METROLOGIA E ENSAIOS

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1 METROLOGIA E ENSAIOS Incerteza de Medção Prof. Aleandre Pedott

2 Freqüênca de ocorrênca Incerteza da Medção Dstrbução de freqüênca das meddas Erro Sstemátco (Tendênca) Erro de Repettvdade (Aleatoredade) Erro Total combnado X verdadero (VV) X m

3 Incerteza da Medção A ncerteza está relaconada a um valor de medção e não ao valor verdadero do mensurando. O resultado da medção é apenas a melhor estmatva do valor verdadero, que na ausênca de efetos sstemátcos, é obtdo pela méda artmétca de N medções repetdas do mesmo mensurando. Caracterza uma faa de dspersão ou ntervalo e não um valor pontual. Não deve ser confundda com um erro.

4 Incerteza da Medção É a dúvda remanescente assocada ao resultado da medção. Mede o grau de desconhecmento sobre aqulo que está sendo meddo. É um ntervalo de valores que podem ser atrbuídos fundamentadamente ao mensurando, de forma fundamentada e realsta, não devendo ser entendda como uma faa de segurança.

5 Incerteza da Medção É a faa de valores dentro da qual deve se stuar o valor verdadero do mensurando. RM = (RB ± IM) undade Assocado a um valor probablístco Resultado base é a estmatva do valor do mensurando que, acredta-se, mas se aprome do seu valor verdadero. Incerteza da medção é o tamanho da faa smétrca, e centrada em torno do resultado base, que delmta a faa onde se stuam as dúvdas assocadas à medção.

6 Termos e Defnções Incerteza de medção: parâmetro assocado ao resultado de uma medção, que caracterza a dspersão dos valores que podem ser razoavelmente atrbuídos ao mensurando. Incerteza padrão: ncerteza do resultado de uma medção epressa como um desvo padrão. Incerteza padrão combnada: ncerteza padrão do resultado de uma medção, quando este resultado é obtdo por meo dos valores de váras outras grandezas, sendo gual a raz quadrada postva de uma soma de termos, que consttuem as varâncas e covarâncas destas outras grandezas, ponderadas de acordo com quanto o resultado da medção vara com mudanças nestas grandezas.

7 Importânca Na calbração de equpamentos: nstrumentos e padrões, para verfcar se os mesmos encontram-se dentro das tolerâncas defndas. Em ensaos: para verfcar se o resultado do ensao pode ser aprovado ou não. Metrologa legal: para verfcar a conformdade de resultados de medções com lmtes de tolerâncas legas. Na tomada de decsão: reduzr o rsco de erro de aprovar ou rejetar uma amostra. Pode ser um dferencal compettvo entre laboratóros.

8 Epressão da Incerteza de Medção ISO GUM Gude to Epresson of Uncertanty n Measurement Monte Carlo Smulação Integração Numérca

9 Semnáros Grupo Tema Fatores / Meddas 1 Ensao Clmátco (Temperatura, umdade) 2 Calbração Relógo Comparador 3 Calbração Vbração 4 Ensao Resstênca Mecânca Escolher uma característca de qualdade de um produto. Apresentação da: 24/10/2012

10 Epressão da Incerteza de Medção ISO GUM 1 Defnr o modelo matemátco da medção 2 Identfcar as componentes da Incerteza 3 Estmar as ncertezas padrão 4 Calcular os coefcentes de sensbldade 5 Avalar a estênca de correlação 6 Calcular a ncerteza combnada 7 Calcular a ncerteza epandda 8 Corrgr o resultado da medção

11 Planlha de Incerteza Grandeza Estmatva (méda) Dstrbução de Probabldade Incerteza Padrão Coefcente de Sensbldade GDL X 1 1 u( 1 ) C 1 n 1 X 2 2 u( 2 ) C 2 n 2 X N N u( N ) C 3 n N Incerteza Combnada Fator de Abrangênca Incerteza Epandda u C (y) k P U

12 Modelo Matemátco 1 y = f( 1, 2,..., N ) Y é a grandeza do mensurando X são as grandezas que nfluencam a medção de Y. Modelo para calbração: E = I VV A ncerteza está assocada ao mensurando (I) e ao padrão (VV). Modelo para ensao: s = f(f, A) = F / A A ncerteza está assocada a medção da força F e da área da seção transversal A.

13 Componentes de Incerteza 2 São ncertezas assocadas a: Condções ambentas; avalador; Equpamentos; padrões; Método de medção; amostragem. As componentes devem aparecer no modelo. Dagrama de Causa e Efeto das componentes.

14 Componentes de Incerteza 2 EM Padrão de referênca - Desvo padrão da - IM na calbração do BP sére de medções - Efeto da nterpolação - Erro do BP - Efeto da Resolução - Resolução Paralelsmo - Fontes de ncerteza na calbração de mcrômetro analógco - Afastamento da temperatura de referênca Efetos geométrcos - Dferença de temperatura entre BP e EM Temperatura

15 Fontes de Incerteza 2 Desvo padrão da méda de medções repetdas. Incerteza da calbração do padrão ncerteza herdada. Derva (establdade) dos padrões: a varação do padrão no ntervalo entre suas duas últmas calbrações. Incerteza do fator de correção para erros sstemátcos do padrão. Erro mámo admssível para o padrão. Efeto da resolução fnta de letura dos equpamentos. Efeto das condções ambentas (desvo de temperatura). Hsterese: a ndcação de alguns equpamentos pode varar quando as medções são realzadas no sentdo ascendente ou descendente méda do avanço méda do retorno.

16 Estmatvas da Incerteza Padrão 3 O cálculo da ncerteza segue a Le da propagação das Incertezas. A ncerteza de cada componente do ensao ou calbração é propagada para a obtenção da ncerteza fnal da medção através de uma epansão de Sére de Taylor, truncada geralmente em prmera ordem. Supõe-se, para a aplcabldade do Teorema do Lmte Central, que a medção e a sua respectva ncerteza possuem uma função densdade de probabldade (FDP) normal, ou t- Student para pequenas amostras. Pressupõem-se observações dêntca e ndependentemente dstrbuídas, com médas e varâncas constantes. A establdade do sstema de medção deve ser assegurada.

17 Estmatvas da Incerteza Padrão 3 As ncertezas assocadas a cada componente devem ser determnadas. Tpo A A ncerteza padrão é epressa como um desvo padrão da dstrbução de valores meddos. Tpo B A ncerteza padrão é epressa como um desvo padrão, a partr de outro meos de obtenção: Eperênca ou conhecmento geral do comportamento e propredades de materas relevantes e nstrumentos; Dados fornecdos em certfcados de calbrações e outros certfcados; Dados de medções anterores; Valores acetos de constantes assocadas com materas e grandezas; Especfcações de fabrcantes.

18 Estmatvas da Incerteza Padrão 3 u s Dvsor A ncerteza padrão depende da dstrbução de dados da componente de varação. Tpo de avalação Tpo A Tpo B Componente de ncerteza Dstrbução de probabldade Dvsor GDL Desvo padrão epermental t-student n n - 1 Desvo padrão de R&R Normal 1 n - 1 Desvo padrão de CC Normal 1 n - 1 Erros Retangular 3 nfntos Resolução Retangular 2 3 nfntos Incertezas herdadas t-student k n eff Outras Trangular 6 nfntos Outras Bmodal 2 nfntos

19 Estmatvas da Incerteza Padrão 3 Fonte: Rede Metrológca RS

20 Estmatvas da Incerteza Padrão 3 Estmatva obtda a partr da especfcação, manuas e catálogos do fabrcante, ou do certfcado de calbração. O certfcado de calbração de um padrão de aço nodável, de massa m = 1000,000325g, ndca uma ncerteza de 240mg, para um nível de confança com k = 3. A ncerteza padrão da massa padrão é dada por: (Dstrbução Normal) 240mg u( m) 3 80mg

21 Estmatvas da Incerteza Padrão 3 Certfcado de calbração de um resstor padrão R S Valor nomnal: 10W Valor estmado: 10,000742W (23ºC) Incerteza de medção: 129mW a nível de confança de 99% A ncerteza padrão da massa padrão é dada por: 129mW 129mW u( RS ) 50mW k 2,58

22 Estmatvas da Incerteza Padrão 3 Estmatva feta a partr da ampltude de varação: lmtes nferor e superor lmtes smétrcos (-a, +a). -a 0 +a O manual do fabrcante estabelece que o valor do coefcente lnear de epansão térmca de um bloco padrão de aço é O erro mámo é: Dstrbução Retangular u( ) S C 1 1, C 1

23 Componentes de Incerteza - Eercíco Eercíco: Consdere a calbração de um voltímetro dgtal por comparação. Códgo: VO341 / Sére: 006-C. Descrção: voltímetro dgtal. Menor Dv: 1mV Undade: mv Faa de letura: 0 a 200mV Temperatura ambente: 20 ±3ºC. Padrão de referênca: multímetro dgtal HP Resolução: 0,01mV Incerteza epandda U = ± 0,001% com k = 2 (em relação ao fundo de escala). Drft (nstabldade) = ± 0,002mV Faa de letura: 0 a 200mV. Resultados: A bancada fo ajustada com o voltímetro dgtal (a ser calbrado) e as leturas foram realzadas com o padrão. Tabela de valores meddos dada.

24 Componentes de Incerteza - Calbração Eercíco: Ponto Fonte Estmatva Tpo Dstrbução Dvsor Incerteza GL

25 Coefcentes de Sensbldade 4 Os coefcentes de sensbldade são fatores de conversão de undades de medda. C y Regra 1: Se o modelo matemátco da medção for uma soma de N varáves, os coefcentes de sensbldade serão todos guas a um. Caso haja subtração, o snal do coefcente será negatvo. Eemplo: Se o modelo é dado por E = I VV, então: C I = 1 e C VV = -1

26 Coefcentes de Sensbldade 4 Regra 2: Se o modelo matemátco da medção for apenas um produto de N varáves, os coefcentes de sensbldade serão guas a ( y / ). Note que aqu não é utlzado o valor de ncerteza da varável, mas sm, a melhor estmatva do valor da varável em s. A dvsão segue a mesma regra. Eemplo: s F A C s 1 1 C F A s F 2 F A A A

27 Correlações entre as Componentes 5 A correlação este quando duas grandezas de entrada, X e X j, apresentam uma relação de dependênca entre elas ou com uma tercera grandeza de entrada comum a ambas. Eemplo: quando duas grandezas de entrada são meddas com um mesmo equpamento. O coefcente de correlação, r(, j ), mede o grau de correlação lnear entre duas varáves (vara de -1 a 1). No eemplo dado, r(, j ) = 1. r(, j ) s( s(, j ) s( ) j )

28 Correlações entre as Componentes 5 Efetos de correlação podem reduzr a ncerteza combnada, se r(,j) < 0. Efetos de correlação podem aumentar a ncerteza combnada, se r(,j) > 0. r(, j ) s( s( ) s( Onde s( ) é o desvo padrão assocado a, s( j ) é o desvo padrão assocado a j e s(, j ) é a covarânca assocada a e j, obtdos através dos dados das n medções repetdas de e j., j ) j )

29 Eemplo Calbração de um voltímetro dgtal (Por comparação) Descrção do voltímetro a calbrar - Resolução: 0,1mV - Faa de letura: 0 a 100mV Descrção do padrão de referênca Incerteza Epandda: ±0,001% (k=2) - Certfcado Resolução: 0,01mV Drft (nstabldade): 0,002mV - Certfcado Faa de Letura: 0 a 100mV

30 Valores Meddos VVC (mv) Leturas ,09 25,11 25,08 25,07 25, ,07 50,05 50,06 50,04 50, ,11 75,12 75,1 75,11 75, ,15 100,14 100,17 100,16 100,14

31 Fontes de Incerteza 1. Modelo Matemátco Desvo (d) = letura do Voltímetro letura do Padrão 2. Fontes de Incerteza Grandeza Repettvdade (Δt) Resolução do Voltímetro Resolução do Padrão Incerteza do Padrão Drft do Padrão Tpo A B B B B d t Res(pad) Res(volt) U(pad) Drft

32 Incertezas Padrão Grandeza Tpo Dstrbução Dvsor Repettvdade (Δt) A Normal 1 Resolução do Voltímetro B Retangular Resolução do Padrão B Retangular Incerteza do Padrão B t-student k = 2 Drft do Padrão B Retangular 2 3

33 Estmatvas da Incerteza Padrão u s Dvsor A ncerteza padrão depende da dstrbução de dados da componente de varação. Tpo de avalação Tpo A Tpo B Componente de ncerteza Dstrbução de probabldade Dvsor GDL Desvo padrão epermental t-student n n - 1 Desvo padrão de R&R Normal 1 n - 1 Desvo padrão de CC Normal 1 n - 1 Erros Retangular 3 nfntos Resolução Retangular 2 3 nfntos Incertezas herdadas t-student k n eff Outras Trangular 6 nfntos Outras Bmodal 2 nfntos

34 Incertezas Padrão Desvo padrão de R&R (Repettvdade) Desvo padrão epermental (S). S X s n Consderando o valor de referênca para 50mV t s n 0, ,0051 u t t 1 0,0051

35 Incertezas Padrão Grandeza Dstrb Dvsor Incerteza Padrão Repettvdade (Δt) (A) Resolução do Voltímetro (B) Resolução do Padrão (B) Incerteza do Padrão (B) Drft do Padrão (B) Normal 1 Retangular Retangular t-student k = 2 Retangular U k u Drft u u u t ResV ResP t 1 0,0051 0,1 0, ,01 0, ,001% 0, ,002 0,

36 Coefcentes de Sensbldade d t Res(pad) Res(volt) U(pad) Drft C t d t 1 Grandeza Coefcentes Repettvdade (Δt) 1 Resolução do Voltímetro 1 Resolução do Padrão 1 Incerteza do Padrão 1 Drft do Padrão 1

37 Correlações entre as Componentes No eemplo dado as varáves são consderadas como ndependentes. Então o coefcente de correlação é nulo. 0 ) ( ) ( ), ( ), ( j j j s s s r Y Y X X N s N j ), ( 5

38 Incerteza Combnada 6 É necessáro combnar as componentes de ncerteza da mesma manera a fm de prover um únco valor de ncerteza. Quando não houver correlação entre as grandezas de entrada, a ncerteza combnada é dada pela multplcação da estmatva de cada ncerteza padrão pelo seu respectvo coefcente de sensbldade. 2 n 2 f 2 c 1 u ( y) u ( ) Z Z Z Z ( X ) ( X )... ( X ) X X X n 1 2 n

39 Incerteza Combnada Quando houver correlação entre as grandezas de entrada, a ncerteza combnada é dada por: 6 j j N N j j N C r u C C u u C u,

40 Incerteza Combnada 6 No eemplo: u C 0, , , , , u C 0, ,0295

41 Incerteza de Epandda 7 Através do Teorema do Lmte Central, assume-se que a dstrbução de probabldade da grandeza do mensurando (Y) será normal, para um grau de lberdade neff. Pressupostos: As contrbuções das ncertezas combnadas tem a mesma ordem de grandeza. As dstrbuções de probabldade assocadas às contrbuções de ncerteza se assemelhem da dstrbução normal.

42 Incerteza de Epandda 7 O ntervalo de ± um desvo padrão ao redor da estmatva do mensurando corresponde a uma probabldade de abrangênca de apromadamente 68%. Para aumentar tal probabldade de abrangênca, deve-se multplcar a ncerteza combnada pelo fator de abrangênca k.

43 Incerteza de Epandda 7 O resultado da combnação é denomnado de ncerteza epandda U, dada por: U k P u C Incerteza Combnada Fator de Abrangênca Incerteza Epandda u C (y) k P U Onde k P é defndo para uma determnada probabldade de abrangênca. Para uma dstrbução normal e uma probabldade de abrangênca de 95,45%, k = 2.

44 Fator de Abrangênca 7 Em estudos com poucas repetções (N<30) é recomendável assumr a dstrbução da amostra como t-student. Neste caso, k P dependerá também do número efetvo de graus de lberdade neff. O número de graus de lberdade é dretamente proporconal a confabldade da contrbução para a ncerteza. O Método ISO GUM recomenda o cálculo de neff através da equação de Welch-Satterthwate: n eff N 4 uc ( y) 4 u ( n )

45 Fator de Abrangênca 7 n eff k 95,45% n eff k 95,45% 1 13, ,18 Em geral, neff não será ntero. Deve-se arredondar ou truncar o número para o valor ntero mas prómo. Localzar neff na tabela e determnar k P. 2 4, ,17 3 3, ,16 4 2, ,15 5 2, ,14 6 2, ,13 7 2, ,11 8 2, ,09 9 2, , , , , , , , , , ,20 acma de 100 2,00

46 Fator de Abrangênca 7 No eemplo do voltímetro, o cálculo de neff será: Grandeza Incerteza Padrão GDL Repettvdade (Δt) (A) 0,0509 N-1=4 Resolução do Voltímetro (B) 0,0289 Resolução do Padrão (B) 0,0029 Incerteza do Padrão (B) 0,0005 Drft do Padrão (B) 0,0011 n eff 4 4 (0,0051) ,0289 0,0029 0,0005 0,0011 (0,0295) 4

47 Fator de Abrangênca 7 No eemplo do voltímetro, o cálculo de neff será: n eff (0,0295) (0,0051) Localzar neff na tabela e determnar k P. 4 4 k P 2 As contrbuções das ncertezas devem ter a mesma ordem de grandeza.

48 Fator de Abrangênca 7 Fnalmente, a ncerteza epandda será: U k u P C 20,0295 0, O resultado da ncerteza epandda deve ser epresso no mámo com dos algarsmos sgnfcatvos. O valor do resultado da medção deve ser arredondado para o mesmo número de casas decmas do valor da ncerteza epandda. RM = 50,056 ± 0,059mV

49 Planlha de Cálculo da Incerteza da Medção Característcas do Equpamento Resolução: Faa de Indcação: Undade da Grandeza Nomnal 1 Característcas do Padrão Valor Certfcado U k Veff 100 Referênca Leturas em () Méda Letura 1 Letura 2 Letura 3 Letura 4 Letura 5 Geral Tendênca Desvo Padrão Cálculo da Incerteza da Medção Refer. Componentes da Incerteza da Medção Repettvdade Fonte 2 Fonte 3 Fonte 4... Incerteza padrão Combnada neff Incerteza k Padrão (95,45%) Epandda U 1 100

50 Atvdade 2 Calbração de um Ohmímetro dgtal (Por comparação) Descrção do ohmímetro a calbrar - Resolução: 0,01W - Faa de letura: 0 a 10000W Descrção do padrão de referênca Incerteza Epandda: ±0,0001% (k=2) - Certfcado Resolução: 0,001W Drft (nstabldade): 0,002W - Certfcado Faa de Letura: 0 a 10000W

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