ALGORÍTMO FLEXÍVEL PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CONVECÇÃO TÉRMICA VIA TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL

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1 ALGORÍMO FLEXÍVEL PARA SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CONVECÇÃO ÉRMICA VIA RANSFORMAÇÃO INEGRAL Humberto Araujo Machado Unversdade Federal de Uberlânda, Departamento de Engenhara Mecânca Av. João Naves de Ávla, 6, Campus Santa Mônca, bloco M Uberlânda, MG, Brasl Resumo. Neste trabalho, o Método de ransformação Integral Generalzada (GI) é empregado na solução de problemas de convecção térmca com varação das propredades termofíscas do fludo. Isso mplca no aparecmento de dversos termos não-lneares cuja transformação analítca não é obtenível. É apresentado um algorítmo smples que permte obter esses coefcentes numercamente, e que possblta anda uma grande flexbldade na alteração das condções de contorno ou nos termos fonte das equações orgnas. São mostrados resultados para as equações de camada lmte em escoamento compressível num canal de placas planas paralelas e para o clássco problema da cavdade quadrada, consderando todas a propredades termofíscas como funções da temperatura, exceto a densdade. Palavras-chave: ransformação ntegral, Métodos híbrdos, Convecção não-boussnesq, Escoamento compressível, Propredades varáves. INRODUÇÃO A écnca de ransformação Integral Generalzada é um método de solução de equações dferencas parcas de evolução relatvamente recente (Cotta, 99), e tem se mostrado uma alternatva aos métodos puramente dscretos. Seu caráter híbrdo numérco-analítco permte o controle automátco de erro durante a solução das equações, o que evta a necessdade de dversas execuções do códgo computaconal para avalação da convergênca, dspensa a geração de malha e possblta uma fácl extensão à um maor número de dmensões envolvdas no problema. Na GI se alva a necessdade de se encontrar uma transformação ntegral exata do problema. Para sso, escolhe-se um problema de autovalor auxlar o mas representatvo possível do problema orgnal. Os potencas orgnas são representados por um somatóro nfnto de produtos entre as autofunções obtdas a partr do problema auxlar e os potencas transformados. Ao aplcar-se a transformação, obtém-se um sstema dferencal ordnáro acoplado nfnto, que é truncado até uma ordem sufcente para a obtenção da solução dentro da precsão desejada. A solução do sstema é feta através de algorítmos bem estabelecdos,

2 com controle automátco de erro, dsponíves em bblotecas de rotnas centífcas, tas como a DIVPAG (IMSL, 989). A aplcação tradconal do método mplca em um certo esforço analítco, para se obter os coefcentes transformados relatvos aos termos-fonte não lneares. Em geral, nos problemas envolvdos na geração de Benchmars (Cotta,998) esses termos são totalmente transformáves, e sua representação é feta na forma matrcal, envolvendo tantas dmensões quantas vezes aparecerem os potencas orgnas à serem transformados e suas dervadas. Recentemente o método tem sdo empregado com mas freqüênca em problemas relaconados a stuações de engenhara, onde a modelagem envolve o aparecmento de termos complexos que não são transformáves analtcamente. Dessa forma, a transformação ntegral deve ser feta numercamente, a cada passo da solução. O número de coefcentes está dretamente relaconado ao número de autovalores usados para representar o potencal orgnal, sendo que cada coefcente mplca numa ntegração numérca, o que acarreta um custo computaconal probtvo, ndependente do método de ntegração empregado. Além dsso, qualquer mudança nas condções de contorno ou a nclusão de outros termos-fonte nas equações do problema mplca na repetção de todo o esforço analítco despenddo na solução anteror, assm como severas modfcações na arqutetura do programa. Neste trabalho, é apresentado um algorítmo smples de ntegração numérca que contorna esta dfculdade, possbltando modfcar rapdamente as condções de contorno, termos-fonte e outras característcas da formulação do problema e permtndo estender a aplcação da GI a dos problemas não lneares com termos-fonte não transformáves analtcamente. Incalmente, são resolvdas as equações de camada lmte e energa, num escoamento compressível permanente entre duas placas planas vertcas aquecdas. O códgo é valdado comparando-se os resultados àqueles obtdos va GI por Fguera da Slva et al (998), para escoamento ncompressível e para dversas faxas de temperatura. A segur, são resolvdas as equações de Naver-Stoes e energa b-dmensonas em regme transente aplcadas ao clássco problema da cavdade quadrada consderando todas as propredades do fludo como funções da temperatura, exceto a densdade. O códgo é valdado comparando-se os resultados àqueles obtdos por Leal et al (996) va GI, consderando propredades do fludo constantes, para pequenas dferenças de temperatura, e a segur estendendo-se a solução à maores dferenças de temperatura e comparando-se os resultados àqueles obtdos para propredades constantes.. MÉODO DE SOLUÇÃO - ALGORÍMO DE INEGRAÇÃO NUMÉRICA Seja um problema genérco de convecção-dfusão de caráter parabólco: F r F u r = D. F S( x,t r ) t () Para smplfcar, consdere-se o vetor posção uma coordenada espacal undmensonal y cujo domíno seja defndo de a, em que o problema apresente caráter elíptco. Incalmente assoca-se um problema auxlar que reproduza as condções de contorno na dreção y. A solução do problema auxlar fornece as autofunções normalzadas Y (y) analtcamente, o que permte defnr o par transformada-nversa: F ( t ) = Y y )F( t, y )dy ; F ( t, y ) = Y ( y )F t ) (.a-b) =

3 Aplcando-se o operador ntegral Y ( y ) _ dy na equação, e levando em conta a propredade de ortogonaldade das autofunções (Mhalov et al, 984), resulta em um sstema de equações dferencas de ª ordem: t ) = t F F Y y ) u D. F S( x,t ) dy () A ntegração dos termos convectvo e dfusvo (respectvamente o º e º dentro dos colchetes) rá resultar em coefcentes analítcos (desde que o perfl de velocdades seja ntegrável), obtdos a partr da substtução da Eq. (.b) em (). No caso do termo fonte S, se a ntegração analítca não for possível, será necessáro ntegrar numercamente N coefcentes a cada passo da solução (onde N é a ordem de truncamento do sstema). Em cada coefcente, será necessáro avalar a função F e suas dervadas, realzando o somatóro de N termos a cada avalação, acarretando um custo computaconal probtvo. O custo computaconal pode ser grandemente reduzdo através da aplcação do sstema de ntegração aproprado. Consdere-se a função: F = x ) Y y )F( t, y ) dy (4) Segundo a regra da quadratura de Gauss, temos, para uma função genérca: f ( x ) = NF = ( x ) f ( x ) (5) onde é a função peso seleconada, NF é o número de pontos de ntegração e x os pontos de Gauss correspondentes ao NF. Quando aplcados na Eq. (4), temos: Y (6) NF ( y )F( t, y )dy = ( y )Y y )F( t, y ) = onde y = (y )/, dy = dy/ transforma o domíno de (-,) para (,). Através desse procedmento, a função F é avalada nos mesmos pontos de Gauss somente uma vez, ao passo que as autofunções são conhecdas analtcamente. Isso mplca numa redução de custo computaconal de N para N avalações de F, vablzando a solução do problema.. CASO : SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE CAMADA LIMIE EM ESCOAMENO COMPRESSÍVEL Seja o escoamento lamnar bdmensonal em regme permanente de um gás perfeto ao longo de um canal de placas planas paralelas vertcas aquecdas à temperatura constante, com perfs de velocdade e temperatura unformes na entrada do canal, à um baxo número de Mach. Consderando a pressão constante ao longo da coordenada y (normal às paredes), a equação dos gases perfetos (na forma admensonal) é empregada para expressar a densdade em termos da densdade na parede e da temperatura (onde é a temperatura admensonal): ρ r ( x ) R R ρ ( x, y ) = ; r = ; = - o ; r = r ( x, y ) u u o o ; r = (7.a-e) r

4 As equações admensonas em formulação de função corrente são: ψ ψ ψ ψ dρ ρ Gr r ρ Re r ρ dρ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = 4 ψ ψ ψ ψ 4 Re (8) ψ ψ = (9) Pe y= : ψ = ; ψ = ; yy y = y= : ψ = ; ψ y = ; = r / r x= : ψ = y ; = r / r (.a,f) onde a função corrente é defnda em termos dos componentes da velocdade e do volume específco V como v = V ψ / e u = V ψ /. As admensonalzações usadas são baseadas nas grandezas avaladas na seção de entrada do canal e no meo espaço entre as placas, y. Gr = gy /ν é o número de Grashoff modfcado para escoamento compressível. O sstema é completado obtendo-se uma equação para ρ, aplcando-se a Eq. (8) em y = : dρ Gr = Re ρ r r ψ ψ Re r ρ r y= () Para a seleção do problema auxlar aproprado, é empregado um fltro para homogenezar as condções de contorno da função corrente, ψ ( x, y ) = ψ F ( y ) ψ ( x, y ), que corresponde ao perfl de velocdade do escoamento totalmente desenvolvdo. Os problemas auxlares seleconados para a função corrente e temperatura são o problema b-harmônco de 4ª ordem e o problema de Sturm-Louvlle de ª ordem respectvamente, com as condções de contorno apropradas. Uma vez obtdos os autovalores e autofunções, os potencas orgnas são expressos em termos dos potencas transformados: Ψ x ) = Y y ) ψ ( x, y )dy ; ψ ( x, y ) = Y y ) Ψ x ) (.a,b) = x ) = Γ y ) ( x, y )dy ; ( x, y ) = = Γ ( y ) ( x ) (.a,b) O sstema de equações dferencas parcas defndo pelas Eqs. (8,9,) é transformado pela aplcação dos operadores ntegras Y ( y) _ dy na Eq. (8) e y )_ dy Γ ( na Eq. (9), resultando no segunte sstema de equações dferencas ordnáras:

5 NC = dψ A ( x ) N = B d ( x ) = D ( x ) =,,.NC (4.a) NC = dψ A ( x ) N = B d ( x ) = D ( x ) =,,.N (4.b) ψ " ψ ψ ψ A ( x ) Y Y Y Y Y dy y y y y y y = B ψ ψ ψ ( x ) = Y Γ Γ dy y y (4.c) (4.d) D ( x ) = Y ρ Re ψ ψ ψ dρ Y dy y ψ Gr r Y ρ Re r 4 ψ ψ ψ dy 4 Re dy (4.e) Os coefcentes A ( x ), B ( x ) e D ( x ) podem ser obtdos analtcamente a partr das Eqs. (,). As condções ncas são obtdas aplcando-se os operadores ntegras nas respectvas varáves. Os somatóros são truncados num sstema matrcal representado como A ( Y ).dy / = D( Y,x ), onde o vetor Y tem as prmeras NC posções ocupadas por Ψ (=,,..,NC), e as seguntes N posções por (=,,...,N), e a últma por ρ. Asolução é otmzada empregando-se o procedmento adaptatvo para a redução gradatva da ordem de truncamento (Cotta, 99,998). O códgo é valdado comparando-se os resultados obtdos por Fguera da Slva et al (998) para o caso ncompressível com aqueles obtdos para =,5 K para o ar, que segundo Gray e Gorgn (976) encontram-se anda dentro do lmte de valdade da hpótese de Boussnesq. A abela mostra a convergênca dos resultados para o fluxo mássco no centro do canal e temperatura méda da mstura em função das ordens de truncamento das expansões em comparação com os resultados Benchmar obtdos va hpótese de Boussnesq, para Ra = 5, Gr = 76 e Re=86,4, os quas apresentam boa concordânca. abela. emperatura méda da mstura e ψ y em y = ao longo do canal para =,5 K; Comparação entre modelos compressível e hpótese de Boussnesq x \ NC/N 5/5 / 5/5 / Boussnesq emperatura méda da mstura,8,955,9564,956,9566,957,6,864,865,864,864,8648,6,664,666,66,66,664,,697,69,6,64,65,4,5574,5585,5588,559,559,4,564,574,577,579,578,7,48,44,44,44,48,,54,55,55,54,5,6,5,5,5,5,5,,,,,,

6 X \ NC/N 5/5 / 5/5 / Boussnesq ψ y em y=,8 9,945,4,5,5,64,6,8,4,4,44,5,6,5994,647,655,66,686,,56,57,576,58,596,4,965,988,988,989,984,4,767,785,784,785,77,7,86,859,855,858,88,,56,56,55,56,54,6,486,486,486,486,486,,499,499,499,499,499 A Fg. mostra os resultados para dversas dferenças de temperaturas mpostas entre o fludo na entrada do canal e as paredes, onde = K é consderado o lmte teórco prevsto da aproxmação de Boussnesq (Gray et al,976). É possível notar que as quantdades relaconadas ao escoamento mostram uma dscrepânca maor do que os perfs de temperatura. x =. x =. x =.7 x =.7 x =.7 Fluxo mássco x =.4 x =.6 Componente longtudnal da velocdade - u x =.4 x =.6 emperatura x =.4 x =.6. x =.8. x =.8. x = y..5. y..5. y Boussnesq - o =,5 K - o = K - o = K Fgura. Dstrbução dos perfs de fluxo mássco (ψ y ), velocdade e temperatura ao longo do canal para dversas dferenças de temperatura em comparação com a hpótese de Boussnesq 4. CASO : SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DE NAVIER-SOKES E ENERGIA EM UM FLUIDO COM PROPRIEDADES VARIÁVEIS A segur está representada a forma b-dmensonal transente das equações de Naver- Stoes e energa em formulação de função corrente aplcada ao problema da cavdade

7 quadrada com as paredes horzontas soladas, as lateras sob uma dferença de temperatura constante e propredades do fludo varáves, exceto a densdade no termo da força de corpo: ψ ( ψ ) ψ ( ψ ) ( ψ ) = Pr t µ ψ µ ψ µ µ ψ ψ 4 Ra [ 4 µ ψ µ ψ Pr (5) t Cp ψ ψ = ρ (6) x = : = ; ψ = ψ = y, x = : = ; ψ = ψ = y y = : = ; ψ = ψ, y = : = ; ψ = ψ (7.a-h) y y = y y = A função corrente é defnda por v = -ψ x e u = ψ y eas condções ncas são (x,y,) = e ψ (x,y,) =. As admensonalzações empregadas foram baseadas em grandezas estmadas à temperatura ncal e na dmensão da cavdade. As condções de contorno da temperatura são homogenezadas através do fltro (x,y,t) = (x,y,t) F (x), onde F (x) = x. Os problemas auxlares seleconados são dêntcos aos aplcados às equações de camada lmte, adaptados às novas condções de contorno e aplcados às dreções x e y, que resultam nos pares transformada-nversa: Ψ = ( t ) Y ( y ) X x ) ψ( x, y,t ) dy ; l l ψ ( x,y,t ) = Y ( y ) X x ) Ψ l l l= = pr( t ) = Γr( y ) φp( x ) ( x,y,t ) dy ; ( x,y,t ) = r( y ) φ p( x ) pr r= p= Γ ( t ) (8) Uma vez aplcados os operadores ntegras, obtém-se o sstema dferencal transformado: (t ) j= m= E jlm dψ jm dt ( t ) = F ( t ) l d pr( t ) ; = G pr( t ) dt (9.a,b) ( ) ( ) X ~ x )Y ~ ψ ψ ψ ψ 4 µ ψ F ( t ) = ( y ) Pr µ ψ l l (9.c) µ ψ µ ψ µ µ ψ ψ 4 Ra Pr dy G pr ( t ) = ~ ~ ψ φ p( x ) r( y ) ψ ρ Cp dy (9.d) onde o coefcente E jlm é obtdo analtcamente. O problema bdmensonal é otmzado através do procedmento adaptatvo assocado à redução de índces e seleção de autovalores utlzada por Leal et al (999).

8 As propredades como funções da temperatura foram as sugerdas por Zhong et al (985): 7,5 µ ( ) = 4,58x /,4 ; ( ) Cp( ) = 9898,4,6,5x,5 =,648x / 45,4 x ( / ) ; (.a-c) O algorítmo de ntegração fo testado comparando-se os resultados com aqueles obtdos através da rotna DWODQ (IMSL, 989), também baseada na Quadratura de Gauss, que permte o controle automátco de erro. O caso teste fo Ra = 4, com << (dentro do lmte de Boussnesq). O sstema fo resolvdo para baxa precsão ( - na DIVPAG e -4 na DWODQ), com termos em cada expansão para t =,. A abela mostra os resultados em função do número de pontos de Gauss usados no algorítmo flexível. Fo observada uma redução no tempo de CPU da ordem de vezes. abela Convergênca das expansões em função do número de pontos de Gauss usados, para Ra = 4, erro relatvo de -, t=,, NV=N=. x y NF=5 NF= NF=5 NF= NF=5 NF= DWODQ Função corrente,, -,9544 -,8 -,6 -,69 -,69 -,69 -,69,,5 -,9 -,96 -,968 -,9675 -,9675 -,9675 -,9675,,9 -, ,4 -,58 -,56 -,56 -,56 -,56,5,,685 -,77 -,467 -,4684 -,4684 -,4684 -,4684,5,5,5 -,854 -,768 -, , , ,76885,5,9,955 -,94 -,568 -,574 -,574 -,574 -,574,9,,44 -,7 -,79 -,87 -,87 -,87 -,87,9,5, ,5889 -,57 -,594 -,599 -,599 -,599,9,9,594 -,74 -,59 -,6 -,6 -,6 -,6 emperatura,,,66,46,48,48,48,48,48,,5,8556,4769,4767,4766,4766,4766,4766,,9,865,56,597,596,596,596,596,5, -,4,864,76,68,68,68,68,5,5,555,4,7,7,7,7,7,5,9,84,56 -,8 -,7 -,7 -,7 -,7,9,,9 -,9,8,9,9,9,9,9,5,9 -,57 -,6 -,8 -,8 -,8 -,8,9,9,47 -,8,4,,,, CPU (s) 46,79 49,7 68,6 48,7 77, 75,7 9778, O lmte de aplcabldade da aproxmação de Boussnesq, sugerdo pelo mesmo autor é dado por =,44 Ra,4, onde = ( h c )/ c. O fludo usado fo ar, com Pr =,7, e três números de Raylegh foram testados: Ra =, 4 e 5. Os valores de usados para cada Ra são,7,,88,,4 (respectvamente), que correspondem aos lmtes teórcos prevstos pela fórmula anteror,, (baxo )para todos os casos e,5 (Ra = e 4 ) e,8 (Ra = 4 ) nos casos fora do lmte teórco ctado. Os casos foram rodados para uma tolerânca de -4, termos em cada expansão e NF = 4. Na Fg. observam-se os resultados dos perfs de temperatura em y =,5 e Nu local na parede quente para cada Ra. Em =,, os resultados pratcamente correspondem àqueles predtos pela hpótese de Boussnesq, obtdos por Leal et al (999) va GI. À medda que aumenta, é observado um deslocamento nas curvas da temperatura. No caso do número de Nusselt, observa-se uma varação de maor ordem e uma mudança aprecável na forma dos perfs. odos os casos foram executados num computador PC Pentum 66 MHz, em lnguagem FORRAN.

9 t =. =. =.7 =.5 t =. Y =. =.7 =.5... t =.. t =. t =... t = x. (a) Nu hot..9.8 =. = t =. t =. t =..7 = Y t =. t =. t = =. =.88 = x..9 =..8 =.4.7 =.8 (b) Nu hot t =.5 t = Y.5.4. t =.. t =.5. t = x (c) t =. =. =.4 = Nu hot Fgura Comparação do perfl de temperatura em y =,5 e número de Nusselt local ao longo da parede quente da cavdade em dferentes tempos para propredades constantes e varáves. (a) Ra =, (b) Ra = 4 e (c) Ra = 5.

10 5. CONCLUSÃO Neste trabalho, fo proposto um algorítmo smples de ntegração numérca de coefcentes aplcado à GI, que permte a solução de problemas de convecção-dfusão em cuja formulação se encontram termos não transformáves analtcamente, assm como uma enorme flexbldade na alteração de parâmetros da formulação do problema. Foram testadas as soluções das equações de camada lmte no escoamento compressível a baxo número de Mach num canal vertcal com paredes aquecdas e do clássco problema da cavdade quadrada com uma dferença de temperaturas constante mposta entre as paredes vertcas, consderando todas as propredades do fludo varáves. Em ambos os casos, o programa fo valdado va comparação com resultados prevstos pela hpótese de Boussnesq em stuações menos crítcas. O algorítmo vablzou as soluções, e foram obtdos tempos de processamento até vezes menores, em comparação com o processo convenconal de aplcação da GI. REFERÊNCIAS Cotta, R. M., 99, Integral ransforms n Computatonal Heat and Flud Flo, CRC Press, Boca Raton, Florda. Cotta, R. M., 998, the Integral ransform method n thermal and Fluds Scence and Engneerng, Begell House, Ne Yor. Fguera da slva, E., Cotta, R. M., 998, Mxed Convecton Wthn Vertcal Parallel-Plates: - Hybrd Soluton by Integral ransforms, Numercal Heat ransfer, part B-Fundamentals, em mpressão. Gray, D. D., Gorgn, A., 976, he Valdty of he Boussnesq Approxmaton for Lquds and Gases, Int. J. Heat Mass ransfer, vol. 9, pp IMSL Lbrary, 989, MAH/LIB., Houston, exas. Leal, M. A., Pérez Guerrero, J. S. e Cotta, R. M., 999, Natural Convecton Insde o- Dmensonal Cavtes: - he Integral ransform Method, Comm. Num. Meth. Eng., vol. 5. Mhalov, M. D., Özs, M. N., 984, Unfed Analyss and Solutons of Heat and Mass Dffuson, Jhon Wley, Ne Yor. Zhong, Z. Y., Yang, K.. e Lloyd, J. R., 985, Varable Property Effects n Lmnar Natural convecton n a Square Enclosure, J. Heat ransfer, vol. 7, pp. -8. A FLEXIBLE ALGORIHM FOR HERMAL CONVECION PROBLEMS VIA INEGRAL RANSFORMS Abstract. he Generalzed Integral ransform echnque (GI) s employed to solve convecton-dffuson problems n fluds th varable physcal propertes. In ths case, some strong non-lnear terms are observed n the formulaton, here the analytcal transform s not possble. A smple algorthm s presented, hch allos to obtan the coeffcents numercally and permts a great flexblty n changng boundary condtons and source terms of the orgnal equatons. Results for the compressble boundary layer equatons n a parallel plate channel flo and for the classcal ld-drven flo n a square cavty th all the propertes as functons of the temperature (except the densty) are shon. Key-ords: Integral transforms, Hybrd methods, Non-Boussnesq convecton, Compressble flo, Varable propertes