UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA APLICAÇÃO TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DIFUSIVOS TRANSIENTES COM DISSERTAÇÃO SUBMETIDA À UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA MARCELO FERREIRA PELEGRINI ILHA SOLTEIRA, MAIO DE 5.

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3 AGRADECIMENTOS Quando encerramos uma etapa nesta grande jornada que é a vda, é sempre mportante olhar para trás e agradecer as pessoas que, de uma manera ou de outra, estveram presentes nesta longa camnhada. Começo meus agradecmentos pelo meu orentador, mestre e amgo Casso Maa. As experêncas que tvemos dentro e fora da Unesp me tornaram uma pessoa mas madura e conscente de nosso papel transformador numa socedade tão njusta, mas chea de potencaldades quanto a braslera. Também não podera dexar de agradecer ao apoo e ncentvo que receb dos amgos Thago Antonn, companhero nas melhores e nas pores horas, Flávo José, uma das pessoas mas íntegras que já conhec e Paulo Eugêno, que me ensnou muto com seu jeto de encarar a vda. Em nome deles agradeço todos os amgos que conquste nesta jornada. Na passagem pela graduação, aqu mesmo em Ilha Soltera, tve a felcdade de trabalhar com város professores, a quem agradeço especalmente: Emanuel Rocha Wosk, o grande tutor do PET, Antôno de Pádua Lma Flho, meu prmero orentador, Edson Del Ro Vera e Sérgo Sad Mansur, com quem trabalhe e aprend por mas de dos anos. Vale também ressaltar e agradecer os amgos e também professores Rcardo Alan Verdú Ramos e João Batsta Campos Slva, pela sempre valosa ajuda dentro e fora da escola. Em nome deles agradeço a colaboração de todos os professores e funconáros do DEM. Agradeço também a colaboração de José Antôno Pret, na redação fnal deste trabalho Aos meus pas, Otávo e Francsca, uma menção especal, pela confança, carnho e ncentvo que depostaram em mnha pessoa. À ta Luc, ao avô Domngos e aos meus avós maternos, n memoran, pelo apoo e acolhda. Em nome deles agradeço toda a mnha famíla. À mnha namorada Rosa Mara. Suas palavras de carnho, companhersmo, amzade e bom senso são um refúgo nas horas mas dfíces. E acma de tudo a Deus, que nos gua e protege para construção de um mundo melhor.

4 RESUMO Pelegrn, Marcelo Ferrera, Aplcação da Técnca da Transformada Integral para Solução de Problemas Dfusvos Transentes com Propredades Termofíscas Varáves, Ilha Soltera, Faculdade de Engenhara de Ilha Soltera, Unversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho, 5. 18p. Dssertação (Mestrado em Engenhara Mecânca). A Técnca da Transformada Integral Generalzada - TTIG é uma técnca híbrda analítconumérca que vem sendo aplcada com sucesso em dversos problemas de transferênca de calor e massa os quas, geralmente, não possuem solução pelas técncas analítcas clásscas. Assm, vsando dar uma contrbução para o desenvolvmento e dssemnação da TTIG como uma ferramenta qualfcada para a resolução de problemas dfusvos complexos, fo proposto para o presente trabalho, através da TTIG, a obtenção da solução de problemas dfusvos de natureza parabólca em domínos de geometra elíptca e retangular que apresentam propredades termofíscas varáves. Para facltar o tratamento analítco, a equação da dfusão fo lnearzada fazendo uso da Transformada de Krchhoff sobre o potencal temperatura e, quando necessáro, as varáves espacas também foram convenentemente transformadas para facltar a aplcação das condções de contorno do problema. Para uma melhor compreensão dos problemas estudados, parâmetros físcos de nteresse foram determnados para dversas razões de aspecto. Para a vsualzação e análse do comportamento transente foram construídos, então, dagramas para representação de problemas cujos meos apresentam propredades com dversos tpos de dependênca com a temperatura. Posterormente, para fns de comparação, os problemas propostos para o presente trabalho foram resolvdos numercamente pela técnca de elementos fntos com o auxílo do programa computaconal Ansys. A partr dos resultados obtdos, observou-se que a TTIG fo aplcada com sucesso para a obtenção de solução de problemas dfusvos transentes multdmensonas que não admtem soluções pelas técncas analítcas clásscas. Palavras-Chave: Transformada Integral Generalzada, Dfusão, Transformada de Krchhoff, Células de Combustível, Resframento de Tarugos.

5 Sumáro Lsta de Fguras... Lsta de Tabelas... v Lsta de Símbolos... x 1. Introdução, Motvação e Objetvos Consderações Incas Motvação Objetvos e Problemas Propostos Objetvos Geras Problemas Propostos Hstórco TTIG e Revsão Bblográfca Hstórco da TTIG Revsão bblográfca Problemas dfusvos resolvdos com o auxílo da TTIG Aplcações em geral Transformada de Krchhoff e Técnca da Transformada Integral Generalzada Introdução Transformada de Krcchoff Técnca da Transformada Integral Generalzada Fundamentação Teórca Metodologa Formulação para Aplcações Multdmensonas Exemplo de Remoção das Dervadas Parcas com a TTIG... DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

6 SUMÁRIO 4. O Problema Dfusvo Transente com Fontes Introdução Problema Dfusvos Transente com Fontes Unformemente Dstrbuídas Formulação Matemátca Parâmetros Físcos de Interesse Resultados e Dscussão Parâmetros Físcos Dmensonas Transformada Inversa de Krchhoff Problema Dfusvo com Fontes Varáves Formulação Matemátca Aplcação da TTIG Resultados e Dscussão O Problema Dfusvo Transente Sem Fontes Introdução Problema Dfusvo sem Fontes Condção Incal (U,V,)= Análse Aplcação da TTIG Parâmetros Físcos de Interesse Resultados e Dscussão Parâmetros Físcos Dmensonas Transformada Inversa de Krchhoff Problema Dfusvo sem Fontes Condção Incal (u,v,) = (u,v) Análse Aplcação da TTIG Parâmetros Físcos de Interesse Resultados e Dscussão Parâmetros Físcos Dmensonas Transformada Inversa de Krchhoff Conclusões e Sugestões Referêncas Bblográfcas Apêndce A Anexo A DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

7 ABSTRACT Pelegrn, Marcelo Ferrera Pelegrn, Applcaton of Generalzed Integral Transform Technque for Transent Dffuson Problems Soluton wth Varables Thermophscal Propertes, Ilha Soltera, Engneerng Faculty, Paulsta State Unverst Júlo de Mesquta Flho, 5. 18p. (Master Thess n Mechancal Engneerng). The Generalzed ntegral Transform Technque (GITT), s an analytcal numerc technque whch has been appled wht success n several heat and mass transfer problems that don t have soluton by classcal analytcal technques. Ths work ntend to gve some contrbuton for GITT development and dssemnaton how a qualfed tool for calculaton of dffusve problems of dffcult soluton by classcal analytcal technques. Thus, t has been ntended for ths work the calculaton of parabolc dffusve problems n ellptcal and rectangular cross secton cylnders. Ths doman has presented varables physcal propertes. In order to facltate the analytc treatment, the dffuson equaton has been lnearzed by Krcchoff Transform applcaton n a temperature potental. The spatal varables also have been transformed n order to facltate the boundary condtons problem applcaton. Temperature profles and other nterestng physcal parameters have been evaluated for several cylnder aspect ratos. Some materals have been studed and your propertes determned. The results obtaned have been compared wth the analytcal soluton (when to exst) and wth fnte element soluton obtaned by Ansys. Fnally, results presented are nterestng, snce that was possble to demonstrate the effcency of GITT to obtan analytcal soluton for dffusve complex problems, whch does not have soluton through classcal technques. Keywords: Integral Transform, Dffuson, Krcchoff Transform, Fuel Cells, Bars Coolng.

8 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO, MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS 1.1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS Um dos mas mportantes objetvos da cênca é, sem sombra de dúvdas, tornar a vda dos homens mas produtva, confortável e segura. Portanto, é neste sentdo que um grande número de pesqusadores e centstas, nas mas dferentes regões do mundo, procuram ncessantemente as ferramentas para proporconar este bem estar à humandade. Neste contexto, o ser humano sempre tentou retrar suas concepções e déas a respeto do mundo a partr da observação da natureza. Mas o que acontece, na maora das vezes, é que os fenômenos que ocorrem no meo natural são de tamanha complexdade que qualquer modelagem que procure representá-los de forma mas ou menos realsta se tornará também complexa. Além dsso, o desenvolvmento da engenhara aeroespacal, de novos materas supercondutores, da engenhara genétca e da prevsão meteorológca são novos desafos onde a observação natural se faz presente. Para smular os processos físcos envolvdos nestas áreas, uma extensa cadea deve ser percorrda, destacando-se estudos e refnamentos das les governantes, dos modelos matemátcos assocados, da não lneardade das relações consttutvas, do acoplamento das equações de conservação, além do desenvolvmento de novas técncas computaconas para tratamento analítco e numérco. Assm, uma mportante lnha de pesqusa do meo centífco é a obtenção de técncas e procedmentos que possbltem uma nterpretação mas efcente da natureza, com resultados mas confáves. Mas recentemente, com a evolução dos equpamentos e ferramentas computaconas, dversas técncas numércas foram e contnuam sendo desenvolvdas, permtndo, assm, a construção de algortmos mas robustos e a obtenção de soluções mas precsas para problemas que apresentam estruturas bastante complexas. Neste contexto, técncas híbrdas analítco-numércas vêm ganhando destaque em váras áreas de nteresse da engenhara por garantrem precsão e confabldade nos resultados por elas obtdos. Em partcular, a Técnca da Transformada Integral Generalzada - DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 1

9 TTIG (COTTA, 1998), é uma ferramenta com estas característcas e vem demonstrando ser poderosa para a solução de problemas de transferênca de calor e massa os quas, geralmente, não possuem solução pelas técncas analítcas clásscas. No que dz respeto a processos puramente dfusvos, a TTIG vem sendo aplcada com sucesso em problemas que apresentam domínos de geometra rregular ou não convenconal (APARECIDO et al., 1989), (MAIA et al., 1) e (MAIA, 3), problemas dfusvos trdmensonas e não-lneares (MIKHAILOV & COTTA, 1996) e (SERFATY, 1997), problemas com condções de contorno varáves no espaço (COTTA & ÖZISIK, 1986), problemas dfusvos que envolvem movmento de fronteras (DINIZ et al., 1996) e (DINIZ et al., 1999), entre outros. Assm, dando contnudade aos estudos de transferênca de calor a partr da utlzação da TTIG, apresenta-se neste trabalho um estudo da dfusão de energa em regme transente para domínos com geometras retangulares e elíptcas, obtendo-se como resultados parâmetros de nteresse para engenhara. 1.. MOTIVAÇÃO As células de reatores nucleares usam como prncípo básco a fssão do núcleo de determnados sótopos do Urâno e Plutôno, através de nêutrons com energas determnadas, gerando a cada fssão uma grande quantdade de energa e uma sére de produtos radoatvos. Como conseqüênca do processo de fssão, novos nêutrons são emtdos e uma reação em cadea é gerada.. Se esta reação puder ser controlada, pode-se utlzá-la para váras fnaldades, como na rradação e atvação de materas; na produção materas transurâncos (plutôno prncpalmente), como fonte de energa térmca, entre outras. Para os reatores nucleares de potênca, as células de combustível são projetadas de forma que a maor quantdade de energa possível, gerada na célula, possa ser transferda para o fludo de trabalho. A maxmzação da transferênca de calor faz com que os níves de temperatura que a célula atngrá em regme permanente sejam menores, aumentando sua vda útl e as garantas de segurança de operação, que estão relaconadas, entre outros parâmetros, com a temperatura de fusão do materal do qual a célula, bem como todo o conjunto a qual ela está nserda, é consttuído. Além dsso, se for possível maxmzar a transferênca de energa para fora do núcleo do reator, este pode ser construído em dmensões menores, baxando seus custos e exgndo menos combustível para uma mesma demanda energétca. Nesse sentdo, a utlzação da DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

10 TTIG para o estudo dos perfs de temperatura e outros parâmetros de nteresse mostra-se bastante pertnente devdo à complexdade dos fenômenos envolvdos, uma vez que estes não possuem solução pelas técncas analítcas clásscas. Outro aspecto mportante é o estudo das velocdades de resframento (ou aquecmento) em processos dfusvos em meo sóldo, representados por parâmetros nerentes ao fenômeno. É possível defnr uma constante de tempo representatva do processo em estudo, em que pratcamente toda a energa do sstema pode ser dsspada (ou absorvda) num ntervalo de tempo correspondente ao espectro de um quarto a quatro vezes esta constante (MAIA, 3). Esta nformação é de grande relevânca para a ndústra metalúrgca, de conformação a quente e de tratamento térmco, onde a taxa de resframento de determnado materal é parâmetro fundamental na defnção das suas propredades mecâncas fnas (dureza, resstênca à tração, ductldade, tenacdade). Devdo à físca do problema e a forma geométrca dos componentes envolvdos, a utlzação da TTIG mostra-se bastante nteressante para a resolução deste problema OBJETIVOS E PROBLEMAS PROPOSTOS OBJETIVOS GERAIS O presente trabalho tem por objetvo obter a solução de problemas dfusvos de natureza parabólca em domínos de geometra elíptca e retangular que apresentam propredades termofíscas varáves, através da Técnca da Transformada Integral Generalzada TTIG. Para facltar o tratamento analítco, o termo dfusvo da equação da energa será lnearzado adequadamente fazendo uso da Transformada de Krchhoff sobre o potencal temperatura e, quando necessáro, as varáves espacas serão também convenentemente transformadas para facltar a aplcação das condções de contorno do problema. Posterormente, para fns de comparação, os problemas propostos para o presente trabalho serão resolvdos analtcamente, quando possível, e numercamente, pelo método de elementos fntos, através do programa computaconal Ansys. Convém ressaltar que a maora dos problemas propostos não possu solução analítca, o que justfca a aplcação da TTIG na solução destes problemas. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 3

11 Dagramas para vsualzação do comportamento transente e parâmetros físcos de nteresse serão, então, determnados e analsados para domínos que caracterzam clndros de geometra retangular e elíptca com dversas razões de aspecto PROBLEMAS PROPOSTOS São propostos para análse os seguntes problemas dfusvos em domínos geométrcos caracterzados por clndros de seção transversal retangular e elíptca: A) PROBLEMA DIFUSIVO COM FONTES EM REGIME TRANSIENTE Determnação de constantes de tempo e análse do comportamento transente de problemas dfusvos com fontes unformemente dstrbuídas, propredades termofíscas varáves e condções de contorno de prmero tpo para células de combustível nuclear de UO. Também será estudado neste capítulo o problema de transferênca de calor transente com fontes varáves, defndas em função do fluxo neutrônco modelado pela Le da Dfusão de Fck. B) PROBLEMA DIFUSIVO SEM FONTES EM REGIME TRANSIENTE Determnação de constantes de tempo e análse do comportamento transente para problemas dfusvos sem fontes, com propredades termofíscas varáves e submetdos a condções de contorno de prmero tpo para células de combustível nuclear e tarugos metálcos aquecdos submetdos ao resframento para mudança de suas propredades mecâncas. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 4

12 CAPÍTULO HISTÓRICO TTIG E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA.1. HISTÓRICO DA TTIG Segundo Cotta (1998), as déas geras que levaram à cração da Técnca da Transformada Integral foram apresentadas por Koshlyakov em Grmnberg (1948), desenvolveu com mas detalhes esta teora, quando abordou a solução de uma classe de problemas elétrcos e magnétcos. Duas décadas após, os concetos da transformada ntegral já aparecam em edções tas como as de Tranter (196) e Özsk (1968). Segundo Özsk & Murray (1974), durante o período da corrda espacal, a Rússa e outros países do Leste Europeu proporconaram um grande avanço no desenvolvmento e aplcação de métodos analítcos, tal como a transformada ntegral. Concomtantemente, Estados Undos e Europa concentravam-se no desenvolvmento de métodos denomnados puramente numércos (dferenças fntas e elementos fntos). Posterormente, os cálculos desenvolvdos no ocdente requstavam um crescente esforço computaconal, enquanto que as metodologas do Leste Europeu concentravam esforços em extensas manpulações analítcas. Isto permaneceu até meados da década de setenta. É neste contexto que, em 197, Mkhalov deu uma contrbução defntva para a consoldação do método da transformada ntegral, quando propôs um núcleo de transformação geral que unfcava as váras transformações ndvduas desenvolvdas até aquela época, obtendo a solução geral para a equação da dfusão lnear em regões fntas. Város pesqusadores dedcaram-se ao estudo desta técnca, até que Mkhalov & Özsk (1984) apresentaram uma metodologa que sstematzava os concetos da transformada ntegral para a solução de uma grande varedade de problemas lneares de dfusão, dvddos em sete grandes classes. A partr deste trabalho surgam os formalsmos da Técnca da Transformada Integral Clássca, a TTIC. Segundo Cotta (1993), comparando-se as característcas da abordagem da TTIC com técncas numércas utlzadas na época, observouse uma sére de vantagens: DISSERTAÇÃO DE MESTREADO 5

13 a) Metodologa sstemátca de solução; b) Redução do tempo de processamento; c) Controle prescrto de erro; d) Aceleração da taxa de convergênca numérca; e) Inexstênca de malhas; f) Obtenção de soluções benchmark; g) Determnação numérca dreta da função em um ponto (para valores defndos de tempo e espaço) sem necessdade de cálculo numérco de estados temporas anterores ou de outros pontos do domíno espacal; h) Versatldade do método em se assocar com outros, devdo às suas característcas analítco-numércas. Entretanto, antes da formalzação da TTIC, Özsk & Murray (1974) aplcaram pela prmera vez a teora da transformada ntegral em problemas de dfusão com condções de contorno varáves com a posção e com o tempo. O problema proposto se caracterzava pela presença de termos não transformáves pela TTIC, que mesmo assm foram nserdos na fórmula de nversão, o que resultou em um sstema nfnto de equações dferencas ordnáras de prmera ordem para o potencal transformado. Para a recuperação do potencal orgnal, foram obtdas soluções aproxmadas deste sstema de equações dferencas, nascendo aí a natureza híbrda analítco-numérca do procedmento adotado. Outro trabalho que também ra contrbur para a evolução da teora da transformada ntegral fo publcado por Mkhalov (1975). Tratava-se da solução de problemas dfusvos com coefcentes dependentes do tempo. Estes termos também não eram transformáves pela TTIC. Utlzando um problema auxlar de autovalor dependente do tempo e aplcando o mesmo procedmento adotado por Özsk & Murray (1974), Mkhalov obteve um sstema nfnto de equações dferencas com coefcentes varáves para o potencal transformado. Neste contexto, Shah & London (1978) já chamavam a atenção para o fato da lmtada aplcação dos métodos clásscos de solução em problemas de convecção. Após uma ampla coletânea e revsão de trabalhos relaconados ao problema clássco de Graetz, verfcaram que as soluções de problemas de escoamento de fludos, representados por modelos mas realístcos, eram sempre mas dfíces de serem encontradas, ou apresentavam soluções DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 6

14 ncompletas. À luz deste fato, Shah & London apontavam a necessdade de um novo método capaz de resolver problemas com estas característcas, e que fosse consoldado junto ao corpo de conhecmento do futuro engenhero. O que vale ressaltar é que os trabalhos poneros de Özsk & Murray, (1974) e de Mkhalov (1975), craram as condções necessáras para o desenvolvmento de uma nova metodologa capaz de soluconar problemas de dfusão, até então, nsolúves pelas técncas clásscas, estabelecendo assm os prncípos da Técnca da Transformada Integral Generalzada - TTIG. A partr de então, a TTIG começou a ser dfundda rapdamente se destacando como uma ferramenta híbrda poderosa na solução de problemas dfusvos e dfusvo-convectvos. Em função do processo evolutvo encontrado no método de transformada ntegral, Cotta (1993), apresentou uma revsão dos formalsmos clásscos, que são agora estenddos com ênfase para a solução de problemas não lneares e fortemente acoplados, e propôs técncas para melhorar a efcênca da solução numérca. Posterormente fo elaborado um lvro específco para aplcações da TTIG em problemas dfusvos e dfusvos-convectvos (COTTA, 1998). Uma grande vantagem do método consste na elmnação das dervadas parcas de segunda ordem assocadas aos potencas orgnas. Assm, o esforço computaconal predomnante é despenddo na solução do problema transformado, onde permanece apenas a dependênca das dervadas de prmera ordem... REVISÃO BIBLIOGRÁFICA..1. PROBLEMAS DIFUSIVOS RESOLVIDOS COM O AUXÍLIO DA TTIG A segur enumeram-se alguns trabalhos relevantes sobre dfusão de calor resolvdos pela TTIG. Serfaty (1997), estudou com o auxílo da TTIG, o problema dfusvo não lnear em regme transente com propredades térmcas dependentes da temperatura em geometras un, b e trdmensonas cartesanas. Os resultados obtdos foram co-valdados utlzando o método de elementos fntos. O autor relata que na comparação entre a técnca da TTIG e o programa comercal de elementos fntos, para o problema acma descrto, a TTIG mostra melhor desempenho, devdo ao menor tempo computaconal despenddo para uma mesma DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 7

15 precsão global requerda. Outra vantagem mostrada pelo autor é a utlzação da TTIG para fns prátcos da engenhara, pos a técnca apresenta resultados de precsão adequada com a utlzação de poucos termos na sére e equpamentos computaconas de pequeno porte. Machado & Dantas (1), aplcaram a TTIG com sucesso na solução de problemas dfusvos em meos com propredades físcas e termos fontes descontínuos. Além de aplcar a técnca na equação da energa, como usualmente é feto, eles utlzaram a TTIG também na Função Indcador. Esta função, representada por uma equação dferencal parcal não homogênea, é responsável pelo modelamento da nterface entre as propredades (ou termos fontes) como uma função contínua, passando, assm, a admtr solução analítca. A utlzação da técnca, além da facldade de programação, evtou que a descontnudade precsasse ser solada, o domíno ser transformado ou a malha ser refnada, como ocorre nos métodos puramente numércos a que geralmente se recorre para resolver este tpo de problema. Mejas & Orlande (1), resolveram com o auxílo da TTIG o problema de dfusão trdmensonal num prsma quadrado. A solução deste problema consste em aplcar a técnca em apenas na dreção longtudnal do prsma e, a partr de procedmentos numércos, resolver o sstema de equações dferencas parcas bdmensonas resultante. O tempo computaconal gasto, bem como o erro máxmo relatvo, foram calculados e comparados com a solução do mesmo problema pelo método de dferenças fntas, onde se constatou que os resultados obtdos pela TTIG foram mas precsos com um tempo de processamento computaconal menor. No trabalho realzado por Maa et al. (), trata da análse do problema dfusvo com fontes unformemente dstrbuídas em células de combustível clíndrcas de seção transversal bcôncava, smlares aos das células do glóbulo vermelho do sangue humano. Devdo as grandes varações da temperatura no nteror da célula, consdera-se que a propredade condutvdade térmca apresenta uma dependênca genérca com a temperatura. Desta forma, o problema dfusvo analsado é não lnear, sendo resolvdo analtcamente através da TTIG. Para facltar a aplcação da técnca, fo utlzada a transforma de Krchhoff para lnearzação da equação da energa e mudanças de coordenadas adequadas para homogenezação das condções de contorno e para facltar a representação das geometras estudadas. Parâmetros de nteresse foram calculados e comparados, quando possível, com aqueles apresentados pela lteratura. Maa et al. (3) generalzou estes estudos para clndros de seção transversal retangular e elíptca. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 8

16 No trabalho desenvolvdo por Neves (3), a TTIG fo empregada na resolução de problemas dfusvos trdmensonas transentes não lneares caracterzados por paralelepípedos e clndros crculares. Os materas empregados neste trabalho foram o chumbo, o aço AISI 34 e o paládo, e os resultados obtdos foram comparados com o trabalho de Serfaty (1997), apresentando boa concordânca. O autor relata que, quando o problema é analsado na geometra clíndrca, o tempo computaconal é bem maor que na análse para geometra cartesana, e que um fator que contrbu para este aumento é o cálculo das ntegras que envolvem as funções de Bessel.... APLICAÇÕES EM GERAL Como menconado anterormente, a TTIG já fo empregada em dversos problemas de transferênca de calor e massa e mecânca dos fludos, mostrando ser uma ferramenta efcente na resolução destes problemas. Nesta subseção, apresentam-se sucntamente alguns dos trabalhos realzados nestas áreas, mostrando um panorama geral da utlzação da TTIG atualmente. Nestas últmas duas décadas, a TTIG vem se desenvolvendo sgnfcatvamente, pos é uma técnca que assoca a precsão das técncas analítcas a um custo computaconal compettvo com a grande versatldade das técncas numércas, consoldando-se como uma opção para resolução de dversos problemas dfusvos e convectvos complexos. Podem-se enumerar as seguntes stuações onde a TTIG já fo utlzada com sucesso: a) Problemas que possuem coefcentes varáves nas equações governantes; b) Problemas com coefcentes varáves em suas condções de contorno; c) Problemas que apresentam contornos geométrcos varáves; d) Problemas auxlares de autovalor de dfícl solução; e) Problemas não lneares caracterzados pela presença de equações cujos termos fonte e/ou condções de contorno dependem do potencal a ser obtdo. Assm sendo, destacam-se a segur alguns dos trabalhos mas relevantes que foram desenvolvdos utlzando a TTIG nas duas últmas décadas. Dversos problemas submetdos a condções de contorno e de entrada varáves foram tratados pela TTIG com sucesso. Destacam-se aqu os trabalhos de Cotta & Özsk (1986a) DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 9

17 para o problema de escoamento lamnar em dutos crculares e em canas de placas paralelas, com condções de temperatura de parede varando com o tempo e, também, o trabalho de Cotta (1986), que apresentou a solução formal para um problema geral de dfusão com condções de contorno que apresentam parâmetros dependendo de uma das coordenadas. Para dutos e canas de mesma geometra, Cotta & Özsk (1986b) obtveram a solução do problema com varações peródcas da temperatura na entrada. Pelas suas característcas, a TTIG é capaz de manpular termos não lneares que venham ntegrar a equação dferencal fundamental de um dado problema. Neste sentdo, uma nova perspectva se abru para a solução de problemas que envolvem desenvolvmento smultâneo, camada lmte e a equação de Naver-Stokes, vsto que os termos convectvos são não lneares, tanto para escoamento lamnar como para escoamento turbulento. Com respeto a esta lnha de ação, destacam-se aqu os trabalhos de Lage & Rangel (1994), Bolvar et al. (1996), Brown et al. (1997), Lma et al. (1997) e Cotta & Pmentel (1998). Vale anda destacar, o lvro edtado por Santos et al. (), no qual se apresenta uma análse de dversos problemas convectvos em dutos com desenvolvmento térmco e hdrodnâmco smultâneo para escoamento lamnar e turbulento. Problemas com condções de contorno varáves na dreção axal foram estudados por Santos et al. (1991), que, entre outras análses, utlzaram uma varação peródca na forma de degraus do coefcente de transferênca de calor, permtndo, assm, a smulação de dutos aletados externamente. Para a aplcação da TTIG, é mportante a escolha dos problemas auxlares que tenham a melhor correspondênca possível com o fenômeno estudado. Desta manera, Mkhalov & Cotta (1994) utlzaram a TTIG para transformar problemas de autovalores caracterzados por equações dferencas parcas, mas complexas e realstas em relação ao problema, em sstemas com equações algébrcas, mas smples e de mas fácl resolução. A partr da comparação com resultados obtdos em trabalhos de outros autores, observou-se que a técnca também apresenta bons resultados quando utlzada nesta aplcação. Com o objetvo de aperfeçoar o processo de resolução de equações pela TTIG, Mkhalov & Cotta (1996) propuseram converter somatóras duplas e trplas de funções em somatóras smples que usualmente aparecem quando da aplcação da TTIG, permtndo a elmnação de termos redundantes sem comprometer a precsão do método. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 1

18 No trabalho de Andrade (1996), é abordado o uso conjugado de métodos híbrdos analítco-numércos e computação smbólca no desenvolvmento de novas técncas para o tratamento de sstemas de equações dferencas parcas acopladas. As equações de Lukov para transferênca smultânea de calor e massa em meos caplares porosos são analtcamente tratadas através do uso da TTIG e recursos de computação smbólca. Desta manera, foram determnadas as dstrbuções de temperatura e umdade no nteror do meo poroso, segundo os formalsmos nerentes à TTIG na forma de séres de expansão de autofunções. Para efeto de mplementação computaconal, foram obtdas duas soluções numércas, sendo a prmera com o uso da bbloteca IMSL do Mcrosoft Fortran, e a segunda através do programa Mathematca. É nteressante notar neste trabalho que os resultados obtdos no programa Mathematca e pelas rotnas IMSL Fortran são numercamente dêntcos e, quando comparados com trabalhos anterores, mostraram boa concordânca. Soluções de problemas que envolvem mudança de fase e ablação são mas dfíces de serem obtdas, vsto que as condções de contorno mpõem geralmente um movmento de fronteras. Devdo às característcas híbrdas da TTIG, dversos problemas dfusvos em geometra plana e ax-smétrcas foram resolvdos, destacando-se os trabalhos de Bogado Lete et al. (198) e Dnz et al. (1999). No trabalho de Macedo et al. (a), a TTIG é usada para resolver o problema de convecção forçada em regme turbulento para escoamento desenvolvdo hdrodnamcamente e em desenvolvmento térmco em dutos crculares. Os efetos da turbulênca foram modelados algebrcamente, e a técnca também fo usada, em assocação com o Método da Contagem de Snas, para a formulação dos problemas auxlares de autovalores. Segundo uma lnha semelhante, Macedo et al. (b), utlzaram a TTIG para o estudo da transferênca de massa em regões de entrada e plenamente desenvolvdas num escoamento turbulento em fludos vscoelástcos no nteror de dutos crculares. O estudo teve como objetvos a obtenção de parâmetros que caracterzam o referdo escoamento. A partr do uso da TTIG foram calculados, como parâmetro de referênca, os números de Sherwood em todas as regões estudadas, os quas foram comparados com os resultados obtdos em trabalhos anterores, mostrando excelente concordânca. Neto et al. (1), utlzaram a TTIG para o cálculo de parâmetro térmcos em escoamentos trdmensonas em cavdades preenchdas com materal poroso. O fenômeno fo modelado pela equação de Darcy para convecção natural em cavdades. Város aspectos do algortmo gerado foram analsados, como por exemplo: os esquemas de modelamento, o DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 11

19 procedmento proposto para modulação, os efetos das perturbações nas condções ncas, entre outros. Os resultados foram comparados com os obtdos na lteratura e o autor sugere que o escoamento devera ser equaconado por modelos mas geras e completos. Olvera & Sphaer (1), estudaram as nterações fludo-estrutura que ocorrem em nstalações ndustras para prospecção de petróleo. Como se sabe, estas nterações provocam estruturas trdmensonas (vórtces), nduzndo o fenômeno de vbração e, conseqüentemente, a dmnução da vda útl da estrutura. Assm, os autores utlzaram a TTIG e o método da projeção aplcados na equação de Naver-Stokes em escoamento ncompressível para estudar as nterações trdmensonas ao redor de um clndro nestas condções. Este procedmento transformou a equação dferencal parcal trdmensonal governante do fenômeno, em uma equação dferencal parcal em coordenadas bdmensonas, dmnundo o tempo computaconal para a resolução deste problema. O sstema de equações dferencas resultante fo resolvdo pelo método de elementos fntos e de dferenças fntas. Guerrero et al. (1), fzeram um estudo teórco a fm de se obter a solução da equação da quantdade de movmento para a atmosfera terrestre, consderando o decamento radoatvo e a dfusão axal na condção de uma atmosfera neutra. Foram utlzados modelos de turbulênca dsponíves na lteratura e a equação resultante (bdmensonal dferencal parcal transente) fo transformada num sstema de equações dferencas acoplado, pela aplcação TTIG. Segundo os autores, o sstema acoplado fo resolvdo numercamente usando uma subrotna baseada no método das lnhas. Para valdação do algortmo computaconal, os autores analsaram algumas stuações físcas representatvas. O trabalho apresentado por Aparecdo (), trata do estudo de uma contração utlzada em túnel de vento com seção transversal retangular a partr da TTIG. O fenômeno fo modelado por equações dferencas elíptcas lneares em geometras rregulares, obtendose parâmetros característcos do escoamento. A TTIG fo utlzada por Alves et al. () para o estudo da convecção natural numa cavdade com poros aquecda. A expansão em autofunções gerou um sstema de equações dferencas que fo adequadamente truncado a fm de ser calculado por Análse de Establdade Lnear (LSA). A partr desta análse, foram obtdos os números de Nusselt para dversas razões de aspecto. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 1

20 No trabalho apresentado por Magno et al. (), fo utlzada a TTIG na solução das equações da quantdade de movmento e da energa para um fludo lamnar, não newtonano, regdos pela le de potênca, num escoamento em desenvolvmento térmco e hdrodnâmco. Perera et al. (), resolveram as equações para transferênca de calor e para o problema hdrodnâmco num escoamento em alta rotação dentro de uma centrífuga para separação de sótopos de urâno, a fm de se encontrar as trajetóras das lnhas de corrente dentro do aparelho. A TTIG fo utlzada com sucesso neste problema, sendo que três problemas auxlares de autovalor foram requerdos para a elmnação das dervadas de ordem superor no escoamento estudado. Os resultados obtdos foram bastante satsfatóros e, mas uma vez, é ressaltado que a natureza analítca desta técnca é partcularmente atratva na convaldação de técncas puramente numércas, partcularmente na modelagem para otmzação de processos como centrfugação e separação de componentes. Cotta et al. (3), estudaram a transferênca de massa em meo poroso saturado com fraturas fntas dscretas, a partr da resolução do problema de dfusão-convecção do transporte do contamnante ao longo da fratura e do problema de dfusão bdmensonal na contamnação dos poros da matrz utlzada. Para elmnar a dependênca na dreção transversal, fo utlzada como metodologa a formulação concentrada baseada na Integração de Hermte. As equações dferencas parcas acopladas resultantes foram resolvdas pelo uso da TTIG, que fornece expressões analítcas para a dependênca temporal e estmatvas numércas para os campos de concentração em função do tempo. Neste trabalho, algumas técncas de fltragem analítcas foram testadas a fm de se analsar a taxas de convergênca do algortmo desenvolvdo. Os trabalhos desenvolvdos por Pelegrn et al. (4) e Alves et al. (4), tratam da determnação de parâmetros de transferênca de calor para um escoamento pstonado na regão de entrada térmca de dutos de seção transversal elíptca, submetdos à condção de Newman e Drchlet. Os autores relatam que a dfculdade em retratar as condções de contorno deste tpo de geometra fo removda usando uma mudança de coordenadas adequada. Então, a TTIG fo utlzada na remoção das dervadas de segunda ordem na equação da energa e, assm, os parâmetros calculados a partr desta equação, para dversas razões de aspecto, foram comparados com os valores encontrados na lteratura. No trabalho de Maa et al. (4), fo estudado o fenômeno da convecção lamnar forçada no nteror de dutos com seção transversal elíptca a baxos números de Reynolds. O fludo estudado era não Newtonano, com propredades físcas constantes e um alto número DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 13

21 de Peclet. Város parâmetros físcos de nteresse foram obtdos com o auxílo da TTIG, tas como a temperatura méda e o número de Nusselt local e médo. Mutas outras aplcações de problemas dfusvos e dfusvos-convectvos têm sdo tratadas pela TTIG, como por exemplo, problemas de convecção natural em cavdades, analsados por Leal & Cotta (1997), o cálculo de parâmetros de transferênca e calor para escoamento de fludos de Herschel-Bulkley e de Bngham em canas de placas paralelas, obtdos por Nascmento et al. (1) e os trabalhos de Scofano Neto & Cotta (199), que determnaram os parâmetros de transferênca de calor em trocadores duplo-tubo na regão de desenvolvmento térmco. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 14

22 CAPÍTULO 3 TRANSFORMADA DE KIRCHHOFF E TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA 3.1. INTRODUÇÃO Neste Capítulo são apresentados os fundamentos das técncas que foram empregadas no presente trabalho: a Técnca da Transformada de Krchhoff, responsável pela lnearzação do termo dfusvo da equação da energa, e a Técnca da Transformada Integral Generalzada, que remove as dervadas espacas de segunda ordem da equação da energa. Apresenta-se anda, neste Capítulo, um exemplo de aplcação da TTIG em problemas multdmensonas. 3.. TRANSFORMADA DE KIRCHHOFF Consdere a segunte equação da dfusão de calor bdmensonal em regme transente, defndo em uma regão Ω com superfíce de contorno Γ : T [ ( ) ( )] ( ) ( x, y,t) k T T x, y,t + q = ρ c T, {, y, t > } p onde, ρ é a densdade, k ( T ) é a condutvdade térmca, ( T ) t x Ω (3.1) c p é o calor específco do materal e q é o termo fonte de energa. Será admtdo no presente trabalho que a densdade do meo materal apresenta uma varação desprezível durante o transente em todo o domíno. A Equação (3.1) é não lnear, pos apresenta propredades termofíscas varáves com a temperatura. Equações deste tpo são dfíces de serem resolvdas e na maora das vezes não permtem a obtenção de solução pelas técncas analítcas clásscas. Desta manera, procedmentos que permtem a lnearzação da equação, quando possível, podem facltar bastante o tratamento analítco. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 15

23 Dante deste contexto, fo aplcado no presente trabalho a Técnca da Transformada de Krchhoff (ÖZISIK, 1993). Com o auxílo desta técnca, a Equação (3.1) pode ser transformada em uma equação dferencal mas smples. A técnca consste em ntroduzr uma nova temperatura T * relaconada com a temperatura T do problema orgnal pela segunte transformação: T * 1 k T ( x,y,t ) ( x,y,t) = k( T' ( x, y,t) ) T dt', (3.) onde, T representa uma temperatura de referênca e k( ) k = T. T e k são ntroduzdos smplesmente para dar ao valor T * a dmensão de temperatura e um valor defndo. Segue como mplcação da Equação (3.) que: dt * 1 ( x,y,t) = k( T ) dt ( x,y,t), (3.3) k e que: T * 1 k ( x,y,t) = k( T ) T ( x,y,t). (3.4) Inserndo a Equação (3.3) e (3.4) na Equação (3.1), tem-se que: T * ( x, y,t) ( x, y,t) * 1 1 T + q = k, (3.5) α( T ) t onde, a propredade ( T ) ( T ) ( T ) k α = é a dfusvdade térmca. ρ c p Como se observa, o termo dfusvo da equação da energa transformada por Krchhoff é lnear. Este procedmento faclta profundamente o tratamento analítco vsto que os termos dferencas espacas de segunda ordem da equação foram lnearzados. Posterormente, no Capítulo 4, será apresentada uma transformação convenente para o termo transente da Equação (3.5). DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 16

24 3.3. TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA As equações dferencas que governam os processos de dfusão dos problemas que aqu foram propostos apresentam uma estrutura que, em geral, não permtem a obtenção de solução analítca pelas técncas clásscas conhecdas. Assm, para a obtenção de solução destes problemas decdu-se, como já fo dto anterormente, pela aplcação da técnca híbrda analítco-numérca TTIG, a Técnca da Transformada Integral Generalzada. Em síntese, a aplcação da TTIG envolve uma seqüênca de procedmentos que pode ser sstematzada nas seguntes etapas: a) Escolher um problema auxlar de autovalor, que guarda o máxmo de nformações do problema orgnal relatvo à geometra e aos operadores; b) Desenvolver o par transformada e nversa ; c) Transformar a equação dferencal parcal orgnal, através do uso de operadores aproprados, em um sstema de EDO s nfnto e não lnear, que pode ou não ser acoplado; d) Truncar e resolver o sstema de EDO s, segundo a precsão preestabelecda; e) Construr os potencas orgnas, através do uso das fórmulas de nversão. A segur, apresentam-se os fundamentos teórcos relatvos a TTIG FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA As déas báscas referentes à Técnca da Transformada Integral Generalzada dervam da versão clássca da Transformada Integral. De uma manera geral, a Técnca da Transformada Integral Clássca - TTIC, que é uma extensão do método da separação de varáves, consste no estabelecmento do par transformada-nversa da função potencal em termos de uma base ortogonal de autofunções, que são obtdas a partr de um problema auxlar de autovalor escolhdo adequadamente. A transformação ntegral da equação dferencal orgnal do problema é obtda através de operadores adequados que promovem a remoção das dervadas parcas espacas de segunda ordem. Fazendo uso da fórmula de nversão, obtém-se um sstema nfnto e desacoplado de equações dferencas ordnáras para o potencal transformado, que pode ser resolvdo analtcamente. Assm, através da própra DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 17

25 fórmula de nversão, obtém-se a solução analítca da função potencal. Este procedmento somente se aplca quando todos os termos da equação dferencal orgnal são transformáves, para que se produza o sstema de equações desacoplado relatvo ao potencal transformado. A partr dos trabalhos de Özsk & Murray (1974) e de Mkhalov (1975), a Técnca da Transformada Integral adquru uma estrutura sem-analítca que generalzou a aplcabldade do método. Na realdade, a TTIG, faz uso de um procedmento smlar àquele aplcado na TTIC. A dstnção resde no fato de se persstr na aplcação da fórmula de nversão sobre os termos não transformáves da equação dferencal orgnal correspondente a um dado problema. Com sto, obtém-se um sstema de equações dferencas ordnáras acoplado e nfnto para o potencal transformado. O sstema é, então, resolvdo numercamente truncando-se a expansão em uma dada ordem que garanta a precsão desejada, no processo de reconstrução da função potencal. Este procedmento é que caracterza a natureza híbrda analítco-numérca da TTIG METODOLOGIA A segur apresentam-se os procedmentos matemátcos utlzados na TTIG. Consdere um problema dfusvo-convectvo multdmensonal, transente, não lnear e com termo fontes, defndo em uma regão Ω com superfíce de contorno Γ : ( x,t) T w ( x) + = t com ( x) > u ( x,t,t ) T ( x,t) + LT ( x,t) P( x,t), {, t > } w e condções ncal e de contorno dadas por: ( x, ) f ( x), { Ω} T = BT ( x,t) = ϕ( x,t), {, t > } x Ω, (3.6) x, (3.7a) x Γ. (3.7b) Aqu, os operadores dferencas e de contorno são defndos por: ( T ) d( x) L = k +, (3.8a) B = a( x) + b( x) k( x), (3.8b) η k >. onde, η denota a componente normal da superfíce Γ e ( x) DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 18

26 A Equação (3.6) representa problemas defndos como de Classe I, por Mkhalov & Özsk (1984), e que são capazes de representar uma grande varedade de problemas dfusvos-convectvos. Em partcular, quando o termo convectvo u ( x,t,t ) se anula, a Equação (3.6) representa problemas puramente dfusvos. Quando o vetor u ( x,t,t ) é não nulo, o problema apresentado é não transformável pela TTIC. Para estabelecer o par transformada-nversa o potencal T ( x,t) é escrto em termos de uma base ortogonal de autofunções obtdas a partr do segunte problema auxlar de autovalor: LΨ ( x) = µ w( x) Ψ ( x), { Ω} Ψ ( x) =, {, t > } B x, (3.9) x Γ. (3.1) Problemas representados pela Equação (3.9) com a condção de contorno dada pela Equação (3.1) são conhecdos como problemas de Sturm-Louvlle, onde as autofunções ( x) e os autovalores µ correspondentes são aqu consderados conhecdos através da solução de tas equações. Assm, defne-se o segunte par transformada-nversa: ( t) = w( x) K ( x) T ( x,t) T dω, transformada, (3.11) Ω = =1 ( x,t) K ( x) T ( t) T, nversa, (3.1) onde, o núcleo K ( x) representa as autofunções normalzadas. K ( x) ( x) Ψ =, (3.13) N 1 com a ntegral de normalzação dada por N = V w ( x) ( x) Ψ dv. (3.14) A transformação ntegral da equação dferencal que governa o problema é obtda efetuando o produto nterno das autofunções normalzadas K ( x) com a Equação (3.6). DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 19

27 Através deste procedmento e fazendo uso das condções de contorno dadas pelas Equações (3.7b) e (3.1) obtém-se dt dt ( t) onde: ( x) [ u( x,t,t ) T ( x,t) ] dω + µ T ( t) g ( t) + K = Ω T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x,t) K ( ) ( x) t = K x P x,t dω + k x K x T x,t, = 1,, 3,... (3.15) g dγ. (3.16) Ω Γ η η Fazendo uso da fórmula de nversão, Equação (3.1), o termo não transformável da Equação (3.15) é reescrto como, ( )[ ( ) ( )] * x u u,t,t T x,t dω = a j ( t,t ) T j ( t) = Ω K, (3.17a) * j 1 [ ] ( t,t ) = K ( x) u( u,t,t ) K j ( x) a j dω. (3.17b) Ω dt dt com a ( t) Assm, a Equação (3.15) pode ser reescrta da segunte forma: + j= 1 a j ( t,t ) T ( t) = g ( t) * ( t,t ) = µ a ( t,t ) j j + j, = 1,, 3,... (3.18) δ, (3.19a), j δ j =. (3.19b) 1, = j A transformação ntegral da Equação (3.6), como fo descrto acma, exge também a transformação ntegral da condção ncal. Operando-se sobre a Equação (3.7a) com o operador ( x) K ( x) Ω w dω, têm-se: ( ) = f = w( x) K ( x) f ( x) T dω. (3.) Ω DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

28 Como pode ser observado, a Equação 3.18 representa um sstema nfnto de equações dferencas ordnáras, acoplado e não lnear para os potencas transformados T ( t). Para obtenção de solução numérca, a expansão do potencal T ( x,t) é truncada para uma dada ordem N sufcentemente alta a fm de garantr a exatdão desejada. Na forma matrcal, o sstema truncado de ordem N é reescrto como y' ( t) + A ( t, y) y( t) = g( t), { > } ( ) f t, (3.1a) y ' =, (3.1b) onde { } T ( ) = T ( t ), T ( t ),...,T N ( t ) y, (3.a) t 1 { } T ( t, y) = a ( t, T ) A, (3.b) j ( ) = { g ( t ),g ( t ),...,g ( )} T N t g, (3.c) t 1 {, f,..., } T f =. (3.d) f1 f N Exstem város métodos de solução para problemas de valor ncal descrtos pela Equação (3.1). Em partcular, o ntegrador numérco DIVPAG da Bbloteca IMSL (1994) desenvolvdo a partr do método de Gear, tem demonstrado ser uma ferramenta computaconal poderosa para a obtenção de resultados numércos de sstemas com esta estrutura. Após o cálculo dos potencas transformados T ( t), aplca-se a fórmula de nversão para a reconstrução do potencal T ( x,t) que é a base de cálculo dos dversos parâmetros físcos de nteresse do problema orgnal. Estes procedmentos formas, que permtem a obtenção da solução para a classe de problemas representados pela Equação (3.6), consttu-se na base metodológca para a resolução dos problemas dfusvos propostos para o presente trabalho FORMULAÇÃO PARA APLICAÇÕES MULTIDIMENSIONAIS Em aplcações undmensonas, o problema auxlar de autovalor se reduz a uma equação dferencal ordnára e a função potencal é escrta de forma smples: DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 1

29 = =1 T ( x,t) K ( x) T ( t), {, t > } onde, K ( x) são as autofunções normalzadas. x Ω, (3.3) Para aplcações multdmensonas o problema de autovalor torna-se um sstema de equações dferencas parcas que é resolvdo através de expansões ordnáras em cada uma das coordenadas espacas relaconadas ao problema dfusvo. Para um problema que seja descrto em coordenadas cartesanas e que o operador dfusvo L seja trdmensonal, a função potencal poderá, então, ser dada na segunte forma: ( x, y,z,t) = X ( x) Y ( y) Z ( z) T ( t) T, (3.4) = 1 j= 1 k= 1 j k, j,k onde cada uma das somatóras está assocada com a expansão do potencal em autofunções na coordenada espacal correspondente, sendo X ( x), Y j ( y) e ( z) Z k as autofunções normalzadas assocadas aos respectvos problemas de autovalor. O sstema de equações dferencas ordnáras para o potencal transformado T ( t), j, k é obtdo quando se aplca a transformação ntegral a cada problema de autovalor, necessáro para a remoção das dervadas espacas de segunda ordem. Do ponto de vsta computaconal, o potencal T ( t), j, k é obtdo através da solução do sstema resultante, truncando-se cada uma das expansões a uma dada ordem. A ordem deste sstema corresponde ao número total de termos da sére e é dado pelo produto de cada ordem truncada ndvdualmente EXEMPLO DE REMOÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS ESPACIAIS COM A TTIG Para maor clareza dos procedmentos que serão utlzados durante a aplcação da TTIG para a remoção das dervadas espacas de segunda ordem, será consderada, aqu, uma equação dferencal parcal que caracterza um problema dfusvo lnear com fontes, em regme transente e submetdo à condção de temperatura prescrta no contorno e condção ncal nula. A equação da energa referente a este problema é dada por: ( u,v, τ ) T ( u,v, τ ) T ( u,v, τ ) T H ( u,v) = + + G u,v τ u v T ( u,v, ) =, { u u, v v } ( ), { u u, v v }, (3.5a), (3.5b) DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

30 ( u,v, τ ) T u ( u,v, τ ) T u T ( u,v, τ ) v = = =, { u, v v } =, (3.5c), { u u, v } = v, (3.5d), { u, v = } T ( u,v,τ ) =, { u u, v = v } onde, a função H ( u,v) e ( u,v) u, (3.5e), (3.5f) G e os parâmetros u e v são conhecdos e bem defndos. Devdo a estrutura bdmensonal da equação da dfusão, a transformada ntegral será aplcada com o auxílo de um problema de autovalor para cada coordenada, conforme descrto na Seção Em função das característcas apresentadas pelas condções de contorno do problema, defne-se para a coordenada u, o segunte problema auxlar: d ψ du dψ du ( u) ( u) µ ψ + u u= ( ) =, { u < } < u, (3.6a) =, (3.6b) dψ du ( u) u =u =, (3.6c) ( u) cos( u) ψ =, (3.6d) µ π µ =, = 1,, 3,... (3.6e) ( ) 1 u As autofunções normalzadas assocadas a este problema permtem o desenvolvmento do segunte par transformada-nversa: T u = ( v, ) K ( u) T ( u,v, τ ) τ du, transformada, (3.7a) DISSERTAÇÃO DE MESTRADO 3