UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NO ESCOAMENTO EM DUTOS BIDIMENSIONAIS DE GEOMETRIA IRREGULAR NA FORMA SENOIDAL HELDER KIYOSHI MIYAGAWA BELÉM PA 04

2 A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NO ESCOAMENTO EM DUTOS BIDIMENSIONAIS DE GEOMETRIA IRREGULAR NA FORMA SENOIDAL HELDER KIYOSHI MIYAGAWA DISSERTAÇÃO APRESENTADA À COORDENAÇÃO DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA COMO PARTE DOS REQUISITOS PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE MESTRE EM ENGENHARIA QUÍMICA ÁREA DE CONCENTRAÇÃO: MODELAGEM E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS ORIENTADOR: PROF. DR. JOÃO NAZARENO NONATO QUARESMA UFPA BELÉM PA 04

3 Dados Internaconas de Catalogação na Publcação (CIP) Magawa, Helder Kosh A técnca da transformada ntegral generalzada no escoamento em dutos bdmensonas de geometra rregular na forma senodal / Helder Kosh Magawa Orentador: João Nazareno Nonato Quaresma; Dssertação (Mestrado) Unversdade Federal do Pará. Insttuto de Tecnologa. Programa de Pós-Graduação em Engenhara Químca, 04.Transformadas ntegras. Naver-Stokes, Equações de 3. Mecânca dos I. Título CDD.ed. 55

4 HELDER KIYOSHI MIYAGAWA A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NO ESCOAMENTO EM DUTOS BIDIMENSIONAIS DE GEOMETRIA IRREGULAR NA FORMA SENOIDAL DATA DA AVALIAÇÃO: 8/0/04 CONCEITO: Dssertação apresentada à Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Engenhara Químca (PPGEQ) da Unversdade Federal do Pará (UFPA) como parte dos requstos para obtenção do Título de mestre em Engenhara Químca. Orentador: Prof. Dr. João Nazareno Quaresma (PPGEQ/ITEC/UFPA) Membro: Prof. Dr. Emanuel Negrão Macêdo (PPGEQ/ITEC/UFPA) Membro: Prof. Dr. Leandro Alcoforado Sphaer (PPGEM / UFF) Membro: Profª. Drª. Roseane de Lma Slva UFPA (Campus de Ananndeua/UFPA) Belém - PA 04

5 v AGRADECIMENTOS A Deus. À toda mnha famíla pelo apoo, amor, confança e dsponbldade em todos os momentos, pela compreensão nos momentos de ausênca. Ao professor João Nazareno Nonato Quaresma pela orentação, amzade e sobretudo pelo apoo e dedcação durante todo o período de desenvolvmento desse trabalho. Ao professor Emanuel Negrão Macêdo pelo apoo e suas contrbuções valosas no desenvolvmento desse trabalho. Ao professor Leandro Alcoforado Sphaer por acetar partcpar na banca e contrbur na dscussão e certamente no enrquecmento deste trabalho. À professora Roseane de Lma Slva por acetar partcpar na banca e contrbur na dscussão e certamente no enrquecmento deste trabalho. Aos colegas do LSP/UFPA pelo apoo e companhersmo durante o período deste trabalho. Aos colegas de sala e dscentes do PPGEQ/UFPA Elenlson Cabral e Fábo Pontes pelo apoo e companhersmo durante o desenvolvmento do referdo trabalho. Aos colegas do Programa de Pós-Graduação em Recursos Naturas (PRODERNA) pelo apoo durante o período desse trabalho. À CAPES e ao CNPq pelo apoo fnancero conceddo.

6 Sumáro CAPÍTULO - INTRODUÇÃO.... MOTIVAÇÃO.... OBJETIVOS....3 CONTRIBUIÇÃO DA DISSERTAÇÃO....4 SÍNTESE DO TRABALHO... 3 CAPÍTULO - REVISÃO DA LITERATURA DUTOS IRREGULARES TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA (GITT)... 9 CAPÍTULO 3 - FORMULAÇÃO MATEMÁTICA E METODOLOGIA DA SOLUÇÃO FORMULAÇÃO MATEMÁTICA METODOLOGIA DE SOLUÇÃO Determnação do fltro Determnação do Problema de Autovalor Par Transformada-Inversa Transformação Integral do Problema ALGORITMO COMPUTACIONAL Cálculo do Jacobano Condções de contorno... 7 CAPÍTULO 4 - RESULTADOS E DISCUSSÃO ANÁLISE DO ESCOAMENTO NO TUDO COM PAREDE ONDULADA VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS CAPÍTULO 5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO A ANEXO B... 6 ANEXO C ANEXO D... 7 v

7 v ÍNDICE DE FIGURAS Fgura 3.: Duto rregular... Fgura 3.: Condção de contorno na entrada do canal... 7 Fgura 3.3: Condções de Contorno para o duto truncado com perfl completamente desenvolvdo de entrada... 7 Fgura 4.: Parâmetros geométrcos do canal estudado... 3 Fgura 4.: Comparação entre as geometras do canal para H mn /H max = 0.3 com a razão de comprmento (λ/a) Fgura 4.3: Comparação entre as geometras do canal para λ/a =8 com a razão de aspecto (H mn /H max ) Fgura 4.4: Gráfco de comparação do perfl de velocdade com Hatham et al. (005) e Ramgada & Saha (0) para Re = 5, H mn /H max = 0.3, λ/a = Fgura 4.5: Gráfco de comparação do perfl de velocdade com Hatham et al. (005) e Ramgada & Saha (0) para Re = 00, H mn /H max = 0.3, λ/a = Fgura 4.6: Gráfco de comparação do perfl de velocdade com Hatham et al. (005) e Ramgada & Saha (0) para Re = 400, H mn /H max = 0.3, λ/a = Fgura 4.7: Comparação dos perfs de velocdade para Re = 400, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8 de acordo com o avanço dos módulos consderando o perfl da velocdade de entrada como totalmente desenvolvdo Fgura 4.8: Comparação dos perfs de velocdade para Re = 400, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8 de acordo com o avanço dos módulos consderando o perfl da velocdade de entrada como unforme Fgura 4.9: Isolnhas da função corrente para Re = 00, H mn /H max = 0.3, λ/a = Fgura 4.0: Isolnhas da função corrente para Re = 5, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8. A esquerda resultados obtdos pela GITT, a dreta resultados de Hatham et al. (005) Fgura 4.: Isolnhas da função corrente para Re = 00, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8. A esquerda resultados obtdos pela GITT, a dreta resultados de Hatham et al. (005)... 4 Fgura 4.: Isolnhas da função corrente para Re = 400, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8. A esquerda resultados obtdos pela GITT, a dreta resultados de Hatham et al. (005)... 4 Fgura 4.3: Gráfco das solnhas da função corrente para Renolds gual a 400 a confguração com H mn /H max = 0.7 e λ/a =

8 v Fgura 4.4: Gráfco das solnhas da função corrente para Renolds gual a 5 a confguração com H mn /H max = 0.3 e λ/a = Fgura 4.5: Gráfco das solnhas da função corrente para Renolds gual a 00 a confguração com H mn /H max = 0.3 e λ/a = Fgura 4.6: Gráfcos das solnhas da função corrente para Renolds gual a 400 a confguração com H mn /H max = 0.3 e λ/a = Fgura 4.7: Varação do comportamento no canal de acordo com a varação dos parâmetros geométrcos (da esquerda para a dreta λ/a = 4, 8 e 6 e de cma para baxo H mn /H max = 0.3, 0.5 e 0.7) Fgura 4.8: Gráfco do fator de atrto ao longo do duto para Renolds gual a 5 a confguração com H mn /H max = 0.3 e λ/a = Fgura 4.9: Gráfco do fator de atrto ao longo do duto para Renolds gual a 00 a confguração com H mn /H max = 0.3 e λ/a = Fgura 4.0: Gráfco do fator de atrto ao longo do duto para Renolds gual a 400 a confguração com H mn /H max = 0.3 e λ/a = Fgura C.: Escamento totalmente desenvolvdo em um canal de placas planas... 70

9 v ÍNDICE DE TABELAS Tabela 4.: Convergênca da função corrente para Re = 400, H mn /H max = 0.3, λ/a = Tabela 4.: Convergênca da função corrente para Re = 5, H mn /H max = 0.7, λ/a = Tabela 4.3: Convergênca da função corrente para Re = 5, H mn /H max = 0.3, λ/a = Tabela 4.4: Convergênca da função corrente para Re = 00, H mn /H max = 0.3, λ/a = Tabela 4.5:Convergênca da função corrente para Re = 400, H mn /H max = 0.3, λ/a =

10 x Resumo A Técnca da Transformada Integral Generalzada é aplcada na solução das equações de Naver-Stokes para um duto de geometra rregular na forma senodal em um escoamento ncompreensível e lamnar. Para sso, fo utlzada a formulação em termos de função corrente. Um fltro geral fo adotado que se adapta ao contorno rregular para aumentar a convergênca da solução. Foram analsadas dversas geometras modfcando-se a razão de comprmento (λ/a) e a razão de altura (H mn /H max ) para número de Renolds na faxa de 5 a 400. Para o mesmo número de Renolds elevando um dos dos parâmetros geométrcos a recrculação do escoamento é menor e a dmnução de um dos parâmetros eleva a recrculação do escoamento. A recrculação no caso onde λ/a = 6 e H mn /H max = 0.7 é pouco acentuada em Renolds = 400. Consderando a confguração onde λ/a = 4 e H mn /H max = 0.3 é possível gerar vortcdade em números de Renolds de baxo valor (Re = 5). O fator de atrto, baseado nas forças vscosas, calculado apresentou o mesmo comportamento dos trabalhos da lteratura. PALAVRAS-CHAVE: Técnca da Transformada Integral Generalzada, Naver-Stokes, geometra rregular.

11 x Abstract The Generalzed Integral Transform Technque s appled solve the Naver-Stokes equatons for an rregular geometr duct n snusodal shape n an ncomprehensble and lamnar flow. The formulaton was used n terms of current functon. A general flter has been adopted that adapts to the rregular contour to ncrease the convergence of the soluton. Dfferent geometres were analzed b modfng the length rato (λ/a) and the heght rato (H mn /H max ) for Renolds number n the range For the same Renolds number rsng one of the two geometrcal parameters the flow recrculaton s lower and the decrease of the parameters ncreases the flow recrculaton. The recrculaton for λ/a = 6 and H mn /H max = 0.7 s low n Renolds = 400. Consderng the confguraton where λ/a = 4 and H mn /H max = 0.3 the flow recrculaton s observed at low Renolds numbers (Re = 5). The frcton factor, based on the vscous forces, calculated showed the same pattern of the lterature. Kewords: Generalzed Integral Transform Technc, Naver-Stokes, rregular geometr.

12 x NOMENCLATURA a a j A j A jk B j B jk c c j C j C jk d j D j D jk e j E jk f j F jk f F(x,) g j G jk h j H H j H mn H max I I j j j Ampltude da superfíce ondulada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Parâmetro de contração de escala Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Fator de atrto Fltro aplcado na equação prncpal Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Altura méda entre as paredes do canal Coefcente da equação transformada Altura mínma do canal Altura máxma do canal Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Índce de termos na sére Índce de termos na sére Coefcente da equação transformada

13 x J j k k, k K jk L L j M n N N NTV NV O j p p * Q Re u *,u u 0 u F u m u v *,v x *,x x out *, *, *, Y Y Coefcente da equação transformada Índce de termos na sére Valores da função corrente nas paredes do duto rregular Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Coefcente da equação transformada Vetor normal à parede do canal Coefcente da equação transformada Norma Número de termos das expansões dos potencas de velocdade e função corrente Norma para o campo de velocdade Coefcente da equação transformada Campo de pressão, admensonal Campo de pressão, dmensonal Vazão volumétrca Número de Renolds baseado no dâmetro na altura méda entre as paredes do canal Componente do vetor velocdade na dreção x, dmensonal e admensonal, respectvamente Velocdade na entrada do canal Fltro utlzado para a velocdade Velocdade méda Potencal transformado do campo de velocdade Componente do vetor velocdade na dreção x, dmensonal e admensonal, respectvamente Coordenadas axas, dmensonal e admensonal, respectvamente Valor da coordenada axal na saída do canal, dmensonal Coordenadas longtudnas, dmensonal e admensonal, respectvamente Funções que defnem o contorno rregular, dmensonal Funções que defnem o contorno rregular, admensonal Autofunção dos campos de velocdade e função corrente Autofunção normalzada

14 x Letras Gregras α β ξ η λ μ τ ϕ ψ ω Ampltude da superfíce ondulada Autovalores do problema térmco Varável de transformação de domíno dos coefcentes da transformada Varável de transformação de domíno da transformada Comprmento de onda Autovalores do problema de quantdade de movmento Tensão na parede do canal Potencal de função corrente Transformada ntegral Função corrente Vortcdade

15 CAPÍTULO INTRODUÇÃO Este capítulo apresenta as motvações e objetvos que levaram ao estudo do escoamento lamnar em canas de paredes rregulares de fludos newtonanos com a aplcação da Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) nas equações de Naver-Stokes assocadas ao problema físco dscutdo.. MOTIVAÇÃO A modelagem matemátca para solução de problemas de escoamento de fludos basea-se nas equações de Naver-Stokes. O escoamento de fludos pode ser encontrado em váras aplcações relaconadas à ndústra em geral. Dentre elas, envolvendo prncpalmente fludos newtonanos ncluem o escoamento de líqudos em plantas de processamento químco, recrculação de água em torres de resframento, escoamento de ar no condconamento e ventlação de salas e resframento de equpamentos eletrôncos. Segundo Kundu (00), para a maora das geometras encontradas em trocadores de calor de escoamento transversal, a taxa de transferênca de calor por undade de área pode ser aumentada pelo aumento da velocdade de escoamento e esta taxa vara proporconalmente com a velocdade. A perda de energa por frcção também é aumentada com a velocdade do escoamento, mas neste caso, a energa vara proporconalmente com o cubo da velocdade. O projeto otmzado deve então levar em conta esse comportamento que permte combnar as especfcações tanto da taxa de transferênca de calor e do fator de atrto. A modelagem matemátca envolvda no processo de solução do problema abordado no projeto de tas processos é baseada nas equações de Naver-Stokes e da energa. Devdo à complexdade das equações de Naver-Stokes por seu caráter fortemente não lnear e acoplado a mesma só permte soluções analítcas ao assumrem-se hpóteses smplfcadas ou ao se consderar casos lmtes para o número de Renolds em condções muto específcas. Essas hpóteses mpedem a reprodução fel da realdade, mas são sufcentemente aproxmadas para número de Renolds elevados e em pontos dstantes da entrada. Ao longo dos anos sessenta e setenta métodos numércos foram desenvolvdos para a solução das equações completas de Naver-Stokes em paralelo com a evolução dos

16 computadores de alta velocdade. Dentre esses métodos destacam-se os de dferenças fntas (e suas varantes) (STONE & VANKA, 996; NICENO & NOBILE, 00; HAITHAM, et al., 005), elementos fntos (PARVIN & HOSSAIN, 0) e volumes fntos (WANG & VANKA, 996; MAHMUD et al., 00; RAMGADIA et al., 0), este últmo empregado prncpalmente na Dnâmca dos Fludos Computaconal (CFD). A Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) é uma técnca de solução analítco-numérca que ao longo das últmas décadas é aplcada em város problemas convectvos-dfusvos de transferênca de massa, calor e quantdade de movmento. Em escoamentos bdmensonas essa técnca, atualmente, é bem domnada tanto para modelos de camada lmte (MACHADO & COTTA, 995; FIGUEIRA da SILVA et al.,996) como para equação de Nave-Stokes (PEREZ GUERREIRO & COTTA, 995; SILVA, 003) formuladas tanto em sua forma mas usual de varáves prmtvas quanto a partr da formulação em termo de função corrente. A Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) fo estendda para solução de escoamentos lamnares em alguns dutos de geometras rregulares seja em expansão gradual (PEREZ GUERREIRO, 996; PEREZ GUERREIRO et al., 995), seja em geometra senodal (SILVA, 003). Recentemente somente um artgo fo publcado nessa área (CASTELLÕES et al., 00), assm, a prncpal motvação deste presente trabalho é o ntuto de se amplar a dea da solução híbrda de problemas com paredes de geometra rregulares descrtas por uma função qualquer e retomar a aplcação da GITT na solução dos mesmos.. OBJETIVOS Na presente dssertação objetva-se corroborar e amplar a metodologa de solução empregada no trabalho de Slva (003) para solução de problemas de escoamento em canas com paredes de geometra rregular empregando-se a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) para solução das equações da Naver-Stokes..3 CONTRIBUIÇÃO DA DISSERTAÇÃO A aplcação de uma função qualquer como condção de contorno em problemas de escoamento em canas com paredes rregulares faclta o estudo da escolha da melhor geometra para os problemas já apontados como exemplos no tem. desse capítulo. Assm, pode-se descrever a parede de um canal em termos de uma função de posção longtudnal e

17 3 aplcar-se a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) para descrção do escoamento ao longo do canal. Além dsso, o presente trabalho estuda as condções de escoamento modfcando o duto em varáves geométrcas que não foram estudadas nos trabalhos precedentes como a ampltude da entrada do escoamento e o comprmento de onda da função que rege as condções de contorno..4 SÍNTESE DO TRABALHO O capítulo ntrodutóro procura stuar motvações e objetvos do presente trabalho mostrando sua dferença em relação aos outros que nspraram o desenvolvmento da mesma. O Capítulo II é dedcado à revsão das prncpas lteraturas sobre a solução das equações de Naver-Stokes relaconada a escoamentos em canas com geometra rregular e suas soluções numércas e híbrdas. Também é abordada uma breve revsão da Técnca de Transformada Integral Generalzada (GITT). O Capítulo III é devotado à descrção do problema abordado nesse trabalho assm como sua modelagem matemátca, metodologa de solução e descrção do algortmo computaconal utlzando na solução do problema. O Capítulo IV apresenta e dscute os prncpas resultados do presente trabalho e o Capítulo V mostra as prncpas conclusões do presente trabalho bem como algumas sugestões para o prossegumento do mesmo em etapas futuras.

18 4 CAPÍTULO REVISÃO DA LITERATURA. DUTOS IRREGULARES A dnâmca de fludos é o fenômeno térmco que ocorrem em um canal de parede rregular têm sdo estudados em dferentes áreas da cênca (SILVA, 003). As superfíces de geometras de paredes onduladas são, por exemplo, utlzadas em trocadores de calor compactos (KAYS et al., 984) onde a ondulação na geometra das paredes permte maor efcênca na transferênca de calor na superfíce entre os dsspadores e o fludo resfrador com o mesmo volume e peso do dsspador. Nas aplcações de transferênca de calor gáslíqudo e gás-gás, baxas velocdades em conjunto com as baxas condutvdades térmcas dos gases (ou alta resstênca térmca) requerem relatvamente grande área de superfíce (ou um grande trocador de calor). O uso de trocadores de calor compactos fornece um método atraente e vável de produção de trocadores de calor menores com melhores característcas termo hdráulcas, reduzndo, assm, os custos de materas (JALURIA, 008). Trocadores de calor compactos são caracterzados por superfíces onduladas com grande densdade de área de superfíce. O estudo de transferênca de calor através de uma superfíce rregular é também de nteresse para aplcações na ndústra eletrônca (BAR-COHEN et al., 990). Para a medcna esse estudo pode ser empregado em dspostvos médcos como um equpamento de dálse ou um oxgenador de membrana, o escoamento através dos canas pode ser consderado lamnar devdo ao baxo número de Renolds em um canal estreto de vscosdade elevada (NISHIMURA et al., 990). Os fenômenos térmcos que ocorrem em canas de paredes rregulares, prncpalmente onduladas, bem como estudos expermentas e teórcos são encontrados na lteratura da dnâmca de fludos, como em Goldsten & Sparrow (977), Xao et al. (989), Asako & Faghr (988) e Sunden & Trollheden (989). Váras característcas são observadas sob dferentes condções. Na maora dos casos a parede ondulada melhora a transferênca de calor mesmo sem gerar turbulênca em condções com número de Renolds baxos. Para números de Renolds elevados a velocdade é sufcentemente alta para gerar o fenômeno de turbulênca que pode acentuar o coefcente de convecção local. Assm, os fatores mas

19 5 contundentes para o estudo tanto do escoamento em questão como da transferênca de calor no mesmo são a geometra da parede, as propredades do fludo e a natureza do escoamento. Além dsso, a geometra rregular em dutos pode ser utlzada em outras áreas onde a transferênca de calor não é o fator mas relevante. Na produção de bodesel, uma das condções para a reação de transesterfcação ocorrer é a agtação vgorosa do meo, a aplcação da geometra ondula em mcrocanas pode ser então utlzada para gerar maor vortcdade e consequentemente agtação do meo reagente mesmo em números de Renolds baxos. Os canas escolhdos para o estudo dos fenômenos ctados geralmente possuem condções de contorno de geometra relatvamente smples e peródcas como funções senodas (em fase ou não), trangulares, retangulares, trapezodas ou em formas de arco. Váras tentatvas de soluções numércas para as equações de Naver-Stokes foram obtdas utlzando os métodos de dferenças fntas, volumes fntos e elementos fntos. Alguns expermentos também foram conduzdos com a fnaldade de estudar o comportamento em canas com geometra rregular. Kawagut (96) fo o prmero pesqusador a fornecer resultados numércos para as equações de Naver-Stokes para o problema da concavdade para dferentes razões de aspecto, utlzando o método de dferenças fntas. Porém a sua solução converga somente para número de Renolds até 64. Nshmura et al. (990) estudaram expermentalmente a transferênca de massa em canas com paredes senodas em regme estaconáro em números de Renolds moderados e concluíram que para números de Renolds baxos o escoamento pode ser consderado bdmensonal, porém para o canal com paredes em forma de arco um recrculação trdmensonal fo observado antes do escoamento se tornar não estaconáro. Wang & Vanka (995) estudaram numercamente as taxas de transferênca de calor para o escoamento através de passagens peródcas de ondas até o número de Renolds em torno de 80. Observaram que no escoamento em regme estaconáro os números de Nusselt médo para o canal de parede ondulada são lgeramente maores comparados com os de canas de placas paralelas e que o aumento da transferênca de calor na regão de transção, se dá com o aumento do fator de atrto. Stone & Vanka (999) estudaram o escoamento em desenvolvmento e a transferênca de calor utlzando um esquema numérco na solução do escoamento bdmensonal não estaconáro e equações de energa em passagens onduladas, onde apresentaram cálculos para

20 6 um canal consttuído de 4 comprmentos de onda. As smulações dependentes do tempo foram realzadas para város números de Renolds. Para baxos números de Renolds, o escoamento é estaconáro em todo canal, e com o aumento progressvo do número de Renolds o escoamento torna-se não estaconáro. Os resultados mostraram que ocorre uma mstura do fludo no centro da parede do canal, desse modo observa-se que há um aumento na taxa de transferênca de calor e que com o aumento do número de Renolds o escoamento torna-se não estaconáro em qualquer posção espacal. Rush et al. (999) estudaram expermentalmente a transferênca de calor nas regões lamnar e de transção em um canal de passagens snuosas. As paredes do canal apresentam de a 4 comprmentos de onda varando-se a ampltude da onda, ângulo de fase e os espaços entre as paredes. Observaram-se nstabldades próxmas à saída do canal para altos números de Renolds. Kundu (00) estudou numercamente a convecção forçada em regme lamnar em dutos b e trdmensonas de geometra senodal. O autor aplcou a técnca de Volumes Fntos para solução do problema e observou o aparecmento no canal trdmensonal de recrculação longtudnal e transversal ao escoamento ajudando na mstura do fludo e consequentemente promovendo a transferênca de calor. Nčeno & Noble (00) analsaram o escoamento e a transferênca de calor em duas geometras de canas com paredes onduladas. As duas geometras consderadas foram uma senodal (para Re = 75-00) e outra em forma de arco (para Re = 60-80). Ambas as geometras exbram um aumento sgnfcatvo na taxa de transferênca de calor em até três vezes maor para o maor número de Renolds. Esse aumento é maor para o canal em forma de arco, mas é acompanhado pelo aumento do fator de atrto. Wang & Chen (00) analsaram as taxas de transferênca de calor para um escoamento através de um canal curvo com snuosdades, usando o método smples de transformação de coordenadas e o método de dferenças fntas de dreções alternadas. Os resultados mostraram a ampltude do número de Nusselt e o aumento do coefcente de atrto com o aumento do número de Renolds e a razão de ampltude do comprmento de onda. Hatham et al.(005) analsou a transferênca de calor e quantdade de movmento em canas com formas senodal e em forma de arco utlzando o método de dferenças fntas denomnado SIMPLE (sem-mplct method for pressure-lnked equatons). Em ambos os casos o estudo mostrou que a recrculação aumentou com o aumento do número de Renolds, enquanto que o aumento das propredades geométrcas resultou em dmnução da

21 7 recrculação. Além dsso, em número de Renolds elevados, os autores notaram que as sotermas penetraram mas em relação à superfíce, o que ndca um aumento na taxa de transferênca de calor. Xe et al. (007) estudaram numercamente a transferênca de calor e o escoamento em um canal ondulado aplcado em trocadores de calor compacto. Os resultados mostraram que os números de Nusselt e fator de frcção aumentam com o aumento do número de Renolds. Nos parâmetros geométrcos consderados, o fator de frcção e o número de Nusselt global sempre aumentam com o aumento da altura do canal, e com a dmnução do comprmento de onda. O número de Nusselt global aumenta sgnfcatvamente com o aumento da altura do canal, nesse caso o escoamento pode tornar-se de transção com uma grande penaldade devdo ao forte aumento na queda de pressão. Ovedo-Toledo et al. (008) estudaram expermentalmente o escoamento na entrada de canas snuosos senodas com oto comprmentos de onda e observaram que as nstabldades do escoamento são mas evdentes na saída do canal, mas o escoamento na entrada é sempre estaconáro. Além dsso, fo observado que para uma determnada dstânca entre as paredes do canal exste um ângulo de fase específco que proporcona maor turbulênca. Su et al. (00) estudaram o escoamento de um escoamento lamnar de água e a transferênca de calor em mcro canas ondulados. O estudo fo realzado utlzando-se números de Renolds guas a 300 e 400 e concluu que nessas condções a transferênca de calor pode ser mantda e níves elevados ao longo da dreção do escoamento onde pode haver um aumento de transferênca de calor global sgnfcatva sem grandes perdas de pressão em relação aos mcrocanas com paredes paralelas. Parvn & Hossan (0) aplcaram o método de elementos fntos para smular o escoamento e a transferênca de calor magnetohdrodnâmca em um canal trangular peródco vertcal. Os resultados revelaram que o aumento do número de Renolds e a dmnução do número de Prandtl aumenta o espaçamento entre as lnhas de corrente. Além dsso, o aumento smultâneo dos números de Renolds, Prandtl e Grashof resultam no aumento dos números de Nusselt local e médo. Ahmed et al. (03) estudou os efetos de parâmetros geométrcos em canas ondulados com geometra trapezodal no escoamento de nanofludos. Os resultados numércos mostram que o aumento médo no número de Nusselt aumentada com o aumento da fracção de volume de nanopartículas, número de Renolds e ampltude do canal ondulado, mas a

22 8 queda de pressão também rá aumentar. Além dsso, quando o comprmento de onda do canal aumenta, o número de Nusselt dmnu e a queda de pressão aumenta. Ramgada & Saha (03) utlzaram o método de volumes fntos para estudar a escoamento em regmes estaconáro e não estaconáro em canas ondulados e concluíram que para se obter índce maores de transferênca de calor o escoamento do canal deve ser nstável e com alto número de Renolds. O alto valor de Renolds pode romper a camada lmte térmca perto da parede, eventualmente elevando as taxas de desempenho térmco. O melhor desempenho térmco obtdo fo alcançado com o maor número de Renolds estudado. A Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) anda é pouco utlzada para canas bdmensonas com paredes de geometra rregular para solução tanto das equações de Naver-Stokes quanto para solução da equação da energa acoplada. Perez Guerrero & Cotta (99) aplcaram a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) para resolver as equações de Naver-Stokes em uma cavdade utlzando a formulação em lnhas de corrente obtendo resultados semelhantes aos comparados com métodos numércos. Perez Guerrero et al. (995) utlzando a formulação em lnhas de corrente aplcaram a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) com a nserção de um fltro afm de melhorar a convergênca da parte numérca na solução de escoamentos lamnares em canas rregulares em expansão gradual. Slva (003) estudou a solução, aplcando a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT), em dutos bdmensonas de geometra senodal nas equações de Naver-Stokes por meo da formulação de lnhas de corrente para número de Renolds entre 00 e 500. Uma solução geral para o fltro aplcado na técnca que se adapta ao contorno rregular fo proposto para aumentar a taxa de convergênca da expansão em autofunção. No estudo fo observada maor recrculação com a elevação do número de Renolds e da ampltude do canal. O atrto, representado pelo produto do fator de atrto e número de Renolds, fo também calculado e comparado com os resultados a partr de métodos dscretos dsponíves na lteratura para dferentes números de Renolds e ampltudes do canal obtendose resultados semelhantes aos obtdos por Wang & Chen (00). Lma et al. (007) aplcaram a Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) na solução da equação de Naver-Stokes em escoamentos nternos para escoamento turbulento em dutos com paredes paralelas que oferece vantagens na extensão aos escoamento trdmensonas.

23 9 Castellões et al. (00) estudou a transferênca de calor em um canal com paredes onduladas para baxos números de Renolds obtendo resultados semelhantes aos Slva et al. (00).. TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA (GITT) A técnca da transformada ntegral é um enfoque clássco bem conhecdo na solução de certas classes de problemas de dfusão, lneares e transformáves (LUIKOV, 973; ÖZISIK, 980). Mkahalov & Özsk (984) complam uma sére de trabalhos que utlzam as deas da transformação ntegral na solução exata de problemas em dfusão de calor e massa. Ao longo das últmas décadas, após o trabalho ponero de Özsk & Murra (974) esta metodologa de solução fo amplamente estendda para permtr soluções analítcas aproxmadas em uma vasta gama de problemas não-transformáves, como mostrando nos trabalhos de Lete & Özsk (980), Cotta & Özsk (986, 987), Cotta (99, 993, 994) e Cotta & Mkhalov (990 e 993). Exemplos de alguns desses problemas são problemas com coefcentes varáves, coefcentes varáves nas condções de contorno, problemas que envolvem um problema auxlar complcado e problemas não lneares. Assm como o método da transformada ntegral clássca (também conhecda como método de expansão em autovalores) o método da transformada ntegral generalzada ganhou um enfoque analítco-numérco pela aplcação de uma etapa numérca após a transformação analítca do problema, oferecendo ao usuáro precsão controlada, onde a dferença em relação a outros métodos numércos está na garanta da convergênca das soluções para ordens crescentes de truncamento nas séres, e um desempenho computaconal bastante efcente para uma grande varedade de problemas, os quas são classfcados e sstematcamente apresentados com dversas aplcações (COTTA, 993), nclundo formulação não-lneares de nteresse em aplcação de transferênca de calor e escoamento de fludos. Este método dfere dos métodos numércos até então utlzados para solução de problemas de caráter fortemente não lnear e acoplados, pos não há necessdade de dscretzação do domíno para geração de malhas. Além dsso, para melhorar a precsão do método o esforço computaconal exgdo é relatvamente moderado em comparação com os métodos numércos tradconas prncpalmente quando se eleva a dmensão do problema a ser resolvdo. Esses comportamentos são orgnados devdo à natureza híbrda da solução, pos a etapa analítca é aplcada sobre todas menos uma varável ndependente e a tarefa numérca é sempre reduzda à ntegração de um sstema dferencal ordnáro em apenas uma coordenada.

24 0 Outra característca da solução é a aplcação de fltros algébrcos orundos geralmente de versões smplfcadas do própro problema a ser analsado, empregados para acelerar a convergênca da solução. A aplcação da Técnca da Transformada Integral Generalzada (GITT) pode ser resumda nos seguntes passos:. Defnção do problema auxlar, com base, por exemplo, nos termos dfusvos da formulação orgnal.. Solução do problema auxlar e obtenção das autofunções, autovalores, normas e propredades de ortogonaldade;. Desenvolvmento do par transformada-nversa; v. Transformação Integral do problema dferencal parcal em um sstema de equações algébrcas ou dferencas ordnáras acopladas ou anda outra equação dferencal parcal; v. Truncamento do sstema nfnto e solução numérca do sstema dferencal resultante para obtenção dos campos transformados; v. Obtenção do potencal orgnal, fazendo-se uso da fórmula de nversão. A dea básca na técnca é a não necessdade de encontrar-se uma transformação ntegral analítca, ou seja, que resulte em um sstema dferencal transformado não acoplado. Assm, pode-se escolher um problema auxlar (de autovalor) que seja característco do problema orgnal ou não, desenvolver o par transformada-nversa e efetuar a transformação ntegral chegando-se a um sstema ordnáro nfnto e acoplado. Após o truncamento em ordem sufcentemente grande para a precsão requerda, automatcamente seleconada durante o própro processo de solução, o sstema dferencal ordnáro é resolvdo numercamente por algortmos bem estabelecdos, com controle automátco de erro, dsponíves em bblotecas centífcas. A fórmula explícta de nversão fornece então uma representação analítca nas demas varáves ndependentes elmnadas pela transformação ntegral.

25 CAPÍTULO 3 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA E METODOLOGIA DA SOLUÇÃO 3. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Consdera-se um canal de paredes defndas por uma geometra arbtrára dentfcada pelas funções que representam o contorno, (x) e (x), dentro do qual escoa um fludo newtonano em regme lamnar e permanente. Para maor generaldade do problema pode-se assumr que não exste smetra com relação à lnha de centro do duto conforme descrto na Fgura 3. Além dsso, são aplcadas as seguntes hpóteses smplfcadoras: O escoamento é bdmensonal; O escoamento é ncompressível; As propredades do fludo são constantes; As paredes do duto são mpermeáves; Consdera-se a condção de não deslzamento nas paredes; O fludo é newtonano. Fgura 3.: Duto rregular (Fonte: Peres Guerrero, 995) O escoamento descrto é governado pelas equações de Naver-Stokes:

26 u x v * * * * 0 (3..a) u u u u p u u x x x * * * * * * * * v * * * * * v v p v v x x * * * * * * * * v * * * * * (3..b) (3..c) Na admensonalzação das equações (3..a-c) os seguntes grupos foram empregados para mnmzar o número de parâmetros para smplfcar o sstema de equações: x * x / H; * u u / u 0 ; * / H ; * v v / u 0 * * (x) (x ) / H; (x) (x ) / H ; * * * ; p p / u 0 ; Re Hu 0 / (3..a-h) onde H representa a altura méda do canal sendo calculada pela méda smples entre a altura da entrada e a altura máxma do canal. Na generaldade da formulação proposta é possível assumr-se que as velocdades podem ser pelas componentes, que em termos de função corrente são dados por (WHITE, 0): u ; v = - x (3.3. a, b) Dervando a equação (3..b) em relação a coordenada e a equação (3..c) em relação a x, com posteror subtração de ambas e levando-se em conta (3..a) e as defnções de função corrente (equações 3.3.a e 3.3.b), elmna-se o campo de pressões. Assm, aplcando as varáves admensonas: x x x x Re x x ou x x x x Re (3.3.a) (3.3.b)

27 3 Onde o número de Renolds (Re) é defndo a partr da semdstânca entre as paredes e a velocdade méda, ambas na entrada do duto. E 4 é o operador bharmônco. As condções de contorno nas paredes do duto são especfcadas ao consderar-se mpermeabldade e não deslzamento, assm: u(x,- (x)) = 0 ; v(x,- (x)) = 0 ; x > 0 (3.5.a,b) u(x, (x)) = 0 ; v(x, (x)) = 0 ; x > 0 (3.5.c,d) aplcando a defnção de função corrente nas equações (3.5.a-d) nas paredes do duto: x, (x) n x, (x) k ; 0 x, (x) n x, (x) k ; 0 (3.6.a,b) (3.6.c,d) Onde n, k e k representam o vetor normal à parede do canal e os valores da função corrente nas paredes do duto, respectvamente. As condções de contorno são completadas ao consderarem-se conhecdas as característcas hdrodnâmcas tanto na entrada quanto na saída do duto. Sua quantfcação será abordada a posteror no subtem Os valores da função corrente nas paredes do duto estão relaconados entre s. Assm é possível assumr-se que na entrada do duto o campo de velocdades é dado pelas componentes u() e v() que em termos de função corrente são dados por: u ; v = - x (3.7.a.b) Integrando-se as equações 3.7.a e 3.7.b: (0, ) k u()d (3.8.a)

28 4 (0, ) k () v()d (3.8.b) Como o nteresse é determnar ψ(0,), a ntegral da equação (3.8.b) é nula em x = 0 e a relação resultante apenas nos nforma que a função corrente na entrada depende da coordenada. Por outro lado, a equação (3.8.a) descreve o valor da função corrente na entrada do duto em função de u (). A partr de (3.8.a) é possível determnar ψ(0, ): (0, ) k u ()d (3.9) A ntegral dada pela equação (3.9) defne vazão por undade de comprmento (Q), na entrada do duto, onde fca evdencada a dependênca entre as constantes k e k : (0, ) k Q k (3.0) 3. METODOLOGIA DE SOLUÇÃO A metodologa adotada para o problema é a Técnca da Transformada Integral Generalzada. Para facltar a solução pela mesma, é convenente defnr um fltro que permta homogenezar as condções de contorno na dreção. Assm, será possível a escolha de um problema de autovalor adequado em tal dreção. Assm: (x, ) (x, ) F(x, ) (3.) Onde ϕ(x,) é o potencal desconhecdo a ser determnado, e F(x,) é o fltro, o qual possu os mesmos valores que ψ(x,), nas paredes do duto. A função F(x,) não é uma solução partcular de ψ(x,) (PÉREZ GUERREIRO, 995). Introduzndo-se a equação (3.) na equação em lnha de corrente (3.3.b):

29 F x x x x x x F F F 3 x x x x F F F F 3 3 x x x x x x x x x x F F F F F F F F Re x F F F x x x (3.) A ntrodução do fltro nas condções de contorno na dreção defndas pelas equações (3.6.a-d) leva a: (x, ) n (x, ) k F(x, ); 0 (3.3. a,b) (x, ) n (x, ) k F(x, ); 0 (3.3. c,d) 3.. Determnação do fltro Da mesma forma que a metodologa apresentada por Pérez Guerrero (995) e Pérez Guerrero et al. (000), o fltro F(x,) deve ser tal que reproduza o valor das funções corrente nas paredes do duto ao longo do seu comprmento. Esta função pode ser construída ao se consderar que em cada posção ao longo do duto se tem um perfl de velocdade desenvolvdo, o qual va se adaptando à rregulardade do canal. A relação entre o sstema de coordenadas orgnal (x,) e o sstema transformado (η, x) é dado por: 3(x), 0(x) (x) (x), (x) (x) (x) (3.4. a,b,c) 3

30 6 onde 3 representa a defasagem entre os exos e η. Assm, é possível descrever a função F smlar ao campo de função corrente do escoamento completamente desenvolvdo (PÉREZ GUERREIRO, 995) de acordo com o Anexo C como: 3 3 Q F(x, ) Q k (3.5) em termos das coordenadas orgnas: 3 3 Q 3 3 F(x, ) Q k (3.6) Onde Q está relaconada com a vazão volumétrca na seção transversal do duto. A dependênca de x do fltro F(x,) é levada em conta nas funções 0 (x) e 3 (x), as quas defnem superfíces planas que passaram pelas paredes do canal. Verfca-se anda que os valores de F(x,) nas paredes fornecem: F(x, ) k e F(x, ) Q k (3.7. a.b) onde pertence ao ntervalo [- (x), (x)], e η a [- 0 (x), 0 (x)]. Assm, pode-se defnr uma nova varável ξ, a qual permtrá determnar mas faclmente os coefcentes da transformação ntegral: (3.8) Cujo domíno é ξ [-,] O fltro F(x,) é então reescrto como: 3 3 Q F( ) Q k 4 3 (3.9)

31 7 As constantes k e k podem ser determnadas assumndo-se que a dstânca entre as paredes na entrada (para o duto em forma de seno) possu um valor gual a escrever o campo de velocdades como: H mn, e podemos 3 u 3 U Uav H mn (3.0) Utlzando-se a defnção de vazão Q Ud e aplcando-se a equação (3.0) na equação (3.0): Hmn 3 3 (3..a) Hmn Hmn k k d k k Hmn (3..b) Substtundo a equação (3.0) em (3.9): 3 3 (0, ) k d Hmn Hmn Hmn 3 4 (0, ) k 3 H 3 mn (3..a) (3..b) Como na entrada do duto assume-se que a dstânca entre as paredes na entrada e na saída do duto é H mn : (0) (0) H mn (3.3) (x ) (x ) H mn out out (3.4)

32 8 No novo sstema de coordenadas (0) (x ) H mn 0 0 out e 3 3 out (0) (x ) 0 (3.5. a,b) Aplcando no fltro: 3 3 Q Fx,H k Q k out mn 4 Hmn 3 Hmn (3.6.a) k Q k (3.6.b) Comparando-se a equação (3.6.b) com a equação (3..b) Q H mn (3.7) Pode-se então, determnar valores para as constantes k e k contanto que a equação (3.6.b) seja satsfeta. Assm, faz-se: k H mn k (3.8) 3.. Determnação do Problema de Autovalor Devdo às característcas homogêneas das condções de contorno na dreção é mas aproprada a escolha do problema auxlar nessa dreção, pos o problema na dreção x apresenta condções de contorno não homogêneas. 4 d Y (x, ) 4 d 4 Y (x, ), (x) (x) (3.9) Com condções de contorno:

33 9 Y n Y (x, ) 0; 0 Y n Y (x, ) 0; 0 (3.30.a,b) (3.30.c,d) O sstema formado pelas equações (3.9) e (3.30.a-d) pode ser reescrto em termos da nova coordenada ξ (Equação 3.8), como: 4 d Y ( ) Y ( ) Y ( ) d Y ( ) Y ( ) 0 ; 0 Y () Y () 0 ; 0 (3.3.a) (3.3.b,c) (3.3.d,e) O problema formado pelas equações (3.3.a-e) pode ser soluconado analtcamente resultando em: cos( ) cosh( ) cos( ) cosh( ) Y ( ) sen( ) senh( ) sen( ) senh( ), =, 3, 5,..., =, 4, 6,... (3.3) Onde o autovalor β é encontrado a partr de: 0 (3.33) E pode ser determnado pela equação transcendental: tgh( ),3,5... tg( ) tgh( ),4,6... (3.34) Nas coordenas orgnas a equação 3.3 pode ser reescrta como:

34 0 cos ( 3) cosh ( 3) cos( 0) cosh( 0) Y ( ) sen ( 3) senh ( 3) sen( 0) senh( 0), =, 3, 5,..., =, 4, 6,... (3.35) A norma é calculada a partr de sua defnção: N Y d, =,, 3,... (3.36) Fazendo-se a transformação de varável em ξ: 0 N Y ( )d, =,, 3,... (3.37) Logo: N (x) 0(x) N(x) N (3.38) As autofunções gozam da segunte propredade de ortogonaldade: 0, para j YY jd 0, para = j (3.39) 3..3 Par Transformada-Inversa autofunção Y : Representando a função desconhecda ϕ(x,) como uma expansão em torno da (x, ) Y (x) (3.40)

35 Operando-se ambos os lados as equação (3.40) com o operador Y d j : Y d Y Y (x) d (3.4) j j j Reordenando o segundo termo da equação (3.4) na qual a ntegração é na varável e o domíno de é em x: Y d (x) YY d (3.4) j j j Pela propredade de ortogonaldade o somatóro do lado dreto da equação (3.4) tem apenas um únco termo não nulo, para o caso = j. Obtêm-se desta forma a regra de transformação e o par transformada-nversa: (x) N(x) (x, ) Y (x, ) (x) Y (x, ) (x, )d, transformada (3.43.a), nversa (3.43.b) 3..4 Transformação Integral do Problema Estabelecdo o par transformada-nversa dado pelas equações (3.43.a) e (3.43.b), e defndas as autofunções e a propredade de ortogonaldade do problema de autovalor escolhdo, pode-se então realzar a transformação do problema dferencal orgnal. Para sto, opera-se com Y (x, )d ambos os lados da equação (3.). Após a ntrodução da fórmula de nversão nos termo não transformáves, resulta o segunte sstema de equações dferencas ordnáras acopladas para o cálculo dos potencas transformados :

36 L Re A B C D (v) 4 ' '' ''' jk j k jk j k jk j k jk j k N N j E F G H I J K ' ' ' ' '' ' '' ''' jk j k jk j k jk j k j j j j j j j j N j (3.44) Onde os coefcentes que dependem de cada posção em x são calculados (mas detalhadamente no Anexo A) a partr de: Yj Y Yj k Y Y k j Yk Ajk Y d Y 3 d Y d x x x x 3 Yj Yk Y d 3 x (3.45) Yj Y Yj k Y Y k j Yk Bjk 3 Y d Y d Y d x x x (3.46) Y Y Y Y x x j k j k Cjk 3 Y d Y d (3.47) Yj Djk Y Yk d (3.48) 3 3 Y k Yk Ejk YY j d YY j d 3 x (3.49) Y x (3.50) k Fjk YY j d Y k Gjk YY j d (3.5) Hj Reaj bj Ij Recj dj Jj Reej fj Kj Regj hj (3.5) (3.53) (3.54) (3.55) L Re j (3.56)

37 Yj F Yj F Yj F aj Y d Y 3 d Y d x x x x Yj F Yj F Yj F Y d Y 3 d Y 3 d x x x Y Y F Y d Y d x x x 3 3 j F j 3 (3.57) 4 4 Yj Yj bj Y d Y 4 d x x (3.58) 3 3 F F Yj F cj YY j d YY j d 3 Y 3 d x x Y j F j F + Y d Y d Y x x (3.59) 3 3 Yj Yj dj 4 Y d 4 Y 3 d x x (3.60) Y F Y F x x j j ej 3 Y d Y d (3.6) Yj Yj fj 6 Y d Y d x (3.6) F gj YY j d (3.63) Y (3.64) x j hj 4 Y d F F F F F F F F Y d 3 3 x x x x x (3.65) 4 4 F F j Y d 4 x x (3.66) O cálculo dos coefcentes é um dos prncpas fatores que elevam o custo computaconal em problemas de domíno rregular va GITT. Avalar dretamente os coefcentes em forma numérca traz a desvantagem que eles podem somente ser calculados dentro do processo de solução do sstema dferencal ordnáro. Isto porque os coefcentes são dependentes da posção axal x, o que trara um alto custo computaconal e um baxo desempenho do códgo computaconal.

38 4 Para contornar esse problema fo utlzada a mesma metodologa empregada em Slva (003) e Pérez-Guerrero (995). Para esta abordagem analítca no calculo dos coefcentes fez-se uso da computação smbólca do software Mathematca (03). Faz-se uma transformação do domíno utlzando-se a varável ξ (Anexo B) defnda pela Equação (3.8) transformando os lmtes de ntegração de [-, ] para [-, ] e através da regra da cadea é possível estabelecer dervadas em termos de ξ, que aparecem nos coefcentes. Na nova estrutura dos coefcentes surgem ntegras ndependentes da posção axal x, permtndo, portanto, calcular os coefcentes em separado por uma únca vez e armazena-los para posterormente serem multplcados por funções que levam em conta a dependênca do domíno rregular cada vez que o sstema dferencal é resolvdo. 3.3 ALGORITMO COMPUTACIONAL É necessáro trucar as séres nfntas em um número de termos sufcentemente grande, em um domíno fnto, que garanta o erro relatvo prefxado para obtenção dos potencas orgnas. Portanto, o sstema dferencal ordnáro pode ser reescrto como: 4 NTV NTV d 4 L Re k d k 4 jkajk j Bjk j Cjk dx N N j dx dx d d d d d d dx dx dx dx dx dx NTV 3 dj d j d j + jhj Ij J j K 3 j N j dx dx dx 3 k j j k j k j Djk ke 3 jk Fjk G jk (3.67) onde NTV é a ordem de truncamento das séres nfntas A natureza híbrda da GITT é evdencada ao resolver-se numercamente o sstema dferencal ordnáro não lnear. Este sstema possu comportamento stff acentuado, o qual se ntensfca à medda que o número de Renolds aumenta. O uso de sub-rotnas matemátcas com controle automátco de erro global na solução de um problema dferencal ordnáro em softwares bem estabelecdos é muto convenente tendo em vsta a obtenção de resultados mas acurados. Assm, fo seleconada a subrotna DBVPFD do IMSL (99) para obtenção dos resultados numércos. Para fazer-se uso da mesma é necessáro transformar o sstema dferencal ordnáro de quarta ordem em um sstema dferencal ordnáro de prmera ordem. Para sto defne-se:

39 5 (3.68) d dx d dx NTV (3.69) d dx NTV d dx NTV d dx 3NTV d NTV (3.70) dx 3 d 3NTV 3 (3.7) dx 4 d 4 (3.7) dx Para transformação ao domíno fnto [0,], tal como é convenente defnr-se o segunte operador: d( ) d( ) d ; dx d dx d c( ) dx (3.73.a,b) Portanto o sstema pode ser reescrto como: d d d d dx NTV dntv d d d dx NTV dntv d d d dx 3NTV (3.74) (3.75) (3.76)

40 6 d d 3NTV NTV NTV 4 L Re jkajk jntvkbjk jntvkcjk N N j j3ntvkdjk NTV jkejk NTV jntvkfjk NTV jhj NTV jij NTVjNTVk G jk+ N j NTVj J j 3NTVj K j d dx (3.77) 3.3. Cálculo do Jacobano O jacobano ndca a dreção da convergênca do sstema e representa as dervadas do mesmo com relação a cada um dos componentes do vetor solução χ. Portanto das equações , obtém-se: d d d NTV dx dntv d d NTV dx dntv d d 3NTV dx NTV NTV d3ntv 4 Re m E mkntvk ( NTV jfjm 3NTV jg jm) dx 4 k j d m dx (3.78) (3.79) (3.80) (3.8) d Re NTV NTV 3NTV (Bm C m) E mk j ( kfmk NTV jg mk ) dx 4 k d NTVm dx (3.8)

41 7 NTV d Re 3NTV A m ( NTV jg mk ) dx 4 j d NTVm dx (3.83) d Re NTV 3NTV Dm kgmk dx 4 k d 3NTVm dx (3.84) 3.3. Condções de contorno Para solução do sstema dferencal ordnáro ( ) é necessáro a análse das condções de contorno na dreção x. Essa análse fo realzada consderando-se o duto truncado. Fgura 3.: Condção de contorno na entrada do canal Na entrada do canal consdera-se que u é prescrto e v = 0 (Fgura 3.). Na saída do canal para o duto truncado consdera-se que / x 0 e v = 0 onde ω é a vortcdade (Fgura 3.3). Fgura 3.3: Condções de Contorno para o duto truncado com perfl completamente desenvolvdo de entrada

42 8 Na entrada (0, ) F (3.85.a) F x x x (3.85.b) Na saída (x out, ) F x x x F F x x x x x x (3.86. a) (3.86.b) onde x out representa o valor da coordenada axal na saída do duto. Após operar as condções de contorno defndas pelas equações (3.85.a-b) e (3.86.a-b) com Y (x, )d as mesmas são transformadas para resultar: (0) 0, d (0) 0 dx (3.87. a, b) NTV d (x out ) M j(x out )Nj dx N(x out ) (3.88.a) j d (x ) dx NTV j out O j(x out )Pj Qj 3 d j (x out ) dx 3 dx N(x out ) d j(x out ) + R j (3.88.b) ou em termos do vetor solução : (0) 0, (0) 0 NTV (3.89.a, b) NTV NTV(x out ) M j(x out )Nj N(x out ) (3.90.a) j

43 9 NTV O j(x out )P j NTV j(x out )Qj j 3NTV (x out ) N(x out ) NTV j(x out )R j (3.90.b) Onde: F M Y d x (3.9) Y (3.9) x j Nj Y d 3 3 F F O Y d 3 x x (3.93) 3 3 Yj Y j Pj Y d 3 x x (3.94) Yj Y j Qj Y 3 d x (3.95) Y (3.96) x j Rj 3 Y d Consderando-se o perfl de velocdade de escoamento unforme na entrada (0, ): F (3.97.a) F x x x (3.97.b) Após operar as condções (3.97.a) e (3.97.b) com Y (x, )d as mesmas são transformadas para resultar: 3, H mn (0) Y ( )d 8 d (0) 0 dx (3.98. a, b) em termos do vetor solução e com a transformação de domíno temos:

44 30 Hmn 3 (0) Y ( )d 8, (0) 0 NTV (3.99. a, b)

45 3 CAPÍTULO 4 RESULTADOS E DISCUSSÃO 4. ANÁLISE DO ESCOAMENTO NO DUTO COM PAREDE ONDULADA O duto estudado é mostrado na Fgura 4.. Fgura 4.: Parâmetros geométrcos do canal estudado Os artgos estudados adotam parâmetros admensonas dferentes para a caracterzação da função representatva das paredes do sstema. Hatham et al. (005, 03), Ramgada (0, 03), e Stalo & Pller (007) fazem referênca a quatro comprmentos específcos para descrever a geometra de uma parede com característca senodal, a ampltude a, o comprmento de onda λ e a dstânca entre as paredes na entrada do canal H mn e a dstânca entre duas crstas H max que são representados por dos grupos admensonas, a * razão de altura (H mm ) e a razão de comprmento ( ): H mm H H mn max (4.) a * (4.) Em estudos numércos Rush et al. (999) e Mahmud et al. (00) e em estudos expermentas Nshmura et al. (990) e Ovedo-Tolentno (008) utlzaram três parâmetros

46 3 dmensonas resultando em dos parâmetros admensonas afm de caracterzar as dmensões das condções de contorno, a snuosdade da superfíce (a/h) e a razão de aspecto ( = λ/h). Os parâmetros razão de altura (H mn /H max ) e a razão de comprmento ( /a) podem ser defndos em função da snuosdade da superfíce (a/h) e da razão de aspecto ( ): /a a / H (4.3) H mn / H max H a a / H H a a / H (4.4) Assm, as funções que defnem a geometra do duto com parede ondulada podem ser determnadas em função dos termos admensonas a/h e λ/h e podem ser defndas como: de acordo com Ramgada (0, 03): Hmn a x (x) (x) sn H (4.5) ou de acordo com Mahmud et al. (00): H a 4x H mn (x) (x) sn (4.6) Onde: H H a a H H H (4.7) mn Hmn e as relações a/h e anda podem ser determnadas em função do prmero parâmetro admensonal H mn /H max e /arespectvamente: a H H H mm mm (4.8)

47 33 / a. a / H (4.9) Para geometras dstntas é observado que os parâmetros geométrcos são mas relevantes para o aparecmento da vortcdade, pos, da manera formulada, a mudança de qualquer uma das varáves estudadas mplca ou na mudança do comprmento de onda e consequentemente no comprmento total do canal, no caso de λ/a (Fgura 4.), ou na mudança conjunta da ampltude e do comprmento de onda do mesmo, no caso de H mn /H max (Fgura 4.3). Fgura 4.: Comparação entre as geometras do canal para H mn /H max = 0.3 com a razão de comprmento (λ/a) Hatham (005) explca que o aumento da razão de altura resulta na dmnução do tamanho da recrculação devdo a maor área de escoamento. De forma smlar, o aumento da razão de comprmento resulta no decréscmo do tamanho da recrculação devdo ao aumento da suavdade da função que descreve a parede.

48 34 Fgura 4.3: Comparação entre as geometras do canal para λ/a =8 com a razão de aspecto (H mn /H max ) As Tabelas 4. a 4.5 mostram a convergênca da função corrente, consderando o perfl unforme de entrada, ao longo da lnha para = H mn / para os dos casos lmtes H mn /H max = 0.3 e λ/a = 4 para Renolds 400 e H mn /H max = 0.7 e λ/a = 6 para Renolds 5, e os casos para Renolds gual a 5, 00 e 400 para o modelo onde H mn /H max = 0.3 e λ/a = 8, os quas também foram estudados por Hatham et al. (005). Tabela 4.: Convergênca da função corrente para Re = 400, H mn /H max = 0.3, λ/a = 4 n x 0 λ/ λ λ 4 λ 6 λ 8 λ 0 λ Como pode ser notado na Tabela 4., de manera semelhante ao observado no trabalho de Slva (003) onde a convergênca fo mas lenta na saída do canal, no presente trabalho a dfculdade da convergênca se encontra na entrada do canal prncpalmente no prmero módulo e na posção x = 0. A dferença de comportamento provavelmente é provenente da condção de contorno dferente consderada de perfl de velocdade unforme na entrada. A Tabela 4., demostra a convergênca dos valores da função corrente para as condções mas suaves consderadas no presente trabalho onde Re = 5, H mn /H max = 0.7, λ/a = 6. Pode-se notar que a convergênca é rapdamente alcançada para x > λ/ sendo necessáros

49 35 somente 5 termos, porém, mesmo nesse caso mas brando de escoamento, para x = 0, a convergênca é lenta e só é atngda utlzando-se 40 termos. Tabela 4.: Convergênca da função corrente para Re = 5, H mn /H max = 0.7, λ/a = 6 n x 0 λ/ λ λ 4 λ 6 λ 8 λ 0 λ Tabela 4.3: Convergênca da função corrente para Re = 5, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8 n x 0 λ/ λ λ 4 λ 6 λ 8 λ 0 λ A Tabela 4.3, demostra a convergênca dos valores da função corrente no mesmo caso estudado por Hatham et. al. (005) onde Re = 5, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8. Pode-se notar que a convergênca é rapdamente alcançada para x > λ/ sendo necessáros somente 5 termos. Para x = 0, a convergênca é lenta e só é atngda utlzando-se 40 termos. Tabela 4.4: Convergênca da função corrente para Re = 00, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8 n x 0 λ/ λ λ 4 λ 6 λ 8 λ 0 λ A Tabela 4.4, demostra a convergênca dos valores da função corrente no mesmo caso estudado por Hatham et. al. (005) onde Re = 00, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8. Pode-se notar

50 36 que com aumento do número de Renolds a convergênca alcançada para x > λ/ quando consderamos 0 termos. Para x = 0, a convergênca é mas lenta comparando-se com a Tabela 4.3 e só é atngda utlzando-se 40 termos. Tabela 4.5:Convergênca da função corrente para Re = 400, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8 n x 0 λ/ λ λ 4 λ 6 λ 8 λ 0 λ A Tabela 4.5, demostra a convergênca dos valores da função corrente no mesmo caso estudado por Hatham et. al. (005) onde Re = 400, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8. Pode-se notar que a convergênca alcançada para x > λ/ com 30 termos. Para x = 0, a convergênca é lenta e só é atngda utlzando-se 40 termos. Analsando-se as Tabelas 4.-5, pode-se notar que a convergênca da GITT depende do quanto o escoamento gera recrculação, nos casos onde exste maor recrculação a convergênca é mas lenta prncpalmente nas geometras onde H mn /H max = 0.3, λ/a = 8 e H mn /H max = 0.3, λ/a = 4 para Renolds gual a VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS O presente trabalho fo valdado comparando-se os resultados dos campos de velocdade obtdos nos trabalhos de Ramgada & Saha (0), dferenças fntas, e Hatham et. al. (005), volumes fntos, para Renolds gual a 5, 00 e 400 para o modelo onde H mn /H max = 0.3 e λ/a = 8 e consderando-se somente o perfl unforme de velocdade na entrada do duto. O módulo (cada módulo corresponde à área do duto compreendda entre dos vales consecutvos) consderado adequado para essa comparação, como será explcado a posteror, é o quarto módulo e a posção no exo x é a correspondente ao meo do módulo. Como pode ser observado nas Fguras 4.4, 4.5, 4.6, o método da GITT aproxmou-se de ambos os

51 37 resultados tendo maor correspondênca com os resultados obtdos por Ramgada & Saha (0). Fgura 4.4: Gráfco de comparação do perfl de velocdade com Hatham et al. (005) e Ramgada & Saha (0) para Re = 5, Hmn/Hmax = 0.3, λ/a = 8 Fgura 4.5: Gráfco de comparação do perfl de velocdade com Hatham et al. (005) e Ramgada & Saha (0) para Re = 00, Hmn/Hmax = 0.3, λ/a = 8

52 38 Fgura 4.6: Gráfco de comparação do perfl de velocdade com Hatham et al. (005) e Ramgada & Saha (0) para Re = 400, Hmn/Hmax = 0.3, λ/a = 8 Como pode ser observado nas Fguras 4.4, 4.5, 4.6, os resultados obtdos por Hatham et al. (005) subestmam os valores calculados pela GITT e pelo artgo de Ramgada & Saha (0). Incalmente fo consderada na entrada do canal a condção de perfl de escoamento totalmente desenvolvdo em um canal sem snuosdade. A smulação dos escoamentos segundo os mesmos parâmetros geométrcos, ao contráro do relatado por Hatham et al. (005), mostraram varação do campo de velocdade de acordo com o avanço dos módulos, se establzando a partr do tercero módulo como pode ser observado na Fgura 4.7 e melhor evdencado para Renolds gual a 400. Fgura 4.7: Comparação dos perfs de velocdade para Re = 400, Hmn/Hmax = 0.3, λ/a = 8 de acordo com o avanço dos módulos consderando o perfl da velocdade de entrada como totalmente desenvolvdo.

53 39 Os resultados concordam o comportamento relatado por Mahmud et al. (00) no qual para a mesma geometra estudada notou-se que o perfl de velocdade dos prmeros dos módulos são dstntos dos demas, destacando-se prncpalmente o prmero. Consderando-se a condção na entrada como um perfl unforme, como nos trabalhos de Hatham et al. (005) e Ramgada & Saha (0), pode-se notar, prncpalmente em números de Renolds mas elevados como na Fgura 4.8, que o perfl de velocdade encontrado no prmero módulo dfere dos demas módulos e nota-se a semelhança entre os perfs de velocdade somente a partr do tercero módulo. Fgura 4.8: Comparação dos perfs de velocdade para Re = 400, Hmn/Hmax = 0.3, λ/a = 8 de acordo com o avanço dos módulos consderando o perfl da velocdade de entrada como unforme. Um comportamento semelhante pode ser observado nos trabalhos de Slva (003) e de Castelões et al.(007) nos quas em uma geometra semelhante a estudada no presente trabalho o perfl de velocdade dos dos prmeros módulos é dferente dos demas módulos. Comparando as duas stuações estudadas, fo observado que o escoamento tende a conservar a condção de contorno consderada no perfl de entrada nos dos prmeros módulos, porém, o perfl tende a establzar-se a partr do tercero módulo para o mesmo valor ndependentemente da condção de entrada. A nfluênca desse comportamento é a dferença na recrculação notada prncpalmente no prmero módulo. Para o perfl unforme de velocdade de entrada o prmero módulo apresenta menor área de recrculação comparado com os módulos a jusante do escoamento, como pode ser observado na Fgura 4.9 para Renolds 00, H mn /H max = 0.3 e λ/a = 8.

54 40 Fgura 4.9: Isolnhas da função corrente para Re = 00, H mn /H max = 0.3, λ/a = 8 As Fguras 4.0, 4. e 4. mostram as solnhas da função corrente para Renolds gual a 5, 00 e 400 para a confguração onde H mn /H max = 0.3 e λ/a = 8 e, doravante, perfl de entrada unforme consderando-se o quarto módulo para garantr que o campo de velocdade seja estável. Fgura 4.0: Isolnhas da função corrente para Re = 5, Hmn/Hmax = 0.3, λ/a = 8. A esquerda resultados obtdos pela GITT, a dreta resultados de Hatham et al. (005)

55 4 Fgura 4.: Isolnhas da função corrente para Re = 00, Hmn/Hmax = 0.3, λ/a = 8. A esquerda resultados obtdos pela GITT, a dreta resultados de Hatham et al. (005) Fgura 4.: Isolnhas da função corrente para Re = 400, Hmn/Hmax = 0.3, λ/a = 8. A esquerda resultados obtdos pela GITT, a dreta resultados de Hatham et al. (005) Assm como nos resultados obtdos por Hatham et al. (005) que, para a confguração consderada, a recrculação ocorre dentro da concavdade da função seno em Renolds gual a 00 e em Renolds gual a 400 a recrculação cobre pratcamente toda a concavdade da parede, sendo a mesma lgeramente deslocada para a dreta no mesmo sentdo do escoamento. As lnhas de corrente mostradas nas Fguras 4.0- são smétrcas e suas magntudes possuem mesmo módulo. O aumento na razão de altura (H mn /H max ) na confguração resultara numa dmnução no tamanho da recrculação por causa de uma maor área de escoamento. De modo semelhante, um aumento na razão de comprmento (λ/a) resultara numa dmnução no tamanho da recrculação por causa da suavdade da curvatura da parede. Assm, fo observado que o aumento de um dos parâmetros H mn /H max e λ/a dmnu queda de pressão no canal dmnundo o aparecmento de vórtces, já a dmnução de um dos dos parâmetros consderados aumenta a chance de aparecmento de vórtces no escoamento.

56 4 Utlzando o número de Renolds gual a 400 a confguração com H mn /H max = 0.7 e λ/a = 6 não gera muta recrculação (Fgura 4.3), pos os altos valores da razão de comprmento e da razão de aspecto suavzam a snuosdade e alongam o comprmento do canal. Fgura 4.3: Gráfco das solnhas da função corrente para Renolds gual a 400 a confguração com H mn /H max = 0.7 e λ/a = 6 Para número de Renolds de baxo valor, pode ser notado o aparecmento de regões de recrculação de acordo com a conformação adotada, pos a dmnução do valor da razão de comprmento dmnu o comprmento de onda e a dmnução da razão de altura faz com que a área do escoamento seja menor. Na confguração mas estreta de canal onde H mn /H max = 0.3 e λ/a = 4 ocorre o aparecmento da recrculação para número de Renolds gual a 5, como pode ser observado na Fgura 4.4. Fgura 4.4: Gráfco das solnhas da função corrente para Renolds gual a 5, confguração com H mn /H max = 0.3 e λ/a = 4

57 43 Na mesma confguração para número de Renolds 00 é possível se observar uma forte recrculação ocupando uma parte sgnfcante da concavdade (Fgura 4.5). Para Renolds 400 a vortcdade ocorre em pratcamente toda concavdade e possu seu centro deslocado lgeramente à jusante (Fgura 4.6) assm como na confguração onde H mn /H max = 0.3 e λ/a = 8. Fgura 4.5: Gráfco das solnhas da função corrente para Renolds gual a 00, confguração com H mn /H max = 0.3 e λ/a = 4 Fgura 4.6: Gráfcos das solnhas da função corrente para Renolds gual a 400, confguração com H mn /H max = 0.3 e λ/a = 4 A nfluênca dos dos parâmetros geométrcos pode ser observada na Fgura 4.7 (da esquerda para a dreta λ/a = 4, 8 e 6 e de cma para baxo H mn /H max = 0.3, 0.5 e 0.7) para Renolds gual a 00, onde se nota que o aumento de um dos dos parâmetros dmnu a zona de recrculação.

58 44 Fgura 4.7: Varação do comportamento no canal de acordo com a varação dos parâmetros geométrcos (da esquerda para a dreta λ/a = 4, 8 e 6 e de cma para baxo H mn /H max = 0.3, 0.5 e 0.7) Dado um campo de velocdade, o coefcente de atrto é geralmente defndo baseado em uma força de csalhamento equvalente na dreção do escoamento por undade de área superfcal. Segundo Kundu (00) ndependentemente se este csalhamento é devdo às forças vscosas ou se é essencalmente uma força de pressão, como no caso trocadores de calor com escoamento transversal, o comportamento do coefcente de atrto será o mesmo. O fator de atrto com base na tensão de csalhamento é geralmente defndo como: f u w av (4.0) Multplcando-se pelo número de Renolds, podemos determnar a relação (Anexo D):