Resumo. Palavras-chave. Método energético; ação térmica; concreto armado. Introdução

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1 Verfcação do Estado lmte de Deformação Excessva para Vgas de Concreto Armado Submetdas à Ação Térmca Túlo Raunyr Cânddo Felpe 1, Camla Mara ra de Souza, Máro Cesar Soares Xaver 3, Kalel Gomes Andrade 4 1 Escola de Engenhara de São Carlos / Unversdade de São Paulo /Departamento de Engenhara de Estruturas / tulo-raunyr@usp.br,3 Unversdade Estadual da Paraíba/Departamento de Engenhara Cvl / camlauep@gmal.com/cesar@ccts.uepb.edu.br 4 Centro Unverstáro de João Pessoa/ Departamento de Engenhara Cvl/ kalel.gomes@hotmal.com Resumo Quando um engenhero estrutural for projetar uma estrutura de concreto armado, o mesmo deve fazer as verfcações de estado lmte últmo e estado lmte de servço, descrtos na ABNT NBR 6118:014 em vsta a proporconar, respectvamente, segurança e durabldade a estrutura durante a sua vda útl. Neste caso, a mportânca de estudar os elementos estruturas quando estão submetdos à ação térmca, vsto que, esta ação em mutos casos não é levada em consderação no dmensonamento dos projetos estruturas, ocorrendo que os projetstas coloquem juntas de dlatações para atenuar os efetos, contudo, para uma varação brusca de temperatura a probabldade de ocorrênca de danos a estrutura. Assm, para comprovar a mportânca da verfcação do efeto térmco em vgas de concreto armado, este trabalho tem como objetvo, utlzar o Método Energétco e as equações dferencas para determnar os deslocamentos no caso em que a estrutura esteja submetda a uma varação de temperatura. Assm, fo possível encontrar a equação da lnha elástca levando em consderação a nfluênca da temperatura e os carregamentos atuantes na estrutura. Os deslocamentos vertcas foram determnados partndo do Método de Raylegh-Rtz, que consste na mnmzação da energa potencal total do sstema (Prncípo da Mínma Energa ou Condção de Estaconaredade), reduzndo o problema varaconal a um sstema de equações algébrcas, ou seja, substtundo o modelo contínuo por um modelo dscreto com um número fnto de graus de lberdade (dscretzação do problema). Este método fo mplementado em uma rotna no software comercal Wolfram Mathematca. Por fm, foram comparados os resultados das flechas totas com a flecha lmte admssível prescrta na Tabela 13. da ABNT NBR 6118:014 em vsta de determnar uma temperatura crítca, na qual, a flecha total ultrapasse a flecha lmte admssível. Palavras-chave Método energétco; ação térmca; concreto armado. Introdução Para alguns casos de problemas da engenhara cvl, ao se tratar do comportamento lnear de estruturas utlza-se formulações da forma forte e fraca do Problema de Valor de Contorno para soluconar problemas. Onde a forma fraca busca uma solução aproxmada e é a mas comumente usada.

2 O Problema de Valor de Contorno envolve as condções de equlíbro, compatbldade e as les consttutvas que possuem o número de constante elástca do materal varando de acordo com o grau de ansotropa apresentado pelo meo. Para o caso geral a matrz consttutva é anda smétrca e apresenta vnte e uma constantes elástcas provocando assm tanto deformações lneares quanto dstorções angulares. Pode-se dzer que a forma forte busca que a função atenda a todos os pontos da equação dferencal, exgndo uma maor satsfação das condções de contorno assm como da função solução. Enquanto a forma fraca permte que se utlze uma função aproxmatva para a solução do problema exgndo apenas que as condções de contorno sejam satsfetas, apresentando vantagens sobre a forma forte pos nem sempre é possível a sua determnação analítca (PROENÇA, 010). Forma Fraca pelo Método da Energa Nesta seção será realzada uma sucnta revsão teórca sobre a obtenção da Forma Fraca pelo Método da Energa. Esta revsão será mportante para ntroduzr os concetos fundamentas que serão aplcados para formular o problema em estudo. Maores detalhes sobre este tópco os autores recomendam os trabalhos de PACCOA (015), PROENÇA (010), SORIANO (003) e SAVASSI (000). Com aplcação dos prncípos varaconas a forma fraca pode ser obtda pelo método da energa onde consderando um sstema conservatvo composto por uma estrutura ou sóldo deformável e forças aplcadas, pode-se encontrar a Energa Potencal Total do sstema. Esta é dvdda em energa potencal das forças externas aplcadas e outra parcela da energa potencal elástca ou de deformação. Os chamados prncípos varaconas determnam que na stuação de equlíbro a Energa Potencal Total apresenta valor estaconáro e que, dentro dos lmtes da resposta estrutural lnear, um mínmo local dessa quantdade é condção necessára e sufcente para a establdade do equlíbro (PROENÇA, 010). A energa de deformação é, por defnção, uma forma de energa nterna do sóldo de natureza mecânca e movmentada no processo de deformação. Sendo representada por uma função contnua do estado atual de deformação. Por defnção a Energa Específca de Deformação (u e ) é dada por: du e (1) d Para o caso elástco-lnear (e de Hooke), a Energa Específca de Deformação torna-se: E ue d Ed () 0 0 Assm, a Energa Potencal de Deformação (U) apresenta-se como uma forma quadrátca no tensor das deformações. ogo, ntegrando no corpo, obtemos:

3 E U uedv dv (3) V V Conforme Proença (010), U é um funconal do campo tensoral ɛ(x), ou uma aplcação que assoca um escalar a um tensor. A segunda parcela de energa que compõe a Energa Potencal Total está assocada às forças aplcadas no sóldo. Assm, quando um sóldo passa de sua posção ncal à uma posção deformada, temos a ocorrênca de uma varação da energa potencal de posção, ou seja, da Energa Potencal Externa ou das Forças Aplcadas (Ω). Assm, para o sstema com forças conservatvas, Ω é dada por: (4) b u dv q u da P u j j k k V j A k Sendo, b as forças de volume, q j as forças de superfíces e P k as forças concentradas. Assm, conhecendo as parcelas de energa exstentes temos que a Energa Potencal Total (π) é obtdo a partr da soma dessas parcelas, ou seja: U (5) A solução da equação (5) é determnada a partr dos Prncípos Varaconas, nos quas são propostos dos teoremas. O Prmero Teorema Varaconal, stuação de equlíbro, π apresenta valor estaconáro, ou seja, prmera varação nula. O Segundo Teorema Varaconal, establdade do equlíbro, π apresenta segunda varação postva, condção necessára e sufcente. Seja, a vga submetda a flexão mostrada na Fgura 1. ogo, consderando as seguntes hpóteses: regme elástco lnear, com pequenos deslocamentos e gros de suas seções transversas. Recordando alguns concetos da Teora Clássca de Vga, a Energa Potencal Total do problema, torna-se: Fgura 1 Vga submetda a flexão. Fonte (PACCOA, 015). E dv qvdx Pv V (6) 0

4 Utlzando, a hpótese de pequenos gros e deslocamentos pequenos, obtemos para ɛ a segunte relação: x yv '' (7) Substtundo (7) em (6), e pela hpótese de Euler-Bernoull, seção plana permanece plana e ortogonal a lnha neutra, obtemos: E( yv '') da dx qvdx Pv 0 A 0 Ev ( '') 0 A 0 y da qvdx Pv EI ( v '') dx qvdx Pv 0 0 (8) Onde E, I, q e P representam, respectvamente, o módulo de elastcdade, o momento de nérca, o carregamento dstrbuído e a carga concentrada. Método de Raylegh-Rtz Dentro dos métodos de soluções aproxmatvas para a equação (5), o mas comumente utlzado é o Método de Raylegh-Rtz, em que consste, na mnmzação do funconal de energa potencal total. Como ctado anterormente, o Prmero Teorema Varaconal mpõe que na condção de equlíbro a prmera varação do funconal é nula. Assm, sendo y(x) a solução procurada para (5), podemos representar a energa potencal total por: x ( n) ( ),, ', '',..., Adotando uma função aproxmatva expressa por: y x F x y y y y dx (9) ~ x 1 0 y( x) y ( x) (10) Onde α, ϕ e y 0 (x) são, respectvamente, os parâmetros ncógntos, as funções homogêneas nas condções de contorno essencas e as funções que satsfazem as restrções essencas de contorno. Então, substtundo (10) em (9), e realzando-se as ntegras, obtemos: ogo, partndo da condção de estaconaredade resulta: ~ (11)

5 ~ 0 (1) Se o funconal for quadrátco, (1) resulta em um sstema de equações algébrcas lneares. Resultados e Dscussões Para a valdação da formulação apresentada neste trabalho fo realzado um estudo de caso em uma estrutura smples de concreto armado, em que a planta de forma é mostrada na Fgura. Prmeramente, vamos verfcar o estado lmte de deformação excessva consderando somente os carregamentos vertcas que estão atuando na vga V1. Depos vamos ntroduzr no modelo a varação de temperatura nas faces nferor e superor da vga V1. A estrutura é formada por plares com dmensões de 15x30 cm, vgas com dmensões de 15x40 cm e a laje sendo pré-moldada do tpo trelçada undreconal com EPS e espessura de 1 cm (comumente utlzada nas construções de pequeno porte). As paredes de vedação serão de tjolos furados com espessura de 15 cm e altura de,8 cm. Como os plares não possuem rgdez sufcente para engastar as vgas, consderou-se que as vgas são rotuladas. Calculando o peso própro da laje e da vga V1, obteve, respectvamente, 1,5 kn/m e 1.5 kn/m. Anda, consderou-se um acréscmo de 1,0 kn/m atuante na laje devdo ao peso própro de um contra pso e revestmento cerâmco, logo, a carga permanente na laje é de,5 kn/m. De acordo com a ABNT NBR 610:1980 em edfcações resdencas, a carga varável mínma para dormtóros, sala, copa, coznha e banhero é de 1,5 kn/m, e para despensa, área de servço e lavandera é de,0 kn/m, assm, adotou-se uma sobrecarga de,0 kn/m. Fgura Planta de forma da estrutura analsada.

6 O levantamento dos esforços para cada elemento estrutural fo realzado através do processo das áreas, conforme o tem da ABNT NBR 6118:014. O vão efetvo da laje e da vga V1 foram determnados a partr das dstâncas exo a exo de cada elemento. Portanto, a carga unformemente dstrbuída na vga V1 é de 15,96 kn/m. Consderando que a vga V1 seja concretada com um concreto de f ck gual a 5 MPa, dosado com agregado formado por granto e gnasse, a ABNT NBR 6118:014 prescreve que o módulo de elastcdade ncal, E c, seja determnado pela segunte expressão: E 5600 f MPa (13) c ck O módulo de elastcdade secante, E cs, utlzado para a verfcação do estado lmte de servço é estmado pela segunte equação: fck Ecs E c Ec 4080MPa 80 (14) Partndo do esquema estátco dado na Fgura 3, sendo que a orgem do sstema de coordenadas fo adotada no ponto A, podemos escreve a Energa Potencal Total do problema e através da mnmzação desta energa determnar a função que rege o comportamento da deformada da vga. Recordando o estudo de deflexão em vga, observa-se que a equação exata para os deslocamentos vertcas para esta vga é dada por um polnômo do 4º grau. Assm, para determnar a função da deformada pelo Método da Energa, consderou-se também um polnômo 4º grau. Nota-se que as condções de contorno essencas do problema, são os deslocamentos nulo no ponto A e no ponto B. Fgura 3 Esquema estátco da vga em estudo v( x) a x a x a x a x a (15) Aplcando as condções de contorno, a função da deformada, torna-se: Então, o potencal de energa é dado por: 4 3 v( x) a x 64x a x 16x a x 4x (16) 1 3

7 4 4 EI v'' dx qvdx (17) 0 0 Substtundo (16) em (17), aplcando o Método de Raylegh-Rtz e a utlzação de uma rotna no software Wolfram Mathematca 9.0 Student Edton, obtemos a segunte deformada para a vga. Fgura 4 Rotna executada no Wolfram Mathematca. Fgura 5 Deformada da vga sem o efeto da temperatura. A flecha máxma (meo do vão) determnada fo de,76 mm. Nota-se que como a função de aproxmação dos deslocamentos fo do mesmo grau que a solução exata do problema, a equação da deformada da vga retorna os valores exatos ponto a ponto ao longo do comprmento da vga. Recordando da Mecânca dos Sóldos que a flecha máxma para a vga em estudo é dada por:

8 4 5q,76mm (18) 384EI Então, a flecha total é dada pela flecha ncal (elástca) mas a flecha dferda. A mesma pode ser obtda multplcando-se a flecha ncal pelo coefcente (1+α f ), com α f dado no tem da ABNT NBR 6118:014. Em que este coefcente leva em consderação o efeto da fluênca que ocorre ao longo do tempo no concreto. Assm, consderando um tempo (t 70 meses) e carregamento aplcado em t 0 = 1 mês (Tabela 17.1 da ABNT NBR 6118:014), resulta: t (1 f ),76(1 1,3) 6, 40mm (19) A flecha lmte admtda pela referda norma, na Tabela 13., para acetabldade sensoral é dada pelo comprmento do vão dvddo por 50, resultando em 16 mm. ogo, como a flecha total é menor que a flecha lmte ela atende as especfcações normatvas. Agora vamos analsar a vga mostrada na Fgura 3 consderando uma varação lnear de temperatura, atuando na face nferor da vga uma temperatura (ΔT ) e na face superor uma temperatura (ΔT s ), assm, partndo de uma seção de comprmento dx podemos determnar a deformação total que a vga está submetda, fazendo: Fgura 6 Deformações devdo a uma varação de temperatura em um elemento de comprmento dx. Fonte (PACCOA, 015). total elástco resdual elástco total resdual r (0) Combnando (0) e (), a energa específca de deformação, torna-se: E u d E( ) d E e r r 0 0 (1) A deformação resdual é dada pela relação de compatbldade o que resulta em: du ( y ) y r ( y) T Ts () dx h Em que, α, h e y são, respectvamente, o coefcente de dlatação, altura da vga e a posção da fbra analsada. ogo, a Energa de Deformação é dada combnando (), (1) e (3), aplcando a relação dada na equação (7), obtemos:

9 0 A 0 A E U dv ErdV V E( yv '') y U dadx E T Ts ( yv '') dxda h E( v'') E U y da dx T Ts y da dx h 0 A 0 A V EI EI T Ts ( '') ( '') (3) h 0 0 U v dx v dx A equação (3) pode ser utlzada para determnar a Energa de Deformação para vgas com dferentes tpos de vnculações e carregamentos. Assm, para o caso em estudo a Energa Potencal Total, torna-se: 4 EI 4 EI T 4 Ts v'' dx ( v'') dx qvdx h (4) Utlzando a equação de aproxmação dos deslocamentos dado em (16), e consderando que a temperatura na face superor da vga permaneça constante em 0 ºC, podemos determnar os deslocamentos máxmo da mesma (meo do vão), varando a temperatura na face nferor em 0, 50, 75 e 100 ºC, como apresentado na Tabela 1. A temperatura fo lmtada em 100 ºC para garantr que o módulo de elastcdade do concreto não houvesse redução de seu valor, conforme a ABNT NBR 1500:01. A parcela devdo a varação de temperatura fo ntroduzda na rotna do software Mathematca (Fgura 7). O coefcente de dlatação térmca para o concreto fo admtdo como sendo gual a 0,00001 ºC -1 de acordo com a ABNT NBR 6118:014. Tabela 1 Determnação da flecha elástca e flecha total consderando a combnação das cargas atuantes na vga e da varação de temperatura. ΔT (ºC) δ (mm) δ t (mm) 0,76 6, ,6 9, ,51 1, ,76 15,68 Recordando que na determnação da flecha total deve ser consderado o efeto da fluênca do concreto, assm, para um tempo ncal de aplcação do carregamento de longa duração, t 0 =1 mês, e o tempo quando se deseja o valor da flecha total, t 70 meses, obtemos, (1+α f ) =,3. A flecha total fo obtda multplcando (1+α f ) pela flecha elástca (δ). Verfca-se que para as condções de carregamento e vnculação da vga em estudo, a flecha total fcou dentro do lmte prescrto para acetabldade sensoral. ogo, a equação (16) para um ΔT = 100ºC e um ΔT s = 0ºC (últma lnha da Tabela 1), torna-se: v( x) 3.403*10 x 64x.7616*10 x 16x 10 x 4x (5)

10 Fgura 7 Rotna executada no Wolfram Mathematca com varação da temperatura. Conclusões A avalação do gro, momento fletor e esforço cortante é smplesmente determnada pela prmera dervada, segunda dervada multplcado por sua rgdez e tercera dervada multplcado também por sua rgdez, respectvamente, da equação (5). Assm, conclu-se, que a formulação apresentada neste trabalho pode ser utlzada para determnação dos deslocamentos, gros e esforços nternos de qualquer tpo de vga sujeta a combnação de carregamentos (dstrbuídos e/ou concentrados) e uma varação de temperatura lnear. No caso de estruturas formadas por vgas contnuas, faz-se necessáro o acoplamento das condções de contorno essencas (deslocamentos e gros) em cada subdomíno para garantr a contnudade. Referêncas ASSOCIAÇÃO BRASIEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto Procedmentos, 014. ASSOCIAÇÃO BRASIEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 610 Cargas para Cálculo de Estruturas de Edfcações, PACCOA, R.R. Método da Energa. EESC-USP, 015 (Notas de Aulas). PROENÇA, S.P.B. Introdução aos Métodos Numércos. EESC-USP, 010 (Notas de Aulas). SAVASSI, W. Introdução ao Método dos Elementos Fntos em Análse near de Estruturas. EESC- USP, 000. SORIANO, H.. Método dos Elementos Fntos em Análse de Estruturas. EDUSP, 003. WOFRAM MATHEMATICA 9.0 STUDENT EDITION, Programa computaconal.