Análise Fatorial F 1 F 2

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1 Análse Fatoral Análse Fatoral: A Análse Fatoral tem como prncpal objetvo descrever um conjunto de varáves orgnas através da cração de um número menor de varáves (fatores). Os fatores são varáves hpotétcas (não observadas) que explcam parte de varabldade total dos dados. X 1 X 1 X 3 X 3 4 X 4 5 X F 1 F (Varáves Fatores Latentes)

2 Técncas de dependênca nterdependênca Qual a dferença entre Análse Fatoral e as técncas de análse de dependênca (regressão múltpla, dscrmnante, etc.)? X X 1 1 Y 1 XX3 3 Cada varável vel é explcada levando em consderação todas as outras. X 1 X 1 X 3 3 F 1 Análse das varáves ves ndependentes para determnar a capacdade de prevsão da varável vel dependente (técnca de dependênca) Análse das varáves ves com o ntuto de maxmzar o poder de explcação do conjunto de varáves ves (técnca de nterdependênca) Utlzação da análse fatoral: - Identfcar dmensões latentes (fatores) que explquem correlações entre um conjunto de varáves. - Identfcar um conjunto menor de varáves não correlaconadas para substtur um conjunto orgnal de varáves correlaconadas. - Identfcar em um conjunto maor, um conjunto menor de varáves que se destacam para uso em um análse multvarada posteror.

3 Análse fatoral: começou com Charles Spearman analsando correlações entre notas de váras dscplnas cursadas por estudantes. Cl Fr In Cl (X1) 1 0,83 0,78 Fr (X) 0,83 1 0,67 In (X3) 0,78 0,67 1 Ma (X4) 0,70 0,67 0,64 DT (X5) 0,66 0,65 0,54 Um (X6) 0,63 0,57 0,51 Cl: clásscos Fr: Francês In: Inglês Ma: matemátca DT: Dscrmnação de tom Mu: Músca Ma 0,70 0,67 0,64 1 0,45 0,51 DT 0,66 0,65 0,54 0,45 1 0,40 Mu 0,63 0,57 0,51 0,51 0,40 1 Matrz de correlação (C. Spearman, Am. J. Psychol. 15, 01, 1904.) Ele notou que quasquer duas lnhas eram proporconas se as dagonas fossem gnoradas Onde: A déa básca de Spearman era que a correlação mútua entre as varáves (como notas de testes) podera ser explcada pela dependênca comum delas com uma varável latente que ele chamou de fator, ou seja, que os 6 resultados de testes fossem descrtos pela equação: X = af+ e, = 1,,...,6 X : varável analsada padronzada (méda zero e desvo-padrão 1) a : é uma constante (carga fatoral) F: Fator (com méda zero e desvo-padrão 1) comum a todas as varáves e : erro (que é específca de cada varável)

4 Temos: Var (X)=1 Var (F) =1 Cov(F e ) = 0 (F, e não correlaconadas) Cov(e e j ) = 0 (erros em cada varável não correlaconados) Varânca de X: Ou seja: 1 Var(X ) = Var(a F+ e ) = Var(a F) + Var(e ) = a 1 = a + Var(e) Var(F) + Var(e) 1 Proporção da varânca contda no fator (carga ao quadrado) Proporção da varânca específca de cada varável r j E a correlação entre X e X j (r j ): = corr ( X X ) = corr[ (a F+ e )(a F+ e )] j = corr(a = a a j a j FF) + corr(a F e ) + corr(e a corr(ff) + a corr(f e ) + a j j j j j j F) + corr(e e ) corr(e F) + corr(e e ) j j Ou seja: r j = a a j, j Correlação entre as varáves X e o fator F: Corr(X F) = Corr(a FF) + Corr (e F) =a Corr(FF) + 0 = a, ou seja: Corr(X F) = a (carga fatoral)

5 Conclusão de Spearman: Cada resultado do teste é composto de duas partes: - Uma que é comum a todos os testes, contda no fator comum F ao qual fo dado o nome de ntelgênca geral. - Uma que é específca de um dado teste. Caso geral de p varáves X padronzadas e m fatores o modelo de análse de fatores é: Modelo Fatoral Ortogonal: X = a1 F1 + a F + a3 F am Fm + e, = 1,, 3,..,p Onde: a j : cargas fatoras (As cargas fatoras medem o grau de correlação entre a varável orgnal e os fatores. O quadrado da carga fatoral representa o quanto do percentual da varação de uma varável é explcado pelo fator) F1, F,...,Fm são os m fatores comuns não correlaconados, cada um com méda zero e varânca untára, ou seja, Var(F )=1 e Corr(F F j )=0 ( j). e : é um fator específco para a -ésma varável, tem méda zero e não é correlaconado com qualquer um dos fatores comuns, ou seja, Corr(F e j )=0 Caso seja permtdo correlaações entre fatores o modelo é chamado Modelo Fatoral Oblíquo

6 Neste caso a varânca de X é: Var(X ) = 1 = a1 Var(F 1) + a Var(F ) am Var(Fm ) = a 1 + a am + Var(e) Var(e ) Comunaldade de X ( h ): parte da varânca relaconada aos fatores comuns (soma dos quadrados das cargas fatoras) especfcdade: parte da varânca não relaconada aos fatores comuns 1 h = a + a a m E a correlação entre X e Xj: Corr(X Xj) = r j = a 1 a j1 + a a j a m a jm Portanto a correlação entre duas varáves é alta se elas tem altas cargas no mesmos fatores. Correlação entre X e F j : Corr(X F j ) = a j (carga fatoral) Como na análse de componentes prncpas, é nteressante obter um número de fatores menor que o número de varáves. Veremos então o procedmento para realzar uma análse fatoral.

7 Análse fatoral (AF) x Componentes Prncpas (CP) Semelhança: ambas buscam uma estrutura mas smples de varáves (menor número). Dferenças: - Componente Prncpas são combnações lneares das varáves orgnas. Na AF, as varáves orgnas são combnações lneares dos fatores. - Na análse de CP, busca-se explcar a varânca total dos dados. Em AF, busca-se explcar as correlações (ou covarânca) entre varáves. Uma das maneras de encontrar os fatores é por componentes prncpas Resumndo A AF avala a correlação exstente entre um grande número de varáves e dentfca a possbldade de essas varáves serem agrupadas em um número menor de varáves latentes e de que, obvamente, possa dentfcar o sgnfcado dos agrupamentos realzados. Em outras palavras: A AF avala a possbldade de agrupar varáves (X 1, X,..., X ) em um número menor de m fatores (F 1, F,..., F m ) Modelo matemátco: Spearman As varações em uma varável podem ser explcadas a partr de um conjunto de fatores: X = a 1F1 + a F + a 3F3 + K+ a mfm + e Sendo F os fatores comuns não relaconados entre s; a as cargas fatoras. As cargas fatoras medem o grau de correlação entre a varável orgnal e os fatores. O quadradro da carga fatoral representa o quanto do percentual da varação de uma varável é explcado pelo fator.

8 Os fatores, por sua vez, poderam ser estmados por uma combnação lnear das varáves orgnas. F = b X + b X + K+ b j j1 1 j Sendo F os fatores comuns não relaconados entre s; b j os coefcentes dos escores fatoras e X as varáves orgnas envolvdas no estudo. O escore fatoral é um número resultante da multplcação dos coefcentes b j pelo valor das varáves orgnas. j X Um exemplo: Consdere a matrz de correlação das varáves V1, V, V3, V4, V5 e V6. Da qual obtemos os seguntes autovalores (que contém uma fração da varânca dos dados):

9 Escolhendo o número de fatores defndo pelos autovalores maores que um, vamos obter duas componentes prncpas (ou seja, um modelo de fatores). E as cargas assocadas a cada fator: Ou seja: V1 = 0,98 F1+ 0,53 F + e1 V = - 0,301 F1+ 0,795 F + e V3 = 0,936 F1+ 0,131 F + e3 V4 = - 0,34 F1+ 0,789 F + e4 V5 = - 0,869 F1-0,351 F + e5 V6 = - 0,177 F1+ 0,871F + e6 Lembre-se a carga é a correlação entre a varável orgnal e o fator Podemos calcular as comunaldades ( Por exemplo a comunaldade da varável V1: h 1 = (0,98) + (0,53) = 0,95849 Para a varável V: h 1 = (0,98) + (0,53) = E assm sucessvamente... E a varânca específca: Por exemplo, para a varável V1 padronzada: 1= h 1 + Var(e1) Var(e1) = 1- h 1 =1-0,95849= 0, E assm sucessvamente para as outras varáves...

10 E a correlação reproduzda consderando esse modelo de dos fatores: Corr(V1V1)= 1 Corr(V1V)= 0,98.(-0,31)+0,53.(0,795)= Corr(V1V3)= 0,98.(936) + 0,53. (0,131)= E assm sucessvamente corr(v1v4), corr(v1v5),...,corr(vv3)...corr(v5v6)... E vamos obter uma matrz de correlação que reproduz aproxmadamente a matrz de correlação orgnal... (Faça as contas.) Quas varáves são mas relaconadas a quas fatores? Olhar a maor correlação (cargas mas altas em módulo) entre uma dada varável e os fatores. Para o nosso exemplo: V1 = 0,98 F1 + 0,53 F + e1 V = - 0,301 F1 + 0,795 F + e V3 = 0,936 F1 + 0,131 F + e3 V4 = - 0,34 F1 + 0,789 F + e4 V5 = - 0,869 F1-0,351 F + e5 V1, V3, V5 são mas relaconadas ao Fator 1. V, V4, V5 são mas relaconadas ao Fator V6 = - 0,177 F1 + 0,871 F + e6

11 Os fatores podem ser escrtos como combnações das varáves orgnas usando os coefcentes de escores fatoras Para o nosso exemplo: E portanto: F1 = 0,358 V1-0,001 V + 0,345 V3 0,017 V4 0,350 V5 + 0,05 V6 F = 0,011 V1 + 0,075 V - 0,043 V3 + 0,377 V4 0,059 V5 + 0,395 V6 Verfque que Corr(F1 F1)=1 e Corr(F1 F)=0 Análse Fatoral exploratóra e confrmatóra Exploratóra: Caracterza-se pelo fato de não exgr do pesqusador conhecmento prévo da relação de dependênca entre as varáves. O pesqusador não tem certeza sobre uma estrutura de relaconamento e nem se ela pode ser nterpretada de forma coerente. Confrmatóra: O pesqusador já parte de uma hpótese de relaconamento pré-concebda entre um conjunto de varáves e alguns fatores latentes

12 Algumas suposções da análse fatoral Normaldade e lneardade: desvos da normaldade e lneardade podem reduzr as correlações entre as varáves. Matrz de correlações com valores sgnfcatvos: Espera-se valores altos de correlação. Por nspeção vsual: maora das correlações acma de 0,30. Tamanho da amostra: de preferênca 100. Uma regra geral: mínmo de 5 vezes mas observações do que varáves. Etapas báscas da análse fatoral - Análse da matrz de correlação e da adequação da utlzação da análse fatoral. - Extração dos fatores ncas e determnação do número de fatores. - Rotação dos fatores. - Interpretação dos fatores.

13 Análse da matrz de correlação verfcar se exstem valores sgnfcatvos para justfcar a utlzação da técnca. Caso as correlações entre todas as varáves sejam baxas, talvez a analse fatoral nao seja aproprada. varaves que apresentam alta correlação tendem a compartlhar o mesmo fator. nspeção vsual da matrz de correlações: maora das correlações não é superor 0,30, há fortes ndícos de que a utlzação da técnca não é aproprada. (De acordo com Har, Anderson, Tatham e Black (005)) Teste de esfercdade de Bartlett e teste KMO Teste de esfercdade de Bartlett: avalar a hpótese de que a matrz das correlações pode ser a matrz dentdade com determnante gual a 1. Ho: a matrz de correlação é uma matrz dentdade H1: a matrz de correlação não é uma matrz dentdade. Se Ho é rejetada haverá ndícos de que exstem correlações sgnfcatvas entre as varaves orgnas. Se Ho não for rejetada, ndca que as varaves não estão correlaconadas e, nesta stuação, não e adequada a utlzação da AF.

14 Estatístca de Kaser-Meyer-Olkn (KMO) Estatístca (KMO): que compara as correlações smples com as correlações parcas. avala a adequac;ao da amostra quanta ao grau de correlação parcal entre as varáves, que deve ser pequeno. Se as correlações parcas são altas, então não há fatores latentes verdaderos e a análse fatoral é nadequada. Correlação parcal: pode ser analsada pela matrz de correlação ant-magem. Estatístca KMO

15 Matrz ant-magem: A matrz de correlações ant-magem contém os valores negatvos das correlações parcas e é uma forma de obter ndícos acerca da necessdade de elmnação de determnada varável do modelo. Medda de adequação da amostra (Measure of samplng adequacy (MSA)): Os valores da dagonal prncpal da matrz ant-magem gerada pelo SPSS são os valores de MAS. Quanto maores forem tas valores, melhor sera a utlzação da AF. Entretanto, se alguma varável apresentar baxo valor na dagonal prncpal e alto valor for a dela, talvez haja necessdade de excluí-la do modelo. Baxa correlação de determnada varável com as demas não necessaramente mplca sua elmnação, uma vez que esta varável pode representar um fator soladamente. Extração dos fatores ncas Modelo de Componentes Prncpas: é aproprado quando a preocupação prncpal é a prevsão ou o número mínmo de fatores necessáros para explcar a parte máxma da varânca representada no conjunto orgnal de varáves. Modelo de fatores comuns: é aproprada quando o objetvo prncpal é dentfcar as dmensões ou construtos latentes representados nas varáves orgnas e o pesqusador tem pouco conhecmento sobre a quanta de varânca específca e do erro e, portanto, deseja lumnar essa varânca.

16 Número de fatores - Crtéro a pror: o pesqusador já sabe quantos fatores extrar. - Crtéro da porcentagem de varânca: escolhe-se um número mínmo para que uma percentagem satsfatóra da varânca explcada seja alcançado. Deve-se escolher o nível, por exemplo > 70%. - Crtéro dvsão da amostra: Dvdr no meo e análse fatoral em cada metade e depos somente serãováldos os fatores que aparecem em ambas as amostras. Crtéro de kaser e crtéro do gráfco de declve (scree plot) (a) Autovalores maores que um. Por este crtéro: componentes. (Crtéro de Kaser ou da raz latente) Raz latente: autovalor (b) Autovalores até o declve (cotovelo). Por este crtéro: 3 componentes

17 Rotação dos fatores: podemos aplcar uma rotação nos fatores obtdos de modo a maxmzar a carga de uma varável em um únco fator. Rotação ortogonal: produz fatores não correlaconados Rotação Oblqua: produz fatores correlaconados Tpos de rotação:

18 Se o objetvo da pesqusa for reduzr o número de varáves orgnas, ndependentemente de quão sgnfcatvos os fatores resultantes possam ser, a solução aproprada provavelmente sera gerada por meo de urn metodo ortogonal. Interpretação dos fatores Como regra geral, consdera-se que as cargas fatoras maores que 0,30 atngem o nvel mnmo; cargas de 0,40 sao consderadas mas mportantes; se forem maores que 0,50, serao consderadas estatstcamente sgnfcatvas.

19 Nomear fatores As varáves com cargas mas altas são consderadas mas mportantes e têm maor nfluênca sobre o nome ou rótulo seleconado para representar um fator. O rótulo é desenvolvdo ntutvamente pelo pesqusador. Em alguns casos, não é possível desgnar um nome a cada fator; pode-se rotular como ndefndo ; neste caso, nterpretar apenas os fatores sgnfcatvos e desconsderar os ndefndos ou menos sgnfcatvos. Passos para análse fatoral. Exemplo prátco Neste exemplo, foram calculados 15 ndcadores fnanceros para 107 empresas seguradoras desgnadas por S001 a S107, tomando como base o ano de 001. Como o prncpal negóco das empresas seguradoras é assumr o rsco de seus clentes elas estão em dreta exposção aos mas dversos rscos de mercado. Dversas empresas avalam a stuação econômco-fnancera das seguradoras, com base em ndcadores. Mas como decdr os pesos para cada ndcador, como avalar os ndcadores conjuntamente e defnr qual ou quas deles nfluencaram o resultado da empresa? AF: Exemplo (arquvos: Cap 0 Exemplo) Execução no SPSS Statstcs > Data Reducton > Factor..., págna 91

20 Análse Fatoral..7 Exemplo Prátco Caso do mercado segurador braslero, p96, Corrar. Análse Fatoral: Exemplo prátco Statstcs (versão mas recente) Data reducton (versão mas recente)

21 SPSS: Opções na caxa de dálogo da Análse Fatoral Statstcs Unvarate descrptves: estatístcas descrtvas para cada uma das varáves. Intal soluton: Cálculo e demonstração das comunaldades, autovalores e total da varânca ncal explcada. Cálculos relaconados à Matrz de Correlação: Coefcentes de correlação; Nível de sgnfcânca; Determnante; KMO e teste esfercdade de Bartlett; Inversa; Reproduce; Ant-Image (dagonal: MSA, Measure of Samplng Adequacy) SPSS: Opções na caxa de dálogo da Análse Fatoral Método de Extração de Fatores: Botão Extracton. Método: prncpas Componentes Opções: Unrotated factor soluton: Apresenta solução ncal. Crtéro Keser para escolha do número de fatores: Egenvalues greater than : 1. Demonstrar o Gráfco Scree Plot, para auxlar na seleção do número de fatores.

22 Método de Rotação de Fatores: Botão Rotaton. Método: Varmax é mas utlzado Dsplay: Rotated soluton: Apresenta solução com a rotação realzada (fca mas evdente a composção dos fatores). Loadng Plot(s): Gráfcos Botão Scores. Permte gravar os escores para serem utlzados em outras técncas. Save as varables: Para utlzar dretamente em outras técncas Dsplay factor score coeffcent matrx: Os valores desta matrz, ao serem multplcados pelos valores orgnas das varáves, dão orgem aos ndcadores latentes, ou smplesmente escores fatoras.

23 Análse dos resultados SPSS: Estatístca Descrtva Análse dos resultados SPSS: Correlação (baxo índce...)

24 Análse dos resultados SPSS: Correlação (baxo índce...) Análse dos resultados SPSS: Estatístca KMO e teste de Bartlett Kaser-Meyer-Olkn: Valor entre 0 e 1, valores próxmos de zero ndcam que a análse pode não ser adequada. Teste de Bartlett: Verfca a hpótese da matrz de correlação ser a matrz dentdade, determnante gual a 1.

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26 Análse dos resultados SPSS: Comunaldades Representa a varânca total explcada pelos fatores em cada varável. Se a comunaldade for > 0,7 então a varável possu relação com os fatores, conforme apresentado na coluna Extracton. Análse dos resultados SPSS: Autovalores e % de varânca explcada pelos Fatores Um fator consegue explcar 6,71% da varânca dos dados orgnas. Dos fatores conseguem explcar 45,136 % da varânca dos dados orgnas.... Ses fatores conseguem explcas 83,85% da varânca dos dados orgnas.

27 Análse dos resultados SPSS: Scree Plot, corrobora com a retenção de 6 fatores. Análse dos resultados SPSS: Matrz das componentes, ou cargas fatoras Uma varável X pode ser escrta em termos dos fatores F, utlzando as cargas fatoras: X F + e = a1 F1 + a F + a3 F3 + K+ a6 6

28 Análse dos resultados SPSS: Cargas fatoras Rotaconadas Fator 1: ICOM, IDAD, ILPG Fator : ICAP, IEND, PRPL, IALI Fator 3: ILCO, ILGE Fator 4: ICOA, IRPL Fator 5: ISIN, ICOL Fator 6: IRPG, IIMR Com a matrz rotaconada cada varável se assoca mas pratcamente um fator, ou seja, para uma dada varável a carga fca maor e um dos fatores. Análse dos resultados SPSS: Com base nesta matrz podemos calcular, os Fatores para cada observação. Fj = b j1x1 + b j X + K+ b j15x15

29 Consderação sobre os fatores Fator 1: ICOM, IDAD, ILPG Fator : ICAP, IEND, PRPL, IALI Fator 3: ILCO, ILGE Fator 4: ICOA, IRPL Fator 5: ISIN, ICOL Fator 6: IRPG, IIMR Consderação sobre os fatores Fator 1: ICOM, IDAD, ILPG Fator : ICAP, IEND, PRPL, IALI Fator 3: ILCO, ILGE Fator 4: ICOA, IRPL Fator 5: ISIN, ICOL Fator 6: IRPG, IIMR Controle das despesas Operaconas Alavancagem Lqudez _

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