ENGENHARIA DE ESTRUTURAS

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1 SSN (versão mpressa) CADERNOS DE ENGENHARA DE ESTRUTURAS Unversdade de São Paulo Escola de Engenara de São Carlos Departamento de Engenara de Estruturas Aplcação do método dos elementos de contorno à análse de placas com apoos nternos Ney Amorm Slva Wlson Sérgo Venturn Número 3 São Carlos, 998

2 UNVERSDADE DE SÃO PAULO Retor: Professor Ttular JACQUES MARCOVTCH Vce-Retor: Professor Ttular ADOLPHO JOSÉ MELF ESCOLA DE ENGENHARA DE SÃO CARLOS Dretor: Prof. Ttular JURANDYR POVNELL Vce-Dretor: Prof. Ttular WOODROW NELSON LOPES ROMA DEPARTAMENTO DE ENGENHARA DE ESTRUTURAS Cefe do Departamento: Prof. Ttular WLSON SÉRGO VENTURN Suplente do Cefe do Departamento: Prof. Ttular JOÃO BENTO DE HANA mpressão e acabamento: Servço Gráfco-EESC-USP

3 APLCAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO À ANÁLSE DE PLACAS COM APOOS NTERNOS Ney Amorm Slva & Wlson Sérgo Venturn 2 RESUMO Utlza-se a formulação dreta do Método dos Elementos de Contorno aplcada ao problema de flexão de placas apoando-se na teora de Ressner. Os elementos de contorno apresentam geometra lnear com aproxmação quadrátca para as varáves de contorno e as equações ntegras dos deslocamentos são escrtas para pontos de colocação dspostos fora do domíno, evtando-se assm problemas de sngulardades. O sstema de equações algébrcas orgnado da análse de placas va MEC é modfcado para ncorporar o enrjecmento produzdo pela vnculação nterna. É analsado o enrjecmento produzdo por apoos nternos pontuas ou dstrbuídos em áreas pequenas. São apresentados exemplos smples, que mostram a boa precsão da técnca utlzada. Palavras-cave: método dos elementos de contorno; placas ABSTRACT A drect formulaton of te Boundary Element Metod s appled to te analyss of plates n bendng usng Ressner s teory. Te boundary elements are geometrcally lnear wt quadratc approxmaton for te boundary varables and te dsplacement ntegral equatons are wrtten for collocaton ponts outsde te doman tus avodng any sngularty problem. Te resultng system of algebrac equatons s modfed to nclude te stffenng effects. Plates wt nternal pont restrants and restraned over small areas are analyzed. Te results obtaned n smple problems ndcate te accuracy of te procedure. Keywords: boundary element metod; plates NTRODUÇÃO O Método dos Elementos de Contorno, aplcado à análse de placas, conduz a um sstema de equações algébrcas lneares, representado matrcalmente pela equação ( ), cujas ncógntas são os deslocamentos e forças de superfíce no contorno []. Este 2 Professor do Departamento de Engenara de Estruturas da Escola de Engenara da UFMG, Belo Horzonte, MG. E-mal: ney@dees.ufmg.br Professor do Departamento de Engenara de Estruturas da Escola de Engenara de São Carlos da USP, São Carlos, SP. E-mal: venturn@sc.usp.br

4 2 sstema não permte a análse de placas com vnculações nternas, como, por exemplo, lajes cogumelo e lajes com vgamento nterno, muto comuns nos projetos de edfícos. HU = GP+ B ( ) A equação ( ) será modfcada para prever a presença de pontos ou lnas nternas, onde os deslocamentos ou esforços serão prescrtos, permtndo-se portanto a análse das placas referdas acma. Esta modfcação ntroduzrá novas ncógntas, sendo necessára a obtenção de novas equações para que o sstema possa ser resolvdo. Estas novas equações são obtdas escrevendo-se equações ntegras de deslocamentos, para cada ponto onde ouver vnculação nterna. Será apresentada uma formulação envolvendo vnculação provenente de apoos nternos pontuas ou dstrbuídos em pequenas áreas, [2]. 2 APOOS PONTUAS O vetor B da equação matrcal () armazena a nfluênca de todo o carregamento externo aplcado à placa. Este carregamento pode estar atuando em áreas nternas, pontos ou lnas, podendo também ser nterpretado como reações ncógntas da nterface placa-vga ou placa-plar. No últmo caso, quando a área de contato é pequena em comparação com a área da placa, é possível admt-la pontual, sendo as reações nterpretadas como cargas concentradas, aplcadas à placa no ponto de contato j, com valor desconecdo R j, conforme Fg.. Fg. - Placa sobre apoos pontuas. Consderando-se uma placa com NAP, apoos nternos, a equação () pode ser reescrta como: HU = GP+ B+ S R ( 2 )

5 3 onde R é o vetor das reações com 3(NAP) elementos e S é uma matrz ) contendo a nfluênca dos termos: ( ) ( ) S = u *, x αβ αβ χ S = u *, x ( 3 ) 3α 3α χ ( ) ν ( ν) λ ( χ ) * * S = u χ, x u, x αα, As soluções fundamentas u * * j e u αα, são dadas por: * u = [ 8B ( ν)( 2lnz ) ] δ [ 8A+ 2( ν) ] r, r, 8πD ν u ( ) { } αβ αβ α β = u = ( 2lnz ) rr, ( 4 ) 8πD * * α3 3α α u = 8πD ν λ * 33 2 ( ) 2 [( ν ) z ( lnz ) 8lnz] 4π ν u * = [ rd( ) ( 4 4 ν ) δ 2 ( 2 8 ν ) A+ zk + r zk + A+ r r r + αβ, γ, γ αβ, α, β, γ ( 4A+ ν)( rαδ βγ + rβδ αβ) u,, ] rα = 2 πrd ( 5 ) *, αβ, β u [ δ ( 2ln z ) 2r, r, ] * = u, = + 8πD * α3, β 3α β αβ α β u * ln z = u, = 2πD * α3, α 3α α u r = 8πrD *, 33, α 2 [ 2 8] α ( ) ( ) 2 ν z ( ln z ) ν Para cada apoo nterno, tem-se três reações: as duas prmeras correspondem respectvamente aos momentos R M x e R M x2, a tercera representa a reação vertcal R w.

6 4 Para deslocamentos prescrtos nos NAP apoos nternos, tem-se na equação (), 3(NAP) reações ncógntas, necesstando-se portanto de mas 3(NAP) novas equações, para que o sstema seja resolvdo. Estas novas equações são obtdas, escrevendo-se equações ntegras referentes aos deslocamentos nternos (φ x, φ x2 e w) para os NAP apoos nternos. Segundo a equação matrcal para deslocamento em pontos nternos (6), estas novas equações podem ser agrupadas e escrtas como em (7): U = G PΓ HUΓ + B ( 6 ) U = G P H U+ B + S R ( 7 ) onde S é obtdo de manera análoga a S, tomando-se precauções com as ndetermnações, quando ξ concde com x. A expressão (7) pode ser reescrta como: H U U = GP + B+ SR ( 8 ) Agrupando-se () e (8), obtém-se: H H 0 U U = G B S G P + B S R + ( 9 ) Caso R seja prescrto, por exemplo, cargas externas concentradas, U é ncógnto, resultando : H H 0 U U = G G S P B S R B + ( 0 ) Caso, além de prescrto, R = 0, (0) fornece as duas equações matrcas para deslocamentos em pontos do contorno (), e em pontos do domíno (6). Para valores de U prescrtos, (0) transforma-se em: H H S U S R = G G 0 P B U B + ( )

7 5 mpondo-se as condções de contorno, o sstema () é resolvdo, determnandose, além das ncógntas do contorno, os valores das reações nternas R. Os deslocamentos e esforços nos pontos nternos conterão também a nfluênca destas reações. Supondo-se que os apoos j sejam as lgações da placa com plares e que os mesmos tenam rgdez axal nfnta, e rgdez a flexão nas dreções x e x 2 nulas, os deslocamentos w j e as reações R M x e R M x2 serão nulas. Esta é a stuação em geral utlzada na análse de lajes cogumelos, onde as ncógntas que nteressam são as reações vertcas. Para esta análse, basta apenas escrever as equações correspondentes aos deslocamentos transversas w j para os NAP apoos nternos, fcando a equação () reescrta como: H H S S U R =, 3j, 3j w G G, 0 P B W B, + 3j 3j ( 2 ) Resolvdo o sstema (2) os deslocamentos e esforços em pontos nternos conterão além da nfluênca das cargas de domínos, as reações R w dos NAP apoos nternos. 3 APOOS EM ÁREAS DSCRETAS Consdera-se neste tem a assocação placa-plar, onde a nterface é consttuída por uma área. Como pótese admte-se que a área de nterface permaneça plana após a deformação do conjunto, o que mplca numa dstrbução lnear de tensões na nterface. Seja a Fg. 2, onde mostra-se uma área genérca da nterface placa-plar, ndcando-se o sstema de referênca global xxx 2 3 e o sstema local do plar x yz. A tensão na área de nterface pode ser dada pela expressão segunte: σ ( x) R R R w M y M x = x + y ( 3 ) S yy xx onde o sstema de coordenadas x y representa os exos prncpas de nérca da área da nterface. Este sstema relacona-se com o sstema xx 2 da segunte forma: ( ) = + ( ) ( ) ( ) x x x0 x x x2 x = y0 + y x ( 4 ) onde x 0 e y 0 são as coordenadas do centro da nterface.

8 6 Fg. 2 -Assocação placa-plar : a) apoo genérco b) reações na nterface c) sstemas de referênca

9 7 Segundo a Fg. 2.c, pode-se escrever: ( ) ( ξ) ( ) ( ξ) x x = x + r cos θ x2 x = x2 + rsen θ ( 5 ) Levando-se (5) e (4) em (3), obtém-se: ( ) = ( ) ( + ) σ x σ ξ A cosθ Bsen θ r ( 6 ) onde: M R A = = yy M y yy M R 2 M x B = = ( 7 ) xx xx σ ( ξ Rw ) = + A[ ( ξ )] + [ ( ξ x0 x B y0 x2 )] S A equação (6) representa a dstrbução de tensões na área S j da nterface placa-plar, mas pode ser nterpretada como uma carga dstrbuída lnearmente, aplcada na mesma área. Desta forma, deve ser consderada a contrbução deste carregamento lnear no cálculo dos deslocamentos []. Seja a Fg. 3, onde se apresenta um conjunto placa-plar nas posções ncal e deformada da placa. Fg. 3 - Conjunto placa-plar.

10 8 Os deslocamentos da nterface φ, φ 2 e w são os mesmos para a placa e o plar. Supondo-se que estes deslocamentos fossem prescrtos, as ncógntas seram M, M 2 e R w, podendo o problema ser resolvdo conforme a equação (), onde os termos da matrz S seram obtdos a partr de (7) para reações untáras, separando-se os termos constantes e os dependentes de r. Geralmente nem os deslocamentos nem as reações da nterface placa-plar são conecdos. Neste caso, torna-se necessáro relaconar tas deslocamentos com seus esforços correspondentes. Como a estrutura formada pelos plares é um conjunto de barras ndependentes, para se obter a relação deslocamento-reação para cada nterface placa-plar, basta consderar apenas o plar em questão, obtendo-se: M M 2 R w j k = 0 k 22 0 k33 j φ φ 2 ( 8 ) w j com k = k E p yy k k E xx 22 = p ( 9 ) k 33 = ES onde: E - módulo de elastcdade longtudnal do materal do plar; xx, yy - momentos de nérca em relação aos exos x e y ; S - área da seção transversal do plar (área da nterface); - altura do plar; K p - um coefcente que depende das condções de apoo na base do plar: k p = 3 - plar artculado na base k p = 4 - plar engastado na base. O snal negatvo que aparece em (8) deve-se ao fato de que, para deslocamentos postvos, as reações são negatvas. A convenção dos valores postvos para as reações e deslocamentos está apresentada na Fg. 2.a. Levando-se (8) em (7), obtém-se:

11 9 A B kpe = φ kpe = φ 2 [ [ ]] σ ( ξ E ) = + ( ξ ) + ( ξ ) w A x x B y x ( 20 ) A equação (6), que representa a dstrbução lnear de tensões na área de nterface, será escrta a partr de (20) em função dos deslocamentos φ, φ 2 e w, resultando : kpe σ( x) = [ x( ξ) x0 + rcos θ] φ + kpe [ x ( ξ) y r ] E + sen θ φ w ( 2 ) Fg.4 - Área carregada S j. A nfluênca da carga σ(x) atuando na área S j, no cálculo dos deslocamentos, é dada por []: ν ( ν) λ * * ( x) u ( x) u ( x) d ( x) = σ 3 ξ, 2 αα, ξ, Ω q ( 22 ) Ω s qs

12 0 A ntegral no domíno nterno Ω qs será transformada em uma ntegral sobre o contorno Γ qs, stuação lustrada na Fg. 4, resultando []: onde: kpe {[ x( ξ) x0] } φ c r ( ξ) kpe = + + α α α kpe {[ x ( ξ) x ] } φ ( ξ) c r kpe = {[ x y ] } 2 E w α + φ c α r α ( 23 ) c {[ x y ] } 2 E + φ w ( 24 ) c r c α c 2 5 2ν = R z rα βd q x s πd 2 ln q s 3 ( ν) λ, cos Γ Γ ( ) rβ 3 3 8ν = R z R r r βd q x s πd 2 ln q s 2 ( ν) λ,, cos Γ Γ α α β c = 8πD ν λ ( ) 3 2 Γ q s ( ν ) ( ) 2 5 R z z 2 2 z d q x s ln ln 2 cos ( ν ) β Γ ( ) ( 25 ) 3 = rα 2 8πD ν λ ( ) ( ν ) R z z z rα d q x s q s ln ln 3 cos Γ, ( ν 2) β Γ ( ) com: r, α cosθ = senθ cos β = = cosθ senα sen θ cosα r, n c c ( 26 ) θ e α c estão lustradas na Fg. 4. Consderando-se uma placa com NAP apoos nternos, conforme o apoo genérco j da Fg. 2, pode-se escrever: HU = GP+ B+ QU s ( 27 ) onde a matrz Q de dmensões 3(Número de Nós do Contorno da Placa) x 3(NAP) contém os coefcentes expressos em (23) e (24) e o vetor U S contém os deslocamentos φ, φ 2 e w para todos os NAP apoos nternos.

13 Como os deslocamentos na nterface são os mesmos para a placa e para o plar, pode-se escrever: U = U ( 28 ) s Para que o sstema representado pela equação (27) possa ser resolvdo, torna-se necessára a cração de 3(NAP) novas equações, que serão as correspondentes aos deslocamentos nternos. Assm, tem-se: U U = G P H U+ B + Q U ( 29 ) onde Q representa a matrz Q para pontos nternos. Agrupando-se (27) e (29), obtém-se: H H 0 U U = G B Q G P + B Q U + ( 30 ) Levando-se os deslocamentos ncógntos U membro, obtém-se: do segundo para o prmero H Q U H Q U = G B G P + B ( 3 ) mpondo-se as condções de contorno, o sstema (3) é resolvdo encontrandose, além dos valores de contorno, os deslocamentos nos pontos nternos correspondentes aos NAP apoos. Com os valores U encontram-se as reações nos plares, e com estas obtêm-se as dstrbuções lneares de tensão sobre todas as áreas de nterface. Os deslocamentos e esforços em pontos nternos conterão a nfluênca de todos os carregamentos de domíno, nclusve das NAP regões carregadas com as cargas σ(x), dadas em (6). 4 EXEMPLOS NUMÉRCOS EXEMPLO : Placa quadrada com apoos nternos. Será analsada, neste exemplo, uma placa quadrada submetda a um carregamento unformemente dstrbuído em toda a área, sustentada apenas em quatro

14 2 apoos nternos. Os resultados serão comparados com os obtdos pelo programa SUPERSAP - Versão A placa fo dscretzada em 4 e 24 elementos de contorno para análse pelo MEC e em 9 e 225 elementos fntos para análse va SUPERSAP. As dscretzações em elementos de contorno e em elementos fntos estão mostradas na Fg. 5. Fg. 5 - a) Dscretzação em 4 e 24 elementos de contorno. b) Dscretzação em 9 e 225 elementos fntos (/4 da placa). O vão a é de 300 cm; a placa tem 0 cm de espessura, e a carga unformemente dstrbuída, é de -5 kn/m 2. O módulo de elastcdade longtudnal do materal E= MPa e o coefcente de Posson ν=0,667. Os resultados dos deslocamentos e momentos fletores nos pontos mostrados na Fg. 5 estão apresentados respectvamente nas tabelas e 2.

15 3 Tabela - Deslocamento transversal w (cm) MEC - 4 el. Cont. MEC - 24 el. cont. SUPERSAP Ponto 4 apoos 4 apoos 4 apoos 4 apoos elementos elementos pontuas em área pontuas em área -0,59-0,504-0,348-0,334-0,47-0, ,063-0,0602-0,0655-0,0645-0,0672-0, , , , , ,007 +0, , , , ,024 +0, ,025 Tabela 2 - Momentos fletores (knxcm) PONTO MEC 4 elementos MEC 24 elementos SUPERSAP 9 elementos SUPERSAP 225 el. M M 2 M M 2 M M 2 M M apoos pontuas -5,42-5,42-57,64-57,64-204,40-204,40-347,67-347,67 4 apoos em área -34,94-34,94-348,3-348,3 4 4 apoos pontuas -77,85-234,49-84,5-243,9-25,08-237,00-87,00-242,59 4 apoos em área -79,24-232,37-85,52-24, apoos pontuas -2,23-2,23-28,48-28,48-248,83-248,83-28,50-28,50 4 apoos em área -20,89-20,89-28, -28, Consderando-se a solução em elementos de contorno, foram consderados 4 apoos pontuas ou 4 apoos dstrbuídos numa área de 20 x 20 cm 2. Analsando-se a tabela, nota-se que os valores dos deslocamentos são bons, mesmo para uma dscretzação pobre, tanto em elementos de contorno como em elementos fntos. No cálculo dos momentos fletores, fo consderada a méda dos quatro elementos fntos concorrentes no nó analsado. Os resultados obtdos com os elementos de contorno mostraram-se bastante satsfatóros, mesmo para uma dscretzação pobre de um elemento de contorno por lado da placa. A dscrepânca observada no momento fletor do ponto 3 para o caso dos apoos pontuas se explca pela descontnudade deste esforço para esta stuação, pos sabe-se que o momento fletor tende para nfnto nos pontos correspondentes a estes apoos. O valor tabelado neste caso representa o momento fletor para um ponto stuado a uma dstânca muto pequena do apoo, neste caso gual a cm.

16 4 EXEMPLO 2: Placa com 6 apoos nternos Neste exemplo, analsa-se uma placa retangular de 2x8 m 2 apoada em 6 apoos nternos, conforme Fg. 6. Fg. 6 - Placa do Exemplo 2. A placa tem uma espessura de 5 cm e está submetda a um carregamento unformemente dstrbuído de -8 kn/m2; o coefcente de Posson é gual a 0,2 e o módulo de elastcdade longtudnal é gual a MPa. As dscretzações em elementos de contorno e em elementos fntos estão mostradas na Fg. 7.

17 5 Fg. 7 - a) Dscretzação em elementos de contorno b) Dscretzação em elementos fntos Os deslocamentos vertcas e os momentos fletores nos nós ndcados na Fg. 7 estão relaconados nas tabelas 3 e 4 respectvamente. Tabela 3 - Deslocamentos vertcas para o Exemplo 4. w (cm) PONTO MEC SUPERSAP +,039 +, ,789 +0, ,340 +0, ,795 +0, ,80 +0,80 7-0,429-0, ,056 -, ,84 -,76 -,45 -, ,272 -, ,58 -, ,672 -, ,876 -, ,789 -,782

18 6 Tabela 4 - Momentos fletores para o Exemplo 4. M (kn/cm 2 ) PONTO MEC SUPERSAP M M 2 M M Analsando-se os valores das tabelas 3 e 4, nota-se que os deslocamentos são pratcamente concdentes, as dferenças apresentadas nos momentos fletores se referem apenas aos apoos. 5 CONCLUSÕES A técnca apresentada utlzando o MEC para a análse de placas com apoos nternos mostrou resultados bastante satsfatóros, quando comparados com os de outras técncas numércas. A análse dos dos exemplos mostrou que, mesmo desprezando as reações M e M 2, tomando-se xx = yy = 0, é convenente usar a segunda formulação, por menor que seja a área da nterface placa-plar. A tensão σ(x), neste caso, é constante e gual à tensão méda (σ(x)=r w /s). Para a rgdez axal nfnta a ncógnta é a tensão σ(x). Quando se consdera a rgdez axal real do plar, a ncógnta será o deslocamento w. A reação dstrbuída unformemente na área de nterface conduz a resultados melores, pos se evtam desta forma as sngulardades que apareceram no ponto de aplcação da reação, caso a mesma fosse consderada concentrada. REFERÊNCAS BBLOGRÁFCAS [ ] SLVA, N.A. Aplcação do método dos elementos de contorno à placas com enrjecedores utlzando a teora de Ressner. São Carlos, 996. Tese (Doutorado) - Escola de Engenara de São Carlos, Unversdade de São Paulo.

19 7 [ 2 ] PAVA, J.B. Formulação do método dos elementos de contorno para a flexão de placas e suas aplcações em engenara de estruturas. São Carlos, 987. Tese (Doutorado) - Escola de Engenara de São Carlos, Unversdade de São Paulo. [ 3 ] WEEËN, F.V. Applcaton of boundary ntegral equaton metod to Ressner s plate model. nt. J. Num. Met. Eng., v.8, n., p. -0, 982.