UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Curso de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca TESE DE DOUTORADO Estudo da Convecção Forçada, Natural e Msta em Escoamentos Lamnares e Turbulentos Utlzando o Método de Volumes Fntos Autor: Marco de Olvera Orentador: Prof. Dr. Genéso José Menon Itaubá MG Junho 2005

2 Fcha catalográfca elaborada pela Bbloteca Mauá Bblotecára Jacquelne R. Olvera Balducc - CRB_6/1698 O48e Olvera, Marco de. Estudo da Convecção Forçada, Natural e Msta em Escoamentos Lamnares e Turbulentos utlzando o Método de Volumes Fntos / por Marco de Olvera. -- Itaubá (MG) : [s.n.], p. : l. Orentador : Prof. Dr. Genéso José Menon Tese (Doutorado) Departamento de Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Itaubá 1. Turbulênca. 2. Volumes Fntos. 3. Smulação de Grandes Escalas. I. Menon, Genéso José, orent. II. Unversdade Federal de Itaubá. IV. Título. CDU (043.2)

3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Curso de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca TESE DE DOUTORADO Estudo da Convecção Forçada, Natural e Msta em Escoamentos Lamnares e Turbulentos Utlzando o Método de Volumes Fntos Autor: Marco de Olvera Orentador: Prof. Dr. Genéso José Menon Tese apresentada ao curso de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca como parte dos requstos para obtenção do título de Doutor em Engenhara Mecânca na Área de Concentração Conversão de Energa. Itaubá MG Junho 2005

4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ Curso de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca TESE DE DOUTORADO Estudo da Convecção Forçada, Natural e Msta em Escoamentos Lamnares e Turbulentos Utlzando o Método de Volumes Fntos Marco de Olvera Membros da Banca Eamnadora 1 - Prof. Dr. Mauríco Araúo Zanard UNESP/FEG 2 - Prof. Dr. Petrôno Masanobu Tansho UNESP/FEG 3 - Prof. Dr. Nelson Manzanares Flho - UNIFEI 4 - Prof. Dr. Rogéro José da Slva UNIFEI 5 - Prof. Dr. Osvaldo José Venturn UNIFEI 6 - Prof. Dr. Waldr de Olvera - Presdente UNIFEI 7 - Prof. Dr. Genéso José Menon Orentador - UNIFEI Itaubá MG Junho 2005

5 DEDICATÓRIA A mnha esposa Zéla e meus flhos, Thago e Davd.

6 AGRADECIMENTOS agradeço: Entre às váras pessoas que contrbuíram para a realzação deste trabalho, tempo. Prmeramente a DEUS, o consumador da vda, que me sustentou em todo Ao Professor Dr. Genéso José Menon, por toda orentação, dedcação e ncentvo dado. A mnha esposa pelo ncentvo dado em todo tempo, não deando esmorecer o trabalho. Ao meus pas e rmãos que sempre me ncentvaram. A todos professores e funconáros da UNIFEI que contrbuíram dreta ou ndretamente para realzação deste trabalho. A CAPES que me concedeu a bolsa de doutorado, fnancando este trabalho durante o seu desenvolvmento.

7 Nunca tenha medo de tentar algo novo. Lembre-se de que um soltáro construu a Arca. Um grande grupo de profssonas construu o Ttanc. Luz Fernando Veríssmo

8 Resumo Neste trabalho fo realzado um estudo teórco do escoamento lamnar e turbulento, com transferênca de calor por convecção forçada, natural e msta para dversas geometras, usando o método de volumes fntos. São desenvolvdos város códgos computaconas para os mas varados casos estudados. Nos problemas de convecção forçada são estudadas as seguntes geometras: convecção num canal reto e num canal em U, ambos com e sem restrções, em regme lamnar e turbulento. Nos problemas de convecção natural as geometras estudadas são: cavdades retangulares consderando regme turbulento, sendo a superfíce esquerda da cavdade aquecda e a superfíce dreta resfrada. As superfíces horzontas são consderadas adabátcas; cavdades trangulares com dversas condções de contorno; cavdade retangular com um clndro nterno aquecdo e convecção na superfíce superor com o meo eterno. Nos problemas de convecção msta são estudadas as seguntes geometras: convecção msta em cavdades quadradas com abertura superor na superfíce vertcal esquerda para entrada do fludo e abertura nferor na superfíce vertcal dreta por onde sa o fludo. Estas superfíces são sotérmcas e as superfíces horzontas são adabátcas. As equações de conservação foram dscretzadas através do método dos volumes fntos. Os modelos de turbulênca utlzados e mplementados nos códgos computaconas desenvolvdos são: modelo k-ω e modelos de turbulênca sub-malha: modelo de Smagornsky, modelo de Smagornsk com termo de empuo, modelo baseado na teora de transferênca de vortcdade e modelo sub-malha função estrutura de velocdade. O número de Nusselt local e médo são calculados para os dversos casos. Palavras Chaves 1 Convecção Forçada 2 Convecção Natural 3 Convecção Msta 4 Turbulênca 5 Smulação Grandes Escalas 6 Volumes Fntos

9 Abstract A theoretcal study of lamnar and turbulent flow wth heat transfer by forced, natural, and med convectons s performed n ths work usng the fnte volume method to appromate solutons to some dfferent domans and, therefore, a few computatonal codes are developed n order to do that. When forced convecton problems are concerned, the followng stuatons are analyzed: lamnar and turbulent convecton n straght and U-shaped channels, both wth and wthout restrctons. As for natural convecton problems, the ones consdered are: turbulent flow n rectangular cavtes wth the left, rght, and horzontal walls beng heated, cooled, and solated, respectvely. Some other geometres nvolvng natural convecton are studed such as trangular cavtes submtted to many boundary condtons and a rectangular cavty wth an nternal heated cylnder and an upper surface wth convecton to the envronment. In addton to the prevous cases, there are stll the med convecton ones that are: square cavtes wth an upper nlet openng on the left vertcal surface and a lower outlet openng on the rght wall. These vertcal surfaces wth the openngs are sothermal whereas the horzontal ones are adabatc. The conservaton equatons are dscretzed through the fnte volume method. The turbulence models whch are mplemented are: k-ω model and the sub-grd model (Smagornsky model, Smagornsky model wth buoyancy terms, vortcty transfer theory model, and the sub-grd and velocty structure functon model). Local and average Nusselt numbers are calculated for all the cases mentoned prevously. Key Words 1 - Forced Convecton 2 - Natural Convecton 3 - Med Convecton 4 - Turbulence 5 - Large Eddy Smulaton 6 - Fnte Volume

10 Sumáro RESUMO ABSTRACT CONTEÚDO LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS NOMENCLATURA v 1 INTRODUÇÃO 1.1 Generaldades Revsão da Lteratura Convecção Forçada Convecção Natural em Cavdades Fechadas Convecção Msta em Cavdades Abertas Motvação e Aplcações Obetvos do Presente Trabalho Contrbuções do Presente Trabalho Delneamento do Trabalho Equpamento e Complador Utlzado 7 2 MODELOS MATEMÁTICOS 2.1 Introdução Equações de Conservação para Modelo de Turbulênca Clássco k-ω Equações de Conservação para Modelo de Turbulênca Sub-Malha Modelos de Turbulênca Modelo de Turbulênca k-ω Modelo Sub-malha de Smagornsk Modelo Sub-malha de Smagornsk com Termo de Empuo Modelo Baseado na Teora de Transferênca de Vortcdade (TTV) Modelo Sub-malha Função Estrutura de Velocdade (FE) Problemas de Convecção Forçada Geometra e Condções de Contorno 13 Caso 1 - Convecção Forçada num Canal Reto Com Restrções Retangulares 13 Caso 2 Convecção Forçada num Canal em U com Restrções Rertangulares 14

11 2.3.2 Número de Nusselt Local e Médo Temporal Problemas de Convecção Natural Geometra e Condções de Contorno 15 Caso 3 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Retangulares 15 Caso 4 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Quadradas 17 Caso 5 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Trangulares 18 Caso 6 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Retangulares com um Clndro Interno Número de Nusselt Médo e Local Problemas de Convecção Msta Geometra e Condções de Contorno 20 Caso 7 Convecção Msta em Cavdades Retangulares 20 Caso 8 Convecção Msta em Cavdades Retangulares com Restrções Número de Nusselt Local 22 v 3 MÉTODO NUMÉRICO E COMPUTACIONAL 3.1 Introdução Método de Volumes Fntos Dscretzação Espacal O Esquema de Dferença Híbrdo Dscretzação Temporal Malhas Não Ortogonas Fluos Convectvos Fluos Dfusvos Termo Fonte Condções de Contorno Entrada Saída Parede Funções de Parede Acoplamento entre Pressão e Velocdade Solução do Sstema de Equações Técnca de Bloqueo de Regão Crtéros de Convergênca e o Controle da Dvergênca 38

12 4 VALIDAÇÃO 4.1 Convecção Forçada Estudo do Escoamento num Canal Estudo do Escoamento num Canal com Degrau Convecção Natural Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Retangulares Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Quadradas Convecção Natural em uma Cavdade Retangular com 47 Clndro Interno 4.3 Convecção Msta Convecção Msta em Cavdades Retangulares 50 v 5 RESULTADOS 5.1 Introdução Caso 1 - Convecção Forçada num Canal Reto com Restrções Retangulares Caso 2 - Convecção Forçada num Canal em U com Restrções Retangulares Caso 3 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Retangulares Caso 4 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Quadradas Caso 5 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Trangulares Caso 6 Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Retangulares com um Clndro Interno Caso 7 Convecção Msta em Cavdades Retangulares Caso 8 - Convecção Msta em Cavdades Retangulares com Restrções 83 6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES 6.1 Comentáros e Conclusões Sugestões para Trabalhos Futuros 95 APÊNDICE A TURBULÊNCIA A.1 Introdução 96 A.2 Equaconamento 97 A.3 Equações para o Modelo Clássco 99 A.3.1 Modelos 102 A Modelo k-ε ( Launder e Spaldng- 1974) 103 A Modelo k-ω ( Wlco ) 103

13 A Modelo para Baos Números de Reynolds 104 A.3.5 Algumas Comparações entre Modelos 104 A.4 Equações para Smulação de Grandes Escalas 106 A.4.1. Modelo Sub-malha 110 A.4.2. Modelo Sub-malha de Smagornsk 111 A.4.3. Modelo Sub-malha de Smagornsk com Termo de Empuo 112 A.4.4. Modelo Baseado na Teora de Transferênca de Vortcdade (TTV) 112 A Modelo Sub-malha Função Estrutura de Velocdade (FE) 112 v APÊNDICE B MÉTODO SIP B.1 Introdução 114 B.2 Equaconamento 114 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 117

14 v Lsta de Fguras Fgura Legenda Págna 2.1 Geometra de um canal reto com restrções Geometra de um canal em U com restrções Geometra de uma cavdade retangular Geometra de uma cavdade quadrada Geometra de uma cavdade trangular Geometra de uma cavdade retangular com clndro nterno Geometra de uma cavdade retangular Geometra de uma cavdade retangular com restrção Volume de controle em coordenadas cartesanas Malha não ortogonal Face de um volume não ortogonal Estrutura da matrz computaconal (a) Geometra da cavdade (b) Malha sem técnca de bloqueo (c) Malha completa com técnca de bloqueo Geometra do canal Detalhe da parte nferor da malha gerada na entrada do canal Número de Nusselt médo em S 2 versus tempo admensonal Geometra do canal com degrau Detalhe da malha na entrada do canal (a) Geometra de uma cavdade retangular (b) Malha utlzada (a) Número de Nusselt local médo temporal na superfíce S (b) Temperatura T versus /L, para y = H/ (a) Geometra de uma cavdade quadrada (b) Malha utlzada Número de Nusselt local médo temporal na superfíce S 1 para Ra = 1, e t = 600 t * 4.10 Velocdade méda u U 0 na posção / L = 0, Temperatura méda ( T T ) ΔT * na posção / L = 0,5. 47 C 4.12 Geometra de uma cavdade retangular com clndro nterno. 47

15 4.13 Malha utlzada Número de Nusselt médo local e temporal versus número de Raylegh Geometra de uma cavdade retangular Malha utlzada (a) Velocdade méda na posção / L = 0, (b) Temperatura méda [ºC] (a) Geometra de um canal com restrção (b) Detalhe da parte nferor da malha gerada do canal Número de Nusselt médo temporal na superfíce S 4 para Re= Número de Nusselt médo temporal na superfíce S 4 para Re= Número de Nusselt médo temporal na superfíce S 4 para Re= Vetor velocdade do canal para Re = Dstrbução de temperatura do canal para Re = (a) Geometra de um canal em U com restrção (b) Detalhe da malha do canal Número de Nusselt médo temporal na superfíce S 3, Re = Numero de Nusselt médo temporal na superfíce S 3, Re = Numero de Nusselt médo temporal na superfíce S 3, Re = Vetores de velocdade para algumas regões com restrção, 61 Re = Vetores de velocdade para algumas regões do canal, Re = Função corrente ψ e a dstrbução de temperatura, Re = (a) Geometra de uma cavdade retangular (b) Malha utlzada Nusselt médo versus Ra, para Ra=110 5 ; ; 2,510 7 ; e (a) Número de Nusselt local para superfíce quente S 3. Ra = e 2, (b) Número de Nusselt local para superfíce quente S 3. Ra= e Ra= (a) Temperatura [ o C] para Ra = e A = 0, (b) Função corrente para Ra = e A = 0, (a) Temperatura T [ o C] para Ra = e A = (b) Função corrente para Ra = e A = (a) Temperatura T [ o C] para Ra = v

16 5.19(b) Temperatura T [ o C] para Ra = 2, (c) Temperatura T [ o C] para Ra = (d) Temperatura T [ o C] para Ra = (a) Função corrente ψ para Ra = (b) Função corrente ψ para Ra = 2, (c) Função corrente ψ para Ra = (d) Função corrente ψ para Ra = (a) Geometra de uma cavdade retangular (b) Malha utlzada (a) Temperatura méda admensonal - modelo Smagornsk (b) Temperatura méda admensonal - modelo Smagornsk 68 com empuo. 5.22(c) Temperatura méda admensonal - modelo TTV Temperatura [ºC] e função corrente ψ para o modelo Smagornsk Temperatura [ºC] e função corrente ψ para o modelo 69 Smagornsk com empuo Temperatura [ºC] e função corrente ψ para o modelo baseado TTV (a) Geometra de uma cavdade trangular (b) Detalhe superor da malha utlzada Nussel local Nu versus posção para Ra=1,010 3 a 1, Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra = Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra= Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra= Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra= Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra= Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra= (a) Geometra de uma cavdade retangular com clndro nterno (b) Malha utlzada Número de Nusselt local (Nu) versus angulo α (a) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=2,1 e Ra = 1, (b) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=2,1 e Ra = 5, (c) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=2,1 e Ra = 7, (a) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=2,9 e Ra = 1, (b) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=2,9 e Ra = 7,

17 5.38(a) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 e Ra = 1, (b) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 e Ra = 7, Nusselt local Nu versus angulo α para Ra = 1,010 3 a 1, e razão de aspecto W=3, (a) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 e Ra = 5, (b) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 e Ra = 1, (a) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 e Ra = 5, (b) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 e Ra = 1, (a) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 e Ra = 5, (b) Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 e Ra = 1, (a) Geometra de uma cavdade retangular (b) Malha utlzada Número de Nusselt local nas superfíces Função corrente ψ e temperatura [ºC] e para o modelo TTV Função corrente ψ e temperatura [ºC] para o modelo 81 função estrutura Vetores de velocdade para os modelos: função estrutura e TTV (a) Geometra de uma cavdade retangular (b) Malha utlzada Número de Nusselt local na superfíce S 1 para Ra = Número de Nusselt local na superfíce S 1 para Ra = Número de Nusselt local na superfíce S 1 para Ra = Função corrente ψ e temperatura T para Ra = 0 and Re = Função corrente ψ e temperatura T para Ra = 0 e Re = 1000, com restrção Vetores de velocdade para Ra = 0 and Re = 1000, com restrção Função corrente ψ e temperatura T para Ra = e Re = Função corrente ψ e temperatura T para Ra = e 87 Re = 2000, com restrção Vetores de velocdade para Ra = e Re = 2000 com restrção Função corrente ψ e temperatura T para Ra = e Re = Função corrente ψ e temperatura T para Ra = e Re = Vetores de velocdade para Ra = e Re = 0, com restrção Função corrente ψ e temperatura T para Ra = e Re = Função corrente ψ e temperatura T para Ra = e Re =

18 com restrção Vetores de velocdade para Ra = e Re = 1000, com restrção. 90

19 Lsta de Tabelas Tabela Legenda Págna 4.1 Comparação entre o presente trabalho e lteratura Valor do Nusselt médo ( Nu ) na superfíce do clndro Valor do Nusselt médo ( Nu ) na superfíce do clndro. 77

20 Nomenclatura Letras Latnas a Coefcentes das equações do MVF ( P, a W, a E, a S, a N A Áreas (A e, A w, A s, A n ) Cs Constante de Smagornsk C Termo Convectvo (C e, C w, C s, C n ) C K C P d k Constante de Kolmogorov Calor específco a pressão constante a ) Dstânca entre o centro do volume de referênca até o centro do volume vznho D Dâmetro do clndro nterno da cavdade D Termo dfusvo (D e, D w, D s, D n ) F2 g h h n h out H k K L L 1 Função estrutura de ordem 2 da velocdade Aceleração da gravdade Coefcente de convecção Altura da entrada do fludo na cavdade Altura da saída do fludo na cavdade Altura da cavdade Energa cnétca turbulenta Condutvdade térmca Largura da cavdade ou Comprmento do canal Comprmento de entrada do canal m e Fluo de massa Nu Nu Número de Nusselt local Número de Nusselt médo na superfíce < Nu > Número de Nusselt local médo temporal < Nu > Número de Nusselt médo local e temporal P p Pe Pr Pr t Pressão Pressão Número de Peclet Número de Prandtl Número de Prandtl turbulento

21 v q w Fluo da grandeza φ r Dstânca entre centros de volumes ( E, rp Ra Se Número de Raylegh Área da superfíce r ) S t t T t 0 T T A T C T H T M T REF T W u u n U U 0 Tensor taa de deformação Tempo Tensor vscoso Tensor vscoso Tempo de referênca Temperatura Temperatura eterna ambente Temperatura da parede fra Temperatura da parede quente Temperatura méda na seção Temperatura de referênca Temperatura da superfíce Componentes de velocdade na dreção e y Velocdade de entrada do fludo Velocdade da superfíce móvel da cavdade Velocdade de empuo Coordenadas nas dreções e y Vetor posção Letras Gregas α α T β Dfusvdade térmca do fludo ou Coefcente da equação (2.8) de turbulênca Dfusvdade térmca turbulenta do fludo Coefcente de epansão volumétrca do fludo ou Coefcente da equação (2.8) turbulênca * β Γ Coefcente da equação (2.7) de turbulênca Termo fonte

22 v Δ t y Δy P ε Φ λ Dmensão característca da malha ou Dmensão do fltro Passo de tempo Comprmento do elemento na dreção Comprmento do elemento na dreção y Dstânca entre a parede e o volume mas prómo Dsspação específca Função de dsspação Segundo coefcente de vscosdade µ Vscosdade dnâmca ν ν T ρ σ * σ τ Vscosdade cnemátca do fludo Vscosdade cnemátca turbulenta do fludo Massa específca do fludo Coefcente da equação (2.8) de turbulênca Coefcente da equação (2.7) de turbulênca Tensor de Reynolds τ W Tensor vscoso ω Taa de dsspação específca ou Vortcdade

23 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1 Generaldades O estudo de escoamento de fludos e a transferênca de calor tem contrbuído para o desenvolvmento de equpamentos mas sofstcados e com níves de efcênca cada vez maores. As aplcações relaconadas a convecção forçada, natural e msta são: sstemas de aquecmento solar, aquecmento ndustral, resframento de componentes eletrôncos, resframento em reatores nucleares, condconadores de ar, dspersão de poluentes, resframento de pás de turbnas, trocadores de calor e outros. Na prátca a grande maora dos escoamentos de nteresse na engenhara são turbulentos. Assm é necessáro que o método numérco utlzado para estudar o escoamento leve em consderação tal fenômeno através de modelos de turbulênca. No presente trabalho estudam-se os seguntes problemas: a) convecção forçada em canas consderando regme lamnar e turbulento. Algumas geometras possuem pequenas restrções. Estas provocam pequenas recrculações que alteram a transferênca de calor entre o fludo e as superfíces; b) convecção natural em cavdades retangulares consderando regme turbulento, onde a superfíce esquerda da cavdade é aquecda e a superfíce dreta é resfrada. As superfíces horzontas são consderadas adabátcas; c) convecção natural em cavdades trangulares; d) convecção natural em cavdades retangulares com clndro nterno aquecdo e convecção na superfíce superor com o meo eterno; e) convecção msta em cavdades retangulares com entrada e saída do fludo; f) convecção msta em cavdades retangulares com superfíce superor móvel e com restrção no nteror da cavdade. 1.2 Revsão da Lteratura A segur são apresentados uma descrção dos trabalhos relevantes encontrados na lteratura Convecção Forçada Iacovdes et al. (2001) realzaram um estudo de transferênca de calor bdmensonal em passagens com restrções, usando modelos de turbulênca para baos números de Reynolds. O estudo fo realzado em canas anulares, tubos e canas planos. Apresentaram os resultados da velocdade méda para um canal anular com restrções e o número de Nusselt local para tubos e

24 2 canas planos com restrções. Realzaram dversas comparações para alguns modelos de turbulênca. Iaccarno et al. (2002) estudaram numercamente os efetos das condções térmcas de contorno na transferênca de calor em passagens com restrções. Os resultados obtdos, usando fluo de calor constante na parede e transferênca de calor conugada foram comparados no trabalho para lustrar os dferentes efetos da transferênca de calor local. Foram realzadas comparações entre resultados numércos, meddas epermentas e correlações de dados, mostrando como a transferênca de calor é sensível aos tpos de condções de contorno usadas no modelo numérco. Tsa et al. (2000) avalaram os modelos de turbulênca de bao Reynolds no cálculo numérco da transferênca de calor e no comportamento do escoamento de um fludo em um canal retangular com restrções colocadas na superfíce prncpal. Verfcaram que os modelos de turbulênca estudados apresentaram bons resultados numércos, mas possuíam um comportamento dferente entre os modelos no cálculo da transferênca de calor. As equações que governam o escoamento foram dscretzadas utlzando-se o método de volumes fntos, com o arrano de malha deslocada. O algortmo PISO fo utlzado no acoplamento das velocdades e pressões. O perfl de velocdades fo determnado para algumas posções. Foram apresentados as dstrbuções de temperatura e o número de Nusselt local. Murata et al. (2000) nvestgaram os efetos de restrções, da força de Corols e da razão de aspecto no escoamento turbulento 3D em canas. Utlzaram como modelo de turbulênca o modelo sub-malha dnâmco. Também consderaram a varação da velocdade de rotação. O método de dscretzação das equações utlzado fo o método de dferenças fntas. Foram apresentados resultados dos vetores de velocdades médos para alguns planos. O número de Nusselt local fo calculado na superfíce que possu as restrções. Cu et al. (2003) utlzando smulação de grandes escalas, estudaram o escoamento em um canal com restrções em regme turbulento. Foram consderados três tpos de restrções. Fo utlzado o modelo de turbulênca sub-malha dnâmco. Fo utlzado o método de volumes fntos para dscretzação das equações de conservação. O perfl de velocdades médas e as lnhas de corrente méda foram determnadas. Os resultados obtdos foram comparados com resultados epermentas. Os vetores de velocdade nstantâneos foram apresentados e estudados Convecção Natural em Cavdades Fechadas Peng e Davdson (2001) estudaram a convecção natural turbulenta em uma cavdade fechada onde as superfíces lateras vertcas são mantdas em dferentes temperaturas. O modelo

25 3 de Smagornsk e o modelo Dnâmco são utlzados para smulação da turbulênca. Peng e Davdson (2001) baseados também no trabalho de Edson (1985), modfcaram o modelo de Smagornsk nclundo um termo de empuo no cálculo da vscosdade turbulenta. Este modelo desenvolvdo é denomnado modelo de Smagornsk com termo de empuo. Os resultados apresentados no trabalho são comparados com dados epermentas, e mostram uma estratfcação térmca estável para um moderado número de Raylegh (Ra = 1, ). Tan e Karayanns (2000a) fzeram um estudo epermental de convecção natural turbulenta em uma cavdade fechada quadrada preenchda pelo ar. A superfíce esquerda é aquecda e a superfíce dreta é resfrada. O número de Raylegh utlzado é de 1, Em seu trabalho os autores medram a temperatura e a dstrbução de velocdades em dferentes localzações da cavdade. Alguns números de Nusselt são apresentados. Seus resultados consderados padrões são utlzados para valdar códgos computaconas desenvolvdos e são comparados com os resultados do presente trabalho. Num segundo trabalho, Tan e Karayanns (2000b) apresentaram resultados novos com o mesmo estudo epermental de convecção natural turbulenta em uma cavdade. As superfíces lateras também são mantdas a dferentes temperaturas. Eles apresentaram os resultados das quantdades turbulentas nclundo as componentes de flutuação T, u, v e do tensor de Reynolds. Estes resultados também são consderados padrões para valdar códgos computaconas. Cortella et al. (2001) apresentaram em seu trabalho o estudo da dstrbução de velocdades e temperaturas em um refrgerador. Fo utlzado o método de elementos fntos. O códgo computaconal é baseado na formulação de vortcdade e função corrente, ncorporando um modelo de turbulênca LES ( Large Eddy Smulaton ), onde os fluos turbulentos são estmados com base na teora de transferênca de vortcdade (TTV). Este modelo de turbulênca LES, também apresentado por Lardat e Ta Phuoc (1995) e Saro et al. (1998), será utlzado no presente trabalho com algumas adaptações. Seza e Mohamad (1999) estudaram em seu trabalho a convecção natural em uma cavdade fechada com uma fonte de calor no centro, resolvendo a equação de Naver Stokes trdmensonal, utlzando a técnca de Multgrd. A cavdade é solada na superfíce superor. São estudados os efetos das condções de contorno nas superfíces vertcas e a taa de transferênca de calor da fonte. Fo apresentado também a varação do número de Nusselt em função do número de Raylegh e a razão de aspecto. O número de Raylegh é varado de 10 3 até o escoamento se tornar nstável, com número de Prandtl gual a Cesn et al. (1998) analsaram epermentalmente e numercamente a convecção natural em um clndro horzontal fechado em uma cavdade retangular utlzando o método de

26 4 elementos fntos. Foram estudadas a nfluênca do número de Raylegh e a geometra da cavdade fechada na transferênca de calor. O número de Nusselt local na superfíce do clndro fo calculado e meddo. Os resultados epermentas são consderados resultados padrões e podem ser utlzados para comparações com resultados de novos trabalhos. Chang e Tsa (1997) estudaram numercamente a transferênca de calor em uma cavdade quadrada fechada onde o ar preenche totalmente a cavdade. O Escoamento fo modelado como bdmensonal turbulento. O modelo de turbulênca adotado fo o k-ε. No problema estudado as paredes superor e nferor são soladas, a parede esquerda é aquecda e a dreta resfrada. Bspo et al. (1996) apresentaram em seu trabalho um estudo do campo de temperaturas em uma cavdade retangular, avalando o ganho de calor com o meo ambente. Utlzaram como método numérco o método de volumes fntos. A apromação de Boussnesq fo utlzada. A parede superor da cavdade é resfrada e as paredes nferor e lateras trocam calor com o meo ambente. Em seu modelo numérco consdera-se o modelo de turbulênca k-ε. Cunha et al. (1996) mostraram um estudo de convecção natural em elpses concêntrcas utlzando o método de volumes fntos. Consdera-se somente o escoamento lamnar. Váras famílas de cavdades elíptcas são consderadas usando váras razões de aspecto da elpse. Os autores apresentaram o comportamento do número de Nusselt em função de város parâmetros modfcados. Campo et al. (1988), utlzando o método de elementos fntos, estudaram a convecção natural lamnar bdmensonal em uma cavdade trangular, preenchda pelo ar. Váras condções de contorno foram estudadas para dferentes números de Grashof e razões de aspecto. São apresentadas as lnhas de corrente e o perfl de temperatura na cavdade. Os resultados foram comparados com resultados epermentas Convecção Msta em Cavdades Abertas Zhang et al. (2000) estudaram a convecção natural, convecção forçada e convecção msta em cavdades. Como modelo de turbulênca, utlzaram smulação de grandes escalas com o modelo dnâmco fltrado sub-malha. Apresentaram resultados da velocdade do ar, temperatura do ar e dstrbução da turbulênca. Estes resultados foram comparados com resultados epermentas. Em seu trabalho Peng et al. (1999) estudaram a convecção natural para baos números de Raylegh utlzando o modelo k-ω como modelo de turbulênca. Também estudaram a convecção msta em uma cavdade retangular de geometra e condções dêntcas ao utlzado no trabalho de Zhang et al. (2000).

27 5 Angrasa (2000) realzou um estudo numérco de escoamento com convecção msta em uma cavdade com paredes vertcas sotérmcas. O escoamento fo estudado em detalhes. São apresentados resultados da evolução do número de Nusselt para alguns números de Grashof. Também foram apresentados alguns resultados da dstrbução da temperatura e das lnhas de corrente na cavdade. 1.3 Motvação e Aplcações As motvações para o presente trabalho estão relaconadas a utlzação do método de volumes fntos como ferramenta numérca para o estudo de escoamentos compleos. Também, a área de turbulênca é fascnante e anda estem mutos campos para serem eplorados e desenvolvdos como contrbução na forma de trabalhos e pesqusas. Como aplcação do trabalho para o caso de escoamento com convecção forçada tem-se o estudo do resframento de pás de turbnas. Para os casos de escoamentos com convecção natural, tem-se como aplcação: estudo de escoamentos em sstemas de resframento, trocadores de calor, resframento de componentes eletrôncos, resframento em telhados. Para o caso de escoamento com convecção msta tem-se o estudo de escoamento em ambentes de trabalho, ou sea, o condconamento de ar. Outra área de aplcação é o estudo da dspersão de poluentes em chamnés. 1.4 Obetvos do Presente Trabalho O obetvo deste trabalho é o estudo numérco do escoamento e da transferênca de calor para dversas geometras. São consderadas a convecção forçada, natural e msta, com regme permanente e não permanente. Também são utlzados dversos modelos de turbulênca. 1.5 Contrbuções do Presente Trabalho Este uma grande dfculdade de encontrar trabalhos na lteratura que apresentem de forma organzada os modelos de turbulênca, e como utlzá-los na mplementação de programas computaconas de estudos de escoamentos. Assm, neste trabalho, fo realzado um estudo detalhado sobre os dversos modelos de turbulênca, e em quas stuações estes modelos podem ser aplcados. Umas das grandes contrbuções do presente trabalho fo complar de forma organzada um estudo sobre a utlzação dos modelos de turbulênca clásscos e modelos de smulação de grandes escalas, de forma a facltar a sua mplementação nos códgos computaconas desenvolvdos.

28 6 Assm, fo possível estudar problemas com dversas geometras bdmensonas e dversas condções de contorno. Nos casos estudados foram obtdas as dstrbuções de temperatura e dstrbuções de velocdades. Também foram calculados os números de Nusselt local e médo nas superfíces, em função dos dversos parâmetros geométrcos e térmcos envolvdos. 1.6 Delneamento do Trabalho A segur é apresentada uma vsão geral sobre os capítulos do presente trabalho Capítulo 1 - Introdução É apresentada uma ntrodução sobre a mportânca do estudo de escoamentos e a utlzação de modelos turbulentos, consderando as aplcações possíves para o presente trabalho. É apresentada a revsão bblográfca, os obetvos e as contrbuções do trabalho. Capítulo 2 Modelos Matemátcos Neste capítulo são apresentadas as equações de conservação de massa e as equações do modelo de turbulênca k-ω e alguns modelos de turbulênca sub-malha. Em seguda são apresentadas as geometras, condções ncas e de contorno dos dversos casos estudados. Capítulo 3 Método Numérco e Computaconal Neste capítulo é apresentado o método de Volumes Fntos o qual é usado para solução numérca das equações de conservação. São apresentadas as dscretzação dos termos temporal, dfusvo, convectvo e fonte, para a utlzação em malhas ortogonas e não ortogonas. São anda apresentados detalhes sobre as condções de contorno e sobre o método de solução do sstema de equações resultantes. Capítulo 4 - Valdação São estudados casos de convecção forçada, natural e msta para valdar os códgos computaconas desenvolvdos. Capítulo 5 - Resultados São apresentados os resultados obtdos dos dversos problemas estudados. Incalmente são apresentados dos casos de convecção forçada, em seguda, quatro casos de convecção natural e fnalmente dos casos de convecção msta.

29 7 Capítulo 6 Conclusões e Sugestões São apresentados os comentáros e conclusões do trabalho. Também são apresentados sugestões para trabalhos futuros. Apêndce A - Turbulênca É apresentado o desenvolvmento das equações de conservação e dos modelos de turbulênca: modelo clássco k-ω e alguns modelos de smulação de grandes escalas. Apêndce B Método SIP É apresentado o equaconamento do método SIP (Strong Implct Procedure) utlzado para resolver o conunto de equações obtdos. Referêncas Bblográfcas Neste capítulo são apresentadas as referêncas relevantes utlzadas no presente trabalho. 1.7 Equpamento e Complador Utlzado Os resultados deste trabalho foram obtdos utlzando um mcrocomputador com processador Pentum 4 1.8GHz e com 512MB de memóra RAM. Também fo utlzado o complador Compaq Vsual Fortran 6 para desenvolvmento dos programas.

30 CAPÍTULO 2 MODELOS MATEMÁTICOS Introdução Neste capítulo serão apresentadas as equações de conservação e as equações do modelo de turbulênca k-ω e alguns modelos de turbulênca sub-malha. Em seguda serão apresentadas as geometras, condções ncas e de contorno dos casos estudados Equações de Conservação para Modelo de Turbulênca Clássco k-ω Serão consderadas as seguntes hpóteses para as equações de conservação do escoamento: a) regme não permanente; b) regme turbulento; c) escoamento bdmensonal; d) escoamento ncompressível; e) as propredades físcas do fludo são constantes ( ρ, μ,cp, K ), eceto a massa específca nos termos de empuo; f) a função de dsspação ( Φ ) fo desprezada na equação de energa. As equações de conservação são deduzdas no apêndce A. Por smplfcação, serão omtdas as barras das grandezas, que representam as médas temporas. Assm, com estas consderações, as equações de conservação são: ) Equação de conservação de massa u = 0. (2.1) ) Equação de conservação da quantdade de movmento u t (u u ) 1 p = ρ ( ν ν ) g β( T T ) T u u REF. (2.2)

31 ) Equação de conservação da energa 9 T u T t = ( α α ) T T, (2.3) sendo: u ( u 1 e u 2 ) as componentes de velocdades nas dreções e y respectvamente, ρ é a massa específca, t o tempo, cnemátca, ( e y) as coordenadas das posções, ν é a vscosdade ν T é a vscosdade cnemátca turbulenta, α é a dfusvdade térmca, α T é a dfusvdade térmca turbulenta, p é a pressão, g é a aceleração da gravdade, β é o coefcente de epansão volumétrco, T é a temperatura e T REF a temperatura de referênca Equações de Conservação para Modelo de Turbulênca Sub-Malha Serão consderadas as seguntes hpóteses para as equações de conservação do escoamento: a) regme não permanente; b) regme turbulento; c) escoamento bdmensonal; d) escoamento ncompressível; e) as propredades físcas do fludo são constantes ( ρ, μ,cp, K ), eceto a massa específca nos termos de empuo; f) a função de dsspação ( Φ ) fo desprezada na equação de energa; As equações de conservação são deduzdas no apêndce A. Por smplfcação, serão omtdas as barras das grandezas, que representam as médas temporas. Assm, com estas consderações, as equações de conservação são: ) Equação de conservação de massa u = 0. (2.4) ) Equação de conservação da quantdade de movmento u t ( u u ) 1 p = ρ 2 u ν ν T u u g β ( T T ) REF. (2.5)

32 ) Equação de conservação da energa 10 ( u T) T t = ( α α ) T T, (2.6) 2.2 Modelos de Turbulênca Neste tem são apresentadas as equações dos modelos de turbulênca de forma resumda. Mas detalhes destes modelos podem ser vstos no apêndce A Modelo de Turbulênca k-ω A segur são apresentadas as equações do modelo de turbulênca k-ω, desenvolvdo por Wlco (1994). Equação de energa cnétca turbulenta: ( u k) k t = τ ρ u β * k ω * k ( ν σ ν T ). (2.7) Taa de dsspação específca: ( u ω) ω t = ω α k τ ρ u βω 2 * ω ( ν σ ν T ). (2.8) Vscosdade cnemátca turbulenta: k ν T =. (2.9) ω Sendo k a energa cnétca turbulenta, ω é a taa de dsspação e as constantes empírcas e os seus valores recomendados são: α = 5/9 ; β = 3/40 ; β * = 9/100 ; σ = 1/2 ; σ * = 1/2 ; (2.10)

33 11 A dsspação específca é dada por: * ε = β ωk. (2.11) Modelo Sub-malha de Smagornsk Este modelo basea-se na hpótese de equlíbro entre a as tensões turbulentas sub-malha e a dsspação vscosa: - τ S = ε, (2.12) onde S é o tensor taa deformação. Pode-se escrever que a vscosdade turbulenta é dado por: 2 ( C Δ) S ν T = s, (2.13) sendo C a constante de Smagornsk, que no presente trabalho fo utlzado o valor C s = 0,1. A s dmensão característca da malha é dada por: ( ΔΔy) 1 2 Δ =. (2.14a) e o termo S é dado por: ( ) 1 2 2S S S =. (2.14b) Modelo Sub-malha de Smagornsk com Termo de Empuo Edson (1985) propôs nclur o termo de empuo no modelo de Smagornsk, que fo também apresentado por Peng e Davdson (1998). Neste modelo a vscosdade turbulenta é calculada por:

34 2 ( ) gβ T Cs Δ S δ Prt ν T = 2, (2.15) sendo T é a temperatura méda no elemento e Pr t é o número de Prandtl turbulento Modelo Baseado na Teora de Transferênca de Vortcdade (TTV) Neste modelo de turbulênca, os fluos turbulentos são determnados baseado na teora de transferênca de vortcdade (TTV) conforme é apresentado por Cortella et al. (2001), Lardat e Ta Phuoc (1995) e Saro et al. (1998). Neste modelo a vscosdade turbulenta é calculada pela segunte equação: ν T ω ω = ( cδ), (2.16) y sendo ω é a vortcdade, dada por: v u ω =, (2.17) y sendo c é a constante admensonal, apromada por c = 0,2 e Δ é a dmensão do fltro dado por: ( ΔΔy) 1 2 Δ =. (2.18) sendo Δ e Δy as dmensões da malha nas dreções e y Modelo Sub-malha Função Estrutura de Velocdade (FE) Neste modelo de turbulênca, a vscosdade turbulenta é determnada por: ν T 3 2 K [ ( )] 1 2 2,Δ, t = 0,104C Δ F, (2.19) sendo C K = 1, 4 a constante de Kolmogorov e é o tamanho característco da malha. A função estrutura de ordem 2 da velocdade é dada por:

35 13 F ( )!!!,Δ, t = u k ( d k, t) u k (, t) !!! 2 ( ) ( ( ) ( )) Δ v k d k, t v k, t = 1 d k 1 4 k. (2.20) 4 Sendo: Δ = d k,! o vetor posção do centro do volume de referênca e k= 1 d k ( k=1 a 4 ) a dstânca entre o centro do volume de referênca e o centro do volume vznho. Mas detalhes deste modelo função estrutura de velocdade ( FE ) podem ser vstos no trabalho de Métas et al. (1996) Problemas de Convecção Forçada Geometra e Condções de Contorno Caso 1 Convecção Forçada num Canal Reto com Restrções Retangulares Para este caso, conforme a fgura 2.1, o fludo entra por S 1 com temperatura T C e sa por S 3. A superfíce S 2 é consderada adabátca e a superfíce S 4 sotérmca com temperatura T H. As restrções possuem a mesma condutvdade térmca do fludo. Foram utlzadas as equações (2.4) a (2.6) e as equações do modelo de turbulênca sub-malha, equações (2.19) e (2.20), desprezando-se o termo de empuo. y S 2 H S 1 Ω S 3 h S 4 L 1 h P L Fgura 2.1 Geometra de um canal reto com restrções. A fgura 2.1 mostra o canal onde foram mpostas as seguntes condções ncas e de contorno:

36 Em Ω : u(,y,0) = 0, v(,y,0) = 0, T(,y,0) = 0; (2.21) 14 Em S 1 : u = u n, v = 0 T = T C ( entrada do fludo ); (2.22) T Em S 2 : u = v = 0, = 0 ( superfíce adabátca ); (2.23) u T Em S 3 : = 0, v = 0, = 0 ( saída do fludo ); (2.23) Em S 4 : u = v = 0, T = T H ( superfíce sotérmca ). (2.25) Caso 2 - Convecção Forçada num Canal em U com Restrções Retangulares Para este caso, conforme fgura 2.2, o fludo entra por S 1 com temperatura T C e sa por S 4. A superfíce S 2 é consderada adabátca e a superfíce S 3 sotérmca com temperatura T H. As restrções possuem a mesma condutvdade térmca do fludo. Uma Aplcação para este problema é o estudo de resframento de pás de turbnas. Foram utlzadas as equações (2.4) a (2.6) e as equações do modelo de turbulênca sub-malha, equações (2.19) e (2.20), desprezando o termo de empuo. y P S 4 Ω R S 2 H S 1 S 3 L 1 h h L Fgura 2.2 Geometra de um canal em U com restrções. No canal, fgura 2.2, foram mpostas as seguntes condções ncas e de contorno:

37 15 Em Ω : u(,y,0) = 0, v(,y,0) = 0, T(,y,0) = 0; (2.26) Em S 1 : u = u n, v = 0, T = TC ( entrada do fludo ); (2.27) T Em S 2 : u = v = 0, = 0 ( superfíce adabátca ); (2.28) Em S 3 : u = v = 0, T = TH ( superfíce sotérmca ); (2.29) u T Em S 4 : = 0, v = 0, = 0 ( saída do fludo ). (2.30) Número de Nusselt Local e Médo Temporal Para o caso 1, o número de Nusselt local é calculado por: H T Nu =. (2.31) T T H C Para o caso 2, o número de Nusselt local é calculado por: 2 2 H T T Nu TH TC y =. (2.32) Para os casos 1 e 2, o número de Nusselt local médo temporal é calculado por: 1 tf < Nu >= Nu dt, (2.33) t t t f onde t f e t são, respectvamente, os tempos fnal e ncal de cálculo. 2.4 Problemas de Convecção Natural Geometra e Condções de Contorno

38 Caso 3 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Retangulares 16 Para este caso, conforme fgura 2.3, tem-se as superfíces sotérmcas S 1 com temperatura T C e S 3 com temperatura T H. As superfíces S 2 e S 4 são consderadas adabátcas. Foram utlzadas as equações (2.1) a (2.3) e as equações do modelo de turbulênca k-ω, equações (2.7) a (2.11). Y S 2 g H S 3 Ω S 1 S 4 L X Fgura 2.3 Geometra de uma cavdade retangular. contorno: A fgura 2.3 mostra a cavdade onde foram mpostas as seguntes condções ncas e de Em Ω : u(,y,0) = 0, v(,y,0) = 0, T(,y,0) = 0; (2.34) Em S 1 : u = v = 0, T = T C ( superfíce sotérmca ); (2.35) T Em S 2 : u = v = 0, = 0 y ( superfíce adabátca ); (2.36) Em S 3 : u = v = 0, T = T H ( superfíce sotérmca ); (2.37) T Em S 4 : u = v = 0, = 0 y ( superfíce adabátca ). (2.38)

39 Sendo T H a temperatura da superfíce sotérmca quente e T C é a temperatura da superfíce sotérmca fra. 17 Caso 4 Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Quadradas Para este caso, conforme fgura 2.4, tem-se as superfíces sotérmcas S 1 com temperatura T H e S 3 com temperatura T C. As superfíces S 2 e S 4 são consderadas adabátcas. Foram utlzadas as equações (2.4) a (2.6) e as equações dos modelo de turbulênca sub-malha, equações (2.12) a (2.14), equação (2.15) e equações (2.16) a (2.18). y S 2 H S 1 Ω S 3 g S 4 L Fgura 2.4 Geometra de uma cavdade quadrada. A fgura 2.4 mostra a cavdade onde foram mpostas as seguntes condções ncas e de contorno: Em Ω : u(,y,0) = 0, v(,y,0) = 0, T(,y,0) = 0; (2.39) Em S 1 : u = v = 0, T = T H ( superfíce sotérmca ); (2.40) T Em S 2 : u = v = 0, = 0 y ( superfíce adabátca ); (2.41) Em S 3 : u = v = 0, T = T C ( superfíce sotérmca ); (2.42) T Em S 4 : u = v = 0, = 0 y ( superfíce adabátca ). (2.43)

40 Caso 5 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Trangulares 18 Para este caso, conforme fgura 2.5, foram utlzadas as equações (2.1) a (2.3) e as equações do modelo de turbulênca k-ω, equações (2.7) a (2.11). y g H S 1 Ω S 2 S 3 L Fgura 2.5 Geometra de uma cavdade trangular. são: As condções ncas e de contorno mpostas na cavdade trangular, conforme fgura 2.5 Em Ω : u(,y,0) = 0; v(,y,0) = 0; T(,y,0) = 0 (2.44) Em S 1 : u = v = 0, T = T H ( superfíce sotérmca ); (2.45) Em S 2 : u = v = 0, T = T H ( superfíce sotérmca ); (2.46) Em S 3 : u = v = 0, T = T C ( superfíce sotérmca ). (2.47) Caso 6 Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Retangulares com um Clndro Interno Para este caso, conforme geometra apresentada na fgura 2.6, foram utlzadas as equações (2.1) a (2.3) e as equações do modelo de turbulênca k-ω, equações (2.7) a (2.11).

41 19 y S 1 Ω H S 4 S 5 D S 2 S 3 L Fgura 2.6 Geometra de uma cavdade retangular com um clndro nterno. são: As condções ncas e de contorno mpostas na cavdade retangular, conforme fgura 2.6 Em Ω : u(,y,0) = 0, v(,y,0) = 0, T(,y,0) = 0; (2.48) Em S 1 : u = v = 0, K = h ( T ) T T A ( superfíce eterna com convecção ); (2.49) y Em S 2 : u = v = 0, T = T C ( superfíce sotérmca ); (2.50) T Em S 3 : u = v = 0, = 0 y ( superfíce adabátca ); (2.51) Em S 4 : u = v = 0, T = T C ( superfíce sotérmca ); (2.52) Em S 5 : u = v = 0, T = T H ( superfíce sotérmca ). (2.53) Número de Nusselt Médo e Local O número de Nusselt local para o caso 3 e 4 é calculado como: T H Nu =. (2.54) T T w H C

42 20 O número de Nusselt médo para os casos 3 e 4 é calculado como: 1 H Nu = Nu dy. (2.55) H 0 O número de Nusselt local para o caso 5 é calculado como: 2 2 L T T Nu TH TC y =. (2.56) O número de Nusselt local para o caso 6 é calculado como: 2 2 D T T Nu TH TC y =. (2.57) O número de Nusselt médo para os casos 5 e 6 é calculado como: 1 Nu = Nu ds. (2.58) S S 2.5 Problemas de Convecção Msta Geometra e Condções de Contorno Caso 7 Convecção Msta em Cavdades Retangulares Para este caso, conforme fgura 2.7, foram utlzadas as equações (2.4) a (2.6) e as equações dos modelos de turbulênca sub-malha, equações (2.16) a (2.18) e equações (2.19) e (2.20).

43 21 y h n S 2 u n S 3 g H S 1 Ω S 4 h out S 6 S 5 L Fgura 2.7 Geometra de uma cavdade retangular. A fgura 2.7 mostra a cavdade onde foram mpostas as seguntes condções ncas e de contorno: Em Ω : u(,y,0) = 0, v(,y,0) = 0, T(,y,0) = 0; (2.59) Em S 1 : u = v = 0, T = T C ( superfíce sotérmca ); (2.60) Em S 2 : u = u n, v = 0 T = T C ( entrada do fludo ); (2.61) Em S 3 : u = v = 0, T = T C ( superfíce sotérmca ); (2.62) Em S 4 : u = v = 0, T = T C ( superfíce sotérmca ); (2.63) u T Em S 5 : = 0, v = 0, = 0 ( saída do fludo ); (2.64) Em S 6 : u = v = 0, T = T H ( superfíce sotérmca ). (2.65) Caso 8 Convecção Msta em Cavdades Retangulares com Restrções Para este caso, conforme a fgura 2.8, foram utlzadas as equações (2.4) a (2.6) e as equações do modelo de turbulênca sub-malha, equações (2.16) a (2.18).

44 22 y U S 2 Ω g H S 1 S 5 S 3 S 4 h e L Fgura 2.8 Geometra de uma cavdade retangular com restrção. A fgura 2.8 mostra a cavdade onde foram mpostas as seguntes condções ncas e de contorno: Em Ω : u(,y,0) = 0, v(,y,0) = 0, T(,y,0) = 0; (2.66) Em S 1 : u = v = 0, T = T H ( superfíce sotérmca ); (2.67) T Em S 2 : u = U, v = 0, = 0 y ( superfíce móvel adabátca ); (2.68) Em S 3 : u = v = 0, T = T C ( superfíce sotérmca ); (2.69) T Em S 4 : u = v = 0, = 0 y ( superfíce adabátca ); (2.70) Em S 5 : u = v = 0, T = (T H T C )/2 ( superfíce sotérmca ). (2.71) Número de Nusselt Local T H Nu =. (2.72) T T w H C

45 CAPÍTULO 3 MÉTODO NUMÉRICO E COMPUTACIONAL Introdução No capítulo anteror foram apresentadas as equações de conservação para convecção forçada, convecção natural e convecção msta, para o modelo de turbulênca clássco k-ω, equações (2.1), (2.2) e (2.3), e para o modelo de turbulênca sub-malha, equações (2.4), (2.5) e (2.6). Para resolver estas equações, as mesmas são dscretzadas pelo método de volumes fntos. As equações são resolvdas de manera segregada. Pode-se escrever estas equações em uma equação de transporte geral na forma dferencal em coordenadas lvres. ( ρφ) t dv ( ρφ U) = dv( Γgradφ) Sφ, (3.1) sendo o prmero termo do lado esquerdo da equação corresponde ao termo não permanente, o segundo corresponde ao termo convectvo. Do lado dreto da gualdade tem-se como prmero o termo dfusvo, e o segundo o termo fonte. Sendo que Γ é o coefcente dfusvo. Fazendo φ=1, u, v e T, e seleconando valores aproprados para Γ e o termo fonte obtémse as seguntes equações: ) equação de conservação de massa dv ( ρ U) = 0 ; (3.2) ) equação de quantdade de movmento em ( ρ u) t dv p ( ρ u U) = dv( μ grad u) S ; (3.3)

46 24 ) equação de quantdade de movmento em y ( ρ v) t dv p y ( ρ v U) = dv( μ grad v) Sy ; (3.4) v) equação de energa ( ρt) t dv ( ρt U) = dv( k grad T) Φ ST, (3.5) Sendo S ( =, y, T ) os termos fontes e Φ é a função de dsspação que representa a taa de dsspação da energa mecânca devdo as tensões vscosas sendo dado por: u v u v Φ = μ 2 λ( dv U) 2, (3.6) y y sendo λ a vscosdade para relaconar as tensões de deformação volumétrca. No presente trabalho a função de dsspação vscosa fo desprezada. 3.2 O Método de Volumes Fntos ntegral: A ntegração sobre um volume de controle (VC) fornece a equação geral na forma VC ( ρφ) t dv VC dv ( ρφ U) dv = dv( Γgradφ) dv S dv VC VC φ. (3.7) Devdo a presença do termo transente, a forma mas geral para a equação de transporte é dada por: ρ φdv dt n ( ρ φ U) da d t = n. ( Γgradφ) da d t t VC Δ t A Δ t A. (3.8) Δ t Δ t VC S φ dvd t

47 sea: O método de volumes fntos nca com a forma ntegral da equação de conservação, ou 25 t VC ρ φdv A n ( ρ φ U) da = n. ( Γgradφ) da S dv A VC φ. (3.9) Os seguntes passos são eecutados no método: 1 Dvdr o domíno estudado em um número fnto de volumes de controles, também conhecdo como geração de malha; 2 Dscretzar os termos da equação e obter o sstema de equações do domíno; 3 Através de um algorítmo, resolver o sstema de equações obtendo os resultados; Vamos consderar a fgura 3.1 que mostra o domíno estudado dvddo em volumes de controle, á na forma cartesana. No volume de controle da fgura 3.1, pode-se observar que o volume central, ou célula, possu 4 lados, no qual o ponto central ou nó é denomnado P, os demas pontos vznhos dos outros volumes são denomnados pelas seguntes letras: no lado oeste temos W, a leste E, ao sul S e ao Norte N. Para as faces utlzamos w, e, s e n. N WW W n P e E EE y w s S Fgura 3.1 Volume de controle em coordenadas cartesanas.

48 3.2.1 Dscretzação Espacal 26 O termo dfusvo poderá ser escrto como: D = A n. φ φ ( Γ gradφ) da = ΓA ΓA e φ φ ΓA ΓA. (3.10) n s w Apromando o termo dfusvo por dferenças centras, vem: ( φ φ ) ( φ φ ) E P P W D = Γe A e Γ w A w Δ PE Δ WP ( φ φ ) ( φ φ ) N P P S Γ n A n Γs A. (3.11) Δ PN Δ SP s O termo convectvo é obtdo através da ntegração. Assm, tem-se: A ( ρ φ U) da = [( ρuaφ) ( ρuaφ) ] [( ρuaφ) ( ρuaφ) ] C = n. (3.12) e w n s O termo fonte é obtdo através da ntegração. Assm, tem-se: Sφ dv = SΔV. (3.13) VC O termo fonte é então lnearzado, obtendo-se: SΔV = S u S P φp. (3.14) O Esquema de Dferença Híbrdo Para melhorar os resultados, devdo ao erros que são gerados com a utlzação dos esquemas de dferenças centras e o upwnd, fo utlzado o esquema de dferença híbrdo. Este esquema de Spaldng (1972) se basea na utlzação combnada dos esquemas dferenças centras

49 27 e upwnd. O esquema dferença central é empregado para números de Peclet menores que 2 (Pe < 2) e o esquema Upwnd para números de Peclet maores ou guas a 2 (Pe >= 2). O esquema de dferenças híbrdo avala o número de Peclet na face do volume de controle. Como eemplo vamos verfcar a face w. Para 2 < Pe w < 2, o valor do fluo q w é dado por: q φ w = C w 1 w 1 φp. (3.15) 2 Pe w 2 Pe w Para Pe w -2 q w = C A φ. (3.16) w w W Para Pe w 2 q w = C A φ, (3.17) w w P onde o número de Peclet é dado por C Pe = ( ρ u) w w w =. (3.18) D w Γ w Δ WP Pode-se determnar o número de Peclet para as outras faces também. De forma geral obtém-se as seguntes equações: C w a W = mac w, D w,0 ; (3.19a) 2 Ce a E = ma Ce, D e,0 ; (3.19b) 2 C n a N = ma C n, D n,0 ; (3.19c) 2

50 28 =,0 2 C D, C ma a s s s S. (3.19d) Para o volume de controle P, pode ser obtda a segunte equação de balanço da grandeza φ: u N N S S E E W W P P S a a a a a φ φ φ φ = φ. (3.20) O Coefcente P a é dado por: ( ) P s n w e N S E W P S C C C C a a a a a =. (3.21) Os demas coefcentes são dados pelas equações (3.19a-d) Dscretzação Temporal Neste trabalho fo utlzado a formulação eplcta na dscretzação temporal. Conforme pode ser vsto em Versteeg et al. (1995) e Ferzger et al. (1997), os métodos eplíctos mas comumente utlzados são: o método de dos níves de Euler e o método de três níves de Leapfrog. Na formulação de Leapfrog, o cálculo do valor de φ no nstante n1 é realzado utlzando os valores de φ para os nstantes n e n-1, conforme a equação a segur: ( ) u n P P N S E W n N N n S S n E E n W W 1 n P n P 1 n P P S S a a a a a a a a a a φ φ φ φ φ φ = φ ; (3.22) sendo: Δ t ΔΔy ρ a a n P P = =. (3.23) Conforme Ferzger et al. (1997), uma manera de melhorar a establdade numérca deste esquema é utlzar a segunte apromação para o termo n P φ na equação (3.22): ( ) 1 n P 1 n P n P 2 1 φ φ = φ (3.24) O crtéro da escolha do ncremento de tempo t para que o esquema numérco tenha establdade é dado pela equação:

51 1 t < ; (3.25) 2Γ 2Γ u v ρ 2 2 ( ) ρ( y) y 29 A equação (3.25) é utlzada para calcular os ncrementos de tempo hdrodnâmco e térmco, sendo escolhdo o menor valor entre eles. 3.3 Malhas Não Ortogonas Grande parte dos problemas em engenhara envolvem geometras compleas. Quando a geometra é regular, a escolha da malha é smples, mas para estudo de geometras compleas, a escolha da malha não é trval. y N ne e n E P se W S Fgura 3.2 Malha não ortogonal. Malhas não ortogonas possuem a vantagem de se adaptar a qualquer geometra, mas possuem a desvantagem de que as equações transformadas contém mas termos, o que aumenta a dfculdade de programação e o custo computaconal. Também o arrano de malha afeta a precsão e a efcênca do algortmo. Dversos métodos podem ser utlzados. Estas nformações podem ser vstas em Das et al. (2003) e Ferzger et al. (1997). A fgura 3.2 apresenta uma malha não ortogonal.

52 Consderando-se a face e do volume de controle P da fgura 3.2. Também consderando a equação de conservação genérca, equação (3.9) Fluos Convectvos O Fluo de massa m e é dado por: e = ρ v ηds se m ( ρ v η) Se e. (3.26) y ne e S e y S e n se S e Fgura 3.3 Face de um volume não ortogonal. O vetor untáro normal da face e é calculado por: η S e e ( y y ) ( ) = S =, (3.27) e ne se ne se e a área da superfíce Se por: e 2 y ( S ) ( S ) 2 S =. (3.28) e e Assm o fluo de massa na face e pode ser calculado como:

53 y ( u S u y ) e m e = ρ S. (3.29) 31 O Fluo convectvo na face e pode ser calculado como: C φ, (3.30) e m e e onde φ e é o valor de φ no centro da face e. Este valor pode ser calculado pela apromação de segunda ordem por nterpolação lnear Fluos Dfusvos O Fluo dfusvo é dado por: D e se ( Γgradφη) Se = ΓgradφηdS. (3.31) e O gradente de φ é escrto em termos da dervada em relação as coordenadas cartesanas globas ou coordenadas ortogonas locas, dado por: φ φ φ φ gradφ = = n t, (3.32) y η t onde n e t representam as coordenadas nas dreções normal e tangencal da superfíce. Se for utlzado o sstema de coordenadas ortogonas lgadas a face do volume, somente a dervada normal contrbu para o fluo dfusvo, assm: D e φ = Γe Se. (3.33) η e A dervada na dreção normal é calculado pelo esquema de dferença central: φ η e φ r E E φ r P P, (3.34)

54 32 onde r r é a dstânca entre centros dos volumes P e E. E P Conforme Patankar (1980) o cálculo do gradente da propredade φ por uma apromação lnear, pode ocasonar erro na solução de problemas que possuem uma dstrbução osclatóra. Assm é necessáro um mecansmo que elmne tal problema. Conforme Ferzger et al. (1997). pode-se calcular o gradente da segunte manera: D e IMPL e EXPL [ ] IMPL n D D 1 = D, (3.35) e e onde o índce n-1 corresponde a teração anteror e: D IMPL e φ r E P = ; (3.36) E φ r P D EXPL e 1 φ 2 r E W EE P =. (3.37) E φ r W 1 φ 2 r EE φ r P Termo Fonte O termo fonte volumétrco é obtdo pela ntegração do termo fonte multplcado pelo volume de controle. Q P φ ( q ) ΔV = q ds. (3.38) V φ φ P 3.4 Condções de Contorno Conforme Malska (1995) podemos aplcar as condções de contorno de duas maneras. Uma delas é crando volumes fctícos na frontera. Este procedmento é de fácl aplcação. O únco nconvenente é o aumento do custo computaconal. Deve-se crar as equações para estes volumes fctícos. As condções de contorno que podem ser aplcadas nas fronteras são: temperatura prescrta; fluo prescrto e convecção na nterface. A segunda manera de aplcar as condções de contorno é realzar o balanço nos volumes de frontera. Este procedmento permte a generalzação para sstemas de coordenadas mas

55 33 compleas. Também possu mas consstênca físca, assm Malska(1995) recomenda sua utlzação. O procedmento não gera mas volumes. As condções de contorno mas comumente usadas no MVF são: - Entrada - Saída - Parede - Pressão Prescrta - Smetra - Perodcdade No presente trabalho foram aplcadas as condções de contorno a segur: Entrada Na entrada admte-se um perfl de velocdades conhecdo, ou sea, é especfcado o valor para u e v. Também o valor de T é especfcado. Quando se utlza o modelo de turbulênca clássco, os valores das grandezas para k e ω são especfcados da segunte manera: 4 2 u k = 10 e ε ω =, (3.39) * β k sendo ε = Outras especfcações dos valores de k e ω podem ser vstos em Versteeg et al. (1995) Saída Na saída admte-se a condção de escoamento desenvolvdo, ou sea: u = 0 v e = 0, (3.40) e para as grandezas turbulentas no modelo clássco: k = 0 n ω e 0 n =. (3.40) Parede

56 34 Para condções de parede, as velocdades são consderadas nulas, ou sea: u = 0 e v = 0. (3.42) Para paredes sotérmcas, a temperatura é prescrta: T = T n. (3.43) Para condções adabátcas consdera-se o gradente na dreção normal nulo T = 0. (3.44) n Para escoamentos turbulentos, é necessáro utlzar as funções de parede clásscas, que serão vstas no tem a segur Funções de Parede Para altos números de Reynolds a subcamada vscosa da camada lmte é muto fna e dfícl de avalar. A mplementação de funções de parede em escoamento turbulento é ncada, conforme Versteeg et al( 1995), avalando a dstânca entre a parede e o centro do volume mas prómo, conforme a equação: y Δy = ν P τ ρ W, (3.45) onde Δy P e a dstânca entre a parede e o volume mas prómo. O tensor τ W é calculado por: τ W u y P = µ, (3.46) P onde u P é a velocdade no volume mas prómo da parede. Conforme Versteeg et al. (1995), a condção de parede é aplcada em dos casos: para soluções das equações de escoamento lamnar e equações para escoamento turbulento quando y 11,63. Em ambos os casos, a regão próma a parede, o escoamento é tratado como lamnar.

57 Avalando o valor de y, é realzado a especfcação aproprada das grandezas das equações de conservação e mplementado nos termos fontes. Maores detalhes poderão ser vstos no trabalho de Versteeg et al. (1995) Acoplamento entre pressão e velocdade Estem dversos métodos de acoplamento. Podemos ctar os métodos SIMPLE, SIMPLER, SIMPLEC, PISO, PRIME, ver em Malska (1995). Todos tem como obetvo, a partr do cálculo da pressão, obter velocdades que satsfaçam a equação da contnudade. No presente trabalho fo utlzado o método SIMPLE, o qual não é necessáro a solução de um sstema lnear para determnar a pressão. A seqüênca para o método SIMPLE é, conforme Malska (1995): 1) Estmar o campo de pressão (P*) e velocdades; 2) Com P*, calcular as velocdades u* e v* 3) Calcular a pressão P 4) Corrgr as velocdades u* e v*, satsfazendo a equação da contnudade 5) Calcular P a partr de: P=P*αP 6) Resolver a equação de temperatura 7) Fazer P*=P. Se não convergu voltar ao passo 2. Para melhor compreensão da utlzação do método SIMPLE em malhas colocalzadas recomenda-se a letura do trabalho de Mettnen (1997). 3.6 Solução do Sstema de Equações Para o método de volumes fntos, o processo de dscretzação gera um conunto de equações algébrcas, os quas podem ser lneares ou não lneares de acordo com a equação dferencal parcal. Para o caso das equações serem não lneares, uma técnca teratva deve ser utlzada para resolver as equações. Consderando-se o caso bdmensonal, a matrz pentadagonal é obtda da dscretzação. Essa matrz é apresentada na fgura 3.4

58 36 No presente trabalho fo utlzado o método SIP ( Strong Implct Procedure ) para resolver o conunto de equações obtdos. Este método pode ser vsto com mas detalhes no apêndce B e também nos trabalhos de Pepper at al. (1977) e Malska (1995). = Φ P E N P S W Q A A A A A. Fgura 3.4 Estrutura da matrz computaconal 3.7 Técnca de Bloqueo de Regão A técnca de bloqueo de regões, desenvolvdo por Patankar (1980), é largamente utlzada no estudo de problemas com geometra que apresentam degrau, restrções, corpos submersos e outros. Esta técnca é vantaosa pos sua mplementação computaconal é smples. Como eemplo, a fgura 3.5(a) apresenta uma cavdade com restrção onde crcula um fludo. A fgura 3.5(b) apresenta a malha onde na restrção não são gerados os volumes. A fgura 3.5(c) apresenta a malha completa onde na restrção fo aplcado a técnca de bloqueo. Na técnca de bloqueo as varáves tem seus valores fados. Como eemplo, se for uma regão sotérmca, sua temperatura é fada a um certo valor. Caso sea uma restrção dentro de um canal ou cavdade, suas velocdades nas dreções e y são fadas no valor zero. Para alguns casos estudados no presente trabalho fo utlzado a técnca de bloqueo de regão.

59 37 y U S 2 Ω (a) S 1 S 5 S 3 S 4 (b) (c) Fgura 3.5 (a) Geometra da cavdade; (b) Malha sem técnca de bloqueo (c) Malha completa com técnca de bloqueo.

60 3.8 Crtéro de Convergênca e o Controle da Dvergênca 38 Quando utlza-se um método teratvo para resolver as equações algébrcas provenentes da dscretzação, é necessáro determnar um crtéro de parada. O procedmento mas comum e utlzado por dversos autores é o cálculo da dferença entre sucessvas terações do método de solução das equações algébrcas. Os cálculos são fnalzados quando esta dferença for menor que um valor parametrzado. Caso sea um estudo de escoamento não permanente, os cálculos contnuarão na próma teração de tempo. Pode-se também, controlar a dvergênca, o qual ra fnalzar os cálculos e emtr um avso de que os cálculos dvergram quando a dferença for maor que um valor parametrzado. No presente trabalho fo utlzado este crtéro de parada. Para cada teração do programa é realzado o cálculo da dferença entre os valores atual e anteror das grandezas ( u, v, P e T ) para cada ponto da malha, e em seguda é feto o cálculo da dferença acumulada para todos os pontos da malha. Após realzar o cálculo de todas as grandezas é feto então uma verfcação do maor valor da dferença acumulada. Esse valor é então comparado com dos parâmetros especfcados como mínmo e mámo. Prmero verfca se este é maor que o valor mámo. Caso for verdadero, ocorreu a dvergênca, assm o programa emte um avso e nterrompe os cálculos. Em seguda deve-se verfcar se este valor é menor que o valor mínmo. Caso for verdadero ocorreu a convergênca para o regme. Esta stuação geralmente ocorre para escoamentos lamnares, onde o escoamento converge para um regme estável. Para casos em que se utlza modelos de turbulênca, em escoamento turbulentos, os valores destas dferenças nunca são estáves, mudando a cada teração. Isto ocorre devdo as característcas do escoamento turbulento ou lamnar peródco. Assm fo realzado uma análse do valor do Nusselt médo temporal para verfcar a establdade do escoamento. Deve-se calcular os valores médos para verfcar a convergênca para este tpo de escoamento. Também para este tpo de escoamento, é necessáro esperar alguns números de terações no tempo, para atngr uma establdade estatístca, para ncar o levantamento dos cálculos dos parâmetros deseados, como número de Nusselt, velocdades médas e outros.

61 CAPÍTULO 4 VALIDAÇÃO 4.1 Convecção Forçada Estudo do Escoamento num Canal Para valdar o códgo computaconal desenvolvdo em FORTRAN, para os casos de convecção forçada, fo realzado um estudo do escoamento em um canal e comparado com os resultados do trabalho de Comn et al. (1997). O estudo é realzado consderando regme lamnar e convecção msta. A fgura 4.1 apresenta a geometra utlzada nesta comparação. As dmensões utlzadas para o canal são: H=1, L=5. As condções de contorno para as velocdades u e v, e a temperatura T são: na superfíce S 1 ( entrada do canal ) u 6yU( 1 y) =, v = 0 e temperatura T = 1 y ; na superfíce S 2 : u = v = 0 e T = 0 ; para a superfíce S 3 ( saída do canal ) u = 0 T e = 0; e para a superfíce S 4 : u = v = 0 e T = 1. Os parâmetros utlzados foram: número de Reynolds Re = 10, número de Prandt Pr = 0, 67 e número de Froude Fr = Fo utlzada uma malha com volumes. O ncremento de tempo é Δt = 0, 01 e os resultados são apresentados até 2000 terações. Para realzar uma comparação com os resultados do número de Nusselt médo local do trabalho de Comn et al. (1997), fo utlzada a segunte equação do autor: 1 Nu = NudS2 (4.1) S S 2 2 sendo o número de Nusselt local dado por: 2q Nu = μ c P W ( T T ) W PrH M (4.2) A fgura 4.1 apresenta a geometra do canal com as restrções e a fgura 4.2 apresenta detalhes da malha utlzada na parte nferor do canal. A apresentação da malha completa do canal não é possível devdo ao grande número de volumes utlzados, não sendo possível sua vsualzação na fgura. A fgura 4.3 apresenta o número de Nusselt médo para a superfíce S 2.

62 40 y S 2 H S 1 S 4 S 3 L Fgura 4.1 Geometra do canal. Fgura 4.2 Detalhe da parte nferor da malha gerada na entrada do canal ,4 2 Nu Fgura 4.3 Número de Nusselt médo em S 2 versus tempo admensonal. t

63 O valor médo no tempo, do número de Nusselt médo na superfíce S 2 fo < Nu >= 2,40. Este valor quando comparado com o resultado 2,34 de Comn et al. (1997) apresenta boa concordânca, com um desvo de 2,56% Estudo do Escoamento num Canal com Degrau Para valdar o modelo de turbulênca fo estudado o caso do degrau. A fgura 4.4 apresenta a geometra estudada e a fgura 4.5 apresenta detalhes da malha utlzada, a qual possu volumes. No teste foram consderados os seguntes parâmetros: número de Reynolds 5 Re = 1,3210, número de Prandtl Pr = 0, 7 desenvolvdo na entrada do canal.. Utlzou-se um perfl de velocdade turbulento y S 2 S 1 S 4 S 5 S6 S 3 H h l L Fgura 4.4 Geometra do canal com degrau. Fgura 4.5 Detalhe da malha na entrada do canal.

64 42 Fo dentfcado o ponto de recolamento e comparou-se como resultado de Km ( 1978), Brto et al. ( 2000) e Pran et al. (2002). A tabela 4.1 apresenta a comparação dos resultados. Tabela 4.1: Comparação entre o presente trabalho e lteratura. Ponto de Recolamento Km (1978) Brto et al. (2000) Pran et al. (2002) Presente Trabalho 7,1 ± 1,0 6,1 7,7 6,2 4.2 Convecção Natural Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Retangulares Para a valdação do modelo desenvolvdo para convecção natural, fo estudado o escoamento e a transferênca de calor em uma cavdade fechada onde as superfíces superor S 2 e nferor S 4 são soladas, a superfíce S 3 é mantda a temperatura constante T H e a superfíce S 1 é mantda a temperatura constante T C, consderando regme lamnar. As fguras 4.6(a) e 4.6(b) apresentam a geometra e a malha utlzada respectvamente. As malhas adotadas nos testes foram 4040; 8080 e O número de Grashof fo consderado Gr= e o número de Prandtl Pr=0,733 com razão de aspecto de A=1. Os resultados obtdos para o número de Nusselt são bastante satsfatóros e valdam o programa computaconal desenvolvdo. O melhor resultado fo o obtdo ao utlzar a malha O Número de Nusselt médo calculado fo de Nu = 2,609. O desvo em relação ao resultado do trabalho de Menon ( 1984 ) fo de 3,5% e do trabalho de Tabarrok (1977) e outros fo de 3,3%. A segur são apresentados comparações dos resultados deste trabalho, com aqueles obtdos por Peng e Davdson (1999), consderando regme turbulento. Nesta comparação consdera-se uma cavdade preenchda pelo ar, de razão de aspecto A=5 e número de Raylegh Ra= com as temperaturas T H =77,2 o C e T C =31,4 o C, utlzados pelos autores. A fgura 4.7(a) apresenta os resultados do número de Nusselt local médo temporal para a superfíce quente S 3. Os resultados deste trabalho foram obtdos para uma malha Comparados os resultados do presente trabalho com os obtdos pelo trabalho apresentado por Peng e Davdson (1999), verfca-se boa concordânca.

65 43 A fgura 4.7(b) apresenta o perfl de temperaturas varando a posção, mantendo y=h/2. Verfca-se boa concordânca dos presentes resultados com aqueles de Peng e Davdson (1999), e um desvo mámo prómo de 10 % com relação aos dados epermentas. Y S 2 g H S 3 Ω S 1 S 4 L X (a) (b) Fgura 4.6 (a) Geometra de uma cavdade retangular e (b) malha utlzada.

66 Peng e Davdson (1999) Epermental ( S 1 ) Peng e Davdson (1999) Epermental ( S 3 ) Peng e Davdson (1999) Presente Trabalho 500 <Nu> ,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 y / H (a) Epermental Peng e Davdson (1999) Peng e Davdson (1999) Presente Trabalho 60 T o C ,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 (b) Fgura 4.7. (a) Número de Nusselt local médo temporal na superfíce S 3; (b) Temperatura T versus /L, para y = H/2. / L Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Quadradas A valdação do códgo computaconal desenvolvdo fo realzado estudando-se a convecção natural turbulenta em uma cavdade quadrada utlzando-se os modelos propostos. As superfíces lateras são sotérmcas, sendo que a superfíce S 1 é mantda a temperatura constante T H e a superfíce S 3 é mantda a temperatura constante T C. As superfíces superor e nferor são soladas. O passo de tempo t utlzado para todos os cálculos fo o mesmo apresentado por Peng e Davdson (2001), ou sea: 0,0131t 0 Δt =, onde H ( g β ΔT ) 1 2 t =. O ntervalo de tempo 0 H

67 utlzado para cálculo das grandezas médas temporas fo de 400 t 0 a 600 t 0. As fguras 4.8(a) e 4.8(b) apresentam a geometra e a malha utlzada. Após realzar um estudo de malhas, consderando o custo computaconal e a precsão dos resultados, optou-se por escolher uma malha 6060, o qual será utlzada em todos os casos estudados neste trabalho. 45 y S 2 H S 1 Ω S 3 g S 4 L (a) (b) Fgura 4.8 (a) Geometra de uma cavdade quadrada e (b) malha utlzada. A fgura 4.9 apresenta os resultados do número de Nusselt local médo temporal do presente trabalho, comparando-os com os resultados epermentas de Tan et al. (2000a) Superfíce Fra - Tan et al. (2000a) Superfce Quente - Tan et al. (2000a) Modelo Smagornsk Modelo Smagornsk com Empuo Modelo TTV <Nu> ,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Y = y / H Fgura Número de Nusselt local médo temporal na superfíce S 1 para Ra = 1, e t = 600 t 0.

68 Os parâmetros utlzados para verfcação foram: razão de aspecto A=1, número de Raylegh Ra = 1, e temperaturas da superfíce S 1, T H = 50 ºC e da superfíce S 3, T C = 10 ºC. Verfca-se uma boa concordânca dos resultados do número de Nusselt local para os três modelos de turbulênca mplementados: modelo Smagornsk, modelo Smagornsk com termo empuo e modelo sub-malha baseado na teora de transferênca de vortcdade ( TTV). Os melhores resultados foram obtdos do modelo de turbulênca sub-malha TTV utlzado. * A fgura 4.10 apresenta os resultados da velocdade méda u U 0 na posção / L = 0,5 do presente trabalho e os resultados do trabalho de Peng e Davdson (2001). Sendo u * a velocdade méda temporal no ntervalo de tempo 400 t 0 a 600 t 0. A velocdade de empuo é calculado por: ( g β ΔT ) 1 2 U =. Verfca-se uma boa concordânca dos valores da velocdade 0 H para as regões centras da cavdade. Bem prómo das superfíces superor e nferor observa-se que a velocdade possu um comportamento dferente do apresentado por Peng e Davdson (2001) e dos resultados epermentas. No modelo utlzado por Peng e Davdson (2001) fo ncluído as funções de amortecmento para um melhor comportamento assntótco prómo as superfíces. No presente trabalho não fo ncluído estas funções o que comprometeu os resultados prómos as superfíces. 46 1,0 0,8 0,6 y / H 0,4 0,2 Mod. Dnâmco - Peng et al. (2001) Epermental Peng et al. (2001) Mod. com Empuo - Peng et al. (2001) Modelo Smagornsk Modelo Smagornsk com Empuo Modelo TTV 0,0-0,2-0,1 0,0 0,1 0,2 u* / Uo * Fgura Velocdade méda u U 0 na posção / L = 0,5. A fgura 4.11 apresenta a comparação dos resultados para a temperatura méda admensonal calculada por ( T * * T ) ΔT na posção / L = 0,5. Sendo T a temperatura C méda temporal no ntervalo de tempo 400 t 0 a 600 t 0. Verfcam-se dferenças entre os resultados do presente trabalho e os resultados epermentas de Tan e Karayanns (2000a). Os

69 47 resultados do modelo TTV comparados com os resultados do modelo numérco (a) de Lankhorst (1991) apresentam boa concordânca. Os resultados do modelo de Smagornsk não apresentam boa concordânca quando comparados aos dos modelos numércos (a) e (b) de Lankhorst (1991). 1,0 0,8 0,6 y / H 0,4 0,2 Tan et al. (a) (2000a) Tan et al. (b) (2000a) Modelo Numérco (a) Lankhorst (1991) Modelo Numérco (b) Lankhorst (1991) Modelo Smagornsk Modelo TTV 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 (T*-Tc) / Τ Fgura Temperatura méda ( T * T ) ΔT na posção / L = 0, Convecção Natural em uma Cavdade Retangular com Clndro Interno Para valdação do códgo computaconal desenvolvdo em FORTRAN para o método de volumes fntos, fo estudada a convecção natural em uma cavdade retangular com clndro nterno. As fguras 4.12 e 4.13 apresentam a geometra e a malha utlzada respectvamente. y C S 1 Ω H S 4 S 5 D S 2 S 3 L Fgura 4.12 Geometra de uma cavdade retangular com clndro nterno.

70 48 Fgura 4.13 Malha utlzada. Fo realzado um estudo de malhas, e levando em consderação o custo computaconal, optou-se por uma malha de 4800 volumes. As condções ncas e de contorno utlzadas foram as mesmas utlzadas no trabalho de Cesn et al. (1999). As dmensões da cavdade são as seguntes: a altura da cavdade H=57 [mm], a largura fo L=30; 40 e 50 [mm]. O clndro nterno possu dâmetro D=14 [mm]. A superfíce S 5 do clndro é mantda a temperatura T H = 50 [ºC] e as superfíces S 2, S 4 da cavdade são mantdas a temperatura T C = 10 [ºC]. A superfíce S 3 é adabátca. Na superfíce S 1 tem-se fluo de calor para o meo ambente, de temperatura T A =20 [ºC], com o coefcente de transferênca de calor dado por h = 10 [W m -2 K -1 ]. Estes parâmetros foram utlzados em todos os casos estudados neste trabalho, com esta geometra. A segur são apresentadas comparações dos resultados do presente trabalho com os resultados teórcos e epermentas do trabalho de Cesn et al (1999), consderando regme lamnar. A razão de aspecto é dada por: W=L/D; e as razões de aspecto consderadas foram W=2,1; 2,9 e 3,6 e os números de Raylegh consderados foram: Ra=1,310 3 a 7, A tabela 4.2 apresenta os resultados do número de Nusselt médo calculado para as razões de aspecto e números de Raylegh consderados. Verfca uma boa concordânca dos presentes resultados com aqueles do trabalho de Cesn et al. (1999). Verfca-se um desvo de no mámo 8,14% com relação aos resultados teórcos.

71 49 Tabela 4.2 Valor do Nusselt médo ( Nu ) na superfíce do clndro. W = 2,1 W = 2,9 W = 3,6 Teor.* Ep.** Calc. Teor.* Ep.** Calc Teor* Ep** Calc. Ra=1, ,36 2,46 2,34 2,25 2,54 2,31 2,35 2,35 2,57 Ra=2, ,61 2,80 2,53 2,65 3,00 2,68 2,75 2,79 2,87 Ra=3, ,77 3,07 2,67 2,90 3,15 2,91 2,98 3,06 3,06 Ra=5, ,99-2,89 3,22-3,19 3,25-3,27 Ra=1, ,52-3,47 3,80-3,70 3,74-3,64 Ra=2, ,27-4,27 4,42-4,22 4,29-4,10 Ra=3, ,78-4,78 4,80-4,53 4,67-4,41 Ra=4, ,17-5,14 5,09-4,78 4,99-4,67 Ra=5, ,47-5,43 5,33-4,98 5,25-4,88 Ra=7, ,05-5,93 5,82-5,38 5,77-5,30 * Resultados teórcos do trabalho de Cesn et al(1999). ** Resultados epermentas do trabalho de Cesn et al(1999). Resultados do presente trabalho. Para valdação do modelo de turbulênca, fo estudada a convecção natural em uma cavdade retangular com clndro nterno com as mesmas condções do trabalho de Cesn et al (1999), anterormente apresentado, mas consderando regme turbulento. Fo utlzado o modelo de turbulênca k-ω,. Fo realzado o cálculo do número de Nusselt médo na superfíce do clndro e comparado com os resultados teórcos do trabalho de Padlla (2000). A fgura 4.14 apresenta os resultados do número de Nusselt médo versus o número de Raylegh, para razão de aspecto W=3,6. Os números de Raylegh consderados foram: Ra=1,010 3 a 1, Verfca-se uma boa concordânca dos resultados obtdos do presente trabalho com os resultados do trabalho de Padlla (2000) Padlla (2000) Modelo Dnâmco Padlla (2000) Smagornsk Presente Trabalho 15 <Nu> e2 1e3 1e4 1e5 1e6 1e7 1e8 1e9 Ra Fgure Número de Nusselt médo local e temporal versus número de Raylegh.

72 4.3 Convecção Msta Convecção Msta em Cavdades Retangulares Para valdação dos modelos de turbulênca sub-malha fo estudada a convecção msta em uma cavdade quadrada, determnando-se a velocdade e a temperatura méda. A fgura 4.15 e 4.16 apresentam a geometra e a malha utlzada. Após fazer um estudo de malhas, levando em consderação o custo computaconal, optou-se por escolher uma malha 8080 volumes. A segur são apresentados alguns resultados da valdação dos modelos de turbulênca sub-malha. y h n S 2 u n S 3 g H S 1 Ω S 4 h out S 6 S 5 L Fgura 4.15 Geometra de uma cavdade retangular. Fgura 4.16 Malha utlzada.

73 A fgura 4.17(a) e 4.17(b) apresentam os resultados da velocdade méda u* e da temperatura méda T* na cavdade, respectvamente, com dmensões H=L=1,04[m]. A velocdade méda u* e a temperatura T* é obtda como a méda da grandeza em cada ponto no ntervalo de tempo de 400 t 0 a 600 t 0, onde 0 ( ) t é dado por H ( gβ ΔT ) H 51 t =, sendo ΔT = T H T C. Para este caso o fludo entra por uma abertura na parte superor esquerda da cavdade, superfíce S 2, com dmensão h n = 0,018[m]. O fludo entra com uma velocdade u n = 0,57[m s] e temperatura T C =15 [ºC]. O fludo sa por uma abertura na parte nferor dreta, superfíce S 5, com dmensão h out = 0,024m. A superfíce horzontal nferor S 6 possu temperatura T H =35,5 [ºC]. As demas superfíces: S 1, S 3 e S 4 possuem temperatura T C =15[ºC]. Estes valores serão utlzados para os todos casos estudados. O passo de tempo t utlzado para os cálculos fo: Δt = 0,0131t 0. O número de Reynolds é calculado por: Re = u n h n /ν = 678 e o número de Raylegh Ra = gβ T h n /ν = 3, ,0 0,8 Epermental - Blay et al.(1992) Peng et al.(1999) Modelo TTV 0,6 y/h 0,4 0,2 0,0-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 u* (a) 1,0 0,8 Epermental Blay et al. (1999) Peng et al. (1999) Modelo TTV Modelo Função Estrutura 0,6 y / H 0,4 0,2 0, T [ºC] (b) Fgura 4.17 (a) Velocdade méda na posção / L = 0,5 (b) Temperatura méda [ºC].

74 52 Na fgura 4.17(a) verfcam-se bons resultados para a velocdade calculada com o modelo de função estrutura ( FE ) quando comparados aos resultados epermentas de Blay et al.(1992). O modelo TTV não apresentou boa concordânca com os resultados epermentas. Entretanto, esse modelo concorda bem com os resultados numércos de Peng et al. (1999). Na fgura 4.17(b) observa-se que os resultados numércos de Peng et al. (1999) apresentam boa concordânca com os resultados epermentas. Para os resultados deste trabalho, o modelo TTV é o que mas se aproma dos resultados epermentas. Na regão próma da parede, os dos modelos deste trabalho não apresentam bons resultados. Isto ndca a necessdade de se adconar funções de amortecmento nesses modelos, semelhante ao que fo feto por Peng et al. (1999).

75 CAPÍTULO 5 RESULTADOS Introdução Neste capítulo serão apresentados os resultados obtdos dos dversos problemas estudados. Incalmente serão apresentados dos problemas de convecção forçada, em seguda, quatro problemas de convecção natural e dos problemas de convecção msta. Os problemas foram dvddos em casos Caso 1 - Convecção Forçada num Canal Reto com Restrções Retangulares Neste caso estuda-se o escoamento num canal consderando na superfíce nferor a estênca de restrções quadradas, as quas são nserdas, para modfcar o escoamento, crando uma turbulênca, e consequentemente, modfcando as trocas de calor na superfíce. A fgura 5.1(a) apresenta a geometra do canal estudado com as restrções na superfíce nferor e a fgura 5.1(b) apresenta detalhe da malha gerada na parte nferor do canal. Para a geometra estudada, consderou-se casos com a restrção e sem a restrção no canal. Incalmente foram fetos testes de malha para verfcar os melhores resultados. Fo seleconado a malha As dmensões do canal são H=3, L=35, L 1 =10 e as relações H/h = 10 e P = 2, 7. Foram colocadas sete restrções no canal. O número de Prandtl utlzado fo Pr = 0, 1. O ncremento de tempo utlzado fo Δ t = 0,01. Foram obtdos resultados para os seguntes números de Reynolds: Re = ; e Para os casos estudados foram calculados o número de Nusselt local na superfíce S 4 pela equação (2.31). Os cálculos dos valores médos das grandezas e do Nusselt médo no tempo foram ncados a partr da teração de número 1000, devdo a nstabldade ncal do escoamento. A cada teração fo realzado o cálculo do Nusselt médo. Na superfíce S 4 do canal consderou-se a temperatura T H =1. A fgura 5.2 apresenta o resultado do cálculo do número de Nusselt médo temporal para o caso Re=110 4, onde consdera-se a restrção (CR) e não consdera-se a restrção (SR). Verfcase na fgura 5.2 que ocorre um varação maor a partr da nserção das restrções no canal, aumentando a transferênca de calor. Fo calculado o Nusselt médo local e temporal da superfíce a partr destes valores e foram obtdos: < Nu SR > = 9,59 e < Nu CR > = 12,37, confrmando o aumento.

76 54 y S 2 H S 1 Ω S 3 h S 4 L 1 h P L (a) (b) Fgura 5.1 (a) Geometra de um canal com restrção (b) Detalhe da parte nferor da malha gerada do canal Re = SR Re = CR <Nu> Posção na superfíce S 4 Fgura Número de Nusselt médo temporal na Superfíce S 4 para Re=110 4.

77 55 A fgura 5.3 apresenta o resultado do cálculo do número de Nusselt médo temporal para o caso Re=510 4, onde consdera-se a restrção (CR) e não consdera-se a restrção (SR). Verfcase também que na fgura 5.3 que ocorre um varação maor a partr da nserção das restrções no canal, aumentando a transferênca de calor. Fo calculado o Nusselt médo local e temporal da superfíce a partr destes valores e foram obtdos: < Nu SR > = 20,46 e < Nu CR > = 31,18. A fgura 5.4 apresenta o resultado do cálculo do número de Nusselt médo temporal para o caso Re=110 5, onde consdera-se a restrção (CR) e não consdera-se a restrção (SR). Verfca-se também que na fgura 5.4 que ocorre um varação maor a partr da nserção das restrções no canal, aumentando a transferênca de calor Re = SR Re = CR 60 <Nu> Posção na Superfíce S 3 Fgura Número de Nusselt médo temporal na Superfíce S 4 para Re= Re = SR Re = CR 60 <Nu> Posção na superfíce S 4 Fgura Número de Nusselt médo temporal na Superfíce S 4 para Re=110 5.

78 56 A varação do número de Nusselt é maor com o aumento do número de Reynolds, onde o escoamento torna-se mas turbulento. Fo calculado o Nusselt médo local e temporal da superfíce a partr destes valores e foram obtdos: < Nu SR > = 28,34 e < NuCR > = 43,01. A fgura 5.5(a) apresenta os vetores de velocdade para a regão nferor do canal, para uma determnada teração, para Re = Pode-se vsualzar o escoamento prómo a prmera restrção colocada no canal. Verfca-se a formação de uma pequena recrculação antes da restrção. Também é observado a formação de uma pequena recrculação e uma maor após a restrção. Fo observado analsando as dversas terações, que a formação destas recrculações são dnâmcas, sto é, após sua formação, tendem a deslocar para a saída do canal, formando novas recrculações. A fgura 5.5(b) apresenta a vsualzação dos vetores de velocdade para a regão do canal, onde apresenta duas restrções e as recrculações formadas. (a) (b) Fgura 5.5 Vetor velocdade do canal para Re = A fgura 5.6(a) apresenta a dstrbução de temperatura para uma regão do canal e para uma determnada teração, para o caso em que o canal não possu restrção. Verfca-se que a medda que o fludo desloca-se para a saída do canal, a dstrbução de temperatura torna-se mas estratfcada na regão nferor. A fgura 5.6(b) apresenta a dstrbução de temperatura para uma regão do canal onde são vsualzadas duas restrções. Com a nserção das restrções, ocorrem a formação de recrculações do fludo. O escoamento torna-se mas turbulento. A dstrbução de temperatura tende a acompanhar as recrculações.

79 57 (a) (b) Fgura 5.6 Dstrbução de temperatura do Canal para Re = Neste caso estudou-se a convecção forçada em canas com restrção consderando regme turbulento e fo utlzado o modelo de turbulênca sub-malha função estrutura de 2ª Ordem. Foram obtdos resultados do número de Nusselt médo temporal para os seguntes números de Reynolds: Re=110 4 ; e 110 5, em um canal com e sem restrções na parte nferor do mesmo. Verfcou-se que o número de Nusselt médo temporal passa a ter uma varação maor quando se nsere as restrções no canal. Com o aumento do número de Reynolds, também ocorre um aumento no número de Nusselt médo temporal. Para canas com restrção, há formação de recrculações, tornando o escoamento mas turbulento. Ocorrem maores gradentes de temperatura na parte nferor do canal, aumentando o coefcente de troca de calor. Quanto maor o número de Reynolds, maor a varação do número de Nusselt, melhorando a troca de calor Caso 2 - Convecção Forçada num Canal em U com Restrções Retangulares Neste caso estuda-se o escoamento num canal em U consderando a estênca de restrções quadradas numa das superfíces, as quas são nserdas, para modfcar o escoamento, crando uma turbulênca, e consequentemente, modfcando as trocas de calor na superfíce. A fgura 5.7(a) apresenta a geometra de um canal em U com as restrções e a fgura.5.7(b) apresenta detalhe da malha no canal. Incalmente foram fetos testes de malha para verfcar os melhores resultados. Fo seleconado a malha Consderou-se casos com a restrção e sem a restrção no canal em U. As dmensões do canal são H=3, L=15, L 1 =14 R=3,5 e relação H/h=10. O número de Prandtl utlzado fo Pr=0,1. Foram colocadas oto restrções no canal gualmente espaçadas. O ncremento de tempo utlzado fo t = 0, 01. Foram obtdos resultados para os seguntes

80 58 números de Reynolds: Re = ; e Para os casos estudados foram calculados o número de Nusselt local na superfíce S 3 pela equação (2.14). Esta superfíce fo dvdda em 240 pontos. Os cálculos das grandezas médas e do número de Nusselt médo no tempo foram ncados a partr da teração de número 1000, devdo as nstabldade ncal do escoamento. A cada teração fo realzado o cálculo do Nusselt médo. As temperaturas utlzadas são T C =0 e T H =1. y P S 4 Ω R S 2 H S 1 S 3 h h L 1 L (a) (b) Fgura 5.7 (a) Geometra de um canal em U com restrções e (b) detalhe da malha do canal.

81 A fgura 5.8 apresenta o resultado do cálculo do número de Nusselt médo temporal para o caso Re=110 4, consderando a restrção (CR) e não consderando a restrção (SR). Verfca-se na fgura 5.8 que ocorre um varação maor a partr da nserção das restrções no canal, aumentando a transferênca de calor. Fo calculado o Nusselt médo local e temporal da superfíce a partr destes valores e foram obtdos: < Nu SR > = 15,0 e < Nu CR > = 17,3. A fgura 5.9 apresenta o resultado do cálculo do número de Nusselt médo temporal para o caso Re=510 4, consderando a restrção (CR) e não consderando a restrção (SR). Fo calculado o Nusselt médo local e temporal da superfíce a partr destes valores e foram obtdos: < Nu SR > = 30,8 e < Nu CR > = 37, Re=10000 CR Re=10000 SR 25 <Nu> Posção na Superfíce S 3 Fgura 5.8 Número de Nusselt médo temporal na Superfíce S 3, Re = Re=50000 SR Re=50000 CR 60 <Nu> Posção na Superfíce S 3 Fgura 5.9 Numero de Nusselt médo temporal na Superfíce S 3, Re =

82 A fgura 5.10 apresenta o resultado do cálculo do número de Nusselt médo temporal para o caso Re=110 5, consderando a restrção (CR) e não consderando a restrção (SR). Fo calculado o Nusselt médo local e temporal da superfíce a partr destes valores e foram obtdos: < Nu SR > = 40,7 e < Nu CR > = 49, Re= CR Re= SR 60 <Nu> Posção na Superfíce S 3 Fgura 5.10 Numero de Nusselt médo temporal na Superfíce S 3, Re = A fgura 5.11(a) apresenta os vetores de velocdade na regão nferor do canal, prómo a restrção, na superfíce S 3, para uma determnada teração. Verfca-se a formação de recrculação menor na parte anteror a restrção. Após a restrção verfca-se uma recrculação menor e outra maor. A fgura 5.11(b) apresenta, na parte curva do canal os vetores de velocdade. Também verfca-se a formação de uma recrculação após a restrção. A fgura 5.12(a) apresenta os vetores de velocdade após a curva do canal. Verfca-se a formação de uma recrculação maor na parte nferor. Devdo as característcas do escoamento e da geometra, a formação da recrculação pode ser vsta também no trabalho de Chung et al (2003). Na fgura 5.12(b) pode-se observar os vetores de velocdade para a parte superor do canal, onde este uma restrção. Também observa-se a formação de uma recrculação após a restrção. A fgura 5.13(a) e 5.13(b) apresentam a função corrente e a dstrbução de temperatura para uma seção do canal. Neste caso, estudou-se a convecção forçada em canas em U, com restrções, consderando regme turbulento e utlzando o modelo de turbulênca sub-malha função estrutura de 2ª Ordem. Foram obtdos resultados do número de Nusselt médo no tempo para os seguntes números de Reynolds: Re=110 4 ; e 110 5, em um canal em U, com e sem restrções.

83 61 (a) (b) Fgura 5.11 Vetores de velocdade para algumas regões com restrção, Re = (a) Fgura 5.12 Vetores de velocdade para algumas regões do canal, Re = (b) Fgura 5.13 Função corrente ψ e a dstrbução de temperatura, Re =

84 62 Verfcou-se que o número de Nusselt médo temporal passa a ter uma varação maor quando se nsere as restrções no canal. Com o aumento do número de Reynolds, também ocorre um aumento no número de Nusselt médo temporal, como ocorre no canal reto. Para canas com restrção, há formação de recrculações, tornando o escoamento mas turbulento. Ocorre maores gradentes de temperatura prómo a superfíce do canal, aumentando o coefcente de troca de calor. Quanto maor o número de Reynolds, maor a varação do número de Nusselt, melhorando consderavelmente a troca de calor. A utlzação de restrções em canas contrbu para melhorar a transferênca de calor e com sto uma melhor efcênca no resframento. Com o uso das restrções e devdo as característcas do escoamento, o mesmo se torna turbulento. O estudo numérco deste escoamento deve utlzar modelos aproprados de turbulênca para descrever corretamente o mesmo. Novos casos em canas com restrção devem ser estudados e comparados com a lteratura para melhor avalação do modelo Caso 3 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Retangulares Neste caso estuda-se a convecção natural turbulenta em cavdades retangulares. As equações de conservação utlzadas são para regme não permanente, mas nos casos estudados os resultados foram apresentados quando atngu-se o regme permanente, através de um crtéro de parada do códgo computaconal vsto no capítulo 2. Foram utlzados valores do número de Raylegh guas a ; ; 2,510 7 ; e ; razões de aspecto A=5; 2; 1 e 0,5 e número de Prandtl Pr=0,71. Foram utlzados os mesmos parâmetros vsto no tem do capítulo 4. Os números de Nusselt local e médo são avalados para os város números de Raylegh e razões de aspecto. A fgura 5.14(a) apresenta a geometra estudada, consderando uma cavdade retangular e a fgura 5.14(b) a malha gerada da cavdade. Incalmente foram fetos testes de malha para verfcar os melhores resultados. Foram seleconadas as malhas de 12060, e para as razões de aspecto A = 0,5; 1 e 2 respectvamente. O número de Prandtl adotado para o ar é Pr = 0,71. Foram obtdos resultados para os seguntes números de Raylegh: Ra = ; ; 2,510 7 ; e Para todos estes casos foram obtdas as dstrbuções de temperatura e as lnhas de corrente, bem como os números de Nusselt local e Nusselt médo. Na fgura 5.15 são apresentados os resultados do número de Nusselt médo versus o número de Raylegh para três razões de aspecto.

85 63 Y S 2 g H S 3 Ω S 1 S 4 L X (a) (b) Fgura 5.14 (a) Geometra de uma cavdade retangular e (b) malha utlzada A = 0,5 A = 1 A = 2 Nu Ra Fgura Nusselt médo versus Ra, para Ra=110 5 ; ; 2,510 7 ; e Analsando a fgura 5.15 verfca-se que na regão lamnar ( Ra = 10 5 a Ra 2,510 7 ), os números de Nusselt médo calculados são bem prómos, para as três razões de aspecto. A partr de Ra 2,510 7, na regão turbulenta, o Nusselt médo calculado passa a comportar-se de forma dferente para as três razões de aspecto analsadas, crescendo acentuadamente para A = 1 e 2 e

86 64 menos acentuado para A = 0,5, devdo aos menores gradentes de temperatura unto as paredes vertcas A fgura 5.16 apresenta o resultado do número de Nusselt local versus y/h na superfíce S 3, para três razões de aspecto e números de Raylegh Ra = ; 2,510 7 ; e Verfca-se que para o escoamento lamnar (Ra = 10 5 ), o número de Nusselt local vara muto pouco ao longo da posção y/h para a superfíce quente S 3. No escoamento turbulento ( Ra 2,510 7 ), o número de Nusselt local é maor para pequenos valores de y/h e decrescem com o aumento de y/h. Nu Ra = 10 5 Ra = 2, A = 0,5 A = 1 A = 2 A = 0,5 A = 1 A = 2 Nu Ra = Ra = A = 0,5 A = 1 A = 2 A = 0,5 A = 1 A = ,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 y / H (a) 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 (b) y / H Fgura Número de Nusselt Local para superfíce quente S 3. (a) Ra = e 2,510 7 (b) Ra=510 9 e Ra= Nas fguras 5.17 e 5.18 são apresentados resultados das dstrbuções de temperaturas e função corrente ψ, para número de Raylegh Ra = e razões de aspecto A = 0,5 e 1, respectvamente. Verfca-se que o fludo tem movmento crcular no sentdo horáro e estratfcação térmca em grande parte da cavdade para ambas as fguras. Tem-se velocdades menores no centro das cavdades. Verfca-se a formação de uma pequena recrculação nas posções superor esquerda e nferor dreta das cavdades. Também há uma recrculação na parte central da cavdade untamente com a formação de uma recrculação prómo as superfíces S 1 e S 3. A fgura 5.19 apresenta as dstrbuções de temperaturas para dversos valores de número de Raylegh e razão de aspecto A=2. Quanto maor o número de Raylegh, para o escoamento turbulento, melhor a estratfcação das camadas de temperaturas. Verfca-se que para o escoamento lamnar ( Ra = ) este pouca estratfcação. Para escoamento turbulento com Ra = 2,510 7 ocorre uma maor estratfcação na regão central da cavdade. Verfca-se também que em escoamentos com maor ntensdade de turbulênca ( Ra = e Ra = ) a estratfcação ocorre em grande parte da cavdade.

87 65 (a) (b) Fgura (a) Temperatura [ o C] e (b) Função corrente para Ra = e A = 0,5. (a) (b) Fgura (a) Temperatura T [ o C] e (b) Função corrente para Ra = e A = 1. A fgura 5.20 apresenta as lnhas de correntes para os dversos números de Raylegh e razão de aspecto A=2. Para escoamento lamnar (Ra = ) há formação de somente uma célula de recrculação no sentdo horáro, conforme apresenta a fgura 5.20(a). Para escoamento onde Ra = 2,510 7 tem-se a formação de uma célula de recrculação próma as paredes, onde nas superfíces vertcas tem-se velocdades maores e nas superfíces horzontas velocdades menores. Verfca-se que o escoamento para Ra = e Ra = há formação de recrculação menores na posção superor esquerda e nferor dreta das cavdades. Especfcamente, o escoamento para Ra=510 10, há formação de pequenas células de recrculação, na regão central, prómas as superfíces vertcas. Isto é também verfcado pelo estudo epermental realzado por Tan e Karayanns (2000), que relata a formação das duas recrculações menores na parte superor dreta e nferor esquerda, untamente com a formação das recrculações pequenas prómas as superfíces horzontas e as demas células maores de recrculação estentes.

88 66 (a) (b) (c) (d) Fgura Temperatura T [ o C] (a) Ra = (b) Ra = 2,510 7 (c) Ra = e (d) Ra = (a) (b) (c) (d) Fgura Função corrente ψ (a) Ra = ; (b) Ra = 2,510 7 ; (c) Ra = Ra = e (d) Verfcou-se que para escoamentos lamnares (Ra = 10 5 e 10 6 ), com e sem o uso do modelo de turbulênca, os resultados do número de Nusselt foram pratcamente os mesmos. Para o caso de escoamentos turbulentos ( Ra = 2,510 7 ; e ), verfcou-se uma grande dferença nos resultados do número de Nusselt, das dstrbuções de temperatura e lnhas de corrente, ao se usar ou não, o modelo de turbulênca. Verfcou-se que o número de Nusselt médo cresce com o aumento do número de Raylegh, tanto para escoamento lamnar quanto turbulento. O crescmento é mas acentuado para o escoamento turbulento. Para os casos estudados, fo verfcado que para a regão de escoamento lamnar (Ra=10 5 a 2,510 7 ), os valores do número de Nusselt médo são pouco dependentes da razão de aspecto.

89 67 Na regão de escoamento turbulento (Ra = 2,510 7 a Ra= ), os valores do número de Nusselt médo são fortemente dependentes da razão de aspecto. Verfca-se que para escoamento lamnar, na superfíce quente S 3, que os gradentes de temperatura são mas unformes e menores que no escoamento turbulento. O que resulta em números de Nusselt local menores e mas unformes para o escoamento lamnar. Para escoamentos turbulentos, o fludo é melhor msturado e ocorre uma maor estratfcação térmca no nteror da cavdade. Nesses casos tem-se gradentes de temperatura maores na parte nferor da superfíce quente S 3 e na parte superor da superfíce fra S 1, resultando em números de Nusselt local maores. 5.5 Caso 4 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Quadradas Neste caso, estuda-se a convecção natural turbulenta em uma cavdade quadrada utlzando três modelos sub-malhas mplementados: Smagornsk, Smagornsk com termo de empuo e TTV. São apresentados os resultados da dstrbução de temperatura e a função corrente na cavdade quadrada. São apresentadas as dstrbuções de velocdades médas e temperaturas médas na lnha central da cavdade, bem como o número de Nusselt local na superfíce sotérmca quente. Em todos os casos estudados consderou-se Pr = 0,7 e Ra = 1, Foram utlzados os mesmos parâmetros vsto no tem do capítulo 4. As fguras 5.21(a) e 5.21(b) apresentam a geometra estudada e a malha utlzada, consderando uma cavdade retangular. y S 2 H S 1 Ω S 3 g S 4 L (a) (b) Fgura 5.21 (a) Geometra de uma cavdade retangular e (b) malha utlzada.

90 A fgura 5.22 apresenta a dstrbução de temperatura méda admensonal ( T para os três modelos mplementados. Verfca-se que prómo as superfíces sotérmcas ocorrem pcos de temperatura. Um pco prómo a superfíce S 1 e outro prómo da superfíce S 3. Também observa-se que este pco aumenta de acordo com a dreção do escoamento. Conforme Tan e Karayanns (2000a) a espessura da camada térmca é mas espessa para cavdades com parede adabátcas. Para cavdades que possuem superfíces horzontas com condução perfeta, ou sea, sotérmca, esta espessura é mas fna. Verfca-se também que para a temperatura méda, os modelos Smagornsk e TTV possuem uma melhor smetra nos resultados, fcando a lnha de temperatura méda ( T * T ) ΔT próma ao centro da cavdade. Já para o modelo de C Smagornsk com termo de empuo, essa lnha de temperatura méda fca acma da lnha central da cavdade. * T C 68 ) ΔT (a) (b) (c) Fgura Temperatura méda admensonal (a) Modelo Smagornsk; (b) Modelo Smagornsk com Empuo e (c) Modelo TTV A fgura 5.23 apresenta a dstrbução de temperatura e a função corrente para o modelo de Smagornsk mplementado. Verfca-se uma boa estratfcação da temperatura na regão central da cavdade. Este uma boa smetra de temperatura na cavdade. Também há formação de uma célula de recrculação em toda a regão central da cavdade e pequenas células de recrculação prómo às superfíces, na posção nferor dreta da cavdade e superor esquerda da cavdade. A fgura 5.24 apresenta a dstrbução de temperatura e a função corrente para o modelo de Smagornsk com o termo de empuo mplementado. Verfca-se que a estratfcação da temperatura não é tão unforme. Há formação de uma célula de recrculação prómo a regão central, não ocupando toda a regão como é verfcado no modelo de Smagornsk. Estem

91 69 também células de recrculação menores prómos as superfíces na posção superor esquerda da cavdade e na posção nferor dreta da cavdade. A fgura 5.25 apresenta a dstrbução de temperatura e a função corrente para o modelo baseado na TTV mplementado. Verfca-se uma estratfcação bem defnda em toda regão central da cavdade. Do mesmo modo que aparece nos resultados do modelo Smagornsk, ocorre formação de uma célula de recrculação prómo a regão central e estem também células de recrculação menores prómos as superfíces na posção superor esquerda da cavdade e na posção nferor dreta da cavdade. Para os resultados analsados verfcou-se que o modelo baseado na teora de transferênca de vortcdade apresentou os melhores resultados em todos testes de valdação e resultados geras. Fgura Temperatura [ºC] e função corrente ψ para o modelo Smagornsk. Fgura Temperatura [ºC] e função corrente ψ para o modelo Smagornsk com empuo.

92 70 Fgura Temperatura [ºC] e função corrente ψ para o modelo baseado TTV. Os modelos sub-malha não reproduzem corretamente o regme de transção na camada lmte prómo as superfíces quente e fra da cavdade. Para melhorar os resultados verfca-se a necessdade de mplementação de funções de amortecmento para que os modelos tenham um comportamento correto prómo das paredes Caso 5 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Trangulares Neste caso, estuda-se a convecção natural em cavdades trangulares, consderando regme lamnar e turbulento. É utlzado o modelo de turbulênca k-ω. A fgura 5.26(a) apresenta a geometra estudada, consderando uma cavdade trangular e a fgura 5.26(b) apresenta detalhe superor da malha utlzada. A segur são apresentados os resultados obtdos do estudo da convecção natural em uma cavdade trangular consderando regme lamnar e turbulento. Fo estudada a convecção natural em uma cavdade trangular, determnando-se o número de Nusselt local da superfíce horzontal S 3. Após fazer um estudo de malhas, levando em consderação o custo computaconal optou-se por escolher uma malha com volumes. As dmensões da cavdade são: L=1,0 e H=0,5. A superfíce S 1 e S 2 da cavdade trangular possu temperatura T H =1. A superfíce horzontal S 3 da cavdade possu temperatura T C =0. A razão de aspecto L*=H/L consderada é L*=0,5. A fgura 5.27 apresenta os resultados do número de Nusselt local na superfíce horzontal S 3 para os seguntes números de Raylegh: Ra=1,010 3 a 1, Verfca-se que a medda que o número de Raylegh aumenta, o número de Nusselt local aumenta na regão central da superfíce S 3.

93 71 y g H S 1 Ω S 2 S 3 L (a) (b) Fgura (a) Geometra de uma cavdade trangular e (b) detalhe superor da malha utlzada. O valor do número de Nusselt tende a se tornar constante para quase toda superfíce horzontal. Somente nos etremos dessa superfíce é que ocorre um aumento sgnfcatvo do número de Nusselt local. Nas fguras 5.28 a 5.33 são apresentadas as dstrbuções da função corrente e da temperatura para os números de Raylegh Ra=110 3, 110 4, 110 5, 110 6, e Nessas fguras verfcam-se a formação de duas células de recrculação. A célula de convecção esquerda gra no sentdo horáro e a outra célula gra no sentdo ant-horáro. Verfcase smetra das células e da dstrbução de temperatura. Para números de Raylegh menores, as células de recrculação são mas centradas e com o aumento do número de Raylegh, as células tendem a ocupar as regões nferores da cavdade.

94 Nu 20 Ra=110 6 Ra=110 7 Ra= Ra=110 3 Ra=110 5 Ra= ,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 Posção Fgura 5.27 Nusselt local Nu versus posção para Ra=110 3 a (a) Fgura 5.28 Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra = (b) (a) (b) Fgura 5.29 Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra=110 4.

95 73 (a) Fgura 5.30 Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra= (b) (a) Fgura 5.31 Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra= (b) (a) Fgura 5.32 Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra= (b) (a) (b) Fgura 5.33 Função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra=110 8.

96 74 No presente trabalho estuda-se a convecção natural lamnar e moderadamente turbulenta em uma cavdade trangular com as superfíces sotérmcas. Para os resultados do estudo da convecção natural lamnar da cavdade trangular, verfcou-se que os resultados das função corrente apresentam os mesmos padrões dos resultados do trabalho de Aquno (2001). Verfca-se nas fguras 5.28 a 5.33, onde são apresentadas as função corrente ψ e dstrbução de temperatura para Ra=110 3 a Ra=110 8, que com o aumento do número de Raylegh, tem-se uma melhor estratfcação da temperatura. Pode-se observar que as células de recrculação tendem a fcar mas acentuadas nos etremos nferores da cavdade Caso 6 - Convecção Natural Turbulenta em Cavdades Retangulares com um Clndro Interno O presente caso tem como obetvo o estudo da transferênca de calor com convecção natural em um clndro nterno numa cavdade fechada. São calculados os números de Nusselt em torno do clndro e comparados os resultados com os resultados epermentas e teórcos do trabalho de Cesn et al (1999) para o caso de escoamento lamnar e os resultados teórcos de Padlla (2000) para o caso de escoamento turbulento. O modelo de turbulênca utlzado é o modelo de turbulênca k-ω. Foram utlzados os mesmos parâmetros do tem do capítulo 4. As fguras 5.34(a) e 5.34(b) apresentam a geometra estudada e a malha utlzada, consderando uma cavdade retangular com clndro nterno. y S 1 Ω H S 4 S 5 D S 2 S 3 L (a) (b) Fgura (a) Geometra de uma cavdade retangular com clndro nterno e (b) malha utlzada.

97 75 A segur serão apresentados resultados do estudo da convecção natural em uma cavdade com clndro nterno consderando regme lamnar. A fgura 5.35 apresenta os resultados do número de Nusselt local para a posção no perímetro do clndro. São consderadas três razões de aspecto: W=2,1; 2,9 e 3,6. O número de Raylegh é Ra = 3, Ep. Cesn et al (1999) Teor. Cesn et al (1999) Presente Trabalho 5 Ep. Cesn et al (1999) Ep. Cesn et al (1999) Presente Trabalho 4 3 Nu Nu Ra = 3,410 3 W=2,1 α 1 Ra = 3,410 3 W=2,9 α α (a) α (b) 5 4 Ep. Cesn et al (1999) Teor. Cesn et al (1999) Presente Trabalho 3 Nu 2 1 Ra= W=3,6 α (c) Fgura Número de Nusselt local (Nu) versus angulo α. α Na fgura 5.36 são apresentadas a função corrente ψ e as dstrbuções de temperatura para os números de Raylegh: Ra = 1,310 3 ; Ra = 5,010 3 e Ra = 7,510 4 com razão de aspecto W=2,1. Verfca-se que com o aumento do número de Raylegh os gradentes na superfíce do clndro são maores, com sto tem-se maores trocas de calor. Observa-se a formação de uma célula de recrculação na parte superor da cavdade. Na fgura 5.37 são apresentadas a função corrente ψ e as dstrbuções de temperatura para os números de Raylegh: Ra = 1,010 4 ; Ra = 7,510 4 e razão de aspecto W=2,9. Também verfca-se que com o aumento do número de Raylegh os gradentes na superfíce do clndro são maores. Observa-se a formação de uma célula de recrculação maor na parte superor da cavdade.

98 76 (a) (b) (c) Fgura Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=2,1. (a) Ra = 1,310 3 (b) Ra = 5,010 3 (c) Ra = 7, (a) (b) Fgura 5.37 Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=2,9. (a) Ra = 1,010 4 (b) Ra = 7, (a) (b) Fgura Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 (a) Ra = 1,010 4 (b) Ra = 7,510 4.

99 77 Na fgura 5.38 são apresentadas a função corrente ψ e as dstrbuções de temperatura para os números de Raylegh: Ra = 1,010 4 ; Ra = 7,510 4 para razão de aspecto W=3,6. Tem-se uma maor dfusão da temperatura na parte superor da cavdade. Observa-se a formação de uma célula de recrculação maor na parte superor da cavdade ocupando quase que totalmente esta parte da cavdade. A segur serão apresentados resultados do estudo da convecção natural em uma cavdade com clndro nterno consderando regme lamnar e turbulento. A tabela 5.1 apresenta os resultados do valor de Nusselt médo na superfíce do clndro. Os números de Raylegh consderados são: Ra 1,010 3 a 1,010 8 e razão de aspecto W=3,6. Tabela 5.1 Valor do Nusselt médo ( Nu ) na superfíce do clndro. Presente Trabalho Ra=1, ,42 Ra=5, ,32 Ra=1, ,65 Ra=5, ,98 Ra=1, ,64 Ra=5, ,02 Ra=1, ,04 Ra=5, ,30 Ra=1, ,44 Ra=7, ,34 Ra=1, ,31 A fgura 5.39 apresenta o calculo do número de Nusselt local (Nu) em torno do clndro para razão de aspecto W=3,6. Os números de Raylegh consderados foram: Ra = 1,010 3 ; 1,010 5 ; 1,010 6 ; 1,010 7 e 1, Verfca-se que com o aumento do número de Raylegh, o número de Nusselt local torna-se maor em termos de valores numércos e mas nstável na superfíce do clndro. Verfca-se também que prómo a posção 90º do clndro, sto é, na parte superor do mesmo tem-se os menores gradentes de temperatura e consequentemente, menores valores do número de Nusselt local. Verfca-se que para o número de Raylegh Ra = 1,010 8, ou moderadamente turbulento, o número de Nussetl local apresenta maores nstabldades, típcas das varações do escoamento em regmes turbulentos. Nas fguras 5.40 a 5.42 são apresentadas as dstrbuções da função corrente e da temperatura para os números de Raylegh: Ra = 5,510 5 a Ra = 1,010 8 para razão de aspecto W=3,6.

100 α Ra = Ra = Nu 15 Ra = Ra = Ra = α Fgura Nusselt local Nu versus angulo α para Ra = 1,010 3 a 1,010 8 e razão de aspecto W=3,6. (a) (b) Fgura Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 (a) Ra = 5,510 5 (b) Ra = 1, (a) (b) Fgura Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 (a) Ra = 5,510 6 (b) Ra = 1,010 7.

101 79 (a) (b) Fgura Função corrente ψ e temperatura T[ºC] para W=3,6 (a) Ra = 5,510 7 (b) Ra = 1, No teste de valdação, apresentado no captulo 4, consderando regme lamnar, fo determnado o número de Nusselt médo na superfíce do clndro, apresentando resultados com boa concordânca quando comparados com os resultados do trabalho de Cesn et al (1999). No segundo teste de valdação, consderando regme lamnar e turbulento, também fo determnado o número de Nusselt médo na superfíce do clndro, sendo que os resultados tveram boa concordânca quando comparados com os resultados de Padlla (2000). Verfcou-se que a medda que o número de Raylegh aumenta, o número de Nusselt médo também aumenta, conforme tabela 5.1. Este aumento se torna mas acentuado quando se camnha para escoamentos cada vez mas turbulentos. Da fgura 4.8, o modelo de turbulênca k-ω apresenta melhor concordânca que o modelo sub-malha de Smagornsk, quando comparados com o modelo dnâmco. Uma das vantagens da utlzação do modelo de turbulênca k-ω, é que o tempo de processamento é menor se comparado com os modelos sub-malhas Caso 7 - Convecção Msta em Cavdades Retangulares Neste caso, estuda-se a convecção msta em uma cavdade quadrada. Os resultados obtdos são comparados com os resultados numércos dos trabalhos de Peng et al. (1999) e os resultados epermentas de Blay et al.(1992). São utlzados os seguntes modelos de turbulênca: modelo sub-malha função estrutura FE e modelo baseado na teora de transferênca de vortcdade TTV. A fgura 5.43 apresenta a geometra estudada, consderando uma cavdade retangular. Foram utlzados os mesmo parâmetros do tem do capítulo 4.

102 80 y h n S 2 u n S 3 g H S 1 Ω S 4 h out S 6 S 5 L (a) (b) Fgura (a) Geometra de uma cavdade retangular e (b) malha utlzada. A fgura 5.44 apresenta os resultados para o número de Nusselt local para os dos modelos de turbulênca mplementados e para as quatro superfíces da cavdade: S 1, S 4, S 3 e S 6. Verfcase que para a superfíce S 3 tem-se valores do número de Nusselt muto bao devdo ao pequenos gradentes de temperatura. Para a superfíce S 6, devdo aos grandes gradentes de temperatura na parte nferor da cavdade, este uma varação maor do número de Nusselt. Em seguda ao longo desta superfíce, o número de Nusselt passa a crescer mas lnearmente, sendo mas acentuado na etremdade da superfíce. Para a superfíce S 1 e S 4 o valor H* são respectvamente H*=H-h n e H*=H-h out. Os valores do número de Nusselt para a superfíce S 4 para os dos modelos mplementados são bastantes baos devdo aos pequenos gradentes de temperatura. Já os valores do número de Nusselt para a superfíce S 1, dferem bastante para os dos modelos mplementados. Isto é devdo aos altos gradentes de temperatura obtdos. O modelo função estrutura apresentou os maores números de Nusselt na prmera metade da cavdade. Na segunda metade os valores tendem a ser mas baos e não dferem muto entre os resultados dos dos modelos. As fguras 5.45 e 5.46 apresentam a dstrbução de temperatura e função corrente ψ para os modelos de turbulênca TTV e função estrutura mplementados, respectvamente. Verfca-se a formação de uma célula de recrculação maor no centro da cavdade, e células de recrculação menores nas cantos da cavdade, com sentdo contraro.

103 FE - Superfce S 3 FE - Superfce S FE - Superfce S 1 FE - Superfce S 4 TTV - Superfíce S TTV - Superfíce S TTV - Superfíce S TTV - Superfíce S 4 Nu Nu ,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 / L y / H* Fgura Número de Nusselt local nas superfíces. Fgura Função corrente ψ e temperatura [ºC] para o modelo TTV. Fgura Função corrente ψ e temperatura [ºC] para o modelo função estrutura.

104 82 Fgura Vetores de velocdade para os modelos: função estrutura e TTV. A fgura 5.47 apresenta os vetores de velocdade para os dos modelos de turbulênca mplementados. No presente trabalho fo estudada a convecção msta em uma cavdade quadrada utlzando dos modelos de turbulênca sub-malha: modelo função estrutura (FE) e modelo baseado na teora de transferênca de vortcdade (TTV). Nos testes de valdação do tem do capítulo 4, foram apresentados resultados da velocdade méda u* no centro da cavdade. Os resultados do modelo FE quando comparados aos resultados epermentas de Blay et al.(1992) apresentaram melhor concordânca do que o modelo TTV. Entretanto, o modelo TTV apresentou melhor concordânca quando comparados com os resultados numércos de Peng et al. (1999). Foram também obtdos os resultados da temperatura méda T* no centro da cavdade. O modelo TTV apresentou os melhores resultados quando comparados com os resultados numércos do trabalho de Peng et al. (1999). Foram calculados os números de Nusselt local para as superfíces da cavdade. Verfcou-se que para as regões com pequenos gradentes de temperatura, os valores do número de Nusselt são baos e estem pouca dferenças nos resultados para os modelos mplementados. Na regão nferor esquerda da cavdade estem fortes recrculações e apresentam altos gradentes de temperatura. Consequentemente apresentam maores varações no número de Nusselt e maores dferenças nos resultados quando comparados os resultados dos dos modelos mplementados. O modelo de função estrutura (FE) apresenta maor dfculdade de mplementação computaconal, bem como maor custo computaconal, quando comparado ao modelo TTV. Para obter melhores resultados de temperatura e velocdades prómos às paredes, sugere-se a mplementação de funções de amortecmento nos modelos apresentados.

105 5.9 - Caso 8 - Convecção Msta em Cavdades Retangulares com Restrções 83 Neste caso, estuda-se a transferênca de calor e massa em uma cavdade com a superfíce superor em movmento, num efeto combnado de convecção forçada e convecção natural, para verfcar o efeto de uma restrção colocada no centro da cavdade. As fguras 5.48(a) e 5.48(b) apresentam a geometra estudada e a malha utlzada, consderando uma cavdade retangular. y U S 2 Ω g H S 1 S 5 S 3 S 4 h e L (a) (b) Fgura (a) Geometra de uma cavdade retangular e (b) malha utlzada. Foram estudados dversos casos para determnar o número de Nusselt local na superfíce S 1 da cavdade, para escoamento lamnar e moderadamente turbulento. Foram levadas em consderação, a nfluênca do número de Reynolds, Raylegh e da restrção no centro da cavdade. Os números de Reynolds utlzados foram: Re=0, 500, 1000 e 2000 e número de Raylegh Ra=0; Ra=110 5 e Ra= Foram consderados casos com e sem a restrção no centro da cavdade. Para valor de Raylegh Ra=110 7, fo utlzado o modelo de turbulênca baseado na teora de transferênca de vortcdade. Os parâmetros utlzados nos problemas estudados foram: H=1; L=1; T H =1; T C =0 e as relações L/e=20; H/h=2,34. A condutvdade da restrção é gual a do fludo.

106 84 A fgura 5.49 apresenta os resultados do cálculo do número de Nusselt na superfíce S 1, para Raylegh Ra= Foram consderados os seguntes números de Reynolds: Re=0; 500, 1000 e 2000, ou sea, temos convecção msta. Para o caso de não estênca da restrção, verfca-se que quanto maor o número de Reynolds, maor o número de Nusselt, onde ocorre um pco de valores entre as posções 0.3 e Para o caso da utlzação da restrção, o número de Nusselt dmnu consderavelmente, para todos os valores de Reynolds. A fgura 5.50 apresenta os resultados do cálculo do número de Nusselt local para a superfíce S 1. É consderado somente a convecção forçada, ou sea, Ra=0. Foram consderados os seguntes números de Reynolds: Re=500, 1000 e Para o caso de não estênca da restrção, verfca-se que quanto maor o número de Reynolds, maor o número de Nusselt. Para o caso da utlzação da restrção, o número de Nusselt dmnu, para todos os valores de Reynolds, somente para a posção Y=0 a Y=0.6. Acma desta posção, na parte superor da cavdade, o número de Nusselt passa a aumentar. Isto ocorre devdo a formação de uma maor recrculação nesta seção da cavdade. A fgura 5.51 apresenta os resultados do cálculo do número de Nusselt local para a superfíce S 1. É consderado convecção msta. O número de Raylegh é Ra= Conforme alguns autores Chenoweth e Paolucc (1986) e Bspo et al. (1996), este valor de número de Raylegh, para cavdades fechadas, com as condções aplcadas, pode ser consderado moderadamente turbulento Re=2000 Re=1000 Re=500 Ra=110 5 Nu Re=0 4 2 Re=0 * Re=500 * Re=1000 * Re=2000 * 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Y = y / H Fgura Número de Nusselt local na superfíce S 1 para Ra = * Resultados consderando a restrção no centro da cavdade

107 Re=2000 Ra=0 6 5 Re=1000 Re=2000 * Nu 4 3 Re= Re=500 * Re=1000 * 0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Y = y / H Fgura Número de Nusselt local na superfíce S 1 para Ra = 0. * Resultados consderando a restrção no centro da cavdade Foram consderados os seguntes números de Reynolds: Re=0; 500, 1000 e Para o caso de não estênca da restrção, verfca-se que o número de Nusselt vara na regão nferor da cavdade. Acma da posção Y = 0,3 os valores do número de Nusselt para todos os valores apromam-se mas. Deve-se lembrar que para regme turbulento, utlzando modelagem em grandes escalas ( Large Eddy Smulaton ), as grandezas devem ser avaladas pelo valor médo. Para o caso da utlzação da restrção, o número de Nusselt passa a ter valores bem prómos na regão nferor da cavdade, onde ele varava, para todos os números de Reynolds. 40 Re=0, 500, 1000 e 2000 * Ra= Nu Re=0 Re=500 Re=2000 Re= ,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Y = y / H Fgura Número de Nusselt local na superfíce S 1 para Ra = * Resultados consderando a restrção no centro da cavdade A fgura 5.52 apresenta as função corrente ψ e a dstrbução de temperatura para convecção forçada. Não é utlzado a restrção. O número de Reynolds é Re = Verfca-se a formação de uma grande célula de recrculação.

108 86 A fgura 5.53 apresenta as função corrente ψ e a dstrbução de temperatura para convecção forçada. É utlzado a restrção. O número de Reynolds é Re = Verfca-se a formação de uma grande célula de recrculação na parte superor da cavdade. A fgura 5.54 apresenta os vetores de velocdade para Ra = 0 e Re = 1000, com a restrção colocada na parte nferor da cavdade. A fgura 5.55 apresenta as função corrente ψ e a dstrbução de temperatura para convecção msta. Não é utlzado a restrção. O número de Raylegh é Ra = e o número de Reynolds é Re = Verfca-se a formação de uma grande célula de recrculação na cavdade. A fgura 5.56 apresenta as função corrente ψ e a dstrbução de temperatura para convecção msta. É utlzado a restrção. O número de Raylegh é Ra = e o número de Reynolds é Re = Também verfca-se a formação de uma célula de recrculação na parte superor cavdade. Fgura Função corrente ψ e temperatura T para Ra = 0 e Re = Fgura Função corrente ψ e temperatura T para Ra = 0 e Re = 1000, com restrção.

109 87 Fgura Vetores de velocdade para Ra = 0 and Re = 1000, com restrção Fgura Função corrente ψ e temperatura T para Ra = e Re = Fgura Função corrente ψ e temperatura T para Ra = e Re = 2000, com restrção.

110 88 A fgura 5.57 apresenta os vetores de velocdade para Ra = and Re = 200, com a restrção ncluída. A fgura 5.58 apresenta as função corrente ψ e a dstrbução de temperatura para convecção natural moderadamente turbulenta. Não é utlzado a restrção. O número de Raylegh é Ra = e o número de Reynolds é Re = 0. Verfca-se a formação de dversas células de recrculação na cavdade. A dstrbução de temperatura tende a ser mas estratfcada. Fgura Vetores de velocdade para Ra = and Re = 2000, com restrção. Fgura Função corrente ψ e temperatura T para Ra = and Re = 0. A fgura 5.59 apresenta as função corrente ψ e a dstrbução de temperatura para convecção natural, utlzado a restrção. O número de Raylegh é Ra= e o número de Reynolds é Re=0. Verfca-se a uma maor dversfcação na formação de células de recrculação na cavdade. A dstrbução de temperatura tende a ser mas estratfcada, acma da restrção. A fgura 5.60 apresenta os vetores de velocdade para Ra = and Re = 0, com a restrção ncluída.

111 89 A fgura 5.61 apresenta as função corrente ψ e a dstrbução de temperatura para convecção msta. Não é utlzado a restrção. O número de Raylegh é Ra= e o número de Reynolds é Re=1000. Verfca-se também a formação de dversas células de recrculação na cavdade e a dstrbução de temperatura tende a ser mas estratfcada. Apesar do número de Reynolds, a maor nfluênca na recrculação é devdo a convecção natural. Fgura Função corrente ψ e temperatura para Ra = e Re = 0. Fgura Vetores de velocdade para Ra = e Re = 0, com restrção. Fgura Função corrente ψ e temperatura T para Ra = e Re = 1000.

112 90 A fgura 5.62 apresenta as função corrente ψ e a dstrbução de temperatura para convecção msta, utlzado a restrção. O número de Raylegh é Ra= e o número de Reynolds é Re=1000. Verfca-se a uma maor dversfcação na formação de células de recrculação na cavdade. A dstrbução de temperatura tende a ser mas estratfcada, acma da restrção. A fgura 6.63 apresenta os vetores de velocdade para Ra = and Re = 1000, com a restrção ncluída. Fgura Função corrente ψ e temperatura para T para Ra = e Re = 1000 com restrção. Fgura Vetores de velocdade para Ra = e Re = 1000, com restrção. No presente caso estudou-se a convecção em uma cavdade com superfíce superor móvel. Fo utlzado uma restrção no centro da cavdade. Foram obtdos resultados tanto para escoamento lamnar como turbulento. Verfcou-se que a nclusão da restrção resulta numa dmnução da transferênca de calor na superfíce, para regme lamnar, ou sea, a dmnução do número de Nusselt, para um