UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

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1 unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS DE FLUIDOS PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS DE MÍNIMOS QUADRADOS Vanessa Davanço Perera Dssertação apresentada à Faculdade de Engenhara de Ilha Soltera da Unversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho, como parte dos requstos exgdos para obtenção do título de Mestre em Engenhara Mecânca. Orentador: Prof. Dr. João Batsta Campos Slva Ilha Soltera, de Feverero de 5

2 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técnca de Aqusção e Tratamento da Informação/Servço Técnco de Bbloteca e Documentação da UNESP-Ilha Soltera P436s Perera, Vanessa Davanço. Smulação numérca de escoamentos de fludos pelo método de elementos fntos de mínmos quadrados / Vanessa Davanço Perera. Ilha Soltera : [s.n.], 5 78 p. : l.. Dssertação (mestrado) Unversdade Estadual Paulsta. Faculdade de Engenhara de Ilha Soltera, 5 Orentador: João Batsta Campos Slva Bblografa: p Método dos elementos fntos.. Naver-Stokes, Equações de. 3. Reynolds, número de. 4. Fluxo vscoso.

3 ,... unesp"""..'" UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE ILHA SOLTEIRA FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA CERTIFICADO DE APROVAÇÃO ~ TíTULO: SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE ESCOAMENTOS DE FLUíDOS PELO MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS DE MíNIMOS QUADRADOS AUTORA: VANESSA DAVANÇO PEREIRA ORIENTADOR: Dr. JOAO BATISTA CAMPOS SILVA do Título de MESTRE em Data da realzação: de feverero de 5 presde~ssão Examnadora Dr. JOAO BATISTA CAMPOS SILVA

4 AGRADECIMENTOS Ao meu orentador e amgo João Batsta Campos Slva, que ensnou-me mutas cosas, mostrando camnhos ao nvés de meras soluções. Ao Prof. Dr. José Roberto Noguera que me fez acredtar que eu sera capaz de ser uma mestre. As companheras Edlene, Jussara, Kéter, Rosane e Rúba que, como amgas e companheras, sempre estveram unto comgo, contrbundo com déas e sugestões ndspensáves para este trabalho e para mnha vda. Aos amgos e amgas da Pós-Graduação do Departamento de Engenhara Mecânca UNESP - Ilha Soltera., por grandes momentos untos entre eles Adrano Tebalde, Adrano Domngos, Estaner, Glson, Luís Henrque Marcato, Marco Donsete, Odacr, Rogéro, Sandhoerts. A todos os funconáros e professores do Departamento de Engenhara Mecânca que de forma dreta ou ndreta me audaram durante os dos anos do curso. A Pós-Graduação e a CAPES pelo apoo técnco e fnancero. Dedco esta defesa de dssertação a Jorge, Conceção, Patríca, Vnco e Marcelo respectvamente, meu pa, mnha mãe, mnha rmã, meu rmão e meu namorado por tudo o que á passamos untos e pela pacênca e confança que tveram em mm nos momentos mas dfíces da confecção desta tese. A Deus por ter me conceddo força e perseverança para conclur este trabalho em meo às dversas dfculdades enfrentadas.

5 Na medda em que as les da matemátca referem-se à realdade, elas não são exatas; e na medda em que elas são exatas, não se referem à realdade. A magnação é mas mportante que o conhecmento Albert Ensten

6 RESUMO Neste trabalho foram fetas smulações de escoamentos ncompressves por um método de elementos fntos de mínmos quadrados (LSFEM Least Squares Fnte Element Method), usando as formulações velocdade-pressão-vortcdade e velocdade-pressão-tensão, denomnadas na lteratura de formulações u p ω e u = p τ respectvamente. Estas formulações são preferdas por resultarem em sstemas de equações dferencas de prmera ordem, o que é mas convenente para mplementação pelo LSFEM. O obetvo prncpal deste trabalho é a smulação computaconal de escoamentos lamnares, transconas e turbulentos através da aplcação da metodologa de smulação de grandes escalas (LES Large Eddy Smulaton) com o modelo de vscosdade turbulenta de Smagornky para modelar as tensões submalha. Alguns problemas padrões foram resolvdos para valdar um códgo computaconal desenvolvdo e os resultados são apresentados e comparados com resultados dsponíves na lteratura. Palavras-chave: Equações de Naver-Stokes, smulação de grandes escalas, método de elementos fntos de mínmos quadrados, escoamentos ncompressíves.

7 Abstract In ths work smulatons of ncompressble flud flows have been done by a Least Squares Fnte Element Method (LSFEM) usng the velocty-pressure-vortcty and velocty-pressurestress formulatons, named, n the lterature, u p ω and u = p τ formulatons respectvely. These formulatons are preferred because the resultng equatons are partal dfferental equatons of frst order, whch s more convenent for mplementaton by LSFEM. The man purpose of ths work are the numercal computatons of lamnar, transtonal and turbulent flud flows through the applcaton of large eddy smulaton (LES) methodology usng the LSFEM. The Naver- Stokes equatons n u p ω and u = p τ formulatons are fltered and the eddy vscosty model of Smagornsky s used for modelng the sub-grd-scale stresses. Some benchmark problems are solved for valdate a developed numercal code and the prelmnary results are presented and compared wth avalable results from the lterature. Keywords: Naver-Stokes equatons, large eddy smulaton, least-squares fnte element, ncompressble flud flows

8 LISTA DE SÍMBOLOS SÍMBOLOS GREGOS α - β - Γ - δ - η - índce que ndca o numero do nó local ou do subvolume de controle num elemento coefcente de expansão térmca um coefcente de dfusão nas equações de transporte delta de Kronecker ordenada do sstema de coordenadas local no elemento de referenca ( T To ) T θ = - temperatura admensonal µ - vscosdade dnâmca µ t - vscosdade dnâmca turbulenta ξ - ρ - φ - ψ - ω - Ω - Ω e - abscssa do sstema de coordenada local no elemento de referênca massa especfca varável qualquer na equação de transporte de um escalar função de corrente componente do vetor rotação na dreção do exo x domíno de avalação do fenômeno domíno do elemento, Ω e Ω

9 SÍMBOLOS ARÁBICOS A c p - k L p Re - T - S φ - u - u - v - x - y - Área do Volume de Controle calor especfco a pressão constante condutvdade térmca comprmento característco pressão dmensonal número de Reynolds Temperatura termo fonte para a varável φ componente de velocdade dmensonal na dreção do exo x componente de velocdade em notação tensoral cartesana na dreção do exo x componente de velocdade dmensonal na dreção do exo y abcssa no sstema de coordenadas cartesanas em notação tensoral ordenada no sstema de coordenadas cartesanas em notação tensoral U = u - componente de velocdade admensonal na dreção do exo X u o V = v - componente de velocdade admensonal na dreção do exo Y v o X = x L - abcssa admensonal no sstema de coordenadas cartesanas X = x L - exos do sstema de coordenadas cartesanas em notação tensoral Y = y L - ordenada admensonal no sstema de coordenadas cartesanas U - componente de velocdade admensonal em notação tensoral cartesana na dreção do exo X

10 p p P = - pressão admensonal ρ o u ABREVIAÇÕES DEM FE UNESP CFD DNS - LSFEM LES - FEM RANS WRM LBB - Departamento de Engenhara Mecânca Faculdade de Engenhara Unversdade Estadual Paulsta Júlo de Mesquta Flho Dnâmca de Fludos Computaconas Smulação Numérca Dreta Método de Elementos Fntos de Mínmos Quadrados Smulação de Grandes Escalas Método de Elementos Fntos Equações Médas de Reynolds Método de Resíduos Ponderados Ladyzhenskaya Babuska Brezz SUPERESCRITOS n sgnfca grandeza avalada no tempo t n sgnfca grandeza avalada no tempo t t k teração anteror no processo de solução num tempo t qualquer k teração k ncrementada no processo de solução num tempo t qualquer

11 SUBSCRITOS α - β - θ - representa dreção do exo no sstema de coordenadas representa o subvolume de controle assocado a um nó de elemento representa a função de nterpolação assocada ao nó de um elemento representa uma varável ou propredade num estado de referenca

12 LISTA DE TABELAS Tabela 3.. Funções de nterpolação e suas dervadas para elemento com 3 nós...6 Tabela 3.. Funções de nterpolação e suas dervadas para elemento com 4 nós...7 Tabela 3.3. Funções de nterpolação e suas dervadas para elemento com 8 nós...8 Tabela 3.4. Funções de nterpolação e suas dervadas para elemento com nós... Tabela 5.. Comprmento de Re-crculação - L R...58

13 LISTA DE FIGURAS Fgura. - Esquema da função f ( x) e sua compomente fltrada ( x) f Fgura. Espectro e dstrbução de energa nas grandes escalas e nas peqenas escalas...54 Fgura 3. - (a) Elementos trangulares com 3 nós. (b) Elementos quadrláteros 4 nós...4 Fgura 3. - (a) Elementos quadrláteros com nós. (b) Elementos trangulares com 6 nós...4 Fgura Elemento tetraedro com 4 nós...5 Fgura Elemento hexaedro com 8 nós...5 Fgura (a) Elemento em coordenadas globas, x-y. (b) Elemento mapeado no elemento mestre em coordenadas locas, ξ-η... Fgura Defnção de fronte e nomenclatura usada no método frontal...7 Fgura Estrutura do programa computaconal... Fgura 4. - Geometra e condções de contorno...5 Fgura 4. Cavdade Quadrada dscretzada em dferentes malhas...6 Fgura Velocdade U em X = Fgura Velocdade V em Y = Fgura Velocdade U em X = Fgura Velocdade V em Y = Fgura Velocdade U em X =.5... Fgura Velocdade V em Y =.5...

14 Fgura 4. - Velocdade U em X =.5... Fgura 4. - Velocdade V em Y =.5... Fgura 4. Função de Corrente para Re = 4... Fgura 4. Função de Corrente para Re =... Fgura Velocdade U em X = Fgura Velocdade V em Y = Fgura 4.5 Função de Corrente para Re = com modelo de turbulênca...4 Fgura 4.6 Função de Corrente para Re = 4 com modelo de turbulênca...5 Fgura 4.7 Função de Corrente para Re = com modelo de turbulênca...5 Fgura Velocdade U em X = Fgura 4. - Velocdade V em Y = Fgura 4. - Velocdade U em X = Fgura 4. - Velocdade V em Y= Fgura 4. Função de Corrente para Re = com modelo de turbulênca... Fgura Velocdade U em X = Fgura Velocdade V em Y = Fgura Velocdade U em X = Fgura Velocdade V em Y = Fgura Velocdade U em X = Fgura Velocdade V em Y = Fgura 4. Função de Corrente para Re = 4 com modelo de turbulênca...33 Fgura 4.3 Função de Corrente para Re = com modelo de turbulênca...33 Fgura 4.3 Função de Corrente para Re = 3 com modelo de turbulênca...34 Fgura Velocdade U em X =

15 Fgura Velocdade V em Y = Fgura Função de Corrente para Re = 5 com modelo de turbulênca e fltro refnado Fgura Velocdade U em X = Fgura Velocdade V em Y = Fgura 4.37 Função de Corrente para Re = com modelo de turbulênca...38 Fgura 4.38 Função de Corrente para Re = 4 com modelo de turbulênca...38 Fgura 4.3 Função de Corrente para Re = com modelo de turbulênca...3 Fgura Velocdade U em X = Fgura Velocdade V em Y = Fgura 4.4 Função de Corrente para Re = 3 com modelo de turbulênca...4 Fgura Velocdade U em X = Fgura Velocdade V em Y = Fgura 4.45 Função de Corrente para Re = 5 com modelo de turbulênca...43 Fgura Velocdade U em X = Fgura Velocdade U em X = Fgura 5. Canal com uma expansão assmétrca na forma de degrau...48 Fgura 5. - Perfl de velocdade para algumas seções ao longo do canal....5 Fgura Função de corrente para Re =...5 Fgura Perfl de velocdade para algumas seções ao longo do canal....5 Fgura Função de corrente para Re = Fgura Perfl de velocdade para algumas seções ao longo do canal...5 Fgura Função de Corrente para Re = Fgura Perfl de velocdade para algumas seções ao longo do canal....53

16 Fgura 5. - Função de Corrente para Re =...54 Fgura 5. Perfl de velocdade para algumas seções ao longo do canal...55 Fgura 5. - Perfl de velocdade para algumas seções ao longo do canal Fgura 5. - Função de Corrente para Re =...56 Fgura Função de Corrente para Re = Fgura Perfl de velocdade para algumas seções ao longo do canal Fgura Função de Corrente para Re = Fgura Comparação de perfs de velocdade das duas formulações; Re = ; X=...5 Fgura Comparação de perfs de velocdade das duas formulações; Re = ; X=, Fgura Comparação de perfs de velocdade das duas formulações; Re = ; X=44, Fgura 5. - Comparação de perfs de velocdade das duas formulações; Re = ; X=...6 Fgura 5. - Comparação de perfs de velocdade das duas formulações; Re = ; X=, Fgura 5. - Comparação de perfs de velocdade das duas formulações; Re = ; X=44, Fgura 5. - Comparação de perfs de velocdade das duas formulações; Re = 4; X=...6 Fgura Comparação de perfs de velocdade das duas formulações; Re = 4; X=, Fgura Comparação de perfs de velocdade das duas formulações; Re = 4; X=44,

17 SUMÁRIO - INTRODUÇÃO OBJETIVOS BREVE APANHADO DE TRABALHOS SOBRE LSFEM PARA ESCOAMENTOS DE FLUIDOS ESCOPO E DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO MODELO MATEMÁTICO FORMULAÇÃO MATEMÁTICA FORMULAÇÃO u-p-ω MODELAGEM DE TURBULÊNCIA NA FORMULAÇÃO u-p-ω ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS NAS EQUAÇÕES u-p-ω MODELAGEM DA TURBULÊNCIA NA FORMULAÇÃO u-p-τ ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS NAS EQUAÇÕES u-p-τ DESENVOLVIMENTO DO MODELO NUMÉRICO DESCRIÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS DISPONÍVEIS PARA ESCOAMENTOS DE FLUIDOS RESUMO SOBRE O MÉTODO DE RESÍDUOS PONDERADOS Método de Bubnov-Galerkn Método de Petrov-Galerkn Método de colocação Método de subdomíno Método de Mínmos Quadrados FORMULAÇÃO u-p-ω Dscretzação no tempo... 7

18 FORMULAÇÃO u-p-τ DISCRETIZAÇÃO DO DOMÍNIO FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO, INTEGRAÇÃO DAS EQUAÇÕES NOS ELEMENTOS Funções de nterpolação Cálculo das matrzes nos elementos SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES DISCRETIZADAS ESTRUTURA DO PROGRAMA COMPUTACIONAL ESCOAMENTO NUMA CAVIDADE QUADRADA D INDUZIDO PELO MOVIMENTO DA PAREDE SUPERIOR ESCOAMENTO NUM CANAL COM UMA EXPANSÃO ASSIMÉTRICA RESULTADOS PARA FORMULAÇÃO u-p-τ RESULTADOS PARA FORMULAÇÃO u-p-ω COMPARAÇÃO DE VELOCIDADES DAS FORMULAÇÕES u-p-τ e u-p-ω CONCLUSÕES SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS...67 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...6 APÊNDICE A...75

19 CAPÍTULO - INTRODUÇÃO As déas e teoras que deram orgem ao método de elementos fntos surgram próxmo dos anos de 5. Sendo que não se atrbu a nnguém a autora deste método, e não se sabe a data precsa em que surgu. No entanto, Matemátcos, Físcos e Engenheros trabalham desde o níco na elaboração e evolução do método. Na engenhara este método fo usado pela prmera vez em 6 por Clough num estudo sobre problemas de elastcdade plana, dsse Huebner (8). Orgnalmente, o método fo mplementado no estudo de tensões em aeronaves. A partr do trabalho de Clough no níco dos anos 6, o método de elementos fntos fo usado extensvamente para análse de tensões lneares, deflexão e vbrações e em dversas áreas das engenharas, á que na época começava a se reconhecer a efcáca do método. Atualmente, o Método dos Elementos Fntos têm se tornado um dos mas populares métodos para resolver equações dferencas parcas. Este método mplementado em códgo computaconal apresenta bons resultados ao ser aplcado à solução de problemas nos regmes permanente e transente, lneares e não-lneares, para domínos undmensonas, bdmensonas e trdmensonas. Proetos na ndústra aeroespacal, proetos de motores de combustão nterna,

20 36 geração de energa e dspersão de poluentes na atmosfera, são alguns poucos exemplos, que envolvem soluções de equações não lneares em geometras complexas. Aplcações para soluções de problemas de escoamentos e transferênca de calor, somente alguns anos, após a ntrodução do método, foram abordadas. Incalmente acredtava-se que problemas de escoamentos não pudessem ser resolvdos a contento pelo método. Certas modfcações tveram que ser ntroduzdas, como o uso de técncas de upwnd, como é o caso do método de Petrov-Galerkn para problemas convectvos domnantes. Isto, talvez, explque um das razões de problemas de escoamentos serem, em geral, analsados usando-se, preferencalmente, dferenças fntas ou volumes fntos. Na realdade, o método de dferenças fntas é equvalente ao método de elementos fntos de colocação e o método de volumes fntos é equvalente ao método de elementos fntos de subdomíno. No caso de escoamentos de fludos, além de complcações geométrcas, há, anda, o fato das equações governantes, equações de Naver-Stokes, serem em dervadas parcas e com fortes não lneardades. De fato, soluções geras das equações de Naver-Stokes, na sua forma completa, requerem o uso de métodos numércos. Devdo às não lneardades das equações, soluções analítcas são possíves apenas em casos smplfcados. Popularmente, no meo centífco e acadêmco, a área de computação de escoamentos de fludos é denomnada de CFD (CFD Computatonal Flud Dynamcs) e tem recebdo muta atenção nas últmas décadas, vsto que, o processo de smulação computaconal é uma ferramenta que, em mutos casos, é a únca opção vável para prever o comportamento de escoamentos e que também serve para se otmzar expermentos em laboratóro, quando estes são, estrtamente, necessáros para valdar algum modelo. Um dos métodos de solução numérca que vem ganhando espaço nos últmos anos, na área de dnâmca dos fludos computaconal (CFD), é o método de elementos fntos (FEM

21 37 Fnte Element Method) devdo à sua potencaldade de modelar domínos complexos, nos quas os escoamentos geralmente ocorrem. O método de elementos fntos tem como base matemátca o método de resíduos ponderados (WRM Weght Resdual Method), o que dá orgem às suas váras formulações: Galerkn-Bubnov (GFEM), Petrov-Galerkn (PGFEM), Colocação, Subdomíno e Mínmos Quadrados. Estas formulações resultam da escolha da função peso que pondera o resíduo na formulação varaconal ou ntegral do método, como será demonstrado mas adante. De acordo com Jang (8), o método de elementos fntos, do ponto de vsta de prncípos varaconas, pode ser defno em três vertentes: o método de Ralegh-Rtz, o método de Galerkn e o método de Mínmos Quadrados. No método de Ralegh-Rtz, procura-se mnmzar a energa potencal total, sendo utlzado prncpalmente em mecânca dos sóldos, em condução de calor e em outras stuações de problemas governados por equações de dfusão elíptcas com operadores auto-aduntos de segunda ou de quarta ordem, onde sea possível encontrar um funconal quadrátco. O método de Galerkn basea-se em resíduos ponderados e o método de Mínmos Quadrados basea-se na mnmzação do resíduo, no senso de mínmos quadrados. A motvação prncpal deste trabalho é mplementar um método de Elementos Fntos de Mínmos Quadrados (LSFEM Least-Squares Fnte Element Method), para smulação de escoamentos ncompressíves de fludos vscosos. Este estudo também fo motvado pelo fato de alguns autores, que tem pesqusado este método, afrmar que o LSFEM não sofre das defcêncas do método clássco de Galerkn para problemas convectvos domnantes; dspensando nclusve as técncas de upwnd que são usadas nos métodos de Galerkn, para tratamento dos termos advectvos nas equações de Naver-Stokes. No método GFEM, caso técncas de upwnd não seam usadas, a convergênca da solução de problemas de escoamentos com altos números de Reynolds pode não ser alcançada.

22 38 No desenvolvmento do trabalho será tomado como ponto de partda a estrutura de um programa desenvolvdo por Campos-Slva (8) para um método elementos fntos de subdomíno. O método será mplementado nas formulações velocdade-pressão-vortcdade, u-p-ω e velocdade-pressão-tensão, u-p-τ. A utlzação de formulações u-p-ω ou u-p-τ conduz a equações governantes que são equações dferencas parcas de prmera ordem, o que é mas convenente para mplementação do LSFEM. O LSFEM é baseado na mnmzação de um resíduo e, embora tenha uma formulação smples, oferece alguns mértos sgnfcatvos. De acordo com Jang (8), algumas característcas deste método são: Unversaldade. A prátca comum é usar dferentes técncas numércas para dferentes tpos de equações dferencas. O LSFEM tem uma formulação unfcada para todos tpos de equações dferencas, não mportando se elas são elíptcas, parabólcas, hperbólcas ou mstas. Efcênca. O LSFEM é naturalmente aproprado para operadores dferencas de prmera ordem. Em mutas áreas da engenhara e cêncas aplcadas, as equações dferencas parcas orgnas obtdas das les da físca são de prmera ordem ou podem ser transformadas em um sstema de equações de prmera ordem. Entretanto, é dfícl ldar com sstemas de prmera ordem pelas técncas convenconas, porque tas sstemas de equações geralmente conduzem a sstemas de matrzes não smétrcas por outros métodos numércos; o LSFEM, para equações dferencas parcas lneares, sempre levará a matrzes smétrcas e postvas defndas e que podem ser efcentemente resolvdas, por exemplo, por métodos teratvos, tas como o método de gradentes conugados pre-condconado. Robustez. Tratamentos especas tas como upwndng, dsspação artfcal, malha deslocadas ou elementos de ordem desgual, compressbldade artfcal, separação e

23 3 pre-condconamento de operadores são desnecessáros quando se usa LSFEM. Em todas as áreas onde se aplca o método msto de Galerkn, o LSFEM pode ser aplcado sem a lmtação da condção LBB (Ladyhenskaya-Babuska-Brezz), explcada no Apêndce, ou sea elementos de ordem gual para velocdade e pressão podem ser usados. Para solução de problemas de convecção pura e escoamentos compressíves a altas velocdades, o LSFEM nerentemente contém um mecansmo para automatcamente captura descontnudades ou choques. Otmabldade. Em mutos casos pode ser provado que a solução do LSFEM é a melhor aproxmação, pos o erro da solução de um LSFEM tem a mesma ordem do erro de nterpolação. Smulação Smultânea de Múltplas Físcas. Uma vez que o LSFEM é um método unfcado para uma solução aproxmante de equações dferencas governantes de dversos fenômenos físcos; um únco algortmo, um únco códgo pode ser usado para calcular váras grandezas físcas envolvdas em um problema. Códgo de Propósto Geral. Como menconado acma, o LSFEM é formulado em uma manera bem geral. Portanto, o LSFEM pode ser programado sstematcamente, de modo que para uma nova aplcação, é necessáro somente adconar subrotnas smples para prover os coefcentes, o vetor carga, e as condções de contorno para o sstema de prmera ordem. Isto pode reduzr drastcamente o tempo, o custo e os erros de programação nerentes aos códgos computaconas. Pelo fato de a maora dos escoamentos serem turbulentos, também será mplementada Smulação de Grandes Escalas (LES - Large Eddy Smulaton), para se consderar o efeto da turbulênca. LES é uma metodologa ntermedára entre a metodologa de smulação numérca dreta (DNS Drect Numercal Smulaton), que demanda muto alta capacdade computaconal e a modelagem de turbulênca através das equações médas de Naver-Stokes, como proposto por

24 4 Reynolds (RANS Reynolds Average Naver-Stokes), que, em tese, requer menos recursos computaconas. LES é uma metodologa que também requer grande capacdade computaconal, mas que vem ganhando mutos adeptos, prncpalmente, devdo ao aumento da capacdade de computadores pessoas que têm se tornado acessíves a mutos pesqusadores. Uma grande vantagem de LES, além de sua beleza matemátca, é que apenas uma constante precsa ser austada em comparação com o uso RANS, em que se tem que austar, mutas vezes ad hoc, váras constantes. Ultmamente com o grande avanço na computação, LES tem sdo aplcada na engenhara, podendo-se destacar algumas de suas vantagens que são: ) alta precsão, ) capacdade de resolver as osclações de movmentos turbulentos sobre uma faxa de escalas, 3) smplcdade de modelar os efetos da turbulênca no fenômeno fludo contdo nas multfíscas. Em LES as escalas maores do que o menor tamanho de malha são calculadas dretamente pelas equações fltradas de Naver-Stokes e as escalas menores do que o tamanho da malha (ou escalas submalha) são modeladas, através de modelos de vscosdade turbulenta, sendo o mas comum o modelo de vscosdade de Smagornsky (63).. - OBJETIVOS O obetvo prncpal deste trabalho é o estudo do método de elementos fntos de mínmos quadrados (LSFEM) e construção de um códgo computaconal para smulação de escoamentos ncompressíves de fludos vscosos, a partr das formulações das equações de

25 4 Naver-Stokes de prmera ordem, nas varáves velocdade-pressão-vortcdade ou velocdade-pressão-tensão. Outros obetvos são a nvestgação de modelagem de turbulênca através da smulação de grandes escalas (LES Large Eddy Smulaton) com vscosdade turbulenta de Smagornsky (63) na formulação u-p-ω e testes de algumas funções de nterpolação.. - BREVE APANHADO DE TRABALHOS SOBRE LSFEM PARA ESCOAMENTOS DE FLUIDOS Há algumas décadas, város autores vêm desenvolvendo estudos utlzando métodos de elementos fntos para soluconar problemas de transferênca de calor e de mecânca dos fludos. Nesses estudos os autores utlzam algumas técncas como upwnd e mínmos quadrados. Apesar da técnca de upwnd ter alcançado resultados satsfatóros na solução de problemas convectvo-domnantes, este é um método um pouco caro. Por sso, são procurados métodos mas baratos, evtando também a dfculdade da mplementação da técnca upwnd, Nguyen & Reynen (84). No contexto de LSFEM alguns trabalhos serão menconados a segur. Tang & Tsang (3) resolveram as equações de Naver-Stokes transentes e a equação de balanço de energa para um fludo ncompressível com propredades constantes com a hpótese de Boussnesq, pelo método de elementos fntos de mínmos quadrados usando a formulação velocdade-pressão-vortcdade-temperatura-fluxo de calor e dscretzação no tempo pelo método de dferenças fntas. O esquema de dscretzação mnmza o resíduo na norma L para cada passo de tempo. Utlzando elementos quadrlateras blneares soparamétrcos e ntegração reduzda, os autores demonstraram que o método dos mínmos quadrados apresentou bons

26 4 resultados na aplcação de escoamentos ncompressíves transentes com convecção térmca. Outros trabalhos nesta vertente foram apresentados, entre eles Jang (), Harbord e Gellert (), Ruas (7), que avalou problemas de Stokes trdmensonas, utlzando o método de Galerkn/Mínmos Quadrados. Jang () resolveu as equações de Naver-Stokes transentes para escoamento ncompressível pelo método de elementos fntos de mínmos quadrados utlzando a formulação velocdade-pressão-vortcdade em malhas de elementos blneares. Após a dscretzação no tempo, o resíduo é mnmzado na norma L para cada passo de tempo. Este método transforma um sstema de equações dferencas parcas num sstema algébrco smétrco e postvo defndo, reduzndo assm o custo computaconal. Utlza-se elmnação Gaussana para resolver o sstema algébrco. Os autores mostram resultados para o caso da cavdade quadrada e para o caso do escoamento num canal com uma expansão brusca, em que demonstraram que o método dos mínmos quadrados apresentou bons resultados em aplcações de escoamentos ncompressíves transentes. Fo utlzada quadratura de Gauss com um ponto para ntegração. Város outros trabalhos podem ser encontrados na lteratura envolvendo o método de elementos fntos de mínmos quadrados, entre eles Ca, et al. (5) que trabalharam bascamente com sstemas de prmera ordem; Codna () que analsou o método de elementos fntos establzado baseado na escala sub-malha; Yang & Lu aplcaram o método em elastcdade e Shen, et al. () que trataram de problemas hdrodnâmcos em dspostvos semcondutores. Alguns autores apresentam trabalhos de comparação entre város métodos aplcados a um mesmo problema. Camprub, et al. () apresentaram um estudo de três formulações numércas de elementos fntos (Galerkn, Mínmos Quadrados e Galerkn/Mínmos Quadrados)

27 43 aplcados a problemas convectvo-dfusvos. Os autores apresentaram exemplos e concluíram que enquanto o método Galerkn tem soluções osclatóras, o LSFEM e o Galerkn/Mínmos Quadrados são estáves. Entretanto, o LSFEM tem duas desvantagens: ) um maor custo computaconal quando comparado com os outros dos métodos; ) as soluções são mas dsspatvas, ou sea, têm mas dfusão numérca. Bochev & Gunzburger (4), utlzaram o método de mínmos quadrados para a solução aproxmada da equação de Stokes num sstema pressão-velocdade-vortcdade de prmera-ordem. Entre as mas atratvas característcas dos métodos aplcados destaca-se a que resulta em um sstema smétrco e postvo defndo de equações algébrcas. Dng & Tsang (), utlzaram o método de elementos fntos de mínmos quadrados baseado em formulação de prmera ordem velocdade-pressão-tensão para escoamentos ncompressíves. Neste trabalho os autores smularam grandes escalas de turbulênca (LES Large-Eddy Smulaton) com modelos sub-malha para fluxo turbulento e processos de transporte. Os resultados numércos são comparados com dados numércos ou resultados de smulação dreta. Fnalmente os autores concluem que a LSFEM é um método numérco efcente para smular fluxo turbulento e processos de transporte. Romão (4), aplcou o Método dos Elementos Fntos nas varantes Galerkn, Petrov-Galerkn e Mínmos Quadrados para solução das equações dferencas que modelam os fenômenos convectvo-dfusvos defndos sobre domínos un e bdmensonas nos regmes permanente e transente. Para a dscretzação temporal fo utlzado o Método Crank-Ncolson e na dscretzação espacal foram utlzados elementos com dos, três e quatro nós para o caso undmensonal e elementos trangulares com três e ses nós, e elementos quadrlateras com quatro e oto nós para o caso bdmensonal, com funções de nterpolação de Lagrange nas

28 44 coordenadas locas. Transformando toda a formulação do problema das coordenadas globas para as coordenadas locas, o Método da Quadratura de Gauss-Legendre fo utlzado para ntegração numérca dos coefcentes das matrzes dos elementos. Adconalmente, a formulação pelos três métodos, um códgo computaconal fo mplementado para smular o fenômeno proposto. Váras aplcações foram apresentadas e dscutdas. No trabalho de Romão, o campo de velocdade era suposto conhecdo. Desta forma, Romão resolveu um sstema de equações dferencas composto pela equação de transporte para a temperatura e equações consttutvas para os fluxos de calor. O presente estudo é uma seqüênca e complementação daquele trabalho, com a smulação do campo de velocdade, aqu, através da solução das equações de Naver-Stokes, em duas formulações dferentes. Alguns problemas padrões têm sdo resolvdos para valdar o códgo computaconal desenvolvdo e os resultados obtdos são apresentados e comparados com resultados da lteratura..3 - ESCOPO E DESENVOLVIMENTO DO TRABALHO Como á fo menconado, este trabalho tem como escopo a mplementação de um método de elementos fntos na sua versão de mínmos quadrados, como um passo ncal de trabalhos futuros para smulação de escoamento de fludos. Além deste capítulo ntrodutóro, o trabalho fo subdvddo em mas 5 capítulos. No capítulo, é apresentado o modelo matemátco nas duas formulações propostas, bem como, o processo de fltragem das equações de Naver-Stokes para mplementação de smulação numérca de grandes escalas. A proposta de smulação de grandes escalas da forma como está desenvolvda, no capítulo, fo feta de forma

29 45 natural, a partr das equações de prmera ordem usando a vortcdade como varável auxlar, acredtando-se que esta sea uma das contrbuções do presente trabalho. No capítulo 3, ncalmente é apresentado um resumo do método de resíduos ponderados, como base matemátca dos prncpas métodos numércos. Depos desenvolve-se o modelo numérco, ou sea o método de elementos de mínmos quadrados nas duas formulações propostas. No capítulo 4, faz-se aplcações do programa computaconal desenvolvdo para o caso de escoamento numa cavdade quadrada com a tampa superor deslzante (ld-drven cavty flow); problema este, que apesar da smplcdade da geometra, se transformou num dos problemas padrões para valdação de códgos computaconas, pela complexdade do escoamento devdo a recrculações. Entretanto, este tpo de geometra pode aparecer, por exemplo, em cânons urbanos e em aeronaves. Os obetvos no capítulo 4 foram os de austar a constante de Smagornsky, verfcar funções de nterpolação e a nfluênca de refno da malha. No caso do capítulo 4, os resultados são da formulação velocdade-pressão-vortcdade. No capítulo 5, faz-se aplcações das duas formulações de Naver-Stokes para o caso de escoamento num canal com uma expansão em degrau (backward-facng step flow). Este é outro problema padrão amplamente usado para valdação de modelos numércos, e que aparece em mutas aplcações de engenhara, como por exemplo, em combustores e dutos de transporte de fludos. Fnalmente, no capítulo 6, são apresentadas as prncpas conclusões do trabalho, bem como as sugestões para trabalhos que vrão na seqüênca deste.

30 46

31 CAPÍTULO - MODELO MATEMÁTICO Neste capítulo é apresentado o modelo matemátco para escoamentos ncompressíves transentes de fludos vscosos, em formulações velocdade-pressão-vortcdade, u-p-ω e velocdade-pressão-tensão, u-p-τ. Estes tpos de formulações resultam em sstemas de equações dferencas parcas de prmera ordem o que é convenente para aplcação do Método de Elementos Fntos de Mínmos Quadrados, além de possbltar dretamente o cálculo de varáves secundáras tas como vortcdade e tensões vscosas.

32 48. - FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Os escoamentos de fludos podem ser modelados, matematcamente, pelas equações de Naver-Stokes as quas são equações dferencas parcas não lneares. Em formulação velocdade-pressão-tensão, em notação tensoral, essas equações podem ser escrtas como ( ρ u ) ( ρ u u ) t x p = x τ x f, (.) u u τ = µ, (.) x x u x =. (.3) Nas equações (.)-(.3), u representa as componentes de velocdade nas dreções dos exos coordenados x, p é a pressão, ρ é a massa especfca, µ é a vscosdade dnâmca e o termo fonte que engloba as forças de campo e outros termos não escrtos explctamente na equação (.). Nesta formulação, as equações de Naver-Stokes formam um sstema de equações dferencas de prmera ordem o que é, como á menconado, mas convenente para aplcação do método de elementos fntos de mínmos quadrados. f é

33 4. - FORMULAÇÃO u-p-ω Outra manera de escrever as equações de Naver-Stokes como um sstema de equações dferencas parcas de prmera ordem é usar a vortcdade como varável auxlar. Consdera-se a formulação de Naver-Stokes para escoamentos ncompressíves em coordenadas cartesanas. As equações de Naver-Stokes, normalmente, são escrtas na formulação velocdade-pressão. Sendo o vetor velocdade = ( u, v, w) u e a pressão p tem-se que: u ρ ρ u u p µ u = f, (.4) t u =. (.5) Introduzndo a vortcdade ω = u e usando a dentdade vetoral: u = u ω, as equações de Naver-Stokes podem ser reescrtas na formulação velocdade-pressão-vortcdade como um sstema de prmera ordem na forma: u ρ ρ u u p µ ω = f, (.6) t ω u =, (.7) u =, (.8)

34 5 ω =. (.) Em coordenadas cartesanas, as equações de Naver-Stokes para escoamentos ncompressíves trdmensonas resultam: x y z f z y x p z u w y u v x u u t u = ω ω µ ρ, (.) y z x f x z y p z v w y v v x v u t v = ω ω µ ρ, (.) z x y f y x z p z w w y w v x w u t w = ω ω µ ρ, (.) = z v y w x ω, (.3) = x w z u y ω, (.4) = y u x v z ω, (.5) = z w y v x u, (.6)

35 5 ω x x ω y y ω z z =. (.7) Nas equações (.) - (.7) u, v, w são as componentes de velocdade nas dreções x, y, z, respectvamente; p é campo de pressão e ω x, ω y, ω z são as vortcdades em torno dos exos x, y, z, respectvamente. Este conunto de equações resulta em sete graus de lberdade por nó, ou sea, ( u v, w, p, ω, ω, ω ) nó, ou sea, (, v, p,ω), para problemas trdmensonas e quatro graus de lberdade por x y z u para problemas bdmensonas..3 - MODELAGEM DE TURBULÊNCIA NA FORMULAÇÃO u-p-ω As equações de Naver-Stokes são sufcentes para modelar escoamentos em qualquer regme: lamnar ou turbulento, desde que o número de Mach sea nferor a 5, pos acma desse valor, a aplcação das equações de Naver-Stokes torna-se questonável, Slvera Neto (). Além desta lmtação ocorre o problema de quanto maor o número de Reynolds, mas largo se torna o espectro de energa assocado ao escoamento, sendo necessáro o uso de malhas extremamente fnas para calcular as estruturas vscosas muto pequenas que surgem com os valores de grandes Reynolds, o que mplca em custos computaconas muto elevados. A solução numérca para todas as escalas num dado escoamento é possível através de Smulação Numérca Dreta (SND) (ou como na lteratura nternaconal Drect Numercal Smulaton - DNS) que permtra resolver todas as escalas assocadas ao escoamento, entretanto, SND está lmtada a baxos números de Reynolds e mesmo para escoamento com baxos números

36 5 de Reynolds, nem sempre é possível pratcar SND, ou melhor, resolver todos os graus de lberdade que caracterzam os escoamentos turbulentos. A smulação de escoamentos turbulentos, normalmente é feta usando-se a chamada decomposção de Reynolds; esta decomposção fo dvdda em dos grupos sendo o prmero as equações médas de Reynolds (RANS Reynolds Average Naver-Stokes). Reynolds (883, 884) propôs que as escalas da turbulênca fossem separadas nas escalas relatvas ao comportamento médo e nas escalas relatvas as flutuações em torno da méda. Partndo dessa noção, submetendo as equações de Naver-Stokes a um operador méda, derva-se as chamadas Equações Médas de Reynolds, com o surgmento de um termo adconal denomnado de tensões de Reynolds, que devem ser modeladas para fechamento das equações. As equações médas de Reynolds separa um snal genérco f ( x,t) na sua parte méda f ( x), se a méda for temporal, e na sua parte flutuante f ( x,t), então: ( x, t) f ( x) f ( x t) f =,. (.8) O segundo grupo trata das equações de Naver-Stokes fltradas proposta por Smagornsky (63) para as quas as escalas da turbulênca são separadas em dos grupos, ou sea, o grupo das grandes escalas ou escalas maores do que a dmensão da malha e o grupo das pequenas escalas ou escalas sub-malha, escalas menores do que a menor dmensão da malha. Esta noção de separação de escalas por um processo de fltragem é mas rca e condz melhor com o comportamento físco da turbulênca, quando comparado com a noção de escoamento médo. O processo de fltragem requer a defnção de uma função fltro G ( x, t) r. Defnda esta função, o

37 53 processo de fltragem é estabelecdo como a ntegral de convolução da função a ser fltrada, f ( x, t), com a função fltro, G ( x, t) r, ou sea: f ( x t) = G ( x x,t ) f ( x, t), dx. (.) V como lustrado na Fgura.. Fgura. Esquema da função f (x) e sua componente fltrada f (x), (Teada-Martínez, ). A função G pode ser uma função temporal ou espacal. Sendo que na equação acma aparece um fltro espacal. O volume V é o volume de ntegração para a fltragem. O fltro tem um comprmento característco o qual determna a freqüênca de corte, ou sea, que freqüêncas permanecem no snal fltrado e quas são elmnadas. Este procedmento de modelagem é chamado Smulação das Grandes Escalas (SGE) (ou Large Eddy Smulaton LES).

38 54 A Smulação de Grandes Escalas (LES) é um processo no qual as grandes escalas são calculadas dretamente e as pequenas escalas são modeladas. Esta é uma metodologa ntermedára entre a smulação dreta e a smulação va equações médas de Reynolds. Em LES as estruturas turbulentas transportadoras de energa e quantdade de movmento são resolvdas dretamente na solução das equações fltradas, enquanto que apenas as menores estruturas são modeladas. As metodologas de SND e LES são semelhantes no sentdo que ambas permtem a obtenção de resultados trdmensonas e transentes das equações de Naver-Stokes. Assm LES contnua a exgr malhas refnadas, porém, torna-se possível resolver escoamentos a altos números de Reynolds, devdo ao processo de separação de escalas utlzado e ao processo de modelagem dos tensores sub-malha adconas que aparecem. Na Fgura. mostra-se a repartção do espectro de energa em relação a freqüênca ou ao número de onda de corte que são determnados pelo processo de fltragem. E(f) Energa assocada à parte fltrada da velocdade, ou sea, às grandes estruturas. Energa assocada às escalas sub-malha, ou à parte flutuante f c f Fgura. Espectro e dstrbução de energa nas grandes escalas e nas peqenas escalas

39 55 De acordo com Brodkey (67), usando dentdades vetoras, as equações de Naver-Stokes (.6) podem ser reescrtas como ( u t) ( u ( u )) ( u u) = ( ρ ) p ν ( ( u )) f, (.) onde o termo advectvo fo substtuído por ( u ) u = ( u u ) ( u ( u )). (.) A segur as equações de Naver-Stokes são novamente reescrtas em notação ndcal ρ u t ε k u ω k ( u / ) p ωk k = f x ε µ (.) x x = ε u k ω k, (.3) x u x =. (.4) Para aplcação da metodologa de smulação de grandes escalas deve-se fltrar as equações para separação das escalas, com as grandes escalas calculadas dretamente e as escalas menores do que a espessura do fltro modeladas, para fechamento das equações.

40 56 Chdambaram (8) apresenta dferentes fltros que podem ser utlzados para tal fnaldade. Aplcando-se um processo de fltragem às equações (.)-(.4) obtém-se o sstema de prmera ordem a segur ( ) k k k k k k k f u u x x u u p x u u t u = ω ω ρ ε ω µ ε ρ ω ε ρ ] ) / ( [, (.5) k k x u = ε ω, (.6) = x u. (.7) Como conseqüênca do processo de fltragem aparece o últmo termo do lado esquerdo da equação (.5) a ser modelado, e que será consderado como efeto das menores escalas de turbulênca mas um termo adconal na pressão, que representa a energa cnétca turbulenta das menores escalas. Uma das propostas deste trabalho é modelar estes termos, por analoga com a modelagem das equações na sua forma prmtva. Assm, defne-se os efetos sub-malha e a pressão turbulenta como k t k k x u u = ω µ ω ω ρ ) ( ; ) / ( t u u p p = ρ. (.8)

41 57 Com as defnções da equação (.8) e o uso da equação (.), as equações (.5)- (.7) podem ser reescrtas como k t k t f x x p x u u t u = ω µ µ ε ρ ) (, (.) k k x u = ε ω, (.3) = x u. (.3) Este tpo de modelagem fo encontrado em apenas uma das referêncas consultadas. Chan & Mttal (6) relatam resultados obtdos para um número de Reynolds de 5; num escoamento turbulento numa expansão. Num procedmento ad hoc Chan & Mtal propuseram t k k t t f S x x Re x p x u u t u = ν ω ε ν ρ. (.3) A vscosdade turbulenta fo calculada como ( ) s s t f S C = ν, (.33) na qual a espessura do fltro é defnda como

42 58 ( δxδyδz) 3 =, (.34) com C s =, e f s a função de amortecmento de Van Drest defnda como f s - δ =. exp (.35) 6 δ é determnado como a dstanca normal à parede adacente..4 - ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS NAS EQUAÇÕES u-p-ω A mplementação das equações (.)-(.3), normalmente, é feta em varáves admensonalzadas. Defnndo um comprmento e velocdade de referêncas L e u, as varáves podem ser admensonalzadas como x X = ; u U = ; L u P t pt p = ; ρ u t t = ; t ( ) / L / u * ν t = ν = Cs S kl S ; kl u L L ω L Ω = ; u ρ u L Re =. µ (.36) O astersco é usado para varáves dmensonas. Desta forma, as equações (.)-(.3) na forma admensonal fcam como a segur

43 5 U t U U X Pt X ε k Ω k ν t Re X = S, (.37) U k Ω = ε k, (.38) X U X =. (.3) A vscosdade turbulenta fo modelada segundo o modelo de Smagornsky e fca na forma ( C ) ( s s ) / ν = ; * t s kl kl s u = x u x, (.4) na qual C s é a constante de Smagornsky e a espessura do fltro é defnda como = ( x y z) / 3 para 3D ou = ( x y) / para D..5 - MODELAGEM DA TURBULÊNCIA NA FORMULAÇÃO u-p-τ Aplcando um processo de fltragem às equações de Naver-Stokes (.)-(.3) resulta as seguntes equações, em notação ndcal:

44 6 u t u u x p = ρ x τ x τ x sgs f, (.4) u x =, (.4) onde u é a componente da velocdade, p é a pressão, τ e τ sgs são os tensores das tensões vscosas e sub-malha respectvamente e f é a força do corpo por undade de volume. As tensões vscosas e sub-malha são defndas como u u τ = ν, (.43) x x τ = u u u u. (.44) sgs resulta Modelando as tensões sub-malha através do modelo de vscosdade de Smagornsky τ sgs = k 3 u ν t x u x. (.45) Quando aplca-se o processo de fltragem adcona-se alguns termos nas equações governantes onde k é a energa cnétca turbulenta defnda como

45 6 ' ' u u k =. (.46) As equações (.4) com as tensões sub-malha modeladas resultam na forma ( ) f x x k p x u u t u = τ ρ 3 /, (.47) na qual, embora, se use o mesmo símbolo, as tensões agora são ( ) = t x u x u ν ν τ, (.48) = x u. (.4) Em coordenadas cartesanas escreve-se as equações (.47)-(.4) na forma: x xz xy xx f z y x x p z u w y u v x u u t u = τ τ τ ρ ρ, (.5) y yz yy xy f z y x y p z v w y v v x v u t v = τ τ τ ρ ρ, (.5)

46 6 z zz yz xz f z y x z p z w w y w v x w u t w = τ τ τ ρ ρ, (.5) = x u xx µ e τ, (.53) = x v y u xy µ e τ, (.54) = x z u e xz ω µ τ, (.55) = y v yy µ e τ, (.56) = y z v e yz ω µ τ, (.57) = z w zz µ e τ, (.58) = z w y v x u. (.5)

47 63 Este conunto de equações resulta em dez graus de lberdade por nó ( u v, w, p, τ, τ, τ, τ, τ τ ), para problemas trdmensonas e em ses graus de lberdade xx por nó ( u v, p, τ, τ, τ ) xy xx xz yy yy zz yz zz, para problemas bdmensonas. Devdo à ncompressbldade do escoamento uma restrção adconal deve ser satsfeta zz ( τ τ ) τ =. (.6) xx yy Nas equações (.5) - (.5) u, v, w são os componentes de velocdade nos exos x, y, z, respectvamente; p é campo de pressão τ é o tensor das tensões vscosas e µ = µ é a * e µ t vscosdade dnâmca efetva..6 - ADIMENSIONALIZAÇÃO DAS VARIÁVEIS NAS EQUAÇÕES u-p-τ A mplementação das equações de (.47)-(.4) normalmente é feta para as varáves admensonalzadas. Defnndo os parâmetros de referênca L e u as varáves podem ser admensonalzadas como x X = ; L u U = ; u P t pt p = ; ρ u * t L / u t = ; t = C ( S S ) / kl kl * ν t = ν s ; u L L * τ L τ = ; u µ ρ u L Re = ; µ (.6)

48 64 * u k k ρ =, = X U X U S. (.6) O astersco é usado apenas por convenênca para varáves dmensonas, posterormente, se usará o mesmo símbolo para as tensões nas varáves admensonas. Desta forma, as equações (.47)-(.4) na forma admensonal fcam na forma a segur: t f X X P X U U t U = τ, (.63) = X U, (.64) = t X U X U Re ν τ. (.65) Qualquer que sea o conunto de equações de prmera ordem utlzado para escrever as equações governantes, elas podem ser escrtas na segunte forma compacta ( ) f A t = φ φ * (.66) na qual φ é o vetor das m ncógntas ou graus de lberdade do problema; m T φ φ φ φ φ,,,, 3 K = ; A é um operador dferencal que pode ser escrto na segunte forma

49 65 = 3 4 ; com os A s sendo as matrzes de X Y Z matrcal () [ ] () [ ] () [ ] ( ) * A A A A [ A ]() coefcentes das equações governantes, como será vsto no Capítulo 3, e f é vetor dos termos fontes nas equações.

50 66

51 CAPÍTULO DESENVOLVIMENTO DO MODELO NUMÉRICO Neste capítulo apresenta-se a dscretzação das equações do capítulo. Antes, porém, faz-se um breve resumo sobre os métodos numércos dsponíves para escoamento de fludos e sobre o método dos resíduos ponderados, o qual se consttu na base matemátca dos prncpas métodos numércos: dferenças fntas, volumes fntos e elementos fntos DESCRIÇÃO DE MÉTODOS NUMÉRICOS DISPONÍVEIS PARA ESCOAMENTOS DE FLUIDOS As equações de Naver-Stokes são baseadas nas les de quantdade de movmento e prncípos de conservação da massa e da energa. As maores dfculdades no estudo e solução

52 68 daquelas equações estão relaconadas com as não lneardades e, no caso de escoamentos ncompressíves, também com o fato de não exstr uma equação explícta para a pressão. Nas últmas décadas, város métodos tas como dferenças fntas, volumes fntos e elementos fntos baseados em formulações dferentes têm sdo usados para resolver as equações de Naver-Stokes. No que se refere ao método de elementos fntos, usualmente, os métodos baseados na formulação de Galerkn são usados para as análses teórcas e solução das equações de Naver-Stokes em varáves prmtvas velocdade-pressão. Quando se usa ordem gual de nterpolação para velocdade e pressão, a solução poderá ser nstável num processo smlar ao que ocorre com volumes fntos com varáves co-localzadas. Desta forma se usa o chamado método msto, em que a pressão é nterpolada por funções de nterpolação uma ordem mas baxa do que as funções de nterpolação da velocdade, para satsfazer o que se chama de condção LBB - Ladyzhenskaya-Babuska-Brezz, Jang (8). Ou sea, exstem restrções no espaço de funções da velocdade e pressão, nos métodos de elementos fntos de Galerkn para que a solução sea estável. A condção LBB é apresentada no Apêndce A, para um problema de valor de contorno undmensonal. A condção LBB é sufcente para garantr uma solução estável no método de Galerkn Msto. Entretanto, este trabalho está focalzado no Método de Elementos Fntos de Mínmos Quadrados (LSFEM) com as equações de Naver-Stokes escrtas numa formulação em dervadas parcas de prmera ordem nas varáves velocdade-pressão-vortcdade u p ω ou na formulação velocdade-pressão-tensão u p τ. Entre as vantagens do LSFEM, uma é que não é necessára a restrção da condção LBB.

53 RESUMO SOBRE O MÉTODO DE RESÍDUOS PONDERADOS Para melhor compreensão do letor, a segur, apresenta-se um resumo sobre o método dos resíduos ponderados, o qual se consttu na base dos prncpas métodos numércos tas como: métodos de volume fntos, métodos de dferenças fntas e métodos de elementos fntos. De acordo com Reddy, (3) sempre é possível escrever a forma ntegral ponderada de uma equação dferencal, sea esta equação lnear ou não, na varável dependente. A forma fraca pode ser desenvolvda se as equações são de segunda ordem ou superor, mesmo que as equações seam não lneares. Porém, nem sempre é possível construr um funconal cua prmera varação sea gual à forma varaconal. O método de Raylegh-Rtz pode também ser aplcado para todos os problemas, nclundo os problemas não lneares, que tenham forma fraca. Neste método, as funções de pesos são necessaramente guas aquelas usadas na aproxmação. O Método dos Resíduos Ponderados é uma generalzação do método de Raylegh-Rtz, no qual as funções peso podem ser escolhdas de um conunto ndependente de funções, e sto requer somente a forma da ntegral ponderada para determnar os parâmetros. O método dos resíduos ponderados pode ser usado para aproxmações da forma ntegral ponderada de qualquer equação, não só daquelas que possuem um funconal assocado como o método de Raylegh-Rtz. Consdere o caso de um operador dferencal que, aplcado a uma função u(x), produza uma função f(x) num domíno lmtado e arbtráro: ( u) = f em Ω A, (3.)

54 7 onde A é um operador (lnear ou não), freqüentemente um operador dferencal, atuando em uma varável dependente u, e f é uma função conhecda de uma varável ndependente. Um operador A lnear satsfaz a relação A ( α u β v) = α A( u) β A( v), (3.) onde α e β são constantes reas. A função u deve satsfazer também determnadas restrções como condções de contorno. No Método de Resíduos Ponderados, a solução de u é aproxmada por uma expansão em sére como N uˆ N = φ c φ. (3.3) = As funções φ e φ devem satsfazer determnadas condções de admssbldade e de contorno. Substtundo a solução aproxmante û N no lado esquerdo da equação (3.) a dferença ( u ) f A ˆ N será não nula e denomnada resíduo da aproxmação, ou sea, R A N ( uˆ ) f = A c φ f N = φ. (3.4)

55 7 Note que o resíduo R é uma função da posção assm como dos coefcentes c. No Método de Resíduos Ponderados, como o nome sugere, os parâmetros c são determnados forçando-se o produto nterno do resíduo ser zero através da função peso escolhda adequadamente, ou sea, (, R) = ψ ( Ω) R ( Ω, c ) dω = (, N ) ψ =,...,, (3.5) Ω onde Ω é o domíno de defnção do problema e ψ são as funções peso ou funções de ponderação, e em geral, podem ser dferentes das funções aproxmantes φ. Os requermentos em φ e φ para o método dos resíduos ponderados são dferentes daqueles do método de Raylegh-Rtz. Neste método os coefcentes da aproxmação são determnados usando a forma fraca do problema e é equvalente a mnmzação de um funconal quadrátco. A formulação do Método de Raylegh-Rtz, que é baseado na forma fraca de uma equação dferencal, é descrto abaxo por um problema varaconal lnear. Consdere o problema varaconal encontrado na solução de u tal que ( w u) l( w) B, = (3.6) onde o funconal B é blnear e smétrco, l é lnear, o problema em (3.6) é equvalente à mnmzação do funconal quadrátco.

56 7 I =. (3.7) ( u) B( u, u) l( u) No método de Raylegh-Rtz, procura-se uma aproxmação da solução para (3.6) na forma de séres fntas. N φ = u N = φ c, (3.8) onde as constantes c, chamados de coefcentes de Rtz, são escolhdas tal que ( =, N ) w = φ,...,. A -ésma equação algébrca é obtda pela substtução de φ por w. N B, c φ φ φ = l( ) ( =,,,..., N ) φ. (3.) = Para uma forma blnear e smétrca, o método de Raylegh-Rtz poderá ser vsto como aquele que procura uma solução para (3.) na qual os parâmetros são determnados pela mnmzação de um funconal quadrátco correspondente à forma blnear smétrca, que é o funconal I ( u) em (3.7). Portanto, as condções necessáras para a mnmzação de ( c c ) I,..., é,, c N é que as dervadas parcas de I em relação aos coefcentes s c ' seam nulas, toe I c =, I c =,..., I c N =. (3.)

57 73 O método de resíduos ponderados tem como base a equação (3.5). Uma vez que a formulação de ntegral ponderada (3.5) não nclu qualquer especfcação de condções de frontera pode-se requerer que u N em (3.3) satsfaça as condções de frontera do problema. Consequentemente, φ é requerdo satsfazer todas as condções de frontera, e os φ são requerdas satsfazer a forma homogênea de todas as condções de fronteras especfcadas no problema. Estes requermentos nos argumentos φ e φ aumentará a ordem das funções polnomas usadas no método dos resíduos ponderados. Em geral, os φ usados neste método são funções de ordem mas alta do que as usadas no método de Raylegh-Rtz, e as funções usadas no últmo método pode não satsfazer os requermentos de contnudade do método de resíduos ponderados. Alguns casos especas de Método de Resíduos Ponderados são descrtos a segur Método de Bubnov-Galerkn Quando se escolhe a função peso ψ como sendo a própra função de nterpolação φ, o Método de Resíduos Ponderados é conhecdo como Método de Bubnov-Galerkn. As equações algébrcas de uma aproxmação de Bubnov-Galerkn são: N = K c = F, (3.) na qual

58 74 K Ω ( φ ) dω F = φ f A( φo ) Ω [ ] = φ A, dω. (3.) Nota-se que K pode não ser smétrca. No caso do operador A ser auto-adunto a matrz K da forma fraca será smétrca. O Método de Bubnov-Galerkn, normalmente é mplementado também usando-se a forma fraca da equação Método de Petrov-Galerkn. O Método de Resíduos Ponderados é denomnado como método de Petrov-Galerkn quando ψ = φ p, onde p é um termo de perturbação e sua adção vsa prncpalmente elmnar osclações do método de Bubnov-Galerkn quando aplcado para problemas convectvos domnantes. No método Petrov_Galerkn a equação resultante fca na forma N φ [ ] dω, (3.3) ( p ) A( φ ) dω c = ( φ p ) f A( φ ) = Ω Ω ou N = A c = F. (3.4) Note que a matrz A de coefcentes é não smétrca:

59 75 A ( p ) A( ) dω A = φ φ, (3.5) Ω na qual o termo de perturbação pode ser calculado como p = A v, (3.6) ( Uψ ) onde A depende do número de Peclet defndo no elemento e do passo de tempo, Swamnathan & Voller () Método de colocação No método de colocação, busca-se uma solução aproxmante û N de forma que o resíduo da equação (3.4) sea nulo para N pontos seleconados ( x, y, z ) ( =,,..., N ) domíno Ω : Ω no R ( x, y, z, c ) ( =,,..., N ) =. (3.7) A seleção dos ponto x é crucal na obtenção de um sstema bem condconado de equações e também na obtenção de soluções precsas. O método de colocação pode ser mostrado ψ, onde ( x) como sendo um caso especal de (3.5) com = δ ( x x ) que é defnda por δ é o função Delta de Drac,

60 76 ( x) δ ( x ξ ) dω f ( ξ ) f =. (3.8) Ω Com esta dada função peso, a ponderação do resíduo torna-se Ω ( Ω Ω ) R ( Ω, c ) dω = δ, (3.) ou ( Ω, c ) = R. (3.) Pode-se verfcar que o método de colocação por pontos é smlar ao método de Dferenças Fntas Método de subdomíno Neste método, o domíno do elemento para o -ésmo subdomíno e Ω é dvddo em n subdomínos. A função peso e Ω é defnda untára sobre o subdomíno e zero fora dele, ou sea, e para x Ω ψ ( x) =. (3.) e para x Ω Assm, obtém-se R dω = ou Ω e

61 77 N = e Ω [ ( ) f ] dω = A φ. (3.) O método de subdomíno é equvalente ao Método de Volumes Fntos ou a alguma combnação de elementos fntos com volumes fntos (CVFEM). Um método deste tpo fo mplementado por Campos-Slva (8) Método de Mínmos Quadrados Neste método, determna-se o parâmetro c pela mnmzação de um funconal defndo como a ntegral do resíduo ao quadrado, I = R ( Ω, c ) dω Ω relação aos parâmetros desconhecdos c requer. A mnmzação do funconal em c ( Ω, c ) R dω =, (3.3) Ω ou Ω R c R dω =. (3.4) Comparando (3.4) com (3.5) conclu-se que ψ = R c. Se A é um operador lnear, ψ = A( φ ) e equação. (3.4) torna-se

62 78 N [ A( ) A( φ ) dω ] c = A( φ ) f A( φ ) = Ω Ω [ ] φ dω, (3.5) ou N = A c = F, (3.6) onde A [ ] ( φ ) A( φ ) dω = A( φ ) A( φ ) dω = A, F = A( φ ) f A( φ ) = A dω. (3.7) Ω Ω Ω Note, que no caso do LSFEM Least Squares Fnte Element Method, A = A, assm a matrz será smétrca e postva defnda; pos A ( φ ) Ω = A d Ω será sempre postvo. O método de elementos fntos de mínmos quadrados a ser utlzado neste trabalho será desenvolvdo para operadores dferencas de prmera ordem, através do uso de varáves auxlares. Entretanto, a forma fnal da matrz dos coefcentes será a mesma da equação (3.7).

63 FORMULAÇÃO u-p-ω Dscretzação no tempo Para aplcação do LSFEM para problemas transentes é convenente dscretzar prmeramente o termo de dervada parcal em relação ao tempo. As equações que serão resolvdas neste trabalho são equações parabólcas no tempo, ou sea, equações de prmera ordem no tempo. Usando o método θ, a dscretzação do termo transente pode ser feta na forma φ = t n {} φ {} φ t n n = ( θ ) φ t n φ θ t n, para θ, (3.8) no qual t = t n n t n é o (n )-ésmo passo no tempo e n =,..., N. Pela equação (.66) φ * t = f A ( φ ). Para os dferentes valores de θ, obtém-se os seguntes esquemas de ntegração numérca conhecdos, Reddy (3):

64 8 = = ) ( esquema de dferenças para frente (estável);, ) ) (( método de Galerkn (estável);, ) ) (( Ncolson (estável); esquema Crank -, ) ( ordem de precsão trás (ou Euler) - condconalmente estável esquema de dferenças para, 3 t O t O t O t O θ Substtundo a equação (.66) na equação (3.8), obtém-se ( )[ ] ( )[ ] * * ) ( ) ( = n n n n n A f A f t φ θ φ θ φ φ (3.) A equação (3.) pode ser rearranada na segunte forma ( )[ ] ( )[ ] ( ) n n n n n n f f A t A t ) ( ) ( ) ( * * θ θ φ θ φ φ θ φ =. (3.3) A varável φ pode ser nterpolada, dentro de um elemento fnto, na forma Φ Φ Φ = Ne Ne e N N N M K,,, φ. (3.3) na qual N são as funções de nterpolação e os Φ são os valores nodas da varável φ num elemento. O sstema de equações (3.3) pode ser escrto na segunte forma compacta

65 8 ( ) f A = φ, (3.3) onde o operador dferencal A aplcado numa função ( ) Z Y X N,, fca na forma ( ) n n n N A t A Z N A Y N A X N A N A = 4 3 θ θ, (3.33) onde [ ] z y x t T P W V U Ω Ω Ω =,,,,,, φ, (3.34) = A, (3.35)

66 8 = e e n U U U A ν ν, (3.36) = e e n V V V A ν ν, (3.37) = 3 W W W A e e n ν ν, (3.38)

67 83 = 4 A, (3.3) e ) ( ) ( * n n n A t A f φ φ θ =, (3.4) na qual φ φ φ φ φ 4 3 * ) ( A Z A Y A X A A n n n n n =. (3.4) Se e φ for uma solução aproxmada para φ num elemento, pode-se defnr o vetor R de resíduos como f A R e e = φ. (3.4) Para aplcação do método de elementos fntos de mínmos quadrados, defne-se um funconal num elemento como na equação (3.43)

68 84 I e Ω T = e R R dω. (3.43) A base do método de elementos fntos de mínmos quadrados consste na mnmzação do funconal defndo na equação (3.43) e, consequentemente, requer que a prmera varação desse funconal sea nula, sto é, e δ I =, (3.44) resultando, então δ R T R dω =, (3.45) Ω e na qual a prmera varação do resíduo é defnda a partr da equação (3.4) como ( δ φ ) δ R = A. (3.46) Substtundo as equações (3.4) e (3.46) em (3.45), tem-se Ω e A T e e e ( φ )[ A( φ ) f ] dω = δ, (3.47) onde o vetor de ncógntas é nterpolado na forma:

69 85 [ ]{ Φ} e φ = N, (3.48) e portanto a prmera varação de e φ é da forma e δ φ [ N ]{ Φ} = δ, (3.4) nas quas [N], {Φ} são a matrz de funções de nterpolação e o vetor de valores nodas das ncógntas. Se um elemento for defndo por Nn pontos nodas com ndof graus de lberdade por nó, a equação (3.48) também pode ser reescrta como Φ Nn Φ e φ = N. (3.5) = M Φ ndof Usando as equações (3.48) e (3.4), a equação (3.47) pode ser reescrta como Ω e T e [ A ( N) ( A( N) { Φ} f )] dω = δ Φ. (3.5) Para δ Φ arbtráro e dferente de zero

70 86 e Ω T T [ A N) ] [ A( N)] dω{ Φ} = [ A( N) ] { f } dω (. (3.5) e Ω Adconando coletvamente a contrbução de todos os elementos resulta um sstema algébrco de equações, que pode ser escrto na forma matrcal a segur K Φ = F, (3.53) onde K é a matrz dos coefcentes, Φ são as varáves desconhecdas e F são os termos fontes. A matrz dos coefcentes e o vetor dos termos fontes são obtdos a partr da montagem de todos os elementos, ou sea, K = Nelem e= K e Nelem, F = F e= e, (3.54) na qual K e T e [ A( N) ] [ A( N)] Ω, = T F [ A N) ] { f } dω Ω = Ω d e e (, (3.55) n n n e com a substtução de Ao, A A A3 A4 na equação (3.4),,,

71 87 a a4 a6 a7 a a4 a5 a7 a 33 a34 a35 a36 = a45 a46 a47 A, (3.56a) a 5 a53 a55 a6 a63 a66 a 7 a7 a77 a8 a8 a83 [ ( N) ] N N N N a = a = a33 = θ U V W, (3.56b) t X Y Z a N = θ X 4, a N = θ Y 4, N a34 = θ, (3.56c) Z a N = θ ν e Z 6, N a7 = θν e, (3.56d) Y a N = θν e Z 5, N a7 = θ ν, (3.56e) e X a N = θ ν e Y 35, N a36 = θν, (3.56f) e X N a45 = a7 = a63 = a8 =, X N a46 = a53 = a7 = a8 =, (3.56g) Y

72 88 Z N a a a a = = = = , (3.56h) N a a a = = = (3.56) ( ) ( ) ( ) Ω Ω Ω Ω Ω Ω = Y X Z P Z W W Y W V X W U X Z Y P Z V W Y V V X V U Z Y X P Z U W Y U V X U U t W f t V f t U f f x y e t z x e t y z e t n z n y n x ν θ ν θ ν θ. (3.57) FORMULAÇÃO u-p-τ As equações (.63) (.65) dscretzadas no tempo podem ser escrtas como ( ) ( ) n t n t n n n S X X P X U U X X P X U U t U U = τ θ τ θ, (3.58) = n n t X U X U Re ν τ, (3.5)

73 8 = n X U. (3.6) Smlar ao que fo feto no tem 3.3, tem-se que ( ) n n n N A t A Z N A Y N A X N A N A = 4 3 θ θ, (3.6) onde, neste caso as matrzes A s são: = A, (3.6) = e e e n U U U A ν ν ν, (3.63)

74 = e e e n V V V A ν ν ν, (3.64) = 3 e e e n W W W A ν ν ν, (3.65) = 4 A, (3.66) [ ] zz yz yy xz xy xx T P W V U τ τ τ τ τ τ φ,,,,,,,,, =, (3.67)

75 e ) ( ) ( * n n n A t A f φ φ θ =, (3.68) ( ) φ φ φ φ φ 4 3 * A Z A Y A X A A n n n =. (3.6) Pode-se escrever as equações (3.58) - (3.6) na forma de matrz de um sstema de prmera ordem smlar àquele defndo na equação (3.3) na qual, agora, [ ] = ) ( a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a N A, (3.7a) = = = Z N W Y N V X N U t N a a a θ 33, X N a a a a = = = = θ , (3.7b)

76 Y N a a a a = = = = θ , Z N a a a a = = = = θ , (3.7c) X N a e = ν 4, Y N a e = ν 7, Z N a e = ν 3, (3.7d) N a a a a a a = = = = = = , (3.7e) Y N a a e = = ν 83 5, X N a a e = = ν 63 5, Z N a a e = = ν 8 6, (3.7f) X N a =, Y N a =, Z N a = 3, (3.7g) ( ) ( ) ( ) = Z Y X Z P Z W W Y W V X W U Z Y X Y P Z V W Y V V X V U Z Y X X P Z U W Y U V X U U t W f t V f t U f f zz yz xz e yz yy xy e xz xy xx e n z n y n x τ τ τ ν θ τ τ τ ν θ τ τ τ ν θ. (3.7)

77 DISCRETIZAÇÃO DO DOMÍNIO Uma das etapas na mplementação do método de elementos fntos é a subdvsão do domíno de cálculo em subdomínos, denomnados de elementos, que podem ser elementos trangulares, quadrláteros entre outros, formando uma malha. Cada elemento é defndo geometrcamente por um conunto de pontos nodas, ou smplesmente nós, onde geralmente são também alocadas as varáves ncógntas. Normalmente, é feta uma numeração local em cada elemento ncando em e fnalzando no número de nós que defne o elemento, por exemplo, N n. Globalmente, é feta a numeração de todos os nós da malha, ncando em e termnando no número total de nós da malha, Npon. Neste processo são defndas as coordenadas dos nós e a nter-relação entre a numeração local dos nós em cada elemento e a numeração global. Uma matrz contém a nformação do número do elemento e da numeração global dos respectvos nós locas no elemento, formando o que se chama de conectvdade. Como pode haver mas de uma ncógnta por nó, como é o caso de escoamentos de fludos, faz-se uma dentfcação adconal das varáves em todos os nós da malha. Se ndof for o número de graus de lberdade ou de varáves por nó, o número total de varáves será, Ntotv, gual ao produto Npon (número total de nós da malha) por ndof. Para a dscretzação de domínos bdmensonas pelo método de elementos fntos, os tpos de elementos mas utlzados são trângulos e/ou quadrláteros. Para contornos rregulares os elementos mas utlzados são elementos trangulares. Elementos quadrlateras também são utlzados mas devem ser deformados em contornos curvos para mnmzar erros de dscretzação do domíno. Em alguns casos pode-se utlzar os dos tpos de elementos conuntamente. As Fguras (3.) e (3.) lustram elementos bdmensonas lneares e quadrátcos respectvamente.

78 4 Para dscretzação de domínos trdmensonas pelo método de elementos fntos, os tpos de elementos utlzados são tetraedros ou hexaedros. As Fguras (3.3) e (3.4) lustram elementos trdmensonas lneares. Neste trabalho, foram testados os seguntes elementos bdmensonas: elementos trangulares com três nós, elementos quadrlateras com quatro nós, elementos quadrlateras ncompletos (oto nós), elementos quadrlateras completo (nove nós), adotando-se este últmo elemento para as smulações. (a) (b) Fgura 3.. (a) Elementos trangulares de 3 nós. (b) Elementos quadrláteros de 4 nós. (a) (b) Fgura 3.. (a) Elementos quadrláteros de nós. (b) Elementos trangulares de 6 nós.

79 5 Fgura 3.3. Elemento tetraedro de 4 nós. Fgura 3.4. Elemento hexaedro de 8 nós FUNÇÕES DE INTERPOLAÇÃO, INTEGRAÇÃO DAS EQUAÇÕES NOS ELEMENTOS A forma matrcal do método de elementos fntos fo apresentada no tem 3.3. As matrzes de coefcentes nos elementos e o vetor dos termos fontes foram defndos pelas

80 6 Equações (3.56), (3.57) para a formulação u p ω ou (3.7) e (3.7) para a formulação u p τ respectvamente. Para obter os coefcentes das matrzes, é necessáro defnr as funções de nterpolação e efetuar ntegrações numércas. As ntegrações são fetas usando quadratura de Gauss. O número de pontos de Gauss depende da ordem dos polnômos nos ntegrando e sto é de fundamental mportânca no LSFEM Funções de nterpolação As funções de nterpolação podem ser encontradas em váras referêncas sobre elementos fntos. As funções apresentadas nas Tabelas 3. são para elementos trangulares de três nós as Tabelas 3. a 3.4 são para elementos quadrlateras bdmensonas e foram extraídas de Dhatt & Touzot (84). Tabela 3.. Funções de nterpolação e suas dervadas para elemento com 3 nós α N α N ξ N η α α ξ η 3 ξ η

81 7 Tabela 3.. Funções de nterpolação e suas dervadas para elemento com 4 nós α 4 4 N α ξ 4 N α η Nα ( ξ )( η) ( η) ( ξ ) 3 4 ( ξ )( η) ( η) ( ξ ) ( ξ )( η) ( η) ( ξ ) ( ξ )( η) ( η) ( ξ )

82 8 Tabela 3.3. Funções de nterpolação e suas dervadas para elemento com 8 nós α N α N ξ N η α α ( ξ )( η)( ξ η) ( η )( ξ η) ( ξ )( ξ η ) ( ξ )( η) ( η )ξ ξ ( ) 3 ( ξ )( η)( ξ η) ( η )( ξ η ) ( ξ )( ξ η ) ( ξ )( η ) ( η ) ( ξ )η 5 ( ξ )( η)( ξ η) ( η )( ξ η ) ( ξ )( ξ η ) 6 ( ξ )( η) ( η)ξ ξ ( ) 7 ( ξ )( η)( ξ η) ( η )( ξ η) ( ξ )( ξ η ) ( ξ )( η ) ( η ) ( ξ )η

83 Tabela 3.4. Funções de nterpolação e suas dervadas para elemento com nós α N α N ξ N η α α ( ξ )( η) ξη ( ξ )( η) η ( ξ )( η ) ξ ( ξ )( η) η ( η ) ξη ( ξ )( η ) 3 ( ξ )( η) ξη ( ξ )( η) η ( ξ )( η ) ξ ( ξ )( η ) ξ ( ξ )( η ) ( ξ )ξη 5 ( ξ )( η) ξη ( ξ )( η) η ( ξ )( η ) 6 ( )( ) ξ ξ η η ( η )ξη ( ξ )( η ) 7 ( ξ )( η) ξη ( ξ )( η) η ( ξ )( η ) ξ ( ξ )( η ) ξ ( ξ )( η ) ( ξ )( η ) ( ξ ) ξη ( η )ξ ( ξ )η

84 As equações foram dscretzadas para domínos bdmensonas trangulares com 3 ou 6 nós ou por quadrláteros de quatro, oto ou nove nós. Após alguns testes prelmnares, optou-se por usar o elemento de nove pontos nodas Cálculo das matrzes nos elementos Afm de facltar o processo de ntegração, cada elemento do domíno é mapeado num elemento de referênca denomnado de elemento mestre, Fgura 3.5. Em coordenadas locas os comprmentos dos lados do elemento são duas undades. Normalmente, aparecem dervadas das varáves nas coordenadas globas. Estas dervadas devem ser transformadas para dervadas em coordenadas locas como será descrto a segur. O mapeamento defne funções do tpo x = x( ξ, η) e y = y( ξ, η), assm, pode-se calcular dervadas nas novas coordenadas como N N = ξ x x N ξ y y, (3.7) ξ N N = η x x N η y y, (3.73) η que pode ser escrto numa forma mas convenente,

85 [ ] = = y N x N J y N x N y x y x N N η η ξ ξ η ξ. (3.74) A matrz [ ] J é denomnada de Jacobano da transformação. Invertendo [ ] J para achar a varação global na função de forma, pode-se reescrever (3.74), [ ] = η ξ N N J y N x N, (3.75) onde [ ] J é a nversa da matrz Jacobana e pode ser escrta também [ ] = = ξ η ξ η η ξ η ξ x x y y J y x x J det y, (3.76) ξ η η ξ = y x y x J det, (3.77) onde J det é o determnante de [ ] J, também defndo como J.

86 O cálculo das matrzes é feto elemento por elemento e depos pode-se montar a matrz global para solução ou pode-se optar por uma solução por blocos como é o caso no método frontal adotado. A Fgura 3.5 lustra um mapeamento. y η ξ x (a) (b) Fgura 3.5 (a) Elemento em coordenadas globas, x-y. (b) Elemento mapeado no elemento mestre em coordenadas locas, ξ-η. Para calcular as matrzes nos elementos resolve-se as ntegras nos elementos usando quadratura de Gauss. Consdere a matrz num elemento, Ω ( N ) A( N ) e T K = e A dω. (3.78) No caso bdmensonal, em coordenadas globas

87 3 Ω ( N ) A( N ) e T K = e A dx dy. (3.7) Introduzndo lmtes explíctos de ntegração e fazendo a transformação para o elemento de referênca tem-se: K e = A T ( N ) A( N ) J dξ dη. (3.8) onde J é o determnante de J. Para um elemento sto pode ser escrto, em termos das coordenadas locas como K e = f ( ξ η) dξ dη,, (3.8) que pode ser ntegrada usando técncas de ntegração numérca. O procedmento de ntegração numérca adotado fo a quadratura de Gauss-Legendre, na qual as ntegras são aproxmadas por somatóros de coefcentes peso multplcados por valores das funções do ntegrando em pontos denomnados pontos de Gauss. Em partcular, esta técnca é usada prncpalmente pela alta precsão. A regra da quadratura Gaussana, para uma ntegral undmensonal conduz a equação na forma, I = f = m ( ) dξ = W f ( ξ ) ξ, (3.8) =

88 4 onde m número total de pontos de Gauss W fator de peso ξ - coordenada do -ésmo ponto de Gauss. A equação (3.8), K e = f ( ξ η) dξ dη, pode ser rearranada na forma K e = f,, (3.83) ( ξ η) dξ dη e com uso da equação (3.8) resulta K e = m = W F ( ξ η) dη,, (3.84) e novamente aplcando a equação (3.8), obtém-se os coefcentes da matrz do elemento na forma: K e Ng Ng Ig = Jg = Ig Jg ( ξ, η ) W W f, (3.85) Ig Jg ou, alternatvamente, numa forma mas compacta como

89 5 K e NGauss IGauss W IGauss f ( η ) ξ,, (3.86) IGauss IGauss na qual W = W W, (3.87) IGauss Ig Jg N = N N. (3.88) IGauss Ig Jg As matrzes nos elementos são calculadas a cada teração, uma vez que os coefcentes são não lneares devdo aos termos convectvos e vscosdade turbulenta. Para reduzr o tempo computaconal utlza-se a smetra que é uma grande vantagem no método de mínmos quadrados. O termo fonte também pode ser ntegrado da mesma forma. Então, e Ω ( N ) e T F = A f dω. (3.8) No caso bdmensonal tem-se e Ω ( N ) e T F = A f dx dy. (3.) Reorganzando a equação (3.) tem-se,

90 6 ( N ) e T F = A f J dξ dη. (3.) Neste trabalho adotou-se três pontos de Gauss em quadrláteros de quatro nós e nove pontos de Gauss em quadrláteros de nove nós SOLUÇÃO DO SISTEMA DE EQUAÇÕES DISCRETIZADAS O método adotado neste trabalho fo o método frontal, descrto por Taylor & Hughes (8). O método frontal consste num método de elmnação de Gauss localmente no elemento e tem sdo utlzado em város solver de elementos fntos. O prncpal obetvo neste método é a elmnação de varáves após sua ntrodução, va equações apropradas, dentro da matrz global. Após todas as contrbuções de todos os elementos para um nó partcular terem sdo montadas, as varáves correspondentes e assocadas com aquele nó podem ser elmnadas. Sendo assm a matrz completa nunca é montada, e tem-se em vsta que todas as equações reduzdas podem ser elmnadas da memóra e armazenadas no dsco. As equações mantdas na memóra, com os nós e varáves correspondentes são denomnadas fronte e o número de varáves desconhecdas dentro do fronte é denomnado largura do fronte. A largura do fronte muda contnuamente pos uma vez que todas as contrbuções para um nó tenham sdo completamente somadas, então a redução da equação correspondente baseada no pvoteamento dagonal pode ser executada. Exstem versões do método frontal para matrzes smétrcas, nas quas, apenas, a trangular superor da matrz é armazenada em qualquer tempo. No caso do presente trabalho, entretanto, utlzou uma rotna desenvolvda por Taylor & Hughes (8) para matrzes não smétrcas. Uma área de memóra

91 7 pré assnalada para a matrz global é preenchda de contrbuções de elementos; a maor entrada dagonal nesta área pré assnalada de memóra é encontrada e usada como pvô num processo de elmnação dreta de Gauss. Quando o número máxmo pré determnado de equações são elmnadas, as equações reduzdas correspondentes são escrtas no dsco e mas elementos e equações correspondentes ntroduzdos na memóra. O requermento mínmo de memóra para matrzes assmétrcas é quase duas vezes aquele requerdo para matrzes smétrcas. As equações, nós e varáves correntemente na memóra são denomnados atvos, aqueles guardados em dsco são denomnados desatvados e aqueles para serem anda ntroduzdas na memóra são denomnados natvos. Isto é mostrado esquematcamente na Fgura 3.6. Fgura 3.6 Defnção de fronte e nomenclatura usada no método frontal A seqüênca de solução é como descrta a segur. Exste uma rotna denomnada de FRONTS, que chama uma rotna denomnada de MATRIX, onde as matrzes de cada elemento são formadas. Uma vez que as contrbuções de todos os elementos tenham sdo somadas, ncase um processo de substtução para trás.

92 8 Como o método de mínmos quadrados gera uma matrz smétrca e postva defnda não é necessáro calcular a matrz completa e sm metade dela sendo muto vantaoso porque dmnu o tempo computaconal. Para se dentfcar cada varável utlza-se dos vetores: um que contém o número de graus de lberdade por nó, denomnado NODFM, e outro que dentfca o número do prmero grau de lberdade em cada nó, chamado NADFM. Na solução das equações do movmento, o prmero grau de lberdade corresponde à componente de velocdade U, o segundo grau de lberdade correspondente a velocdade V, o tercero à pressão P e o quarto grau de lberdade corresponde à vortcdade Ω. Cada nó local num elemento é dentfcado por um número global que é dado pela matrz de conectvdade defnda quando se gera a malha. O crtéro de convergênca, baseando em Taylor e Hughes (8), é defndo como k φ k φ k φ ε. (3.) O valor de ε pode ser defndo de acordo com o grau de precsão que se desea na solução onde φ representa cada varável dentro do sstema global e k é a teração no processo de solução. Em cada teração a nova varável é atualzada usando um fator de relaxação na forma: ~ k k k ( relax) φ, < relax < φ = relax φ. (3.3) O fator de relaxação, geralmente é tomado como varando de,5 à,. Alternatvamente, k k também se usou φ φ tol como crtéro de parada.

93 3.8 - ESTRUTURA DO PROGRAMA COMPUTACIONAL Neste tem descreve de forma breve as prncpas rotnas do códgo computaconal, lustrado na Fgura 3.7: ) DIMENS Nesta subrotna defne-se as dmensões máxmas da matrz de conectvdade, o tamanho do fronte bem como o número máxmo de varáves (o número total de varáves é calculado na subrotna DINPUT). Pode ser modfcada para defnr um dmensonamento dnâmco das matrzes e vetores usados no programa. ) DINPUT Todos os dados tas como: coordenadas e numeração dos pontos nodas, numeração dos elementos na matrz de conectvdade, condções de contorno e ncas, propredades físcas do fludo são ldos nesta subrotna. Os vetores contendo o número de graus de lberdade por nó e o número global do prmero grau de lberdade por nó são também defndos nesta rotna. Nesta subrotna é também feta a verfcação da malha bem como de outros parâmetros de entrada através das subrotnas DIAGN (checagem de dmensões e propredades) e DIAGN (checagem de coordenadas e da matrz de conectvdade).

94 3) DRIVES Nesta subrotna calcula-se as funções de nterpolação e suas dervadas em todos os pontos de Gauss dentro do elemento de referênca onde as ntegrações são realzadas, através da subrotna SHAPEG. Estes dados são armazenados em arquvos no dsco rígdo e são ldos no cálculo das matrzes dos elementos. 4) ITERAT Esta subrotna faz a chamada da subrotna prncpal FRONTS para solução do problema e controla a convergênca do processo teratvo através da subrotna TOLREL. Os resultados são mpressos pela subrotna WRITER. A subrotna FRONTS formula a matrz global, mpõe as condções de contorno e resolve os sstema resultante de equações usando o método frontal não smétrco de soluções. FRONTS chama a subrotna MATRIX que calcula as matrzes dos elementos de acordo com o modelo numérco proposto e o vetor do lado dreto do sstema de equações. MATRIX por sua vez chama váras outras subrotnas para cálculo dos város termos das equações. 5) MATRIX As matrzes de coefcentes para cada elemento e o vetor global do lado dreto do sstema global são montados na subrotna MATRIX. Esta rotna utlza os vetores NADFM e NODFM crados na rotna DINPUT para a localzação correta dos coefcentes na matrz e

95 vetores globas. A matrz de coefcentes num elemento são montadas a partr das matrzes nodas. 6) AMATRK As matrzes de coefcentes em cada nó são calculadas na subrotna AMATRK através de laços: α =, NNODP e β = α, NNODP que varrem os nós do elemento. Em cada nó a matrz local terá dmensão ndof por ndof (número de graus de lberdade por nó). 7) ELKMAT Nesta subrotna ELKMAT procede-se a ntegração usando a regra de Gauss. Esta rotna recebe de AMATRK as matrzes e o termo fonte no nó e os organza em uma matrz do elemento que tem dmensão [Nn x ndof] x [Nn x ndof] e organza também o termo fonte no elemento. Após a matrz e o termo fonte no elemento serem organzados, ELKMAT retorna estes para AMATRK. A subrotna DJACOB, chamada em váras subrotnas, calcula o Jacobano da transformação das ntegras no elemento real para o elemento de referênca. A estrutura básca do programa fo baseada no trabalho de Campos-Slva (8). Introduzu-se novos módulos como o da vscosdade turbulenta (VISTUR), AMATRK e ELKMAT.

96 PROGRAMA PRINCIPAL DIMENS DINPUT DRIVES ITERAT DIAGN DIAGN FRONTS WRITER SHAPEG TOLREL MATRIX AMATRK DJACOB VISTUR ELKMAT TFONTE Fgura 3.7. Estrutura do programa computaconal

97 CAPÍTULO ESCOAMENTO NUMA CAVIDADE QUADRADA D INDUZIDO PELO MOVIMENTO DA PAREDE SUPERIOR. Neste capítulo são apresentados alguns resultados para a valdação do códgo computaconal e avalação do modelo numérco. Os problemas analsados são de escoamentos com números de Reynolds baxos e altos, de modo que os efetos da turbulênca são levados em consderação através da metodologa de smulação das grandes escalas com a vscosdade turbulenta calculada pelo modelo de Smagornsky. O caso smulado, aqu, fo o de escoamento numa cavdade quadrada nduzdo pelo movmento da parede superor. O obetvo prncpal deste teste fo o de verfcar o funconamento do programa numérco e a modelagem proposta na formulação velocdade-pressão-vortcdade; além de verfcar o comportamento do elemento quadrlateral quadrátco de nove nós, no método de elementos fntos de mínmos quadrados. Apesar da formulação ter sdo desenvolvda

98 4 consderando o termo transente, em todos os casos fo smulado dretamente o regme permanente fazendo-se o passo de tempo nfnto. Para valdação do modelo proposto, fo escolhdo o problema clássco e amplamente explorado da cavdade com tampa deslzante. Foram fetos alguns testes de malha e da constante de Smagornsky. Para solução do sstema matrcal fo usado o método frontal, Taylor & Hughes (8). Outros tpos de solver que levam em conta a natureza smétrca e postva defnda da matrz K poderam ter sdo usados, mas não houve tempo hábl para mplementá-los. A Fgura 4. lustra a geometra e condções de contorno adotadas. Nenhuma condção de contorno fo especfcada para a varável vortcdade, segundo Jang (8). Os termos advectvos foram lnearzados de forma teratva. As condções de contorno são: U = V = em X = e X =, U = V = em Y =, U = ; V = em Y =. Como o escoamento é consderado ncompressível basta defnr a pressão em um únco ponto do domíno. Assm, fo defnda a pressão P = em X =,5; Y =.

99 5 (,) (,) (,) Fgura 4. - Geometra e condções de contorno. A Fgura 4. mostra algumas das malhas utlzadas. São malhas regulares, não unformes, geradas através do software Ansys 5.. Os números de Reynolds consderados nas smulações foram, 4,,, 3, 5 e respectvamente. Os resultados mostrados nas fguras a segur são para perfl de velocdade U em função de Y com X=,5 fxo e para o perfl de velocdade V em função de X com Y=,5 fxo. Incalmente, as smulações foram fetas usando elementos trangulares na formulação velocdade-pressão-vortcdade, mas como os resultados obtdos não foram satsfatóros, as smulações por elementos trangulares foram abandonadas. Segundo nformações de alguns autores, elementos trangulares não produzem bons resultados com o método de elementos fntos de mínmos quadrados na formulação velocdade-pressão-vortcdade; conduzndo ao chamado problema de lock, ou sea, não se consegue reduzr o resíduo abaxo de um certo valor na equação da vortcdade. Depos foram testados elementos quadrlateras lneares. A maora dos trabalhos pelo LSFEM utlza elementos quadrlateras lneares.

100 6 Aplcações do elemento de nove nós foram encontradas nos trabalhos de Wnterschedt & Surana (4), mas com refnamento p da malha, não usando funções de nterpolação de Lagrange como no presente trabalho. a) malha de por elementos b) malha de 4 por 4 elementos Fgura 4. Cavdade quadrada dscretzada em dferentes malhas. As Fguras 4.3 a 4.6 mostram resultados para componentes de velocdade U e V para números de Reynolds 4 e com malha de por elementos blneares ( por pontos nodas) com quatro nós, com um número total de nós de ; sem uso de modelo de turbulênca. Os resultados foram comparados com resultados de Gha et. al., (8). Pode-se observar a dscordânca entre os resultados, que pora com o aumento do número de Reynolds. Após os testes ncas com malhas de trângulos e quadrláteros lneares, testou-se elementos