Processamento de Sinal

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1 APSI - Processamento de Snal Processamento de Snal Concetos, Métodos e Aplcações Texto Tutoral da Dscplna: APSI - LEEC J.P. Marques de Sá msa@fe.up.pt Faculdade de Engenhara da Unversdade do Porto J.P. Marques de Sá

2 APSI - Processamento de Snal Índce 4 Estmação Espectral Análse de Fourer usando a DFT Efeto da anela Efeto da amostragem espectral Aplcação da Análse de Fourer Análse de Fourer de Snas Estocástcos Estaconáros O Perodograma Método de Welch Análse Espectral por Identfcação de Sstemas Formulação do Problema Predção Lnear Aplcações de Predção Lnear... 6

3 APSI - Processamento de Snal 3 4 Estmação Espectral 4. Análse de Fourer usando a DFT x(n) x v(n) DFT V(k) w(n) Fgura 4.. Esquema básco da estmação espectral. N V ( k) = n= v( n) e (π / N ) kn, k [, N ] V ( k) = V ( e ω ) ω = k(π / N ) Efetos da anela e da amostragem; estudo em snas snusodas (Oppenhem, Schaffer, 999) Sea: Logo: x ( n) = a cos( wn + θ ) + a cos( wn + θ) v ( n) = aw( n) cos( wn + θ ) + aw( n) cos( wn + θ)

4 APSI - Processamento de Snal 4 θ { ( ) ( )} { ( ) ( )} θ a θ θ e W ω ω + e W ω + ω + e W ω ω + e W ω + ω a V ω) = O espectro consste em 4 réplcas do espectro da anela stuadas em ±ω e ±ω. 4.. Efeto da anela ( Caso da anela rectangular (tudo se passa como se não houvesse anela): Menor lobo prncpal para um certo comprmento Maores lobos lateras entre todas as anelas Exemplo: N = 64. DFT calculada com M = 56 por forma a ter resolução razoável. W(w) Fgura 4.. Ampltude espectral da anela rectangular de comprmento N = 64, mostrando o fenómeno de Gbbs.

5 APSI - Processamento de Snal 5 Fenómeno de Gbbs Efeto de repasse espectral a 35 V(w) V(w) b 35 V(w) V(w) c d Fgura 4.3. Ilustração do repasse espectral para frequêncas: a) ω =π/6, ω =π/3; b) ω =π/4, ω =4π/5; c) ω =π/4, ω =π/; d) ω =π/4, ω =π/5.

6 APSI - Processamento de Snal 6 Notar, devdo ao efeto de repasse: Perda de resolução espectral Dstorção em ampltude Remédo: usar anela adequada, p. ex. de Kaser 4n I β ) / I ( β ) ( L ) L, comprmento da anela, controla a largura do lobo prncpal β controla ampltude dos lobos lateras (β = para anela rectangular) Sea: A sl a razão em db da ampltude do lobo prncpal face ao maor lobo lateral. ml a largura do lobo prncpal, dada pela dstânca entre os cruzamentos por zero centras. Então os parâmetros da anela de Kaser calculam-se da segunte forma:, β =.7669( Asl.438( A 3.6) sl + 6.3), ( A sl 3.6), A sl 3.6 < A 6 A 3.6 sl sl < 6 < L 4π ( A sl 55 + ) ml + Notar a relação nversa de A sl e ml em L.

7 APSI - Processamento de Snal 7 Exemplo: Determnar a anela de Kaser para a stuação ω = π/4, ω = π/8 do exemplo anteror, por forma a obter um lobo prncpal de ml =.3. Comparar com a anela rectangular. ml =.3 e N = 64 A sl = 7 db e β = W(w) V(w) W(w) 5 V(w) Fgura 4.4. Ampltude espectral da anela e do snal, usando anela rectangular (em cma) e de Kaser (em baxo).

8 APSI - Processamento de Snal Efeto da amostragem espectral Localzação de pcos π/n submúltplo das respectvas frequêncas. Aumento da resolução nas frequêncas aumentar N, adconando zeros a) V(w) (N=64) b) V(w) (N=64) Fgura 4.5. Influênca de N na localzação de pcos: ampltude espectral com N=64 e anela rectangular para: a) ω =π/5, ω =π/7; b) ω =π/6, ω =π/8.

9 APSI - Processamento de Snal c) V(w) (N=64) d) V(w) (N=56) Fgura 4.6. Influênca de N na resolução em frequênca: ampltude espectral para ω =π/6, ω =π/8 e anela de Kaser para: a) N=64; b) N=56.

10 APSI - Processamento de Snal 4..3 Aplcação da Análse de Fourer Vamos lustrar com um exemplo da análse espectral de ECGs alguns problemas que se levantam. 7 6 R T P T Q S Fgura 4.7. Segmento de 7 amostras de um ECG amostrado a 5 Hz.

11 APSI - Processamento de Snal Fgura 4.8. À esquerda o espectro do ECG, usando anela rectangular e 4 pontos; à dreta o espectro do ECG com subtracção préva da méda (usando anela rectangular e 4 pontos).

12 APSI - Processamento de Snal Fgura 4.9. À esquerda o espectro do ECG com subtracção préva da méda(usando anela de Kaser, kaser(7,4) e 4 pontos); à dreta o espectro, obtdo nas condções anterores, para o segmento contendo apenas as ondas P e T.

13 APSI - Processamento de Snal 3 7 x Fgura 4.. Espectro, obtdo nas condções anterores, para o segmento QRS. Note-se a presença de componentes de maor frequênca.

14 APSI - Processamento de Snal Análse de Fourer de Snas Estocástcos Estaconáros O Perodograma Suponhamos que a anela w(n) seleccona um comprmento fnto do snal com L amostras: V ( ω ) L = n= w( n) x( n) e ωn, onde x(n) é uma realzação do processo estaconáro x(n) O perodograma é a estmatva do espectro de potênca dada por: S ˆ( ω) = V ( ω), LU para uma anela rectangular; quando a anela não é rectangular chama-se perodograma modfcado. U é um factor de normalzação que compensa o vés da estmatva. Mostra-se que: Sˆ( ω ) = LU L cvv m= ( L ) ( m) e ωm com c ( ) vv m n= L = x( n) w( n) x( n + m) w( n + m), autocorrelação de um segmento fnto de x(n)w(n).

15 APSI - Processamento de Snal 5 Ao calcular S ˆ ( ω) a componente dc pode domnar e obscurecer o espectro. É, por sso, geralmente convenente subtrar prevamente a estmatva da méda. Mostra-se que (ver Oppenhem, Schafer, 999): ˆ π ( ω θ S( θ ) S ww ( e ) ) πlu π - Ε[ S( ω) ] = dθ ; S ww ( ω) = W ( ω) Logo, exste um vés causado pela anela. Para L crescente S ww tende para um trem de mpulsos peródcos e aproxmamo-nos cada vez mas de S(w), desde que se escolha U tal que: π L L W ( ω) dω = w ( n) = U = w ( n) πlu LU L π n= n= Para a anela rectangular, U=, logo: ˆ S ( ω ) = V ( ω) / L. Sˆ(! - var[ ω) ] S ( ω) Logo o perodograma não é um estmador consstente (varânca não tende para zero com L crescente).

16 APSI - Processamento de Snal 6 Exemplo: x(n) é o gerador de números aleatóros com dstrbução unforme em [-,[. É usada uma realzação de x(n) com amostras Fgura 4.. Perodogramas para o gerador de números aleatóros, calculado para L=6, 64, 8, 56 e 5 usando fft com N=4.

17 APSI - Processamento de Snal 7 Notar que: Para m próxmo de L número pequeno de amostras usadas na autocorrelação grande varabldade no cálculo da autocorrelação em valores adacentes grande varabldade nas estmatvas do perodograma em todas as frequêncas. Para N = L as amostras do perodograma tornam-se não correlaconadas Método de Welch Trata-se de obter médas de perodogramas modfcados. Dvde-se a sequênca x(n) em K segmentos com uma anela de comprmento L: x r ( n) = x( rr + n) w( n); n L, r K Os segmentos podem ser contíguos (R = L) ou não (R < L). O perodograma do segmento r, é: S ˆ r ( ω) = LU V r ( ω) O perodograma médo é: S ( ω ) = K K Sˆ r r= ( ω)

18 APSI - Processamento de Snal 8 Mostra-se que (supondo e perodogramas S r dentcamente e ndependentemente dstrbuídos): O vés é semelhante ao do perodograma usual. A varânca é nversamente proporconal ao número de segmentos. Se R=L/ a varânca sofre uma redução (máxma) por um factor de A fm de evtar problemas de repasse e de dependênca nter-segmento é convenente usar uma anela não-rectangular. Exemplos: a) Sequênca aleatóra anteror. Matlab: psd(x,5,,hannng(56),8) Fgura 4.. Perodograma de Welch para a sequênca de números aleatóros com dstrbução unforme.

19 APSI - Processamento de Snal 9 b) Realzação com amostras de um processo estocástco de ª ordem (ver Capítulo 3). y ( n) ay( n ) = x( n); a =.8 S yy ( ω ) = a cosω + a Matlab: psd(y,5,,hannng(56),8) Fgura 4.3. Perodograma de Welch para uma realzação do processo estocástco de ª ordem (a=.8). A vermelho, a curva teórca.

20 APSI - Processamento de Snal c) Detecção de componentes harmóncos em snas aparentemente estocástcos. EEG amostrado a 8 Hz Fgura 4.4. Um snal EEG de vglânca (537 amostras), aparentemente estocástco Fgura 4.5. Perodograma de Welch do snal anteror com detrendng lnear (Matlab: psd(x, 5, 8, hannng(56), 8, 'lnear')). São vsíves quatro bandas de actvdade.

21 APSI - Processamento de Snal 4 Power Spectrum Magntude (db) Frequency Fgura 4.6. Perodograma anteror em db mostrando o ntervalo de confança de 95% da estmatva.

22 APSI - Processamento de Snal 4. Análse Espectral por Identfcação de Sstemas 4.. Formulação do Problema Identfcação de um sstema cua resposta é uma boa aproxmação do snal, s(n). A característca nas frequêncas do sstema é o espectro deseado. Caso de partcular nteresse: SLIT: = = + = ) ˆ( M N z a z b z S Logo, neste caso, o snal é estmado por uma predção lnear a partr da entrada, u(n), presente e passada e da saída passada: = = + = ) ( ) ( ) ˆ( M N n u b n s a n s

23 APSI - Processamento de Snal 3 A resposta consdera-se para uma entrada de espectro untáro: Impulso de Drac, no caso de snas determnístcos Ruído branco, no caso de snas estocástcos 4.. Predção Lnear Vamos consderar apenas sstemas AR (só pólos): sˆ ( n) = p = a s( n ) p = M é a ordem do sstema. Estmamos os parâmetros a pelo MMQ. Snal determnístco: com mn E = e ( n) e( n) = s( n) sˆ( n) = s( n) + n p = a s( n )

24 APSI - Processamento de Snal 4 Obtém-se as equações normas: = = = n p n n s n s n s n s a a E ) ( ) ( ) ( ) ( para p O ntervalo em que calculamos os erros da aproxmação (.e. o ntervalo de n), determna duas abordagens dstntas. Método da autocorrelação, assume a mnmzação em < < n : ) ( ) ( r r a p = = com = + = n n s n s r ) ( ) ( ) ( A matrz dos R() é smétrca Toepltz (todos os elementos de qualquer uma dagonal, são guas). Na prátca o snal é conhecdo apenas num ntervalo fnto pelo que se multplca o snal por uma anela adequada em antes de calcular R(). Método da covarânca, assume a mnmzação em N n : p a ϕ ϕ = = com = = ) ( ) ( N n n s n s ϕ A matrz das covarâncas ϕ é smétrca mas não Toepltz. Exstem algortmos específcos para resolução das equações normas.

25 APSI - Processamento de Snal 5 Snal estocástco: Logo, as equações normas são: Duas stuações: p = a Ε mn E = Ε e ( n) n [ s( n ) s( n ) ] = Ε[ s( n) s( n ) ] Processo estaconáro: Ε [ s( n ) s( n ) ] = R( ) Resultados dêntcos aos da autocorrelação de snas determnístcos, podendo-se substtur médas de conuntos por médas temporas se o processo for ergódco. Processo não-estaconáro: Ε [ s( n ) s( n ) ] = R( n, n ) Para detalhes sobre este caso ver p. ex. (Makhoul, 975). Notar que a modelzação AR é a mas popular porque: A modelzação MA é de cálculo mas dfícl que a AR A modelzação ARMA é não-determnístca Na prátca podemos obter aproxmações AR arbtraramente boas (aproxmação de zero por número elevado de pólos).

26 APSI - Processamento de Snal Aplcações de Predção Lnear a) Modelzação espectral de snas determnístcos Formantes de sons vocalzados, amostrados a f s = 63 Hz (6 amostras). Matlab: a = arcov(x,5); [h,f] = freqz(,a,5,63); plot(f,abs(h)) Fgura 4.7. Espectro para a vogal 'a', obtdo por modelzação AR de ordem 5.

27 APSI - Processamento de Snal Fgura 4.8. Espectro para a vogal 'e', obtdo por modelzação AR de ordem

28 APSI - Processamento de Snal 8 b) Modelzação de snas determnístcos Modelzação de complexos QRS de ECG, com vsta a classfcação usando os coefcentes LPC. Complexo Espectro + Coefcentes [ ] [ ]

29 APSI - Processamento de Snal [ ] Fgura 4.9. Espectros e coefcentes obtdos por predção lnear (rotna lpc do Matlab) para três tpos dferentes de complexos de ondas QRS do ECG (regão a amarelo). Ordem do modelo: p = 9. c) Modelzação espectral de snas estocástcos Exemplo do EEG (ver Capítulo ). Métodos e condções: Modelzação por covarânca (rotna arcov do Matlab). A modelzação por autocorrelação também é acetável se for legítmo assumr pequenos desvos da estaconardade. Ordem do predtor: p = 7 A escolha da ordem do modelo é mportante e não trval. Lmtamo-nos aqu a ndcar um crtéro de escolha (Akake).

30 APSI - Processamento de Snal 3 Obtenção da resposta em frequênca usando a rotna freqz do Matlab. Magntude (db) Normalzed Angular Frequency ( π rads/sample) Phase (degrees) Normalzed Angular Frequency ( π rads/sample) Fgura 4.. Espectro para o EEG de vglânca, obtdo por modelzação AR de ordem 7. Notar as componentes de frequênca elevadas, perto de.8*8 = 3 Hz, na banda beta.

31 APSI - Processamento de Snal 3 5 Magntude (db) Normalzed Angular Frequency ( π rads/sample) Phase (degrees) Normalzed Angular Frequency ( π rads/sample) Fgura 4.. Espectro para o EEG de sono, obtdo por modelzação AR de ordem 7. Notar que só exstem componentes de baxa frequênca, abaxo de.7*8 = 9 Hz, nas bandas delta e teta.