UMA FORMULAÇÃO DE LEI DE PAREDE PARA ESCOAMENTOS TURBULENTOS COM SEPARAÇÃO E TROCA DE CALOR

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1 UMA FORMULAÇÃO DE LEI DE PAREDE PARA ESCOAMENOS URBULENOS COM SEPARAÇÃO E ROCA DE CALOR Danel O. A. Cruz Fábo N. Batsta Danelle R. S. Guerra Unversdade Federal do Pará, Departamento de Engenhara Mecânca / C-UFPA Belém, Pa, Brasl M. V. Bortolus Unversdade Federal de Mnas Geras, Departamento de Engenhara Mecânca Belo Horzonte, MG, Brasl Resumo. A descrção e análse do escoamento turbulento próxmo ao ponto de separação e na regão de recrculação é um problema mportante e de grande complexdade, em que uma das prncpas dfculdades ocorre pelo fato de que a velocdade característca, utlzada na obtenção da estrutura assntótca longe do ponto de descolamento, perde a valdade nesta regão devdo ao desaparecmento da tensão na parede. O presente trabalho apresenta uma escala de comprmento alternatva para a descrção do perfl de velocdade válda para ambas as regões do escoamento. Além dsso, duas les da parede, recentemente propostas para os perfs de velocdade e temperatura desenvolvdos para a regão de separação, são aplcados no modelo de turbulênca K-ε. As equações governantes são dscretzadas usando uma formulação de volumes fntos acoplado a um esquema híbrdo para o tratamento smultâneo dos termos convectvo e dfusvo. O conjunto de equações é soluconado através do códgo numérco EACH-2E. Os resultados são comparados com dados expermentas mostrando boa concordânca. Palavras-chave: urbulênca, Recrculação, Modelo K-ε, Le da parede, emperatura 1. INRODUÇÃO A aplcação de les de parede como condção de contorno em modelos de turbulênca tem sdo um artfco largamente utlzado nos últmos anos. Isto se deve bascamente à sua facldade de mplementação e a relatva robustez proporconada no cálculo numérco, evtando o grande refnamento da malha necessáro para o cálculo adequado da subcamada vscosa. Apesar dessa convenênca, a utlzação das les de parede padrão apresentam a desvantagem de somente serem formalmente váldas nas regões do escoamento onde o

2 gradente de pressão tem pouca nfluênca sobre a estrutura do escoamento próxmo à parede. Um exemplo claro dessa defcênca pode ser vsto no caso do escoamento próxmo ao ponto de descolamento. Nessa regão, a velocdade e comprmento característcos clásscos do escoamento sobre placa plana junto à parede perdem a valdade (Stratford, 1959), uma vez que os mesmos se baseam na tensão da parede, a qual é zero no ponto de descolamento. Com o objetvo de contornar essa dfculdade, mutos autores tem optado pela utlzação de modelos de baxo número de Reynolds (Cheng e Launder, 1980, Patel, Rod e Sheuerer, 1985 e Cofalo e Collns, 1989), buscando uma maor generaldade em suas modelagens. Essa alternatva, contudo, mplca maores custos computaconas além de dfcultar a convergênca dos códgos numércos. Outro ponto mportante é a não garanta de que a generaldade procurada seja atngda, pos mutos dos modelos de baxo número de Reynolds possuem constantes que devem ser determnadas de forma empírca para um caso específco. Nesse contexto, sera de grande utldade uma formulação de le de parede que mantvesse suas característcas de facldade de mplementação e generaldade de aplcação. No presente trabalho, uma formulação generalzada da le de parede, aplcável aos escoamentos com troca de calor e recrculação, é utlzada como condção de contorno nas equações do modelo de turbulênca K-epslon padrão. Nessa formulação, uma nova equação para a descrção do perfl de temperatura é mplementada juntamente com uma expressão alternatva para o comprmento característco váldo junto à parede, ambas aplcáves na regão de separação e recrculação (Cruz & Slva Frere, 1996). As equações resultantes são resolvdas numercamente através do método de volumes fntos, utlzando o códgo EACH-2E (eachng Elptc Ax-Symmetrcal Caracterstc Heurstcally). Os resultados obtdos são comparados com o modelo padrão de le de parede para o caso do escoamento em torno de um degrau descendente apresentado na fg. 1. Será mostrado que a formulação proposta reproduz com maor precsão os resultados expermentas, prncpalmente na regão de separação, sem acréscmo sgnfcatvo do custo computaconal. Os resultados obtdos ndcam que a formulação proposta pode ser mplementada com sucesso em códgos numércos comercas, tornando o cálculo mas precso, com custos computaconas anda reduzdos. Fgura 1-Geometra do problema e domíno computaconal 2. AS EQUAÇÕES GOVERNANES Na análse fludodnâmca foram utlzadas as equações médas de Reynolds para o caso ncompressível, assm como as equações da energa cnétca turbulenta (k) e dsspação (ε), as quas são apresentadas a segur:

3 Dk Dt ν σ k k +ν U j U + j U j ε () 1 Dε Dt ν σ ε C + 1 ε ν k U j U + j U C 2 2 ε k () 2 Onde ν C µ k 2 /ε; C µ 0,09; C 1 1,44; C 2 1,92; σ t 1,3; σ k 1 3. A FORMULAÇÃO DE PAREDE O prncpal objetvo dessa formulação é estender o domíno de valdade das les de parede, com a fnaldade de manter a sua robustez, quando utlzada como condção de contorno em códgos numércos. Para o desenvolvmento da formulação, a equação da conservação da quantdade de movmento pode ser aproxmada pela equação abaxo, para a regão próxma à parede: u ' ν + u v ' ρ 1 dp + y ρ dx () 3 onde ν é a vscosdade cnemátca, é a tensão na parede, p é a pressão, u ' v' representa a tensão de csalhamento turbulenta e ρ é a massa específca do fludo. Representa a tensão total por undade de massa epecfca. O lado esquerdo da Eq.(3) representa a tensão csalhante total, a qual é dada pela soma dos termos lamnar e turbulento. Na formulação de parede foram utlzadas as seguntes equações: u 2 k 1 dp + y + ρ ρ dx u k ln y L C ; L C 2 dp + ν u R ρ + 2 ρ dx (4, 5) 1 dp ρ dx A velocdade u R que aparece na equação (5) é dada pela relação abaxo: u (6) R A equação (4), apesar de ser uma formulação smplfcada, anda apresenta o nconvenente de ser uma equação transcendental com relação a tensão na parede. Segue abaxo o procedmento adotado para contornar essa dfculdade. A mplementação numérca das relações acma fo feta da segunte forma, seja a segunte relação 1 u C 2 k + ν y µ (7) A equação (7) representa uma prmera estmatva para a tensão na parede. Note que essa estmatva é semelhante a aproxmação feta por Launder (1974), com exceção do termo de tensão lamnar, o qual fo ntroduzdo para melhorar essa aproxmação quando y + < 30, pos nesse modelo a le da parede é válda se y + >11, abaxo dsso a subcamada vscosa se manfesta.

4 A relação (7) consste na prmera aproxmação para a tensão na parede, a qual será utlzada para lnearzar o processo de cálculo da tensão na parede. Essa aproxmação fo utlzada na expressão feta por Launder(1974),para fornecer uma nova aproxmação da tensão na parede. o u ρk 1 C 4 ; µ ln Ey ν dp ρ dx y 1 (8, 9) A equação (9) representa o cálculo do gradente de pressão a partr da eq.(3). Este procedmento é utlzado com o objetvo de melhorar a convergênca do códgo numérco. A expressão (10) mostra como o comprmento característco da eq. (5) fo calculado. Vale ressaltar que o mesmo fo lnearzado com a ntrodução da tensão na parede calculada pela eq. (8). L C o o dp + + 2ν u R ρ ρ dx ; 1 dp ρ dx 2 2 u ρk (10, 11) y + ln o L C O cálculo da tensão na parede é feto utlzando-se a eq. (11). Essa equação é obtda a partr das relações (7) (8) e.(10) e da segunte hpótese: u (12) O snal da tensão na parede fca sendo dado pelo snal da velocdade u junto à parede. Para a análse do caso térmco, as equações utlzadas são apresentadas a segur: ydp / dx / Pr t / ρ + ρ ln + Cq Q κcpρu / + ydp / dx + / ρ ρ (13) Cq 3 [ E4ur Pr] Pr t ln κcpρur ν dp / dx (14) Onde E9.8 e Prt0.9 e na equação (13) fo obtdo através da eq. (11). 4. ANÁLISE DOS RESULADOS Neste trabalho fo utlzado como ferramenta numérca o programa EACH- eachng Elptc Ax-Symmetrcal Caracterstc Heurstcally (Gosman,1976), desenvolvdo no Imperal

5 College. O programa ncorpora o algortmo SIMPLE, específco para soluconar o acoplamento pressão-velocdade em escoamentos ncompressíves. As equações que governam o escoamento, são dscretzadas pela técnca de volumes fntos, acoplada a um esquema híbrdo o qual é utlzado para o tratamento dos termos convectvos e dfusvos smultaneamente Como condções de contorno, mpõe-se na entrada perfs de velocdade, de energa cnétca e de dsspação a partr dos perfs expermentas de U e u obtdos por Vogel e Eaton (1985). Nas paredes são mpostas as condções de velocdade normal nula e de não deslzamento, utlzando o modelo de parede apresentado neste trabalho. Fnalmente, na saída do domíno, supõe-se que os gradentes das dversas varáves na dreção do escoamento sejam nulos. em-se anda como condções : camada lmte turbulenta na entrada, número de Reynolds de , δ/h1,1 e a relação entre a saída e entrada do túnel h2/h11,25. A melhor relação entre precsão e tempo de CPU fo conseguda utlzando-se uma malha de 146x102 pontos. Abaxo, são mostrados os resultados obtdos com a presente formulação quando comparados com o modelo clássco de Launder e Spaldng (1974) e com dados expermentas de Vogel e Eaton(1985). Dessa forma, são apresentados os gráfcos de comparação dos perfs de velocdade e temperatura além do número de Stanton e do Cf. Nos perfs de velocdade pode ser vsto que, próxmo à parede, a presente formulação fornece um resultado melhor que a formulação padrão, longe da parede os resultados se eqüvalem, uma vez que nessa regão ambos apresentam a mesma formulação. Essa dferença é sufcente para provocar uma melhora na prevsão do coefcente de atrto e no ponto de recolamento como pode ser vsto na fgura X/H3,21 Presente trabalho Padrão X/H4.53 Presente trabalho Padrão U/Uoo Fgura 2-Comparação do perfl de velocdade junto à parede; x/h3,21 U/Uoo Fgura 3-Comparação do perfl de velocdade junto à parede; x/h4,53

6 1.2 X/H5,84 Presente trabalho Padrão U/Uoo Fgura 4-Comparação do perfl de velocdade junto à parede; x/h5, Cf 00 Presente rabalho Experm ental, Vogel e Eaton (1985) -01 Modelo K-ε Padrão X/H Fgura 5-Comparação do coefcente de frcção (C f ). A lnha vertcal representa a posção do ponto de recolamento No caso dos perfs de temperatura as dferenças entre os resultados da presente formulação e do modelo padrão são mas acentuadas. Pode-se notar que a temperatura calculada na parede usando-se a eq. (13) está mas próxma dos resultados expermentas que a fornecda pelo modelo padrão, como mostrados nas fguras 6-9. Este fato se reflete no cálculo do número de Stanton como pode ser vsto na fgura 10 a qual mostra que a presente formulação fornece resultados superores aos da formulação padrão, prncpalmente na regão de separação.

7 X/H1,68 P resente trabalho X/H0.37 P resente trabalho Padrã o Padrã o oo(k) oo(k) Fgura 6-Perfl de temperatura próxmo Fgura 7-Perfl de temperatura próxmo à parede; x/h0,37 à parede; x/h1, X/H3.0 Presente trabalho Padrão X/H4,32 Presente trabalho Padrão oo(k) Fgura 8-Perfl de temperatura próxmo à parede; x/h3, oo(k) Fgura 9-Perfl de temperatura próxmo à parede; x/h4,32

8 04 03 St 02 Presente rabalho, Vogel & Eaton (1985) 01 Modelo K-ε Padrão Le da Parede é rm ca Clá ssca X/H Fgura 10-Comparação do número de Stanton (St). A lnha vertcal representa a posção do ponto de recolamento. Na Fgura 10, aparece uma comparação entre o valor do número de Stanton calculado utlzando-se a formulação padrão de Launder e Spaldng para a temperatura próxmo à parede, juntamente com a formulação de le de parede proposta aqu para o perfl de velocdade. Como se pode notar, uma melhora na prevsão do fluxo de calor na parede, quando comparado com a formulação padrão fo obtda, causada uncamente pela melhor descrção do escoamento nessa regão, embora algumas osclações no valor do número de Stanton, na regão de recrculação possam ser observadas, devdo ao fato de a le da parede para o perfl de temperatura, neste caso, não descrever adequadamente o fenômeno na regão de escoamento reverso. Na tabela abaxo é mostrada a posção do ponto de recolamento para os modelos teórcos e para o caso expermental. Pode-se notar a melhora nas prevsões ntroduzda pela presente formulação. abela 1 Pontos de recolamento calculados e expermental PONO DE RECOLAMENO X/H EXPERIMENAL 6.6 FORMULAÇÃO PROPOSA 6.0 FORMULAÇÃO PADRÃO CONCLUSÃO Neste trabalho fo apresentada uma nova formulação da le da parede para a descrção dos escoamentos turbulentos próxmos a superfíces sóldas com recrculação. Para a mplementação desta formulação fo utlzado o códgo numérco EACH-2E, o qual resolve as equações médas de Reynolds juntamente com as equações clásscas do modelo k-epslon de turbulênca. Dentre as prncpas vantagens deste programa estão a sua robustez e a sua estrutura transparente, o que permte um controle maor de seus dversos módulos. Através dos resultados obtdos, fo possível comparar os perfs de velocdade e temperatura obtdos

9 pela formulação proposta com a formulação padrão de Launder e Spaldng, e com os expermentos de Vogel e Eaton. Deste modo, fo observado que a formulação proposta, para a regão próxmo à parede, se aproxma melhor dos resultados expermentas de Vogel e Eaton do que a formulação padrão com a grande mportânca que esta melhora ocorre sem que haja algum acréscmo de custo computaconal. 6. REFERÊNCIAS Bortolus, M.V. & Govannn, A., 1995, Numercal Predcton of Wall Heat ransfer n Complex urbulent Flos, urbulence-heat and Mass ransfer 1, pp , Begell House. Cheng, C.C. & Launder, B.E., 1980, On the Calculaton of urbulent ransport Donstream for an Abrupt ppe expanson, Numercal Heat ransfer, vol.3, pp Cofalo,H. & Collns, M.W.,1989, k-ε Predctons of Heat ransfer n urbulent Recrculatng Flos Usng an Improved Wall reatment, Numercal Heat ransfer, Part B, vol.15, pp Cruz, D.O.A. & Slva Frere, A.P., 1996, On Sngle Lmts and the Asymptotc Behavour of Separatng urbulent Boundary Layers, Internatonal Journal of Heat and Mass ransfer, vol. 41, pp Gosman, A.P. & Iderah, F.J.K., 1976, Manual EACH-2E: A General Computer Program for o-dmensonal, urbulent, Recrculatng Flos, Imperal College,Londres. Launder, B.E. & Spaldng, D.B.,1974, he Numercal Computaton of urbulent Flos, Computer Methods n Appled Mechancs, vol.3, pp Patel, V.C., Rod, W. & Sheuerer, G.,1985, urbulence Models for Near Wall and Lo- Reynolds Number Flos: a Reve, AIAA Journal, vol.23, n.9, pp Stratford,B.S.,1959, An Flo Wth Zero Skn Frcton hroughout ts Regon of Pressure Rse, Journal of Flud Mechancs, vol.5, n.17. Vogel, J.C., 1984, Heat ransfer and Flud Mechancs Measurements n the urbulent Reattachng Flo Behnd a Backard-Facng Step, ese de Doutorado, Stanford Unversty. Vogel, J.C. & Eaton, J.K.,1985, Combned Heat ransfer and Flud Dynamc Measurements Donstream of a Backard Facng Step, Journal of Heat ransfer ransactons of ASME, vol.107, pp

10 A FORMULAION OF LAW OF HE WALL FOR URBULEN FLOW WIH SEPARAION AND HEA RANSFER. Danel O. A. Cruz Fábo N. Batsta Danelle R. S. Guerra Unversdade Federal do Pará, Departamento de Engenhara Mecânca / C-UFPA Belém, Pa, Brasl M. V. Bortolus Unversdade Federal de Mnas Geras, Departamento de Engenhara Mecânca Belo Horzonte, MG, Brasl Abstract. he descrpton and analyss of the turbulent flo close to the separaton pont and n the recrculaton regon t s an mportant problem of great complexty. One of the man dffcultes s the fact that the characterstc velocty used n the obtanng of the asymptotc structure far aay from the reattachment pont, loses t s valdty n ths regon due to the dsappearance of the shear stress at the all. hs ork presents an alternatve length scale for the descrpton of the velocty profle vald for both attachment and reattachment regons. Besdes, to las of the all, recently proposed for the profles of speed and temperature, developed for the separaton regon, are appled to the treatment of the near all regon n the turbulence K-epslon model. he governng equatons are rertng applyng the fnte volumes approach coupled to a hybrd scheme for the smultaneous treatment of the convectve and dfusve terms. he group of the equatons of fnte dfferences s solved through the numerc code EACH-2E. he results are compared th expermental data shong good agreement. Key-ords: urbulence, K-ε Model, La of the all, emperature.