Asas Finitas Escoamento permamente e incompressível

Transcrição

1 Escoamento permamente e ncompressível Caracterzação geométrca da asa - Espessura fnta muto menor do que a envergadura e a corda - Forma geométrca determnada por: a) Planta (varação de corda e ângulo de flecha) b) Perfl (espessura e curvatura) c) Ângulo de torção d) Ângulo de dedro Escoamento permamente e ncompressível Caracterzação geométrca da asa - Sstema de exos Cartesano - Ox, exo longtudnal da asa, postvo para a rectaguarda - Oy, exo lateral da asa, perpendcular ao plano de smetra - Oz, exo vertcal da asa, postvo para cma

2 Escoamento permamente e ncompressível Caracterzação geométrca da asa a) Planta (varação de corda e ângulo de flecha) Asa rectangular Área, S = b 2 b 2 Flecha c dy Envergadura, b 2 b Alongamento, Λ = = S S Corda méda, c = b b c Corda, c Escoamento permamente e ncompressível Caracterzação geométrca da asa b) Perfl (espessura e curvatura)

3 Escoamento permamente e ncompressível Caracterzação geométrca da asa c) Ângulo de torção Ângulo de torção Escoamento permamente e ncompressível Caracterzação geométrca da asa d) Ângulo de dedro Dedro Dedro Dedro Dedro

4 Escoamento permamente e ncompressível A exstênca de sustentação (postva) é orgnada pela dstrbução de pressão na superfíce da asa, que em méda é maor no ntradorso do que no extradorso Esta dferença de pressão orgna um escoamento em torno da extremdade da asa (de baxo para cma) que garante a gualdade de pressão na extremdade da asa Escoamento permamente e ncompressível As lnhas de corrente do extrardoso são deslocadas para o plano de smetra da asa e as do ntradorso para a extremdade, crando vortcdade longtudnal na estera (folha de vórtces lvres)

5 Escoamento permamente e ncompressível A folha de vórtces tende a enrolar-se em tornos de dos vórtces localzados junto às extremdades da asa (tp vortces) Escoamento permamente e ncompressível A folha de vórtces tende a enrolar-se em tornos de dos vórtces localzados junto às extremdades da asa (tp vortces)

6 Escoamento permamente e ncompressível A folha de vórtces tende a enrolar-se em tornos de dos vórtces localzados junto às extremdades da asa (tp vortces) Escoamento permamente e ncompressível Asa vsta de cma Escoamento transversal em torno da extremdade Escoamento transversal junto ao bordo de fuga Enrolamento da estera de vórtces lvres Vórtces de extremdade

7 Escoamento permamente e ncompressível Modelo de fludo perfeto para smular o efeto da extremdade. Alternatva mas smples: Vórtce em ferradura Apesar da smplcdade o efeto da extremdade é qualtatvamente representado Escoamento permamente e ncompressível A estera de vórtces nduz uma velocdade descendente entre as extremdades da asa (downwash) e uma velocdade ascendente (upwash) na parte lateral

8 Escoamento permamente e ncompressível Escoamento permamente e ncompressível

9 A sustentação por undade de envergadura de cada secção da asa está relaconada com a crculação, Γ, pela equação de Joukowsk (para sustentação postva, Γ é negatvo) A crculação em torno da asa pode ser smulada por um vórtce que se estende entre as duas extremdades da asa e cuja ntensdade, Γ(y), é obtda a partr da sustentação/crculação de cada secção(perfl) da asa. Este vórtce denomna-se vórtce lgado (bound vortex) ou lnha sustentadora (lftng lne) A conservação de crculação no espaço (teorema de Helmohtz) mplca que a varação de ntensdade do vórtce lgado (Γ(y) tem que ser nulo na extremdade da asa) esteja assocada a um sstema de vórtces lvres (tralng vortces). A ntensdade, γ, desta folha de vórtces está drectamente relaconada com a varação de crculação ao longo da lnha sustentadora

10 A folha de vórtces lvres tende a alnhar-se com as lnhas de corrente do escoamento e a enrolar-se em torno dos vórtces de extremdade. O problema não é lnear Teora lnearzada (Prandtl) Para pequenos ângulos de ataque, espessura e curvatura (pequenas perturbações) os vórtces lvres estão aproxmadamente alnhados com o escoamento de aproxmação unforme

11 Teora lnearzada (Prandtl) Neste modelo de estera smplfcado, os vórtces lvres são sem-rectas cuja posção é conhecda, pelo que o problema passa a ser lnear Teora lnearzada (Prandtl) O sstema de vórtces que representa a asa é consttudo pelo vórtce lgado e por uma folha de vórtces plana, alnhada com o escoamento não perturbado

12 Teora lnearzada (Prandtl) A ntensdade, γ, dos vórtces lvres está relaconada com a crculação do vórtce lgado, Γ(y), (teorema de Helmothz) através de dγ dγ = Γ( y + dy) Γ = dy dy Teora lnearzada (Prandtl) O sstema de vórtces lvres nduz um campo de velocdade tr-dmensonal. A velocdade nduzda por um vórtce sem-nfnto (por comparação com γ um vórtce nfnto) é dada por, na drecção perpendcular ao vector r 4πr

13 Teora lnearzada (Prandtl) A velocdade (descendente) nduzda pelos vórtces lvres num ponto y da lnha sustentadora (sem flecha) é dada por 1 b 2 1 dγ ω = 4 π b 2 y y' Admtndo que cada secção da asa (perfl) se comporta como num escoamento b-dmensonal (hpótese válda para grandes alongamentos) e que a velocdade nduzda pela estera, ω, é aproxmadamente unforme na vznhança da asa (lnha sustentadora) temos D dd LdL d V V ω ω

14 V ω é a velocdade do escoamento não perturbado é a velocdade nduzda pela dl L estera de vórtces lvres = dd D d V V ω ω d = ρ V dγ V é a velocdade do escoamento relatvo à secção da asa (perfl) que faz um ângulo com a drecção da corda = dl L dd D d V V ω ω d = ρ V dγ

15 dγ é a crculação em torno da secção da asa (perfl) que se assume negatva = LdL dd D d V V ω ω d = ρ V dγ é o ângulo de ataque geométrco é o ângulo de ataque nduzdo é o ângulo de ataque efectvo = dl L dd D d V V ω ω d = ρ V dγ

16 ( ) tan = ω V Para pequenos valores de ω V = LdL dd D d V V ω ω d = ρ V dγ V V = cos( ) Para pequenos valores de V V = dl L dd D d V V ω ω d = ρ V dγ

17 d é a força perpendcular ao escoamento relatvo ao perfl, V que faz um ângulo com a drecção da corda LdL dd D d = V V ω ω d = ρ V dγ Projectando d nas drecções paralela e perpendcular ao escoamento de aproxmação, V dl = d cos dd = d sen ( ) ( ) dl L dd D d = V V ω ω d = ρ V dγ

18 A velocdade descendente nduzda pela estera, ω, orgna uma força de resstênca, D denomnada por resstênca nduzda = LdL dd D d V V ω ω d = ρ V dγ Determnação das forças em torno da asa fnta d = ρ V dγ = ρ V Γdy d = ρ V d = ρ V dl = ρ V cos( ) Γ dy Γ dy dd = V ( ) Γ dy ρ sen dl = ρ V Γ dy Γ dy dd = ( ) V Γ( ) ρ tan y dy

19 Determnação das forças em torno da asa fnta dl = ρ V Γ dy dd = ρω Γ ( y )dy - Integrando ao longo da envergadura b 2 L = ρ V Γ y dy D = ρ b 2 b 2 b 2 ω Γ ( ) dy Determnação das forças em torno da asa fnta b 2 L = ρ V Γ y dy D = ρ b 2 ( ) b 2 ω Γ b 2 - A força de sustentação, L, depende da dstrbução de crculação ao longo da envergadura - A força de resstênca nduzda, D, depende drecta e ndrectamente (ω ) da dstrbução de crculação ao longo da envergadura dy

20 Comportamento das secções da asa (perfs) admtndo escoamento b-dmensonal e rrotaconal 2 Γ ( ) Cl y = ' = Cl ( y ) ( ( y ) + β ( y ) ) V c y Nestas condções, relacona-se com a dstrbução de crculação, Γ(y), através de = C ( ) ' l 2Γ V c β ' C l β ( y ) c = C ' l 2Γ V c β Declve da varação de C l com, dependente da espessura do perfl Smétrco do ângulo de sustentação nula dependente da curvatura do perfl Corda do perfl dependente da forma da asa em planta

21 Para pequenos ângulos de ataque nduzdos ω ( ) y = 1 b 2 1 d com ω ( ) ' V Γ y = dy 4 π b 2 y y' Nestas condções, relacona-se com a dstrbução de crculação, Γ(y), através de dγ y y' b = 2 4π V b A partr da relação entre ângulo de ataque geométrco, nduzdo e efectvo = + e utlzando as relações de obtemos = C ' l Γ V c β b 4π V e com Γ( y) 1 dγ y y' b + 2

22 = C ' l ' Cl, β c Γ Γ V c β b 4π V 1 dγ y y' b + Parâmetros geométrcos que defnem a asa Varação com y depende da torção Perfs selecconados para a secção da asa Forma da asa em planta Dstrbução de crculação ao longo da envergadura 2 = C ' l Γ V c β b 4π V b + Problema drecto ou de análse: 2 1 dγ y y' - Dados do problema Forma geométrca da asa e ângulo de ataque, ', Cl, β e c - Incógntas Γ y, L e D ( )

23 = C ' l Γ V c β b 4π V b + Problema nverso ou de projecto: 2 1 dγ y y' - Dados do problema Forças de sustentação e resstênca nduzda, ou seja a crculação ao longo da envergadura Γ( y), L e D - Incógntas Forma geométrca da asa e ângulo de ataque ' y, Cl y, β y e c y ( ) ( ) ( ) ( )