FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA OCEÂNICA

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1 FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA OCEÂNICA UM MODELO DE ELEMENTOS FINITOS PARA A ANÁLISE ACOPLADA DE PROBLEMAS DE ADENSAMENTO COM SIMETRIA AXIAL MAICON SOARES MOREIRA Dssertação apresentada à Comssão de Curso de Pós- Graduação em Engenhara Oceânca da Fundação Unversdade Federal do Ro Grande, como requsto parcal à obtenção do título de Mestre em Engenhara Oceânca. Orentador: Prof. Dr. Cláudo Renato Rodrgues Das Co-orentador: Prof. Waldr Terra Pnto, PhD Ro Grande, feverero de 2005.

2 Aos meus pas Valter e Mara.

3 AGRADECIMENTOS Aos meus pas Valter e Mara por jamas dexarem de me apoar, de acredtar e por jamas me dexarem desstr dante das dfculdades. Ao Professor Cláudo Das pela orentação e pela confança depostada em meu trabalho. Ao Professor Waldr Terra Pnto pela orentação, tempo dspensado, apoo e ncentvo desde a época de graduação até os das de hoje e por sempre acredtar no meu trabalho. Ao Professor Cézar Bastos por ter ceddo dados de ensaos de adensamento que foram mportantes no teste do modelo. Ao amgo Tago Xaver. Ao CNPq pelo apoo fnancero.

4 RESUMO Este trabalho apresenta um modelo de elementos fntos para a análse de deformação e adensamento de macços de solo sob condções de smetra axal. O ponto de partda são as equações dferencas de governo que são resolvdas utlzando o método dos elementos fntos baseado no método dos resíduos ponderados adotando a formulação de Galerkn. As equações de governo são ntegradas sobre um domíno composto de elementos fntos quadrlateras com quatro nós e produzem um sstema de equações algébrcas em função dos deslocamentos e da poropressão. As equações de cada um dos elementos são somadas no sentdo de obter um sstema global de equações. Resolver este sstema leva à solução do problema. A valdação ocorre a partr da comparação com resultados de soluções analítcas baseadas na teora da elastcdade, teora do adensamento e ensaos de laboratóro. Os resultados foram consderados satsfatóros e mostram dferenças que podem ocorrer em vrtude das smplfcações consderadas no modelo. Palavras-chave: adensamento, método dos elementos fntos, deformação, ensao oedométrco, smetra axal.

5 ABSTRACT Ths work presents a fnte element model for the analyss of sol stran and consoldaton under axssymetrc condtons. The startng pont are the governng dfferental equatons whch are solved by usng the fnte element method based on the weghted resdual method adoptng Galerkn s formulaton. The governng equatons are ntegrated over a doman composed of quadrlateral fnte elements wth four nodes and yeld a set of algebrac equatons n functon of the dsplacement and of the pore pressure. The equatons for each one of the elements are added n order to obtan a global system of equatons. The solvng of ths system leads to the soluton of the problem. The valdaton occurs through comparson wth results of analytcal solutons based on the elastcty theory, consoldaton theory and laboratory tests. The results were satsfactory and show dfferences that may happen due to the smplfcatons taken n account n the model. Keywords: consoldaton, fnte element method, stran, oedometer test, axssymetry.

6 SUMÁRIO LISTA DE SÍMBOLOS... 9 LISTA DE TABELAS... 5 LISTA DE FIGURAS INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA INTRODUÇÃO CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE SOLOS ADENSAMENTO TEORIAS DE ADENSAMENTO Formulação acoplada do adensamento Adensamento bdmensonal e trdmensonal Teoras de adensamento com deformações nfntesmas Teoras de adensamento com deformações fntas ENSAIOS DE LABORATÓRIO Ensao de compressão e adensamento undmensonal (oedométrco) PARÂMETROS DE POROPRESSÃO Evolução da pressão neutra no ensao oedométrco OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS PARA COMPRESSÃO ISOTRÓPICA E COMPRESSÃO TRIAXIAL Parâmetro para carregamento de compressão sotrópca Poropressão gerada por tensão unaxal Poropressão causada por tensão traxal Poropressão causada no estado plano de tensões Deformação plana com tensão unaxal FORMULAÇÃO INTRODUÇÃO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA PROBLEMAS COM SIMETRIA AXIAL Prncípo da tensão efetva Relação consttutva do solo Le de Darcy Relação deformação versus deslocamento Relação entre o gradente hdráulco e o excesso de poropressão Determnação da deformação volumétrca FORMULAÇÃO PELO MÉTODO DOS RESÍDUOS PONDERADOS INTEGRAÇÃO NO TEMPO FORMULAÇÃO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Elemento para ntegração INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Quadratura de Newton-Cotes Quadratura de Gauss-Legendre Elementos soparamétrcos... 58

7 4. IMPLEMENTAÇÃO DO PROGRAMA INTRODUÇÃO PRÉ-PROCESSADOR Letura de dados Geração da malha Aplcação das forças nos nós Aplcação das condções de contorno e condções ncas PROCESSADOR PÓS-PROCESSADOR Determnação das deformações Determnação das tensões Determnação das tensões prncpas Suavzação das deformações e das tensões SIMULAÇÕES E ANÁLISES INTRODUÇÃO VALIDAÇÃO DE RESULTADOS PARA DEFORMAÇÃO PLANA VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS PARA ADENSAMENTO UNIDIMENSIONAL SIMULAÇÃO DE RESULTADO PARA ADENSAMENTO BIDIMENSIONAL VALIDAÇÃO DE RESULTADOS PARA UM ENSAIO OEDOMÉTRICO CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ANEXOS ANEXO A REPRESENTAÇÃO DAS ETAPAS DO PROGRAMA REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIBLIOGRAFIA... 92

8 LISTA DE SÍMBOLOS Caracteres arábcos maúsculos A A j B B B C C C c C w D D E E 2 parâmetro de poropressão matrz componente da matrz de rgdez do elemento matrz que relacona deformação e deslocamento parâmetro de poropressão largura da faxa carregada parâmetro de poropressão matrz consttutva compressbldade do esqueleto sóldo na dreção compressbldade do fludo matrz componente do cálculo do gradente de pressão parâmetro de poropressão módulo de Young na dreção x módulo de Young na dreção y E oed módulo de elastcdade oedométrco F ˆF F0 F vetor de forças ntegrando transformado para o sstema de coordenadas naturas condção ncal de força elementos do vetor de forças correspondentes às cargas externas F 2 elementos do vetor de forças correspondentes às cargas externas F( x ) curva representatva de uma função F x F y G G 2 H d função relaconada à condção de contorno de força em x função relaconada à condção de contorno de força em y matrz componente do cálculo das equações de governo módulo de elastcdade transversal na dreção y altura drenante

9 N N N NL P P T U0 V 0 V es V j V v W W matrz componente do cálculo das equações de governo função de nterpolação ou de forma função de nterpolação ou de forma número de graus de lberdade lvres vetor de poropressões função relaconada à condção de contorno de poropressão fator tempo condção ncal de deslocamento volume ncal volume do esqueleto sóldo volume do elemento j volume de vazos funções de ponderação do erro funções de ponderação do erro Caracteres arábcos mnúsculos c v coefcente de adensamento d profunddade medda a partr da superfíce freátca e vetor untáro na dreção e 2 vetor untáro na dreção 2 f c valores conhecdos das forças f d f el f g f h h h p valores desconhecdos das forças vetor de forças do elemento vetor de forças global força de superfíce ou de massa na dreção carga hdráulca total dstânca entre os pontos de ntegração nas quadraturas carga pezométrca

10 k k k 2 k 3 k 4 k g k coefcente de permeabldade matrz componente da matrz de rgdez do elemento matrz componente da matrz de rgdez do elemento matrz componente da matrz de rgdez do elemento matrz componente da matrz de rgdez do elemento matrz de rgdez global matrz obtda para cada ponto de Gauss k el soma das matrzes k para cada elemento k j k el k w m m m v n n n n x n y p p k p partções da matrz k g matrz de rgdez do elemento matrz de permeabldade do solo relação entre G 2 e E2 vetor equvalente ao delta de Kronecker coefcente de compressbldade relação entre E e E2 porosdade do solo número de pontos de ntegração das quadraturas componente do vetor normal na dreção x componente do vetor normal na dreção y poropressão função aproxmada do excesso de poro pressão poropressão no tempo t k p + poropressão no tempo t+ t p p q r r () excesso de poropressão nodal t coefcente a determnar correspondente à varável dependente p carga dstrbuída coordenada natural pontos de ntegração, em coordenadas naturas s coordenada natural

11 syy t u u c u d u el tensão efetva vertcal na representação usada na saída para o TECPLOT tempo função aproxmada do deslocamento na dreção radal deslocamentos conhecdos deslocamentos desconhecdos. vetor de deslocamentos do elemento u g u () vetor de deslocamentos global t coefcente a determnar correspondente à varável dependente u k u deslocamento no tempo t k u + deslocamento no tempo t+ t u componente do deslocamento nodal na dreção x u L representação matrcal do vetor de deslocamentos e poropressões v v v () velocdade do fludo nterstcal função aproxmada do deslocamento na dreção vertcal componente do deslocamento nodal na dreção y v t coefcente a determnar correspondente à varável dependente v v j x x x j y z z componente da velocdade na dreção j dreção ou coordenada horzontal ou radal pontos de ntegração das quadraturas representação de dreção em notação ndcal dreção ou coordenada vertcal dreção do sstema cartesano ortogonal carga de posção Caracteres gregos maúsculos Γ Ω varação contorno do domíno Ω domíno de ntegração

12 Caracteres gregos mnúsculos α ε ε v coefcentes de ponderação das quadraturas vetor de deformações deformação volumétrca j ε y deformação vertcal calculada no nó do elemento j antes da suavzação γ w ϕ ϕ 2 ν ν 2 θ θ p σ ' σ σ σ 3 σ ' σ σ x σ y τ j peso específco do fludo nterstcal. coefcente das equações para obtenção da matrz de rgdez do elemento coefcente das equações para obtenção da matrz de rgdez do elemento coefcente de Posson na dreção x coefcente de Posson na dreção y coordenada crcunferencal ângulo das tensões prncpas vetor de tensões totas vetor de tensões efetvas tensão prncpal maor tensão prncpal menor tensão normal na dreção tensão normal efetva na dreção tensão normal na dreção x tensão normal na dreção y representação ndcal de tensão. Índces guas ndcam tensão normal e índces dferentes ndcam tensão de csalhamento τ xy tensão csalhante em xy ζ valor utlzado para ntegração no tempo

13 Caracteres especas dervada parcal gradente

14 LISTA DE TABELAS Tabela 3. Coefcentes da equação (3.75) Tabela 3.2 Coefcentes de ponderação de Newton-Cotes Tabela 3.3 Coefcentes de ponderação de Gauss-Legendre Tabela 3.4 Aplcação em duas dmensões Tabela 3.5 Funções de nterpolação de elementos soparamétrcos contendo de quatro a oto nós Tabela 5. Dados do ensao... 76

15 LISTA DE FIGURAS Fgura 2. Esquema da aparelhagem para o ensao oedométrco... Fgura 2.2 Excesso de poropressão em uma camada arglosa... Fgura 2.3 Excesso de poropressão na condção não drenada... Fgura 2.4 Compressbldade do esqueleto sóldo e da água... Fgura 2.5 Elemento sujeto a um carregamento trdmensonal sotrópco... Fgura 2.6 Elemento sujeto à compressão unaxal e curvas de expansão... Fgura 2.7 Elemento sujeto a carregamento traxal... Fgura 2.8 Elemento sujeto a um estado plano de tensões... Fgura 2.9 Carregamento undmensonal com deformação plana... Fgura 3. Esquema para a determnação da carga hdráulca... Fgura 3.2 Varação de u ao longo de t... Fgura 3.3 Esquema de mapeamento de um elemento... Fgura 3.4 Domíno, contorno e sentdo de ntegração... Fgura 3.5 Elemento para o caso de smetra axal... Fgura 3.6 Regra do trapézo... Fgura 3.7 Regra de Smpson... Fgura 3.8 Elemento soparamétrco... Fgura 4. Exemplos de malhas... Fgura 4.2 Esquema da aplcação de forças nos nós... Fgura 4.3 Exemplo de malha... Fgura 5. Exemplo para deformação plana... Fgura 5.2 Dstrbução de tensões vertcas... Fgura 5.3 Comparação entre a solução de Carothers-Terzagh e o método dos elementos fntos... Fgura 5.4 Comparação entre o método analítco e o método dos elementos fntos... Fgura 5.5 Dstrbução das tensões vertcas efetvas 20 mn após o níco do carregamento... Fgura 5.6 Dstrbução dos excessos de poropressão 20 mn após o níco do carregamento... Fgura 5.7 Dstrbução das tensões vertcas efetvas 40 mn após o níco do carregamento... Fgura 5.8 Dstrbução dos excessos de poropressão 40 mn após o níco do carregamento... Fgura 5.9 Dstrbução das tensões vertcas efetvas 00 mn após o níco do carregamento... Fgura 5.0 Dstrbução dos excessos de poropressão 00 mn após o níco do carregamento... Fgura 5. Malha ndeformada para a análse... Fgura 5.2 Comparação entre solução analítca, dados do ensao e método dos elementos fntos (curvas smples)... Fgura 5.3 Comparação entre solução analítca, dados do ensao e método dos elementos fntos com e sem atualzação da malha (curvas smples)... Fgura 5.4 Comparação entre solução analítca, dados do ensao e método dos elementos fntos com atualzação (versus logartmo do tempo)

16 Fgura 5.5 Comparação entre solução analítca, dados do ensao e método dos elementos fntos com atualzação (versus raz do tempo)... Fgura 5.6 Dstrbução de poropressão ao longo do tempo... Fgura 5.7 Malha deformada após a análse... Fgura A. Fase do pré-processamento... Fgura A.2 Fase 2 do pré-processamento... Fgura A.3 Processamento... Fgura A.4 Pós-processamento

17 Capítulo Introdução Págna 8 de 92. INTRODUÇÃO O solo é um dos materas mas complexos presentes nas análses da Engenhara. Suas três fases e sua composção heterogênea tornam seu comportamento bastante dfícl de prever e modelar. Tanto na análse solada de tensões e deformações quanto na análse acoplada de deformação e fluxo, dversas varáves deverão ser levadas em conta. Neste trabalho será tratada a análse de tensões, deformações, recalques e adensamento para casos com smetra axal e também para casos de deformação plana, bastando para sso apenas uma pequena alteração da formulação. Do ponto de vsta da abordagem, é possível consderar um perfl de solo composto de mas de um tpo de materal e também com comportamento ansotrópco. A não-lneardade geométrca é consderada através da atualzação da malha utlzada na análse. A não-lneardade físca não fo consderada nesta versão. A formulação geral fo obtda a partr da Teora de Bot partcularzada para duas dmensões, que leva à obtenção das equações dferencas de governo que são então resolvdas pelo método dos elementos fntos. O modelo de elementos fntos é baseado no método dos resíduos ponderados utlzando a formulação de Galerkn para a mnmzação do erro. De manera geral, o modelo consste na dvsão do macço terroso em elementos de dmensões fntas nterconectados através de nós. No nteror de cada um desses elementos, as dversas grandezas varam de acordo com funções de nterpolação pré-determnadas. O elemento utlzado é do tpo soparamétrco de quatro nós. A aplcação deste método transforma as equações dferencas de governo em um sstema de equações algébrcas que possu os valores nodas das componentes do vetor deslocamento e da poropressão como ncógntas. Resolvendo tal sstema, pode-se calcular as tensões e as deformações no nteror do macço. A valdação do modelo é feta através de comparações com soluções analítcas obtdas a partr da Teora da Elastcdade, da Teora do Adensamento Undmensonal de Terzagh e, no caso da modelagem de ensaos, também com resultados de ensaos reas. O capítulo 2 apresenta uma breve revsão de teoras e soluções propostas no âmbto da Mecânca dos Solos, da Teora da Elastcdade e do escoamento em meos porosos, além de outros aspectos mportantes como os parâmetros de poropressão. O capítulo 3 traz a formulação para smetra axal e a solução por elementos fntos desde sua forma geral até detalhes da ntegração e do elemento utlzado. O capítulo 4 trata de aspectos da

18 Capítulo Introdução Págna 9 de 92 mplementação computaconal do modelo de elementos fntos, em relação à estrutura básca do programa. O capítulo 5 apresenta a valdação do modelo, algumas smulações e os resultados para casos que vão de smples análse de deformação, passando pelo adensamento em uma e duas dmensões e conclundo com a smulação de um ensao oedométrco. Fnalmente, o capítulo 6 apresenta conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

19 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 20 de REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.. INTRODUÇÃO Neste capítulo serão apresentados alguns tópcos sobre solos e sobre o fenômeno do adensamento. Prmeramente, dscute-se, de modo breve, algumas teoras de adensamento levando em conta as prncpas hpóteses e pontos de cada formulação. Em seguda trata-se dos ensaos de adensamento, com destaque para o ensao de adensamento com compressão oedométrca que será modelado neste trabalho. Fnalmente, será apresentada uma formulação para a obtenção dos parâmetros de poropressão, abordando os ensaos oedométrco e traxal CONSIDERAÇÕES GERAIS SOBRE SOLOS Solos são materas que podem apresentar três fases: uma sólda, uma líquda e uma gasosa. Smplfcadamente, a fase sólda é consttuída por partículas mneras/orgâncas enquanto que água e ar consttuem as fases líquda e gasosa, respectvamente. A caracterzação físca de uma amostra de solo é feta a partr de índces que quantfcam a mportânca relatva entre as fases por meo de relações de peso e de volume. Em geral, se consdera que não haja transporte das partículas sóldas e que estas são ncompressíves. Como conseqüênca, o volume e o peso de sóldos são constantes para uma amostra de solo. A água e ar que ocupam os poros do solo podem escoar de modo que pode haver transporte desses materas. Consdera-se também que a água é ncompressível e que o peso específco do ar é desprezível em relação aos pesos específcos dos sóldos e da água. Neste contexto, o peso total de uma amostra de solo é o resultado da soma do peso dos sóldos com o peso da fase líquda. Tanto nas dversas teoras e soluções propostas para análse de tensões, deformações e adensamento em solos quanto na modelagem numérca do seu comportamento, mutas hpóteses smplfcadoras são adotadas para chegar-se ao resultado fnal. Um dos pontos que gera mas problemas é o que dz respeto às não-lneardades físca e geométrca do solo. A não-lneardade físca reflete na relação entre índce de vazos e tensão efetva. É bastante comum a adoção da hpótese smplfcadora que consdera

20 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 2 de 92 lneardade físca. Já a não-lneardade geométrca está presente no fato de que os deslocamentos não são desprezíves em relação à espessura da camada de solo. Na seção 2.4. serão apresentadas algumas teoras de adensamento e as hpóteses consderadas ADENSAMENTO Quando uma carga é aplcada em um solo compressível ocorrem deformações que, de manera geral, acarretam redução no índce de vazos do solo. Em solos saturados tal redução ocorre através da expulsão do líqudo nterstcal, consderando-se ncompressíves tanto as partículas sóldas quanto o fludo e não havendo transporte de sóldos. No processo de expulsão do líqudo nterstcal ocorre um escoamento transtóro que tem orgem nos gradentes hdráulcos gerados pelo carregamento. Esses gradentes decrescem com o tempo até se tornarem nulos, determnando o fm do escoamento. A redução do gradente hdráulco dá-se por um mecansmo que pode ser explcado da segunte forma: quando um acréscmo nstantâneo de carga é aplcado sobre um macço de solo saturado, ncalmente, a totaldade dessa carga é absorvda pela fase líquda do solo através de um aumento na poropressão. Isso sgnfca que o gradente hdráulco é máxmo logo após a aplcação da carga. Devdo a esse aumento no gradente, o líqudo nterstcal começa a escoar ocasonando uma redução no volume de vazos do solo. Juntamente com essa redução, ocorre um aumento da tensão efetva em vrtude de uma redução no excesso de poropressão. Desse modo se estabelece um processo de transferênca de carga da fase líquda para o esqueleto do solo, que só termna quando todo o acréscmo de carga é transferdo para o solo. O processo recém descrto é chamado de adensamento TEORIAS DE ADENSAMENTO Nesta seção serão ctadas e brevemente comentadas dversas teoras a respeto do fenômeno do adensamento. Serão tratadas teoras undmensonas, bdmensonas e trdmensonas, além de teoras com deformações nfntesmas e fntesmas. Terão destaque as hpóteses smplfcadoras comumente usadas pelos dversos autores além de pontos observados como prncpas em cada trabalho.

21 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 22 de Formulação acoplada do adensamento A prmera formulação acoplada do adensamento fo apresentada por Terzagh (925) e trata do adensamento undmensonal. Esta teora contnua sendo largamente usada em Mecânca dos Solos por apresentar solução analítca bastante smples. A prmera formulação trdmensonal do adensamento fo apresentada por Bot (94) e é conhecda como Teora de Bot. Ambas teoras adotam hpóteses de lneardade físca e de lneardade geométrca que, na maora dos casos, não são verfcadas na prátca. Mesmo com tas restrções, essas teoras encontram aplcação, prncpalmente, em casos onde ocorram pequenas varações de carregamento. Quando tas teoras não forem sufcentes torna-se necessáro o uso de teoras não-lneares. As equações acopladas do adensamento podem ser obtdas a partr do equlíbro de um elemento de solo. Em termos de tensões totas, as equações dferencas de equlíbro do elemento de solo são expressas como τ x j j + f = 0 (2.) sendo τ j as componentes j de tensão, x j as dreções correspondentes e f as forças de superfíce ou de massa. O equlíbro da fase líquda é fornecdo pela equação de conservação da massa para um solo saturado dada por v εv + = 0 x t j (2.2) sendo v as componentes de velocdade, x j as dreções correspondentes, ε v a deformação volumétrca e t o tempo Adensamento bdmensonal e trdmensonal Na teora do adensamento trdmensonal verdadera, ocorre o acoplamento entre o equlíbro das tensões totas e a contnudade da massa de solo. Já a teora pseudotrdmensonal não acopla esses fenômenos, admtndo que as tensões totas são constantes de

22 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 23 de 92 modo que a taxa de mudança do excesso de poropressão é gual a taxa de mudança de volume em todos os pontos do solo (Schffman, Chen, Jordan, 967). Essa condção só é estrtamente verdadera em casos específcos, como no adensamento undmensonal, devdo ao fato do ncremento de tensão total ser unforme e gual ao carregamento aplcado. Desse modo, usando o conceto de tensão efetva e uma relação tensão-deformação aproprada, exste uma relação dreta entre o excesso de poropressão e a mudança de volume. A respeto do adensamento bdmensonal, para casos de deformação plana, Morera e Xaver (2003) apresentaram um modelo numérco elástco lnear para o caso de macços de solo carregados consderando comportamento sotrópco e estratfcação do perfl de solo Teoras de adensamento com deformações nfntesmas São aquelas teoras que adotam a hpótese de pequenas deformações. A prmera formulação consstente nesta lnha fo desenvolvda por Terzagh (925), que ntroduzu o prncípo da tensão efetva, fundamento prncpal da Mecânca dos Solos moderna que será abordado adante neste trabalho. Mesmo possundo consstênca, a teora orgnal de Terzagh apresenta resultados bastante dvergentes daqueles observados no campo. Um dos prncpas motvos para tal dvergênca é a adoção de hpóteses que, na maora dos casos, não são observadas como: a. solo saturado; b. le de Darcy é válda; c. ncompressbldade das partículas sóldas e do fludo nterstcal; d. relação entre índce de vazos e tensão efetva é únca; e. fluxo e deformações undmensonas; f. coefcente de permeabldade constante; g. lneardade físca (relação lnear entre índce de vazos e tensão efetva); h. lneardade geométrca (deslocamentos desprezíves em relação à espessura da camada de solo);. forças de massa não são consderadas; As hpóteses (e), (f) e (g) são objeto de reformulação no âmbto das teoras nfntesmas.

23 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 24 de 92 Dversos autores não adotam a hpótese (e). Dentre estes se destacam Bot (94) e Rendulc (936). Bot (94) tratou o problema das deformações e o problema do fluxo de manera acoplada de modo que a tensão total não permanece constante durante o processo de adensamento mesmo sem alterações no carregamento. Tal efeto é chamado de Efeto Mandel-Cryer (Mandel, 953 e Cryer, 963) e aparece devdo à necessdade de compatbldade das deformações lateras (Schffman et al, 969). Rendulc (936) expandu a teora de Terzagh para o espaço trdmensonal, mas tratou o problema do fluxo de modo desacoplado em relação ao problema das deformações. Isto orgnou a teora pseudo-trdmensonal ou teora de Terzagh-Rendulc. Outros autores fzeram alterações nas hpóteses (f) e (g) mantendo o adensamento undmensonal, mas adotando relações consttutvas não-lneares. Schffman et al (964) admtram que a compressbldade e o coefcente de permeabldade varavam com a profunddade, já Davs e Raymond (965) adotaram uma relação entre tensão efetva e índce de vazos do tpo exponencal. Exstem anda trabalhos que não consderam as hpóteses (e), (f) e (g) como os de Osam e Clough (979) que adotam o modelo hperbólco de Duncan e Chang (970) para a relação tensão efetva versus deformação e Almeda e Ortgão (982) que adotam o modelo elasto-plástco Cam-Clay de Roscoe et al (958) para esta relação Teoras de adensamento com deformações fntas Entende-se por teoras do adensamento com deformações fntas aquelas que adotam a teora de grandes deformações. A teora do adensamento com grandes deformações fo formulada por Gbson et al (967) baseada nos trabalhos de Ortenblad (930), Mcnabb (960) e Mkasa (963). Esta consdera as não-lneardades geométrca e físca do problema. Também leva em conta a le de Darcy-Gersevanov (934), que corresponde a uma forma mas geral da le de Darcy em que a velocdade é a velocdade relatva entre a água nterstcal e as partículas sóldas. Nesta formulação a varável fundamental é o índce de vazos, consderando-se uma camada com pequena espessura. Fo mantda a undmensonaldade do adensamento. Gbson et al (98) aplcaram esta formulação a uma camada de grande espessura, consderando as forças de massa.

24 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 25 de 92 Anda nesta lnha de trabalho, Koppula (970) desenvolveu uma formulação em que a varável domnante é a poropressão. Pnto (988) apresentou formulação para a teora do adensamento undmensonal com grandes deformações. Alguns autores como Posktt (969), DeSmone e Vggan (976), Schffman et al (98), Pane (98) e Azevedo e Pnto (988) usaram a teora com grandes deformações para resolver casos hstórcos. A respeto de teoras trdmensonas consderando grandes deformações na teora acoplada podem ser ctadas as de Carter et al (977, 979), Krause (977) e Szavte-Nossan e Schffman (979) ENSAIOS DE LABORATÓRIO Ensaos de laboratóro são realzados com objetvo de descrever e classfcar o solo, nvestgar suas propredades mecâncas e hdráulcas báscas e determnar os valores de seus parâmetros. São realzados ensaos para descrção e classfcação como os de granulometra por peneramento ou sedmentação, para determnação dos lmtes de Atterberg, para determnação da resstênca e da trajetóra de tensões, etc. Dentre os testes de carga destacam-se o ensao de compressão undmensonal (compressão oedométrca), os ensaos de csalhamento e os traxas. Todos estes podem ser drenados ou não-drenados e podem ter tensão ou deformação controladas. O ensao oedométrco será modelado neste trabalho e, portanto, abordado na seção segunte. Lambe e Whtman (979) e Atknson (993) apresentam de forma bastante elucdatva os demas ensaos que se encontram além do escopo deste texto Ensao de compressão e adensamento undmensonal (oedométrco) Neste ensao, a amostra de solo é um dsco contdo em um clndro rígdo de metal de modo que a deformação radal ou horzontal é gual a zero. Desse modo, a deformação axal é gual à deformação volumétrca. Dscos porosos no topo e no fundo do aparelho agem como drenos.

25 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 26 de 92 No aparato convenconal, a tensão axal é aplcada através da adção ou remoção de pesos, logo a tensão é controlada e a carga é aplcada em estágos. A deformação axal pode ser faclmente medda. As poropressões no topo são guas a zero. Dependendo do oedômetro, a poropressão no fundo poderá ou não ser medda bastando, para sso, mpedr a drenagem na parte nferor do aparelho. O ensao pode ser utlzado para nvestgar a compressão e expansão do solo ou o adensamento. Sua populardade encontra-se na smplcdade de realzação bem como no fato das condções de deformação serem smlares às encontradas em problemas reas. A fgura 2. traz um esquema da aparelhagem de ensao. σy, εy εx=0 pt=0 pb=0 Fgura 2. Esquema da aparelhagem para o ensao oedométrco 2.6. PARÂMETROS DE POROPRESSÃO Nesta seção será dscutdo como os acréscmos de tensões totas são repartdos entre a fase líquda e o esqueleto sóldo do solo. Este será um ponto mportante para o modelo numérco utlzado. Esta formulação encontra-se mas detalhada em Lambe e Whtman (979). No caso das arglas, pode-se dvdr o carregamento em duas fases: não drenada e dsspação. É smples reproduzr essa stuação em um ensao traxal, bastando aplcar a carga com a lnha de drenagem do fludo nterstcal fechada, medr os excessos de poropressão e então abrr a lnha de drenagem, permtndo a dsspação do excesso de poropressão.

26 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 27 de 92 Em solos com a presença de sltes, a dsspação do excesso de poropressão começa durante a aplcação do carregamento e contnua após o carregamento total ser alcançado, mpossbltando a separação do carregamento em dos estágos dstntos. No caso de areas e solos de granulometra mas grossa, a dsspação do excesso de poropressão é tão rápda que torna mpossível medr a evolução da pressão neutra durante o processo. A Fgura 2.2 lustra o problema. σ = p (2.3) q aterro area q argla p 0 p acréscmo ncal de poro-pressão area Fgura 2.2 Excesso de poropressão em uma camada arglosa Na condção oedométrca (fase não drenada), o acréscmo de tensão total é transmtdo ntegralmente para a fase líquda, gerando excesso de poropressão, como mostra a Fgura 2.3. p 45 σ p σ Fgura 2.3 Excesso de poropressão na condção não drenada

27 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 28 de 92 A relação entre o excesso de poropressão e o acréscmo de tensão é chamada de parâmetro C: p C = (2.4) σ Evolução da pressão neutra no ensao oedométrco 2.4, tem-se: Denomnando C c a compressbldade do esqueleto sóldo, de acordo com a Fgura V V 0 V V 0 V V 0 ' V C = V c ' 0 V V 0 p C = w V p V 0 ' p Fgura 2.4 Compressbldade do esqueleto sóldo e da água Na fase não drenada a condção é que a alteração do volume do esqueleto sóldo V seja gual à varação no volume de vazos V v es V = V (2.5) es v sendo V = V C σ e V = nv C p (2.6) ' es 0 c v 0 w onde n é a porosdade do solo. Pelo prncípo da tensão efetva, tem-se σ = (2.7) ' σ p

28 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 29 de 92 Desse modo ( σ ) VC 0 c p = nvc 0 w p (2.8) Defnndo como C a razão entre o acréscmo no excesso de poropressão p e o acréscmo de tensão total, tem-se C = C + n C w c C (2.9) 2.7. OBTENÇÃO DOS PARÂMETROS PARA COMPRESSÃO ISOTRÓPICA E COMPRESSÃO TRIAXIAL Para chegar-se aos parâmetros de poropressão para deformação plana, serão vstas, prmeramente, algumas stuações. Maores detalhes podem ser encontrados em Lambe e Whtman (979) Parâmetro para carregamento de compressão sotrópca Consderando o elemento da Fgura 2.5 V V 0 2 V C = V c 0 2 V C c = V 0 3 C = V c V 0 3 ' Fgura 2.5 Elemento sujeto a um carregamento trdmensonal sotrópco

29 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 30 de 92 para um carregamento trdmensonal, a mudança de volume do esqueleto sóldo é, 2, 3, Ves = V0Cc σ + V0Cc σ2 + V0Cc σ 3 (2.0) e a alteração do volume de vazos vale V = nv C p (2.) V 0 w Como o carregamento é sotrópco σ = σ2 = σ3 = σ e σ = σ = σ = σ (2.2),,, 2 3 p A mudança no volume do esqueleto sóldo é a mesma do volume de vazos, então, 2, 3, nvc 0 w p= VC 0 c σ+ VC 0 c σ2 + VC 0 c σ 3 (2.3) se C = C (2.4) 2 3 c c tem-se p C + 2C = σ nc + C + Cc 3 c c 3 w c 2 (2.5) Sendo o solo sotrópco C = C = C (2.6) 2 c c 3 c Chamando de A o parâmetro de poropressão para carregamento sotrópco, tem-se p A = = σ + ncw Cc3 (2.7) onde C V = c3, V0 σ (2.8) sendo σ o acréscmo de tensão unforme em todas dreções.

30 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 3 de 92 Para solos saturados sob condções naturas de pressão, o fludo nterstcal é ncompressível, ou seja, C = 0 w. Desse modo, A = Poropressão gerada por tensão unaxal Nessa stuação, o elemento está sujeto a um carregamento unaxal, com lvre expansão lateral. As curvas de compressão na Fgura 2.6 foram obtdas do esqueleto sóldo para um carregamento drenado. Com amostra com V/V 0 =, a tensão prncpal maor é aumentada enquanto as demas tensões prncpas são mantdas constantes, obtendo-se a curva de compressão. As curvas de expansão são obtdas mantendo constante a tensão prncpal σ e dmnundo as tensões prncpas σ 2 e σ 3. C 2 s= V V0 2 V V 0 3 C s = V V 0 3 V C c= V 0 ' Fgura 2.6 Elemento sujeto a compressão unaxal e curvas de expansão Com o acréscmo de tensão σ = σ (2.9), p e σ = σ = (2.20),, 2 3 p

31 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 32 de 92 e sabendo que V = V (2.2) es V A relação entre o acréscmo de excesso de poropressão e a tensão prncpal é p = σ ncw Cc Cs Cc Cs Cc (2.22) se C 2 s = C, o parâmetro de poropressão D vem a ser 3 s p D = = σ + nc C + 2C C 3 w c s c (2.23) Consderando o solo elástco e sotrópco, o coefcente de compressbldade é gual ao coefcente de expansão em todas as dreções: C = C = C (2.24) 2 3 s s c Então D = (2.25) + 3 ncw Cc Poropressão causada por tensão traxal A Fgura 2.7 mostra um elemento de solo sujeto a tensões traxas, onde σ 2 = σ 3. Consdera-se que o elemento está submetdo a uma condção de carregamento sotrópco de valor σ 3 e lhe é aplcado no plano da tensão prncpal maor um aumento de tensão chamada de tensão desvatóra que equvale a σ σ 3.

32 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 33 de conclu-se que Fgura 2.7 Elemento sujeto a carregamento traxal Do modelo desenvolvdo para carregamento sotrópco, a partr da equação (2.7) p = A σ 3 (2.26) A poropressão gerada pela tensão desvatóra é semelhante àquela causada por uma tensão unaxal. Da equação (2.23) pode-se escrever ( ) p = D σ σ (2.27) 3 Então, somando as equações (2.26) e (2.27), a poropressão gerada por um estado de tensões traxal é ( ) σ 3 σ p = A D + D (2.28) Sendo o solo saturado e a água ncompressível, A = e D = /3. A equação (2.29) passa a ser 2 p = σ 3 + σ (2.29) Poropressão causada no estado plano de tensões Sendo um elemento de solo sujeto a tensões nas dreções x e z (Fgura 2.8), podendo deformar-se nessas dreções, porém sem deformar-se em y, faz-se uma análse semelhante ao

33 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 34 de 92 caso de tensão traxal. Separadamente determna-se um parâmetro para um carregamento σ 2 aplcado gualmente nas duas dreções e outro para uma tensão aplcada no plano da tensão prncpal maor com valor σ σ 2. Para um carregamento bdmensonal, a mudança de volume do esqueleto sóldo é, 2, Ves = V0Cc σ + V0Cc σ 2 (2.30) e a alteração do volume de vazos é V = nv C p (2.3) V 0 w 2 2 Como Fgura 2.8 Elemento sujeto a um estado plano de tensões. e V v = V es (2.32) σ = σ = σ = σ (2.33),,, 2 p obtém-se p C + C = σ nc + C + C c 2 c c 2 w c (2.34) sendo o solo sotrópco, tensões bdmensonas. Cc = C, então defne-se como B o parâmetro de poropressão de 2 c

34 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 35 de 92 p B = = σ + ncw Cc2 (2.35) onde C V = c2, V0 σ (2.36) sendo σ o acréscmo de tensão unforme nas duas dreções. Para solos saturados sob condções naturas de pressão, a água é ncompressível, ou seja, C = 0. Então B =. w Deformação plana com tensão unaxal Seja o elemento de solo na Fgura 2.9, o qual está sujeto a um carregamento vertcal de valor σ e lvre para deformar-se em x e z, mas não deformável em y. z y x Fgura 2.9 Carregamento undmensonal com deformação plana são Da mesma forma que fo analsado no caso trdmensonal, as alterações de volume V = nv C p (2.37) v 0 w e ( σ ) ( ) V = V C p + V C p (2.38) 2 es 0 c 0 s

35 Capítulo 2 Revsão Bblográfca Págna 36 de 92 Como Vv = V es e consderando o solo elástco e sotrópco, obtém-se da relação entre o acréscmo de excesso de poropressão e o acréscmo de tensão total o parâmetro A para deformação plana p A = = σ + 2 ncw Cc (2.39) Para o estado plano de tensões, onde atuam duas tensões prncpas σ e σ 2, faz-se a combnação das stuações de carregamento unaxal e bdmensonal. Então, combnando as equações (2.35) e (2.39), a poropressão gerada por um estado plano de tensões é ( ) = σ + σ σ (2.40) p B 3 A 3 a ser Sendo o solo saturado e a água ncompressível, B = e A = /2, a equação (2.40) passa p = σ 3 + σ (2.4) 2 2 Assm, a partr das tensões prncpas totas, determna-se a condção ncal para o excesso de poropressão.

36 Capítulo 3 Formulação Págna 37 de FORMULAÇÃO 3.. INTRODUÇÃO Esta seção apresenta uma formulação do problema acoplado do adensamento em duas dmensões. A consderação de duas dmensões representa uma smplfcação sgnfcatva da complexdade do problema geral. Duas stuações são partcularmente útes na aplcação prátca, sendo essas relaconadas aos problemas de deformação plana e aos problemas com smetra axal. A formulação de problemas de deformação plana pode ser consderada um caso partcular da formulação do problema com smetra axal. Por essa razão, este trabalho apresenta apenas o detalhamento da formulação de problemas com smetra axal. Detalhes sobre formulação e análse de stuações de deformação plana podem ser encontrados em Morera e Xaver (2003). A formulação apresentada aqu consste na utlzação do método dos resíduos ponderados para a ntegração espacal no domíno do elemento e da ntegração dreta no tempo a partr da utlzação de algortmos Hermtanos. O método dos resíduos ponderados basea-se na formulação de Galerkn, segundo a qual as funções de ponderação são as mesmas funções de nterpolação. O sstema de equações dferencas é composto pelas equações de equlíbro e pela equação da conservação da massa para um volume de controle do solo. Essas equações são expressas em coordenadas clíndrcas nas quas as varáves dependentes ndependem da coordenada angular, de modo que as mesmas podem ser formuladas em função da coordenada radal e da coordenada vertcal EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA PROBLEMAS COM SIMETRIA AXIAL As equações dferencas de equlíbro de um elemento de solo para problemas com smetra axal são (Tmoshenko e Gooder, 980): σ τ x xy σx σθ f x = 0 x y x (3.)

37 Capítulo 3 Formulação Págna 38 de 92 τ xy σ y τxy f y = 0 x y x (3.2) Nestas equações, x é coordenada radal, θ é a coordenada crcunferencal e y é a coordenada vertcal, σ x, σ y e σ θ são as tensões normas nas respectvas dreções e τ xy são as tensões csalhantes nos planos xy e yx. A equação dferencal da conservação da massa de fludo nterstcal em coordenadas clíndrcas para problemas ndependentes da coordenada crcunferencal pode ser expressa como (Zenkewcz e Taylor, 99): v v x y ε v + = 0 x y t (3.3) Onde ε v é a deformação volumétrca, vx é a componente radal e v é a componente y vertcal da velocdade do fludo nterstcal. Estas equações possuem sete ncógntas que são as quatro tensões, as duas componentes da velocdade do fludo nterstcal e a deformação volumétrca. A segur serão abordadas algumas relações auxlares para tornar o número de ncógntas gual ao número de equações Prncípo da tensão efetva O prncípo da tensão efetva pode ser escrto na segunte forma vetoral: σ = σ ' + m p (3.4) Sendo T = σ y σx σθ τ xy σ (3.5) ' ' ' ' ' T = σ y σx σθ τ xy σ (3.6) [ ] m = 0 T (3.7)

38 Capítulo 3 Formulação Págna 39 de 92 ' Onde σ é o vetor de tensões totas, σ é o vetor de tensões efetvas, m é o vetor equvalente ao delta de Kronecker e p é a pressão no fludo nterstcal Relação consttutva do solo A relação entre a tensão efetva e as deformações é estabelecda por meo da matrz consttutva do solo. Para um elemento de solo com smetra axal e ansotrópco essa relação pode ser escrta como: C = 2 ( ν)( ν 2nν2) ( ) n ( ) 2 ν nν2 + ν ν2 + ν n 2( ) n( n 2) ( n 2) n 0 E ν + ν ν ν + ν nν2( + ν) ( ν+ nν2) n n( nν2) m( + ν)( ν 2nν2) (3.8) E G2 Sendo n = e m =. E E 2 2 Onde E e E2 são os módulos de Young nas dreções x e y, ν e ν 2 são os coefcentes de Posson nas dreções x e y, respectvamente e G é o módulo de elastcdade transversal na dreção y Le de Darcy A le de Darcy estabelece a relação entre a velocdade do fludo nterstcal e o gradente da carga hdráulca total ( h ). Para um elemento com smetra axal de um materal ansotrópco onde as dreções radal e vertcal são dreções prncpas de permeabldade, a le de Darcy pode ser expressa como: dh vx kx 0 dx = v y 0 k y dh dy (3.9)

39 Capítulo 3 Formulação Págna 40 de 92 Onde v x é a componente da velocdade na dreção x, v y é a componente da velocdade na dreção y, k é o coefcente de permeabldade na dreção x e é o coefcente de permeabldade na dreção y. x k y Relação deformação versus deslocamento A relação deformação versus deslocamento é obtda a partr da adoção de hpóteses cnemátcas sobre o deslocamento e a deformação. No caso mas smples corresponde às hpóteses de pequenas deformações e pequenos deslocamentos, ou seja, lneardade geométrca do problema. Neste caso, as deformações se relaconam com os deslocamentos da segunte forma (Tmoshenko e Gooder, 980): T v u u u v ε = + y x x y x (3.0) Relação entre o gradente hdráulco e o excesso de poropressão A determnação da relação entre o gradente hdráulco e o excesso de poropressão requer a expressão da carga hdráulca total em função do excesso de poropressão. A carga hdráulca total pode ser determnada com base na Fgura 3.. pezômetro N.A. d hp y h Fgura 3. Esquema para a determnação da carga hdráulca

40 Capítulo 3 Formulação Págna 4 de 92 h= y+ h p (3.) Onde h é a carga hdráulca total, z é a carga de posção e h é a carga pezométrca. A carga pezométrca pode ser calculada pela segunte fórmula: p p hp = d y+ (3.2) γ w Onde d é a profunddade medda a partr da superfíce freátca, y é a coordenada vertcal, p é o excesso de poropressão e γ w é o peso específco da água. No caso mas geral, o referencal para estabelecer a carga de posção pode não concdr com a orgem da coordenada vertcal. Nestas condções, a expressão da carga hdráulca total fca: p p h = y + y + d y + = y + d + γ (3.3) 0 0 γ w w Como resultado, o gradente hdráulco pode ser escrto na segunte forma matrcal dh 0 dp dx γ w dx = dh dp 0 dy γ dy w (3.4) Determnação da deformação volumétrca A deformação volumétrca pode ser obtda medante a soma das deformações nodas: u v u εv = εx + εy + ε θ = + + x y x (3.5) 3.3. FORMULAÇÃO PELO MÉTODO DOS RESÍDUOS PONDERADOS Soluções analítcas das equações dferencas que governam o fenômeno do adensamento só são possíves para problemas smples no que dz respeto à geometra e ao carregamento. Nos casos mas geras, a solução só pode ser obtda de manera aproxmada por

41 Capítulo 3 Formulação Págna 42 de 92 ntermédo de métodos numércos. Este trabalho utlza o método dos resíduos ponderados para a ntegração espacal das equações dferencas do adensamento. O método dos resíduos ponderados consste na aproxmação das varáves dependentes que, para o caso em estudo, toma a segunte forma: (,, ) ( ) (, ) u x y t = u t N x y (3.6) (,, ) ( ) (, ) v x y t = v t N x y (3.7) (,, ) ( ) (, ) p xyt = p t N xy (3.8) onde u, v e p são funções aproxmadas dos deslocamentos nas dreções radal e vertcal e do excesso de poropressão, respectvamente, u ( t ), v ( t ) e p ( ) determnar correspondentes às varáves dependentes enquanto que as funções t são coefcentes a N e N são conhecdas e chamadas de funções de nterpolação ou de forma. Note-se que as expressões (3.6), (3.7) e (3.8) utlzam notação ndcal, sto é, u N corresponde a soma do produto dos coefcentes pelas funções de nterpolação. A utlzação das aproxmações das varáves dependentes nas equações dferencas de governo produz valores resduas, que devem ser mnmzados. O processo de mnmzação do resíduo usado pelo método dos resíduos ponderados consste das seguntes equações ntegras onde W e σ τ x xy σx σ θ fx Wd Ω= 0 Ω x y x (3.9) τxy σ y τ xy fy Wd Ω = 0 Ω x y x (3.20) v v x y ε v Wd 0 Ω + Ω= x y t (3.2) W são funções de ponderação do erro e Ω é o domíno de ntegração cuja descrção encontra-se na seção 3.5.

42 Capítulo 3 Formulação Págna 43 de 92 As equações (3.9), (3.20) e (3.2) correspondem à chamada formulação forte de resíduos ponderados. Alternatvamente pode-se usar a chamada formulação fraca que pode ser obtda da forma mostrada a segur. Prmeramente consdera-se a segunte dentdade: f ( fg ) g f = g x x x (3.22) A demonstração da obtenção da formulação fraca será feta apenas para a prmera equação dferencal. As demas equações dferencas seguem o mesmo procedmento. Usando a dentdade (3.22), pode-se escrever a prmera equação dferencal como: ( x ) W W σ W x ( xyw) θ σ σ τ τxy W fxw 0 Ω + + dω x x y y x = (3.23) A segur, consdera-se as ntegras das parcelas: ( W σx ) ( τxyw) Ω + dω x y (3.24) O ntegrando de (3.24) pode ser dentfcado como o dvergente de um vetor F = σ We + τ We x xy 2 (3.25) onde e e e 2 são vetores untáros nas dreções e 2, respectvamente. Usando o teorema da dvergênca de Gauss: onde Γ é o contorno do domíno Ω. Então: Ω FdΩ= F n dγ (3.26) Γ x y ( σ xw ) + ( τ xyw ) dω= ( σ xn τ + xyn2) W dγ (3.27) Ω Γ

43 Capítulo 3 Formulação Págna 44 de 92 Logo, chega-se a: W W x y x σ θ σx + τxy W dω= fxwd Ω+ ( σxn+ τxyn2) Wd Γ (3.28) Ω Ω Γ A segunda equação dferencal fca: W W d f Wd n n Wd x y τ xy + σ y Ω= y Ω+ ( τ σ xy + y 2) Γ (3.29) Ω Ω Γ A tercera equação dferencal envolve a dervada da deformação volumétrca no tempo: ε v du dv u du dv du = + + = + + t t dx dy x x dt y dt x dt (3.30) ou seja: Ω v v x y ε v v v x y u v u + Wd Ω = + Wd x y t Ω Ω x y x t y t x t (3.3) chega-se a: Usando o mesmo procedmento que fo adotado para obtenção da formulação fraca W W du W dv W u u v v v W d v n v n Wd n n Wd x y dt x dt y x t Γ (3.32) t t x + y + Ω= ( x + y 2) Γ+ + 2 Ω Γ Γ As dferentes formulações do método dos resíduos ponderados são estabelecdas a partr da defnção das funções de ponderação W e W. Este trabalho utlza a formulação desenvolvda por Galerkn, a qual adota funções de nterpolação como funções de ponderação, sto é, W = N e = W N. Substtundo essas funções nas equações ntegras resulta em: N N σ θ σx + τxy + N dω= F Ω x y x x (3.33) N N d F x y τxy σ Ω + y Ω = y (3.34)

44 Capítulo 3 Formulação Págna 45 de 92 Ω N N u N v N u vx + vy + N dω= P (3.35) x y t x t y x t As funções F, F e P estão relaconadas com as condções de contorno e serão x y dscutdas mas tarde neste trabalho no contexto de formulação do elemento fnto INTEGRAÇÃO NO TEMPO A aplcação da formulação de Galerkn para a ntegração espacal das equações dferencas do adensamento resultou em equações ntegras que possuem dervadas no tempo dos deslocamentos nodas (conforme equação (3.35)) no domíno da resolução. Conseqüentemente, é necessáro efetuar-se a ntegração no tempo dessas dervadas ou, de manera equvalente, estabelecer a relação entre as dervadas e as funções propramente dtas. A ntegração no tempo pode ser feta a partr do método das dferenças fntas. Por exemplo, tomando a expansão temporal do deslocamento radal em sére de Taylor u u u( xyt t) u( xyt) ( xyt) t ( xyt) t t 2! t 2 2,, + =,, +,, +,, (3.36) e truncando a sére no segundo termo, pode-se aproxmar a velocdade de deformação por: (,, + ) (,, ) u u x y t t u x y t = t t (3.37) como u k Denotando o deslocamento no tempo t como u e o deslocamento no tempo t+ t k +, pode-se escrever que: u t ( xyt,, ) u = k+ u t k (3.38) Analogamente, v t ( xyt,, ) v = k+ v t k (3.39) A adoção deste método para calcular as dervadas temporas aponta para um processo de solução ncremental onde os valores no tempo t (k ) são conhecdos e os valores das

45 Capítulo 3 Formulação Págna 46 de 92 varáves no tempo t+ t (k +) são desconhecdos. O ntervalo de tempo de cada ncremento é t. A questão agora é defnr o tempo neste ntervalo para o qual as varáves dependentes são aproxmadas. Neste trabalho adota-se uma varação lnear das varáves dependentes no ntervalo t (como mostra a fgura 3.2) para o deslocamento radal. u k+ u u k ζ t 0 t t 0 + t Fgura 3.2 Varação de u ao longo de t u() t () u( t ) ( + ) ( ) u t 0 u t0 t u t = t t t 0 t t0 = u( t0) + u( t0 + t) u( t0) t 0 (3.40) (3.4) t t 0 Chamando ζ = t, u t ( ) k k = u e u( t t) u =, então: u() t k k+ ( ζ ) u ζu = + (3.42) Observa-se que para ζ = 0 as equações são escrtas para o tempo t e para ζ = as equações são escrtas para o tempo t 0 + t. No prmero caso dz-se que o algortmo é explícto enquanto que no segundo caso o algortmo é dto mplícto. Outros valores notáves de ζ são 0,5, que corresponde ao algortmo de Crank-Ncholson e 2/3, que corresponde ao algortmo de Galerkn FORMULAÇÃO PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS O desenvolvmento do método de Galerkn apresentado na seção anteror não abordou o domíno de análse do problema do adensamento. A formulação do método dos resíduos

46 Capítulo 3 Formulação Págna 47 de 92 ponderados é bastante flexível quanto à escolha do domíno de ntegração. No entanto, uma boa aproxmação das varáves dependentes exge um número grande de pontos de controle e, por conseqüênca, um grande número de funções de nterpolação no caso da utlzação de um domíno grande, ou, alternatvamente pode-se dvdr o domíno em város subdomínos, chamados de elementos fntos, para os quas as aproxmações das varáves dependentes podem ser fetas por meo de um número reduzdo de pontos de controle e funções de nterpolação smples, tas como polnômos. A segunda metodologa é chamada de elementos fntos. No método dos elementos fntos o domíno é dvddo em subdomínos de forma defnda chamados de elementos fntos. Os pontos de controle em cada elemento fnto são os nós. A comuncação dos dversos elementos com seus vznhos ocorre através dos nós. Este trabalho adota elementos fntos soparamétrcos quadrlateras. Isto é, o elemento é um quadrlátero e as coordenadas dos pontos no nteror do elemento são nterpoladas a partr das coordenadas nodas e das mesmas funções de nterpolação usadas na aproxmação das varáves dependentes. A adoção deste tpo de elemento é convenente, pos é possível aumentar o número de nós (pontos de controle) sem alterar a geometra do elemento. A formulação de elementos soparamétrcos utlza um mapeamento do elemento através de coordenadas naturas como mostra a fgura. Fgura 3.3 Esquema de mapeamento de um elemento As coordenadas de um ponto no nteror do elemento são nterpoladas por: j j (, ) x = xn rs (3.43)