ANÁLISE ESTRUTURAL I NOTAS DE AULA. Assunto: Princípio dos Trabalhos Virtuais

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1 NÁLISE ESTRUTURL I NOTS DE UL ssunto: Prncípo dos Trabalhos Vrtuas - -

2 - Força Generalzada, Deformações e Deslocamentos O conceto de força generalzada deve ser entenddo com o sgnfcado de uma força, um bnáro de forças, ou um conjunto de forças e bnáros atuando em uma estrutura. o longo do texto este conceto é utlzado freqüentemente usando-se apenas a palavra força. Às vezes este conceto é encontrado na lteratura sob a denomnação de ação. Uma força generalzada pode ser nterna ou externa, e uma força externa pode ser atva ou reatva. Fg. lustra o sgnfcado de forças generalzadas externas (F, e F ) atuando na extremdade lvre de uma vga em balanço, sendo F uma carga concentrada vertcal e F um momento. s forças F, e F são forças externas atvas, enquanto as reações de apoo em, R (componente vertcal), e R (momento) são forças externas reatvas. R F Forças externas: tvas: F, F F Reatvas: R, R R Fg. Vga em alanço: forças externas e nternas dmtndo-se que a vga da Fg. esteja em equlíbro sob a ação das forças ndcadas, seccona-se o trecho. Representando-se o dagrama de corpo lvre desta parte, conforme mostrado na Fg., para manter o equlíbro da mesma é necessára a aplcação de uma componente de força cortante V e de um momento fletor M na seção. força cortante V e o momento fletor M são os esforços nternos resultantes da ntegração das dstrbuções das tensões de csalhamento e das tensões normas na seção, respectvamente. Estas componentes de tensão caracterzam o que se chama estado de tensão, sendo moblzadas nos dversos pontos do volume da barra pela ação do carregamento, - -

3 e podem ser calculadas conforme consderações desenvolvdas nos textos de Resstênca dos Materas. Os esforços nternos na seção serão também entenddos como forças generalzadas, neste caso serão forças nternas generalzadas. Os valores máxmos destas forças nternas, sto é, os valores máxmos que a vga suporta, dependem das característcas geométrcas da seção transversal e da resstênca do materal da vga, sendo chamados genercamente de resstênca da seção a força cortante e ao momento fletor. Durante a fase de projeto, um dos objetvos fundamentas é a defnção de dmensões sufcentes para as seções transversas e a especfcação de materas com resstênca adequada para que a estrutura suporte com segurança os carregamentos atuantes. M F Forças nternas: V F V, M Fg. - Dagrama de corpo lvre de um trecho de vga Uma estrutura solctada por um sstema de forças sofre mudança de forma, o que é chamado de deformação. Neste processo os pontos da estrutura sofrem deslocamentos, ou seja, mudanças de posção em relação às suas posções ncas e em relação uns aos outros. s deformações são defndas matematcamente por meo de consderações geométrcas em cada ponto do volume do corpo ou da barra a partr das funções que descrevem os deslocamentos dos pontos segundo as dreções dos exos de referênca. Esta defnção é encontrada para os casos mas smples nos lvros de Resstênca dos Materas, ou de forma mas rgorosa nos lvros de Teora da Elastcdade. s componentes de deformação são grandezas admensonas e caracterzam completamente a mudança de forma de um elemento nfntesmal em torno de - 3 -

4 um ponto. deformação, ou estado de deformação, tal como a tensão, é uma grandeza tensoral, e para o caso de estruturas planas, contdas no plano xy, pode ser defnda bascamente pelas componentes: ε x ε y ε z e γ xy. Os deslocamentos decorrem do efeto acumulado das deformações nos pontos do corpo ou da estrutura. Um deslocamento deve ser entenddo genercamente como uma translação ou rotação de algum ponto da estrutura. translação de um ponto costuma também ser referda como deslocamento lnear e a rotação como deslocamento angular ou gro. Na realdade, os pontos de uma estrutura submetda a um carregamento qualquer fcam sujetos a estados de tensão e se deformam em maor ou menor grau, conseqüentemente se deslocam. Durante o projeto estrutural, outro objetvo fundamental a ser atngdo é especfcar as peças da estrutura com dmensões e materas adequados, para que sejam evtados deslocamentos excessvos quando a estrutura estver em funconamento sob ação dos carregamentos. s estruturas usuas, depos de acabadas, trabalham em regme de pequenos deslocamentos, conforme hpótese rotnera na análse das mesmas. ssm, em geral, estes deslocamentos não são faclmente perceptíves ao usuáro, a não ser em casos de comportamento anormal da estrutura. Na Fg. 3 é mostrada uma vga em balanço, deformada sob a ação de uma força vertcal P aplcada a extremdade, e os deslocamentos possíves: translação e rotação θ. Vga ndeformada P Vga deformada Fg. 3 Deslocamentos numa vga em balanço O conceto de deslocamento decorrente das deformações, conforme exposto anterormente, não deve ser confunddo com deslocamento de corpo rígdo (deslocamento geométrco), sto é, deslocamentos que ocorrem devdo a movmentos de corpo rígdo de uma estrutura. Estes podem surgr quando a - 4 -

5 estrutura tem vnculação nsufcente em número ou devdo a má dsposção dos vínculos como é o caso das formas crítcas, ou anda em trechos de uma estrutura corretamente vnculada. Na Fg. 4, por exemplo, o trecho em balanço, da vga, se desloca rgdamente quando a vga, corretamente vnculada, é carregada ao longo do vão. Os deslocamentos de corpo rígdo em geral não estão assocados à deformação da estrutura, e devem ser evtados a todo custo quando puderem advr de vnculação defcente. - ondções de ompatbldade de Deslocamentos Na análse estrutural, além das condções de equlíbro, devem ser satsfetos todos os requstos de compatbldade de deslocamento. s condções de compatbldade dzem respeto à contnudade dos deslocamentos e dos requstos de vnculação da estrutura nos apoos. ssm, em geral, numa seção qualquer de uma barra da estrutura, sendo esta seção defnda por um ponto sobre o exo barra, tomando-se um ponto localzado um nfntésmo à esquerda e outro ponto stuado um nfntésmo à dreta, os deslocamentos destes pontos vznhos à esquerda e à dreta devem ser guas ao deslocamento do ponto da seção para que haja contnudade de deslocamentos, desde que nesta seção não exsta nenhum tpo especal de conexão que permta a ocorrênca de descontnudades de deslocamento. ssm, na Fg. 4, a flecha no ponto S e e no ponto S d devem ser guas à flecha no ponto S. P P Se S Sd Fg. 4 Lnha Elástca de Uma Vga apoada - 5 -

6 Na vga mostrada na Fg. 4, está representada uma lnha elástca compatível com a vnculação da vga para um carregamento genérco no vão. O trecho em balanço supõe-se descarregado e, portanto não se deforma, mas gra rgdamente em torno de. Os pontos e estão mpeddos de se deslocarem na dreção vertcal e o ponto também não pode se deslocar na dreção horzontal, pos os respectvos deslocamentos estão mpeddos de ocorrer pela ação dos apoos. Portanto, uma elástca compatível, tal como esboçada na Fg. 4, deve apresentar contnudade de deslocamentos ao longo da estrutura e satsfazer as condções de contorno nos apoos. s rotações θ e θ, respectvamente, à esquerda e à dreta do apoo, devem ter mesmo valor numérco e mesmo sentdo. No ponto não exste artculação nterna entre os trechos e da vga, devendo-se observar que a vga aí se artcula externamente. Na vga da Fg. 3 deve-se notar que o engastamento em mpede todos os deslocamentos possíves da seção, sto é, deslocamento horzontal, vertcal e gro, enquanto na extremdade nenhuma componente de deslocamento está restrngda. s condções de compatbldade são muto mportantes na análse estrutural pos permtem complementar o número de equações de equlíbro estátco quando se analsa uma estrutura hperestátca pelo método da forças. 3 - omportamentos áscos dos Materas: Lneardade, Não-lneardade, Elastcdade, Plastcdade O comportamento físco de um materal é defndo pelas relações exstentes entre as tensões atuantes e as correspondentes deformações por elas provocadas. Os concetos de lneardade e elastcdade são teorcamente ndependentes, mas na prátca mutas vezes se confundem. O entendmento correto destes concetos relaconados ao materal da estrutura é de fundamental mportânca, pos deles va depender o comportamento global da estrutura. lneardade físca corresponde a uma relação dretamente proporconal entre tensões e deformações, conforme lustrado na Fg. 5-a. Na Fg. 5-b mostra

7 se o caso de um materal cuja relação tensão-deformação é não-lnear, sto é, as tensões não são dretamente proporconas às deformações. σ σ σ - Tensão ε- Deformação a - Lneardade ε b - Não-lneardade ε Físca Físca (a) Fg. 5 omportamento Lnear e Não-lnear do Materal (b) Dz-se que um materal é elástco quando, uma vez deformado sob um determnado carregamento, ao se retrar este carregamento há um retorno à stuação ncal (ndeformada), sto é, sem deformações resduas. trajetóra percorrda no descarregamento é a mesma percorrda no carregamento. Portanto, elastcdade é a propredade que certos materas dealzados possuem de se deformarem quando submetdos a tensões, e de voltarem à condção ncal ndeformada, quando o estado de tensão que causou a deformação é removdo. No caso de não haver retorno à stuação ncal, sto é, permanecerem deformações resduas, quando o materal é carregado e em seguda descarregado, o materal é dto elastoplástco. Neste caso uma parte da deformação é recuperável e outra não. Parte da energa absorvda durante o processo de carregamento é dsspada nternamente para produzr deformações plástcas permanentes, alterando assm a estrutura nterna do materal em nível mcroscópco, e conseqüentemente as propredades de rgdez e resstênca do mesmo. Na Fg. 6 são apresentados os dagramas tensão x deformação típcos para materal elástco não-lnear, materal elástco lnear e materal elastoplástco

8 σ σ σ σ σ σ carga Materal elástco ε ε εp = Deformação plástca resdual ε Materal elástco perfeto (lnear) ε εp εe = Deformação elástca Fg.6 Dagramas Tensão x Deformação Típcos εe Materal elasto-plástco ε = εe + εp descarga ε Deve-se observar que no caso de materal elastoplástco, a trajetóra de descarregamento não é a mesma do carregamento. utlzação de materas do tpo elástco não-lnear ou elastoplástco nduz a estrutura a se comportar de forma não-lnear, sto é, a relação entre as cargas e os deslocamentos não é neste caso dretamente proporconal. Uma aproxmação teórca mutas vezes utlzada para smular os materas elastoplástcos é o chamado comportamento elastoplástco perfeto, no qual abaxo de um certo lmte de solctação fy assume-se que o materal apresenta comportamento elástco-lnear; acma deste lmte o comportamento é elastoplástco. Este comportamento é lustrado pelo dagrama tensão x deformação da Fg.7, onde a tensão de escoamento fy é admtda como concdente com a tensão lmte de proporconaldade do materal. σ patamar de escoamento fy ε ε εp εe Fg. 7 Materal Elastoplástco Perfeto - 8 -

9 Para valores de tensão σ abaxo da tensão de escoamento f y o comportamento é elástco-lnear, enquanto para valores acma de f y o materal se comporta como perfetamente plástco, sendo f y o valor máxmo de tensão que o materal suporta. Quando a tensão atnge o valor f y o materal começa a se deformar ndefndamente sob tensão constante. Os modelos de comportamento descrtos acma são aproxmações dealzadas do comportamento real dos materas. Na realdade, os materas com aplcação estrutural não apresentam o mesmo comportamento para todos os níves de tensão. Para solctações baxas, o comportamento é quase sempre aproxmadamente elástco, assmlável a lnear. cma de certos níves de tensão o comportamento passa a ser elastoplástco. Na maora dos casos, nos projetos estruturas, os fatores de segurança aplcados sobre solctações e resstêncas fazem com que os materas quase sempre trabalhem em um nível de tensão abaxo de 40 % da sua tensão de escoamento. Por esta razão na maora das vezes consdera-se o materal com comportamento elástco-lnear para fns de análse estrutural, com sto obtém-se uma smplfcação muto sgnfcatva na modelagem matemátca do comportamento da estrutura. Isto va sgnfcar no fnal do processo que o comportamento da estrutura va ser descrto por um sstema lnear de equações algébrcas em termos das forças nternas e externas ncógntas e dos carregamentos no caso do Método das Forças, ou em termos dos deslocamentos ncógntos e dos carregamentos no caso do Método dos Deslocamentos. aso a hpótese de comportamento lnear da estrutura não possa ser aplcada reca-se num sstema de equações não-lneares cuja solução é muto mas elaborada e dspendosa. Neste caso os coefcentes das ncógntas do sstema de equações são dependentes dos valores das ncógntas e a solução do sstema em geral se basea num esquema de solução ncremental e teratvo

10 omportamento Geométrco das Estruturas: Lneardade e Não-lneardade Geométrca O comportamento geométrco de uma estrutura é defndo pelas relações entre forças e efetos estruturas correspondentes. lneardade geométrca exste quando os efetos são combnações lneares das causas. Exemplo: P P P Fg. 8 omportamento Lnear Na Fg. 8 apresenta-se uma vga de comportamento lnear. Exste lneardade, pos os efetos estruturas são dretamente proporconas às forças, sto é, ao se dobrar o valor da força externa P, o valor do deslocamento na extremdade da vga também fca dobrado. Para se ter comportamento lnear numa estrutura exge-se necessaramente o comportamento lnear do materal (lneardade físca), e lneardade geométrca da estrutura. Para a lneardade geométrca deve-se ter um arranjo adequado das barras e dos vínculos de forma que seja possível estabelecer as condções de equlíbro estrutural na posção ncal da estrutura ndeformada. Para tanto a estrutura deve funconar em regme de pequenos deslocamentos e pequenas deformações. Não é possível uma estrutura apresentar comportamento lnear se o materal tver comportamento não-lnear, bem como não há possbldade da - 0 -

11 estrutura apresentar comportamento lnear se apresentar alguma não-lneardade geométrca. P α α Fg. 9 Estrutura com não-lneardade geométrca Para estrutura apresentada na Fg. 9, não se consegue o equlíbro no ponto sem consderar a deformação das barras e e os conseqüentes deslocamentos. ssm, para formular o equlíbro do nó, conforme Fg. 9, é necessáro levar em conta o ângulo α formado entre as barras na posção deformada e na posção ncal. Esta estrutura apresenta comportamento nãolnear para qualquer valor de P e qualquer tpo de materal, e é consderada uma forma crítca da estrutura apresentada na Fg. 0. P α α Fg. 0 Estrutura com Lneardade Geométrca Na Fg. 0 apresenta-se uma estrutura dervada da estrutura da Fg.,9 mas cuja dsposção de barras e vínculos permte a ocorrênca de lneardade geométrca. Neste caso se a estrutura for composta de materal elástco lnear apresentará comportamento elástco lnear como um todo, neste caso há proporconaldade entre P e. Se a estrutura da Fg. 0 for composta de barras muto delgadas e materal muto deformável, de forma que os deslocamentos não possam ser consderados como pequenos, e de tal forma que o equaconamento da estrutura na posção ndeformada leve a resultados sgnfcatvamente dferentes daqueles obtdos - -

12 com o equaconamento para o equlíbro na posção deformada, tem-se comportamento não-lnear geométrco. Isto sgnfca que não se podem desprezar os efetos das rotações α das barras, e a varação dos comprmentos das barras e. aso se utlze, neste problema, a smplfcação de comportamento lnear, os resultados serão muto dferentes do comportamento real, aparecendo portanto a necessdade de se consderar as rotações α na análse e confgurando-se a necessdade de se consderar o comportamento nãolnear geométrco. Quando é possível formular o equlíbro consderando-se a confguração ncal ndeformada da estrutura, tem-se a chamada teora de prmera ordem, caso contráro, a formulação deve ser em teora de segunda ordem. 4 - Prncípo da Superposção dos Efetos Quando uma estrutura tem comportamento elástco-lnear (lneardade físca e geométrca) pode-se consderar que os efetos produzdos por váras causas podem ser obtdos combnando-se os efetos produzdos pelas causas atuando ndvdualmente. O prncípo enuncado acma é conhecdo como prncípo de superposção dos efetos e, na prátca, pode ser aplcado quando o comportamento da estrutura é elástco-lnear, ou seja: a) O materal segue a Le de Hooke (comportamento elástco-lnear); b) Deslocamentos e deformações nos pontos da estrutura são pequenos (lneardade geométrca); c) Não exste nteração entre efetos de força axal e momento fletor nas barras (lneardade geométrca); d) dsposção das barras e de vínculos é tal que se pode formular o equlíbro na posção ncal da estrutura ndeformada. omo causas ncluem-se forças e momentos externos aplcados, deslocamentos de apoo, gradentes de temperatura, e quasquer carregamentos em geral. omo efetos entendem-se reações de apoo, deslocamentos, tensões e deformações. - -

13 Na Fg. apresenta-se um exemplo lustratvo da aplcação do prncípo de superposção dos efetos no caso de uma vga submetda a forças externas F e F. O cálculo de um efeto qualquer pode ser realzado consderando-se a aplcação smultânea de F e F, ou alternatvamente, pode ser efetuado aplcando-se cada uma das forças soladamente e calculando-se o respectvo efeto parcal. O efeto total será a soma dos efetos parcas se a estrutura tver comportamento elástco lnear. Por exemplo, na Fg. (a), F e F são forças externas aplcadas (causas) e consderando-se os efetos R, R, M (reações de apoo) e (deslocamento vertcal em ). Na Fg. (b) e (c) aplcam-se F e F, respectvamente, e obtêm-se os efetos ndvduas: R, R, M, (causados por F ) e R, R, M, (causados por F ), os efetos totas podem ser calculados por meo de: R = R + R M = M + M () R = R + R = + M F F R (a) R M' F M'' F ' " R' R' R'' (b) (c) Fg. Prncípo de Superposção dos Efetos R'' - 3 -

14 Um outro caso de utlzação do prncípo de superposção dos efetos é mostrado na Fg., para uma vga submetda a um recalque e a uma rotação de apoo θ em. stuação é nteramente análoga à do exemplo anteror e o cálculo de um efeto qualquer pode ser efetuado aplcando-se cada um dos deslocamentos de apoo especfcados, separadamente, e avalando-se o respectvo efeto parcal, sendo o efeto total a soma dos efetos parcas: R = R + R M = M + M () R = R + R = + R M R (a) M'' ' '' ' R' M' R' (b) R'' (c) R'' Fg. - Prncípo de Superposção dos Efetos Vga com Recalque de poo - 4 -

15 5 - orrespondênca entre Força e Deslocamento Um conceto mportante e muto útl em análse estrutural é o de correspondênca entre força e deslocamento. onsdera-se que força e deslocamento são correspondentes quando: São de mesma natureza, sto é, uma força corresponderá a um deslocamento lnear, e um momento a um deslocamento angular (rotação); Estão localzados no mesmo ponto da estrutura; Têm mesma dreção e mesmo sentdo consderado como postvo. Por exemplo na Fg.3, a força vertcal P na extremdade lvre da vga em balanço corresponde ao deslocamento vertcal neste mesmo ponto e ambos são consderados postvos quando estverem drgdos para baxo, sentdo adotado como postvo neste caso. O momento M aplcado naquela mesma extremdade lvre corresponde à rotação θ da extremdade e como têm o mesmo sentdo (horáro) terão o mesmo snal. aso os sentdos sejam contráros obvamente os snas serão contráros. O sentdo postvo pode ser arbtrado no níco da análse e deve ser mantdo a partr de então. P M P correspondente a M correspondente a θ Fg.3 orrespondênca entre Força e Deslocamento relação de correspondênca é dferente da relação de causa. No exemplo anteror, e θ são ambos causados pela ação conjunta de P e M. ssm na Fg.3, parte do deslocamento é causado pela força P e parte pelo momento M, o mesmo racocíno vale para a rotação θ. Por meo do conceto de correspondênca entre força e deslocamento pode-se estabelecer um sstema de coordenadas (sstema referênca) ao longo da estrutura, relaconando estas grandezas às suas dreções e sentdos e aos respectvos pontos de ocorrênca

16 6 - Trabalho e Trabalho omplementar O trabalho W realzado por uma força constante P atuando sobre uma partícula durante a trajetóra desta entre os pontos e, conforme Fg. 4, é defndo como o produto da força pela projeção da dstânca, na dreção de sua lnha de ação. Portanto, W = P cos θ (3) P φ S ds θ Força constante P atuando sobre a partícula na trajetóra S do ponto ao ponto θ = ângulo entre a lnha de ação da força P e a dreção. θ Fg. 4 Trabalho de uma força ao longo da trajetóra de uma partícula O trabalho realzado pela força P durante um deslocamento nfntesmal ds meddo sobre a trajetóra percorrda entre e, é dado por: dw = P cos φ ds (4) que ntegrado ao longo de S fornece o trabalho total produzdo por P quando se desloca de até. W = P cos φ ds Se P é constante, W = P cos φ ds omo cos φ ds é a componente de ds na dreção de P, W = P cos θ = P ` (5) - 6 -

17 O trabalho, portanto, não depende da trajetóra percorrda por P, mas apenas da componente desta trajetóra na dreção dela própra ( `). Se a força P for aplcada lenta e gradatvamente em um corpo elástco, a relação entre a força aplcada e o deslocamento correspondente no ponto de aplcação da força pode ser representado, de manera geral, por um gráfco como o segunte: P P v P Pe + dp Pe v dv v f Fg. 5 Trabalho da força P durante o deslocamento v aso de comportamento não-lnear dv = cos φ ds (6) sendo dv a componente do deslocamento na dreção de P. om base na Fg. 5, o trabalho será dado pela área entre a curva e o exo horzontal. v f W = P dv (7) 0 Se o comportamento é lnear, o gráfco arga X Deslocamento será conforme lustrado na Fg

18 P P P = kv k= constante. v v f Fg. 6 Trabalho da força P no caso de comportamento lnear Neste caso, como P = kv e W = v f 0 P dv W v f kv f = kv dv =. : W = Pv (8) 0 No caso da carga P, constante, já estar totalmente aplcada sobre o corpo e ocorrer um deslocamento v provocado por outra ação qualquer, o trabalho realzado por P durante a ocorrênca de v será dado por Pv tal como se mostra na Fg.7. P Pf P = constante dv v f v Fg. 7 - Trabalho de carga ntegralmente aplcada durante um deslocamento posteror à aplcação vf v f W = P dv = P dv. : W = Pv (9) 0 O trabalho complementar é defndo como: 0 P W = v dp (0) 0 onforme Fg. 8, o trabalho complementar fca defndo pela área entre a curva e o exo vertcal

19 P W c dp Pf aso de comportamento não-lnear, com P aplcada lenta e gradualmente. dv vf v Fg. 8 Trabalho omplementar Portanto observando-se as Fg. 7 e 8 conclu-se que: W = Pv W () No caso de comportamento elástco-lnear, conforme Fg. 9, P P f c W W v W = P dv = 0 W = W P 0 = Pv v dp = W ( ) v V f Fg. 9 Trabalho complementar para o caso de comportamento lnear Ou seja, o trabalho é gual ao trabalho complementar. lém dsso, neste caso é aplcável o Prncípo da Superposção dos Efetos. Então, se houver váras cargas aplcadas, tal como se mostra na Fg. 0, o trabalho total é a soma dos trabalhos produzdos pelas cargas atuando ndvdualmente

20 Exemplo 6. - P P P3 v4 P4. aso de aplcação lenta, gradual e smultânea das v v v3 cargas. Fg. 0 Trabalho realzado por um sstema de váras cargas 4 W = W = P v = 7- Prncípo dos Trabalhos Vrtuas (PTV) ( =,, 3, 4 ) (3 ) 7.- Trabalho Vrtual Dz-se vrtual algo que não é real; magnáro portanto. Um deslocamento vrtual ou uma força vrtual são, respectvamente, um deslocamento magnáro ou uma força magnára, arbtraramente mpostos sobre um sstema estrutural. O trabalho vrtual pode ser consderado como o trabalho produzdo em uma das duas stuações abaxo relaconadas: Trabalho realzado por forças reas durante um deslocamento vrtual; Trabalho realzado por forças vrtuas durante um deslocamento real. Pode-se consderar aqu como deslocamento vrtual um deslocamento provocado por alguma outra ação que não o sstema de carregamento em questão atuante na estrutura. Força vrtual, da mesma forma, pode ser consderada uma outra força qualquer que não seja a que está provocando o deslocamento real. Portanto, na expressão do trabalho vrtual, a força e o deslocamento envolvdos (vrtual e real ou vce-versa) têm uma relação de correspondênca, mas nunca de causaldade

21 7.- Prncípo dos Trabalhos Vrtuas para orpos Rígdos Seja um corpo rígdo sujeto a um sstema de forças reas P constantes e ntegralmente aplcadas a um corpo rígdo conforme mostrado na Fg.. Se ele é submetdo a um deslocamento vrtual δv, sendo δv as componentes do deslocamento vrtual correspondentes aos P. P δv P δ v δv 3 Fg. Trabalho vrtual realzado por forças reas P3 O trabalho vrtual realzado é dado pelas forças reas P durante o deslocamento vrtual δv é dado por: δ W = = P δ v + P δ v + P δ v δ W = P δ v (4 ) Todas as grandezas vrtuas serão denotadas pela letra δ precedendo a grandeza, por exemplo, δv sgnfca deslocamento vrtual e δf força vrtual. Na Fg., consderando-se v deslocamentos reas (provocados por um sstema de forças real) e δp um sstema de forças vrtuas (não são elas que provocam v ), tem-se uma expressão análoga para o trabalho vrtual. δ W 3 = δ P = v (5 ) - -

22 Prncípo dos Deslocamentos Vrtuas - Para orpos Rígdos Se é aplcado um deslocamento vrtual a um corpo rígdo sujeto a um sstema de forças em equlíbro, o trabalho vrtual total realzado pelas forças é gual a zero. Na Fg. se o sstema de forças P estver equlbrado, tem-se: 3 δ W = P δ v = 0 = recíproca também é verdadera, ou seja: Se o trabalho vrtual total realzado por um sstema de forças reas atuando em um corpo rígdo quando ele é submetdo a um deslocamento vrtual é gual a zero, o sstema de forças está em equlíbro. (6 ) Exemplo 7..- omo nas estruturas sostátcas os deslocamentos de apoo não provocam deformações na estrutura nem esforços nternos, pode-se consderar que as estruturas sostátcas funconam como corpos rígdos. Utlzando este fato, as reações de apoo de uma estrutura podem ser calculadas, como a que se segue, usando o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas aplcado aos corpos rígdos. ssm propõe-se calcular a reação vertcal V no apoo. P a b L Fg. Exemplo SOLUÇÃO: Submetendo a vga ao deslocamento vrtual em, na dreção vertcal, correspondente à reação V, mostrado abaxo, - -

23 P H V δvc δv V O trabalho vrtual total é dado por: δ W n = P δ v = 0 = (7 ) Notar que o deslocamento vrtual correspondente à carga P é dado por: δv onsderando que se pretende obter uma stuação de equlíbro de forças na vga, mpõe-se a condção de trabalho vrtual total nulo, ou seja: δ W = P δ v V δ v = 0 (8 ) a a omo δ v = δ v, δ W = P δ v V δ v = 0 L L (9 ) Deve-se notar que o deslocamento vrtual em fo admtdo para baxo, no sentdo contráro de V, portanto o trabalho vrtual desta fca negatvo. lém dsto, as forças V e H não produzem trabalho pos não há nenhum deslocamento vrtual correspondente a estas ações. Resolvendo a Equação 9 obtém-se: Exemplo a V = P L (0 ) Usando o Prncípo dos Trabalhos Vrtuas, propõe-se calcular o momento M no apoo. M P P PL δθ4 δv3 δv L/ L/ δθ Fg. 3 Exemplo 3-3 -

24 SOLUÇÃO: Impondo-se uma rotação vrtual δθ 4 no apoo, a vga se desloca como um corpo rígdo, de acordo com o PTV para corpos rígdos o trabalho vrtual total é nulo, portanto: δ W = 0 omo M M 4 + P L M 4 δθ = δθ δθ + P δθ 4 δθ + P δ v L tg δθ + P L + PL = 0 4 ; + P δv δv = L + P δθ L + PL δθ (3 ) δ v 4 + PL δθ = 0 = 0 = δθ L M 4 ( ) = 7PL e δ v (4 ) () 3 = δθ 4 L Prncípo dos Trabalhos Vrtuas para orpos Deformáves Nos corpos deformáves, pontos do nteror do corpo podem mover-se uns em relação aos outros sem volar as condções de restrção. Portanto, neste caso, tanto as forças externas quanto as nternas (esforços solctantes) realzam trabalho. Genercamente, uma estrutura como a mostrada abaxo pode sofrer deformações deformando-se de forma compatível, sto é, sem apresentar descontnudades e respetando-se a vnculação nos apoos. dx dx Fg. 4 Estrutura sujeta a deformações O elemento de barra dx estará sujeto, também genercamente, a resultantes de tensão representadas aqu pelos esforços solctantes

25 M T q q = força externa genérca N N + T + V = esforço cortante V M + N = força normal V + M = momento fletor dx T=momento de torção Fg. 5 Esforços solctantes num elemento nfntesmal deformação da estrutura provoca deslocamentos relatvos entre as seções transversas externas do elemento, mostradas a segur: d δ dθ dx def. axal dx def. de flexão d λ dx d φ dx def. de csalhamento def. de torção (por smplcdade de representação, fxou-se a extremdade da esquerda do elemento)

26 Nas lustrações anterores, devem ser notadas as seguntes relações de correspondênca: N dδ (dδ = deslocamento relatvo entre as seções extremas do elemento de barra na dreção do exo da barra) M dθ (dθ = rotação relatva entre as seções extremas do elemento de barra no plano da mesma) V dλ (dλ = deslocamento relatvo no plano da barra entre as seções extremas do elemento de barra na dreção perpendcular ao exo) T dφ (dφ = rotação relatva entre as seções extremas do elemento em torno do exo da barra) Portanto, exste um trabalho real nterno produzdo por estes esforços que, no caso de comportamento elástco lnear é dado por pela ntegral do trabalho nfntesmal sobre cada elemento de barra dx. No caso das estruturas de comportamento elástco lnear, este trabalho nterno é a energa de deformação total que é gual ao trabalho realzado pelas forças externas durante o processo de deformação da estrutura. Todo o trabalho realzado pelo carregamento real é armazenado como energa de deformação e pode ser recuperado se o carregamento for removdo. O trabalho nterno total (energa de deformação) será: W = [ N dδ + M dθ + V dλ + T dφ ] nt estr estr estr estr (5 ) Pelo Prncípo da onservação da Energa, o trabalho das forças nternas é gual ao trabalho das forças externas: W ext = W nt (6 ) - 6 -

27 Prncípo dos Deslocamentos Vrtuas para orpos Deformáves Quando a uma estrutura deformável, em equlíbro sob a ação de um sstema de carregamento, é dada uma pequena deformação vrtual compatível, o trabalho vrtual realzado pelas forças externas (carregamento) é gual ao trabalho vrtual realzado pelas forças nternas (esforços solctantes). hamando δw ext o trabalho vrtual das forças externas e δw nt o trabalho vrtual das forças nternas, tem-se de acordo com o referdo prncípo: δ W = δ W ext nt (7 ). Observação: Os deslocamentos ou deformações vrtuas devem ser compatíves com as condções de contorno geométrcas (apoos) e não devem volar a contnudade das deformações da estrutura. onsderando a estrutura segunte: P M δv vc δvc δθ θ δv = elástca vrtual (ponto genérco). Fg. 6 Estrutura com deformações reas e vrtuas Onde: P e M: força e momento externos V e θ : deslocamentos correspondentes a P e M, orgnados da deformação (real) causada pelo carregamento (P e M) δv e δθ : deslocamentos vrtuas correspondentes a P e M, mpostos após a deformação real da estrutura. Não são provocados por P e M, mas sm da deformação vrtual. Neste caso, o trabalho vrtual externo será δ W = P δ v + M δ θ ext - 7 -

28 (notar que as reações de apoo não realzam trabalho pos os deslocamentos vrtuas correspondentes são nulos). deformação vrtual mposta provoca deslocamentos vrtuas das seções transversas, correspondentes aos esforços solctantes reas atuantes nestas seções. Portanto, conforme fguras anterores, o trabalho vrtual das forças nternas realzado ao longo de todo o comprmento da estrutura pode ser expresso por: δ W nt = (V + dv ) dλ + (M + dm ) dθ (8 ) pos, na vga em questão, os dos úncos esforços solctantes exstentes são V e M. Na expressão acma e para o que se segue, d λ, dθ, dδ, dφ representam as deformações vrtuas de um elemento de barra dx, assocadas à deformação vrtual mposta na barra. plcando o PTV, no equlíbro tem-se δw ext = δw nt, portanto, P δ v + M δ θ = (V + dv ) dλ + (M + dm ) dθ (9 ) expressão geral para estruturas deformáves planas, consderando-se a exstênca dos quatro esforços solctantes (N, M, V, T) e um carregamento externo qualquer, será: W ext + = (N + dn ) dδ + (M + dm )dθ + (V + dv ) dλ + (T dt )dφ (30 ) Desprezando-se os produtos de dos nfntésmos, tem-se: W ext = N dδ + M dθ + V dλ + T dφ (3) δw ext terá uma expressão para cada caso, genercamente: δ W ext = n = P δ v (3 )

29 Prncípo das Forças Vrtuas para orpos Deformáves De forma análoga ao PTV para deslocamentos vrtuas, tem-se o Prncípo das Forças Vrtuas, que pode ser enuncado como: Se a um corpo deformável que sujeto a deslocamentos reas provocados por um sstema de forças em equlíbro é aplcado um sstema equlbrado de forças vrtuas, o trabalho vrtual externo (produzdo pelas forças vrtuas externas quando ocorrem os deslocamentos reas) é gual ao trabalho vrtual nterno (produzdo pelos esforços vrtuas nternos quando ocorrem as deformações reas das barras). δ W = δ (δw ext e δw nt são trabalhos vrtuas complementares) ext W nt onsderando-se a mesma vga anteror, δq P M v v θ Fg. 7 Estrutura com deformações reas e carga vrtual Onde: P e M: força e momento externos reas δq: força vrtual v, v, θ : deslocamentos reas correspondentes a δq, P, M (provocados por P e M). Tem-se então, neste caso, para o trabalho vrtual externo, δ Wext = δ Q v expressão para o trabalho vrtual nterno é a mesma anteror, sendo que, aqu, os esforços solctantes são vrtuas (provocados pela força vrtual δq) e os deslocamentos são reas (provocados por P e M): δ W nt = (V + dv ) dλ + (M + dm ) dθ (33 ) - 9 -

30 Generalzando e desprezando os produtos de dos nfntésmos, tem-se a mesma uma expressão análoga à anteror para o PTV: δ W ext = N dδ + M dθ + V dλ + T dφ (34 ) qu também, δw ext terá uma expressão para cada caso. Genercamente: δ W ext n = δ Q = v (35 ) Nota-se que, como nenhuma restrção fo feta ao comportamento da estrutura, o PTV é aplcável a estruturas de comportamento elástco lnear ou não-lnear. 8 - Método da arga Untára (MU) partcularzação do Prncípo dos Trabalhos Vrtuas (forças vrtuas) na qual se consdera a força vrtual (ou forças vrtuas) com valor untáro é conhecda como Método da arga Untára (MU). Também conhecdo como Método do Trabalho Vrtual, Método da arga Substtuta e Método de Maxwell- Mohr, o MU pode ser utlzado para calcular deslocamentos (devdos a deformações reas causadas pelo carregamento) em estruturas sostátcas. omo o MU é uma sstematzação do PTV, sua formulação geral pode ser utlzada em estruturas de comportamento elástco lnear e não-lnear. Seja calcular um determnado deslocamento, por exemplo o deslocamento vertcal no ponto, em uma estrutura sostátca sujeta a um sstema de cargas qualquer

31 q M P = deslocamento vertcal do ponto (real) Fg. 8 Estrutura sujeta a carga real Pelo MU, consdera-se um outro sstema de carregamento atuando sobre a mesma estrutura consttuído de uma carga vrtual untára P correspondente ao deslocamento provocado, P = P = força vrtual untára correspondente a Tem-se, pelo PTV, Fg. 9 Estrutura sujeta a carga vrtual untára δ W = δ W. O trabalho vrtual neste caso é devdo a forças ext nt vrtuas e deslocamentos reas. O trabalho vrtual externo será: δ = P = = W ext O trabalho vrtual nterno será, como vsto anterormente, δ W = N dδ + M dθ + V dλ + T dφ nt estr estr estr estr (36 ) Sendo N,M,V, T os esforços solctantes devdos à carga untára P, e dδ, dθ, dλ, dφ as deformações elementares reas devdas ao carregamento prescrto. Igualando-se: δ W = δ W ext nt (PTV )

32 Tem-se = N dδ + M dθ + V dλ + T dφ estr estr estr estr (37 ) onforme menconado esforços N,M,V e T referem-se à força vrtual untára e daqu por dante serão denotados, no que se segue, por n, m, v, t. Portanto, a equação geral do MU será escrta: = n dδ + m dθ + v dλ + t dφ estr estr estr estr (38 ) Sendo válda para estruturas de comportamento elástco lnear ou não-lnear. Os deslocamentos dδ, dθ, dλ e dφ são provocados por carregamento externos em geral, bem como por varação de temperatura, recalques de apoo, modfcações mpostas na montagem; sto é, qualquer tpo de solctação externa real que produza deformações na estrutura. Nas análses cotdanas em geral, admte-se que a estrutura apresente comportamento elástco-lnear, sto é, estrutura consttuída de materal elástcolnear segundo Le de Hooke (σ = E.ε), apresentando lneardade geométrca. s cargas externas produzem tensões, representadas aqu por suas resultantes, os esforços solctantes reas N, M, V, T e deformações reas dδ, dθ, dλ e dφ relaconadas entre s pelas expressões: N M V dδ = dx dθ = dx dλ = fs dx dφ = E EI G T GJ dx (39 ) Nos quas E = módulo de elastcdade longtudnal, G = módulo de elastcdade transversal, = área da seção transversal, I = momento de nérca da seção transversal, J = constante de torção da seção transversal, - 3 -

33 f s = fator de forma para csalhamento; depende da forma da seção transversal e leva em conta a dstrbução da tensão de csalhamento na seção. s grandezas seguntes presentes nos denomnadores da Eq.39, são relaconadas abaxo com a respectva nomenclatura : E = módulo de rgdez à deformação axal; EI = módulo de rgdez à flexão; G = módulo de rgdez ao csalhamento; GJ = módulo de rgdez à torção; Substtundo-se as expressões das deformações nos elementos de barra, dadas pela Eq.39, na equação geral do MU (Eq.38), tem-se: = n N mm vv dx + dx fs dx E + EI + G estr estr estr estr tt GJ dx (40 ) que é a expressão do MU para estruturas de comportamento elástco-lnear sujeta a um sstema de cargas externas qualquer. Em resumo, o cálculo de um deslocamento de uma estrutura sostátca feto através do MU pode ser sstematzado nas seguntes etapas (estrutura elástca-lnear sujeta a cargas). FSE L, quando a estrutura dada é submetda ao carregamento real especfcado que produz o deslocamento. Determnam-se os esforços solctantes devdos ao carregamento real: N, M, V, T.. FSE U, quando aplca-se à estrutura descarregada uma carga untára vrtual correspondente ao deslocamento procurado e calculam-se os esforços solctantes vrtuas devdos a este novo carregamento: n, m, v, t. 3. Substtuem-se os esforços das fases L e U na expressão do MU, em seguda ntegra-se a contrbução de cada esforço ao longo de toda a

34 estrutura e no fnal somam-se todas as contrbuções para a obtenção do deslocamento procurado. respeto da expressão do MU podem ser fetas algumas observações: a) Os esforços vrtuas n, m, v, t devem ter dmensão de força (ou momento) por undade de carga para que se obtenha com dmensão de comprmento lnear (ou rotação). = [ ]. : = [ ] (4) b) Devem ser usadas as mesmas convenções de snal para os esforços solctantes das fases L e U. ssm, por exemplo, se é adotada a convenção de força normal consderando esforço de tração (N) com snal postvo na Fase L, na Fase U deve-se adotar tração com snal postvo na determnação de n. onseqüentemente, o deslocamento terá sempre como sentdo postvo o sentdo arbtrado para a carga untára vrtual. c) contrbução das deformações devdas a alguns esforços solctantes no cálculo dos deslocamentos pode ser desprezada, em certas crcunstâncas, vsando reduzr trabalho de cálculo manual. Nesse sentdo, o efeto das deformações devdas à força cortante costuma ser desprezado na determnação dos deslocamentos de vgas, pórtcos planos e grelhas, por ter em geral uma nfluênca secundára em comparação com as deformações decorrentes do momento fletor. Da mesma forma, a desconsderação da deformação axal das barras devda à força normal na análse de pórtcos planos costumava ser adotada. Estas smplfcações são encontradas com muta freqüênca nos textos clásscos de Estátca e nálse Estrutural. Entretanto, atualmente, com os recursos computaconas dsponíves, estas smplfcações podem e devem ser evtadas, prncpalmente no caso de análse de estruturas de

35 grande responsabldade, ou com grande número de barras, ou anda quando não for possível se assegurar a adequação deste tpo de smplfcação. dsponbldade de modernos programas computaconas que ncorporam todas estas deformações na análse tornam totalmente dspensáves estas smplfcações e elmnam quasquer dúvdas na precsão dos resultados decorrentes de sua aplcação

36 onsderações sobre a escolha da carga untára a) álculo de Deslocamentos bsolutos a.() Deslocamento lnear de um ponto (translação) Neste caso, a carga untára a ser aplcada é uma força concentrada no ponto consderado, na dreção do deslocamento procurado e no sentdo postvo consderado para este deslocamento, ou seja, correspondente uma carga untára correspondente ao deslocamento. (Fg. 30) Fg. 30 arga Untára para cálculo de deslocamento lnear a.() Rotação de uma seção transversal carga untára correspondente é um momento aplcado no ponto em questão. (Fg. 3) Fg. 3 arga Untára para cálculo de rotação a.(3) Rotação de orda orda é a lnha reta que lga dos pontos quasquer da estrutura. Portanto, uma rotação de corda é a rotação deste segmento em relação à posção ncal e, neste caso, deve-se aplcar na corda um momento untáro por meo de um bnáro de forças nas extremdades desta corda. (Fg.3)

37 /L ' /L ' M = L = L fgura mostra o bnáro que produz um momento L untáro sobre a corda. Fg. 3 arga Untára para cálculo de rotação de corda Em trelças sujetas apenas a cargas nos nós, as rotações sofrdas pelas barras são movmentos de corpo rígdo, calculados, portanto, como rotações de cordas. /L /L. Rotação da barra calculada com a ajuda do bnáro ndcado na fgura (produz um momento untáro) L Fg. 33 arga Untára para cálculo de corda na trelça b)álculo de Deslocamentos Relatvos O cálculo de um deslocamento relatvo entre dos pontos e, numa dada dreção, pode ser feto em duas etapas: - álculo do deslocamento absoluto em na dreção especfcada; - álculo do deslocamento absoluto em na dreção especfcada; Se as cargas untáras aplcadas em e, nestas etapas anterores, possuem sentdos guas, a dferença dos dos resultados fornecerá o deslocamento relatvo procurado. Se os sentdos das cargas untáras forem

38 contráros, o deslocamento relatvo será encontrado através da soma dos dos deslocamentos. O cálculo de deslocamentos relatvos pode ser smplfcado fazendo-se as duas etapas de uma só vez, sto é, aplcando-se à estrutura, duas cargas untáras de sentdos contráros. O resultado fnal será o deslocamento procurado. b.() Varação da dstânca entre pontos aso se quera calcular o deslocamento lnear relatvo entre dos pontos e, na dreção da lnha que os une, o sstema de cargas vrtuas aplcado será como o mostrado na Fg.34. ' ' Obtém-se desta manera o deslocamento, cujo valor será = + Fg. 34 Deslocamento Relatvo entre dos pontos b.() Rotação relatva das extremdades de duas barras (em uma artculação) Obtém-se θ cujo valor será θ = θ + θ Fg. 35 Rotação relatva entre as seções adjacentes numa rótula nterna No caso de uma rotação relatva entre duas seções tal como se mostra na Fg.35, pode ser aplcado um par de momentos untáros de sentdos opostos. b.(3) Rotação relatva de cordas (ou de barras de trelça)

39 No caso de rotação relatva entre duas cordas da estrutura, aplcam-se dos momentos untáros de sentdo contráro, através dos bnáros correspondentes (Fg.36). L /L /L L /L ' /L Fg. 36 arga untára para cálculo de rotação relatva entre duas cordas θ = θ + θ é a rotação relatva entre as cordas e. Fg.37 mostra a dferença entre rotação relatva de cordas e de seções. γ α β ω D D Fg. 37 Rotação relatva entre duas seções e entre duas cordas Rotação relatva entre barras na seção φ = β - γ Rotação relatva entre as cordas e D θ = α - ω

40 9 - Exemplos de aplcação 9. Solução por ntegração analítca Nos exemplos seguntes va-se aplcar a equação do MU com as smplfcações tas como as menconadas anterormente vsando a redução do trabalho de cálculo e como forma de facltar o entendmento global do processo. Para efeto ddátco, atrbuu-se um número romano a cada termo da equação: = (I ) n N E (II ) mm EI (III ) vv G dx + dx + fs dx + estr estr estr estr (IV ) tt GJ dx Exemplo 9.. alcular o deslocamento vertcal do ponto da estrutura, desprezando-se o efeto das deformações devdas à força cortante. EI = x 0 5 knm (constante) 5 kn/m 50 kn =? 3 m SOLUÇÃO: O deslocamento vertcal (flecha) em será consderado postvo se for para baxo (afundamento do ponto ) FSE L Estrutura com carregamento real

41 M =6,5 kn.m 5 kn/m 50 kn 3 m V =5 kn x 6,5 Dagrama de momento fletor (M) 5 x M = 50 x 3 0 Observar que adotou-se a convenção clássca de momentos fletores, consderando o momento que produz tração na face nferor (face de referênca) como momento fletor postvo. FSE U - álculo dos esforços solctantes vrtuas : plcando-se à estrutura uma força untára vrtual correspondente ao deslocamento procurado ( ): M = 3 3 m V = x - 4 -

42 3 Dagrama de momento fletor (m) m = x 3 0 Observar que a carga vertcal untára fo aplcada para baxo conforme sentdo postvo assumdo para a flecha em e que a convenção de snas de m é a mesma utlzada na Fase L. Na expressão do MU, as ntegras I e IV referem-se a esforços nexstentes (N e T) neste caso, portanto se anulam. ntegral III não será calculada pos será desprezado o efeto de da força cortante conforme prevsto no níco do problema. expressão reduz-se então a: = mm EI dx = EI ( x ) ( 50x,5x ) dx Integrando tem se : = 3,56 x 0 3 m O snal postvo de ndca que o deslocamento tem o mesmo sentdo da carga untára, sto é, para baxo. Se a carga untára tvesse sdo arbtrada para cma, resultara com snal negatvo o que ndcara, também, o sentdo para baxo. Exemplo 9.. Na vga do Exemplo 9.., calcular a rotação da seção, desprezando-se o efeto das deformações devdas à força cortante. SOLUÇÃO: omo a estrutura e o carregamento são os mesmos do Exemplo 9.., a FSE L é a mesma. Portanto, - 4 -

43 5 x M = 50 x 3 0 FSE U omo o deslocamento procurado é a rotação em, a carga untára correspondente a ser adotada é um momento untáro em. dotar-se-á o momento untáro no sentdo horáro: M = 3 m V = 0 Dagrama de momento fletor (m) m = 3 0 Substtundo-se os valores, θ 3 = 0 θ EI ( ) ( 50x,5x =,688 x 0 3 rad ) dx Notar que na Fase U a convenção de snas de momento fletor usada fo a mesma do Exemplo 9... omo fo arbtrado o sentdo horáro para a carga untára e θ obtdo fo postvo, sto sgnfca que a rotação em é horára, ou seja, o sentdo de θ concorda com o sentdo do momento untáro. confguração deformada da vga é mostrada a segur,

44 = 3,56 x 0-3 m =,688 x 0-3 rad Exemplo 9..3 alcular o deslocamento vertcal do ponto da vga abaxo, desprezando o efeto das deformações devdas à força cortante. Dado: EI =,0 x 0 5 knm (constante) 0 kn/m,5 m 3,5 m 5 m SOLUÇÃO: FSE L 0 kn/m V = 50 kn V = 50 kn 5 m x

45 (M) Mmax = 6,5 kn.m 0x M = 50 x 5 0 FSE U Notar que o deslocamento procurado é a flecha. dota-se neste caso força untára vertcal em para cma. (força untára vrtual correspondente a ). V = - 0,70 V = - 0,30,5 m 3,5 m x M max =,05 m = 0, 70 x,5 0 (m) 5 m = 0, 70 x + ( x,5 ),5 Sendo força normal e momento de torção nexstentes e desprezando-se o efeto da força cortante tem-se: m M = dx EI Substtundo-se as expressões de M e m obtém-se: =,5 0 EI ( 0, 70 x ) (50x 0x ) dx + 5,5 EI ( 0, 70 x + x,5 ) (50x 0x ) dx Integrando-se:

46 = 6,67 x 0 4 m O snal negatvo ndca que o deslocamento tem o sentdo oposto ao arbtrado para a carga untára, sto é, para baxo. Exemplo 9..4 alcular o deslocamento horzontal do nó D do pórtco abaxo, desprezando-se as nfluêncas das deformações axas e da força cortante. EI =,0 x 0 5 knm (constante) 50 kn 3 m D 5 m SOLUÇÃO: FSE L x 50 kn H = 50 kn x x D V = - 30 kn VD = 30 kn

47 50 50 (M) M M = 50x 3 0 = 50 30x 5 0 M D = FSE U x H = - x x D V = 0 VD = 0 Deslocamento procurado: D horzontal força untára horzontal em D (arbtrada para a esquerda) (m) m = x 3 0 M = M D = x 3 0 Observar que fo adotada uma coordenada x acompanhando o exo de cada barra, com os respectvos sentdos ndcados no níco da solução para se formularem as expressões de momento fletor na Fase L (M) e na Fase U (m)

48 omo no caso não ocorre momento de torção, além dsto desprezando-se o efeto das deformações axas e de csalhamento da força cortante, tem-se para a expressão do MU: m M = dx EI Substtundo as expressões de M e m na expressão anteror obtém-se: D = [ 3 0 ( x ) (50x ) dx ( 3 ) (50x 30x ) dx ( x ) (0 ) dx ] Integrando-se, tem-se: D = -7,875 x 0-3 m (snal negatvo, sgnfcando que o deslocamento horzontal D é para a dreta). 9. Solução Utlzando Tabelas de Integras de Produto de Duas Funções o observar-se a equação do MU para estruturas com comportamento elástco-lnear sujetas a cargas, = n N E mm EI vv G dx + dx + fs dx + estr estr estr estr tt GJ dx Nota-se que, para estruturas (ou trechos de estruturas) com E, G, I e constantes, cada ntegral se resume a uma ntegral do produto de duas funções polnomas, ou seja, = E EI f G GJ S nn dx + mm dx + vv dx + estr estr estr estr tt dx ada uma das ntegras tem a forma: Ι = x f ( x ) g ( x ) dx x

49 Onde f(x), g(x) podem ser funções de x 0, x, x,..., x n. Para facltar o processo de ntegração, valores de ntegras de produto de dversas funções f(x) e g(x) foram tabeladas (tabela de Kurt-ayer). Esta tabela encontra-se no nexo (Tabela ), assm como alguns exemplos de sua utlzação. Exemplo 9.. alcular o deslocamento vertcal do nó do pórtco abaxo, consderando efetos de flexão e deformação axal. Dados: E =, x 0 7 kn; EI = 4,375 x 0 5 knm 0 kn.m 80 kn,5 m 3 m m Desprezando-se o esforço cortante: = nn dx + E estr EI estr mm dx SOLUÇÃO: FSE L: M = 40 kn.m 0 kn.m kn V = 80 kn (N) (M) FSE U:

50 M = 5 0,6 5 (n) (m) Usando-se Tabela : n N - parcela de devda à deformação axal: dx E = [ ( ) dx + E ( N ) ( 0,6 48 ) dx ] N = ( 0 6 ) (48 0,6,5 ) N = 3, m mm - parcela de devda à flexão: dx EI ( M ) = [ ( E ) dx + ( 60 ) dx ] ( M ) = EI {[ { [( 5 )( 40 ) + ( )( 80 )] + ( )( 40 ) + ( 5 )( 80 )] + [ 6 ( )( 60 )(,5 )]} 3 ( M ) = 8, 0 3 m - deslocamento total em : ( N ) + ( M ) ( M ) = 8,4 0 3 m ( para baxo ) obs.: O deslocamento devdo à força normal corresponde a 0,04 % do total (em )

51 Exemplo 9.. alcular o deslocamento vertcal e a rotação da extremdade D, em torno do exo D, na grelha. Desprezar o efeto da força cortante. 40 kn 0 kn.m 0 kn m 4 m m D EI =,5 x 0 5 Nm GJ = 9,9 x 0 4 KNm (ângulo de 90 ) Desprezando-se o efeto das deformações devdas à força cortante, ( N ) = EI mm dx + estr GJ estr tt dx SOLUÇÃO ) Deslocamento vertcal D FSE L: T=00 kn.m V=00 kn M =480 kn.m 40 kn 0 kn.m D 0 kn 80 (M) (T) - 5 -

52 FSE U: (carga untára correspondente a D ) 6 6 D (m) (t) = [ EI ( ) dx + ( 00 )dx + * D ( 80 ) dx ] + GJ [ ( 00 ) dx + ( 80 ) dx + D ( 0 0 ) dx ] * O dagrama M da barra D deve ser decomposto (a tangente não é nula em D), e a ntegral na barra D fca: Ι = D ( 80 ) dx + D ( 0 ) dx Usando-se a Tabela : D = 0,055 m (para baxo) ) Rotação θ D ( em torno do exo D) FSE L: a mesma do tem - FSE U: (carga untára correspondente a θ D ) - 5 -