APLICAÇÃO DE DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL EM PROBLEMAS DE BIOENGENHARIA

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1 APLICAÇÃO DE DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL EM PROBLEMAS DE BIOENGENHARIA Julano Marcelo de Arruda Unversdade Federal de Uberlânda, Faculdade de Engenhara Mecânca Ana Lúca Fernandes de Lma e Slva Unversdade Federal de Uberlânda, Faculdade de Engenhara Mecânca alernandes@mecanca.uu.br Arsteu da Slvera Neto Unversdade Federal de Uberlânda, Faculdade de Engenhara Mecânca arsteus@mecanca.uu.br Aleandre Megorn Roma Unversdade de São Paulo, Insttuto de Matemátca e Estatístca roma@me.usp.br Resumo. Smulação de Grandes Escalas (SGE) e o Método da Frontera Imersa são propostas para a smulação de escoamentos sangüíneos em Dspostvos de Assstênca Ventrcular (DAV). Na análse destes escoamentos, que ocorrem a Re de apromadamente 7000, az-se necessáro um modelo de turbulênca para que se possa capturar zonas de recrculação e zonas de altas tensões csalhantes. Estas zonas são ndesejáves pos proporconam a morte de células sangüíneas através dos processos de trombogênese (ormação de trombos) e de hemólse (ruptura das células). Apresenta-se neste trabalho resultados prelmnares da smulação de escoamentos em geometras representatvas de dspostvos de bombeamento sangüíneo, tas como câmaras (cavdades) e tubos (canas). Palavras chave: método da rontera mersa, canas, derenças ntas, rontera móvel.. Introdução Os dversos tpos de dspostvos de bombeamento sangüíneo desenvolvdos são utlzados em algumas aplcações especícas, sendo estas: a assstênca ventrcular no pré e no pós operatóro, momentos nos quas é necessáro manter a pressão e o luo sangüíneo em níves sológcos (pré-operatóro) ou aular a unção cardíaca até a recuperação total do coração (pós-operatóro); a crculação etra-corpórea, quando o dspostvo substtu as unções cardíacas e pulmonares; a assstênca ventrcular enquanto da espera de um transplante cardíaco sem um doador dsponível; a mplantação, em paralelo ao coração natural, de um Coração Artcal Aular (CAA) aulando o coração em suas unções e a mplantação do Coração Artcal Total (CAT), quando o coração é totalmente substtuído. Dentre os desaos encontrados para utlzar estes dspostvos com sucesso, estão as reduções dos potencas trombogênco e hemolítco. Pelo prmero entende-se a ormação de trombos a qual é determnada, entre outros motvos, pela própra característca do escoamento no local em que o mesmo ocorre. A regão na qual ocorre a ormação de trombos compreende pontos de estagnação e células de recrculação, levando à uma coagulação mas ecente do sangue, o que propca a ormação dos trombos. O potencal hemolítco trata da morte das células sangüíneas através do rompmento destas, o que pode ser orgnado pela estênca de grandes gradentes de velocdade, grandes derencas de pressão e, em escoamentos turbulentos, pela dsspação vscosa dos turblhões. Entretanto um bao nível de turbulênca é desejável pos assm uma porção do ludo que esteja estaconára ou em recrculação pode ser devolvda ao escoamento prncpal. Alguns pesqusadores tem realzado estudos numércos em modelos de CAT, porém a maora consdera o escoamento em regme lamnar. Nerem et al. apud Köng et al. (999) sugerram que o escoamento na Aorta, consderando a teora de camada lmte, pode ter o número de Renolds crítco epresso em unção do número de Womersle,, dado por, R () onde R é o rao da bomba, a velocdade angular e a vscosdade cnemátca. Köng et al (999), smularam o escoamento estaconáro em um modelo de assstênca ventrcular (DAV), cujo maor valor obtdo para o número de Re o de 00, nos tubos de entrada (njeção de ludo) e saída (ejeção de ludo) do DAV. Segundo o crtéro proposto por Nerem et al., o número de Re crítco para o caso deles estara dentro de uma aa de 00 a 60. Mesmo com o maor valor do número de Re estando dentro da aa proposta, e sabendo que uma epansão súbta do escoamento, como da entrada do escoamento numa câmara pode transconar a um número de Re de 75, eles consderaram o escoamento como lamnar. Chesler e Kamm apud Köng et al. (999), e Rogers et al.

2 apud Köng et al. (999), também smularam casos consderando o escoamento como lamnar. Km et al. apud Köng et al. (999) smularam o escoamento em um CAT tanto para regme lamnar quanto para turbulento, tendo como smplcações um modelo bdmensonal e de paredes estaconáras. No presente trabalho, dvddo em duas etapas, apresenta os prmeros resultados para a construção de um modelo numérco de um CAA em duas dmensões que contenha modelagem para turbulênca e para paredes móves, com a proposta de se chegar a um modelo D. Na prmera etapa apresenta-se um escoamento em um canal sobre uma cavdade. Este caso, cuja geometra o smulada utlzando-se condções de contorno clásscas, Neumann para as paredes e Drchlet para entrada e saída do canal, permtu avalar o códgo computaconal desenvolvdo, tendo sdo mplementado o modelo sub-malha para SGE. Na Segunda etapa apresenta-se os casos para dos tpos de escoamento em um canal: escoamento de Couette e escoamento de Couette-Poseulle. Para estes casos a geometra do canal, que tem a parede superor em movmento, o smulada utlzando-se o Método da Frontera Imersa (Pesn, 977), e para modelar a orça, o Modelo Físco Vrtual (Lma e Slva, 00).. Modelo Físco e Matemátco.. Equações Governantes Consdera-se um escoamento ncompressível, sotérmco, de ludo newtonano em um domíno retangular. As equações governantes são as de conservação da massa e de Naver-Stoes, dadas respectvamente por: V 0, () V T V V p e V V F, () t onde e, é a vscosdade cnemátca eetva e F é um termo adconal de orça. A vscosdade cnemátca eetva é dada por:, () e t sendo t a vscosdade turbulenta e a vscosdade molecular. A vscosdade t é dada por t c ls S /, (5) s j j sendo c s a constante de Smagorns, determnada emprcamente, l o comprmento característco sub-malha de Smagorns, e Sj o tensor deormação [Padlla, 000]. O termo de orça F é eplcado mas detalhadamente no tem a segur. Na prmera etapa do trabalho, onde a geometra é modelada utlzando condções de Neumann e Drchlet e a modelagem da turbulênca se az necessára, e é calculada, e o termo de orça F é tomado como nulo. Na Segunda etapa do trabalho, escoamentos em canas, os casos oram smulados a bao números de Re, sendo t gual a zero. Quanto ao termo de orça, este passa a ser calculado, uma vez que a geometra do canal passa a ser modelada segundo o Método da Frontera Imersa... Modelo Físco Vrtual O termo F representa o campo de orça eulerano, dado por: F, (6) d onde são os pontos lagranganos, é a densdade de orça lagrangana e é a unção Delta de Drac. A densdade de orça lagrangana é calculada através dos termos da equação de Naver-Stoes sobres os pontos lagranganos, e é denda por onde,, (7) a p

3 t V a, (8) V V, (9) V, (0) p p, () são respectvamente os termos de aceleração, nercal, vscoso e de pressão. Estes termos são avalados sobre a própra nterace, usando os campos de velocdade e pressão do própro escoamento. Observa-se que sobre a nterace as velocdades euleranas V e lagranganas V devem ser guas, satsazendo assm a condção de não deslzamento. Uma vez obtdas as dervadas espacas da pressão e da velocdade através das Eqs. () e (), elas são nterpoladas para os pontos prómos da nterace, como pode ser vsto na Fg. (). Fgura. Esquema de nterpolação para a velocdade e a pressão. As dervadas da velocdade e da pressão são resolvdas através da apromação por um polnômo de Lagrange de ª ordem, as quas, na sua orma geral, são dadas por, (), (), (). (5) Uma vez calculada a densdade de orça lagrangeana, esta é dstrbuída para os pontos euleranos da regão de nteresse do escoamento, como pode ser vsto na Fg. (), a partr de uma unção de dstrbução D j, tal que, j j D F. (6) Jurc (966) sugeru que esta unção dstrbução seja denda por / / h h h D j j, (7)

4 r se r r r se r, (8) 0 se r com r r r r, (9) 8 onde r pode ser tomado como ( - )/h ou ( - )/h, e h é o tamanho da malha eulerana. F Fgura. Dstrbução do campo de orças lagrangeanos para o campo de orça eulerano.. Método Numérco As Equações () e () oram dscretzadas va derenças ntas, com um esquema centrado de segunda ordem no espaço, e com um esquema de Euler de prmera ordem no tempo. O acoplamento pressão-velocdade é realzado pelo método de correção da pressão de segunda ordem (Armeld e Street, 999), e o sstema lnear dele resultante o resolvdo usando o método MSI, Moded Strongl Implct Procedure, (Schneder e Zedan, 98).. Resultados. Escoamento em um canal sobre uma cavdade Foram realzados testes com uma malha de 60 80, cujos resultados oram comparados com os obtdos por Snha et.al. (98), em testes epermentas com escoamento a um número de Renolds de apromadamente 00. As dmensões da cavdade são altura h = 0,05, e comprmento também h. As dmensões do canal são altura: h e comprmento 8h, sendo o comprmento da entrada h, e o da saída 6h.São mostrados a segur as lnhas de corrente e o perl de velocdade méda do escoamento. p presente trabalho Snha et al p Fgura Lnhas de corrente e perl de velocdade em /b = 0.5

5 . Escoamento em canas Aplcando o método da Frontera Imersa e o Modelo Físco Vrtual, oram smulados derentes escoamentos em um canal, a derentes números de Re, objetvando a valdação desta metodologa para geometras planas, as ou móves. O MFV o utlzado para smular as paredes do canal. As dmensões do canal são altura h = 0,5 e comprmento h. Fo utlzada uma malha de pontos. Observa-se anda que a altura h do canal reere-se à dstânca das paredes vrtuas, e não a altura de todo o domíno (h d ), que é gual a 0,6. O número de Re é dendo então em relação à altura h do canal, ou seja, em relação à dstânca das paredes vrtuas do canal, modeladas pelo Método da Frontera Imersa e pelo Modelo Físco Vrtual. Os escoamentos smulados oram: Couette e Couette-Poseulle. São apresentados os campos de orça, de velocdade, os pers de velocdade e os coecentes de atrto para derentes números de Re. Os dos últmos são comparados com resultados analítcos... Escoamento de Couette Fgura. Campo de orça componente horzontal; Re 50 Fgura 5. Campo de velocdade componente horzontal; Re 50

6 Fgura 6. Perl de velocdade numérco analítco; Re 50 Fgura 7. Pers de velocdades para derentes números de Re Fgura 8. Pers de coecentes de atrto para derentes números de Re

7 Fgura 9. Coecentes de atrto Re - numérco e analítco O coecente de atrto é dendo como u, (0) onde é a tensão csalhante, e u a velocdade méda no nteror do canal. A tensão csalhante analítca é dada por: u. () A tensão csalhante numérca é obtda multplcando-se a orça por undade de volume que o ludo eerce na rontera por d. É mportante salentar que ao se calcular a orça, o valor obtdo é reerente às orças atuantes nos dos lados da parede vrtual, sso quer dzer que tem-se escoamento nos dos lados de cada parede vrtual. Devdo a sso, ao se calcular a tensão csalhante analítca, deve-se levar em consderação os dos pequenos canas, cujas alturas são guas a 0,05, que estão adjacentes ao canal prncpal. Portanto o coecente de atrto é dendo em unção da tensão csalhante do ludo de ambos os lados da parede, e da velocdade méda do escoamento no nteror do canal prncpal... Escoamento de Couette-Poseulle Fgura 0. Campo de orça componente horzontal; Re 5

8 Fgura. Campo de velocdade componente horzontal; Re 5 Fgura. Perl de velocdade numérco analítco; Re 5 Fgura. Pers de velocdade para derentes números de Re

9 Fgura. Pers de coecente de atrto para derentes números de Re Fgura 5. Coecentes de atrto Re numérco e analítco No escoamento de Couette-Poseulle são calculados dos coecentes de atrto, relatvos às paredes neror e superor do canal, uma vez que as tensões csalhantes em cada parede são derentes. As mesmas observações etas para o cálculo do coecente de atrto no caso do escoamento de Couette são váldas aqu também. 5. Conclusões Os resultados obtdos, usando as metodologas propostas, Smulação de Grandes Escalas e Método da Frontera Imersa, apresentam erros da ordem de %. Estes resultados permtem prossegur para o prómo passo, a

10 mplementação das duas metodologas smultaneamente, para a smulação de escoamentos turbulentos em geometras compleas com ronteras móves. 6. Agradecmentos Os autores agradecem ao CNPq pelo suporte nancero conceddo. 7. Reerêncas Armeld, S., Street, R. - The Fractonal-Step Method or the Naver-Stoes on Staggered Grds: The Accurac o three Varatons. NOTE. Journal o computatonal Phscs, 5, , 999. Jurc, D. - Computaton o Phase Change. Ph.D. Thess, Mechancal Engneerng, Unverst o Mchgan, 996. Köng, C.S., Clar, C., Mohtarzadeh-Dehghan, M.R. - Investgaton o Unstead Flow n a Model o a Ventrcular Assst Devce b Numercal Modellng and Comparson wth Eperment. Medcal Engneerng & Phscs,, 5-6, 999. Lma e Slva, A. L. F. - Desenvolvmento e Implementação de uma Nova Metodologa para Modelagem de Escoamento sobre Geometras Compleas: Método da Frontera Imersa com Modelo Físco Vrtual. Tese de Doutorado, FEMEC/UFU, Uberlânda, 00. Padlla, E.L.M. - Smulação Numérca de Grandes Escalas com Modelagem Dnâmca, Aplcada à Convecção Msta, Dssertação de Mestrado, FEMEC/UFU, Uberlânda, 000. Patanar, S. V. - Numercal Heat Transer and Flud Flow, ª ed., Hemsphere Publshng Corporaton, 980. Pesn, C.S., - Numercal analss o blood low n the heart, Journal o. Computatonal Phscs, 5,0-5, 977. Schneder, G. E., Zedan, M. - A Moded Strongl Implct Procedure For The Numercal Soluton o Feld Problems. Numercal Heat transer,, -9, 98. Snha, S. N., Gupta, A. K. e Obera, M. M. - Lamnar Separatng Flow Over Bacsteps and Cavtes, Part II: Cavtes, AIAA Journal, 0,, 70-75, 98. COMPUTATIONAL FLUIDS DYNAMIC APPLICATIONS IN BIOENGINEERING PROBLEMS Julano Marcelo de Arruda Federal Unverst o Uberlânda, College o Mechancal Engneerng jmarruda@mecanca.uu.br Ana Lúca Fernandes de Lma e Slva Federal Unverst o Uberlânda, College o Mechancal Engneerng alernandes@mecanca.uu.br Arsteu da Slvera Neto Federal Unverst o Uberlânda, College o Mechancal Engneerng arsteus@mecanca.uu.br Aleandre Megorn Roma Unverst o São Paulo, Mathematcs and Statstcs Insttute roma@me.usp.br Abstract.. Large Edd Smulaton (LES) and Immersed Boundar Method are used to smulate blood lows n Ventrcular Assst Devce (VAD). For these tpe o lows, whose occur at Re o 7000, a turbulence model s necessar to trac lows recrculaton regons and hgh shear stresses regons. These regons are undesrable because the lead to the Trombogenss (thrombus ormaton) and Hemolss (red cells damages). The goal o ths paper s to present the earl results o lows n representatve geometres o blood pump, such as chambers (cavtes) and tubes (channels). Kewords. mmersed-boundar method, channels lows, cavtes lows, nte-derence method, movng boundar