Humberto Barroncas Corrêa. Procedimento Recursivo do Método dos Elementos de Contorno. Dissertação de mestrado

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA Humberto Barroncas Corrêa Procedmento Recursvo do Método dos Elementos de Contorno Dssertação de mestrado VITÓRIA 2009 I

2 Humberto Barroncas Corrêa Procedmento Recursvo do Método dos Elementos de Contorno Dssertação de mestrado Dssertação apresentada ao Programa da Pós-Graduação em Engenhara Mecânca da Unversdade Federal do Espírto Santo, como requsto parcal para a obtenção do título de Mestre em Engenhara Mecânca. VITÓRIA 2009 II

3 Humberto Barroncas Corrêa Procedmento Recursvo do Método dos Elementos de Contorno Dssertação de mestrado Dssertação apresentada ao Programa da Pós-Graduação em Engenhara Mecânca da Unversdade Federal do Espírto Santo, como requsto parcal para a obtenção do título de Mestre em Engenhara Mecânca. Aprovada em 15 de dezembro de MEMBROS DA BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Carlos Fredrch Loeffler UFES - orentador Prof. Msc Enlene Regna Lovatte-IFES-co-orentadora Prof. Dr. Fernando César Mera Menandro UFES Prof. Dr. Éder Lma de Albuquerque UnB III

4 À mnha esposa Zlda, um agradecmento especal pela pacênca e compreensão demonstradas em todos os momentos de soldão por que passou, para que pudéssemos conclur este trabalho. IV

5 AGRADECIMENTOS A Deus por todas as bençãos e conqustas da mnha presente exstênca. Ao professor Carlos Loeffler pela tranqüldade, pacênca, presença, amzade e orentação que sempre demonstrou durante todo o desenvolvmento deste trabalho. À professora Enlene por todo o empenho e dedcação sempre demonstrados durante todo o desenvolvmento deste trabalho. À Unversdade Federal do Espírto Santo UFES e aos professores do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca PPGEM pela oportundade de cursar o Mestrado. A secretára do PPGEM, Zezé, pelo constante apoo e dedcação e demas colaboradores do Programa e Departamento de Engenhara Mecânca. V

6 If I can see further, t s by standng on the shoulders of gants Sr Isaac Newton VI

7 Resumo Este trabalho apresenta o emprego recursvo da equação ntegral de governo com a fnaldade de melhorar a exatdão dos resultados numércos do Método dos Elementos de Contorno (MEC). Geralmente, os valores em pontos nternos do domíno com o MEC são determnados com a aplcação recursva da equação ntegral, depos que todos os valores nodas no contorno tverem sdo calculados. Neste trabalho, mostra-se que a mesma déa pode ser usada para melhorar a exatdão dos resultados no contorno. Ao nvés dos novos pontos fonte serem localzados dentro do domíno, eles são posconados sobre o contorno, com coordenadas dferentes dos pontos nodas. Assm, os valores da varável básca e de suas dervadas espacas no contorno podem ser recalculados baseados nos valores do contorno calculados prevamente. O resultado deste procedmento numérco é baseado na equvalênca matemátca entre o uso recursvo da equação ntegral de contorno e a nova aplcação da sentença de resíduos ponderados assocada à equação de governo. O procedmento é aplcado aqu à solução de problemas expressos pela Equação de Laplace. Comparando-se os resultados numércos dos erros percentuas cometdos no cálculo do potencal e sua dervada em exemplos em que a solução analítca é conhecda, avala-se o desempenho do procedmento proposto. VII

8 Abstract Ths work presents a procedure based on the recursve use of the governng ntegral equaton wth the purpose to mprove the accuracy of the Boundary Element Method. Usually, the recursve use of ntegral equaton wth BEM s done exclusvely to determnate nternal values of basc or prmal varables, after all the nodal boundary values have been calculated. In ths work, t s presented the same dea to mprove the boundary results accuracy. Instead the new source ponts be located nsde the doman, they are postoned on the boundary, wth dfferent coordnates from the nodal ponts. Thus, the basc varable values and ther boundary spatal dervatves can be recalculated based on the boundary values calculated prevously. Ths numercal procedure s based on the mathematcal equvalence among the recursve use of the boundary ntegral equaton and the new applcaton of the resdual weghed sentence, related to the governng equaton. The procedure s here appled to Laplace s Equaton. The numercal results are compared wth the analytcal ones to evaluate the performance obtaned wth the proposed technque. VIII

9 Lsta de Fguras Fgura 2.1 Lmtes de Integração ao longo do elemento sngular - nó funconal Fgura 2.2 Domíno Estenddo de um Setor Sem Crcular ao redor do Ponto Fonte ξ Fgura Defnção dos Ângulos Internos entre os Contornos Adjacentes ao Redor do Ponto Fonte Fgura 4.1 Domíno quadrado com transferênca de calor dfusva undmensonal elemento constante e condção de contorno constante Fgura 4.2 Temperatura: erro percentual médo x número de elementos barra undmensonal elemento constante Fgura 4.3 Fluxo: erro percentual médo x número de elementos barra undmensonal elemento constante Fgura Erro percentual médo da temperatura para dversas malhas na barra undmensonal com elemento lnear: Fgura Erro percentual médo do fluxo para dversas malhas na barra undmensonal com elemento lnear Fgura 4.6 Transferênca de calor em semcírculo com descontnudade Fgura Erro percentual médo da temperatura para dversas malhas em semcírculo com descontnudade com elemento lnear Fgura Erro percentual médo do fluxo para dversas malhas na chapa semcrcular com elemento lnear Fgura Domíno quadrado com transferênca de calor dfusva bdmensonal, elemento lnear e condção de contorno varável Fgura Erro percentual médo da temperatura para dversas malhas na chapa bdmensonal CCV com elemento lnear usando condções de contorno varável Fgura Erro percentual médo do fluxo para dversas malhas na chapa bdmensonal com elemento lnear usando condções de contorno varável aresta nferor Fgura Erro percentual médo do fluxo para dversas malhas na chapa bdmensonal com elemento lnear usando condções de contorno varável aresta superor Fgura Erro percentual médo do fluxo dreto para dversas malhas na chapa bdmensonal aresta horzontal superor com elemento lnear usando condções de contorno varável IX

10 Lsta de Tabelas Tabela 4-1 Temperatura dreta barra: 8 elementos constantes, nós funconas Tabela Temperatura recursva barra: 8 elementos constantes, nós geométrcos Tabela 4-3 Temperatura dreta barra: 16 elementos constantes, nós funconas Tabela 4-4 -Temperatura recursva barra: 16 elementos constantes, nós geométrcos Tabela 4-5- Temperatura dreta barra: 32 elementos constantes, nós funconas Tabela 4-6-Temperatura recursva barra: 32 elementos constantes, nós geométrcos Tabela Temperatura dreta barra: 64 elementos constantes, nós funconas Tabela Temperatura recursva barra: 64 elementos constantes, nós geométrcos Tabela 4-9 -Fluxo dreto barra: 8 elementos constantes, nós funconas Tabela Fluxo recursvo barra: 8 elementos constantes, nós geométrcos Tabela Fluxo dreto barra: 16 elementos constantes, nós funconas Tabela Fluxo recursvo barra:16 elementos constantes, nós geométrcos Tabela Fluxo dreto barra: 32 elementos constantes, nós funconas Tabela Fluxo recursvo barra: 32 elementos constantes, nós geométrcos Tabela Fluxo dreto barra: 64 elementos constantes, nós funconas Tabela Fluxo recursvo barra: 64 elementos constantes, nós geométrcos Tabela 4-17 Temperatura dreta barra: 8 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Temperatura recursva barra: 8 elementos lneares, nós funconas Tabela Temperatura dreta barra: 16 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Temperatura recursva barra: 16 elementos lneares, nós funconas Tabela Temperatura dreta barra: 32 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Temperatura recursva barra: 32 elementos lneares, nós funconas Tabela Fluxo dreto barra: 8 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Fluxo recursvo barra: 8 elementos lneares, nós funconas Tabela Fluxo dreto barra: 16 elementos lneares, nós geométrcos X

11 Tabela Fluxo recursvo barra:16 elementos lneares, nós funconas Tabela Fluxo dreto barra: 32 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Fluxo recursvo barra: 32 elementos lneares, nós funconas Tabela Temperatura dreta chapa sem-crcular: 16 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Temperatura recursva chapa sem-crcular: 16 elementos lneares, nós funconas Tabela Temperatura dreta chapa sem-crcular: 32 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Temperatura recursva chapa sem-crcular: 32 elementos lneares, nós funconas Tabela Temperatura dreta chapa sem-crcular: 64 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Temperatura recursva chapa sem-crcular: 64 elementos lneares, nós funconas Tabela Fluxo dreto chapa sem-crcular:16 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Fluxo recursvo chapa sem-crcular:16 elementos lneares, nós funconas.57 Tabela Fluxo dreto chapa sem-crcular:32 elementos lneares, nós geométrcos.. 58 Tabela Fluxo recursvo chapa sem-crcular: 32 elementos lneares, nós funconas Tabela Fluxo dreto chapa sem-crcular: 64 elementos lneares, nós geométrcos. 59 Tabela Fluxo recursvo chapa sem-crcular: 64 elementos lneares, nós funconas Tabela 4-41 Temperatura dreta barra: 16 elementos lneares, nós geométrcos Tabela 4-42 Temperatura recursva barra: 16 elementos lneares, nós funconas Tabela Temperatura dreta barra: 32 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Temperatura recursva barra: 32 elementos lneares, nós funconas Tabela 4-45 Temperatura dreta barra: 64 elementos lneares, nós geométrcos Tabela Temperatura recursva barra: 64 elementos lneares, nós funconas Tabela 4-47 Fluxo dreto barra: 16 elementos lneares, aresta horzontal nferor, nós geométrcos Tabela 4-48 Fluxo dreto barra:16 elementos lneares, aresta horzontal superor, nós geométrcos XI

12 Tabela 4-49 Fluxo recursvo barra: 16 elementos lneares, aresta horzontal nferor nós funconas Tabela 4-50 Fluxo recursvo barra: 16 elementos lneares, aresta horzontal superor, nós funconas Tabela Fluxo dreto barra: 32 elementos lneares, aresta horzontal nferor, nós geométrcos Tabela Fluxo dreto barra: 32 elementos lneares, aresta horzontal superor, nós geométrcos Tabela Fluxo recursvo barra: 32 elementos lneares, aresta horzontal nferor, nós funconas Tabela Fluxo recursvo barra: 32 elementos lneares, aresta horzontal superor, nós funconas Tabela Fluxo dreto barra: 64 elementos lneares, aresta horzontal nferor, nós geométrcos Tabela Fluxo dreto barra: 64 elementos lneares, aresta horzontal superor, nós geométrcos Tabela Fluxo recursvo barra: 64 elementos lneares, aresta horzontal nferor, nós funconas Tabela Fluxo recursvo barra: 64 elementos lneares, aresta horzontal superor, nós funconas XII

13 Conteúdo 1 INTRODUÇÃO COMENTÁRIOS PRELIMINARES O MÉTODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO MOTIVAÇÃO OBJETIVO E METODOLOGIA ESTRUTURA DO TRABALHO FORMULAÇÃO CLÁSSICA DO MEC PROCEDIMENTO RECURSIVO Procedmento para a Varável Potencal Procedmento para as Dervadas Espacas do Potencal Aspectos Numércos SIMULAÇÕES NUMÉRICAS INTRODUÇÃO BARRA UNIDIMENSIONAL, ELEMENTO CONSTANTE, COM CONDIÇÕES DE CONTORNO CONSTANTES Temperatura Fluxo BARRA UNIDIMENSIONAL, ELEMENTO LINEAR, COM CONDIÇÕES DE CONTORNO CONSTANTES Temperatura Fluxo SEMICÍRCULO COM DESCONTINUIDADE Temperatura XIII

14 4.4.2 Fluxo CHAPA BIDIMENSIONAL COM CONDIÇÕES DE CONTORNO VARIÁVEIS Temperatura Fluxo CONCLUSÕES BIBLIOGRAFIA Apêndce A - Solução Fundamental Apêndce B - Expressão do MRP equvalente à forma ntegral nversa XIV

15 CAPÍTULO 1 1 INTRODUÇÃO 1.1 COMENTÁRIOS PRELIMINARES O desenvolvmento centífco e tecnológco não é estanque. Com o passar do tempo, velhas teoras vêm sendo substtuídas por novas e o conhecmento humano vem sendo aprmorado. Sabe-se, ao longo da hstóra, que ocorreram dversas modfcações em algumas teoras, como, por exemplo, na Astronoma, a partr da substtução do modelo geocêntrco (Terra ao centro), como acredtavam Arstóteles e Ptolomeu, pelo modelo helocêntrco (Sol ao centro) de Ncolau Copérnco, e aprovado por Galleu Galle. Naquela época, houve muta resstênca por parte da socedade, em geral, para a acetação dos novos concetos de Copérnco/Galleu, até mesmo quando suas teoras estavam pratcamente consoldadas. Esse comportamento do ser humano demonstra, claramente, que exstem dfculdades para que ocorram mudanças. No passado, as dfculdades eram maores, em face da nexstênca de ferramentas auxlares, rápdas e efcazes como a nformátca, em nossos das. O progresso centífco e tecnológco aconteca, lentamente, a custa do esforço, da capacdade técnca e da persstênca de abnegados e herócos centstas, tas como Copérnco e Galleu, já ctados, Leonardo da Vnc, Pascal, Tesla, etc, entre tantos outros. O conhecmento humano tem evoluído, em progressão geométrca, nas últmas décadas, de uma forma geral, em todas as cêncas, e, também, nas artes. Esta velocdade, crescente, é devda a algumas razões, e, dentre elas, como já fo ctado, podemos destacar o advento e o desenvolvmento da nformátca, que se tornou uma ferramenta fundamental para o desenvolvmento de todas as cêncas. Percebe-se que, graças ao ncessante desenvolvmento centífco e tecnológco, auxlado, sobremanera, pela nformátca, vêm acontecendo melhoras na qualdade de vda dos seres humanos. 1

16 Com o desenvolvmento da Matemátca, e, concomtantemente, da nformátca, tem sdo possível, em nossos das, um progresso centífco, a passos mas largos que no passado, à época de centstas renomados, como Kelvn, Newton, etc. Todava, em termos hstórcos, na engenhara a experênca obtda com a realzação de testes com protótpos ou a realzação anteror de empreendmentos smlares fo durante algum tempo a ferramenta mas empregada pelos profssonas. O custo de confecção de alguns protótpos e do desenvolvmento de outros ramos da matemátca era alto. Smular expermentalmente certos fenômenos físcos, nem sempre é smples. Por sso, torna-se mportante o desenvolvmento de modelos matemátcos que representem a físca dos mesmos. Os projetos de equpamentos, edfcações e máqunas a partr de modelos analítcos construídos com rgor matemátco ntensfcaram-se, prncpalmente, com o uso do computador. Realmente, devdo aos fortes avanços computaconas, a modelagem matemátca tem sdo fundamental na engenhara, na físca e em outras cêncas aplcadas. A partr da observação prelmnar dos fenômenos e da expermentação em laboratóro, vão surgndo novas teoras, sustentadas matematcamente por equações dferencas, de maor ou menor complexdade na obtenção das soluções respectvas. Entretanto, há mutos problemas de engenhara cujos comportamentos físcos conduzem a certas equações dferencas que somente possurão solução exata para alguns tpos partculares de geometra e condções de contorno smples, o que de certo modo nvablza a aplcação generalzada de procedmentos que vsem exclusvamente a obtenção de respostas analítcas aos modelos matemátcos propostos. Equações smples que representavam os problemas do passado e servam de apoo aos projetos de engenhara, cederam lugar às equações dferencas parcas, algumas mesmo não lneares, ou então, a sstemas de equações dferencas ordnáras de grande complexdade. 2

17 O tratamento matemátco que se empregava com vstas a resolver estas equações para obtenção de uma solução analítca ou fechada teve que ser revsto, porque poucas eram aquelas que conseguam ser devdamente soluconadas. Para os casos mas complexos surgram, então, as soluções aproxmadas, através de métodos numércos de análse, onde a ntegração das equações dferencas se transforma na resolução de um sstema de equações algébrcas lneares, resultante da dscretzação dos campos a determnar. O advento dos computadores tornou mas smples a utlzação destes métodos, bem como vablzou o seu uso na resolução de problemas com um grande número de varáves envolvdas. Dentre os métodos que mas têm sdo utlzados, destacam-se o Método das Dferenças Fntas (MDF), o Método dos Elementos Fntos (MEF) e o Método dos Elementos de Contorno (MEC). Esses três métodos trabalham com problemas de valor de contorno, que são aqueles problemas matemátcos expressos por equações dferencas nos quas, fornecdos alguns dados pertnentes ao contorno, são encontradas as varáves restantes nesse mesmo contorno e, também, no própro domíno. O mesmo esquema ocorre também com problemas de valor ncal, onde a equação governante estabelece um certo processo ao longo do tempo, em que são prescrtos valores referentes ao nstante ncal e a partr daí são calculados valores de resposta ao longo do tempo, para qualquer ponto do domíno e também do contorno. Na realdade, os prncpas métodos numércos ctados resolvem com relatva abrangênca tanto problemas de valor de contorno, quanto os problemas de valor ncal; geralmente, todos partem de um modelo matemátco (equações dferencas governantes) e se desenvolvem matematcamente de acordo com característcas específcas. Todos trabalham com a déa de dscretzação, que sgnfca escolher um determnado número de pontos do domíno contínuo (orgnalmente este tera nfntos pontos) os quas garantem a representatvdade de todos os demas e aí estabelecer condções para a solução aproxmada do modelo matemátco governante, que também se transforma num modelo algébrco. 3

18 Dos três métodos mas populares ctados, apenas o MEC possu a peculardade de somente expressar-se matematcamente em termos de equações ntegras de contorno e sso sgnfca mutas vantagens no emprego de um método numérco. Em prmero lugar, especalmente nos casos de problemas trdmensonas, mutas vezes aparece um grande número de varáves, que conduzem necessaramente à manpulação de grande número de valores referentes aos pontos de dscretzação. Ao se dscretzar exclusvamente o contorno, o número de pontos de dscretzação se reduz. De modo geral, o MEC requer, somente, dscretzação de contorno, ao nvés de domíno. Dsto se conclu que os códgos de elementos de contorno são mas fáces de usar com os modeladores de sóldos e geradores de malhas exstentes. Esta vantagem é partcularmente mportante para o projeto, quando o processo, usualmente, envolve uma sére de modfcações que são mas dfíces de se realzar usando elementos fntos. Em função dsso, o MEC têm surgdo como uma alternatva poderosa para substtur o MEF, partcularmente em casos onde uma melhor precsão é requerda, devdo a problemas de concentração de tensões ou onde o domíno se estende ao nfnto. No entanto, embora o MEC seja uma das técncas numércas mas efcazes dsponíves para se resolver equações dferencas parcas resultantes da modelagem matemátca, exstem lmtações ao seu emprego. É precso que as equações dferencas governantes sejam dadas por operadores auto-adjuntos. Para superar essa lmtação, mutos pesqusadores têm desenvolvdo aproxmações consstentes para adaptar satsfatoramente a formulação ntegral de contorno a outro tpo de operadores dferencas, muto comum na mecânca dos fludos, por exemplo, com relatvo sucesso. 4

19 1.2 O MÉTODO DE ELEMENTOS DE CONTORNO Os métodos numércos ou computaconas, como passaram a ser conhecdos, atualmente tornaram-se váves, confáves e amplamente dfunddos com o advento e evolução dos computadores. Graças a essa poderosa ferramenta, capaz de processar mlhares de cálculos em ntervalos de tempo cada vez menores, e largamente utlzados em dversas áreas de conhecmento, sstemas de equações algébrcas puderam ser resolvdos com relatva facldade e rapdez. Conforme exposto, mutos métodos numércos modernos são fundamentados na déa da dscretzação. Esta déa consste bascamente de uma aproxmação do domíno contínuo por um conjunto dscreto ou fnto de pontos que o representem consstentemente. Em termos matemátcos, a dscretzação acarreta a substtução de uma equação dferencal ou ntegral por um conjunto de equações algébrcas, de fácl mplementação e resolução pelos computadores modernos, pos o problema fca reduzdo à solução de um sstema matrcal. No caso do MEC, o modelo matemátco base que antecede ao processo de dscretzação é dado por equações ntegras. Fredholm apresentou as prmeras equações ntegras de contorno em No começo dos anos 60 foram apresentadas soluções numércas modernas para as equações ntegras de contorno. Jaswon and Symm trabalharam com problemas de potencal em duas dmensões, em Frank Rzzo propôs a prmera formulação da equação do contorno para a elastcdade lnear em 1964 e apresentou um artgo em Cruse e F.J. Rzzo trabalharam com elastodnâmca em duas dmensões em P.K. Banerjee utlzou, pela prmera vez, em 1975, o nome Método dos Elementos de Contorno. Em 1978, Brebba e Domnguez [1] publcaram o lvro de ntrodução ao método dos elementos de contorno aplcado a problemas de potencal e elastcdade estátca 5

20 lnear. Posterormente (1984), um lvro bem mas abrangente fo publcado por Brebba et al. [2]. O Método de Elementos de Contorno possu váras vertentes ou varantes, mas a mas comum é a chamada formulação dreta sngular ou formulação clássca, que se basea na obtenção de uma equação ntegral de governo expressa na forma nversa Brebba e Domnguez [1] e Brebba e Walker [3]. No caso da Equação de Laplace, em que operador dferencal é sabdamente auto-adjunto, a forma ntegral nversa corresponde à Segunda Identdade de Green ( Kaplan [4]). Graças ao uso de funções auxlares com caracteres especas a solução fundamental é possível fazer com que a equação ntegral nversa característca do MEC clássco expresse-se tendo como varáves báscas o potencal escalar e sua dervada normal, dados exclusvamente em termos de valores de contorno como preconza a Teora das Equações Dferencas para que um problema de valor de contorno (ou de valor ncal) seja bem posto. Em outras palavras, o MEC é um método numérco que transforma a equação dferencal governante do problema em uma equação ntegral de contorno, usando o Teorema da Dvergênca. Sendo assm, tem-se a geometra real do contorno aproxmada através da dscretzação do mesmo por elementos, que assumem uma determnada le de varação espacal para o potencal e sua dervada normal ao contorno. Neste trabalho os elementos utlzados na dscretzação são elementos constantes/lneares. No contexto dessa formulação clássca ou sngular, há possbldade de dervar-se uma formulação correlata a anteror, denomnada hpersngular, em que o valor da dervada dreconal do potencal possa ser evdencado. É comum evdencar-se o valor da dervada normal ou da dervada tangencal do potencal. Informações constantes da lteratura (Prado [5]) assocam um melhor desempenho da equação ntegral hpersngular na solução de problemas com elevados gradentes. 6

21 1.3 MOTIVAÇÃO De acordo com avanços na amplação da modelagem matemátca e no aumento da capacdade de armazenamento de dados computaconas, algumas técncas numércas tradconas foram objeto de adaptações partculares para consegur um melhor desempenho. Após os procedmentos tas como a relocação de pontos de dscretzação, refnamento de malhas e o uso de funções de forma, alguns métodos numércos têm ntroduzdo um esquema teratvo na solução para melhorar sua exatdão numérca. Com o Método de Elementos de Contorno sto também acontece e váras formulações alternatvas têm sdo propostas, no sentdo de aprmorar a precsão, amplar a versatldade e torná-lo computaconalmente mas efcente. Segundo essa tendênca, o uso recursvo da equação ntegral de contorno é apresentado aqu como uma ferramenta auxlar para melhorar o desempenho do MEC. Não é uma técnca teratva, mas um procedmento smples baseado em um esquema comum para calcular valores nternos com o MEC, onde a equação ntegral de contorno é usada duas vezes. 1.4 OBJETIVO E METODOLOGIA A proposta do procedmento recursvo aqu desenvolvdo é resolver o problema clássco, onde são encontrados os valores nodas das ncógntas, e rentroduzr esses valores na equação ntegral orgnal, consderando novos pontos fonte na equação ntegral, tanto para o potencal, quanto para suas dervadas espacas e, com sso, aumentar a precsão dos resultados. O procedmento é certamente geral, mas será apresentado tomando-se a Equação de Laplace, por questões de smplcdade, para ndcar os concetos prncpas e os aspectos numércos, especalmente devdo à determnação das dervadas dreconas da varável prmordal, que faz parte da teora hpersngular do MEC. 7

22 A atenção partcular dada no texto a segur a algumas etapas omtdas usualmente na dedução básca da equação ntegral de contorno é relaconada exatamente ao tratamento hpersngular de algumas ntegras. O uso da equação ntegral sngular e hpersngular de modo recursvo é bastante comum, pos é empregado tradconalmente para calcular valores de potencal e dervadas espacas em pontos nternos, usando-se os valores prevamente calculados no contorno. Constata-se que esse uso pós processamento produz resultados numércos com melhor precsão do que os resultados obtdos para os pontos nodas no contorno. A razão para esse comportamento é explcada pela equvalênca entre o procedmento recursvo e a aplcação de uma nova sentença do método dos resíduos ponderados, mnmzando os erros cometdos anterormente. No entanto, o uso desse procedmento para recalcular os valores de contorno não é dscutdo na bblografa especalzada do MEC. Atualmente, soluções que melhorem os resultados consttuem nteresse nas pesqusas de Loeffler e Wrobel [6], entre outros. Assm sendo, resultados numércos são obtdos nas smulações de problemas bdmensonas, dos quas se dspõe de soluções analítcas para comparação de desempenho. É comparada a qualdade dos resultados gerados com o uso recursvo da equação ntegral nversa e os resultados obtdos tradconalmente, com o uso dreto desta mesma equação. Foram usados elementos constantes e lneares. Em termos numércos, para efetuar as ntegrações regulares em todos os elementos usa-se a quadratura de Gauss, chegando-se ao sstema de equações algébrcas do MEC, que ao ser resolvdo, fornece as ncógntas (potencal e dervada potencal normal) que faltavam para o completo conhecmento das varáves no contorno. 8

23 Fo mplementada a formulação para o cálculo dos coefcentes de nfluênca usados na montagem do sstema de equações algébrcas, para as formulações sngular e hpersngular. Em problemas bdmensonas, conhecdos os valores dos potencas u e q, podemos calcular os valores destes potencas em outros pontos pertencentes ao contorno através da formulação clássca do MEC, exceto em um ponto específco, onde ocorre sngulardade e cuja ntegração é feta após estudo em separado. Se estes núcleos forem dervados, a formulação orgnada passa a ser Hpersngular, sto porque a sngulardade aumenta de ordem. De manera análoga ao ponto sngular, a ntegração no ponto do contorno onde a hpersngulardade ocorre é feta consderando-se o lmte em um ponto medatamente antes e depos do ponto em questão. Após estudos dos pontos do contorno onde ocorrem a sngulardade e hpersngulardade, a ntegração pode ser feta sem maores problemas. Em ambos os casos, em pontos nternos, uma vez conhecdos valores no contorno podemos calcular nternamente, no domíno, valores dos potencas e suas dervadas. Neste trabalho, os valores de potencas e suas dervadas são obtdos nas duas formulações tradconas, utlzando-se elementos constantes e lneares, sendo o ponto ξ aplcado nos nós funconal e geométrco do elemento. Segundo Loeffler e Wrobel [7], o uso recursvo da sentença ntegral nversa do Método dos Elementos de Contorno consste em aplcar o mesmo procedmento usado para determnação de valores em pontos no nteror do domíno para recalcular os valores de contorno, consderando que o uso reterado desta equação equvale a uma nova mnmzação dos resíduos numércos do método. Fetas algumas consderações báscas, a equação dferencal envolvda na representação do fenômeno é a equação de Laplace, que é lnear. 9

24 1.5 ESTRUTURA DO TRABALHO O capítulo 2 deste trabalho apresenta os concetos báscos do Método de Elementos de Contorno, as equações governantes que regem o problema, as condções de contorno e as consderações necessáras à mplementação computaconal para a formulação sngular. O capítulo 3 apresenta o procedmento recursvo do Método de Elementos de Contorno utlzando os concetos apresentados no capítulo 2. No capítulo 4 são apresentados os resultados obtdos em exemplos de solução analítca conhecda. As conclusões e sugestões para futuros trabalhos são apresentadas no capítulo 5 desta dssertação. O capítulo 6 apresenta a lsta de referêncas bblográfcas utlzadas para a elaboração desta dssertação. Os apêndces são apresentados após o últmo capítulo. 10

25 CAPÍTULO 2 2 FORMULAÇÃO CLÁSSICA DO MEC 2.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo são apresentados os concetos báscos do Método de Elementos de Contorno (MEC) com sua formulação clássca aplcada para a solução de problemas bdmensonas de potencal escalar. Na formulação clássca, prmero se encontra a equação ntegral de contorno que fornece a dervada dreconal de um ponto fonte, stuado no nteror do domíno. Posterormente, leva-se, através de um processo lmte, essa equação ntegral em termos da dervada do potencal em um ponto nterno para o contorno. 2.2 EQUAÇÃO DE LAPLACE Consdere um domíno bdmensonal Ω(X) representando um campo térmco ou mecânco em condções de estado estaconáro com propredades contínuas, homogêneas e sotrópcas. Consdere u(x) como sendo a varável potencal escalar, também denomnada de varável básca ou prmal. A equação dferencal assocada a este problema é a equação de Laplace, em notação ndcal dada por: u, = As condções de contorno essencas e naturas são defndas respectvamente pelas seguntes equações: u = u(em Γ u ) 2.2 u, n = q(em Γ q ) 2.3 onde n o vetor normal untáro externo no ponto X= X(X ) e Г= Г u + Г q. 11

26 2.3 FORMA INTEGRAL DA EQUAÇÃO DE LAPLACE Consdere uma função auxlar u * (ξ;x) e sua dervada normal q * (ξ;x), onde ξ é um ponto do domíno nterno partcular. Utlzando ferramentas báscas da teora das equações ntegras, tas como o Teorema da Dvergênca e a ntegração por partes, a forma dferencal da Equação de Laplace pode ser reescrta como: 2.4 u( ξ ) = u ( ξ;x)q(x)dγ q ( ξ;x)u(x)dγ Γ Γ Na equação 2.4, q(x) é a dervada normal do potencal. Esta equação ntegral fo determnada pela formulação dreta do MEC ( Brebba e Domnguez [1]), a função auxlar u*(ξ,x) se refere à solução do problema relaconado e governado por uma equação de Posson partcular,para a qual uma fonte untára sngular exste em x=ξ, ou seja: u = ( ξ ;X) 2.5, O termo (ξ;x) é a função Delta de Drac. Em duas dmensões, consderando o domíno nfnto auxlar Ω*(x), tem-se: u ( ξ ;X) = (1 2 π) ln r( ξ ;X) 2.6 q ( ξ ;X) = (1 2π r)r n 2.7, Nas equações 2.6 e 2.7, r(ξ;x) é a dstânca Eucldana entre o ponto fonte ξ e o ponto campo X=X(x ). Na equação 2.4, o ponto fonte ξ fo assumdo como localzado 12

27 nternamente ao domíno físco Ω. Na fgura 2.1, é mostrado o ponto ξ stuado no segmento do contorno dscretzado, entre os lmtes de ntegração do elemento. y -L/2 r r -ε +ε X< 0 X> 0 +L/2 Fgura 2.1 Lmtes de Integração ao longo do elemento sngular - nó funconal O emprego prátco do MEC requer procedmentos operaconas nos quas os pontos fonte necesstam estar localzados externamente ou no contorno. Quando o ponto fonte é posconado no contorno, as funções u*(ξ;x) e q*(ξ;x) apresentam sngulardades. Apesar de serem descontínuas, u*(ξ;x) é ntegrável ao longo do contorno, mas a ntegral de q*(ξ;x) não exste no sentdo usual se o ponto sngular estver ncluído. 2.4 GENERALIZAÇÃO DA EQUAÇÃO INTEGRAL O procedmento matemátco aplcado para resolver este problema assume o domíno Ω aumentado por um setor crcular de rao ε e centrado em ξ, então toma-se o lmte quando ε 0, tal como mostrado na fgura

28 Γ ε ξ Γ Г ε Ω Fgura 2.2 Domíno Estenddo de um Setor Sem Crcular ao redor do Ponto Fonte ξ. Consderando-se este domíno estenddo, a equação ntegral 2.4 pode ser re-escrta como: ξ = ξ Γ ξ Γ + ξ Γ 2.8 * * * u( ) u ( ;X)q(X)d lm q ( ;X)u(X)d q ( ;X)u(X)d ε 0 Γ Γ Γε Γε Se u(x) obedece a Condção de Holder, a segunda ntegral, no lado dreto da equação 2.8 exste no sentdo do Valor Prncpal de Cauchy (VPC) segundo Brebba e Domnguez [1]. O próxmo passo consste em se analsar a tercera ntegral no lado dreto da equação 2.8. Por questão de convenênca, a mesma deve ser estudada consderando-se um campo potencal extra, u(ξ), ou seja: lm * * q ( ξ;x)u(x)dγ = lm{ q ( ξ;x)[u(x) u( ξ)]dγ + * q ( ξ;x)u( ξ)d Γ} ε 0 ε 0 Γε Γε Γε 2.9 Consderando-se que u(x) seja uma função contínua, uma expansão em sére de Taylor de prmera ordem pode ser desenvolvda no prmero termo do lado dreto da equação 2.9. Levando-se em consderação que em um setor crcular r ε, x/ε = n e dг ε = εdθ, tem-se: 14

29 1 [u, ( ξ) x ] 1 Γ Γ 2.10 * lm{ q ( ξ;x)[u(x) u( ξ)]}dγ = lm{ }dγ = lm{ u, ( ξ)nεd θ } = 0 ε 0 ε 0 2π ε ε 0 2 ε ε θ π O segundo termo do lado dreto da equação 2.9 pode ser faclmente ntegrado, uma vez que é dependente do ângulo nterno entre elementos adjacentes, tal como mostrado na fgura 2.3. De acordo com notação usual do MEC, substtundo-se 2.10 em 2.9 e substtundose o resultado em 2.8, obtém-se: ξ = ξ Γ ξ Γ + ξ ξ Γ 2.11 * * * u( ) u ( ;X)q(x)d lm q (,X)u(x)d q ( ;X)u( )d ε 0 Γ Γ Γε Γε Desenvolvendo-se a equação 2.11: ξ ξ ξ Γ = ξ Γ ξ Γ 2.12 * * * u( ) lm u( ) q ( ;X)d u ( ;X)q(x)d lm q (,X)u(X)d ε 0 ε 0 Γε Γ Γ Γε Colocando-se em evdênca u(ξ) no prmero membro da equação 2.12, obtém-se ξ ξ Γ = ξ Γ ξ Γ 2.13 * * * u( ) 1 lm q ( ;X)d u ( ;X)q(x)d lm q (,X)u(X)d ε 0 ε 0 Γε Γ Γ Γε Chamando-se o termo entre chaves, no prmero membro da equação 2.13 de c(ξ), obtém-se: ξ ξ = ξ Γ ξ Γ 2.14 * * c( )u( ) u ( ;X)q(x)d lm q (,X)u(X)d ε 0 Γ Γ Γε 15

30 n Г ε ε Γ θ 2 θ 1 ξ x 1 Ω Fgura Defnção dos Ângulos Internos entre os Contornos Adjacentes ao Redor do Ponto Fonte Tomando-se a defnção do ângulo nterno α como a dferença entre os ângulos θ 2 e θ 1 na fgura 2.3, para contornos suaves e não suaves, tem-se: θ 2 θ1 α c( ξ ) = = π 2π Utlzando-se 2.15 e levando-se em conta, como já fo dto, o pressuposto de u(x) obedecer a condção de Holder, a segunda ntegral, no lado dreto da equação 2.14 exste no sentdo do Valor Prncpal de Cauchy (VPC), e, então, podemos escrever a equação ntegral para os pontos fonte localzados no contorno como: * * c( )u( ) u ( ;X)q(X)d VPC q ( ;X)u(X)d ξ ξ = ξ Γ ξ Γ Γ Γ 2.16 que é a formulação sngular do MEC De acordo com alguns procedmentos operaconas do MEC bem conhecdos (Brebba e Domnguez [1]), o contorno necessta ser dscretzado em um número fnto de elementos e o potencal e a sua dervada normal são aproxmados através de funções de forma defndas ao longo dos mesmos. 16

31 A equação 2.16 necessta ser reescrta para um número N de pontos fonte, gerando um sstema de equações dado em notação matrcal como: HU GQ =

32 CAPÍTULO 3 3 PROCEDIMENTO RECURSIVO 3.1 PROCEDIMENTO PARA A VARIÁVEL POTENCIAL A solução do sstema matrcal do MEC (equação 2.17) permte conhecer o potencal e sua dervada normal em todos os N nós do contorno. Com relação aos pontos nternos desconhecdos, é possível determnar, faclmente, seus valores, pondo o ponto fonte dentro do domíno e usando, novamente, a equação ntegral 2.4, mas que nclu as varáves do contorno já calculadas. Em geral, a precsão dos valores numércos das varáves nternas é, usualmente, melhor que aqueles obtdos no contorno. O fundamento matemátco para este comportamento pode ser entenddo através do Método dos Resíduos Ponderados (MRP). Demonstra-se que para a Equação de Laplace, a expressão do MRP é dada por: u, u *( ξ;x)d Ω = (u u)q *( ξ;x)d Γ + (q q)u *( ξ;x)dγ = 0 Ω Γu Γq 3.1 A obtenção do Método dos Resíduos Ponderados, equação 3.1, e sua lgação com o MEC (equação 2.4) está apresentada, de manera mas smples, no Apêndce B. Na equação 3.1, a ntegral no lado esquerdo dz respeto à mnmzação no domíno e as ntegras no lado dreto sgnfcam a mnmzação resdual das condções essencas e naturas no contorno, respectvamente. Estas ntegras podem ser desenvolvdas usando ntegração por partes e o Teorema da Dvergênca e, então, gerar uma equação ntegral equvalente à equação 2.4. O Método da Colocação formalmente dentfca a posção dos pontos fonte escolhdos no domíno e gera a equação do MEC dscreta usual De acordo com o Método dos Resíduos Ponderados (colocação), estes pontos fonte podem ser entenddos como pontos de resduos mínmos, resultando uma precsão numérca melhor que outros pontos localzados ao longo dos elementos de contorno, 18

33 para os quas os resultados numércos são encontrados através de um procedmento de nterpolação smples, utlzando a função de forma aproprada. Por essa razão, o uso recursvo da equação ntegral na determnação de valores numércos para varáves nternas pode ser nterpretado tal como um novo processo de resduos, com o qual se espera uma mnmzação dos erros prevamente calculados, alcançando melhor performance com os novos pontos de colocação comumente localzados dentro do domíno. Assm, a forma recursva da equação 2.16, consderando valores no contorno calculados prevamente e colocando novos pontos fonte novamente no contorno, é dada, smplesmente por: N N e e k k k k e= 1 Γe e= 1 Γe 3.2 c( ξ )u( ξ ) = Q φ u *( ξ ;X)dΓ U φ q*( ξ ;X)dΓ Na equação 3.2, ϕ k (X) são as funções de forma e Q e k e U e k são os valores nodas no contorno. A posção dos novos pontos fonte não poderá concdr com os nós do contorno formados, porque estes pontos já foram objeto da mnmzação de resíduos. O uso recursvo da sentença ntegral é mas efetvo usando pontos stuados entre dos nós adjacentes do contorno, como acontece quando são utlzados elementos lneares. 3.2 PROCEDIMENTO PARA AS DERIVADAS ESPACIAIS DO POTENCIAL Não somente podem os valores dos potencas ser recalculados através do procedmento recursvo, mas as dervadas espacas do potencal relaconadas às dreções x j (ξ) (ou dreções normas e tangencas) podem ser também determnadas através do procedmento. A fundamentação matemátca para a determnação das dervadas espacas segue os mesmos passos da formulação Hpersngular do MEC ( Mansur et al[8] e Pessolan [9]) e pode ser resumda como segue. 19

34 Incalmente, tome um ponto fonte nterno ξ. Tomando-se as dervadas cartesanas da equação ntegral 2.4 e usando a regra de Lebnz,tem-se: u, ( ξ ) = q ( ξ ) = u, ( ξ;x)q(x)dγ q, ( ξ;x)u(x)dγ * * Γ Γ 3.3 Nesta equação, tem-se: u, ( ξ ;X) = q = (1/ 2π r)r, 3.4 * * * * 2 q, ( ξ ;X) = p = (1/ 2πr )[2r, r, j n j rj,n j] 3.5 Da mesma manera como fo feto anterormente, consdera-se um setor aumentado de rao ε (fgura 2.2). A dervada do potencal, de agora em dante, é chamada de fluxo. A equação ntegral torna-se: q ( ξ ) = lm{ q ( ξ;x)q(x)dγ + q ( ξ;x)q(x)dγ * * ε 0 Γ Γ ε Γ ε p ( ξ;x)u(x)dγ p ( ξ;x)u(x)d Γ} Γ Γε * * Γε 3.6 Aplcando um campo potencal constante u(ξ) no domíno ntero, por convenênca, desde que o o fluxo q (ξ) não seja afetado, a equação 3.6 pode ser re-escrta como: q ( ξ ) = lm{ q ( ξ;x)q(x)dγ + q ( ξ;x)q(x)dγ * * ε 0 Γ Γ ε Γ ε p ( ξ;x)[u(x) u( ξ)]dγ p ( ξ;x)[u(x) u( ξ)]d Γ} Γ Γε * * Γε 3.7 As expressões de p *(ξ;x) e q *(ξ;x) tornam-se mas smples, desde que no contorno aumentado Г ε tenha-se n = r, = r, /r e também que r ε. 20

35 1 r ε r 1 r r r n p ( ;X) [2 n ] [2 ] * j j ξ = 2 j = δ 2 j = = 3 2 2πε ε n x 2πε ε ε 2πε 2πε 3.8 * 1 r 1 r 1 q ( ξ; X) = [ ] = [ ] = [n ] 3.9 2πε x 2πε ε 2πε Da mesma forma como fo feto prevamente, toma-se x /ε = n e o contorno aumentado é dado por dг ε = εdθ. Assm, utlzando-se uma expansão em sére de Taylor de prmera ordem, a quarta ntegral do lado dreto da equação 3.7 resulta: n u, x n lm{ p ( ξ;x)[u(x) u( ξ)]d Γ } = lm{ εd θ } = lm{ u, n d θ} 3.10 * j j j j ε 0 ε 0 2πε ε ε 0 2π Γε θε θε Uma smlar aproxmação deverá ser feta na segunda ntegral do lado dreto da equação 3.7, conduzndo ao segunte lmte: * n n lm{ q ( ; X)q(X)d } lm{ u, j n j d } lm{ u, j n jd } 0 ξ Γ = ε θ = θ 0 2πε ε ε ε 2π Γ Γ Γ Exceto quanto ao snal negatvo, este é o mesmo resultado encontrado analsandose a equação 3.10, e a soma de ambas as ntegras pode ser computada como uma únca ntegral, e, por essa razão, a equação 3.7 pode ser reescrta como: n q ( ξ) lm{ u, n d θ } = lm q ( ξ;x)q(x)dγ lm p ( ξ;x)[u(x) u( ξ)]dγ * * j j ε 0 π ε 0 ε 0 θε Γ Γε Γ Γε 3.12 É precso que se perceba que o segundo termo do lado esquerdo da equação 3.12 é resolvdo fazendo-se uma ntegração angular, mas é necessáro prestar atenção em n e n j, os quas são funções de θ. Segundo Prado [5] e Huacas [10], o resultado desta ntegral é, naturalmente, dependente do ângulo nterno entre um elemento e o seu vznho. 21

36 Em notação ndcal, tem-se: n 1 θ = + + θ π π 3.13 lm{ u, j n jd } lm (n x n y )(u, x n x u, y n y )d ε 0 ε 0 θε θε lm (n x + n y )(u, x n x + u, y n y )dθ = lm (u, x n x + u, y n y + n xn yu, y + n xn yu, x d θ) π ε 0 ε 0 π θε θε lm (u, x n x + u, y n y + n x n y u, y + n x n y u, x )d θ = π ε 0 θ ε 1 lm u, 2 2 x cos θ + u, y sen θ + (u, x + u, y )sen θ d θ π ε 0 θ ε lm u, cos θ + u, sen θ + (u, + u, )sen θ d θ = 2 2 x y x y π ε 0 θ ε 1 1+ cos 2θ 1 cos 2θ lm q dθ + q d θ + (q + q ) senθcos θdθ x y x y π ε θ ε θ ε θε cos 2θ 1 cos 2θ lm q x dθ + q y d θ + (qx + q y ) senθcos θdθ = π ε θ ε θ ε θ ε θ2 θ2 2 θ2 1 θ sen2θ θ sen2θ sen θ qx + + qy + ( qx + qy ) π 2 4 θ θ1 θ Sendo: q = qx + q y;q j = qx + q y; = 1,2; zj ; 123 = 1; 321= Tem-se: 22

37 1 θ ( 1) sen θ q ( ξ) sen2θ q j ( ξ)( 1) π θ2 2 θ2 θ1 θ n 1 θ ( 1) sen θ lm{ u, n d } q sen2 q 1 π π θ2 2 θ2 j j θ = ( ξ) θ j ( ξ)( ) 3.20 ε 0 θ ε θ 1 θ 1 Substtundo-se a equação acma no lado esquerdo da equação 3.12, tem-se: n q lm{ u, n d } q s w q ( ξ) θ = ( ξ) ( ξ ) + ( ξ) ( ξ) 3.21 j j 321 j ε 0 θε π onde se tem: ( 1 1 θ ) 1 sen θ s( ξ ) = 1 sen2 θ ; w ( ξ ) = ( 1) π 2 4 π 2 θ 1 θ2 2 θ2 θ Então, o lado esquerdo da equação 3.12, para contornos suaves (entre zero e 180 graus) fca sendo: π 2 ( 1 π 1 θ ) 1 π 1 1 sen θ s( ξ ) = 1 sen2θ = 0 = ; w ( ξ ) = ( 1) = 0 π 2 4 π 2 2 π Consderando contornos suaves, s(ξ) é gual a 0,5 e a ntegral formada envolve somente o fluxo na dreção x, devdo ao fato de w(ξ) ser nulo; entretanto, para contornos não suaves, os fluxos em duas dreções dferentes (dreções ortogonas) aparecem acoplados na mesma equação. Quanto às ntegras remanescentes, nenhuma delas é convergente. Segundo Mansur et al [8], entretanto, estes dos lmtes exstem quando consderados juntos, no sentdo do Valor Prncpal de Cauchy (VPC). Assm, levando-se em consderação os procedmentos efetuados, a equação 3.7 pode ser escrta como: 23

38 s( ξ)q ( ξ ) = VPC{ p ( ξ;x)[u(x) u( ξ)]dγ q ( ξ;x)q(x)d Γ} * * Γ Γ 3.24 Utlzando-se os valores no contorno que foram prevamente calculados, a equação 3.24 pode ser reescrta e aplcada a ξ pontos no contorno: N N j j e j * j e * j k k k k e= 1 Γe e= 1 Γe 3.25 s( ξ )q ( ξ ) = VPC{ [U u( ξ )] φ p ( ξ ;X)dΓ Q φ q ( ξ ;X)d Γ} De acordo com a aproxmação dos resíduos ponderados, algumas dferenças aparecem na comparação entre a equação formada 3.25 e a sentença equvalente dada pela equação 3.2. Apesar de ambas as equações ntegras fazerem uso dos valores no contorno calculados prevamente, nos nós funconas as funções peso são dferentes, compondo bases dstntas para a ortogonalzação dos resíduos. Isto pode ser um mportante fator para a dferença entre as precsões numércas dos cálculos do potencal e do fluxo, tal como ocorre na comparação entre as performances das técncas utlzadas no contorno, a sngular tradconal e a hpersngular. Entretanto, o fator mas mportante é a presença do termo u(ξ) sendo subtraído da varável nodal U e k. Este termo, dado por convenênca na equação 3.26, é responsável pela convergênca sutl da formulação ntegral hpersngular, mas sua estrutura matemátca não é deduzda dos prncípos báscos dos resíduos ponderados: N j e j * j f(ξ ;X) = [U k u( ξ )] φkp ( ξ ;X)dΓ 3.26 Γe e= 1 24

39 3.3 ASPECTOS NUMÉRICOS A avalação das ntegras dos elementos de contorno sempre requer uma atenção especal, mas a nclusão dos núcleos hpersngulares para a determnação recursva das dervadas dos potencas espacas reforça estas precauções. As ntegras sngulares e hpersngulares que aparecem na metodologa recursva do MEC podem ser resolvdas analtcamente. Para elementos geometrcamente retlíneos, as ntegras sngulares, pertnentes ao cálculo recursvo do potencal, não apresentam problema algum, de modo que o novo ponto de colocação pode ser posconado em qualquer ponto do contorno. Naturalmente, recomenda-se que o novo ponto fonte esteja a uma dstânca méda entre os prévos pontos de colocação para melhor vsualzação dos novos resultados. Assm, no caso de elementos constantes, os novos pontos de colocação podem se stuar concdentes com os nós geométrcos, enquanto para os elementos lneares os novos pontos se stuam preferencalmente no meo do elemento. Nada mpede que se escolha outra localzação; nenhum problema de ntegração exste, pos essas ntegras são resolvdas analtcamente. Entretanto, para o cálculo dos fluxos ou dervadas espacas, a questão é dversa. Há séros problemas com relação à contnudade dos núcleos hpersngulares, mesmo no caso de elementos geometrcamente lneares. A segur é apresentada a análse da convergênca das ntegras no sentdo de Valor Prncpal, para um caso geral. Em prmero lugar, é mostrada a aproxmação da ntegral que contém a dervada espacal da solução fundamental do potencal. Segundo Pessolan [9] no que concerne a casos geras, ncalmente é mportante dvdr esta ntegral em duas partes, antes (lado esquerdo LS) e depos (lado dreto RS) do ponto fonte, usando a metodologa de Hadamard para tratar a sngulardade, adconando e subtrando um fluxo constante q(ξ), tal como mostrado a segur. 25

40 sn g * 1 q(x)q dγ = [ 2π 1 [ 2π + RS q LS RS q LS (X) q r (X) q r RS LS LS ( ξ) r, q LS ( ξ) r, RS 1 (X) r, r LS J RS J LS dr + LS J dr + RS q LS LS dr + q ( ξ) r, r RS q ( ξ) r, r LS RS RS RS LS J 1 (X) r, r RS J LS dr] dr RS J RS dr = 3.27 Na equação 3.27, J é o Jacobano e r, é um quocente defndo ao longo do elemento sngular. O próxmo passo é tomar os lmtes destas ntegras. quando r tende a zero e explctar as condções do Valor Prncpal de Cauchy (VPC) para a sua exstênca: LS LS RS RS * 1 q (X) q ( ξ) LS LS q (X) q ( ξ) RS RS q(x)q dγ = { r, J dr + r, J dr 2π r r LS RS 3.28 sn g + q LS ( ξ)r, LS J LS [ln(l LS ) lmln(r)] + q r 0 RS ( ξ)r, RS J RS [ln(l RS ) lm ln(r)]} r 0 Na equação anteror, L é a dmensão do segmento do elemento de contorno. Os lmtes no lado dreto e lado esquerdo quando r tende a zero, compõem parte de uma sentença que é anulada quando em composção com outra ntegral sngular, apresentada a segur. Nas formulações hpersngulares dretas é comum a obedênca à forma completa da equação 3.28, mas com o procedmento recursvo algumas smplfcações tornam a mesma mas acessível. Usando funções de forma lneares, pode-se localzar os pontos fonte recursvos no centro do elemento de contorno, tornando a equação anteror mas smples, porque o tamanho dos segmentos é o mesmo e não ocorre descontnudade no ponto fonte. Além dsso, uma função smples descreve o comportamento de q(x) e u(x) ao longo do elemento, fazendo a equação 3.27 ser expressa dretamente por: sn g * 1 q(x)q dγ = [ 2π LS Q p p 1 φ (X) r, r LS Jdr + RS Q p p 1 φ (X) r, r RS Jdr]

41 Usando elementos de contorno constantes, uma função smples também descreve as varáves potencal e fluxo ao longo dos mesmos, mas a posção do ponto fonte na conexão com elementos adjacentes requer avalação dos dos últmos termos presentes no lado dreto da equação 3.28, a menos que o fluxo seja constante e os elementos de contorno tenham a mesma dmensão. A posção do ponto fonte entre o ponto de conexão e o centro do elemento não é uma má déa, mas o próxmo termo hpersngular é sensível a esta estratéga mpedndo uma boa precsão. Agora é mostrada a aproxmação da ntegral que contém a dervada espacal do fluxo fundamental, a qual é hpersngular. De acordo com Mansur et al [8], a mesma estratéga feta para a ntegral deve ser mplementada para garantr a exstênca da ntegração hpersngular no sentdo do Valor Prncpal de Cauchy (VPC). O prmero passo, todava, é dado por: sn g * 1 [u(x) u( ξ)]p dγ = 2π sn g 1 [u(x) u( ξ)] 2 r 1 n dr + 2π sn g 1 [u(x) u( ξ)] 2 r (r, r n ) Jdr j j 3.30 Toda a atenção deve ser dada à prmera ntegral no lado dreto, uma vez que a segunda ntegral é nula para contornos retos e não é sngular. Assm, para elementos retos usados aqu, tem-se: sn g * [u(x) u( ξ)]p dγ = 1 { 2π + LS τ LS [u [ LS LS 1 ( ξ) n r (X) u r LS J LS LS ( ξ)] τ dr + 1 2π RS sn g τ RS 1 [u(x) u( ξ)] 2 r LS ( ξ)]n 1 ( ξ) n r LS RS J J LS dr ] + r RS dr]} n dγ = RS [u [ RS (X) u r RS ( ξ)] τ RS ( ξ)]n RS J RS dr ] r 3.31 Na últma equação τ (ξ) é o fluxo tangencal, encontrado tomando-se o segunte lmte em cada lado, dreto e esquerdo: 27

42 S [u(x) u( ξ)] τ ( ξ) = lm r 0 r 3.32 Esta forma é também nteressante para se ter uma avalação numérca das ntegras hpersngulares, uma vez que os pontos tradconas de Kutt [11] de prmera ordem podem ser mplementados, ao nvés de pontos complexos de segunda ordem. Neste trabalho, todava,é feta a ntegração analítca desses termos, consderando o conceto de partes fntas. Para ser concso, consderando-se uma função auxlar h(x), defnda por: u(x) u( ξ) h(x) = 3.33 r A equação 3.10 pode ser re-escrta depos da mposção do lmte, quando r tende a zero, tal como LS LS [h (X) τ ( ξ)] LS LS u ( x) u ( ξ ) J dr = [ n 2 ( ξ ) J ]dr + 2π r 2 r sng π LS RS RS [h (X) τ ( ξ)] RS RS [ n ( ξ ) J ]dr r RS RS ( ) ( ) r 0 r 0 } LS LS LS LS RS RS RS h ( ξ)n ( ξ) J ln L lm ln(r) + h ( ξ)n J ln L lm ln(r) A avalação da ntegral hpersngular resultante pode ser smplfcada no procedmento recursvo quando elementos lneares são empregados, devdo às razões já apresentadas na análse da ntegral sngular O mesmo ocorre com elementos constantes, consderando, também, as precauções prevamente expostas. Para estas condções, a ntegral hpersngular pode ser resolvda analtcamente, usando o conceto de parte fnta da ntegral para avalar a sngulardade de 1/r 2. 28