Esquema de Discretização para Método de Volumes Finitos

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1 Anas do CNMAC v. ISSN Esquema de Dscretzação para Método de Volumes Fntos Paulo C. Olvera Departamento de Engenhara Rural - CCA - UFES Alto Unverstáro, s/n, Alegre-ES, CEP e-mal: pacololvera@yahoo.com.br Carlos F. Loeffler Neto Departamento de Engenhara Mecânca - UFES Av. Fernando Ferrar, 54, Goaberas, Vtora, ES, CEP e-mal: carlosloeffler@bol.com.br Rcardo A. Mazza Unversdade Estadual de Campnas, Faculdade de Engenhara Mecânca, Departamento Energa Caxa Postal 6, Campnas SP, CEP e-mal: mazza@fem.uncamp.br. Marcos S. N. Cardoso Departamento de Engenhara Rural - CCA - UFES Alto Unverstáro, s/n, Alegre-ES, CEP e-mal: kvneves@yahoo.com.br. Resumo: Este trabalho esta nserdo no proeto Desenvolvmento da formulação quase-dual do método dos elementos de contorno em problemas de propagação de ondas: análse das condções de completdade na seqüênca de funções radas e mplementação de um esquema teratvo de solução, realzado pela UFES com fnancamento da PETROBRAS. Nele, um novo esquema de dscretzação utlzando o método de volumes fntos chamado FLU fo deduzdo e aplcado a város problemas físcos governados pela equação de transporte em casos que ncluíram o termo transente e termos dfusvos sob campos de velocdade un e bdmensonas. Os resultados são apresentados sob a forma de comparações gráfcas e mostram desempenho superor quando comparado ao esquema exponencal. Introdução: O presente trabalho tem como obetvo, desenvolver um esquema de dscretzação para o método de volumes fntos, obtendo desta forma, adequado nível de precsão na smulação de problemas físcos, sem que seam necessáras malhas refnadas. Com sto, dmnu-se esforço computaconal naqueles problemas onde, a combnação de um domíno com grandes dmensões e esquemas de dscretzação tradconas, faz com que o número de ncógntas sea tão elevado, que torna obrgatóra a utlzação de computadores de alto desempenho. Dentre os esquemas de dscretzação usados em volumes fntos, o Exponencal ou Power-Law descrto em Patankar [5] ocupa lugar de destaque na comundade centfca devdo à sua smplcdade. Vareão [8] modfcou o esquema Power-Law, admtndo uma varação lnear do fluxo total da varável dependente em cada volume de controle e não entre os nós. Esta estratéga gerou um perfl nterpolante denomnado Flux-Splne, que produz erros expressvamente menores que o esquema tradconal para todos os problemas teste abordados. Olvera [4] mostrou a superordade do esquema Flux-Splne quando comparado ao tradconal Power-Law para problemas de convecção natural em cavdades fechadas. Segundo o camnho aberto pelo trabalho de Vareão [8], Neckele [] utlzou um polnômo de tercera ordem como perfl nterpolante para os fluxos total e mássco. Este esquema batzado de FLU apresentou vantagens sgnfcatvas na resolução de uma sére de problemas teste, quando comparados a outros dezesses esquemas da lteratura, entre eles, QUICK, LOADS e SUDS. Da análse dos resultados de [], [4] e [8], este autor percebeu a possbldade de desenvolver um esquema de dscretzação mas smples que o esquema FLU, partndo da hpótese de que em cada volume de controle, o fluxo de massa é constante e o fluxo total vara cubcamente. Neste caso, o esquema pode ser deduzdo como uma extensão dos esquemas Exponencal e Flux-Splne e os coefcentes envolvdos conterão apenas funções do número de Peclet. 7

2 Neste trabalho, todas as equações serão utlzadas na forma conservatva, tendo em vsta resultados da lteratura como Popescu [6] e Cossley [] que mostram com exemplos e casos teste, o mau comportamento de formulações e dscretzações não conservatvas. Dervação do esquema de dscretzação FLU para volumes fntos: O transporte de uma quantdade escalar na presença de uma fonte denomnada S é dado por: ( ρ S ( τ ρ ( ρv 0 ( τ Em regme permanente, admtndo que o campo de velocdades ρv sea conhecdo e satsfaça a equação (, o problema passa a ser a resolução da equação ( na forma: S ( O fluxo total na dreção da varável dependente é defndo por: ρu (4 Onde é o coefcente de dfusão da varável dependente e ρu o campo de velocdade na dreção. O esquema de dscretzação proposto é construído pela déa de mpor-se na nterface entre dos volumes de controle, a contnudade da varável dependente, do seu fluxo e suas dervadas e. Para sso, admte-se que o fluxo total possa varar na dreção de forma cúbca, sob a segunte expressão: A ( η η B ( η η C η D (5 Onde: η Δ D C ( B ( e A ( ( A fm de smplfcar a dedução do caso geral, se ncará a dedução do esquema por um problema puramente dfusvo. Neste caso, ρu é gual à zero, satsfazendo a equação da contnudade. Obtém-se da gualdade entre as equações (4 e (5 num volume de controle : A ( η η B ( η η C η D (6 Fgura. Dscretzação undmensonal para volumes A solução da fntos. equação dferencal (6 para o volume de controle mostrado na Fgura, assumndo-se o coefcente constante dentro do volume de controle, fornece o perfl nterpolante para dfusão pura: 4 A B ( ( ( ( 4 Δ Δ Δ Δ (7 C D ( (.0 Cvc Δ 74

3 Δ Com a condção de contorno, ( para o volume de controle : C vc A η m.0 ( ( ( ( ( 4 ( η m, obtém-se o valor da constante de ntegração ( ( ( (.0 η m B (.0 η m ( (.0 η m C η m D Onde η m Δ Δ. Adotando um procedmento análogo no volume de controle (- mostrado na Fgura, obtém-se uma equação smlar à (7. Para a obtenção da expressão dos fluxos, mpõe-se a condção de contnudade para a varável dependente, na nterface entre os volumes de controle e (-. Ou sea: ( ( 0 (9 A condção (9 é a pedra angular do esquema, pos garante a contnudade da função, de sua dervada prmera, de seu fluxo e das dervadas dos fluxos e. Após a substtução das expressões de na nterface dos volumes de controle em (9, obtém-se a expressão para os fluxos: D [ ] hat (0 Onde hat B ( αp A β p B - C C ( αm A- βm B C D Δ Δ (.0 (.0 Δ ( Δ ( B D ηm C D ηp.0.0 α p ( ( ( ( 4 ( ηm ηm ( ( ( ( α m - ηp ηp η p Δ Δ β p (8 ( ( ηm ( ( ηp ( β m Os números entre parêntess nas expressões acma, são os lmtes das funções do número de Peclet da célula, para um campo de velocdade nulo. Impondo-se a condção de contnudade de dervadas na equação (5, obtém-se para os volumes de controle nterores, ou sea, dos fluxos : fn, o segunte sstema de equações para as dervadas ( ( ï ï ( Δ Δ Δ Δ Δ Δ Assumndo um perfl parabólco para o fluxo no volume de controle dos, na frontera à esquerda e no volume de controle fn, na frontera à dreta, obtém-se: ( ( Δ 75

4 ( fn fn fn fn ( Δ fn Consderando-se os fluxos nas faces e o termo fonte S constantes, a ntegração por volumes fntos da equação de governo ( é de acordo com Patankar [5]: Sc Sp (4 Substtundo a expressão (0 deduzda para o fluxo em (4, obtém-se: AP AIM AIP CON AIM AIP D D AP AIM AIP Sp CON Sc DIV hat DIV hat hat hat Esquema FLU para Convecção-Dfusão Undmensonal: Neste caso, o vetor ρu será postado nas faces dos volumes de controle como feto anterormente para o fluxo e suas dervadas. Assm, obtém-se a segunte equação dferencal para um volume de controle : ρu A ( η η B ( η η C η D (6 A resolução desta equação dferencal, adotando-se dedução semelhante àquela mostrada no caso dfusvo, e utlzando-se as equações ( e (, dará orgem ao sstema de equações algébrcas defndo num caso transente por: AP AIM AIP CON AIM D e AIP D Pe e Pe AP AIM AIP Sp CON Sc DIV AP hat AP DIV hat hat hat Δ Onde é o valor de no tempo τ anteror, AP ρ e os números de Peclet nas Δτ células à dreta e à esquerda da nterface comum são: ρu Pe (8 Pe ρu Dscretzação para Caso Multdmensonal: O conunto de equações deduzdo anterormente para convecção-dfusão, é adequado para o caso undmensonal. Entretanto, para casos multdmensonas, a hpótese de consderar os fluxos constantes nas faces dos volumes de controle, como fo feto na obtenção da equação (4 produz erros de ordem gual ou superor àqueles gerados pelo perfl nterpolante. Neckele [] propôs que a dervada dos fluxos, calculada no ponto onde se localza a varável dependente no volume de controle, fosse usada como correção, quando da ntegração da equação de governo. Para um caso bdmensonal, sgnfca admtr a segunte gualdade: x y x y Y Δ Y,,ΔY (0, A hpótese descrta por (0 conduz à: (5 (7 (9 76

5 x Δ.,Y VC, y d dy x Δ ΔY Δ y Δ,ΔY Y,,ΔY ( Pode-se afrmar então que exste um fator de correção nos volumes de controle, tal que: x x ΔY y y Surf ΔY ( (,,,, x y ( ΔY Δ Y,,ΔY Onde Surf, ΔY é a correção para este tpo de perfl nterpolante, em cada volume de controle. O desenvolvmento algébrco de ( utlzando a dervada do perfl cúbco (5 em cada dreção coordenada, conduz à: Surf, [ Ax, ( ηm ηm Bx, ( ηm ] ΔY ( Ay η η By η [, ( m m, ( m ] Onde: ( Ax, x, x, ( x, x, Bx, ( x, x, x, Ay ( y y ΔY ( y By, ( y, y, y, ΔY η m,,,, y, Δ Δ m, η ΔY Problemas teste: A segur, para fns de análse e comparação do esquema descrto anterormente, usaremos os esquemas FLU e Exponencal em quatro problemas teste. Problema teste : O problema se caracterza pela smulação do transporte de um pulso, por um campo de velocdade constante, sem a presença de termos dsspatvos. ( A condção ncal é defnda por ( 70 (, τ 0 e, sendo o domíno espacal gual 0 6, ρ U, a malha empregada fo de 9 volumes de controle por 500 passos no ( tempo. A solução analítca sem dfusão para o tempo τ é ( 70 (, τ e. O esquema Exponencal apresentou forte dsspação numérca, enquanto que o esquema FLU reproduz o pulso de forma acurada com dsspação muto menor (Fgura. ΔY.6 Valor do escalar domno em Fgura. Comparação dos resultados obtdos no problema teste : ( esquema exponencal, (Δ esquema FLU e a ( solução analítca Problema teste : Transporte de uma onda quadrada, sem dfusão, por um campo de velocdades em um domíno bdmensonal quadrado. O campo de velocdades é dado pela equação das lnhas de corrente ψ Y o que fornece um campo de velocdades do tpo U e V Y. O domíno de e Y está lmtado entre zero e um. O escalar entra pela frontera norte ( Y.0 sob a forma de uma onda retangular de largura 0,4 e ampltude. A fgura mostra o desempenho dos dos esquemas, onde a lnha chea é a solução exata. Podese observar a boa resposta do esquema FLU tentando recuperar o formato da onda quadrada 77

6 entre as abcssas 0, e 0,7. Os overshoots e undershoots são de pequena ordem e não se nota osclações de grande ampltude no patamar onde o escalar transportado é gual a dos. O resultado demonstra a grande dfculdade do esquema Exponencal em representar um fenômeno puramente convectvo através de um campo de velocdades bdmensonal, devdo aos grandes erros por dfusão numérca..8 Valor do escalar na sada do domno Ordenada Y na sada do domno Fgura. Comparação dos resultados obtdos no problema teste : ( solução analítca, ( esquema exponencal e (Δ esquema FLU. Malhas com 5x5 e 5x5 volumes de controle. Problema teste : Trata-se de uma varação do problema de Smth-Hutton [7] proposta por Neckele []. Trata-se da convecção-dfusão de um escalar devdo a um campo de velocdades bdmensonal. O campo de velocdades é defndo pela função corrente ψ Vc Y fornecendo assm as velocdades nas dreções coordenadas: ( ( V Y ( e V Vc ( Y U c onde V c é a velocdade característca do problema. O domíno de vara entre menos um e um enquanto que o domíno em Y vara entre zero e um. Impõe-se uma solução analítca para o campo de e assm, calculam-se as condções de contorno e dstrbução do termo fonte, utlzados a segur na smulação, para aferção do erro. A dstrbução do escalar na entrada do domíno para 0, é dada por: tanh[ θ(,y ] θ,y 5 4 Y., onde ( [ ( ( ] Para satsfazer a equação de conservação, sendo ρ e S constantes, a dstrbução do termo fonte através do domíno é: 40 sech ( θ [ α β tanh( θ ] [ ] ( ( Y e β 80 Y ( ( Y, onde α. Para a comparação da acudade dos esquemas testados foram utlzadas curvas de erro máxmo numerco exato Erro max, em função do número de Peclet (Fgura 4. defndo por: [ ], Por assumr o fluxo total, constante em cada volume de controle, o esquema Exponencal tem dfculdade em ldar de forma adequada com o termo fonte. O esquema FLU demonstra ser capaz de, mesmo com malhas menos refnadas, gerar erros sgnfcatvamente menores que o esquema Exponencal. Ao redor de Peclet gual a duzentos, o erro gerado pelo esquema FLU usando malha 0x0 á é menor que aquele obtdo pelo esquema exponencal utlzando malha 60x0. A pequena nclnação da curva de erro com relação ao aumento do numero de Peclet mostrada no esquema FLU, demonstra boa adaptação a problemas com a presença de termos fonte, onde o termo dfusvo va perdendo sua mportânca à medda que aumenta o número de Peclet. 78

7 40 0 Erro porcentual Numero de Peclet Fgura 4. Comparação dos erros porcentuas obtdos no problema teste : (--- esquema exponencal e ( esquema FLU com malhas 0x0, 40x0 e 60x0. Conclusões O esquema FLU é uma extensão do esquema Exponencal onde o termo adconal hat é calculado de forma teratva para a solução de problemas de transporte envolvendo convecção e dfusão, este esquema apresentou para os problemas testes aqu abordados, um desempenho em termos de erro com relação à malha e número de Peclet, muto superor ao tradconal esquema Exponencal. O emprego do esquema FLU em casos não lneares envolvendo escoamentos compressíves vscosos ou não, pode utlzar o que á fo desenvolvdo para o tratamento dos termos de pressão e fontes, na vasta lteratura dsponível para o esquema Exponencal e será alvo de futuros trabalhos. Referêncas. A.. Cossley, Accurate and effcent numercal solutons for the Sant Venant equatons of open channel flow, Ph. D. Thess, Unversty of Nottngham, R. Fgueredo,. Llagostera, Comparatve Study of the Unfed Fnte Aproach Exponental-Type Scheme (UNIFAES and ts Applcaton to Natural Convecton n a Porous Cavty - Part B, Numercal Heat Transfer, v.5, pp.47-69, (999.. A. O. Neckele, Development and evaluaton of numercal schemes for the soluton of convecton-dffuson equatons Ph. D. Thess, Unversty of Mnnesota, P. C. Olvera, Esquema FLU-SPLINE aplcado em cavdades abertas com convecção natural, Tese de Doutorado, FEM - UNICAMP, S. V. Patankar, Numercal heat transfer and flud flow. Hemsphere Publshng Corporaton, New York, M. Popescu, W. Shyy, M. Garbey, Fnte volume treatment of dsperson-relaton-preservng and optmzed prefactored compact schemes for wave propagaton, ournal of Computatonal Physcs, vol. 0, pp , ( R. S. Smth, A. G. Hutton, The Numercal Treatment of Advecton: A performance Comparson of Current Methods, Numercal Heat Transfer, vol. 5, pp , ( L. M. C. Vareão, Flux-Splne Method for Heat, Mass and Momentum Transfer. Ph. D. Thess, Unversty of Mnessota,