PME5325-Fundamentos da Turbulência 2016

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1 35 CAPÍTULO ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE A CINEMÁTICA E A DINÂMICA DOS FLUIDOS.. Teora do Movmento Elementar da Partícula Fluda.... Movmento de uma Partícula Fluda O movmento elementar de uma partícula, do ponto de vsta da Mecânca dos Corpos Rígdos, resulta da composção de dos movmentos: translação e rotação. Do ponto de vsta da Mecânca dos Corpos Deformáves há necessdade de se agregar o movmento de deformação da partícula. Pressupõe-se que as partículas que compõem o sstema preservam a sua dentdade físca durante o movmento elementar, de acordo com o conceto de sstema, o que caracterza o método lagrangeano de observação do movmento. A taxa com que um elemento fludo é deformado depende do movmento relatvo de dos pontos do meo fludo no ntervalo de tempo de observação. A fgura abaxo procura esquematzar o movmento elementar assocado a partículas fludas vznhas P 0 e P 0, num ntervalo elementar de tempo : PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP Fgura.. Representação esquemátca do movmento elementar de partículas Fludas

2 36 A posção P 0 da partícula λ, da vznhança de λ, stuada em P 0, pode ser obtda pelo deslocamento elementar dr. A dedução matemátca pode ser encontrada em Assy (004) resultando na equação geral da Mecânca dos Corpos Deformáves, abaxo apresentada: ' V onde: V + Ω Λ r0 + gradφ (.) V V representa a varação da translação cnemátca de uma partícula com relação a outro; Ω r 0 representa a rotação pura de uma partícula com relação a outro; ½ gradφ representa a deformação de uma partícula com relação a outra. No estudo da Mecânca dos Fludos a deformação da partícula fluda é contínua e sempre é uma componente mportante do movmento elementar, o que torna o estudo mas complexo quando comparado com o estudo dos corpos rígdos, onde não ocorre deformação. Portanto o sstema de fludo real em movmento está sueto smultaneamente a translação, rotação e deformação, e, em conseqüênca, está sueto a um estado de tensões que levam às deformações resultantes, conforme esquematzado na fgura.: PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP Fgura.. Tpos de deformações de um elemento fludo

3 37... Tensão Total em um Ponto de um Sstema Fludo Um sstema ou corpo fludo em movmento com relação a um sstema de referênca nercal está sueto a forças de campo (ou à dstânca) e a forças de contacto (ou de superfíce). A força de campo mas relevante é a força gravtaconal e as forças de contato podem ser decompostas em forças normas e tangencas, que estão assocadas a forças de pressão e de csalhamento sobre o elemento fludo. A ntegração das forças elementares de campo e de contato resulta nas seguntes F g F equações: O vetor T n representa a tensão total em um ponto P centrado na área elementar da: (.) A aplcação do teorema do tetraedro (ver ASSY, 004) permte determnar a tensão total em um ponto a partr do campo de tensões em três planos tr-ortogonas com centro no ponto P. Em notação tensoral a tensão total em um ponto P pode ser representada por um tensor smétrco de segunda ordem: T sup T n m gdm A T da n lm d TTT TTT T3T3T gρd F df A da (.3) PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP (.4) onde, os termos de mesmo índce correspondem aos termos de esforços normas (pressão) e os termos de índces dferentes correspondem aos esforços csalhantes (vscosos).

4 Dlatação Lnear, Tensor Smétrco de Deformação e Tensor Antssmétrco de Rotação..3.. Dlatação Lnear e Dlatação Cúbca A fgura abaxo representa a dlatação de um elemento em uma únca dreção: Fgura.3. Representação esquemátca da dlatação lnear em um elemento fludo Para um campo de velocdades quando todos os termos são nulos, exceto /, a velocdade relatva de P 0 em relação a P 0 é de: du onde: d representa a taxa de alongamento (ou taxa de deformação lnear) na dreção x-x, sofrda pelo elemento. Analogamente, nas outras dreções: d d dx 33 PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP 3 3

5 39 Generalzando em notação tensoral: d (.5) Quando o elemento se dlata nas três dreções smultaneamente (dlatação cúbca), a varação de volume em termos de taxa relatva é dada por: d d d d 0 0 dx dx 0 dx 3 (.6) A substtução da equação (.5) na equação (.6), aplcando-se expansão em sére de Taylor ao elemento que se dlata nas três dreções, resulta no conceto de compressbldade do elemento de fludo, onde: d d dvu U d 0 3 (.7) A relação acma mostra que não há dvergênca ( dvu 0) entre d e d 0 no nstante t 0 quando o fludo escoa, comportando-se como ncompressível, que é o caso de nteresse dessa publcação Tensor Smétrco O termo d caracterza um tensor com deformações em dreções normas ao elemento fludo. Quando os elementos fora da dagonal prncpal não se anulam ( ), o campo de escoamento passa a ser de deformação por csalhamento puro, o que é PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP caracterzado por um tensor smétrco de deformação (d ), sendo: dθ tan dθ dθ tan dθ dx dx dx dx (.8)

6 40 Fgura.4. Representação esquemátca da deformação angular de um elemento fludo. No caso da deformação acma, o ângulo reto em P 0 se dstorce como resultado de dos movmentos; portanto: d θ d + θ (.9) Equações análogas poderam se obtdas no caso de deformações angulares nas três dreções, caracterzando-se assm, o tensor smétrco de deformação, que normalmente é representado na lteratura em notação tensoral, acrescentando-se o coefcente ½: d ( com. + + ) (.0) PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP Tensor Antssmétrco A deformação do elemento fludo podera ser por rotação pura sem dstorção (com ), representada na fgura., o que é caracterzado por um tensor ant-smétrco de deformação. Neste caso a rotação ocorre como corpo rígdo com:

7 4 dx dθ tan dθ dx dx dx dθ tan dϑ dx dx dθ + dθ dθ ( z ) (.) Equações análogas poderam se obtdas quando da rotação nas três dreções, caracterzando-se assm, o tensor ant-smétrco de deformação, que normalmente é representado na lteratura em notação tensoral, acrescentando-se o coefcente ½: ω ( ) (.) Portanto, de acordo com a equação.. o movmento elementar de uma partícula de uma massa fluda é composto pela translação pura descrta pelas componentes de velocdade U (ou V ), pela deformação angular descrta pelo tensor smétrco de deformação (equação.0) e pela rotação pura descrta pelo tensor ant-smétrco de deformação (equação.). Na hpótese de escoamentos ncompressíves, a dlatação volumétrca representada pela equação (.7) é nula. A teora elementar do movmento da partícula, exposta acma de manera smplfcada, dá uma déa da complexdade da descrção do movmento de um elemento fludo sueto a deformações. Se consderarmos o escoamento turbulento com flutuações de velocdade nas três dreções, o grau de complexdade aumenta sgnfcatvamente. No capítulo 5 a turbulênca é descrta a partr de uma aproxmação estatístca e, nesse caso, ela pode ser representada pela superposção de dos movmentos: um movmento médo e um movmento flutuante em torno da méda. Consderando-se valores de velocdade e pressão meddos nstantaneamente em um escoamento turbulento qualquer, tem-se que: V u + v + wk (.3) PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP

8 4 u U + u v V + v sendo: w W + w p P + p (.4) Em notação tensoral, tem-se que: u U + u (.5) p P + p Além do fato do escoamento turbulento de um elemento fludo poder ser caracterzado pela superposção de translação, rotação e deformação angular, pode-se assocar ao tensor ant-smétrco e prncpalmente ao tensor smétrco, que é responsável pela deformação do escoamento, o campo de velocdades nstantâneas e de flutuações de velocdade nas três dreções. Usando a notação acma de Tennekes e Lumley (987) para escoamento turbulento, pode-se defnr a taxa de deformação do escoamento médo e das flutuações, a partr do conceto de tensor smétrco de deformação apresentado anterormente: s S u ( ( u + ) + ) (.6) As equações.6 traduzem a taxa de deformação do escoamento médo (assocada a geração da turbulênca) e a taxa de deformação das flutuações (processo de cascata de turblhões), cua quantfcação é prmordal para o entendmento de um determnado escoamento turbulento. Esse tema será dscutdo no capítulo 5. PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP.. Fludos Newtonanos e Não Newtonanos. Consderações Sobre Escalas Moleculares e Escalas de Turbulênca Pela própra defnção, sabe-se que fludo não resste à tensão de csalhamento e de acordo com a Le de Newton da vscosdade a tensão aplcada é dreta e lnearmente

9 43 proporconal a deformação. Usando notação tensoral essa le pode ser representada pela segunte equação: τ µ (.7) Os fludos que obedecem a esta le são os fludos newtonanos, que correspondem a grande parte das aplcações de escoamentos na Engenhara. Usando os postulados de Stokes de 845 (ver KLEINSTREUER, 997) fludos newtonanos são caracterzados pelas seguntes condções: T a) A tensão de csalhamento (τ ) é função lnear da deformação angular (δu /δx ); b) O fludo é sotrópco; c) O tensor smétrco de deformação que caracterza a tensão total em um ponto da massa fluda, é um tensor smétrco de segunda ordem, dado pela matrz abaxo: ( p + τ xx ) τ xy τ xz τ ( + ) yx p τ yy τ yz τ zx τ zy ( p + τ zz ) Portanto com nove termos, sendo apenas três dferentes, com p representando a pressão termodnâmca ou hdrostátca. Para deformações nas três dreções, consderando-se fludo ncompressível, a equação.7 pode ser generalzada abaxo: τ µ ( + ) (.8) PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP Todava exstem mportantes stuações de escoamento em que a Le de Newton não é válda e nesses casos os fludos são os não-newtonanos. Dos casos típcos de escoamentos que podem ter comportamento ora como newtonano, ora como não newtonano, são: o escoamento de soluções polmércas e o escoamento de sangue através do sstema vascular. Nesses casos, além do efeto da vscosdade, a resposta elástca dos fludos polmércos ou do sangue pode se tornar mportante, em alguns casos, na defnção das tensões csalhantes, e esses fludos são também chamados de vscoelástcos.

10 44 Sob o ponto de vsta da estrutura molecular de fludos com comportamento não newtonano, teríamos que ntroduzr uma descrção precsa do comportamento reológco desses fludos, o que não é o escopo dos exemplos apresentados nesse lvro. As soluções polmércas, por exemplo, são caracterzadas por macromoléculas e poderíamos, sob o ponto de vsta do escoamento global, dependendo de sua concentração e de seu peso molecular, tratá-las como newtonanas, podendo-se utlzar a equação de Naver-Stokes na sua forma clássca. O que acontece a estrutura dessas macromoléculas quando suetas às tensões de deformação? Algumas lgações são elmnadas ou não? Poderíamos falar em efeto de memóra assocado à resposta elástca da estrutura molecular? Poderíamos assocar, em analoga, escalas de turbulênca a essa estrutura molecular de escoamento? São perguntas nteressantes que conduzem a uma dscussão anda mas nteressante, na tentatva de generalzação dos concetos de turbulênca. Sabemos que alguns líqudos não-newtonanos se comportam como pseudoplástcos em que ocorre uma dmnução da vscosdade com o aumento da taxa de deformação. É o caso das soluções polmércas que apresentam longas cadeas entrelaçadas e enoveladas, e que quando em repouso, mantém uma ordem nterna rregular sendo caracterzadas por uma consderável resstênca nterna ao fluxo, devdo a alta vscosdade ncal. É o caso também das hemácas (células vermelhas do sangue) suspensas no plasma que podem ter sua forma alterada, reduzndo o dâmetro e alongando-se, o que sgnfca uma passagem mas fácl através dos mcro-vasos sanguíneos para uma maor taxa de deformação. A fgura.5 apresenta os dagramas reológcos e as curvas de varação de vscosdade de fludos Newtonanos e Não Newtonanos PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP Fgura.5 Representação esquemátca de dagramas reológcos e de curvas de varação de vscosdade para fludos Newtonanos e Não Newtonanos.

11 45 A fgura.6 dá uma déa do processo de realnhamento e estramento molecular para os exemplos apresentados acma. Fgura.6 Ilustração de partículas líqudas em repouso e escoando..3. Equação de Naver Stokes Consdere-se um volume elementar de fludo em movmento com relação a um sstema nercal sueto a esforços vscosos tangencas e esforços normas de pressão. Os esforços vscosos podem nfluencar a traetóra do sstema fludo, pos qualquer desequlíbro desses esforços conduz a uma força vscosa líquda atuando no sstema. Na fgura.7 representa-se um sstema fludo elementar na forma cúbca sueto à tensões de csalhamento em suas faces. PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP Fgura.7. Representação esquemátca de um elemento de fludo sueto a esforços de csalhamento vscoso em suas faces.

12 46 A dferença τ zx entre o topo e a base do elemento, por exemplo, produz uma força líquda na dreção x de magntude: f x τ zx τ zx da dz dxdy z (.9) Consderando todas as faces com deformação na dreção x, resulta: f x τ τ xx yx τ zx + + d y z Expressões smlares podem ser obtdas para f e vscosa líquda resultante atuando no elemento fludo é dada por: f τ d Lembrando da segunda le de Newton do movmento: ad pd + f ρ vs cos a d y (.0) f z e, em notação tensoral, a força resulta, pela substtução de. em. (escrta em notação tensoral): du τ p + ρ (.) (.) (.3) A substtução da equação.8 na equação.3 resulta na equação de Naver- Stokes (em notação vetoral): dv V + V V p + ν t ρ ( ) V Ou em notação tensoral, nclundo o termo de força de campo: du u u p u + u g + ν t ρ x (.) PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP (.4) A questão crucal nessa equação tão mportante para a Mecânca dos Fludos é que ela contém um termo não-lnear (quadrátco) em termos da velocdade, o que torna complexo o seu uso partcularmente na análse de escoamentos turbulentos..4. Equação da Contnudade

13 47 O prncípo da conservação da massa aplcado a um sstema fludo elementar em movmento pode ser escrto como: dρ + ρdvv 0 (.5) Em coordenadas de Euler a equação.5 pode ser escrta como: ρ + ρv 0 (.6) t A equação acma pode ser smplfcada, resultando na equação da contnudade para escoamentos ncompressíves: V 0 ou em notação tensoral: u 0.5. Equação da Energa Cnétca (.7) (.8) A multplcação da equação de Naver-Stokes pelo vetor velocdade, resulta na equação da energa cnétca por undade de massa: dv V V V + t ν ρ ( V ) V p V + V ( V ) (.9) cua manpulação matemátca (ver Davdson, 006) conduz à segunte equação: ( u ) t [( u u ) V ] p V τ + ν S S PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP ρ ρ (.30).6. A Dnâmca da Vortcdade No tem..3.3 enfatzou-se que a rotação de um elemento fludo pode ser traduzda por um tensor antsmétrco (equação.). Em outras palavras, a rotação de

14 48 uma partícula fluda pode ser traduzda, em termos vetoras, como o rotaconal do campo de velocdades: ω rotv V (.3) Costuma-se defnr a vortcdade, como: ξ ω V (.3) traduzndo-se a vortcdade como a rotação de um elemento fludo em torno de s mesmo em um escoamento. O conceto de vortcdade merece atenção nos escoamentos, em partcular nos escoamentos turbulentos, porque, dferentemente do campo de velocdade, que pode ser modfcado nstantânea e espacalmente, às custas do campo de pressões, o campo de vortcdade não pode ser crado ou destruído no nteror da massa fluda, mas apenas transportado através de processos de advecção e dfusão. Nesse sentdo, a vortcdade e governada por uma equação mas smples que a equação de Naver-Stokes. O gradente de velocdades em um elemento fludo mplca em sua deformação e rotação, sendo que a combnação das tensões de csalhamento e da vortcdade, conduzem à segunte expressão: u u ( u u + ) + ( u ) (.33) Onde o prmero termo do segundo membro representa a taxa de deformação do elemento fludo ( S ) e o segundo termo representa a taxa de rotação ( ω ). Davdson, 006 oferece uma dscussão sobre o peso de cada termo no processo de geração da turbulênca. A equação da vortcdade pode ser obtda aplcando-se o rotaconal à equação de Naver-Stokes (ver Davdson, 006), obtendo-se assm, a partr de algumas manpulações matemátcas, a forma mas freqüente encontrada na lteratura: dω ( ω ) V + ν ω (.34) cuos termos, tem o segunte sgnfcado físco: ( ω )V corresponde à mudança do momento de nérca do elemento fludo PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP devdo ao estcamento (stretchng) ou compressão desse elemento; ν ω corresponde ao momento de resstênca vscoso (torque) do elemento.

15 49 Em notação tensoral, essa equação pode ser reescrta na forma: dω ω t + u ω u ω ω + ν x (.35) Por essa equação percebe-se que a vortcdade de um elemento fludo pode ser modfcada sea pelo stretchng do elemento, sea pelas tensões vscosas. Consderando-se, por exemplo, uma bolha de vortcdade (blob of vortcty) de acordo com a defnção de Davdson (007) embebda em um escoamento potencal com lnhas de corrente convergentes, conforme mostrado na fgura.8, o momento de nérca do elemento (blob of vortcty) na dreção paralela a ω decrescerá, de acordo com a equação: H I ω (.35) sendo: H quantdade de movmento angular; I momento de nérca; de modo a preservar a quantdade de movmento, resultando no fenômeno de estcamento da bolha de vortcdade (vortex stretchng), assocado ao termo ( ω ) V da equação acma. Fgura.8 Fenômeno de vortex stretchng em um tubo convergente a partr de um escoamento potencal.(extraído de DAVIDSON, 007) PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP Consdere-se agora o caso de um escoamento bdmensonal vscoso, onde o fenômeno de vortex stretchng não tem sentdo físco sendo que o termo ( ω ) V desaparece da equação da vortcdade. Sendo assm a equação.34 é smplfcada: dω ν ω (.36) com a vortcdade modfcando-se apenas em função do momento resstente vscoso.

16 50 Essa equação é análoga a equação da dfusão-advecção de temperatura, ou sea, a vortcdade em um escoamento bdmensonal se espalha por dfusão e se move de um lugar para um outro lugar por advecção, conservando todava o total da vortcdade. As bolhas de vortcdade, por outro lado, são orundas das separações de camadas lmtes em fronteras. Ou sea, as fronteras são fontes de vortcdade (blob of vortcty). Portanto o processo de evolução espaço-temporal de bolhas de vortcdade, formando tubos de vórtces, está assocado a um processo de dfusão e de deformação desses vórtces levando ao quadro da fgura.9, e quanto maor for o número de Reynolds, mas esse quadro se assemelha ao que entendemos por turbulênca, conforme á mostrado na fgura de Da Vnc (fgura.3 ). Fgura.9 Uma vsão da turbulênca a partr do entrelaçamento dos turblhões (eddes). Pode-se assm fazer uma prmera defnção de turbulênca de acordo com Corrsn (apud DAVIDSON, 007): A turbulênca em um escoamento ncompressível corresponde a uma dstrbução espacalmente complexa de vortcdade que é advecconada aleatoramente, de acordo com a equação.34 ou.35. O campo de vortcdade é aleatóro no espaço e no tempo, e exbe uma ampla faxa de dstrbução PME535-Fundamentos da Turbulênca 06 Prof. Jayme P. Ortz EPUSP contínua de escalas de comprmento e tempo. Essas escalas de turbulênca estão assocadas ao que se denomna na lteratura por turblhões ou eddes.