MÉTODO DA SUBTRAÇÃO DE SINGULARIDADE APLICADO ÀS EQUAÇÕES INTEGRAIS DOS PROBLEMAS ELASTOESTÁTICOS ANISOTRÓPICOS

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1 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl MÉTODO DA SUBTRAÇÃO DE SINGULARIDADE APLICADO ÀS EQUAÇÕES INTEGRAIS DOS PROBLEMAS ELASTOESTÁTICOS ANISOTRÓPICOS Sérgo Gustavo Ferrera Cordero, sergo.cordero@usp.br Edson Denner Leonel, edleonel@sc.usp.br Unversdade de São Paulo, Escola de Engenhara de São Carlos, Av. Trabalhador São Carlense, 4, , São Carlos-SP Brasl Resumo. O Método dos Elementos de Contorno (MEC tem sdo aplcado em dversas áreas do conhecmento, tas como a elastcdade lnear, a mecânca da fratura, a mecânca do contato e o eletromagnetsmo. No entanto, para soluconar estes problemas va MEC se faz necessáro avalar ntegras sngulares e também, em alguns casos, ntegras hpersngulares. Dversos procedmentos para a avalação das ntegras sngulares foram propostos podendo-se destacar o Método da Subtração de Sngulardade (MSS. De manera geral, a subtração de sngulardade pode ser aplcada à ntegração de núcleos sngulares orundos de dversos tpos de soluções fundamentas. No entanto, para cada caso, é necessáro desenvolver as expressões necessáras para a sua mplementação computaconal. No presente trabalho é apresentada a dedução das expressões necessáras para avalar va MSS as ntegras sngulares e hper-sngulares que surgem nas formulações ntegras de deslocamento e de forças de superfíce da elastcdade lnear ansotrópca. Para a valdação do procedmento foram analsados problemas da elastcdade ansotrópca e a resposta mecânca obtda va MEC fo comparada com respostas analítcas encontradas na lteratura e com respostas numércas obtdas por meo do software comercal ANSYS. Palavras-chave: Método da subtração de sngulardade, Meos ansotrópcos, Método dos elementos de contorno, Equações ntegras. INTRODUÇÃO A utlzação de estruturas compostas por materas ansotrópcos em aplcações de engenhara tem aumentado consderavelmente nas últmas décadas. Estruturas consttuídas por compóstos lamnados tem se tornado cada vez mas frequentes em aplcações das ndústras automoblístcas e aeronáutcas (Harrs, 999. Em engenhara cvl, por exemplo, estruturas de madera e de materas dervados da madera tem se tornado uma solução adequada quando são consderados aspectos ecológcos, custos e complexbldade geométrca (Orlowsk, et al., 3. Portanto, o desenvolvmento de modelos capazes de representar adequadamente o comportamento mecânco de materas ansotrópcos tem se tornado um tema de fundamental mportânca nas áreas de mecânca dos sóldos e das estruturas. O Método dos Elementos de Contorno (MEC é um método numérco que vem sendo utlzado para a análse de problemas ansotrópcos. Análses de problemas elástcos ansotrópcos, va MEC, podem ser encontradas desde a década de 7, nos trabalhos de Rzzo e Shppy (97, Cruse e Swedlow (97, Vogel e Rzzo (973 e Wlson e Cruse (978. O MEC é baseado na representação ntegral de problemas da físca e da engenhara. A obtenção da representação ntegral dos problemas requer o conhecmento de soluções fundamentas das equações dferencas governantes. No caso de problemas da elastcdade ansotrópca bdmensonal, tas soluções fundamentas foram deduzdas no trabalho de Cruse e Swedlow (97. Apesar de exstrem outras abordagens que não exam a utlzação de soluções fundamentas ansotrópcas (Debs et al., 99; Perez e Wrobel, 996, a abordagem proposta por Cruse e Swedlow (97 é a mas comumente encontrada na lteratura. Problemas envolvendo mecânca da fratura, elastcdade e pezoeletroelastcdade formulados a partr da solução fundamental ansotrópca podem ser encontrados em trabalhos como Sollero e Alabad (994, Shah e Tan (, Garca-Sánchez et al. (5 e Cordero e Leonel (6. A prncpal dfculdade em análses envolvendo o MEC é a avalação de núcleos ntegras sngulares orundos das soluções fundamentas. Para elementos de contorno de alta ordem, elementos curvos, soluções analítcas das ntegras sngulares se tornam nváves (Kzam, 9. Dessa manera, técncas de regularzação acopladas as quadraturas numércas têm sdo desenvolvdas para a avalação das ntegras sngulares orunda do MEC. Entre os métodos exstentes para a avalação de ntegras sngulares podem ser destacados a quadratura auto adaptatva de Telles (Telles, 987, o método da subtração de sngulardade (Alabad et al., 985, a mposção de movmento de corpo rígdo (Lachat e Watson, 976, a Integração Gaussana Ponderada (Crstescu e Loubgnac, 978 e o método de Guggan (Guggan e Ggante, 99; Guggan et al., 99 o qual é uma extensão do método da subtração de sngulardade para problemas trdmensonas. O Método da Subtração de Sngulardade (MSS, ou Método de Guggan para problemas 3D, tem se mostrado um método geral para a avalação de dversos núcleos sngulares orundos de dstntas formulações do MEC. Além dsso, núcleos ntegras hper-sngulares comumente observados em problemas da mecânca da fratura também podem ser avalados va MSS. Apesar de ser um método geral, as expressões necessáras para a correta avalação de ntegras sngulares e hpersngulares va MSS devem ser desenvolvdas para cada dferente tpo de solução fundamental adotada. Sendo assm, no

2 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl presente trabalho pretende-se desenvolver as expressões necessára para a avalação das ntegras sngulares do MEC elastoestátco consderando a solução fundamental ansotrópca de Cruse e Swedlow. Além dsso, também são desenvolvdas as expressões necessára para a avalação das ntegras hper-sngulares orundas da representação ntegral de forças de superfíce dos problemas ansotrópcos. Dos exemplos são apresentados para demonstrar a precsão do procedmento mplementado. Os resultados obtdos por meo do MEC são comparados com respostas analítcas e numércas.. ELASTICIDADE ANISOTRÓPICA A prncpal dferença entre a elastcdade ansotrópca e a elastcdade sotrópca encontra-se no fato de que todas as componentes do tensor consttutvo elástco podem ser não nulas. Nesse caso, a le generalzada de Hooke pode ser apresentada para um materal ansotrópco em Estado Plano de Tensão (EPT como: ε = a σ,, =,,6 ( Na Eq. ( fo ntroduzda a notação reduzda de tensores apresentada por Tng (996. As constantes elástcas podem ser expressas em termos de constantes de engenhara como: a = E, a = ν E, a6 = η, E, a = E, a6 = η, E e a66 = G. Segundo o formalsmo apresentado por Lekhntsk (963, a solução de F x, x = F z, tal que problemas da elastcdade ansotrópca pode ser expressa em termos de uma função de tensão ( ( z = x + µ x. Consderando a mudança de varável de x, x para z, a equação dferencal que rege os problemas da elastcdade ansotrópca em EPT, na ausênca de forças de volume, pode ser expressa por: a d 4 F 4 3 a µ a 6µ ( a a 66 µ a a 6µ = 4 dz ( Na busca de uma solução não trval para a Eq. (, é necessáro que a segunte equação característca sea satsfeta: ( a µ a µ + a + a µ a µ + a ( Para que as constantes a representem constantes de elastcdade de um materal real, Lekhntsk (963 demostrou que as quatro raízes da Eq. (3 sempre resultam complexas ou magnáras puras. Portanto, tas raízes são sempre obtdas como pares conugados µ, µ e µ, µ, denomnados parâmetros de ansotropa. Por convenção, defne-se µ = a + b e µ = c + d como sendo as raízes com a parcela magnára maor que zero, ou sea, b > e d >.. Solução fundamental e representações ntegras A solução fundamental da elastcdade ansotrópca fo deduzda no trabalho de Cruse e Swedlow (97 a partr da F z proposta por Lekhntsk. Os autores apresentaram as expressões para os deslocamentos e para função de tensão ( as forças em uma superfíce arbtrára devdo à atuação de uma força puntforme untára. Tas expressões são brevemente apresentadas nas Eq. (4 e Eq. (5, respectvamente. (, = Re ( ( ln + ln U zk zk q A z z q A z z T ( zk, zk = Re g ( ( µ η η A + g µ η η A ( z z ( z z (4 (5 Em que zk = x + µ k x são coordenadas que mapeam os pontos do sóldo do espaço real para planos complexos defndos pelas raízes µ e µ. As coordenadas z e z do ponto de aplcação da carga puntforme (ponto fonte são obtdas consderando x, x = x, x, em que x, x são as coordenadas cartesanas do ponto fonte. No caso da solução fundamental de forças de superfíce, η e η são as componentes do versor η, normal à superfíce arbtrára onde atuam

3 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl as forças. Por fm, constantes q e q g q, g e A também são constantes materas complexas. Para problemas planos de tensão, as g podem ser calculadas dretamente conforme as equações Eq. (6 e Eq. (7. aµ + a a6u = a µ + a µ a6 µ µ = Já as constantes A devem ser obtdas resolvendo o segunte sstema de equações lneares: A δ π µ µ µ µ A δ π = q q q A q q A q q q Sendo q calculadas a partr da Eq. (6 consderando as raízes conugadas µ, µ. No caso de problemas planos de deformação as mesmas expressões podem ser utlzadas para as soluções fundamentas contanto que se utlze constantes elástcas corrgdas a = a a a a com, =,, MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO O MEC é um método numérco amplamente utlzado para soluconar problemas da engenhara e da físca que possam ser escrtos em forma de equações ntegras. O MEC tem sdo aplcado em dversas áreas do conhecmento como na elastcdade lnear, na mecânca da fratura, na mecânca do contato e no eletromagnetsmo. A equação ntegral dos problemas elastostátcos, também conhecda como dentdade Somglana, pode ser apresentada para um corpo elástco bdmensonal com contorno, na ausênca de forças de volume, como: ( ( + (, ( = (, (. (9 c z u z T z z u z d U z z t z d k k k k k k k k Em que representa uma ntegral no sentdo de valor prncpal e ( k k (6 (7 (8 c z é o respectvo termo lvre da ntegral dvergente o qual, para z pertencente à contornos suaves, resulta δ. u e t são os campos de deslocamentos e forças de superfíce no contorno do problema. Vsto que a Eq. (9 é obtda a partr da segunda dentdade de Green, temse que U e T devem ser soluções fundamentas de deslocamento e de força de superfíce. Para problemas elástcos ansotrópcos, tas soluções foram apresentadas nas equações Eq. (4 e Eq. (5. A Eq. (9 é uma representação ntegral dos problemas elastoestátcos escrta em termos de deslocamentos. Partndo-se dessa equação é possível obter outras representações ntegras que descrevem os problemas elastoestátcos em termos de outras varáves da mecânca dos sóldos. Dferencando a Eq. (9 e levando em consderação os termos lneares da relação deslocamentos-deformação é possível obter uma representação ntegral em termos de deformações. Aplcando a le generalzada de Hooke à equação ntegral em deformações e mpondo o equlíbro de Cauchy sobre as tensões é possível obter uma representação ntegral em termos de força de superfíce, a qual é apresentada na Eq. (. t zk Sk zk zk uk zk d Dk zk zk tk zk d ( + η (, ( = η (, ( ( Em que representa a parte fnta de Hadamard da ntegral, η são as componentes do versor normal ao contorno no ponto fonte zk e os termos Sk e Dk contem respectvamente as dervadas de T e U multplcadas por constantes elástcas de rgdez. Em notação ndcal pode-se explctar tas termos como: (,, (,, S = C T + T ( k klm l m m l D = C U + U ( k klm l m m l Sendo T l, m, U l, m as dervadas das soluções fundamentas dadas por:

4 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl Tl, m ( zk, zk = Re R mg ( µ η η Al + R mg ( µ η η A l ( z z ( z z (3 Ul, m ( zk, zk = Re R mq Al + R mq A (4 l ( z z ( z z Sendo R = µ µ. Ambas as equações ntegras de deslocamentos, Eq. (9, e de forças de superfíce, Eq. (, tem sdo amplamente utlzada para resolver problemas da elastcdade e também da mecânca da fratura va MEC. No entanto, para obter uma solução numérca dos problemas é necessáro resolver as ntegras sngulares que estão presentes em ambas as representações ntegras. Na equação ntegral em deslocamentos, os núcleos U e T contém respectvamente sngulardades fraca, ou de ordem O ( ln ( z, e forte, ou de ordem O( são observadas sngulardades de ordem ( O z e hpersngulardades ( z. Já na equação ntegral de forças de superfíce O z nos núcleos D k e Sk respectvamente. A segur, serão desenvolvdas as expressões necessáras para proceder, va MSS, à avalação das ntegras sngulares e hper-sngulares envolvdas nas formulações ntegras da elastcdade ansotrópca. 4. MÉTODO DA SUBTRAÇÃO DE SINGULARIDADE No MSS, apresentado por Alabad et. al. (985 as sngulardades dos núcleos ntegras são canceladas somando e subtrando expansões em sére de Taylor dos núcleos orgnas. No caso das soluções fundamentas da elastcdade ansotrópca apresentadas por Cruse e Swedlow (97, os núcleos ntegras são funções das coordenadas z defndas no tem. Portanto se faz necessáro conhecer a expansão em sére de z. A expansão z em torno do ponto sngular é defnda como: z z ( ξ = z ( ξ + ( ξ ξ + O ( ξ ξ (5 ξ ξ = ξ Em que ξ = ξ é a coordenada do ponto sngular no espaço paramétrco. Consderando z ( ξ x ( ξ µ x ( ξ α α nterpolação por funções de forma polnomas: x ( ξ = N ( ξ x, a Eq. (5 resulta em: = + e a ( ξ = ( ξ + ( ξ ξ ( ξ µ η ( ξ η ( ξ + ( ξ ξ z z J O (6 A expansão apresentada na Eq. (6 será de fundamental mportânca para o desenvolvmento analítco das ntegras sngulares e hper-sngulares remanescentes da aplcação do MSS sobre as equações ntegras de deslocamento e de forças de superfíce. 4. Equação ntegral de deslocamentos Ao dscretzar o contorno do problema em elementos, conforme predz o MEC, as sngulardades presentes na equação ntegral de deslocamentos, Eq. (9, se resumem à avalação dessas ntegras sobre o contorno do elemento que contém o ponto de colocação. Consderando a utlzação de elementos de contorno soparamétrcos, as ntegras sngulares que devem ser avaladas para obter o clássco sstema de equações do MEC va a equação ntegral de deslocamentos podem reescrtas a partr do MSS como: U ( ξ, ξ φk ( ξ J ( ξ dξ = KU ( ξ, ξ KU ( ξ, ξ dξ + KU ( ξ, ξ dξ (7 T ( ξ, ξ φk ( ξ J ( ξ dξ = KT ( ξ, ξ KT ( ξ, ξ dξ + KT ( ξ, ξ dξ Os termos K ( ξ, ξ = U ( ξ, ξ φ ( ξ J ( ξ e K ( ξ, ξ T ( ξ, ξ φ ( ξ J ( ξ U k ntegras da Eq. (7 e os termos K U e = são os núcleos orgnas das T k K T são expansões em sére de Taylor de K U e T ξ = ξ K em torno de

5 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl calculadas consderando os termos lneares da expansão e T, as expansões K U e K T resultam em: { } ( ( ( ( ( ( z. Consderando as expressões dos núcleos fundamentas U K ξ ξ U z ξ z ξ φ ξ J ξ K ξ ξ φ ξ J ξ Tl ( ξ ( ξ z ( ξ ( ( U, = Re l ln l l k ; T, = Re k z l l ( Em que Ul = ql Al, Tl ( ξ = g l µ lη ( ξ η ( ξ Al e φk ( ξ, J ( do acobano. No caso dos núcleos KU ( ξ, ξ e T (, φ ( ξ = φ ( ξ + ( ξ ξ e J ( ξ J ( ξ O( ξ ξ k k O (8 ξ são expansões das funções de forma e K ξ ξ, a consderação apenas dos termos constantes das expansões = + á é o sufcente para garantr que o comportamento assntótco das expansões sea gual ao dos núcleos orgnas no lmte ξ ξ. Assm é garantdo que as ntegras entre colchetes da Eq. (7 são regulares e podem ser tratadas numercamente com a quadratura de Gauss. No entanto, as últmas ntegras do lado dreto da Eq. (7 anda permanecem sngulares e devem ser proceddas através de uma análse lmte ξ ξ. Consderando prmeramente a ntegral do núcleo K chega-se a: KU ( ξ, ξ dξ = lm Re ql Al ln ( zl ( ξ zl ( ξ φk ( ξ J ( ξ dξ = φk ( ξ J ( ξ Re ql Al lm ln ( zl ( ξ zl ( ξ dξ { } ( J ( Re q A VPC ln ( z z = φ ξ ξ k l l l l Sendo VPC f ( ξ expansão truncada z ( l o Valor Prncpal de Cauchy de uma ntegral sngular qualquer f ( ξ U dξ (9. A partr da ξ apresentada na Eq. (6 é possível tratar analtcamente últmo lmte da Eq. (9 como: ( l l = ( + ξ ( ξ ( ξ ( µ lη ( ξ η ( ξ J ( l VPC ln z z ln J ( ξ ( ξ ( ξ µ η ( ξ η ( ξ + ln K Já no caso da ntegral do núcleo T lm ( ξ, ξ dξ = KT a análse lmte analítca resulta em: Reg l ( µ lη ( ξ η ( ξ A l φ ( ( k ξ J ξ dξ ( zl ( ξ zl ( ξ = φk ( ξ J ( ξ Re g l ( µ lη ( ξ η ( ξ Al lm dξ ( z ( ( l ξ zl ξ = φk ( ξ J ( ξ Re g l Al lm dξ = φk ( ξ J ( ξ Re g l AlVPC ( ξ ξ ( ξ ξ Sendo que a avalação do últmo lmte em ( resulta: VPC ( ξ ξ = ln ( ξ ln ( + ξ. Deve-se destacar que na dedução da Eq. ( novamente a expansão truncada de z apresentada na Eq. (6 fo levada em consderação. 4. Equação ntegral de forças de superfíce ( (

6 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl Integras sngulares e hper-sngulares devem ser avaladas para a obtenção do sstema de equações do MEC por meo da equação ntegral de forças de superfíce. Nesse caso, as ntegras avaladas no contorno do elemento que contém o ponto de colocação podem ser rescrtas va MSS como: (, ( ( = (, (, + (, η D ξ ξ φ ξ J ξ dξ η K ξ ξ K ξ ξ dξ η K ξ ξ dξ k l D D D (, ( ( = (, (, + (, η S ξ ξ φ ξ J ξ dξ η K ξ ξ K ξ ξ dξ η K ξ ξ dξ k l S S S Em que K ( ξ, ξ = D ( ξ, ξ φ ( ξ J ( ξ, K ( ξ, ξ S ( ξ, ξ φ ( ξ J ( ξ D k l ntegras da Eq. ( e os termos K D e S = calculadas consderando os termos lneares da expansão ξ ξ ( Dkm ( ξ ( ( S k l ( = são os núcleos orgnas das K são expansões em sére de Taylor truncadas de K D e K S em torno de S ( ξ K J K J z. ( ( ( ( ( km D ξ, ξ = Re φ l ξ ξ ; S ξ, ξ = Re φl ξ ξ z m ξ zm ξ zm ( ξ zm ( ξ k Em que Dkm = kpq ( Rqmq m Apm + Rpmq m Aqm Skm = kpq ( Rqm g m µ mη η Apm + Rpmg m µ mη η Aqm C é a parte não sngular da expressão complexa que defne o núcleo D e ( ( C é a parte não hper-sngular da expressão complexa que defne S k. No caso do núcleo sngular K D, o comportamento assntótco quando ξ ξ pode ser reproduzdo consderando-se apenas o termo constante da expansão das funções de forma. Portanto tem-se que φl ( ξ = φl ( ξ. Já no caso do núcleo hper-sngular KS é necessáro consderar a expansão das funções de forma até o termo lnear para garantr que o comportamento assntótco de Nesse caso tem-se φ ( ξ φ ( ξ φ ( ξ ( ξ ξ l l l, ξ S (3 K sea gual ao do núcleo orgnal no lmte ξ ξ. = +. Uma vez garantda a gualdade de comportamento assntótco dos núcleos e de suas expansões truncadas, as ntegras entre colchetes da Eq. ( se tornam regulares e podem ser tratadas numercamente va quadratura de Gauss. Por sua vez, as ntegras da Eq. ( que permanecem sngulares devem ser proceddas através de uma análse lmte ξ ξ. No caso da ntegral do núcleo K, a análse lmte resulta: D D km ( ξ KD ( ξ, ξ dξ = lm Re φ ( ( l ξ J ξ dξ ( z ( ( m ξ zm ξ Dkm ( ξ ( ξ ξ µ η ( ξ η ( ξ = lm Re φl ( ξ dξ ( m Dkm ( ξ lm ξ ξ ( ( ( ξ ξ = φl ( ξ Re dξ µ mη ξ η ξ ( Dkm ξ = φl ( ξ Re VPC µ mη ( ξ η ( ξ ( ξ ξ (4 Por fm, a análse lmte da ntegral do núcleo hper-sngular sendo PFH f ( ξ K S é apresentada a segur nas Eq. (5 e Eq. (6, f ξ dξ que no presente a Parte Fnta de Hadamard de uma ntegral hper-sngular qualquer ( caso resulta em: PFH ( ξ ξ = ( + ξ ( ξ apresentada na Eq. (6 fo levada em consderação.. Em ambos os casos a expansão truncada de z l

7 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl S km ( ξ KS ( ξ, ξ dξ = lm Re φ l ( ξ φl, ξ ( ξ ( ξ ξ J ( ξ dξ + ( zm ( ξ zm ( ξ Skm ( ξ = lm Re φ (, ( ( l ξ φl ξ ξ ξ ξ dξ + ( ξ ξ J ( ξ ( µ mη ( ξ η ( ξ = lm Skm ( ξ Re ( ξ ξ J ( ξ µ mη ( ξ η ( ( ξ φl ( ξ dξ Skm ( ξ + lm Re φ l, ξ ( ξ dξ ( ξ ξ J ( ξ ( µ mη ( ξ η ( ξ (5 S km ( ξ KS ( ξ, ξ dξ = φl ( ξ Re lm dξ ( ( ( ( J ξ µ mη ξ η ξ ξ ξ Skm ( ξ + φl, ξ ( ξ Re lm dξ J ( ξ ( ( ( ξ ξ µ mη ξ η ξ = φl ( ξ Re J m Skm ( ξ PFH ( ξ µ η ( ξ η ( ξ ( ξ ξ Skm ( ξ + φl, ξ ( ξ Re VPC J ( ξ ( ( ( ξ ξ µ mη ξ η ξ (6 5. APLICAÇÕES e Para valdar as expressões desenvolvdas no presente trabalho, as soluções fundamentas ansotrópcasu, T, Sk foram mplementadas em um software acadêmco de elementos de contorno sendo que as ntegras sngulares e hper-sngulares foram tratadas pelo MSS conforme apresentado no tópco 4. Foram analsados dos problemas de elastcdade ansotrópca utlzando tanto a equação ntegral de deslocamentos quanto a equação ntegral de forças de superfíce. Vsto que com a formulação de forças de superfíce exste a necessdade de garantr a contnudade C do campo de deslocamentos, foram adotados elementos de contorno descontínuos em ambos os exemplos. No prmero exemplo a resposta mecânca de deslocamento no contorno fo comparada com a solução analítca dsponível na lteratura. Já no segundo exemplo foram analsadas as respostas de tensões em pontos nternos localzados no exo do problema. As respostas obtdas va MEC foram comparadas com soluções numércas obtdas va o Software Ansys para a valdação do exemplo. As ntegrações numércas envolvdas nas análses foram proceddas va quadratura de Gauss consderando 5 pontos de ntegração. 5. Vga ortótropa sob flexão pura Como prmero exemplo, consdere uma vga ortótropa com dmensões L = m, h = m sob flexão pura conforme lustra a Fg. a. A constantes elástcas do materal foram assumdas como E = 9, 8GPa, E =, 4GPa, G =, 74GPa, ν =, e o exemplo fo tratado como um Estado Plano de Tensões (EPT. A solução analítca do problema é apresentada por Lekhntsk (968 e as expressões para os deslocamentos u e u do problema resultam em: (, ( / = e u ( x, x p / h( a x a x al u x x p h a x x Dk = + (7

8 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl Sendo h e L as dmensões que caracterzam o problema e p = MPa a tensão máxma nas faces vertcas do contorno do problema onde fo mposta a flexão. A malha de elementos de contorno adotada é composta por dos elementos quadrátcos por face horzontal e um elemento quadrátco por face vertcal totalzando 6 elementos e 8 pontos de colocação. A Fg. b apresenta a malha adotada para o problema bem como a coordenada ω ao longo do contorno, a qual será utlzada para como referênca nos gráfcos de comparação dos resultados. Fgura. (a Vga ortótropa sob flexão pura. (b Malha de elementos de contorno e coordenadaω. O problema fo analsado consderando tanto a formulação ntegral de deslocamentos (MEC S quanto a formulação ntegral de forças de superfíce (MEC HS. A nomenclatura MEC S refere-se ao fato de que o MSS é aplcado à ntegras no máxmo fortemente sngulares e a nomenclatura MEC HS refere-se ao fato de ntegras hper-sngulares estarem sendo avaladas pelo método. A Fgura apresenta em forma de gráfcos um comparatvo entre a resposta analítca dos deslocamentos do problema e as respostas numércas obtdas va MEC S e MEC HS.,4,9 U (cm,, -, U (cm,6,3 Vsto que a solução analítca do deslocamento u x é lnear e a solução analítca de u x é quadrátca, as respostas obtdas com o MEC foram exatas. Dessa manera consdera-se valdado o MSS mplementado para elementos de contorno retos. No próxmo exemplo as expressões desenvolvdas no presente trabalho são testadas para a análse de elementos de contorno curvos. 5. Arco plano ansotrópco -,4, 3 6 ω (cm ω (cm 9 Analítco MEC S MEC HP Analítco MEC S MEC HP Fgura. Resposta de deslocamentos no contorno: MEC versus analítco Para o segundo exemplo, consdere um arco bdmensonal de 9 graus com uma de suas extremdades engastada e a outra traconada conforme lustra a Fg. 3a. O domíno do problema é composto por um materal com ansotropa geral cuas constantes elástcas são: E = 4, 4GPa, E =, 9GPa, G = 6, 3GPa, ν =, 334, η, =, 55 e η, =, 3. O problema fo tratado tanto como um Estado Plano de Tensão (EPT quanto como um Estado Plano de Deformação (EPD. No caso de um EPD, as constantes elástcas na dreção 3 foram consderadas como: ν 3 =, 4, ν 3 =, 5 e η,3 =, 5. O problema fo dscretzado com uma malha composta por 4 elementos de aproxmação quadrátca, totalzando 7 pontos de colocação (Fg. 3b. Vsto que exstem contornos curvos na geometra do exemplo, fo possível testar os procedmentos de subtração de sngulardades para elementos de contorno curvos. Como o presente problema não apresenta solução analítca, o mesmo fo analsado também em elementos fntos va ANSYS para se obter uma resposta de referênca. A dscretzação adotada em elementos fntos é composta por 63 elementos trangulares do tpo PLANE 83 de aproxmação quadrátca resultando em um total de 357 nós (Fg. 3c. As soluções numércas do problema foram comparadas em termos das componentes ndependentes σ, σ e tensor de tensões, avaladas nos 7 pontos nternos ao longo do exo da estrutura lustrados na Fg. 3b. Apesar das ntegras necessára para obter as respostas de pontos nternos va MEC não serem sngulares, as mesmas dependem da resposta de deslocamentos e forças de superfíce do contorno. Por sua vez, as respostas do contorno dependem da correta avalação τ do

9 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl das ntegras sngulares e hper-sngulares. Portanto, a valdação do MSS também pode ser avalada em termos da resposta dos pontos nternos. Os gráfcos apresentados na Fg. 4 apresentam um comparatvo entre as respostas obtdas por meo das formulações MEC S, MEC HS e va elementos fntos através do ANSYS. Além dsso, as respostas obtdas consderando ambos os estados planos EPT e EPD também são apresentadas para cada uma das dferentes formulações numércas. Fgura 3. (a Arco plano ansotrópco. (b Malha de elementos de contorno. (c Malha de elementos fntos. σ (MPa Ponto Interno Ponto Interno Ponto Interno ANSYS EPT MEC S EPT ANSYS EPT MEC S EPT ANSYS EPT MEC S EPT MEC HS EPT ANSYS EPD MEC HS EPT ANSYS EPD MEC HS EPT ANSYS EPD MEC S EPD MEC HS EPD MEC S EPD MEC HS EPD MEC S EPD MEC HS EPD Fgura 4. Respostas de tensões nternas: MEC versus ANSYS σ (MPa 5 τ (MPa Antes de chegar a qualquer conclusão a respeto dos resultados apresentados, deve-se salentar que fo feta uma análse de convergênca de malha tanto para os modelos do ANSYS quanto para os modelos MEC. No entanto, vsando a obetvdade do trabalho optou-se por não apresentar tas resultados. Uma vez que os resultados das análses va ANSYS, MEC S e MEC HS convergram para respostas de tensão, consdera-se valdado o MSS mplementado também para a análse de elementos de contorno curvos. 6. CONCLUSÕES No presente trabalho foram desenvolvdas as expressões necessáras para proceder, va MSS, as ntegrações sngulares e hper-sngulares presentes nas formulações ntegras de deslocamentos e de forças de superfíce dos problemas da elastcdade ansotrópca. A valdação das expressões desenvolvdas fo obtda mplementando-se as mesmas em um programa acadêmco de elementos de contorno e comparando-se as respostas obtdas com respostas de referênca analítcas e numércas. No prmero exemplo, a resposta analítca de uma vga ortótropa fo reproduzda numercamente va as formulações MEC S e MEC HS assegurando assm que a regularzação das ntegras sngulares fo atendda para o caso de elementos de contorno retos. Já no segundo exemplo, a comparação das respostas numércas va MEC S e MEC HS com uma resposta de referênca, obtda va elementos fntos, garantu que o MSS mplementado também permte a avalação de ntegras sngulares e hper-sngulares em elementos curvos.

10 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o apoo fnancero fornecdo pelo CNPq (bolsa de doutoramento do prmero autor e a FAPESP, proeto de pesqusa nº 4/898-, sem o qual esta pesqusa não podera ter sdo realzada. NOMENCLATURA MEC MSS a E G Método dos Elementos de Contorno Método da Subtração de sngulardade Constantes de elastcdade Módulos de Young Módulos de csalhamento F ( z Função de tensão z x U T u t Coordenadas complexas Coordenadas cartesanas Undade magnára Solução fundamental de deslocamentos Solução fundamental de forças Campo de deslocamentos Campo de forças de superfíce q, g Parâmetros materas complexos N α ( ξ Funções de forma polnomas J ( ξ Jacobano da transformação paramétrca x α Coordenadas nodas A, R Parâmetros materas complexos C kl Tensor elástco de rgdez O ( Ordem de potenca Letras gregas ε, σ Notação reduzda dos tensores ε, σ σ ε ν Tensor de tensões de Cauchy Tensor de deformações lneares Coefcente de Posson η, k Coefcentes de nfluênca mutua de espéce µ, µ Parâmetros de ansotropa η ξ δ Componentes do versor normal Coordenada admensonal Delta de Kronecker REFERÊNCIAS Alabad, M.H., 985. Exact evaluaton of the ntegrals n two-dmensonal boundary element method. Report No. EMR//, Engneerng Materals, Southampton Unversty, Southampton, UK. Crstescu, M. e Loubgnac, G., 978. Gaussan quadrature formula for functons wth sngulartes n /R over trangles and quadrangles. In: Recent Advances n the Boundary Element Method. Pentech Press, London, pp Cordero, S.G.F. e Leonel, E.D., 6. Cohesve crack propagaton modellng n wood structures usng BEM and the tangent operator technque. Engneerng Analyss wth Boundary Elements, Vol. 64, pp.. Cruse, T.A. e Swedlow, J.L., 97. Interactve program for analyss and desgn problems n advanced compostes technology. Report No. AFML-TR-7-68, Carnege-Mellon Unversty, Pttsburgh, USA. Debs, A., Henry, P.K., e Wlson, R.B., 99. Alternatve BEM formulaton for -and 3-D ansotropc thermoelastcty. Internatonal Journal of Solds and Structures, Vol. 7, pp Garca-Sánchez, F.; Sáez, A.; Domnguez, J., 5. Ansotropc and pezoelectrc materals fracture analyss by BEM. Computers and Structures, Vol. 83, pp Guggan, M. e Ggante, A., 99. A general algorthm for multdmensonal Cauchy prncpal value ntegrals n the boundary element method. Journal of Appled Mechancs, Vol. 57, pp Guggan, M., Krshnasamy, G., Rudolph, T.J., Rzzo, F.J., 99. A general algorthm for the soluton of hypersngular boundary ntegral equatons. Journal of Appled Mechancs, Vol. 59, pp Harrs, B., 999. Engneerng Composte Materals. Maney Publshers, London. Kzam, A.K.L., 9. Formulação dual em mecânca da fratura utlzando elementos de contorno curvos de ordem qualquer. Dssertação (Mestrado, Departamento de Engenhara de Estruturas, EESC-USP, São Carlos, SP, Brasl. Lachat, J.C. e Watson, J.O., 976. Effectve numercal treatment of boundary ntegral equatons: A formulaton for threedmensonal elastostatcs. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, Vol., pp Lekhntsk, S.G., 963. Theory of Elastcty of an Ansotropc Body. Mr Publshers, Moscow. Orlowsk, K.A.; Ochrymuk, T.; Atkns, A.; Chuchala, D., 3. Applcaton of fracture mechancs for energetc effects predctons whle wood sawng. Wood Scence of Technology, Vol. 47, pp Perez, M.W. e Wrobel, L.C., 996. An ntegral-equaton formulaton for ansotropc elastostatcs. Journal of Appled Mechancs, Vol. 63, pp

11 Esse é um artgo de acesso lvre sob a lcença CC BY-NC-ND 3. Brasl ( Anas do SIMMEC 6 XII Smpóso de Mecânca Computaconal 3 a 5 de mao, Damantna, MG, Brasl Rzzo, F.J. e Shppy, D.J., 97. A method of stress determnaton n plane ansotropc bodes. Journal of Composte Materals, Vol. 4, pp Shah, Y.C. e Tan, C.L.,. Determnaton of nteror pont stresses n two dmensonal BEM thermoelastc analyss of ansotropc bodes. Internatonal Journal of Solds and Structures, Vol. 37, pp Sollero, P. e Alabad, M.H., 995. Ansotropc analyss of cracks n composte lamnates usng the dual boundary element method. Composte Structures, Vol. 3, pp Telles, J.C.F., 987. A self-adaptve coordnate transformaton for effcent numercal evaluaton of general boundary element ntegrals. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, Vol. 4, pp Tng, T.C.T., 996. Ansotropc Elastcty. Oxford Unversty Press, Oxford. Vogel, S.K. e Rzzo, F.J., 973. An ntegral equaton formulaton of three-dmensonal ansotropc elastostatc boundary value problems. Journal of Elastcty, Vol. 3, pp Wlson, R.B. e Cruse, T.A., 978. Effcent mplementaton of ansotropc three-dmensonal boundary ntegral equatons stress analyss. Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, Vol., pp NOTA DE RESPONSABILIDADE Os autores Sérgo Gustavo Ferrera Cordero e Edson Denner Leonel são os úncos responsáves pelo materal reproduzdo nesse artgo.