INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS

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1 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 ITRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS AS MEDIDAS DE GRADEAS FÍSICAS. Introdução.... Erros de observação: erros sstemátcos e erros fortutos ou acdentas Precsão e rgor Erro absoluto e erro relatvo Algarsmos sgnfcatvos Dstrbução de meddas Méda Artmétca e erro padrão na méda artmétca Méda artmétca smples e pesada Desvo padrão e varânca dos resultados de uma amostra e da méda artmétca Combnação de erros Ajuste de uma recta a dados epermentas Método dos mínmos desvos quadrados Ajuste a uma recta da forma y k Ajuste a uma recta da forma y a + b Avalação da qualdade do ajuste de uma recta aos dados epermentas teste do qu-quadrado...3 Bblografa...4 Departamento de Físca da FCTUC /4

2 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04. Introdução É um facto de observação corrente que, se repetrmos a medção de uma grandeza físca em condções supostas dêntcas, não obtemos sempre o mesmo resultado mas sm um conjunto de valores dferentes. Cada um destes valores consttu um valor meddo da referda grandeza. Como uma medção nunca é eacta, cada valor meddo representa uma apromação do valor verdadero. As meddas de massa, comprmento, tempo e de todas as grandezas dervadas como, por eemplo, volume e densdade, são nevtavelmente de precsão lmtada. estas condções, a crítca dos resultados obtdos numa eperênca é parte fundamental da própra eperênca. Ao realzar uma medção não basta ndcar o número que se obteve como resultado: é necessáro fazê-lo acompanhar de um outro que ndque em que medda o epermentador está confante no valor que apresenta. Por eemplo, ao medr-se a dstânca focal f de uma lente, o resultado fnal pode ser apresentado como f 56 ± mm. Sgnfca sto que, dadas as condções em que fo efectuada a medção, o epermentador consdera que a dstânca focal deverá ter um valor compreenddo entre 54 mm e 58 mm, sendo 56 mm o valor mas provável.. Erros de observação: erros sstemátcos e erros fortutos ou acdentas A preocupação fundamental do epermentador que realza uma medção é, naturalmente, a de tomar todas as precauções para reduzr os erros durante a eperênca. Apesar dsso, todas as medções são afectadas por um erro epermental devdo as nevtáves mperfeções nos aparelhos de medda ou às lmtações mpostas pelos nossos sentdos (vsão, audção, etc.) que regstam a nformação. Ao repetr váras vezes uma medção, verfca-se que os erros epermentas se agrupam em duas categoras: uns que se apresentam sempre no mesmo sentdo e outros que actuam ao acaso tanto num sentdo como no outro. Os prmeros desgnam-se por erros sstemátcos; os segundos, por erros acdentas ou fortutos. Suponhamos que medmos o período de um pêndulo com o auílo de um cronómetro e que repetmos váras vezes a medção. Os atrasos ou antecpações do epermentador ao lgar e deslgar o cronómetro, os erros na estmatva das dvsões da escala, as pequenas rregulardades no movmento do pêndulo, provocam varações nos resultados das sucessvas medções e podem ser consderados erros acdentas. Se não se manfestarem outros erros, algumas das meddas apresentam um valor elevado e outras um valor mas reduzdo. Mas se, além dsso, o cronómetro tver, por eemplo, tendênca para se atrasar, todos os resultados vrão reduzdos. Trata-se assm de um erro sstemátco. Relatvamente aos erros sstemátcos, mutas vezes dfíces de detectar, não este qualquer teora generalzada que permta o seu estudo. o entanto, e ao contráro dos erros acdentas, são, na maor parte dos casos, susceptíves de correcção, podendo mesmo ser elmnados. De facto, os cudados do Departamento de Físca da FCTUC /4

3 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 epermentador, o perfeto conhecmento das condções em que realza a eperênca e do método que está a segur, uma permanente desconfança dos aparelhos de medda e, sobretudo, uma larga prátca, permtem compensar ou evtar este tpo de erros. Os erros acdentas, dado a carácter aleatóro com que se apresentam, podem ser submetdos a um tratamento matemátco baseado na Teora das Probabldades. É deles que nos ocuparemos nos parágrafos que se seguem. Interessa salentar, porém, que a frontera entre erros sstemátcos e erros acdentas não é, por vezes, bem defnda e que, se há erros que faclmente podemos dentfcar como sstemátcos, outros estem que, estando lgados a ncertezas dfíces de esclarecer, tornam mpratcável dstngur se pertencem a uma ou a outra destas categoras. 3. Precsão e rgor Convém também dstngur os concetos de precsão e de rgor numa medda. Dremos que uma medção é feta com elevada precsão se os erros acdentas são pequenos (quando comparados com o valor da grandeza medda); dremos que uma medção é feta com elevado rgor (ou eactdão) se os erros sstemátcos são pequenos (quando comparados com o valor da grandeza medda). O termo precsão é usado para caracterzar a reprodutbldade dos resultados, ndcando o desvo em relação ao valor médo; eactdão é o termo que se utlza para eprmr o afastamento do valor médo relatvamente ao verdadero valor da grandeza. A precsão é tanto maor quanto mas próma do valor médo estver a medda; a eactdão é tanto maor quanto mas prómo do verdadero valor estver o valor médo. A precsão pode ser aumentada reduzndo os erros acdentas; a eactdão pode ser aumentada elmnando os erros sstemátcos e mnmzando os erros acdentas. 4. Erro absoluto e erro relatvo ote-se, também, que um erro, seja ele de que tpo for, pode ser epresso de duas maneras dferentes: o erro absoluto ou o erro relatvo. Chamamos erro absoluto de um resultado meddo ou calculado à dferença entre esse resultado e o valor verdadero da grandeza. Se desgnarmos por 0 o referdo resultado e por o valor verdadero da grandeza, o erro absoluto será: δ. Como é evdente, δ não é conhecdo, uma vez que não há manera de conhecer o verdadero valor,. Porém, como se verá, há casos em que é possível estmar um valor mámo para δ. 0 Chamamos erro relatvo ao valor do quocente entre o erro absoluto e o valor (meddo, calculado ou verdadero) da grandeza: Departamento de Físca da FCTUC 3/4

4 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 0 δ δ []. Analsando dmensonalmente as equações anterores, verfca-se que o erro absoluto se eprme nas undades da grandeza enquanto que o erro relatvo é uma grandeza admensonal. Estas duas formas de eprmr um erro dstnguem-se anda pela natureza das nformações que fornecem. Consdere-se o eemplo segunte: um erro de 5kg/cm na letura de uma pressão de 500kg/cm representa um erro absoluto de 5kg/cm ; se a pressão medda for 0kg/cm e o erro cometdo na letura tver sdo o mesmo, o erro absoluto será novamente de 5kg/cm. Pelo contráro, os erros 5 relatvos cometdos em cada um dos casos serão, respectvamente, e Ou seja, enquanto que o erro absoluto é ndependente do maor ou menor valor da grandeza a medr, o erro relatvo é largamente dependente desse valor, revelando a precsão da medda feta: um erro de cm na medda de uma dstânca de 00 m representa uma boa precsão, enquanto que o mesmo erro de cm na medda de uma dstânca de 0 cm revela uma fraca precsão. O erro relatvo eprme-se, por vezes, em termos de percentagem e defne, então, a chamada percentagem de erro ou erro percentual. o últmo eemplo apresentado, os erros relatvos percentuas seram, respectvamente % e 00 0% Algarsmos sgnfcatvos Suponhamos o caso de um voltímetro dgtal que permte leturas da tensão até à mlésma de volt. Então, o voltímetro dá pouca nformação sobre décmos mlésmos de volt, embora dê alguma. Se o verdadero valor da tensão for, por eemplo, V, o voltímetro ndcará (admtndo que ele está construído para fornecer o valor mas prómo da sua escala, ao que se chama arredondar para o valor mas prómo ). Se o verdadero valor fosse antes, por hpótese, V ele marcara de novo Em resumo, a ndcação corresponde a um valor compreenddo entre e Esta stuação é muto comum e convenconou-se que o últmo algarsmo ndca que o verdadero valor está num ntervalo de ampltude gual ao de uma undade dessa ordem ± mea undade da ordem segunte. Apresenta-se o resultado da medção como sendo em que os algarsmos [] Geralmente, como se desconhece o verdadero valor da grandeza medda, o erro relatvo é determnado através do quocente δ 0, onde δ corresponde a uma estmatva do erro na medda e 0 ao valor meddo. [ ] Pode também acontecer que o aparelho de medda não apresente uma letura arredondada para o valor mas prómo, lmtando-se a truncar o valor meddo de acordo com o número de dígtos do vsor. esse caso, devemos consderar o erro como sendo de ± undade no últmo algarsmo ldo. Departamento de Físca da FCTUC 4/4

5 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 tomam o nome de algarsmos sgnfcatvos. O últmo algarsmo tem um sgnfcado especal, como se vu no eemplo do voltímetro, pos ndca qual a ncerteza no valor meddo. Pode, por sso, ser um zero. Por eemplo, utlzando esta convenção tem 5 algarsmos sgnfcatvos e ndca que o verdadero valor está entre e Se o resultado é epresso por um número sem parte decmal, escreve-se em notação centífca e usa-se a convenção acma. Eemplo: com 3 algarsmos sgnfcatvos escreve-se Ao efectuar operações entre números devem também adoptar-se algumas regras para apresentação dos resultados. Vamos lustrar com eemplos. Seja o prmero multplcar 5.74 por 3.8 em que estes valores obedecem à convenção dos algarsmos sgnfcatvos. O produto dá.8 mas como o prmero factor ndca um valor qualquer compreenddo entre e e o segundo um valor entre 3.75 e 3.85, só podemos afrmar que o produto estará entre: e Se qusermos representar a produto dentro da convenção dos algarsmos sgnfcatvos devemos adoptar apenas o número. Evdentemente que, ao proceder assm, estamos a afrmar que o valor está entre.5 e.5 o que, sendo verdade, alarga porém a mprecsão. A vantagem está na smplfcação que advém da adopção neste caso de uma regra smples como a que se segue: Multplcação, dvsão e raz quadrada: o número total de algarsmos sgnfcatvos do resultado é o número total de algarsmos sgnfcatvos do factor que tver menor número deles. E: mas como 5.37 tem 3 algarsmos sgnfcatvos há que arredondar o resultado para 30. Adção e subtracção: o número de casas decmas sgnfcatvas do resultado é o da parcela que tver menor número delas. E: mas como.6 tem casa decmal sgnfcatva há que arredondar o resultado para Dstrbução de meddas Sabemos já que, em vrtude dos erros acdentas, se repetrmos a medção de uma mesma grandeza físca em condções supostas dêntcas obtemos um conjunto de resultados dferentes. Um processo gráfco para eprmr os dferentes resultados obtdos consste em desenhar um hstograma. Para construr um hstograma procede-se do segunte modo:. Marcam-se no eo das abcssas os valores mámo e mínmo das leturas obtdas;. Dvde-se o ntervalo assm obtdo num número convenente de sub-ntervalos guas; Departamento de Físca da FCTUC 5/4

6 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 3. Tendo por base cada um desses sub-ntervalos constroem-se rectângulos cujas alturas sejam proporconas ao número de leturas de valor compreenddo em cada sub-ntervalo. Suponhamos que um determnado comprmento é meddo 30 vezes. As sucessvas leturas obtdas,,,..., 30, estão representadas na Tabela I. Os valores mínmo e mámo dessas leturas são respectvamente, 99. e 3.0 mm. Pode, assm, traçar-se o hstograma para o ntervalo [99, 3]. Dvdndo este ntervalo em, por eemplo, sete sub-ntervalos, pode estabelecer-se a Tabela II. Tabela I 05. mm 03.6 mm mm mm mm mm mm mm mm mm 09.3 mm 05.9 mm mm mm mm mm mm mm mm mm 07.3mm 06.6mm mm mm mm mm 7 06.mm 8 03.mm mm mm Tabela II Intervalos º de leturas em cada ntervalo O hstograma correspondente a estes resultados vem representado na fg.. Departamento de Físca da FCTUC 6/4

7 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 º de leturas em cada ntervalo Comprmento/cm Fgura Imagnemos agora que contnuávamos a fazer medções até obter um número de leturas muto elevado. Esta colecção hpotétca de leturas tende, quando, para uma dstrbução e a lnha polgonal correspondente ao contorno do hstograma tende para uma curva contínua. O conjunto das leturas consttu uma amostra da dstrbução. Se o número for efectvamente muto elevado, podemos escolher ntervalos com largura muto pequena e ter anda um número aprecável de leturas em cada ntervalo. Se consderarmos ntervalos com largura nfntamente pequena d, o hstograma transforma-se numa curva contínua (fg. ) que representa o número de leturas que caem em cada ntervalo nfntesmal (, + d). f() Fgura Podemos defnr a função f(), conhecda por função de dstrbução, em que (após convenente normazação, f ( )d ), f()d representa a fracção das leturas que se stua no ntervalo de a +d. Por outras palavras, f()d é a probabdade de que uma únca letura se stue no ntervalo (, + d). Quando estas curvas são smétrcas relatvamente a uma recta paralela ao eo das ordenadas e que passa pelo seu mámo a méda da dstrbução concde com o valor mas provável da grandeza. A dstrbução normal ou de Gauss é um eemplo de uma dstrbução smétrca da mas Departamento de Físca da FCTUC 7/4

8 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 vasta aplcação em Físca. 7. Méda artmétca e erro padrão na méda artmétca 7. Méda artmétca smples e pesada Suponhamos que fazemos medções sucessvas de uma mesma grandeza físca e que estas medções foram efectuadas sem que se verfcasse qualquer erro sstemátco. Sejam,,..., as leturas obtdas. Em termos de probabldades, o valor mas provável da quantdade a medr é a méda artmétca das leturas obtdas, dada por: ( ). () Em outros casos há que etrar o valor mas provável a partr de um conjunto de meddas mas acontece que não se atrbu gual confança (ou peso) a todas elas. Isso não leva a desprezar as de menor confança pos contrbuem também com nformação válda sobre o verdadero valor. A méda pesada de um conjunto de resultados, cada um com peso ω é: ω ω. () 7. Desvo padrão e varânca dos resultados de uma amostra e da méda artmétca Resta esclarecer qual o erro que se comete ao tomar a méda artmétca como a melhor estmatva do valor verdadero [3]. Seja o valor verdadero da quantdade a medr e que evdentemente desconhecemos. O erro absoluto δ na letura de ordem é δ. Do mesmo modo, o erro δ na méda artmétca será δ. Porém, estas duas epressões pressupõem o conhecmento do valor verdadero. Um processo de tornear esta dfculdade consste em trabalhar em termos de desvos (ou resíduos). O desvo (ou [3] Repare-se que quantas mas vezes se repetr uma medda tanto maor é a probabldade de reduzr os efetos dos erros acdentas ao consderar a méda artmétca dos valores obtdos. Porém, por mas meddas que se façam não se consegue aumentar o número de algarsmos sgnfcatvos no resultado. O que obtemos é uma garanta de que o número obtdo está mas perto do verdadero valor da grandeza, o qual devemos de antemão renuncar a conhecer. Departamento de Físca da FCTUC 8/4

9 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 resíduo) da letura é defndo por quantdade que é já possível calcular. d, Admtndo que a amostra obtda com determnações consttu uma representação da dstrbução em causa (no caso de ), então os parâmetros da amostra consttuem estmatvas dos parâmetros da dstrbução. O desvo médo da amostra representa a méda artmétca dos valores absolutos dos desvos mas não pode ser utlzada pos dá sempre zero. Com efeto: d ( ) 0. Este resultado é devdo, evdentemente, às defnções correlaconadas de méda e desvo, conduzndo a que haja desvos postvos e negatvos cuja soma é nula. Isto sugere que em vez dos desvos usemos os seus módulos ou os seus quadrados, por eemplo. O desvo padrão [4] dos resultados é a méda quadrátca dos desvos, ou seja, é a raz quadrada do valor médo dos quadrados dos desvos:. (3) d A varânca dos resultados é o valor médo dos quadrados dos desvos. É, portanto, o quadrado do desvo padrão dos resultados: d. (4) Utlzam-se, também, o desvo padrão relatvo ou o desvo padrão percentual: % r (5) ou 00 (6), respectvamente. Desvo padrão e varânca da méda - A própra méda é uma varável aleatóra que está também [4] Em rgor, as equações (3) e (4) desgnam-se por desvo padrão ajustado e varânca ajustada, respectvamente. as epressões do desvo padrão e da varânca smples o denomnador é e não - como vem nas equações (3) e (4). Prova-se, contudo, que o desvo padrão ajustado e a varânca ajustada são parâmetros mas correctos quando o número de meddas epermentas não é muto grande. Departamento de Físca da FCTUC 9/4

10 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 sujeta a uma dstrbução de probabldade cuja varânca,, será tanto menor quanto maor for o número de determnações. Temos assm como desvo padrão da méda: m. (7) m 8. Combnação de erros Mutas vezes o resultado de uma eperênca depende de um certo número de quantdades meddas, cada uma das quas está afectada de um certo erro. Pretende-se saber como combnar esses erros, que admtmos ndependentes, de manera a obter o erro no resultado fnal. Por eemplo, poderemos medr a densdade d do materal que consttu uma peça paraleleppédca medndo a sua massa M e as dmensões a, b, e c da peça. A relação funconal entre a quantdade que pretendemos, d, e as quantdades prmáras M, a, b, e c é epressa por M d. a.b.c Como as quantdades prmáras são nevtavelmente meddas com um certo erro, nteressa-nos esclarecer de que manera esses erros ndvduas se propagam ao resultado d. Generalzando, desgnemos por a quantdade fnal e por A, B, C, etc. as quantdades prmáras. Suponhamos que cada uma destas quantdades prmáras fo medda váras vezes. Então, no caso de A teremos o melhor valor A e uma estmatva do respectva erro padrão A. Do mesmo modo teremos B e uma estmatva do erro padrão, e assm sucessvamente. Partmos do prncípo de B que as meddas das quantdades prmáras são ndependentes e, portanto, que os erros nelas cometdos são também ndependentes. Seja então a função (A, B, C,...) e seja A, pela epressão (fórmula de propagação dos erros): B, etc. o erro padrão em A, B, etc.. Demonstra-se que o erro padrão em é dado A B (8) A B ( ) Apresenta-se a segur uma tabela que ndca as epressões de para algumas das relações mas comuns entre e A, B, etc.: Departamento de Físca da FCTUC 0/4

11 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 Somas e Dferenças Função A + B +... A B +... Relação entre erros ( ) ( ) + ( ) +... A B Produto e quocente A.B A B A / B A + B Potêncas A n B m n A A + m B B Eemplo: Dada uma função a B, onde A e B são meddas ndependentes, pretende-se calcular a valor de e do seu erro padrão a partr dos seguntes valores de A e de B: Resolução: A 00 ± 3; B 45 ± O cálculo de é medato: basta consderar que Para calcular, recorrendo a epressão geral, A B e então ( ) A A + B B e como A e B vem 5. O resultado fnal será pos 0 ± 5. Este resultado presta-se a algumas consderações. Verfcamos assm que, embora os valores das quantdades A e B estejam afectados de um erro relatvamente bao (< 5%), o mesmo não acontece para o resultado fnal, onde o erro padrão é quase tão elevado como o própro valor de (erro relatvo 50%). Este eemplo ndca que, se pretendermos que o erro padrão no resultado fnal não eceda um valor prefado temos de, utlzando a fórmula de propagação dos erros, determnar quas os lmtes superores do erro a admtr em cada uma das quantdades prmáras. O processo de medda duma (ou mas) dessas quantdades poderá ser crucal para que o erro fnal possa estar dentro dos lmtes pretenddos. Departamento de Físca da FCTUC /4

12 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 9. Ajuste de uma recta a dados epermentas método dos mínmos desvos quadrados O melhor valor de uma grandeza é aquele que torna mínma a soma dos quadrados dos desvos. Aplcação deste prncípo ao ajuste de uma recta aos dados epermentas Lmtaremos o nosso estudo ao caso em que são uncamente duas as grandezas relaconadas entre s. Contudo, os concetos fundamentas envolvdos generalzam-se para o caso de váras grandezas. Sejam meddos pares de valores epermentas (também chamados pontos epermentas ): (, y ),,, As meddas y podem ser realzadas de modo a que seja conhecdo o desvo padrão assocado a cada valor y. Quando os pares de pontos (, y ) são marcados num gráfco, os erros em y são representados sob a forma de segmentos vertcas (barras de erro) centrados nos pontos epermentas e de comprmento [5]. as epressões que se seguem consderaremos que todos os y vêm afectados do mesmo desvo padrão. 9. Ajuste a uma recta da forma y k Admta-se que a relação entre as grandezas e y é da forma y k. Se as meddas não vessem afectadas de erro bastara achar um par de valores (, y ) para se obter logo k. a realdade, os valores meddos têm erros e torna-se necessáro melhorar a precsão aumentando a nformação dsponível medante a obtenção de mas pares (, y ). Determnação do parâmetro k: k y (9) Desvo padrão do parâmetro k:. (0) k Desvo padrão () das meddas y (admtndo que o desvo padrão de todos os y é o mesmo, como se referu). () ( y k ) [5] a verdade, também os valores podem vr afectados de erros e, nesse caso, também traçaríamos barras horzontas centrados nos mesmos pontos epermentas. Consderaremos que os erros em são desprezáves em face dos erros em y. Departamento de Físca da FCTUC /4

13 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 Departamento de Físca da FCTUC 3/4 9. Ajuste a uma recta da forma y a + b Determnação dos parâmetros a e b: y y a () y y b. (3) Desvo padrão dos parâmetros a e b: a (4) b, (5) onde Desvo padrão dos valores de y: ( ) [ ] + b a y. (4) 0. Avalação da qualdade do ajuste de uma recta aos dados epermentas teste do qu-quadrado Trata-se de arranjar um número cujo valor permta estabelecer juízos padronzados sobre a qualdade do ajustamento da recta aos dados epermentas. Esse número denomna-se qu-

14 Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 quadrado, χ, e é dado por: [ y( ] y χ, (7) ) onde y( ) são os valores de y obtdos a partr do ajuste da recta y a + b aos pares de valores (, y ) e são os desvos padrão nos valores meddos y. o entanto, um dado valor de χ, por s só, não ndca se se trata de um bom ou mau ajuste. Esta ndcação é fornecda pelo qu-quadrado normalzado, χ n, ou seja, pelo quocente entre o χ e o nº de graus de lberdade (este corresponde ao número de pares de pontos epermentas menos o número de parâmetros de ajuste (no caso da recta, os parâmetros a e b)). Um bom ajuste caracterza-se por um valor de a qualdade do ajuste. χ n muto prómo de. Quanto mas χ n se afaste de, por será Bblografa -. Ayres de Campos, Introdução à Análse de Dados, Combra, Departamento de Físca da Unversdade (995/996). - P.R. Bevngton e D.K. Robnson, Data reducton and error analyss for the physcal scences, ª edção, WCB/McGraw-Hll (99). Departamento de Físca da FCTUC 4/4

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