APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NA ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE CÉLULAS DE COMBUSTÍVEL NUCLEAR EM GEOMETRIAS RETANGULARES
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- Heitor Branco Imperial
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1 APLICAÇÃO DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NA ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE CÉLULAS DE COMBUSTÍVEL NUCLEAR EM GEOMETRIAS RETANGULARES Mateus Calegar Paulque Thago Antonn Alves Casso Roberto Maceo Maa Departaento e Engenhara Mecânca, Faculae e Engenhara, Unesp/Ilha Soltera, Av. Brasl, 56, Centro, CEP 5385-, Ilha Soltera, SP, Brasl Resuo:Probleas e fusão e calor que apresenta e seu oíno fontes strbuías esperta granes nteresses e pesqusaores na Engenhara. As células e cobustível e reatores nucleares são exeplos e ua portante aplcação e probleas esta natureza. Palavras-chave: Célula e cobustível nuclear, Transforaa Integral, Probleas fusvos não-lneares, Prsa retangular.introdução Grane parte a counae centífca unal busca eos e proporconar à soceae ua va as confortável, proutva e segura. Estes pesqusaores e centstas busca retrar suas concepções e éas a respeto o uno a partr e observações a própra natureza. Entretanto, na aora as vezes, os fenôenos que ocorre no eo natural são e taanha coplexae que qualquer oelage que procure representá-los e fora as ou enos realsta se torna bastante coplcao (Pelegrn, 5). Neste contexto, a solução e probleas fusvos transentes que apresenta fontes strbuías e seu oíno representa u enore esafo para a Engenhara, ua vez que, as equações ferencas funaentas que rege os prncípos e conservação são, e regra, e natureza coplexa. Ua portante aplcação e probleas esta natureza, z respeto a células e cobustível e reatores nucleares. Estas células apresenta ensões reuzas e lbera altas taxas e energa térca resultante a reação e fssão nuclear o eleento físsl. Dessa fora, é e grane nteresse o oíno o cálculo a potênca térca vsto que há u lte suportável para estas células que correspone à teperatura o ponto e fusão o cobustível. Este lte crítco é funaental no projeto e construção a célula e e too o conjunto e fexe o núcleo e cobustível nuclear, pos a axzação a transferênca a energa geraa para o fluo e trabalho, se ultrapassar a teperatura lte, possblta a construção e vasos e pressão e enores ensões, be coo o estabelecento e u nventáro e cobustível enor (Maa, 3).
2 .METODOLOGIA Para o problea a célula e reator nuclear e questão, ate-se que o tero fonte é proporconal ao fluxo neutrônco através o eleento cobustível. O transporte e nêutrons é u fenôeno coplexo e e fícl solução. No presente trabalho, este problea será analsao pela teora a fusão, que é u oelo splfcao a qual está funaentao na Le e Fck (Glasstone & Sesonske, 994). Para esta análse, consera-se que as propreaes tércas vara co a teperatura e assue-se que a teperatura é constante no contorno o eleento cobustível. Tabé se ate que o perfl a teperatura ncal ( ) T é unfore. Neste oelo, a equação a fusão e eos prsátcos retangulares e oíno Ω e e contorno Γ, é aa por: T [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( x, y, t) k T T x, y, t + q g x, y = ρ c T, {(, y), t > } ( x, y, t) Tp, {(, y), t > } T = ( x, y,) = T Tp, {( y) Ω } T = p t x Ω, () x Γ, () x,, (3) seno que k ( T ) é a conutvae térca, q é o tero fonte éo, ( x y) o fluxo neutrônco, ρ é a ensae, c p ( T ) é o calor específco a pressão constante e T p é a teperatura na paree na célula e cobustível. g, é a ensae. Lnearzação a equação a fusão Para facltar o proceento analítco, a equação ferencal será aequaaente lnearzaa utlzano-se a Técnca a Transforaa e Krchhoff. Defne-se ass, ua nova varável T coo: T T ( x, y), T ', (4) k ( x y) = k( T ') seno que k( ) T k = T e graente a nova varável T é a teperatura e referênca. Desta efnção, segue que o T é ao por: T ( x, y) = k( T ) T ( x, y). (5) k A equação a fusão é reescrta, então, coo:
3 q T T, ( x, y) + g( x, y) = k α t T seno que TP ( x, y) = T = k( T ') P k T ( T ) T ' ( x, y, ) T = T, {( y) Ω } T T e = p por Krchhoff e ( ) escrta coo: θ (,, ( x y), {( y) Ω }, {( y) Γ } x,, (6) x,, (7) x,, (8) T p são, respectvaente, as teperaturas ncal e e paree transforaas α T é a fusvae térca. A fora aensonal a Equação (6) é L + g(, ) = α ref ( T ) (,, τ τ t, {(, ), t > } Ω, (9) x =, L ref y =, L ref tα( T ) τ =, ( T ) L ref ( T ) ( T ) k α =, (,,, 3) ρ c p [ T (, ) T ] p k θ (, ) =, L q ref AS Lref =. (4, 5) Per seno que L ref é o coprento característco, A s é a área a seção transversal e Per é o períetro o prsa. Coo poe ser observaa, a fusvae térca possu ua epenênca co a teperatura. Conseqüenteente, a varável tepo aensonal tabé é função a teperatura. No entanto, será ato aqu que a nfluenca e T e no ntervalo e tepo t seja pequena. Portanto, não será conseraa a nfluênca e T e. Ass, a equação a fusão e calor poe ser lnearzaa a fora coo segue: θ ( ) (,,,, τ + g(, ) =, {(, ), t > } τ Ω, (6) Os parâetros geoétrcos e nteresse são vsualzaos na Fgura. Observa-se que o problea proposto apresenta setra e relação ao exo e ao exo e fora que é sufcente conserar soente o oíno e u quarante. 3
4 Fgura - Parâetros geoétrcos a célula e cobustível estuaa. Para o oíno copreeno e u quarante, a equação a fusão e as conções ncas e e contorno neste sstea e coorenaas são aas por: (, U, θ (,, θ, + + g(, ) = τ θ (,, =, {, } (,, =, {, } (,, = (,, {, }, (7) =, (8) =. (9), {, = }, () co θ (,, =, { = } = L, L ref. () L ref, l =. (, 3). Aplcação a TTIG Os perfs e teperatura característcos o problea proposto serão obtos a partr a aplcação a transforaa ntegral sobre sua equação característca. Devo a sua propreae bensonal, o potencal θ (,,τ ) será escrto e teros e ua expansão e autofunções noralzaas obtas e probleas auxlares e autovalor, o tpo e Stur-Louvlle, para caa coorenaa espacal. Ass, a aplcação a transforaa ntegral, para caa u os probleas propostos, será feta e partes. Consere o segunte problea auxlar e autovalor: ψ ( ) + µ ψ ( ) =, { < } <, (4) 4
5 ( ) ψ =, ( ) ψ =. (5, 6) As autofunções e os autovalores assocaos este problea são: ψ ( ) cos( ) =, µ ( ) π µ =, =,,3.... (7, 8) As autofunções aca são ortogonas e perte o esenvolvento o segunte par transforaa-nversa: (, = K ( ) θ (,, θ, transforaa, (9) (,, K ( ) θ (, = θ, nversa, (3) = K ψ ( ) ( ) =, = ( ) N N ψ =. (3, 3) Efetuano o prouto nterno as autofunções noralzaas K () co a equação a fusão e fazeno uso as conções e contorno e a equação que efne o problea auxlar e autovalor, obté-se: j = A ( (, ) j θ j ( ) + µ θ (, = + τ, τ C ( ) A ( ) = K ( ) K ( ), ( ) = K ( ) g(, ) j j, (33) C. (34, 35) Para proceer a transforação ntegral relatvo a coorenaa, consere o segunte problea e autovalor: φ ( ) ( ) φ = + λ j φ ( ) =, { < }, ( ) = < φ, (36) φ. (37, 38) As autofunções e os autovalores para este novo problea auxlar são: 5
6 φ ( ) cos( λ ) =, λ ( ) π =, =,,3.... (39, 4) As autofunções aca são ortogonas e perte o esenvolvento o segunte par transforaa-nversa: θ, transforaa, (4) ( = K ( ) Z ( ) θ (,, (,, = K ( ) Z ( ) θ ( = j= θ, nversa, (4) Z φ ( ) ( ) =, M ( ) M = φ. (43, 44) = A transforação ntegral sobre a coorenaa é feta efetuano-se o prouto nterno as autofunções noralzaas Z j () co a equação ferencal transforaa na coorenaa. E segua, fazeno uso as conções e contorno e as propreaes e ortogonalae as autofunções corresponentes ao problea auxlar e autovalor e, obté-se a segunte relação para o potencal transforao: n= j= B jn θ τ ( + [ µ + λ ] θ ( + D =,, =,,3... (45) seno que: ( ) Z ( ) A ( ) K ( ) K ( ) Z ( ) Z ( ) B = Z =, (46) jn n j Z ( ) C ( ) = K ( ) Z ( ) g(, ) j D =. (47) que eve satsfazer a conção ncal transforaa, que é aa por: o ( ) = K ( ) Z ( ) θ (,, θ (48) n O potencal transforao ao pela Equação (48) poe ser obto nuercaente quano se trunca a expansão para ua aa ore M e N: 6
7 M n= N j = B jn θ τ ( + [ µ + λ ] θ ( + D =. (49) O potencal teperatura para a célula e cobustível prsátca retangular é obto, então, através a fórula e nversão: M N θ. (5) (,, = K ( ) Z ( ) θ ( = = 3.RESULTADOS E DISCUSSÃO Os coefcentes B jn e D, necessáros para o cálculo o potencal transforao, são obtos a partr e ntegração pelo étoo e quaratura e Gauss (36 pontos e quaratura). Para coerênca na forulação nuérca, os valores as autofunções são tabé calculaos nos pontos e quaratura. O potencal transforao é calculao resolveno-se o sstea e equações ferencas ornáras co o auxílo a rotna coputaconal DIVPAG a Bbloteca IMSL FORTRAN. Observa-se que a convergênca a sére que eterna o potencal teperatura fca as lenta no níco o transente ( τ <,). Para estes casos é necessáro truncar a sére que eterna o potencal teperatura θ (,,τ ) e ua ore N, M superor a 5 teros para se obter u íno e 4 ou 5 ígtos e precsão. À ea que τ auenta, observa-se que a sére converge co u núero enor e teros, por exeplo o utlzao no presente trabalho, M = N = 5. Entretanto, eso conserano u núero aor e teros no truncaento a sére, o tepo e processaento gasto é pequeno, cerca e a 5 segunos e u coputaor pessoal cou (5MB RAM e. GHz). = Na Fgura, a evolução a teperatura áxa e função o tepo para L, é ostraa para versos valores b a, enquanto que a Fgura 3 ostra-se esta evolução para b a =,5 e versos valores L. Na Tabela, são apresentaos os resultaos obtos para a teperatura aensonal áxa e rege peranente para versos valores e b a e alguns valores e L. Já as Fguras 4, 5, 6 e 7, ostra a strbução esta teperatura para b a =, 5 e L = ; = b a =,5 e L, 5 ; b a =, 7 e L = ; b a =, 9 e L =, respectvaente. A Tabela apresenta os resultaos obtos para a constante e tepo áxa e o fator e ntensfcação para versos valores e b a e L. A Fgura 8 lustra o coportaento o fator e ntensfcação e função e b a para alguns valores e lustra o coportaento a constante e tepo áxa e função e L. Já a Fgura 9 b a para város L. 7
8 Teperature θ ax..8.6 b/a =. b/a =. b/a =.3 b/a =.4 b/a =.9 Teperature θ ax..8.6 L = L =. L =. L = /3 L = Non Densonal Te τ. - - Non Densonal Te τ Fgura - Evolução a teperatura áxa e = função o tepo para L, e versos valores b a. Fgura 3 - Evolução a teperatura áxa e função o tepo para b a =, 5 e versos valores L. Tabela. Teperatura aensonal áxa e rege peranente para b a e b/a L = ( L = ) L =, L =, L =, 5,,576,578,4797,4,755,,339,339,897,6937,39,3,4665,4666,4,3854,33364,4,677,678,5349,48383,4,5,7547,7548,685,5699,4773,6,834,834,6986,63,5635,7,8667,8668,74783,66355,5476,8,89984,89985,77888,68948,5665,9,9989,999,7955,734,5767,,9577,9578,7999,77,5799 () Cálculo através a Separação e Varáves (Özsk, 993). L. θ(x,y) Teperature θ(x,y) θ(x,y) Teperature θ(x,y) 8
9 Fgura 4 - Dstrbução a teperatura e rege peranente para b / a =, 5 e L =. Fgura 5 - Dstrbução a teperatura e rege peranente para b / a =, 5 e = L,5. θ(x,y) Fgura 6 - Dstrbução a teperatura e rege peranente para b / a =, 7 e L =. Teperature θ(x,y) θ(x,y) Fgura 7 - Dstrbução a teperatura e rege peranente para b / a =, 9 e L =. Teperature θ(x,y) Tabela. Constante e tepo áxa e fator e ntensfcação para valores e b a e L. b/a L = L =, L =, L =, 5 τ áx ζ ζ () τ áx ζ τ áx ζ τ áx ζ,,549 6,3668 6,366,58 6,758,59 7,35,563 7,84,,69 3,855 3,8565,658 3,458,63 3,74,68 4,839,3,6936,457,4563,733,3797,73,597,743,997,4,767,659,65899,783,8694,7964,668,87,439,5,883,3977,39767,8393,59,8568,776,8843,99,6,856,479,479,8765,434,8967,669,989,9367,7,8749,65,653,94,337,9,57,957,879,8,8884,3,3,947,839,9373,454,974,766,9,8953,87,877,9,576,945,44,986,7353,,8973,8,87,94,5,947,444,985,765 () Cálculo através a Separação e Varáves (Özsk, 993). 9
10 Non Densonal Generaton Rate ζ L D = L D =. L D =. L D =.5 Maxun Te Constant τ ax L D = L D =. L D =. L D = Aspecto Rato b/a Fgura 8 - Fator e ntensfcação e função e b a para alguns valores e L b/a Fgura 9 - Constante e tepo áxa e função e b a para alguns valores e L. 4.CONCLUSÕES A utlzação e técncas híbras analítco-nuércas para solução e probleas fusvos e fusvo-convectvos te conqustao confablae no eo técnco-centífco evo à sua precsão e ao seu baxo custo coputaconal quano coparao aos étoos puraente nuércos. Seno ass, neste trabalho analsou-se o problea fusvo transente co fontes varáves e células prsátcas e cobustível nuclear, e seção transversal retangular, subetas a conções e prero tpo. Para esta análse, as propreaes terofíscas são conseraas varáves co a teperatura. Para facltar o trataento analítco, a equação a fusão fo convenenteente lnearzaa através a técnca a transforaa ntegral e Krchhoff e a hpótese e que a nfluênca a teperatura T sobre a fusvae térca α seja esprezível e ntervalos e tepo pequenos. Feto sso, a equação a energa resultante é resolva através a aplcação a TTIG. Observa-se que a expansão que eterna o potencal teperatura apresenta convergênca lenta no níco o transente. Constantes e tepo efnas e relação à teperatura áxa, a strbução a teperatura e rege peranente e fator e ntensfcação fora calculaas para versos valores e b a e alguns valores e L. Fnalzano, observa-se que a TTIG é aplcaa co sucesso para a obtenção e solução e probleas fusvos transentes ultensonas, ressaltano-se, aqu, o presente problea, o qual não ate solução pelas técncas analítcas clásscas. 5.REFERÊNCIAS Alves, T.A, 6. Aplcação a Transforaa Integral na Solução e ua Classe e Probleas Dfusvos e Dfusvo-Convectvos e Doínos e Geoetra Não- Conveconal. Dssertação e Mestrao e Engenhara Mecânca, Faculae e Engenhara e Ilha Soltera, Unversae Estaual Paulsta Júlo e Mesquta Flho.
11 Apareco, J.B., Cotta, R.M., Özsk, M.N., 989. Analytcal solutons to two-ensonal ffuson type probles n rregular geoetres. Journal of the Frankln Insttute, vol. 36, pp Maa, C.R.M., 3. Solução e Probleas Dfusvos e Dfusvos-Convectvos e Doíno e Geoetra Elíptca e Bcôncava pela Técnca a Transforaa Integral Generalzaa. Tese e Doutorao e Engenhara Mecânca, Faculae e Engenhara Mecânca, Unversae Estaual e Capnas. APLICATION OF THE TECNIQUES OF THE GENERALIZED INTEGRAL TRANSFORMED ONE INTO THE ANALSIS OF THE BEHAVIOR OF NUCLEAR FUEL CELLS IN RECTANGULAR GEOMETRIC. Abstract: Probes of heat ffuson that present un ts oan strbute sources alert great nterests n researchers n engneerng. The fuel cells n nuclear reactors are exaple very portant applcatons of probles ths nature. Keywors: of nuclear fuel, transfore ntegral, nonlnear ffuson probles,rectangular prs. Mateus Calegar Paulque Thago Antonn Alves Casso Roberto Maceo Maa ateuspaulque@gal.co antonn@e.fes.unesp.br casso@e.fes.unesp.br Departaento e Engenhara Mecânca, Faculae e Engenhara, Unesp/Ilha Soltera, Av. Brasl, 56, Centro, CEP 5385-, Ilha Soltera, SP, Brasl
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