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1 Paper CIT-673 SOLUÇÃO DE ESCOAMETOS ICOMPRESSÍVEIS COM TRASFERÊCIA DE CALOR UTILIZADO O MÉTODO DOS VOLUMES FIITOS BASEADO EM ELEMETOS FIITOS COM MALHAS ÃO-ESTRUTURADAS André Luíz de Souza Araúo Unversdade Federal do Ceará, Centro de Tecnologa Departamento de Engenhara Mecânca e de Produção Bloco 7, Campus do Pc CEP.: Caxa Postal:. Fortaleza CE arauoals@yahoo.com José Mauríco Alves de Matos Gurgel Unversdade Federal da Paraíba. Centro de Tecnologa. Departamento de Tecnologa Mecânca CEP: Caxa Postal: João Pessoa PB gurgel@les.ufpb.br Francsco Marcondes Unversdade Federal do Ceará, Centro de Tecnologa Departamento de Engenhara Mecânca e de Produção Bloco 7, Campus do Pc CEP.: Caxa Postal:. Fortaleza CE marconde@dem.ufc.br Resumo: Escoamentos ncompressíves apresentam dversas dfculdades de serem resolvdos quando tratados por procedmentos segregados, como, por exemplo, a escolha do passo de tempo ótmo, o qual é muto dependente da malha empregada. Este trabalho apresenta a solução do escoamento da convecção natural em geometras arbtráras utlzando uma metodologa de volumes fntos baseada em elementos fntos, com arrano co-localzado das varáves. As equações da conservação da quantdade de movmento e da contnudade são resolvdas smultaneamente, de modo a se evtar o acoplamento pressão-velocdade, e a equação da energa é resolvda separadamente após o campo de velocdade e pressão ter sdo obtdo. Apesar da metodologa adotada poder ser utlzada na solução de problemas transentes, apenas a solução de regme permanente fo abordada. Os resultados são apresentados em termos de perfs de velocdade e temperatura ao longo da cavdade. Palavras-chave: método dos volumes fntos baseado em elementos, malhas não-estruturadas, solução acoplada.. Introdução Escoamentos ncompressíves podem ser resolvdos empregando-se metodologas segregadas ou acopladas. o prmero caso, as equações de conservação (quantdade de movmento e contnudade) são resolvdas separadamente, de modo que a cada ncógnta do problema (componentes u e v da velocdade e pressão p, no caso bdmensonal) é assocada uma equação evolutva: conservação da quantdade de movmento em x e y para u e v, respectvamente, e equação da contnudade para p. este caso, exste um forte acoplamento entre os campos de velocdade e de pressão, uma vez que se deve dspor de uma equação evolutva para a pressão que produza um campo de pressão que quando nserdo nas equações de quantdade de movmento orgne velocdades que satsfaçam também a equação de conservação da massa, Patankar (98), Malska (). Além dsso, tas formulações apresentam dfculdades quanto a determnação do passo de tempo ótmo que pode ser empregado. Mesmo em problemas em regme permanente, em que, em prncípo, este parâmetro não é mportante, exste uma faxa de valores que podem ser utlzados a fm de que se consga a convergênca do programa de cálculo, Marcondes et al. (998). Este valor geralmente é determnado em um processo de tentatva e erro, sendo altamente dependente da malha empregada. Uma alternatva nteressante é o uso de formulações acopladas, em que as equações governantes são resolvdas smultaneamente, o que, obvamente, elmna a questão do acoplamento pressão-velocdade. Outra vantagem é que tas metodologas não sofrem de restrções quanto ao passo de tempo empregado.

2 Este trabalho apresenta a solução do problema de convecção natural em cavdades retangular e hexagonal, empregando o Método dos Volumes Fntos Baseado em Elementos Fntos, conhecda na lteratura nternaconal como Control Volume Fnte Element Method (CVFEM). Esta formulação, desenvolvda por Raw (985), resolve as equações de conservação de forma smultânea e combna característcas de dos outros esquemas clásscos: Volumes Fntos e Elementos Fntos. Deste modo, as equações dscretzadas são obtdas a partr de balanços em volumes elementares e o esquema apresenta a capacdade de tratar geometras complexas va malhas não-estruturadas. Os campos de velocdade e de pressão são obtdos smultaneamente. O campo escalar (no caso, a temperatura T) é obtdo após a determnação dos campos de velocdade e de pressão. Os resultados serão apresentados em termos de perfs de velocdade e pressão para números de Raylegh varando de a 6.. Modelo matemátco As equações da conservação da massa, da quantdade de movmento e da energa para o escoamento bdmensonal, ncompressível e lamnar podem ser escrtas como, t t ( ρu ) = ( ρu ) + ( ρu u ) = + µ + + su p u x ( ρt ) + ( ρu T ) = + st k c p T u () () (3) onde e varam de a (para o caso -D), ρ é a massa específca, µ é a vscosdade, u e v são as componentes cartesanas do vetor velocdade, p é a pressão termodnâmca, T é a temperatura e s u e s T são, respectvamente, os termos fontes da equação da conservação da quantdade de movmento e da conservação da energa. Para o problema de convecção natural, adotando-se a aproxmação de Boussnesq, o termo fonte da equação da conservação da quantdade de movmento em y é dado por, ( T T ) su = sv =ρgβ () onde β é o coefcente de expansão térmca do fludo e T é a temperatura de referênca (fo adotado T =,5 por se tratar de cavdades fechadas). 3. Metodologa numérca - Método dos Volumes Fntos Baseado em Elementos Fntos Apresenta-se a segur os fundamentos do Método dos Volumes Fntos Baseado em Elementos Fntos, referencado no texto smplesmente como CVFEM (Control Volume Fnte Element Method). A descrção detalhada da metodologa pode ser encontrada em Raw (98), Raw e Schneder (986), Souza () e Araúo (). Conforme menconado anterormente, o CVFEM resolve as equações de transporte smultaneamente. Esta metodologa combna as característcas de dos esquemas clásscos, o Método dos Volumes Fntos e o Método dos Elementos Fntos, apresentando assm as vantagens de ambos: esquema estrtamente conservatvo, dscretzação das equações governantes a partr de balanços das propredades em volumes elementares (Volumes Fntos), capacdade de tratamento de geometras complexas através de malhas não-estruturadas (Elementos Fntos). A função de nterpolação para cada varável é obtda a partr da própra equação dferencal da varável em questão. Desta forma, obtém-se uma aproxmação algébrca de cada equação de transporte que representa adequadamente todos os processos físcos relevantes do problema. 3.. Dscretzação do domíno físco Bascamente, assm como no Método dos Elementos Fntos padrão, o domíno de cálculo é dvddo em regões menores, os chamados elementos. o CVFEM adotado neste trabalho os elementos são quadrláteros, em cuos vértces são armazenadas todas as varáves físcas do problema, mplcando assm em um arrano co-localzado. Em cada elemento (tratado de forma ndependente dos demas) um sstema de coordenadas local e não-ortogonal s-t é estabelecdo. As coordenadas s e t varam de a, e os nós do elemento são numerados de a (em relação ao elemento), Fg..

3 t = t y s = - s 3 t = - s = x Fgura. Defnção do elemento. O elemento é do tpo soparamétrco, ou sea, todas as varáves do problema, físcas e geométrcas, são avaladas no seu nteror em função dos seus valores nodas através da mesma relação, (, t) = ( s, t) Φ s Φ (5) = onde Φ representa uma varável qualquer, Φ é o seu valor no -ésmo nó e as funções (s, t), denomnadas funções de forma, são defndas pelas relações, ( s, t) = ( + s)( + t) (6) ( s, t) = ( s)( + t) (7) 3 ( s, t) = ( s)( t) (8) ( s, t) = ( + s)( t) (9) As dervadas de Φ em relação a x e y são obtdas a partr da Eq. (5), Φ = Φ ( s, t ) = ( s, t ) () Φ = Φ y ( s, t ) = y ( s, t ) () onde, = J s y t t y s () y = J t s s t (3) e J, o acobano da transformação entre os sstemas x-y e s-t, é dado por, y y J = () s t t s

4 As expressões para as dervadas funções de forma em relação a s e a t são obtdas a partr das Eqs. (6) a (9). Como as equações dscretzadas são obtdas a partr de balanços das propredades em um volume aproprado, é estabelecdo então um volume de controle para cada nó. Para tanto, as lnhas s = e t = dos elementos de têm o referdo nó em comum defnem as fronteras do volume, Fg. (). Cada elemento então possu quatro quadrantes de quatro dferentes volumes de controle, sendo esses quadrantes denomnados sub-volumes de controle (SCV), Fg. (3). Exo t = Volume de controle Exo s = Elemento ó Fgura. Defnção do volume de controle. SCV SCV t = SCV3 SCV 3 s = Fgura 3. Defnção dos sub-volumes de controle. A obtenção das equações algébrcas requer que os termos de fluxo das equações de conservação seam ntegrados na superfíce de controle. Estas ntegras são avaladas nos pontos médos de cada segmento de reta que defne o contorno do volume. Estes pontos são denomnados pontos de ntegração ou p (ntegraton pont) e os segmentos, subsuperfíces de controle (SS), Fg.. p SS p SS SS p3 SS3 p 3 Fgura. Defnção dos pontos de ntegração e das sub-superfíces de controle.

5 3.. Dscretzação das equações governantes Apresenta-se a segur uma breve dscussão acerca do processo de obtenção das equações algébrcas, através do tratamento da equação conservação da quantdade de movmento em x. o desenvolvmento que se segue, consdera-se apenas o SVC, Fg. 3, o qual possu suas sub-superfíces, SS e SS, Fg., sobre as quas são avalados os termos de fluxo. Adota-se anda a segunte convenção: valores nodas são ndcados por letras maúsculas e valores referentes aos pontos de ntegração, por letras mnúsculas. O prmero sobrescrto se refere à equação dscretzada (u para conservação da quantdade movmento em x, por exemplo), o segundo, ndca que varável está sendo multplcado pelo coefcente. O sobrescrtos c, d, t e s se referem, respectvamente, aos termos convectvo, dfusvo, transente e fonte, enquanto o índce ndca o sub-volume de controle e o nó ou ponto de ntegração, dependendo da grafa do coefcente (em letra maúscula ou mnúscula). Integrando-se a Eq. () sobre um volume de controle, obtém-se, u (5) t ( ) ( ) u ρu da+ ρu u dn µ + dn + pdn su da= A S S S A onde = corresponde à equação de conservação da quantdade de movmento em x, e normal à superfíce de controle. Consderando-se o SCV, Fg. 3, tem-se, r r r dn = dx + dy é o vetor SVC t ( ρu) U U da ρj t = A uut ut, U B (6) SVC us s u da su ( ) J B, (7) ( ρ u) dn ρu u y ρv u x +ρuu y ρvu x uuc a, SS&SS = u u (8) O sobrescrto na equação (8) ndca que o termo é avalado com os valores da teração anteror. Os fluxos convectvos e dfusvos, para o SCV, são avalados nos pontos de ntegração e (Fg. ). Os termos dfusvos no ponto de ntegração são calculados como, SS u µ u u + dn µ µ = p p u v y +µ + y x U y +µ p U + = y p p x V x (9) As contrbuções do ponto de ntegração podem ser determnadas de modo semelhante, de modo que, SS&SS u u µ + dn = A uud, U + = A uvd, V () O termo de pressão é escrto como, upp dn p y + p y a, SS&SS = p p () Fnalmente, a partr das Eqs. (5) a (), obtém-se a equação para o SCV, uut uud uvd uuc (, + A, ) U + A, V + a, u + upp ut us A a p = & B + B () = = = = que, na forma matrcal,,

6 uut uud uvd uuc upp ut us [ A A ]{}[ U + A ]{}[ V + a ]{} u + [ a ]{}{ p = B } + { B } + & (3) Os valores de u nos pontos de ntegração são avalados empregando-se funções de nterpolação completas, as quas correspondem ao análogo dreto da equação dferencal referente à varável em questão. Detalhes podem ser encontrados em Raw (985), Souza () e Araúo (). Em forma matrcal, tem-se, {} u [ CC ]{}[ ]{}{ } uu U + CC up P + RCC u = () A pressão nos ps é avalada através das funções de forma, de modo que, pp {}[ p CC ]{} P = (5) onde CC =. Substtundo-se as Eqs. (5) e (6) em (), obtém-se, fnalmente, pp, p uut uud uuc uu uvd [[ A + A ] + [ a ][ CC ]]{ U} + [ A ]{ V} + [[ a ][ ] [ ][ ]]{} { } { } [ ]{ } upp CC pp + a uuc CC up P = B ut + B us a uuc RCC u (6) A equação anteror pode ser reescrta em uma forma mas compacta: [ E ]{}[ ]{}[ ]{}{ } uu U E uv V + E up P = R u + & (7) a equação matrcal anteror, cada lnha representa a contrbução do sub-elemento para um respectvo volume de controle. Assm, a equação (3) não representa a equação para um smples volume, mas sm quatro contrbuções para quatro volumes de controle dferentes. A equação fnal de cada volume é obtda através de um processo posteror de montagem, a partr da contrbução de cada elemento.. Resultados Foram seleconados dos problemas de convecção natural, em cavdade retangular e hexagonal, para números de Raylegh guas a 3,, 5 e 6, baseados na dstânca L entre as paredes vertcas (cavdade retangular) e na dstânca D entre dos vértces (cavdade hexagonal). A Fg. 5 apresenta a geometra e as condções de contorno. O fludo confnado é o ar, cuas propredades foram assumdas a Pr =,77. Estes mesmos problemas foram resolvdos por Polna (988), que empregou um esquema de volumes fntos baseado em coordenadas generalzadas, com formulação segregada. Os resultados por ele obtdos são comparados com os deste trabalho. T = u = v = n L T = u = v = n T = u = v = T = u = v = T = u = v = T = u = v = L T = u = v = n T = u = v = n D L Fgura 5. Geometra e condções de contorno, problema de convecção natural em cavdade hexagonal e retangular.

7 Polna (988) utlzou malhas com espaçamento não-unforme, concentrando lnhas próxmo às paredes da cavdade, a fm de melhor captar os gradentes. O mesmo procedmento fo adotado neste trabalho, não se obtendo, entretanto, dferenças sgnfcatvas entre os resultados. Deste modo, foram utlzadas malhas unformemente espaçadas em todos os problemas resolvdos. As malhas estruturadas empregadas têm o mesmo número de volumes adotado por Polna (988), 75 para as duas cavdades, número este que fo confrmado em um estudo de refno de malha. Entretanto, as malhas não-estruturadas exgram um número maor de elementos, a fm de se obterem malhas mas unformes, com volumes menos dstorcdos (do contráro, a captura dos gradentes sera muto dfcultada). Este procedmento fo necessáro para especalmente para valores mas altos do número de Raylegh, onde os gradentes são maores. A Fg. 6 apresenta as malhas com espaçamento não-unforme e não-estruturada utlzadas para a cavdade retangular e as malhas estruturada e não-estruturada para a cavdade hexagonal. (a) (b) (c) (d) Fg. 6. Malhas empregadas: (a) espaçamento não-unforme, 75 volumes; (b) estruturada, 75 volumes (c) nãoestruturada 937 volumes; (d) não-estruturada, com 56 volumes. O crtéro de convergênca adotado é dado por [ ] ( U U ) + ( V V ) = ( U + V ) = εu r e ε p < -, onde, ε r = (8) u ε p = ( P P ) = = P (9) sendo é o número total de volumes e o sobrescrto ndca teração anteror. O campo de velocdade e de pressão é obtdo smultaneamente, conforme á menconado, resolvendo-se o campo de temperatura em seguda, a cada teração.

8 As Fgs. 7 e 8 apresentam os perfs admensonas de v e de temperatura para a cavdade retangular com malha cartesana (75 volumes), ao longo da lnha méda horzontal. Observa-se que os resultados são fscamente consstentes, concordando satsfatoramente com os de Polna (988). Para Ra = 3, o perfl de temperatura é lnear, demonstrando que a transferênca de calor no nteror da cavdade ocorre prmordalmente por condução, o que fca evdencado pelos baxos valores da componente v da velocdade exbdos na Fg. 7. À medda, entretanto, que a convecção torna-se mas ntensa, com o aumento do número de Raylegh (a magntude de v aumenta), os perfs de temperatura se dstancam deste padrão. Percebe-se, anda, o fenômeno da nversão térmca, prncpalmente para valores mas altos do número de Raylegh. Ra = e3 (Polna, 988) Ra = e (Polna, 988) Ra = e3 (presente trabalho) Ra = e (presente trabalho) Ra = e5 (Polna, 988) Ra = e6 (Polna, 988) Ra = e5 (presente trabalho) Ra = e6 (presente trabalho) vl/ vl/ Fg. 7. Perfs de v (admensonal) ao longo da lnha méda horzontal, cavdade retangular. (T - T )/(T - T ).8.6. Ra = e3 (Polna, 988) Ra = e (Polna, 988) Ra = e3 (presente trabalho) Ra = e (presente trabalho) (T - T )/(T - T ).8.6. Ra = e5 (Polna, 988) Ra = e6 (Polna, 988) Ra = e5 (presente trabalho) Ra = e6 (presente trabalho) Fg. 8. Perfs de temperatura admensonal ao longo da lnha méda vertcal, cavdade retangular. A Fg. 9 apresenta os perfs admensonas de v e da temperatura ao longo da lnha méda horzontal, Ra = 6, para a cavdade retangular, obtdos com uma malha cartesana mas refnada (58 volumes) e com refno próxmo às paredes (75 volumes) Fg. 6(a), e com a malha não-estruturada da Fg. 6(c). Os resultados de Polna (988) são reapresentados, observando-se novamente a boa concordânca entre as curvas, ndcando que a solução está ndependente da malha. Além dsso, conclu-se que não há necessdade de refno próxmo às paredes. O número maor

9 de volumes da malha não-estruturada fo necessáro, conforme menconado anterormente, a fm de se evtarem volumes muto dstorcdos, o que dfcultara a captura dos gradentes. vl/a Polna, 988 (ME 735 vol.) presente trabalho (ME 735 vol.) presente trabalho (ME 937 vol.) presente trabalho (ME 535 vol.) presente trabalho (MER 735 vol.) (T - T )/(T - T ).8.6. Polna, 988 (ME 75 vol.) presente trabalho (ME 75 vol.) presente trabalho (ME 937 vol.) presente trabalho (ME 58 vol.) presente trabalho (MER 75 vol.) (a) (b) Fgura 9. Perfs admensonas ao longo da lnha méda horzontal para cavdade retangular, Ra = 6 (ME ndca malha estruturada, ME, não-estruturada, MER, estruturada com refno nas paredes): (a) v; (b) temperatura. As Fgs. e apresentam os perfs admensonas de v e da temperatura ao longo da lnha méda horzontal, para a cavdade hexágona, malha estruturada. Os padrões do escoamento e da dstrbução de velocdade são semelhantes aos apresentados pela cavdade retangular. Observa-se, entretanto, o aparecmento do fenômeno da nversão térmca para Ra =, o que não ocorre com a cavdade retangular. ovamente, há uma boa concordânca com os resultados de Polna (988). 3 Ra = e3 (Polna, 988) Ra = e (Polna, 988) Ra = e3 (presente trabalho) Ra = e (presente trabalho) 3 Ra = e5 (Polna, 988) Ra = e6 (Polna, 988) Ra = e5 (presente trabalho) Ra = e6 (presente trabalho) vl/a vl/a Fgura. Perfs de v (admensonal) ao longo da lnha méda horzontal, cavdade hexagonal.

10 (T - T )/(T - T ).8.6. Ra = e3 (Polna, 988) Ra = e (Polna, 988) Ra = e3 (presente trabalho) Ra = e (presente trabalho) (T - T )/(T - T ).8.6. Ra = e5 (Polna, 988) Ra = e6 (Polna, 988) Ra = e5 (presente trabalho) Ra = e6 (presente trabalho) Fgura. Perfs de temperatura admensonal ao longo da lnha méda vertcal, cavdade hexagonal. A Fg. mostra os perfs admensonas de v e de temperatura, para a cavdade hexagonal, Ra = 6, obtdos com a malha não-estruturada da Fg. 6 (b). ovamente, há uma boa concordânca entre os resultados das malhas estruturada, não-estruturada e os de Polna (988). 3 vl/a - Polna, 988 (75 vol.) presente trabalho (ME 75 vol.) presente trabalho (ME 59 vol.) (T - T )/(T - T ).8.6. Polna, 988 (ME 75 vol.) presente trabalho (ME 75 vol.) presente trabalho (ME 56 vol.) (a) (b) Fgura. Perfs admensonas ao longo da lnha méda horzontal para cavdade hexagonal, Ra = 6 (ME ndca malha estruturada e ME, não-estruturada): (a) v; (b) temperatura. 5. Conclusões O problema de convecção natural em uma cavdade retangular e hexagonal fo abordado, empregando-se o Método dos Volumes Fntos Baseado em Elementos Fntos (CVFEM). esta metodologa, as equações de transporte são resolvdas smultaneamente, o que elmna o problema do acoplamento pressão-velocdade nerente às formulações segregadas. o caso, em cada cclo teratvo, as equações de conservação da massa e da quantdade de movmento são resolvdas ao mesmo tempo, obtendo-se, em seguda, o campo de temperatura va equação da energa. Os resultados, expressos na forma de perfs admensonas de velocdade e de temperatura, foram comparados àqueles obtdos por Polna (988), que estudou os mesmos problemas, empregando o método dos volumes fntos, com

11 formulação segregada. Observaram-se os mesmos padrões e consstênca físca entre os dos trabalhos,apesar dos mesmos não concdrem quanto aos valores máxmos obtdos. Destaca-se que a presente formulação apresentou soluções ndependentes da malha com malhas razoavelmente grosseras e sem necessdade de refno localzado próxmos das paredes. Outra característca mportante da metodologa baseada em elementos é a convergênca para um largo espectro de passos de tempo. o presente caso foram empregados passos de tempo para o problema acoplado (massa e quantdade de movmento) da ordem de. 6. Referêncas Araúo, A. L. S., Solução de Escoamentos de Frontera Lvre Usando Malhas ão-estruturadas e Método dos Volumes Fntos Baseado em Elementos Fntos, tese de doutorado, UFPB, Paraíba,. Malska, C. R.,, Transferênca de Calor e Mecânca dos Fludos Computaconal, LTC, Ro de Janero, Brasl. Patankar, S. V., 98, umercal Heat Transfer and Flud Flow, Hemsphere/McGraw-Hll, ew York, pp Raw, M. J., A ew Control-Volume-Based Fnte Element Procedure for the umercal Soluton of the Flud Flow and Scalar Transport Equatons, tese de doutorado, Unversty of Waterloo, 985. Raw, M. J. e Schneder, G. E., A Skewed Postve Influence Coeffcent Upwndng Procedure for Control-Volume-Based Fnte Element Convecton-Dffuson Computaton, um. Heat Transfer, 9, -6, 986. Polna, S., Prevsão umérca da Convecção atural Lamnar em Cavdades Hexagonas, dssertação de mestrado, Unversdade Federal de Santa Catarna, 988. Souza, J, A., Implementação de um Método de Volumes Fntos com Sstema de Coordenadas Locas para a Solução Acoplada das Equações de aver-stokes, dssertação de mestrado, Unversdade Federal de Santa Catarna,. Heat transfer and ncompressble flud flows usng an element based fnte volume method wth unstructured meshes André Luíz de Souza Araúo Unversdade Federal do Ceará, Centro de Tecnologa Departamento de Engenhara Mecânca e de Produção Bloco 7, Campus do Pc - CEP.: Caxa Postal:. Fortaleza CE arauoals@yahoo.com José Mauríco Alves de Matos Gurgel Unversdade Federal da Paraíba. Centro de Tecnologa. Departamento de Tecnologa Mecânca CEP: Caxa Postal: João Pessoa PB gurgel@les.ufpb.br Francsco Marcondes Unversdade Federal do Ceará, Centro de Tecnologa Departamento de Engenhara Mecânca e de Produção Bloco 7, Campus do Pc - CEP.: Caxa Postal:. Fortaleza CE marconde@dem.ufc.br Abstract Incompressble flows present several drawbacks when solved by segregated procedures such as the optmal tmestep choce and sometmes demands several CPU tme ust to solve steady state problems. The present work presents the soluton of the natural convecton problems n generalzed cavtes usng the fnte volume framework based n elements wth a colocated varable arrangement. The momentum and mass equatons are solved smultaneously n order to avod the pressure-velocty couple. After the pressure and velocty feld are gotten the energy equaton s solved n an solated bass. Although the methodology can be used to solve transent problems ust results to the steady state natural convecton are presented. The results obtaned wth structured and nonstructured meshes are presented n terms of velocty and temperature profles for several Ralegh numbers for two knd of cavtes: a rectangular and a hexagonal one. Key words: Fnte volume method, unstructured meshes, coupled soluton.