SOLUÇÕES HÍBRIDAS PARA ESCOAMENTOS E TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CAVIDADES CILÍNDRICAS COM EXTREMIDADES ROTATIVAS. Carlos Célio Sousa da Cruz

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1 SOLUÇÕES HÍBRIDAS PARA ESCOAMENTOS E TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CAVIDADES CILÍNDRICAS COM EXTREMIDADES ROTATIVAS Carlos Célo Sousa da Cruz Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenhara de Recursos Naturas da Amazôna, do Insttuto Tecnológco, da Unversdade Federal do Pará, como parte dos requstos necessáros à obtenção do título de Doutor em Engenhara de Recursos Naturas. Orentador: João Nazareno Nonato Quaresma Belém Dezembro de 015

2 SOLUÇÕES HÍBRIDAS PARA ESCOAMENTOS E TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CAVIDADES CILÍNDRICAS COM EXTREMIDADES ROTATIVAS Carlos Célo Sousa da Cruz TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO PROGRAMA DE PÓS- GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE RECURSOS NATURAIS DA AMAZÔNIA (PRODERNA/ITEC) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM ENGENHARIA DE RECURSOS NATURAIS. Aprovada por: Prof. João Nazareno Nonato Quaresma, D.Sc (FEQ/UFPA-Orentador) Prof. Emanuel Negrão Macêdo, D.Sc (FEQ/UFPA-Membro) Prof. Cláudo José Cavalcante Blanco, Ph.D. (FAESA/UFPA-Membro) Prof a Roseane de Lma Slva, D.Sc. (FEMAT/UFPA-Membro) Prof. Luz Marano Perera, D.Sc. (CENMEC/UNIVASF-Membro) BELÉM, PA - BRASIL DEZEMBRO DE 015

3 Dados Internaconas de Catalogação na Publcação (CIP) Insttuto de Tecnologa/Programa de Pós-graduação em Engenhara de Recursos Naturas da Amazôna Cruz, Carlos Célo Sousa da Cruz Soluções híbrdas para escoamentos e transferênca de calor em cavdades clíndrcas com extremdades rotatvas/carlos Célo Sousa da Cruz; orentadores, João Nazareno Nonato Quaresma. - Belém, 015 Tese (Doutorado) Unversdade Federal do Pará. Insttuto de Tecnologa. Programa de Pós-graduação em Engenhara de Recursos Naturas da Amazôna, Método Híbrdo. Escoamento Gratóro 3. Cavdade Clíndrca 4. DBVPFD I. Título CDD. ed

4 DEDICATÓRIA Dedco este trabalho a Deus em prmero lugar por me fortalecer nos momentos mas dfíces de mnha vda, por me conceder saúde e aptdão ao conhecmento. Aos meus pas Céla Sousa da Cruz e Antono Carlos Mendonça da Cruz, pelo amor, carnho e por terem passado os valores que acredto possur. Ao meu rmão Carlos Antono e a mnha falecda avó Aldenora Cruz, pelo carnho e apoo durante a convvênca. Aos meus orentadores, Prof. João Nazareno e Prof. Emanuel Negrão, pela orentação rretocável, ncentvo, confança e amzade. À Flava Araújo, mnha namorada, pela ajuda, carnho, dedcação a mm e prncpalmente por aguentar meus momentos de ansedade e stresses nos meses em que me dedque ao doutorado. Aos colegas do Laboratóro de Smulação de Processos (LSP), Nelson Amorm, Sl, Edlson, Kleber, Clauderno, Wanderson e Bruno pela convvênca. Aos colegas da UFOPA, Unversdade Federal do Oeste do Pará, pela amzade e colaboração. Dedco. v

5 AGRADECIMENTOS Ao Prof. João Nazareno Nonato Quaresma pelos ensnamentos que a mm foram dados para com este trabalho, e por sua dedcação ao me orentar mas uma vez nessa outra etapa acadêmca. Ao CNPQ pelo ncentvo fnancero. Aos amgos do Laboratóro de Smulação de Processos LSP da FEQ/ITEC-UFPA por terem estado presentes nos momentos alegres e dfíces no decorrer do meu doutorado. v

6 Resumo da Tese apresentada ao PRODERNA/UFPA como parte dos requstos necessáros para a obtenção do grau de Doutor em Engenhara de Recursos Naturas (D.Eng.) SOLUÇÕES HÍBRIDAS PARA ESCOAMENTOS E TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM CAVIDADES CILÍNDRICAS COM EXTREMIDADES ROTATIVAS Carlos Célo Sousa da Cruz Dezembro/015 Orentador: João Nazareno Nonato Quaresma Área de Concentração: Uso e Transformação de Recursos Naturas O presente trabalho utlza-se o método híbrdo numérco-analítco para avalar a transferênca de calor do escoamento gratóro em cavdades clíndrcas com extremdades rotatvas. A Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) fo utlzada para a solução das equações de Naver-Stokes em termos de função corrente e de energa bdmensonas no sstema de coordenadas clíndrcas, onde a aproxmação de Boussnesq fo utlzada para a força de empuxo. Resultados para os campos de velocdade e de temperatura foram calculados para faxas de parâmetros: números de Reynolds (Re), 100 Re 000; número de Rchardson (R), 0 R 1; e o número de Prandt(Pr), Pr = 1,0. O parâmetro de contra rotação da velocdade angular do topo (st) é na faxa de -1 st 1 e váras razões de aspecto da cavdade. A parte numérca da solução fo resolvda utlzando-se a subrotna DBVPFD da bbloteca IMSL e os resultados gerados são comparados com os dados dsponíves na lteratura apresentando uma excelente concordânca. v

7 Abstract of Thess presented to PRODERNA/UFPA as a partal fulfllment of the requrements for the degree of Doctor of Natural Resources Engneerng (D.Eng.) HYBRID SOLUTIONS FOR FLOW AND HEAT TRANSFER IN CYLINDRICAL CAVITIES WITH ROTATING ENDS Carlos Célo Sousa da Cruz December/015 Advsor: João Nazareno Nonato Quaresma Research Area: Use and Transformaton of Natural Resources The present study evaluate numercally the heat transfer from the swrlng flow cylndrcal cavty wth rotatng ends. The generalzed ntegral transform technque (GITT) was used for the soluton of the two-dmensonal Naver-Stokes equatons n terms of streamfuncton formulaton and energy n the cylndrcal coordnate system, n whch the Boussnesq approxmaton was used for the buoyancy force. Results for the temperature and velocty felds are presented for a range of parameters: the Reynolds number (Re), 100 Re 000; the Rchardson number (R), 0 R 1; and the Prandt number (Pr), Pr = 1,0. The parameter counter rotaton of the angular velocty of the top dsk s, st, -1 st 1 and varous aspect rato of the cavty. The numercal part of the soluton was solved usng the DBVPFD subroutne IMSL lbrary and the results generated are compared wth data avalable n the lterature showng excellent agreement. v

8 SUMÁRIO CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS SÍNTESE DO TRABALHO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA... 1 CAPÍTULO ESCOAMENTO EM CAVIDADES CILÍNDRICAS COM AS EXTREMIDADES EM ROTAÇÃO INTRODUÇÃO FORMULAÇÀO DO PROBLEMA Descrção do Problema Físco Formulação Matemátca do Problema METODOLOGIA DE SOLUÇÃO Determnação dos Problemas Auxlares Determnação dos Pares Transformada-Inversa Transformação Integral do Sstema de EDPs Algortmo Computaconal Cálculos dos Campos de Velocdade RESULTADOS E DISCUSSÃO Comparação das velocdades máxmas e localzação e análse de convergênca Isolnhas de Função Corrente do topo rotatvo, co e contra rotação da extremdade nferor Topo rotatvo Co e contra rotação da extremdade nferor Perfl de velocdade Conclusão CAPÍTULO 3 CONVECÇÃO EM CAVIDADES CILÍNDRICAS COM CO- /CONTRA ROTAÇÃO DAS EXTREMIDADES INTRODUÇÃO FORMULAÇÀO DO PROBLEMA v

9 3..1 Descrção do Problema Físco Formulação Matemátca do Problema METODOLOGIA DE SOLUÇÃO Determnação dos Problemas Auxlares Determnação dos Pares Transformada-Inversa Transformação Integral do Sstema de EDPs Algortmo Computaconal Cálculos dos Campos de Velocdade Cálculo do Número de Nusselt RESULTADOS E DISCUSSÃO Análse de convergênca e valdação dos resultados Isolnhas de Função Corrente e temperatura Perfl de velocdades e temperatura Número de Nusselt Local Conclusão CAPÍTULO 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS CONCLUSÕES GERAIS SUGESTÔES REFERÊNCIAS x

10 LISTA DE FIGURAS Fgura 1.1 Regões da quebra de vórtce no problema de escoamento na cavdade clíndrca com a tampa superor em rotação sobre o espaço paramétrco da razão de aspecto e numero de Reynolds. ESCUDIER (1984)... 4 Fgura.1 Geometra do problema de escoamento em cavdade clíndrca com as extremdades em rotação. Fgura desenhada pelo autor a partr de nformações da obra de FUJIMURA et al. (005) Fgura. Isolnhas de função corrente: (a) Re = 000 e h = 1,0; (b) Re = 990 e h = 1,5; (c) Re = 190 e h = 1,5; (d) Re = 1010 e h =,5; 34 Fgura.3 Isolnhas de função corrente: (a) Re = 1854 e h =,0; (b) Re = 819 e h = 3,5; (c) Re = 3061 e h = 3,5; Fgura.4 Isolnhas de função corrente da co-rotação: (a) Re = 000 e h = 1,0; (b) Re = 990 e h = 1,5; (c) Re = 819 e h = 3,5; Fgura.5 Isolnhas de função corrente da contra-rotação: (a) Re = 000 e h = 1,0; (b) Re = 990 e h = 1,5; (c) Re = 819 e h = 3, Fgura.6 Perfl das componentes de velocdade axal em r = 0,0. (a) Re = 990 e h = 1,5; (b) Re = 190 e h = 1,5; (c) Re = 1010 e h =, Fgura.7 Perfl das componentes de velocdade radal em varas posções. (a) Re = 990 e A = 1,5, (b) Re = 190 e A = 1,5, (c) Re = 1010 e A =, Fgura 3.1 Geometra do problema de convecção em cavdade clndrca com as extremdades em rotação. Fgura desenhada pelo autor a partr de nformações da obra de OMI e IWATSU (005) Fgura 3..a Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 0 e st = -1; (a) função corrente; (b) sotermas Fgura 3..b Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 0 e st = 0; (a) função corrente; (b) sotermas Fgura 3..c Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 0 e st = 0,1; (a) função corrente; (b) sotermas Fgura 3..d Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 0 e st = - 0,1; (a) função corrente; (b) sotermas x

11 Fgura 3..e Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 0 e st = 1; (a) função corrente; (b) sotermas Fgura 3.3.a Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 1 e st = -1; (a) função corrente; (b) sotermas Fgura 3.3.b Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 1 e st = 0; (a) função corrente; (b) sotermas Fgura 3.3.c Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 1 e st = 0,1; (a) função corrente; (b) sotermas Fgura 3.3.d Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 1 e st = - 0,1; (a) função corrente; (b) sotermas Fgura 3.3.e Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 1 e st = 1; (a) função corrente; (b) sotermas Fgura 3.4.a Perfl da componente radal de velocdade ao longo do plano vertcal a r = 0,8 e Re = 1000 a valores de R = 0 e Fgura 3.4.b Perfl da componente axal de velocdade ao longo do plano vertcal a r = 0,8 e Re = 1000 a valores de R = 0 e Fgura 3.4.c Perfl de temperatura ao longo do plano vertcal a r = 0,8 e Re = 1000 a valores de R = 0 e Fgura 3.5.a Número de Nusselt local na base (z = 0) do clndro. Re = 1000, e R = 1;Pr = 1 e h =, Fgura 3.5.b Número de Nusselt local no topo (z = h) do clndro. Re = 1000, e R = 1;Pr = 1 e h =, x

12 LISTA DE TABELAS Tabela.1 Comparações das velocdades máxmas axas para Re = 990,1010 e 190, em r = 0, Tabela. Convergênca velocdade axal, função corrente, velocdade radal e tangencal nas posções radas em r = 0,0 e 0,1, para h = 1,0 e Re = Tabela.3 Convergênca velocdade axal, função corrente, velocdade radal e tangencal nas posções radas em r = 0,0 e 0,1, para h = 3,5 e Re = Tabela 3.1 Convergênca da velocdade axal para h =, Re = 100 e 000, Pr = 1,0, à dferentes números de Rchardson e varas posções axas em r = 0, Tabela 3. Convergênca da velocdade radal para h =, Re = 100 e 000, Pr = 1,0, à dferentes números de Rchardson e varas posções axas em r = 0, Tabela 3.3 Convergênca da velocdade tangencal para h =, Re = 100 e 000, Pr = 1,0, à dferentes números de Rchardson e varas posções axas em r = 0, Tabela 3.4 Convergênca para os números de Nusselt médo h = e Pr = 1,0, à dferentes números de Rchardson e Reynolds x

13 NOMENCLATURA f,g,h, g Condções ncas transformadas Vetor aceleração da gravdade H L M NF NT NV N P Pr Re R R Altura do clndro Integral de normalzação, eqs. (.11.f) e (3.11.f) Integral de normalzação, eqs. (.1.d) e (3.1.d) Número de termos na expansão para a função corrente Número de termos na expansão para a temperatura Número de termos na expansão para a velocdade tangencal Integral de normalzação, eq.(3.13.d) Pressão Número de Prandtl Número de Reynolds Número de Rchardson Rao da cavdade r, z Coordenadas espacas admensonas s b s t T T To v z v r v v X Parâmetro de rotação da base Parâmetro de rotação do topo Temperatura admensonal Potencal de temperatura transformado Temperatura de referênca Componente axal da velocdade Componente radal da velocdade Componente tangencal da velocdade do problema de escoamento Componente tangencal da velocdade do problema de convecção Autofunção para a função corrente LETRAS GREGAS Autovalor, eqs (.11.f) e (3.11.h) Coefcente de expansão térmca Autovalor, eqs (.11.f) e (3.11.h) Autovalor, eq (3.13.f) Autofunção para a velocdade tangencal x

14 b t Autofunção para a temperatura Densdade do fludo Velocdade angular da base rotatva Velocdade angular do topo rotatvo Coefcente de expansão térmca T Dferença de temperatura entre os dscos do topo e da base k Coefcente de dfusão térmca Vscosdade cnemátca Coordenada espacal admensonal do problema de escoamento Coordenada espacal admensonal do problema de convecção Função corrente Potencal de função corrente transformado xv

15 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO O presente capítulo estabelece as motvações, referencas bblográfcos e os prncpas objetvos lgados ao estudo do escoamento com transferênca de calor em cavdades clíndrcas com ambas as extremdades em rotação, pela aplcação da Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) na solução das equações de Naver- Stokes e energa, em regme permanente, com formulação em função corrente. 1.1 MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS O estudo de problemas envolvendo o escoamento de fludos e transferênca de calor sempre motvou os pesqusadores em dversas áreas da engenhara devdo a grandes aplcações ndustras, tas como: trocadores de calor, resframento de reatores nucleares e entre outros. Mutos desses problemas, envolve a modelagem matemátca das equações (Naver-Stokes e energa) que não apresentam soluções analítcas devdo a sua natureza não-lnear, presente nos termos convectvos. A necessdade de se obter soluções em casos onde o problema não poda ser smplfcado fez com que fossem desenvolvdos e adaptados métodos numércos que permtssem resolver estas equações, com maor ou menor efcênca e precsão, ao longo dos últmos anos, em paralelo com a evolução de computadores com processadores mas velozes. Atualmente, os métodos numércos mas utlzados na solução de escoamentos desta natureza são: métodos dos elementos fntos e dferenças fntas. A partr da década de 80, surgu uma metodologa alternatva analítco-numérca (híbrda) que soluconou dversos problemas de característcas convectvo-dfusvas, tas como, na publcação de COTTA (1993) e que apresentaram como vantagem uma excelente precsão. A tese aqu apresentada consste em se utlzar a GITT para resolver as equações de Naver-stokes e de energa, envolvendo os fenômenos de convecção natural em cavdade clíndrca com extremdades rotatvas. 1

16 O presente trabalho objetva também avalar o potencal da GITT, na solução do escoamento gratóro e a transferênca de calor em uma cavdade clíndrca com as extremdades nferor e superor em rotação. A solução do problema é representada pelas equações de Naver-stokes e energa em um sstema de coordenadas clíndrcas e formuladas em termos de função corrente. Resultados para os campos de velocdade e temperatura são apresentados, varando-se os parâmetros como: número de Reynolds, número de Rchardson, razões de aspecto e parâmetros de rotação, à dferentes posções axas e radas. Deste modo, vsando a covaldação do método para stuações descrtas no sstema de coordenadas clíndrcas, são realzadas comparações com os resultados semelhantes aos deste trabalho, presentes nas lteraturas SÍNTESE DO TRABALHO O capítulo ntrodutóro apresenta as motvações, objetvos e as contrbuções do presente trabalho. É feto também uma revsão bblográfca sobre a mportânca do escoamento rotatvo em cavdades clíndrcas, o qual é um assunto de nteresse nos campos da engenhara, de projetos e de pesqusa. O Capítulo aborda a modelagem matemátca do problema do escoamento rotatvo de fludos em cavdades clíndrcas onde se apresentam as hpóteses adotadas, a metodologa de solução, os resultados alcançados e dscussões e fnalmente as conclusões nerentes ao problema em escoamentos rotatvos. O estudo desenvolvdo nesse capítulo teve a fnaldade de nvestgar a capacdade da GITT na solução do problema, como o proposto no referdo capítulo. O Capítulo 3 aborda a modelagem matemátca do problema de escoamento de fludos e transferênca de calor em cavdades clíndrcas com as extremdades nferor e superor rotatvas, onde também se apresentam as hpóteses adotadas e a metodologa de solução, os resultados alcançados e dscussões e fnalmente as conclusões nerentes a este problema. Este estudo teve como objetvo nvestgar a capacdade da técnca GITT na solução do problema de escoamentos gratóros com extremdades rotatvas como proposto no referdo capítulo. Fnalmente, no Capítulo 4 é apresentado as conclusões geras do trabalho desenvolvdo e as sugestões das prncpas atvdades que podem ser realzadas em trabalhos futuros.

17 1.3 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Escoamentos rotatvos são observados em escoamentos naturas, como em tornados e tufões, e tem sdo amplamente utlzados, por mutos anos, em aplcações técncas como aeronáutcas, por exemplo. Sua mportânca e complexdade tem preocupado as pesqusas por décadas. Também, o processo de convecção em cavdades clíndrcas vertcas fo amplamente estudada tanto expermentalmente quanto numercamente nos campos das pesqusas. Nesse contexto, mutos autores preocuparam-se em estudar o problema como PAO (1970) que realzou uma análse numérca e expermental de um fludo vscoso e ncompressível em uma cavdade clíndrca crcular fechada. O topo e as paredes lateras estavam em rotação com uma velocdade angular constante e a base mantda fxa. Para números pequenos e moderados números de Reynolds, a convergênca da teração fo bastante rápda. Quando se aumentou o número de Reynolds, o escoamento na camada lmte e um núcleo vscoso foram ntensfcadas. Os resultados das soluções numércas apresentaram ótma concordâncas com as soluções analítcas para pequenos números de Reynolds. Novamente PAO (197) avalou numercamente o fludo vscoso ncompressível confnado em uma cavdade clíndrca crcular fechada com o topo do dsco rotaconando à uma velocdade angular constante com a base e as paredes lateras mantdas fxa. Foram realzados cálculos para város números de Reynolds até o valor máxmo de Re = 400. Fo observado que para Re > 10 as equações governantes são precsamente lneares e os valores numércos concordam muto bem com os resultados analítcos. Para números maores de Reynolds, o escoamento próxmos dos contornos são ntensfcados. A vazão volumétrca do escoamento secundáro devdo à ação centrífuga e o atrto do dsco também foram calculados. HALL (197) relatou város trabalhos numércos e expermentas, que foram observados por outros autores, com o objetvo de contrbur para o entendmento das característcas físcas das quebras de vórtces nas últmas décadas. LEIBOVICH (1978) descreveu uma quebra de vórtce como uma mudança na estrutura de vórtce ncado pela varação na característca da razão das componentes das velocdades tangencal e axal. O presente trabalho aproxma-se do ESCUDIER (1984) que observou o fenômeno das quebras de vórtces em escoamentos gratóros em uma cavdade 3

18 clíndrca com uma extremdade nferor em rotação utlzando a técnca de fluorescênca nduzda à laser. No expermento verfcou-se a regão de uma, duas e três bolhas de quebra de vórtce à partr de um determnado números de Reynolds e razão de aspecto da cavdade. A Fgura 1.1 mostra o gráfco com os lmtes de establdade e a quantdade de vortex breakdown axssmétrco para dferentes razões H/R e números de Reynolds. Fgura 1.1 Regões da quebra de vórtce no problema de escoamento na cavdade clíndrca com a tampa superor em rotação sobre o espaço paramétrco da razão de aspecto e número de Reynolds. ESCUDIER (1984). Anda ESCUDIER (1988) preparou uma revsão das pesqusas sobre a quebra de vórtce para encontrar a partr de níves de correntes o entendmento ou desconhecmento, tendo em vstas as evdêncas expermentas realzadas e outras propostas teórcas avalados nos últmos anos. LOPEZ (1990) comparou expermentalmente e numercamente as ocorrêncas de quebras de vórtces em um escoamento gratóro e lamnar produzdos por uma extremdade rotatva. As vsualzações expermentas de ESCUDIER (1984), que detectou a presença de múltplas zonas de recrculação, foram comparadas por um modelo numérco. O modelo resolveu as equações de Naver-Stokes completas e permanentes reproduzndo com exatdão os fenômenos e as outras característcas observadas no escoamento em questão. Neste contexto um estudo expermental fo conduzdo por SPOHN et al. (1993) que utlzou uma técnca de fluorescênca nduzda à laser para vsualzar o escoamento permanente conduzdo por uma base rotatva em uma cavdade clíndrca aberta. O 4

19 comportamento do escoamento e as condções de quebra de vórtce foram estudados como função da razão de aspecto da cavdade (H/R) e o número de Reynolds (Re = ΩR²/ν). Fo observado que quando se aumenta o número de Reynolds as quebras de vórtce são dreconadas para a superfíce lvre da cavdade aumentando o seu dâmetro. SIGINER e KNIGHT (1993) realzaram um procedmento numérco para analsar o escoamento em superfíces lvres em um clndro com rotação permanente na base nferor. Os campos de velocdades foram consttuídos das superposções dos campos azmutas e merdonas. O campo merdonal fo resolvdo ambos por séres bortogonas e um algortmo numérco. Concluíram que a razão de aspecto do clndro pode gerar uma estrutura de múltplas células no plano merdonal que por sua vez acomoda na superfíce lvre. Anda este ano TSITVERBLIT (1993) utlzou um método numérco para resolver as equações axssmétrcas e permanentes de Naver-Stokes para o escoamento em uma cavdade clíndrca com rotação em umas das extremdades. Os resultados foram encontrados por estar em boa concordânca com os trabalhos expermentas e numércos anterores sobre uma gama de parâmetros dentro dos quas exstem quebras permanentes, a forma da quebra e os parâmetros geométrcos das bolhas. DELERY (1994) revsou alguns resultados obtdos por estes estudos com cavdades clíndrcas relatando as quebras de vórtces. Relatou que as teoras mas populares para a quebra de vórtce pertencem a quatro classes prncpas: uma aproxmação quase-clíndrca e analoga da camada lmte, soluções das equações axssmétrcas de Naver-Stokes, o conceto de estado crítco e nstabldade hdrodnâmca. Utlzou uma smulação numérca dreta dos problemas que também foram desenvolvdos e os resultados obtdos estão em boa concordânca com as observações expermentas. SORENSEN e CHRISTENSEN (1995) estudaram o problema, em um cenáro de transção do escoamento, de um fludo em um clndro fechado com rotação em uma das extremdades. As equações de Naver-Stokes axssmétrcas foram resolvdas pelo método de dferenças fntas e valdadas por resultados expermentas nos escoamentos transentes e permanentes. Um estudo numérco do escoamento trdmensonal em uma cavdade cúbca com estratfcação vertcal de temperatura fo apresentado por IWATSU e HYUN (1995). O escoamento fo dreconado pela tampa da cavdade que deslzava no seu própro plano a uma velocdade constante. O topo fo mantdo a uma alta temperatura 5

20 em relação à base. Soluções numércas foram obtdas em uma faxa de parâmetros de: 100 Re 000, 0 R 10 e Pr = 1, onde o parâmetro da convecção msta seja R = Gr/Re². Quando R < 1 o efeto do gradente vertcal de temperatura fo menor. Quando R > 1 o movmento do fludo exbu vertcalmente camadas de estruturas de vórtces. WATSON e NEITZEL (1996) utlzaram expermentações numércas para examnar o aparecmento de quebras de vórtce axssmétrcas em um ambente confnado e clíndrco. Concluíram que as quebras de vórtces foram causadas pelo desenvolvmento de um componente azmutal negatvo da vortcdade que se ncou pela dvergênca das superfíces do escoamento. Na análse expermental ESCUDIER e CULLEN (1996) aplcaram a técnca de vsualzação de fluxo por fluorescênca à laser-nduzdo para avalar os padrões de fluxo produzdos pela rotação de uma extremdade de um clndro crcular completamente preenchdo com um líqudo pseudoplástco vscoelástco. Foram observados que a estrutura dupla do vórtce é dferente daqueles observados em líqudos newtonanos ou pseudoplástco e/ou escoamentos com baxos números de Reynolds de líqudos vscoelástco. KIM e HYUN (1997) estudaram numercamente a transferênca de calor em um clndro com rotação da tampa com estratfcação estável. O fluxo é gerado pelo dsco do topo do clndro que rotacona constantemente enquanto que os outros contornos do sóldo permanecem estáves. Fo adotada uma metodologa numérca baseada no algortmo SIMPLER juntamente com o esquema QUICK. Os resultados das soluções numércas presentes foram sujetos à verfcação expermental. INAMURO et al. (1997) estudaram numercamente o escoamento de um fludo em um clndro rotatvo com um dsco rotaconando co-axalmente na superfíce do fludo. Neste trabalho as equações axssmétrca de Naver-Stokes foram resolvdas pelo método de volumes fntos para avalar as magntudes e dreções do dsco e as rotações do clndro. Os resultados numércos foram comparados com os dados expermentas publcados na lteratura. BHATTACHARYYA e PAL (1998) analsaram numercamente o escoamento gratóro e lamnar dentro de uma cavdade clíndrca com co-rotação das extremdades da base e do topo. As equações permanentes de Naver-Stokes foram resolvdas para dferentes valores da razão de aspecto da cavdade, razão de rotação topo-base e números de Reynolds. Os resultados numércos mostraram que as quebras de vórtce 6

21 surgem próxmas dos exos de rotação do clndro e que seus tamanhos só aumentam com o acréscmo do número de Reynolds. No contexto mas teórco SHTERN e HUSSAIN (1999) apresentaram uma revsão das característcas marcantes dos escoamentos rotatvos como: colapso, geração de turblhões, quebra dos vórtces e hstereses com os mecansmos envolvdos a partr do auxílo das soluções de smlardade côncas das equações de Naver-Stokes. Mutos fenômenos decorrentes deste tpo de escoamento foram tratados no estudo como por exemplos: o fluxo em uma asa do tpo delta que corresponde como colapso e as nstabldades dvergentes que explca os efetos da dvsão de um tornado. Um estudo computaconal para o escoamento de um fludo de densdade estratfcada em um clndro vertcal com uma tampa rotaconal no topo fo conduzdo por LEE e HYUN (1999). Consderou-se no estudo os efetos dos números de Prandtl, números de Reynolds rotaconas e razão de aspecto do clndro. Verfcaram que para as confgurações gravtaconalmente estáves e nstáves o argumento baseado no comportamento da vortcdade azmutal proporconaram resultados consstentes com os resultados dsponíves na lteratura. XUE et al. (1999) estudaram numercamente o problema trdmensonal e transente de escoamentos rotaconas de um fludo vscoelástco em clndros confnados. Os autores utlzaram o método de volume fnto mplícto para o sstema de coordenadas clíndrcas. Os resultados mostraram que para os campos de velocdades e o desenvolvmento de quebras dos vórtces em termos de números de Reynolds e a razão de aspecto foram muto bem reproduzdos quando comparados com os resultados expermentas para fludos newtonanos. SOTIROPOULOS e VENTIKOS (001) estudaram numercamente o escoamento na cavdade clíndrca resolvendo as equações trdmensonas de Naver- Stokes. As bolhas estaconáras da quebra de vórtce apresentaram todas as smetras observadas em laboratóro através da técnca de njeção de traçador (SMH). Através dos cálculos das análses das característcas lagranganas dos campos de escoamentos evdencou-se também que no nteror dessas bolhas da quebra percebem-se camnhos de partículas caótcas. FUJIMURA et al (001) realzaram meddas expermentas das componentes de velocdades em uma cavdade clíndrca com rotação na extremdade superor. Através do velocímetro Dopler á laser conseguram descrever as característcas do fenômeno de quebra de vórtce analsando dferentes razões de aspecto e números de Reynolds. 7

22 No contexto mas teórco LUCCA-NEGRO e DOHERTY (001) revsaram estudos anterores a respeto de quebra de vórtce nos últmos 45 anos. Dvdram o artgo em uma área com três seções: expermental, numérco e fnalmente o teórco fornecendo um gua que drecona os letores nas determnadas áreas específcas. A verfcação expermental de SOTIROPOULOS et al. (00) novamente avalou o transporte lagrangano no nteror das quebras de bolhas utlzando a fluorescênca nduzda à laser (LIF). Aplcaram-se o método para vsualzar a dnâmca no nteror das quebras de vórtce que se formam na sequênca da prmera bolha com os parâmetros governantes do regme de duas bolhas estáves. As bolhas estaconáras trocam fludos com o escoamento externo através de movmentos aleatóros a qual as manchas do corante saem das bolhas através de espras. O trabalho teve ótmas concordâncas com os trabalhos numércos. HERRADA e SHTERN (003) realzaram smulações numércas de um escoamento compressível em clndro fechado nduzdo por uma base rotatva. Os parâmetros de estudo foram o gradente de temperatura (ε) e os números de Mach (Ma), Froude (Fr) e Reynolds (Re) e razão de aspecto (h). Como resultados verfcaram que quando ε aumenta as quebras de vórtces dmnuem e então desaparecem totalmente. Os efetos da convecção centrífuga tornaram-se mas evdente com o aumento de Ma e Re. O estudo de IWATSU (004) analsou os padrões de fluxo e as característcas de transferênca de calor de um escoamento rotaconal de fludos ncompressíves e vscosos, em um recpente clíndrco com rotação da tampa superor. A solução fo obtda através dos métodos numércos de esquemas de dferenças fntas de segunda ordem (SOR) para város valores de números de Reynolds e números de Rchardson com os valores fxos do número de Prandtl e razão de aspecto do clndro. Os autores concluíram que os padrões de fluxo foram classfcados em dferentes tpos como uma função decrescente de R e uma função crescente de Re. Avalou também que o coefcente de torque é uma função lgeramente decrescente de R para os parâmetros analsados. Novamente IWATSU (005) analsou numercamente o escoamento gratóro permanente de fludos ncompressíves vscosos em uma cavdade clíndrca dreconada pela base rotatva a uma velocdade angular e superfíce lvre do topo. Computação paramétrca fo realzada com os parâmetros: números de Reynolds e razão de aspecto. Comparações com os estudos expermentas e numércos anterores foram dscutdas em detalhes e mostraram boas concordâncas. 8

23 OMI e IWATSU (005) nvestgaram numercamente, pelo esquema de dferenças fntas de segunda ordem (SOR), o problema de escoamentos gratóros em um recpente clíndrco com ou sem rotação dos dscos das extremdades As análses numércas foram realzadas para números de Reynolds (100 Re 000 ) e números de Rchardson ( 0 R 1) à numero de Prandtl e razão de aspecto guas a 1. Foram verfcados que para todos os valores da razão da velocdade angular do dsco do topo com o dsco da base () s o volume do fludo é levado ao repouso com o fludo nas vznhanças de ambos os dscos rotaconas em cada dreção. LIM e CUI (005) verfcaram expermentalmente a formação da quebra de vórtce do tpo espral em uma cavdade clíndrca. Estas quebras foram analsadas através de técncas de vsualzações com corantes para razões de aspecto H/R,5. O estudo revelou que a formação de quebra de vórtce do tpo bolha é assocada com a establdade helcal através do decréscmo do comprmento de onda. IWATSU (006) estudou os escoamentos estratfcados em dutos com as extremdades e as paredes lateras rotaconando dferencalmente com dferenças de temperaturas entre o topo e a base. As equações governantes foram resolvdas numercamentes pelo método de dferenças fntas centras de segunda ordem e pelo método explcto de Euler de prmera ordem. Os resultados obtdos mostraram que o fludo nterno tende a rotaconar quase rgdamente com as paredes lateras, e as camadas lmtes são formadas nas vznhanças dos dscos das extremdades quando mposta uma dferença de temperatura vertcal maor. BHAUMIK e LAKSHMISHA (007) nvestgaram o escoamento gratóro por tampa em uma cavdade clíndrca utlzando o método de Boltzmann Lattce. O escoamento é trdmensonal e permanente examnado à dferentes razões de aspecto e números de Reynolds. As smulações foram comparadas com os resultados numércos e expermentas dsponíves na lteratura. Destacou-se a ocorrênca de quebras de vórtces de acordo com o dagrama de ESCUDIER (1984). A transferênca de calor por convecção msta e bdmensonal em cavdade retangulares com razão de aspecto gual a 10 fo analsada numercamente por SHARIFF (007). A tampa rotatva da cavdade estava a uma alta temperatura em relação a base. Uma análse computaconal fo realzada para números de Rayleghs na faxa de 10 5 para 10 8 mantendo o número de Reynolds fxo à 408,1. Os efetos da nclnação da cavdade sob os campos de escoamento e térmco foram nvestgados para 9

24 ângulos de nclnação na faxa de 0 a 30. Notou que o número de Nusselt aumenta com a nclnação da cavdade. DOBY et al. (007) realzaram análses numércas e expermentas para o escoamento rotaconas em recpentes clíndrcos com as extremdades em rotação. As tampas superor e nferor são capazes de grar nas dreções horáras e ant-horáras à dferentes velocdades angulares. O fluxo nduzdo é meddo com um anemômetro de Doppler à laser e comparados com os perfs de velocdades. O trabalho mostrou algumas melhoras nos mecansmos de separação em hdrocclones por meo de controles das característcas dos escoamentos rotaconas. Um método numérco de quarta ordem fo apresentado por IWATSU (009) que estudou o escoamento rotatvo axssmétrco de fludos Boussnesq em cavdades com smetra rotaconal. O esquema de dferenças fntas explíctas de quarta ordem em coordenadas curvlíneas, um método de multmalhas cclo V, e um de baxo armazenamento otmzado, método de Runge-Kutta de quarta ordem foram empregados. Soluções numércas foram apresentadas para váras formas da cavdade com dferenças de temperatura e forças de empuxo mostrando assm boas concordâncas com os estudos prévos e na lteratura. GUO et al. (009) propuseram uma equação de Boltzmann Lattce (LBE) para o escoamento axssmétrco em estudo. O modelo LBE proposto conseguu descrever os componentes de velocdades axas, radas e azmutas confrmando-se que pode servr como um método vável e efcente para escoamentos axssmétrcos com baxas velocdades. BOUFFANAIS e JACONO (009) resolveram as equações de Naver-Stokes trdmensonal no escoamento gratóro de um fludo confnado em uma cavdade clíndrca com a superfíce do topo aberta e dreconada pela rotação constante da extremdade nferor. As soluções obtdas numercamente foram baseadas no método de elemento espectral de Legendre. JORGENSEN et al. (010) empregou o método de dferenças fntas para resolver o problema de escoamento rotatvo em clndros fechados com a tampa superor rotaconando. Smulações numércas para város valores de parâmetros foram realzados a fm de reproduzr a nfluênca das fontes de vortcdade locas a partr de uma haste rotatva posconada ao longo do exo do clndro. Os resultados mostraram que as quebras dos vórtces no escoamento axssmétrco podem ser afetadas dramatcamente pela rotação da haste. 10

25 ZHOU (011) realzou um melhoramento no modelo reformulado de Boltzmann Lattce para o escoamento axssmétrco ncompressível com ou sem gros. O esquema ncluu termos fontes que resolveu naturalmente este tpo de escoamento rotaconal. As soluções numércas apresentaram ótma precsão com outros autores e capacdade de reprodução de problemas mas dfíces. CHENG (011) nvestgou o escoamento e a transferênca de calor em uma cavdade quadrada onde o fluxo fo nduzdo por uma força csalhante resultante do movmento da tampa combnado com a força de empuxo devdo o aquecmento da base. As smulações numércas foram realzadas para as seguntes faxas de parâmetros: números de Reynolds (10 Re 000), Grashof (100 Gr 4,84x10 6 ), Prandtl (0,01 Pr 50) e Rchardson(0,01 R 100). Os números de Nusselt médos foram reportados para lustrar a nfluênca das varações dos parâmetros do escoamento na transferênca de calor. O trabalho de MAHFOUD e BESSAIH (011) analsou numercamente o escoamento gratóro osclatóro em uma cavdade clíndrca preenchdo com um metal líqudo e submetdos a gradentes vertcas de temperaturas. Os números de Reynolds crítcos e a frequênca crítca de osclação foram calculados como uma função do número de Rchardson nas faxas de 0 a 4. Os resultados numércos mostraram que o aumento no número de Rchardson causa o decréscmo de número de Reynolds crítcos. ZHANG et al. (01) propuseram um modelo de Boltzmann Lattce para smular o escoamento axssmétrco ncompressível. Smulações numércas do escoamento de Hagen-Posevlle, o escoamento pulsátl de Womersley, escoamento sob uma esfera e o escoamento gratóro na cavdade clíndrca fechada foram realzadas. Os resultados concordaram com as soluções analítcas e os dados numércos e expermentas reportados em alguns estudos anterores. LOPEZ (01) analsou numercamente o escoamento rotaconal em clndros relatvamente grandes dreconados pela rotação de uma extremdade. As equações governantes foram resolvdas utlzando o método de Passo Fraconado de Segunda Ordem. As smulações foram realzadas em termos de números de Reynolds crítcos, frequêncas e números de ondas azmutas dos fluxos. Os resultados mostraram que as ondas de rotações em clndros com H/R maores é a mesma para clndros menores com H/R aproxmadamente gual a 1,5. WANG et al. (014) propuseram um solver para o escoamento de Boltzmann Lattce axssmétrco (ALBFS) para smular escoamentos rotatvos e gratóros 11

26 ncompressíves. Valdou-se o presente solver com smulações de escoamentos em tubos, Taylor-Couette e cavdades clíndrcas apresentando uma excelente concordânca com as soluções analítcas e os dados dsponíves na lteratura. 1.4 A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA (GITT) A complexdade dos problemas envolvendo escoamento de fludos e transferênca de calor, modelados a partr das equações de Naver-stokes e da energa, é que devdo a sua natureza não-lnear, a solução para essas equações é obtda pela utlzação de métodos puramente numércos ou de métodos analítco-numércos. Com trabalho de ÖZISIK e MURRAY (1974), sobre a solução de problemas dfusvos com condções de contorno varáves, surgu um novo método para o tratamento de problemas a pror não transformáves pela técnca clássca de transformação ntegral (ÖZISIK, 1984). Mutas foram as contrbuções na solução numérca do problema de cavdade, mas nem todos obtveram sucesso em seus resultados, seja pela pouca precsão ou porque apresentaram falsas convergêncas (PÉREZ-GUERRERO e COTTA, 199). A técnca já fo utlzada com sucesso em váras classes de problemas presentes na mecânca dos fludos e na transferênca de calor. A aplcação da GITT pode ser resumda nos seguntes passos: Escolha de um problema auxlar com base nos termos dfusvos da formulação orgnal, que contenham nformações a respeto da geometra e da coordenada a ser elmnada; Solução do problema auxlar, obtenção das autofunções, autovalores, norma e propredade de ortogonaldade; Desenvolvmento do par transformada-nversa através da propredade de ortogonaldade; Transformação do sstema dferencal parcal em um sstema dferencal ordnáro, nfnto e acoplado; Truncamento do sstema dferencal ordnáro nfnto e solução numérca do sstema resultante, para obtenção dos campos transformados com precsão prescrta. Utlzação da fórmula de nversão para a construção dos potencas orgnas. 1

27 A dea básca na técnca da transformada ntegral generalzada é relaxar a necessdade de se encontrar uma transformação ntegral exata, ou seja, que resulte em um sstema dferencal transformado em forma desacoplada. Assm, pode-se escolher um problema auxlar de autovalor que seja característco do problema orgnal, desenvolver o par transformada-nversa assocado e efetuar a transformação ntegral do sstema dferencal parcal, chegando-se a um sstema dferencal ordnáro nfnto e acoplado. Após truncamento em ordem sufcentemente grande para a precsão requerda, automatcamente seleconada durante o própro processo de solução. O sstema dferencal ordnáro é resolvdo numercamente por algortmos bem estabelecdos, por exemplo, orundos da bbloteca IMSL (014), com controle automátco de erro. A fórmula explícta de nversão fornece uma representação analítca nas demas varáves ndependentes elmnadas pela transformação ntegral. Desta forma, a tarefa numérca por este método, ocorrerá sempre em uma únca varável ndependente, com representação analítca do potencal desejado nas demas varáves do problema. A técnca já fo utlzada com sucesso em város problemas presentes na mecânca dos fludos e na transferênca de calor. Poneramente, COTTA (1993) complou dversos problemas que já foram tratados com o auxlo da GITT. No decorrer dos últmos anos, mutos trabalhos ganharam notoredade como o de PÉREZ- GUERRERO e COTTA (199) que usaram a GITT para soluconar o campo de velocdade em termos de função corrente e o campo de temperatura para o problema da convecção natural em cavdade quadrada. Novamente, PÉREZ-GUERRERO (1999) obteve uma solução formalmente analítca do problema de Stokes para um escoamento dentro de uma cavdade com tampa deslzante, combnando o uso das GITT com a estratéga de solução de equações dferencas ordnáras va autovalores e autovetores. LEAL (1999) empregou a técnca hbrda para estudar a convecção natural lamnar em cavdades retangulares. PEREIRA (000) que obteve a solução das equações de Naver- Stokes e energa no estudo da convecção forçada e natural para o escoamento lamnar em regme permanente em dutos crculares concentrcos. SOUSA (00) aplcou a GITT no clássco problema da cavdade quadrada, em sua forma transente, com os lados aquecdos a dferentes temperaturas e altos valores de números de Raylegh. Os efetos da razão de aspecto e ângulo de nclnação na transferênca de calor por convecção va GITT, através de smulações em uma cavdade quadrada e plana com um fludo de propredades constantes e varáves fo estudado por SILVA (00). 13

28 OLIVEIRA (010) avalou o problema de dfusão de calor no nteror de uma cavdade clíndrca utlzando dos métodos de resolução: um método dreto (GITT) e um nverso que determnou a dfusvdade térmca do líqudo (água). SILVA (011) avalou numercamente com o auxlo da técnca o escoamento magnetohdrodnamco no estudo da convecção natural em cavdades quadradas. 14

29 CAPÍTULO ESCOAMENTO EM CAVIDADE CILÍNDRICA COM EXTREMIDADES EM ROTAÇÃO No presente capítulo é apresentado uma análse numérca para o escoamento rotatvo de fludos ncompressíves em uma cavdade clíndrca com rotação nas extremdades e parede fxa. As equações governantes do escoamento são as equações de Naver-Stokes axssmétrcas juntamente com a equação da contnudade e as condções de contornos apropradas para avalar os padrões do escoamento. Neste problema fo empregada a GITT na solução das equações resultantes da modelagem do problema físco..1 - INTRODUÇÃO O estudo de escoamentos rotatvos de fludos confnados em recpentes clíndrcos tem contrbuído para o desenvolvmento de equpamentos mas sofstcados e com níves de efcênca cada vez maores em aplcações tecnológcas. Algumas destas aplcações podem ser encontradas em máqunas centrífugas, vscosímetros, turbo máqunas, câmaras de combustão, trocadores de calor, secagem, separação e etc. Em sstema de combustão, por exemplo, tas como em motores de turbna a gás, motores a desel, quemadores ndustras e evaporadores, escoamentos gratóros são utlzados para melhorar o controle das taxas de msturas entre o combustível e o oxdante a fm de permtr melhores quemas e taxas de lberação de calor adequados a aplcações partculares de processo. Como nos demas tpos de escoamentos, o rotatvo tem característcas e estruturas peculares. Uma estrutura ou fenômeno típco em escoamentos rotatvos é conhecdo como vortex breakdown ou quebra de vórtce, que pode ser defndo como uma mudança abrupta no sentdo do escoamento na regão do exo axal do vórtce, formando uma ou mas zonas de recrculação. 15

30 . FORMULAÇÃO DO PROBLEMA..1 Descrção do Problema Físco Consdera-se o problema de escoamento permanente e lamnar, de um fludo vscoso, ncompressível, em uma cavdade clíndrca, com rotação nas extremdades superor e nferor. A confguração esquemátca do problema a ser analsado é mostrada na Fgura.1. Fgura.1 Geometra do problema de escoamento em cavdade clíndrca com as extremdades em rotação. Fgura desenhada pelo autor a partr de nformações da obra de FUJIMURA et al. (005) A tampa rotatva funcona como uma bomba, devdo às forças vscosas que drecona o escoamento para as paredes lateras até alcançar a tampa estaconára onde as espras recuam para formar um vórtce concentrado sobre os exos... Formulação Matemátca do Problema As equações da contnudade e Naver-Stokes, que modelam o movmento desse fludo na cavdade clíndrca, devdo às extremdades rotatvas, são descrtas, respectvamente, como se segue: 16

31 * * * ( rv r ) v z * * * 1 r r z 0 (.1.a) * * * * * * * * vr v * v r P 1 ( rvr) vr v r v * * z * * * * * * r r z r r r r z * * * * * * vz * vz P 1 * vz vz v r v * z r * * * * * * r z z r r r z * * * * * * * * v v v * v 1 r v r v vr v * * z * * * * r r z r r r z (.1.b) (.1.c) (.1.d) As condções de contorno orgnas do problema são dadas por: * Em r 0 Em * r R * * vz * vr v 0 * (..a-c) r v v v 0 (..d-f) * * * r z Em Em * z 0 * z H v v 0 ; * * r z v v ; * * r z v r (..g-) * * b v r (..j-l) * * t As equações acma são escrtas na forma admensonal utlzando-se os seguntes grupos admensonas: * * * r r ; z ; h H ; b sb ; t st ; P P ; R R R R (.3.a-f) * * * vr vz v v r ; v z ; v ; R R R (.3.g-) onde h é a razão de aspecto da cavdade clíndrca. resulta em: Substtundo as quantdades admensonas (.3) nas equações (.1) a (.), 1 ( rv r ) v z r r z 0 (.4.a) v r vr v v r P 1 1 ( rvr ) v r vz r r z r Re r r r z (.4.b) 17

32 v r r z z Re r r r z vz vz P 1 1 vz vz vz r (.4.c) v r rv v v v v 1 1 v v r r z Re r r r z sendo: r z (.4.d) Re R (.5) Em r 0 Em r 1 Em z 0 As condções de contorno admensonas são dadas por: v v v 0 r z r r z vr vz (.6.a-c) v v v 0 (.6.d-f) ; v sbr (.6.g-) Em z h vr vz ; v * str (.6.j-l) A função corrente bdmensonal é defnda em termos das componentes das velocdades nas dreções r e z, respectvamente, como: 1 1 v r ; vz r z r r (.7.a-b) A fm de se expressar as equações de momento em termos de função corrente derva-se a equação (.4.b) com relação a z e a equação (.4.c) com relação a r, os resultados são subtraídos e a defnção de função corrente é ntroduzda no resultado tornando-se: v r z r r r z r z z Re 1 (E ) 1 (E ) 1 4 E v E 1 v v 1 v 1 v 1 v v v r z r r r r z Re r r r r z (.8.a) (.8.b) sendo que os operadores assocados 4 E, E e são defndos como: 18

33 E 1 r r r z (.9.a) 4 E E E (.9.b) 1 r r r z (.9.c) As condções de contorno do problema após a defnção de função corrente tomam a forma a segur: (0, z) 1 (0, z) Lm Lm v (0, z) 0 r0 r r0 r r r (.10.a-c) (1,z) (1,z) v (1,z) r (.10.d-f) (r,0) (r,0) 0; v (r,0) sbr ; z (.10.g-) (r,h) (r,h) 0; v (r,h) str z (.10.j-l).3. METODOLOGIA DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA A equação (.8.a) resulta em um sstema dferencal de quarta ordem. A solução para este tpo de equação e as demas será resolvda através do uso da GITT, e cada uma das etapas de aplcação da técnca será mostrada a segur..3.1 Determnação dos Problemas Auxlares A aplcação da GITT requer a escolha dos problemas de autovalores, que servrão como base para a expansão em autofunções dos campos de função corrente e velocdade tangencal que serão obtdas de problemas auxlares assocados respectvamente as equações (.8.a-b), com a fnaldade de explorar suas propredades de ortogonaldade. A próxma etapa deste método, que defne os problemas auxlares que permtrão encontrar suas respectvas autofunções e autovalores, será defnda a segur: 19

34 Problema auxlar para o potencal auxlar da função corrente (r,z) : O problema de autovalor do tpo b-harmônco escolhdo para o potencal auxlar da função corrente, descrto pela equação (.8.a), será aquele proposto por FEDELE (005), e que é dado por: 4 3 d d 3 d 3 d d 1 d X (r) r X (r) para =1,,3,... dr r dr r dr r dr dr r dr (.11.a) com condções de contorno: X (r) d 1dX (r) r dr r dr Lm Lm 0 r0 r0 X (1) 0; dx (1) dr (.11.b-c) (.11.d-e) em que X (r) e são as autofunções e os autovalores, respectvamente, que satsfazem a segunte propredade de ortogonaldade: dx (r) 0, j 1 1 dx (r) j dr (.11.f) r dr dr L 0, j sendo que L é a norma ou ntegral de normalzação. A equação (.11.a) é soluconada analtcamente para fornecer: rj r 1 X (r) r ; para =1,,3,... J1 (.11.g) em que os autovalores αs são calculados a partr da segunte equação transcendental: J ( ) 0; para =1,,3,... (.11.h) e a norma defnda como: 0

35 1 1 dx (r) L dr = para =1,,3,... r dr (.11.) 0 Problema auxlar para o potencal auxlar da velocdade tangencal v (r,z) : Para a componente v (r,z) utlzaremos o problema auxlar defndo como: 1 d d (r) 1 r dr dr r r (r) 0 para =1,,3,... (.1.a) com condções de contorno (0) 0; (1) 0 (.1.b-c) em que (r) e são as autofunções e os autovalores, respectvamente, que satsfazem a segunte propredade de ortogonaldade: 0, j 1 r (r) j(r)dr (.1.d) M 0, j onde M é a norma ou ntegral de normalzação. A equação (.1.a) é soluconada analtcamente para fornecer: 1 (r) J r (.1.e) onde os autovalores β s são calculados a partr da segunte equação transcendental: 1 J 0; para = 1,,3,... (.1.f) e a norma defnda como: 1

36 J ( ) M r (r)dr para =1,,3,.. (.1.g) Determnação dos Pares Transformada-Inversa As propredades de ortogonaldade (.11.f) e (.1.d) fornecem os seguntes pares transformada-nversa para (r,z) e v (r,z), respectvamente: 1 d 1 d (z) X (r) (r, z)dr, transformada L dr r dr 1 0 (.13.a) (r,z) X (r) (z), nversa (.13.b) v, ( z) r( r) v( r, z) dr transformada M (.13.c) 0, (.13.d) 1 v ( r, z) ( r) v ( z) nversa Determnado os pares transformada nversa, utlzam-se essas defnções na transformação ntegral dos sstemas de equações dferencas parcas resultantes obtendo-se um sstema de EDOs para o cálculo dos potencas transformados v,(r, z). (r,z) e.3.3 Transformação Integral do Sstema de EDP s Segundo o formalsmo da GITT, ocorrerá a transformação ntegral das equações dferencas parcas (.8.a-b) que resultará em um sstema dferencal ordnáro, o qual fornecerá os potencas transformados (r,z) e v,(r, z). Prmeramente, faz-se o uso do operador 1 X (r) dr na equação (.8.a), problema do campo de função corrente, r 0 resultando no sstema nfnto e acoplado de EDOs:

37 d Ψ (z) d Ψ (z) α dψ (z) A =α - Ψ (z)+re B Ψ (z) + dz dz dz 4 4 j k j 4 jk j j=1 j=1 k=1 3 dψ j(z) d Ψ k (z) d Ψ k (z) dv k (z) C jk +D jkψ j(z) 3 + Ejk v, j(z) dz dz dz j1 k1 dz (.14.a) em que os coefcentes são defndos pelas ntegras: A X (r)x (r) 1 j j r 0 dr (.14.b) d X j(r) 3 d X j(r) 3 dx j(r) Bjk X (r) X k (r) r dr r dr r dr 0 (.14.c) 1 dx j(r) d X dx k(r) 1 j(r) dx k(r) dr 3 r dr dr r dr dr 1 X j(r) dx k (r) Cjk X (r) X 3 j(r)x k (r) dr r dr r (.14.d) 0 D dx (r) 1 X (r) j jk X k (r)dr r dr (.14.e) 0 X (r) (r) (r) (.14.f) 1 Ejk j k r 0 dr Para o problema da velocdade tangencal, faz-se o uso do operador 1 0 r (r)dr na equação (.8.b), resultando também em um sstema nfnto e acoplado de EDO s abaxo: dv (z) = v (z)+re G v (z) H Ψ (z) (.15.a) d v,(z) dψ k (z),j, jk, j jk k dz j1 k1 dz dz sendo que os coefcentes são defndos pelas ntegras: 1 1 d j(r) j(r) G jk (r) X k (r)dr M dr r (.15.b) dx k (r) H jk (r) j(r) dr M dr 0 (.15.c) 3

38 O mesmo procedmento pode ser conduzdo nas condções de contorno defndas pelas Eqs. (.10.a-l), para assm resultar: d ) ) 0; v,(0) f dz (.16.a-c) d h) h) 0; v,h) g ; dz (.16.d-f) sendo: s s M (.17.b) J ( ) 1 b b f r (r)dr 0 0 s s M (.17.b) J ( ) 1 t t g r (r)dr 0 0 Os coefcentes ntegras foram resolvdos numercamente, utlzando a subrotna DQDAG da bbloteca IMSL (014) para obter os resultados dentro de uma precsão prescrta de O tempo computaconal para o cálculo dessas ntegras aumenta, substancalmente, à medda que aumentamos a quantdade de termos nas expansões. Desta forma o problema dferencal parcal orgnal fo transformado num sstema nfnto de EDOs acopladas, consttundo um de segunda e quarta ordem não lneares..3.4 O Algortmo Computaconal Ao transformar o sstema dferencal parcal obteve-se um sstema nfnto de equações ordnáras não lneares de quarta ordem para a função corrente e de segunda ordem oara a velocdade tangencal com condções de contorno em dos pontos. Para resolver este sstema, é necessáro truncar a expansão em um número fnto de termos, sufcentemente grande que permta obter soluções convergdas para uma precsão desejada. A solução numérca deste sstema, com controle automátco de erro, é obtda através da subrotna DBVPFD da bbloteca IMSL (014), com o objetvo de resolver problemas de natureza rígda (stff), ou seja, problemas que apresentam um elevado grau de não lneardade. 4

39 Deste modo, para adaptar a estrutura das equações (.14.a) e (.15.a) é necessáro reescrever os sstema de equações dferencas de quarta ordem e de segunda ordem como um sstema de equações dferencas de prmera ordem, defnndo-se o vetor solução W como: ; 1,,3,..., NF (.18.a) W d dw W NF (.18.b) dz dz d d d dw dz dz dz dz NF d d d dw dz dz dz dz 3 NF d d d dw 4 3 dz dz dz dz, 4NF 3NF W NF W 3NF (.18.c) (.18.d) (.18.e) v W ; =1,,3,...,NV (.18.f) dv dw W 4NFNV (.18.g) dz, 4NF dz d v, d dv, dw 4NFNV dz dz dz dz (.18.h) Substtundo as equações (.18.a-h) nas equações (.14.a) e (.15.a), obtém-se: dw NF 4 NF NF 3NF A j =α W NF- W +Re BjkWjW knf +CjkWj NFWk NF j=1 dz j=1 k=1 NV NV +D W W + E W W jk j k3nf jk j4nf k4nfnv j1 k1 dw dz 4NFNV α NV NF 4NF jk j4nf knf jk j4nfnv k j1 k1 (.19.a) = W +Re G W W H W W (.19.b) Com as condções de contorno (3.16.a-f) sendo submetdas ao mesmo procedmento, tem-se: W ) W (0) 0; W (0) f (.0.a-c) NF 4NF W h) W (h) 0; W (h) g (.0.d-f) NF 4NF 5

40 O sstema de equações (.19.a-b) agora está no formato para a solução numérca. As expansões são então, truncadas em NF e NV termos para os campos de função corrente e velocdade, respectvamente, onde as ordens de truncamento são automatcamente seleconadas ao longo da ntegração, de modo a atngr a precsão desejada..3.5 Cálculo do Campo de Velocdades A componente tangencal da velocdade é calculada pela equação (.13.d) enquanto que os campos de velocdades axas e radas podem ser obtdos a partr da defnção de função corrente dada pelas Equações (.7.a-b), depos de ntroduzr a fórmula de nversão (.13.b) tem-se: v v r z X d ( z) (.1.a) r dz 1 1 d X ( r) ( z) (.1.b) r dr 1.4. RESULTADOS E DISCUSSÃO Foram estudados os casos para város números de Reynolds (Re) e razões de aspecto (h) da cavdade clíndrca preenchda com fludo newtonano, correspondente aos valores expermentas utlzados por FUJIMURA et al. (001) e outros autores, e sendo utlzados para comparação dos resultados deste trabalho. Para a solução do sstema dferencal ordnáro utlzou-se a subrotna DBVPFD da bbloteca IMSL (014) com erro relatvo global prescrto de 4 10 obtenção dos potencas transformados e com guas ordens de truncamento N=NF=NV para todos os campos Comparação das velocdades máxmas e localzação e análse de Convergênca As velocdades máxmas axas (Vz,max) e suas posções (H/R) são mostradas na Tabela.1 e em comparação com os dados expermentas de FUJIMURA et 6

41 al.(001) e outros resultados numércos a partr do método 3D de Boltzmann Lattce (LBM) e a solução de Naver-Stokes (N-S) dos autores BHAUMIK e LAKSHMISHA (007). Os erros relatvos calculados entre as soluções numércas e as meddas expermentas são dados por: Er = (Vz, cal Vz,exp)/ Vz,exp. Pode ser vsto a partr da Tabela.1 que para Re = 990 o erro relatvo do presente trabalho é 1,55 %, que é menor o que o valor da solução 3D LBM com 4,% e o resultado de Naver-Stokes com,1 %. Para Re = 190 é 3,53%, a solução 3D LBM que é quase o modelo melhorado com 5,5% e o resultado de Naver-Stokes com,%, e para Re = 1010 é 0,97%, que é muto próxmo da solução 3D LBM com 0,9% e o resultado de Naver-Stokes com,9%. Isto ndca que o modelo numérco proposto pode produzr soluções precsas, concordando muto bem com as nvestgações anterores. Para análse de convergênca, os resultados foram obtdos para dos números de Reynolds (Re = 000 e 3061), e para duas razões de aspecto (h =1,0 e 3,5). Deste modo, os resultados são tabelados de acordo com as posções ao longo das dreções r e z, tornando possível observar o progresso da convergênca com o aumento da ordem de truncamento dos termos nos somatóros. Desse modo foram escolhdas três posções ao longo da dreção z da cavdade com tampas gratóras, sendo uma próxma da extremdade nferor, outra na metade da altura cavdade (correspondente H/) e uma tercera próxma a extremdade superor. A análse da velocdade axal é realzada no centro do clndro (r = 0) enquanto que a função corrente, velocdade radal e tangencal na posção r = 0,1. 7

42 Tabela.1: Comparações das velocdades máxmas axas para Re = 990, 1010 e 190, em r = 0,0. Referênca Re = 990 Re = 1010 Re = 190 Vz,max/V0 hmax/h Vz,max/V0 hmax/h Vz,max/V0 hmax/h Presente Trabalho 0,0985 0,070 0,100 0,4450 0,7040 0,140 Fujmura et al.(001) 0,0970 0,100 0,1030 0,4600 0,6800 0,1400 (Expermental) Bhaumk e Lakshmsha (007) 0,0930 0,00 0,100 0,500 0,700 0,1600 (3D LBM) Bhaumk e Lakshmsha (007) 0,0990 0,1900 0,1060 0,4400 0,6650 0,150 (Naver-Stokes) Dferença GITT 1,55% 1,45% 0,97% 3,37% 3,53% 1,40% Nas Tabelas. e.3 são apresentados os resultados para o comportamento da convergênca da velocdade axal em r = 0,0 e para as funções correntes, velocdades radas e tangencas em r = 0,1, com dferentes posções axas ao longo da cavdade, para Re = 000 e 3061 e h = 1,0 e 3,5, respectvamente. Pode-se verfcar na Tabela. que para Re = 000 e razão de aspecto (h = H/R) gual a 1,0, que os resultados apresentaram uma boa taxa de convergênca alcançada com três dígtos sgnfcatvos (N = 60) nas expansões, para todas as posções de r e z. Aumentando-se o número de Reynolds (Re = 3061), percebe-se que, com razão de aspecto de h = 3,5 a taxa de convergênca (N = 80), com três dígtos sgnfcatvos, é mas lenta em relação ao número de Re = 000. De fato, para este valor de Re = 3061, Tabela.3, os números de termos utlzados na sére não foram sufcentes para alcançar a convergênca completa da velocdade axal acarretando o aumento do custo computaconal. Podemos observar que a equação (.1.b), que descreve a velocdade axal, é dfcultada pela presença do efeto da zona de nstabldade osclatóra, que se encontra no plano médo da cavdade para o escoamento rotatvo. A convergênca da componente tangencal da velocdade ocorre com menor número de termos nas séres do que para a componente radal, quando consderadas as 8

43 mesmas posções da seção da cavdade. Novamente quando se aumenta Re a convergênca da componente tangencal da velocdade acontece com 60 termos no tercero dígto sgnfcatvo na posção mas próxma do topo do clndro. No entanto, para a componente radal, essa convergênca é dfcultada necesstando de mas séres nas expansões. Isto ocorre, porque a equação (.1.a) que relacona a componente radal com a função corrente é calculada a partr da dervada da função corrente com relação à z dfcultando a convergênca dessa componente em comparação com a velocdade tangencal orgnada da equação (.13.d). Conclu-se que a dfculdade do processo de convergênca dos potencas transformados da função corrente e, consequentemente, os campos de velocdade no nteror da cavdade clíndrca, possvelmente, sofre mas nfluênca na zona de formação dos vórtces axssmétrcos através dos efetos do fenômeno no escoamento. 9

44 Tabela. - Convergênca da velocdade axal, função corrente, velocdade radal e tangencal nas posções radas r = 0,0 e 0,1, para h = 1,0 e Re = 000 r = 0,0 Velocdade axal z N = 10 N = 0 N = 40 N = 60 N = 80 N = 90 0,1 0,619E-01 0,419E-01 0,406E-01 0,406E-01 0,406E-01 0,406E-01 0,5 0,347E-0-0,8E-0-0,153E-0-0,139E-0-0,135E-0-0,135E-0 0,9 0,437E-01 0,16E-01 0,985E-0 0,985E-0 0,986E-0 0,986E-0 r = 0,1 Função Corrente z N = 10 N = 0 N = 40 N = 60 N = 80 N = 90 0,1-0,435E E E E E E-03 0,5-0,350E E E E E E-04 0,9-0,680E E E E E E-04 Velocdade radal z N = 10 N = 0 N = 40 N = 60 N = 80 N = 90 0,1-0,738E E E E E E-0 0,5-0,140E E E E E E-03 0,9-0,385E-0-0.3E E E E E-03 Velocdade tangencal z N = 10 N = 0 N = 40 N = 60 N = 80 N = 90 0,1 0,146E E E E E E-01 0,5 0,971E E E E E E-01 0,9 0,134E E E E E E-01 N = NF=NV 30

45 Tabela.3: Convergênca da velocdade axal, função corrente, velocdade radal e tangencal nas posções radas r = 0,0 e 0,1 para h = 3,5 e R e = 3061 r = 0,0 Velocdade axal z N = 10 N = 0 N = 40 N = 60 N = 80 N = 90 0,1 0,96E-01 0,63E-01 0,487E-01 0,477E-01 0,475E-01 0,475E-01 1,5 0,951E-0 0,36E-03-0,14E-0-0,964E-03-0,886E-03-0,871E-03 3,4-0,443E-01 0,988E-01 0,79E-01 0,157E-01 0,157E-01 0,158E-01 r = 0,1 Função Corrente z N = 10 N = 0 N = 40 N = 60 N = 80 N = 90 0, E E E E E E-03 1, E E E E E E-05 3, E E E E E E-04 Velocdade radal z N = 10 N = 0 N = 40 N = 60 N = 80 N = 90 0, E E E E E E-01 1,5 0.55E E E E E E-03 3, E E E E E E-03 Velocdade tangencal z N = 10 N = 0 N = 40 N = 60 N = 80 N = 90 0,1 0.93E E E E E E-01 1, E E E E E E-0 3, E E E E E E-01 N = NF=NV 31

46 .4. Isolnhas de Função Corrente do Topo Rotatvo, Co e Contra Rotação da Extremdade Inferor Topo Rotatvo As Fguras (.) e (.3) mostram o comportamento das solnhas de função corrente para város números de Reynolds e razões de aspectos. O propósto da avalação é examnar os efetos do escoamento rotatvo confnado nos campos de velocdades tratando o fenômeno da quebra de vórtce ( vortex breakdown ). Foram smulados casos com as característcas dos expermentos realzados por ESCUDIER (1984) e FUJIMURA et al. (001) e outros autores, que analsaram expermentalmente e numercamente as lnhas de correntes que se formam nesse tpo de escoamento rotatvo. Para Re = 000 e h = 1,0, a Fgura (..a) mostra concordânca com a Fgura 1.1, que estabelece os lmtes da establdade para bolhas axssmétrcas. O vórtce central no plano merdonal que possu espessura pequena na regão próxma a extremdade nferor, e aumenta quando se aproxma da camada lmte de Ekman na extremdade rotatva. O comportamento do escoamento no plano merdonal também é exemplfcado nas Fguras (..b-d) para h = 1,5 e,5. É observado que os resultados correspondentes a Re = 190 exbem uma quebra de vórtce smples enquanto que os resultados para Re = 990 e 1110 não revelaram nenhuma quebra de vórtce. Quando o número de Reynolds está lgeramente abaxo do valor crítco não se verfca a presença de quebras de vórtces. Desta forma, quando o Re aumenta além do valor crítco, a Fgura..c, um vórtce smples é notado, o que é perceptível na nterseção zero da velocdade axal nos exos. É anda observado que para os escoamentos com quebra (Re = 190) e apenas próxmo da quebra (Re = 990), a curvatura das solnhas em relação as lnhas de exo mudam do convexo para o côncavo, ou seja, para o escoamento sem quebra, a curvatura das lnhas de corrente são convexas em relação as lnhas de exo ao longo da altura da cavdade. As confgurações dos seguntes casos smulados para comparação dos resultados numércos com os resultados expermentas obtdos por ESCUDIER (1984) são mostrados nas Fguras (.3.a-c). Nota-se que para H/R = com número de Reynolds gual a 1854 o vórtce superor dmnu, e abaxo desta surge outra quebra de vórtce com maor dmensão. Segundo ESCUDIER (1984) a forma ampulheta do núcleo de vórtce prenunca a aparção de uma segunda quebra. Também nesse caso exste 3

47 somente um ponto de estagnação e duas zonas de recrculação, pos com o aumento do número de Reynolds a quebra de vórtce superor se movmenta em dreção ao nferor, e seu ponto de estagnação dexa de exstr. As Fguras (.3.b-c), com o aumento do número de Reynolds e das razões de aspectos verfca-se a aparção de três quebras de vórtces. Na Fgura.3.b vsualzamse três estruturas de quebra de vórtce, sendo as duas superores acopladas e a nferor separada, mantendo a tendênca dos resultados expermentas. Para altos valores de H/R, como vsto na Fgura.3.c, que esta sequênca de eventos é novamente dferente. Percebe-se que a quebra de vórtce move-se a partr dos exos e se desenvolve em movmento crculares. 33

48 (a) (b) (c) (d) Fgura. - Isolnhas de função corrente: (a) Re = 000 e h = 1,0; (b) Re = 990 e h = 1,5; (c) Re = 190 e h = 1,5; (d) Re = 1010 e h =,5. 34

49 (a) (b) (c) Fgura.3 - Isolnhas de função corrente: (a) Re = 1854 e h =,0; (b) Re = 819 e h = 3,5; (c) Re = 3061 e h = 3, Co e contra rotação da extremdade nferor As Fguras (.4) e (.5) mostram o comportamento das solnhas de função corrente nduzdo pela co-rotação e contra rotação das extremdades para os devdos números de Reynolds (Re = 000, 990 e 819) e razões de aspectos (h = 1,0; 1,5 e 3,5). Neste caso, um dos objetvos do presente trabalho é analsar os efetos da co e contra- 35

50 rotação da base da cavdade sobre o escoamento permanente e o níco da nstabldade osclatóra. A prncípo fo encontrado que a contra rotação da base elmna a quebra de vórtce enquanto que a co-rotação deva causar esta quebra no escoamento. Deste modo nas Fguras.4, que analsa a mudança do escoamento merdonal da corotação da extremdade nferor, percebe-se o aparecmento de dos vórtces de separação antssmétrcos que estão lgados ao exo. A nfluênca da co-rotação sob o escoamento provoca o aumento das quebras que contnuamente transformam-se umas nas outras com o aumento do número de Reynolds e da razão de aspecto. Para Re = 819 os pontos de estagnação superor e nferor no exo do clndro movem em dreção ao meo do ponto de estagnação em r = 0 ocorrendo uma deformação no escoamento, em 4 campos de recrculação, dos dos quas são destacadas as bolhas smétrcas. As Fguras.5 representam a mudança do escoamento merdonal quando exstr a contra-rotação da base da cavdade. Este caso permte o aparecmento de duas regões de recrculações ambas no sentdo horáro e ant-horáro tornando-se antssmétrca. Caracterza-se pelo desprendmento das quebras de vórtces de separação nos exos do clndro e a formação de dos anés de vórtce. Segundo BHATTACHARYYA e PAL (1999) que estas zonas de separação aparecem quando a função corrente é gual a zero desenvolvendo uma camada csalhante ao longo do meo do plano. É evdente que a partr de números maores de Reynolds os contornos das solnhas exbem ondulações. Os vórtces crescem em tamanho quando se aumenta o número de Reynolds e também elas expandem com o aumento da razão de aspecto. 36

51 (a) (b) (c) Fgura.4 - Isolnhas de função corrente da co-rotação: (a) Re = 000 e h = 1,0; (b) Re = 990 e h = 1,5; (c) Re = 819 e h = 3,5. 37

52 (a) (b) (c) Fgura.5 - Isolnhas de função corrente da contra-rotação: (a) Re = 000 e h = 1,0; (b) Re = 990 e h = 1,5; (c) Re = 819 e h = 3, Perfl de velocdade O comportamento do campo de velocdades axas no escoamento rotaconal axssmétrco é mostrado através de gráfcos comparando-se com os resultados obtdos va GITT e os resultados obtdos expermentalmente por FUJIMURA et al (004) e 38

53 numercamente por BHAUMIK e LAKSHMISHA (007) e GUO et al. (009) e o perfl de velocdade axal em r = 0,0 para Re = 990, 190 e 1010 e razões de aspecto 1,5 e,5. Prmeramente, realzando-se uma comparação gráfca dos resultados da velocdade axal com os dos autores menconados, observam-se na posção analsada, os resultados obtdos pela GITT convergem completamente. Sabe-se que através dos gráfcos de solnhas que a quebra de vórtce ocorre para Re =1010 e h = 1,5 enquanto que para Re = 990 e h = 1,5 e Re = 190 e h =,5 não ocorre esta quebra. Os gráfcos dos perfs de velocdades axas abaxo mostram que a quebra de vórtce (vortex breakdown) é o resultado de um valor negatvo da velocdade como vsto na Fgura.6.b. É observado também que a velocdade axal ao longo da lnha de centro tem uma tendênca geralmente à dmnur com o aumento do número de Reynolds. E para alguns números crítcos de Reynolds, o mínmo desta velocdade axal dmnu para zero, estabelecendo assm um únco ponto de estagnação. Qualquer aumento adconal no número de Reynolds conduzra a um valor negatvo da velocdade axal mínma e, por consegunte, dos pontos de estagnação. Estes dos pontos de estagnação dentfcam os lmtes nferor e superor da quebra de vórtce. É evdente que as medções das velocdades são substancalmente consstentes com as vsualzações em termos de localzação e o tamanho das bolhas da quebra de vórtce. Na Fgura.6.c a velocdade axal no exo é máxma próxmo da mea altura da cavdade. Nota-se que, nesta combnação de Re e H/R, nenhuma quebra de vórtce é vsta quando Re está levemente abaxo do valor crítco, como vsto na Fgura.6.a. O comportamento da velocdade axal é muto próxmo do lmte dos dos regmes de escoamento. A velocdade axal tem um valor máxmo próxmo da extremdade nferor. A varação z da velocdade axal Vz nos exos é notável. Quando o número de Reynolds (Re = 190) aumenta além do valor crítco, uma unca quebra de vórtce é notado, o que é evdencado pelo contorno da componente da velocdade na dreção z somente com valores negatvos, em um plano medo no exo x. Conclu-se que quando o escoamento do fludo desestablza para formar um vórtce local, a velocdade axal dmnu em uma pequena dstânca do centro de lnha do clndro, e eventualmente, tornando-se um valor negatvo (o que sgnfca uma reversão na dreção do fluxo). A regão onde ocorre essa reversão de fluxo é geralmente pequena e a velocdade axal novamente reverte-se para uma dreção ascendente. Esta regão de fluxo reverso tem sdo chamada de quebra de vórtce na lteratura. 39

54 Nas Fguras.7.a-c percebe-se que as velocdades radas são máxmas próxmas da extremdade rotatva aumentando consderavelmente com o aumento do número de Reynolds no escoamento. A velocdade radal é geralmente proporconal a dstânca radal r, com a exceção da regão próxma da parede lateral. Na regão onde se forma o vortex breakdown é observado a alteração no sentdo do escoamento radal na regão central do domno, evdencando a presença do fenômeno. 40

55 (a) (b) (c) Fgura..6 - Perfl das componentes de velocdade axal em r = 0,0. (a) Re = 990 e h = 1,5; (b) Re = 190 e h = 1,5, (c) Re = 1010 e h =,5 41

56 (a) (b) Fgura..7 Perfl das componentes de velocdade radal em varas posções. (a) Re = 990 e h = 1,5, (b) Re = 190 e h = 1,5, (c) Re = 1010 e h =,5. (c) 4

57 .6. CONCLUSÃO A análse da função corrente proporconou uma valdação do códgo computaconal desenvolvdo, quando comparados os resultados do presente trabalho com aqueles apresentados por ESCUDIER (1984) e FUJIMURA et al. (001) e numercamente por BHAUMIK e LAKSHMISHA (007) e GUO et al. (1996),que avalaram o mesmo problema. Com relação ao desenvolvmento dos componentes de velocdade, fo observado que à medda que os números de Reynolds e razão de aspecto aumentam alguns fenômenos físcos ocorrem, como por exemplo, o fenômeno conhecdo como vortex breakdown no movmento gratóro. As causas para a formação da quebra de vórtce são as mesmas, ou seja, os elevados valores das velocdades angulares na regão próxma as extremdades rotatva que desacelera o escoamento axal na regão do vórtce, nduzndo-o a reversão e gerando zonas de recrculações com pontos de estagnação e de sela. Estas zonas de recrculação quase estagnadas são denomnadas vortex breakdown (quebra de vórtce) ou separação de vórtce. O captulo mostrou também que os vórtces de recrculação ocorrem em cavdades clíndrcas com as extremdades superor e nferor para certas combnações de números de Reynolds e razão de aspecto. Para altos valores de razão de aspecto da cavdade e números relatvamente baxos de número de Reynolds vórtces de recrculação delgadas aparecem sob os exos do clndro. Para altos números de Reynolds os vórtces de recrculação movem-se em dreção ao plano médo, eventualmente formando um vórtce torodal ao redor de um núcleo de vórtce axal. É precso estender esses tpos de escoamentos com novas smulações numércas para regmes com altos números de Reynolds e razões de aspectos a fm de nvestgar outras estruturas de escoamento com múltplas quebras de vórtces e regme estável. 43

58 CAPÍTULO 3 CONVECÇÃO EM CAVIDADES CILÍNDRICAS COM CO-/CONTRA ROTAÇÃO DAS EXTREMIDADES No presente capítulo é apresentada uma análse híbrdo-numérca para a convecção msta em escoamentos rotatvos confnados de fludos vscosos em uma cavdade clíndrca com as extremdades em rotação. As formulações das funções correntes, velocdades axas, radas e tangencas e da energa em coordenadas clíndrcas foram utlzadas para avalar os padrões do fluxo e as característcas de transferênca de calor. Fo empregada a GITT na solução das equações resultantes da modelagem do problema físco INTRODUÇÃO O estudo de escoamentos rotatvos de fludos confnados e a transferênca de calor por convecção em recpentes clíndrcos têm contrbuído para o desenvolvmento de equpamentos mas sofstcados e com níves de efcênca cada vez maores em aplcações tecnológcas. A convecção natural consste na transferênca de calor dentro de um fluído através de movmentos do própro fludo, ocorrendo como consequênca de dferenças na densdade, ocasonada pela dstrbução de temperaturas assocadas à força gravtaconal local e forças centrífugas. Seu estudo é de consderável mportânca em problemas de engenhara, uma vez que esta confguração pode ser tomada como uma representação smplfcada de mutas stuações prátcas em dversas áreas da engenhara (nuclear, solar, mecânca). Algumas destas aplcações podem ser encontradas em máqunas rotatvas, coletores solares, trocadores de calor, projetos de fabrcação de crstas para uso em memóras de computadores, etc. Sua utlzação se justfca por apresentar condções favoráves à condução de calor, por exemplo, no caso de trocadores ou em processos de separação pela utlzação da força centrfuga. 44

59 3. FORMULAÇÃO DO PROBLEMA 3..1 Descrção do Problema Físco Consdera-se o problema de convecção no escoamento permanente e lamnar de um fludo vscoso ncompressível em uma cavdade clíndrca com rotação nas extremdades. A confguração esquemátca do problema a ser analsado é mostrada na Fgura 3.1. Fgura Geometra do problema de convecção em cavdade clndrca com as extremdades em rotação. Fgura desenhada pelo autor a partr de nformações da obra de OMI e IWATSU (005). A velocdade angular da extremdade nferor é fxada em ω b (s b = -1) enquanto que o dsco superor ωt vara conforme a razão das velocdades angulares do dsco do topo (st) varado na faxa de -1,0 st 1,0. A temperatura da extremdade superor é mantda maor que a extremdade nferor (ΔT 0).A parede lateral do clndro é assumda ser adabátca. 3.. Formulação Matemátca do Problema Baseado na aproxmação de Boussnesq (BIRD, 00), as equações da contnudade, quantdade de movmento e energa, que modelam o movmento desse fludo e a transferênca de calor entre ele e as extremdades do clndro são descrtas, respectvamente, como se segue: 45

60 * * * ( rv r ) v z * * * 1 r r z 0 (3.1.a) * * * * * * * * v v r * v r P 1 ( rvr) v r vr v * * z * * * * * * r r z r r r r z * * * * * * v z * v z P 1 * v z v z * vr v ( * z r g T T * * * * * * 0) r z z r r r z * * * * * * * v v v v v * * 1 r r v vr v * * z * * * * r r z r r r z v T T 1 T T r z r r r z * * * * * * * r v * z * r * * * * (3.1.b) (3.1.c) (3.1.d) (3.1.e) As condções de contorno orgnas do problema são dadas por: * Em r 0 Em Em Em * r r * z 0 * z H * * * vz * T vr v 0 * ; (3..a-d) * r r v v v 0 ; * * * r z v v ; * * r z v v ; * * r z * T (3..e-h) * r * * * v br * T T T0 (3..-l) * * * v tr * T T T0 (3..m-p) As equações acma são escrtas na forma admensonal utlzando-se os seguntes grupos admensonas: * * * * r z H T T0 P r ; z ; h ; b sb; t st; T ; P ; R R R T R (3.3.a-g) v v r ; v ; v ; (3.3.h-j) R R R * * v v * r z z sendo h é a razão de aspecto da cavdade clíndrca. 46

61 em: Substtundo as quantdades admensonas nas equações (3.1) a (3.), resulta 1 ( rv r ) v z r r z v r 0 v v r v r P 1 1 ( rvr ) v r vz r r z r Re r r r z (3.4.a) (3.4.b) v v v r r r vz vz P 1 1 vz v z vz r RT r z z Re r r r z rv v v v v 1 1 v v r r z Re r r r z r z T vz r r z Re Pr r r r z T 1 1 T T (3.4.c) (3.4.d) (3.4.e) em que: Tg R= R Re Pr R (3.5.a) (3.5.b) (3.5.c) As condções de contorno admensonas são dadas por: Em r 0 Em r 1 Em z 0 v T v v 0 r r z r r z T v v v 0 r r z b v v v s r ; Em z h vr vz v str ; (3.6.a-d) (3.6.e-h) 1 T (3.6.-l) 1 T (3.6.m-p) 47

62 A função corrente bdmensonal é defnda em termos das componentes das velocdades nas dreções r e z, respectvamente, como: 1 1 v r ; vz r z r r (3.7.a-b) A fm de se expressar as equações de momento e de energa em termos de função corrente, derva-se a equação (3.4.b) com relação a z e a equação (3.4.c) com relação a r, os resultados são subtraídos e a defnção de função corrente é ntroduzda no resultado, tornando-se: 1 (E ) 1 (E ) 1 4 T E v E Rr r z r r r z r z z Re r v 1 v v 1 v 1 v 1 v v v r z r r r r z Re r r r r z T r z r r r z Re Pr (3.8.a) (3.8.b) (3.8.c) Sendo que os operadores assocados E, 4 E e são novamentes defndos como: E 1 r r r z (3.9.a) 4 E E E (3.9.b) 1 r r r z (3.9.c) As condções de contorno do problema após a defnção de função corrente tomam a forma a segur: (0, z) 1 (0, z) T(0, z) Lm Lm v (0,z) =0 r0 r r0 r r r r (3.10.a-d) (1, z) T(1, z) (1,z) v (1,z) r r (3.10.e-h) (r,0) (r,0) 0 z ; v (r,0) b s r ; 1 T(r,0) (3.10.-l) 48

63 (r,h) (r, h) 0 z ; v (r,h) t s r ; 1 T(r, h) (3.10.m-p) 3.3. METODOLOGIA DE SOLUÇÃO DO PROBLEMA A equação (3.8.a) resulta em um sstema dferencal de quarta ordem. A solução para este tpo de equação e as demas será resolvda através do uso da GITT, e cada uma das etapas de aplcação da técnca será mostrada a segur Determnação dos Problemas Auxlares A aplcação da GITT requer a escolha dos problemas de autovalores, que servrão como base para a expansão em autofunções dos campos de função corrente, velocdade tangencal e temperatura que serão obtdas de problemas auxlares assocados respectvamente as equações (3.8.a-c), com a fnaldade de explorar suas propredades de ortogonaldade. A próxma etapa deste método, que defn os problemas auxlares que permtrão encontrar suas respectvas autofunções e autovalores, será defnda a segur: Problema auxlar para o potencal auxlar da função corrente (r,z) : O problema de autovalor do tpo b-harmônco escolhdo para o potencal auxlar da função corrente, descrto pela equação (3.8.a), será aquele proposto anterormente por FEDELE (005), e que é dado por: 4 3 d d 3 d 3 d d 1 d X (r) r X (r) para =1,,3,... dr r dr r dr r dr dr r dr (3.11.a) com condções de contorno: X (r) d 1dX (r) r dr r dr Lm Lm 0 r0 r0 X (1) 0; dx (1) dr (3.11.b-c) (3.11.d-e) 49

64 em que X (r) e é a autofunção e o autovalor, respectvamente, que satsfaz a segunte propredade de ortogonaldade: dx (r) 0, j 1 1 dx (r) j dr (3.11.f) r dr dr L 0, j sendo L a norma ou ntegral de normalzação. A equação (3.11.a) é soluconada analtcamente para fornecer: rj r 1 X (r) r ; para =1,,3,... J1 (3.11.g) sendo que os autovalores αs são calculados da segunte equação transcendental: J ( ) 0; para =1,,3,... (3.11.h) e a norma defnda como: 1 1 dx (r) L dr= para =1,,3,4,... r dr (3.11.) 0 Problema auxlar para o potencal auxlar da velocdade tangencal v (r,z) : Para a componente v (r,z) utlzaremos o problema auxlar defndo como: 1 d d (r) 1 r dr dr r r (r) 0 para =1,,3,... (3.1.a) com condções de contorno (0) 0; (1) 0 (3.1.b-c) 50

65 sendo (r) e a autofunção e o autovalor, respectvamente, que satsfaz a segunte propredade de ortogonaldade: 0, j 1 r (r) j(r)dr M 0, j (3.1.d) sendo M a norma ou ntegral de normalzação. A equação (3.1.a) é soluconada analtcamente para fornecer: 1 (r) J r (3.1.e) sendo que os autovalores βs são calculados da segunte equação transcendental: 1 J 0; para = 1,,3,4,... (3.1.f) e a norma defnda como: J ( ) M r (r)dr para =1,,3,4,... (3.1.g) Problema auxlar para o potencal auxlar da temperatura T(r,z) : Para a componente T(r,z) o problema auxlar está assocado ao operador dfusvo de segunda ordem, que da orgem a um problema de tpo Sturm-Louvlle defndo como: d (r) dr 1d r (r) 0 para =1,,3,... r dr (3.13.a) com condções de contorno 51

66 d (0) d (1) dr dr 0; 0 (3.13.b-c) sendo (r) e é a autofunção e o autovalor, respectvamente, que satsfaz a segunte propredade de ortogonaldade: 0, j 1 r (r) j(r)dr N 0, j (3.13.d) sendo N é a norma ou ntegral de normalzação. A equação (3.8.a) é soluconada analtcamente para fornecer: 0 (r) J r (3.13.e) em que os autovalores µs são calculados da segunte equação transcendental: 1 J 0; para = 1,,3,4,... (3.13.f) e a norma defnda como: J ( ) N r (r)dr para =1,,3,4,... (3.13.g) Determnação dos Pares Transformada-Inversa As propredades de ortogonaldade (3.11.f), (3.1.d) e (3.13.d) fornecem os seguntes pares transformada-nversa para (r,z), v (r,z) e T(r,z), respectvamente: 1 d 1 d (z) X (r) (r, z)dr, transformada L dr r dr 1 0 (3.14.a) (r,z) X (r) (z), nversa (3.14.b) 1 5

67 1 1 v, ( z) r( r) v( r, z) dr transformada M (3.14.c) 0, (3.14.d) 1 v ( r, z) ( r) v ( z) nversa 1 1 T( z) r( r) T( r, z) dr transformada N (3.14.e) 0 T( r, z) ( r) T( z) nversa (3.14.f) 1 Determnado os pares transformada nversa, utlzam-se essas defnções na transformação ntegral dos sstemas de equações dferencas parcas resultantes obtendo-se um sstema de EDOs para os cálculos dos potencas transformados (r, z), v (r,z) e T(r,z) Transformação Integral do Sstema de EDPs Segundo o formalsmo da GITT, ocorrerá a transformação ntegral das equações dferencas parcas (3.8.a-c) que resultará em um sstema dferencal ordnáro, o qual fornecerá os potencas transformados (r, z), v (r,z) e T(r,z). Prmeramente, faz-se o uso do operador 1 X (r) dr na equação (3.8.a), problema do campo de função r 0 corrente, resultando em um sstema nfnto e acoplado de EDOs: 4 4 d Ψ j(z) d Ψ (z) α dψ k (z) A j =α 4 - Ψ (z)+re BjkΨ j(z) + j=1 dz dz j=1 k=1 dz (3.15.a) 3 dψ j(z) d Ψ k (z) d Ψ k (z) dv k (z) C jk +D jkψ j(z) + E 3 jk v, j(z) +R FjT j(z) dz dz dz j1 k1 dz j1 sendo os coefcentes defndos pelas ntegras: A X (r)x (r) 1 j jk r 0 dr (3.15.b) 53

68 1 3 1 d X j(r) 3 d X j(r) 3 dx j(r) Bjk X (r) X k (r) r dr r dr r dr 0 (3.15.c) 1 dx j(r) d X dx k(r) 1 j(r) dx k(r) dr 3 r dr dr r dr dr 1 X j(r) dx k (r) Cjk X (r) X 3 j(r)x k (r) dr r dr r (3.15.d) 0 D dx (r) 1 X (r) j jk X k (r)dr r dr (3.15.e) 0 X (r) (r) (r) (3.15.f) 1 Ejk j k r 0 dr d (r) 1 X (r) j j dr (3.15.g) r dr 0 F Para o problema da velocdade tangencal, faz-se o uso do operador 1 0 (r) dr r na equação (3.8.b), resultando também em um sstema nfnto e acoplado de EDO s: dv (z) = v (z)+re G v (z) H Ψ (z) (3.16.a) d v,(z) dψ k (z),j, jk, j jk k dz j1 k1 dz dz sendo os coefcentes defndos pelas ntegras: 1 1 d j(r) j(r) G jk (r) X k (r)dr M dr r (3.16.b) dx k (r) H jk (r) j(r) dr M dr 0 (3.16.c) Fnalmente, para operar a equação (3.8.c), problema do campo de temperatura, usa-se o operador acoplado de EDOs: 1 0 r (r)dr, resultando mas uma vez em um sstema nfnto e dψ k(z) dt j(z) = T (z)+repr IjkT j(z) Jjk Ψ k (z) dz j1 k1 dz dz (3.17.a) d T (z) 54

69 os coefcentes ntegras são defndos por: d (r) I (r) X (r)dr (3.17.b) 1 1 j jk k N dr dx k (r) J jk (r) j(r) dr N dr 0 (3.17.c) O mesmo procedmento pode ser conduzdo nas condções de contorno defndas pelas Eqs. (3.10.-p), para assm resultar: d ) ) 0; v,(0) f T ) h dz (3.17.a-d) d h) h) 0; v,h) g ; T h) dz (3.17.e-h) em que: s s M (3.18.a) J ( ) 1 b b f r (r)dr 0 0 s s M (3.18.b) J ( ) 1 t t g r (r)dr , =1 h r (r)dr N 0 0, >1 (3.18.c) 1 1 1, =1 r (r)dr N 0 0, >1 (3.18.d) Os coefcentes ntegras foram resolvdos numercamente, utlzando novamente a subrotna da bbloteca IMSL (014) para obter os resultados dentro de uma precsão prescrta de O tempo computaconal para o cálculo dessas ntegras aumenta, substancalmente, à medda que aumentamos a quantdade de termos nas expansões. Novamente o problema dferencal parcal orgnal fo transformado num sstema nfnto de EDOs acopladas, consttundo um problema de contorno, de segunda ordem e não lneares. 55

70 3.3.4 O Algortmo Computaconal Para a solução do sstema de equações dferencas ordnáras acopladas e nfntas, e do ponto de vsta computaconal o sstema deve ser truncado em uma ordem fnta, sufcentemente grande que permta obter soluções convergdas para uma determnada precsão desejada. Deste modo, para adaptar a estrutura da equação (3.15.a) é necessáro reescrever o sstema de equações dferencas de quarta como um sstema de equações dferencas de prmera ordem, defnndo-se o vetor solução W como: ; 1,,3,..., NF (3.19.a) W d dw W NF (3.19.b) dz dz d d d dw dz dz dz dz NF d d d dw dz dz dz dz 3 NF d d d dw 4 3 dz dz dz dz, 4NF 3NF W NF W 3NF (3.19.c) (3.19.d) (3.19.e) v W ; =1,,3,...,NV (3.19.f) dv dw W 4NFNV (3.19.g) dz, 4NF dz d v, d dv, dw 4NFNV dz dz dz dz 4NFNV (3.19.h) T W ; =1,,3,...,NT (3.19.) dt dz d T dw 4NFNV W 4NFNVNT (3.19.j) dz d dt dw dz dz dz dz 4NFNVNT (3.19.l) obtém-se: Substtundo as equações (3.19.a-l) nas equações (3.15.a), (3.16.a) e (3.17.a), 56

71 dw NF 4 NF NF 3NF A j =α W NF- W +Re BjkWjW knf +CjkWj NFWk NF j=1 dz j=1 k=1 NV NV α +D W W + E W W +R F W jk j k3nf jk j4nf k4nfnv j j4nfnv j1 k1 j1 dw dz dw 4NFNV 4NFNVNT J W dz NV NF 4NF jk j4nf knf jk j4nfnv k j1 k1 NT (3.0.a) = W +Re G W W H W W (3.0.b) jk j4nfnv NT k NT NF = W +RePr I W W 4NFNV jk j4nfnv knf j1 k1 W (3.0.c) Com as condções de contorno (3.17.a-h) sendo submetdas ao mesmo procedmento, tem-se: W ) W (0) 0; W (0) f W (0) h (3.1.a-d) NF 4NF 4NFNV W h) W (h) 0; W (h) g W (h) (3.1.e-h) NF 4NF 4NFNV O sstema de equações (3.0.a-c) agora está no formato para a solução numérca. As expansões são então, truncadas em NF, NV e NT termos para os campos de função corrente, velocdade e temperatura, respectvamente, onde as ordens de truncamento são automatcamente seleconadas ao longo da ntegração, de modo a atngr a precsão desejada Cálculo do Campo de Velocdade A componente tangencal é calculada pela equação (3.14.d) enquanto que os campos de velocdades axas e radas podem ser obtdos a partr da defnção de função corrente dada pelas Equações (3.7.a-b), depos de ntroduzr a fórmula de nversão (3.14.b) obtém-se: v v r z X d ( z) (3..a) r dz 1 1 d X ( r) ( z) (3..b) r dr 1 57

72 3.3.6 Cálculo do Número de Nusselt Os números de Nusselt local, para a extremdade superor e nferor do recpente clíndrco, são defndos a partr de: T Nu z z 0 ou h (3.3.a) pode ser calculado analtcamente, ao se substtur a fórmula de nversão (3.14.f), resultando em: dt (0) Nu0( r) ( r) (para a extremdade fra do clndro) (3.3.b) dz 1 dt ( h) Nuh( r) ( r) (para a extremdade quente do clndro) (3.3.c) dz 1 O número de Nusselt médo é obtdo da ntegração do número de Nusselt local através da cavdade, dado por: 1 1 Nu Nu( r)rdr (3.3.d) 0 Os valores numércos de Nusselt médo são calculados com o auxílo da fórmula de nversão (3.14.f) RESULTADOS E DISCUSSÃO Foram estudados os casos para números de Reynolds na faxa de 100 Re 000 e Rchardson de 0R 1, sempre na cavdade clíndrca (razão de aspecto gual a ) preenchda com fludo newtonano, e número de Prandtl gual a 1, correspondente ao valor utlzado por Om e Iwatsu (005), que utlzou o método de dferenças fntas, e sendo utlzados para comparação dos resultados deste trabalho. Para a solução do sstema dferencal ordnáro utlzou-se a subrotna DBVPFD da bbloteca IMSL (014) com erro relatvo global prescrto de 4 10 para obtenção dos potencas transformados e com guas ordens de truncamento N=NF=NV=NT para todos os campos. 58

73 Análse de convergênca e valdação dos resultados Os resultados foram obtdos para números de Reynolds na faxa 500 Re 000 e números de Rchardson (R = 0,0 e 1,0). Em todos os casos apresentados, o número de Prandtl (Pr) e a razão de aspecto (h) utlzada foram guas a 1,0 e,0, respectvamente. Deste modo os resultados são tabelados de acordo com as posções ao longo das dreções r e z, tornando possível observar o progresso da convergênca com o aumento da ordem de truncamento à medda que o fluxo escoa na cavdade clíndrca nos sentdos de contra-rotação das extremdades. No estudo foram escolhdas três posções ao longo da dreção z, sendo uma próxma da extremdade nferor do clndro (base no sentdo ant-horáro), outra na metade da altura cavdade (correspondente H/) e uma tercera próxma á extremdade superor (topo no sentdo horáro). Na dreção radal, escolheram-se duas posções fxas para a análse de convergênca, sendo a prmera no centro do clndro (r = 0) para a velocdade axal e a segunda na metade da espessura da cavdade (r = 0,5) para as velocdades radas e tangencas. As posções próxmas da parede, do centro do clndro, das extremdades superores e nferores foram escolhdas por pertencerem às regões de maores gradentes, onde se espera que a convergênca seja atngda com maores ordens de truncamento. Na Tabela 3.1 são apresentados os resultados para o comportamento da convergênca da velocdade axal na posção radal r = 0,0, em dferentes posções axas, para h =, Pr = 1, Re = 100 e 000 e R = 0,0 e 1,0. Pode-se verfcar que para Re = 100 e números de R = 0,0 e 1,0 que os resultados apresentaram uma excelente taxa de convergênca alcançada com três dígtos sgnfcatvos (N = 40) nas expansões, para todas as posções de r e z. No entanto, para Re = 000 e R = 0 e 1 nas posções z = 0,1 e 1,9, os números de termos utlzados nas séres não foram sufcentes para alcançar a convergênca completa da velocdade axal acarretando o aumento do custo computaconal. Percebe-se, que quando se aumenta os valores de Re e R, o processo de convecção msta va ganhando mportânca e dfcultando o processo de convergênca dos potencas transformados da função corrente, consequentemente, do campo de temperatura motvados pelo aumento da velocdade do fludo e os efetos de flutuabldade deste no escoamento rotatvo. A equação (3..b), que descreve a velocdade axal, é dfcultada pela presença do efeto da ntensdade de rotação de ambas as extremdades do clndro. 59

74 O comportamento da convergênca para a velocdade radal e tangencal pode ser vsto nas Tabelas 3. e 3.3, para números de Reynolds guas a 100 e 000 e números de Rchardson guas a 0 e 1 em r = 0,5 e váras posções axas. Verfca-se que quando se aumenta o número de Reynolds, a convergênca da componente tangencal da velocdade ocorre com menor número de termos nas séres do que para a componente radal, quando consderadas as mesmas posções da seção da cavdade. Novamente quando se aumenta Re e R a convergênca da componente tangencal da velocdade acontece com 60 termos no tercero dígto sgnfcatvo nas posções mas próxma das extremdades do clndro. No entanto, para a componente radal, essa convergênca só ocorre com 80 termos (no tercero dígto sgnfcatvo) nas expansões quando se aumenta o número de Reynolds. Isto ocorre, porque a equação (3..a) que relacona a componente radal com a função corrente é calculada a partr da dervada da função corrente com relação à z dfcultando a convergênca dessa componente em comparação com a velocdade tangencal orgnada da equação (3.14.d). Conclu-se, portanto que, para altos números de Reynolds e Rchardson que o processo de convecção que atua como um termo fonte predomna nos termos de nérca (perfs de velocdades) e dfusão afetando na establdade do fluxo através do aumento da flutuabldade, ou seja, na cavdade deve possur energa cnétca sufcente para homogenezar o fludo. Analsa-se no presente trabalho, apresentado na Tabela 3.4, a taxa de convergênca dos números de Nusselt médos ( Nu ) para Re = 500,1000 e 000 e R = 0,0 e 1,0. O número de Nusselt médo local converge com menos termos na ordem de truncamento de dígtos (NT = 60), com quatro dígtos sgnfcatvos, para Re e R menores. Quando se aumenta os números de Reynolds e Rchardson essa convergênca torna-se mas lenta. Este fato é observado quando se analsa a equação (3.3.a) notamos que esse coefcente é obtdo pela dervada da velocdade tradal quando se aplca a fórmula da nversa dfculta a convergênca prncpalmente nas posções próxmas do topo do clndro. 60

75 Tabela Convergênca da velocdade axal para h =, Re = 100 e 000, Pr = 1,0, à dferentes números de Rchardson e váras posções axas em r = 0,0. Re = 100 N R = 0,0 R = 1,0 z = 0,1 z = 1,9 z = 0,1 z = 1, E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-01 Re = 000 N R = 0,0 R = 1,0 z = 0,1 z = 1,9 z = 0,1 z = 1, E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0 N = NF=NV=NT 61

76 Tabela 3. - Convergênca da velocdade radal para h =, Re=100 e 000, Pr = 1,0, à dferentes números de Rchardson e váras posções axas em r = 0,5. Re = 100 N R = 0,0 R = 1,0 z = 0,1 z = 1,0 z = 1,9 z = 0,1 z = 1,0 z = 1, E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-01 Re = 000 N R = 0,0 R = 1,0 z = 0,1 z = 1,0 z = 1,9 z = 0,1 z = 1,0 z = 1, E E E E E E E E E E-0 0.7E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-0 N = NF=NV=NT 6

77 Tabela Convergênca da velocdade tangencal para h =, Re=100 e 000, Pr = 1,0, à dferentes números de Rchardson e váras posções axas em r = 0,5. Re = 100 N R = 0,0 R = 1,0 z = 0,1 z = 1,9 z = 0,1 z = 1, E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 Re = 000 N R = 0,0 R = 1,0 z = 0,1 z = 1,9 z = 0,1 z = 1, E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 N = NF=NV=NT 63

78 Tabela Convergênca para os números de Nusselt médos para h = e Pr = 1,0, à dferentes números de Rchardson e Reynolds. R = 0 N Nu 0 Re = 500 Re = 1000 Re = 000 Nu h Nu 0 Nu h Nu 0 Nu h E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+01 R = 1 N Nu 0 Re = 500 Re = 1000 Re = 000 Nu h Nu 0 Nu h Nu 0 Nu h E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E+00 N = NF=NV=NT 64

79 3.4. Isolnhas de função corrente e temperatura. As Fguras (3..a-e) e (3.3.a-e) mostram o comportamento das solnhas de função corrente e temperatura para o número de Reynolds gual a 1000 e Rchardson (R = 0 e 1) para a faxa de parâmetro de rotação de -1 st 1 com Prandtl fxo gual 1. Serão avalados os efetos do número de Rchardson e os parâmetros de rotação da velocdade angular do topo (st) e o da base, que permanece fxa, ou seja, sb é negatvo (= -1). Quando st for gual a 1 as extremdades da cavdade executam uma máxma rotação. Sabe-se também que para st com valores negatvos, os dscos do topo e da base estão rotaconando na mesma dreção com velocdades angulares dferentes. Devdo a smetra geométrca, as solnhas de função corrente e as sotermas são smétrcas em relação a metade do plano a z = 1,0. Prmeramente analsa-se a nfluênca dos parâmetros de rotação do topo (st) para número de Rchardson gual a 0. Na Fgura 3..b ocorre o aparecmento de uma célula crculante (vórtce) crada no plano merdonal que é o resultado da teração dnâmca entre os componentes de rotação das extremdades movdos pela ação da força centrífuga e de nérca. Na Fgura 3..a ocorre a presença de quebras de vórtces antssmétrcas enquanto nas Fguras 3..c e 3..d as quebras ocorrem nos cantos superores. Na Fgura 3..e não ocorre o aparecmento de quebras antssmétrcas. As sotermas nas Fguras (3..a-e) apresentam alta ntensdade nas regões próxmas das paredes do topo e da base tornando cada vez mas vsíves a formação das camadas lmtes térmcas nas extremdades dessa cavdade. Segundo OMI e IWATSU (005) para o caso de escoamento co-rotatvos (st < 0) o fludo no volume da cavdade exbe rotação quase rígda com uma velocdade angular ntermedára de ambas as extremdades. Percebe-se o aparecmento de um fluxo axal quase unforme nas vznhanças dos exos rotatvos como o resultado da formação da camada lmte de Ekman. Nesta, a força de Corols prepondera sobre o gradente de pressão, forçando o transporte de massa para a parede lateral e formando uma regão de baxa pressão no centro das extremdades rotatvas. Para escoamentos contra-rotatvos (st > 0) o fluxo csalhante é crado entre os contornos do topo e da base e zonas de recrculações são formados em toda a seção merdonal da cavdade. Sabe-se que quando st = 1, os campos de velocdades e temperatura são antssmétrcos no plano de mea altura (z = 1). 65

80 Anda segundo OMI e IWATSU (005) para todos os valores de st e para este número de Reynolds a convecção domna o transporte térmco e o gradente vertcal de temperatura é concentrado nas vznhanças dos contornos da base e do topo. Para st gual a 1 e -1, o gradente vertcal de temperatura também é mas vsível no nteror, sobre a porção radal externa (r > 0,5) do meo do plano à z = h/. As Fguras (3.3.a-e) mostram a nterferênca do parâmetro st com o número de Rchardson gual a 1. Notam-se para este número de Rchardson que as sotermas são pratcamente paralelas nas posções 0,5 < z < 1,5 e mas concentrado próxmas do topo e da base do clndro com um gradente de temperatura constante na maor parte do fludo mostrando claramente a predomnânca do processo condutvo de transferênca de calor. Segundo OMI e IWATSU (005) a condção de que a estratfcação da temperatura é mportante, embora as camadas lmtes sejam formadas em ambas as extremdades rotatvas, como um resultado da nbção do movmento vertcal atuada pelas forças de empuxo e a sucção de Ekman desaparece no nteror da cavdade. O fludo no nteror permanece em repouso apesar das rotações. O comportamento está em constraste como o caso anteror de R = 0 onde o volume do fludo rotacona com uma velocdade angular ntermedára dos dscos do topo e da base. A lgação entre as camadas lmtes da base e do topo desaparece e o fludo nas vznhanças de cada dsco rotacona em cada dreção. Sabe-se que o número de Rchardson for menor que um, a flutuabldade não é mportante. Caso contráro com R > 1, a flutuabldade é domnante, pelo fato de que exste energa cnétca nsufcente para homogenezar o fludo. Se R = 1, o escoamento provavelmente é drgdo pela força de empuxo, ou seja, a energa do escoamento orgna-se da energa potencal. Nota-se que aumento do número de Rchardson desestablza o escoamento. Conclu-se que para R = 0, o escoamento no caso de contra-rotação é mas nstável do que para escoamentos corotatvos, e causa uma mudança notável nas estruturas do escoamento e transferênca de calor. 66

81 (a) (b) Fgura 3..a - Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 0 e st = -1; (a) Função corrente (b) Isotermas. (a) (b) Fgura 3..b - Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 0 e st = 0; (a) Função corrente (b) Isotermas. 67

82 (a) (b) Fgura 3..c - Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 0 e st = 0,1; (a) Função corrente (b) Isotermas. (a) (b) Fgura 3..d - Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 0 e st = -0,1; (a) Função corrente (b) Isotermas. 68

83 (a) (b) Fgura 3..e - Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0, R = 0 e st = 1,0; (a) Função corrente (b) Isotermas. (a) (b) Fgura 3.3.a - Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0; R = 1 e st = -1,0; (a) Função corrente (b) Isotermas. 69

84 (a) (b) Fgura 3.3.b - Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0; R = 1 e st = 0; (a) Função corrente (b) Isotermas. (a) (b) Fgura 3.3.c - Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0; R = 1 e st = 0,1; (a) Função corrente (b) Isotermas. 70

85 (a) (b) Fgura 3.3.d - Gráfcos de contorno para Re = 1000, h =,0; R = 1 e st = -0,1; (a) Função corrente (b) Isotermas. (a) (b) Fgura 3.3.e - Gráfcos de contorno para Re = 1000, h=,0; R = 1 e st = 1; (a) Função corrente (b) Isotermas. 71