2. Introdução à Condução de Calor (Difusão de Calor)

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1 7. Introdução à Condução de Calor (Dfusão de Calor) Neste tem serão apresentados os processos de dfusão e convecção de grandezas físcas. presenta-se uma dedução das equações geras de balanço un e trdmensonal. s equações são smplfcadas para o caso partcular de dfusão pura com as condções de contorno e ncas, geralmente, encontradas em problemas de dfusão de calor e massa.. Equações eras de Balanço s equações geras de balanço podem ser deduzdas de váras formas. qu será feta uma dedução baseada no transporte das grandezas em nível molecular (dfusão) e macroscópco (movmento de fludo). ntes, será apresentada uma breve concetuação do mecansmo de transporte molecular. Pode-se defnr taa como a razão de uma força motora Força Motora por uma resstênca, ou seja, Taa =. Veja os casos mas clásscos de Re sstênca transferênca de calor, massa e quantdade de movmento. No caso de transferênca de calor undmensonal, tem-se que o fluo de calor é proporconal ao gradente de temperatura, pela Le de Fourer T / = k (.) ( q ) T q =. Neste caso a força motora é T e a resstênca é k k No caso de transferênca de massa tem-se ( J ) e a taa é q. C T = cte / = D (.) p = cte na qual J / é o fluo molar da espéce, D é dfusvdade de massa e C a concentração molar. transferênca de momentum, também pode ser defnda de forma análoga, conforme lustrado no esquema da Fgura. U / = τ y = μ. (.3) y ( F )

2 8 Fgura.. Ilustração da dfusão de quantdade de movmento. Observando as defnções dos fluos moleculares de calor, massa e momentum pode-se defnr formas análogas como Ψ = δ (.4) na qual Ψ é o fluo na dreção ; δ é uma constante de proporconaldade (dfusvdade), φ / é o gradente da concentração da propredade Ψ e undade da propredade ou grandeza físca transferda φ =. Têm-se, nos casos de undade de volume transferênca de calor, massa e momentum, as seguntes grandezas na Eq. (.4): - Transferênca de Calor q Ψ = em J m s W, m ou J φ = ρc pt, [ ρ c p T ] = 3 m k δ = α = dfusvdade ρ c p térmca, [ α ] = ( q ) m s ( ρc T ) p / = α ; - Transferênca de Massa J Ψ = em kmol m s kmol φ = C, [ C ] = 3 m, m δ = D dfusvdade, [ D] = s

3 9 - Transferênca de Momentum Ψ ( ρu ) ( ρu ) F μ = τ y = = = ν em ρ y y kg m s, ρu kgm / s ρ U = δ = ν vscosdade cnemátca, [] ν = m φ =, [ ] 3 m s eneralzando para o caso trdmensonal, a Eq..4 pode ser reescrta como Ψ = δ φ ssm, nos três tpos de transporte consderado tem-se - Transferênca de Calor q = k T (.5) (.6) - Transferênca de Massa j = D C { T, p ctes (.7) - Transferênca de Momentum (escoamento de fludo ncompressível) U T τ = μ + U (.8) ( ).. Balanço Undmensonal Consdere o volume de controle lustrado na Fgura.. equação geral de balanço tem a forma: entrada + geração = sada + acumulação (.9) Fgura.. Balanço num escoamento undmensonal.

4 30 Em termos das grandezas defndas resulta ( ) + eração = ( Ψ ) cumulação Ψ + (.0) na qual a geração e acumulação podem ser defndas como eração = Ψ V = Ψ V cumulação = φ V equação de balanço pode então ser reescrta como ( Ψ ) + Ψ φ V = ( Ψ ) + V (.) t Eq. (.) pode ser rearranjada na segunte forma Ψ = ou de manera análoga Ψ [( Ψ ) ( ) ] V Ψ / = [( Ψ ) ( Ψ ) ]/ ΔV (.) (.3) Fgura.3 Elemento de volume para escoamento undmensonal em que Δ V = ( ) ( ) tem-se lm ΔV 0, Fgura.3. No lmte quando o elemento de volume tende a zero ( Ψ ) ( Ψ ) Δ( Ψ ) ( Ψ ) ΔV que substtuído na Eq. (.3) resulta ( Ψ ) Ψ = V = ΔV = V (.4)

5 3 Com dv = d() e se for constante, pode-se obter Ψ Ψ = (.5).. Equação de Balanço Inclundo Transporte Molecular e Convectvo Ψ O transporte de alguma grandeza pode ser por dfusão e convecção, na forma = Ψ, m + Ψ, c, onde os transportes molecular e convectvo são defndos respectvamente por Ψ, m = δ e Ψ, c = U φ (.6) que substtuídos na Eq. (.5) resulta na equação de balanço undmensonal na forma ( U φ ) Ψ φ = δ ou + ( U φ ) = δ + Ψ (.7) E: Obter as equações de balanço para os casos de transferênca de calor, massa e momentum...3 Equação de Balanço Trdmensonal No caso trdmensonal haverá fluo nas três dreções dos eos de coordenadas, Fgura.4. Pode-se mostrar de manera análoga que a equação equvalente à Eq. (.5) é: Ψ Ψ = Ψy + y ou Ψ = Ψ na qual Ψ = Ψ + jψy + kψz () = () ( ) () + j y + k. z Ψ + z z (.8) (.9) e operador del ou nabla é defndo como

6 3 Fgura.4. Elemento de volume em escoamento trdmensonal. No caso trdmensonal, o transporte molecular e convectvo são grandezas vetoras e são defndos como Ψm = δ φ e Ψ c = Uφ (.0) Com Ψ = Ψ + Ψ, a Eq. (.5) fca na forma m + c ( Uφ ) = ( δ φ ) + Ψ E: Obter as equações 3D de balanço de calor, massa e quantdade de movmento. (.) Usando as defnções de grandezas anterores, resulta o conjunto de equações: ( ρc T ) p + ( Uρc pt ) = ( α ρc pt ) + Ψ (.) ρ + ( Uρ ) = ( D ρ ) + Ψ (.3) ( ρu ) + ( UρU ) = τ + Ψ (.4) U T τ = μ + U (.5) ( )

7 33 s Equações (.)-(.5) devem anda estar sujetas à restrção de conservação da massa, que pode ser obtda fazendo, na equação (.54), = 0, φ = ρ e Ψ = ρu, resultando ρ + ( ρu ) = 0 Ψ (.6) No caso especal de escoamento, Ψ = p + ρg (.7) E.: Obter as equações de balanço nos sstemas de coordenadas clíndrcas e esfércas.. Propredades Térmcas da Matéra Em problemas de transferênca de calor determnadas propredades da matéra são de mas mportânca. Propredades térmcas são, em geral, fortemente dependentes da temperatura. Pela defnção da taa de dfusão de calor (Le de Fourer) pode-se ver que a condutvdade térmca k é uma das propredades de grande nfluênca nos problemas de condução de calor. Outras propredades de mportânca são a dfusvdade térmca, α = k/ ρc, os calores específcos, c p e c v, a massa específca do materal, ρ e vscosdade cnemátca do materal ν... Condutvdade Térmca Em prncípo, a condutvdade térmca pode ser determnada, usando a defnção dada pela Le de Fourer, Eq. (.), usando um aparato de determnada área superfcal em que se possa medr a taa de calor atravessando-a, medndo a varação da temperatura através da parede de espessura conhecda. No caso mas geral, a condutvdade térmca não dependerá apenas do estado termodnâmco do materal (T,P), mas também da orentação da amostra relatva à corrente q e do ponto dentro da amostra onde k é meddo, caso de materas ansotrópcos heterogêneos. Outros casos mas smples são os de materas sotrópcos heterogêneos, quando a condutvdade depende do ponto dentro da amostra, mas não depende da orentação da amostra em relação à q. Tem-se também o caso de materas ansotrópcos homogêneos em que a condutvdade só depende da orentação da amostra em relação à q e, fnalmente, tem-se o caso de materas sotrópcos homogêneos em que a condutvdade não

8 34 depende nem do ponto dentro do materal nem da orentação da amostra em relação à q. Fgura.5 lustra os tpos de materas menconados. condutvdade térmca também dferenca os materas em bons condutores (materas de altas condutvdades, como é o caso de cobre) e condutores pobres (solantes térmcos, como é o caso de teflon). No caso de gases monoatômcos é esperado que a condutvdade dependa apenas da temperatura. Uma proposta de varação de k com a temperatura é da forma: k n T = k0 T0 (.8) Na qual o subscrto 0 refere-se a um estado de referênca e o valor teórco de n = /, podendo em alguns casos ser levemente maor, como no caso de hélo em que n 0, 7. No mesmo caso de gases monoatômcos, a baa pressão, a massa específca é proporconal a p /T, enquanto c p é constante. Desta forma, a dfusvdade térmca pode ser epressa como n+ k 0 = p ρ0 p0 0 0 k T p (.9) ρc c T p Nos materas sóldos a condutvdade térmca depende dos elétrons lvres e da estrutura do materal (arranjo atômco). Desta forma pode-se epressar a condutvdade térmca como a contrbução destes dos efetos na forma: k = k + k (.30) e l na qual k e é nversamente proporconal à resstvdade elétrca e, portanto será alta para materas metálcos bons condutores de corrente elétrca. k l depende da vbração da estrutura (lattce vbraton) e, portanto será em geral predomnante em sóldos não metálcos. Em geral, a condutvdade térmca de líqudos, assm com a de gases é menor do que a condutvdade térmca de sóldos. Materas de solamento térmco podem ser obtdos combnando-se materas de condutvdade térmca baa como é o caso de fbras. No caso de materas ansotrópcos, a condutvdade dependerá das dreções e do ponto dentro do materal. Neste caso, pode-se representar o tensor condutvdade térmca como k k k k k k k 3 = 3 k3 k3 k 33 (.3)

9 35 Na Equação (.3) pela relação de recprocdade k j = k (.3) j lém do mas, os coefcentes k, k e k 33, pela termodnâmca rreversível, são postvos, sto é, k > 0 (.33) e a magntude dos coefcentes kj é lmtado pelo requermento que kk k > 0 para j (.34) jj j (a) nsotrópco heterogêneo (a) Isotrópco heterogêneo (a) nsotrópco homogêneo (a) Isotrópco homogêneo Fgura.5 Classfcação de meos termcamente condutores em termos de homogenedade e sotropa lguns valores típcos de condutvdade térmca de materas são lstados a segur: Metas: 50 a 45 W/m o C Lgas: a 0 W/m o C Líqudos não metálcos: 0,7 a 0,7 W/m o C Materas solantes: 0,03 a 0,7 W/m o C ases à pressão atmosférca: 0,007 a 0,7 W/m o C

10 36.3 Equação de Dfusão de Calor equação da dfusão de calor pode ser obtda a partr da Eq. (.), φ + ( Uφ ) = Ψ+Ψ escrta em um sstema de coordenadas curvlíneas. Consderando que o materal possa ser ansotrópco resulta então, após váras manpulações algébrcas, consderando ρ e c p constantes, U = 0 : ( ) ( ) ( ) hhq 3 hhq 3 hhq q = ρc T p hhh 3 3 (.35) epressão para os fluos de calor, para sstemas de coordenadas curvlíneas ortogonas (,, ), são 3 3 T q = k ; =,,3 (.36) j j= hj j Nos sstemas de coordenadas cartesanas, clíndrcas e esfércas tem os dados na Tabela. Tabela. Sstemas de coordenadas ortogonas e fatores de escalas Coordenadas Cartesanas Clíndrcas Esfércas r r y θ θ z z φ 3 h h r rsen( φ ) h r 3 No sstema de coordenadas cartesanas (, yz,, ) os fluos de calor fcam, então defndos como q = k + k + k3 y z q = k + k + k3 y z q3 = k3 + k3 + k33 y z (.37a) (.37b) (.37c)

11 37 Para coordenadas clíndrcas ( r,, z) θ resulta: qr = k + k + k3 r r θ z qθ = k + k + k3 r r θ z qz = k3 + k3 + k33 r r θ z Para coordenadas esfércas ( r, θ, φ ) resulta: qr = k + k + k3 r rsen φ θ r ( ) qθ = k + k + k3 r rsen φ θ r ( ) qφ = k3 + k3 + k33 r rsen φ θ r ( ) (.38a) (.38b) (.38c) (.39a) (.39b) (.39c) Substtundo os fluos de calor dos sstemas de coordenadas obtêm-se as equações para os város sstemas de coordenadas cartesanas, clíndrcas e esfércas com a segur. - Sstema de coordenadas retangulares: T T T k + k + k33 + y y z z T T T T + k + k + k3 k3 y y + z z + T T T + k3 + k3 + q (, y, z, t) = ρcp y z z y - Sstema de coordenadas clíndrcas: (.40) T T T kr + k + k33 + r r r r θ r θ z z T T T T + k + k + k3r + k3 + r r θ r θ r r r z z r T T + k3 + k3 + q (, r θ, z,) t r θ z z r θ = ρc p T (.4)

12 38 - Sstema de coordenadas esfércas: T T T kr + k + k33sen( φ ) + r r r r sen ( φ) θ θ r sen( φ) T T + k r + k + r sen( φ) r θ rsen( φ) θ r T T + k 3r + k3sen( φ ) + r r rsen( φ) r + rsen T T k3 + k3 + q (, r θφ,,) t = ρc T p φ θ ( φ) θ rsen( ) (.4) E: Obter as equações para o caso de materas sotrópcos.4 Condções ncal e de contorno s condções de contorno em problemas de condução num meo ansotrópco podem ser escrtas na segunte forma genérca, para uma superfíce S normal a um eo de coordenadas T δkref + γt = f sobre S (.43) n na qual 3 T kj T = (.44) n k h j= ref j condutvdade de referênca pode ser escolhda como k, k ou k 33. s combnações δ = 0, γ = ou δ =, γ = 0 recuperam as condções de contorno de prmero ou de segundo tpos respectvamente. O snal mas ou menos depende se a normal a S está apontando no sentdo postvo ou negatvo da dreção respectvamente. condção ncal pode ser representada por uma função na forma: ( ) T = f,, (.45) 3

13 39.5 Determnação da Condutvdade Térmca de Sóldos: (Pratca ) Nesta parte do curso será realzada a tercera eperênca que consste na medção de condutvdade térmca de sóldos usando um aparato epermental para esta fnaldade. O epermento para medr condutvdade térmca basea-se na Le de Fourer. Consdere a amostra da Fgura.6. partr da Le de Fourer pode-se obter a condutvdade em função da taa de calor q ; da espessura da amostra temperaturas em ambas as faces, T e T na forma: Δ ; da área da face da amostra e das k = qδ T ( T ) (.46) Fgura.6 mostra para medda de condutvdade térmca O aparato epermental para medr condutvdade térmca de sóldos é lustrado na Fgura.7. No aparato em uma face da amostra uma taa de calor é fornecda por um aquecedor elétrco, enquanto na outra face calor é removdo por um refrgerante. s temperaturas nas faces da amostra podem ser meddas por termopares. O prncpal problema deste aparato é que calor pode escapar pelas etremdades da amostra ou se as etremdades forem soladas, o problema se torna bdmensonal. Este problema pode ser alvado pela nstalação de aquecedores de proteção (guard heater) como lustrado na Fgura.7. Neste arranjo conhecdo como placa quente, o aquecedor é colocado no centro e uma placa da amostra é colocada de cada lado do aquecedor. Os aquecedores de guarda crcundam o aquecedor e evta que calor escape pelas etremdades, mantendo o problema undmensonal. temperatura dos aquecedores de guarda deve ser a mesma do aquecedor prncpal. Um refrgerante crcula através do dspostvo para remover energa. Este aparato é bastante

14 40 utlzado para medr condutvdade de materas sóldos não metálcos, sto é, materas de baa condutvdade. Para materas de altas condutvdades estem outros aparatos mas aproprados para se evtar erros na medção. Para líqudos e gases outros aparatos específcos podem ser construídos. Fgura.7 Esquema de aparato para medda de condutvdade térmca..5. parato Epermental do Laboratóro de Transferênca de calor e Massa O aparato epermental par medda de condutvdade térmca no Lab. TCM está lustrado na Fgura.8 Fgura.8 parato Epermental para medda de k no Lab. TCM, DEM, Unesp-Ilha Soltera.

15 4 Na Eq. (.46), a taa de calor é obtda como o produto da tensão elétrca pela corrente que crcula pela resstênca elétrca de aquecmento. No caso a área da resstênca elétrca é de 96 por 96 mm. espessura do materal acrílco (um dos materas usado) é de 0 mm. taa de calor é calculada como q = E I (.47) na qual U é tensão elétrca em volts e I é a corrente elétrca em amperes. lguns valores obtdos na eperênca de medda da condutvdade térmca do acrílco são mostrados na Tabela. Tabela. Leturas dos multímetros Núcleo nel eterno Tensão no termopar [mv] Medda E[V] I[] E[V] I[] E E E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 E 8 3, 0,9 8,8 0,55 5,0 0,33 0,9 0,69 3 5,5 0,34 0,7 0,67 4,5 0,56 7,5,0 5,7 0,50 5,4 0,97 6 3,8 0,5 6,7,04 7 6,5 0,58 7,6,0 s curvas de calbração dos termopares são mostradas na Tabela.3. Observando a Fgura.8, pode-se conclur que as temperaturas dos pontos e deveram ser guas, assm como as temperaturas dos pontos 3 e 4 também deveram ser guas. Longtudnalmente as temperaturas dos pontos 3, 5 e 6, bem como as temperaturas dos pontos 4, 7 e 8 deveram ser todas de mesmo valor.

16 4 Tabela.3 Curvas de calbração e desvo padrão dos oto termopares Termopar Curva de Calbração Desvo Padrão o T ( C ),, E( mv) = ,409 o T ( C ),, E( mv) = ,487 3 o T ( C ),, E( mv) 3 = ,487 4 o T ( C ),, E( mv) 4 = , o T ( C ),, E( mv) 5 = ,36 6 o T ( C ),, E( mv) 6 = ,455 7 o T ( C ),, E( mv) 7 = ,337 8 o T ( C ),, E( mv) 8 = ,463