TRATAMENTO DAS INTEGRAIS SINGULARES DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO TREATMENT OF SINGULAR INTEGRAL OF BOUNDARY ELEMENT METHOD

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1 ISSN TRATAMENTO DAS INTEGRAIS SINGULARES DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO Aref Kallo Lma Kzam & Humberto Breves Coda Resumo A formulação do método dos elementos de contorno fundamenta-se na modelagem numérca de equações 8 ntegras No problema sngular, as equações ntegras apresentam núcleos mprópros que dfcultam sua avalação Neste trabalho apresenta-se uma estratéga efcente de regularzação das equações ntegras de contorno denomnado método da subtração de sngulardade Aplca-se a subtração de sngulardade na avalação das equações ntegras de deslocamento e de força de superfíce sobre elementos de contorno curvos Para valdar a formulação apresentam-se os resultados obtdos com o códgo computaconal na avalação de problemas clásscos da elastcdade lnear Palavras-chave: Método dos Elementos de Contorno Elementos curvos de ordem qualquer Equações ntegras sngulares Método da subtração de sngulardade TREATMENT OF SINGULAR INTEGRAL OF BOUNDARY ELEMENT METHOD Abstract The formulaton of the boundary element method s based on numercal modelng of the ntegral equatons Sngular problem, the ntegral equatons have sngular kernels hnderng ther evaluaton Ths paper presents an effcent strategy for the regularzaton of the boundary ntegral equaton called subtracton of sngularty method Use ths method n the dsplacement and tracton ntegral equatons upon curved boundary element To valdate the formulaton presents the result obtaned wth the code n the evaluaton of classcal problem of lnear elastcty Keywords: Boundary Element Method Curved element of any order Sngular ntegrals equatons Subtracton of sngularty method INTRODUÇÃO Problemas da engenhara, em geral, são representados em termos de equações ntegras ou equações dferencas Em mutos casos as soluções analítcas dessas equações não são trvas Por esse motvo é necessáro se recorrer a estratégas numércas de resolução O método dos elementos de contorno (MEC) é uma dessas estratégas O MEC é utlzado na resolução numérca das equações ntegras e consste em algebrzar as equações ntegras por meo de entes matemátcos dscretos denomnados elementos de contorno Um caso especal na modelagem com o MEC ocorre quando as equações ntegras apresentam núcleos mprópros Sob o ponto de vsta numérco, o sstema algébrco torna-se ndetermnado Vsando transpor essa dfculdade propõem-se um método de regularzação com base no procedmento apresentado em (ALIABADI, HALL, 989), (CODA, ) e (KZAM, 9) A segur Mestre em Engenhara de Estruturas - EESC-USP, aklkzaml@scuspbr Professor do Departamento de Engenhara de Estruturas da EESC-USP, hbcodal@scuspbr Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

2 8 Tratamento das ntegras sngulares do Método dos Elementos de Contorno apresentam-se as ferramentas necessáras para realzar esse procedmento, para em seguda se ntroduzr a formulação matemátca do método da subtração de sngulardade EQUAÇÕES INTEGRAIS DA ELASTICIDADE LINEAR As equações ntegras de contorno do MEC podem ser obtdas de varas maneras, uma delas é por meo do método dos resíduos ponderados aplcado sobre a equação dferencal de equlíbro: j j f, u d () Da Eq (), obtém-se a representação ntegral da elastcdade lnear: tu d fu dt ud f ud () As equações ntegras são obtdas ao se consderar o ponderador como uma solução da equação dferencal, denomnado, solução fundamental Nesse trabalho, o problema é avalado sobre o domíno de um sóldo homogêneo e sotrópco com contorno localzado no nfnto sob a ação de um carregamento concentrado Devdo o sgnfcado abstrato do carregamento concentrado, é possível representá-lo por uma função especal dada pela dstrbução delta de Drac: f X, X eˆ (3) A solução desse problema fo apresentada por Kelvn e é obtda a partr da solução da equação dferencal de equlíbro estátco: u X, X u X, X X, X e (4) ˆ, jj j, j A solução da Eq (4) pode ser realzada utlzando dversas metodologas, a segur obtém-se a solução fundamental a partr de uma função potencal bastante conhecda na lteratura Solução fundamental de Kelvn Segundo (WANG, et al, 8) o deslocamento fundamental pode ser escrto em termos de um potencal vetoral desacoplado denomnado vetor de Boussnesq-Galerkn, dado por: u (5), kk k, k Que ao ser substtuído na Eq (4) resulta: X, (6) ˆ kkjj, X e O procedmento de resolução da Eq (6), para o problema bdmensonal, é apresentada em (Kzam, 9) Essa solução em termos do deslocamento e das forças de superfíce é dada, respectvamente por: u 3 4 ln ˆ r j r, r, j ej 8 (7) r t,, ˆ j rr j r, jn r, n j ej 4 r n (8) Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

3 Aref Kallo Lma Kzam & Humberto Breves Coda 9 As soluções fundamentas (7) e (8) são utlzadas na formulação das equações ntegras de contorno de problemas elástco lneares, homogêneos e sotrópcos, como será apresentado a segur Equação ntegral de contorno com pontos fontes no domíno A equação ntegral de contorno com os pontos fonte no domíno resulta da aplcação da propredade de seleção da dstrbução de Drac sobre a Eq (), assm como da utlzação das soluções fundamentas no núcleo das ntegras A equação ntegral resultante dessas consderações pode ser escrta como:, u X U X t d j j T X, u d U X, X f X d, j j j j Sendo, u e j j t, os deslocamentos e as forças de superfíce no contorno A equação ntegral (9) é também denomnada de dentdade Somglana A partr da Eq (9) é possível se obter a equação ntegral das tensões com pontos fonte no domíno:, X D X t d j kj k S X, u d D X, X f X d kj k kj k Sendo, D kj e S kj, as respectvas dervadas das soluções fundamentas dos deslocamentos e das forças de superfíces, cuja epressão é: D r, r, r, r, r, r, kj 4 r jk j k k j j k (9) () (),,,,,, r, n r, k j r, j k r, jk 4r, r, jr, k Skj nr jrk njrrk nkrr j njk n jk r 4n kj () Obtda as equações ntegras de contorno com pontos fonte no domíno, apresentam-se agora as equações ntegras de contorno com os pontos fonte no contorno 3 Equação ntegral de contorno com pontos fontes no contorno Nesse caso, as equações ntegras de contorno apresentam núcleos mprópros, vsto que, para X conduz a r Essas consderações mplcam em algumas partculardades acerca da defnção da contnudade das ntegras De manera geral, os núcleos das ntegras obedecem à condção de contnudade de Holder A equação ntegral dos deslocamentos com os pontos fontes no contorno resulta do lmte da Eq (9) fazendo X, que pode ser escrta da segunte forma: Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

4 Tratamento das ntegras sngulares do Método dos Elementos de Contorno, C u T u d j j j U, t d U, X f X d j j j j (3) Sendo, Cj j, para contornos suáves, e d, a ntegral mprópra com o valor prncpal de Cauchy Procedendo-se o mesmo lmte, agora sobre a ntegral de contorno das tensões, obtém-se: j Dkj, tk d S, u d D, X f X d kj k kj k Sendo, d, a ntegral com a parte fnta de Hadamard Aplcando a le de Cauchy, t j j n, sobre a Eq (4) é possível obter a equação ntegral para as forças de superfíce: tjn Dkj, tk d n S, u dn D, X f X d kj k kj k As equações ntegras (3), (4) e (5) são as formulações ntegras dretas da elastcdade lnear utlzada no MEC A segur, apresenta-se a metodologa aplcada na dscretzação dessas equações (4) (5) 4 Método dos Elementos de Contorno Para se efetuar a solução numérca das equações ntegras apresentadas anterormente é necessáro dvdr o contorno do problema em um número dscreto de segmentos chamados elementos de contorno Aplcando essa dvsão e admtndo-se a ausênca de forças de superfíce no domíno, as Eq (3) e (5) assume a forma dscreta: u Tj, ujdn Uj, tjdn (6) n n tjn Dkj, tk dn n Skj, uk dn (7) n A manera mas dreta de se representar, tanto as varáves assocadas ao contorno, como a geometra é por meo da representação paramétrca dessas grandezas A representação mas comum é quando se aplcam as mesmas funções de nterpolação para representar a geometra e as varáves, denomnada formulação soparamétrca Com essa representação, os deslocamentos, as forças de superfíce e a geometra podem ser escrtas como: n Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

5 Aref Kallo Lma Kzam & Humberto Breves Coda u t t u j j j j,, j j (8) Sendo,, a varável assocada ao sstema de coordenadas admensonal avalado no ntervalo, e, as funções de forma obtdas a partr do polnômo de Lagrange, calculadas por meo do segunte produtóro: n j (9), j j j Ao se transferr o ntervalo de ntegração das Eq (6) e (7) para ntervalo de, no sstema de coordenadas admensonas e substtur as varáves dessas equações pelas suas respectvas apromações, obtém-se: c clm lm clm lm u Tj uj Uj tj, () c clm lm clm lm tj Dkj tj Skj uj () Sendo: clm j m j l c U U, J d, e () clm j m j l c T T, J d, (3) os coefcentes das matrzes de nfluênca que trazem nos núcleos das ntegras, as soluções fundamentas da formulação em deslocamento, e clm k m k l c com D n D D D, J d, clm k m kj l,, e (4) k j kj c,, com S n S S S J d,, (5) k j kj os coefcentes das matrzes de nfluênca que trazem nos núcleos das ntegras, as dervadas da soluções fundamentas utlzadas na formulação em força de superfíce O jacobano da transformação é calculado como: lm J (6) lm l m, m, Aplcando-se o método da colocação pontual, a solução das equações ntegras fca representada algebrcamente em termos das suas matrzes de nfluênca, ou seja: Hu Gt (7) Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

6 Tratamento das ntegras sngulares do Método dos Elementos de Contorno Ao se substtur as condções de contorno do problema o sstema resultante passa a ser escrto como: AX B (8) sendo possível se obter a solução fnal do problema Porém, no procedmento numérco ocorre um caso especal durante a resolução das ntegras de contorno, que é quando o ponto fonte concde com o ponto campo no contorno Essa stuação mplca um valor mprópro nas ntegras () a (5) Para contornar esse problema adota-se um procedmento de regularzação das ntegras para os pontos no contorno, denomnado Método da Subtração de Sngulardade que será descrto a segur 3 MÉTODO DA SUBTRAÇÃO DE SINGULARIDADE Nesta seção apresentam-se as consderações acerca do método da subtração de sngulardade (MSS) utlzado para avalar os valores prncpas que surgem nas matrzes de nfluênca O método consste em remover a sngulardade da solução fundamental ao se subtrar a parte sngular da ntegral mprópra utlzando um ntegrando com a mesma natureza, porém, avalado sobre o elemento aular, cujas ntegras remanescentes são calculadas numérca e analtcamente A nterpretação geométrca desse procedmento conduz a uma avalação dos termos sngulares sobre um elemento aular com geometra reta bem defnda A Fgura lustra o resultado da epansão em sére de Taylor do elemento de contorno curvo sobre o nó sngular, além do sentdo da ntegração sobre o elemento aular au Solução Fundamental Elemento de Contorno Aular Elemento de Contorno Curvo Fgura Problema fundamental Procedendo-se a epansão em sére de Taylor até a prmera ordem para a geometra é possível verfcar a relação: r J (9) Tendo em mãos esse resultado desenvolvem-se as epressões do MSS na avalação das equações ntegras tanto para as formulações em deslocamento quanto para a formulação em força de superfíce Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

7 Aref Kallo Lma Kzam & Humberto Breves Coda 3 3 Formulação em deslocamento Sabe-se que a formulação em deslocamento apresenta ntegras mprópras com sngulardades de ordem Olnr e Or que podem ser calculadas por meo dos valores prncpas de Cauchy Essa equação apresenta dos núcleos mprópros Aplca-se prmeramente o MSS ao núcleo com sngulardade do tpo O ln r Seja a parcela: Uj, tj d (3) Transformando o sstema de coordenadas globas para o sstema de coordenadas admensonas, obtém-se: lm j m j l t U, J d (3) Smplfcando a solução fundamental e escrevendo-a convenentemente com a ntrodução de duas novas constantes, U e U, têm-se: U, U ln r, U r r (3) j j,, j Com U 34 8 e U 8 as novas constantes, defndas aqu, apenas para facltar a mplementação numérca do método Substtundo-se a solução fundamental smplfcada da Eq (3), na Eq (3), tem-se: U mlnr, jjld U mr, r, jjld (33) Omte-se o termo que acompanha a força de superfíce pelo fato dele representar um valor constante, porém ao fnal do desenvolvmento esse valor será consderado A equação (33) possu duas parcelas de naturezas dstntas, a parcela que contém a constante U, com núcleo de natureza sngular r, e a parcela com a constante U, com núcleo regular e lmtado Na regularzação com o MSS se subtra e se soma à parcela sngular, uma ntegral com a mesma natureza, só que avalada sobre o elemento aular Aplcando-se o MSS a prmera parcela da Eq (33), resulta:, U ln r J d m l j U ln r J d U ln r J d m l j m l j (34) O prmero termo da epansão em sére da função de forma e do jacobano é sufcente para regularzar a ntegral mprópra da parcela sngular Substtundo a Eq (9) na Eq (34), encontra-se: Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

8 4 Tratamento das ntegras sngulares do Método dos Elementos de Contorno, U ln J J d m l l j U m ln r Jl j Um ln Jl Jl j d (35) A análse lmte da equação (35) permte verfcar que a parcela entre colchetes é lmtada, podendo ser avalada numercamente Agrupando-se todas as parcelas regulares, em uma únca equação, obtém-se:, m,, j l U r r J d U m ln r Jl j Um ln Jl Jl j d (36) A parcela com núcleo mprópro presente na Eq (36) será avalada no sentdo do valor prncpal de Cauchy, por mas que não haja essa necessdade devdo a ordem de sngulardade ser do tpo O ln r Assm: U mlnjl Jljd (37) Procedendo a substtução de varável Os lmtes de ntegração são modfcados para, A equação (37) é reescrta da segunte forma: U J VPC (38) m l j Com VPClm lnjld lnjld, a ntegral avalada no sentdo do valor prncpal de Cauchy, que resulta: VPC ln J l ln J l O procedmento descrto para a solução fundamental dos deslocamentos é estenddo para as demas soluções fundamentas que surgem nas equações ntegras de contorno A segur apresentase o MSS na regularzação das demas ntegras Seja a ntegral: Tk, u d (4) Nessa ntegral, a solução fundamental é mprópra com sngulardade de ordem Or Por convenênca, representa-se a solução fundamental por: T T j, j, r, (39) (4) Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

9 Aref Kallo Lma Kzam & Humberto Breves Coda 5 Sendo T, k, um termo aular da solução fundamental em força de superfíce e que contém apenas núcleo regular Substtundo a relação (4) na Eq (4), e mudando o sstema de coordenadas globas para o sstema de coordenadas admensonas escreve-se: Tk, lm m Jldu (4) r, Nesse caso verfca-se que todas as parcelas da solução fundamental são sngulares em razão do produto de T k por r Aplcando-se o MSS a essa equação, obtém-se: Tk, Tk m Jlm d r, T k m d (43) Ao se realzar uma análse lmte sobre a Eq (43), verfca-se que o termo entre colchetes é lmtado e pode ser calculado por meo da quadratura de Gauss-Legendre A parcela restante deve ser calculada analtcamente no sentdo do valor prncpal de Cauchy: k m d T (44) Procedendo-se a mudança de varável, os lmtes de ntegração passam a ser, Reescrevendo a Eq (44), tem-se: m T VPC (44) k Sendo VPC lm d d, e dada por: VPC ln ln a ntegral no sentdo do valor prncpal de Cauchy, (45) Posto as demonstrações do MSS à todas as parcelas formulação em deslocamento, apresentase agora o mesmo procedmento para a formulação em força de superfíce cujas equações são bastante utlzadas em dversos problemas da engenhara, como mecânca da fratura, fadga e contato 3 Formulação em força de superfíce Na formulação em força de superfíce bdmensonal, as ntegras mprópras apresentam O r sngulardade de ordem O r e Inca-se a subtração de sngulardade avalando-se a ntegral: n Dkj, tk d (46) Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

10 6 Tratamento das ntegras sngulares do Método dos Elementos de Contorno D Escrevendo a solução fundamental convenentemente, tem-se: D kj, kj, r, (47) Sendo D, kj a epressão aular, não sngular, utlzada para facltar a mplementação das soluções fundamentas Substtundo a Eq (47) na Eq (46), tem-se: Dkj, n tk d (48) r, Mudando o sstema de referenca global para o sstema de coordenadas admensonal, a epressão (48) fca escrta como: Dkj, lm n m Jldtk (49) r, Aplcando-se o MSS sobre o núcleo ntegral da Eq (49) encontra-se: Dkj, Dkj n m Jlm d r, D n kj m d (5) A ntegral entre os colchetes é lmtada, logo é regular e por sso é avalada numercamente por meo da quadratura de Gauss-Legendre A ntegral remanescente é avalada analtcamente por meo do valor prncpal de Cauchy, dado por: nmdkj d (5) Com a ntegral do valor prncpal dada por d ln ln Por fm, apresenta-se o MSS aplcado na avalação da ntegral com as dervadas das soluções fundamentas em forças de superfíce cuja ordem de sngulardade é gual a Or Seja a ntegral: n Skj, uk d (5) Mudando o sstema de referenca global para o sstema de coordenadas admensonas, resulta: Skj, lm n m J lduk (53) r, Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

11 Aref Kallo Lma Kzam & Humberto Breves Coda 7 Para o caso de ntegras mprópras com sngulardades de ordem Or é necessáro consderar a epansão em sére Taylor até o termo lnear das funções de forma Esse termo é sufcente para que a ntegral seja avalada no sentdo do valor prncpal de Cauchy e da parte fnta de Hadamard n m,, kj J, l Skj Jl Skj S J l Skj S m l m r J d n d n d kj m m, J l A ntegral entre os colchetes é regular e por sso pode ser avalada numercamente por meo da quadratura de Gauss-Legendre As ntegras fora dos colchetes, são ntegras mprópras no sentdo de Hadamard e Cauchy, respectvamente Essas ntegras podem ser avaladas analtcamente sobre o elemento aular, por meo das equações: n Skj m d Jl (55) Sendo a parte fnta de Hadamard calculada como: d (55) (54) Skj Para o valor prncpal de Cauchy, tem-se n m, Jl da ntegral dado da mesma forma como na Eq (5), sendo d com o resultado Skj a solução fundamental aular avalada no nó sngular A segur apresentam-se alguns eemplos avalados com o códgo computaconal que ncorpora essas duas formulações Objetva-se com sso valdar o método da subtração de sngulardade para que ele possa ser utlzado como uma estratéga geral de tratamento das ntegras sngulares 4 RESULTADOS Apresentam-se dos eemplos com ntuto de valdar a formulação O prmero problema consste no clndro pressurzado com uma pressão nterna constante, conforme a Fgura Nesse eemplo avalam-se as tensões radas dos nós dstrbuídos ao longo da espessura do clndro Utlzam-se nesses cálculos as formulações sngulares em deslocamento e em forças de superfíce aplcadas ao modelo com uma malha de 8 elementos de contorno com apromação cúbca Nessa malha utlza-se 64 elementos para dscretzar o contorno eterno e outros 64 elementos para dscretzar o contorno nterno Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

12 8 Tratamento das ntegras sngulares do Método dos Elementos de Contorno y r e r A E r p Fgura Clndro pressurzado com pressão Interna constante Os dados do problema são os seguntes: Análse: Estado plano de deformação Módulo de elastcdade do materal: Coefcente de Posson:,3 Pressão nterna: p, MPa Rao eterno: r, cm Rao nterno: r 5, cm e E 5 7,3 MPa As tensões radas e os seus respectvos erros em relação a solução analítca são apresentados na Tabela Tabela Tensão radal dos nós de domíno r (cm) Analítco (MPa) CPPI-M8G3-U (MPa) Erro (%) CPPI-M8G3-T (MPa) Erro (%) O segundo eemplo a ser estudado consste no problema da cavdade crcular pressurzada no meo nfnto, conforme a Fgura 3 Avala-se esse eemplo para constatar a potencaldade do método dos elementos de contorno em representar problemas nserdos em meos nfntos procedendo-se apenas a dscretzação do contorno da cavdade Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

13 Aref Kallo Lma Kzam & Humberto Breves Coda 9 y E r A p r Fgura 3 Clndro pressurzado com pressão Interna constante Os dados do problema são: Análse: Estado plano de deformação, 4 Módulo de elastcdade do meo: E,5 KN cm, Coefcente de Posson do meo:,3, Pressão: p Rao: r, m, KN cm, e Calculam-se os deslocamentos radas dos nós localzados no meo nfnto utlzando-se o modelo com 64 elementos de contorno com apromações do º, 3º e 5º grau das formulações em deslocamento e em força de superfíce Os resultados desse eemplo são apresentados nas Tabelas e 3 Tabela Deslocamento radal dos nós de domíno Formulação em deslocamento r (m) Analítco (mm) CPMI-M64G-U (mm) Erro (%) CPMI-M64G3-U (mm) Erro (%) CPMI-M64G5-U (mm) Erro (%) Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,

14 3 Tratamento das ntegras sngulares do Método dos Elementos de Contorno Tabela 3 Deslocamento radal dos nós de domíno Formulação em força de superfíce r (m) Analítco (mm) CPMI-M64G-T (mm) Erro (%) CPMI-M64G3-T (mm) Erro (%) CPMI-M64G5-T (mm) Erro (%) CONCLUSÕES Com os resultados obtdos após a aplcação do método da subtração de sngulardade constata-se a robustez do método, uma vez que se verfcam bons resultados para os deslocamentos e as tensões nos problemas analsado, basta verfcar o valor do erro relatvo apresentado nas tabelas Destaca-se também a utlzação dos polnômos de Lagrange na generalzação do grau da apromação assm como na geração de elementos de contorno curvos o que contrbuu com uma melhora nos resultados 6 AGRADECIMENTOS À Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor (CAPES), que concedeu o aulo fnancero durante a realzação do mestrado 7 REFERÊNCIAS ALIABADI, M H, HALL, W S, Two-dmensonal boundary element kernel ntegraton usng seres epansons Engneerng Analyss wth Boundary Elements, v 6, n 3, p 4-43, Sep, 989 CHENG, S L; HOWITT, D G On the Galerkn vector and the Eshelby soluton n lnear elastcty Journal of Elastcty, v 44, n, p -8(8), July, 996 ISSN: CODA, H B Contrbução à análse dnâmca transente de meos contínuos pelo método dos elementos de contorno 43 p Tese (Lvre Docênca em Engenhara de Estruturas) Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, KZAM, A K L Formulação dual em mecânca da fratura utlzando elementos de contorno curvos de ordem qualquer 9 86 p Dssertação (Mestrado em Engenhara de Estruturas) Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 9 WANG, M Z; XU, B X; GAO, C F, Recent general soluton n lnear elastcty and ther applcatons Appled Mechancs Revews, v 6, n 3, p 37-57, May, 8 ISSN: 383 Cadernos de Engenhara de Estruturas, São Carlos, v, n 54, p 7-3,