ANÁLISE DE PROBLEMAS CONJUGADOS EM MICRODISSIPADORES TÉRMICOS POR TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL EM DOMÍNIO ÚNICO E TÉCNICAS ÓPTICAS NÃO INTRUSIVAS

Transcrição

1 ANÁLISE DE PROBLEMAS CONJUGADOS EM MICRODISSIPADORES TÉRMICOS POR TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL EM DOMÍNIO ÚNICO E TÉCNICAS ÓPTICAS NÃO INTRUSIVAS Dego Campos Knupp Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenhara Mecânca, COPPE, da Unversdade Federal do Ro de Janero, como parte dos requstos necessáros à obtenção do título de Doutor em Engenhara Mecânca. Orentadores: Renato Machado Cotta Carolna Palma Navera Cotta Ro de Janero Outubro de 2013

2 ANÁLISE DE PROBLEMAS CONJUGADOS EM MICRODISSIPADORES TÉRMICOS POR TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL EM DOMÍNIO ÚNICO E TÉCNICAS ÓPTICAS NÃO INTRUSIVAS Dego Campos Knupp TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA. Examnada por: Prof. Renato Machado Cotta, Ph.D. Prof a. Carolna Palma Navera Cotta, D.Sc. Prof. Fernando Perera Duda, D.Sc. Prof. Márco da Slvera Carvalho, Ph.D. Prof. Francesco Scofano Neto, D.Sc. Prof. Antôno José da Slva Neto, Ph.D. RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL OUTUBRO DE 2013

3 Knupp, Dego Campos Análse de Problemas Conjugados em Mcrodsspadores Térmcos por Transformação Integral em Domíno Únco e Técncas Óptcas Não Intrusvas/ Dego Campos Knupp. Ro de Janero: UFRJ/COPPE, XXVIII, 246 p.: l.; 29,7 cm. Orentadores: Renato Machado Cotta Carolna Palma Navera Cotta Tese (doutorado) UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenhara Mecânca, Referêncas Bblográfcas: p Problemas conjugados. 2. Convecção nterna. 3. Técnca da Transformada Integral Generalzada. 4. Dsspadores térmcos. 5. Mcrocanas. 6. Termografa por Infravermelho. 7. Fluorescênca Induzda por Laser. I. Cotta, Renato Machado, et al. II. Unversdade Federal do Ro de Janero, COPPE, Programa de Engenhara Mecânca. III. Título.

4 Do suspro na fonte saudosa, Há três almas que gemem de dor, Repetndo esta prece mavosa Da saudade, do cúme e do amor Estas serras de enorme estatura, Alcançando das nuvens o véu, São degraus colocados na altura, São escadas que vão para o céu. Hno de Nova Frburgo A Deus e a mnha famíla. v

5 AGRADECIMENTOS Prmeramente agradeço a Deus, pela força e coragem para suportar as barreras e desafos, e por lumnar meu camnho. Aos meus famlares em especal meus pas, Jorge Glberto Banjar Knupp e Rosara Campos Knupp, mnha esposa, Karn Crstna Cabral Knupp, e meus avós, Mara do Carmo Coelho Campos, Vcente Campos (n memoram), Norma Margarda Banjar Knupp e Agnaldo Arstdes Knupp (n memoram), pelo carnho, ncentvo e por dreta ou ndretamente terem me passado ensnamentos que me permtssem segur durante a árdua jornada. Também agradeço aos anmas de estmação Avgvstvs Caesar (cachorro) e Mmosa (gata) que foram leal companha em boa parte da soltára tarefa de redação deste trabalho. Aos meus orentadores, Profs. Renato e Carolna Cotta, prmeramente pela amzade, sendo para mm exemplos de caráter, confança e excelênca acadêmca, e também por terem me guado com segurança na condução deste trabalho. Ao Eng. Eduardo Feres Aua, engenhero resdente da Agênca Naconal de Transportes Terrestres no trecho da BR-116/RJ, prmeramente pela grande amzade e pelos ensnamentos, e também pela concessão de horáro de trabalho especal e ncentvo para que este trabalho pudesse ser desenvolvdo. Ao amgo Prof. Antôno J. Slva Neto (IPRJ/UERJ), que vem ncentvando mnha formação acadêmca desde a Incação Centífca, agradeço pela amzade, confança e ensnamentos que muto contrbuíram na mnha formação. Ao Prof. Fernando Perera Duda que, como coordenador do Programa de Engenhara Mecânca, confou no meu potencal e me ncentvou a apresentar trabalhos do nosso grupo de pesqusa representando a COPPE, o que muto contrbuu na mnha formação. Aos amgos Ivana Fernandes, Ivana Cerquera, e José Martm, que me fzeram companha durante pratcamente todos os das em que estve no laboratóro para v

6 condução deste trabalho, seja ajudando nos expermentos, dscutndo teora, ou conservanso sobre a vda. Ao amgo Eng. João Vítor Cabral Ayres, que há quatro anos, anda como aluno, começou o projeto de fabrcação de materas nanocompóstos, o que muto ajudou na faísca ncal deste trabalho. Ao amgo Sébasten Wahl, ex-aluno do INSA (Insttut Natonal des Scences Applquées) de Toulouse, França, que entre agosto e setembro de 2012 esteve no laboratóro, em estágo técnco, e muto contrbuu com as prmeras smulações usando o Comsol Multphyscs. Aos alunos Thales Bonan, que deu prossegumento na fabrcação das amostras em resna poléster e me ajudou em város expermentos, e Bruno Novas que fabrcou o dsspador em PMMA. Aos Profs. Dmos Poulkakos e Mansh Twar (ETH-Zürch) pela recepção amgável no meu período de estágo técnco na Suíça e por terem me orentado durante este período. Em Zurque, também agradeço ao Dr. Adran Renfer, que esteve comgo quase que daramente, me nstrundo sobre o laboratóro, equpamentos e procedmentos expermentas, e ao físco e técnco de laboratóro Jovo Vdc, pela amzade e por ter me ajudado a soluconar númeras dfculdades no expermento. v

7 Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requstos necessáros para a obtenção do grau de Doutor em Cêncas (D.Sc.) ANÁLISE DE PROBLEMAS CONJUGADOS EM MICRODISSIPADORES TÉRMICOS POR TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL EM DOMÍNIO ÚNICO E TÉCNICAS ÓPTICAS NÃO INTRUSIVAS Dego Campos Knupp Outubro/2013 Orentadores: Renato Machado Cotta Carolna Palma Navera Cotta Programa: Engenhara Mecânca Motvado pela crescente demanda de dsspação de calor em componentes eletrôncos e pelo paulatno desenvolvmento da mcrofludca em dferentes contextos da engenhara, no presente trabalho é ntroduzda uma nova abordagem para análse de problemas conjugados de transferênca de calor em escoamentos nternos através da reformulação do problema em um modelo de domíno únco e solução através da Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT). A abordagem é sstematcamente desenvolvda e crtcamente verfcada para dversas stuações físcas em ordem crescente de complexdade. Após o estabelecmento e valdação da teora, é proposta a análse de dsspadores térmcos com mcrocanas, nclundo a valdação expermental do modelo. No prmero caso é analsado um dsspador nanocompósto com nvestgação expermental através de termografa por nfravermelho; no segundo caso é nvestgado um dsspador fabrcado em polmetlmetacrlato, onde a nvestgação expermental é conduzda para medção da temperatura no fludo, através da técnca de fluorescênca nduzda por laser na mcroescala (µ-lif). v

8 Abstract of Thess presented to COPPE/UFRJ as a partal fulfllment of the requrements for the degree of Doctor of Scence (D.Sc.) ANALYSIS OF CONJUGATED PROBLEMS IN MICRO-HEAT SPREADERS VIA INTEGRAL TRANSFORMS IN SINGLE DOMAIN FORMULATIONS AND NON- INTRUSIVE OPTICAL TECHNIQUES Dego Campos Knupp October/2013 Advsors: Renato Machado Cotta Carolna Palma Navera Cotta Department: Mechancal Engneerng Motvated by the nscreasng demand for heat dsspaton technologes n electroncs and the development of mcrofludcs n dfferent contexts of engneerng, n the present work t s ntroduced a new approach for the analyss of conjugated heat transfer problems n nternal flows by means of the problem reformulaton nto a sngle doman model and soluton va the Generalzed Integral Transform Technque (GITT). The approach s methodcally derved and crtcally verfed for several physcal consderatons wth ncreasng dffculty. After the theoretcal formalzaton and valdaton, t s proposed the analyss of heat spreaders wth etched mcrochannels, ncludng the expermental valdaton of the model. In the frst case, t s nvestgated a nanocomposte heat spreader wth temperature measurements va nfrared thermography; n the second case, t s nvestgated a polymethylmethacrylate heat spreader amng at flud temperature measurements wth the µ-lif (Laser Induced Fluorescence) technque. v

9 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS... XIII LISTA DE TABELAS... XXIII LISTA DE SÍMBOLOS... XXVI LETRAS GREGAS... XXVII SUBSCRITOS E SUPERESCRITOS... XXVIII 1 INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO OBJETIVOS ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO REVISÃO DE LITERATURA TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM MICROCANAIS CONVECÇÃO FORÇADA EM ESCOAMENTOS INTERNOS COM BAIXOS NÚMEROS DE PÉCLET PROBLEMAS CONJUGADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA METODOLOGIA DE SOLUÇÃO ATRAVÉS DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA SOLUÇÃO FORMAL DE UM PROBLEMA CONVECTIVO-DIFUSIVO GERAL A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA PARA PROBLEMAS DE AUTOVALOR DESENVOLVIMENTO E VALIDAÇÃO DA FORMULAÇÃO DE DOMÍNIO ÚNICO x

10 4.1 PROCEDIMENTO GERAL DE FORMULAÇÃO E SOLUÇÃO EM DOMÍNIO ÚNICO Equação da Quantdade de Movmento O Problema Conjugado Condução-Convecção ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS SEM CONDUÇÃO AXIAL Formulação em Domíno Únco Solução através da Proposção de um Problema de Autovalor com Coefcentes Constantes Solução através da Proposção de um Problema de Autovalor com Coefcentes Varáves Solução Exata Cálculo do Número de Nusselt Resultados ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS COM CONDUÇÃO AXIAL Solução através da Proposção de um Problema de Autovalor Não- Clássco Solução através de Transformação Parcal Resultados ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS COM CONDUÇÃO AXIAL A MONTANTE DA SEÇÃO DE TROCA TÉRMICA Formulação e Solução do Problema Resultados ESCOAMENTO EM UM CANAL RETANGULAR COM CONDUÇÃO AXIAL x

11 4.5.1 Formulação do Problema Metodologa de Solução Solução do Problema de Autovalor Bdmensonal com Coefcentes Varáves Resultados ESCOAMENTO EM UM CANAL DE SEÇÃO TRANSVERSAL COM GEOMETRIA ARBITRÁRIA Equação da Quantdade de Movmento O Problema Conjugado Condução-Convecção ANÁLISE TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE DISSIPADORES DE CALOR COM MICROCANAIS INVESTIGAÇÃO DE DISSIPADORES NANOCOMPÓSITOS COM TERMOGRAFIA POR INFRAVERMELHO Termografa por Infravermelho Dsspadores de Calor de Materas Nanocompóstos com Mcrocanas Aparato Expermental e Procedmento Formulação do Problema e Solução Resultados INVESTIGAÇÃO DE UM DISSIPADOR DE POLIMETILMETACRILATO (PMMA) COM FLUORESCÊNCIA INDUZIDA POR LASER E TERMOGRAFIA POR INFRAVERMELHO Fluorescênca Induzda por Laser (LIF) Aparato Expermental e Procedmento x

12 Calbração Processamento das Imagens e Procedmento de Calbração Investgação Expermental do Dsspador de PMMA com µ-lif Termografa por Infravermelho: Aparato Expermental e Procedmento Modelos Computaconas Comsol Multphyscs Modelo em domíno únco e solução va Transformação Integral Resultados CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS x

13 LISTA DE FIGURAS Fgura 4.1: Representação esquemátca de um canal de seção transversal com geometra arbtrára Fgura 4.2: Representação esquemátca do problema de escoamento entre placas paralelas com temperatura prescrta na face externa da parede do canal Fgure 4.3: Representação dos coefcentes com varação espacal como funções com transção abrupta na nterface fludo-parede. (a) U(Y). (b) K(Y) Fgura 4.4: Perfs de temperatura calculados com a utlzação da formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes em comparação com a solução exata Fgura 4.5: Comparação da evolução da temperatura no centro do canal ao longo do escoamento (Y = 0) de Z = 0 até Z = 1.6, com a utlzação da formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes em comparação com a solução exata e a solução do problema de Graetz com condção de contorno do prmero tpo Fgura 4.6: Ilustração da convergênca da 10ª autofunção como solução do problema (4.24) para dferentes ordens de truncamento, M = 10, 12, 14 e Fgura 4.7: Números de Nusselt locas calculados a partr da solução aproxmada com formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes varáves, e calculados a partr da solução exata, em comparação com o problema de Graetz clássco com condção de contorno do prmero tpo Fgura 4.8: Convergênca da 25 a autofunção como solução do problema (4.36) com a GITT, Pe = Fgura 4.9: Comparação entre a alternatva de solução através da proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1) (curvas pretas) e a alternatva de transformação parcal (Seção 4.3.2) (curvas vernelhas): perfs de temperatura transversas do centro do canal até a face externa da parede, Pe = Fgura 4.10: Comparação entre a alternatva de solução através da proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1) (curvas pretas) e a alternatva de x

14 transformação parcal (Seção 4.3.2) (curvas vermelhas): evolução da temperatura ao longo da dreção de escoamento para dferentes posções tranversas, Pe = Fgura 4.11: Comparação entre a alternatva de solução através da proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1) (curvas pretas) e a alternatva de transformação parcal (Seção 4.3.2) (curvas vermelhas): evolução da temperatura no centro do canal ao longo da dreção de escoamento para dferentes Pe Fgura 4.12: Isotermas na regão do canal (Y entre -0.5 e 0.5) e suas paredes (Y entre -1 e -0.5 e entre 0.5 e 1), Pe = Fgura 4.13: Representação esquemátca do problema conjugado com partcpação da regão a montante da seção de troca térmca Fgura 4.14: Influênca do parâmetro η na ntensdade de transção entre dos valores 2 2 característcos: ϑ 1 = 0 e ς 1 = 9.87 ; Fgura 4.15: Convergênca da solução através da formulação de domíno únco na dreção longtudnal para a temperatura méda do fludo com relação a dferentes valores do parâmetro η Fgura 4.16: Comparação entre a solução obtda através da formulação de domíno únco e a solução obtda através da abordagem tradconal em Castellões et al. (2010), para Pe = 1, Pe = 10 e Pe = Fgura 4.17: Representação esquemátca do problema de escoamento em um canal retangular: (a) sstema de coordenadas; (b) seção transversal Fgura 4.18: Coefcentes com varação espacal: (a) U ( X, Y ) ; (b) K( X, Y ) Fgura 4.19: Convergênca de ψ ( X, Y) 10 para dferentes ordens de truncamento M Fgura 4.20: Perfs de temperatura transversas ao longo da altura (Y ), em X = 0 centro do canal até a face externa da parede, para dferentes posções longtudnas. Razão de aspecto: Fgura 4.21: Aproxmação progressva da solução para canas retangulares com razões de aspecto crescentes em dreção ao caso lmte de escoamento entre placas paralelas. *Escoamento entre placas paralelas (Seção 4.3) xv, do

15 Fgura 4.22(a): Perfs de temperatura transversas ao longo da altura ( Y ), em X = 0, do centro do canal até a face externa da parede, para dferentes posções longtudnas. Razão de aspecto: 5/ Fgura 4.22(b): Perfs de temperatura transversas ao longo da largura ( X ), em Y = 0, do centro do canal até a face externa da parede, para dferentes posções longtudnas. Razão de aspecto: 5/ Fgura 4.23: Representação esquemátca da seção transversal do domíno utlzado na formulação em domíno únco para solução do campo de velocdades completamente desenvolvdo em um canal crcular Fgura 4.24: Campo de velocdade no domíno de solução através da formulação em domíno únco Fgura 4.25(a): Perfl de velocdade ao longo da dreção r 1 (ver fg. 4.23): comparação da solução exata com a aproxmação de formulação em domíno únco Fgura 4.25(b): Perfl de velocdade ao longo da dreção r 2 (ver fg. 4.23): comparação da solução exata com a aproxmação de formulação em domíno únco Fgura 4.26: Representação esquemátca da seção transversal do domíno utlzado na formulação em domíno únco para solução do campo de velocdade completamente desenvolvdo em um canal de seção transversal arbtrára Fgura 4.27: Campo de velocdade no domíno de solução através da formulação em domíno únco (canal de seção transversal arbtrára) Fgura 4.28(a): Perfs de velocdade ao longo da dreção y (para x = 0, 0.3 e 0.6): comparação da solução através da formulação em domíno únco e transformação ntegral com a solução numérca (Comsol Multphyscs) Fgura 4.28(b): Perfs de velocdade ao longo da dreção x (para y = 0.3, 0.5 e 0.8): comparação da solução através da formulação em domíno únco e transformação ntegral com a solução numérca (Comsol Multphyscs) Fgura 4.29: Representação esquemátca da seção transversal do canal consderado para solução do problema transente conjugado condução-convecção xv

16 Fgura 4.30(a): Coefcente u( x, y ) com transção abrupta na nterface entre fludo, u( x, y) = u ( x, y), e parede, u = f Fgura 4.30(b): Coefcente k( x, y ) com transção abrupta na nterface entre fludo, k = 0.25, e parede, k = s f Fgura 4.31(a): Perfs de temperatura transversas ao longo da largura (x) do centro do canal até a face externa da parede, para dferentes posções longtudnas (z) Fgura 4.31(b): Perfs de temperatura transversas ao longo da altura (y), da face externa nferor até a face externa superor da parede, para dferentes posções longtudnas (z) Fgura 4.31(c): Evolução da temperatura no centro do canal ( x = 0, y = 1) ao longo do tempo (t ), para dferentes posções longtudnas (z) Fgura 5.1: Câmera termográfca empregada nos expermentos: FLIR A645sc Fgura 5.2(a): Msturador BoMxer 78HW Fgura 5.2(b): Molde para fabrcação das peças Fgura 5.2(c): Momento em que a mstura é despejada no molde Fgura 5.2(d): Resna com carga de alumna no molde fechado Fgura 5.3(a): Placa fabrcada em resna poléster Fgura 5.3(b): Placa fabrcada com nanocompósto (resna poléster e nanopartículas de óxdo de alumíno) Fgura 5.4: Fotomcrografa: (a) aumento de 100 x da seção transversal do canal; (b) aumento de 200x da seção longtudnal do canal Fgura 5.5: Representação esquemátca do expermento de convecção forçada de água aquecda no nteror do mcrocanal da placa nanocompósta Fgura 5.6: Aparato expermental para análse de problema conjugado em dsspador térmco com mcrocanal Fgura 5.7: Detalhe da placa nanocompósta com mcrocanal no expermento xv

17 Fgura 5.8: Imagem termográfca do caso de perfusão em canal únco central com vazão volumétrca de 1.0 ml/mn em regme permanente Fgura 5.9: Representação esquemátca e sstema de coordenadas do dsspador de calor de materal nanocompósto com mcrocanal Fgura 5.10: Perfs de temperatura na superfíce da placa, na dreção transversal, em x = 0.02 m, para as três réplcas expermentas realzadas para o caso de vazão volumétrca de 1.0mL/mn Fgura 5.11(a): Comportamento do coefcente com varação espacal u( y, z ) para o caso de vazão volumétrca com 1.0 ml/mn Fgura 5.11(b): Comportamento do coefcente com varação espacal k( y, z ) Fgura 5.12(a): Convergênca do perfl de temperatura na superfíce da placa na dreção transversal com relação à ordem de truncamento M do problema de autovalor algébrco Fgura 5.12(b): Convergênca do perfl de temperatura na superfíce da placa ao longo da dreção de escoamento com relação à ordem de truncamento M do problema de autovalor algébrco Fgura 5.13: Comparação entre a smulação obtda com a formulação de domíno únco e meddas expermentas para o caso de vazão volumétrca de 1.0 ml/mn: perfl de tempertatura na superfíce da placa ao longo da dreção transversal, em (a) x = 0.01 m ; (b) x = 0.02 m ; (c) x = 0.03 m ; (d) evolução da temperatura na superfíce da placa ao longo da dreção de escoamento na regão de localzação do canal ( y = 0.02 m ) Fgura 5.14: Comparação entre a smulação obtda com a formulação de domíno únco e meddas expermentas para o caso de vazão volumétrca de 0.5mL/mn: perfl de tempertatura na superfíce da placa ao longo da dreção transversal, em (a) x = 0.01 m ; (b) x = 0.02 m ; (c) x = 0.03 m ; (d) evolução da temperatura na superfíce da placa ao longo da dreção de escoamento na regão de localzação do canal ( y = 0.02 m ) Fgura 5.15: Comparação entre a smulação obtda com a formulação de domíno únco e meddas expermentas para o caso de vazão volumétrca de 0.75mL/mn: perfl xv

18 de tempertatura na superfíce da placa ao longo da dreção transversal, em (a) x = 0.01 m ; (b) x = 0.02 m ; (c) x = 0.03 m ; (d) evolução da temperatura na superfíce da placa ao longo da dreção de escoamento na regão de localzação do canal ( y = 0.02 m ) Fgura 5.16: Comparação entre a smulação obtda com a formulação de domíno únco e meddas expermentas para o caso de vazão volumétrca de 1.25mL/mn: perfl de tempertatura na superfíce da placa ao longo da dreção transversal, em (a) x = 0.01 m ; (b) x = 0.02 m ; (c) x = 0.03 m ; (d) evolução da temperatura na superfíce da placa ao longo da dreção de escoamento na regão de localzação do canal ( y = 0.02 m ) Fgura 5.17: Comparação entre a smulação obtda com a formulação de domíno únco e meddas expermentas para o caso de vazão volumétrca de 1.5mL/mn: perfl de tempertatura na superfíce da placa ao longo da dreção transversal, em (a) x = 0.01 m ; (b) x = 0.02 m ; (c) x = 0.03 m ; (d) evolução da temperatura na superfíce da placa ao longo da dreção de escoamento na regão de localzação do canal ( y = 0.02 m ) Fgura 5.18(a): Imagem termográfca do caso de perfusão em dos canas paralelos Fgura 5.18(b): Imagem termográfca do caso de perfusão em três canas paralelos Fgura 5.19: Comparação entre a smulação obtda com a formulação de domíno únco e meddas expermentas para o caso de perfusão em dos canas: perfl de tempertatura na superfíce da placa na dreção transversal, em: (a) xv x = 0.01 m ; (b) x = 0.02 m ; (c) x = 0.03 m Fgura 5.20: Comparação entre a smulação obtda com a formulação de domíno únco e meddas expermentas para o caso de perfusão em dos canas: temperatura na superfíce da placa ao longo da dreção longtudnal (z) na regão localzada sobre (a) canal 1 (y = 0.01 m); e (b) canal 2 (y = 0.03 m) Fgura 5.21: Comparação entre a smulação obtda com a formulação de domíno únco e meddas expermentas para o caso de perfusão em três canas: perfl de tempertatura na superfíce da placa na dreção transversal, em: (a) x = 0.01 m ; (b) x = 0.02 m ; (c) x = 0.03 m

19 Fgura 5.22: Comparação entre a smulação obtda com a formulação de domíno únco e meddas expermentas para o caso de perfusão em três canas: temperatura na superfíce da placa ao longo da dreção longtudnal (z) na regão localzada sobre (a) canal 1 (y = 0.01 m); (b) canal 2 (y = 0.02 m); e canal 3 (y = 0.03 m) Fgura 5.23: Espectro de fluorescênca de solução de Rodamna B. Adaptado de (Coolen et al., 1999) Fgura 5.24: Mcrodsspador de polmetl-metacrlato (PMMA) fabrcado no LabMEMS, COPPE/UFRJ Fgura 5.25: Aparato expermental montado para estudo do mcrodsspador de PMMA com a técnca µ-lif (LTNT, ETH-Zürch) Fgura 5.26: Detalhes do mcrodsspador fxado ao mcroscópo para utlzação do µ- LIF Fgura 5.27: Detalhe do chp com mcrocanas utlzado para calbração do sstema LIF posconado no mcroscópo Fgura 5.28: Ajuste lnear dos dados de relação entre resstênca do RTD (ntegrado ao chp com mcrocanas) e temperatura para estabelecmento da curva de calbração entre resstênca e temperatura Fgura 5.29(a): Méda de 25 aqusções dos mcrocanas preenchdos com solução de Rodamna B (sem escoamento) a 30 C Fgura 5.29(b): Méda de 25 aqusções após subtração do ruído de fundo Fgura 5.29(c): Méda de 25 aqusções após subtração do ruído de fundo e correção das não-homogenedades Fgura 5.30: Dados utlzados no processo de calbração do sstema LIF relação entre temperatura e ntensdade de fluorescênca, e ajuste lnear dos dados Fgura 5.31: Dstrbução de temperatura ao longo do centro dos sete mcrocanas preenchdos com solução de Rodamna B a 30 C Fgura 5.32: Hstograma correspondente às temperaturas meddas ao longo do centro dos sete mcrocanas preenchdos com solução de Rodamna B a 30 C xx

20 Fgura 5.33: Representação esquemátca do mcrodsspador analsado e localzação das posções onde foram realzadas meddas expermentas (pontos vermelhos) Fgura 5.34: Aparato expermental montado no LabMEMs para nvestgação expermental do mcrodsspador de PMMA com termografa por nfravermelho Fgura 5.35: Malha utlzada na solução numérca (COMSOL) do problema conjugado condução-convecção, acoplado ao problema de escoamento no mcrodsspador Fgura 5.36: Perfs de velocdade ao longo da seção transversal dos canas (a mm da parede superor) Fgura 5.37(a): Representação esquemátca do problema smplfcado para formulação em domíno únco Fgura 5.37(b): Detalhes da seção transversal do modelo empregado na formulação em domíno únco Fgura 5.38(a): Dstrbução de temperaturas no fludo (µ-lif) na entrada do canal Fgura 5.38(b): Dstrbução de temperaturas no fludo (µ-lif) na entrada do canal Fgura 5.38(c): Dstrbução de temperaturas no fludo (µ-lif) na entrada do canal Fgura 5.39(a): Perfs de temperatura no fludo transversas ao canal (µ-lif) na entrada do canal 1 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5) Fgura 5.39(b): Perfs de temperatura no fludo transversas ao canal (µ-lif) na entrada do canal 3 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5) Fgura 5.39(c): Perfs de temperatura no fludo transversas ao canal (µ-lif) na entrada do canal 6 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5) Fgura 5.40(a): Dstrbução de temperaturas no fludo (µ-lif) no meo do canal Fgura 5.40(b): Dstrbução de temperaturas no fludo (µ-lif) no meo do canal Fgura 5.40(c): Dstrbução de temperaturas no fludo (µ-lif) no meo do canal xx

21 Fgura 5.41(a): Perfs de temperatura no fludo transversas ao canal (µ-lif) no meo do canal 1 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5) Fgura 5.41(b): Perfs de temperatura no fludo transversas ao canal (µ-lif) no meo do canal 3 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5) Fgura 5.41(c): Perfs de temperatura no fludo transversas ao canal (µ-lif) no meo do canal 6 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5) Fgura 5.42(a): Dstrbução de temperaturas no fludo (µ-lif) na saída do canal Fgura 5.42(b): Dstrbução de temperaturas no fludo (µ-lif) na saída do canal Fgura 5.42(c): Dstrbução de temperaturas no fludo (µ-lif) na saída do canal Fgura 5.43(a): Perfs de temperatura no fludo transversas ao canal (µ-lif) na saída do canal 1 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5) Fgura 5.43(b): Perfs de temperatura no fludo transversas ao canal (µ-lif) na saída do canal 3 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5) Fgura 5.43(c): Perfs de temperatura no fludo transversas ao canal (µ-lif) na saída do canal 6 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5) Fgura 5.44: Posções de profunddade para avalação do perfl de temperatura teórco na dreção transversal ao escoamento Fgura 5.45(a): Perfl de temperatura transversal ao canal 1 (Meo, fg. 5.33) Fgura 5.45(b): Perfl de temperatura transversal ao canal 3 (Meo, fg. 5.33) Fgura 5.45(c): Perfl de temperatura transversal ao canal 6 (Meo, fg. 5.33) Fgura 5.46(a): Evolução da temperatura méda no fludo ao longo do escoamento no canal Fgura 5.46(b): Evolução da temperatura méda no fludo ao longo do escoamento no canal Fgura 5.46(c): Evolução da temperatura méda no fludo ao longo do escoamento no canal Fgura 5.47 (a): Imagem termográfca da face de frente (sem almentação de fludo) em regme permanente xx

22 Fgura 5.47 (b): Imagem termográfca da face de trás (com almentação de fludo) em regme permanente Fgura 5.48: Campo de temperatura (a) expermental e (b) obtdo da smulação no Comsol Multphyscs, da superfíce de frente da placa onde não há almentação de fludo Fgura 5.49: Campo de temperatura (a) expermental e (b) obtdo da smulação no Comsol Multphyscs, da superfíce de trás da placa onde há almentação de fludo Fgura 5.50(a): Perfl de temperatura transversal à dreção de escoamento na regão central, na superfíce de frente da placa Fgura 5.50(b): Perfl de temperatura transversal à dreção de escoamento na regão central, na superfíce de trás da placa Fgura 5.51(a): Perfl de temperatura na dreção de escoamento, na regão central, na superfíce de frente da placa Fgura 5.51(b): Perfl de temperatura na dreção de escoamento, na regão central, na superfíce de trás da placa xx

23 LISTA DE TABELAS Tabela 4.1(a): Convergênca do perfl de temperatura para a solução obtda com a formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes em Z = 0.01, para a regão de escoamento de fludo Tabela 4.1(b): Convergênca do perfl de temperatura para a solução obtda com a formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes em Z = 0.05, para a regão de escoamento de fludo Tabela 4.2: Convergênca dos 10 prmeros autovalores na solução do problema (4.12) com a GITT Tabela 4.3: Comparação entre as soluções aproxmadas (Seções e 4.2.3) obtdas com a formulação de domíno únco e a solução exata, em Z = Tabela 4.4: Convergênca dos dez prmeros autovalores na solução do problema (4.24) com a GITT, Pe = Tabela 4.5(a): Convergênca da solução obtda através da alternatva de proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1), Pe = Tabela 4.5(b): Convergênca da solução obtda através da alternatva com transformação parcal (Seção 4.3.2), Pe = Tabela 4.6(a):Convergênca da solução obtda através da alternatva de proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1), Pe = Tabela 4.6(b): Convergênca da solução obtda através da alternatva com transformação parcal (Seção 4.3.2), Pe = Tabela 4.7(a):Convergênca da solução obtda através da alternatva de proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1), Pe = Tabela 4.7(b): Convergênca da solução obtda através da alternatva com transformação parcal (Seção 4.3.2), Pe = Tabela 4.8: Convergênca da solução através da formulação de domíno únco na dreção longtudnal para a temperatura méda do fludo com relação a dferentes valores do parâmetroη xx

24 Tabela 4.9: Verfcação da solução do problema de autovalor bdmensonal para o caso com X 1 e Y Tabela 4.10: Convergênca dos dez prmeros autovalores no problema de autovalor bdmensonal para o problema conjugado com X = Y = Tabela 4.11: Convergênca da expansão do campo de temperatura em autofunções Tabela 4.12: Convergênca dos autovalores a partr da solução do problema de autovalor com a GITT Tabela 4.13: Convergênca do perfl de velocdade ao longo de r 1 (com ordem de truncamento na expansão da solução mantda com N = 50 termos) ao se varar a ordem de truncamento na solução do problema de autovalor (M) Tabela 4.14(a): Convergênca do perfl de velocdade na dreção r 1 com respeto ao número de termos empregados na expansão fnal da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fxa em M = 120 termos Tabela 4.14(b): Convergênca do perfl de velocdade na dreção r 2 com respeto ao número de termos empregados na expansão fnal da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fxa em M = 120 termos Tabela 4.15(a): Convergênca da velocdade calculada ao longo da dreção y (y = 0.2, 0.4, 0.6 e 0.8, com x = 0), com respeto ao número de termos empregados na expansão fnal da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fxa em M = 80 termos Tabela 4.15(b): Convergênca da velocdade calculada ao longo da dreção x (x = 0.2, 0.4, 0.6 e 0.8, com y = 0.8), com respeto ao número de termos empregados na expansão fnal da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fxa em M = 80 termos Tabela 4.16(a): Convergênca da expansão do campo de temperatura em autofunções xxv

25 Tabela 4.16(b): Convergênca da expansão do campo de temperatura em autofunções Tabela 5.1: Dados técncos da FLIR A645sc Tabela 5.2: Valores típcos das propredades da resna poléster nsaturada curada Tabela 5.3: Valores típcos das propredades da alumna Tabela 5.4: Médas e varâncas amostras e seus ntervalos de confança de 95% das temperaturas meddas em dferentes posções transversas, em x = 0.02 m, pela termografa em três réplcas expermentas para o caso de vazão de 1.0 ml/mn Tabela 5.5: Resumo dos casos expermentas conduzdos Tabela 5.6(a): Convergênca do campo de temperatura na superfíce da placa com relação à ordem de truncamento do problema de autovalor algébrco auxlar em x = 0.01 m Table 5.6(b): Convergênca do campo de temperatura na superfíce da placa com relação à ordem de truncamento do problema de autovalor algébrco auxlar em x = 0.02 m Table 5.6(c): Convergênca do campo de temperatura na superfíce da placa com relação à ordem de truncamento do problema de autovalor algébrco auxlar em x = 0.03 m Tabela 5.7: Dados utlzados para estabelecmento da curva de calbração entre resstênca do RTD (ntegrado ao chp com mcrocanas) e temperatura Tabela 5.8: Dados obtdos no processo de calbração do sstema LIF relação entre temperatura e ntensdade de fluorescênca xxv

26 LISTA DE SÍMBOLOS B Número de Bot; d Operador de dsspação lnear no problema geral (Capítulo 3); g Termo fonte da equação ou aceleração da gravdade na eq. (6.8b); h e Coefcente de transferênca de calor efetvo entre a face externa da parede do canal e o ambente; k K Condutvdade térmca; Condutvdade térmca admensonal ou coefcente do operador dfusvo no problema geral (Capítulo 3); L e Dstânca do centro do canal até a face externa da parede do canal; L f Altura do canal; L d Dstânca lateral do centro do canal até a face externa da parede do canal (fgura 4.16); L w Largura do canal (fgura 4.16); T Temperatura ou potencal no problema geral (Capítulo 3); M N Ordem de truncamento do problema de autovalor algébrco auxlar; Ordem de truncamento da expansão do potencal em autofunções; N Integras de normalzação; NP Número de potencas acoplados no problema geral (Capítulo 3); Nu Número de Nusselt; xxv

27 Pe Pr Ra Re s Número de Péclet; Número de Prandtl; Número de Raylegh; Número de Reynolds; Desvo padrão amostral; s 2 Varânca amostral; t u U w W x x, y, z Varável temporal; Campo de velocdade do escoamento; Campo de velocdade admensonal do escoamento; Capacdade térmca ou coefcente do operador transente no problema geral (Capítulo 3); Capacdade térmca admensonal; Vetor posção; Varáves espacas; X, Y, Z Varáves espacas admensonas; LETRAS GREGAS α Dfusvdade térmca ou operador na condção de contorno do problema geral (Capítulo 3); β Operador na condção de contorno no problema geral (Capítulo 3); δ Delta de Kronecker ou função de transção abrupta (eqs e 5.10); xxv

28 φ σ Termo fonte da condção de contorno; Razão entre a dstânca do centro do canal até a face externa da parede e a altura do canal; ψ, ξ, ζ, Ω Autofunções; µ, λ, ϑ, ς Autovalores correspondentes às autofunções ψ, Ω, ξ e ζ respectvamente; ν ϖ τ θ Vscosdade cnemátca; Coefcente de expansão térmca na eq. (6.8b); Varável temporal admensonal; Temperatura admensonal; SUBSCRITOS E SUPERESCRITOS ad Denota a regão a montante na Seção 4.3; f Denota a regão de fludo; n s w Denota a posção de entrada do canal; Denota a regão de sóldo; Denota a posção na face externa da parede do canal; Ambente; * Potencal fltrado; Potencal transformado; ~ Autofunções normalzadas; xxv

29 CAPÍTULO 1 1 INTRODUÇÃO 1.1 MOTIVAÇÃO Em 1981, Tuckerman e Pease propuseram o emprego de mcrocanas para a dsspação de calor, através de um substrato com város canas e aletas organzados paralelamente. O estudo fo conduzdo com água, em regme lamnar, e mcrocanas fabrcados em um substrato de slíco. Fluxos de até 790 W/cm 2 foram gerados pelo chp com sua temperatura establzada em menos de 110ºC. Desde este trabalho, grande esforço tem sdo despenddo pela comundade centífca para o estudo e desenvolvmento de tecnologas de dsspação de calor, que se tornou paulatnamente mas mportante com a crescente demanda por equpamentos mcro-eletrôncos com dmensões cada vez menores e com crescente capacdade de processamento. Paralelamente, vem ocorrendo o desenvolvmento da mcrofludca em dferentes contextos da engenhara, físca, químca, e bologa, especalmente em relação a mcrossstemas eletromecâncos (MEMS Mcro Electro-Mechancal Systems), extensvamente revsados por Tabelng (2003), Karnadaks et al. (2005), Yener et al. (2005), Barber e Emerson (2006), e Sobhan e Peterson (2008). Portanto, nos últmos anos tem sdo grande o esforço de pesqusa voltado para modelagem de fenômenos de transporte em mcrossstemas. Em revsões comparatvas como as apresentadas por Morn (2004) e Yener et al. (2006) e como será detalhadamente apresentado no Capítulo 2 deste trabalho, a smples extensão de correlações expermentas exstentes, e o emprego de expressões analítcas deduzdas no contexto da macroescala pode levar a desvos sgnfcatvos na predção de parâmetros relevantes para propósto de projetos. Estes estudos têm mostrado que tas desvos são resultado de efetos tradconalmente desprezados na análse de sstemas da macroescala, mas cujos efetos na mcroescala são sgnfcatvos. 1

30 Como conseqüênca destas observações, é grande a necessdade de pesqusa na proposção e desenvolvmento de modelos e metodologas de solução para o problema de escoamento e transferênca de calor em mcrocanas. Dentro deste contexto, apenas para apresentar algumas publcações recentes do estudo da modelagem e otmzação de projeto de dsspadores de calor com mcrocanas, ctam-se os trabalhos de Hung et al. (2012) e Wang et al. (2011) com o objetvo de otmzar parâmetros geométrcos de mcrocanas de dsspadores de calor; os estudos de Asthana et al. (2011) para verfcação da ntensfcação térmca alcançada com a utlzação de emulsões líqudolíqudo, através da nserção de bolhas de óleo no escoamento de água em mcrocanas; o trabalho de Tuckerman et al. (2011), fazendo uma revsão da utlzação de mcrocanas na refrgeração de componentes eletrôncos e ntroduzndo o potencal de aplcação de calor rejetado, neste artgo apresentando o estudo da pasteurzação de lete usando mcrocanas; o trabalho de Sherma et al. (2012) para determnação das condções ótmas de operação de um chp eletrônco refrgerado através de um dsspador de calor com mcrocanas; e anda dentro do contexto de sustentabldade, (Zmmerman et al., 2012) utlzaram calor rejetado da refrgeração de um supercomputador através de mcrocanas para aquecmento de ambentes nternos, mnmzando-se o efeto do custo adconal de energa necessáro para o trabalho da bomba responsável pelo escoamento do líqudo de refrgeração. Anda destacam-se os estudos de Ln et al. (2012) e Rouz et al. (2012) com o objetvo de se obter estmatvas das temperaturas do fludo de trabalho em mcrocanas a partr de magens termográfcas da superfíce do substrato. No contexto de metodologas de solução de problemas convectvo-dfusvos, técncas híbrdas de solução de equações dferencas parcas, que exploram o conhecmento analítco dsponível e se aprovetam de modernas plataformas de computação smbólca, têm se destacado na comundade centífca em váras aplcações e apresentado complementardade e vantagens relatvas sobre as mas dfunddas abordagens puramente numércas. Neste cenáro se destaca a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) na solução híbrda numérco-analítca para problemas convectvo-dfusvos (Cotta, 1990; Cotta, 1993; Cotta, 1994; Cotta & Mkhalov, 1997; Cotta, 1998; Cotta & Mkhalov, 2006). O objetvo é a extensão da Técnca da Transformada Integral Clássca, tornando-a sufcentemente flexível para analsar problemas não transformáves a pror, como acontece em problemas com coefcentes 2

31 com dependênca espacal arbtrára e/ou não-lneares, seja na equação ou nas condções de contorno. Esta técnca fo recentemente aplcada na análse de problemas de condução de calor em meos heterogêneos, onde ao nvés de se tratar o problema acoplado, é proposta a modelagem com a adoção de propredades termofíscas com transção abrupta na nterface (Navera-Cotta et al., 2009). Além dsso, o esforço no desenvolvmento e unfcação da base de conhecmentos da Técnca da Transformada Integral Generalzada resultou em um projeto onde o prncpal objetvo é a construção de um códgo aberto para a solução automátca de equações dferencas parcas un- ou multdmensonas, em formulação geral. Este códgo, em constante aperfeçoamento e desenvolvmento, recebeu o nome de UNIT (UNfed Integral Transforms), (Sphaer et al., 2011; Cotta et al., 2013). Atualmente um grande esforço é despenddo por parte dos pesqusadores envolvdos no projeto com o objetvo de tornar o códgo UNIT cada vez mas geral, permtndo a solução de uma maor gama de problemas mesmo por parte de usuáros com pouca experênca teórca nessa classe de métodos híbrdos. 1.2 OBJETIVOS No presente trabalho será desenvolvda uma metodologa para o tratamento alternatvo de problemas conjugados de transferênca de calor através da proposção de uma reformulação do problema em um domíno unfcado que leva em conta os fenômenos de transferênca de calor tanto na regão do fludo em escoamento, quanto na regão das paredes do canal. Para tanto, os coefcentes das equações de conservação são representados como funções dependentes das varáves espacas, apresentando transções abruptas na nterface sóldo-líqudo, e nserndo desta forma a nformação a respeto dos dos domínos orgnas do problema no modelo matemátco. Essa formulação do problema em domíno únco torna a solução através de transformações ntegras muto smplfcada, uma vez que o domíno não precsa ser decomposto em dferentes formulações a serem transformadas. Como será demonstrado neste trabalho, esta abordagem é partcularmente nteressante no tratamento de geometras mas complexas (que não podem ser representadas por relações matemátcas smples), e permte o emprego da Técnca da Transformada Integral Generalzada de forma bastante prátca na solução de problemas conjugados de transferênca de calor 3

32 condução-convecção nterna, sendo de partcular nteresse para utlzação em rotnas de solução automátca, como o recém-desenvolvdo códgo UNIT (UNfed Integral Transforms), (Sphaer et al., 2011; Cotta et al., 2013). Para a solução do problema de transferênca de calor em domíno únco resultante, a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) é utlzada com a proposção de problemas de autovalor com coefcentes varáves, de modo que a nformação da transção entre os dos domínos é transferda ao problema auxlar, que neste caso não mas apresenta uma solução analítca e por sua vez, deve ser também resolvdo pela Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT), acelerando-se a convergênca da solução. Para valdar esta nova metodologa de análse desenvolvda nesta tese, dferentes casos-teste serão apresentados, com grau de complexdade crescente, onde a solução obtda será comparada a metodologas alternatvas, nclundo a solução analítca exata, no caso mas smples onde tal abordagem é possível (Knupp et al., 2012c), a solução através da formulação de problemas de autovalor não-clásscos que ncorporam o fenômeno de dfusão axal em canas sem-nfntos (Knupp et al., 2013), e a solução clássca com acoplamento através de condções de contnudade na nterface no caso onde a seção à montante da seção de troca térmca é levada em conta em problemas de baxos números de Péclet (Knupp et al., 2013b). Nos problemas trdmensonas, será utlzada a plataforma Comsol Multphyscs para gerar soluções puramente numércas de modo a permtr a verfcação das soluções obtdas através da metodologa desevoldda neste trabalho. Por fm, para se demonstrar a aplcação prátca da metodologa desenvolvda no presente trabalho, será realzada a análse teórco-expermental de dsspadores de calor com mcrocanas. No prmero caso será analsado um dsspador nanoestruturado, fabrcado com resna poléster e nanopartículas de óxdo de alumíno, e nvestgação expermental através de termografa por nfravermelho (Knupp et al., 2013c). No segundo caso será nvestgado um dsspador fabrcado em polmetlmetacrlato (PMMA), onde a nvestgação expermental é conduzda para medção da temperatura no fludo, através da técnca de fluorescênca nduzda por laser na mcroescala (µ-lif). 4

33 1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO No Capítulo 2 é apresentada a revsão de lteratura realzada no presente trabalho, englobando transferênca de calor em mcrocanas, conveção forçada em escoamentos nternos com baxos números de Péclet, problemas conjugados conduçãoconvecção e a Técnca da Transformada Integral Generalzada. No Capítulo 3 a Técnca da Transformada Integral Generalzada é formalzada para a solução de problemas convectvo-dfusvos e é deduzda a sua aplcação na solução de problemas de autovalores. O Capítulo 4 ntroduz a formulação de domíno únco e são apresentados casos para dversas consderações físcas, como por exemplo a consderação da condução axal, partcpação da regão a montante da seção de troca térmca e o caso trdmensonal. No Capítulo 5 é apresentada a análse teórco-expermental de dsspadores de calor com mcrocanas empregando-se a metodologa desenvoldda neste trabalho, lustrando seu potencal de aplcação em problemas prátcos de grande nteresse atual na comundade centífca e ndústra. No prmero caso é analsado um dsspador nanoestruturado e nvestgação expermental através de termografa por nfravermelho. No segundo caso é nvestgado um dsspador fabrcado em polmetlmetacrlato (PMMA), onde a nvestgação expermental é conduzda para medção da temperatura no fludo, através da técnca de fluorescênca nduzda por laser na mcroescala (µ-lif). Fnalmente, no Capítulo 6 são dscutdas as conclusões e sugestões de trabalhos futuros. 5

34 CAPÍTULO 2 2 REVISÃO DE LITERATURA A segur é apresentada a revsão de lteratura deste trabalho, compreendendo os dferentes aspectos do problema aqu tratado: transferênca de calor em mcrocanas, convecção forçada em escoamentos nternos com baxos números de Péclet, problemas conjugados de transferênca de calor, e Técnca da Transformada Integral Generalzada. 2.1 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM MICROCANAIS Peng et al. (1994, 1994a) realzaram um estudo expermental do escoamento e transferênca de calor com água e mcrocanas retangulares com dâmetros hdráulcos de µm fabrcados em aço noxdável, conclundo que seus resultados, tanto com respeto ao comportamento térmco quanto ao comportamento do escoamento, apresentaram sgnfcatvo desvo com relação aos valores prevstos em correlações clásscas para a macro-escala. Mas tarde, Xu et al.(2000) conduzram expermentos com escoamento de líqudo em mcrocanas com dâmetro hdráulco de µm e números de Reynolds varando de 20 a 4000 e concluíram que as característcas do escoamento estavam de acordo com o comportamento convenconal predto pelas equações de Naver-Stokes, sugerndo que desvos observados em trabalhos anterores provavelmente eram resultados de erros de medção no mcro-sstema ao nvés de efetos nesperados por causa da mcro-escala. Esta conclusão fo confrmada, posterormente, nos trabalhos de Judy et al. (2002) e Lu e Garmella (2004). No prmero, a perda de carga fo extensvamente nvestgada em expermentos conduzdos com números de Reynolds varando de 8 a 2300 em mcro-tubos com dâmetros de 15 a 150 µm, onde foram empregados três tpos 6

35 dferentes de líqudos, tubos com dos materas dferentes, além de tubos com duas geometras de suas seções transversas dstntas. No segundo, Lu e Garmella (2004) demonstraram que as correlações clásscas apresentavam predções razoáves quanto ao comportamento do escoamento, com líqudos em regme lamnar escoando no nteror de mcrocanas. Os expermentos foram conduzdos com mcrocanas retangulares com dâmetro hdráulco varando de 244 a 974 µm. Paralelamente, outros expermentos também foram conduzdos para se avalar o comportamento térmco da convecção forçada, através do escoamento lamnar monofásco de líqudos no nteror de mcrocanas, como por exemplo, nos trabalhos de Harms et al. (1999) e Qu e Mudawar (2002), onde nos expermentos realzados fo demonstrado que a teora clássca para escoamento em desenvolvmento térmco podera fornecer predções precsas com respeto ao comportamento térmco do sstema. Tas conclusões foram posterormente confrmadas no trabalho de Lee et al. (2005), onde mcrocanas retangulares com espessuras varando de 194 a 534 µm foram empregados em expermentos com água e números de Reynolds varando de 300 a Predções calculadas através da mecânca do contínuo foram realzadas para dferentes hpóteses de smplfcação, e fo concluído que para um modelo cudadoso e adequadamente escolhdo, os dados expermentas estavam em boa concordânca com as avalações teórcas. Tunc & Bayaztoglu (2001) apresentaram a solução de um problema de convecção forçada em mcrocanas retangulares em regme permanente, para escoamento lamnar hdrodnamcamente desenvolvdo, mas termcamente em desenvolvmento, onde foram consderadas condções de salto na temperatura na parede e dsspação vscosa, nvestgando dos termos que são geralmente desprezíves na macroescala, mas cujos efetos no escoamento de gases na mcroescala podem ser sgnfcatvos. O canal fo consderado submetdo a duas dferentes condções de contorno, fluxo prescrto e temperatura prescrta, e a solução fo obtda através da Técnca da Transformada Integral Generalzada. Fo concluído que com o aumento do número de Prandtl o efeto da condção de salto na temperatura dmnuía, e por conseqüênca ocorrera um aumento no número de Nusselt. 7

36 Hetsron et al. (2005) apresentaram uma análse teórco-expermental da transferênca de calor no escoamento monofásco em mcrocanas, onde foram nvestgados dados expermentas de város trabalhos ndependentes, com mcrocanas de dferentes seções transversas (crcular, retangular, trangular e trapezodal) e com dâmetros hdráulcos varando de 60 a 2000 µm. Analsando-se os dados através do foco da teora clássca, algumas de suas conclusões foram: () A utlzação de modelos smplfcados (por exemplo, modelos undmensonas, hpóteses de fluxo unforme e coefcente de transferênca de calor constante, etc.) levaram a predções com grande desvo dos dados expermentas; () A utlzação de modelos mas completos (por exemplo levando-se em conta a geometra real, conjugação com as paredes do mcrocanal, condções de contorno não-adabátcas na entrada e na saída do mcrocanal, condução axal, etc.) levaram a predções com boa concordânca com os dados expermentas; () Com relação aos modelos mas completos, concluíram que o efeto da dsspação vscosa é desprezível em condções típcas de escoamento de líqudos e o efeto da condução axal no fludo e nas paredes do mcrocanal possu um efeto sgnfcatvo em váras aplcações de nteresse prátco. Jambal et al. (2005, 2005a) realzaram um estudo teórco da transferênca de calor em escoamentos de fludos não-newtonanos em dutos anulares levando em conta a dsspação vscosa e condução axal. Para os casos nvestgados, os autores concluíram uma forte dependênca do número de Nusselt com relação à dsspação vscosa e à condução axal no fludo. Mokran et al. (2009) construíram mcrocanas retangulares expermentas com altura varando entre 50 e 500 µm e com largura sufcentemente grande, de modo que o fenômeno físco pudesse ser nterpretado como um escoamento entre placas paralelas. Para o cálculo do número de Nusselt, sendo necessáro o conhecmento da temperatura na face nterna da parede e da temperatura méda de mstura do fludo, e sendo nvável a medção expermental desses valores, fo empregada uma análse nversa para se obter nferêncas. O modelo proposto envolveu o problema de condução de calor na parede do mcrocanal, portanto levando a um problema conjugado com a convecção no nteror do mcrocanal. Para o problema convectvo fo consderado o efeto da condução axal e adotado um modelo undmensonal em regme permanente. Os autores também 8

37 concluíram que os resultados expermentas obtdos para o número de Nusselt foram coerentes com predções clásscas da macro-escala. Motvados pelo crescente nteresse em mcro-sstemas eletromecâncos (MEMS), com o ntuto de se nvestgar efetos que são tradconalmente desprezíves na macro-escala, mas que podem ser mportantes na mcro-escala, Çetn (2008, 2009) estenderam a análse teórca do problema de convecção forçada de gases no nteror de mcro-tubos problema de Graetz (1883, 1885) de modo a nclur efetos de rarefação (através da modelagem de condções de deslzamento e salto de temperatura na parede), dsspação vscosa e condução axal. Navera-Cotta et al. (2010) apresentaram uma análse teórca de um problema de escoamento de gás no nteror de mcrocanas, consderando condções de deslzamento e salto na temperatura na parede, onde o objetvo fo estmar os coefcentes de acomodação térmca e de momentum, além do coefcente de troca térmca da face externa do mcrocanal com o ambente externo. Para tanto foram consderadas apenas medções externas de temperatura, típco da aqusção va sstemas termográfcos, sendo utlzadas a Tecnca da Transformada Integral na solução do problema dreto e a Inferênca Bayesana através do Método de Monte Carlo va Cadea de Markov (MCMC) na solução do problema nverso. Castellões et al. (2010) desenvolveram uma nvestgação teórca da transferênca de calor em canas corrugados e baxos números de Reynolds, com o ntuto de se analsar a ntensfcação térmca alcançada. Dados os baxos números de Reynolds (e por conseqüênca baxos números de Péclet), a dfusão axal no fludo fo consderada, assm como regões adabátcas a montante e a jusante da seção de troca térmca. O problema proposto fo resolvdo através de uma proposta híbrda numérco-analítca fundamentada na Técnca da Transformada Integral Generalzada. 9

38 2.2 CONVECÇÃO FORÇADA EM ESCOAMENTOS INTERNOS COM BAIXOS NÚMEROS DE PÉCLET O problema de convecção forçada do escoamento lamnar ncompressível de um fludo no nteror de um tubo desprezando-se a condução axal, consderando-se um escoamento já completamente desenvolvdo hdrodnamcante, mas em desenvolvmento térmco, fo nvestgado e analtcamente soluconado por Graetz (1883, 1885) e Nusselt (1910). A hpótese de desprezar-se a condução axal traz uma grande smplfcação matemátca e é adequada para escoamentos com altos números de Péclet, o que de fato engloba uma vasta quantdade de aplcações. Os trabalhos de Tan e Hsu (1972) e Tan e Normanda (1975) estão entre os prmeros a propor soluções analítcas exatas para problemas de convecção forçada em escoamentos nternos com baxos números de Péclet, onde a condução axal desempenha um papel mportante e não pode ser desprezada. Nestes trabalhos eles abordaram um problema de transferênca de massa, onde o domíno do canal fo estenddo à montante, com uma seção consderada adabátca, e à jusante da seção do canal propramente dto, passando a ser tratado como um canal nfnto. Neste trabalho fo consderada uma condção de contorno de prmero tpo na parede e o problema fo então resolvdo com a proposção de funções ortonormas a partr das autofunções nãoortogonas, de modo que o problema fo separado e então obtda uma solução analítca exata. Campo e Auguste (1978) estudaram problemas térmcos em escoamentos com baxos números de Péclet onde condções de contorno de troca térmca (conveção e radação) foram consderadas com o meo externo. A solução do problema fo obtda numercamente, através de esquema de dferenças fntas. Suas conclusões sugerram que a mportânca do efeto da condução axal estara fortemente lgada com as condções da troca térmca com o ambente externo. Apesar de algumas técncas que pudessem levar à solução analítca exata do problema de convecção nterna forçada com baxos números de Péclet já terem sdo propostas, como em Tan e Normanda (1975), foram os trabalhos conduzdos por Vck et al. (1980), Vck e Özsk (1981) e Vck et al. (1983), fundamentados em 10

39 transformações ntegras, que trouxeram uma metodologa de solução exata muto menos custosa, sem envolver procedmentos complexos e longos de ortonormalzação. A solução proposta envolve a formulação de um problema de autovalor não-clássco e é aplcada ao problema de um tubo nfnto, consderando-se uma regão adabátca à montante da seção de troca térmca e a seção de troca térmca é consderada nfntamente longa, o que permte o desenvolvmento térmco completo. Soluções foram apresentadas para a seção de troca térmca com condção de contorno tanto de prmero, como de tercero tpo. Laohakul et al. (1985) propuseram uma solução analítca aproxmada para o problema de Graetz com condução axal de modo que, em vrtude da aproxmação realzada, os autovalores e autofunções do problema de autovalor poderam ser calculados explctamente, tornando a metodologa de solução de muto mas fácl aplcação e extensão para outros problemas. Paglarn (1989) estudou o problema de convecção nterna forçada em um escoamento lamnar em desenvolvmento tanto térmco quanto hdrodnâmco, levandose em conta tanto a dfusão axal de calor, quanto a de momentum. O problema fo formulado em forma varaconal com o método dos resíduos ponderados de Galerkn e então fo soluconado numercamente va método dos elementos fntos, tendo sdo a solução valdada com os resultados de Tan e Hsu (1972). Resultados foram apresentados para números de Prandtl entre 0.1 e 100 e números de Péclet entre 5 e 500, e evdencam regões onde a dfusão axal apresenta efetos mportantes. Olvera et al. (1995) partram dos desenvolvmentos analítcos obtdos por Vck et al. (1980), Vck e Özsk (1981) e Vck et al. (1983), e propuseram a solução aproxmada do problema de autovalor não-clássco resultante do problema de Graetz com condução axal. Esta solução aproxmada está fundamentada na proposção de um problema de autovalor auxlar clássco do tpo Sturm-Louvlle e com solução analítca conhecda e, então, soluções aproxmadas são obtdas para as autofunções e autovalores do problema de autovalor não-clássco, com a utlzação da Técnca da Transformada Integral Generalzada (Cotta, 1993). Os resultados apresentados demonstram a excelente taxa de convergênca da aproxmação. 11

40 Barletta e Scho (2000) conduzram uma nvestgação teórca do problema de escoamento lamnar em regme permanente no nteror de canas submetdos a condções de contorno de fluxo prescrto com varação peródca ao longo do comprmento do canal, com o objetvo de se nvestgar o efeto da dfusão axal no fludo. Foram comparados os números de Nusselt calculados para dferentes valores do número de Péclet para soluções onde a dfusão axal fo consderada, em comparação com soluções onde a dfusão axal fo desprezada. Campo et al. (2003) desenvolveram um estudo teórco onde a nfluênca do número de Péclet fo nvestgada com respeto à dfusão axal em escoamentos nternos lamnares. O problema proposto envolve uma regão à montante, onde a parede externa do canal fo consderada adabátca, e a regão de troca térmca propramente dta, onde fo consderado um fluxo constante aplcado ao canal. Na solução do problema se adotou uma modelagem por parâmetros concentrados que levou a um modelo undmensonal. Jeong e Jeong (2006), motvados pela aplcação de escoamento de gases em mcrocanas, consderaram na proposção do modelo, além da condução axal, efetos da dsspação vscosa e da rarefação (condções de deslzamento e salto de temperatura na parede), com a solução sendo obtda a partr da proposção da expansão da solução em autofunções. Resultados foram apresentados para dversas varações nos parâmetros admensonas (números de Péclet, Knudsen e Brnkman). Castellões et al. (2010) nvestgaram os efetos de corrugações da parede na ntensfcação térmca de mcrocanas. Dada a aplcação ser essencalmente voltada para mcrocanas, onde é típca a presença de escoamentos com baxos números de Reynolds (e por conseqüênca, baxos números de Péclet), o modelo proposto ncluu a dfusão axal. A solução fo obtda fundamentada numa transformação ntegral parcal na dreção transversal obtda através da Técnca da Transformada Integral Generalzada (Cotta, 1993), resultando em um sstema de equações parcas dferencas undmensonas, resolvdo numercamente. Outro destaque para este trabalho é a possbldade de análse do transente, o que pode ser especalmente mportante em aplcações com conjugação em mcrocanas, ressaltando que a maora dos trabalhos 12

41 publcados neste assunto dá conta apenas do regme permanente, de modo a trazer redução de custo para a solução do modelo. Cole e Çetn (2011), também motvados pelo crescente nteresse em aplcações envolvendo mcrocanas, e necessdade de modelos confáves para fns de otmzação de projetos, apresentaram a solução para o problema de Graetz com condução axal, levando-se em conta a parede do canal (problema conjugado), obtda através de funções de Green. Resultados do número de Nusselt foram apresentados para váras varações nos parâmetros do problema (vazão volumétrca do escoamento, espessura da parede do canal, condutvdade térmca da parede, etc.). 2.3 PROBLEMAS CONJUGADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Problemas conjugados de transferênca de calor, onde o problema convectvo do escoamento é acoplado ao problema dfusvo que ocorre nas paredes que envolvem o fludo, foram prmeramente abordados em trabalhos poneros de Perelman (1961) e Lukov et al. (1971), onde foram apresentadas metodologas de solução para alguns casos desta classe de problemas e fo dscutda a nfluênca da parede no processo convectvo em alguns casos-exemplo. Patankar (1978) propôs uma solução va dferenças fntas para problemas de transferênca de calor com propredades térmcas (e outras propredades de transporte) não-unformes. Calculando-se o fluxo de calor através da face entre duas células de dferença fnta com a méda harmônca entre as condutvdades ao nvés da méda artmétca, mostrou-se boa acuráca e a metodologa fo aplcada a casos-teste de problemas conjugados de transferênca de calor com geometras rregulares, onde as paredes dos canas foram consderadas como parte do problema do fludo, sendo representadas nestas regões por uma vscosdade sufcentemente elevada. Webb e Ramadhyan (1985) realzaram um estudo teórco do problema conjugado de transferênca de calor de um escoamento em um canal com a presença de um conjunto de aletas. O problema fo soluconado numercamente para dferentes 13

42 números de Reynolds e Prandtl e dversos arranjos geométrcos. Uma das conclusões fo o efeto sgnfcante da condutvdade térmca e espessura da parede do canal na troca térmca devda ao escoamento do fludo. Guedes et al. (1989) fzeram uma análse da transferênca de calor conjugada para escoamento lamnar entre placas paralelas, levando em consderação a condução longtudnal na parede. O problema fo analtcamente resolvdo utlzando a técnca da transformada ntegral generalzada (GITT). Foram nvestgados os efetos do parâmetro de conjugação e do número de Bot no comportamento da transferênca de calor. Posterormente, Guedes et al. (1991) estenderam esta metodologa de solução para a convecção lamnar forçada dentro de tubos nclundo os efetos de condução axal nas paredes, tendo sdo realzada uma aproxmação por parâmetros concentrados na dreção radal e consderando condção de contorno do tercero tpo. Guedes e Cotta (1991) realzaram uma análse do problema conjugado convectvo-condutvo transente de transferênca de calor em escoamento lamnar de fludo Newtonano entre placas paralelas consderando-se a varação peródca da temperatura de entrada. De novo fo adotado um modelo de parede fna, que despreza os gradentes de temperatura transversas no sóldo, mas fo consderada a condução de calor ao longo do duto, tendo sdo uma solução quas-estaconára obtda através da técnca da transformada ntegral generalzada. Guedes et al. (1994) resolveram a transferênca de calor transente em regme turbulento com condução axal nas paredes e condções de contorno de tercero tpo pela técnca da transformada ntegral generalzada para escoamento nterno em placas paralelas sujeto a varação peródca da temperatura de entrada. Fo apresentada uma metodologa smlar aos trabalhos anterores, utlzando-se um modelo de parâmetros concentrados que leva em conta apenas a condução de calor axal ao longo da parede. He et al. (1995) apresentaram uma solução numérca, obtda através do acoplamento entre o método das dferenças fntas e o método dos elementos de contorno, para a solução do problema conjugado de transferênca de calor do escoamento de um fludo no nteror de placas paralelas com condções de contorno do prmero tpo. A solução fo verfcada com dados expermentas dsponíves e as 14

43 nfluêncas da condutvdade térmca da parede e do fludo, espessura da parede e velocdade de entrada foram dscutdas. Fedorov e Vskanta (1999) propuseram uma formulação trdmensonal para modelar um dsspador de calor com mcrocanas, onde fo consderada a conjugação do problema convectvo do escoamento com o problema condutvo na matrz dos canas. A solução fo obtda através do algortmo SIMPLER e fo verfcada uma boa concordânca com alguns dados expermentas obtdos na lteratura. Uma das prncpas conclusões é a mportânca de se levar em conta os mcrocanas e a matrz onde são fabrcados, através de um modelo conjugado, uma vez que em aplcações de dsspação de calor em eletrônca é típca a presença de canas muto pequenos em matrzes relatvamente grandes, que não podem ser desprezadas. Chu et al. (2001) conduzram um trabalho teórco-expermental de escoamento no nteror de canas para demonstrar o efeto da transferênca de calor conjugada (problema convectvo no nteror do canal com problema dfusvo na parede do canal). Após covaldação da solução numérca do modelo proposto com o expermento, a análse numérca fo estendda para dferentes materas na fabrcação do canal e dferentes espessuras de canal, estudando-se os efetos na taxa de transferênca de calor e na unformdade da temperatura. Horvat e Catton (2003) apresentaram uma solução para o problema conjugado de transferênca de calor em um dsspador de calor através da técnca VAT (Volume Averagng Technque), onde o prncpal objetvo fo a construção de um algortmo computaconalmente rápdo que permtsse sua utlzação prátca em problemas de estmatva de parâmetros e problemas de otmzação. Maranzana et al. (2004) apresentaram a estmatva do coefcente de troca térmca em um problema de escoamento no nteror de mn e mcrocanas, nvestgando a nfluênca da condução axal na parede do mcrocanal, que se demonstrou ser relevante. Fo concluído anda que em mn e mcro-trocadores de calor em contracorrente exste uma condutvdade térmca ótma para a parede do canal que maxmzara sua efcênca. 15

44 Wang et al. (2006) desenvolveram uma solução com o método lattce Boltzmann para o problema conjugado de transferênca de calor, consderando um escoamento bdmensonal transente. A solução fo valdada comparando-se com soluções CFD tradconas para um problema de escoamento em mcrocanas com paredes espessas, onde uma boa concordânca fo verfcada com custo computaconal reduzdo. Recentemente, Nunes et al. (2010), motvados pelo trabalho de Maranzana et al. (2004), estenderam a metodologa avançada por Guedes e colaboradores (1989, 1990, 1991, 1994) e apresentaram resultados mostrando a mportânca de se levar em conta a condução de calor longtudnal na parede do mcrocanal, resultando em um problema conjugado de transferênca de calor no fludo e no sóldo (paredes do mcrocanal), chegando-se a uma melhor concordânca entre os dados expermentas e a solução do modelo proposto, para um canal de placas planas metálcas com aquecmento por efeto Joule. 2.4 TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA Técncas analítcas clásscas aplcadas à solução da equação de dfusão são capazes de resolver apenas problemas com uma modelagem matemátca relatvamente smples. Com a necessdade de se obter soluções para problemas prátcos cada vez mas complexos, dversas técncas de solução foram desenvolvdas e são alvo de constante pesqusa, seja na forma de métodos puramente numércos, ou métodos analítcos e anda métodos híbrdos analítco-numércos. Quanto aos métodos puramente numércos, podem-se menconar os bem conhecdos Métodos de Dferenças Fntas, Elementos Fntos e Volumes Fntos, que se tornaram váves com o advento do computador e contnuaram evolundo com o aumento de capacdade de processamento destas máqunas e são atualmente os mas populares, estando amplamente dfunddos em códgos comercas. O Método da Separação de Varáves é uma mportante técnca de solução analítca da equação da dfusão, mas de abrangênca bastante reduzda, uma vez que o modelo matemátco deve obedecer a uma sére de restrções para que o problema seja 16

45 separável. Com base nesta técnca, foram desenvolvdos os formalsmos da Técnca da Transformada Integral Clássca (Classcal Integral Transform Technque CITT), extensvamente revsada por Mkhalov e Ozsk (1984), apresentando uma metodologa para a solução analítca de uma grande varedade de problemas lneares de dfusão, dvddos em sete classes. Embora a CITT tenha representado um sgnfcatvo avanço nas técncas analítcas de solução da equação da dfusão, abrangendo um grande número de problemas e aplcações prátcas, o método anda era ncapaz de ldar com algumas stuações mas complexas envolvendo problemas não-lneares e até mesmo problemas lneares, quando não é possível a transformação de algum dos termos da formulação. Neste contexto, fo desenvolvda a Técnca da Transformada Integral Generalzada (Gerenalzed Integral Transform Technque GITT) (Cotta, 1990; Cotta, 1993; Cotta, 1994; Cotta & Mkhalov, 1997, Cotta, 1998; Cotta & Mkhalov, 2006). Tendo também como ponto de partda a hpótese de que um potencal pode ser representado como uma expansão tendo como base autofunções obtdas de um problema auxlar de autovalor escolhdo adequadamente, a GITT aumenta a abrangênca da CITT, elmnando dversas dfculdades que mpedam que a CITT gerasse uma solução completa para os problemas dtos não-transformáves. Com o desenvolvmento da GITT, problemas mas complexos puderam ser resolvdos, nclundo formulações não-lneares. Com esta metodologa, obtém-se um sstema de equações dferencas ordnáras acoplado e nfnto para o potencal transformado. Este sstema deve ser truncado em uma ordem sufcentemente grande e resolvdo numercamente. Daí, este método ser comumente denomnado como um método híbrdo analítco-numérco. Desde 2007, um grupo de pesqusadores brasleros têm se dedcado ao desenvolvmento e unfcação de métodos híbrdos numérco-analítcos em dfusão e convecção-dfusão, com base nas técncas de transformação ntegral. Este trabalho resultou na construção de uma lnha de códgos para formulações multfíscas, un- e multdmensonas, denomnado UNIT (UNfed Integral Transforms) (Sphaer et al., 2011; Cotta et al., 2013). Este códgo, em aperfeçoamento e contínuo desenvolvmento, utlza a GITT para a solução do problema dreto em uma formulação bastante geral. O códgo UNIT está publcamente dsponível no síto 17

46 CAPÍTULO 3 3 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO ATRAVÉS DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA A Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) tem sdo extensvamente utlzada como metodologa de solução híbrda numérco-analítca para problemas de dfusão pura e convecção-dfusão (Cotta, 1990; Cotta, 1993; Cotta, 1994; Cotta e Mkhalov, 1997; Cotta, 1998; Cotta e Orlande, 2003; Cotta e Mkhalov, 2006). Os mértos relatvos desse método sobre procedmentos puramente numércos ncluem o controle automátco da precsão global e o aumento moderado do custo computaconal para stuações não-lneares e multdmensonas. O presente capítulo revsa os concetos da Técnca da Transformada Integral Generalzada, apresentando prmeramente o procedmento de solução formal para um problema geral de convecção-dfusão e na sequênca é ntroduzdo o formalsmo de solução de problemas de autovalor através da própra GITT, que será partcularmente útl dentro do cenáro da metodologa proposta neste trabalho. 3.1 SOLUÇÃO FORMAL DE UM PROBLEMA CONVECTIVO- DIFUSIVO GERAL Consdere um problema convectvo-dfusvo com NP potencas acoplados, como por exemplo, velocdade, temperatura, concentrações, etc. Esses potencas estão defndos na regão V com superfíce de contorno S e nclundo efetos não-lneares e termos convectvos, todos ncorporados nos termos fonte das equações e das condções de contorno, como segue: 18

47 Tk ( x, t) wk ( x) = ( Kk ( x) Tk ( x, t) ) dk ( x) Tk ( x, t) + gk ( x, t, T), t x V, t > 0, k = 1, 2,..., NP (3.1a) com condções ncal e de contorno dadas por: T ( x,0) = f ( x), x V (3.1b) k k α ( x k ) + β ( x k ) Kk ( x ) Tk (, t) = φk (, t, ), S, t > 0 n x x T x (3.1c) com { T, T,..., T,..., T } T = (3.1d) 1 2 k NP onde n é a normal à superfíce S no sentdo sando do meo. O problema defndo pelas eqs. (3.1) é bastante geral uma vez que todos os termos não-lneares e/ou convectvos podem ser agrupados nos termos fonte das equações e das condções de contorno. Para stuações lneares, ou seja, g g ( x, t) e φ φ ( x, ), essa formulação se reduz ao problema de dfusão lnear de classe I, de k k t acordo com a classfcação de Mkhalov e Ozsk (1984), para os quas soluções analítcas exatas podem ser obtdas a partr da utlzação da técnca clássca de transformação ntegral. Para a stuação geral, entretanto, o problema é não- k k 19

48 transformável e a Técnca da Transformada Integral Generalzada deve ser empregada para desenvolver soluções híbrdas numérco-analítcas. A solução formal por transformação ntegral requer a proposção de expansões em autofunções para os potencas assocados. A prncípo qualquer problema de autovalor do tpo Sturm-Louvlle pode ser empregado na solução, entretanto a versão lnear homogênea do problema (3.1), a partr da aplcação do método de separação de varáves, naturalmente leva aos problemas de autovalor a serem preferdos na análse do problema não-lnear, de modo que os problemas auxlares desacoplados sugerdos são dados por: ( ) 2 K ( x) ψ ( x) + [ µ w ( x) d ( x)] ψ ( x) = 0, x V (3.2a) k k k k k k α ( x k ) + βk ( x ) Kk ( x ) ψ k ( ) = 0, S n x x (3.2b) onde os autovalores µ e autofunções correspondentes ψ ( x ) são assumdos k conhecdos pela solução analítca exata do problema (3.2) ou pela aplcação de métodos computaconas para problemas de Sturm-Louvlle, como a própra GITT, como será dscutdo na Seção 3.2 deste capítulo. O problema (3.2) permte, a partr da propredade da ortogonaldade das autofunções, a proposção dos seguntes pares de transformação ntegral: k transformadas: T, ( t) = w ( x) ψ% ( x) T ( x, t)dv (3.3a) k V k k k = = 1 nversas: Tk ( x, t) ψ% k ( x) Tk, ( t) (3.3b) 20

49 onde os núcleos smétrcos ψ% ( x) são dados por: k ψ k ( x) ψ % ( x) = (3.3c) k N k N = w x x V (3.3d) 2 k k ( ) ψ k ( )d V onde o termo N k é conhecdo como ntegral de normalzação. ψ V k x A transformação ntegral da eq. (3.1a) é realzada a partr do operador % dv, e utlzação das condções de contorno dadas pelas eqs. (3.1c) e (3.2b), ( )( ) em conjunto com a aplcação da segunda fórmula de Green, resultando em: dtk, ( t) 2 + µ ktk ( t) = gk ( t, T) + bk ( t, T), dt t > 0, = 1,2,..., k = 1,2,..., NP (3.4a) onde o termo fonte transformado g ( t, T ) é devdo à transformação ntegral dos termos k fonte da equação orgnal e o termo fonte bk ( t, T ) é devdo à contrbução dos termos fonte da condção de contorno: = g ( t, T) ψ% ( x) g ( x, t, T) dv (3.4b) k V k k Tk ( x, t) ψ% k ( x) bk ( t, T) = Kk ( x) ψ k ( ) Tk (, t) ds S % x x (3.4c) n n 21

50 A contrbução das condções de contorno pode também ser expressa em função dos termos fonte das condções de contorno, após manpulação das eqs. (3.1c) e (3.2b): ψ% k ( x) ψ % k ( x) Kk ( x) bk ( t, T) = φk (, t, ) x T n ds S α ( x) + β ( x) (3.4d) onde os potencas (3.3b). T k podem ser representados através da expansão dada pela eq. x w V k As condções ncas (3.1b) são também transformadas a partr do operador % dv, resultando em: ( ) ψ ( x)( ) k T (0) = f w ( x) ψ% ( x) f ( x) dv (3.4e) k k V k k k As eqs. (3.4) formam um sstema acoplado nfnto de equações dferencas ordnáras não-lneares para os potencas transformados T ( t ), na maora das vezes sem solução analítca conhecda. Entretanto, algortmos confáves estão dsponíves para solução numérca desse tpo de sstema após o seu truncamento em uma ordem sufcentemente grande para corresponder a uma aproxmação do sstema nfnto. Por exemplo, a plataforma Mathematca (Wolfram, 2005) dspõe da rotna NDSolve, que permte a solução desse sstema de EDO s com controle automátco de erro absoluto e relatvo. Uma vez que os potencas transformados tenham sdo numercamente calculados, a rotna do Mathematca automatcamente provê o códgo-objeto de uma função de nterpolação que aproxma contnuamente o comportamento na varável t dos campos transformados. Então, a fórmula de nversão dada pela eq. (3.3b) pode ser 22 k

51 utlzada para representar explctamente a solução para os potencas orgnas em qualquer posção x e tempo t, ou varável equvalente. Para um melhor desempenho computaconal da metodologa, é recomendado reduzr a mportânca dos termos fonte das equações e das condções de contorno, de modo a acelerar a convergênca das expansões em autofunções (Cotta e Mkhalov, 1997). Tal objetvo pode ser alcançado com a proposção de soluções fltro analítcas, que removem nformação dos termos fonte. Dferentes expressões podem ser propostas como fltro para um mesmo problema, e a prncípo o uso de qualquer solução fltro pode ser expresso da segunte forma: T x t T x t T x t (3.5) * k (, ) = k (, ) + k, f ( ; ) onde T, ( x ; t) é a solução fltro proposta, onde t é apenas um parâmetro. k f O efeto do fltro é oferecer uma nova formulação fltrada, dada por: ( ) * Tk ( x, t) * * * * k x = k x Tk x t k x Tk x t + k x t T w ( ) K ( ) (, ) d ( ) (, ) g (,, ), t x V, t > 0 (3.6a) onde o termo fonte fltrado é dado por: ( T, ( x; t) ) * * k ( x, t, T ) = k + k ( x) k f g g K d ( x) w ( x) T ( x; t) k k, f k T k, f ( x ; t) (3.6b) t 23

52 com condções ncas e de contorno: T ( x,0) = f ( x) = f ( x) T ( x,0), x V (3.6c) * * k k k k, f * T * k ( x, t) * * αk ( x) Tk ( x, t) + βk ( x) Kk ( x) = φk ( x, t, T ), x S n (3.6d) onde os termos fonte fltrados da condção de contorno são dados por: φ ( x,, T ) ( x) T ( x, ) ( x) ( x) * * k t = φk α k k, f t βk Kk T k, f ( x, t) n (3.6e) A solução formal descrta anterormente é então dretamente aplcável ao problema fltrado. 3.2 A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA PARA PROBLEMAS DE AUTOVALOR Os problemas de autovalor que fornecem as bases para todas as expansões em autofunções na construção da solução através da Técnca da Transformada Integral Generalzada, formalzada na Seção 3.1, podem ser também resolvdos através da própra GITT. A solução analítca para o problema de autovalor preferencal de um problema geralmente não é obtenível em casos mas geras, como em problemas multdmensonas, com domíno complexo, e sstemas não clásscos. Neste cenáro, a aplcação da própra GITT na solução de problemas de autovalor fo ntroduzda por Mkhalov e Cotta (1994), e demonstrou-se ser muto efcente. Portanto, deve ser observado que esta metodologa aqu revsada é de mportânca crucal na solução de 24

53 dversos problemas de escoamento e transferênca de calor através do método de transformações ntegras, e sto é partcularmente sgnfcatvo em grande parte dos problemas tratados no presente trabalho, uma vez que pretende-se fazer uso de reformulações em domíno únco, onde serão ntroduzdos na equação coefcentes com varação espacal abrupta, o que naturalmente leva a problemas de autovalor sem solução analítca dreta. Na metodologa de solução de problemas de autovalor através de transformações ntegras, a GITT é utlzada para se reduzr o problema de autovalor orgnal em problemas algébrcos que podem ser dretamente resolvdos através de códgos de análse de autovalores matrcas. Consdere o segunte problema defndo na regão V com superfíce de contorno S : ( ) 2 K( x) ψ ( x) + [ µ w( x) d ( x)] ψ ( x) = 0, x V (3.7a) com condções de contorno: α ( x ) + β ( x ) K( x ) ψ ( ) = 0, S n x x (3.7b) onde w( x ), K( x ), d ( x ), α ( x ) e β ( x ) são funções conhecdas e os autovalores µ e autofunções correspondentes ψ ( x ) precsam ser calculados como solução deste problema. escrto como: De modo a smplfcar a notação, o problema (3.7) pode ser equvalentemente 25

54 2 Lψ ( ) = µ w( x) ψ ( ), V x x x (3.8a) com condções de contorno dadas por: Bψ ( x) = 0, x S (3.8b) onde os operadores L e B são dados por: ( ) L = K( x) + d( x ) (3.8c) B = α ( x) + β ( x) K ( x) n (3.8d) Assm, pode-se reescrever o problema (3.8) como: ˆ x ˆ x x x (3.9a) 2 Lψ ( ) = ( L L) ψ ( ) + µ ψ ( ), V Bˆ ψ ( x) = ( B Bˆ ) ψ ( x), x S (3.9b) onde ˆL e ˆB são os operadores dados por: ( ) ˆ L ˆ = K ˆ ( x ) + d ( x ) (3.9c) 26

55 ˆ ˆ( ) ˆ( ) ˆ B = α x + β x K ( x) n (3.9d) Os operadores ˆL e ˆB são então utlzados na seleção de um problema de autovalor auxlar, como segue: ˆ x ˆ x x x (3.10a) 2 LΩ ( ) = λ w( ) Ω( ), V Bˆ Ω ( x) = 0, x S (3.10b) onde wˆ ( x ), K ˆ ( x ), d ˆ( x ), αˆ ( x ) e ˆ( β x ) são coefcentes escolhdos de modo que o problema (3.10) possua solução analítca dreta para os autovalores λ e autofunções correspondentes Ω( x ), onde na escolha dos coefcentes devem ser prorzadas funções mas smples mas que ncorporem o máxmo possível o comportamento espacal dos coefcentes orgnas. Neste cenáro, fazendo uso da propredade de ortogonaldade das autofunções pode-se escrever o segunte par de transformação ntegral: transformada: ψ = ˆ( x) Ω % ( x) ψ ( x)d V (3.11a) V w nversa: ψ ( x) = Ω% ( x) ψ (3.11b) = 1 onde 27

56 Ω ( ) Ω % x ( x) = (3.12a) N Ω ˆ ( x) 2 ( x ) (3.12b) V NΩ = w Ω dv x V Operando-se a eq. (3.9a) com Ω ( )( ) algébrco transformado: % dv obtém-se o segunte sstema λ ψ = γ ( Bˆ B) ψ ( x) ds + Ω% ( x)( Lˆ L) ψ ( x) dv + 2 S V + Ω % ( x) w( x) ( x) dv, = 1,2,... 2 µ ψ V (3.13a) ˆ Ω% ( ) Ω% x ( x) K( x) γ = n ˆ( α x) + ˆ β ( x) (3.13b) onde ψ ( x ) pode ser representado pela expansão dada pela fórmula de nversão apresentada na eq. (3.11b), truncando-se este sstema com M termos podemos reescrever o sstema (3.13) como: 2 { } { } ( A + C) ψ = µ B ψ (3.14a) onde os elementos das matrzes M M são dados por: 28

57 A = γ ( Bˆ B) Ω% ( x) ds Ω% ( x)( Lˆ L) Ω% ( x) dv (3.14b) j j j S V C = λ δ (3.14c) 2 j j onde δ j é o delta de Kronecker, Bj = w( x) Ω% ( x) Ω% j ( x) dv (3.14d) V ou anda, se usarmos a segunte relação: V ( ) ( ) ( ˆ ( ) ( )) ˆ Ω% j Ω% x x K x Ω % j x dv = K ( x) Ω% ( x) ds n S Kˆ ( x ) Ω% ( x ) Ω% ( x ) dv V j (3.15) pode-se calcular os coefcentes da matrz A defnda na eq. (3.14a) da segunte forma: ˆ Ω% ( ) Ω% x ( x) K( x) ( ) ( ( ) ˆ( )) ( ) ( ( ) ( ) ˆ Ω% n j x α x α x Ω % j x + β x K x β ( x) K( x) ˆ ) ds S ˆ( α x) + β ( x) n ( ) ( ( ) ˆ Ω% j x K K( )) Ω ( ) ( ( ) ˆ x x % x ds + K K( )) Ω ( ) Ω j ( ) dv + x x % x % x n S ( ˆ ) + d( x) d( x) Ω% ( x) Ω% ( x) dv V j V (3.16) 29

58 Portanto, é possível reduzr o problema de autovalor orgnal, dado aqu pelas eqs. (3.7a) e (3.7b), em um problema algébrco, dado pela eq. (3.14a), que pode ser prontamente resolvdo por rotnas de análse matrcal dsponíves em dversas plataformas computaconas, nclusve o Mathematca, utlzado no desenvolvmento deste trabalho. Deve ser observado que com esta metodologa os autovalores µ são dretamente calculados, enquanto os autovetores assocados são empregados na fórmula de nversão (3.11b) para construção das autofunções ψ ( x ) correspondentes. Naturalmente, deve-se controlar a ordem de truncamento M no sstema algébrco (3.14a), uma aproxmação do sstema nfnto, de modo a se obter aproxmações dentro da tolerânca exgda. 30

59 CAPÍTULO 4 4 DESENVOLVIMENTO E VALIDAÇÃO DA FORMULAÇÃO DE DOMÍNIO ÚNICO Neste capítulo será ntroduzda a metodologa de solução de problemas conjugados de transferênca de calor convecção-condução em problemas de escoamento nterno através da reformulação em domíno únco. A metodologa é apresentada em sua formulação geral na Seção 4.1, contemplando tanto a solução da equação da quantdade de movmento quanto a equação da energa. Na sequênca, uma sére de casos será apresentada, trazendo verfcações das soluções obtdas com grau crescente de complexdade, ncando-se na Seção 4.2 com um problema bastante smples de escoamento entre placas paralelas com temperatura prescrta na face externa da parede do canal e desprezando-se a condução axal, de modo que é possível se obter solução exata para este problema, permtndo uma avalação crítca das soluções aproxmadas obtdas através da reformulação em domíno únco (Knupp et al., 2012c). Na Seção 4.3 o problema de escoamento entre placas paralelas com temperatura prescrta na face externa é mantdo, mas neste caso o termo de condução axal é ntroduzdo, não se conhecendo solução exata para este problema. Entretanto, para fns de verfcação, duas abordagens dstntas são propostas: prmero o problema é resolvdo no regme permanente através da proposção de um problema de autovalor não-clássco de quarta ordem e como solução alternatva é proposta a nserção de um termo pseudo-transente e solução através de um problema de autovalor clássco em transformação parcal (Knupp et al., 2013). A consderação do termo de condução axal pode susctar a questão da mportânca do pré-aquecmento (resframento) que ocorre no fludo de trabalho antes de entrar na regão de troca térmca, devdo à condução axal. Este assunto é abordado na Seção 4.4 (Knupp et al., 2013c) onde as soluções obtdas são dretamente comparadas à solução de Castellões et al. (2010) para um problema sem conjugação na parede. Na Seção 4.5, o problema trdmensonal é tratado onde são apresentadas verfcações através de um canal com razão de aspecto crescente, cujo caso 31

60 lmte é o escoamento entre placas paralelas tratado nas seções anterores, verfcações complementares da solução são apresentadas através da comparação com a solução puramente numérca, obtda com o software Comsol Multphyscs. Fnalmente, na Seção 4.6, é apresentado o caso de um canal com seção transversal de geometra arbtrára. Assm sendo, na Seção são fetas verfcações da solução da equação da quantdade de movmento, onde o campo de velocdade é resolvdo para um canal crcular, onde a solução exata está dsponível para valdação, e na sequênca o caso de uma geometra complexa é apresentada, onde a solução puramente numérca é utlzada como referênca para verfcações. Fnalmente, na Seção é apresentada a solução do problema conjugado condução-convecção no canal de geometra complexa apresentado na Seção 4.6.1, e a solução é verfcada através da comparação com a solução puramente numérca. 4.1 PROCEDIMENTO GERAL DE FORMULAÇÃO E SOLUÇÃO EM DOMÍNIO ÚNICO Equação da Quantdade de Movmento Consdere o escoamento nterno lamnar ncompressível de um fludo Newtonano em um canal de seção transversal com geometra arbtrára, como representado esquematcamente na fgura

61 Fgura 4.1: Representação esquemátca de um canal de seção transversal com geometra arbtrára. A formulação da equação da quantdade de movmento consderando escoamento apenas na dreção longtudnal (z), em regme permanente, a partr da formulação em domíno únco, consderando-se que o coefcente de vscosdade vara abruptamente na nterface entre a regão de sóldo (onde será consderada uma vscosdade sufcentemente alta), e a regão de escoamento, é dada por: u( x, y, z) ( x, y) ( x, y) ( x, y) 2 u u u u 1 dp = ν + ν + ν 2 z x x y y z ( x, y) dz ρ (4.1a) u( x, y,0) = un (4.1b) u(0, y, z) = u( L, y, z) = u( x,0, z) = u( x, L, z) = 0 (4.1c) x y onde o coefcente de vscosdade cnemátca, ν ( x, y), é dado por: 33

62 ν f, dentro do canal (fludo) ν ( x, y) = ν s, fora do canal (sóldo) (4.1d) onde deve ser observado que, como se está nteressado na solução apenas a partr do completo desenvolvmento hdrodnâmco, ou seja no perfl u( x, y ), pode ser utlzada a u hpótese de que = 0 z. O termo do lado esquerdo da eq. (4.1a), entretanto, não fo desprezado de modo a permtr que a transformação ntegral do problema (4.1) resulte num problema de valor ncal. De modo que tenhamos um problema lnear, u( x, y, z ) é substtuído por uma constante u av neste termo, resultando em: u u u 1 dp uav = ν ( x, y) + ν ( x, y) z x x y y ρ( x, y) dz (4.2) Então, após a solução do problema dado pela eq. (4.2) com as condções de contorno (4.1b,c), toma-se como solução o perfl de velocdade u( x, y ) após completo estabelecmento do desenvolvmento hdrodnâmco. Segundo os formalsmos da Técnca da Transformada Integral Generalzada para a solução da eq. (4.2) com as condções de contorno dadas pelas eqs. (4.1b,c), defne-se o segunte par de transformação ntegral: transformada: L y x u ( z) = u % χ ( x, y) u( x, y, z) dxdy (4.3a) av 0 0 L nversa: u( x, y, z) = % χ ( x, y) u ( z) (4.3b) = 1 34

63 onde as autofunções χ% ( x, y) e autovalores correspondentes µ são obtdos do segunte problema de autovalor: χ ( x, y) χ ( x, y) ν + ν + µ χ = x x y y 2 ( x, y) ( x, y) uav 0 (4.4a) χ (0, y) = χ ( L, y) = χ ( x,0) = χ ( x, L ) = 0 (4.4b) x y onde as autofunções normalzadas são calculadas como: χ( x, y) % χ ( x, y) = (4.5a) N Ly Lx 2 avχ 0 0 N = u ( x, y) dxdy (4.5b) O problema (4.4) não possu solução analítca exata conhecda devdo aos coefcentes de vscosdade com varação espacal, ν ( x, y), e portanto a própra GITT deve ser usada em sua solução através de sua transformação em um problema de autovalor algébrco truncado em uma ordem M sufcentemente alta e representação das autofunções orgnas como uma expansão em termos da base escolhda, em procedmento descrto em detalhes na Seção 3.2. Uma vez que este procedmento de solução tenha sdo conduzdo, tem-se à dsposção uma representação para as autofunções normalzadas χ% ( x, y) e autovalores correspondentes µ. O problema então dado pela eq. (4.2), com condções de contorno dadas pelas eqs. (4.1b,c), é Ly Lx % completamente transformado através da operação com χ (, ) ( ) 0 0 x y dxdy, resultando em: 35

64 du dz + µ u ( z) = g, = 1, 2,... (4.6a) 2 L L y x 1 dp g = u % χ ( x, y) dxdy (4.6b) ρ( x, y) dz av 0 0 com condções de entrada transformadas dadas por: Ly Lx u (0) = u u % χ ( x, y) u dxdy (4.6c) n, av n 0 0 que pode ser analtcamente resolvdo, resultando em: ( ) g u ( z) = u exp z + 1 exp z (4.7) 2 2 ( µ ) ( µ ) n, 2 µ Desta forma, os potencas transformados u ( z) dados pela eq. (4.7) podem ser dretamente substtuídos na fórmula de nversão dada pela eq. (4.3b), resultando em uma representação explícta para o campo de velocdade u em qualquer posção de nteresse ( x, y, z ). Cabe ser lembrado, que nesta solução se está nteressado apenas do campo de velocdade após estabelecmento do completo desenvolvmento hdrodnâmco, portanto para z, toma-se u( x, y ) como solução para o campo de velocdade no escoamento completamente desenvolvdo. Assm, tem-se dsponível uma representação analítca para o campo de velocdade u( x, y ) O Problema Conjugado Condução-Convecção Consdere o escoamento lamnar ncompressível de um fludo Newtonano em um canal com seção transversal de geometra arbtrára, como apresentado na fgura 4.1. Consderando que a parede do canal partcpa do problema de transferênca de calor através de condução axal e transversal, e que o fludo escoa com campo de velocdade completamente desenvolvdo u ( x, y ), dado pela solução descrta na Seção 4.1.1, e f temperatura de entrada conhecda T n, a formulação deste problema conjugado como 36

65 um modelo em domíno únco que leva em conta a transferênca de calor tanto no fludo em escoamento como na parede do canal é obtdo através da utlzação de coefcentes representados com varações espacas, onde uma varação abrupta ocorre na nterface fludo-parede. O problema é então dado pela segunte formulação: T ( x, y, z, t) T T w( x, y) + u( x, y) w( x, y) = k( x, y) + t z x x 2 T T k( x, y) k( x, y) 2 y y + z (4.8a) com condções de contorno dadas por: T T( x, y, z = 0, t) = Tn ( x, y), = 0 z z = L z, 0 < x < L, 0 < y < L, t > 0 (4.8b,c) x y α + βk( x, y) T( x, y, z, t) = 0, x, y Sxy, 0 < z < Lz, t > 0 n (4.8d) e condção ncal dada por: T( x, y, z, t = 0) = f ( x, y, z), 0 < x < L, 0 < y < L, 0 < z < L (4.8e) x y z onde S xy se refere ao contorno defndo pela face externa da parede do canal. Assm, as condções de contorno dadas pela eq. (4.8d) pode defnr contornos de prmero, segundo, ou tercero tpo, de acordo com a stuação físca presente. 37

66 Os coefcentes com varações espacas são dados por: u f ( x, y), dentro do canal (fludo) u( x, y) = u 0, fora do canal (sóldo) (4.8f) w w( x, y) = w f s, dentro do canal (fludo), fora do canal (sóldo) (4.8g) k k( x, y) = k f s, dentro do canal (fludo), fora do canal (sóldo) (4.8h) ntegral: Para solução do problema (4.8) defne-se o segunte par de transformação transformada: L L y x T ( z, t) = w( x, y) ψ% ( x, y) T ( x, y, z, t) dxdy (4.9a) 0 0 nversa: T( x, y, z, t) = ψ % ( x, y) T ( z, t) (4.9b) = 1 onde as autofunções ψ% ( x, y) e autovalores correspondentes µ são obtdos da solução do segunte problema de autovalor: ψ ( x, y) ψ ( x, y) k x y + k x y + µ w x y ψ = x x y y 2 (, ) (, ) (, ) 0 (4.10a) α + βk( x, y) ψ ( x, y), x, y S n xy 38 (4.10b)

67 onde as autofunções normalzadas são calculadas como: ψ ( x, y) ψ % ( x, y) = (4.11a) N Ly Lx N = w x y ψ x y dxdy (4.11b) (, ) (, ) Ao se aplcar a Técnca da Transformada Integral Generalzada ao problema de autovalor (4.10), chega-se num problema de autovalor algébrco, que pode ser resolvdo computaconalmente, e então chega-se a uma representação analítca das autofunções ψ ( x, y) como uma expansão em termos da base escolhda, em procedmento descrto em detalhes na Seção 3.2. O problema dado pelas eqs. (4.8a-h) é então transformado através da operação Ly Lx com ψ (, )( ) 0 0 % x y dxdy, resultando em: T ( z, t) 2 + µ T = g ( z, t, T ), = 1,2,... (4.12a) t L y Lx Tj T ψ ψ j j= 1 z % % 0 0 g ( z, t, ) = w( x, y) u( x, y) ( x, y) ( x, y) 2 L y Lx Tj 2 j= 1 z 0 0 k( x, y) ψ% ( x, y) ψ% ( x, y) dxdy j (4.12b) onde { T1, T2,...} T = (4.12c) 39

68 com as condções de contorno e ncal transformadas dadas por: Ly Lx T ( z 0, t) T w( x, y) ψ ( x, y) T ( x, y) dxdy = = %, = 0 n n 0 0 T z z= Lz (4.12d,e) Ly Lx T ( z, t = 0) = f ( z) w( x, y) ψ% ( x, y) f ( x, y, z) dxdy (4.12f) 0 0 O problema transformado dado pelas eqs. (4.12a-f), depos de truncado em uma ordem N, é então resolvdo numercamente para os potencas transformados T ( z, t ), com = 1,2,..., N. Portanto, a fórmula de nversão dada pela eq. (4.9b) pode ser usada para resultar numa representação para o potencal orgnal T ( x, y, z, t ) em qualquer posção de nteresse ( x, y, z ) e tempo t. Nas seções seguntes serão apresentados dversos casos partculares trazendo verfcações das soluções obtdas, com grau crescente de complexdade, ncando-se na Seção 4.2 com um problema de escoamento entre placas paralelas desprezando-se a condução axal; na Seção 4.3 o problema de escoamento entre placas paralelas é mantdo, mas neste caso o termo de condução axal é ntroduzdo; na Seção 4.4 é abordado o problema com condução à montante; na Seção 4.5, o problema trdmensonal é tratado onde são apresentadas verfcações através de um canal retangular; e fnalmente, na Seção 4.6, é apresentado o caso de um canal com seção transversal de geometra arbtrára. Assm sendo, na Seção são fetas verfcações da solução da equação da quantdade de movmento, onde o campo de velocdade é resolvdo para um canal crcular, onde a solução exata está dsponível para valdação, e na sequênca o caso de uma geometra complexa é apresentada, onde a solução puramente numérca é utlzada como referênca para verfcações; na Seção é apresentada a solução do problema conjugado condução-convecção no canal de 40

69 geometra complexa apresentado na Seção 4.6.1, e a solução é verfcada através da comparação com a solução puramente numérca. 4.2 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS SEM CONDUÇÃO AXIAL Nesta seção será abordado um problema smples de escoamento entre placas paralelas com temperatura prescrta na face externa da parede do canal e desprezando-se a condução axal, de modo que é possível se obter solução exata para este problema, permtndo uma avalação crítca das soluções aproxmadas obtdas através da reformulação em domíno únco. Neste contexto, consderou-se o escoamento nterno lamnar ncompressível de um fludo Newtonano entre placas paralelas, em regme permanente, submetdo a troca de calor convectva devdo à temperatura prescrta T w na face externa da parede do canal. Neste problema, a partcpação da parede do canal é consderada no problema de transferênca de calor através uncamente de condução transversal ao canal, sendo desprezada a condução axal. O fludo escoa com um perfl de velocdade completamente desenvolvdo u f ( y ) e temperatura de entrada conhecda, T n. Uma representação esquemátca deste problema é lustrada na Fgura

70 Fgura 4.2: Representação esquemátca do problema de escoamento entre placas paralelas com temperatura prescrta na face externa da parede do canal Formulação em Domíno Únco O escoamento fo consderado hdrodnamcamente desenvolvdo e em desenvolvmento térmco. Então, a formulação do problema conjugado como um modelo em domíno únco que leva em conta a transferênca de calor tanto no fludo em escoamento como na parede do canal é obtda através da utlzação de coefcentes representados com varações espacas, onde uma transção abrupta ocorre na nterface fludo-parede. Deste modo, o problema conjugado de transferenca de calor é então dado pela segunte formulação envolvendo coefcentes com dependênca espacal: 2 T ( y, z) T T u( y) wf = k( y) + k( y), 0 y L, 0 2 < < e z > z z y y (4.13a) T( y, z = 0) = Tn (4.13b) T y y = 0 = 0, T ( y = L, z) = T e w (4.13c,d) 42

71 onde as seguntes funções com dependênca espacal foram utlzadas: u f ( y), 0 < y < L f / 2 u( y) = 0, L f / 2 < y < L e (4.13e) k f, 0 < y < L f / 2 k( y) = k, L / 2 < y < L s f e (4.13f) onde w f é a capacdade térmca do fludo, k s é a condutvdade térmca da parede do canal, k é a condutvdade térmca do fludo e u ( y ) é o perfl de velocdade f f parabólco conhecdo do escoamento completamente desenvolvdo. Defnem-se os seguntes grupos admensonas: z / Dh z y u T Tn k uavdh Z = = ; Y = ; U = ; θ = ; K = ; Re = ; Re Pr Dh Pe Le uav Tw Tn k f ν (4.14a-k) ν u k avdh f L L e f Pr = ; Pe = Re Pr = ; α = ; σ = ; Y = α α w L 2L f f e levando à segunte formulação admensonal: 2 θ ( Y, Z) K( Y) θ 4 θ Z Pe Z Y Y U ( Y ) = + K( Y ), 0 < Y < 1, 0 < Z < Z σ (4.15a) θ Y Y = 0 = 0, θ ( Y = 1, Z) = 1, Z > 0 (4.15b,c) θ( Y, Z = 0) = θ Z = 0 = 0, 0 < Y < 1 (4.15d) 43

72 com: U f ( Y ), 0 < Y < Y U ( Y ) =, (4.15e) 0, Y < Y < 1 1, 0 < Y < Y K ( Y ) = ks / k f, Y < Y < 1 (4.15f) Com o objetvo de melhorar o desempenho computaconal da solução formal a ser desenvolvda a segur, é recomendado reduzr a mportânca dos termos fonte das condções de contorno de modo a acelerar a convergênca das expansões em autofunções. Uma das possbldades é a proposção de fltros analítcos, que no caso aqu tratado será dado apenas pela temperatura prescrta na face externa da parede do canal, como representado na expressão a segur: θ * ( Y, Z) 1 θ ( Y, Z) = + (4.16) O problema fltrado é então reescrto substtundo-se a eq. (4.16) no problema (4.15). Além dsso, como já destacado anterormente, de modo a se obter um problema em que a solução exata seja obtenível, o termo de condução axal é desprezado na eq. (4.15a), o que de fato é nclusve uma hpótese plausível para este tpo de problema quando tratando de problemas com escoamentos com números de Péclet sufcentemente altos e paredes com baxa condutvdade térmca, como em mcrotrocadores de calor de base polmérca. As equações seguntes trazem a formulação do problema fltrado quando a condução axal é desprezada: 44

73 * * θ ( Y, Z ) 4 θ U ( Y ) = K( Y ), 0 Y 1, Z 0 2 < < > Z σ Y Y (4.17a) ( Y, Z = 0) = = 1 (4.17b) * * θ θ Z = 0 * θ Y Y = 0 = θ = = * 0, ( Y 1, Z) 0 (4.17c,d) A segur, duas alternatvas va Técnca da Transformada Integral Generalzada serão consderadas na solução do problema (4.17). A prmera alternatva envolve a proposção de um problema de autovalor com coefcentes constantes, portanto sem transferr para a base de expansão em autofunções a nformação sobre a varação espacal dos coefcentes do problema orgnal. Apesar desta alternatva ser o camnho mas smples e flexível, ela não é a abordagem mas efcente do ponto de vsta computaconal, como será verfcado em detalhes nos resultados a serem apresentados mas adante. A segunda alternatva é baseada na proposção de um problema de autovalor contendo toda a nformação a respeto dos coefcentes com varação espacal, como obtdo ao se aplcar separação de varáves dretamente à versão homogênea do problema orgnal. Neste caso, a própra GITT deverá ser também empregada na solução do problema de autovalor. Tal alternatva leva a uma grande smplfcação nos passos seguntes da metodologa de solução, com sgnfcatvo ganho em taxas de convergênca e efcênca computaconal, como será dscutdo nos resultados a serem apresentados mas adante Solução através da Proposção de um Problema de Autovalor com Coefcentes Constantes Segundo o formalsmo da GITT, descrto em detalhes na Seção 3.1, o par de transformação ntegral para a solução do problema (4.17) com a proposção de um problema de autovalor com coefcentes constantes é defndo como: 45

74 1 * * transformada: θ ( Z) = ψ % ( Y ) θ ( Y, Z ) dy (4.18a) n 0 n * * nversa: θ ( Y, Z) = ψ % ( Y) θ ( Z) (4.18b) n= 1 n n onde ( ) ψ ( ) n Y ψ % n Y =, autofunções normalzadas (4.18c) N n N n 1 = ψ ( Y ) dy, ntegras de normalzação (4.18d) 0 2 n onde as autofunções ψ ( ) vêm da solução do problema de autovalor que neste n Y momento é escolhdo como sendo o mas smples possível de modo a demonstrar a flexbldade desta alternatva, que alás é muto atratva para mplementação em códgos de solução automátca, como o códgo UNIT (Sphaer et al., 2011; Cotta et al., 2013). O problema de autovalor utlzado aqu é, portanto, dado por: 2 d ψ n( Y) 2 + µ ( ) 0 2 n ψ n Y = (4.19a) dy dψ n dy Y = 0 = 0, ψ ( = 1) = 0 (4.19b,c) n Y Realzando-se a operação da eq. (4.17a) através do operador ψ ( )( ) 1 % Y dy, obtém-se: n 0 46

75 θ 4 θ U( Y) ψ% ( Y) dy = ψ n( Y) K( Y) dy = Z % Y Y (4.20a) 1 * 1 * 4 θ 4 dψ% n( Y) θ = ψ ( ) ( ) ( ) 2 n Y K Y dy K Y dy 2 σ % Y Y σ dy Y * 1 * n 2 σ 0 0 que pode ser reescrta como: 1 * * 1 1 * θ 4 θ 4 dψ% n ( Y ) θ ( ) ψ n ( ) = ψ ( ) ( ) ( ) 2 n 2 Z σ Y σ dy Y U Y % Y dy % Y K Y K Y dy (4.20b) onde 1 * ( Y ) K n ( Y θ ψ% ) = 0 (4.20c) Y 0 Portanto: 1 * y * θ 4 w dψ% n( Y ) θ ( ) ψ n( ) = ( ) 2 Z σ dy Y 0 0 U Y % Y dy k Y dy (4.20d) Utlzando-se a fórmula de nversão dada pela eq. (4.18b) para representar os potencas da eq. (4.20d), obtém-se: d d % ( Y ) d % ( Y ) U Y % Y % Y dy K Y dy dz dy dy (4.20e) 47 1 * 1 θm 4 ψ n * ψ m ( ) ψ m( ) ψ n( ) = ( ) θ 2 m 0 m= 1 σ 0 m= 1

76 que pode ser reescrta como: dθ dψ% ( Y ) dψ% ( Y ) U Y % Y % Y dy K Y dy (4.20f) dz dy dy * 1 1 m 4 * n m ( ) ψ n( ) ψ m( ) = ( ) 2 θm m= 1 σ 0 m= 1 0 e concsamente dada em forma matrcal por: * d A % θ dz * = B θ % (4.21a) onde os elementos das matrzes A e B são expressos por: 1 A = U ( Y ) ψ% ( Y ) ψ% ( Y ) dy (4.21b) nm n m 0 dψ% n( Y ) dψ% m ( Y ) B K ( Y ) dy dy dy 1 4 nm = 2 σ 0 (4.21c) O sstema de equações dferencas ordnáras dado pelas eqs. (4.21) pode ser analtcamente resolvdo para os potencas transformados após o seu truncamento em uma ordem N sufcentemente grande para representar o sstema nfnto dentro da tolerânca exgda. A solução, em termos da função exponencal de matrz, é dada por: ( Z ) θ * ( Z) = exp A 1 B θ * (0) % % (4.22a) 48

77 onde θ * (0) são as condções de entrada transformadas, dadas por: % 1 * * n (0) n( Y ) Z 0 0 θ = ψ % θ = dy (4.22b) Uma vez que os potencas transformadosθ * ( Z ), com n = 1,2,...,N, tenham sdo computados, a fórmula de nversão, dada pela eq. (4.18b) pode ser utlzada para representar explctamente o campo de temperaturas θ * ( Y, Z) em qualquer posção Y e Z. O campo de temperaturas admensonal orgnal θ ( Y, Z) pode então ser analtcamente dado por: n N ( Y, Z) 1 * * ( Y, Z) 1 n ( Z) n( Y) n= 1 θ = + θ = + θ ψ% (4.23) Solução através da Proposção de um Problema de Autovalor com Coefcentes Varáves Em mutas aplcações, sobretudo quando trata-se de problemas nversos ou problemas de otmzação, se torna de mportânca crucal a adoção de metodologas de solução que sejam ao mesmo tempo precsas e computaconalmente rápdas, de modo a permtr a vabldade das análses teratvas ntensvas geralmente necessáras. Neste cenáro, é desejável que o problema de autovalor seja escolhdo de modo a conter o máxmo possível de nformação a respeto do problema orgnal. O segunte problema de autovalor fo formulado aplcando-se separação de varáves dretamente no problema (4.17) de modo que toda a nformação a respeto da transção entre os dos 49

78 domínos orgnas seja ncorporada ao problema de autovalor, através dos coefcentes com varação espacal K ( Y ) e U ( Y ). 4 2 σ d dζ ( Y ) K Y + β U Y ζ Y = dy dy 2 ( ) ( ) ( ) 0 (4.24a) dζ dy Y = 0 = 0, ζ ( = 1) = 0 (4.24b,c) Y O problema (4.24) não possu solução analítca explícta, entretanto como menconado anterormente, a própra GITT pode ser empregada para levar a uma solução híbrda numérco-analítca para este problema. Como apresentado em detalhes na Seção 3.2 deste documento, a GITT é utlzada a partr da proposção de um problema de autovalor mas smples, com solução analítca explícta obtenível, e então expandndo-se as autofunções desconhecdas em termos da base escolhda. Portanto, o problema auxlar mas smples escolhdo é dado por: 2 d Ωn( Y) λn Ω n( Y) = 0 (4.25a) dy d Ωn( Y ) dy Y = 0 = 0, Ω n( Y = 1) = 0 (4.25b,c) A expansão das autofunções do problema de autovalor orgnal é então proposta como: nversa: ζ ( Y) = Ω % n ( Y) ζ, n (4.26a) n= 0 50

79 transformada: ζ 1 = ζ ( Y) Ω% ( Y) dy (4.26b), n 0 n A transformação ntegral do problema de autovalor com coefcentes varáves é 1 então realzada através da aplcação do operador Ω ( )( ) % Y dy 0 n sobre o problema (4.24) levando ao segunte problema algébrco, dado a segur em forma matrcal: ( A νbζ ) = 0, com ν = β (4.27a) 2 n, m n, m n, m n m 0 1 ζ = { ζ }; B = { B }, B U ( Y ) Ω% ( Y ) Ω% = ( Y ) dy (4.27b-d) 4 1 d dω% n( Y) A = { An, m}; An, m = Ω % ( ) ( ) 2 0 m Y K Y dy σ = dy dy (4.27e,f) 1 4 dω% m( Y) dω% n( Y) = K( Y) dy 2 σ dy dy 0 O problema algébrco (4.27a) pode ser numercamente resolvdo através de rotnas de análse matrcal para cálculo dos autovalores e autovetores assocados, depos do truncamento do sstema em uma ordem sufcentemente alta M. Então, a fórmula de nversão dada pela eq. (4.26a) pode ser usada para se representar as autofunções do problema de autovalor orgnal. Uma vez que o problema de autovalor (4.24) possu agora solução dsponível, o problema (4.17) é completamente transformável e a solução fnal é então obtda por separação de varáves, como segue: N * * 2 Z = 0, = 1 θ ( Y, Z) = 1 + θ ( Y, Z) = 1+ θ exp( β Z) % ξ ( Y) (4.28a) 51

80 1 * * Z = 0, = ( ) ( ) Z = 0 0 θ U Y % ξ Y θ dy (4.28b) Solução Exata De modo a permtr uma avalação crítca das soluções aproxmadas obtdas através da formulação de domíno únco, a segur é deduzda a solução exata para o problema (4.17), modelado agora como um problema de condução na parede do canal acoplado na nterface Y = Y com o problema de convecção nterna com relação ao fludo. A solução a segur é realzada para o exemplo específco a ser apresentado na 4 seção de resultados, onde 1 2 σ =,.e. o caso onde a dstânca entre o centro do canal até a face nterna da parede é gual à espessura da parede. Tem-se portanto as seguntes equações: Equação de condução de calor na parede do canal: 2 θs( Y, Z) = 0, Y 1, 0 2 < Y < Z > Y (4.29a) θ ( = 1, Z ) = 1 (4.29b) s Y Equação de convecção no fludo: 2 θ f ( Y, Z) θ f U f ( Y) =, 0 < Y < Y, 0 2 Z > Z Y (4.29c) θ ( Y, Z = 0) = 1 (4.29d) f θ f Y Y = 0 = 0 52 (4.29e)

81 Condções de nterface: θ f k s θ s = Y k Y Y = Y f Y = Y (4.29f) θ ( Y, Z) = θ ( Y, Z) (4.29g) f s Para a solução exata do problema proposto dado pelas eqs. (4.29), prmeramente a eq. (4.29a) é trabalhada juntamente com as condções de contorno dadas pelas eqs. (4.29b) e (4.29g), que leva à segunte expressão para a dstrbução de temperaturas na parede do canal: 1 θ f ( Y, Z) 1 θ f ( Y, Z) θs ( Y, Z) = 1 + Y 1 Y 1 Y (4.30) e então a condção de contorno dada pela eq. (4.29f) pode ser reescrta como: θ f ks 1 ks 1 + θ f ( Y, Z ) = Y k 1 Y k 1 Y Y = Y f f (4.31) Logo, o problema para a regão de escoamento de fludo se torna um problema de Graetz com condção de contorno do tercero tpo: 53

82 2 θ f ( Y, Z) θ f U f ( Y) =, 0 < Y < Y, 0 2 Z > Z Y (4.32a) θ ( Y, Z = 0) = 0 (4.32b) f θ f Y Y = 0 = 0 (4.32c) θ k / k k / k + θ f ( Y, Z ) = Y 1 Y 1 Y f s f s f Y = Y (4.32d) O problema (4.32) possu solução exata obtenível através da Técnca da Transformada Integral Clássca (Mkhalov e Ozsk, 1984) e então a dstrbução de temperatura na parede do canal θ ( Y s, Z ) pode ser dretamente obtda através da eq. (4.30). A solução exata para o problema (4.32) é obtda através da solução do segunte problema de autovalor formulado a partr da aplcação dreta de separação de varáves à versão homogênea do problema (4.32): 2 d Λ( Y) 2 + U ( ) ( ) 0 2 f Y γ Λ Y = (4.33a) dy dλ dy Y = 0 = 0, dλ dy ks / k f + Λ ( Y ) = 0 1 Y Y = Y (4.33b,c) que possu solução analítca explícta em termos de funções hpergeométrcas e pode ser dretamente obtda através da rotna DSolve da plataforma Mathematca. 54

83 4.2.5 Cálculo do Número de Nusselt Como em problemas convectvos o cálculo do número de Nusselt é geralmente mportante, com o objetvo de se comparar o cálculo do número de Nusselt a partr da solução aproxmada obtda através da formulação de domíno únco com os valores calculados a partr da solução exata, as seguntes expressões foram utlzadas para o número de Nusselt local e para a temperatura méda de mstura: Nu( Z) = 1 θ ( Y, Z) ( Z) Y Y Y θ av = (4.34a) θ ( Z) = av Y 0 U ( Y ) θ ( Y, Z) dy f 1 0 U ( Y ) dy (4.34b) De modo a evtar a avalação dreta da dervada / Y quando calculando o θ Y = Y número de Nusselt a partr das soluções aproxmadas, a segunte alternatva, baseada na fórmula de balanço ntegral fo utlzada (Cotta e Mlkhalov, 1997): Y θ 4 θ U ( Y ) dy = dy Z σ Y Y Y (4.35a) ou 2 Y θ σ θ = U ( Y ) dy Y 4 (4.35b) Z Y = Y 0 55

84 4.2.6 Resultados As fguras 4.3(a,b) lustram o comportamento dos coefcentes com varação espacal que estão presentes no modelo de domíno únco na eq. (4.15a), U ( Y ) e K ( Y ), respectvamente, onde de Y = 0 até Y = Y = 0.5 está representada a regão de escoamento do fludo e de Y = 0.5 até Y = 1 está representada a regão de parede do canal. A condutvdade térmca admensonal fo calculada motvada pela aplcação de mcrodsspadores térmcos de base polmérca, no caso de resna poléster ( k = 0.16 W/m K ) com água como fludo de trabalho ( k = 0.64 W/m K ), de modo que s k / k = s f f U Y fludo parede (a) Y 56

85 K Y fludo parede Y (b) Fgure 4.3: Representação dos coefcentes com varação espacal como funções com transção abrupta na nterface fludo-parede. (a) U(Y). (b) K(Y). O problema conjugado estudado é então resolvdo pela abordagem aqu ntroduzda, através da formulação em domíno únco, com o uso das duas alternatvas apresentadas nas Seções e 4.2.3, com a proposção de um problema de autovalor com coefcentes constantes, e com a proposção de um problema de autovalor com coefcentes varáves, respectvamente. As soluções então obtdas são dretamente comparadas à solução exata, descrta na Seção A fgura 4.4 apresenta os perfs de temperatura transversas do meo do canal até a face externa da parede do canal para algumas posções longtudnas dstntas ao longo do escoamento, Z = 0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.75, 1.0 e 1.5. A solução aproxmada aqu apresentada corresponde à solução com a proposção de um problema de autovalor com coefcentes constantes (Seção 4.2.2), com N = 20 termos no truncamento da expansão em autofunções. Nestes resultados pode ser observada uma excelente concordânca entre a solução aproxmada e a solução exata, que são essencalmente concdentes na escala gráfca. 57

86 Z = 0.01, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.75, 1.0, θ exact exato aproxmado approxmate Y Fgura 4.4: Perfs de temperatura calculados com a utlzação da formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes em comparação com a solução exata. A fgura 4.5 apresenta a evolução da temperatura no meo do canal, Y = 0, de Z = 0 até Z = 1.6, novamente utlzando-se a formulação de domíno únco com a proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes (Seção 4.2.2), onde mas uma vez se observa uma excelente concordânca na escala do gráfco. Nesta fgura também é apresentada a solução do problema de Graetz (curva azul) com condção de contorno do prmero tpo, que é uma smplfcação do problema aqu estudado (curvas vermelha e preta) quando se despreza a resstênca térmca da parede do canal. Neste caso teste, se conclu que a resstênca térmca mposta pela parede polmérca atrasa sgnfcatvamente o aumento de temperatura do fludo ao longo do escoamento. 58

87 θ exato exact approxmate aproxmado Graetz Z Fgura 4.5: Comparação da evolução da temperatura no centro do canal ao longo do escoamento (Y = 0) de Z = 0 até Z = 1.6, com a utlzação da formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes em comparação com a solução exata e a solução do problema de Graetz com condção de contorno do prmero tpo. As tabelas 4.1(a,b) lustram a convergênca do perfl de temperatura para a solução obtda com a formulação de domíno únco com a proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes (Seção 4.2.2), em Z = 0.01 e Z = 0.05, respectvamente, para algumas posções dentro da regão de escoamento de fludo. Os resultados estão completamente convergdos em pelo menos três dígtos sgnfcatvos nas posções seleconadas com N = 50 termos na expansão em autofunções. Os resultados correspondentes à solução exata estão completamente convergdos para todos os cnco dígtos apresentados, o que é obtdo com apenas N = 5 termos na expansão em autofunções. Deve ser observado que dentre todas as posções seleconadas o erro 59

88 relatvo da solução aproxmada com relação à solução exata é menor do que 1.26%, cuja ocorrênca fo regstrada na posção de nterface fludo-parede para Z = Tabela 4.1(a): Convergênca do perfl de temperatura para a solução obtda com a formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes em Z = 0.01, para a regão de escoamento de fludo. ordem de truncamento Y = 0 Y = 0.25 Y = 0.5 N = N = N = N = N = Solução exata Erro relatvo 0.84% 0.32% 1.26% Tabela 4.1(b): Convergênca do perfl de temperatura para a solução obtda com a formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes em Z = 0.05, para a regão de escoamento de fludo. ordem de truncamento Y = 0 Y = 0.25 Y = 0.5 N = N = N = N = N = Solução exata Erro relatvo 0.37% 0.33% 0.74% 60

89 A solução aproxmada obtda com a proposção do problema de autovalor com coefcentes varáves (Seção 4.2.3) também é crtcamente analsada. Prmeramente, a tabela 4.2 lustra a excelente convergênca dos 10 prmeros autovalores como solução do problema de autovalor (4.24) com a GITT, e a fgura 4.6 lustra a convergênca da 10ª autofunção, apresentando-se a curva obtda para dferentes ordens de truncamento na solução do problema de autovalor, M = 10, 12, 14 e 16, onde pode ser observado que com apenas 16 termos a 10ª autofunção já está completamente convergda na escala do gráfco. Tabela 4.2: Convergênca dos 10 prmeros autovalores na solução do problema (4.12) com a GITT. Autovalores β M = 30 M = 60 M = 90 M =

90 M = 10 M = 12 M = 14 M = ξ 10 (Y) Y Fgura 4.6: Ilustração da convergênca da 10ª autofunção como solução do problema (4.24) para dferentes ordens de truncamento, M = 10, 12, 14 e 16. A comparação das duas soluções aproxmadas obtdas com a formulação de domíno únco em comparação com a solução exata para Z = 0.01 é apresentada na tabela 4.3, onde a alternatva com proposção do problema de autovalor com coefcentes varáves (Seção 4.2.3) fo obtda com M = 50 termos na solução do problema de autovalor e N = 5 termos na expansão do campo de temperatura em autofunções, atngndo convergênca completa dos cnco dígtos apresentados nos resultados. Nestes resultados pode ser observado que o erro relatvo em comparação com a solução exata cau sgnfcatvamente para a alternatva com a proposção do problema de autovalor com coefcentes varáves, que além dsso é computaconalmente mas rápda que a alternatva mas smples. Fnalmente, na fgura 4.7, são apresentados os números de Nusselt locas calculados tanto a partr da solução exata quanto a partr da solução aproxmada com a formulação de domíno únco e utlzação de coefcentes varáves no problema de autovalor, onde uma concordânca excelente também é observada. Também é muto 62

91 claro neste resultado que o desenvolvmento térmco com o estabelecmento do número de Nusselt assntótco é sgnfcatvamente atrasado em comparação com o problema de Graetz clássco com temperatura prescrta na parede (caso sem conjugação com a parede). Também fca evdencado que dferenças sgnfcatvas da estmatva do número de Nusselt com e sem conjugação na parede ocorrem. Tabela 4.3: Comparação entre as soluções aproxmadas (Seções e 4.2.3) obtdas com a formulação de domíno únco e a solução exata, em Z = Sol. aprox. Sol. aprox. Sol. Erro relatvo Erro relatvo Y (Seção 4.2.2) (Seção 4.2.3) Exata (Seção 4.2.2) (Seção 4.2.3) % 0.086% % 0.11% % 0.12% % 0.13% % 0.13% % 0.14% % 0.14% % 0.14% % 0.13% % 0.53% (Seção 4.2.2) formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes constantes. (Seção 4.2.3) formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes varáves. A excelente concordânca global da solução obtda através da formulação de domíno únco em comparação com a solução exata demonstra que a metodologa ntroduzda é plausível na solução de problemas conjugados convecção-condução e anda lustra a grande aceleração que pode ser alcançada na convergênca da solução através da proposção de problemas de autovalores mas adequados, o que pode ser crítco na solução de problemas mas complexos. 63

92 18 16 exact exato approxmate aproxmado Graetz 14 Nu(Z) Z Fgura 4.7: Números de Nusselt locas calculados a partr da solução aproxmada com formulação de domíno únco com proposção do problema de autovalor com coefcentes varáves, e calculados a partr da solução exata, em comparação com o problema de Graetz clássco com condção de contorno do prmero tpo. 4.3 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS COM CONDUÇÃO AXIAL Nesta seção é apresentada a aplcação da formulação de domíno únco para problemas onde a condução axal não é desprezível. Neste caso o problema formulado não possu solução exata conhecda e a verfcação da solução será feta através da comparação dreta entre duas alternatvas de solução a partr da formulação de domíno únco. Na prmera é consderado o problema em regme permanente e a proposção de um problema de autovalor não-clássco de quarta ordem que ncorpora também o termo de condução axal, de modo que o problema transformado pode ser resolvdo 64

93 analtcamente. Nesse caso, o problema de autovalor não-clássco requer o uso da GITT em sua solução. A segunda alternatva consste em analsar o problema através da nserção de um termo pseudo-transente, de modo que o problema é transformado parcalmente apenas na dreção transversal, onde o efeto dfusvo é mas mportante, resultando em um problema transformado formado por um sstema de equações dferencas parcas que é então resolvdo numercamente, em procedmento geral descrto na Seção 4.1. Neste cenáro, consdere novamente a representação esquemátca trazda pela fgura 4.2, onde é consderado o escoamento nterno lamnar ncompressível de um fludo Newtonano entre placas paralelas, em regme permanente, submetdo à troca de calor convectva devdo à temperatura prescrta na face externa da parede do canal. Neste caso, contudo, é consderada a partcpação da parede do canal no problema de transferênca de calor através da condução de calor transversal e longtudnal. u f O fludo escoa com um perfl de velocdade completamente desenvolvdo ( y ) e temperatura de entrada conhecda, T n. Consdera-se que o termo de condução axal no fludo também não é desprezível. O escoamento é consderado hdrodnamcamente desenvolvdo e em desenvolvmento térmco. Então, a formulação do problema conjugado como um modelo em domíno únco que leva em conta a transferênca de calor tanto no fludo em escoamento como na parede do canal é obtda através da utlzação de coefcentes representados com varações espacas, onde uma transção abrupta ocorre na nterface fludo-parede. Deste modo, o problema conjugado é então dado pela formulação envolvendo coefcentes com dependênca espacal dada pelas eqs. (4.13). Fazendo uso dos grupos admensonas defndos nas eqs. (4.14a-k) e empregando-se o mesmo fltro utlzado na Seção 4.2.1, dado pela eq. (4.16), chega-se ao segunte problema admensonal fltrado sem desprezar os termos de condução axal tanto no fludo em escoamento quanto nas paredes do canal: 65

94 * 2 * * θ ( Y, Z) K( Y ) θ 4 θ U ( Y ) = + K( Y ),0 Y 1, Z < < > Z Pe Z σ Y Y (4.36a) * θ Y Y = 0 = θ = = * 0, ( Y 1, Z) 0 (4.36b,c) θ ( Y, Z = 0) = θ = = 1 (4.36d) * * Z 0 Nas Seções e que se seguem, duas alternatvas dferentes, ambas baseadas na formulação de domíno únco, serão apresentadas para a solução do problema (4.36). Na prmera, é consderada a proposção de um problema de autovalor não-clássco de quarta ordem que ncorpora também o termo de condução axal. A segunda alternatva consste em analsar o problema através da nserção de um termo pseudo-transente, de modo que o problema é transformado parcalmente apenas na dreção transversal através da proposção de um problema de autovalor do tpo Sturm-Louvlle clássco, resultando em um problema transformado formado por um sstema de equações dferencas parcas, que é então resolvdo numercamente Solução através da Proposção de um Problema de Autovalor Não- Clássco A aplcação dreta de separação de varáves ao problema (4.36) resulta no segunte problema de autovalor não-clássco com autovalores µ e autofunções correspondentes dadas por ψ ( Y ) : 4 d dψ K( Y) µ µ ψ σ dy dy Pe 4 2 K( Y) + ( ) U Y = (4.37a) 66

95 com condções de contorno dadas por: dψ dy Y = 0 = 0, ψ ( Y = 1) = 0 (4.37b,c) A formulação do problema de autovalor dado pelas eqs. (4.37) a partr do problema (4.36) é apresentado em detalhes por (Vck e Ozsk, 1981). A solução do problema (4.36) pode ser expressa através de separação de varáves por: 2 µ = Z ψ (4.38) = 1 * θ ( Y, Z) C e ( Y) A dfculdade na solução deste problema está concentrada na solução do problema de autovalor não-clássco e com coefcentes varáves dado pelas eqs. (4.37). Para a solução deste problema de autovalor através da GITT, consdere o segunte par de transformação ntegral: transformada: ψ 1 = U ( Y ) Ω% ( Y ) ψ ( Y ) dy (4.39a), n n 0 nversa: ψ ( Y ) = Ω % n( Y ) ψ, n (4.39b) n= 1 onde as autofunções normalzadas Ω% n( Y ) e autovalores correspondentes λ n são dados pela solução do problema auxlar (4.25), que possu solução analítca explícta. 67

96 Desta forma, é realzada a transformação da eq. (4.37a) através da aplcação do 1 % Y dy n e procedmento apresentado na Seção 3.2 deste trabalho, 0 operador Ω ( )( ) resultando no segunte sstema algébrco: A C ψ µ E µ B (4.40a) 4 2 ( + ){ } = ( + ) com: 1 Ω% n( Y) 4 Ω% n( Y) Ω% n( Y) amn = K( Y) ( ) 2 Ω % m Y dy = Y σ Y Y Ω% m( Y) Ω% n( Y) = K( Y) dy 2 σ Y Y 0 (4.40b) c = λ δ (4.40c) 2 mn m mn 1 ( ) e = K Y Ω% ( Y ) Ω% ( Y ) dy (4.40d) mn 2 m n Pe 0 1 b = U( Y) Ω% ( Y ) Ω% ( Y) dy (4.40e) mn m n 0 O problema de autovalor orgnal dado pelas eqs. (4.37) fo reduzdo a um problema de autovalor algébrco não lnear, dado pelas eqs. (4.40). Este sstema nfnto deve ser truncado na M-ésma lnha e coluna, com M sufcentemente grande para que o sstema truncado represente aproxmadamente o sstema nfnto dentro da tolerânca exgda. Para se evtar a solução dreta do problema (4.40a), que não é dretamente tratável pela maora das rotnas computaconas de análse matrcal, a segunte transformação é sugerda por (Olvera et al., 1995): 68

97 G H (4.41a) 2 ν { ϕ} = { ϕ} com: [ 0] [ E] G = [ ] [ ] E B, [ E] [ 0] H = [ ] [ ] 0 F, F = A + C (4.41b-d) O problema (4.41) pode então ser resolvdo dretamente através de rotnas computaconas de análse matrcal. Este sstema resulta da segunte decomposção do sstema (4.40): E{ } = E { } (4.42a) 2 µ ϕ2 ϕ1 µ E{ ϕ } + µ B{ ϕ } = F { ϕ } (4.42b) onde { ϕ} { ϕ } 1 = { ϕ2} (4.42c) Portanto, os autovalores ν na solução do problema (4.41) fornecem dretamente os autovalores µ no problema orgnal (4.37) enquanto os autovetores correspondentes { ϕ 2} fornecem os valores para { ψ }, que são dretamente empregados na fórmula de nversão dada pela eq. (4.39b) para a representação das autofunções ψ ( Y ) do problema de autovalor orgnal (4.37). Agora que as autofunções ψ ( Y ) e autovalores µ da solução do problema (4.37) estão dsponíves, para se empregar a solução (4.38) anda é necessára a determnação dos coefcentes C, = 1,2,..., que é possível medante utlzação da condção de entrada (4.36d) e propredade da ortogonaldade das autofunções. A propredade de 69

98 ortogonaldade das autofunções do problema (4.37) pode ser deduzda através da manpulação dreta da eq. (4.37a) e uso das condções de contorno (4.37b,c) juntamente com a segunda fórmula de Green (Mkhalov e Ozsk, 1984), resultando em: K ( Y ) [ U ( Y ) + ( µ + µ j ) ] 2 j dy N j Pe ψ ψ = δ 0 (4.43a) 1 2 ( ) 2 = [ ( ) + 2 µ K Y ] ψ 2 Pe 0 N U Y dy (4.43b) onde δ j é o Kronecker de delta e N é a ntegral de normalzação. Fazendo uso da condção de entrada dada pela eq. (4.36d) na expansão dada pela eq. (4.38) truncada com N termos resulta em: θ = ( Y ) (4.44) N * Z = 0 Cψ = 1 2 Operando a eq. (4.44) com [ U ( Y ) + µ ] ψ ( ) 1 0 j K ( Y ) 2 Pe j dy, resulta em: 1 N 1 2 K( Y ) * 2 K( Y ) [ ( ) + µ j ] ψ 2 jθ Z = 0 = [ ( ) + µ j ] ψ 2 ψ j Pe 0 = 1 Pe 0 U Y dy C U Y dy (4.45) Somando-se o termo N 1 2 K( Y ) C µ ψ 2 ψ j = 1 Pe 0 dy em ambos lados da eq. (4.45) resulta em: 70

99 1 N 1 2 K( Y) * 2 K( Y) [ ( ) µ j ] ψ 2 jθ Z = 0 2 j Pe µ ψ ψ 0 = 1 Pe 0 U Y + dy + C dy = N K( Y) [ ( ) ( µ µ j ) ] ψ 2 ψ j = 1 Pe 0 = C U Y + + dy (4.46) Fazendo-se uso da propredade de ortogonaldade dada pelas eqs. (4.43a,b) a eq. (4.46) pode ser smplfcada e o segunte sstema algébrco pode ser escrto em função das ncógntas C, = 1,2,..., N : 1 2 K( Y) * j j [ ( ) µ j ] ψ 2 jθ Z = 0 Pe 0 C N U Y + dy N 1 2 K( Y) µ ψ 2 ψ j = 1 Pe 0 C dy = 0, j = 1,..., N (4.47) O sstema (4.35) pode ser smbolcamente resolvdo através da rotna Solve no sstema Mathematca, resultando nos valores para os coefcentes C na solução dada pela eq. (4.26), que pode agora ser dretamente utlzada para representar o potencal * fltrado θ em qualquer posção desejada ( Y, Z ) Solução através de Transformação Parcal Consdere a nserção de um termo transente no problema (4.36), de modo que a partr do procedmento de transformação parcal, a ser desenvolvdo a segur, seja obtdo como problema transformado um problema de valor ncal dado por um sstema de equações dferencas parcas undmensonas de fácl solução numérca. Portanto, tem-se a segunte formulação: 71

100 * * 2 * * θ ( Y, Z, t) θ K( Y ) θ 4 θ = U ( Y ) + + K( Y ), t Z Pe Z σ Y Y 0 < Y < 1, 0< Z < Z, t > 0 (4.48a) ( t = 0) =, 0 < Y < 1, 0< Z < Z (4.48b) * * θ θ t = 0 * θ Y Y = 0 = θ = = < > * 0, ( Y 1) 0, 0< Z Z, t 0 (4.48c,d) * * * dθ θ ( Z = 0) = θ Z = 0 = 1, = 0, 0 < Y < 1, t > 0 (4.48e,f) dz Z = Z * onde a condção ncal θ = é preferencalmente uma estmatva da solução em regme t 0 permanente, ou até mesmo qualquer função razoável uma vez que neste contexto o únco objetvo é a solução em regme permanente. Para a solução do problema (4.48) é defndo o segunte par de transformação ntegral: transformada: 1 * * 0 θ ( Z, t) = % ξ ( Y ) θ ( Y, Z, t) dy (4.49a) nversa: θ ( Y, Z, t) = % ξ ( Y) θ ( Z, t) (4.49b) * * = 1 onde os autovalores β, e as autofunções ξ ( Y ) são obtdas através da solução do segunte problema de autovalor: 72

101 4 2 σ d dξ ( Y) K Y + β ξ Y = dy dy 2 ( ) ( ) 0 (4.50a) dξ dy Y = 0 = 0, ξ ( = 1) = 0 (4.50b,c) Y onde as autofunções normalzadas são calculadas como: % ξ ( Y) ξ ( Y) = (4.51a) N N 1 = ξ ( Y ) dy (4.51b) 0 2 O problema de autovalor (4.50) não possu solução analítca explícta e portanto mas uma vez a GITT deverá ser empregada em procedmento já generalzado na Seção 3.2 e detalhado na Seção para um problema análogo ao dado pelas eqs. (4.50) aqu analsado, sendo portanto omtda a sua solução por razão de brevdade. A transformação do problema é realzada através da operação da eq. (4.48a) com 1 % ξ ( Y ) 0 ( ) dy e uso das condções de contorno em conjunto com a segunda fórmula de Green, resultando no segunte sstema de equações dferencas parcas undmensonas: * θ ( Z, t) 2 * * + µ θ = g( Z, t, θ ), = 1,2,... (4.52a) t onde: 73

102 g Z t θ U Y % % dy % % dy (4.52b) * 1 2 * 1 * θn θn K( Y ) (,, ) = ( ) ξξn ξ 2 2 ξn n= 1 Z 0 n= 1 Z Pe 0 = { θ1, θ2,...} θ * * * (4.52c) com as condções de contorno e condção ncal transformadas dadas por: θ θ ( = 0, ) = %, = 0 (4.52d,e) 1 * * * Z t ξθ Z = 0dY 0 Z Z = Z 1 * * ( Z, t 0) t 0 0 θ = = % ξ θ = dy (4.52f) O sstema de equações dferencas parcas undmensonas dado pelas eqs. (4.52a-f), após truncamento em uma ordem N sufcentemente grande para corresponder a uma aproxmação do sstema nfnto dentro da precsão requerda, pode ser numercamente resolvdo para os potencas transformados θ * ( Z, t). Mas uma vez, aqu é utlzada a rotna NDSolve da plataforma Mathematca, que permte a solução deste problema com controle automátco de erro absoluto e relatvo e fornece a solução como um códgo-objeto de nterpolação que aproxma o comportamento nas varáves Z e t como uma função contínua. Deste modo, é possível a utlzação dreta da fórmula de nversão, dada pela eq. (4.49b) para se obter uma representação explícta do campo em qualquer posção desejada ( Y, Z ) e tempo t. Deve ser lembrado que no contexto de solução apresentado nesta seção é consderado um tempo sufcentemente grande de modo que o regme permanente já tenha sdo estabelecdo, fornecendo a solução de nteresse. * θ 74

103 4.3.3 Resultados Os coefcentes com varação espacal que estão presentes no modelo de domíno únco na eq. (4.36a), U ( Y ) e K ( Y ), foram escolhdos da mesma forma que para os resultados apresentados na Seção 4.2, onde o termo de condução axal hava sdo desprezado, e podem ser observados nas fguras 4.3(a,b), onde de Y = 0 até Y = Y = 0.5 está representada a regão de escoamento do fludo e de Y = 0.5 até Y = 1 está representada a regão de parede do canal. Para verfcação dos resultados obtdos através da formulação de domíno únco o problema fo resolvdo através das duas alternatvas detalhadamente apresentadas nas Seções e Na prmera, é consderada a aplcação dreta de separação de varáves ao problema (4.36), resultando na proposção de um problema de autovalor não-clássco cuja solução é obtda através da GITT. Espera-se que esta solução apresente a melhor taxa de convergênca uma vez que toda nformação que dz respeto aos efetos de dfusão axal e transção entre as duas regões (fludo e parede) estão ncorporadas dentro do problema de autovalor. Na segunda alternatva, a solução envolve um procedmento de transformação parcal somente na dreção transversal, onde o fenômeno dfusvo é predomnante no problema. Neste caso consdera-se uma formulação pseudo-transente juntamente com a proposção de um problema de autovalor clássco, resultando em um problema contdo na forma geral descrta na Seção 4.1. Antes de prossegur para a comparação dreta entre as duas alternatvas de solução baseadas na formulação de domíno únco, algumas verfcações da solução do problema de autovalor não-clássco serão apresentadas. Na tabela 4.4 são apresentados os 10 prmeros autovalores calculados para dferentes ordens de truncamento M na solução do sstema algébrco (4.40), onde pode ser observada uma convergênca consstente de pelo menos quatro dígtos sgnfcatvos para M< 50. A fgura 4.8 lustra a convergênca da 25 a autofunção, sendo apresentadas as curvas obtdas com dferentes ordens de truncamento na sua expansão, onde é observado que com 50 termos a 25 a autofunção está completamente convergda na escala gráfca. 75

104 Tabela 4.4: Convergênca dos dez prmeros autovalores na solução do problema (4.24) com a GITT, Pe = 0.5. µ M = 30 M = 35 M = 40 M = 45 M =

105 M = 30 M = 35 M = 40 M = 45 M = 50 Fgura 4.8: Convergênca da 25 a autofunção como solução do problema (4.36) com a GITT, Pe = 0.5. A fgura 4.9 apresenta a comparação dreta entre as duas alternatvas de solução apresentadas nas Seções e para o caso com Pe = 0.5, lustrando os perfs transversas de temperatura do centro do canal até a face externa da parede para algumas dferentes posções longtudnas ao longo do escoamento, Z = 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.75, 1.0, 1.5 e 4.5. A solução obtda através da proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1) fo obtda com M = 50 termos na expansão das autofunções e N = 25 termos na expansão do potencal, enquanto a solução obtda através do esquema de transformação parcal (Seção 4.3.2) fo obtda com M = 60 termos na expansão das autofunções e N = 50 termos na expansão do potencal. A fgura 4.10 apresenta uma comparação smlar entre as duas alternatvas de solução, lustrando a evolução da temperatura ao longo da dreção de escoamento para 77

106 dferentes posções transversas, Y = 0 (centro do canal), 0.3, 0.5, 0.7 e 0.9. Na fgura 4.11 é apresentada outra comparação, agora lustrando a evolução da temperatura ao longo do centro do canal (Y = 0) para dferentes números de Péclet. Em todos os três conjuntos de resultados, observa-se uma concordânca excelente entre as duas alternatvas de solução, que são essencalmente concdentes na escala dos gráfcos. A boa concordânca lustrada na fgura 4.11 também mostra que esta verfcação parece não depender do número de Péclet dentro de uma faxa de nteresse típca de aplcações com mcrocanas. Fgura 4.9: Comparação entre a alternatva de solução através da proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1) (curvas pretas) e a alternatva de transformação parcal (Seção 4.3.2) (curvas vernelhas): perfs de temperatura transversas do centro do canal até a face externa da parede, Pe =

107 Fgura 4.10: Comparação entre a alternatva de solução através da proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1) (curvas pretas) e a alternatva de transformação parcal (Seção 4.3.2) (curvas vermelhas): evolução da temperatura ao longo da dreção de escoamento para dferentes posções tranversas, Pe =

108 Fgura 4.11: Comparação entre a alternatva de solução através da proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1) (curvas pretas) e a alternatva de transformação parcal (Seção 4.3.2) (curvas vermelhas): evolução da temperatura no centro do canal ao longo da dreção de escoamento para dferentes Pe. A fgura 4.12 lustra algumas sotermas para o caso com Pe = 0.5 para a regão do canal (Y entre 0.5 e 0.5) e suas paredes (Y entre -1 e -0.5 e entre 0.5 e 1), sendo a dreção longtudnal representada entre Z = 0 até Z = 5. Fca evdente neste exemplo uma dferença sgnfcatva entre a temperatura na face nterna da parede e a temperatura na face externa da parede, o que fatalmente resultara em erros sgnfcatvos se fosse adotada a hpótese de temperatura prescrta dretamente sobre a regão de escoamento, gnorando-se a resstênca térmca da parede. 80

109 Fgura 4.12: Isotermas na regão do canal (Y entre -0.5 e 0.5) e suas paredes (Y entre -1 e -0.5 e entre 0.5 e 1), Pe = 0.5. Fnalmente, as tabelas 4.5 a 4.7 apresentam em detalhes a covaldação entre as duas alternatvas de solução dscutdas nesta seção para dferentes números de Péclet, Pe = 0.05, 0.5 e 5.0, respectvamente. Nestas tabelas também é possível se observar em detalhes a convergênca das soluções em duas posções longtudnas dstntas (Z Pe = 0.05 e 0.01), onde se ressalta que a solução obtda através da proposção do problema de autovalor não-clássco possu convergênca mas rápda, com resultados razoáves mesmo para ordens de truncamento muto baxas, o que de fato era esperado uma vez que nesta solução toda a nformação sobre a dfusão axal e a transção entre as duas regões (fludo e parede) está ncorporada no problema de autovalor. Deve ser destacado também que a segunda alternatva de solução apresentou taxa de convergênca satsfatóra, o que torna evdente a plauseabldade desta metodologa para análse também do regme transente de fato, conforme procedmento geral descrto na Seção 4.1. A verfcação da solução em regme transente será dscutda no caso mas geral, a ser apresentado na Seção

110 Tabela 4.5(a): Convergênca da solução obtda através da alternatva de proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1), Pe = Ordem de Z Pe = 0.05 Z Pe = 0.1 truncamento N Y = 0.3 Y = 0.6 Y = 0.9 Y = 0.3 Y = 0.6 Y = Tabela 4.5(b): Convergênca da solução obtda através da alternatva com transformação parcal (Seção 4.3.2), Pe = Ordem de Z Pe = 0.05 Z Pe = 0.1 truncamento N Y = 0.3 Y = 0.6 Y = 0.9 Y = 0.3 Y = 0.6 Y =

111 Tabela 4.6(a):Convergênca da solução obtda através da alternatva de proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1), Pe = 0.5. Ordem de Z Pe = 0.05 Z Pe = 0.1 truncamento N Y = 0.3 Y = 0.6 Y = 0.9 Y = 0.3 Y = 0.6 Y = Tabela 4.6(b): Convergênca da solução obtda através da alternatva com transformação parcal (Seção 4.3.2), Pe = 0.5. Ordem de Z Pe = 0.05 Z Pe = 0.1 truncamento N Y = 0.3 Y = 0.6 Y = 0.9 Y = 0.3 Y = 0.6 Y =

112 Tabela 4.7(a):Convergênca da solução obtda através da alternatva de proposção do problema de autovalor não-clássco (Seção 4.3.1), Pe = 5. Ordem de Z Pe = 0.05 Z Pe = 0.1 truncamento N Y = 0.3 Y = 0.6 Y = 0.9 Y = 0.3 Y = 0.6 Y = Tabela 4.7(b): Convergênca da solução obtda através da alternatva com transformação parcal (Seção 4.3.2), Pe = 5. Ordem de Z Pe = 0.05 Z Pe = 0.1 truncamento N Y = 0.3 Y = 0.6 Y = 0.9 Y = 0.3 Y = 0.6 Y =

113 4.4 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS COM CONDUÇÃO AXIAL A MONTANTE DA SEÇÃO DE TROCA TÉRMICA Nesta seção, a formulação de domíno únco é empregada para o tratamento de problemas onde a transferênca de calor para a regão a montante da seção de troca térmca, em mutas stuações consderada adabátca, pode desempenhar um papel mportante no problema térmco, o que pode ser um problema típco de escoamentos em mcrocanas, como dscutdo em Nunes et al. (2010) e Castellões et al. (2010). Para a solução deste problema será proposta a abordagem de reformulação em domíno únco também para a dreção longtudnal, onde serão propostos dos problemas de autovalor, um para a regão adabátca a montante, e outro para a regão de troca térmca, de modo que as autofunções e autovalores utlzados na solução do problema serão modelados pelos valores característcos destes dos problemas, com varação abrupta ocorrendo na posção de níco da regão de troca térmca Formulação e Solução do Problema Neste cenáro, consdere mas uma vez o escoamento nterno ncompressível em regme permanente de um fludo Newtonano em um canal retangular com largura muto maor que a altura, de modo que o problema possa ser aproxmado pelo escoamento entre placas paralelas. Consdere que a face externa da parede do canal troca calor com a vznhança, que está a temperatura T, com coefcente de transferênca de calor dado por h e. Naturalmente para o caso em que he esta condção se reduz à mesma condção de contorno de temperatura prescrta empregada nas Seções 4.2 e 4.3. O fludo escoa com perfl de velocdade completamente f desenvolvdo u ( y ) e possu temperatura de entrada dada por T n. Neste caso consderase também nteração entre a seção de troca térmca ( z > 0) e a seção a montante ( z < 0 ), como esquematcamente lustrado na fgura

114 Regão a montante Seção de troca térmca Fgura 4.13: Representação esquemátca do problema conjugado com partcpação da regão a montante da seção de troca térmca. Fazendo uso da smetra em y = 0, a formulação do problema conjugado em domíno únco é obtda a partr do emprego de coefcentes com varação espacal com transção abrupta na nterface fludo-sóldo, resultando em: Seção de troca térmca: 2 T ( y, z) T T u( y) wf = k( y) + k( y), 0 y L, 0 2 < < e < z < z z z y y (4.53a) T y T = 0, k( y = Le ) + het ( y = Le, z) = het, 0 < z < z y y= 0 y= Le (4.53b,c) T T ( y, z = 0) = Tad ( y, z = 0), = 0, 0 < y < L z z= z e (4.53d,e) 86

115 Regão a montante: 2 Tad ( y, z) Tad Tad u( y) wf = k( y) + k( y), 0 y L, 2 < < e zad, < z < 0 z z y y (4.53f) T y ad Tad = 0, = 0, zad, < z < 0 y y= 0 y= Le (4.53g,h) T T T ( y, z = z ) = T, =, 0 < y < L ad ad ad, n e z z= 0 z z= 0 (4.53,j) com: u f ( y), 0 < y < L f / 2 u( y) = 0, L f / 2 < y < L e (4.53k) k f, 0 < y < L f / 2 k( y) = k, L / 2 < y < L s f e (4.53l) Fazendo uso dos grupos admensonas defndos nas eqs. (4.14a-k) e defnndo-se o número de Bot como: he Le B = k( y = L ) e (4.54) obtém-se a formulação admensonal deste problema, apresentada a segur com a adção do termo pseudo-transente de modo a permtr a solução va transformação parcal, dentro do contexto do procedmento geral descrto na Seção 4.1. Seção de troca térmca: 87

116 2 θ( Y, Z, t) θ K( Y) θ 4 θ = U Y + + K Y t Z Z Y Y ( ) ( ), Pe σ 0 < Y < 1, 0 < Z < Z, t > 0 (4.55a) θ Y θ = 0, + B θ ( Y = 1, Z, t) = 0, Z > 0 Y Y = 0 Y = 1 (4.55b,c) θ θ ( Y, Z = 0, t) = θad ( Y, Z = 0, t), = 0, 0 < Y < 1 Z Z = Z (4.55d,e) θ ( Y, Z, t = 0) = f ( Z, Y ), 0 < Y < 1, Z > 0 (4.55f) Regão a montante: 2 θad ( Y, Z, t) θad K( Y) θad 4 θad = U( Y) + + K( Y), t Z Pe Z σ Y Y 0 < Y < 1, Z < Z < 0, t > 0 ad, (4.55g) θ Y ad θad = 0, = 0, Zad, < Z < 0 Y Y = 0 Y = 1 (4.55h,) θad θ θad ( Y, Z = Zad,, t) = 1, =, 0 < Y < 1 Z Z z= 0 z= 0 (4.55j,k) θ ( Y, Z, t = 0) = f ( Z, Y), 0 < Y < 1, Z < Z < 0 (4.55l) ad ad ad, com: U ( Y ), 0 < Y < Y = L / 2L U ( Y ) = 0, Y < Y < 1 f f e (4.55m) 1, 0 < Y < Y = L / 2L K ( Y ) = ks / k f, Y < Y < 1 f e (4.55n) 88

117 onde f ( Z, Y ) e f ( Z, Y) são preferencalmente estmatvas da solução em regme ad permanente, ou até mesmo qualquer função razoável ou constante, já que aqu a únca ntenção do termo transente é vablzar a solução em regme permanente va transformação parcal. Defnmos então o segunte par de transformação ntegral para o problema na seção de troca térmca: 1 transformada: θ ( Z, t) = % ξ ( Y ) θ ( Y, Z, t) dy (4.56a) 0 nversa: θ( Y, Z, t) = % ξ ( Y) θ ( Z, t) (4.56b) = 1 e o segunte para a regão a montante: 1 transformada: θ ( Z, t) = % ζ ( Y ) θ ( Y, Z, t) dy (4.57a) ad, ad 0 nversa: θad ( Y, Z, t) = % ζ ( Y) θad, ( Z, t) (4.57b) = 1 onde as autofunções ξ( Y) e autovalores assocados ϑ, correspondendo à seção de troca térmca, vêm do segunte problema de autovalor: 4 2 σ d dξ ( Y) K Y + ϑ ξ = dy dy 2 ( ) ( Y) 0 (4.58a) dξ dy Y = 0 = 0, dξ dy Y = 1 + B ξ ( Y = 1) = 0 (4.58b,c) 89

118 Enquanto as autofunções ζ( Y) montante, vêm do segunte problema: e autovalores assocados ς, correspondendo à regão a 4 2 σ d dζ ( Y) K Y + ς ζ Y = dy dy 2 ( ) ( ) 0 (4.59a) dζ dy Y = 0 = 0, dζ dy Y = 0 = 0 (4.59b,c) E as autofunções normalzadas, % ξ ( Y) e % ζ ( Y), são dadas por: % ξ ( Y) ξ ( Y) =, N ξ % ζ ( Y ) ζ ( Y ) = (4.60a,b) N ζ com as ntegras de normalzação calculadas como: N ξ 1 = ξ dy e 0 2 N ζ 1 = ζ dy (4.60c,d) 0 2 Os problemas de autovalor (4.58) e (4.59) devem ser tratados através da própra GITT uma vez que não possuem solução analítca explícta. A solução é então construída como uma expansão em uma base escolhda através da proposção de problemas de autovalor mas smples, em procedmento dscutdo em detalhes na Seção 3.2. Neste caso, são então escolhdos os problemas de autovalor os mas smples 90

119 possível para a seção de troca térmca e para a regão a montante, respectvamente, dados pelos problemas (4.61) e (4.62) abaxo: 2 d Ωn ( Y) λn Ω n( Y) = 0 (4.61a) dy dωn( Y ) n 0, d Ω = + B Ω ( Y = 1) = 0 (4.61b,c) dy Y = 0 dy Y = 1 n e 2 d Λn ( Y) υn Λ n ( Y) = 0 (4.62a) dy dλ ( Y) dλ ( Y ) = 0, = 0 (4.62b,c) n n dy Y = 0 dy Y = 1 De modo que temos então as seguntes expansões das autofunções orgnas em termos dessas bases: nversa: ξ ( Y) = Ω % n( Y) ξ, n (4.63a) n= 1 e transformada: ξ 1 = ξ ( Y) Ω% ( Y) dy (4.63b), n 0 n nversa: ζ ( Y) = Λ % n( Y) ζ, n (4.64a) n= 0 transformada: ζ 1 = ζ ( Y) Λ% ( Y) dy (4.64b), n 0 n 91

120 onde as autofunções auxlares normalzadas Ω% n( Y ) e Λ% n( Y ) são dadas por: Ωn ( Y ) Ω % Λn ( Y ) ( Y ) = e Λ % ( Y ) = (4.65a,b) n N Ω n n N Λ n com ntegras de normalzação: N = Ω Ω n 1 2 ndy e 0 2 N = Λ Λ ndy n 1 0 (4.65c,d) A transformação ntegral dos problemas de autovalor orgnas (4.58) e (4.59) é 1 realzada a partr da operação com Ω% n( Y )( ) dy 1 e Λ% n( Y )( ) Para o problema (4.58) resulta em: 0 0 dy, respectvamente. ( A Bξ ) = 0 (4.66a) 2 ϑ 1 ξ { ξ }, B U ( Y ) Ω% ( Y) Ω% ( Y ) dy (4.66b,c) = = n, m n, m n m d dω% n ( Y ) An, m = Ω % m( Y ) ( ) 0 2 K Y dy = σ dy dy 4 dω% n ( Y ) = K( Y = 1) Ω % ( 1) 2 m Y = σ dy 4 2 σ 1 0 dω% m ( Y ) dω% n ( Y ) K( Y ) dy dy dy Y = 1 (4.66d) 92

121 e para o problema (4.59) resulta em: ( A B ) ζ = 0 (4.67a) 2 ς 1 ζ = { ζ }, B = U ( Y ) Λ% ( Y ) Λ% ( Y ) dy (4.67b,c) n, m n, m n m d dλ% n( Y) An, m = Λ % ( ) ( ) 0 m Y 2 K Y dy = σ dy dy 1 4 dλ% m( Y) dλ% n( Y) = K( Y) dy 2 σ dy dy 0 (4.67d) Os problemas algébrcos (4.66) e (4.67) após o truncamento com ordem M sufcentemente alta para a precsão requerda, podem ser resolvdos numercamente resultando nos autovalores e autovetores correspondentes, então empregados nas fórmulas de nversão (4.63a) e (4.64a) de modo a se obter uma representação explícta para as autofunções orgnas, ξ ( Y) e ζ ( Y), respectvamente. O modo clássco então de se resolver o problema (4.55) sera a transformação ntegral através das eqs. (4.57) e (4.58), o que resultara em um sstema de equações dferencas parcas acopladas em z = 0 (Castellões et al., 2010). Entretanto, aqu será proposta a formulação de domíno únco também na varável longtudnal, com a condção de contorno na face externa da parede do canal apresentando uma varação abrupta em z = 0. Assm, temos: * * 2 * * θ ( Y, Z, t) θ K( Y ) θ 4 θ = U ( Y) + + K( Y ), t Z Pe Z σ Y Y 0 < Y < 1, Z < Z < Z, t > 0 ad, (4.68a) 93

122 θ Y θ Y * * * = 0, + B ef ( Z) θ ( Y = 1, Z, t) = 0, Y = 0 Y = 1 Z < Z < Z ad, (4.68b,c) * * θ θ ( Y, Z = Z ad,, t) = 1, = 0, 0 < Y < 1 Z Z = Z (4.68d,e) ( Y, Z, t = 0) = f ( Z, Y), 0 < Y < 1, Z < Z < Z (4.68f) * θ ef ad, com 0, Zad, < Z < 0 B ef ( Z) = B, 0 < Z < Z (4.68g) f ef fad ( Z, Y ), Zad, < Z < 0 ( Z, Y ) = f ( Z, Y ), 0 < Z < Z (4.68h) ntegral: Para esta reformulação, podemos propor o segunte par de transformação 1 * * transformada: θ ( Z, t) = ψ % ( Y, Z) θ ( Y, Z, t) dy (4.69a) 0 * * nversa: θ ( Y, Z, t) = ψ % ( Y, Z) θ ( Z, t) (4.69b) = 1 onde as autofunções ψ ( Y, Z ) e autovalores correspondentes µ ( Z ) são representados, respectvamente, por ζ ( Y ) e ς, para Z, Z 0, e por ξ ( Y ) eϑ, para 0 Z Z. ad Portanto, temos: 94

123 ( ) ψ% ( Y, Z ) = % ξ ( Y ) + % ζ ( Y ) % ξ ( Y ) δ ( Z ) (4.70a) ( ) µ ( Z) = ϑ + ς ϑ δ ( Z) (4.70b) onde a função 1 δ ( Z ) = (4.70c) Z 1 + e η é utlzada para ntroduzr a transção abrupta entre as duas regões característcas, sendo o parâmetro η responsável por controlar o comportamento da transção espacal. A fgura 4.14 lustra a transção abrupta para quatro valores dstntos de η. Fnalmente, operando-se a eq. (4.68a) com ψ (, )( ) 1 % Y Z 0 dy e fazendo uso das condções de contorno e da segunda fórmula de Green obtém-se o segunte sstema de equações dferencas parcas: * θ ( Z, t) 2 * * + µ ( Z) θ = g( Z, t, θ j ),, j = 1,2,... t (4.71a) onde θ θ g( Z, t, θ ) U ( Y ) ψ% ψ% dy ψ% ψ% dy (4.71b) * 1 2 * 1 * K ( Y ) j = k 2 2 k k = 1 Z 0 k = 1 Z Pe 0 com as condções de contorno e ncal transformadas dadas por: 95

124 θ θ ( =, ) = %, = 0 (4.71c) 1 * * Z Z ad, t ψ dy 0 Z Z = Z 1 * ψ ef 0 θ ( Z, t = 0) = % f ( Z, Y ) dy (4.71d) O sstema de equações dferencas parcas undmensonas dado pelas eqs. (4.71a-d) depos de truncado em uma ordem sufcentemente grande N para atender à precsão requerda, pode ser numercamente resolvdo para os potencas transformados θ * ( Z, t). Em seguda, a fórmula de nversão (4.69b) pode ser utlzada para se obter * uma representação do potencal θ em qualquer posção de nteresse ( Y, Z ) e tempo t. Entretanto, ressalta-se mas uma vez que um termo transente fo utlzado apenas de modo a permtr a solução va transformação parcal e, portanto, a solução de nteresse é obtda para t sufcentemente alto para que o regme permanente já tenha sdo estabelecdo. Na Seção 4.4.2, a segur, serão apresentadas algumas verfcações deste procedmento de solução. 96

125 Fgura 4.14: Influênca do parâmetro η na ntensdade de transção entre dos valores 2 2 característcos: ϑ 1 = 0 e ς 1 = 9.87 ; Resultados De modo a se executar algumas verfcações sobre a metodologa de solução detalhada na Seção para problemas de escoamento com condução axal com partcpação da regão a montante da seção de troca térmca será ncalmente consderada uma versão smplfcada do problema (4.55), sendo tratado um caso onde a partcpação da parede do canal é desprezível, anterormente estudado por Tan e Normanda (1975) e mas tarde por Castellões et al. (2010). Neste problema mas smples também é consderado que B de modo que a condção de contorno se reduz a uma condção de prmero tpo, reproduzndo as condções das referêncas supractadas. A fgura 4.15 apresenta a evolução da temperatura méda do fludo neste caso partcular como obtdo através da metodologa de solução com formulação em domíno únco descrta na Seção para dferentes valores do parâmetro η, que controla a 97

126 ntensdade da transção abrupta entre os dos domínos orgnas na dreção longtudnal. O problema em análse possu Pe = 1 e são apresentadas as curvas de temperatura méda do fludo ao longo do canal para η = 1, η = 2, η = 5, e η = 15. Nestes resultados pode ser observado que para η = 5 e η = 15 as curvas já são essencalmente concdentes na escala do gráfco. A análse da convergênca da solução com relação ao parâmetro η prossegue na tabela 4.8, onde pode ser observado que de fato para η = 15 os resultados estão em concordânca de pelo menos dos dígtos sgnfcatvos com o caso de transção mas abrupta ( η = 50 ) e para η = 30 uma convergênca de três dígtos sgnfcatvos já é observada. Deve ser ressaltado que em todos estes resultados uma convergênca completa de quatro dígtos sgnfcatvos fo alcançada com relação à expansão do potencal em termos das autofunções empregando-se N = 10 termos. Tabela 4.8: Convergênca da solução através da formulação de domíno únco na dreção longtudnal para a temperatura méda do fludo com relação a dferentes valores do parâmetroη. η Z = 10 Z = 5 Z = 2 Z = 0 Z = 1 η = η = η = η = η = η =

127 Fgura 4.15: Convergênca da solução através da formulação de domíno únco na dreção longtudnal para a temperatura méda do fludo com relação a dferentes valores do parâmetro η. Completando-se as verfcações da solução obtda por meo da formulação de domíno únco na dreção longtudnal, a fgura 4.16 apresenta a comparação dreta da solução aqu obtda com a solução de Castellões et al. (2010), obtda através da abordagem tradconal, consderando-se dos domínos dstntos na dreção longtudnal: a seção de troca térmca e a regão a montante, acoplados por meo de condções de contnudade na nterface Z = 0, que fo prevamente valdada com a solução analítca apresentada por Tan e Normanda (1975). Na fgura 4.16 são apresentadas as curvas da temperatura méda do fludo ao longo do canal para três dferentes valores do número de Péclet, Pe = 1, Pe = 10 e Pe = 30, cobrndo a faxa típca onde a condução axal e partcpação da regão a montante podem ser mportantes, e em todos os casos uma excelente aderênca é observada, confrmando-se a solução obtda através da formulação de domíno únco. 99

128 Pe = 1 (Dom. únco) Pe = 10 (Dom. únco) Pe = 30 (Dom. únco) Fgura 4.16: Comparação entre a solução obtda através da formulação de domíno únco e a solução obtda através da abordagem tradconal em Castellões et al. (2010), para Pe = 1, Pe = 10 e Pe = ESCOAMENTO EM UM CANAL RETANGULAR COM CONDUÇÃO AXIAL Nesta seção, o problema abordado da Seção 4.2 a 4.4 para escoamento nterno entre placas paralelas será generalzado para o caso trdmensonal, sendo então analsado o problema em um canal retangular. 100

129 4.5.1 Formulação do Problema Consdere o escoamento nterno lamnar ncompressível de um fludo Newtonano em um canal retangular, onde as faces externas de suas paredes estão submetdas à temperatura T w. Neste problema, a parede do canal é consderada partcpar do problema de transferênca de calor através de condução transversal e longtudnal. O fludo escoa com perfl de velocdade completamente desenvolvdo u f ( x, y ) e temperatura de entrada T n. A representação esquemátca deste problema é lustrada nas fguras 4.17(a) e 4.17(b). (a) (b) Fgura 4.17: Representação esquemátca do problema de escoamento em um canal retangular: (a) sstema de coordenadas; (b) seção transversal. 101

130 O escoamento é consderado hdrodnamcamente desenvolvdo e em desenvolvmento térmco. Então, a formulação do problema conjugado como um modelo em domíno únco é, em regme permanente, dado por: 2 T ( x, y, z) T T T u( x, y) wf = k( x, y) + k( x, y) + k( x, y), 2 z x x y y z 0 < x < Ld,0 < y < Le,0 < z < z (4.72a) T x x = 0 = 0; T ( L, y, z) = T d w (4.72b,c) T y y = 0 = 0; T ( x, L, z) = T e w (4.72d,e) T T ( x, y,0) = Tn ; = 0 z z= z (4.72f,g) onde as seguntes funções com dependênca espacal foram utlzadas para representar os coefcentes com transção abrupta na nterface entre o escoamento e as paredes do canal: u f ( x, y), se 0 y L f / 2 e 0 x Lw / 2 u( x, y) = (4.72h) 0, caso contráro k f, se 0 y L f / 2 e 0 x Lw / 2 k( x, y) = ks, caso contráro (4.72) 102

131 onde w f é a capacdade térmca do fludo, k s é a condutvdade térmca da parede do canal, k é a condutvdade térmca do fludo e u ( x, y ) é o campo de velocdade f f completamente desenvolvdo conhecdo do problema de escoamento. Defnndo-se os seguntes grupos admensonas: z / Dh z y x u T Tn Z = = ; Y = ; X = ; U = ; θ = ; Re Pr D Pe L L u T T h e d av w n k uavdh ν uavd k h f K = ; Re = ; Pr = ; Pe = Re Pr = ; α = ; k ν α α w f Le L L d f Lw σ = ; σ = ; Y = ; X = L L L L 2L 2L L + L L + L y x f w f w e d f w f w f (4.73a-o) Pode-se escrever o problema (4.72) na segunte forma admensonal, já fltrado de modo a homogenezar as condções de contorno: * 2 * * θ ( X, Y, Z) K( X, Y) θ 4 θ U( X, Y) = + K( X, Y) Z Pe Z σ y Y Y * 4 θ + K( X, Y), 0 X 1;0 Y 1;0 Z Z 2 < < < < < < σ x X X (4.74a) * θ X X = 0 = θ = * 0; (1, Y, Z) 0 (4.74b,c) * θ Y Y = 0 = θ = * 0; ( X,1, Z) 0 (4.74d,e) * θ θ * ( X, Y, 0) = 1; = 0 Z Z = Z (4.74f,g) 103

132 onde: θ * = 1+ θ (4.74h) com: U f ( X, Y ), se 0 Y Y e 0 X X U ( X, Y ) = (4.74) 0, caso contráro 1, se 0 Y Y e 0 X X K ( X, Y ) = ks / k f, caso contráro (4.74j) onde o campo de velocdade admensonal do escoamento é dado por (Cotta, 1993): * f (, ) k k ( ) k ( ) k= 1 U X Y = A B F Y G X (4.75a) onde X 1 * A = 1 tanh / 2 3 k Y X 5 5 π π Y k = 1 k 1 ( π ) (4.75b) B k ( 1) ( k 1)/2 = (4.75c) 3 k F ( Y) = 1 cosh( a Y) / cosh( a Y ) (4.75d) k k k 104

133 G ( X ) = cos( a X ) (4.75e) k k a k kπ = (4.75f) 2X Na seção segunte, a solução deste problema será detalhada através de um esquema de transformação parcal Metodologa de Solução Como já exaustvamente dscutdo na Seção 4.3, consdere a nserção de um termo transente na eq. (4.74a), de modo que o procedmento de transformação parcal resulte em um problema de valor ncal como problema transformado, como descrto no procedmento geral de solução apresentado na Seção 4.1. Portanto tem-se a segunte formulação: * * 2 * * θ ( X, Y, Z, t) θ K( X, Y) θ 4 θ = U( X, Y) + + K( X, Y) t Z Pe Z σ y Y Y * 4 θ + K( X, Y), 0 X 1;0 Y 1;0 Z Z 2 < < < < < < σ x X X (4.76a) * θ X X = 0 = θ = * 0; (1, Y, Z, t) 0 (4.76b,c) * θ Y Y = 0 = θ = * 0; ( X,1, Z, t) 0 (4.76d,e) * θ θ * ( X, Y, 0, t) = 1; = 0 Z Z = Z (4.76f,g) θ * * ( X, Y, Z,0) = θ ; (4.76h) t = 0 105

134 onde a condção ncal * θ t = 0 é qualquer função razoável, de preferênca uma estmatva da solução em regme permanente para acelerar a convergênca da solução pseudotransente. Portanto, para a solução do problema (4.76) é defndo o segunte par de transformação ntegral: 1 1 * * transformada: θ ( Z, t) = ψ % ( X, Y ) θ ( X, Y, Z, t) dxdy (4.77a) 0 0 * * nversa: θ ( X, Y, Z, t) = ψ % ( X, Y) θ ( Z, t) (4.77b) = 1 onde as autofunções ψ% ( X, Y) e autovalores correspondentes µ são obtdos do segunte problema: 4 ψ ( X, Y) 4 ψ ( X, Y) σ µ ψ 2 (, ) (, ) 0 2 K X Y + 2 K X Y + = x X X σ y Y Y (4.78a) ψ X X = 0 = 0; ψ (1, Y ) = 0 (4.78b,c) ψ Y Y = 0 = 0; ψ ( X,1) = 0 (4.78b,c) onde as autofunções normalzadas são calculadas como: 106

135 ψ ( X, Y) ψ % ( X, Y) = (4.79a) N N 1 1 = ψ ( X, Y ) dxdy (4.79b) A solução do problema (4.78) requer a utlzação da própra GITT, em procedmento dscutdo na Seção 3.2 e que será detalhado para este caso partcular um pouco mas adante, na Seção Consderando conhecdas as autofunções ψ% ( X, Y) e autovalores µ, propõe-se a transformação do problema (4.76) com operação através de ψ (, )( ) 1 1 % X Y dxdy, resultando no segunte sstema de equações dferencas parcas undmensonas: 0 0 * θ ( Z, t) 2 * * + µ θ = g( Z, t, θ ), = 1,2,... (4.80a) t onde: g Z t θ θ θ U X Y % % dxdy % % dxdy (4.80b) * * 1 1 * n n K( X, Y ) (,, ) = (, ) ψ ψ n ψ 2 2 ψ n n= 1 Z 0 0 n= 1 Z Pe 0 0 = { θ1, θ2,...} θ * * * (4.80c) com as condções de contorno e condção ncal transformadas dadas por: θ θ (0, ) = %, = 0 (4.80d,e) 1 1 * * * t ψ θ Z = 0dXdY 0 0 Z Z = Z 107

136 1 1 * * ( Z,0) t θ = ψ % θ = dxdy (4.80f) O sstema de equações dferencas parcas undmensonas dado pelas eqs. (4.80a-f), após truncamento com uma ordem N sufcentemente grande para atender à precsão exgda, pode ser numercamente resolvdo para os potencas transformados * * θ ( Z, t). A representação do campo θ é então obtda para qualquer posção ( X, Y, Z ) e tempo t de nteresse através da fórmula da nversão (4.77b). Deve ser lembrado que nesta solução é consderado um tempo sufcentemente grande para que o regme permanente se estabeleça, resultando assm na solução de nteresse. A segur, na Seção 4.5.3, a solução do problema de autovalor (4.78) é apresentada em detalhes Solução do Problema de Autovalor Bdmensonal com Coefcentes Varáves Segundo o formalsmo descrto na Seção 3.2 para solução de problemas de autovalor através da GITT, para a solução do problema (4.78) consdere o segunte problema auxlar: 2 2 Ω ( X, Y) Ω ( X, Y) λ (, ) Ω X Y = (4.81a) X Y Ω X X = 0 = 0; Ω (1, Y ) = 0 (4.81b,c) Ω Y Y = 0 = 0; Ω ( X,1) = 0 (4.81d,e) 108

137 Aplcando-se separação de varáves ao problema (4.81), obtém-se: Ω ( X, Y ) = ζ ( X ) ξ ( Y ) (4.82) onde: ζ ( X ) 2 + λx, ζ = 0 X (4.83a) ζ X X = 0 = 0; ζ (1) = 0 (4.83b,c) e ξ ( Y ) 2 + λy, ξ = 0 Y (4.84a) ξ Y Y = 0 = 0; ξ (1) = 0 (4.84b,c) onde λ = λ + λ (4.85) X Y Os problemas (4.83) e (4.84) possuem solução analítca exata. Logo pode-se escrever: 109

138 Ω m, n( X, Y) = ζ m( X ) ξn( Y) (4.86a) λ = λ + λ (4.86b) m. n X, m Y, n Sendo então proposto o segunte par de transformação ntegral para representação das autofunções orgnas ψ ( X, Y ) : 1 1 transformada: ψ = m, n Ω% m, n( X, Y ) ψ ( X, Y ) dxdy (4.87a) 0 0 nversa: ψ ( X, Y) = Ω % m, n( X, Y) ψ m, n (4.87b) m n onde Ω Ω = ( X, Y ) % m, n m, n( X, Y ) (4.88a) N m, n 1 1 2, = Ω, 0 0 Nm n (, ) m n X Y dxdy (4.88b) De modo a garantr a computação mas efcente da expansão dada pela fórmula de nversão (4.87b), o somatóro duplo é convertdo em um somatóro smples através do reordenamento dos termos de acordo com a contrbução ndvdual de cada termo no resultado numérco fnal. Como a solução fnal naturalmente não é conhecda a pror, o reordenamento deve ser feto com base em algum crtéro e a escolha mas smples é o reordenamento em ordem crescente da soma dos quadrados dos autovalores em cada 110

139 dreção espacal (Cotta e Mkhalov, 1997). Logo, a fórmula de nversão (4.87b) é reescrta como: ψ ( X, Y) = Ω % k ( X, Y) ψ k (4.89) k onde para cada k exste um par ( m, n ) correspondente tal que λ + λ estejam 2 2 X, m Y, n lstados em ordem crescente. Então a transformação ntegral do problema de autovalor (4.78) é realzada 1 1 % através da operação com Ω (, )( ) 0 0 X Y dxdy, resultando no segunte problema de autovalor algébrco após truncamento em uma ordem M sufcentemente grande para atender a precsão exgda: 2 { } { } ( A + C) ψ = µ B ψ (4.90a) Ω% j ( X, Y ) 4 Ω% (, ) (, ) X Y Ω% j X Y Aj = 1 K (1, Y ) Ω% (1, ) 1 (, ) 2 Y K X Y 2 dx dy + σ 0 x X σ X 1 0 x X X = Ω% j ( X, Y ) 4 Ω% (, ) j ( X, Y ) X Y Ω% 1 K ( X,1) (,1) 1 (, ) 2 Ω % X K X Y dy 2 σ y Y dx 0 Y 1 0 σ y Y Y = (4.90b) C = λ δ (4.90c) 2 j j 1 1 B = U ( X, Y ) w( X, Y ) Ω% ( X, Y ) Ω% ( X, Y ) dxdy (4.90d) j j

140 O problema (4.90) pode então ser numercamente resolvdo por rotnas de análse matrcal, resultando nos autovalores µ e autovetores correspondentes { } ψ, que são combnados através da fórmula de nversão com reordenamento dada pela eq. (4.89), resultando numa representação explícta para as autofunções orgnas ψ ( X, Y) Resultados De modo a verfcar a solução do problema de autovalor apresentada na Seção 4.5.3, fo consderado ncalmente o caso com X 1 e Y 1, ou seja, correspondendo ao caso de parede fna onde não sera necessára a análse do problema conjugado. Este problema de autovalor fo soluconado prevamente por Cotta (1993) e seus resultados são utlzados como referênca na verfcação apresentada na tabela 4.9. Nestes resultados pode ser observado que com M = 60, após reordenamento dos termos da expansão, alcança-se pelo menos cnco dígtos sgnfcatvos de concordânca com os resultados de referênca, que foram obtdos com a expansão dreta com 12 termos em cada dreção, ou seja, 144 termos no total. Deve ser anda notado nesta tabela que mesmo com a baxa ordem de truncamento de M = 30, já é observada uma concordânca de pelo menos quatro dígtos sgnfcatvos com os resultados de referênca (Cotta, 1993). 112

141 Tabela 4.9: Verfcação da solução do problema de autovalor bdmensonal para o caso com X 1 e Y 1. ordem/m *Referênca * Cotta (1993), p Prossegundo então com a análse do problema conjugado, consdere o caso de um canal retangular com razão de aspecto untára com X = Y = 0.5. As fguras 4.18(a) e 4.18(b) lustram os coefcentes com varação espacal U ( X, Y ) e K( X, Y ), respectvamente, para este caso. A tabela 4.10 lustra a convergênca dos dez prmeros autovalores com relação à ordem de truncamento M na solução do problema de autovalor algébrco, onde se nota que com M = 60 termos uma convergênca de pelo menos quatro dígtos sgnfcatvos já é observada. Anda, na fgura 4.19 é apresentada a décma autofunção, ψ ( X, Y) 10 ao longo de Y em X = 0 para dferentes ordens de truncamento M, onde se observa que com M = 60 já se tem uma convergênca completa na escala gráfca. 113

142 (a) (b) Fgura 4.18: Coefcentes com varação espacal: (a) U ( X, Y ) ; (b) K( X, Y ) 114

143 Tabela 4.10: Convergênca dos dez prmeros autovalores no problema de autovalor bdmensonal para o problema conjugado com X = Y = 0.5. ordem/m Fgura 4.19: Convergênca de ψ ( X, Y) 10 para dferentes ordens de truncamento M. 115

144 A fgura 4.20 lustra os perfs transversas de temperatura ao longo de Y, do centro do canal ( Y = 0 ) até a face externa da parede ( Y = 1), em X = 0, para dferentes posções ao longo do escoamento, onde é possível claramente dstngur o comportamento das curvas nas regões de escoamento ( Y < 0.5 ) e parede do canal ( Y > 0.5 ). De modo a trazer uma verfcação da solução obtda para este modelo trdmensonal, o mesmo problema fo smulado utlzando-se a plataforma comercal Comsol Multphyscs, com solução automátca através do método dos elementos fntos. Pode ser observado na fgura 4.20 que a solução puramente numérca e a solução obtda através da metodologa desenvolvda neste trabalho são concdentes na escala gráfca utlzada. A convergênca das temperaturas calculadas é lustrada na tabela 4.11, onde é mostrada a convergênca em Z = 0.5 e se observa que com N = 70 termos na expansão do campo em autofunções alcança-se uma convergênca consstente de três dígtos sgnfcatvos. Na mesma tabela também são apresentados os resultados obtdos da solução puramente numérca a partr do Comsol Multphyscs, onde se observa uma concordânca de pratcamente dos dígtos sgnfcatvos com a solução híbrda. Ressalta-se que a solução puramente numérca fo obtda com a opção de geração automátca de malha em modo extra fno. Para maor precsão na solução puramente numérca seram necessáras tentatvas de geração manual de malha, e/ou com a opção de geração adaptatva de malha. 116

145 Fgura 4.20: Perfs de temperatura transversas ao longo da altura (Y ), em X = 0 centro do canal até a face externa da parede, para dferentes posções longtudnas. Razão de aspecto: 1., do Tabela 4.11: Convergênca da expansão do campo de temperatura em autofunções. Ordem de Z = 0.5 truncamento N Y = 0.0 Y = 0.3 Y = 0.6 Y = Referênca* *Solução numérca (Comsol Multphyscs) A fgura 4.21 lustra anda a evolução da temperatura de mstura do fludo ao longo do escoamento para canas retangulares de dferentes razões de aspecto, com 117

146 L / L = 1, 2.5, 5 e 10, em comparação com o caso lmte de L / L, cuja w f solução fo obtda na Seção 4.4. Neste gráfco se observa claramente a tendênca da curva de se aproxmar progressvamente do caso de escoamento entre placas paralelas para maores razões de aspecto, como esperado. w f L w/l f = 1 L w/l f = 2.5 L w/l f = 5 L w/l f = 10 L w/l f = Fgura 4.21: Aproxmação progressva da solução para canas retangulares com razões de aspecto crescentes em dreção ao caso lmte de escoamento entre placas paralelas. *Escoamento entre placas paralelas (Seção 4.3). De modo a fornecer uma últma verfcação na solução obtda através da GITT com formulação em domíno únco para este modelo trdmensonal, são apresentados a segur resultados para um canal com razão de aspecto 5/2. As fguras 4.22 lustram os perfs transversas de temperatura: (a) ao longo de Y, do centro do canal ( Y = 0 ) até a face externa da parede ( Y = 1), em X = 0, e (b) ao longo de X, do centro do canal ( X = 0 ) até a face externa da parede ( X = 1), em Y = 0, para dferentes posções ao longo do escoamento. Nestas fguras, também são apresentadas as curvas obtdas 118

147 através da smulação do mesmo problema utlzando-se a plataforma comercal Comsol Multphyscs, com solução automátca através do método dos elementos fntos, onde se observa que a solução puramente numérca e a solução obtda através da metodologa desenvolvda neste trabalho são pratcamente concdentes na escala gráfca. Fgura 4.22(a): Perfs de temperatura transversas ao longo da altura ( Y ), em X = 0, do centro do canal até a face externa da parede, para dferentes posções longtudnas. Razão de aspecto: 5/2. 119

148 Fgura 4.22(b): Perfs de temperatura transversas ao longo da largura ( X ), em Y = 0, do centro do canal até a face externa da parede, para dferentes posções longtudnas. Razão de aspecto: 5/ ESCOAMENTO EM UM CANAL DE SEÇÃO TRANSVERSAL COM GEOMETRIA ARBITRÁRIA Após valdação, nas seções anterores, da metodologa de solução através da análse de város casos partculares smplfcados do problema geral apresentado na Seção 4.1, nesta seção, o objetvo é apresentar a verfcação da metodologa de solução desenvolvda neste trabalho em seu contexto mas geral. Para tanto, será apresentado um problema de escoamento em um canal de seção transversal mas complexa, onde a equação da quantdade de movmento será resolvda através da formulação em domíno únco para se obter uma representação analítca do campo de velocdade do escoamento no nteror do canal, que então será empregado na formulação em domíno únco do problema transente conjugado de transferênca de calor condução-convecção. Tanto a solução da equação da quantdade de movmento, quanto a solução do problema de 120

149 transferênca de calor serão verfcadas através de comparações com soluções puramente numércas obtdas através da plataforma Comsol Multphyscs Equação da Quantdade de Movmento Prmeramente, de modo a valdar a metodologa de formulação em domíno únco e solução através de transformação ntegral para a equação da quantdade de movmento, apresentada na Seção 4.1, é proposto o problema de escoamento em um canal crcular, onde o campo de velocdades, consderando-se completo desenvolvmento hdrodnâmco, possu solução analítca exata. Na formulação va domíno únco é consderada então uma seção transversal quadrada que contém o canal crcular, como representado na fgura Nesta fgura, anda são mostradas duas dreções, r 1 e r 2, que serão utlzadas mas adante na apresentação dos resultados obtdos. Como dscutdo na Seção 4.1, o problema é então dado pelas eqs. (4.1a-d), onde ν ( x, y) na regão sem escoamento (preenchmento sóldo, na fg. 4.23), e ν ( x, y) = ν f na regão no nteror da crcunferênca, onde ν denota o coefcente de vscosdade cnemátca. 121

150 Fgura 4.23: Representação esquemátca da seção transversal do domíno utlzado na formulação em domíno únco para solução do campo de velocdades completamente desenvolvdo em um canal crcular. De modo a avalar a solução aproxmada obtda, os resultados serão comparados ao campo de velocdades completamente desenvolvdo em um canal crcular de rao R, que possu solução analítca exata dada por uma parábola. Prmeramente, a fgura 4.24 apresenta o campo de velocdade em todo domíno de solução através da formulação em domíno únco (fg. 4.23), lustrando claramente que a metodologa de formulação e solução fo capaz de defnr corretamente a regão de escoamento, onde é observado um perfl de velocdade parabólco, e a regão de contorno, onde não deve haver escoamento, e onde de fato é observado que u

151 Fgura 4.24: Campo de velocdade no domíno de solução através da formulação em domíno únco. As fguras 4.25(a) e 4.25(b) mostram a solução aproxmada obtda com a formulação em domíno únco ao longo da dreção r 1 e r 2 (fg. 4.23), respectvamente, em comparação com o perfl de velocdade da solução exata, onde se observa uma excelente aderênca. De modo a trazer algumas verfcações da solução do problema de autovalor resultante através da GITT, a tabela 4.12 apresenta os prmeros 10 autovalores calculados para dferentes ordens de truncamento M na solução do sstema algébrco resultante da transformação do problema de autovalor. Nesta tabela se observa uma convergênca consstente de pelo menos três dígtos sgnfcatvos para M < 120. A tabela 4.13 traz anda o comportamento de convergênca do campo de velocdade (com ordem de truncamento na expansão da solução mantda com N = 50 termos) ao se varar a ordem de truncamento na solução do problema de autovalor (M), onde se observa uma convergênca de pelo menos dos dígtos sgnfcatvos nas posções seleconadas, para M <

152 Fgura 4.25(a): Perfl de velocdade ao longo da dreção r 1 (ver fg. 4.23): comparação da solução exata com a aproxmação de formulação em domíno únco. Fgura 4.25(b): Perfl de velocdade ao longo da dreção r 2 (ver fg. 4.23): comparação da solução exata com a aproxmação de formulação em domíno únco. 124

153 Nas tabelas 4.14(a) e 4.14(b) prossegue-se com a avalação do comportamento de convergênca do campo de velocdade, nas dreções r 1 e r 2, respectvamente, agora com respeto ao número de termos empregados na expansão fnal da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fxa em M = 120, onde se observa uma convergênca consstente de três dígtos sgnfcatvos nas posções seleconadas. Observa-se que a convergênca é mas rápda na expansão do campo de velocdades (N), que com respeto a ordem de truncamento utlzada na solução do problema de autovalor (M). Este efeto é esperado, uma vez que a prncpal dfculdade do modelo aproxmado proposto consste nos coefcentes com varações espacas abruptas ν ( x, y), que são ntegralmente transferdos para o problema de autovalor proposto. Nas tabelas 4.14(a,b) também são apresentados os valores exatos da velocdade nas posções seleconadas, assm como o erro relatvo da solução aproxmada pela formulação em domíno únco, onde se observa que o erro relatvo se manteve nferor a 2.85% no por dos casos. Tabela 4.12: Convergênca dos autovalores a partr da solução do problema de autovalor com a GITT. Autovalores µ M = 80 M = 90 M = 100 M = 110 M =

154 Tabela 4.13: Convergênca do perfl de velocdade ao longo de r 1 (com ordem de truncamento na expansão da solução mantda com N = 50 termos) ao se varar a ordem de truncamento na solução do problema de autovalor (M) M u r 1= 0.2 r 1= 0.4 r 1= 0.6 r 1= 0.8 M = M = M = M = M = Tabela 4.14(a): Convergênca do perfl de velocdade na dreção r 1 com respeto ao número de termos empregados na expansão fnal da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fxa em M = 120 termos. N u r 1= 0.2 r 1= 0.4 r 1= 0.6 r 1= 0.8 N = N = N = N = N = Exato Erro relatvo 0.04% 0.39% 1.15% 2.85% 126

155 Tabela 4.14(b): Convergênca do perfl de velocdade na dreção r 2 com respeto ao número de termos empregados na expansão fnal da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fxa em M = 120 termos. N u x = 0.2 x = 0.4 x = 0.6 x = 0.8 N = N = N = N = N = Exato Erro relatvo 0.12% 0.47% 0.13% 1.79% Na sequênca, de modo a lustrar a flexbldade da metodologa desenvolvda neste trabalho, fo estudado o caso de escoamento em um canal com seção transversal de geometra mas complexa. A fgura 4.26 mostra a representação esquemátca do domíno utlzado na formulação em domíno únco, onde a porção com preenchmento em cnza corresponde a regão de sóldo, e o polígono (em branco) forma o nteror do canal, onde ocorre escoamento, e onde se está nteressado em obter o campo de velocdade completamente desenvolvdo. 127

156 Fgura 4.26: Representação esquemátca da seção transversal do domíno utlzado na formulação em domíno únco para solução do campo de velocdade completamente desenvolvdo em um canal de seção transversal arbtrára. De modo a avalar a solução aproxmada obtda, o mesmo problema fo modelado através do software Comsol Multphyscs, com o módulo de escoamento lamnar, para solução numérca através do método dos elementos fntos. O campo de velocdades calculado através da solução numérca será então utlzado como referênca para análse da solução obtda através da formulação em domíno únco. A fgura 4.27 apresenta o campo de velocdades em todo domíno de solução através da formulação em domíno únco (fg. 4.26), lustrando claramente que a metodologa de formulação e solução fo capaz, também neste exemplo, de defnr corretamente a regão de escoamento e a regão de contorno, onde não deve haver escoamento, e onde de fato é observado que u

157 Fgura 4.27: Campo de velocdade no domíno de solução através da formulação em domíno únco (canal de seção transversal arbtrára). As fguras 4.28(a,b) mostram a solução obtda através da formulação em domíno únco ao longo da dreção y (para x = 0.0, 0.3 e 0.6) e ao longo da dreção x (para y = 0.3, 0.5 e 0.8), respectvamente, em comparação com os perfs de velocdade obtdos da solução numérca através do software Comsol Multphyscs. Nestas fguras se observa uma boa aderênca, lustrando a possbldade de se utlzar a metodologa combnada de formulação em domíno únco e solução através de transformação ntegral para se obter uma representação analítca para o campo de velocdade completamente desenvolvdo em escoamentos em canas com seção transversal arbtrára. 129

158 Fgura 4.28(a): Perfs de velocdade ao longo da dreção y (para x = 0, 0.3 e 0.6): comparação da solução através da formulação em domíno únco e transformação ntegral com a solução numérca (Comsol Multphyscs). 130

159 Fgura 4.28(b): Perfs de velocdade ao longo da dreção x (para y = 0.3, 0.5 e 0.8): comparação da solução através da formulação em domíno únco e transformação ntegral com a solução numérca (Comsol Multphyscs). Nas tabelas 4.15(a,b) é feta uma avalação do comportamento de convergênca do campo de velocdade, onde são apresentadas algumas posções dstntas ao longo da dreção y (y = 0.2, 0.4, 0.6 e 0.8, com x = 0), e ao longo da dreção x (x = 0.2, 0.4, 0.6 e 0.8, com y = 0.8), respectvamente, com respeto ao número de termos empregados na expansão fnal da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fxa em M = 80. Nestas tabelas, se observa uma convergênca consstente de pratcamente quatro dígtos sgnfcatvos nas posções seleconadas, e também são apresentados os valores da velocdade obtdos através da solução numérca (Comsol Multphyscs), nas mesmas posções, sendo observado um desvo relatvo, entre as duas soluções, nferor a 5.47%, no por dos casos. 131

160 Tabela 4.15(a): Convergênca da velocdade calculada ao longo da dreção y (y = 0.2, 0.4, 0.6 e 0.8, com x = 0), com respeto ao número de termos empregados na expansão fnal da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fxa em M = 80 termos. N u(0, y) y = 0.2 y = 0.4 y = 0.6 y = 0.8 N = N = N = N = N = *Referênca Desvo rel. 2.48% 0.85% 0.70% 1.07% *Solução Numérca (Comsol Multphyscs) Tabela 4.15(b): Convergênca da velocdade calculada ao longo da dreção x (x = 0.2, 0.4, 0.6 e 0.8, com y = 0.8), com respeto ao número de termos empregados na expansão fnal da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fxa em M = 80 termos. N u( x,0.8) x = 0.2 x = 0.4 x = 0.6 x = 0.8 N = N = N = N = N = *Referênca Desvo rel. 0.82% 0.31% 0.15% 5.47% *Solução Numérca (Comsol Multphyscs) 132

161 4.6.2 O Problema Conjugado Condução-Convecção Consdere o escoamento no canal com seção transversal apresentada na fgura 4.29 abaxo. Consderando que o fludo escoa no nteror do canal com campo de velocdade completamente desenvolvdo u ( x, y ), obtdo da solução apresentada na Seção 4.6.1, temperatura de entrada conhecda T n = 0, e temperatura prescrta T = 1 nas faces externas da parede do canal, a formulação deste problema conjugado como um modelo em domíno únco que leva em conta a transferênca de calor tanto no fludo em escoamento como na parede do canal é obtdo através da utlzação de coefcentes representados com varações espacas, onde uma varação abrupta ocorre na nterface fludo-parede, como na formulação dada pelas eqs. (4.8a-h). As fguras 4.30(a,b) apresentam os coefcentes u( x, y ), e k( x, y ), respectvamente, utlzados na formulação do problema. f Fgura 4.29: Representação esquemátca da seção transversal do canal consderado para solução do problema transente conjugado condução-convecção. 133

162 Fgura 4.30(a): Coefcente u( x, y ) com transção abrupta na nterface entre fludo, u( x, y) = u ( x, y), e parede, u = 0. f Fgura 4.30(b): Coefcente k( x, y ) com transção abrupta na nterface entre fludo, k = 0.25, e parede, k = 1. s f 134

163 As fguras 4.31 lustram os perfs transversas de temperatura em regme permanente: (a) ao longo de x, do centro do canal ( x = 0 ) até a face externa da parede ( x = 1 ), em y = 1, e (b) ao longo de y, de y = 0 a y = 2, em x = 0, para dferentes posções ao longo do escoamento. A fgura 4.31(c) traz a evolução da temperatura no centro do canal, em dferentes posções longtudnas, ao longo do tempo. Nestas fguras, também são apresentadas as curvas obtdas através da smulação do mesmo problema utlzando-se a plataforma comercal Comsol Multphyscs, com solução automátca através do método dos elementos fntos, onde se observa que a solução puramente numérca e a solução obtda através da metodologa desenvolvda neste trabalho são essencalmente concdentes na escala gráfca, trazendo uma verfcação efetva da metodologa desenvolvda neste trabalho também na análse em regme transente. Fgura 4.31(a): Perfs de temperatura transversas ao longo da largura (x) do centro do canal até a face externa da parede, para dferentes posções longtudnas (z). 135

164 Fgura 4.31(b): Perfs de temperatura transversas ao longo da altura (y), da face externa nferor até a face externa superor da parede, para dferentes posções longtudnas (z). Fgura 4.31(c): Evolução da temperatura no centro do canal ( x = 0, y = 1) ao longo do tempo (t ), para dferentes posções longtudnas (z). 136

165 As tabelas 4.16(a,b) apresentam o comportamento da convergênca do perfl de temperatura em regme permanente ao longo de x e y, respectvamente, em algumas posções seleconadas, ao se varar a ordem de truncamento da expansão em autofunções (N), mantendo-se constante o número de termos na solução do problema de autovalor algébrco (M). Nestes resultados fca evdente uma convergênca de pratcamente três dígtos sgnfcatvos, além de uma concordânca de dos dígtos sgnfcatvos da solução puramente numérca com a solução obtda através da metodologa desenvolvda neste trabalho. Ressalta-se que a solução puramente numérca fo obtda com a opção de geração automátca de malha em modo extra fno. Para maor precsão na solução puramente numérca seram necessáras tentatvas de geração manual de malha, e/ou com a opção de geração adaptatva. Tabela 4.16(a): Convergênca da expansão do campo de temperatura em autofunções. Ordem de θ ( X, Y = 1, Z = 0.5) truncamento N X = 0.0 X = 0.3 X = 0.6 X = Referênca* *Solução numérca (Comsol Multphyscs) 137

166 Tabela 4.16(b): Convergênca da expansão do campo de temperatura em autofunções. Ordem de θ ( X = 0, Y, Z = 0.5) truncamento N Y = 0.0 Y = 0.3 Y = 0.6 Y = Referênca* *Solução numérca (Comsol Multphyscs) 138

167 CAPÍTULO 5 5 ANÁLISE TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE DISSIPADORES DE CALOR COM MICROCANAIS O constante avanço tecnológco de componentes eletrôncos, especalmente mcroprocessadores, memóras e dspostvos de armazenamento de dados, vem permtndo o desenvolvmento de componentes com mas alta capacdade e tamanhos cada vez menores. De fato, nos próxmos anos se espera uma nova revolução na eletrônca com o aprmoramento do desenvolvmento e utlzação do grafeno (Gem e Novoselov, 2007; Gem, 2009; Sprnkle et al., 2010), o que traz como conseqüênca medata a maor dfculdade na dsspação do calor que é gerado e por consegunte o aparecmento de maor número de falhas e menor vda útl do dspostvo, caso o problema de controle térmco não seja contornado de forma adequada. Em paralelo, após mas de cnco décadas de pesqusa e desenvolvmento, a produção de energa fotovoltaca tem crescdo rapdamente. A sua prncpal vantagem é a abundânca de energa solar, que provê oportundades para o desenvolvmento de tecnologas sustentáves de geração de eletrcdade. O uso de células fotovoltacas com concentração reduz a necessdade por células muto caras, dmnundo assm o captal necessáro pelo uso de elementos óptcos de baxo custo. Sstemas de alta concentração (HCPV) mas recentes têm permtdo à energa solar competr com outras tecnologas. O resframento dessas células é um dos prncpas temas de pesqusa tecnológca nessa área, vsando aumento de sua efcênca e para prevnr a degradação das células pela temperatura excessva, como extensvamente revsado por Royne et al. (2005). A unformdade da temperatura na célula é um outro mportante parâmetro que afeta a sua efcênca. Esses aspectos exgem um controle cudadoso e otmzado no sstema de dsspação térmca para células fotovoltacas de alta concentração. 139

168 Neste cenáro, se torna de grande relevânca o desenvolvmento de equpamentos que auxlem na dsspação de calor. A manera mas smples e mas comum de se atngr este objetvo é colocar tas componentes eletrôncos em contato com peças de área superfcal e condutvdade térmca relatvamente elevadas, como ocorre nos Heat Snks e Heat Spreaders. Geralmente estes dspostvos são fabrcados em metal, comumente cobre ou alumíno, e por serem também condutores elétrcos exste a necessdade de se utlzar um materal na nterface entre o componente eletrônco e o dspostvo, que tenha a maor condutvdade térmca possível e ao mesmo tempo seja um solante elétrco. Como as superfíces destes dsspadores e dos componentes eletrôncos onde eles serão nstalados não são perfetamente planas, o acoplamento dreto provocara o surgmento de númeras descontnudades preenchdas com ar na nterface. Para reduzr esta resstênca térmca de contato entram em cena os materas de nterface Thermal Interface Materals (TIMs) (Prasher, 2006) que são materas de grande maleabldade e condutvdade térmca aumentada, permtndo que se moldem às rregulardades das peças a serem acopladas, e não permtndo que sejam formados bolsões de ar na nterface. A ntensfcação da dsspação de calor também passa pelo desenvolvmento de novos materas com propredades otmzadas que atendam a determnada aplcação específca, por exemplo, materas compóstos fabrcados a partr da nserção de partículas de metas ou óxdos metálcos em uma matrz polmérca, que são objeto de ntensa pesqusa (Vswanathan et al., 2006; Tosch et al., 2008; Slvan et al., 2009; Mahanta et al., 2010) e dversos trabalhos publcados tratam da determnação teórca e expermental da condutvdade térmca efetva destes materas (Tavman, 1997; Tavman eaknc, 2000; Kurber & Alam, 2002; Putnam et al., 2003; Kumlutas et al., 2003; Zhang et al., 2005; Matt & Cruz, 2008). O desenvolvmento destes novos materas ganha novas perspectvas com o desenvolvmento da nanotecnologa. Volz (2009) defne nanocompóstos como compóstos que possuem elementos com dmensões característcas de nm e com capacdade de modfcar sgnfcatvamente as propredades da matrz na qual eles são nserdos. Estes elementos, então chamados de nanoestruturas, são compostos de nanoflmes, nanofos, nanotubos, nanopartículas, etc. Estas nanoestruturas podem possur propredades muto dferentes dos materas macroscópcos (Berber et al., 2000; Hone et al., 2002; Gem & Novoselov, 2007; 140

169 Balandn et al., 2008; Ghosh et al., 2008; Nka et al., 2009; Hu et al., 2009; Gem, 2009; Mahanta et al., 2010), por exemplo, devdo a sua estrutura, um nanofo pode possur condutvdade térmca 100 vezes mas baxa que o seu composto macroscópco e um nanotubo de carbono pode possur condutvdade térmca maor que o damante. Neste contexto, têm sdo realzados esforços, por exemplo, na ntensfcação térmca a partr de uma nova classe de fludos térmcos, baseados na dspersão de nanopartículas de metas ou óxdos metálcos em líqudos usuas, conhecdos como nanofludos (Chen, 2001; Eastman et al., 2001; Chen, 2002; Eastman et al., 2004; Vadasz, 2006; Murshed et al., 2008; Evans et al., 2008; Vajjha & Das, 2009; Massard et al., 2009; Macedo et al., 2010). No desenvolvmento de TIMs, ressalta-se a utlzação de óxdos metálcos (Putnam et al., 2003), nanoplaquetas de carbono em matrz de epóx (Yu et al., 2007), nanocompóstos com mudança de fase (Mataybas Jr. e Konng, 2008), arranjos de nanofos de prata (Hu et al., 2009), nanotubos de carbono (Haggenmueller et al., 2007) e desenvolvmento de pastas térmcas não-condutoras elétrcas com carga de nanopartículas de carbono (negro de fumo) (Ln et al., 2007). Na fabrcação de nanocompóstos, destaca-se a utlzação de grafeno (Stankovch et al., 2006; Ramanathan et al., 2008), nanoplaquetas de grafte (Yasmn et al., 2004; Wang et al., 2009), nanotubos e nanofbras de carbono (Seyhan et al., 2007) e nanopartículas de óxdos metálcos (Cao et al., 2002; Gatos et al., 2007; Laet al., 2007). Paralelamente, mutos projetos de dsspador de calor têm sdo baseados na mcrofabrcação de canas e passagens para aumento dos coefcentes de transferênca de calor em confgurações mnaturzadas (Tuckerman e Pease, 1981; Kandlkar e Grande, 2003; Yarn et al., 2009). A utlzação destes dsspadores térmcos com mcrocanas para resframento através do escoamento de líqudos traz um medato ganho devdo às propredades termofíscas superores dos líqudos, como por exemplo água em comparação com ar, o meo tradconal de resframento de dspostvos eletrôncos. Como benefíco adconal, deve ser ressaltada a potencal aplcação desta abordagem na reutlzação do calor rejetado em outras aplcações, dentro do contexto de sustentabldade, mnmzando-se o efeto do custo líqudo adconal de energa necessáro para o trabalho da bomba responsável pelo escoamento (Zmmerman et al., 2012). 141

170 Para o projeto, otmzação e caracterzação destes mcrossstemas térmcos, é de crucal mportânca empregar técncas expermentas confáves, capazes de medr com precsão as varações locas de temperatura que ocorrem nos dsspadores de calor. Neste contexto, o uso da técnca não-ntrusva de termografa por câmera de nfravermelho torna-se de grande nteresse, por ser capaz de fornecer meddas com alta resolução espacal e alta freqüênca (Fudym, 2006). Um dos prmeros trabalhos utlzando termografa nfravermelha na análse de transferênca de calor em mcrocanas é razoavelmente recente, apresentado em (Hetsron et al., 2002). Naturalmente, além da técnca expermental adequada, são necessáros modelos matemátcos adequados para descrever os fenômenos físcos que ocorrem nestes problemas, assm como metodologas de solução que sejam capazes de resolver estes problemas dentro da precsão exgda. Alás, esta necessdade é justamente a maor motvadora do desenvolvmento da formulação de domíno únco combnada ao método de transformação ntegral como ntroduzdo neste trabalho. Neste capítulo, as ferramentas desenvolvdas ao longo do trabalho serão empregadas na análse teórco-expermental de dsspadores de calor com mcrocanas. Prmeramente, na Seção 5.1, a combnação de substratos polmércos nanoestruturados com a presença de mcrocanas é nvestgada, vsando o desenvolvmento de uma classe de dsspadores de calor fetos de substratos nanocompóstos e com arrefecmento ntensfcado pelo escoamento de líqudo no nteror de mcrocanas, permtndo demonstrar a aplcação da metodologa de solução ntroduzda neste trabalho em uma stuação prátca. Nesta seção será detalhada a utlzação da termografa por nfravermelho como técnca expermental para medção de temperaturas, serão apresentados detalhes da fabrcação do mcrodsspador de materal nanocompósto com mcrocanas, e fnalmente serão apresentados o expermento e a análse teórca empregada (Knupp et al., 2013c). Na Seção 5.2 o objetvo é a aplcação do conjunto de ferramentas desenvolvdas na análse de um mcrodsspador desenvolvdo em projeto conjunto entre a COPPE/UFRJ e o ETH-Zürch, Suíça. Esta últma etapa da pesqusa ncluu a partcpação do canddato em estágo técnco por um período de um mês no Insttuto Federal de Tecnologa de Zurque (ETH - Edgenösssche Technsche Hochschule 142

171 Zürch), dentro do projeto de mcrodsspadores com reaprovetamento do calor removdo de panés fotovoltacos de alta concentração, onde busca-se a análse termohdráulca do mcrodsspador fabrcado na Unversdade Federal do Ro de Janero (LabMEMs), utlzando-se as facldades expermentas do ETH (µ-lif, Fluorescênca Induzda por Laser). Nesta seção, a técnca expermental µ-lif será ntroduzda, e o procedmento expermental detalhadamente apresentado, nclundo os ensaos por termografa de nfravermelho realzados no LabMEMS, COPPE/UFRJ, e por fm serão apresentadas as comparações de resultados expermentas e teórcos obtdos a partr da formulação em domíno únco e solução através da Técnca da Transformada Integral Generalzada, bem como os resultados obtdos com a plataforma Comsol Multphyscs. 5.1 INVESTIGAÇÃO DE DISSIPADORES NANOCOMPÓSITOS COM TERMOGRAFIA POR INFRAVERMELHO Termografa por Infravermelho Meddas de temperatura com sensores de contato, como por exemplo termopares, são por vezes de dfícl execução uma vez que a ntrodução de um sensor no meo a ser caracterzado pode causar uma perturbação sgnfcatva. Tal perturbação requer que o sensor seja modelado como parte do sstema, causando dfculdades adconas na análse do problema térmco. A termografa por nfravermelho (IRT) é a técnca que possblta a medção de temperaturas e a formação de magens térmcas de um objeto, a partr da radação na faxa do nfravermelho que emana da superfíce. A resolução espacal das câmeras termográfcas na faxa do nfravermelho já atnge hoje valores nferores a 20µm. Portanto, a termografa por nfravermelho se apresenta como uma técnca não-ntrusva, de alta defnção, pequena ncerteza, e vasta aplcabldade. A radação na faxa do nfravermelho é uma parte da radação eletromagnétca, cujo comprmento de onda é maor que o da luz vsível ao olho humano e é naturalmente emtda por qualquer corpo e sua ntensdade pode ser calculada a partr da temperatura da superfíce do objeto. 143

172 Um detector ou sensor de radação nfravermelha é um transdutor de energa eletromagnétca, sto é um dspostvo que converte a energa radatva ncdente em snal elétrco. Entretanto a radação medda pela câmera não depende uncamente da temperatura da superfíce do objeto, mas também da emssvdade de sua superfíce, da radação provenente do meo exteror que é refletda pelo objeto e anda da absorção de radação pela atmosfera, que pode ser consderado um meo partcpante entre o objeto de nteresse e a câmera termográfca. Neste trabalho fo utlzada a câmera de alto desempenho FLIR A645sc, lustrada na fgura 5.1, que possu um detector térmco do tpo mcrobolométrco não refrgerado, que trata-se bascamente de um termoresstor, ou seja um dspostvo que tem a sua resstênca elétrca varada com o aumento da temperatura. Essa conversão da nformação radação absorvda - snal elétrco - temperatura, é feta em tempo real e automatcamente pela câmera FLIR A645sc a partr de alguns parâmetros defndos pelo usuáro, a saber: Emssvdade do objeto: Este é o parâmetro mas mportante a ser ajustado corretamente, consste na razão entre a ntensdade de radação emtda pelo objeto e aquela que sera emtda por um corpo negro (deal) na mesma temperatura. Exstem técncas smples para se determnar a emssvdade de uma superfíce. Também é muto comum que a superfíce cuja temperatura deseja ser medda seja revestda com tnta de emssvdade conhecda. Dstânca entre o objeto e a câmera: Consste no ajuste da dstânca entre o objeto e a lente da câmera. A defnção deste parâmetro tem por objetvo compensar os efetos de absorção da radação emtda na transmssão entre o objeto e a câmera. Umdade relatva: Complementando o tem anteror, a umdade relatva do ar nfluenca no transporte de radação entre o objeto e a câmera e a defnção deste parâmetro vsa compensar este efeto. 144

173 Temperatura ambente: Consste no valor da temperatura do ambente externo local. A defnção deste parâmetro vsa compensar os efetos da emssão de radação do própro ambente externo e que são detectados pela câmera. Fgura 5.1: Câmera termográfca empregada nos expermentos: FLIR A645sc. Na Tabela 5.1 a segur são apresentados alguns dados técncos da câmera FLIR A645sc, conforme descrto no manual do usuáro. 145

174 Tabela 5.1: Dados técncos da FLIR A645sc. Dados Óptcos Campo de vsão/mínma dstânca de foco 25 x19 /0.25 m Resolução espacal 0.68 mrad Sensbldade térmca < 30 mk a +30 C Freqüênca de aqusção até 100 Hz Foco Automátco ou manual Zoom 1-8x dgtal Resposta Espectral µm Resolução do Infravermelho 640x480 pxels Meddas de Temperatura Ampltude de temperatura -40 C a 650 C Acuráca +/- 2 C ou +/- 2% Ferramentas de Análse Ajuste manual de 0.01 a 1.0 com lsta de Emssvdade emssvdades de referênca de materas comuns. Correções automátcas de temperatura Correções refletda absorção e emssões atmosfércas e janelas de nspeção. Interfaces de Comuncação Interfaces USB e Ggabt Ethernet Energa Carregamento 12/24 VDC, 24 W Termnal Termnal de 2 pólos Dados de Operação Temperaturas de operação -15 C a 50 C Temperaturas de armazenagem -40 C a 70 C Umdade (operação e armazenagem) 95% Dados Físcos Peso (nclundo batera) 0,90 kg Dmensões (C x L x A) mm 146

175 5.1.2 Dsspadores de Calor de Materas Nanocompóstos com Mcrocanas Os dsspadores de calor de materas nanocompóstos com mcrocanas moldados foram ncalmente desenvolvdos por Ayres (2011) e a segur é resumdamente descrto o processo de fabrcação empregado. Para a obtenção do nanocompósto fo utlzada como matrz polmérca a resna Polylte , uma resna de poléster nsaturado fabrcada pela empresa Rechhold. Na tabela 5.2 são apresentados valores típcos das propredades termofíscas para resna poléster nsaturada curada (Mark, 2007). Tabela 5.2: Valores típcos das propredades da resna poléster nsaturada curada. Propredade Valor Condutvdade térmca-k (W/m C) Massa específca ρ(kg/m 3 ) Calor específco - c p (J/kg C) Como carga de enchmento para esta matrz polmérca foram então utlzadas nanopartículas de alumna (óxdo de alumíno, Al 2 O 3 ), fabrcadas pela NanoAmor, EUA, e consttuída bascamente de alumna alfa (5-10% de gama), com 99,5% de pureza, tamanho médo de nm e área superfcal específca de 35m 2 /g. Na tabela 5.3 são apresentados valores típcos das propredades termofíscas da alumna (Lenhard IV e Lenhard V, 2008). Tabela 5.3: Valores típcos das propredades da alumna. Propredade Valor Condutvdade térmca-k (W/m C) Massa específca ρ(kg/m 3 ) Calor específco - c p (J/kg C)

176 Foram fabrcadas peças consstndo de placas planas fnas (<3 mm de espessura) com dmensões lateras de 40 mm x 40mm, moldadas com mcrocanas crculares de dâmetro nomnal de 450 µm e posconados paralelamente. Para tanto, fo utlzada uma base e uma moldura (de espessura e dmensões nternas guas às das amostras), ambas fabrcadas em teflon, de modo que uma cavdade é formada, onde a mstura, anda líquda, de resna poléster e nanopartículas de óxdo de alumíno, pode ser despejada. A mstura de resna com nanopartículas é homogenezada no msturador BoMxer 78HW- 1, como lustra a fgura 5.2(a). Após a homogenezação, adcona-se à mstura resnananopartículas o catalsador MEK-P (peróxdo de metl-etl-cetona) na proporção de 1.4% em massa medatamente antes de o conteúdo ser despejado no molde para cura. Fgura 5.2(a): Msturador BoMxer 78HW-1. Para se fabrcar os mcrocanas, lnhas de nylon fabrcadas pela Eklon com 450 µm de dâmetro nomnal são posconadas através de furos na moldura de teflon, como lustrado na fgura 5.2(b). A mstura anda líquda, após despejada, molda-se em torno dos fos de nylon e nos lmtes da moldura de teflon, como lustra a fgura 5.2(c). 148

177 Fnalmente, uma chapa de vdro é posconada fechando o molde, com o ntuto de se unformzar a espessura da peça que está sendo fabrcada, como lustra a fgura 5.2(d). Por fm, depos que a resna é curada, o molde é desfeto e as lnhas de nylon são puxadas e faclmente removdas do nteror da peça, obtendo-se ao fnal uma placa com mcrocanas na confguração desejada. A fgura 5.3(a) mostra uma placa fabrcada apenas com resna poléster, onde devdo à transparênca do materal é possível observar-se claramente o canal fabrcado. A fgura 5.3(b) mostra uma placa de nanocompósto onde na entrada e saída do canal foram nserdas agulhas de njeção de modo a permtr a conexão das mangueras de entrada e saída para escoamento. Fgura 5.2(b): Molde para fabrcação das peças. 149

178 Fgura 5.2(c): Momento em que a mstura é despejada no molde. Fgura 5.2(d): Resna com carga de alumna no molde fechado. 150