ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE DIFERENTES METODOLOGIAS DE MODELAGEM DA TURBULÊNCIA: URANS, DES e LES

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1 14 POSMEC - Smpóso do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Uberlânda Faculdade de Engenhara Mecânca ANÁLISE COMPARATIVA ENTRE DIFERENTES METODOLOGIAS DE MODELAGEM DA TURBULÊNCIA: URANS, DES e LES José Eduardo Santos Olvera Laboratóro de Transferênca de Calor e Massa e Dnâmca dos Fludos Faculdade de Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Uberlânda Campus Santa Mônca Av. João Naves de Ávla, CEP e-mal: jeolve@mecanca.ufu.br Ana Lúca Fernandes de Lma e Slva Laboratóro de Transferênca de Calor e Massa e Dnâmca dos Fludos Faculdade de Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Uberlânda Campus Santa Mônca Av. João Naves de Ávla, CEP e-mal: alfslva@mecanca.ufu.br Francsco José de Souza Laboratóro de Transferênca de Calor e Massa e Dnâmca dos Fludos Faculdade de Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Uberlânda Campus Santa Mônca Av. João Naves de Ávla, CEP e-mal: fjsouza@mecanca.ufu.br Glmar Gumarães Laboratóro de Transferênca de Calor e Massa e Dnâmca dos Fludos Faculdade de Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Uberlânda Campus Santa Mônca Av. João Naves de Ávla, CEP e-mal: gguma@mecanca.ufu.br Arsteu da Slvera-Neto Laboratóro de Transferênca de Calor e Massa e Dnâmca dos Fludos Faculdade de Engenhara Mecânca Unversdade Federal de Uberlânda Campus Santa Mônca Av. João Naves de Ávla, CEP e-mal: arsteus@mecanca.ufu.br Resumo: Neste trabalho é apresentada uma extensão do método da frontera mersa com o modelo físco vrtual para smulações a altos Reynolds sobre clndros estaconáros. O escoamento é smulado através da solução numérca das Equações Médas de Reynolds e equações de Naver- Stokes fltradas, usando o método da frontera mersa para modelar o clndro. Esta metodologa permte modelar geometras complexas mersas no escoamento, para sto são utlzadas duas malhas ndependentes: uma Eulerana para representar o fludo e uma Lagrangana para modelar a nterface sóldo-fludo. Foram usados dos modelos de turbulênca: o modelo sub-malha de Smagornsky e o modelo Spalart-Allmaras a uma equação para a vscosdade turbulenta. O modelo de Smagornsky fo mplementado e usado dentro do conceto de LES, enquanto o modelo de Spalart-Allmaras fo usado dentro dos concetos de URANS e DES. As metodologas LES e DES são, por defnção, aplcadas a escoamentos trdmensonas. No presente trabalho elas são aplcadas como aproxmações a escoamentos bdmensonas. Resultados prelmnares para as dferentes modelagens de turbulênca são apresentados sendo comparados com resultados expermentas da lteratura. Palavras-chave: Método da Frontera Imersa, Modelo Físco Vrtual, URANS, DES, LES

2 1. INTRODUÇÃO Escoamentos sobre geometras complexas sempre fo um dos prncpas nteresses em CFD (Computatonal Flud Dynamcs). Na verdade, a maora dos problemas reas exstentes envolve geometras complexas, como por exemplo, boengenhara, aerodnâmca, escoamentos multfáscos, etc. Duas abordagens vêm sendo utlzadas no tratamento deste tpo de problemas: métodos que fazem uso de malhas não-estruturadas e métodos baseados no conceto de frontera mersa (MFI). Este últmo fo proposto por Peskn (1977) para smular o escoamento do sangue em válvulas cardíacas, um problema complexo, que envolve essencalmente fronteras móves e geometras complexas. A prncpal déa do método proposto por Peskn é usar duas malhas ndependentes: uma malha Eulerana é usada para se resolver às equações governantes do escoamento, enquanto, utlza-se uma malha Lagrangana para representar o corpo merso. A nteração entre as duas malhas é feta através de um termo fonte de forças que é adconado às equações de Naver-Stokes. A frontera mersa exerce uma força em pontos específcos da malha eulerana, smulando o efeto de um corpo merso no fludo. Este procedmento permte modelar geometras complexas mersas no escoamento, sem a necessdade de se utlzar malhas complexas que devem se ajustar a geometra do corpo. A prncpal vantagem dos métodos de frontera mersa é a economa de memóra e processamento durante a geração da malha quando comparado aos métodos que utlzam malhas não estruturadas (Km et al. 2001). Uma vez que não exste nenhum tpo de dependênca geométrca entre as duas malhas o MFI é capaz de tratar faclmente problemas com nterfaces móves sem a necessdade de re-malhagem completa do domíno no tempo. Outro aspecto fundamental nos métodos de frontera mersa é como calcular o termo fonte de força. No presente trabalho é utlzado um novo método chamado de Modelo Físco Vrtual (MVF) proposto por Lma e Slva et al. (2003). Neste método as força sobre os pontos são calculadas a partr das equações de Naver-Stokes. Uma vez que o método é baseado somente nas les de conservação, não exstem constantes ad-hoc a serem ajustadas. O método de frontera mersa usando o modelo físco vrtual tem permtdo obter bons resultados na smulação de dferentes casos. Por exemplo, em problemas envolvendo geometras smples, como escoamento a baxos Reynolds sobre clndros estaconáros (Lma e Slva et al. 2003) e também escoamentos complexos sobre corpos rombudos e múltplos corpos estaconáros (Lma e Slva et al. 2004). Slva et al. (2004) smulou escoamentos sobre clndros rotatvos e osclantes até Reynolds 1000, os resultados obtdos foram comparados a resultados expermentas mostrando uma boa concordânca. Arruda (2004) utlzou o método de frontera mersa para smular escoamentos sobre uma cavdade aberta rasa com fundo móvel peródco. Olvera et al. (2004) apresentou a smulação de um escoamento no regme lamnar em torno de um clndro de dâmetro varável no tempo. No presente trabalho, é utlzado o método MFI/MFV para smular escoamentos a Reynolds maores que 3000 sobre clndros estaconáros. Foram utlzadas três dferentes metodologas de modelagem da turbulênca: Equações Médas de Reynolds Transente (URANS Unsteady Reynolds Averaged Naver-Stokes Equatons), Modelagem Híbrda da Turbulênca (DES Detached Eddy Smulaton) e Smulações de Grandes Escalas (LES Large Eddy Smulaton). Para o cálculo da vscosdade turbulenta, fo utlzado o modelo sub-malha de Smagornsky para a metodologa LES e o modelo de Spalart-Almaras (S-A) para URANS e DES. As metodologas LES e DES são usadas como aproxmação bdmensonal. Os resultados obtdos nas smulações com os dferentes modelos de turbulênca foram comparados entre s e com resultados de outros autores.

3 2. MODELO MATEMÁTICO 2.1 Domíno do Fludo O domíno de cálculo é tratado como se estvesse ocupado somente por fludo podendo ser sempre retangular, ndependente da geometra do corpo merso. O escoamento é modelado pelas equações de Naver-Stokes, Eq. (1), e pela equação da contnudade, Eq. (2), para escoamentos ncompressíves: (u ) (uu ) p u u + j j ρ + = + ( ν + νt ) + t xj xj xj xj x f, (1) u x = 0. (2) Observa-se que a Eq. (1) já é a equação fltrada de Naver-Stokes, onde fo utlzada a hpótese de Boussnesq para modelar o tensor de Reynolds. Estas equações são resolvdas na malha eulerana e o acoplamento entre as duas malhas é feto pelo termo fonte de força f, que é dferente de zero somente sobre a nterface mersa. A Equação (3) modela a nteração entre a nterface sóldo-fludo e o escoamento, dstrbundo a força lagrangana nos pontos da malha eulerana: f x F x,t x x dx, ( ) = ( ) δ ( ) Ω k k k onde F é a densdade de força lagrangana nos pontos x k sobre a nterface e δ ( x xk ) é a função delta de Drac. Para proceder a dscretzação, a função delta de Drac que aparece na Eq. (3), deve ser substtuída pela função de dstrbução D j. Esta função age como uma função peso do tpo Gaussana, a qual guarda a propredade de ntegral untára no ntervalo [, + ]. Portanto a Eq. (3) é substtuída por: f x D x x F x,t s, (4) 2 ( ) = ( ) ( ) j k k onde s é a dstânca entre dos pontos lagranganos consecutvos e D j é dada por: ( ) ( ) f x x / h f y y / h Dj ( x ), h k k k = (5) 2 (3) ( ) f1 r se r < r r 4 f ( r) = f1 ( 2 r ) se 1< r < 2, onde : f1 ( r) = se r > 2 r 2 (6) com r podendo ser (x k - x )/h ou (y k - y )/h dependendo da dreção adotada, h é o tamanho da malha eulerana e (x, y ) são os pontos euleranos.

4 2.2. Interface Sóldo-Fludo A força que o fludo exerce sobre o corpo merso é avalada pelo MFV, a densdade de força F é calculada sobre um ponto lagrangano (Fg. 1) usando os termos da equação de Naver-Stokes. A força lagrangana é expressa por: F x,t F x,t F x,t F x,t F x,t. ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) k a k k v k p k Os dferentes termos do lado dreto da Eq. (7), são denomnados respectvamente como: força de aceleração, força nercal, força vscosa e força de pressão, as quas são defndas pelas Eq. de (8) à (11): Fa ( x k,t) ρ V = ( x k,t ), t F x,t = ρ V V x,t, ( ) ( ) ( ) k k (7) (8) (9) T Fv ( x k,t) = ( ν + νt)( V + V ), F x,t = p x,t). ( ) ( p k k (10) (11) As quatro componentes da densdade de força são calculadas sobre um volume de controle centrado em um ponto Lagrangano, como lustrado na Fg. (1). Fgura 1: Volume de controle centrado em um ponto lagrangano genérco. Para calcular os termos densdade de força lagrangana é precso conhecer a pror os campos de velocdade e pressão. Estes campos são calculados sobre a malha eulerana, enquanto o termo de força deve ser calculado sobre a nterface. Para contornar este problema os campos euleranos são nterpolados sobre pontos lagranganos auxlares como mostrado por Lma e Slva et al. (2003). 3. MODELAGEM DA TURBULÊNCIA As equações de Naver-Stokes são capazes de smular com uma boa precsão uma extensa gama de problemas em engenhara, nclundo escoamentos turbulentos. Entretanto é necessáro resolver todos os graus de lberdade do escoamento, o qual se estma como sendo proporconal a Re 9/4. Esta técnca é chamada de Smulação Numérca Dreta (DNS Drect Numercal Smulaton) e é obvamente restrta a escoamentos a baxos Reynolds consderando os atuas recursos computaconas dsponíves, devdo à alta resolução de malha exgda para a resolução completa do problema.

5 Uma manera alternatva de tratar este tpo de problema é o uso do processo de decomposção de escalas de Reynolds ou mas recentemente do processo de fltragem proposto por Germano (1986). As equações governantes são apropradamente fltradas, este procedmento dá orgem ao problema de fechamento da turbulênca, que é atualmente resolvdo com os dtos modelos de turbulênca. Dferentes metodologas têm sdo empregadas na modelagem da turbulênca dos fludos, modelos baseados no conceto de RANS (Reynolds Averaged Naver-Stokes) são consderados os mas prátcos e usuas modelos de turbulênca exstentes (Kapada e Roy, 2003). Os modelos RANS são obtdos decompondo as varáves dependentes da equação de Naver-Stokes em componentes fltradas e componentes flutuantes e então se fltra todos os termos. Como fo vsto faz-se necessáro o uso de suposções adconas para o problema de fechamento, ou seja, modelos de turbulênca. Uma termnologa bastante comum encontrada na lteratura é URANS (Unsteady RANS) usada para se referr a modelos do tpo RANS que tveram termos transentes ncorporados a sua formulação, maores detalhes sobre esta nomenclatura pode ser encontrado em Slvera-Neto et al. (2002). Outra metodologa denomnada LES é flosofcamente mas próxma a DNS do que a URANS. Na metodologa LES as maores estruturas são resolvdas por equações fltradas e somente as menores estruturas são modeladas, uma vez que estas são mas homogêneas e sotrópcas (Slvera- Neto, 2003). A escala das pequenas estruturas é determnada pelo tamanho da manha usada para a solução das equações fltradas, ou seja, a largura do fltro torna-se uma função da malha. Desta forma as estruturas turbulentas que são menores do que a resolução da malha são modeladas pelos chamados modelos sub-malha. A metodologa DES proposta por Spalart et al. (1997), trata-se de um método concetual de modelagem híbrda e não está lgado a nenhum modelo específco de turbulênca. A déa é combnar as melhores característcas das metodologas URANS e LES em um únco modelo de turbulênca. Um modelo do tpo URANS é utlzado nas regões perto das paredes, onde esta classe de modelos mostra bons resultados com uma menor resolução de malha quando comparado com a metodologa LES. Já para regões dstantes das paredes, usam-se modelos LES, uma vez que esta metodologa consegue capturar com um maor nível de detalhes as estruturas físcas do escoamento. No presente trabalho foram empregadas três dferentes metodologas de modelagem da turbulênca: URANS, DES e LES. Foram usados dos modelos de turbulênca, o modelo sub-malha de Smagornsky e o modelo de turbulênca de Spalart-Allmaras usado no contexto de URANS e DES. As formulações destes modelos são dscutdas nas seções seguntes Modelo Sub-malha de Smagornsky Neste trabalho é utlzado o modelo de turbulênca proposto por Smagornsky (1963), para a metodologa LES. Este modelo sub-malha é baseado no balanço entre a produção de energa cnétca turbulenta e a dsspação sotrópca da energa turbulenta. A vscosdade turbulenta é calculada em função da taxa de deformação (S j ) e da escala de comprmento (l): ν = (C ) 2S S, (12) 2 t s j j onde C S = 0,18 é a constante de Smagornsky e = x y é o comprmento da escala sub-malha Modelo de Spalart-Allmaras Spalart e Allmaras (1994) propuseram um novo modelo (S-A) do tpo URANS a uma equação de transporte para o cálculo da vscosdade turbulenta. A equação para a vscosdade turbulenta é construída usando prncpalmente consderações empírcas de dferentes tpos de escoamentos, análse dmensonal e aplcando o prncípo da relatvdade de Galleu para a vscosdade turbulenta. Este modelo tem sdo usado com bastante sucesso na smulação de escoamentos aerodnâmcos. O modelo S-A usa uma varável de trabalho ν dada pela segunte equação de transporte:

6 2 ν (u jν ) ν 1 ν ν ν + = cb 1S ν cw f w + ( ν + ν ) + c b2, t xj dw σ x j x j xj xj (13) onde os termos do lado dreto representam, respectvamente: a produção de vscosdade turbulenta, termo de destrução que reduz a vscosdade turbulenta junto à parede, termo de dfusão da vscosdade turbulenta e molecular, sendo o ultmo termo representa a dsspação da vscosdade turbulenta. O modelo S-A orgnal nclu termos responsáves pela transção suave do regme lamnar para o turbulento, no presente trabalho tas termos estão sendo neglgencados. A vscosdade turbulenta é defnda em termos da varável de trabalho ν e de uma função de parede f v1, dadas por: 3 χ ν ν = ν f, f = e χ. (14) ν t v1 v1 3 3 χ + cv 1 O parâmetro S, presente no termo de produção da Eq. (13), pode ser escrto como: S ν χ S f e f. (15) χ f + 2 v2 v2 = 1 ( κ dw ) 1+ onde d w é à dstânca até a parede mas próxma e S o módulo da taxa de deformação, dada por: S =. (16) 2S j S j A função de destrução junto à parede f w é: 6 1/ 6 + c w3 6 ν 6 6 w2 ( ) w3 κ w 1 fw = g, g = r+ c r r e r. (17) g c S d As demas constantes do modelo são: v1 ( 1+ 2 ) σ c = +, c = 03,, c = 2, c b 1 c b w1 2 w2 w3 κ κ = 0, 41, c = 7, 1, σ = 2 / 3, c = 0, 1355, c = 0, 622 v1 b1 b 2. (18) O modelo S-A fo orgnalmente baseado na flosofa URANS, neste modelo à dstânca até parede mas próxma d w é usada como comprmento de escala. Entretanto, na formulação DES do modelo S-A a varável d w é substtuída por um novo comprmento de escala d, defndo como: ( ) ( ) d mn d,c onde max x, y. (19) w DES Se d = dw, sto é, na regão de camada lmte o modelo age no modo URANS. Nas regões longe das paredes, o comprmento de escala torna-se dependente da malha d = CDES e o modelo opera em seu modo LES. Isto pode ser vsto quanto os termos de produção e destrução do modelo S-A estão balanceados ele atua de manera smlar ao modelo sub-malha de Smagornsky ( ν 2 S ). Shur et al. (1999) ajustou a constante adconal do modelo C DES = 0,65 para o caso de turbulênca homogênea, este valor é usado neste trabalho sem modfcações.

7 4. MÉTODO NUMÉRICO As equações governantes, Eq. (1) e (2), foram dscretzadas no espaço usando o método de dferenças fntas centradas e no tempo pelo método de Runge-Kutta de segunda ordem. O acoplamento pressão-velocdade feto pelo método dos passos fraconados, como proposto por Armfeld e Street (1999), que consste em resolver o segunte sstema de equações: ( uu ) n n+ 1 n n n n 1 p j u j n = + ( ν + νt) + + t ρ x xj x j xj x u u u f, (20) 2 n+ 1 n+ 1 ϕ ρ u j = x x t x j j j n+ 1 n+ 1 n+ 1 t ϕ u = u, ρ x, (21) (22) n 1 n n 1 p + = p + ϕ +. (23) O sstema lnear para a correção de pressão é resolvdo usando o MSI (Modfed Strongly Implct Procedure) proposto por Schneder e Zedan (1981). Observe que o cálculo do campo de força sobre a nterface e a solução das equações de momento são fetos de manera explícta O domíno de cálculo é mostrado na representação esquemátca da Fg. (2), que tem comprmento de 50d e largura de 25d, dscretzado por uma malha eulerana unforme de 800 x 400 pontos. O clndro merso tem dâmetro gual a d com o centro posconado a 16,5d da entrada do domíno e a 12,5d na vertcal. Fgura 2: Esquema do domíno de cálculo. Um perfl de velocdade constante gual a U fo mposto na entrada do domíno, de manera que o escoamento se desenvolva da esquerda para a dreta. Nas demas faces do domíno foram mpostas condções de Neumann para a velocdade. Para a correção de pressão, fo mposto dervada nula na entrada e zero nas demas faces. 5. RESULTADOS E DISCUSSÕES Nesta seção são apresentados alguns resultados prelmnares para o escoamento b-dmensonal sobre um clndro crcular estaconáro. O clndro merso é representado pelo método MFI/MFV. Três modelos de turbulênca (S-A/URANS, S-A/DES e Smagornsky/LES) foram empregados para a smulação de dos dferentes números de Reynolds: 3 x 10 3 e 1 x Um teste caso a Re D = 6 x 10 5 (drag crss) fo também smulado usando o modelo S-A baseado no conceto de URANS.

8 A Fgura (3) mostra a vscosdade efetva e os campos de vortcdade para o escoamento a Re D = 1 x A vscosdade efetva perto da parede calculada pelo modelo URANS tem a mesma magntude da vscosdade molecular (ν = 1 x 10 3 ), para regões à jusante do clndro, regão da estera, a vscosdade efetva assume valores elevados. Inbndo o desprendmento de vórtces como pode ser observado na Fg. (3-b). Dferentemente, a vscosdade efetva calculada pelo modelo de Smagornsky apresenta elevados valores nas regões paretas. Isto é devdo ao fato que o modelo de Smagornsky não amortece a vscosdade turbulenta perto das paredes (esta é uma defcênca do modelo). Como se sabe este comportamento não é fscamente consstente, porque as regões de camada lmte apresentam velocdades relatvamente baxas e conseqüentemente não deveram apresentar altos valores para a vscosdade efetva. Altos valores da vscosdade efetva perto da parede podem causar o descolamento prematuro da camada lmte, não é muto bem observado em escoamentos em torno de clndros devdo as característcas geométrcas destes corpos. De fato smulações prelmnares do escoamento sobre aerofólos NACA 0012 mostram que a metodologa LES conduz a um descolamento prematuro da camada lmte mesmo para baxos ângulos de ataque. Entretanto, para regões dstantes das paredes LES consegue capturar um espectro maor de fenômenos físcos, como mostrado na Fg. (3-b) observe que para LES as estruturas formadas atrás do clndro são mas coerentes. A metodologa DES mostra um comportamento ntermedáro entre LES e URANS. A vscosdade efetva calculada pelo modelo S-A/DES, na regão da estera é menos ntensa que os valores calculados pelo modelo S-A tradconal (URANS), como conseqüênca pode-se vsualzar os vórtces sendo transportados pelo escoamento, entretanto a metodologa DES apresenta maor vscosdade efetva do que LES nesta regão do escoamento. O modelo S-A/DES calculou valores máxmos da vscosdade efetva na zona próxma as paredes do corpo merso (assm como o modelo de Smagornsky). Mas estes altos valores estão concentrados somente sobre uma pequena regão da parede onde ocorre um elevado nível de tensão, para todos os outros pontos da parede DES fornece resultados smlares a modelagem URANS, sto é, vscosdade turbulenta próxma de zero. Fgura 3: Campos para Re D = 1 x 10 4 : (a) vscosdade efetva (b) campo de vortcdade.

9 Fgura 4: Campos para Re D = 1 x 10 4 : (a) correção da pressão (b) lnhas de corrente. A vsualzação do campo de pressão e das lnhas de corrente para os dferentes modelos de turbulênca são mostrados na Fg. (4), para o escoamento a Re D = Observa-se que para todas modelagens as lnhas de corrente, Fg. (4-b), desvam-se do corpo vrtualmente merso, dando orgem a bolhas de recrculação nstáves. Nota-se também a nfluênca dos modelos de turbulênca sobre os vórtces, as lnhas de corrente apresentam-se mas suaves e com uma menor ampltude à medda que se camnha dos resultados do modelo LES para o modelo URANS. Os perfs da componente horzontal da velocdade extraídos sobre o clndro (Re D = 1 x 10 4 ) são mostrados na Fg. (5). Os resultados dos três modelos de turbulênca são smlares, calculando bem a camada lmte. Para os dos últmos perfs LES apresentou maores osclações porém com pequenas ampltudes. Fgura 5: Perfs de velocdade em dferentes secções do clndro merso.

10 O coefcente de arraste médo (C D ) fo calculado para todos os casos smulados, os resultados são apresentados na Tab. (1). Fo também calculada a freqüênca admensonal de desprendmento de vórtces, número de Strouhal (St), o qual é apresentado na Tab. (2). Tabela 1: Coefcente de arraste médo Número de Reynolds Presente Trabalho Sucker e Brauer URANS DES LES (Correlação Empírca) 3 x ,976 1,194 1,164 0,936 1 x ,977 1,266 1,159 1,091 6 x ,959 Os valores do coefcente de arrasto obtdos pelo modelo URANS apresentaram uma boa concordânca com relação aos valores da correlação empírca de Sucker e Brauer (Whte, 1991), já os resultados para o C D obtdos pelas metodologas LES e DES fcaram relatvamente maores. Para o caso a Re D = 6 x 10 5, smulado com o modelo URANS o C D superestma os resultados expermentas meddos por Weselsberger (C D abaxo de 0,4, Schlchtng, 1979). Como a crse do arrasto está assocada a transção da camada lmte para o regme turbulento, fenômeno tpcamente trdmensonal, e portanto dfícl de ser smulado corretamente por uma aproxmação bdmensonal. Tabela 2: Número de Strouhal calculado Número de Reynolds Presente Trabalho URANS DES LES 3 x ,202 0,217 0,229 1 x ,196 0,214 0,235 6 x ,188 Os resultados para o St obtdos nas smulações do presente trabalho mostraram um bom ajuste com relação aos resultados da lteratura. Para esta faxa de Reynolds (10 3 Re D 10 5 ) o St é aproxmadamente constante em torno de 0,2. A varação dos valores calculado para St entre as dferentes metodologas de modelagem da turbulênca provavelmente está assocado as própras característcas de cada metodologa. Como menconado anterormente, modelos do tpo URANS capturam

11 8. REFERÊNCIAS Armfeld, S. e Street, R., 1999, The Fractonal-Step Method for the Naver-Stokes Equatons on Staggered Grds: The Accuracy of Three Varatons, Journal of Computatonal Physcs, 153. Arruda, J. M. (2004). Modelagem Matemátca de Escoamentos Internos Forçados Utlzando o Método da Frontera Imersa e o Modelo Físco Vrtual. Ph. D. thess, UFU. Germano, M. (1986). A proposal for a redefnton of the turbulent stresses n fltred naver-stokes equatons. Phys.Fluds 29(7), Kapada, S. and S. Roy (2003). Detached eddy smulaton over a reference ahmed car model. In Proceedngs of the 41st Aerospace Scences Meetng and Exhbt, Number AIAA Km, J., D. Km, and H. Cho (2001). An mmersed-boundary fnte-volume method for smulatons of flow n complex geometres. Journal of Computatonal Physcs 171, Lma e Slva, A. L. F., A. R. Slva, and A. Slvera-Neto (2004). Numercal smulatons of twodmensonal complex flows over bluff bodes usng the mersed boundary method. Unpublshed. Lma e Slva, A. L. F., A. Slvera-Neto, and J. J. R. Damasceno (2003). Numercal smulaton of two dmensonal flows over a crcular cylnder usng the mmersed boundary method. Journal of Computatonal Physcs 189, Olvera, J. E. S., A. F. L. Lma e Slva, G. Gumarães, and A. Slvera-Neto (2004). Smulação numérca do escoamento a baxo reynolds sobre um clndro de dâmetro varável usando MFI / MFV. 10º Brazlan Congress of Thermal Scences and Engneerng. Peskn, C. S. (1977). Numercal analyss of blood flow n the heart. Journal of Computatonal Physcs 25, Schlchtng, H. (1979). Boundary-Layer Theory. New York, USA: McGraw-Hll Book Company. Schneder, G. E. and M. Zedan (1981). A modfed strongly mplct procedure for the numercal soluton of feld problems. Numercal Heat Transfer 4, Shur, M., P. Spalart, M. Strelets, and A. Travn (1999). Detached-eddy smulaton of an arfol at hgh angle of attack. In 4th Int. Sym. on Eng. Turbulence Modellng and Measurements. Slva, A. R., G. B. Carvalho, S. S. Lma e Slva, A. F. L. Mansur, and A. Slvera-Neto (2004). Modelagem matemátca e smulação numérca de escoamentos sobre corpos móves utlzandose o método da frontera mersa. 10º Brazlan Congress of Thermal Scences and Engneerng. Slvera-Neto, A. (2003). Introdução Turbulênca dos Fludos, Apostla do Curso de Pós-Graduação em Eng. Mecânca. LTCM/FEMEC/UFU. Slvera-Neto, A., S. S. Mansur, and J. M. Slvestrn (2002). Equações da turbulênca: Méda versus fltragem. In Anas da 3º Escola de Turbulênca, Floranópols - SC. Smagornsky, J. (1963). General crculaton experments wth prmtve equatons. Monthly Weather Revew 91, Spalart, P. R. and S. R. Allmaras (1994). A one-equaton turbulence model for aerodynamc flows. La Recherche Aérospatale 1, Spalart, P. R., W.-H. Jou, M. Strelets, and S. R. Allmaras (1997). Comments on the feasblty of LES for wngs, and on a hybrd RANS/LES approach. In Advances n DNS/LES, 1st AFOSR Int. Conf. On DNS/LES, Columbus, Oho. Greyden Press. Whte, F. M. (1991). Vscous Flud Flow. New York, USA: McGraw-Hll Book Company.

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