇÃO DE ENERGA ELÉTRCA EQUAÇÕES UTLZADAS PARA DESCREVER O ESTADO DE OPERAÇÃO EM REGME PERMANENTE DE UM SDEE LNEARZAÇÃO Método dos mínmos quadrados Exemplo lustratvo para o cálculo dos coefcentes de lnearzação EXEMPLO LUSTRATVO PARA O CÁLCULO DA OPERAÇÃO EM REGME PERMANENTE DE UM SDEE ESTMAÇÃO DA MAGNTUDE DE TENSÃO MÍNMA E DO ÂNGULO MÁXMO E MÍNMO DE FASE DE UM SDEE Exemplo lustratvo para o cálculo do ângulo máxmo e mínmo de fase de um SDEE FASE DE CORREÇÃO Exemplo lustratvo consderando a fase de correção 48

19 2.7 PONTO DE OPERAÇÃO DE UM SSTEMA DE DSTRBUÇÃO DE ENERGA ELÉTRCA MALHADO Exemplo lustratvo consderando um sstema malhado TÉCNCA DE MPLEMENTAÇÃO DA MÉTODOLOGA PROPOSTA 54 3 TESTES E RESULTADOS SSTEMA TESTE DE 33 NÓS RADAL SSTEMA TESTE DE 70 NÓS RADAL SSTEMA TESTE DE 136 NÓS RADAL SSTEMA TESTE DE 202 NÓS RADAL SSTEMA TESTE DE 400 NÓS RADAL SSTEMA TESTE DE 1080 NÓS RADAL SSTEMA TESTE DE 33 NÓS MALHADO SSTEMA TESTE DE 70 NÓS MALHADO SSTEMA TESTE DE 136 NÓS MALHADO SSTEMA TESTE DE 417 NÓS MALHADO 76 4 RECONFGURAÇÃO DO SSTEMA DE DSTRBUÇÃO DE ENERGA ELÉTRCA NTRODUÇÃO PROBLEMA DE RECONFGURAÇÃO METAHEURÍSTCA Fase construtva Fase de busca local 85 5 TESTES E RESULTADOS SSTEMA TESTE DE 33 NÓS MALHADO 88

20 5.2 SSTEMA TESTE DE 70 NÓS MALHADO SSTEMA TESTE DE 136 NÓS MALHADO SSTEMA TESTE DE 417 NÓS MALHADO 89 6 CONCLUSÕES 91 REFERÊNCAS 93 Apêndce A.1 Dados dos Sstemas Testes de Dstrbução 96

21 19 1 NTRODUÇÃO O problema de fluxo de carga (FC) tem como objetvo prncpal determnar o estado de operação em regme permanente de um sstema (de dstrbução ou transmssão) de energa elétrca, calculando a magntude da tensão e o ângulo de fase em todos os nós do sstema e anda outras grandezas que são dervadas destas, como magntudes das correntes nos crcutos, fluxo de potênca atva e reatva nos crcutos, perdas de potênca atva e reatva no sstema. (MONTCELL, 1983). O FC nos das de hoje tornou-se uma ferramenta muto mportante para os sstemas de energa elétrca, fornecendo nformações mportantes para avalar o estado de operação do sstema em regme permanente e com o ntuto de ver se este está operando de forma adequada dentro de seus lmtes permtdos. Também é possível utlzar o FC para fazer smulações com eventuas acdentes e dstúrbos na rede, com o ntuto de preparar o operador para acontecmentos reas e assm determnar quas são as ações preventvas e/ou corretvas que devem ser realzadas para que o sstema volte ao estado de operação normal. Adconalmente o uso do FC permte dentfcar novos nvestmentos no sstema (planejamento da expansão) para poder atender o aumento das novas demanda de carga. Matematcamente o problema de FC pode ser modelado como um sstema de equações algébrcas não lneares. Esta representação é utlzada em stuações nas quas as varações com o tempo são sufcentemente lentas para que se possam gnorar os efetos transtóros. Este sstema de equações algébrcas não lneares é obtdo estabelecendo-se a conservação das potêncas atva e reatva em cada nó do sstema, ou seja, a potênca líquda njetada tem que ser gual à soma de todas as potêncas que fluem por todos os componentes nternos que tem este nó com um de seus nós termnas. O que equvale a dzer que se cumprem a Le para as correntes de Krchhoff. A segunda Le de Krchhoff (Le das tensões de Krchhoff) é utlzada para expressar os fluxos de potênca nos componentes nternos como funções das tensões de seus nós termnas. (MONTCELL; GARCA, 2003). Nos sstema de transmssão de energa elétrca, o cálculo do FC é em geral, realzado utlzando-se métodos computaconas desenvolvdos especfcamente para a resolução de sstemas de equações algébrcas não lneares. Atualmente exstem mutos algortmos na lteratura especalzada que foram desenvolvdos por mutos pesqusadores e alguns destes são os algortmos de Gauss, Gauss-Sedel, Newton-Raphson (NR) e suas versões desacopladas XB e BX. Estes algortmos apresenta ótmo desempenho para problemas de fluxo de carga de um modo geral. (MONTCELL; GARCA, 2003).

22 20 O método de NR e suas versões desacopladas apresentam um bom desempenho computaconal e são muto utlzados na análse de sstemas de energa elétrca. Algumas vantagens do método: Utlzando o método de NR, geralmente obtém-se o estado de operação do sstema de transmssão após algumas poucas terações, para a maora dos casos; As versões desacopladas permtem dvdr o problema em dos subproblemas, facltando o processo de resolução; As versões desacopladas usam matrzes constantes, que dmnuem consderavelmente o esforço computaconal da resolução do problema de FC. Para resolver o problema de FC em sstemas de dstrbução de energa elétrca (SDEE) é possível usar o método NR ou suas versões desacopladas. Entretanto, os SDEE apresentam duas característcas muto específcas; O SDEE opera de forma radal, não apresentando laços ou malhas; Alguns SDEE apresentam uma relação R/X muto elevada quando comparado com valores típcos encontrados nos sstemas de transmssão e sub-transmssão de energa elétrca. A prmera característca é uma vantagem porque smplfca a complexdade do problema de FC, enquanto a segunda característca é uma desvantagem quando são utlzadas as versões desacopladas do método de NR, pos pode produzr dvergênca no processo da resolução do problema de FC. (BRANDN, 2000). Consderando as característcas do SDEE, foram desenvolvdos algortmos especalzados teratvos para soluconar o problema de FC. Os algortmos realzam um processo teratvo que faz um percurso das barras externas em dreção à subestação e vce-versa. Todos estes algortmos apresentam a vantagem adconal de que são mas rápdos que as versões NR e desacopladas. Na próxma subseção será apresentado um resumo dos quatro prncpas algortmos de fluxo de carga para sstemas de dstrbução radas.

23 ALGORTMOS DE FLUXO DE CARGA PARA SSTEMAS DE DS- TRBUÇÃO RADAS Nesta seção será feta uma análse teórca de quatro algortmos tendo como base a teora apresentada por Brandn (2000) que são utlzados para resolver problemas de fluxo de carga em sstemas de dstrbução de energa elétrca (SDEE) radal, aparentemente estes métodos apresentam característcas smples e com um desempenho computaconal efcente. Os algortmos que serão analsados são: (a) Algortmo de Fluxo de Carga Radal de Varredura, (b) Método de Soma de Potênca no Fluxo de Carga Radal, (c) Fluxo de Carga Radal de Goswan-Basu e (d) Fluxo de Carga Radal de Baran-Wu. O trabalho consste em examnar quas são as vantagens propostas por estes métodos e as desvantagens que os mesmos apresentam Algortmo de fluxo de carga radal de varredura O algortmo também conhecdo como algortmo de varredura apresenta o segunte processo de solução: 1) escolhe um valor para as tensões em todos os nós, normalmente é utlzada a mesma tensão da subestação; 2) conhecendo as tensões em todos os nós do sstema de dstrbução, torna-se possível calcular a njeção de corrente de carga em todos os nós e a corrente que crcula em todos os crcutos do sstema de dstrbução, ncando dos nós extremos (conhecdo como movmento backward); 3) conhecendo as correntes em todos os crcutos do sstema, pode-se calcular o valor das perdas de potênca atva no sstema; 4) o crtéro de convergênca do algortmo é baseado na varação das perdas atvas após duas terações consecutvas, portanto o processo de solução do algortmo termna quando a varação das perdas atva é menor que uma tolerânca especfcada ε (épslon), assm o algortmo atngu a convergênca, encontrando a solução para o problema de FC. Caso contráro armazene o valor da perda de potênca atva atual e passe para o próxmo passo; 5) conhecendo as correntes em todos os crcutos do sstema, calcular os novos valores das tensões em todos os nós do sstema, ncando na subestação e termnando nos nós extremos (conhecdo como movmento forward), com as novas tensões em todos os nós é possível recalcular as njeções de corrente de carga nos nós e as correntes em todos os crcutos do sstema, voltando ao passo (2). O algortmo de fluxo de carga radal de varredura pode ser escrto da segunte manera:

24 22 1. Fxar as tensões em todos os nós como sendo guas à tensão do nó de referênca (subestação), sto é, fazer Vk Vref j0 para todos os nós do sstema, onde V ref é o módulo de tensão do nó de referênca. Fazer Pper 1 0 e escolher a tolerânca ε. 2. ncando dos nós extremos, calcular a njeção de corrente da carga de todos os nós usando (1) e (2), assm como as correntes km em todos os crcutos do sstema através de somas smples (operação backward). kr k ( PV Q V ) k k r k k 2 2 ( Vk r Vk ) ( PV Q V ) k k k kr 2 2 ( Vkr Vk ) (1) (2) 3. Calcular as perdas de potênca atva do sstema usando (3), usando as correntes de crcutos km calculados no passo 2. Fazer Pper 2 Pt. P r (3) 2 t km km ( km, ) 4. Se Pper Pper 2 Pper 1, sendo ɛ uma tolerânca especfcada, então pare o processo porque fo atngda a convergênca. Em caso contráro, fazer Pper 2 Pper 1 e passar ao segunte passo. 5. Com os valores de corrente dos crcutos km conhecdos, calcular novos valores dos módulos de tensão dos nós do sstema ncando o processo a partr da subestação (operação forward). Voltar ao passo Método de soma de potêncas no fluxo de carga radal O algortmo conhecdo como soma de potêncas no fluxo de carga radal apresenta um processo de solução smples do ponto de vsta concetual, com excelente desempenho para resolver problemas de fluxo de carga radal. Neste caso, o cálculo do fluxo de carga procede consderando os seguntes passos; 1) crar um banco de dados dentfcando todos os dados dsponíves no sstema, como módulo de tensão na subestação, o crtéro de convergênca desejado, etc.; 2) defnr os valores da tensão em todos os nós do sstema gual à tensão da subestação com ângulo de abertura nulo, além dsso, consderar as perdas totas de potênca atva e reatva guas à zero; 3) Com as tensões defndas em todos os nós é possível calcular a

25 23 carga equvalente em todos os nós do sstema, que vem a ser a soma de todas as cargas que estão sendo almentadas pelo nó que se encontra em análse, nclundo as perdas que são calculadas na prmera teração usando as equações (4) e (5) e nas próxmas terações deve usar as perdas obtdas no passo 5. No passo 4, partndo da subestação e utlzando a equação (6) é possível encontrar novos valores para os módulos de tensões nos nós do sstema usando a mesma técnca de carga equvalente. Esta etapa do cálculo nca na subestação com o valor da tensão já conhecdo. No passo 5; conhecdo os novos valores de tensão, atualze o valor das perdas usando as equações (4) e (5). Calcular o valor das perdas totas. Se a dferença entre a perda atual e a perda anteror for menor que uma tolerânca especfcada após duas terações consecutvas, pare o algortmo, ele convergu para a solução desejada. Caso contráro faz a perda atual gual à anteror e volte ao passo 3. O algortmo de soma de potênca no fluxo de carga radal pode ser resumdo da segunte manera: 1. Ler os dados do sstema assm como os outros parâmetros do sstema como módulo de tensão na subestação e crtéro de convergênca (máxma varação de perdas permtdas). 2. Fxar valores estmados das tensões nos nós. De preferênca escolher valores guas à tensão do nó de referênca (subestação), sto é, fazer V V j0 para todos os nós do sstema, onde V ref é o módulo de tensão do nó de referênca. Consderar a somatóra das perdas atvas aproxmadas Pper Operação Backward : ncando dos nós extremos, calcular a carga equvalente para cada nó do sstema somando todas as cargas da parte da rede que são almentadas através do nó e adconando as perdas. Somente na prmera teração devem ser calculadas as perdas aproxmadas usando (4) e (5), e nas terações seguntes devem ser usadas as perdas obtdas no passo 5. Assm está sendo mplementada uma teração para trás a partr dos nós extremos e na dreção da subestação ( P Q ) kmp km km km 2 Vm P r r (4) ( P Q ) kmp km km km 2 Vm Q x x (5) 4. Operação Forward : A partr da subestação e usando a relação (6), encontrar novos valores de tensão em todas as barras do sstema e usando a representação de carga equvalente. Esta é uma teração para frente (forward) ncando o processo da subestação e termnando nos nós extremos. k ref

26 24 V [2( r P x Q) V ] V ( P Q )( r x ) 0 (6) m km km k m km km 5. Com os novos valores de tensão calcular as perdas atvas e reatvas usando as relações (4) e (5). Calcular as perdas totas P per 2. Se Pper 2 Pper 1, sto é, se a varação de perdas de duas terações consecutvas for menor que uma tolerânca especfcada então pare o processo, pos fo atngda a convergênca. Em caso contráro, fazer P P e voltar ao passo 3. per 2 per Fluxo de carga radal de Goswan-Basu O algortmo de fluxo de carga radal de Goswan-Basu apresenta um aspecto concetual smples e desempenho efcente e de fácl mplementação computaconal como é mostrado na lteratura. Neste caso, o cálculo do fluxo de carga procede consderando os seguntes passos; 1) crar um banco de dados dentfcando todos os dados dsponíves no sstema, como módulo de tensão na subestação, o crtéro de convergênca desejado, etc.; e consderando as perdas em todos os crcutos guas a zero. Depos encontrar a carga equvalente para cada nó de sstema de dstrbução elétrco; 2) A partr da subestação calcular outros valores de tensão em todos os nós do sstema usando uma representação de carga equvalente. Em cada par de nós k e m calcular a tensão no nó m da segunte manera: (a) calcular a corrente ncal usando as equações (7) e (8); (b) calcular outros valores de corrente usando as equações (9) e (10), anda neste mesmo processo de cálculo, calcula-se o valor estmado da tensão no nó m utlzando as equações (11) e (12) que também faz parte do cálculo da corrente; (c) calcular o valor estmado absoluto da carga no nó m usando os valores de corrente do crcuto k-m e da tensão no nó m encontrados no processo de cálculo do passo anteror, chegando a uma relação de que o valor absoluto da carga é gual a tensão no nó m pela corrente que flu no crcuto k- m. Se o valor absoluto da dferença das cargas for menor que uma tolerânca especfcada, neste caso o processo teratvo do cálculo de corrente termna, assm calcula novamente a tensão no nó m e também as perdas no crcuto k m, caso contráro voltar ao tem (b). No passo 3; após ter calculado outros valores de tensão para todos os nós do sstema e todas as perdas nos crcutos, é necessáro calcular as perdas totas de potênca atva do sstema. Se a valor absoluto da dferença das perdas atva for menor que uma tolerânca especfcada, então termna o processo teratvo. Caso contráro calcular a carga equvalente em cada nó do sste-

27 25 ma elétrco consderando as perdas encontradas no passo anteror e voltar no passo 2. O algortmo de fluxo de carga radal de Goswan-Basu se resume da segunte manera: 1. Ler os dados do sstema, assm como os outros parâmetros do sstema, como: módulo de tensão na subestação e crtéro de convergênca ɛ (máxma varação de perdas permtda). ncalzar as perdas em todos os crcutos como sendo guas a zero. Encontrar a carga equvalente para cada nó do sstema elétrco. 2. Operação Forward : A partr da subestação encontrar novos valores de tensão em todos os nós do sstema e usando a representação de carga equvalente. Esta é uma teração para frente (forward) ncando o processo da subestação e termnado nos nós extremos. Para cada par de nós k e m calcular a tensão V m da segunte forma: a. Calcular a corrente ncal º km usando as relações (7) e (8); b. Recalcular novos valores de km usando as relações (9) e (10). Neste passo também é calculado o estmado da tensão V m usando (11) e (12), pos eles fazem parte do cálculo de km ; c. Calcular o estmado de S m usando os valores de km e V m obtdos no passo anteror e a relação S V e m m km e. Se S S então termna o processo m m teratvo de cálculo de km e deve-se recalcular V m assm como as perdas no crcuto k m e depos analsar o segunte par de nós. Em caso contráro, voltar ao passo (b). º kmr º km P V Q V P V Q V m kr m k m kr m k Vkr Vk Vk P V Q V P V Q V m k m kr m k m kr Vkr Vk Vk kmr km P Q 1 m 2 m P Q 2 m 1 m (7) (8) (9) (10) 1 Vkr rkm kmr xkm km (11) 2 Vk rkm km xkm kmr (12)

28 26 3. Após encontrar novos valores de tensão para todos os nós do sstema elétrco e as perdas para todos os crcutos do sstema, deve-se calcular as perdas atva do sstema elétrco, P per 2. Se Pper 2 Pper 1 então termna o processo ntegral. Em caso contráro, encontrar a carga equvalente para cada nó do sstema elétrco levando em conta as perdas encontradas no passo anteror e voltar ao passo Fluxo de carga radal de Baran-Wu O algortmo de fluxo de carga radal de Baran-Wu também conhecdo por mutos pesqusadores como sendo um algortmo robusto, efcente e rápdo tem sdo muto usado para à análse de fluxo de carga de sstemas de dstrbução radal e anda em análse comparatva com outros algortmos também de fluxo de carga que foram publcados posterormente. O mesmo apresenta um aspecto concetual sgnfcante podendo ser mplementado computaconalmente com muta efcênca. Anda que possível pode ser mplementada algumas versões mas smples com o objetvo de melhorar sua velocdade durante o seu processamento. Seu processo de cálculo nca da segunte forma; 1) escolher valores ncas para a potênca atva e reatva que está sando da subestação; 2) calcular os fluxos de potênca atva e reatva que está sando do nó termnal do sstema; 3) se o fluxo de potênca atva e reatva sando do nó termnal do sstema for menor que uma tolerânca especfcada, pare porque o processo convergu para o ponto ótmo, caso contráro contnue; 4) montar a matrz Jacobana; 5) resolver o sstema de equações lneares encontrado no passo anteror, onde será encontrada a varação das potêncas atva e reatva sando da subestação; 6) atualzar o valor da potênca atva e reatva sando da subestação; 7) voltar ao passo 2). O algortmo de fluxo de carga radal de Baran-Wu para um únco almentador pode ser resumdo da segunte forma: 1. Escolher valores de P oo e Q oo ncas. Valores adequados podem ser a somatóra de cargas ou com um acréscmo adconal para levar em conta as perdas. 2. Determnar dos valores de P on e Q on usando as relações fundamentas (7), (13), (14) e (15) ncando o processo a partr da subestação e fazendo k e m 1 assm as equações assume a segunte forma: 2 2 ( P Q ) L, 1 V P P r P (13)

29 ( P Q ) L, 1 V Q Q x Q (14) 1 V V 2( r P x Q ) ( r x )( P Q ) (15) V 3. Teste de convergênca: Se Pon e Qon então pare, o processo, porque fo atngda a convergênca. Em caso contráro r ao passo Montagem do Jacobano: Pon Pon H zoo Poo Qoo J( zoo) Qon Q z on oo Poo Qoo (16) onde J( z oo) é uma submatrz da matrz obtda ao dervar x on com respeto a x oo. A dedução matemátca para obter esta matrz se encontra em Brandn (2000). 5. Resolver o sstema lnearzado na teração k: em que: k k k oo oo J z H z (17) k P k oo zoo k Qoo P k H( zoo) Q k on k on (18) (19) Assm temos: k k P oo P 1 on J k k k Qoo Qon (20) 6. Atualzação dos valores de P oo e Q oo : P P P (21) k 1 k k oo oo oo Voltar ao passo 2. Q Q Q (22) k 1 k k oo oo oo

30 Análse comparatva Da análse teórca dos quatro algortmos mas utlzados para resolver problemas de fluxo de carga para sstemas de dstrbução radal podemos destacar: 1) da lteratura todos os métodos apresentam um ótmo desempenho computaconal para o cálculo do problema de FC; 2) cada método possu uma formulação matemátca dferente; 3) todos os métodos realzam um processo teratvo até satsfazer um crtéro de convergênca e 4) quanto ao crtéro de convergênca, os três prmeros métodos consderam a varação das perdas de potênca atva da teração atual com a teração anteror, enquanto que o últmo leva em conta o valor absoluto da potênca atva e reatva que está sando do nó termnal do sstema Fluxo de carga Newton-Raphson Partndo do ponto de vsta operatvo, o sstema de dstrbução de forma radal possu um aparato que de certa forma possbltara melhores condções de proteção como, controle de tensão, um melhor controle do fluxo de corrente e outras característcas. Neste caso operar com um sstema de forma radal sera de fato uma melhor solução, mas percebe-se que a rede radal tem uma característca nteressante que dz o segunte. A rede radal consste no encadeamento dos nós, por meo de um conjunto de ramos no qual haverá somente um camnho que conecta a subestação almentadora ao nó de atendmento (um consumdor ou um conjunto deles). (FLORANO, 2010 p. 1-2). O fato de uma rede ser radal faclta sua análse. Consequentemente os sstemas de dstrbução foram dealzados em formato de redes radas, e sto os tornava operatvamente muto smples e também muto econômcos, especalmente com relação à sua manutenção. Porém a possbldade de nterrupções aos consumdores é maor quando comparado a sstemas malhados. Neste caso, operar com um sstema fracamente malhado nas redes de dstrbução é muto mas atratvo, pos o fechamento de um conjunto de malhas pode melhorar de forma efcente o perfl de tensão reduzndo as perdas exstentes no sstema, tornando-o mas confável para o atendmento dos consumdores. (FLORANO, 2010). No níco, um pouco antes da década de 60, város métodos foram propostos para resolver os problemas de fluxo de carga para sstema de potênca. Dentre estes alguns serão ctados a segur.

31 29 Por volta dos anos 50, utlzavam o método de Gauss-Sedel para obter solução do fluxo de potênca. Nesta época este método fo consderado lento porque necesstava de váras terações para encontrar a solução ótma de um sstema de equações não lneares. Levando em conta a baxa capacdade de processamento dos computadores que eram utlzados naquela época, o que restrnga anda mas o uso do método de Gauss-Sedel. No fm da década de 60, Tnney e Hart (1967), apresentaram a solução do fluxo de potênca de corrente alternada (C.A.) pelo método de Newton-Raphson, onde concluíram que, as equações utlzadas servam tanto para sstemas com confgurações radas e fracamente malhadas. Assm este método tornou-se uma referênca para o cálculo do fluxo de potênca, porque apresentava uma rápda e efcente convergênca. Anda em 1967 fo apresentado o prmero trabalho exclusvamente para sstemas de dstrbução, Berg (1967) que ttulava Mechanzed calculaton of unbalanced load flow on radal dstrbuton crcuts, que no entanto servu como base para dferentes trabalhos que foram surgndo. Em 1988 fo proposto por Shrmohammad et al. um novo método de fluxo de potênca para resolver problemas de redes de transmssão e dstrbução fracamente malhados, usando uma técnca de compensação mult-port e as formulações báscas das les de Krchhoff. Destacando anda que este método pode ser aplcado para a solução de redes com confgurações trfáscas e monofáscas. O método de NR e suas versões desacopladas apresentam um bom desempenho e são muto utlzados na análse de sstemas de energa elétrca. O método de NR, geralmente obtém-se o estado de operação da rede após algumas poucas terações, para a maora dos casos. As versões desacopladas permtem dvdr o problema em dos subproblemas, facltando o processo de resolução, as versões desacopladas usam matrzes constantes, que dmnuem consderavelmente o esforço computaconal da resolução do problema. Uma desvantagem do NR completo consste em ter que calcular e nverter para cada teração a matrz Jacobana, que é aproxmadamente duas vezes o tamanho da matrz de admtânca. Para desenvolver o método de Newton para sstemas elétrcos são tomadas como base as equações de potêncas nodas para os N nós da rede, que resultaram da aplcação das les de Krchhoff, à esses nós da rede, as equações utlzadas para o cálculo do FC de NR são:

32 30 P V V ( G cos B sen ) k k m km km km km mk V G V V ( G cos B sen ) 2 k kk k m km km km km kk Q V V ( G sen B cos ) k k m km km km km mk V B V V ( G sen B cos ) 2 k kk k m km km km km kk (23) (24) P E as submatrzes que formam a matrz Jacobana são obtdas após a dervada das equações k e Q k, as quas são escrtas da segunte forma: Pk H kk Vk Vm ( Gkm cos km Bkmsenkm ) k mk PV (, ) Pk H H kl VkVl ( Gklsenkl Bkl cos kl ) l k l Hkl 0 lk (25) Pk Nkk 2 VkGkk Vm ( Gkm cos km Bkmsenkm ) Vk mk PV (, ) Pk N Nkl Vk ( Gkl cos kl Bkl senkl ) l k Vl Nkl 0 lk (26) Qk M kk Vk Vm ( Gkm cos km Bkmsenkm ) k mk QV (, ) Qk M M V V ( G cos B sen ) l l Mkl 0 l kl k l kl kl kl kl k k (27)

33 31 Qk Lkk 2 Vk Bkk Vm ( Gkmsenkm Bkm cos km) Vk mk QV (, ) Qk L Lkl Vk ( Gklsenkl Bkl cos kl ) l k V Vl Lkl 0 lk (28) O cálculo do estado de operação da rede em regme permanente termna quando a magntude de tensão e os ângulos das tensões de todos os N nós do sstema for conhecdo. (HAFFNER, 2008). 1.2 OBJETVOS O objetvo desta dssertação de mestrado é calcular o estado de operação em regme permanente de um sstema de dstrbução de energa elétrca radal ou malhada através da solução de um sstema de equações lneares (fluxo de carga não teratvo). Para atngr este objetvo, a demanda de tpo potênca constante do sstema de dstrbução de energa elétrca é modelada como uma aproxmação lnear em função das partes real e magnara da tensão consderando as condções típcas de operação de um sstema de dstrbução de energa elétrca. 1.3 ORGANZAÇÃO DO TRABALHO Na seção 1 apresentou-se uma abordagem teórca defnndo o que é e como funcona o fluxo de carga para sstema de dstrbução de energa elétrca. Descreveu também algortmos de fluxo de carga para sstemas de dstrbução radas tas como: algortmos de fluxo de carga radal de varredura, métodos de soma de potênca no fluxo de carga radal, fluxo de carga radal de Goswan-Basu e fluxo de carga radal de Baran- Wu, também fo apresentado o fluxo de carga de Newton-Raphson. Na seção 2 fo descrto 6 equações nas quas duas delas são não lneares utlzadas para calcular o ponto de operação de um sstema de dstrbução de energa elétrca radal e/ou malhado em regme permanente, e também mostramos uma técnca matemátca denomnada mínmos quadrados para lnearzação destas equações com o ntuto de resolver o problema de fluxo de carga utlzando um sstema de equações lneares.

34 32 Para determnar o fluxo de carga não - teratvo para à analse de sstemas de dstrbução radas e malhados, fo utlzada a metodologa apresentada em 2.4, 2.5 e 2.6. Nesta mesma seção fo apresentada também o método de Newton-Raphson e suas formulações matemátcas para o cálculo do ponto de operação em regme permanente de um sstema de dstrbução de energa elétrca malhado. Na seção 3 apresentam-se os resultados obtdos com a aplcação da metodologa proposta no capítulo 2. Os sstemas de dstrbução de energa elétrca testados foram: 33, 70, 136, 202, 400 e 1080 nós radas e 33, 70, 136 e 417 nós malhados. Na seção 4, apresenta-se a metaheurístca GRASP para o problema de reconfguração de sstema de dstrbução afm de valdar a metodologa apresentada neste trabalho. Na seção 5, são apresentados os testes utlzando os seguntes sstemas de dstrbução 33, 70, 136 e 417 nós malhados. No Capítulo 6 apresenta algumas consderações fnas com base nos resultados obtdos com a metodologa proposta e algumas sugestões para trabalhos futuros.

35 33 2 CÁLCULO DO PONTO DE OPERAÇÃO DE UM SSTEMA DE DS- TRBUÇÃO DE ENERGA ELÉTRCA Nesta seção será apresentado os procedmentos necessáros para calcular o estado de operação em regme permanente de um SDEE tas como, análse da varação do ângulo de fase e equações que descreve o estado de operação de SDEE. Será apresentada uma breve ntrodução sobre o método de mínmos quadrados o qual nos auxlará a fazer uma aproxmação lnear de algumas equações não lneares que aparecerá no decorrer deste trabalho. Permtndo assm usar somente as equações lneares, tornando mas fácl o cálculo do fluxo de carga. O método apresentado será dvddo em três subsecções para uma melhor compreensão. As subseções 2.1 e 2.2 foram descrtas com base na teora apresentada por Franco et al. (2011). 2.1 ANÁLSE DA VARAÇÃO DO ÂNGULO DE FASE EM UM SS- TEMA DE DSTRBUÇÃO DE ENERGA ELÉTRCA Nesta subsecção é calculado o ângulo de fase máxmo e mínmo consderando as condções típcas de operações do sstema (consderando as tensões máxma e mínma de cada nó). Entre as prncpas característcas exstentes nos sstema de dstrbução de energa elétrca, podem-se destacar as seguntes: a) Topologa radal dos almentadores; b) Crcutos de dferentes comprmentos; c) Alta relação R/X quando comparados com valores típcos encontrados nos sstemas de transmssão; d) Cargas são estmuladas economcamente para corrgr o seu fator de potênca dentro de faxas normalzadas; e) Garantr que a magntude de tensão esteja dentro de seus lmtes permtdos. Levando em conta as três ultmas característcas enumeradas acma, pode ser mostrado que os ângulos de fase em todos os nós de um SDEE são muto pequenos. Consderamos uma carga com uma demanda de potênca atva e reatva denotado por P Dj e Q Dj no nó j, que está sendo almentado por um crcuto entre os nós e j, com uma mpedânca R j jx, sendo o nó de referênca. Assm pode-se deduzr todo um equaconamento que j

36 34 torne possível calcular analtcamente a magntude da tensão V j e o ângulo de fase j para um SDEE de dos nós, como mostra a Fgura 1. Fgura 1 - Sstema teste de dstrbução de dos nós V V jv re m V V jv re m j j j j Z R jx j j j j S P jq Dj Dj Dj Fonte: Elaboração do própro autor Da Fgura 1 pode-se afrmar que a corrente através do crcuto j, é a segunte: j V V V re m re m re re m m jv Vj jvj V Vj j V Vj j R jx R jx R jx j j j j j j (29) Ou anda podemos expressar a corrente elétrca através do crcuto j da segunte manera: * * * S * * j PDj jq Dj PDj jqdj j j j j re m j re m V j Vj jv j Vj jvj S V (30) Substtundo a equação (29) em (30) obtém a equação (31). P Dj jq Dj V re re m m re m Vj j V V j Vj jvj R j jx j (31) Efetuando as operações para obter termos reas e magnáros, obtém-se a equação (32) 2 2 re m j Vj re re m m re m m re R P R jq jx P X Q V V V V j V V V V j Dj j Dj j Dj j Dj j j j j V (32) separando as partes real e magnára de (32) temos:

37 2 2 re re m m re m V V V V V V R P X Q (33) j j j j j Dj j Dj j V V V V R jq jx P (34) re m m re j j j Dj j Dj 35 Consderando que re m j j j V V V (35) e elevando ao quadrado as equações (33) e (34) obtém-se as equações (36) e (37), somando ambos os lados das mesmas é possível gerar outra equação a qual é representada em (38): re re m m 2 2 V 2 j V Vj V Vj Rj PDj X jqdj (36) re m m re Vj V Vj V RjQ Dj XjPDj 2 2 (37) `2 2 4 m m j Dj j Dj j j Dj Dj j j V [2( P R Q X ) V ] V ( P Q )( R X ) 0 (38) A equação (38) relacona as magntudes de tensão entre os nós e j, a potênca atva e reatva no nó j e as característcas elétrcas do crcuto j. Note que em (38) não esta explcto o ângulo de fase. Da equação (34) é possível encontrar outra expressão para o angulo de fase j representada pela equação (39). V V V V R Q X P (39) re m m re j j j Dj j Dj Escrevendo a equação (39) em função da tensão fasoral encontram-se a seguntes equações: re re V V cos (40) j j j m m V V sen (41) j j j re re V V cos (42) m m V V sen (43) Quando é substtuído as equações (40) (43) na equação (34) é obtdo outra equação a qual está representada pela equação (44). V re V m cos sen V re V m cos sen X P R Q (44) j j j j j Dj j Dj re m V V cos sen cos sen X P R Q (45) j j j j Dj j Dj

38 re m V V sen X P R Q (46) j j j Dj j Dj PDj X j QDj X j sen j (47) re m V V j 36 Efetuando as operações ndcadas na equação (44), obtém-se a equação (47), a qual será utlzada para calcular o ângulo de fase do SDEE. Assm as equações (38) e (47) podem ser reescrtas em função do fator PDj X j, a relação Rj X j e o ângulo j assocado com o fator de potênca de carga no nó j, tan Q / P, como mostrado nas equações (48) e (49). j Dj Dj R j m Rj m m X j X j ( PDj Xj ) 1 sec j 2 Vj ( PDj Xj ) tan j Vj V Vj 0 Rj 1 X tan j j j arc sen ( PDj X j ) VV j (48) (49) Nota-se então que o ângulo j é proporconal ao carregamento, e aos parâmetros elétrcos dos crcutos sendo representado pelo fator PDj X j. Como o ângulo j depende do fator PDj X j, então a partr da equação (48) é possível encontrar o valor de PDj X j, resolvendo polnômos de grau 2. Como é conhecdo o valor do cos j, tensão máxma e mínma, a relação Rj X e com os dados fornecdos pelo sstema, utlzando a equação (49) pode-se j calcular o ângulo no nó j. Consderando o ângulo ncal gual a zero, a tensão máxma 1 p.u. e tensão mínma 0,9 p.u., a relação Rj X gual a [0,50; 3,00] e o fator de potênca da j carga gual a [0,80; 0,95]. A Fgura 2 mostra os valores para j obtdos usando as equações (48) e (49). A Fgura 2 mostra valores para j obtdos usando as equações (48) e (49).

39 37 Fgura 2- Comportamento do ângulo j 2 0 j cos cos j f R 2 j X j Fonte: Dados da pesqusa do autor A Fgura 2 mostra que, mesmo assumndo a por condção de operação para o SDEE, ou seja, valor ncal máxmo e mínmo para a tensão no nó j e uma relação Rj X j muto elevada, mesmo assm a varação do ângulo j contnua pequena, varando em um ntervalo de -6 à 2 graus. 2.2 EQUAÇÕES UTLZADAS PARA DESCREVER O ESTADO DE OPERAÇÃO EM REGME PERMANENTE DE UM SDEE R j e A equação (50) defne a queda de tensão no crcuto j como mostra a Fgura (3). V V ( R jx ) (50) j j j j j L Em que V e j são os fasores de tensão no nó e o fluxo de corrente no crcuto j, X j a resstênca a reatânca do crcuto j, l representa todos os conjuntos dos ramos. Se separar a equação (50) em duas partes, real e magnára, é possível encontrar outras duas novas equações (51) e (52):

40 38 Fgura 3- Exemplo lustratvo para descrever o estado de operação de SDEE V V k k V j j R k jx k R j jx j re Gk k j m Gk re D j m D j re Dj j m Dj Fonte: Elaboração do própro autor V V R X (51) re re re m j j j j j j l V V X R (52) m m re m j j j j j j l Onde é defndo que m V e V são as partes real e magnára de V, re re j e m j são as partes real e magnára no crcuto j. A partr da Fgura 3 pode-se determnar as prncpas equações de equlíbro da corrente como mostra (53) e (54). k l k l re re re re k j G D b j l m m m m k j G D b j l (53) (54) Em que b representa o conjunto dos nós, e m D são as partes, real e magnára da demanda de corrente no nó e re S, re D e m S são as partes real e magnára da corrente do gerador no nó. Note-se que as equações mostradas acma se relaconam entre s em dos aspectos mportantes, njeção de corrente nos nós (geração e demanda) com correntes nos crcutos. Se for consderada uma carga do tpo constante para os valores da demanda de potênca atva e reatva, PD jq D, assm a corrente exgda pela carga no nó, é uma função da demanda de potêncas atva e reatva no nó representada por P D, Q D e V é a magntude da tensão no nó como é mostrado em (55).