Visualização Científica no Contexto de Métodos Meshfree: Aprimoramento de Algoritmos Clássicos

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1 Vsualzação Centífca no Contexto de Métodos Meshfree: Aprmoramento de Algortmos Clásscos Gleber N. Marques 1, André F. Perera 1,, Dárley D. de Almeda 1, e Gsele F. Franco 1 1 Laboratóro de Modelagem, Smulação Computaconal e Alto Desempenho LAMSCAD/DGP/CNPq Unversdade do Estado de Mato Grosso (UNEMA) Alto Araguaa M Brasl Insttuto ecnológco da Aeronáutca (IA) e Insttuto de Estudos Avançados (IEAv) - CA São José dos Campos SP Brasl {gleber.nmarques,fgselee}@gmal, {darley10,flederco}@hotmal.com Abstract. Meshfree methods partcularly the Element Free Galerkn method have been wdely employed n many scentfc applcaton areas. Several scentfc vsualzaton technques are used for graphcal representaton of the numercal values numercally computed. In ths work we show orgnally that such scentfc vsualzaton algorthms must be mproved to be able to produce a more relable and accurate graphcal representaton of hghly contnuous approxmatons. Resumo. Os métodos meshfree em especal o Método Element Free Galerkn têm sdo amplamente nvestgados nas mas dversas áreas de aplcação. Dversas técncas de vsualzação centífca são utlzadas com o obetvo de representar gráfca e vsualmente as grandezas de nteresse numercamente calculadas. Nesse trabalho demonstramos orgnalmente que algortmos tradconas de vsualzação centífca devem ser aprmorados para que seam mas acurados na representação gráfca de aproxmações numércas de alta classe de contnudade. 1. Introdução Os avanços tecnológcos das últmas décadas que proporconaram abundânca de memóra e alta capacdade de processamento a baxo custo também possbltaram a massva dssemnação das técncas de modelagem e smulação computaconal nas mas dversas áreas de aplcação. Hstorcamente os computadores foram essencas às engenharas, especalmente nas atvdades de desenho e especfcação de proeto, dando orígem aos softwares CAD. Em poucos anos, o aumento da dsponbldade de memóra e capacdade de processamento permtu agregar à essas ferramentas outras que permtssem calcular algumas meddas mportantes para a fnaldade do dspostvo/proeto utlzando-se de métodos numércos para resolver as equações físcas governantes. as softwares deram orgem aos CAE, proetados para áreas de aplcação específcas, e assm sucessvamente. O desenvolvmento e uso da smulação computaconal nas mas varadas áreas consolda um conunto de metodologas e técncas da Computação Centífca que vem recentemente sendo referdas na Lteratura como Computatonal Scence, ou Cêncas Computaconas. A modelagem e a smulação computaconal vsa ao estudo e desenvolvmento de soluções tecnológcas para problemas complexos, alguns que até recentemente não poderam ser tratados, sea pela quantdade elevada de dados a serem operados, pela ausênca de soluções analítcas ou métodos numércos, ou pela nvabldade de realzação de expermentos laboratoras. Assm a pesqusa por métodos e técncas computaconas assocadas a esse tpo de atvdade são de grande nteresse, posto que também podem reduzr drastcamente custos laboratoras.

2 O método dos Elementos Fntos (MEF) é um método numérco para resolução de equações dferencas parcas usualmente assocadas à descrção dos mas varados fenômenos naturas que observamos ou manpulamos. Apesar de fornecer um boa aproxmação com baxo custo computaconal mesmo em stuações envolvendo geometra complexa ou domínos não homogêneos, sua aproxmação é dependente de uma malha de boa qualdade para se obter uma boa precsão, especalmente da dervada da varável de estado. Como alternatva a possíves lmtações quanto a geração de malha, técncas e métodos meshfree vem sendo estudados há pelo menos 40 anos. O método Element Free Galerkn (MEFG ou EFGM na lteratura nternaconal) [Belytschko et al. 1994] é um dos prncpas representantes da classe de métodos meshfree e pode faclmente fornecer aproxmações com alta classe de contnudade, permtndo assm uma aproxmação mas suave da varável de estado e suas dervadas, e vem sendo empregado nos mas dversos campos de aplcação [Belytschko et al. 1994; Marques et al. 007; Sperotto et al. 013], útes para softwares Computer Aded Desgn e Computer Aded Engneerng (CAD/CAE). A alta classe de contnudade de métodos numércos é uma característca ntrínseca às propredades funconas da base aproxmatva gerada pelo método numérco em questão. A análse das propredades numércas das aproxmações obtdas para equações dferencas parcas (edp) é usualmente feta por meo da geração de gráfcos das grandezas no domíno de smulação por meo de representações gráfcas em 1D, D e 3D em softwares CAE. A construção desses gráfcos requer cálculos adconas a partr da aproxmação obtda para a construção das lnhas e superfíces, para determnar cores e preenchmentos, e para formatar uma legenda de cores que compõem um gráfco. Os algortmos usados para construção desses gráfcos têm um papel mportante no processo nvestgatvo sobre métodos numércos em geral, pos fornecem subsídos para a análse qualtatva e quanttatva [Hoole 1989]. Uma exploração descudada de aproxmações altamente contínuas usando técncas napropradas de vsualzação centífca pode levar a dstorções gráfcas que mascaram o real comportamento da aproxmação obtda. Os lmtes de resolução das técncas de vsualzação e/ou suas confgurações podem funconar como um fltro passa-baxa ou passa-alta, escondendo osclações que poderam ser genunamente físcas ou mesmo espúras. Essas nvestgações tornaram-se mprescndíves no contexto de desenvolvmento do software LExVE - Laboratóro para Expermentos Vrtuas de Engenhara - um sstema CAD/CAE baseado no MEFG [Almeda et al. 01].. Modelagem Matemátca e Smulação Computaconal A déa básca por trás da aplcação desses métodos consste em fornecer uma aproxmação numérca para uma grandeza de nteresse que caracterze o estado de "funconamento" ou "uso" do dspostvo/proeto. Esses cálculos são fetos a partr de equações dferencas obtdas a partr das equações governantes dos fenômenos. Frequentemente é dfícl ou mpossível encontrar uma solução analítca para edp's correspondentes à descrção de stuações reas, como dspostvos e proetos em geral, e assm, métodos numércos são empregados para obtenção de uma aproxmação numérca. O produto fnal da aplcação de quasquer métodos numércos é um ou mas conuntos de números, correspondentemente ao nível de dscretzação nodal usado. A nspeção dreta de uma lsta com mlhares de números é uma tarefa árdua e mutas vezes nvável, e nesse caso softwares para apoo à representação vsual de grandezas centífcas são empregados.

3 Duas técncas de vsualzação centífca amplamente conhecdas e utlzadas para construção de representações gráfcas são analsadas para vsualzar as aproxmações obtdas com o MEFG. O ponto central neste trabalho resde no fato de que essas técncas são perfetamente adequadas para reproduzr fdedgnamente uma aproxmação de prmera ordem fornecda pelo MEF, mas, não se pode afrmar o mesmo para o MEFG, devdo a alta classe de contnudade produzda, por exemplo, pelas funções peso de classe C usadas na formulação do MEFG. Nas próxmas seções apresentaremos uma síntese da formulação matemátca do método Element Free Galerkn que fornece as chamadas funções de forma, e que são elementos fundamentas para aplcação do procedmento de Galerkn na dscretzação da edp, ou sea, para obtenção da aproxmação numérca, e as equações dscretas fnas que resultam da aplcação do procedmento de Galerkn para dscretzação da equação de Posson homogênea. Nos capítulos seguntes focamos na análse prelmnar sobre a adequação dessas técncas de vsualzação centífca para nspeção qualtatva e quanttatva das aproxmações fornecdas pelo MEFG..1. Formulação do método Element-Free Galerkn Suponha que estamos nteressados em construr uma função u h (x) em um domíno Ω, que aproxme a solução exata u(x) de uma dada equação dferencal parcal. Esta aproxmação é construída com base em um conunto de N pontos nodas, provenentes da dscretzação do domíno de smulação. A cada ponto nodal x é assocda uma função de ponderação w( x x ) w (x), e um parâmetro de aproxmação u, que controla a nfluênca dos pontos nodas na aproxmação, chamados de parâmetros nodas. Estes últmos são ncógntas a serem determnadas pelo sstema de equações dscretas obtdas após a aplcação do método de de Galerkn. As funções de ponderação podem ser escolhdas arbtraramente desde que seam: não-negatvas, decresçam monotoncamente à medda que x x cresce, tenham norma untára e suporte compacto. emos empregado com sucesso funções de ponderação sngulares construídas a partr da função de Schwarz truncada [Marques et al. 007]: r w( r ) = e 0, r 1, 0 r < 1, r x x dm r 1, = e d m. (1) Dferentes topologas de domínos de nfluênca podem ser defndos dependendo de como a função de ponderação for defnda, por exemplo, crculares como defndo em (1), e retangulares ao defnrmos a função de ponderação por meo de w x x = w r w r, em que um produto tensoral entre as componentes espacas, ( ) ( ) ( ) x = x x dmx e ry y y dmy r =, conforme lustrado na Fgura 1. Consderando que freqüentemente teremos que resolver o problema de nclusão de um ponto de avalação em domínos de nfluênca, ou sea, determnar quas domínos de nfluênca ncluem um dado ponto de avalação, os domínos de nfluênca retangulares são mas empregados por apresentarem menor complexdade computaconal na determnação dessa nclusão. O rao de nfluênca defne o alcance da função de ponderação, ou sea, a regão em torno de um nó onde a função de ponderação é não nula. Essa regão é chamada de domíno de nfluênca nodal, uma vez x y

4 que o parâmetro nodal assocado a este ponto deverá ser levado em conta na aproxmação em qualquer ponto de avalação no nteror desta regão. Fgura 1. Domíno de nfluênca nodal com topologa retangular. Podemos escrever uma aproxmação local movng least-squares (MLS) para u h (x) da segunte forma: m h u ( x, x) = p ( x) a ( x) p ( x) a( x), () = 1 onde p (x) forma uma base polnomal no espaço das coordenadas com cardnaldade gual a m, e os coefcentes a(x) que mnmzam o erro entre a aproxmação local MLS e o parâmetro nodal u podem ser obtdos em qualquer ponto x pela mnmzação da segunte norma ponderada: J = 1 n = 1 w ( x ) [ p ( x ) a( x) u ] x (3) O número de pontos nodas na vznhança do ponto de avalalação x cuas funções de ponderação w( x x ) dfere de zero é n, sendo que n << N. As funções de ponderação desempenham o prncpal papel na aproxmação MLS, no sentdo de que a aproxmação construída pelo MEFG herdará a maor contnudade dentre os monômos da base polnomal local p (x) e a funcão de ponderação. Dando contnudade a obtenção das funções de forma fornecdas pelo MEFG, mnmzamos a norma J em (3) com respeto aos coefcentes a(x), substtundo o valor encontrado para os mesmos na expansão local (), com o algebrsmo necessáro [Belytschko, 1994], chegamos a: u h n ( ) = φ ( x) u, x (4) = 1 onde defnmos as chamadas funções de forma φ (x) : m 1 ( x) = p ( x) A ( x) B( x) ( ) φ (5) e as matrzes A(x) e B(x), com A = PWP, B = PW, e sendo as matrzes P e W defndas como usual [Belytschko et al. 1994]. Como veremos adante, além das funções de forma necesstaremos de suas dervadas para mplementar as equações dscretas obtdas pela aplcação do procedmento de Galerkn, as quas são dadas por: dφ = dx dp dx A 1 B + p da dx -1 B + p A 1 db, dx e analogamente para a dervada parcal com respeto à coordenada y. (6)

5 .. Dscretzação da equação de Posson A equação de Posson e suas respectvas condções de contorno, dervadas das equações de Maxwell que descrevem os fenômenos eletromagnétcos, podem ser descrtas pelo problema de valor de contorno: ( Dr u ( x) = ρ( x), (7) u x ) = φ, x Γ Γ, (8) u = n f Neu, Dr onde Γ representa contornos do domíno, Γ Γ = { } x Γ Neu Γ, (9) Dr Neu e ΓDr ΓNeu = Γ. Como as funções de forma φ construídas pelo método EFG são lnearmente ndependentes e conseqüentemente formam uma base { φ }, podemos usar a expansão () para aplcar o procedmento de dscretzação de Galerkn ao problema de valor de contorno dado pelas equações (7) a (9). Partndo da aplcação do Método dos Resíduos Ponderados e segundo a abordagem de Galerkn, pode-se obter o segunte conunto de equações dscretas: K u = b (10) sendo, K a chamada matrz de rgdez, b o vetor de fontes e u o vetor de ncógntas (parâmetros nodas), dados por: Ω K = φ φ dω, b = φ ρ dω, = [ u, u ] N Ω u 1..., (11) As funções de forma φ (x) que aparecem na segunda equação em (11) são dadas em (5) pelo MEFG, e suas dervadas parcas com respeto às componentes espacas presentes nos gradentes da prmera equação em (11) são as apresentadas em (6). Essas equações ntegro-dferencas são resolvdas por quadratura de Gauss no MEFG. endo calculado os parâmetros nodas, podemos calcular o campo assocado a varável de estado, sendo que E( x) = u( x). Assm: n ( x p ) = u( x p ) u ( x p ), E φ (1) = 1 em que u são os parâmetros nodas á calculados, φ x ) são as funções de forma ( p calculadas na posção x p, e a soma =1..n dz respeto à numeração local dos nós cuos domínos de nfluênca ncluem o ponto x p. Assm podemos calcular os valores pontuas das varáves de estado e suas dervadas, e gerar representações gráfcas. 3. Algortmos de Vsualzação Centífca Nosso obetvo aqu é rememorar duas técncas amplamente conhecdas e utlzadas, e que servram de base para elaboração dos algortmos desenvolvdos Geração de Lnhas Equpotencas Algortmos para geração de lnhas equpotencas são amplamente utlzados em város tpos de gráfcos D e 3D, pos permtem uma avalação qualtatva detalhada do comportamento da aproxmação sobre todo o domíno de smulação. Um dos algortmos mas usados para geração de lnhas equpotencas, é bem descrto no lvro de

6 Ratnaeevan Hoole (1989). Nesse algortmo, o domíno é decomposto por meo de uma malha, usualmente trangular; os valores equpotencas a serem representados são determnados sobre as arestas de cada elemento fnto e determnam os pontos de ntersecção da lnha equpotencal e as arestas do trângulo. No contexto do MEF de prmera ordem, esse algortmo é modelado para determnar uma nterpolação lnear dentro do trângulo, que parte de um ponto determnado em uma face do elemento fnto e va até outra face, para um certo valor especfcado de equpotencal. Note-se que no caso de aproxmações obtdas pela aplcação do MEF de prmera ordem, a nterpolação lnear feta pelo algortmo de geração de equpotencas em cada elemento fnto para representar as solnhas concde com a classe de contnudade da aproxmação fornecda pelo MEF que também é lnear. Dessa forma, os valores da varável de estado lnearmente nterpolados nos pontos ntersectantes determnados pelo algortmo de geração de equpotencas sobre as arestas dos elementos fntos tende a concdr com os valores reas da varável de estado computada pelo MEF. Por outro lado, pode-se conecturar que quando a aproxmação fornecda pelo método numérco não for lnear, então a nterpolação lnear realzada no nteror de cada elemento fnto pelo algortmo de geração de equpotencas poderá não concdr com os valores obtdos pelo método, levando às representações gráfcas nem sempre fdedígnas a aproxmação numérca fornecda pelo método. 3.. Construção de Mapa de Cores de Campo A representação gráfca da ntensdade de campos vetoras assocados aos fenômenos físcos modelados pelas edp's pode ser feta por meo de Mapa de Cores ou Carta de Cores. Para construção dessa representação gráfca o domíno de smulação é subdvdo em pequenos elementos geométrcos não ntersectantes e conexos em cuo nteror é calculada uma medda da ntensdade do campo elétrco, normalmente dada pela norma do vetor campo meddo no nteror do subdomíno. [Hoole, 1989] No caso de aplcações com o MEF de prmera ordem, esses subdomínos são usualmente os própros elementos fntos a fm de se evtar novos cálculos para se gerar uma nova subdvsão, reaprovetando-se a malha de elementos fntos gerada para cômputo da aproxmação. As ntensdades meddas no nteror de cada elemento geométrco são mapeadas para uma escala de cores de modo a permtr uma dstnção razoável entre as ntensdades de campo meddas, e a cada elemento geométrco é assocada uma cor com a qual o elemento é preenchdo. Observe que, dessa forma, é assumdo que no nteror de cada elemento geométrco a varação de campo é pequena e pode ser gnorada. Essa é uma smplfcação bastante acetável em se tratando de aproxmações lneares, por exemplo, as aproxmações resultantes da aplcação do MEF de prmera ordem, pos sendo a varável de estado aproxmada no nteror de cada trângulo por uma função lnear, o campo assocado à varável de estado corresponde a prmera dervada da mesma, de modo que o campo (prmera dervada) é naturalmente aproxmado por uma função constante no nteror de cada subdomíno. Assm, os valores constantes de campo estmados no nteror dos subdomínos para o mapa de cores rão corresponder dretamente aos valores constantes de campo calculados pelo própro MEF. Por outro lado, quando o método numérco usado fornece aproxmações para o campo (prmera dervada) com maor classe de contnudade funconal do que funções constantes no nteror dos elementos geométrcos, então uma representação gráfca de

7 campo que o assume uma função constante no nteror desses elementos geométrcos poderá suprmr osclações de campo produzdas ou reproduzdas pelo método numérco usado. Essas osclações podem ser nerentes ao fenômeno físco ou mesmo espúras e, em ambos os casos, é fundamental que a representação gráfca sea fdedígna a aproxmação fornecda pelo método, tanto para avalar a acuráca do método na reprodução do comportamento fenomenológco, quanto para avalar o surgmento de osclações espúras ntroduzdas pelas característcas numércas do método usado ou do própro modelo matemátco. 4. Algortmos Revsados para Aproxmações Altamente Contínuas Como o MEFG produz aproxmações altamente contínuas, as representações gráfcas baseadas em nterpolações lneares por partes para a varável de estado, e constante por partes para o campo, podem mascarar o real comportamento da aproxmação fornecda Algortmo para Geração de Lnhas Equpotencas Quas-Lnear Nas fguras e 3 lustramos um elemento geométrco, a partr do qual obetvou-se representar uma parte da equpotencal de valor 15 que passa pelas arestas do trângulo. Note-se que os vértces na base do trângulo têm valor de potencal gual a 0, como ndcado nas fguras, e o vértce superor tem valor de potencal gual a 10. Suponha que esses valores de potencal são resultantes da aproxmação fornecda pelo MEFG, portanto, uma aproxmação com alta classe de contnudade. Na fgura, a lnha em vermelho ndca a equpotencal "real" de valor 15 calculada dretamente pelo MEFG, e a lnha em preto ndca a lnha equpotencal lnearmente nterpolada usando o algortmo orgnal lnear descrto na seção 3.1. Fgura. Isolnha gerada pela nterpolação lnear clássca. Fgura 3. Isolnha gerada por nterpolação quas-lnear. A lnha em vermelho é levemente curvada e nclnada, evdencando a característca não lnear da aproxmação obtda pelo MEFG, á que o valor de potencal 15 é determnado em alturas dferentes em cada aresta lateral, dferentemente da nterpolação lnear produzda pelo algortmo clássco e representada pela lnha em preto que é paralela a aresta-base do trângulo e que ndca que o valor de potencal 15 é localzado à mesma altura tanto na aresta do lado dreto quanto na do lado esquerdo. Isso evdenca as dscrepâncas que podem ser observadas ao se utlzar algortmos de vsualzação baseados em nterpolações smplesmente lneares para representar aproxmações de alta classe de contnudade. Na fgura 3, lustramos o mesmo cenáro, mas com a lnha equpotencal nterpolada pelo algortmo que desenvolvemos, e pode-se notar claramente a maor concordânca entre os valores computados pela aproxmação numérca do MEFG e os valores nterpolados pelo algortmo que desenvolvemos para geração de equpotencas. Ou sea, o novo algortmo produz uma representação gráfca mas fdedígna à

8 aproxmação calculada pelo MEFG. Note-se que também usamos uma aproxmação lnear dentro do trângulo para desenhar a equpotencal na tela, mas a forma com que os pontos de nterseção são determnados sobre as arestas dos trângulos não é lnear, resultando em uma melhor acuráca na representação gráfca da aproxmação do MEFG. Como a aproxmação fornecda não é lnear, surge uma dfculdade adconal para se determnar os pontos de nterpolação nas arestas dos trângulos, nvablzando uma abordagem analítca. Assm, nesse prmero momento, optamos por uma estratéga smples que nos permtsse avalar o quanto essas dscrepâncas seram sgnfcatvas, e, em caso afrmatvo, buscaremos por estratégas mas otmzadas. A estratéga proposta, apesar de smples é nédta, e se basea em busca bnára e na defnção de um erro de tolerânca para a nterpolação nas arestas. Assm, dados os vértces de uma aresta e os valores de potencal, mplementamos uma busca bnára sobre a aresta para localzar em que ponto o valor procurado é aproxmadamente calculado pelo MEFG, em vez de uma nterpolação lnear smples. 4.. Algortmo para Geração de Mapa de Cores para Aproxmações Não-Lneares Como a aproxmação das dervadas da varável de estado pelo MEFG pode varar ponto a ponto quando for altamente contínua, o racocíno que utlzamos para melhorar a representação gráfca do mapa de cores fo o trval: propomos novas subdvsões teratvamente em cada célula de ntegração. Elaboramos duas estratégas de subdvsão para serem nvestgadas nessa prmera fase da pesqusa. A prmera se basea no barcentro do elemento geométrco a partr do qual são cradas lnhas lgando cada vértce ao barcentro e ao ponto médo da aresta oposta ao vértce ncal, dando orgem a novos sub-elementos geométrcos lustrados na Fgura 4.a). A segunda estratéga é lustrada na fgura 4.b). As subdvsões dos elementos geométrcos são obtdas segundo-se o algortmo de Delaunay para refnamento de malha trangular, usando pontos reboque próxmos a extremdade das arestas. Esses algortmos podem ser aplcados recursvamente produzndo subdvsões anda menores. a) b) Fgura 4. a) Subdvsões geradas pelo barcentro e, b) Subdvsões geradas pelo refnamento de Delaunay. 5. Resultados Para uma prmera análse das característcas dos algortmos de vsualzação centífca utlzamos um problema clássco na Lteratura, o de um capactor de placas planas e paralelas em um modelo bdmensonal (D), obtdo pela smplfcação resultante da smetra planar do problema orgnal em 3D. As equações governantes para o problema são as equações de Maxwell que, após utlzar-se da fomulação do potencal escalar são reduzdas à equação de Posson homogênea, como descrto na seção. Como se trata de um problema clássco e amplamente utlzado para fnaldades ddátcas e nvestgatvas, seus resultados típcos são bem conhecdos, e por sso fo escolhdo para melhor evdencar as dferenças resultantes da vsualzação propcada pelas técncas descrtas. O domíno de smulação é bastante smples e bem conhecdo; é representado por um

9 retângulo envolvente e dos segmentos de reta paralelos no centro que representam o corte transversal das placas do modelo 3D. A fgura 5.a) apresenta as lnhas equpotencas construídas pelo algortmo tradconal lnear descrto na seção 3.1 e pelo algortmo quas-lnear proposto nesse trabalho na Fgura 5.b). Nota-se claramente que as lnhas equpotencas geradas pelo algortmo quas-lnear proposto são notadamente mas suaves que as lnhas equpotencas produzdas pelo algortmo lnear clássco. a) b) Fgure 5 - Vsualzação de solnhas: a) nterpolação lnear, b) nterpolação quas-lnear MEFGI. Para avalar a representação de mapa de cores de ntensdade do campo elétrco do capactor produzda por cada técnca de vsualzação é precso dentfcar o quanto o refnamento dos elementos geométrcos favorecem a dmnução do erro entre a ntensdade de campo computada para o sub-elemento e a ntensdade de campo computada pela aproxmação do MEFG no barcentro do sub-elemento. Assm, fo gerada uma grade de pontos de avalação sobre todo o domíno de smulação na qual foram calculados os erros entre a representação gráfca produzda pelo mapa de cores gerado e os reas valores de campo calculados pelo MEFG no centro dos elementos geométrcos usados para vsualzação do mapa de cores. Como os algortmos podem ser aplcados teratvamente ou de modo recursvo, é sufcente demonstrar que de uma teração para outra há dmnução no nível de erro ntroduzdo pelo mapa de cores obtdo após o refnamento. As fguras 6 e 7 lustram duas terações sucessvas de cada algortmo, sendo que na Fgura 6 são apresentados os erros calculados com o uso da estratéga baseada no barcentro e na Fgura 7 os erros obtdos pela estratéga baseada no refnamento de Delaunay. a) b) Fgura 6 Erro do Mapa de Cores: a) Barcentro uma subdvsão, b) Barcentro duas subdvsões. Em ambas fguras, os gráfcos da dreta correspondem ao nível de erro calculado para um mapa cores com elementos mas refnados e notamos que há uma melhora sgnfcatva quanto a dmnução do erro ntroduzdo pelo algortmo de vsualzação. Em ambos os casos nota-se que a dmnução do nível de erro percentual

10 máxmo ca rapdamente do prmero para o segundo gráfco, em mas de 50% comparado ao nível de erro obtdo na prmera teração. a) b) a) Fgura 7 - Erro do Mapa: a) Delaunay com uma subdvsão, b) Delaunay com duas subdvsões 6. Conclusões O MEFG vem sendo amplamente utlzado em dversas áreas para aplcações de software CAD/CAE. As característcas numércas deste método torna-o atratvo em váras stuações, contudo, em especal, a alta classe de contnudade das aproxmações fornecdas requerem cudados na construção das representações gráfcas para análse dessas aproxmações. Nesse trabalho foram apresentados resultados prelmnares da nvestgação numérca sstemátca de técncas mportantes de vsualzação centífca no contexto do MEFG. Os resultados ndcam que há ganho consderável no erro relatvo percentual meddo quando os algortmos de vsualzação propostos são utlzados, possvelmente por melhor se austarem à aproxmação de alta contnudade fornecda pelo MEFG. Evdencamos duas técncas clásscas de vsualzação centífca cua aplcação a aproxmações com alta ordem de contnudade requer cudados, e apresentamos propostas de melhoramento das mesmas demonstrando que podem produzr representações gráfcas mas fdedígnas a aproxmação que é computada pelo MEFG. Referêncas Almeda, D. D., Perera, A. F. & Marques, G. N. (01) "Sstema LExVE Explorer: Um módulo JAVA de pós-processamento CAD/CAE voltado ao método elementfree Galerkn", In: Proc. of the MOMAG 01 / 15º SBMO, João Pessoa-PB, Brasl. Belytschko,., Lu, Y. Y. & Gu, L. (1994) "Element-free Galerkn Methods", Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, v. 37, p Hoole, S. R. (1989) "Computer-Aded Analyss and Desgn of Electromagnetc devces", Prentce Hall, USA. Marques, G. N. Machado, J.M., Verard, S.L.L., Stephany, S. e Preto, A.J. (007) "Interpolatng MEFG for computng contnuous and dscontnuous electromagnetc felds", COMPEL - he Int. Journal for Computng..., v. 6, n. 5, p Sperotto, L. K., anaka R. Y., Marques, G. N., Passaro A. (013), "Interpolatng meshfree method appled n quantum well and quantum dot nfrared photodetectors", Proceedngs of the Int. Symposum on Appled Electromag. and Mech., Canada.