3 Modelo Matemático. (a) vista superior da construção do protótipo. (b) vista lateral da construção do protótipo

Transcrição

1 3 Modelo Matemátco Neste capítulo, são detalhados os modelos matemátcos utlzados para o desenvolvmento do trabalho. O presente estudo consste em analsar numercamente o campo de velocdades no modelo em acrílco de um hdrocclone da Aker Kvaerner (empresa Norueguesa) para ldar com altos teores de óleo em estudo pela Petrobras. De forma a avalar o desempenho de dferentes modelos de turbulênca, consderou-se este hdrocclone também utlzado por Marns (007) em seu trabalho epermental. O modelo computaconal do hdrocclone fo construído com base no desenho mecânco das peças do equpamento feto em acrílco, para os trabalhos epermentas conduzdos no CENPES, mostrado na Fg. 3.. O hdrocclone possu cerca de 800 mm de comprmento e 70 mm de dâmetro na secção de entrada, possundo,046 ltros. A saída de reeto é denomnado overflow (lado dreto da Fg. 3. b) e a saída de fundo, underflow (lado esquerdo Fg. 3. b). (a) vsta superor da construção do protótpo (b) vsta lateral da construção do protótpo Fgura 3.: Esquema do Hdrocclone BOWC da Aker Kvaerner de alto teor de óleo (Marns, 007). (a) Vsta superor (b) vsta lateral da construção do protótpo em acrílco

2 Modelo Matemátco 3 De modo a facltar a modelagem numérca do escoamento, ntroduzu-se uma smplfcação na geometra da entrada de fludo no hdrocclone, conforme lustrado na Fg. 3.. No modelo real as entradas são por cma do hdrocclone (paralelas ao reeto) cando em duas câmaras convergentes cua área de passagem retangular, tangencal à nvoluta, decresce até a largura fnal de 4,8mm por 44 mm de altura. Neste trabalho, foram modeladas duas entradas tangencas de secção retangular constante com base no tamanho fnal do canal tangencal (4,8mm 44mm). Smplfcações semelhantes das entradas tangencas foram observadas no trabalho de Averous e Fuentes (997), que afrmaram que a correta estmatva da turbulênca na entrada sera rrelevante porque a turbulênca no nteror do hdrocclone sera nerentemente formada pela confguração do escoamento no nteror do hdrocclone, sendo nfluencado pela curvatura e pela dmnução de secção. Contudo, Cullvan et al. (004) ndcaram que as estruturas do escoamento formadas unto à entrada (estruturas secundáras como componentes radas e aas) se desenvolvem ao longo do hdrocclone, podendo afetar de modo sensível os perfs de velocdades. Fgura 3.: Modelo smplfcado adotado. Para promover a separação de fases com dferentes densdades no nteror de hdrocclones é necessáro um forte campo de acelerações centrífugas, o qual é obtdo com altas velocdades no escoamento, tornando-o turbulento. O escoamento em hdrocclones é claramente transente, apresentando osclações peródcas do vórtce central ao redor da lnha aal do equpamento, como observado por Marns (007).

3 Modelo Matemátco 33 A turbulênca se manfesta, em stuações de escoamentos com número de Renolds elevado, através de nstabldades do escoamento lamnar. A turbulênca é caracterzada por uma varedade de escalas, sendo a menor escala nversamente proporconal ao número de Renolds (escalas espacas proporconas a Re -3/4 ). Apesar da presença de pequenas escalas de turblhões em escoamentos turbulentos, a hpótese do contínuo se mantém válda, uma vez que as menores escalas de comprmento envolvdas no problema são superores ao camnho lvre médo das moléculas. O escoamento turbulento é dsspatvo e precsa de um suprmento contínuo de energa, caso contráro, deca rapdamente. Uma forma de garantr este suprmento é dada pela própra deformação do escoamento médo. Do ponto de vsta prátco, uma das característcas mas mportantes da turbulênca é o aumento do transporte das propredades de escoamento causada pelo seu movmento desordenado. Um dos grandes desafos na modelagem do escoamento no nteror de hdrocclones, está dretamente relaconado ao fato de que a função do mesmo é de separar as fases com a aceleração centrífuga, enquanto que a turbulênca, pelo seu caráter dsspatvo tendera a homegenzar o escoamento. Como os dados epermentas foram obtdos com escoamento de água à temperatura ambente, foram usadas as hpóteses de fludo newtonano e sotérmco. Adconalmente, desprezou-se o efeto gravtaconal, tendo em vsta este ser muto nferor ao efeto centrfugo. Assm as equações a serem resolvdas resumem-se nas equações de conservação de massa e quantdade de movmento lnear: ~ U 0, (3.) ( ~ ~ ) ~ U U U ~ P ~ U, (3.) t onde ~ ~ U são os componentes da velocdade, P é a pressão, e são a massa específca e vscosdade molecular, respectvamente, e e t são as coordenadas espacas e temporal. O sstema acma apresenta quatro varáves (os três componentes da

4 Modelo Matemátco 34 velocdade e a pressão) e quatro equações, permtndo sua solução dreta, abordagem esta conhecda como DNS (Drect Numercal Smulaton). Contudo, devdo às dmensões das pequenas escalas presentes no escoamento turbulento, não há epectatva da obtenção de soluções numércas dretas para stuações de nteresse ndustral em um futuro prómo, pos estas requerem níves de dscretzação espacal e temporal etremamente pequenos para a correta caracterzação dos vórtces formados no nteror de hdrocclones. Assm são necessáras hpóteses smplfcadoras. Além da DNS, de aplcação restrta, estem hoe duas outras abordagens para modelos de escoamentos turbulentos: a méda de Renolds (RANS), e a smulação de grandes escalas (LES). No presente trabalho, utlzou-se ncalmente, modelos baseados nas médas de Renolds (RANS), segudo da modelagem LES. Para as análses ncas, o modelo RNG baseado na méda de Renolds fo seleconado, devdo ao menor custo computaconal e maor robustez (ácl convergênca) de acordo com Bhaskar et al, (007). A segur utlzou-se um modelo de tensão de Renolds, também baseado na méda de Renolds e na etapa fnal, empregou-se a técnca de Smulação de Grandes Escalas (LES). A segur, as abordagens RANS e LES utlzadas no presente trabalho para estudar o escoamento, serão descrtas com mas detalhes. 3. Equações Médas de Naver-Stokes (RANS) O conceto de méda de Renolds consdera que todas as propredades do escoamento podem ser descrtas como um valor médo U mas uma flutuação u, como a velocdade apresentada abao: onde ~ U U u, (3.3) ~ U U t t d t. (3.4) Note-se que a méda da flutuação é zero, por defnção, a méda do produto

5 Modelo Matemátco 35 da flutuação pelo valor médo também é zero, mas o produto de duas flutuações só é zero se não houver correlação entre elas, o que não é o caso das componentes da velocdade. Consderando-se satsfatóro determnar somente o componente médo de velocdade, torna-se necessáro reescrever as equações de transporte em função das grandezas médas. Isto pode ser obtdo com a ntrodução das grandezas turbulentas nas equações de conservação e calculando-se uma méda temporal das mesmas. Elmnando a barra para smplfcar a notação ( U U ) obtêm U 0, (3.5) U ( U U ) P U ( u u ). (3.6) t Observa-se que o termo não lnear da equação de quantdade de movmento lnear, gera um termo novo, u u, denomnado tensor de Renolds. Estem duas abordagens para solução do problema de estmar o valor do tensor de Renolds. Através do conceto de vscosdade turbulenta, baseada na hpótese de Boussnesq. Os modelos de duas equações pertencem a esta categora. Através da modelagem da equação de transporte para as tensões de Renolds Ambas as abordagens serão consderadas no presente trabalho. 3.. Modelos de Vscosdade Turbulenta: Modelo RNG A base deste modelo segue o que fo proposto por Boussnesq em 877 (Hnze, 975): que consste em modelar o tensor de Renolds através de taas de deformação do escoamento médo, de forma semelhante a Newton para as tensões vscosas. Fazendo uma alusão clara à percepção de que o efeto prátco da turbulênca é de aumentar a dfusão das grandezas médas. Kolmogorov propôs, em 94, de forma mas generalzada, a segunte relação para o tensor de Renolds, nos moldes do que hava sdo proposto por Boussnesq:

6 Modelo Matemátco 36 t U U uu δ, (3.7) 3 sendo t a vscosdade turbulenta, a energa cnétca turbulenta e δ o delta de Kroneker. O últmo termo da Eq. (3.7) representa os efetos das flutuações da pressão sobre o tensor de Renolds, sendo modelado como uma pressão dnâmca. Nestes modelos temos embutda a consderação de alnhamento entre o tensor de Renolds e a taa de deformação. Isto sabdamente apresenta desvos quando temos escoamentos assocados a efetos de curvatura, regões de separação e aceleração. Dversas varações ou correções nas constantes foram sugerdas para melhorar a concordânca com resultados epermentas (Daí et al, 999). No presente trabalho fo empregada a correção mas ndcada nas referêncas, proposta por Yakhot et al (99) e que fo dervada a partr da teora de Grupo de Renormalzação. Esta versão, denomnada de modelo RNG, determna teorcamente as constantes e funções do modelo, e não emprcamente, como no caso do modelo tradconal. Para altos números de Renolds, a vscosdade turbulenta é defnda como no modelo padrão: t C, (3.8) Uma vez que a turbulênca é afetada pela rotação ou swrl no escoamento médo, é convenente que o modelo leve em consderação este efeto. Para este fm, o modelo RNG defne a vscosdade turbulenta de acordo com t to f αs,w,, (3.9) onde to é o valor da vscosdade turbulenta calculado sem a modfcação devdo a presença do escoamento espralado, W é um número de swrl característco, calculado pelo software Fluent, e α s é uma constante de rotação, que assume dferentes valores, dependendo da ntensdade da rotação do escoamento. Fo utlzado o valor padrão de 0,07 para essa constante.. Para altas rotações, valores mas elevados desta constante devem ser utlzados.

7 Modelo Matemátco 37 A energa cnétca e sua dsspação são obtdas de suas respectvas equações de transporte: ( ) ( ) α G U t t ) (, (3.0) ( ) ( ) α R C G C U t k t ) ( (3.) onde G é o termo de produção de energa cnétca U u u G. (3.) Pela análse das equações acma observa-se que o modelo RNG apresenta um termo adconal, R, em relação ao modelo usual, o qual é a prncpal dferença entre os modelos, sendo dado por: ( ) 3 3 β η η η η o C R / e η S, (3.3) onde S é o módulo do tensor deformação S S S ; U U S, (3.4) e as constantes η o 4,38 e β 0,0. Nas equações de e, α k e α correspondem aos nversos dos respectvos números de Prandtl para o transporte turbulento e são obtdos pela segunte relação: t o o α α α α ,,,,,, (3.5) onde α ο,0. Nas stuações de alto número de Renolds, α α,393. As constantes do modelo foram utlzadas sem alterações ou otmzações,

8 Modelo Matemátco 38 vsto que o foco é trabalhar com modelos que pudessem ser generalzados para a smulação do escoamento no nteror do hdrocclone. Contudo, dferem um pouco das utlzadas no modelo usual. As constantes utlzadas foram: C 0,9; C,4; C,68; C υ 00; η o 4,48; β0,0 e α o. 3.. Modelo RSM Apesar de sua grande utlzação no âmbto das aplcações de engenhara, os modelos de turbulênca a duas equações, como enfatzado anterormente, têm uma defcênca ntrínseca, pos fazem uso da hpótese de Boussnesq. Esses modelos assumem uma vscosdade turbulenta como uma grandeza escalar, o que somente correspondera à realdade nos casos em que os elementos do traço do tensor de Renolds têm valores apromadamente guas. Embora esses modelos possam ser empregados com sucesso nos casos de escoamentos csalhantes smples, suas hpóteses fundamentas não são razoáves para os casos de escoamentos compleos. Os modelos, podem ser modfcados para levar em conta alguns dos efetos ansotrópcos presentes em escoamentos compleos. Para sso aumenta-se o número de equações dferencas do modelo, e nesse caso, pode ser mas nteressante, do ponto de vsta computaconal, dear de trabalhar uncamente com a energa cnétca turbulentas e sua taa de dsspação para se consderar todos os componentes do tensor de Renolds. A comprovação da argumentação teórca apresentada acma fo observada em dversas referêncas, onde resultados de smulações compatíves com dados epermentas são apresentados, por eemplo, Wang et al. (006), que utlzaram resultados do modelo RSM para comparar com dados epermentas obtdos com LDV, ou Coklat et al (006) que também ctam uma boa concordânca dos dados numércos obtdos com o modelo RSM para cclones com os dados epermentas com LDV, especalmente para o perfl de velocdade tangencal. Anda, vale ressaltar que uma boa concordânca dos resultados da smulação com os dados epermentas fo atngda sem a necessdade de auste de constantes, mostrando a aplcabldade desta abordagem para dferentes stuações e geometras.

9 Modelo Matemátco 39 Assm, no presente trabalho, seleconou-se o modelo RSM com a apromação quadrátca (SSG) apresentada por Spezale et al. (99) para analsar o escoamento e comparar com os dados epermentas do hdrocclone ATO. Os termos da equação de transporte para o tensor de Renolds são: u u t C DT, DL, P φ F. (3.6) Na Eq. (3.6), os termos C, convecção, D L, dfusão molecular, P, produção e F,, produção por rotação, não requerem modelagem, sendo defndos por C ( Uk u u ) (3.7) k D L, ( u u ) k (3.8) k U U P u uk u uk (3.9) k k F ( u u u u ) ω m km m km (3.0) onde k é o símbolo de permutação (símbolo Lev-Cvta) e ω k é a rotação. A dfusão turbulenta, D T,, é modelada com base no trabalho de Len e Leschzner (994), com o valor da constante σ,0 D t T, ( u u ). (3.) k σ k A vscosdade turbulenta é calculada de modo análogo ao modelo, através da Eq. (3.8). Fo utlzada a apromação quadrátca SSG para o termo de redstrbução, φ, conforme ctado na ntrodução desta seção, sendo modelado com base no trabalho de Spezale et al. (99), o qual pode ser escrto da segunte forma:

10 Modelo Matemátco 40 φ ( C C * P) ( C C * 3 3 bb ) C5 ( b Ω b Ω ) k k b Cbkbk bmnbmnδ 3 S C4 bk S k b k Sk bmnsmnδ 3 k k (3.) onde P (/) P kk, e o b k é a parcela devatórca do tensor de Renolds defndo como: u u δ b 3. (3.3) A taa de redstrbução méda S é defnda como: S U U, (3.4) e o tensor médo da taa de rotação, Ω, como: U U Ω. (3.5) As constantes deste modelo são: C 3,4; C *,8; C 4,; C 3 0,8; C 3 *,3; C 4,5; C 5 0,4. O tensor de dsspação,, é modelado com base na taa de dsspação escalar, e esta é calculada por uma equação de transporte, smlar à do modelo padrão, sendo: δ, (3.6) 3 t ( ) ( U ) t C G C σ, (3.7)

11 Modelo Matemátco 4 e suas constantes são: σ,0; C,44; C,9. 3. Smulação de Grandes Escalas (LES) A Smulação de Grandes Escalas (Large Edd Smulaton LES) é uma metodologa ntermedára, em termos de custo computaconal, entre a Smulação Dreta (DNS) e a smulação va equações médas de Renolds (RANS). Na modelagem LES, as grandes estruturas turbulentas que contém a maor parte da energa são resolvdas dretamente através da solução das equações de transporte fltradas, enquanto que apenas as menores estruturas são modeladas. O processo de fltragem consste em utlzar um fltro espacal nas equações de Naver-Stokes para separar os vórtces assocados às grandes escalas dos pequenos vórtces, menores que a malha computaconal, chamados de sub-malha. Consderando-se que as menores estruturas tendem a ser mas homogêneas e sotrópcas e menos afetadas pelas condções de contorno, espera-se que os resultados advndos desta formulação seam mas unversas e ndependentes dos dferentes tpos de escoamentos, quando comparados com a modelagem baseada na méda de Renolds. Assm, espera-se que a solução do escoamento utlzando a modelagem LES possa capturar, por eemplo, osclações no tempo do vórtce central e turbulêncas em desequlíbro. Consderando que a velocdade pode ser escrta como uma parcela resolvda u e parcela da sub-malha u ( ~ U u u ), as equações de Naver-Stokes ncompressíves e fltradas são apresentadas abao: u 0 (3.8) e u t ( u u ) p u g τ (3.9) sendo o tensor sub-malha, τ, defndo por:

12 Modelo Matemátco 4 ( u u u u ) τ (3.30) Estem dferentes modelos para o tensor sub-malha. O prmero modelo desenvolvdo fo o modelo de Smagornsk-Lll (Smagornsk, 963). Este modelo fo utlzado com bons resultados nos trabalhos de Narasmha et al. (006) e Brennan et al. (007), tendo sdo seleconado para ser utlzado no presente trabalho. A modelagem do tensor sub-malha utlza a hpótese de Boussnesq, de modo que: τ t τ kk δ S, (3.3) 3 sendo t a vscosdade turbulenta sub-malha e S o tensor para as escalas resolvdas defndo por: S u u. (3.3) A vscosdade turbulenta utlza o conceto de comprmento de mstura L s para as escalas sub-malhas, da segunte forma: t L s S ; S S S. (3.33) O comprmento de mstura é avalado como a menor dstânca entre: o produto da constante de Von Kármán (k) e a dstânca da parede mas próma ( d ); e o produto da constante de Smagornsk ( C s 0,) e o volume fnto computaconal ( ) ( k d C 3) L s mn, s. (3.34) 3.3 Tratamento Junto à Parede Escoamentos turbulentos são sgnfcantemente afetados pela presença de

13 Modelo Matemátco 43 paredes. Muto perto da parede a atenuação devdo à vscosdade reduz as flutuações do componente tangencal da velocdade, nduzndo a redução de flutuações normas à parede. Afastando-se da parede, no entanto, a turbulênca é rapdamente ncrementada pela produção de energa cnétca turbulenta devdo aos grandes gradentes de velocdade. Obvamente, o campo de velocdade é afetado pela condção de não deslzamento, no entanto, a presença de paredes nduz forte ansotropa do escoamento turbulento, o que dfculta substancalmente a modelagem do mesmo. A modelagem próma à parede afeta sgnfcatvamente a fdeldade da solução numérca, especalmente quando as fontes da vortcdade e turbulênca são devdo a presença das paredes. De modo geral, é unto às paredes que se encontram os maores gradentes de velocdade. Portanto, nessa regão, o transporte de quantdade de movmento e de outros escalares ocorre de modo mas vgoroso. Assm uma representação precsa do escoamento na regão próma a parede determna o sucesso da predção. Os modelos e RSM apresentados são váldos somente para regões longe da parede. Para caracterzar a regão da parede é convenente ntroduzr a dstânca admensonal u *, (3.35) onde u* é a velocdade de atrto e a dstânca da parede, u * τ w, (3.36) sendo τ w a tensão csalhante na parede. Numerosos epermentos (Slva Frere et al. 998) têm mostrado que a regão próma à parede pode ser subdvdda em três camadas: Subcamada vscosa: é a camada mas nterna ( < 5) onde o escoamento é quase lamnar e a vscosdade molecular tem papel domnante na transferênca de momento, calor e massa; Subcamada turbulenta: é a camada mas eterna ( > 30) onde a turbulênca é domnante, também chamada de logarítmca; Subcamada ntermedára, onde os efetos da vscosdade molecular e

14 Modelo Matemátco 44 turbulenta são gualmente mportantes (5< < 30). Na sub-camada turbulenta este equlíbro entre produção e destrução de energa cnétca. Como resultado, pode-se mostrar que a tensão csalhante na parede τ w é dretamente relaconada com de acordo com τ w / C. (3.37) Tradconalmente, estem duas abordagens para modelar a regão próma à parede. Em uma delas, a subcamada vscosa não é resolvda. Ao nvés dsso, são usadas fórmulas sem empírcas chamadas de les da parede para unr a parede e a regão totalmente turbulenta. Assm, os modelos de turbulênca sofrem nterferênca dessa modelagem. Na outra abordagem, os modelos de turbulênca utlzam funções de amortecmento para permtr que a regão afetada pela vscosdade molecular sea resolvda até a parede, nclundo a subcamada vscosa. Na maora dos escoamentos com alto número de Renolds, a abordagem com les da parede economza substancalmente o recurso computaconal, uma vez que a regão próma à parede, onde a solução muda rapdamente, não precsa ser resolvda. Esta fo a abordagem utlzada nas modelagens empregadas neste trabalho em todas os casos. A le da parede padrão é a le logarítmca dervada para um escoamento na ausênca de gradente de pressão. Esta le pode ser austada de forma a nclur uma correção para efetos de gradentes de pressão (Km e Choudhur, 995), onde a velocdade méda, U, é modfcada. Isto é especalmente pertnente nos casos como o de cclones onde temos efetos da curvatura das paredes. Epermentos em tubulações rugosas mostram que a nclnação do perfl de velocdade (gradente) unto à parede possu a mesma nclnação que em uma tubulação lsa, logo, o efeto da rugosdade é ntroduzdo através de um termo que atua alterando o ponto de ntercessão do perfl sem-logartmo. Uma segunda correção, recomendada por Cebec e Bradshaw (977) é adconada para levar em consderação a rugosdade da parede. A modelagem LES permte determnar o escoamento na regão da parede, se a malha for fna o sufcente para captar todas as escalas relevantes presentes. Quando a malha próma à parede não é fna o sufcente para resolver a sub-

15 Modelo Matemátco 45 camada vscosa, é empregada uma le de parede padrão. De acordo com as modfcações menconadas, a le logarítmca da parede, válda para > 30, pode ser escrta como: ~ 4 U C 4 C ln E B, (3.38) τ w / k com as constantes guas a: k0,487 e E9,793. A correção devdo à presença de gradente de pressão é ncorporada na velocdade méda U ~ : ~ dp v v v U U ln, (3.39) d k v k onde v é a espessura da subcamada vscosa, calculada por: v * v, (3.40) 4 C P sendo a constante * v é gual a,5, P é a energa cnétca turbulenta do prmero ponto nterno. O termo B é função da rugosdade sendo modelado com base na altura admensonal da rugosdade, K s, que é defnda como: K K u * s s /, (3.4) onde * / 4 / u C. Estem 3 faas com correlações dstntas de B em função de K s : (a) Hdrodnâmcamente lso K s <,5. Nesse caso os efetos da rugosdade são desprezíves e B 0. (b) Transção,5 < K s < 90, onde: [ 0, 458 (ln K s 0, )] K, 5 B ln s C s Ks sen 8. (3.4) k 87, 75

16 Modelo Matemátco 46 (c) Totalmente rugoso [ C s K ] K s >90, B ln s. (3.43) k Os parâmetros que são necessáros para a modelagem são o K s (altura rugosa) e C s (constante de rugosdade). A altura rugosa, K s, é proporconal a medda de rugosdade. Infelzmente não este um gua claro para escolha do valor de C s, sendo usado normalmente valores de 0,5 a. O valor padrão utlzado neste trabalho fo 0,5. A le da parede apresentada emprega o conceto de duas camadas para avalar a energa cnétca turbulenta na regão da parede, a qual é necessára como condção de contorno para a solução de no restante do escoamento. Consderase que este uma sub-camada vscosa e uma camada totalmente turbulenta. As seguntes relações são utlzadas para as grandezas turbulentas: P ν P para para < ν > ν, (3.44) para < ν, (3.45) 3/ para > ν C * l 0 para < ν τ t, τ w para > ν onde * 3/ 4 C l k C e ν é uma espessura admensonal da sub-camada vscosa. Usando estas relações, pode-se determnar a produção méda volumétrca de, G e dsspação méda na regão da parede,

17 Modelo Matemátco 47 ν τ τ C d U G n w n t n P n ln / / 4 0, (3.46) P n n n C d P n ν ν ln / * / l 0, (3.47) onde a altura do volume de controle n é p.