Flambagem por Compressão

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1 Unvesdade Santa Cecía Fambagem por Compressão Conceto de estabdade do equíbro. De forma bastante comum ocorre confusão entre o que são equíbro e estabdade. Uma estrutura pode ser nstáve estando em equíbro. Tome, por exempo, um áps apontado e tente cooca-o apoado em um pano horzonta apoado pea ponta. Nesta stuação, embora ee esteja em equíbro, este é muto nstáve. Quando se apóa o áps pea base, o equíbro é estáve. Isto pode ser observado na fgura 1 stuação a representa o equíbro ndferente. Nea, ao se apcar a força Q na esfera, que está sobre um pano, representado pea nha horzonta, ocorrerá uma nova posção de equíbro, semehante a esta em outro ponto quaquer do pano. Na stuação b, o equíbro é nstáve. força Q promove um desocamento na esfera que roa sobre a superfíce não exstndo mas a possbdade de retorno a esta posção de equíbro. Uma estrutura com este tpo de equíbro não suporta perturbações de nenhuma natureza. Na stuação c, o equíbro é estáve. força Q promove um desocamento na esfera que roa sobre a superfíce oscando em torno da posção de equíbro nca. Carga crítca de barras comprmdas. Seja uma barra prsmátca comprmda, em equíbro, como a mostrada na fgura 3. Fgura 1 Equíbro estáve e nstáve Em gera, o equíbro de uma estrutura pode ser cassfcado como: estáve; nstáve ou ndferente. Um modo bastante smpes de observar este fato é anasar as três stuações de equíbro apresentadas na fgura. Q Q Q a b c Fgura 3 Barra comprmda em equíbro Quando a força tem vaores pequenos, a barra permanece reta e o equíbro é estáve. Quando ocorre um determnado aumento no vaor desta força, podem aparecer echas nas seções da barra evando a barra para um novo equíbro estáve, como representa a fgura 4. Fgura Stuações de equíbro rof. José Caros Mora 1 Fambagem por Compressão

2 x B Fgura 4 Barra comprmda em uma nova posção de equíbro passagem do prmero estado de equíbro estáve para o outro, ocorre quando a força atnge um determnado vaor que é chamado de Vaor Crítco. Nessa stuação a carga é chamada de Carga Crítca e ndcada por crt. Quando a carga está no vaor crítco o equíbro torna-se nstáve. Nos dmensonamentos das estruturas é mportante que este vaor crítco não seja acançado. Com sto, se garante, aém da ntegrdade, a estabdade da estrutura. Determnação da Carga Crítca. Na fgura 4, se observa a ocorrênca de echas nas seções da barra. Torna-se possíve, então escrever a equação da nha eástca para a barra. d dx v M E Ι (1) ara uma seção quaquer, com dstânca gua a x, a partr do apoo o momento etor vae M v que, substtuído na expressão 1, resuta: d v v dx E Ι Unvesdade Santa Cecía expressão é uma dferenca de segunda ordem cuja soução é: v C + 1 cos x C sen x E Ι E Ι (3) onde C 1 e C são constantes que devem ser determnadas de manera a satsfazer as condções de desocamento das extremdades apoadas; ou seja: para x 0 v 0 e para x v 0 Com x 0, se tem ( 0) C sen( 0) 0 C1 cos C 1+ C 0 C 1 0 (4) Com este resutado a expressão 3 se resume a: v C sen x (4) E Ι Com x, tem-se: 0 C sen (5) E Ι Note-se, aqu, que para satsfazer a equação, ndependentemente do vaor de C, a função seno deve ser gua a zero. Esta função é nua quando o ânguo for gua a n, ou seja: d v v + 0 dx E Ι () onde: E Ι n (6) rof. José Caros Mora Fambagem por Compressão

3 n0; 1; ; 3;... ssm, tem-se: n E Ι Unvesdade Santa Cecía carga crítca encontrada para n muda o estado de equíbro de uma barra que tem a forma da fgura 4 para uma que tem a forma da fgura 6. E Ι n n E Ι (7) Note-se que n é um número ntero, postvo, quaquer entre 1 e. ara cada vaor de n exste um vaor de que muda o estado de equíbro. Cada um destes vaores é ndcado por crt.. Desta forma com: E Ι n1 crt1 (8) 4 E Ι n crt (9) Importante se torna observar que estas cargas crítcas são as cargas que mudam o estado de equíbro. ssm, a carga crítca encontrada para n1 muda o estado de equíbro de uma barra reta para uma barra que tem a forma da fgura 5. Nesta stuação se dz que ocorreu a ambagem da barra por compressão. Fgura 5 Barra ambada com crt para n1 Fgura 6 Barra ambada com crt para n ara as estruturas, em gera, se nteressa descobrr a carga crítca para n1. No presente capítuo far-se-á está consderação. Um fato mportante de ser embrado é que a soução da expressão 3 fo encontrada através das condções de apoo da barra. Isto sgnfca que para barras apoadas de forma dferente, a soução será dferente. Mas à frente este fato será abordado. Equação de Eüer Toma-se, ncamente a expressão 8 que é a carga crítca para a ambagem de uma barra prsmátca smpesmente apoada em suas extremdades. Lembra-se, mas uma vez, que a carga crítca é aquea que muda o estado de equíbro; assm, com cargas de menor vaor que ea a barra permanece reta e com cargas de maor vaor, ea amba da forma da fgura 5, até que o vaor seja gua ao da encontrada para n. Lembrando que esta carga é uma força norma de compressão, o móduo da tensão norma desenvovda nos pontos das rof. José Caros Mora 3 Fambagem por Compressão

4 seções transversas da barra prsmátca é: crt (10) onde é a área da seção transversa da barra. esta tensão se dá o nome de Tensão de Fambagem que é ndcada por. crt (11) tensão de ambagem é portanto a tensão que muda o estado de equíbro da barra ou seja, com tensões guas a este vaor o equíbro é nstáve. Substtundo o vaor da carga crítca, encontrado na expressão 8, na expressão 11, tem-se: E Ι Unvesdade Santa Cecía odemos escrever esta expressão então como: E E (15) Na expressão 15, o quocente é chamado de Índce de Esbetez da barra e ndcado pea etra. (16) O índce de esbetez é uma medda reatva entre o comprmento da barra e sua seção transversa. Uma barra é esbeta quando seu comprmento é grande perante sua seção transversa. ssm, a expressão 15 fca: E Ι (1) E (17) Sabendo-se que o rao de gração de uma fgura () é gua a: Ι a expressão 1 fca: Ι (13) E (14) Observe-se que na expressão 14 é o comprmento da barra e é uma propredade de sua seção transversa. Esta expressão é conhecda como Equação de Eüer. OBS:- 1. tensão de ambagem é um vaor de tensão que, se atngdo, muda o estado de equíbro da barra, sto é; a barra amba.. ara que em uma barra não ocorra a ambagem, o vaor de tensão desenvovda pea força de compressão atuante, deve ser menor que rof. José Caros Mora 4 Fambagem por Compressão

5 o da tensão de ambagem. Isto é: Unvesdade Santa Cecía k (18) onde (19) s e s é o coefcente de segurança que se deseja usar. 3. O estudo do rao de gração é de grande mportânca já que, se não exstr restrção a barra tende a ambar de manera que a seção gre em torno do exo centra de nérca de menor momento e portanto, de menor rao de gração 4. mudança na forma de apoo da barra, provoca ateração na soução da expressão 3. Esta ateração, pode ser expressa por meo do índce de esbetez. 5. forma gera do índce de esbetez é: k (0) onde k é um coefcente que depende da forma de apoo da barra. 6. Os vaores de k para dferentes formas de apoo são as mostradas na fgura 7. k0,7 k1 k0,5 Fgura 7 Coefcentes k para dferentes formas de apoo. Fambagem Eástca e Fambagem Ineástca. expressão 17 mostra que a tensão de ambagem é função do índce de esbetez da barra. Com ea, é possíve traçar o gráfco da fgura ,0 100,0 1000,0 800,0 600,0 400,0 00,0 0,0 (Mpa) Fgura 8 Gráfco da tensão de ambagem em função do índce de esbetez para E00Ga. ea fgura 8 é possíve observar que barras com esbetez muto pequena necesstam de uma tensão muto grande para que ocorra a ambagem. Deve-se evar em conta também que, as expressões até rof. José Caros Mora 5 Fambagem por Compressão

6 aqu obtdas possuem como premssa a vadade da e de Hooke. Esta e tem vadade desde que a tensão não utrapasse a tensão mte de proporconadade do matera ( p ). ssm, a equação de Eüer possu vadade para tensões abaxo de p. Unvesdade Santa Cecía ssm, é feta uma dstnção entre a ambagem que segue a equação de Eüer chamada de Fambagem Eástca e a que não segue chamada de Fambagem Ineástca. Como já fo menconada, a ambagem eástca segue a equação de Eüer, já a ambagem neástca segue outro padrão de comportamento. p Vadade da equação de Eüer O padrão de comportamento da ambagem neástca é muto dependente do matera e os resutados possuem uma grande dspersão. m Fgura 9 Gráfco da tensão de ambagem em função do índce de esbetez mostrando a vadade da Equação de Eüer. Na fgura 9 está ndcado o vaor para onde a tensão necessára para a ambagem é p. este vaor, se dá o nome de Índce de esbetez mte e se ndca por m. prmera vsta, se pode magnar que barras com esbetez menor que o mte não apresentam o fenômeno da ambagem. Isto não é verdade, estas barras também podem apresentar ambagem. ara barras com índce de esbetez muto pequeno, a faha por compressão pode ocorrer antes da mudança de estado de equíbro. s equações que traduzem estes efetos não podem estar baseadas na Le de Hooke, já que a tensão desenvovda é maor que a tensão mte de proporconadade. gumas equações de aproxmação são usadas para traduzr este comportamento. Uma das mportantes aproxmações fo feta por Tetmajer que aproxma o comportamento à função: a b + c (1) onde a; b e c são constantes que dependem do matera da barra. tabea 1 mostra os vaores das constantes para aguns materas. Tabea 1 Constantes a; b e c para aguns materas para tensões em Ma. Matera m a b c ço st 37 ço st 50 Ferro Funddo , , , 0,05 Madera ,0 0 ço ao Níque ,34 0 umíno ,89 0 rof. José Caros Mora 6 Fambagem por Compressão

7 Outra aproxmação mportante fo feta por Teêmaco V. Langendonck, que propõe o comportamento como sendo uma paráboa com vértce na tensão mte de escoamento ( e ). Unvesdade Santa Cecía fgura 9 representa este comportamento. e proxmação por uma paráboa p m Vadade da equação de Eüer Fgura 9 Gráfco mostrando a vadade da Equação de Eüer e a aproxmação pea paráboa. equação proposta por Teêmaco, para uma barra com um índce de esbetez menor que mte é: e p e (1) m s aproxmações que aqu são apresentadas não são as úncas exstentes. Mutas outras são acetas e para o dmensonamento de pares exstem normas, como as da ISC e a NBR 8800, que usam outras formuações. De uma manera gera, se pode dzer que quando a ambagem for eástca, a equação a ser usada é a Equação de Eüer. Quando ea for neástca se pode usar uma das aproxmações. rof. José Caros Mora 7 Fambagem por Compressão