SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA CONVECÇÃO NATURAL ENTRE DOIS CILINDROS CONÊNTRICOS VERTICAIS

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1 15º POSMEC - Smpóso do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Uberlânda Faculdade de Engenhara Mecânca SIMULAÇÃO NUMÉRICA DA CONVECÇÃO NATURAL ENTRE DOIS CILINDROS CONÊNTRICOS VERTICAIS Ele Lus Martínez Padlla Faculdade de Engenhara Mecânca - Unversdade Federal de Uberlânda Campus Santa Mônca - Bloco 1M Av. João Naves de Ávla, 2.121, Uberlânda - MG - Brasl e-mal: epadlla@mecanca.ufu.br José Eduardo Santos Olvera e-mal: eolve@mecanca.ufu.br Arsteu da Slvera-Neto e-mal: arsteus@mecanca.ufu.br Resumo: Escoamentos entre clndros concêntrcos têm uma dversdade de aplcações prátcas e tecnológcas, motvo pela qual exste uma constante preocupação em aprofundar os conhecmentos exstentes. A convecção natural lamnar no nteror de cavdades formadas por dos clndros concêntrcos vertcas, com temperatura mposta em ambas às superfíces dos clndros, é estudada numercamente resolvendo as equações de Naver-Stokes e de conservação de energa. Utlza-se o método dos volumes fntos com malhas deslocadas e esquemas temporal e espacal de segunda ordem na dscretzação das equações trdmensonas que representam o escoamento. Apresenta-se o comportamento padrão do escoamento para dferentes números de Raylegh, com análse do coefcente de troca de calor e das dferentes varáves representatvas da dnâmca do escoamento. Palavras-chave: convecção natural, clndros concêntrcos, escoamento lamnar 1. INTRODUÇÃO O estudo da convecção natural em cavdades anulares formadas por dos clndros vertcas concêntrcos é de consderável mportânca em problemas de engenhara, uma vez que esta confguração pode ser tomada como uma representação smplfcada de mutas stuações prátcas em dversas áreas da engenhara (nuclear, solar, mecânca). Pode-se ctar, por exemplo, estudo da transferênca de calor em cavdades anulares formadas entre as varetas de combustível e as paredes do vaso de pressão em um reator nuclear. Também a determnação expermental das propredades térmcas dos fludos pode ser feta, confnando o fludo entre dos clndros aquecdos. Em casos como estes não é mportante conhecer o calor total transferdo, é necessáro separar os efetos determnando, por exemplo, somente a parcela de calor transferda por condução e conseqüentemente a determnação correta de cada uma das propredades térmcas do fludo. Neste sentdo mutos esforços vêm sendo dedcado no sentdo de mnmzar os efetos da convecção natural nos expermentos (Lpkea e Sprnger, 1968). A dferença de temperatura entre as paredes do clndro faz com que o fludo se movmente por convecção natural dentro da cavdade. O fludo nca um movmento ascendente unto à parede do clndro aquecdo, descendo em seguda ao encontrar o clndro mas fro. Mostra-se que a físca do problema é governada essencalmente por quatro parâmetros: razão de aspecto da cavdade anular, razão entre os raos externo e nterno dos clndros, e pelos números de Prandtl e Rayleght, (Cho e Korppela, 1980).

2 A avalação da nfluênca de cada um destes parâmetros sobre o tpo de escoamento desenvolvdo no nteror da cavdade, bem como a completa caracterzação topológca e estudo da transção representam a maor parte das pesqusas sobre esta confguração, um bom hstórco sobre trabalhos desenvolvdos sobre este tema pode ser encontrado em Ball (1987). Smulações numércas podem ser usadas neste tpo de análse auxlando, por exemplo, no proeto de expermentos; determnando a confguração que leve a solar os efetos convectvos de modo a avalar somente a condutvdade do gás ou auxlando no estudo mas detalhado do fenômeno. Um dos prmeros estudos numércos sobre o fenômeno fo desenvolvdo por Vahl Davs e Thomas (1969), que estudou a nfluênca dos parâmetros geométrcos no escoamento para números de Raylegh até 2 10 (escoamento lamnar). Neste trabalho são apresentados resultados da smulação numérca do escoamento devdo a convecção natural em uma cavdade anular vertcal. Foram smulados escoamentos para város números de Raylegh, no regme lamnar, para uma confguração geométrca. Os resultados do presente trabalho fo comparado com resultados numércos da lteratura verfcando uma boa concordânca. 2. PROBLEMA FÍSICO A confguração geométrca do problema físco a ser estudado consste de uma cavdade formada por dos clndros concêntrcos vertcas sotérmcos de raos R e Ro, como mostrado na Fg. 1, com a temperatura T > To. A cavdade está preenchda com fludo de vscosdade cnemátca ν, dfusvdade térmca α, coefcente de expansão térmca β e condutvdade térmca κ. Fgura 1: Representação esquemátca do problema físco. Em função do espaçamento entre os clndros R = (Ro R) e do comprmento axal L, defne-se os parâmetros geométrcos admensonas: a relação de raos η = Ro/R e razão de aspecto γ = L/R. Outros dos parâmetros admensonas mportantes para este problema são o número de Raylegh (Ra) e o número de Prandtl (Pr): Ra ( ) gβ T T R να 3 0 = e Pr ν =, (1) α 2

3 onde g é a aceleração da gravdade. O escoamento se nca devdo a ação da força de empuxo causada pela dferença de temperatura entre os clndros. 3. MODELO MATEMÁTICO O escoamento é governado pelas equações de conservação de massa, quantdade de movmento e conservação de energa, aplcadas a um escoamento ncompressível para um fludo Newtonano com propredades físcas constantes, exceto para o termo de empuxo onde são consderadas varações de densdade. u = 0, (2) x u ( uu ) 1 p Ra u u Tg + = + ν + t x ρ0 x Pr x x x T ( ut ) 1 T + = t x x Pr x (3) (4) onde u representa o campo de velocdade, p o campo de pressão e T o campo de temperatura. O termo de empuxo é modelado pela hpótese de Boussnesq, onde a varação na densdade do fludo é dada pelo gradente de temperatura. Para estas equações, foram mpostas como condções de contorno para a velocdade nãodeslzamento e mpermeabldade nas dreções radal e axal. Para temperatura, paredes sotérmcas (T > To) e dervada nula na dreção axal. Fo mposta condção de perodcdade para todas as varáves na dreção tangencal. 4. PROCEDIMENTO NUMÉRICO Para a dscretzação das equações usou-se o método dos volumes fntos com malhas deslocadas, consderando esquemas de segunda ordem no espaço e no tempo: dferenças centradas e Adams-Bashforth, respectvamente. Método de acoplamento pressão-velocdade do tpo passo fraconado (Km emon, 1985) com dos passos, o passo predtor dado por: ( ρu ) 3 u u = ( ρuu ) + μ + μ t 2 x x x x 1 n u u p ( ρuu ) μ μ ρg, 2 + x x + x x x e o passo corretor: n n 1 (5) n 1 dt + p u = u ρ x. (6) A correção da pressão é obtda por: ( ρu ) n+ 1 p 1 x x =, (7) dt x 3

4 que é a equação de Posson para a pressão resolvda usando o método SIP (Strongly Implct Procedure) proposto por Stone (1968). 5. RESULTADOS E DISCUSSÕES Foram smulados escoamentos na faxa de 10 3 Ra 10 5 para um fludo de Prandtl untáro em uma cavdade de η = 2 e γ = 5, com malha nas dreções radal, tangencal e axal, respectvamente. Todas as smulações realzadas abaxo do regme crítco de transção a turbulênca. Para a apresentação dos resultados defne-se as seguntes varáves admensonas: ( ) ( ) ( o ) ( ) r R z ur vl T T X =, Z =, U =, V = e θ = R R L α α T T o o Defne-se também o número de Nusselt (Nu) que é o coefcente médo de transferênca de calor local dado por:. Nu θ dz. (7) X 1 = 0 X= 0 Na Fg. 2 apresenta-se uma comparação do Nu global em função do Ra, calculado no presente trabalho com os resultados obtdos por Vahl Davs e Thomas (1969). Observa-se que o coefcente de transferênca de calor aumenta a medda que o Ra é ncrementado, como conseqüênca da predomnânca do processo convectvo. Sendo que para menores valores de Ra o processo de transferênca de calor se dá bascamente por condução. Os resultados apresentam uma boa concordânca com os resultados da referênca chegando a uma dferença máxma na ordem de 6%, correspondente ao caso de Ra = Fgura 2: Nusselt global em função do Raylegh, comparação com as smulações de Vahl Davs e Thomas (1969). 4

5 Nas Fg. 3 e 4 são apresentadas vsualzações dos campos de temperatura e lnhas de corrente para o regme permanente. Observa-se, na Fg. 3, que para Ra = a transferênca de calor entre os clndros ocorre quase exclusvamente por condução. Note que as sotermas estão bastante alnhadas com as paredes, ndcando a presença de um gradente de temperatura aproxmadamente constante ao longo de toda a dreção axal. A medda em que se aumenta o Ra a dstorção das sotermas na parte superor da cavdade vão se amplfcando, devdo ao aumento da força de empuxo e a condção de contorno mposta na parede superor da cavdade (adabátca). A camada lmte térmca formada próxma às superfíces nterna e externa dos clndros torna-se menos espessa com o ncremento do Ra. Fgura 3: Campos de temperatura, regme permanente, para dversos números de Raylegh. Para Ra = 1 10 verfca-se, na Fg. 4, o desenvolvmento de apenas uma célula recrculante aproxmadamente smétrca com respeto ao plano radal médo (X = 0, 5). O escoamento ocorre no sentdo horáro, promovdo pela dferença de temperatura entre as superfíces dos clndros, sso faz com que a força de empuxo leve o fludo, unto a parede do clndro nterno (θ = 1), a movmentar no sentdo ascendente até a parte superor da cavdade. Nota-se que para Ra = o centro da recrculação se desloca em dreção a parte superor da cavdade, devdo aos efetos convectvos mas ntensos; mas com a presença anda de apenas uma recrculação e assmetra notóra. Uma recrculação secundára começa a surgr na parte superor da cavdade para Ra = Para o Ra = a recrculação secundára é mas evdente e está localzada no quarto superor da cavdade, nfluencando na modfcação do padrão do escoamento que agora passa a ser multcelular. A recrculação prncpal se desloca para próxmo do plano axal médo da cavdade (Z = 0, 5). A presença da recrculação secundara, ntensfca a dstorção das sotermas. 5

6 Fgura 4: Lnhas de corrente, regme permanente, para dversos números de Raylegh. Perfs das componentes da velocdade foram extraídos ao longo de planos médos da cavdade, os resultados são apresentados na Fg. 5. A velocdade axal (Fg. 5-a) nas proxmdades das superfíces evdenca o desenvolvmento da camada lmte, a qual torna-se mas fna a medda em que se aumenta o Ra. Junto a parede fra os gradentes de velocdade são menos ntensos. Para Ra = observa-se uma assmetra mas acentuada do perfl de velocdade axal, devdo a dstorção da recrculação prncpal, ocasonada pela presença da célula secundára. Fgura 5: Dstrbução da velocdade axal e radal nos planos médos da cavdade (X =0, 5 e Z = 0, 5). 6

7 A presença das duas células de recrculação que foram observadas na Fg. 4 para o caso de Ra = provoca o aparecmento de dos pontos de nflexão no perfl de velocdade radal (Fg. 5-b). Os perfs de velocdade radal são predomnantemente negatvos a partr de Z > 0, 2 para todos os Ra mostrados, ndcando que o centro da recrculação está mas próxmo da parede fra. Observa-se também que a magntude desta componente da velocdade na parte superor da cavdade é cerca de 3 vezes maor do que na parte nferor. As dstrbuções da velocdade calculadas mostram uma boa concordânca, tanto em magntude quanto em tendênca, com os dados de Vahl Davs e Thomas (1969). Fgura 6: Evolução temporal do campo de temperatura na cavdade para Ra = A evolução temporal dos campos de temperatura e lnhas de corrente, para Ra = são mostradas nas Fg. 6 e 7, respectvamente. Incalmente o fludo é aquecdo nas proxmdades da parede do clndro nterno, e então conduzdo pela força de empuxo até a parte superor da cavdade. Parte do fludo quente localzado na parte superor entra em contato com a parede fra e então desloca-se para parte nferor da cavdade, ncando o movmento recrculatóro. Como o gradente de temperatura unto a parede nterna é maor no níco do escoamento (t = 0,5s), a velocdade de ascensão é mas elevada do que a de descda, o que faz com que o fludo quente se acumule na parte superor da cavdade (t = 0,5 e 1s). Nos nstantes posterores observa-se que o calor se propaga em dreção a regão nferor da cavdade, esse processo termna com o estabelecmento do regme permanente que acontece a partr dos 9s. 7

8 Fgura 7: Evolução temporal das lnhas de corrente na cavdade para Ra = CONCLUSÕES A convecção natural lamnar no nteror de cavdades clíndrcas vertcas fo estudada. Os resultados reproduzem adequadamente o padrão do escoamento e sua nfluênca sobre o processo de transferênca de calor. A confguração geométrca fo mantda constante (η = 2 e γ = 5), sendo estudado a nfluênca do número de Raylegh. Os resultados apresentados mostram boa concordânca com valores da referênca. A ferramenta numérca mostrou-se aproprada para análse de escoamentos com transferênca de calor. O que motva, em etapas futuras, a mplementação de modelos de turbulênca para a análse de escoamentos nstáves. 7. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao CNPq, FAPEMIG e CENPES/PETROBRAS, pelo auxílo fnancero. 8. REFERÊNCIAS Ball, K. S., Mxed Convecton Heat Transfer n Rotatng Systems. PhD thess, Drexel Unversty. Cho, I. G. & Korppela, S. A., Stablty of the conducton regme of natural convecton n a tall vertcal annulus. Journal of Flud Mechancs, vol. 99, pp Km, J. & Mon, P., Applcaton of a fractonal step method to ncompressble naver-stokes equatons. Journal of Computatonal Physcs, vol. 59, pp

9 Lpkea,W. H.&Sprnger, G. S., Heat transfer through gases contaned between two vertcal cylnders at dferent temperatures. Internatonal of Heat and Mass Transfer, vol. 11, pp Stone, H. L., Iteratve soluton of mplct approxmatons of multdmensonal partal dfferental equatons. SIAMJ Numer. Anal., vol. 5, pp Vahl Davs, G. & Thomas, R. W., Natural convecton between concentrc vertcal cylnders. Physcs Fluds (Supplement II), vol. 12, pp NUMERICAL SIMULATION OF THE NATURAL CONVECTION BETWEEN TWO CONCENTRIC VERTICAL CYLINDERS Ele Lus Martínez Padlla Faculdade de Engenhara Mecânca - Unversdade Federal de Uberlânda Campus Santa Mônca - Bloco 1M Av. João Naves de Ávla, 2.121, Uberlânda - MG - Brasl e-mal: epadlla@mecanca.ufu.br José Eduardo Santos Olvera e-mal: eolve@mecanca.ufu.br Arsteu da Slvera-Neto e-mal: arsteus@mecanca.ufu.br Abstract: Natural convecton n a closed annular cavty formed by two concentrc vertcal cylnders s a very common problem n many practcal and technologc applcatons. In the present study three-dmensonal analyss of the natural convecton was study by the numercal soluton of the Naver-Stokes and energy equatons. The fnte volume method s appled n cylndrcal coordnates wth a staggered grd. The second order Adams-Bashforth temporal scheme and the second order central-dfference spatal scheme were used. In ths paper we presented the results of the flud flow and heat transfer coeffcent for several Raylegh numbers up to 1 x 10 5 n a sngle geometrc confguraton. Keywords: natural convecton, concentrc cylnders, lamnar flow 9