2 Fundamentação Teórica

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1 Fundamentação Teórca Neste capítulo são apresentados os concetos báscos utlzados no restante da tese. Uma das contrbuções do trabalho aparece na seção onde é desenvolvdo um coefcente de conexão de grande utldade para a solução de equações com coefcentes varáves, como vgas com mísulas... Método dos Elementos Fntos (MEF) Para um problema de valor de contorno cua solução será desgnada por u(x), os métodos numércos de solução da equação dferencal que governa o problema são formulados de tal forma que, para uma base de funções φ (x) (chamadas de funções de nterpolação, funções coordenadas ou funções de forma), se possa escrever: ux ( ) = αφ( x) (.) Os coefcentes α são as ncógntas que deverão ser determnadas através da resolução de um sstema do tpo: Ku = f (.) No caso do MEF tradconal, os coefcentes de nterpolação α são os deslocamentos nos nós dos elementos, u. Na eq. (.), quando o método é aplcado a problemas de análse lnear estátca de estruturas, K é a chamada matrz de rgdez, u é o vetor dos deslocamentos e f é o vetor dos carregamentos nodas. A formalzação matemátca do MEF não será abordada, podendo ser encontrada na lteratura (Bathe, 996). Entretanto, vale apresentar a formulação com base em resíduos ponderados, partcularmente o chamado Método de

2 Fundamentação Teórca 9 Galern, que servrá como base para a obtenção dos elementos baseados em funções wavelet, através da ntrodução dos coefcentes de conexão que aparecem no método conhecdo como Wavelet-Galern (Harbrecht et al., )... Método de Galern Pelo Método dos Resíduos Ponderados, obetva-se reduzr a equação dferencal do problema a um sstema de equações do tpo: Au = f (.3) De uma forma mas geral, o vetor u representa os pesos pelos quas será multplcada cada uma das funções da uma base φ para nterpolar a função resposta u(x). ux ( ) = uφ ( x) (.4) Para garantr que um determnado vetor u é de fato solução do problema, este deve mnmzar o resíduo dado pela eq. (.5). R = Au f (.5) Para encontrar o vetor u que mnmza o resíduo R deve-se mpor que o mesmo sea ortogonal a um vetor arbtráro v dado por: vx ( ) = vϕ ( x) (.6) A condção ctada pode ser descrta matematcamente pela eq. (.7). Au - f, v = (.7) O Método de Galern é um caso partcular do Método dos Resíduos Ponderados em que o conunto de funções φ(x) utlzado para nterpolar u(x) faz-

3 Fundamentação Teórca 3 se dêntco ao conunto ϕ(x) utlzado para nterpolar v(x) (Strang e Fx, 973). Ao se utlzar a condção de mnmzação do resíduo em sub-regões (elementos), a formulação leva ao Método dos Elementos Fntos. O Método de Wavelet-Galern consste em utlzar funções wavelet para compor tanto o conunto de funções de nterpolação quanto o de teste..3. Introdução às Wavelets A tradução lteral de wavelet é ondaleta ou pequena onda. As wavelets surgram como contnuação de dversos trabalhos que procuravam encontrar novas formas de representar funções, prncpalmente as que apresentam sngulardades e gradentes elevados, tanto no domíno do tempo como no da freqüênca. Os sstemas de wavelets são compostos por funções que em geral são bastante rregulares, dadas as propredades que lhes são mpostas. Uma das propredades que se procura garantr é a da ortogonaldade dos sstemas de wavelets. A tentatva de obter um sstema de funções ortogonas defndas dentro de um ntervalo fnto orgna funções bastante rregulares e assmétrcas, como é o caso das wavelets de Daubeches. Não exste, em geral, uma expressão analítca para as funções de escala e wavelets prmáras, sendo usual que tas funções seam defndas através de fórmulas recursvas, o que mplca a utlzação de procedmentos numércos. Analogamente ao que se faz na análse de Fourer, na qual se decompõe um snal utlzando funções trgonométrcas, a análse wavelet pode decompor uma função utlzando uma base de funções chamadas wavelets. As séres de Fourer têm como base as funções trgonométrcas de senos e cossenos que têm localzação defnda no domíno da freqüênca, mas não no domíno do tempo (ou do espaço, se for o caso). O conceto de localzação é detalhado na seção.4... Desta forma, torna-se dfícl representar um mpulso curto no tempo com as funções trgonométrcas, orgnando o chamado efeto de Gbbs (Perera e Castlho, 5). Em geral, a análse Wavelet é mas precsa do que a de Fourer pela sua maor capacdade de representar transentes e descontnudades, pos as própras wavelets podem ser rregulares e assmétrcas, ao contráro de senos e cossenos.

4 Fundamentação Teórca 3 Há uma sére de aplcações para a análse wavelet, entre as quas se pode ctar: compressão de dados e magens, redução de ruído e solução de equações dferencas parcas. Assm como ocorre com os senos e cossenos da transformada de Fourer, a forma geral de uma wavelet é a mesma para toda a análse, sendo denomnada wavelet mãe (mother wavelet). Uma vez escolhda a wavelet mãe, o resto das funções que formam a base de análse é composto por translações e transformações de escala a partr desta (Lma, 3). A wavelet é uma forma de onda de duração lmtada que tem um valor médo gual a zero, assm como os senos e cossenos. A fg. (3) mostra uma comparação entre uma função senodal (base da análse de Fourer), sem lmte de duração, e uma função wavelet, com duração lmtada, assmétrca e rregular. Fgura 3 Comparação entre uma função senodal e uma função wavelet Matematcamente, o processo de análse de Fourer é representado pela Transformada de Fourer, eq. (.8), que é a soma de todo o snal f(t) multplcado por uma exponencal complexa (que pode ser separada em componentes senodas de parte real e magnára). + ωt F( ω) = f( t) e dt (.8) A fg. (4) mostra como a transformada de Fourer decompõe um snal (função) qualquer em suas componentes senodas.

5 Fundamentação Teórca 3 Fgura 4 Decomposção de um snal (função) em componentes senodas Smlarmente, a transformada wavelet é defnda como o produto nterno da função que se quer decompor com a função wavelet, como mostram a eq. (.9) e a fg. (5). c = f() t ψ () t dt (.9) +, Fgura 5 Decomposção de uma função qualquer em wavelets de dferentes escalas e posções Um conunto de funções wavelet consste em uma função de escala ϕ(x) e uma função wavelet ψ(x). A relação de escala é defnda como: N N (.) ϕ( x) = a ϕ( x ) = a ϕ ( x) = = As funções wavelet mas amplamente utlzadas são as chamadas Daubeches, desenvolvdas por Ingrd Daubeches nos anos 8, utlzando um conunto fnto de coefcentes a não nulos de tal forma que: N a = (.) =

6 Fundamentação Teórca 33 onde N é a ordem da função wavelet (Daubeches, 988). As funções geradas pelos coefcentes a têm suporte compacto, ou sea, seu domíno é lmtado de tal forma que seu valor é nulo fora do ntervalo [, N ]. Em geral, utlza-se a segunte expressão para todas as dlatações () e translações () das funções de escala: ϕ, ( x) = ϕ( x ) (.) A função wavelet é defnda a partr da função de escala da segunte forma: N N ϕ (.3) = ψ ( x) = ( ) a ( x ) As funções de escala e wavelet têm uma sére de propredades que serão resumdas a segur. Nas expressões que se seguem, defne-se V como o conunto de todas as funções de escala {ϕ(x)} e W como o conunto de todas as funções wavelet {ψ(x)}..3.. Propredades das Wavelets As funções wavelet têm dversas propredades que as tornam especalmente nteressantes para o uso em métodos numércos. Nesta seção são detalhadas as propredades da famíla Daubeches, que se aplcam também às nterpolets de Deslaurers-Dubuc com algumas adaptações, como uma modfcação no domíno. A função de escala possu sua energa concentrada em um ntervalo fnto, dado pela ordem da wavelet. supp( ϕ ) = [, N ] (.4) A energa total da função de escala é untára. Essa propredade pode ser expressa pela segunte ntegral: + ϕ ( x) dx = (.5)

7 Fundamentação Teórca 34 As translações das funções de escala são ortogonas entre s: + + ϕ( x ) ϕ( x ) dx = ϕ( x) ϕ( x) dx = δ, (.6) Outra propredade mportante, especalmente para a escolha da ordem da função wavelet a ser utlzada na análse, é a sua capacdade de representar exatamente polnômos de determnado grau. Essa propredade derva da sua quantdade de momentos nulos (vanshng moments): + xψ ( x) dx=, =,,, N / (.7) Conforme ndcado na eq. (.7), uma wavelet de Daubeches de ordem N tem N momentos nulos, o que a torna capaz de representar exatamente polnômos f(x) de grau até N : m N f( x) = p+ px+ + pm+ x, m (.8) O polnômo da eq. (.8) pode ser representado exatamente a partr de um somatóro das dferentes translações das funções de escala. + + (.9) f ( x) = c ϕ( x ) = c ϕ ( x) Para representar uma reta (polnômo de grau um) deve-se usar no mínmo uma wavelet com dos momentos nulos. As translações necessáras para representar uma reta no ntervalo qualquer são aquelas cuos suportes o ntersectam em mas de um ponto. Por exemplo, utlzando uma Daubeches de ordem N = 4 no ntervalo [,] são necessáras as translações ϕ(x+), ϕ(x+) e ϕ(x), cuos suportes são, respectvamente, [-,], [-,] e [,3], como pode ser vsto na fg. (6).

8 Fundamentação Teórca φ(x+) φ(x+) φ(x) Fgura 6 Translações da wavelet DB4 que contém o ntervalo [,] Os coefcentes c são os chamados momentos das funções de escala e mas adante é mostrado como calculá-los. Os valores mostrados na eq. (.) correspondem aos momentos da wavelet DB4 com relação ao monômo de prmero grau e foram truncados na tercera casa decmal. c - φ(x+) c - φ(x+) c φ(x) soma Fgura 7 Translações ponderadas da função de escala e somatóro que resulta na reta y = x no ntervalo [,]

9 Fundamentação Teórca 36 A fg. (7) mostra a reta y = x no ntervalo [,] sendo representada como um somatóro de três translações de uma Daubeches de ordem N = 4. x= cϕ( x ) =.634 ϕ( x).366 ϕ( x+ ).366 ϕ( x+ ) (.) onde c = x, ϕ ( x) (.).4. Análse Multrresolução A análse multrresolução em L ( ), espaço das funções undmensonas de quadrado ntegrável (Castro, 4), é um método de representar funções como um conunto de coefcentes que fornecem nformação sobre a posção e a freqüênca da função através de uma seqüênca de subespaços lneares V L ( ) e uma função assocada ϕ, conhecda como função de escala, que satsfaz as seguntes condções (Mallat, 989a):. Ao passar de um espaço de resolução V para um espaço V +, novos detalhes são acrescentados à aproxmação de um snal, ou sea, o subespaço que representa o nível segunte contém mas nformação do que o anteror. V V V V V (.). Para estes espaços de resolução, a nterseção resulta no espaço nulo. V = { } Z (.3) 3. A unão dos espaços V é capaz de representar as funções pertencentes ao espaço de funções undmensonas de quadrado ntegrável L ( ). L ( ) = V (.4)

10 Fundamentação Teórca Exste uma relação de escala dádca entre os subespaços. f ( x) V f( x) V + (.5) 5. Cada subespaço uma únca função f(x). V é gerado através de todas as translações nteras de f( x) V f( x ) V, (.6) 6. Exste uma funçãoϕ V, chamada função de escala, tal que o conunto formado por suas translações forma uma base de Resz de V (Holub, 3). { ϕ, : ϕ, ( x) ϕ( x ), } = (.7) A eq. (.7) representa um conunto de funções lnearmente ndependentes que gera o espaço V. A fg. (8) mostra as funções de Haar (Haar, 9), suas dferentes escalas, translações e de que forma estas se relaconam com os subespaços V. Fgura 8 Os subespaços e suas funções assocadas resultados: As propredades acma descrtas têm como conseqüênca os seguntes. Exste uma relação de escala válda para as funções ϕ(x). ϕ( x) = a ϕ( x ) (.8)

11 Fundamentação Teórca 38 Na eq. (.8), os escalares a são chamados de coefcentes de fltro de escala. Mas adante é mostrado como são gerados os valores das funções de escala e wavelet para todos os pontos de uma malha dádca.. Para os nteros e, o conunto dado pelas translações da função de escala no nível forma uma base de Resz de V. { ϕ, : ϕ, ( x) ϕ( x ),, } = (.9) Desta forma, pode-se escrever: f( x) = c ϕ ( x), f L ( ) (.3), A teora wavelet tem como sua grande contrbução a caracterzação de espaços complementares entre dos subespaços encaxados, através das somas dretas. V + = V W (.3) Fgura 9 Subespaços, funções de escala e wavelet. A eq. (.3) dz que os subespaços W, assocados a uma função ψ, contêm a dferença de nformação entre o nível de resolução e o nível +, que é mas refnado. Os subespaços W contêm os detalhes perddos na resolução que

12 Fundamentação Teórca 39 levam à resolução +. A fg. (9) mostra a relação entre as funções de escala ϕ e as funções wavelet ψ, assocadas, respectvamente, aos subespaços (Mallat, 999). V e W.4.. Aproxmação de funções Uma análse multrresolução utlzando funções wavelet é muto útl para o estudo de funções em L ( ). Funções f L ( ) podem ser aproxmadas pelas suas proeções em V (Mattos e Lopes, 3). P f ( x) = f, ϕ ϕ( x) (.3) As proeções em W são dadas por: Q f ( x) = f, ψ ψ( x) (.33) As proeções expressas na eq. (.34) contém a dferença de nformação entre os níves e +, ou sea: Q + f ( x) = P P f( x) (.34) Desta forma, P + f ( x) = P + Q f( x) (.35) Defnem-se então os seguntes coefcentes: c = f, ϕ (.36) d = f, ψ (.37)

13 Fundamentação Teórca 4 A eq. (.35) pode ser reescrta da segunte forma: c + ϕ + ( x) = cϕ( x) + dψ( x) (.38) O cálculo dos coefcentes c e d é realzado a partr do algortmo de Mallat, que também é conhecdo como algortmo pramdal (Mnetto, 5). (.39) c = h f, ϕ = h c + r +,+ r r r r r (.4) d = g f, ϕ = g c + r +,+ r r r r r Nota-se que o cálculo dos coefcentes no nível é feto a partr dos coefcentes do nível +, ou sea, começa-se pelo nível máxmo de refnamento. As eqs. (.39) e (.4) podem ser vstas como um processo de convolução segudo de uma decmação (downsamplng). Logo, no nível tem-se metade dos coefcentes do nível +. Essa é a razão do nome pramdal dado ao algortmo..4.. Propredades da Análse Multrresolução Uma análse multrresolução que utlza funções wavelet tem uma sére de propredades que a tornam nteressante na resolução de problemas numércos, como será apresentado a segur Localzação Tpcamente, a função escala ϕ(x) e a função wavelet ψ(x) concentram-se em um ntervalo fnto, com comprmento dx, ao que é dado o nome de suporte. Se a wavelet tem a maor parte de sua energa concentrada nesse ntervalo fnto, ou sea, seu valor é nulo ou deca exponencalmente fora dele, é dto que a mesma tem suporte compacto. Neste caso, dz-se que as wavelets têm localzação espacal, o que é uma propredade de grande mportânca para o seu uso como base ortonormal para a solução de equações dferencas. À medda que aumenta,

14 Fundamentação Teórca 4 ϕ( x ) fca localzada em ntervalos cada vez menores, sempre reduzdos pela metade quando se passa de um nível a outro através da relação de escala. Assm, a cada mudança de nível, todas as funções possuem a mesma forma, só mudando o seu comprmento. A fg. () mostra a função escala e a wavelet de Daubeches de ordem N = 4. Nota-se que o suporte da função de escala ϕ(x) é [,3] e o da função wavelet ψ(x) é [-,]..4. ϕ(x).5 ψ(x) Fgura Funções de escala e wavelet de Daubeches de ordem N = Momentos Nulos e Aproxmação de Polnômos Pode-se verfcar que a função wavelet correspondente à função de escala de ordem N atende à segunte equação de momentos nulos: + m N x ψ ( x) dx=, m=,,, (.4) Esta propredade tem como conseqüênca a possbldade de a base formada por funções de escala de ordem N ser capaz de representar exatamente polnômos de grau até N. Uma função de escala de Daubeches de ordem N = 4, por exemplo, pode representar exatamente uma reta (polnômo de grau um), como fo demonstrado anterormente.

15 Fundamentação Teórca Caracterzação de Regulardade e Representação de Sngulardades Em uma análse wavelet, há duas formas de representar funções no espaço da análse multrresolução. A prmera utlza expansões em termos das funções de escala e a outra em termos das funções wavelet. Uma mportante característca dos coefcentes das funções wavelet d é a sua assocação com a suavdade da função f. Devdo a essa característca, os coefcentes wavelet podem ser utlzados como ndcadores locas de regulardade das funções analsadas, pos são pequenos em regões suaves e maores em regões com sngulardades ou gradentes elevados. A representação exata de polnômos até certa ordem apenas pelas funções de escala é um exemplo desta propredade. Neste caso, os coefcentes d das funções wavelet são nulos. Por esta razão, assm como acontece no refnamento de malha do Método dos Elementos Fntos, pode-se fazer uso da análse multrresolução, refnando o nível da análse em regões específcas, onde o gradente do campo analsado é elevado, utlzando níves mas baxos nas regões em que há maor regulardade. Para determnar a regulardade ou suavdade de uma wavelet, o número de momentos nulos da mesma é de suma mportânca. Em geral, quanto maor o valor de m na eq. (.4), mas suave é a wavelet. Entretanto, pode-se obter wavelets com a mesma regulardade e com um número menor de momentos nulos (Souza et al., 7) Exemplo de uma Análse Multrresolução Como fo vsto em seções anterores, uma wavelet de Daubeches de ordem N pode representar exatamente um polnômo de grau até N/. A representação de um polnômo de ordem superor com a mesma wavelet mplca em erros que são mnmzados com o aumento da resolução. Tal procedmento é análogo a um refnamento do tpo h no MEF, enquanto que o aumento da ordem da wavelet sera consderado um refnamento do tpo p. Pela eq. (.38) pode-se deduzr uma aproxmação para uma função qualquer pertencente a L ( ) a partr do somatóro de funções de escala e funções wavelet.

16 Fundamentação Teórca 43 (.4) f x c x d x c x ( ) ϕ ( ) + ψ ( ) = + p ϕ + p ( ) p Caso a função f(x) sea um monômo e a nterpolação feta no nível, os coefcentes c e d são os momentos das funções de escala e wavelet, respectvamente. Pode-se, portanto, escrever: ( - ) ψ ( - ) x = M ϕ x + L x (.43) + + ϕ ( ), ψ ( ) (.44) M = x x dx L = x x dx Deve-se lembrar que se for menor ou gual a N/, os valores de L serão nulos, á que a função de escala poderá representar exatamente o monômo. Esta é mas uma forma de nterpretar a propredade de momentos nulos das funções wavelet. A função wavelet no nível é descrta por um somatóro da função de escala no nível : N (.45) ( x) = h ( x ), h = ( ) a ψ ϕ Levando em conta que os coefcentes de fltro da função wavelet (h ) podem ser escrtos em função dos coefcentes de fltro da função de escala (a ), pode-se substtur a eq. (.45) em (.44) e obter uma expressão para o momento da função wavelet que depende uncamente do momento da função de escala: + + m ϕ + m m m ( ) ϕ( ) L = h x x m dx= h y y m dy = + m h M m + m (.46) Substtundo a relação de escala na eq. (.43) pode-se obter uma aproxmação de nível para o monômo:

17 Fundamentação Teórca 44 x = M a ϕ(x m) + L h ϕ(x m) m m m m h m = M am + h pm p ϕ(x m) + + m p (.47) A partr da eq. (.47) pode-se obter os coefcentes de nterpolação do nível apenas para a função de escala: h c = M a + h M + (.48) m m p p m + p A eq. (.48) pode ser aplcada sucessvamente até o nível de resolução deseado, substtundo-se as expressões dos momentos pelos coefcentes do nível anteror. Tal procedmento pode ser custoso do ponto de vsta computaconal. Como os coefcentes de nterpolação de qualquer função podem ser obtdos dretamente pelo produto nterno entre a própra função e as funções nterpoladoras (eqs. (.36) e (.37)), exste uma forma alternatva para obter os coefcentes da função de escala no nível : + c = x ϕ( x ) dx (.49) Através de uma substtução de varáves, pode-se chegar a uma expressão que relacona os coefcentes de nterpolação no nível com os momentos da função de escala (nterpolação no nível ): M c y y dy (.5) + = ϕ( ) = ( + ) A vantagem desta forma de representação é não depender de um processo teratvo como sera a aplcação da eq. (.48). Pode-se obter dretamente a aproxmação no nível sem a necessdade de se calcular o nível. Deve-se ter em conta que a cada mudança de nível mudam as translações necessáras para cobrr todo o ntervalo de nteresse. Por exemplo, para a DB4, no nível e ntervalo [,] são necessáras as translações -, - e, como explcado

18 Fundamentação Teórca 45 anterormente. Já para o nível são necessáras -, -, e, que são as mesmas utlzadas para o ntervalo [,] no nível. Como regra geral, as translações necessáras para cobrr o ntervalo [a,b] no nível são as mesmas que seram utlzadas para cobrr o ntervalo [ a, b] no nível. Como exemplo, pode-se tentar representar uma parábola (polnômo do segundo grau) com a wavelet DB4 no ntervalo [,]. Deve-se lembrar que a DB4 só pode representar exatamente uma reta. = x M ϕ( x ), = M ϕ( ), = 4 x x = M ϕ(4 ), = 6 3 x x = (.5) À medda que o nível de resolução aumenta, mas precsa fca a aproxmação, porém com a necessdade de mas translações. A fg. () mostra o resultado da aproxmação da parábola para dferentes níves da wavelet DB4. Fgura Aproxmação de uma parábola por wavelets em dferentes níves

19 Fundamentação Teórca 46 Se o nível de resolução é alto o sufcente, pode-se dzer que as funções de escala funconam como deltas de Drac na expressão do produto nterno, o que, de certa forma, é equvalente a utlzar amostras da própra função como coefcentes de nterpolação (Walnut, ). Deve-se lembrar que, apesar de a wavelet DB4 necesstar de certo grau de refnamento para aproxmar uma parábola, a utlzação de uma DB6 no seu nível mas básco á sera sufcente para representá-la exatamente..5. Tpos de Wavelets Exstem dos grandes grupos de wavelets que podem ser utlzadas como funções nterpoladoras para o uso em métodos numércos: as wavelets ortonormas e as bortogonas. A descoberta de bases ortonormas e de suporte compacto é atrbuída a Ingrd Daubeches (988) que estendeu o trabalho de Haar (9) sntetzando famílas de wavelets ortonormas e possbltando uma análse mas efcente do que a obtda com outros sstemas. As wavelets ortonormas mas conhecdas são as da própra famíla Daubeches, além das Symlets e as Coflets (Daubeches, 99). O desenvolvmento das wavelets teve sua orgem em função de problemas de processamento de dados e snas, que envolvem bancos de fltros e uma sére de concetos específcos do processamento de snas dgtas que fogem ao escopo deste trabalho (Mallat, 989b). Deve-se apenas ressaltar que as restrções mpostas e as propredades das wavelets ortonormas, pela necessdade de decomposção e reconstrução exatas, obrgam que tas wavelets seam assmétrcas, ao contráro do que acontece com as wavelets bortogonas, como as da famíla das Splnes, que não serão abordadas nesta tese. Nesta seção serão descrtas algumas das prncpas famílas de wavelets, dando especal atenção à famíla de Wavelets Ortonormas de Daubeches e às Interpolets de Deslaurers-Dubuc.

20 Fundamentação Teórca Wavelets Ortonormas Wavelets são blocos construtores de funções localzados no tempo e no espaço. As wavelets são obtdas de translações e dlatações de uma únca função ψ(t), chamada de wavelet mãe (mother wavelet): ψ t b a ψ a (),,, ab, t = a b a (.5) Na eq. (.5), a representa o parâmetro de dlatação e b o parâmetro de translação, ou sea, a determna o tamanho do ntervalo de suporte da função e b determna os valores ncas e fnas do suporte. Tal função dos valores de a e b é análoga ao papel desempenhado pela freqüênca e pela fase em funções trgonométrcas quando se utlza uma análse de Fourer. fab, () t = sen( at+ b) (.53) Na eq. (.53), a determna o período (ou a freqüênca) da função seno e o valor de b determna a sua translação em relação ao exo vertcal, ou sea, a sua fase. Para algumas escolhas especas de a, b e ψ(t), a famíla de funções ψ, () t consttu uma base ortonormal para o espaço de funções quadrado ntegrável L ( ). Utlzando os valores a = e b=, tem-se: ab ( ) ψ /, () t = ψ t,, (.54) Pode-se dzer que a famíla de funções descrta pela eq. (.54) forma uma base ortonormal (Chu, 99). Para construr essa famíla de funções, utlza-se a relação de escala para =. ϕ() t = gϕ( t ) (.55)

21 Fundamentação Teórca 48 onde + g = ϕ( t) ϕ( t ) dt (.56) Em geral, na análse wavelet faz-se uso dos coefcentes a que são obtdos ncorporando-se o valor de aos valores de g. a = g (.57) A partr da relação de escala, chega-se à expressão para a função wavelet ψ(t) a partr da função de escala ϕ(t): ψ () t = hϕ ( t ) (.58) onde + h = ψ() t ϕ( t ) dt (.59) A partr das eqs. (.56) e (.58), utlzando a relação de escala, pode-se chegar faclmente à expressão para os coefcentes h a partr dos coefcentes a para =. h = ( ) (.6) an.5... Wavelets de Daubeches As wavelets de Daubeches possuem suporte compacto e geram bases ortonormas. A wavelet de Daubeches de ordem N possu N momentos nulos e tem suporte [ N +, N ]. A função de escala de Daubeches de mesma ordem tem suporte [, N ] e conta com N coefcentes de fltro.

22 Fundamentação Teórca 49 As condções para a construção da base ortonormal de funções de escala de Daubeches são dadas pelo número de momentos nulos, necessdade de suporte compacto (número fnto de coefcentes) e ortogonaldade entre suas translações, o que gera funções bastante rregulares e assmétrcas (Burrus et al., 998) (a). (b) (c) (d) Fgura - Wavelets de Daubeches: (a) N = 4; (b) N = 6; (c) N = 8; (d) N = As funções wavelet da famíla Daubeches não possuem qualquer tpo de smetra, como pode ser vsto na fg. () para as funções de escala de ordem N = 4, 6,8,. Pode-se notar também que quanto maor a ordem, mas suave é a função, característca que está relaconada com o número de momentos nulos da mesma, como será vsto adante Wavelets de Daubeches Bdmensonas As funções de Daubeches bdmensonas são obtdas pelo produto cartesano entre as funções undmensonas. Para cada conunto de translações possíves de uma wavelet undmensonal haverá combnações de wavelets bdmensonas.

23 Fundamentação Teórca 5 Φ, ( x, y) = ϕ( x) ϕ( y) = ϕ( x ) ϕ( y ) (.6) A fg. (3) lustra o comportamento de uma wavelet bdmensonal gerada a partr de uma Daubeches de ordem N = 4. Fgura 3 Função de escala bdmensonal de Daubeches de ordem N = Interpolets de Deslaurers-Dubuc Uma função pode ser consderada nterpoladora quando atende ao segunte crtéro (Sh et al., 999):, = ϕ( ) = δ, =, (.6), Neste caso, toda f V satsfaz: f ( x) = f( ) ϕ, ( x) (.63) Consderam-se então os pontos função f(x) (Blanco, ): x = na equação de nterpolação da f ( ) = cϕ ( ) = cϕ( r) = cδ = c r, r r r r r r r (.64)

24 Fundamentação Teórca 5 O resultado da eq. (.64) mostra que os coefcentes c são smples avalações da função nos pontos x =, portanto para calculá-los não é necessáro realzar qualquer operação complexa, como uma ntegração. Isto representa uma grande vantagem com respeto a outras bases como a famíla Daubeches. Defne-se a malha dádca Θ como o conunto dado pela eq. (.65). { x, : x,,, } Θ = = (.65) Θ Θ Θ Θ 3 Fgura 4 Representação físca de uma malha dádca A fg. (4) mostra a representação físca de uma malha dádca. Com o uso da eq. (.64), pode-se estabelecer uma relação entre os espaços físco Θ e funconal V, á que a coordenada de f que corresponde a ϕ, V é exatamente a avalação de f no ponto x, Θ. Esta relação entre os espaços físco e funconal é muto semelhante ao que se faz no Método dos Elementos Fntos, em que o valor do deslocamento num nó, por exemplo, é exatamente o coefcente de nterpolação utlzado como peso pelas funções de forma para obter deslocamentos no nteror dos elementos. A construção das nterpolets deve ser realzada vsando atender aos requstos para funções nterpoladoras, além de gerar funções smétrcas em torno do exo vertcal ( x = ) e de obedecer à relação de escala, na qual os coefcentes que multplcam as funções da base são dados pela própra avalação da função a ser nterpolada nos pontos x =. N ( ) (.66) ϕ( x) = ϕ ϕ( x ) = N

25 Fundamentação Teórca 5 As prmeras funções wavelet nterpoladoras surgram na lteratura no trabalho de Deslaurers e Dubuc (989), como funções fundamentas de um esquema de refnamento nterpolante no qual se trabalha com grades dádcas encaxadas como a da fg. (4). Além das propredades á ctadas que devem ser atenddas por todas as funções wavelet nterpoladoras, pode-se dzer que as funções de Deslaurers e Dubuc têm suporte compacto no ntervalo [ N, N ]. O valor de N é a ordem da wavelet de Daubeches utlzada para gerar a função de Deslaurers e Dubuc e se relacona também com o grau do polnômo que pode ser nterpolado de forma exata pela nterpolet. Todo polnômo q(x) de grau menor ou gual a N pode ser representado de forma exata num ntervalo qualquer como uma combnação lnear das funções nterpoladoras de Deslaurers e Dubuc de ordem N: m qx ( ) = a+ ax+ + a x, m N (.67) m+ qx ( ) = q( ) ϕ ( x) (.68), O índce na eq. (.68) vara conforme o ntervalo de nteresse, assm como ocorre com as wavelets de Daubeches..6. Método de Wavelet-Galern Como acontece no método de Galern tradconal, a resolução de uma equação dferencal se resume num sstema de equações cuas ncógntas são os pesos pelos quas são multplcadas as funções base para obter a função resposta. O sstema é formado, portanto, por produtos nternos entre as própras funções base e suas dervadas, o que, dependendo da base utlzada, pode ser trval (como é o caso de um elemento de vga-coluna modelado com funções polnomas). No caso das funções wavelet, esses produtos nternos são ntegras chamadas coefcentes de conexão. Por não terem expressão analítca, o cálculo dessas ntegras não é trval. O uso de métodos numércos tradconas, como o de Gauss, não é recomendável devdo à natureza altamente osclatóra das wavelets e

26 Fundamentação Teórca 53 suas dervadas. Contudo, utlzando a relação de escala característca das funções wavelet, é possível obter os coefcentes de conexão através da solução de um sstema de equações, o que garante o seu cálculo exato (Beyln, 99). As funções wavelet de Daubeches têm uma sére de propredades que as tornam partcularmente nteressantes como uma base para o Método de Wavelet- Galern de resolução de equações dferencas parcas: são ortogonas, têm suporte compacto e seus coefcentes de conexão podem ser calculados sem aproxmações numércas. Para a resolução de equações dferencas, deve-se avalar as dervadas da função resposta f(x) em termos das funções de escala ϕ(x). Desta forma, defne-se a dervada da função de escala: n n n d ϕ ( x) d ϕ( x ) ϕ = = (.69) n n dx dx Podemos, portanto, escrever a d-ésma dervada de f(x) em função das dervadas de ϕ(x). f ( x) = c ϕ ( x) (.7) d d f ( x) = c ϕ ( x) (.7) onde d ϕ ( x) = Λ ϕ( x) (.7) + d Λ = ϕ ( x) ϕ ( xdx ) (.73)

27 Fundamentação Teórca 54 O termo Λ é um coefcente de conexão e, de uma manera mas geral, pode-se escrevê-lo em função das dervadas (d e d ) e translações ( e ) das funções de escala utlzadas. + d, d ( d) ( d), ϕ ( x) ϕ ( ) Λ = xdx (.74) A utlzação dos coefcentes de conexão como aparecem na eq. (.74) depende da hpótese de que a solução da equação dferencal é peródca, o que equvale a dzer que o domíno do problema é nfnto, e á não é possível aplcálos quando o domíno é fechado. A ortogonaldade, por exemplo, é perdda se as funções base são truncadas devdo à lmtação do domíno de ntegração. Dversos autores propuseram soluções para a utlzação do Método de Wavelet-Galern em domínos fechados, como será vsto adante..6.. Avalação correta dos coefcentes de conexão A solução de equações dferencas pelo método de Wavelet-Galern depende fundamentalmente da correta avalação dos produtos nternos entre as funções de escala, suas translações e suas dervadas, conhecdos como coefcentes de conexão. Wavelets de suporte compacto têm um número fnto de coefcentes de fltro, entretanto as suas dervadas, quando exstentes, têm uma natureza altamente osclatóra, motvo pelo qual o uso de técncas tradconas de quadratura torna-se dfícl e nstável (Krshna e Shrhande, 6). Para soluconar essa lmtação, dversos autores propuseram métodos para o cálculo exato dos coefcentes de conexão, utlzando para sso as propredades de translação e escala das funções wavelet. Latto et al. (99) apresentaram um método que, a partr das relações de escala e das condções de momento das funções wavelet, reduz o cálculo dos coefcentes de conexão a um problema de autovalor. Esse método é váldo apenas para domínos sem frontera. Quando utlzado em sstemas defndos num ntervalo fnto, essa abordagem leva a resultados mprecsos nas regões próxmas ao contorno do problema. Além dsso, a resolução numérca das ntegras, que podera dar um tratamento adequado ao

28 Fundamentação Teórca 55 problema das condções de contorno, torna-se mpratcável devdo à natureza osclatóra das wavelets. Romne e Peyton (997) tentaram contornar tal dfculdade propondo os coefcentes de conexão própros, com lmtes de ntegração dentro do suporte (domíno) da função wavelet. Denomnam-se coefcentes de conexão própros aqueles defndos em ntervalos fechados, em oposção aos mprópros, que seram as ntegras calculadas em domíno nfnto, ou sea, sem fronteras. Este trabalho basea-se no cálculo proposto por Zhou e Zhang (998), que formulou os coefcentes de conexão defndos no ntervalo [,], ou sea, no nível m =, á que a partr destes pode-se obter os demas. Defne-se o coefcente de conexão no nível m. m d, d, ϕ [, m x ϕ ] ( d ) ( d ) Γ = ( ) ( xdx ) (.75) Pode-se, a partr da eq. (.75), chegar a uma expressão para o coefcente de conexão do nível segunte. m+ d, d, ϕ [, m x ϕ + ] ( d ) ( d ) Γ = ( ) ( xdx ) (.76) m m+ d, d, [, m+ ] m ( d) ( d) ( d) ( d) ϕ ( x) ϕ ( xdx ) ϕ ( x) ϕ ( xdx ) (.77) Γ = + Fazendo y = x na segunda ntegral, chega-se a uma expressão em que m os coefcentes de conexão do nível segunte dependem apenas do nível anteror, sendo esta a essênca da análse multrresolução. m m m+ ] d, d, [, ( d) ( d) ( d) ( d) ( ) ( ) m( ) m ϕ x ϕ xdx ϕ y ϕ ( ydy ) (.78) Γ = + Γ =Γ +Γ (.79) d, d d, d d, d, [, m+ ], [, m ] m m, [, m ]

29 Fundamentação Teórca 56 Desta forma, pode-se notar que para calcular os coefcentes de conexão em qualquer nível basta ter o valor do nível mas básco, ou sea, para m =, defndo no ntervalo [,]. Uma vantagem do uso dos coefcentes de conexão no Método de Wavelet- Galern, assm como ocorre com as matrzes de rgdez, geométrca e de massa no MEF, é o fato de o cálculo para sua obtenção ser feto uma únca vez e utlzado para a formulação das matrzes posterormente. O cálculo para a obtenção dos coefcentes de conexão tanto das wavelets de Daubeches quanto das nterpolets de Deslaurers-Dubuc é detalhado adante e consste uncamente na resolução de um sstema de equações lneares..6.. Incorporação das Condções de Contorno As excelentes propredades atrbuídas às wavelets de Daubeches são baseadas na hpótese de que o domíno computaconal é nfnto. Tas propredades não são bem aprovetadas em domínos fntos, tornando complcada a mposção das condções de contorno em problemas desse tpo. Amaratunga et al. (994) sugerram uma técnca de extrapolação polnomal que permte modfcar as funções em regões próxmas à frontera do problema. Neste método, as funções de escala podem ser regulares (aquelas que estão completamente contdas no ntervalo do problema), rregulares (parcalmente contdas no ntervalo) e exterores (totalmente fora do ntervalo). Os coefcentes de conexão entre as funções regulares são calculados pelo método tradconal e um método de extrapolação é utlzado para ldar com o cálculo dos coefcentes que envolvem as funções rregulares e exterores. Devdo à dfculdade de mposção das condções de contorno que tanto Romne e Peyton (997) quanto Latto et al. (99) enfrentaram, Lu et al. (996) craram uma abordagem com condções de contorno fctícas, ou sea, estendem-se artfcalmente as fronteras do problema para que a solução sea correta dentro do domíno deseado. A solução neste caso utlza os coefcentes mprópros propostos por Latto, mpondo posterormente as condções de contorno na frontera real. Segundo essa abordagem, o Método de Wavelet- Galern pode ser aplcado dretamente desde que a frontera sea estendda artfcalmente de tal forma que os lmtes fctícos não possam nfluencar o

30 Fundamentação Teórca 57 contorno real do problema. O que é conhecdo como frontera fctíca é mposto de forma a manter a frontera orgnal lvre das mprecsões ntroduzdas pelos coefcentes de conexão calculados para domínos nfntos. As condções de contorno reas são, então, mpostas na frontera orgnal do problema e a solução da equação dferencal só é válda para o domíno em questão. Utlzando-se os coefcentes de conexão propostos por Zhou e Zhang (998) no ntervalo [,] pode-se mpor as condções de contorno mas faclmente, de manera semelhante ao que é feto no MEF tradconal, motvo pelo qual este fo o método escolhdo para o seu cálculo..7. Construção das Wavelets de Daubeches As wavelets de Daubeches são uma famíla de funções com suporte compacto que atende a certas condções como a ortogonaldade entre suas translações nteras e a possbldade de representar de forma exata polnômos de grau até N, sendo N a ordem da wavelet de Daubeches. Para que uma wavelet tenha suporte compacto é necessáro que um número fnto de coefcentes tenha valores não nulos. Para uma wavelet de ordem N, vale a segunte expressão: = N ϕ( x) = aϕ( x ) (.8) = Alguns autores consderam N como a ordem da wavelet, o que ocorre quando se desea desgnar a função de Daubeches pelo seu número de momentos nulos. A propredade dos momentos nulos é exatamente a responsável pela representação exata de polnômos de grau até N, como fo vsto anterormente.

31 Fundamentação Teórca Determnação dos coefcentes de fltro As condções que se deve estabelecer para o cálculo dos coefcentes de fltro de uma wavelet da famíla Daubeches de ordem N, buscando obter uma famíla de funções ortogonas com N momentos nulos, são as seguntes:. A ntegral defnda pela função de escala em todo o seu domíno é untára. + ϕ ( x) dx = (.8) Esta propredade leva à condção de que o somatóro dos coefcentes de fltro é constante e gual a. N a = (.8) =. A função de escala é ortogonal a todas as suas translações nteras. + ϕ( x) ϕ( x ) dx= δ, (.83) A partr da eq. (.83), chega-se a: N aa r r+ = δ, =,,, (.84) r= N 3. Qualquer polnômo de grau nferor a N é representado de forma exata pela combnação lnear da função escala e de todas as suas translações nteras. m m x = c ϕ( x ) (.85)

32 Fundamentação Teórca 59 A eq. (.85) é conseqüênca da equação de momentos nulos descrta anterormente e leva à tercera condção. N N ( ) a =, =,,, (.86) = As duas prmeras condções permtem defnr N + equações e são necessáros N coefcentes de fltro para a descrção completa da wavelet de ordem N. A tercera condção fornece as N equações restantes que permtem obter de forma únca os coefcentes de fltro, através da solução de um sstema de equações não-lneares Exemplo de cálculo dos coefcentes da wavelet DB4 A partr da prmera condção, tem-se: a + a+ a + a3 = (.87) Da segunda condção: = : a + a + a + a = (.88) 3 = : a a + aa = (.89) 3 E da últma condção: = : a + a 3a = (.9) 3 A partr da resolução do sstema formado pelas quatro equações não-lneares descrtas, calculam-se os quatro coefcentes de fltro necessáros para defnr a wavelet de ordem N = 4.

33 Fundamentação Teórca 6 Os coefcentes de fltro são números rraconas e o resultado mostrado na eq. (.9) está com a precsão de 5 casas decmas. a a a a 3 = = = = (.9).7.. Obtenção da função de escala A geração das funções de escala é realzada por procedmentos numércos, levando-se em consderação que, em geral, tas funções não têm expressão analítca. Exstem város algortmos propostos (Daubeches, 988, Meyer, 993 e Strang e Nguyen, 996) para gerar as funções de escala das wavelets de Daubeches, sendo que o mas dfunddo é o que utlza um processo recursvo de obtenção dos valores das funções nos pontos dádcos, defnndo-se a pror o número de terações que se pretende realzar. Prmeramente, calculam-se os valores da função nos pontos nteros, partndo da relação de escala, da segunte forma: ϕ( x) = a ϕ( x) + aϕ(x ) + + a ϕ(x N + ) (.9) N A partr da eq. (.9), chega-se a: ϕ() = a ϕ() (.93) ϕ() = a ϕ() + aϕ() + a ϕ() (.94) ϕ( N ) = a ϕ( N ) + a ϕ( N ) + a ϕ( N 3) (.95) N 3 N N ϕ( N ) = a ϕ( N ) (.96) N

34 Fundamentação Teórca 6 Partndo do fato de que a e a, pode-se conclur pelas eqs. (.93) N e (.96) que os valores da função de escala nos extremos do ntervalo de suporte são nulos. ϕ() = ϕ( N ) = (.97) As demas equações podem ser colocadas em forma matrcal pela segunte expressão: a a ϕ() ϕ() a3 a a ϕ() ϕ() a5 a4 a3 ϕ(3) ϕ(3) = a a a ϕ( N 4) ϕ( N 4) a a a ( N 3) ϕ( N 3) a a ( N ) ϕ( N ) N 4 N 5 N 6 N N 3 N 4 ϕ N N ϕ (.98) A eq. (.98) pode ser condensada na segunte expressão: AΦ = Φ (.99) Na eq. (.99), Φ é o vetor que contem os valores da função de escala avalada nos pontos nteros e A é uma matrz de dmensão N, cuos coefcentes são dados por: = (.) A a N A eq. (.99) pode ser reescrta levando a um problema de autovalor cua solução é o vetor Φ assocado ao autovalor λ =. Conforme exposto adante, todos os cálculos envolvendo funções de escala recaem em sstemas desse tpo. (A I)Φ = (.)

35 Fundamentação Teórca 6 Como a solução da eq. (.) não é únca, á que o sstema torna-se homogêneo, deve-se utlzar outra equação para torná-lo determnado. A partr da propredade de ntegral untára, chega-se a uma relação entre os valores da função de escala nos pontos nteros que permte determnar a solução do sstema de equações de forma únca. ϕ( x ) = (.) Desenvolvendo-se a sére da eq. (.), chega-se a: ϕ() + + ϕ( N ) = (.3) A eq. (.3) funcona como uma condção de normalzação ao vetor Φ obtdo pela solução do problema de autovalor na eq. (.). Uma vez obtdos os valores de ϕ(x) nos pontos nteros, aplcam-se novas terações sucessvas para determnar os valores nos pontos x =, com,. Em geral, para uma aproxmação razoável da função, nove terações ( = 8 ) são sufcentes. Este, nclusve, é o número padrão utlzado pelo programa MATLAB. Esse número de terações orgna 8 = 56 ntervalos (57 pontos da malha dádca) para cada undade do suporte da função de escala. N ϕ a = rϕ r (.4) r= Nota-se que a eq. (.4) é a essênca da análse multrresolução, ou sea, os pontos da malha dádca do nível segunte são calculados a partr dos valores do nível anteror Exemplo de cálculo dos valores da wavelet DB4 Pela propredade de suporte compacto, sabe-se que: ϕ() = ϕ(3) = (.5)

36 Fundamentação Teórca 63 O sstema fca então reduzdo a duas equações e duas ncógntas num problema de autovalor com λ =, sendo assm escrto em forma matrcal: a a ϕ() a3 a = (.6) ϕ() Sabe-se que o sstema não tem solução únca, sendo estabelecda apenas uma relação entre as ncógntas, além da solução trval em que as mesmas são nulas. Pode-se, portanto, utlzar tanto a prmera quanto a segunda lnha do sstema da eq. (.6), pos as mesmas são lnearmente dependentes. Utlzando a prmera lnha, chega-se à segunte relação entre ϕ() e ϕ(): ( a ) ϕ() + a ϕ() = (.7) Adconando a condção de normalzação (eq..8), chega-se aos valores da função de escala nos pontos nteros: ϕ() + ϕ() = (.8) ϕ() = ϕ() = (.9) Se, agora, desea-se conhecer o valor de ϕ (x) em x = /, 3/ e 5/, ou sea, a teração segunte, basta aplcar a relação de escala num nível posteror, e assm sucessvamente até o nível de resolução deseado. 3 ( ) ( ) a a a (.) = ϕ = ϕ = ϕ() + ϕ() = ( ) ( ) - a a a a a3 (.) = ϕ 3 = ϕ 3 = ϕ(3) + ϕ() + ϕ() + ϕ() =.5 3 ( ) ( ) a a a3 (.) = ϕ 5 = ϕ 5 = ϕ(3) + ϕ() =

37 Fundamentação Teórca 64 A partr dessa defnção da função wavelet, pode-se realzar uma análse multrresolução efcente em que cada nível segunte tem metade do suporte do anteror e subdvddo o problema em malhas dádcas, num procedmento bastante semelhante ao que é feto numa malha de elementos fntos. A fg. (5) mostra a construção da função de escala DB4 e como cada teração adcona novos pontos à malha dádca. A prmera teração ( = ) mostra os valores da eq. (.9); em seguda, adconam-se os valores das eqs. (.) a (.) e assm sucessvamente até a otava teração com = 7, ou sea, 9 pontos (8 ntervalos) para cada undade do suporte. Como o ntervalo de suporte da função de escala DB4 é [,3], a representação total da mesma conta com 385 pontos (3x8 + ) Integras das Wavelets de Daubeches Os valores das ntegras de wavelets em ntervalos nteros podem ser obtdos através da resolução de um sstema de equações que derva das propredades de translação e escala das funções wavelet (Jn e Ye, 999). x q ( x) ϕ( y) dy = (.3) A partr da relação de escala, pode-se escrever: x N q ( x) = aϕ( y ) dy = (.4) Fazendo u = y. N x q ( x) a ϕ( u) du = = (.5) q ( x) = aq ( x ) (.6) N =

38 Fundamentação Teórca (a).4. (b) (c).4. (d) (e).4. (f) (g).4. (h) Fgura 5 Dferentes terações para a obtenção da função de escala DB4: (a) = ; (b) = ; (c) = ; (d) = 3; (e) = 4; (f) = 5; (g) = 6; (h) = 7;

39 Fundamentação Teórca 66 A eq. (.6) pode ser colocada em forma matrcal. (A I)q = b (.7) onde [ ] A= (.8) a, N b N = a (.9) = N Exemplo de cálculo de ntegral Daubeches DB4 Sabe-se que a ntegral é nula para qualquer valor nferor ou gual a zero e untára para qualquer valor à dreta do ntervalo de suporte. No caso da DB4, essa condção pode ser vsta na eq. (.). q () = q (3) = q (4) =... = q ( ) = (.) Aplcando a eq. (.6) chega-se ao sstema da eq. (.3). q () aq ( ) a q () aq () (.) 3 = = + = q () aq (4 ) a a a q () a q () (.) 3 = = = () a a q a3 a = q () a+ a (.3)

40 Fundamentação Teórca 67 Resolvendo o sstema, obtêm-se os valores das ntegras. q () = ϕ( x) dx= q () = ϕ( x) dx= (.4) Para obter os valores de ntegras de funções do tpo ϕ( x ) basta realzar uma substtução de varáves para modfcar os lmtes de ntegração Produto nterno com polnômos Para alguns casos especas de equações dferencas com termos ndependentes, para aplcar o Método de Wavelet-Galern é necessáro obter a nteração entre as funções que os descrevem e as que aproxmam a função resposta do sstema. No caso em que tanto o termo ndependente quanto a nterpolação são descrtos por funções polnomas ou trgonométrcas, tal nteração é trvalmente calculada, á que as ntegras têm solução analítca. No caso de as funções de nterpolação serem formadas a partr de uma base wavelet, é necessáro calcular a ntegral que expressa o produto nterno entre as funções de escala e as funções dos termos ndependentes. No caso de um problema estrutural dscretzado por elementos fntos, os termos ndependentes representaram o carregamento aplcado à estrutura que, em geral, pode ser representado a partr de polnômos. Quando essas ntegras são calculadas no suporte completo da função de escala, [, N ] no caso das wavelets de Daubeches, são obtdos os chamados momentos da função de escala, cuo cálculo será vsto a segur. x n n q ( x) = y ϕ( y) dy (.5) Fazendo uso da relação de escala, temos: x N n n q ( x) = y aϕ( y ) d( y ) (.6) =

41 Fundamentação Teórca 68 x N n n q ( x) = a y ϕ( y ) d( y ) (.7) = Realzando uma substtução de varáves z = y. x N n z+ q ( x) = a ϕ( z) dz = n (.8) Desenvolvendo-se o polnômo na eq. (.8). N n n n n q ( x) = a ( ) n q x + = = (.9) Nota-se na eq. (.9) que para o cálculo do produto nterno entre em polnômo de grau n e uma função wavelet faz-se necessáro conhecer todos os produtos nternos da mesma wavelet com os polnômos de grau nferor, ou sea, até o grau n. As eqs. (.3) e (.3) mostram um exemplo do cálculo do produto nterno entre um monômo de grau um e uma função de escala, que sera utlzado para o caso de um carregamento lnear. x ( ) ϕ( ) q x y y dy = (.3) q ( x) = a q ( x ) + q ( x ) (.3) N 4 = A relação expressa na eq. (.3) também pode ser escrta em forma matrcal, como será vsto adante na seção que trata dos coefcentes de conexão para cargas equvalentes nodas.

42 Fundamentação Teórca Dervadas das Wavelets de Daubeches Para o cálculo das ntegras envolvdas na obtenção das matrzes de rgdez e geométrca do elemento fnto wavelet, torna-se necessáro obter as dervadas das funções wavelet. Como não exste uma expressão explícta para as funções de Daubeches, as dervadas só podem ser obtdas em pontos da malha dádca, com a utlzação das propredades de tas funções, pelo mesmo procedmento adotado para o cálculo dos valores da função de escala. A partr da relação exstente entre a função de escala e suas translações, pode-se deduzr que o mesmo vale para as suas dervadas (Ln et al., 5). ϕ N ( d) d ( d) ϕ = ( x) = a ( x ) (.3) A partr da expressão acma, pode-se calcular a d-ésma dervada da função escala em alguns pontos. ϕ () = a ϕ () (.33) ( d) d ( d) ( d) d ( d) ( d) ( d) ϕ () = aϕ () + aϕ () + aϕ () (.34) ( d) d ( d) ( d) ( d) ( d) ( d) ϕ () = aϕ (4) + aϕ (3) + aϕ () + a3ϕ () + a4ϕ () (.35) ( d) d ( d) ( d) ϕ ( N 3) = an 5ϕ ( N ) + an 4ϕ ( N ) + (.36) a ϕ ( N 3) + a ϕ ( N 4) + a ϕ ( N 5) ( d) ( d) ( d) N 3 N N ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ d ( N ) = d a d 3 ( ) d ( ) d N ϕ N + an ϕ N + an ϕ ( N 3) (.37) ϕ ( N ) = a ϕ ( N ) (.38) ( d ) d ( d ) N

43 Fundamentação Teórca 7 As eqs. (.33) a (.38) podem ser colocadas em forma matrcal: ( d A-I)Φ (d) = (.39) Na eq. (.39), a matrz A e o vetor Φ (d) são dados pelas eqs. (.4) e (.4), respectvamente. A matrz A é muto semelhante à que é utlzada para o cálculo das ntegras das funções de escala. [ ] A= (.4) a, N (d) Φ ( d ) ϕ () ( d ) ϕ () = ( d ) ϕ ( N ) (.4) Como o sstema de equações resultante é homogêneo com autovalor d, deve-se fornecer uma equação adconal para garantr a solução únca. Esta equação é obtda a partr da propredade de representação exata de polnômos pela soma de translações da função de escala ponderada pelos seus momentos, cua expressão é dada pela eq. (.43). d d x = M ϕ( x ) (.4) + d d M = x ϕ( x ) dx (.43) Dervando-se d vezes a eq. (.4) chega-se a uma relação entre os valores das dervadas da função de escala nos pontos nteros. Deve-se austar os índces do somatóro para que a equação contenha todos os pontos de nteresse. d ( d) x= d ( d) ϕ ϕ = N M ( x ) M ( ) = d! (.44)

44 Fundamentação Teórca 7 Uma vez obtdos os valores da d-ésma dervada da função escala nos pontos de valor ntero, a partr da eq. (.3), calculam-se os valores para todo x =, com =, 3, 5,, N. Pode-se notar que a eq. (.45) representa o mesmo algortmo pramdal utlzado para o cálculo dos valores da função de escala. ϕ = a, =,3,5,, N (.45) N ( d) d ( d) ϕ =.7.5. Coefcentes de Conexão das Wavelets de Daubeches Nesta seção é desenvolvdo o cálculo dos coefcentes de conexão, que são a base da formulação tanto do Método de Wavelet-Galern quanto dos elementos fntos baseados em wavelets e nterpolets. Destaca-se o coefcente de conexão formado por polnômos e duas funções de escala, que não exste na lteratura, e é de fundamental mportânca para a solução de equações dferencas com coefcentes varáves Coefcentes de Conexão Imprópros A aplcação do método de Wavelet-Galern em condções de contorno peródcas permte a adoção de coefcentes de conexão calculados em todo o suporte da função de escala. Nessa abordagem é necessáro computar apenas as translações relatvas, como mostra a eq. (.46): + d, d d d, Λ = ϕ ( ξ ) ϕ ( ξ ) dξ = + = ϕ ( ζ) ϕ ( ζ + ) dζ =Λ =Λ d d d, d d, d, (.46) Esta smplfcação só é possível porque a ntegral é realzada em todo o domíno, á que a função tem suporte compacto. Pode-se verfcar faclmente, por exemplo, que o produto ntegral de uma função transladada de = com outra transladada de = é equvalente ao de uma função sem translação com outra