DETERMINAÇÃO DO FACTOR CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES EM PLACAS UTILIZANDO A EXTENSOMETRIA COM VALIDAÇÃO NUMÉRICA
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- Ana Luiza Bennert Caldeira
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1 DETERMINAÇÃO DO FACTOR CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES EM PLACAS UTILIZANDO A EXTENSOMETRIA COM VALIDAÇÃO NUMÉRICA Fonseca, E.M.M. 1 ; Mesquta, L.R. 2 ; Calero, C. 3 ; Lopes, H. 4 ; Vaz. M.A.P. 5 Prof. Adjunta 1, Assstente 2,4, Técnca LFAC 3, Prof. Assocado 5 1,2,3,4 Escola Superor de Tecnologa e de Gestão de Bragança do IPB 5 Departamento de Engenhara Mecânca e Gestão Industral da FEUP RESUMO É apresentada uma metodologa expermental para determnação do factor concentração de tensões, com base na técnca de extensometra, em placas com furos crculares. Pretende-se efectuar a comparação dos resultados expermentas com resultados numércos obtdos em códgos comercas: ANSYS e COSMOS/M. É anda apresentada a mesma solução usando um programa de elementos fntos desenvolvdo FEMSEF. 1 - INTRODUÇÃO A extensometra é uma técnca expermental que permte estudar as deformações num materal, em função da varação de uma resstênca eléctrca, colada sobre a superfíce do materal. A análse das deformações numa estrutura, permte-nos determnar o tpo de esforços a que esta está submetda. Medante uma nstrumentação adequada pode-se medr a varação da resstênca do extensómetro quando submetdo a uma determnada carga e, em função do seu factor de calbração, obter-se a deformação que essa carga orgna sobre o materal. Pretende-se assm determnar o factor concentração de tensões em placas com furos crculares utlzando esta metodologa. Fnalmente, comparam-se os resultados expermentas com os obtdos numercamente utlzando os programas COSMOS/M e ANSYS. Utlza-se anda um programa de elementos fntos desenvolvdo, FEMSEF, que permte confrmar a mesma solução numérca. 2 - EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS Um estado de deformação pode ser caracterzado pelas ses componentes do vector deformação assocadas às três drecções no espaço. Estas componentes são defndas de acordo com o campo de deslocamentos (u, v, w: u ε xx v ε yy w ε zz (1 v u γ xy + w v γ yz +
2 u w γ zx + O cálculo da concentração de tensões é efectuado em função: σ max K t (2 σ em que: σ max - representa a tensão máxma medda no furo e σ - a tensão normal. Para o caso em estudo, utlzaram-se dos métodos que nos permtem calcular este valor, usando a técnca de extensometra e o método dos elementos fntos. Para o caso da extensometra o cálculo da tensão máxma é função do snal meddo por varação da resstênca eléctrca colada à superfíce do furo, em que usando a le de Hooke, se pode obter: 1 V 3 σ max E ε E 4 1 (3 G E' sendo: G - o factor de calbração do extensómetro, V/E - o valor meddo e E - o módulo de elastcdade do materal. Heywood, 1952, desenvolveu uma fórmula empírca para cálculo de K t para váras dmensões de provetes conforme a equação (4. Esta fórmula apresenta bons resultados com a representação gráfca para K t de Howland, 1952, para valores da relação d/d nferores a.3, conforme referênca bblográfca de R.E. Peterson. 3 d D K t (4 d 1 D D - representa a largura da placa e d - o dâmetro do furo. No caso dos resultados apresentados por elementos fntos, a elaboração do programa obedece à formulação do equlíbro de forças em problemas de elastcdade fazendo-se uso do prncípo dos trabalhos vrtuas: T T T δε σdω δu bdω δu tdγ (5 [ ] [ ] [ ] Ω Ω sendo: σ - o vector de tensão; b o vector de forças de massa; t o vector de forças na frontera; δu o vector dos deslocamentos vrtuas; δε - é o vector assocado às deformações vrtuas; Ω - o domíno em Γ questão e Γ - o domíno prescrto, respetante aos deslocamentos de frontera. A relação tensão-deformação para cada elemento e, é dada pela expressão: r e e e e e e σ D ε D B j d j (6 j 1 No caso da utlzação de elementos planos a matrz de elastcdade D é representada por: 1 E D 1 ( ( ( sendo o coefcente de Posson. A matrz de deformação B, também para problemas bdmensonas, é representada pelas dervadas das funções de forma, através de: ( e j ( e j (8 B ( e ( e j j No caso da formulação sólda as equações seguntes representam a matrz D e B, respectvamente: 1 1 D A 1 com: E(1 A (1 + (1 2 1 (1 2 2( (1 2 2( (1 2 2( (9
3 B ( e ( e ( e ( e ( e ( e ( e ( e e e ( ( (1 São utlzados elementos soparamétrcos bdmensonas de 8 nós e elementos sóldos de 2 nós. Faz-se a ntegração no domíno usando uma regra de Gauss. Para obtenção do campo de tensões nodas desenvolveu-se um algortmo de extrapolação das tensões obtdas nos pontos de Gauss para os nós dos elementos. O resultado das tensões pode ser verfcado através da utlzação de um programa de pós-processamento desenvolvdo. 3 - APLICAÇÃO DA TÉCNICA DE EXTENSOMETRIA As placas a ensaar são de aço, tabela 1 e têm a geometra apresentada conforme fgura 1 e tabela 2. Tabela 1 Propredades mecâncas. Propredades do materal Módulo de elastcdade E 21GPa Tensão de cedênca σ y 311MPa Coefcente de Posson.3 D d Nos testes expermentas utlzou-se uma força de 25KN, valor este que orgna tensões nferores à tensão lmte elástca. Para a colocação do extensómetro à superfíce do provete, utlzaram-se todos os materas dsponíves para esse efeto, desde a conexão do extensómetro bem como o materal para lmpeza e protecção do local de medda, fgura 2. Fg. 2 - Materal para preparação e colagem do extensómetro. A fgura 3 pretende demonstrar zonas ncas que servram de teste para a colocação dos extensómetros. Na zona assnalada como A, pretendeu-se verfcar a máxma deformação nstalada conclundose que era nferor à obtda no caso do extensómetro colado dentro do furo, conforme a fgura 5. O extensómetro colado na zona B servu para obter a letura da deformação e cálculo drecto da tensão normal. Dada a localzação próxma do furo, o nível de tensão aí nstalado, era nferor ao valor de cálculo da tensão normal. O extensómetro devera ser colado numa drecção mas próxma do sstema de amarração. Resolveu-se assm nstalar uncamente um extensómetro na drecção axal dentro do furo para medção da deformação máxma. Fg. 1 Placa com furo. Tabela 2 Geometra das placas. Geometra Comprmento L 14 [mm] Largura D 5 [mm] Espessura t 8 [mm] Dâmetro d [mm] Relação d/d L A B Fg. 3 Instrumentação ncal.
4 A fgura 4 representa os cnco provetes preparados para o ensao de tracção. Todos os extensómetros utlzados foram colados no nteror do furo, fgura 5. Para a aqusção e condconamento de dados utlzou-se o sstema Spder8, dsponível no LERM, como se pode observar na fgura 7. Este sstema está lgado por um PC que utlza um software que permte a letura da medção efectuada através de parâmetros de controlo de processo. Fg. 4 Placas com furos nstrumentados. Fg. 7 Máquna de ensaos unversal e sstema Spder8. Fg. 5 Pormenor da colocação do extensómetro. Para a execução do ensao à tracção, fxou-se o provete na máquna de ensaos unversal dsponível no LERM (Laboratóro de Estruturas e Resstênca dos Materas da ESTIG, fgura 6. A largura dos provetes fo mposta tendo em consderação a largura do sstema de maxlas. Defnu-se uma carga máxma de 25 KN, após a qual se dexa establzar o sstema de aqusção de dados para letura do valor de deformação. 4 - ESTUDO NUMÉRICO Pretende-se valdar os mesmos resultados numercamente utlzando códgos de elementos fntos dsponíves. Foram smuladas todas as placas referdas anterormente, para as mesmas condções, sendo dscretzadas com elementos fntos planos e sóldos. As fguras 8 e 9 mostram os resultados obtdos para o caso da placa de aço com dâmetro de 15[mm], usando o programa COSMOS/M e ANSYS, respectvamente. Fg. 6 Colocação do provete na máquna para aplcação do ensao de tracção numa das amostras. Para a medção da varação da resstênca do extensómetro, este é ncorporado numa ponte de medda. A varação da resstênca do extensómetro será obtda como uma varação da tensão nos termnas dessa ponte. Fg. 8 Tensão axal obtda no COSMOS/M, utlzando elementos de 8 e 2 nós, [N/m 2 ].
5 A tensão é máxma junto ao furo, conforme se verfca nas análses efectuadas às váras placas através de resultados obtdos com o programa FEMSEF, fgura 11. Tensão Axal [N/m^2] 3.E E+8 1.5E+8 d/d.3 d/d.36 d/d.4 d/d.45 Fg. 9 Tensão axal obtda no ANSYS, utlzando elementos de 8 e 2 nós, [N/m 2 ]. Os mesmos resultados, para as mesmas condções, foram obtdos num programa desenvolvdo FEMSEF, utlzando-se aqu uncamente a dscretzação de um quarto da placa dadas as suas condções de smetra. 7.5E+7 d.e+ D d/d.5 Fg. 11 Evolução da tensão axal, para as váras placas em análse, resultados FEMSEF. A tabela 3 e fgura 12 evdencam todos os resultados obtdos, para as váras placas em análse, comparáves com as soluções teórcas de Heywood e Howland K t d/d Heywood Howland Expermental Cosmos/M_8nos Cosmos/M_2nos Ansys_8nos Ansys_2nos Femsef_8nos Femsef_2nos Fg. 1 Tensão axal obtda no FEMSEF, Fg. 12 Factor concentração de tensões: utlzando elementos de 8 e 2 nós, [N/m 2 ]. comparação de resultados. Tabela 3 Resultados obtdos para cálculo de K t. d/d Heywood Howland Expermental Cosmos/M Cosmos/M Ansys Ansys Femsef Femsef 8nos 2nos 8nos 2nos 8nos 2nos CONCLUSÕES Foram efectuados ensaos em placas com furos crculares com váras dmensões, para obtenção da tensão máxma junto ao furo. Os mesmos modelos, nas mesmas condções foram analsados usando o método dos elementos fntos, através de programas comercas e de um programa desenvolvdo. Verfcou-se uma convergênca de valores nas soluções obtdas, comparáves com as curvas teórcas referencadas. O presente trabalho servu anda para demonstrar a utlzação de váras técncas dsponíves, possíves de serem utlzadas em conjunto e valdarem casos em estudo smlares.
6 REFERÊNCIAS Fonseca, E.M.M., Program FEMSEF Fnte Element Modellng for Structures Exposed to Fre - User s Manual, V2, ESTIG, Bragança, 21 Bravo, M.A., Curso de Extensometra, Grupo de Meddas Ibérca, s.l., Madrd, 2 MM, Surface Preparaton for Stran Gage Bondng, Measurements Group, Inc. USA, 1976 Mesquta, L.M.R., Técncas de Expermentação no Âmbto da Extensometra no ITB, ESTIG, Bragança, 1999 Oñate, E., Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Fntos, Centro Internaconal de Métodos Numércos en Ingenería, 1995 Beer, F.P., JR Johnston, E.R., Mechancs of Materals, McGrawHll, 1981 Peterson, R.E., Stress Concentraton Factors, Jonh Wley & Sons, 1973 Zenkewcz, O.C., Taylor, R.L., The Fnte Element Method, Vol.1, McGraw-Hll, 1991 Krshnamoorthy, C.S., Fnte Element Analyss, Tata Mc Graw-Hll, 1997 Stasa, F.L., Appled Fnte Element Analyss for Engneers, L.S. Fletcher, Seres Edtor, 1985
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