ANÁLISE TEÓRICA DA CONVECÇÃO FORÇADA LAMINAR TRANSIENTE EM DESENVOLVIMENTO SIMULTÂNEO EM DUTOS CIRCULARES

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1 AÁLSE TEÓCA DA COVECÇÃO FOÇADA LAMA TASETE EM DESEVOLVMETO SMULTÂEO EM DUTOS CCULAES Marnaldo J. Mederos Escola Técnca Federal de Sergpe -UED- Lagarto, SE, Brasl Carlos A. C. dos Santos Unversdade Federal da Paraíba -LES-DTM-CT João Pessoa, PB, Brasl Sadh Kaaç Departament of Mechancal Engneerng - Unversty of Mam - Coral Glabes-Flórda, USA esumo. este trabalho, a convecção forçada lamnar transente no escoamento em desenvolvmento smultâneo com uma varação senodal do perfl de temperatura de entrada é estudada analtcamente em dutos crculares. A técnca da transformada ntegral generalzada é usada para obtenção de uma solução híbrda analítco-numérca para a equação da energa, sujeta a uma condção de contorno do 5º tpo, a qual consdera os efetos da convecção externa e da capactânca térmca da parede. A análse peródca é desenvolvda utlzando dos problema smlares acoplados.os resultados numércos são comparados com outros trabalhos através de gráfcos e tabelas dos perfs de velocdade e temperatura, e do número de usselt para dos números de prandtl dstntos. Palavras-chave: Convecção Forçada Transente, Técnca da Transformada ntegral, Condção do 5º tpo, Função de Bessel.. TODUÇÃO O estudo da convecção forçada transente tem sdo objeto de estudo de mutos pesqusadores, devdo à sua grande mportânca prátca na engenhara. O conhecmento de determnados parâmetros, tas como: número de usselt (U) e temperatura méda do fludo (T BULK ) é fundamental para o desenvolvmento, otmzação e construção de trocadores de calor. A determnação do campo transente permte a análse das respostas temporas de sstemas dnâmcos, pos a precsão acurada das respostas térmcas dos trocadores de calor é altamente mportante, não somente para proporconar um sstema de controle efetvo, como também, para evtar efetos ndesejáves como: a redução da performance térmca ou até mesmo falha mecânca eventual. o estudo de escoamentos com o perfl hdrodnâmco desenvolvdo exste uma vasta lteratura complada por Shah e London (978). Sparrow e de Faras (968) estudaram o problema de convecção forçada peródca, utlzando na entrada uma temperatura varando com o tempo e o espaço, levando a resolução de um problema complexo. Cotta et al (987) utlzou a técnca da transformada ntegral para resolver

2 analtcamente o problema que envolve a varação peródca da temperatura, utlzando os efetos da convecção externa e da capactânca térmca de parede. Kaaç, Dng e L (989) projetaram e construíram um aparato expermental para constatação das análses teórcas envolvendo a convecção forçada transente com varação peródca da temperatura de entrada. Cheroto, Santos e Kaaç (995) fzeram um estudo teórco da convecção forçada transente utlzando as mesmas condções de Cotta et al (987), sendo que o problema térmco fo separado em duas partes: real e magnára. Já nos escoamentos com desenvolvmento smultâneo o número de trabalhos publcados é restrto. Campos Slva, Cotta e Aparecdo (99), resolveram a equação da energa através de uma lnearzação do problema de velocdade para condção de temperatura unforme. Machado (99), resolveu o problema de convecção forçada permanente com perfs de temperatura e velocdade unformes. Guedes e Ozs (994), resolveram a equação do momentum utlzando a técnca da transformada ntegral e a equação da energa usando uma combnação da técnca da transformada ntegral generalzada com dferenças fntas para resolução do problema de convecção forçada transente. Mederos et al (997), resolveu o problema de convecção forçada transente em desenvolvmento para placas paralelas, utlzando uma varação peródca na temperatura de entrada e uma condção do 5º tpo, através da técnca da transformada ntegral generalzada. o presente trabalho, a técnca da transformada ntegral generalzada é estendda para análse da convecção transente lamnar no escoamento em desenvolvmento smultâneo em dutos crculares submetdo a uma condção do 5 tpo e a varações peródcas na entrada. O perfl de velocdade é resolvdo no regme permanente, já o perfl de temperatura é soluconado no regme transente. As varações peródcas levam a um campo de temperatura complexo, o qual é resolvdo através de um problema auxlar que envolve autovalores e autofunções, dvddo em duas partes: real e magnára, onde os autovalores são resolvdos através de uma subrotna do MSL denomnada de DZBE, já o sstema de equações dferencas ordnáras é resolvdo pela subrotna DVPAG.. FOMULAÇÃO Trata-se de um problema de convecção forçada lamnar e transente em dutos crculares com escoamento em desenvolvmento térmco e hdrodnâmco smultâneo. O escoamento é submetdo a uma varação peródca da temperatura de entrada, sujeto a uma condção de contorno do 5 tpo que consdera os efetos da convecção externa e os da capactânca térmca da parede. As propredades físcas são assumdas constantes, sendo desprezados os efetos da dsspação vscosa e convecção natural. r Condção do 5º tpo T(t) U r w z Fgura Defnção do problema O problema é descrto matematcamente através das equações da contnudade, momentum e energa.

3 Contnudade: Momentum: Equação da Energa: ( r v) u u u dp u T T T T ; u v v r ; u v α r z r r z r r dz r r r t z r r r r (.a-c) As condções de contorno para a velocdade são dadas como: u(z, r) (, r) u, u(z, r ), r r v(, r), v(z, rw ), v(z,) u w (.a-f) As condções de entrada e de contorno para a temperatura são tomadas como: T r t T T y e β (,, ) ( ) t T T h e [ T T ] ( ρ c) w l r r T( z,, t) (3.a-c) r Onde utlza-se os seguntes parâmetros para admensonalzação do problema proposto: r z u v P T T ; Z ; U ; V ; P ; θ ; r w r w u u ρ u T c α t r u r w w c w r ; ; e ν ( ρ ) τ Ω β ; w Pe epr ; Pr ; a r α ν α ( ρ c) l w f (4.a-m) O problema proposto assume a forma admensonalzada mostrada abaxo: ( V) ; U V U V Pe t Z Pe dp dz e ; (5.a-c) U( Z,) U(, ) ; ; U( Z,) ; V(, ) ; V( Z,) ; V( Z,) e β τ ( Z,, τ ) ( Z,, τ) ( Z,, τ) θ(,, τ) θ( ) ; ; Bθ( Z,, τ) a τ (5.d-m) Para melhorar a performance computaconal, na solução do campo de velocdade, o campo do escoamento completamente desenvolvdo do escoamento é separado do potencal completo, na segunte forma: U(Z, ) U (Z, ) U () U () ( ) (6.a-b)

4 ntroduzndo as equações (6.a-b) nas equações da contnudade, momentum e energa, obtemos: (Z, ) e ( V(Z, ) ) ; Pe τ ; (U (U U dp U ) V 4 dz ) V Z Pe 8 e (7.a-c) e nas condções de contorno e de entrada do campo de velocdade, obtemos: U U ( Z,) (, ) U ( ) ; U Z ; (, ) (7.d-f) Como só estamos nteressados na solução peródca do problema para tempos longos, para tas casos, a solução pode ser assumda como: ~ Ωτ θ( Z,, τ) θ ( Z, ) e Substtundo a equação (8) na equação da energa, obtemos: ~ ~ ~ ~ Ω θ ( U ) U V Pe Pe (8) (9) Como a equação (9) está em termos reas e magnáros, então para facltar a solução da mesma, dvdmos a equação num conjunto real e outro magnáro: ( Z) ~ θ, θ ( Z, ) θ ( Z, ) Logo, a equação (9) se dvde em duas partes real e magnára: ( U U ) V Ω Pe Pe θ ( U U ) Ω V Pe Pe θ () (.a) (.b) com suas condções de contorno tornando-se: (.c-d) B θ ( z, ) θ ( z, ) ; Bθ ( z, ) a θ ( z, ) Ω Ω a (.c-f)

5 Como as equações da contnudade e do momentum são desacopladas da equação da energa, pode-se resolver o perfl de velocdade separadamente do campo de temperatura. ncalmente, a equação da contnudade é ntegrada de a,dando: V(Z, ) (Z, ' ) ' d' () ' De manera smlar, a equação do momentum é ntegrada, para determnar o gradente de pressão, chegando a: dp 4 (U dz U () (Z, ) (Z, ) U ()) d 4 3 (Z, ) U (Z, ) d e d (,) 8 e (3) Consderando o problema auxlar abaxo: d d dψ( d, ) ψ(, ) ; dψ(, ) d ; ψ(,) (4.a-c) Cujo os autovalores, autofunções e a norma são dadas, respectvamente por: J ( ) ; ψ(,, ) J (,) ; ψ (, )d (4.d-f) Um par de tranformada ntegral é construído utlzando o problema auxlar, defndo como: ψ(, ) U (Z, ) U (Z) nversa ; U (Z) ψ(, ) U (Z, )d transformada (5.a-b) Aplcando a nversa nas equações e 3, e em seguda, substtundo as mesmas na equação 7.b, chegamos a: A B j j j e 4F () U (Z) j F () dψ(,) δ U (Z), d ( Q F ()(H F )) du (Z) dz (6) Onde:

6 dψ A j ψ ψ ψ ψ j d j d ; B j F () j d Q F () ψ( ψ ψ U ()d ;, )d ; H S ψ F ()d ; U () ψ(, )d Q Q 4 S (7.a-g) O sstema dado pela equação(6) proporcona um conjunto nfnto de equações dferencas ordnáras para o campo de velocdade transformado, este por sua vez é truncado num número sufcentemente grande e resolvdo pela DVPAG do MSL. Para encontrar o campo de velocdade orgnal aplca-se a nversa (5.a). Conhecendo a dstrbução da velocdade, podese resolver a equação da energa segundo a metodologa anteror. Consderando o segunte problema auxlar, o qual acrescentamos um subíndce para dstngur de real e magnáro, respectvamente: d d Γ, λ, Γ, d d dγ, dγ d, Γ d, B (8.a-c) Conhecendo o problema auxlar do campo de temperatura, podemos defnr o par de transformada ntegral: θ, (Z) Γ, ( λ, ) θ M (Z, )d λ θ θ Z Γ (, ), (, ), ( M Z ) nversa M Γ, ( λ, )d norma transformada (9.a-c) Multplcando as equações (3.a) e (8.a) pelos operadores descrtos abaxo, Γ, ( λ, ) θ ( Z, ) respectvamente: d e d M Pe,e em seguda, somando as M, equações e rearrumando termo a termo, obtemos:, dθ j, A C j j U P dz j j j du dz δ j λ θ Pe, j, Ω j Pe j a j θ j, (.a)

7 A j Γ, Γj, ψ d M M () () C M M F j j j P j j δ 3 Γ Γ d ; j, j,, j M M Γ Γ j M M j M M j Γ () Γ (), j, j, () Γ d, dγ j, d d (.b-f) A parte magnára pode ser obtda de manera smlar. De posse dos dos sstemas utlza-se a DVPAG para encontrar o campo de temperatura transformado, e a partr daí, pode-se determnar a temperatura méda do fludo e o número de usselt local dados por: dθ(, Z) θ U(, Z)d θ (, Z)U(, Z)d d AV (Z) ; U m (Z) ; u(z) U m d θ(, Z) θ AV (Z) (.a-c) 3. ESULTADOS E DSCUSSÕES Os resultados foram obtdos com e, onde a coordenada longtudnal fo admensonalzada na segunte forma: ] 5H ' K K () A tabela mostra a convergênca da velocdade longtudnal no centro do duto (y) em dversas posções ao longo do duto, para a forma de solução em varáves prmtvas. Verfcase uma dferença razoavelmente grande, sto se deve ao fato talvez, que por se tratar de coordenadas clíndrcas, a contnudade seja mas afetada em relação a coordenadas retangulares. A tabela mostra a convergênca da ampltude da temperatura méda do fludo em dversas posções ao longo do duto, para a forma de solução em varáves prmtvas, usando para sto, e, Pr.7, Ω (frequênca de entrada), Bot 3 e a relação da capactânca térmca entre a parede e fludo como sendo gual a 3. Constata-se que a convergênca fo obtda na tercera casa decmal, acredta-se que a utlzação de um computador de maor porte melhore essa convergênca, provavlemente este fato ocorreu porque as autofunções foram expressas como funções de Bessel.

8 Tabela - Convergênca da velocdade longtudnal no centro do duto usando varáves prmtvas. Z C C C3 C4 C5 Shah e London (978) Tabela - Convergênca da temperatura méda do fludo. Z C C C3 C4 C As fguras e 3 mostram a forma da curva do número de usselt local com a forma reproduzda por Shah e London (978), para número de prandt grande e pequeno. Verfca-se que as curvas concdem, com exceção do níco. Acredta-se que esta dferença seja devdo aos efetos do perfl de entrada, talvez não fo levado em consderação por Shah e London (978), ou até mesmo, pelo método utlzado por este.

9 3. úmero de ussel [ Uz t].. Pr 5 Presente Trabalho Shar e London 3...E-4.E-3.E-.E-.E Posção ao longo do duto [ z] Fgura Comparação do número de usselt local com Shah e London (978), usando Pr5. Pr.7 úmero de usselt Local (Ux,t.. Presente Trabalho SHA e LODO..E-4.E-3.E-.E-.E Posção ao longo do duto ( z) Fgura 3 Comparação do número de usselt local com Shah e London (978), usando pr COCLUSÃO O problema proposto usando a técnca da transformada ntegral generalzada para obtenção do perfl de velocdade e temperatura, como também do número de usselt obteve uma boa performance em relação a outros trabalhos. Verfcou-se a nfluênca das autofunções em termos das funções de Bessel, para convergênca dos resultados. Constatou-se que à

10 medda que Bot cresce, o decamento exponencal da temperatura é maor, e que quando Bot tende a nfnto, o número de usselt torna-se 3.66, característca do escoamento completamente desenvolvdo. 5. EFEÊCAS BBLOGÁFCAS Campos Slva, J.B.; 99, Técnca da Transformada ntegral Generalzada no Desenvolvmento Smultâneo dos Perfs de Velocdade e Temperatura em Escoamento Lamnar em Dutos de Geometra Smples, Tese de Mestrado, TA. Cheroto,S.; 995, Theoretcal nvestgaton of Unsteady Forced Convecton n Parallel-Plate Channels for Thermally Developng Flow, Master Thess, Unversty of Mam, Coral Gables, Fl,USA. Cotta,.M., Mhalov,M.D. e Özs, M.. ; 987, "Transent Conjugated Forced Convecton n Ducts Wth Perodcally Varyng nlet Temperature", nt. J. Heat Mass Transfer, 3, pp Guedes.O.C. e Ozs M.., 99, Transent Heat Transfer n Smultaneously Developng Channel Flow wth Step Change n nlet temperature, nt. J. Heat Mass Transfer, 7 pp Kaaç, S., Dng,Y.,e L, W.; 989, Expermental nvestgaton of Transent Lamnar Forced Convecton n Ducts, Elsever Scense. Machado, H.A., 99, "Solução Híbrda umérca-analítca para as Equações de Camada Lmte em Convecção nterna", COPPE, o de Janero. Mederos, M.J., Santos C.A.C., Kaaç, S., & Cheroto,S ; 997, Análse Teórca da Convecção Forçada Lamnar Transente em Desenvolvmento Smultâneo em Placas Paralelas, XV COBEM, Bauru, SP BASL Shah,. K. & London, A. L., 978, Lamnar Flow Forced Convecton n Ducts, Supplement, Advances n Heat Transfer. Sparrow, E. M. & De Faras, F.., 968, Unsteady Heat Transfer n Ducts wth Tme-varyng nlet Temperature and partcpatng Wall, nt. J. Heat Mass Transfer. THEOCAL AALYSS OF THE TASET LAMA FOCED COVECTO FO SMULTAEOUS DEVELOPG FLOW CCULA DUCTS Abstract. n ths paper, the transent lamnar forced convecton n smultaneously developng flow s analytcally studed wth the snusodal varaton of the nlet temperature profle for crcular ducts. The generalzed ntegral transform technque s used to provde a hybrd analytcal-numercal soluton for the related energy equaton subjected to a general boundary condton of the ffth nd, accountng for the effects of both external convecton and wall heat capactance. The perodc analyss s performed by usng two coupled smlar problems. The numercal results are compared wth other wors through graphcs and tables for velocty and temperature profles and usselt number for two dfferent prandtl numbers. Word-ey: Transent Forced Convecton Generalzed ntegral Transform Technque Ffth Knd Boundary Condton Bessel Functon