ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO EMPREGO CONJUNTO DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS DE CONTORNO E ELEMENTOS FINITOS

Transcrição

1 DANIEL JATOBÁ DE HOLANDA CAVALCANTI ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO EMPREGO CONJUNTO DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS DE CONTORNO E ELEMENTOS FINITOS ORIENTADOR: Prof. Dr. João Carlos Cordero Barbrato CO-ORIENTADOR: Prof. Dr. Francsco Patrck Araujo Almeda Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl PPGEC Centro de Tecnologa CTEC Unversdade Federal de Alagoas UFAL Maceó/AL, Junho de 6.

2 DANIEL JATOBÁ DE HOLANDA CAVALCANTI ANÁLISE DA INTERAÇÃO SOLO-ESTRUTURA ATRAVÉS DO EMPREGO CONJUNTO DOS MÉTODOS DOS ELEMENTOS DE CONTORNO E ELEMENTOS FINITOS Dssertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl PPGEC da Unversdade Federal de Alagoas UFAL, como requsto parcal para obtenção do título de Mestre em Engenhara Cvl. ORIENTADOR: Prof. Dr. João Carlos Cordero Barbrato CO-ORIENTADOR: Prof. Dr. Francsco Patrck Araujo Almeda Maceó/AL, Junho de 6.

3 Dedco este trabalho aos meus pas Aleandre e Elana que lumnados pelo Espírto Santo me deram todo o apoo e estímulo necessáro para a sua conclusão.

4 AGRADECIMENTOS Ao professor e amgo Dr. João Carlos Cordero Barbrato, pela orentação, serendade e equlbro durante a preparação deste trabalho. Ao professor e amgo Dr. Francsco Patrck Araujo Almeda, pela orentação e dedcação. Aos meus rmãos Dogo Jatobá e Líva Jatobá pelo apoo e estímulo dspensados durante a preparação deste trabalho. Aos amgos do PPGEC/UFAL, em especal a Antôno Carlos, Edvaldo Lsboa, Aleandre Machado, Edson Pessoa, Fábo Martns, João Glberto, Lucana Correa e Rodrgo Mero pela convvênca agradável, apoo e amzade. À Renata, pela pacênca durante este período de muta luta e dedcação. Ao professor Dr. Severno Perera Cavalcante Marques, pela sua competênca e compreensão no desenvolvmento de suas atvdades. A todo corpo docente do Programa de Pós Graduação em Engenhara Cvl - PPGEC da Unversdade Federal de Alagoas pelos ensnamentos transmtdos ao longo do curso de Mestrado. A DEUS que em todos os momentos, de alegras e trs tezas, sempre está ao lado do ser humano buscando ajudá-lo e ncentvá-lo a superar todas as dfcultades e problemas, lumnando-o da melhor forma possível. À Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor CAPES, pelo fnancamento da pesqusa.

5 RESUMO CAVALCANTI, D.J.H. (6. Análse da nteração solo-estrutura através do emprego conjunto dos Métodos dos Elementos de Contorno (MEC e Elementos Fntos (MEF. 37p. Dssertação (mestrado Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl, Unversdade Federal de Alagoas. Maceó. 6. Neste trabalho, propõe-se a análse do comportamento mecânco da nteração solo -estrutura a partr do desenvolvmento de um códgo computaconal utlzando-se uma formulação estátca conjunta do Método dos Elementos de Contorno (MEC e do Método dos Elementos Fntos (MEF para o cálculo de deslocamentos e tensões em estruturas em contato com o meo semnfnto. Assm sendo, pretende-se modelar a estrutura a partr de elementos fntos de placa DKT (dscrete Krchhoff trangle e utlzar o conceto da formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC para modelar o solo, consderando-o como um espaço sem-nfnto e/ou nfnto e utlzando a solução fundamental de Kelvn. O acoplamento entre os meos é feto aplcando-se a técnca de sub-regões. A partr do desenvolvmento de um códgo computaconal são processados alguns eemplos de engenhara tas como: análse da nteração solo-estrutura em fundações de placa superfcas e enterradas e outras estruturas de engenhara, estudo do comportamento de um espaço sem-nfnto a partr da aplcação de um carregamento dstrbuído e carga concentrada, análse de corpos submetdos à fleão e à tração, entre outras aplcações. Palavras chave: Interação Solo -Estrutura; Método dos Elementos de Contorno; Método dos Elementos Fntos; Acoplamento MEC/MEF.

6 ABSTRACT CAVALCANTI, D.J.H. (6. Sol-structure nteracton analyss by the couplng of Boundary Element Method (BEM and Fnte Element Method (FEM. 37p. M.Sc. Thess Programa de Pós-Graduação em Engenhara Cvl, Unversdade Federal de Alagoas. Maceó. 6. In ths work, t s proposed a mechancal behavor analyss of the sol-structure nteracton from the development of a computatonal code usng a couplng statc formulaton of Boundary Element Method (BEM and Fnte Element Method (FEM for the dsplacements and stress calculaton n structures n contact to the half space. Thus, t s ntended to model the structure usng the bendng plate fnte element DKT (dscrete Krchhoff trangle and applyng the concepts of the Boundary Element Method (BEM formulaton to model the sol, consdered as a half-nfnte and/or nfnte space and usng Kelvn s fundamental soluton. The couplng between the meda s done usng the sub-regons technque. From the computatonal code development some practcal eamples of engneerng are mplemented, such as: sol-structure nteracton analyss n superfcal and bured plate foundatons and others engneerng structures, study on the behavor of a half-nfnte space from the applcaton of a dstrbuted and concentrated load, analyss of bodes submtted to bend and tracton, among others applcatons. Keywords: Sol-Structure Interacton; Bo undary Element Method; Fnte Element Method; BEM/FEM Couplng.

7 SUMÁRIO Lsta de Símbolos... Lsta de Fguras... v Lsta de Tabelas... Consderações Incas.... Introdução..... Estado da Arte... 4 Fundamentos Matemátcos.... Notação Indcal.... Delta de Krönecker....3 Delta de Drac....4 Teorema da Recprocdade de Bett Teoremas de Green Formulação do Método dos Elementos de Contorno Introdução Equações Báscas da Elastostátca Lnear Solução Fundamental Solução Fundamental de Kelvn Equações Integras de Contorno Equação Integral para Pontos do Domíno Equação Integral para Pontos do Contorno Método dos Elementos de Contorno Dscretzações Elementos de Contorno Elemento de Interpolação Lnear Integrações Numércas Integração Sngular ou Sem-Analítca Integração Numérca... 46

8 3.5.4 Deslocamentos e Tensões em Pontos do Domíno Tensões em Pontos do Contorno Eemplos Eemplo Eemplo Eemplo Formulação do Elemento Fnto DKT Introdução Estudo da Teora de Placas e Defnção do Elemento DKT Consderações Incas Teora de Placas Consderando Pequenos Deslo camentos Matrz de Rgdez do Elemento DKT Vetor de Forças Nodas Equvalentes do Elemento DKT Defnção dos Esforços Internos no Elemento Eemplos Eemplo O Acoplamento Entre o Método dos Elementos de Contorno (MEC e o Método dos Elementos Fntos (MEF Introdução Representação Algébrca do MEC e do MEF Apromação para o Acoplamento entre o MEC e o MEF Implementações Computaconas Introdução Algortmo do MEC a partr da Formulação Elastostátca Algortmo do MEF a partr do Elemento DKT Algortmo do Acoplamento entre os Métodos... 7 Aplcações Eemplo Eemplo Eemplo Consderações sobre os resultados... 8 Consderações fnas Referêncas... 7

9 Aneo A Aneo B... 36

10 LISTA DE SÍMBOLOS u Componentes do vetor de deslocamentos. p Componentes do vetor de forças de superfíce. b Componentes do vetor de forças volumétrcas. σ j Componentes do tensor de tensões. ε j Componentes do tensor de deformações. δ j Delta de Krönecker. δ (-d Dstrbução Delta de Drac Ω Domíno de um corpo qualquer em estado de equlíbro. Γ Contorno de um corpo qualquer em estado de equlíbro. Operador gradente. Operador Laplacano. λ e µ Constantes elástcas de Lamé. E Módulo de elastcdade longtudnal. ν Coefcente de Posson. G Módulo de elastcdade transversal ou módulo de elastcdade ao csalhamento. s Ponto fonte. q Ponto campo. u (s,q j Componentes de deslocamentos para o problema fundamental de Kelvn (3D. ε jk (s,q Tensor de deformações para o problema fundamental de Kelvn (3D. σ jk (s,q Tensor de tensões para o problema fundamental de Kelvn (3D. p (s,q j Forças de superfíce para o problema de Kelvn trdmensonal. r Dstânca entre o ponto fonte s e o ponto de campo q. S jk Tensor de 3ª ordem defndo através da dervação dos tensores de deslocamentos e forças de superfíce do problema fundamental.

11 D jk Tensor de 3ª ordem defndo através da dervação dos tensores de deslocamentos e forças de superfíce do problema fundamental. ε Rao da superfíce esférca de domíno Ω ε. c j ρ Matrz dos coefcentes em função da localzação do ponto a ser estudado (fora do domíno do sóldo, no contorno do sóldo ou nterno ao domíno do mesmo. Rao da esfera que faz analoga à regão que representa um espaço sem- nfnto ou nfnto (espaço de Kelvn, stuação do problema a ser estudado. n r Vetor normal ao contorno da superfíce do elemento. φ Funções nterpoladoras j U e P j Deslocamentos e forças de superfíce apromadas por seus valores nodas para cada elemento j a ser dscretzado. j B Valores nodas das forças volumétrcas aplcadas nos nós funconas. p Matrz com as forças de superfíce p j (s, q. u Matrz com os deslocamentos u j (s, q. j X j X c Coordenadas cartesanas dos pontos nodas da célula trdmensonal para dscretzação do domíno. Coordenadas cartesanas dos pontos geométrcos da célula trdmensonal para dscretzação do domíno. U Vetor com os valores nodas dos deslocamentos. P Vetor com os valores nodas das forças de superfíce. H G A X Matrz defnda pelo somatóro das ntegras que formam um produto com o vetor dos valores nodas de deslocamentos. Matrz defnda pelo somatóro da ntegral que forma um produto com o vetor dos valores nodas das forças de superfíce. Matrz chea e não smétrca que contém os elementos das matrzes H e G após aplcação das condções de contorno. Vetor msto que contém as ncógntas (deslocamentos e forças de superfíce.

12 F Vetor obtdo da multplcação da matrz G modfcada pelo vetor de valores prescrtos. Coordenadas de área para o elemento trangular lnear descontínuo. n e n j Vetores normas nas dreções cartesanas e j. X η Eos cartesanos. Co-senos dretores da normal em relação aos eos cartesanos. m j Co-senos dretores no ponto em análse em relação ao eo. J Jacobano de transformação de coordenadas. w k Peso de Gauss no ponto k. N PG Número de pontos de Gauss a ser utlzado no elemento. β e β Rotações da normal ao plano médo ndeformado do elemento DKT. y w, θ eθ Graus de lberdade do elemento DKT. y y σ, σ e σ Tensões normas atuantes no elemento fnto DKT. τ y, τ z e τ yz z Tensões de csalhamento atuantes no elemento fnto DKT. M e M y Momentos fletores atuantes em torno dos eos e y. M y Momento de torção. Q e Q y Esforços cortantes segundo os eos e y. ε b κ D D k UK Matrz com o campo de deformações. Vetor de curvaturas Rgdez a fleão da placa. Matrz que relacona esforços solctantes e curvaturas. Energa nterna de deformação. e η Coordenadas admensonas de área para o elemento DKT. B K DKT E n Matrz de transformação deformação deslocamento. Matrz de rgdez do elemento DKT Erro resdual.

13 LISTA DE FIGURAS v Fgura.3. Pulso retangular untáro (dos eemplos... 3 Fgura.4. Corpo em equlíbro: Ω (Domíno e Γ (Contorno... 4 Fgura.4. Defnção de e Γ Ω do corpo vrtual (Fundamental... 4 Fgura 3.. Sóldo trdmensonal de domíno Ω e contorno Γ... 8 Fgura 3.. Elemento nfntesmal de volume... 9 Fgura 3..3 Elemento nfntesmal de superfíce (Tetraedro de Cauchy... Fgura 3..4 Valores prescrtos de contorno... Fgura 3.3. Defnção do problema fundamental... 3 Fgura 3.3.a Fgura 3.3.b Fgura 3.3.c Defnção geométrca do problema fundamental. (Fonte: BREBBIA & DOMINGUEZ, Componentes dos deslocamentos da solução fundamental da superfíce... Componentes de forças de superfíce da solução fundamental da superfíce... Fgura Defnção do vetor r para cálculo de suas dervadas... 6 Fgura Defnção do problema fundamental de Kelvn... 6 Fgura 3.4. Corte do contorno epanddo no ponto suave... 9 Fgura 3.4. Corte do contorno epanddo no ponto S ( não suave... 3 Fgura Regão nfnta espaço de Kelvn... 3 Fgura 3.5. Fgura 3.5. (a elementos de contorno constantes, (b elementos de contorno lneares e (c elementos de contorno quadrátcos (Fonte: Brebba & Domnguez, Tpos de elemento lnear: (a contínuo; (b e (c de transção; e (d descontínuo

14 v Fgura Elemento trangular lnear descontínuo Fgura Defnção da ntegração sngular... 4 Fgura Representação do elemento undmensonal lnear e ntegração no contorno fctíco do elemento trangular (Fonte: Barbrato, Fgura 3.6. Vga engastada com carregamento transversal na etremdade lvre... 5 Fgura 3.6. Dscretzações do contorno por elementos trangulares planos descontínuos: (a M4, 4 elementos, (bm7, 7 elementos e 53 (cm76, 76 elementos... Fgura Representação gráfca da geometra da vga mostrando as dscretzações utlzadas: M4, M7 e M Fgura Lnha elástca da vga obtda pela teora de vgas e pela dscretzação M Fgura Lnha elástca da vga obtda pela teora de vgas e pela dscretzação M Fgura Lnha elástca da vga obtda pela teora de vgas e pela dscretzação M Fgura Lnha elástca da vga: comparatvo de resultados Fgura Defnção do sóldo e suas condções de contorno Fgura 3.6.9a Malhas de dscretzação: (a e (b M com elementos e (c e (d M44 com 44 elementos Fgura 3.6.9b Malhas de dscretzação: (e e (f M76 com 76 elementos... 6 Fgura 3.6. Área retangular (solo na superfíce lvre do sem-nfnto, carregamento unformemente dstrbuído... 6 Fgura 3.6.a Dscretzações utlzadas: (a 6 elementos e (b 64 elementos Fgura 3.6.b Dscretzações utlzadas: (c 56 elementos Fgura 3.6. Deslocamentos em X 3 ao longo de X (em cm comparação entre a sol. fund. de Kelvn utlzada nesse trabalho e as sol. fund. de Mndln 65 e Kelvn utlzadas em BARBIRATO ( Fgura Deslocamentos em X 3 ao longo de X (em cm comparação entre a sol. fund. de Kelvn utlzada nesse trabalho e as sol. fund. de Mndln e Kelvn utlzadas em BARBIRATO (

15 Fgura Vsualzação gráfca do meo sem-nfnto malha com6 elementos. 66 Fgura Fgura Deslocamentos em X 3 ao longo de X (em cm comparação entre a sol. fund. de Kelvn utlzada nesse trabalho e a sol. fund. de Mndln utlzada em BARBIRATO ( Deslocamentos em X 3 ao longo de X (em cm comparação entre a sol. fund. de Kelvn utlzada nesse trabalho e a sol. fund. de Mndln utlzada em BARBIRATO ( Fgura Vsualzação gráfca do meo sem-nfnto - malha com 64 elementos 67 Fgura 4.. Defnção do elemento fnto DKT... 7 Fgura 4.. Tensões que agem em um elemento dferencal de uma placa Fgura 4.. Dreções postvas de β e βy Fgura 4..3 Coordenadas admensonas de área,η e r Fgura 4..4 Geometra do elemento fnto DKT (Fonte: Batoz et al., Fgura 4..5 Fgura 4.3. Fgura 4.3. Carregamento unformemente dstrbuído no elemento mostrando a transformação para carregamento nodal equvalente... Eemplo 4.: dscretzação da placa utlzando as malhas M, M, M4 e M5... Eemplo 4.: dscretzação da placa utlzando as malhas: M (lado da dscretzação dvdda em partes guas e M (lado da dscretzação dvdda em partes guas... Fgura Comparação de resultados para dversos tpos de carregamento 85 aplcado... Fgura 4.3.4a Comparatvo de resultados para o eemplo Fgura 4.3.4b Comparatvo de resultados para o eemplo Fgura 5.3. Fgura 5.3. Fgura Representação das sub-regões ( Ω e Ω modeladas por Elementos de Contorno e Elementos Fntos (Fonte: Brebba & Domnguez, Esquema de uma vga para utlzação da técnca de sub-regões: duas sub-regões Ω e Ω... Sub-regão de domíno Ω f dscretzada pelo MEF e sub-regão de domíno Ω c dscretzada pelo MEC, no acoplamento... Fgura 6.. Rotero do algortmo computaconal para problemas estátcos v

16 v Fgura 6..a Letura de dados para processamento do programa (Eemplo 3.3: 98 Malha com 6 elementos... Fgura 6..b Fgura 6..3a Fgura 6..3b Fgura 6..3c Fgura 7.. Letura de dados para processamento do programa (Eemplo 3.3: 99 Malha com 6 elementos... ª parte do arquvo com a entrada de dados referente as coordenadas dos nós (lnhas 7 a 9 e condções de contorno (lnhas a 3: Eemplo 4. Malha M com 9 nós e 8 elementos... ª parte do arquvo com a entrada de dados referente as propredades do materal (lnhas 3 a 46 e conectvdade dos elementos (lnhas 48 a 6: Eemplo 4. Malha M com 9 nós e 8 elementos... 3ª parte do arquvo com a entrada de dados referente ao carregamento prescrto: carga concentrada e carregamento dstrbuído (lnhas 6 a 83: Eemplo 4. Malha M com 9 nós e 8 elementos... Eemplo 7.: Dscretzação da nterface placa-solo por 49 nós e 7 5 elementos... Fgura 7.. Eemplo 7.: Dscretzação estendda com 9 nós e 6 elementos.. 6 Fgura 7..3 Vsualzação gráfca dos valores da tabela 7. para a dscretzação estendda... 7 Fgura 7..4 Vsualzação gráfca dos valores da tabela 7. para dscretzação com 49 nós e 7 elementos... 7 Fgura 7..5 Resultados para a solução fundamental de Kelvn: comparatvo entre as duas dscretzações utlzadas... 8 Fgura 7..6 Comparatvo de Resultados... 9 Fgura 7..7 Fgura 7..8 Fgura 7..9 Fgura 7.. Comportamento da placa hcm para a dscretzação estendda, (valores em mm... Comportamento da placa hcm para a dscretzação estendda em escala cnemátca, (valores em mm... Comportamento da placa h35cm para a dscretzação estendda, (valores em mm... Comportamento da placa h35cm para a dscretzação estendda em escala cnemátca, (valores em mm...

17 v Fgura 7.. Carga concentrada P no centro da placa... 3 Fgura 7.. Dscretzação estendda... 4 Fgura 7..3 Dscretzação da nterface de contato placa-solo... 4 Fgura 7..4 Varação do deslocamento em função da espessura da placa... 5 Fgura 7..5 Comportamento da placa (hcm: Dscretzação estendda... 5 Fgura 7..6 Comportamento da placa (hcm: Dscretzação estendda... 6 Fgura 7..7 Comportamento da placa (h5cm: Dscretzação estend da... 7 Fgura 7..8 Comportamento da placa (h5cm: Dscretzação estendda... 7 Fgura 7.3. Carregamento dstrbuído parcalmente aplcado em 8 elementos da dscretzação... 8 Fgura 7.3. Comparatvo de resultados: Elemento de Placa DKT... 9 Fgura Carregamento dstrbuído parcalmente aplcado em 3 elementos da dscretzação... Fgura Comparatvo de resultados: Elemento de Placa DKT... Fgura Comparatvo de resultados para a dscretzação estendda da análse sujeta a dversos tpos de carregamento... Fgura Comparatvo de resultados para a dscretzação da nterface placasolo da análse sujeta a dversos tpos de carregamento... 3

18 LISTA DE TABELAS Tabela 3. Tabela 3. Tabela 3.3 Tabela 3.4a Tabela 3.4b Tabela 3.5 Tabela 3.6 Tabela 3.7 Tabela 3.8 Lnha elástca da vga analsada (valores em cm: Dscretzação M4... Lnha elástca da vga analsada (valores em cm: Dscretzação M7... Lnha elástca da vga analsada (valores em cm: Dscretzação M76... Valores do deslocamento da vga analsada à tração para a dscretzação M, (valores em cm... Valores do deslocamento da vga analsada à tração para as dscretzações M4 e M76, (valores em cm... Deslocamentos em X 3 ao longo de X (em cm, representados grafcamente na fgura Deslocamentos em X 3 ao longo de X (em cm, representados grafcamente na fgura Deslocamentos em X 3 ao longo de X (em cm, representados grafcamente na fgura Deslocamentos em X 3 ao longo de X (em cm, representados grafcamente na fgura Tabela 4. Deslocamento transversal (U para placa quadrada Tabela 7. Tabela 7. Tabela 7.3 Tabela 7.4 Valores de deslocamento no centro da placa em função da espessura para a dscretzação estendda... 7 Valores de deslocamento no centro da placa em função da espessura para a dscretzação com 49 nós e 7 elementos... Valores do deslocamento da placa hcm (em mm para a dscretzação estendda... Valores do deslocamento da placa h35cm (em mm para a dscretzação estendda... Tabela 7.5 Dscretzação estendda... 3 Tabela 7.6 Dscretzação da nterface de contato placa-solo

19 Tabela 7.7 Tabela 7.8 Tabela 7.9 Tabela 7. Valores do deslocamento da placa (hcm (em mm: Dscretzação estendda... 6 Valores do deslocamento da placa (h5cm (em mm: Dscretzação estendda... 7 Resultados para as duas modelagens: comparação entre o carregamento dstrbuído ntermedáro q 8 e a carga concentrada equvalente... Resultados para a duas modelagens: comparação entre o carregamento dstrbuído ntermedáro q 3 e a carga concentrada equvalente... Tabela A. Valores das coordenadas naturas e dos pesos de Gauss

20 . CONSIDERAÇÕES INICIAIS. - INTRODUÇÃO: O Método dos Elementos de Contorno (MEC vem se destacando entre os pesqusadores de dversos centros de estudo como um mportante método de smulação numérca, onde a solução dos problemas físcos é calculada em pontos dscretos (nós que são defndos sobre o contorno para os casos em que a solução fundamental é conhecda. Nesse método as equações dferencas que regem o domíno são transformadas em equações ntegras aplcáves à superfíce ou contorno do mesmo, reduzndo assm de uma undade as dmensões de problemas lneares analsados e facltando a sua aplcação em etensões nfntas ou sem-nfntas, já que satsfazem a condção de radação e regões com alta concentração de tensões. Por outro lado, a matrz do sstema é geralmente chea e não-smétrca. Para obter-se a equação ntegral de contorno que possblte a análse do problema, o MEC necessta de uma solução fundamental. Esta representa a resposta em um ponto do domíno nfnto devdo à aplcação de força untára em outro ponto do mesmo domíno. A utlzação de uma solução fundamental, que genercamente pode ser classfcada como uma desvantagem, na verdade proporcona precsão ao método (BARBIRATO, 999. Em problemas de nteração solo-estrutura o MEC têm-se mostrado efcente e confável. O solo, consderado neste trabalho como um meo elástco e estátco passa a ser dscretzado pelo MEC já que se trata de um domíno estenddo ao espaço nfnto (ou sem-nfnto. Esse método possu modelagem própra para tal domíno, uma vez que a solução fundamental utlzada no método já contempla a nfluênca do nfnto (ou sem-nfnto. O Método dos Elementos Fntos (MEF, por ser uma técnca de domíno, pode trazer algumas mplcações em análses que envolvam domínos nfntos, pos estes devem ser nterrompdos para que se gere uma dscretzação fnta, ocasonando a formação de um contorno fctíco, podendo causar erros na mplementação numérca. O MEF teve um crescmento etremamente rápdo com os avanços tecnológcos no campo da computação atngndo pratcamente todos os problemas de engenhara. O MEF tem a característca de apromar a solução da equação dferencal que rege o problema físco, utlzando valores do domíno de valdade do problema, ou seja, valores das varáves báscas do problema assocados a pontos nternos e de contorno do espaço em análse. Esse método é caracterzado por dvdr fscamente o contínuo em uma sére de elementos, equaconando-os como sub-regões contínuas de forma ndvdual e juntando-os para a solução do problema como um todo. A

21 formulação do MEF é, na maora das vezes, baseada na técnca dos resíduos ponderados que permte uma generalzação maor do método. Porém seu equaconamento pode anda ser apresentado a partr dos prncípos varaconas através da mnmzação de um funconal (COOK et al., 989 e SHAMES & DYM, 985. Para a dscretzação da estrutura em contato com o solo pode-se utlzar a formulação do elemento fnto DKT (dscrete Krchhoff trangle que utlza dscretamente a teora das placas de Krchhoff, também conhecda como teora de pequenos deslocamentos de placas delgadas, onde as deformações por esforço cortante e a energa de deformação causada por esse esforço são desprezadas (BATHE, 98 e COOK et al., 989. O estudo com problemas de nteração solo-estrutura utlzando o emprego conjunto do MEC e MEF a ser desenvolvdo neste trabalho vsa à obtenção de resultados mas precsos (tensões e deslocamentos, como também aprovetar as vantagens e característcas dstntas de cada método, já que dversas são as smplfcações utlzadas até hoje para se fazer tal tpo de análse. Os programas computaconas com os quas se poderam tentar tas smulações estão elaborados em elementos fntos, o que lmta muto o seu emprego devdo ao volume de nformações que se precsa gerar e aos problemas relaconados à smulação de meos nfntos ou sem-nfntos. O acoplamento dos dos métodos é bastante utlzado justamente por levar em conta as vantagens e desvantagens que estem entre eles e objetvar o estudo mas compleo de casos de engenhara onde estem, por eemplo, materas com propredades compleas e não-homogêneas, altas concentrações de tensões e potencas (BREBBIA & DOMINGUEZ, 989. Sendo assm, a abordagem da nteração solo-estrutura através do acoplamento MEC e MEF, objeto deste trabalho, é de grande nteresse para soluconar mutos problemas e está presente nas dscussões sobre o desenvolvmento tecnológco atual. O presente trabalho apresenta-se, portanto, no conteto da análse da nteração soloestrutura através do emprego conjunto do Método dos Elementos de Contorno (MEC e Método dos Elementos Fntos (MEF. O objetvo prncpal é o estudo da nteração solo-estrutura para problemas de engenhara utlzando-se uma formulação conjunta do MEC e do MEF para analsar o comportamento mecânco dos meos envolvdos. A partr do objetvo prncpal surgem os objetvos específcos, que subsdam o prmero com suas formulações. São eles: o desenvolvmento de um códgo computaconal para o estudo de eemplos de engenhara; o desenvolvmento de estudos para o acoplamento de dos métodos numércos MEC e MEF, onde o prmero utlzará a formulação de Kelvn para o meo nfnto (solo e o segundo utlzará o elemento de placa DKT (dscrete Krchhoff trangle para dscretzar

22 3 a estrutura da superfíce; o estudo sobre computação lgada à análse estrutural desenvolvmento de software a partr da plataforma Matlab; a contrbução para a formação de recursos humanos especalzados para o desenvolvmento regonal. O trabalho fnal apresentado como parte dos requstos para obtenção do título de mestre em estruturas contempla as consderações ncas do presente capítulo, bem como os demas capítulos que fazem parte do escopo deste trabalho, organzados da segunte forma: No capítulo são apresentados e defndos os fundamentos matemátcos necessáros e utlzados para o desenvolvmento da formulação do Método dos Elementos de Contorno. No capítulo 3 é desenvolvda a formulação trdmensonal elastostátca do Método dos Elementos de Contorno (MEC, utlzando os fundamentos matemátcos, representações ntegras, soluções fundamentas, bem como as correspondentes equações algébrcas para a dscretzação do solo em elementos de contorno. Neste capítulo também são apresentados e analsados eemplos de estruturas de engenhara dscretzadas através de elementos de contorno. Em seguda, no capítulo 4, é apresentada a formulação do MEF utlzando-se o elemento trangular de placa DKT para a dscretzação da estrutura. Neste capítulo é realzado um estudo sobre placas: concetos, hpóteses e equações para a apresentação da matrz de rgdez do elemento fnto DKT, tensões, deslocamentos, bem como do seu vetor de cargas nodas equvalentes para carregamento unformemente dstrbuído. São apresentados anda eemplos de estruturas de engenhara estudadas através do MEF. O acoplamento do MEC e MEF é o objeto de estudo do capítulo 5. São defndas as soluções para a compatblzação das equações governantes dos dos métodos, levando-se em consderação que após o acoplamento dos dos métodos, a estrutura computaconal de dados (tensões e deformações será dsposta em MEC e MEF. Serão descrtas as duas metodologas para o acoplamento dos métodos para problemas de análse da nteração solo-estrutura, bem como apresentadas e dscutdas algumas dfculdades do processo. No capítulo 6 são apresentadas as mplementações computaconas utlzadas, apresentando as rotnas de mplementação mas mportantes. O sétmo capítulo é referente aos eemplos fnas. Nas conclusões geras são apresentadas algumas consderações fnas sobre os assuntos abordados. Para fnalzar são apresentadas as referêncas utlzadas em todo o desenvolvmento do trabalho, bem como os aneos com o desenvolvmento e apresentação de equações mportantes para o completo entendmento dos dversos assuntos abordados.

23 . - ESTADO DA ARTE: 4 Na últma metade do século passado com o desenvolvmento da tecnologa da computação, dversas técncas numércas de resolução de equações ou de sstemas de equações dferencas deram orgem a efcentes ferramentas de cálculo possbltando a análse dos mas varados problemas de engenhara através dos métodos numércos. As técncas de resolução de equações ntegras de contorno surgem, neste conteto, com procedmentos numércos alternatvos promssores para a resolução dos dversos problemas físcos usuas das engenharas. Mas partcularmente, o Método dos Elementos de Contorno (MEC vêm ganhando espaço entre os pesqusadores dos mas concetuados centros de pesqusa. O método teve seu níco e evolução baseados nos esquemas de resolução de equações ntegras, até então vstos como um tpo de método analítco, embora apromações das varáves sobre o contorno fossem usualmente adotadas. A déa básca do MEC consste em transformar as equações dferencas que regem o domíno de um determnado problema em equações ntegras aplcáves à superfíce ou contorno do mesmo. Em seguda, é possível dscretzar o contorno da regão consderada, dvdndo-o em elementos daí o nome elementos de contorno como também relaconar as varáves em pontos do contorno através da solução fundamental. Segundo ELLIOT apud VENTURINI (988, fo Abel, em 83, quem prmero deduzu uma equação ntegral para o tratamento de um problema físco, o pêndulo sócrono. A obtenção matemátca das equações ntegras para problemas de elastostátca surgu no século XIX, notadamente no trabalho de SOMIGLIANA (886 apud BARBIRATO (999 denomnada como Identdade Somglana. Dversos trabalhos deram contnudade a esse conteto, utlzando equações ntegras, prncpalmente no campo da mecânca dos fludos e potencal; podese relaconar: FREDHOLM (93, MUSKHELISHVILI (953, VOLTERRA (956 e MIKHLIN 3 (957 apud BARBIRATO (999. ANDERSEN, R. S. et al. (98. The applcaton and numercal soluton of ntegral equatons. Alphen aan den Rjn, The Netherlands, Sjthoff & Noordhoff. SOMIGLIANA, C. (886. Sopra equlbro d um corpo elástco sótropo. I Nuovo cmento. Ser. 3, v MIKHLIN, S.G. (957. Integral equatons. London. Pergamon Press (Internatonal seres of monographs n pure and appled mathematcs.

24 5 A formulação do método em uma prmera fase de sua hstóra era mostrada a partr de apromações de equações ntegras obtdas com o emprego de algum prncípo clássco, como o teorema de Bett. A utlzação de equações ntegras no contorno tornou-se uma alternatva para também representar apromadamente as equações governantes de problemas de valor de contorno. O trabalho de RIZZO (967 fo o prmero em que o tratamento das equações ntegras toma uma forma de técnca numérca smlar à dos demas métodos Método das Dferenças Fntas e Método dos Elementos Fntos. O método proposto por Rzzo fo chamado de método das equações ntegras de contorno, já que era uma técnca alternatva das equações ntegras em problemas de elastcdade b-dmensonal, que usou elementos retlíneos para dscretzar o contorno onde as funções (deslocamentos e forças de superfíce assumam valores constantes em cada elemento. Segundo BECKER (99, este trabalho é também o prmero a propor a abordagem dreta para o tratamento das equações ntegras, onde as ncógntas que aparecem nos ntegrandos são as varáves físcas do problema. Vsando um maor entendmento e aperfeçoamento do método proposto e uma maor dvulgação do Método das Equações Integras de Contorno, dversos trabalhos foram publcados após o trabalho de RIZZO (967. Pode-se ctar os trabalhos de CRUSE (969; 973 que mostraram o uso do método em problemas geras de elastcdade tr-dmensonal, RIZZO & SHIPY (968 onde fo sugerdo o uso de sub-regões para o tratamento de domínos nãohomogêneos, além de CRUSE & RIZZO (968 e CRUSE & VAN BUREN (97 que fzeram uma análse para problemas não-lneares. O grande avanço nos chamados métodos de contorno tem sua orgem na tese de LACHAT (975, onde mostra-se bem mas abrangente que os trabalhos ctados anterormente. Neste trabalho fo dada uma generaldade maor ao método, ntroduzndo em sua formulação as representações paramétrcas para a representação dos elementos de superfíce e das funções apromadoras de deslocamentos e de forças de superfíce. A técnca das sub-regões aparece nesse trabalho, não só para modelar corpos não homogêneos, mas como um recurso para facltar a resolução do sstema fnal de equações. Após a tese de Lachat, as técncas de resolução das equações ntegras começaram a ser nterpretadas como um método numérco. Essa nova nterpretação fca demonstrada no trabalho de BREBBIA (978 que formula as equações ntegras a partr do método dos resíduos ponderados, com uma convenente escolha da função ponderadora. Esse novo enfoque dado à técnca permte uma generalzação anda maor ao método.

25 6 Os problemas prátcos de engenhara passaram a ser equaconados agora de uma forma bastante consstente, utlzando-se para sso as respectvas formulações em termos de resíduos ponderados e funções de forma tão utlzadas no Método dos Elementos Fntos. Brebba fo o prmero a denomnar a técnca de Método dos Elementos de Contorno, em 978. A partr de então, váras formulações foram propostas para análse dos mas varados problemas de engenhara, podendo-se destacar aqu os relatvos a não-lneardade físca, plastcdade, vscoelastcdade, vscoplastcdade, não-lneardade geométrca, mecânca da fratura, contato, mecânca das rochas e dos solos, adensamento, percolação e efetos dnâmcos, vbrações, propagação de ondas, radação, acústca, placas, cascas, concentração de tensão, nterações soloestrutura, fludo-estrutura e acústca-estrutura, e outros. No campo das engenharas, uma solução aproprada ao estudo de problemas relatvos a escavações, nteração solo-estrutura e outros, fo publcada logo após o surgmento do Método dos Elementos de Contorno, de autora de NAKAGUMA (979 que utlzou a solução fundamental de Mndln na formulação do método para análse de tensões em sóldos trdmensonas. NAKAGUMA (979, SÁ & TELLES (986 e BARBIRATO (99 utlzaram formulações do MEC para análse trdmensonal com as soluções fundamentas de Kelvn e Mndln. A aplcação do MEC para o estudo de problemas trdmensonas tem como precursores os trabalhos de CRUSE (969, LACHAT (975 e NAKAGUMA (979, já ctados. Este tema também é abordado em CUROTTO (98, SILVA (989, BARBIRATO (99, CODA (993, entre outros. KOCAK & MENGI ( apresenta um estudo de um modelo smples para analsar a nteração solo e estruturas trdmensonas. Neste trabalho, a regão do solo, analsada em elementos de contorno, fo dvdda em camadas e cada camada representada por um modelo paramétrco. Os parâmetros deste modelo foram determnados em termos da espessura e das propredades elástcas do subleto. Além da possbldade de combnarem-se regões com quasquer propredades mecâncas, lneares ou não, os problemas prátcos egem também a combnação entre partes estruturas de dferentes naturezas, em mutos casos tratados por métodos numércos dferentes. Alguns algortmos numércos que combnam o Método dos Elementos de Contorno com outras técncas, já foram propostos por dversos autores.

26 7 Os trabalhos de ZIENKIEWICZ et al. (977, SHAW & FALBY (977 e OSIAS et al. (977 4 apud VENTURINI (988 foram os prmeros a tratar sóldos onde uma parte é analsada va Elementos de Contorno e o restante do domíno é dscretzado e analsado pelo Método dos Elementos Fntos. A solução encontrada na combnação de ambas as técncas numércas é muto relevante em dversos problemas prátcos, tas como: domínos nfntos ou regões de altas concentrações de tensões são melhores representados por soluções com ntegras no contorno e domínos com comportamento não lnear ou ansotrópco por soluções com ntegras no domíno. Um dos trabalhos a estudar as combnações de dferentes naturezas fo desenvolvdo por BANERJEE & BUTTERFIELD (977 que estudou a nteração solo -estrutura para analsar o comportamento de grupos de estacas. WOOD & CREED (98 também utlzaram combnações do MEC e MEF para analsar nteração solo-estrutura. Nesse caso partcular, os autores mostraram resultados obtdos na análse de uma plataforma off-shore apoada em fundação composta por estacas. Atualmente estem dversos trabalhos na lteratura que estudam a nteração solo-estrutura através do acoplamento entre o MEF e o MEC demonstrando desta forma a mportânca e o crescmento desta ferramenta para o estudo dos problemas de engenhara. KOMATSU (995 desenvolveu um estudo de problemas de escavação através da combnação Elementos de Contorno e Elementos Fntos. Fo apresentada uma combnação do MEF com o MEC no acoplamento de uma estrutura retculada em um domíno bdmensonal. Para o caso em análse, os elementos unaas são tratados através do MEF, enquanto que o MEC é utlzado na modelagem do meo contínuo que pode ser homogêneo ou não-homogêneo. FERRO (999 em seu trabalho, utlzou a combnação do MEC com o MEF para a análse da nteração entre estacas e o solo, consderado como um meo nfnto trdmensonal e homogêneo. O meo contínuo trdmensonal de domíno nfnto é modelado pelo MEC, enquanto as estacas consderadas como elementos retculares são tratadas pelo MEF. Fnalmente, uma formulação para a análse do comportamento não-lnear do solo na nterface com a estaca é desenvolvda, tornando o modelo mas abrangente. MESQUITA & CODA (999 formularam um novo estudo sobre escavações reforçadas através da combnação entre o MEC e o MEF. 4 OSIAS, J.R.; WILSON, R.B. & SEITELMAN, L.A. (977. Combned boundary ntegral equaton fnte element analyss of solds. In: Symposum on nnovatve numercal analyss n appled engneerng scence, st, Versalles, CETIM.

27 8 No artgo publcado por VON ESTORFF & FIRUZIAAN ( é desenvolvda uma formulação acoplada do MEF e MEC para a nvestgação da nteração dnâmca solo estrutura nclundo não lneardades, analsando uma resposta nelástca transente de estruturas acopladas com um meo sem-nfnto. A estrutura e o solo crcunvznho no campo prómo são modelados com Elementos Fntos. Neste trabalho verfca-se o uso de materas elastoplástcos e nãohomogêneos e com efetos de endurecmento. A radação na regão do solo em meo elástco é dscretzada através de Elementos de Contorno. A análse da nteração solo-estrutura através do acoplamento da equação de Somglana para dscretzar o meo elástco e o sstema que vem dos elementos fntos para dscretzar a estrutura é desenvolvda no trabalho de GUARRACINO et al. (99. Neste trabalho, algumas característcas partculares do MEC aplcado para o meo elástco são analsadas, estas são dervadas da escolha de uma solução fundamental. É possível encontrar uma matrz defnda postva e smétrca que permtem com facldade o acoplamento smples do MEF e MEC. Como já fo dto no tópco anteror, a dscretzação da estrutura em contato com o solo será desenvolvda através do MEF pela formulação do elemento fnto DKT (dscrete Krchhoff trangle que faz parte do grupo de elementos dscretos de Krchhoff e é conhecdo como um elemento fnto de placas à fleão, COOK et al. (989. As estruturas a serem estudadas são dscretzadas como placas fnas submetdas a carregamentos ortogonas ao plano médo, ou superfíce méda. A teora de Krchhoff é utlzada onde seções planas permanecem planas após a deformação da estrutura, ou seja, qualquer reta perpendcular à superfíce méda antes do carregamento, permanece perpendcular à superfíce méda deformada após o carregamento. Toda a formulação de dscretzação da estrutura através do MEF terá como fundamento básco os trabalhos de BATHE (98, COOK et al. (989, ZIENKIEWICZ & TAYLOR (989 e RAO (999. BATOZ et al. (98 faz uma avalação dos elementos trangulares para dscretzação de placas à fleão com o objetvo de dentfcar o elemento fnto mas efcente para a análse de placas fnas. Baseado numa revsão dos elementos dsponíves na lteratura com 9 graus de lberdade fo desenvolvdo um estudo com os elementos DKT (dscrete Krchhoff trangle, HSM (hybrd stress model e SRI (selectve reduced ntegraton. São dscutdas as novas e efcentes formulações desses elementos e os resultados de dversos eemplos prátcos analsados são dsponíves. Fo concluído que os mas efcentes são os elementos DKT e HSM.

28 9 BATOZ (98 desenvolve em um outro trabalho, uma nova epressão eplícta da matrz de rgdez do elemento DKT. Alguns resultados numércos nteressantes avalando o comportamento deste elemento são apresentados e dscutdos. No trabalho de JEYACHANDRABOSE et al. (985 a matrz de rgdez para o elemento DKT é formulada eplctamente num sstema de coordenadas globas. Esta apromação faz com que não seja necessára a transformação da rgdez e propredades dos elementos de coordenadas local para global na qual é solctada em dversos outros artgos e trabalhos. É adconado um códgo computaconal em FORTRAN 77 para montagem da matrz de rgdez do elemento em coordenadas globas. Um outro trabalho bastante nteressante fo desenvolvdo por BATOZ & LARDEUR (989, onde é desenvolvda a formulação de um novo elemento trangular de 3 nós e 9 graus de lberdade váldo para a análse de placas fnas. A formulação é baseada na generalzação da técnca dscreta de Krchhoff nclundo os efetos cortantes transversas. O elemento é conhecdo como DST (dscrete shear trangle. OSHIMA (4 apresenta uma formulação msta do MEC e do MEF. Nessa formulação, as estacas são modeladas através do MEF como elementos de barra e o solo através do MEC, como um meo contínuo, elástco lnear, sótropo e homogêneo, utlzando as soluções fundamentas de Mndln. A segur, apresentam-se alguns eemplos numércos obtdos a partr da formulação proposta e compara-se com modelos de outros autores. No trabalho de RIBEIRO (5, que estuda a nteração do solo com a estrutura, o solo é modelado pelo MEC trdmensonal, aplcando a solução fundamental de Kelvn. Neste trabalho, é possível analsar problemas onde o solo é composto por ca madas de dferentes característcas físcas, apoadas em uma superfíce de deslocamento nulo e enrjecdas por elementos de fundação, também modelados pelo MEC trdmensonal. Podem-se ctar anda os trabalho s de PAIVA & BUTTERFIELD (997 que apresenta uma formulação do Método dos Elementos de Contorno para analsar problemas de nteração placa solo e MENDONÇA & PAIVA (, onde é desenvolvda uma análse elastostátca de raders estaqueados pelo método dos elementos de contorno. Outros trabalhos mportantes e utlzados para o desenvolvmento da pesqusa são: CODA (993, BERNAT & CAMBOU (998, CODA & VENTURINI (, KARINSKI et al. (3 e ALMEIDA (3.

29 - FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Os fundamentos matemátcos utlzados no desenvolvmento do trabalho e que servem de auílo para uma melhor compreensão das teoras apresentadas são descrtos neste tópco.. - NOTAÇÃO INDICIAL A notação ndcal é uma forma compacta de se representar e manpular sstemas de equações, combnações lneares e somatóros através de índces, possundo uma grande utldade em dversas stuações, como por eemplo, ao se trabalhar com as relações consttutvas dos materas. Esta notação é feta através do emprego de índces repetdos e lvres combnada com operações empregando estes índces, objetvando uma forma sucnta e elegante de escrta. Por eemplo, um conjunto de varáves,, 3 será denotado por, representando desta forma, o sstema de coordenadas cartesanas, onde as dreções cartesanas são defndas pelos índces, e 3. Nesta notação, os índces podem ser denotados como um subscrto ou sobrescrto, ou seja, ou são ambos váldos. Algumas varáves encontradas no trabalho são: deslocamentos, u ; forças de superfíce, deformações, ε j ; dentre outras. p ; forças de volume, b ; tensor de tensões, σ j ; tensor de Durante o desenvolvmento deste trabalho são apresentadas epressões na forma de somatóro. A convenção é a segunte: a repetção de um índce em um termo representará um somatóro com respeto a esse índce no seu ntervalo de varação. Em geral, é utlzada uma varação de a 3 para problemas trdmensonas. Por eemplo, ou seja, e b j c j j 3 b j c j b b j c j b b 3 b c b c b 3 c 3 c b c 3 c b c c b c b c 3 3 b c 3 3 b c 33 3 a, j,,3. (.. para, para, para 3. (..

30 a n w 3 j ( b j c j w b j c j (..3 As operações de dervação também podem ser representadas va notação ndcal. Observe - se o segunte eemplo para a dervada parcal de u e v, u l u, l (..4 v j k v j, k (..5 w j l k w j, lk (..6 Pode-se anda, aplcar a regra da cadea para encontrar a dervada de uma função composta, como por eemplo u u(b j (, ou seja u (..7, u,j bj, Estem alguns trabalhos onde se pode obter mas nformações sobre a notação ndcal tas como MASE (97, BREBBIA & DOMINGUES (989, KANE, J.H. (994, entre outros.. DELTA DE KRÖNECKER O símbolo δ j (,j,,3 é denomnado delta de Krönecker e defndo como:, se j δ j (.., se j Como e j são índces lvres no termo δ j e ambos varam de a 3, tem-se um total de 9 valores dados segundo a defnção de δ j por δ δ δ (.. 33 δ δ δ δ δ δ (

31 Em notação matrcal, tem-se δ δ δ 3 δ δ δ 3 δ δ δ , (..4 ou seja, o delta de Krönecker se reduz a matrz dentdade de ordem 3, podendo ser denotado como [ ] j δ [ ] I. Utlzando-se anda, a notação ndcal, tem-se δ δ δ δ j j T m δ a j j δ mj δ δ33 3, a jn T δ T δ jj, n. (..5a-d.3 DELTA DE DIRAC O conceto da dstrbução Delta de Drac é muto mportante para a formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC. A dstrbução Delta de Drac é uma função geral que pode ser defnda como o lmte de uma função normal, a qual é zero para todos os pontos do domíno, eceto para o ponto em que o argumento da função é nulo. Neste ponto o lmte tende para um valor nfnto, como defndo na função abao: δ(s - q, se q s; δ(s - q, se q s; e ρ(q δ(s - qdω ρ(s. Ω onde p e q são pontos do domíno Ω, e ρ (q uma função qualquer. (.3. Com o objetvo de elaborar uma descrção matemátca do ponto de ectação da fonte, será defnda a função pulso retangular untáro, defnda por F(,d,a.

32 A função F(,d,a, representada na fgura.3., tem como característca o valor untáro de sua ntegral qualquer que seja o domíno. É defnda da segunte forma: 3 F(,d,a a, se < d - a, se d - d a a, se > d a (.3. F F a a /a /a d d Fgura.3. Pulso retangular untáro (dos eemplos. Denomna-se de dstrbução Delta de Drac o lmte da função pulso untáro quando a largura a do retângulo tende para a zero, ou seja, tende ao nfnto. δ( d lm a F(, d, a (.3.3 A dstrbução Delta de Drac é muto utlzada em dversos problemas de engenhara onde as ectações são dealzadas como se acontecessem de forma pontual. Cargas concentradas em mecânca dos sóldos e fontes concentradas de energa nterna em análses térmcas são dos eemplos de aplcação. No MEC, esta função será utlzada para o desenvolvmento das soluções dferencas.

33 .4 TEOREMA DA RECIPROCIDADE DE BETTI 4 Seja o corpo defndo por Ω Γ que está em estado de equlíbro sob a ação de forças e deslocamentos prescrtos. Este estado de equlíbro é representado por σ j, ε j, p e b. Agora, será consderada a estênca de um domíno Ω com contorno Γ que contém o corpo Ω Γ já defndo na fgura.4.. A por σ j, Fgura.4. Defnção do corpo de nteresse: ( Esta nova regão defnda na fgura.4. também está em estado de equlíbro representado ε j, p e b. Ω Domíno e Γ (Contorno. Fgura.4. Defnção de e Γ Ω do corpo vrtual (Fundamental.

34 Aplcando a defnção da le de Hooke para um materal elástco sotrópco, para os dos estados de tensão anterormente defndos, tem-se: onde: C jkl Gν ν σ j Cjkl σ j Cjkl ε kl ε kl 5 (.4.a-b δ δ ( δ δ δ δ (.4. j kl G k jl l jk sendo G o módulo de elastcdade transversal ou módulo de elastcdade ao csalhamento do materal e ν o coefcente de Posson. logo: Então, pode-se escrever: j Por smetra, tem-se que: j j σ ε C ε ε ε (C ε (.4.3 j j j jkl kl kl jkl C jkl C klj (.4.4 kl (Ckljεj εkl σkl σ ε ε (.4.5 Utlzando as propredades de notação ndcal e ntegrando os dos membros, pode-se escrever a epressão (.4.5 da segunte forma Ω σ j εj dω σ j εj dω (.4.6 Ω A epressão acma defne o teorema da recprocdade de Bett, ou seja, o trabalho realzado pelas tensões no corpo Ω e Γ sobre as deformações no corpo Ω Γ é gual ao trabalho realzado pelas tensões no corpo Ω Γ sobre as deformações no corpo Ω e Γ..5 TEOREMAS DE GREEN Os operadores gradente e laplacano, no espaço trdmensonal, serão chamados de respectvamente e defndos por: e j k (.5.a y z

35 . y z (.5.b 6 onde, j e k representam os versores nas dreções, y e z respectvamente. Consdere-se, agora, um domíno consstndo de um volume Ω lmtado por um contorno Γ, suave por partes, onde as funções F(,y, escalar, e G (,y, vetoral, têm prmera dervada contínua em relação às coordenadas cartesanas. Neste caso, valem os seguntes teoremas: Ω grad(f.dω conhecdo como o Teorema do Gradente, e Ω FdΩ dv( Gd Ω Ω.Gd Ω Ω Γ Γ nfdγ n.g dγ (.5.a (.5.b conhecdo como o Teorema da Dvergênca, onde o ponto, (., representa o produto escalar de vetores, n representa o versor normal eterno ao contorno Γ. Em três dmensões, as equações acma são equvalentes a e ( F F F j k dω ( n j n y k n FdΓ y z z Ω Γ G ( Gy G z dω (n G nyg y nzg zdγ y z Ω Γ (.5.3a (.5.3b n. Respectvamente, e n, n y e n z (G, G y e G z são os componentes cartesanos de (G A partr dos teoremas defndos anterormente, pode-se demonstrar algumas dentdades que são utlzadas nas formulações apresentadas no decorrer do trabalho, tas como: Ω ( FHdΩ - Ω ( HFdΩ. GdΩ - ( F. G dω Ω Ω Γ Γ n FHdΓ (.5.4a F( n.fgdγ (.5.4b

36 ( FHdΩ F. HdΩ n( FHdΓ F HdΓ n Ω Ω Γ Γ H(,y representa uma função escalar com as mesmas propredades de F(,y. 7 (.5.4c O teorema da dvergênca pode ser utlzado para relaconar duas varáves no volume Ω. Assumndo-se a estênca de duas varáves, φ e λ, com prmeras e segundas dervadas contínuas no volume Ω, e empregando-se as eqs. (.5.b e (.5.3, é possível demonstrar a que a segunte dentdade, conhecda como o Teorema de Green, é válda: λ φ ( φ λ - λ φdω ( φ - λ dγ n n Ω Γ (.5.5.

37 3 - FORMULAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO INTRODUÇÃO A formulação estátca do Método dos Elementos de Contorno (MEC para sóldos elástcos trdmensonas é apresentada neste capítulo. As representações ntegras mostradas são equaconadas a partr do teorema de Bett, embora também seja comum a utlzação do método dos resíduos ponderados para essa fnaldade. As característcas da formulação para problemas elastostátcos são aplcadas no equaconamento das representações ntegras, na dscretzação do sóldo e geração dos sstemas algébrcos. O capítulo nca-se com uma revsão das equações báscas da elastostátca lnear que são utlzadas para gerar as referdas ntegras de contorno. Em um prómo tópco é apresentada a solução fundamental de Kelvn que é utlzada para deduzr as representações ntegras para pontos do domíno e especfcamente para o contorno. Em seguda, é apresentada a dscretzação do contorno do corpo através do elemento de contorno trangular lnear descontínuo, determnando-se as equações matrcas do MEC propramente dto, bem como os procedmentos utlzados para a ntegração numérca. As epressões algébrcas para o cálculo de deslocamentos e tensões em pontos do contorno e do domíno também são mostradas EQUAÇÕES BÁSICAS DA ELASTOSTÁTICA LINEAR Seja um sóldo trdmensonal elástco-lnear, sotrópco e homogêneo em equlíbro estátco defndo por um domíno Ω e contorno Γ, sobre o qual atuam forças de superfíce p (atuam apenas sobre a superfíce do corpo e forças volumétrcas corpo, de acordo com a fgura 3... b (atuam sobre o volume do Fgura 3.. Sóldo trdmensonal de domíno Ω e contorno Γ.