SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA O PROBLEMA DA CAVIDADE COM TAMPA DESLIZANTE PARA NÚMERO DE REYNOLDS TENDENDO A ZERO

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1 SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA O PROBLEMA DA CAVIDADE COM TAMPA DESLIZANTE PARA NÚMERO DE REYNOLDS TENDENDO A ZERO Jesús S. Pérez Guerrero Comssão Naconal de Energa Nuclear - CNEN/COREJ Rua General Severano Ro de Janero - RJ Brasl jperez@cnen.gov.br Rogéro Ramos Departamento de Engenhara Mecânca Unversdade Federal do Espírto Santo - UFES Vtóra - ES Brasl rogero@lttc.com.ufrj.br Luz C. G. Pmentel Departamento de Meteorologa Unversdade Federal do Ro de Janero - UFRJ Ro de Janero - RJ Brasl pmentel@lttc.com.ufrj.br Resumo. Escoamentos lentos são típcos em casos onde a vscosdade é muto alta. Nestes casos o numero de Reynolds tende a zero e as equações de Naver-Stokes são smplfcadas para uma estrutura lnear, denomnada na lteratura como problema de Stokes. Quando usada uma formulação em termos da função corrente para uma geometra bdmensonal, as equações de Naver-Stokes se transformam no problema bharmônco. O problema da cavdade com tampa deslzante é um problema teste comum para comparação entre dferentes metodologas numércas. No caso do numero de Reynolds tendendo a zero, a lteratura é pobre em soluções analítcas que possam ser usadas como referênca. No presente trabalho a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT), por sua natureza analítca, transforma a equação dferencal parcal num sstema de equações dferencas ordnáras, que pode ser resolvdo analtcamente através da solução de um autosstema. A solução analítca formal e resultados para a função corrente em dferentes posções da cavdade são lustradas. Palavras-chave: Problema de Stokes, Solução analítca, Transformação Integral

2 . INTRODUÇÃO O problema da cavdade com tampa deslzante é um clássco teste de nteresse permanente na solução computaconal das equações de Naver-Stokes, que permte fazer comparações qualtatvas e quanttatvas entre os dferentes métodos numércos. Quando os termos vscosos são domnantes, os termos de nérca são deprecados e a equação adota uma estrutura lnear, que é conhecda na lteratura como Problema de Stokes (Schlchtng, 968). Nos últmos anos a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT), devdo a sua característca sem-analítca, que possblta um rígdo controle do erro durante o processo de solução de equações dferencas parcas lneares e não lneares, tem se mostrado uma ferramenta poderosa, fundamentalmente na smulação de problemas em mecânca dos fludos e transferênca de calor (Cotta, 99, Cotta e Mkhalov, 997, Cotta, 998). Este método híbrdo tem como prncípo a representação de potencas em uma base de autofunções provenentes de um problema de autovalor assocado. A partr da propredade de ortogonaldade que as autofunções cumprem, o problema orgnal pode ser ntegrado numa das dreções permtndo-se relaxar o problema dferencal parcal transformando-o num sstema dferencal ordnáro, reduzndo o número de varáves ndependentes. Tradconalmente a aplcação da GITT, na sua concepção híbrda, deve ser mplementada em conjunto à técncas numércas para a solução de sstemas dferencas ordnáros. No entanto, para sstemas de equações dferencas ordnáras lneares com coefcentes constantes é bastante conhecda na lteratura (Kreyszg, 993; Wlly e Barret, 985) a obtenção de soluções analítcas va representação do potencal como uma combnação lnear de soluções ndependentes, sendo estas expressas em termos de uma base de autovetores e autovalores da matrz relaconada ao sstema dferencal ordnáro. Uma sére de trabalhos utlzando a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT), em conjunto com o método descrto acma, tem sdo apresentado na lteratura para solução de problemas dferencas do tpo parabólco (Cotta, 99), permtndo obter soluções formalmente analítcas. Apesar da maor dvulgação deste procedmento para solução de problemas de valor ncal, ele pode ser estenddo para o caso de problemas dferencas do tpo elíptco. A solução do problema de Stokes para o caso do problema da cavdade com tampa deslzante tem sdo resolvda por Pérez Guerrero e Cotta (99) na concepção híbrda numérca-analítca da GITT. Gaskell et al (99) apresentou uma solução analítca para o problema, sendo que as bases utlzadas na expansão do potencal eram extremamente elaboradas, dfcultando a generalzação do procedmento para outras stuações, como por exemplo, a modfcação das condcões de contorno do problema. O objetvo do presente trabalho é a obtenção de uma solução formalmente analítca do problema de Stokes para um escoamento dentro de uma cavdade com tampa deslzante, combnando o uso da GITT com a estratéga de solução de equações dferencas ordnáras va autovalores e autovetores. A presente alternatva faclta a mplementação do procedmento utlzando uma base dfusva assocada ao problema orgnal, sendo as autofunções uma combnação de funções trgonométrcas e hperbólcas, podendo ser faclmente modfcadas para atender condções de contorno mas genércas. Outro aspecto relevante da presente abordagem é que as soluções são exatas para qualquer ordem de truncamento do sstema nfnto, devdo a natureza da solução adotada, permtndo analsar a convergênca dos campos orgnas em sua forma mas completa.

3 . ANÁLISE Consdera-se uma cavdade quadrada com tampa superor deslzante e velocdade constante, onde um fludo netonano e ncompressível escoa em regme lamnar. Na modelagem matemátca do fenômeno consdera-se regme permanente sendo a geometra do problema, bdmensonal. O problema de Stokes representado em termos admensonas da função corrente, reca no problema bharmônco: ψ (.a) onde () é o operador bharmônco, defndo como: () () () () + + x x y y (.b) sujeto as seguntes condções de contorno: ψ (, y) ψ (, y) x ψ ( x,) ψ ( x,) y ψ (, y) ψ (, y) x ψ ( x,) ψ ( x,) y (.c-f) (.g-j) A solução da eq. () tem sdo dada por Pérez Guerrero e Cotta, (99). O problema auxlar aproprado fo de quarta ordem, defnndo o segunte espectro de autofunções: cosµ ( x / ) cosh µ ( x /),,3,5,... cos( µ /) cosh( µ / ) ( x) snµ ( x /) snh µ ( x / ),,,6,... sn( µ / ) snh( µ /) () As autofunções consderadas em () estabelecem uma estrutura que classfca os casos mpares e pares, permtndo assm dstngur funções pares o mpares nos coefcentes ntegras referente ao processo de transformação ntegral. Os autovalores, µ, são calculados a partr da equação transcendental: cos µ cosh µ (3) É possível demostrar que as autofunções dadas em () apresentam norma untára, e que a propredade de ortogonaldade é defnda por:, Y Y j, j j () O par de transformada-nversa, é logo defndo como:

4 ψ ( y) ( x) ψ ( x, y, transformada (5.a) ) ~ ψ ( x, y) ψ ( x) Y ( y), nversa (5.b) Como mostrado por Pérez Guerrero e Cotta (99), a transformação ntegral da equação bharmônca dada em () reca no segunte sstema dferencal ordnáro acoplado: d φ µ φ d φ j Dj (6.a) com condções de contorno: dφ () φ ( ) ; dφ () ; φ ( ) ; f (6.b-e) sendo que o coefcentes ntegras são dados por: D j d dx j dx (7.a) f dx (7.b) Na solução do sstema dferencal ordnáro (6) se evdenca uma maor rgdez para crescentes ordens de truncamento do sstema. Por este motvo sera necessáro utlzar subrotnas matemátcas apropradas para casos rígdos, como a BVPFD da bbloteca centfca IMSL (995). Entretanto, dado que o sstema é lnear com coefcentes constantes, uma solução analítca formal pode ser obtda por meo de um sstema algébrco ao se consderar a teora de autovalores e autovetores de matrzes (Kreyzg, 993). Com este objetvo é necessáro escrever o sstema dferencal de quarta ordem (6), num outro de prmera ordem. Assm a segunte regra recursva é adotada: φ ; dφ d φ 3 ; + N + N ; 3N 3 d φ (8.a-d) + onde,..., N ; sendo N a ordem de truncamento do sstema. Desta forma se obtêm o segunte sstema de prmera ordem: d + 3N µ N D j j+ N (9.a) ( ) ; +N ( ) ; Y ( ) ; + N ( ) f (9.b-e)

5 O sstema (6), pode ser representado em forma compacta através da segunte equação: A () onde os elementos da matrz A são o jacobano do vetor. A solução do sstema homogêneo defndo pela eq.() é dada pela segunte combnação lnear: N c j λ j y je,,.., N () onde j e λ j são respectvamente os autovetores e autovalores assocados a matrz A; e c j são constantes que serão determnadas a partr das condções de contorno (9.b-e). A solução do sstema dferencal ordnáro (9.a) necessta apenas da determnação dos autovalores e autovetores da matrz A, assm como na solução de um sstema algébrco para determnação das constantes c j. Para propóstos computaconas a expressão () não é bem defnda numercamente, por este motvo, é melhor rescrevê-la de forma aproprada para processamento computaconal: N λ j ( y ) α j je, Real(λ j ) ou, (.a) N λ j ( y+ ) α j je, Real(λ j )<,,.., N (.b) Neste caso os valores de j são calculados resolvendo o sstema algébrco resultante das condções de contorno (9.b-e). 3. RESULTADOS A smetra das condções de contorno ao longo da dreção axal, eq.(.c-f), exge que se obtenham soluções trvas dos campos transformados nos modos pares. Desta forma o número de termos efetvos que representam a sere (5.b), é dada apenas pelo número de modos ímpares. Os autovalores e autofunções assocados a matrz A foram calculados usando a subrotna EVCRG da bbloteca numérca IMSL (995), enquanto a solução do sstema algébrco complexo, para determnação do vetor α, fo feta através da subrotna LSACG (IMSL, 995). A seqüênca de convergênca da função corrente é lustrada na Tab., tanto na posção central como próxmo as paredes da cavdade. Para uma ordem de truncamento de N3 pode-se estabelecer pelo menos quatro dígtos sgnfcatvos para representação da função corrente na proxmdade do vértce superor da cavdade. O tempo de processamento, usando um mcrocomputador Pentum II-66 fo de segundos no caso de N3, sendo este um aspecto mportante da presente abordagem, permtndo mnmzar o tempo de processamento em relação a uma estratéga numérca de solução. Na Tab. é apresentada a taxa de convergênca numa posção próxma do vértce nferor. Nesta regão a taxa de convergênca do processo de solução é mas lenta em relação as regão central da cavdade. Os maores gradentes que ocorrem próxmo as superfíces

6 sóldas, certamente são os responsáves por este comportamento. Neste caso com 3 termos no truncamento da sére (5.b) confrmam-se 3 dígtos sgnfcatvos numa ordem de grandeza tão pequena como.e-6. A captura do vórtce é dada com pelo menos termos na expansão de autofunções proposta. Um aspecto mportante a ressaltar é que a taxa de convergênca do presente procedmento é nalterada em relação ao procedmento desenvolvdo por Pérez Guerrero e Cotta(99), uma vez que ambos procedmentos de obtenção dos campos transformados apresentam um controle preestabelecdo do erro e uma mesma base de autofunções para a expansão do potencal função corrente. Tabela. Convergênca da função corrente N x, y, x, y,5 x, y,9 3,936E- 7,586559E-3,6985E- 7,83886E- 7,75E-3 3,87E-,959E- 7,6873E-3 3,56E- 5,988E- 7,6779E-3 3,556E- 9,969E- 7,6769E-3 3,7655E- 3,933E- 7,677E-3 3,68E- 7,993E- 7,6778E-3 3,573E- 3,9336E- 7,6778E-3 3,538E- N x,5 y, x,5 y,5 x,5 y,9 3 3,858E-3 5,9963E- 7,E- 7 3,6955E-3 5,897856E- 7,353E- 3,6856E-3 5,8957E- 7,698E- 5 3,68388E-3 5,8957E- 7,6535E- 9 3,686E-3 5,895E- 7,6535E- 3 3,689E-3 5,8956E- 7,655E- 7 3,687E-3 5,895E- 7,6563E- 3 3,686E-3 5,89557E- 7,657E- Tabela. Convergênca da função corrente numa regão de vórtce N x3,333e- y3,3333e- 3,568E-6 7 -,336E-6 -,986E-6 5 -,8E-6 9 -,36E-6 3 -,79E-6 7 -,79E-6 3 -,36E-6

7 A smetra do problema pode ser claramente aprecada no gráfco das solnhas da função corrente (fg.). Nela se mostra a presença de dos vórtces localzados nos vértces nferores da cavdade, de comprmento aproxmado de,8 undades. Sendo que o valor máxmo da função corrente na cavdade é de,8, localzado em y,765 e x,5..9 Y E E-6.5 Fgura. Curvas de nível da função corrente. CONCLUSÕES Uma solução analítca formal para o problema de Stokes, no problema da cavdade com tampa deslzante, tem sdo estabelecda ao se utlzar a Técnca da Transformada Integral Generalzada. A natureza analítca da técnca (GITT) possbltou adotar uma solução va autosstema para o sstema dferencal transformado, possbltando determnar a solução exata do problema bharmônco. A extensão do presente procedmento em outros problemas lneares de natureza elíptca, pode ser adotada sobretudo para obter-se resultados de comparação ( benchmark ). O baxo custo computaconal da presente alternatva sugere que sua aplcação para casos de engenhara é de grande relevânca.

8 REFERÊNCIAS Cotta R.M., 993, Integral transforms n computatonal heat and flud flo, CRC Press, Boca Raton, Fl. Cotta R.M. e M. D. Mkhalov, 997, Heat Conducton, John Wley. Cotta R.M., Edtor, 998, The ntegral transform method n thermal and fluds scence and engneerng, Begell House, Inc. Gaskell, P.H., Savage, M.D., and Thomsom, H.M., 99, Creepng flo: novel analytc and fnte element solutons", Proc.7th Int. Conf. on Numercal Methods n Lamnar and Turbulent Flo, Standford, CA, Pnerdge Press, July, Vol., pp IMSL Lbrary, 995, Fortran Poerstaton Issue, Mcrosoft. Kreyszg E.,993, Advanced Engneerng Mathematcs, John Wley. Pérez Guerrero J.S. e Cotta, R.M., 99, Integral transform method for Naver-Stokes equatons n stream-functon only formulaton, Int. J. Meth. n Fluds, vol. 5, pp Schlchtng H., 968, Boundary Layer Theory, Mc Gra-Hll, NY. Wylle C.R., Barret L.C., 985, Advanced Engnerng Mathematcs, Mc Gra-Hll.

9 ANALYTICAL SOLUTION OF THE LID DRIVEN CAVITY PROBLEM FOR REYNOLDS NUMBER TENDING TOWARDS ZERO SUMMARY. Very slo flo are typcal for case here the vscosty s very hgh. In ths case the asymptotc Reynolds number s zero and the Naver-Stokes equaton are smplfed to lnear form, denomnated n the lterature as Stokes problem. When used the stream-functon only formulaton n a b-dmensonal geometry, the Naver-Stokes equaton turn n the bharmonc problem. The ld drven cavty problem s a common theoretcal test problem for comparson of dfferent numercal methods. In the case of Reynolds number tendng toards zero and rectangular geometry the lterature s poor n analytcal solutons that can be used as benchmark. In the present ork, the Generalsed Integral Transform Technque(GITT), for your nature analytc, transform the partal dfferental equaton n a ordnary dfferental equaton system, hch maybe solved analytcally va egensystem strategy. Formal analytcal soluton and results for the streamfuncton n dfferent postons of the cavty are llustrated. Keyords:Stokes Problem, Integral Transform