SÉRGIO HENRIQUE LOPES CABRAL ANÁLISE DE TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS EM TRANSFORMADORES ATRAVÉS DO MÉTODO TLM

Transcrição

1 SÉRGIO HENRIQUE LOPES CABRAL ANÁLISE DE TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS EM TRANSFORMADORES ATRAVÉS DO MÉTODO TLM FLORIANÓPOLIS 2003

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA ANÁLISE DE TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS EM TRANSFORMADORES ATRAVÉS DO MÉTODO TLM Tese submetda à Unversdade Federal de Santa Catarna como parte dos requstos para obtenção do grau de Doutor em Engenhara Elétrca SÉRGIO HENRIQUE LOPES CABRAL Floranópols, mao de 2003

3

4 v Dedcatóra Como mutos dzem por aí, a vda pode realmente ser somente um sonho, um caprcho do Crador. Pode também ser como as tramas de um tapete persa, que começam e que termnam de acordo com a vontade daquele que o tece, sem que sso represente algo real. Mas dentro desse possível sonho, do qual eu mesmo me pergunto se faço parte, entendo que o mas mportante valor do vver está no que sentmos de bem. E dante dsso, creo que tenho motvos de sobra para afrmar que vver vale a pena. Afnal, nasc e cresc cercado de carnho; há vnte anos tenho o amor de mnha Lela; há quatro anos, mnhas emoções se desdobram com o crescer de mnha pequena Elsa; há nove anos vvo no estado mas belo da nação mas bela : Santa Catarna, Brasl. Mas especfcamente, na lnda e ngualável cdade de Blumenau, por mnha pura e felz opção; tenho orgulho, e muto, de meu sangue latno-amercano. Exerço a profssão que almeje, num ambente de trabalho fraternal. Que motvos a mas seram então necessáros para me julgar felz? À vda, muto obrgado.

5 v Agradecmentos Agradeço ncalmente ao orentador, Prof. Adroaldo Razer, pela valosa orentação, pelos ncentvo e ajuda constantes e pela oportundade dada à realzação deste trabalho. Aos números novos amgos que ganhe, ao estar em contacto com o Departamento de Engenhara Elétrca da UFSC. Esses novos amgos se somam à enorme leva de amgos com os quas tenho orgulho em compartlhar meus pensamentos. Aos amgos do Departamento de Engenhara Elétrca, da Dreção do Centro de Cêncas Tecnológcas e do Insttuto de Pesqusas Tecnológcas todos da FURB, pelos valosos ncentvos e apoo constantes. A todos os alunos, nclusve egressos, dos cursos de graduação em Engenhara Industral Elétrca e em Engenhara de Telecomuncações da FURB. Eles talvez não sabam, mas todas as dúvdas que um da a mm dreconaram, contrbuíram de forma decsva para me nstgar à nvestgação de cada uma daquelas dúvdas e com sso me ajudaram a ter um melhor conhecmento da Engenhara Elétrca. Então, por favor, contnuem a expor suas dúvdas, pos cada vez mas descubro que nada se. Aos mutos amgos das empresas fabrcantes de transformadores de Blumenau, dos quas obtve valosas nformações para o desenvolvmento deste trabalho. Para esses, espero que o presente trabalho seja de vala. Às Mnhas Lela e Elsa, com meu peddo de escusas pelas pequenas ausêncas, causadas smplesmente pelo afã de elaborar um bom trabalho, em nome delas. À mnha Mãe e às mnhas Avós e ao Vô José, pela educação e pelo conforto dante das lágrmas nfants e pelo enorme carnho. À luz de Eucldes Bezerra Netto, pela nestmável educação.

6 v Resumo da Tese apresentada à UFSC como parte dos requstos necessáros para a obtenção do grau de Doutor em Engenhara Elétrca. ANÁLISE DE TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS EM TRANSFORMADORES ATRAVÉS DO MÉTODO TLM Sérgo Henrque Lopes Cabral Mao / 2003 Orentador: Prof. Adroaldo Razer, Dr. Área de Concentração : Compatbldade Eletromagnétca. Palavras-Chave : Transformadores, transtóros, TLM. Número de Págnas : 03 RESUMO : Este trabalho apresenta a aplcação efcente do método numérco TLM- Transmsson Lne Method na solução dos prncpas problemas relaconados a transtóros elétrcos em transformadores elétrcos. Dadas a smplcdade e a efcênca desse método, torna-se possível o desenvolvmento de programas computaconas para a análse de dversos projetos de transformadores frente às solctações transtóras elétrcas, segundo as partculardades de cada fabrcante, através de planlhas eletrôncas. Incalmente, se defne e justfca quas vêm a ser os três prncpas casos de transtóros elétrcos relaconados a transformadores e a mportânca da análse desses casos, no contexto regonal. Em seguda, esses três casos são analsados de forma teórca, baseando-se no que há de mas atual em cada um deles. Desta forma, se demonstra a necessdade do uso de ferramentas computaconas efcentes para a análse dos casos. Então, o método TLM é apresentado, através de exemplos relaconados aos três prncpas casos e em seguda cada um desses três casos é smulado, com a base no método. Dada a coerênca obtda, a apresentação culmna com a valdação expermental dos três casos, permtndo vslumbrar a aplcação do método em dversas outras stuações partculares, de nteresse de fabrcantes de transformadores. A forma smples como os programas computaconas podem ser desenvolvdos é enfatzada.

7 v Abstract of Thess presented to UFSC as a partal fulfllment of the requrements for the degree of Doctor n Electrcal Engneerng. ANALYSIS OF ELECTRICAL TRANSIENTS IN TRANSFORMERS WITH THE TLM METHOD Sérgo Henrque Lopes Cabral May / 2003 Advsor : Prof. Adroaldo Razer, Dr. Area of Concentraton : Electromagnetc Compatblty. Keywords : Transformers, transents, TLM. Number of Pages : 03 ABSTRACT : Ths work presents the use of the effcent numercal method TLM- Transmsson Lne Method to solve problems of transformers related to electrcal transents. Based upon the smplcty and the effcency of ths method, computatonal programs are easly developed n spreadsheets for the analyss of the behavor of several desgns of transformers, when submtted to electrcal transents. Formerly, three man cases of electrcal transents are defned, accordng to the mportance of them, n the regonal context. Thus, these three cases are theoretcally analyzed, based on the most recent works related to them and the need of the use of computatonal tools for the analyss of these cases s shown. Then, the TLM method s presented through examples related to these cases and each of them s smulated wth the use of the TLM method. Snce a very clear coherence s obtaned, ths work presents the expermental valdaton for the use of ths method to the three cases, whch allows that the TLM method may be also applcable to several condtons of electrcal transents n transformers. The smplcty of the development of computatonal tools of analyss s emphaszed.

8 v SUMÁRIO. CAPÍTULO - Introdução.... Hstórco....2 Transtóros Elétrcos Rápdos e Seus Efetos em Transformadores A Dstrbução de Surtos de Tensão em Enrolamentos Contínuos de Transformadores A Transferênca de Surtos de Tensão Através de Enrolamentos de Transformadores Transtóros Elétrcos à Freqüênca Industral e Seus Efetos em Transformadores..0.4 Tópcos da Tese CAPÍTULO 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores O Comportamento de Transformadores Frente aos Transtóros Elétrcos Rápdos A Dstrbução da Surtos de Tensão em Enrolamentos Contínuos de Transformadores Intervalo Incal de Análse Intervalo Fnal de Análse Intervalo Intermedáro de Análse A Transferênca de Surtos de Tensão Através de Enrolamentos de Transformadores O Comportamento de Transformadores Frente aos Transtóros Elétrcos na Freqüênca Industral - Corrente de Inrush Modelagem Smplfcada de Hsterese...39

9 x 3. CAPÍTULO 3 - O Método TLM em Exemplos A Orgem do Método : Análse da Propagação de Surtos em Lnhas de Transmssão Aplcação do Método TLM a Crcutos de Parâmetros Concentrados O Crcuto RLC-sére Crcutos Acoplados Magnetcamente CAPÍTULO 4 - Aplcação do Método TLM à Análse de Transtóros Elétrcos em Transformadores Aplcação do Método TLM para Estudo do Comportamento de Transformadores Frente a Transtóros Elétrcos Rápdos Aplcação do Método TLM para Estudo do Comportamento de Transformadores frente à Dstrbução de Surtos de Tensão Aplcação do Método TLM para Estudo do Comportamento de Transformadores frente à Transferênca de Surtos de Tensão Aplcação do Método TLM para Estudo do Comportamento de Transformadores Frente a Transtóros Elétrcos na Freqüênca Industral - Corrente de Inrush CAPÍTULO 5 - Avalação do Desempenho do Método TLM frente a Resultados Expermentas Comparação entre Resultados Expermentas e do Método TLM para o Estudo do Comportamento de Transformadores frente a Transtóros Elétrcos Rápdos Comparação para o Estudo de Dstrbução de Surto de Tensão em Enrolamentos Contínuos e Homogêneos...72

10 x 5..2 Comparação para o Estudo de Transferênca de Surtos de Tensão entre Enrolamentos de Transformadores Comparação entre Resultados Expermentas e do Método TLM para o Estudo do Comportamento de Transformadores frente a Transtóros Elétrcos na Freqüênca Industral - Corrente de Inrush CAPÍTULO 6 - Conclusões Conclusões Referentes ao Estudo do Comportamento de Transformadores Frente a Transtóros Elétrcos Rápdos Conclusões Referentes ao Estudo do Comportamento de Transformadores Frente a Transtóros Elétrcos na Freqüênca Industral...90 ANEXO - Sstema Matrcal de Cálculo de Potencal dos Nós do Modelo do Enrolamento Expermental...9 ANEXO 2 - Dsco Contendo Programas de Cálculo, pelo Método TLM - Programas Desenvolvdos em Planlha Excel...95 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...97

11 CAPÍTULO INTRODUÇÃO. - HISTÓRICO O transformador é um dos mas mportantes componentes dos sstemas elétrcos em geral. Graças à sua alta efcênca tanto na elevação quanto na redução dos níves de tensão, a mplantação e a operação de redes de dstrbução e de transmssão da energa elétrca tornaram-se economcamente váves, já a partr do níco do século passado[]. Desta forma, o uso do transformador permtu o constante aumento da dsponbldade da energa elétrca em nossa socedade, contrbundo para o aumento da qualdade de vda da socedade moderna. Muto embora o transformador seja um elemento emnentemente robusto, desde o níco de seu uso o mesmo demonstrou ser também vulnerável às freqüentes e severas solctações resultantes dos transtóros elétrcos nerentes à operação dos sstemas elétrcos. Conseqüentemente, dada a crucal mportânca do transformador, os prmeros estudos a respeto dessas solctações e de seus efetos foram realzados e dvulgados quase que na mesma época em que se ncou o seu uso[2,3]. Mas desde então os sstemas elétrcos sofreram uma vgorosa expansão, tornando-se cada vez mas complexos e nterlgados, aumentando a dversdade de solctações a transformadores. Concomtantemente, essa expansão não somente fez com que a mportânca estratégca dos transformadores anda aumentasse como também crou demanda por uma extensa varedade de tpos de transformadores, aumentando por demas a complexdade da análse de efetos de transtóros elétrcos nesses. Dante desse cenáro de complexdades tornou-se mpossível que hoje exsta um método generalsta de análse que permta o estudo do comportamento de todos os dferentes tpos de transformadores frente a qualquer tpo de solctação transtóra.

12 Capítulo - Introdução 2 E como não podera ser dferente, os problemas decorrentes do quadro de complexdade anterormente delneado logo se tornaram o objeto de preocupação de todos os fabrcantes e usuáros de transformadores de todo o mundo. E nos das de hoje cada vez mas a preocupação persste. Fabrcantes, em especal, têm procurado o desenvolvmento de técncas que permtam avalar, de forma economcamente vável, o comportamento de seus dferentes projetos de transformadores frente aos dversos tpos de solctações transtóras. O objetvo dessas técncas é permtr a redução de custos com materas solantes empregados e o aumento da suportabldade às solctações transtóras por parte dos transformadores, caracterzando esse últmo como sendo um problema de compatbldade eletromagnétca. Entretanto, conforme descrto anterormente, a enorme quantdade de varáves a consderar faz com que os fabrcantes decdam por soluções partculares, voltadas para seus projetos em específco e para as solctações transtóras mas freqüentes. E para esse fm o uso de ferramentas computaconas para o desenvolvmento de técncas de análse tem sdo cada vez mas freqüente. Prncpalmente devdo à dsponbldade cada vez maor de computadores de menor porte e à, cada vez maor, capacdade de cálculo desses. Inserda nessa realdade está a regão do Vale do Itajaí, no Estado de Santa Catarna, que apresenta característcas ndustras úncas, em nível naconal. Nessa regão estão undades fabrs de três dos maores fabrcantes naconas, e um mundal, de transformadores de grande porte. Além dsso, a regão abrga anda dversos fabrcantes de transformadores de menor porte, reformadoras de transformadores e dversos fabrcantes de nsumos báscos para a construção de transformadores. Portanto, essas característcas justfcam a mportânca regonal desse assunto. Por sua vez, por estar no contexto tecnológco dessa regão ndustral do estado, a Unversdade Regonal de Blumenau tem se voltado para auxlar as empresas de transformadores a desenvolver as técncas adequadas para a análse desse problema, de acordo com as necessdades de cada um dos fabrcantes de transformadores da regão. Para tanto, os pesqusadores do seu Departamento de Engenhara Elétrca têm contrbuído há algum tempo para a solução de alguns problemas relaconados a transformadores, através da realzação de contactos técncos, de trabalhos de consultora e da realzação de projetos de cooperação com pessoal Transformadores mono ou trfáscos, com potênca nomnal superor a 5 kva e tensão nomnal superor a 6 kv

13 Capítulo - Introdução 3 técnco das empresas fabrcantes. Em conseqüênca à ntensfcação dos trabalhos conjuntos e ao nteresse cada vez maor por parte de fabrcantes em nvestr na melhora de seus projetos de transformadores, forma cradas dversas novas frentes de cooperação entre a unversdade e as empresas. Dessas frentes, uma das prncpas se estabeleceu como sendo a busca por novas técncas numércas que permtssem maor facldade do uso de computadores para o desenvolvmento de programas de análse do comportamento de transformadores frente aos transtóros elétrcos. Àquela altura, por volta de 999, o já tão dfunddo método numérco dos Elementos Fntos se vslumbrava como sendo plenamente aplcável aos nteresses de engenheros e técncos projetstas de empresas. Afnal, já se conhecam stuações em que esse método se mostrava efcaz na solução de problemas de extremo nteresse por parte de fabrcantes [4,5]. Entretanto, o uso do método dos Elementos Fntos mplcava numa forte rejeção por parte do pessoal de gerênca dessas empresas, devdo ao volume do nvestmento necessáro para o trenamento do pessoal de projetos de transformadores nesse método. Por outro lado, é mportante consderar que o método dos Elementos Fntos está baseado na teora de campos. E sto somado à hstórca rejeção por parte de Engenheros Eletrcstas aos concetos de campos, especalmente em eletromagnetsmo, veo por determnar a procura por métodos alternatvos. De medato, hava como alternatva atraentemente vável os programas comercas desenvolvdos para a análse de crcutos, nclundo os crcutos representatvos de transformadores em regme transtóro. Programas tas como o EMTP, o PSPICE e o ATP, dos quas já se tnham mutas notícas de dversos trabalhos realzados e publcados, que mostravam a efcáca deles na solução de problemas de transtóros elétrcos em transformadores[6-0]. Não obstante, antes mesmo que fossem ncados os esforços para a utlzação de um desses programas, fo percebdo que no Departamento de Engenhara Elétrca da Unversdade Federal de Santa Catarna já se consoldava o uso de uma nova técnca numérca que também se mostrava adequada às necessdades vgentes. Era o método numérco conhecdo como Transmsson Lne Modellng-TLM[,2], até então pouco dfunddo no Brasl e que somente ganhou a notoredade de sua mportânca em Santa Catarna a partr de dversas aplcações do método, por parte de pesqusadores e alunos de pós-graduação do Departamento de Engenhara Elétrca da Unversdade Federal de Santa Catarna, no desenvolvmento de programas para a solução de dversos problemas complexos de compatbldade eletromagnétca [3,4]. Então ncadas as conversações, aqueles

14 Capítulo - Introdução 4 pesqusadores se mostraram muto nteressados em realzar trabalhos de cooperação, por permtr novas aplcações para o método TLM, que então se vslumbravam. Conseqüentemente, dadas essas condções favoráves e anda a facldade com que as trocas de nformações poderam ocorrer entre as partes nteressadas, prncpalmente pela proxmdade das unversdades, o método numérco TLM fo naturalmente escolhdo para ser a realzação dos trabalhos de cooperação. Dentre esses trabalhos, um deles é o que aqu se apresenta, que é a conclusão desta tese, voltada para a pesqusa, na busca o estado da arte no assunto Transtóros Elétrcos em Transformadores. Para anda referendar essa escolha, é mportante ctar uma característca do método TLM, que permte a abordagem de problemas de compatbldade eletromagnétca tanto pela teora de campos quanto pela teora de crcutos. E assm, a possbldade da abordagem pela teora de crcutos essa tornou o método TLM atraente para engenheros eletrcstas e técncos projetstas, pos essa abordagem é, reconhecdamente, preferda por esses. Conseqüentemente, essa é a abordagem adotada neste trabalho. Desta forma, por não ser utlzada a abordagem pela teora de campos, não será analsado neste trabalho o problema do cálculo dos parâmetros dos crcutos que modelam o transformador em regmes de transtóros elétrcos. Mas sm, esses parâmetros serão consderados como sendo conhecdos. Dante dsso, se percebeu que a utlzação do método TLM permtra a elaboração de programas efcentes e smples para a análse de problemas de transtóros elétrcos em transformadores, a ponto de poderem ser elaborados em planlhas eletrôncas, que são faclmente encontradas na maora dos computadores de empresas. Assm, a conclusão deste trabalho resulta numa contrbução tecnológca às empresas da regão do Vale do Itajaí, mostrando a relevânca do papel e a capacdade das duas unversdades catarnenses na solução de problemas regonas. No que dz respeto à forma de apresentação, neste trabalho a demonstração da aplcação do efcente método numérco TLM na análse de problemas de transtóros elétrcos em transformadores se dará através do estudo de três casos tdos como os mas freqüentes e portanto nteressantes, dentfcados a partr dos trabalhos de cooperação com empresas fabrcantes de transformadores. Também, em face das complexdades ctadas, a análse se concentrará nesses três casos. São eles :

15 Capítulo - Introdução 5 - A Dstrbução da Tensão de Surto em Enrolamentos Contínuos de Transformadores; 2 - A Transferênca de Surtos de Tensão Através de Enrolamentos de Transformadores; e 3 - A Avalação da Corrente Transtóra de Energzação de Transformadores. Desses, os dos prmeros casos dzem respeto aos transtóros elétrcos dtos rápdos[5], relaconados com a ocorrênca de descargas atmosfércas. O prmero caso se aplca prncpalmente a transformadores utlzados nas redes de dstrbução, enquanto que o segundo se aplca a todos os tpos. Já o tercero, e últmo caso, dz respeto aos transtóros um pouco mas lentos, com duração relaconada à freqüênca ndustral e também se aplca a todos os tpos de transformadores. Portanto, a análse do comportamento de transformadores frente a transtóros, apresentada neste trabalho, se dvdrá em duas partes: Transtóros rápdos e transtóros em freqüênca ndustral. A razão dessa dvsão está no fato de que para cada um desses tpos de transtóros o modelo de crcuto do transformador possu característcas específcas. Por exemplo, para transtóros rápdos, o crcuto que modela o transformador apresenta as nerentes capactâncas parastas exstentes, enquanto que as não-lneardades do núcleo ferromagnétco têm nfluênca um pouco menor [6,7]. Por outro lado, para transtóros em freqüênca ndustral ocorre justamente o contráro. Então, para cada um desses três casos é mostrado como a utlzação do método numérco TLM permte smular efcentemente o comportamento de transformadores com ntensa smlardade, tornando-se mas uma aplcação efcente deste método numérco à extensa gama de aplcações já exstentes, em dversos outros problemas de compatbldade eletromagnétca[8-20]. Tal como ctado anterormente, para enfatzar a smplcdade e efcênca do método, todos os programas desenvolvdos neste trabalho foram fetos em planlha eletrônca Excel. A esta altura é mportante frsar que este trabalho está emnentemente voltado para a aplcação do método TLM na solução dos crcutos que modelam o transformador para os prncpas tpos de transtóros elétrcos. Desta forma, não se está propondo uma nova modelagem para transformadores, mas sm verfcando a efcáca de uma efcente técnca numérca para a solução dos crcutos que modelam o transformador.

16 Capítulo - Introdução 6 A segur é então apresentada uma breve descrção ntrodutóra desses três mportantes casos, segundo a dvsão proposta anterormente..2 - TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS RÁPIDOS E SEUS EFEITOS EM TRANSFORMADORES Conforme já ctado, o crcuto do modelo de transformador para transtóros rápdos consdera as capactâncas parastas, enquanto que os efetos da não-lneardade do núcleo ferromagnétco têm mportânca relatvamente menor. E a consderação dessas e de outras característcas específcas de modelagem do transformador para transtóros rápdos permtem que os resultados obtdos na análse dos casos aqu estudados sejam extensvos a outras stuações mportantes, vvencadas por fabrcantes de transformadores e até mesmo de máqunas grantes. Por exemplo, pela semelhança de condções de modelagem, os resultados obtdos da modelagem de transformadores para transtóros rápdos podem ser adaptados para o estudo de transformadores e máqunas grantes submetdos aos conversores de freqüênca, com tecnologa PWM-Pulse Wdth Modulaton, que é um assunto bastante nvestgado atualmente [2,22]. Também, por motvos semelhantes, os resultados se aplcam ao comportamento de enrolamentos de máqunas grantes sob a ncdênca de surtos de tensão de orgem atmosférca ou de manobras. Mas dretamente, os resultados se aplcam ntegralmente aos enrolamentos de reatores, enquanto que para dversos outros casos adaptações podem ser fetas, mostrando a relevânca do tema A Dstrbução de Surtos de Tensão em Enrolamentos Contínuos de Transformadores Para a maora dos transformadores de dstrbução, o estudo da dstrbução de tensão de surto ao longo de enrolamentos contínuos tem como ponto de partda o método clássco de análse, que consste na solução analítca da equação da onda ao longo de um enrolamento contínuo e homogêneo, que apresenta parâmetros unformemente dstrbuídos ao longo de seu comprmento[6]. Muto embora essa não seja a condção que se verfca

17 Capítulo - Introdução 7 ntegralmente na prátca, seus resultados levam a mportantes conclusões que permtem entender razoavelmente bem o comportamento da dstrbução de surtos de tensão e de seus efetos em quase todos os tpos de enrolamentos contínuos utlzados na ndústra. Acerca dos dversos desdobramentos dos resultados do método clássco de análse, uma razoável quantdade de trabalhos de pesqusa tem sdo publcada até os das de hoje[23-25]. Mas nem sempre os resultados desses trabalhos chegam aos nteressados no assunto, nas ndústras. Por outro lado, quanto à aplcação prátca dos resultados, a mas dfundda das técncas de análse de comportamento de enrolamentos contínuos sob surtos de tensão é aquela conhecda como a técnca da curva rebatda[3,6], que consdera as curvas de dstrbução de tensão ao longo do enrolamento nos nstantes ncal e fnal da ncdênca do surto do tpo degrau. Para lustrar, na Fgura. estão mostradas ambas as curvas para um enrolamento contínuo genérco, bem como a curva rebatda, obtda a partr da dferença entre os valores das curvas de dstrbução ncal e fnal. A curva obtda é o envelope dos máxmos valores de tensão de cada ponto do enrolamento, desde o nstante da ncdênca do surto no enrolamento até que a dstrbução de tensão atnja seu estado permanente, unformemente dstrbuída. Embora seja realmente bastante dfundda junto aos projetstas de transformadores, as premssas estabelecdas por essa técnca não têm respaldo teórco[6], o que reforça a necessdade de estudos contendo uma nvestgação mas profunda, tal como proposta por esse trabalho. Em adção a esse problema da valdade da técnca da curva rebatda, é muto mportante frsar que a necessára consderação de característcas físcas reas de qualquer enrolamento contínuo de transformador mplca na nvabldade do uso de métodos analítcos para a solução da equação da onda nesses enrolamentos[6]. Esses fatos são então sufcentes para justfcar a técnca proposta neste trabalho, que permte a avalação precsa de como ocorre a dstrbução da tensão de surto ao longo de enrolamentos contínuos, baseada no método numérco TLM.

18 Capítulo - Introdução 8,8,6 Curva rebatda Pote ncal, e m p.u.,4,2 0,8 0,6 Dstrbução fnal Dstrbução ncal 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 com prm ento, em p.u. Fgura. Gráfco para elaboração da curva rebatda, utlzada na análse da dstrbução de tensão A Transferênca de Surtos de Tensão Através de Enrolamentos de Transformadores A transferênca de surtos de tensão através de enrolamentos de transformadores é um tema que surge naturalmente como conseqüênca do estudo da dstrbução de tensão de surto ao longo de enrolamentos contínuos. Muto embora no método clássco de análse da dstrbução da tensão de surto ao longo de enrolamentos contínuos não seja consderada a proxmdade ou qualquer efeto de outros enrolamentos, o fato é que em transformadores é bastante comum que enrolamentos de uma mesma fase estejam dspostos fscamente bem aproxmados. Isto leva a conclur que um surto que ncda num enrolamento contínuo de um transformador não somente cause as sobretensões e dstrbuções de tensão como também esse surto possa se transferr para um enrolamento mas próxmo, por efetos de acoplamentos magnétcos e capactvos. Portanto, os danos decorrentes da ncdênca do surto não estaram lmtados ao prmero enrolamento atngdo, mas também ao enrolamento próxmo e às eventuas cargas que nele estverem conectadas. Muto embora dversos trabalhos já tenham sdo publcados sobre esse assunto[26-29], essa conclusão não

19 Capítulo - Introdução 9 parece tão óbva quando se nota que no Brasl não é comum o uso de protetores de surto para os enrolamentos de baxa-tensão de transformadores das redes de dstrbução de energa. A proteção contra surtos é freqüentemente aplcada somente ao crcuto de altatensão, através da nstalação de pára-raos. Indferente a este fato, alguns tpos de transformadores passaram a ser utlzados como supostos elementos bloqueadores de surtos, em algumas nstalações elétrcas de baxa-tensão, no Vale do Itajaí. Essa constatação ocorreu a partr de dversas nspeções técncas em mutas nstalações comercas e ndustras, solctadas aos profssonas do Departamento de Engenhara Elétrca, devdas à crescente preocupação com a ocorrênca de danos devdos à ncdênca de surtos em nstalações elétrcas de baxa-tensão. Nestas nstalações cada vez mas são utlzados equpamentos eletrôncos sensíves, o que faz surgr algumas técncas de proteção e de compatbldade eletromagnétca que não são efcazes. Prncpalmente aquelas que utlzam transformadores como bloqueadores de surtos. Não obstante, transformadores com característcas construtvas especas têm sdo cada vez mas encomendados a fabrcantes. Dentre essas característcas é comum o peddo da lgação do tpo solador e a nclusão de uma blndagem eletromagnétca 2 entre os enrolamentos prmáro e secundáro. As stuações mas freqüentes onde esses transformadores têm sdo empregados são em nstalações elétrcas projetadas para a almentação de equpamentos eletrôncos sensíves. Certamente, porque a sensbldade desses tpos de equpamentos se deve ao fato deles possurem mcroprocessadores. Esses equpamentos realzam tarefas que são cada vez mas vtas para a nossa socedade. Isto torna evdente o prejuízo decorrente da nterrupção de servços que esses equpamentos realzam. Portanto, é clara a necessdade de proteger tas equpamentos das ncdêncas de surtos advndos da rede de dstrbução de energa elétrca. E a aplcação de tpos especas de transformadores é tda como sendo uma dessas formas de proteção. Entretanto, se verfca que mesmo nas nstalações elétrcas em que transformadores são utlzados com o ntuto do bloqueo de surtos, cada vez mas ocorrem problemas de funconamento de equpamentos eletrôncos sensíves, devdos à ncdênca de surtos orundos da rede elétrca. Mas uma vez, esses fatos são sufcentes para justfcar a mportânca da técnca proposta neste trabalho, que va permtr a avalação precsa de como ocorre a transferênca 2 Em projetos de transformadores essa blndagem é chamada de Blndagem Eletrostátca.

20 Capítulo - Introdução 0 de surtos de tensão entre enrolamentos. E essa técnca proposta segurá a mesma metodologa utlzada para o tem anteror, ou seja, estará baseada no método numérco TLM e será valdada nas formas teórca e expermental..3 - TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS À FREQÜÊNCIA INDUSTRIAL E SEUS EFEITOS EM TRANSFORMADORES Um outro tpo muto mportante de transtóro elétrco em transformadores não está assocado a surtos de tensão, mas sm a um fenômeno transtóro um pouco mas lento, que é decorrente da energzação de transformadores. Em geral, esse evento acarreta em sobrecorrentes que atngem valores comparáves ao de curto-crcuto do ponto de energzação. Essas sobrecorrentes recebem o nome de corrente de Inrush. Elas podem, por exemplo, fazer atuar ndevdamente sstemas de proteção elétrca, causando deslgamentos no crcuto utlzado e conseqüentes transtornos. Por sso, torna-se mportante que para cada transformador seja conhecdo o nível dessa sobrecorrente a fm de que se tomem meddas para mnorar suas conseqüêncas ou que se especfquem outros transformadores com níves adequados de sobrecorrentes de energzação. Conseqüentemente, resta aos fabrcantes tomar meddas baseadas no conhecmento desse fenômeno para projetar transformadores com níves pré-determnados de Corrente de Inrush. Por outro lado, aqueles que ldam com transformadores devem ter conhecmento da ntensdade, relevânca e condconantes desse evento, a fm de coordenar os eventos de energzação dos mesmos. Para atender ambas as necessdades, a modelagem da hsterese e da saturação dos materas ferromagnétcos de transformadores é de extrema mportânca. Por outro lado, há três tpos báscos de modelagem para a hsterese[30]. O prmero tpo se volta para os objetvos daqueles que estão nteressados em entender as causas físcas do fenômeno da hsterese. Portanto, é analsado o comportamento das partículas de materal magnétco do transformador, o que faz com que esse tpo de modelagem seja sgnfcatvamente complexo. O segundo tpo é aquele voltado para a avalação cada vez mas precsa das perdas decorrentes da hsterese magnétca em regme permanente da freqüênca ndustral, com ou sem harmôncos. Modelos desse tpo são relatvamente complexos, mas já podem

21 Capítulo - Introdução ser resolvdos usando-se o método TLM [3]. O tercero tpo de modelagem prma pela smplfcação e se preocupa em avalar o comportamento de transformadores através da sua representação por crcutos elétrcos. Usualmente, esse tercero tpo dá respostas muto satsfatóras, com esforço de cálculo reduzdo. E esse tpo de modelagem é também aplcável para a avalação de corrente de Inrush em sstemas elétrcos. Vsando desenvolver uma modelagem bastante smplfcada, porém precsa, este trabalho apresenta uma metodologa para avalar a corrente de Inrush de transformadores. Para tanto, o crcuto representatvo de transformadores será também modelado pelo método TLM, permtndo uma solução rápda e precsa para a análse de problemas dessa natureza..4 - TÓPICOS DA TESE Vsando apresentar a efcênca da aplcação do método TLM para a análse do comportamento de transformadores em regmes transtóros, a dvsão deste trabalho segue a evolução gradual do estudo de cada um dos três tpos de transtóros propostos. Neste prmero capítulo foram apresentadas conjunções hstórcas ntrodutóras e motvadoras para o aprofundamento da análse de cada um dos três mportantes casos mas freqüentes de transtóros em transformadores. No Capítulo 2 cada um desses três casos de transtóros é abordado teorcamente, com ênfase no equaconamento básco das grandezas elétrcas e magnétcas envolvdas e no estado da arte sobre o assunto. No Capítulo 3 uma breve descrção do método numérco TLM é apresentada, seguda da descrção da demonstração de sua aplcação em problemas clásscos que estão bastante relaconados com os três casos de transtóros, tomados como base. Esses problemas são : - A energzação de crcuto RLC-sére a uma fonte de tensão contínua constante; 2 - A energzação de crcuto acoplado magnetcamente a uma fonte de tensão senodal ;

22 Capítulo - Introdução 2 Em ambos os problemas os resultados obtdos pelo método TLM são confrontados com os resultados analítcos, demonstrando a efcênca do método. No prmero caso também é feta uma comparação com o método numérco de Euler, reterando a efcênca do TLM. No Capítulo 4 estão apresentadas smulações computaconas dos três casos de transtóros, cuja coerênca dos resultados remete à valdação expermental. No Capítulo 5 são então apresentadas as comparações entre resultados expermentas e da smulação através do TLM para stuações de cada um dos três casos de transtóros em transformadores defndos como sendo a base deste trabalho. Essas comparações valdam a aplcabldade do método TLM, com ênfase na sua efcênca. No Anexo é mostrado o preenchmento das matrzes que permtem o cálculo da dstrbução de tensão ao longo de um enrolamento contínuo. E fnalmente no Anexo 2 está dsponível um dsco magnétco contendo todos os programas de cálculo de problemas analsados neste trabalho. Esses programas, desenvolvdos em planlha eletrônca, são os seguntes : - rlc.xls - Programa de cálculo de transtóro em crcuto RLC-sére energzado por fonte de tensão constante - Capítulo 3; 2 - mutuas.xls - Programa de cálculo de transtóro em crcuto acoplado magnetcamente, energzado por fonte de tensão senodal - Capítulo 3; 3 - dstrbtlm.xls - Programa de cálculo de dstrbução de tensão de surto em enrolamento contínuo, através do método TLM - Capítulo 4 ; 4 - tlmtransfer.xls - Programa de cálculo de transferênca de tensão de surto através de transformador monofásco, através do método TLM - Capítulo 4 ; 5 - hstlm.xls - Programa de cálculo de corrente de nrush em transformador monofásco, através do método TLM - Capítulo 4 ; 6 - dstexptlm.xls - Programa de cálculo de dstrbução real de tensão de surto em enrolamento contínuo : comparação expermental e o método TLM - Capítulo 5; 7 - tlmtransfexpr.xls - Programa de cálculo de transferênca real de tensão de surto através de transformador monofásco : comparação expermental e o método TLM - Capítulo 5 ;

23 Capítulo - Introdução hstlmexp.xls - Programa de cálculo de corrente de nrush real em transformador monofásco : comparação expermental e o método TLM - Capítulo 5 ;

24 CAPÍTULO 2 ANÁLISE TEÓRICA DE TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS EM TRANSFORMADORES 2. - O COMPORTAMENTO DE TRANSFORMADORES FRENTE AOS TRANSITÓRIOS ELÉTRICOS RÁPIDOS De acordo com as justfcatvas apresentadas no Capítulo, a análse do comportamento de transformadores frente a transtóros rápdos apresenta característcas bastante específcas. Um fator de muta mportânca para esse tpo de análse é a presença de componentes de altas freqüêncas no espectro dos surtos rápdos de tensão, que provoca dversos efetos no transformador, que não são sentdos em baxas freqüêncas. Dante dessas característcas específcas, os dos mportantes casos relaconados aos transtóros rápdos são agora analsados teorcamente A Dstrbução de Surto de Tensão em Enrolamentos Contínuos de Transformadores O método clássco, ctado no Capítulo, consdera que o enrolamento contínuo seja homogêneo. Ou seja, o mesmo apresenta parâmetros elétrcos fxos, unformemente dstrbuídos ao longo de seu comprmento, sem varação com a freqüênca, contendo núcleo de materal magnétco lnear e sem a exstênca do efeto Foucault[2,3,6]. Embora essas premssas nem sempre se aplcam totalmente a enrolamentos contínuos reas, os resultados obtdos pelo método clássco permtem um bom entendmento do comportamento dos dversos tpos de enrolamentos contínuos reas.

25 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores 5 De uma forma geral, a abordagem utlzada pelo método clássco de análse da dstrbução de surto em enrolamento contínuo possu semelhanças com aquela utlzada na análse da propagação de ondas de surtos de tensão em lnhas de transmssão planas com retorno por solo deal. A Fgura 2. mostra um segmento genérco de um enrolamento contínuo sobre um plano de terra deal, contendo três espras, onde são mostrados os seus parâmetros elétrcos dstrbuídos. São eles : - A capactânca entre espras, Ce; - A capactânca à terra, Cg; - A auto-ndutânca sére, Le ; - A ndutânca mútua entre espras, M ; - A resstênca elétrca sére, Re. Portanto, no método clássco de análse, o acoplamento capactvo entre espras que é consderado é somente aquele exstente entre duas espras adjacentes. Por sua vez, as condutâncas entre espras ou à terra não são consderadas. Fgura 2. - Segmento genérco entre duas espras de um enrolamento contínuo. A partr desses parâmetros dentfcados, o enrolamento contínuo pode então ser representado pela assocação sére de dversos desses segmentos elementares, de forma análoga ao caso de lnhas de transmssão. Então, consdere um enrolamento contínuo que

26 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores 6 apresente um número elevado de espras, N, e que seu comprmento, l, seja muto maor que o seu dâmetro. Tendo o enrolamento uma de suas extremdades na orgem, x = 0, consdere que ele estende-se ao longo do exo x, no sentdo postvo. Conseqüentemente, a outra extremdade do enrolamento estará localzada em x = l. Desta forma é possível obter as equações relatvas às grandezas elétrcas exstentes quando da ncdênca de um surto de tensão, em x = 0. A Fgura 2.2 apresenta o crcuto equvalente do segmento elementar do enrolamento, cujo o comprmento é x. Neste crcuto não está dretamente presente a ndutânca mútua entre cada espra e as demas, M. Esse parâmetro, por sua vez, é usualmente consderado através de sua transformação numa auto-ndutânca sére, que é somada à auto-ndutânca do enrolamento, Le [2,7]. Portanto, na análse feta a segur, o termo Le representa a soma da auto-ndutânca sére do enrolamento com ndutânca equvalente das ndutâncas mútuas exstentes entre cada uma espra e todas as demas. Quanto ao parâmetro Cg, capactânca entre o enrolamento e a terra, deve-se consderar que o potencal de terra está dstrbuído de forma radal e unforme ao longo do enrolamento. Fgura Crcuto equvalente do segmento elementar de um enrolamento contínuo. O segmento tem comprmento x. Então, o comportamento das grandezas elétrcas tensão e corrente, V(x,t) e (x,t), ao longo do enrolamento pode ser obtdo também de forma análoga ao caso de uma lnha de transmssão clássca. A partr da Fgura 2.2, num segmento elementar genérco do enrolamento contínuo, tem-se que:

27 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores 7 x( x, t) V ( x, t) ( V ( x, t) + V ) = Re x( x, t) + Le x t (2.) ( x,t) ( (x,t) + ) = V(x,t) Cg t x (2.2) Tomando-se o lmte quando x 0, de forma que a análse seja dferencal, as equações anterores transformam-se em : V ( x, t) = lm x x 0 V x x( x, t) = Re x( x, t) + Le t (2.3) (x,t) = lm x x 0 = x V(x,t) Cg t (2.4) Este sstema de equações dferencas, (2.3) e (2.4), não pode ser anda resolvdo, pelo fato de as correntes envolvdas serem dferentes entre s. Afnal, de acordo com a Fgura 2.2, pela capactânca Ce passa a corrente e(x,t). Isto torna (x,t) dferente de x(x,t). Matematcamente, o sstema obtdo de equações dferencas parcas apresenta duas equações e três ncógntas, sendo então necessára uma tercera equação ou a elmnação de uma das ncógntas. Para tanto, deve-se consderar que a corrente que entra no segmento, (x,t), corresponde à soma da corrente que passa pelos elementos Re e Le somada à corrente passa pela capactânca Ce. Logo, (x,t) = x(x,t) + e(x,t) (2.5) Consderando a queda de tensão na capactânca entre espras, Ce, a corrente nessa capactânca será :

28 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores 8 Neste ponto é mportante consderar uma mportante partculardade da análse de um enrolamento contínuo: O segmento mas elementar de um enrolamento é aquele entre duas espras. Conseqüentemente, dos segmentos elementares perfazem três espras, e assm sucessvamente. Portanto, um enrolamento contínuo que contenha N espras e apresente um comprmento l, terá como o segmento mas elementar com o comprmento dado por : Assm, quando o número de espras, N, tende a ser nfnto o comprmento do segmento elementar, x, tende a ser zero, tornando-se um elemento nfntesmal. Substtundo a expressão (2.7) na expressão (2.6) e dferencando-a em relação a t, obtémse: : Portanto, a Equação (2.5) torna-se : Aplcando-se a expressão (2.9) à expressão (2.3) e repetndo-se a expressão (2.4), obtém-se o segunte sstema, que pode agora ser resolvdo : e (2.6) ), ( ), ( 0 = t dt t x e x Ce x t x V (2.0) 2 ), ( 3 ), ( 2 ), ( ), ( + + = x t t x V N Ce t (x,t) Le x t t x V N Ce t x R e x t x V l l (2.8) ), ( ), ( 2 t x e Ce N t x t x V = l (2.9) ), ( 2 t x t x V N Ce (x,t) x(x,t) + = l (2.7) N x l =

29 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores 9 (x,t) = x V(x,t) Cg t (2.) Para a resolução desse sstema é possível obter uma só equação dferencal, através de substtuções, fetas a segur, optando-se por resolver o sstema pela tensão, V(x,t). Então, dervando-se a Equação (2.) em relação a t, de ambos os lados esta se torna : 2 (x,t) = x t V 2 (x,t) Cg t 2 (2.2) Dervando-se agora a Equação (2.0) de ambos os lados, em relação a x, e utlzando-se das expressões (2.) e (2.2), e obtém-se uma equação dferencal em V(x,t), somente : 2 V ( x, t) x 2 (, ) 3 (, ) V x t Ce l V x t = Re Cg t N t x 2 4 (, ) V(x,t) Ce l V x t Le Cg t N t x (2.3) Esta é, então, a equação clássca que descreve o comportamento de enrolamentos contínuos frente a surtos. Sua solução analítca completa é sgnfcatvamente mas complexa que a da equação da onda em lnhas de transmssão smples. O método clássco propõe que a solução dessa equação consdera o uso de transformadas de Laplace e de suas propredades. Para sso, a solução da equação é dvdda em três passos, cada um referente um ntervalo de tempo dstnto, contados a partr da ncdênca do surto de tensão[6]. Esses ntervalos são : Intervalo Incal : Desde o nstante t = 0 até o nstante t = 0 + ; Intervalo Intermedáro : Desde t = 0 + até o níco do regme permanente ;

30 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores 20 Intervalo Fnal : Desde o níco do regme permanente até um tempo nfnto; Então, ao se aplcar transformadas de Laplace à Equação (2.3), a solução terá a segunte expressão : V ( x, s) = V(x = 0, s) senh( α( l senh( α l) x) ) (2.4) Na qual s refere-se à freqüênca, V(x =0,s) refere-se à transformada de Laplace da expressão analítca da tensão aplcada na entrada do enrolamento, em x = 0. Anda, o parâmetro α é dado por : α 2 2 R e Cg s + Le Cg s = 2 R e Ce l s + s LeCel + N (2.5) Anda de acordo com o método clássco, consdera-se que o surto ncdente seja do tpo degrau de tensão, de ampltude Vo. A dvsão da solução em três passos referentes aos três nstantes descrtos anterormente é nteramente provdencal. Afnal, essa dvsão permte o uso de propredades bastante smples das transformadas de Laplace, que por sua vez facltam por demas a obtenção da solução da Equação (2.3) para os ntervalos ncal e fnal. Esses resultados são então utlzados para a obtenção da solução válda para o ntervalo ntermedáro, que requer um pouco mas de sofstcação. Assm sendo, de acordo com [6], apresenta-se a segur uma breve descrção da solução para os ntervalos ncal e fnal, por serem essas soluções as mas smples. Ao fm da apresentação descrção, a solução para o ntervalo ntermedáro é apresentada, também de acordo com o método clássco.

31 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores Intervalo Incal de Análse Esse ntervalo corresponde ao exato nstante em que o surto ncde na entrada do enrolamento. Para esse ntervalo, o uso do teorema do valor ncal das transformadas de Laplace permte a obtenção de resultados nteressantes. Daí, aplcando o referdo teorema à Equação (2.5) se verfca que o valor de α tende a um valor constante, ndependente de s : lm α = lm t 0 α( s) = lm s s Re Cg s + Le Cg s 2 ReCe l s + s 2 LeCe l + N = N Cg Ce l (2.6) Aplcando-se smultaneamente o mesmo lmte à Equação (2.4), se obtém que lm t 0 V(x,t) = lm s s V(x,s) = lm s s Vo s senh ( α( l x) ) senh( α l) (2.7) Ou lm t 0 V(x,t) = Vo N Cg senh ( l x) Ce l N Cg senh( l) Ce l (2.8) Então, consderando o valor de α dado pela Equação (2.6), a Fgura 2.3 apresenta os gráfcos da expressão (2.8) para valores de αl = ; 2,5 e 0. Nestes gráfcos, a abscssa é consderada como sendo por undade de comprmento, l, enquanto que a tensão ao longo do enrolamento é consderada por undade da ampltude do degrau, Vo.

32 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores 22 v(x/l ) / vo 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 αl = 0 αl = 2,5 αl = 0 0,2 0,4 0,6 0,8 x / l Fgura 2.3 Dstrbução de tensão ao longo do enrolamento, no nstante ncal para alguns valores de αl. Pelos gráfcos da Fgura 2.3 se percebe que a dstrbução de tensão ocorre nstantaneamente ao longo de todo o enrolamento, sem haver ntervalo de propagação do surto, dferentemente do caso de lnhas de transmssão. A razão dsso é que no nstante t = 0 a presença das capactâncas entre espras, Ce, garante que a dvsão de tensão ocorra ao longo do enrolamento, a partr da combnação dessas capactâncas com aquelas dstrbuídas à terra, Cg. Por outro lado, neste mesmo nstante as ndutâncas sére são anda um crcuto aberto. Portanto, no nstante t = 0, o enrolamento pode ser consderado uma rede de capactâncas dstrbuídas, multplamente combnadas em sére e em paralelo. Essas capactâncas carregam-se nstantaneamente, por não haver pratcamente resstêncas em sére com as mesmas. A Fgura 2.4 apresenta o crcuto equvalente de um enrolamento no nstante ncal da aplcação do surto : Fgura 2.4 Representação do enrolamento para o nstante ncal da ncdênca do surto.

33 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores 23 Conseqüentemente, valores de Ce e Cg combnados entre s e com os valores do comprmento do enrolamento, l, e do número de espras, N, é que defnrão o grau de unformdade da dstrbução da tensão. Usualmente [6,32], enrolamentos contínuos acondconados em tanques de óleo ou em solamento a seco, de resna, apresentam o produto NCg com valores de pelo menos vezes valores de Cel. Então, de acordo com a Equação (2.6), valores usuas de α são, pelo menos, da ordem de 00 (cem). Conseqüentemente ao comportamento predomnante do enrolamento como uma rede de capactores assocados, a sua capactânca equvalente apresentada ao surto, Ceq, é calculada aplcando-se o teorema do valor ncal [6]: Cg Ceq = cotanh( αl ) = α CgCe l N cotanh( NCg Ce l l) (2.9) Esse resultado demonstra como transformadores de enrolamentos contínuos se comportam capactvamente frente a surtos de tensão, no nstante da ncdênca desses. Anda em relação à dstrbução nstantânea de tensão ao longo do enrolamento, é mportante notar como o aumento dos valores de αl mplca na concentração do campo elétrco nas prmeras espras do enrolamento. Uma vez que a solctação delétrca dos solamentos elétrcos se dá pela ntensdade do campo elétrco aplcado, se nota que os projetos usuas de enrolamentos são nerentemente passíves de falhas nas prmeras espras quando da ncdênca de surtos, uma vez que eles apresentam valores de αl elevados. Para sso, consdere que no nstante t = 0, da aplcação do surto, o campo elétrco ao longo de x pode ser obtdo a partr da dervação da expressão de V(x,t), da Equação (2.4) : E(x,t) = -Grad(V(x,t)) = V(x,t) - x = α Vo cosh( α l( x / l) ) senh( α l) (2.20)

34 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores 24 Consderando como referênca o campo elétrco na condção de unformdade, Eo, dado por : Eo = Vo l (2.2) A Equação (2.20) é arrumada com base no valor de Eo, para facldade de representação gráfca : E(x,t) cosh( α l( x / l) = α l Eo senh( α l) (2.22) A Fgura 2.5 apresenta os gráfcos do campo elétrco dstrbuído ao longo do enrolamento, em t = 0, para os mesmos valores de αl usados na Fgura 2.4. Desses gráfcos se percebe que o caso de αl = mplca num campo elétrco unformemente dstrbuído ao longo do enrolamento,já no nstante ncal. Entretanto, enrolamentos que apresentem característcas que mplquem em valores de αl acma da undade terão o campo elétrco nas espras ncas dado por αl vezes o campo unforme, o que representará uma solctação à solação do enrolamento no nstante da ncdênca do surto. 2 0 E(x) / Eo α l = 0 α l = 2,5 α l = 0 0 0, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 x / l Fgura 2.5 Campo Elétrco ao longo do enrolamento, para os mesmos valores de αl

35 Capítulo 2 - Análse Teórca de Transtóros Elétrcos em Transformadores Intervalo Fnal de Análse A análse do comportamento do enrolamento no ntervalo fnal se dá de forma análoga à análse do ntervalo ncal. Então, o teorema do valor fnal, das transformadas de Laplace, é utlzado. Consderando que um mesmo degrau de tensão, com mesma ampltude máxma, Vo, é aplcado na orgem do enrolamento contínuo homogêneo, estando o outro extremo aterrado, tem-se que a tensão tem o segunte valor, no estado permanente : lm t V(x,t) = lm s 0 s V(x,s) = lm s 0 s Vo s senh( α( l x) ) senh( α l) (2.23) torna-se nulo : Por sua vez, ao aplcar o lmte acma na Equação(2.6) se percebe que valor de α R e Cg s + Le Cg s lm ( s) = lm. 0 s 0 α s R ece s + s LeCs =. 2 (2.24) Desta forma, o lmte da expressão (2.23) torna-se : lm t V(x,t) = lm α Vo senh( α( l x) ) l - x = Vo senh( α l) l (2.25) Da qual conclu-se que a dstrbução fnal de tensão ao longo do enrolamento contínuo tende a ser unforme ao longo dele, ndependentemente das capactâncas, que são determnantes somente na dstrbução ncal da tensão. Este resultado se deve ao fato que após um longo período desde a ncdênca do surto ocorre o completo carregamento elétrco das capactâncas e magnétco das ndutâncas. Uma vez que o enrolamento é homogêneo, a dstrbução fnal unforme se dará nerentemente. Conseqüentemente, o campo elétrco torna-se constante ao longo do enrolamento, dado por :