Modelagem computacional de estruturas de aço com ligações semi-rígidas

Transcrição

1 Alexandre Almeda Del Savo Modelagem computaconal de estruturas de aço com lgações sem-rígdas Dssertação de Mestrado Dssertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação do Departamento de Engenhara Cvl da PUC-Ro como parte dos requstos para obtenção do título de Mestre em Cêncas da Engenhara Cvl da PUC-Ro. Concentração: Estruturas. Orentadores: Sebastão A. L. de Andrade Pedro C. G. da S. Vellasco Luz Fernando Martha Ro de Janero Feverero de 24

2 Alexandre Almeda Del Savo Modelagem computaconal de estruturas de aço com lgações sem-rígdas Dssertação apresentada como requsto parcal para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós- Graduação em Engenhara Cvl do Departamento de Engenhara Cvl do Centro Técnco Centífco da PUC-Ro. Aprovada pela Comssão Examnadora abaxo assnada. Prof. Sebastão Arthur Lopes de Andrade Presdente/Orentador Departamento de Engenhara Cvl PUC-Ro Prof. Luz Fernando Campos Ramos Martha Co-orentador Departamento de Engenhara Cvl PUC-Ro Prof. Bruno Feó Departamento de Informátca PUC-Ro Prof. Raul Rosas e Slva Departamento de Engenhara Cvl PUC-Ro Prof. José Gulherme Santos Slva Departamento de Engenhara Mecânca UERJ Prof. José Eugêno Leal Coordenador Setoral do Centro Técnco Centífco PUC-Ro Ro de Janero, 17 de Feverero de 24.

3 Todos os dretos reservados. É probda a reprodução total ou parcal deste trabalho sem autorzação da unversdade, do autor e do orentador. Alexandre Almeda Del Savo Graduou-se em Engenhara Cvl, ênfase em Estruturas, pela UPF - Unversdade de Passo Fundo em 22. Possu város trabalhos publcados em atas de conferêncas e revstas nternaconas na área de Análse de Estruturas de Aço. Del Savo, Alexandre Almeda Fcha catalográfca Modelagem computaconal de estruturas de aço com lgações sem-rígdas / Alexandre Almeda Del Savo ; orentadores: Sebastão A. L. de Andrade, Pedro C. G. da S. Vellasco, Luz Fernando Martha. Ro de Janero : PUC-Ro, Departamento de Engenhara Cvl, f. : l. ; 3 cm Dssertação (mestrado) Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero, Departamento de Engenhara Cvl. Inclu referêncas bblográfcas 1. Engenhara cvl Teses. 2. Estruturas de aço. 3. Lgações sem-rígdas. 4. Modelagem computaconal. 5. Análse não-lnear. I. Andrade, Sebastão A. L. de. II. Vellasco, Pedro C. G. da S. III. Martha, Luz Fernando. IV. Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. Departamento de Engenhara Cvl. V. Título. CDD:624

4 A Deus, aos meus pas, Lbóro e Berence, às mnhas rmãs, Letíca e Patríca, pelo amor e ncentvo ao longo de toda a mnha vda.

5 Agradecmentos Ao meu orentador, professor Sebastão Arthur Lopes de Andrade, pela amzade, auda, ensnamentos e apoo ao longo destes anos. Ao meu co-orentador Pedro Colmar Gonçalves da Slva Vellasco, pelo ncentvo, auda, pacênca, amzade, ensnamentos e apoo na execução deste trabalho. Ao meu co-orentador, professor Luz Fernando Martha, pelos conhecmentos transmtdos ncando-me na área de computação gráfca, pela amzade, auda, reconhecmento, confança e apoo ao longo dessa camnhada. Aos professores ntegrantes da banca examnadora. Ao Departamento de Engenhara Cvl da PUC-Ro, em especal a Ana Roxa, pelo auxílo. Aos meus amgos de Pós-Graduação, em especal ao Sdcle Formagn, André Muller, Eduardo Pasquett, Flávo Slva, Mara Fernanda Olvera, Paola Dalcanal, Walter Menezes, Isabelle Telles, Marcos Arruda e Harry Saavedra pela agradável companha e ncentvo. Aos meus amgos surfstas, em especal ao Danel Irgon e Frank Pruzaesky (Cubano), pela companha nas empretadas do surf. Aos meus amgos e colegas, em especal ao Fernando Busato Ramres (Joe Steel), Lucano Rodrgues Ornelas de Lma e Rcardo Rodrgues de Arauo que me auxlaram e motvaram durante o desenvolvmento deste trabalho e foram, também, responsáves por mutos momentos de descontração. Aos meus amgos do Sul, em especal à Janaíne Wobeto, Lele Almeda, Lucana Nunes, Carmen Das Castro, ao Leandro Almeda, Enrque Pokulat, Tago Roman, Marcelo Olvera, Tago Smões, Leonardo Pam e Elvs Carssm pelo apoo e momentos de descontração.

6 Aos professores da UPF (Unversdade de Passo Fundo) onde me forme, que me encoraaram a começar esta ornada, em especal ao professor Máro Paluch. Ao Tecgraf/PUC-Ro, por dsponblzar ferramentas computaconas ndspensáves para a realzação deste trabalho. Em especal ao Marco Sant e Ivan Menezes pelos ensnamentos e apoo. Ao CAPES/CNPq pelo auxílo fnancero recebdo durante o prmero ano de mestrado e à FAPERJ, pelo suporte fnancero recebdo durante a realzação deste trabalho (segundo ano de mestrado). E a todas as outras pessoas não ctadas aqu, que mutas vezes de uma manera sngela fzeram parte desta ornada.

7 Resumo Del Savo, Alexandre Almeda; Andrade, Sebastão Arthur Lopes de (Orentador). Modelagem Computaconal de Estruturas de Aço com Lgações Sem-Rígdas. Ro de Janero, p. Dssertação de Mestrado Departamento de Engenhara Cvl, Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero. Nos últmos tempos, város pesqusadores têm desenvolvdo formulações ou proposções geometrcamente não-lneares para elementos fntos com a fnaldade de se examnar o comportamento de pórtcos com lgações semrígdas. Dentre estes trabalhos destaca-se o de Chan e Chu [6], que desenvolveram um elemento de barra híbrdo com duas molas, com rgdez a rotação, condensadas nas suas extremdades. Implementado o elemento híbrdo proposto por Chan e Chu [6] no solver FEMOOP [28] e testado, pode-se constatar que este elemento apresenta um comportamento nadequado na representação dos momentos fletores, quando submetdo a cargas dstrbuídas. Esta constatação conduzu a mplementação de um novo elemento, elemento de lgação, proposto neste trabalho, que se comportasse adequadamente em qualquer stuação de carregamento. O uso deste elemento tornou possível modelar mas precsamente o comportamento da estrutura, sem a necessdade de qualquer tpo de dscretzação do carregamento. Além dsso, este elemento de lgação também permte smular análses elasto-plástcas das lgações e até mesmo das barras da estrutura. Assm, este trabalho tem como prncpal obetvo valdar, com base em nvestgações presentes na lteratura, as formulações mplementadas relatva à análse lnear (elemento híbrdo e elemento de lgação) e não-lnear (elemento de lgação) de sstemas estruturas sem-rígdos, bem como as mplementações computaconas realzadas para essa metodologa. Desta forma, fo desenvolvdo um sstema, chamado FTOOL/SRC, que possblta a geração de análses paramétrcas que balzem o uso adequado de lgações sem-rígdas, de forma smples e compacta graças a uma nterface gráfca efcente e ao uso de um resolvedor externo FEMOOP [28]. Palavras-chave Lgações Sem-Rígdas; Lgações Vga-Coluna; Análse Não-Lnear; Solução Não-Lnear; Modelos de Lgações; Modelagem Computaconal, FEMOOP [28]; FTOOL [39]; Flosofa de Programação Orentada a Obetos.

8 Abstract Del Savo, Alexandre Almeda; Andrade, Sebastão Arthur Lopes de (Supervsor). Computatonal Modellng of Sem-Rgd Steel Portal Frames. Ro de Janero, p. MSc Dssertaton Cvl Engneerng Department, Pontfcal Catholc Unversty of Ro de Janero. Over the past few years varous researchers have been developng geometrcally non-lnear fnte elements formulatons wth the purpose of examnng the behavour of frames wth sem-rgd connectons. Among these works t s approprate to menton Chan and Chu, [6], that developed a hybrd fnte bar element contanng two rotatonal sprngs condensed at ts extremtes. As ths hybrd fnte element, Chan and Chu [6] was mplemented and tested n the solver FEMOOP, [28], t was verfed that t presented an nadequate representaton of bendng moments, when dstrbuted loads were used. Ths verfcaton led the mplementaton of a rotatonal sprng fnte element that could tackle any loadng condtons. The use of ths element enables the users to accurate model the structural behavour, wthout the need of any addtonal loadng dscretzaton. Addtonally, ths connecton element also allows elasto-plastc smulaton analyses of the connectons, and even of the structures bars, to be performed. The man obectve of the present nvestgaton was to valdate, based n updated lterature nvestgatons, the fnte element formulatons mplemented. These procedures ncluded lnear (hybrd element and connecton element) and non-lnear (connecton element) analyss of sem-rgd structural systems. The mplementatons were made by the development of a system, called FTOOL/SRC. Ths system enables parametrc analyses of sem-rgd connectons to be performed n a smple and compact form due to the use of an effcent graphc nterface and a compact external solver FEMOOP [28]. Key-words Sem-Rgd Connectons; Beam-to-Column Connectons; Non-Lnear Analyss; Non-Lnear Soluton; Connecton Models; Computatonal Modellng, FEMOOP [28]; FTOOL [39]; Obect Orented Programmng Phlosophy.

9 Sumáro Lsta de Fguras...13 Lsta de Tabelas...16 Lsta de Símbolos...17 Lsta de Abrevaturas Introdução Evolução Hstórca da Análse e Modelagem de Lgações Sem-Rígdas Motvação Obetvos Contrbuções Escopo Solução Não-Lnear Introdução Relações deformação-deslocamento baseadas no Tensor de Green-Lagrange Relações de segunda ordem Relações lneares Funconal de Energa Referencas Formulação Lagrangeana, Pnhero [46] Formulação Corrotaconal, Galvão [45] Consderações Incas Relações lneares Relações de segunda ordem Vetor de forças nternas e matrz de rgdez Técncas de Solução Não-Lnear Concetos Geras Abordagem unfcada Métodos de solução específcos e os parâmetros abc Método de Newton-Raphson (NRM) Método de Controle de Deslocamento (DCM)...48

10 Método de Controle de Trabalho (WCM) Método do Comprmento de Arco (ALM) Método de Controle de Deslocamento Generalzado (GDCM) Procedmento do Resdual Ortogonal (ORP) Resumo dos métodos Análse Não-Lnear de Sstemas Estruturas Sem-Rígdos Introdução Comportamento e Modelos de Lgações Classfcação dos Modelos de Lgações Introdução Modelos Analítcos Modelos Matemátcos Modelos Mstos Formulações de Modelos de Lgações Elemento Híbrdo Proposto por Chan e Chu [6] Consderações Incas Modfcação da matrz de rgdez para a consderação de lgações sem-rígdas Elemento de Lgação Proposto Implementação Computaconal Introdução Concetos báscos da programação orentada a obetos, Lages [3] Programa FEMOOP [28] Programa de Elementos Fntos Organzação Geral Classe do tpo de controle (Control) Classe do Método dos Elementos Fntos (FEM) Classe dos nós (Node) Classe dos materas (Materal) Classe dos elementos (Element) Classe das formas dos elementos (Shape) Classe dos modelos de análse (Analyss Model) Classe de pontos de ntegração (Integraton Pont) Classe de modelos consttutvos (Consttutve Model) Classe elemento de carregamento (Load Element) Implementações realzadas no programa FEMOOP [28]

11 4.5 Programa FTOOL [39] Programa FTOOL/SRC Estrutura de Dados Classe Lsta Duplamente Encadeada Genérca e Classe Elemento Genérco (DoubleGenercLnkedLst and Elem) Classe Base para Lstas de Obetos (BaseLst) Classe das Barras (Member) Classe das Nós (Node) Classe do Modelo Estrutural (Model) Comuncação entre a estrutura de dados do FTOOL/SRC Interface Gráfca Utlzação do Solver FEMOOP [28] Exemplos Numércos Introdução Chan e Chu [6] Análse lnear de um pórtco smples sem-rígdo Análse lnear de um pórtco de quadro duplo com ses pavmentos sem-rígdo (pórtco de Vogel [25]) Steenhus, Gresngt e Weynand [26] Análse lnear de um pórtco smples sem-rígdo Comparação com as Análses de Keulen et al. [24] Análse não-lnear de um pórtco smples sem-rígdo Análse não-lnear de um pórtco de três andares sem-rígdo Consderações Fnas Introdução Prncpas Contrbuções Conclusões Sugestões para Trabalhos Futuros Referêncas Bblográfcas...13 Anexo A Análse Lnear Elástca de Segunda Ordem Método de Newton- Raphson

12 A.1. Introdução A.2. Análse da bfurcação versus análse da carga-deflexão A.3. Métodos geras de solução para análse não lnear A.3.1. Introdução A.3.2. Método Iteratvo Dreto A.3.3. Método Incremental Puro A.3.4. Método Incremental-Iteratvo: Procedmento de Newton-Raphson A.3.5. Método de Newton-Raphson

13 Lsta de Fguras Fgura 1.1 Tpos geras de análse de pórtcos estruturas (Chan e Chu [6])...21 Fgura 2.1 Referencal Lagrangeano atualzado (Galvão [45]) Fgura 2.2 Referencal Lagrangeano total (Galvão [45])...35 Fgura 2.3 Relações geométrcas: corrotaconal (Galvão [45])...36 Fgura 2.4 Esquema geral para solução de problemas não lneares, Paulno, et al. [48] Fgura 2.5 Comportamento do Snap-Through e Snap-Back, Paulno, et al. [48] Fgura 2.6 Método de Newton-Raphson, Paulno, et al. [48] Fgura 2.7 Método de Controle de Deslocamento: (a) snap-through e (b) snap-back, Paulno, et al. [48]...49 Fgura 2.8 Método do Comprmento de Arco, Paulno, et al. [48]...51 Fgura 2.9 Parâmetro GSP, Paulno, et al. [48]...53 Fgura 2.1 Condção de ortogonaldade, Paulno, et al. [48] Fgura 3.1 Tpos de lgações vga-coluna (Chan e Chu [6])...57 Fgura 3.2 Deformação rotaconal de uma lgação (Chan e Chu [6])...58 Fgura 3.3 Curvas momento-rotação típcas de algumas das lgações mas comuns (Chan e Chu [6]) Fgura 3.4 Elemento de mola smulando uma lgação (Chan e Chu [6]) Fgura 3.5 Modelo do elemento sem-rígdo dealzado por Chan e Chu [6]...63 Fgura 3.6 Elemento de vga-coluna com molas de lgação lgadas nas duas extremdades do elemento (Chan e Chu [6]) Fgura 3.7 Rotações e deflexões lateras de um elemento deformado com molas nas extremdades smulando lgações flexíves (Chan e Chu [6]) Fgura 3.8 Notações para deslocamentos e forças nodas do elemento de pórtco plano com lgações sem-rígdas (Pnhero [46])....7 Fgura 3.9 Modelo do elemento de lgação dealzado...74 Fgura 3.1 Mola de rgdez axal Fgura 3.11 Mola de rgdez rotaconal Fgura 3.12 Mola de rgdez translaconal Fgura 4.1 Organzação global das classes Fgura 4.2 Herarqua da classe Control...8 Fgura 4.3 Herarqua da classe Element Fgura 4.4 Nova herarqua da classe Element Fgura 4.5 Comuncação entre a estrutura de dados do HED...86 Fgura 4.6 Comuncação entre a estrutura de dados do FTOOL [39] e do HED referente aos atrbutos de cada entdade

14 Fgura 4.7 Classes que controlam as lstas do programa FTOOL/SRC Fgura 4.8 Comuncação entre a estrutura de dados do FTOOL/SRC...93 Fgura 4.9 Tela do FTOOL/SRC: pré-processamento das lgações sem-rígdas (em detalhe as alterações) Fgura 4.1 Entrada de dados de uma curva momento-rotação de uma determnada lgação Fgura 4.11 Tela do FTOOL/SRC: confguração dos tpos de análse (em detalhe as alterações)...96 Fgura 4.12 Gráfco do fator de carga versus deslocamentos de cada nó Fgura 5.1 Pórtco de um pavmento Fgura 5.2 Modelo estrutural dealzado para o pórtco de um pavmento Fgura 5.3 Momentos fletores, em knm Fgura 5.4 Pórtco de Vogel [25]...13 Fgura 5.5 Dscretzação utlzada e carregamentos nodas equvalentes para o pórtco de Vogel [25] (cargas em kn)...15 Fgura 5.6 Pórtco de um pavmento [26] Fgura 5.7 Deformações e momentos fletores do pórtco [26]...19 Fgura 5.8 Comparação dos momentos fletores (M A ) entre os modelos propostos e smulados Fgura 5.9 Comparação dos momentos fletores (M B ) entre os modelos propostos e smulados Fgura 5.1 Comparação dos momentos fletores (M C ) entre os modelos propostos e smulados Fgura 5.11 Comparação dos deslocamentos horzontas (d h ) entre os modelos propostos e smulados Fgura 5.12 Comparação dos deslocamentos vertcas (d v ) entre os modelos propostos e smulados Fgura 5.13 Pórtco de um pavmento [24] Fgura 5.14 Curvas característcas [24] Fgura 5.15 Lgação vga-coluna [24] Fgura 5.16 Dagrama carga-deslocamento (α =.1) Fgura 5.17 Dagrama carga-deslocamento (α =.15) Fgura 5.18 Dagrama carga-deslocamento (α =.2) Fgura 5.19 Dagrama carga-deslocamento (α =.3) Fgura 5.2 Dagrama carga-deslocamento (α =.5) Fgura 5.21 Pórtco de três pavmentos [24] Fgura 5.22 Curvas característcas [24] Fgura 5.23 Lgação vga-coluna [24] Fgura 5.24 Dagrama Carga Deslocamento do 3º Pavmento Fgura 5.25 Dagrama Carga Deslocamento do 2º Pavmento

15 Fgura 5.26 Dagrama Carga Deslocamento do 1º Pavmento Fgura 5.27 Seqüênca de formação das rótulas plástcas Fgura A.1 Método teratvo dreto secante Fgura A.2 Método ncremental puro com ncrementos de carga constante Fgura A.3 Método de Newton-Raphson. (a) Convenconal e (b) Modfcado

16 Lsta de Tabelas Tabela 1 Abordagem unfcada de esquemas de solução não lnear Tabela 2 Botões para defnção das lgações de cada barra Tabela 3 Resultados de momentos fletores obtdos através da análse lnear, (valores absolutos, em knm) Tabela 4 Propredades e dmensões dos perfs usados no pórtco de Vogel [25]...14 Tabela 5 Resultados dos deslocamentos do últmo pavmento obtdos através de uma análse lnear para o pórtco de Vogel [25]...16 Tabela 6 Resultados de momentos fletores para as vgas obtdos através da análse lnear para o pórtco de Vogel [25], (valores absolutos, em knm) Tabela 7 Resultados de momentos fletores para as colunas obtdos através da análse lnear para o pórtco de Vogel [25], (valores absolutos, em knm) Tabela 8 Comparação entre os momentos fletores dos modelos propostos e smulados Tabela 9 Comparação entre os deslocamentos dos modelos propostos e smulados

17 Lsta de Símbolos a, b ec parâmetros geras da equação de restrção A,, c Ac 1 Ac 2 e Ac 3 área da seção transversal A matrzes de transformação E F módulo de elastcdade do aço vetor de forças nternas t + t F vetor de forças nternas na confguração de equlíbro corrente GSP H 2 H 3 H 4 I k K K e general stffness parameter função de nterpolação lnear função de nterpolação quadrátca função de nterpolação quadrátca nérca curvatura da vga matrz de rgdez matrz de rgdez do elemento K K G K L K T K componentes da matrz de rgdez matrz de rgdez geométrca matrz de rgdez lnear matrz de rgdez tangente rgdez tangente calculada no níco do ncremento t + t K matrz de rgdez na confguração de equlíbro corrente L comprmento do elemento, matrz de transformação do exo global para o exo local L comprmento elementar ncal t + t L comprmento elementar na confguração de equlíbro corrente M momento fletor M c, M b momento fletor na lgação e na vga, respectvamente N NELE número de equações número de elementos no sstema 152

18 p p P q Q r R forças externas vetor de carga de referênca força axal, esforço axal forças nternas força cortante, esforço csalhante forças desequlbradas ou força resdual resstênca da estrutura completa e R forças totas ou acumuladas para o elemento S A S c S R S T t rgdez tangente axal da mola da lgação rgdez da lgação rgdez tangente rotaconal da mola da lgação rgdez tangente translaconal da mola da lgação últma confguração deformada t + t confguração deformada corrente TOLER tolerânca u,u deslocamentos horzontas do nó 1 e 2, respectvamente 1 2 u n U deslocamentos totas energa de deformação v,v deslocamentos vertcas do nó 1 e 2, respectvamente 1 2 V δ potencal das forças externas deflexão ao longo de uma barra δ p forças teratvas na teração do passo δ u deslocamentos teratvos na teração do passo δ 1 u, δ 1 I ui e δ u prmeras componentes do vetor de deslocamentos, 1 1 I1 calculados na prmera teração do passo 1, 1 e, respectvamente δλ parâmetro de carga teratvo na teração do ncremento deflexão ao longo da estrutura F ncremento de carga M momentos ncrementas nos nós M b, M c momentos nodas ncrementas na vga e na lgação, respectvamente 152

19 p forças ncrementas na teração do passo p vetor de ncremento de carga Q forças ncrementas csalhantes nos nós er mudança ncremental de forças no elemento S comprmento do arco no ncremento u vetor de deslocamentos ncrementas u deslocamentos ncrementas na teração do passo eu vetor de deslocamentos nodas do elemento no exo local do elemento u vetor de deslocamentos para dos nós de um elemento no exo de coordenadas global v, v deslocamentos lateras ncrementas proetados sobre a últma confguração de equlíbro de ambos os nós do elemento W ncremento de trabalho no ncremento θb, θ c rotações nodas ncrementas da vga e da lgação, respectvamente θ, θ rotações ncrementas proetadas sobre a últma confguração de equlíbro de ambos os nós do elemento λ parâmetro de carga ncremental na teração do passo ε deformação axal xx ε deformação transversal xy η θ parâmetro real não negatvo rotação da lgação θ b, θ c rotação da vga e da lgação, respectvamente θ r λ cr ξ rotação de corpo rígdo fator de carga fator de escala do carregamento φ c Π ângulo de defasagem, rotação da mola ou deformação rotaconal funconal de energa 152

20 Lsta de Abrevaturas CAPES CNPq DEC Eurocode FAPERJ FEMOOP FTOOL FTOOL/SRC PUC-Ro Tecgraf UERJ UFOP UPF Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor Conselho Naconal de Desenvolvmento Centífco e Tecnológco Departamento de Engenhara Cvl PUC-Ro European Commttee for Standardsaton Fundação Carlos Chagas Flho de Amparo à Pesqusa do Estado do Ro de Janero Fnte Element Method Obect Orented Program Two-Dmensonal Frame Analyss Tool Program Two-Dmensonal Frame Non-Lnear Analyss Tool Program Incorporatng Sem-Rgd Connectons Pontfíca Unversdade Católca do Ro de Janero Grupo de Tecnologa em Computação Gráfca da PUC-Ro Unversdade Estadual do Ro de Janero Unversdade Federal de Ouro Preto Unversdade de Passo Fundo 152

21 1 Introdução No proeto estrutural, o analsta estrutural tem como obetvo proetar uma estrutura capaz de obedecer aos requstos de resstênca e deslocamentos para uma determnada combnação de carregamentos. Nesse processo de proeto há dos estágos: no prmero, as forças atuando em cada elemento estrutural e os deslocamentos devem ser determnados e, no segundo, a capacdade de resstênca dos elementos estruturas deve ser verfcada. O prmero estágo é chamado de análse estrutural e o segundo é referdo como dmensonamento e o detalhamento especfcado pelas normas de proeto, dos membros da estrutura. Dferentes técncas de análse estrutural com város graus de refnamento podem ser usadas, de acordo com comportamento da estrutura, que no caso geral pode ser não lnear. As técncas de análse requerem dferentes graus de complexdade e só poderão ser manpuladas por computador devdo ao grande trabalho envolvdo. A Fgura 1.1 resume dversos tpos de comportamento de pórtcos estruturas, caracterzados por curvas carga-deslocamento. Para cada tpo de comportamento consderado exste um tpo de análse correspondente. Carga Análse Elástca de Análse Lnear Segunda Ordem Elástca (Prmera Ordem) Carga de Bfurcação Elástca Análse Rígdo- Plástca Carga Plástca Lmte Análse Elasto-Plástca de Prmera Ordem Análse Rótula-Plástca de Segunda Ordem Comportamento Atual Flambagem Torsonal Local e/ou Lateral Zona Plástca Segunda Ordem Deslocamento Fgura 1.1 Tpos geras de análse de pórtcos estruturas (Chan e Chu [6]).

22 22 A análse lnear é, anda hoe, o método mas usado na prátca. Nesta análse é assumda a deflexão proporconal à força aplcada. A deflexão vertcal é suposta ser muto pequena e os efetos de segunda ordem devdo à mudança na geometra podem ser gnorados. As rezas dos membros estruturas são tomadas como constantes e ndependentes da presença da força axal. Sendo que esta suposção gnora os efetos P δ e P, que são devdos à deflexão nos membros e na estrutura respectvamente, bem como a não lneardade dos materas. Além de este método ser smples, ele possu uma característca especal que é a valdade do prncípo da superposção dos dferentes casos de carregamento, ou melhor, da superposção dos dagramas de esforços devdo a város carregamentos para obter a dstrbução fnal de forças na estrutura. Para levar em conta os efetos de algumas não lneardades um fator de amplfcação é usado para magnfcar o momento fletor nos membros da estrutura. Na busca de uma avalação mas realístca da estrutura, análses que levam em consderação os város efetos não-lneares devem ser realzadas. Duas classes de não-lneardade são normalmente dentfcadas. A prmera classe consste na não-lneardade do materal, que se orgna das mudanças na resposta físca de um materal às tensões e aparece sob a forma de les consttutvas varáves e dependentes da traetóra. A segunda classe consste na não-lneardade geométrca que é produzda por deformações acompanhadas de modfcações na rgdez de uma estrutura sob um certo carregamento. A análse elástca de segunda ordem permte levar em conta os efetos de segunda ordem devdo à mudança de geometra dos membros, os quas ncluem os efetos P δ e P. Neste tpo de análse tornam-se desnecessáros o fator de amplfcação ou equvalentes. Se o efeto do escoamento do materal for ncluído na análse elástca de segunda ordem a análse se tornará uma análse nelástca de segunda ordem. Os outros tpos de análses, Fgura 1.1, não serão abordadas neste trabalho. Assm, nesta dssertação, fo consderada a análse lnear elástca, análse não-lnear elástca e análse não-lnear nelástca de estruturas metálcas. Sendo que a análse não-lnear nelástca refere-se somente ao comportamento das lgações entre membros. Para efetuar esta análse, as lgações são modeladas por elementos de lgação, com o seu comportamento dado por uma curva momento versus rotação. As lgações estruturas desempenham um papel fundamental no comportamento global das estruturas de aço. Sabe-se que o comportamento real

23 23 das lgações encontra-se entre duas stuações extremas, ou sea, entre as hpóteses de comportamento rígdo e flexível. A hpótese de comportamento rígdo mplca que o ângulo entre os membros adacentes a lgação permanece mutável. Já, a hpótese de comportamento flexível leva à condção de que nenhum momento é transmtdo entre os membros adacentes à lgação. No caso ntermedáro, lgações sem-rígdas, o momento transmtdo será resultante da rotação relatva entre os membros adacentes. Estas lgações possuem um comportamento não-lnear que pode ser uma das maores e mas sgnfcatvas fontes de não-lneardade no comportamento estrutural de pórtcos em aço sob carregamento estátco ou dnâmco. Conseqüentemente, na análse global de uma estrutura, as lgações modfcam não apenas os deslocamentos, mas também, a dstrbução e a magntude dos esforços nternos em toda a estrutura. A consderação da nfluênca de lgações sem-rígdas na análse estrutural á está presente em váras normas que tratam de estruturas de aço, tas como Amercan Load and Resstance Factored Desgn (LRFD) [85], Brtsh Standard BS595 [86], Eurocode 3 [3], entre outros. Nesta dssertação, serão analsados pórtcos planos com lgações semrígdas. Por motvos de smplcdade de notação, denotar-se-á por pórtcos rígdos aquelas estruturas que contenham todas as lgações vga-coluna perfetamente rígdas e pórtcos sem-rígdos aqueles que contenham uma ou mas lgações de comportamento sem-rígdo. 1.1 Evolução Hstórca da Análse e Modelagem de Lgações Sem- Rígdas Um resumo do estado da arte de lgações estruturas em aço fo realzado por Chan and Chu [6] onde são ctados dversos trabalhos efetuados nesta área. Desde os prmeros estudos que avalaram a rgdez rotaconal de lgações vgacoluna com utlzação de rebtes efetuados por Wlson e Moore em 1917 [7], centenas de ensaos têm sdo realzados na tentatva de se nvestgar o real comportamento das lgações vga-coluna. Anterormente a 195, lgações soldadas e rebtadas com cantoneras foram testadas por Young e Jackson em 1934 [8] e por Rathbun em 1936 [9]. Um pouco mas tarde, Bell et al. [1] realzaram alguns ensaos com o mesmo tpo de lgações mas com parafusos de alta resstênca.

24 24 Mas fo a partr de meados da década de otenta que mutos pesqusadores realzaram ensaos de lgações sem-rígdas conforme revsão bblográfca realzada por Mesquta [13] que cta um banco de dados onde estes ensaos estão catalogados, denomnado SERICON II [14-15]. Neste banco de dados são ctados dversos autores conforme apresentado a segur. Jaspart et al. [2,14-15] realzaram, em 1987, treze ensaos com três tpos báscos de lgações dentfcadas como sendo da sére 11 consderando lgações com placa de extremdade estendda, lgações com cantoneras de alma e lgações com cantoneras de topo e apoo. Os dezesses ensaos da sére 12 foram realzados por Brozett em 198 [14-15] que abordou lgações com placa de extremdade austada e estendda. Zoetemeer [14-15], em 1981, fo o responsável pela realzação dos sete ensaos que compõem a sére 14 e também abordou lgações com placa de extremdade austada. A partr da década de noventa, alguns ensaos de lgações metálcas começaram a ser efetuados também aqu no Brasl. Alguns dos prncpas trabalhos encontrados na lteratura serão ctados a segur. Queroz [16] realzou, em 1995, uma sére de ensaos de lgações soldadas. Carvalho [17], em 1997, realzou três ensaos de lgações com cantoneras de alma, cantoneras de topo e apoo no exo de maor nérca da coluna. Lma [18-19], em 1998, segundo a mesma metodologa utlzada por Carvalho, também realzou três ensaos com o mesmo tpo de lgação mas efetuadas segundo o exo de menor nérca da coluna. Paralelamente aos dversos estudos e ensaos realzados de lgações sem-rígdas, com o passar do tempo, a utlzação da análse não-lnear está se tornando cada vez mas comum em proetos estruturas. Esse tpo de solução vem se expandndo desde a década de 6, quando váras formulações geometrcamente não-lneares foram ntroduzdas com soluções dretas e/ou ncrementas (Galvão [45]). No estudo da modelagem de lgações sem-rígdas realzado neste trabalho, pôde-se aprovetar em grande parte as mplementações realzadas no programa FEMOOP [28], referentes às análses não-lneares de pórtcos rígdos, bem como as técncas de solução não-lnear. O lvro de Chan e Chu [6], que servu de base para as consderações à respeto dos pórtcos sem-rígdos, apresenta estudos realzados sobre lgações sem-rígdas no que se refere a comportamento, modelagem e análse nãolnear.

25 25 Anda sobre o estudo de estruturas sem-rígdas, pode-se ctar os lvros de Chen e Lu [88], Chen e Toma [89] e Chen e Sohal [9]. Nos últmos tempos város estudos sobre este tema vêm sendo realzados por pesqusadores brasleros, onde pode-se ctar, entre város outros, os trabalhos de Campos Júnor [91], Saldanha [92], Santos [93], Brto [27] e Soares Flho [94]. Dentre os trabalhos que tratam da análse não-lnear estátca de pórtcos sem-rígdos podem-se ctar, o de Lu e Chen [64], Kng [81], Chu e Chan [95] e Xu [96]. Város outros trabalhos tratam da predção do comportamento não-lnear de lgações sem-rígdas, sea através da modelagem por elementos fntos (Lma et al. [19]) ou através de banco de dados contendo os valores de momento e rotação orundos de ensaos expermentas (Chen e Ksh [87]; Abdalla e Chen [97]). Na tentatva de se aproxmar o comportamento momento-rotação de lgações sem-rígdas através de modelos analítcos, matemátcos ou mstos, város trabalhos foram realzados, dentre eles podem-se ctar, Sh e Atlur [83], Rchard e Abbott [62], Frye e Morrs [66], Gao e Haldar [84], Ang e Morrs [67], Lu e Chen [64], Ksh e Chen [79], Al-Berman et al. [65] e Zhu et al. [76], entre outros. 1.2 Motvação As consderações anterormente expostas, aladas à exstênca de uma base computaconal de solução de problemas não-lneares, FEMOOP [28], bem como, uma plataforma que oferece recursos para uma efcente cração e manpulação do modelo (pré-processamento) e de uma vsualzação de resultados (pós-processamento), FTOOL [39], foram os fatores que motvaram a escolha desta lnha de pesqusa para a presente dssertação de mestrado. Além dsso, deve-se salentar que sstemas que ofereçam todas estas funconaldades (pré-processamento, análse e pós-processamento), comandados nteratvamente pelo usuáro, a partr de uma plataforma, englobando a análse não-lnear de estruturas sem-rígdas, não são fáces de serem encontrados e quando o são tem um custo bastante elevado. Evdentemente que a prncpal motvação deste trabalho tem caráter centífco, mas sempre buscando estruturas mas econômcas resultantes de um

26 26 proeto mas coerente e seguro, ncorporando o comportamento das lgações sem-rígdas e efetos da não-lneardade geométrca. A utlzação de lgações sem-rígdas em pórtcos ndeslocáves mostra que os esforços na vga tornam-se menores. E no caso de pórtcos deslocáves, estas contrbuem com uma parcela da rgdez necessára a establdade lateral do mesmo, de forma mas econômca. Esta economa é advnda do fato de que na grande maora dos casos, as lgações sem-rígdas são mas leves e envolvem menos componentes como soldas e parafusos quando comparadas com a solução rígda tradconal. Já quando comparadas com as lgações flexíves, estas não consderam uma parcela sgnfcatva de resstênca que, ao ser consderada, pode mnmzar o custo global da estrutura. Embora as lgações possuam uma parcela pouco sgnfcatva do peso total da estrutura, o preço para a sua fabrcação e montagem é elevado. 1.3 Obetvos Este trabalho tem como obetvo o estudo e a mplementação computaconal de formulações geometrcamente não-lneares de pórtcos semrígdos planos através de uma abordagem va Método dos Elementos Fntos, que serão ntegradas à metodologa de solução numérca do programa FEMOOP [28]. Além dsso, o programa FTOOL [39] será modfcado de modo a torná-lo apto a realzar análses não-lneares de estruturas sem-rígdas. Depos de realzadas as mplementações, serão fetas avalações das formulações mplementadas (elemento híbrdo e elemento de lgação), verfcando-se a efcênca e suas lmtações. Isto será segudo de uma analse dos algortmos de solução não-lneares de modo a verfcar qual deles é mas adequado para a análse não-lnear de pórtcos planos sem-rígdos. O obetvo maor deste trabalho é construr um sstema, chamado FTOOL/SRC, que possblte a geração de análses paramétrcas que balzem o uso adequado de lgações sem-rígdas. Este sstema, também, contemplará a cração de uma estrutura de dados que facltará a ntegração com outros sstemas de proeto e construção de estruturas de aço. Por exemplo, a partr desta estrutura pode-se crar arquvos ou mensagens específcas de saída com o obetvo de se estabelecer comuncação transparente com o sstema CECAD, em desenvolvmento nesta nsttução pelo

27 27 doutorando Lucano Falcão da Slva [98], onde um banco de dados central armazena e dsponblza todas as nformações referentes à estrutura de aço de um proeto. O sstema desenvolvdo nesse trabalho poderá ser utlzado como uma das aplcações-satéltes do ambente CECAD, ntegrando seus dados a ferramentas de vsualzação, planlhas de custos e cronogramas físcos. Como outro exemplo de ntegração do programa FTOOL/SRC, pode-se ctar a ntegração com o programa SRJ Tool, em desenvolvmento nesta nsttução pelo mestrando Fernando Busato Ramres [99]. O SRJ Tool é um programa para a análse e dmensonamento de lgações sem-rígdas, parafusadas com placa de extremdade, baseado no método das componentes, segundo as recomendações do Eurocode 3 [3], que através da nserção de dados geométrcos e mecâncos, determna as reas propredades da lgação que nfluencam no comportamento real da estrutura. 1.4 Contrbuções Como prncpas contrbuções deste trabalho, pode-se ctar: - O elemento de lgação proposto, para análse de pórtcos planos semrígdos, mplementado segundo a metodologa de solução de sstemas de equações lneares e não-lneares. - O elemento híbrdo proposto por Chan e Chu [6], mplementado segundo a metodologa de solução de sstemas de equações lneares. - A reestruturação do programa FTOOL [39], segundo a flosofa de programação orentada a obetos, centrada na estrutura de dados e na nterface gráfca, de modo a permtr análses não-lneares de pórtcos planos sem-rígdos, gerando uma nova versão chamada FTOOL/SRC (FTOOL Sem-Rgd Connectons Verson). Dentre as váras modfcações realzadas no FTOOL [39], destacam-se as seguntes contrbuções: - A ncorporação de uma nterface gráfca para confgurações das análses lneares e não-lneares de pórtcos planos sem-rígdos; - A ncorporação de uma nterface gráfca para atrbur as propredades das lgações aos elementos da estrutura; - A cração de uma estrutura de dados robusta, segundo a metodologa de programação orentada a obetos, responsável pelo controle geral de todo o programa FTOOL/SRC. Uma característca mportante que deve ser destacada em relação a esta estrutura de dados

28 28 é a possbldade de passar a armazenar estruturas trdmensonas apenas adconando novos métodos, sem nterferênca no códgo global do programa; - A retrada do solver nterno do FTOOL [39], dexando a nova versão, FTOOL/SRC, responsável pelo pré-processamento e pósprocessamento. A análse será realzada pelo FEMOOP [28]. Desta forma, futuras mplementações e manutenções causarão mpactos mínmos, sendo estes restrtos ao FEMOOP [28] ou ao FTOOL/SRC; - O desenvolvmento de um programa, em C++ Bulder 6 da Borland, para desenhar gráfcos do fator de carga versus deslocamento para todos os nós em todas as dreções. Este programa é chamado pelo FTOOL/SRC. O obetvo de crar uma nova versão a partr do programa FTOOL [39] fo o de não descaracterzar a versão orgnal, para análses lneares de pórtcos planos. Os dos elementos, de lgação e híbrdo, foram mplementados no programa FEMOOP [28], segundo os concetos da programação orentada a obetos. Assm, contempla-se duas contrbuções, em termos de desenvolvmento de softwares, FEMOOP [28] e FTOOL/SRC, para trabalhos futuros que necesstem realzar análses lneares e não-lneares de estruturas planas semrígdas dspondo de uma poderosa nterface gráfca nteratva. 1.5 Escopo O presente capítulo apresentou uma ntrodução aos efetos não-lneares, aos tpos de análses e a nfluênca do comportamento não-lnear das lgações sem-rígdas em pórtcos planos. Na seqüênca, fez-se um breve resumo da evolução hstórca da análse e modelagem de lgações sem-rígdas. Logo após, apresentou-se à motvação para o desenvolvmento deste trabalho, os prncpas obetvos, as contrbuções, além de uma pequena descrção do conteúdo de cada capítulo conforme pode ser observado a segur. O Capítulo 2 apresenta uma avalação global dos procedmentos de análse não-lnear, além da apresentação dos tpos de referencas que podem ser utlzados nesse tpo de solução.

29 29 No Capítulo 3 encontra-se uma breve descrção de métodos utlzados para modelar o comportamento de lgações sem-rígdas. Além dsso, são descrtos os desenvolvmentos teórcos da formulação proposta por Chan e Chu [6] e a formulação proposta neste trabalho, utlzadas para análse lnear e nãolnear de pórtcos sem-rígdos. Já, o Capítulo 4 apresenta, com base no que fo apresentado no Capítulo 3, as mplementações realzadas no programa FEMOOP [28], bem como as modfcações realzadas no programa FTOOL [39] gerando uma nova versão chamada FTOOL/SRC. A valdação das formulações e metodologas apresentadas no Capítulo 3 e a mplementação computaconal mostrada no Capítulo 4 são analsadas no Capítulo 5, que apresenta exemplos de problemas encontrados na lteratura. Fnalmente no Capítulo 6, são apresentadas as consderações fnas além de algumas propostas para trabalhos futuros.

30 2 Solução Não-Lnear 2.1 Introdução Neste capítulo é apresentada a formulação não-lnear de elementos fntos utlzada nesta dssertação, bem como a metodologa de solução de equações não-lneares, para a análse de sstemas estruturas sem-rígdos. A formulação é desenvolvda em referencal Lagrangano total, com a abordagem corrotaconal para os deslocamentos, onde a matrz de rgdez e o vetor de forças nternas são calculados no campo dos deslocamentos naturas totas, sto é, os deslocamentos são referdos a um sstema de exos que é contnuamente atualzado à medda que o elemento gra. A seção 2.2 apresenta as relações deformação-deslocamento consderadas na formulação, utlzando o tensor de Green-Lagrange. A seção 2.3 fornece, de um modo geral, o funconal de energa do sstema. E a seção 2.4 apresenta o conceto do referencal Lagrangeano e de suas varações, bem como a formulação corrotaconal de elementos fntos com as funções de nterpolação e defnções da matrz de rgdez e do vetor de forças nternas. A bblografa utlzada para as seções acma foram: Pacoste e Erksson [44], Pnhero [46] e Galvão [45] que fornece uma vasto estudo das formulações não-lneares de elementos fntos para análse de sstemas estruturas metálcos retculados planos. Fnalmente, na seção 2.5, encontra-se a descrção das técncas de solução de equações não lneares. 2.2 Relações deformação-deslocamento baseadas no Tensor de Green- Lagrange A formulação de elementos fntos, com abordagem corrotaconal, consdera as relações deformação-deslocamento do tensor de Green-Lagrange e a hpótese da teora de vgas de Bernoull. Esta formulação fo apresentada por

31 31 Pacoste e Erksson [44] que utlzam o referencal Lagrangano total (RLT). Portanto, as relações apresentadas são referentes a deslocamentos e deformações totas e não ncrementas Relações de segunda ordem Estas relações são geradas pelo tensor de Green-Lagrange ncompleto, pos despreza-se o termo ( d u / dx) 2 da relação correspondente às deformações axas. É anda realzada uma unformzação das deformações axas, para contornar os efetos de membrane lockng, ou sea: L 2 1 du 1 dv ε xx = dx. L + ( 2.1 ) dx 2 dx Consderando-se apenas a parcela lnear das deformações transversas e a hpótese de Bernoull, chega-se a: γ 2 ε =. ( 2.2 ) = xy A curvatura k da vga é aproxmada pela relação: dθ k =, ( 2.3 ) dx onde fo assumdo θ = dv / dx. As relações consttutvas correspondentes são dadas por: P = EAε M = EIk. ( 2.4 ) xx, Relações lneares Caso as parcelas não lneares das relações anterores seam desprezadas, pode-se escrever:

32 32 du ε xx = dx γ =, dθ k =. dx, ( 2.5 ) As relações consttutvas a serem consderadas aqu são as mesmas da eq. (2.4). 2.3 Funconal de Energa O funconal de energa é defndo como: Π = U + V, ( 2.6 ) sendo que a energa deformação U é defnda no referencal Lagrangano total como: U = ε ( dε ) Vol τ dvol. ( 2.7 ) Integrando na área da seção transversal e consderando-se as relações consttutvas P = EAε, Q = GAγ e M = EIk, pode-se reescrever a equação 2.7 da segunte forma: xx U = L [ EAε xx + GAγ + EIk ]dx ( 2.8 ) 2 Para os casos em que se consdera a hpótese de Bernoull, são utlzadas as relações:

33 33 ε xx = 1 L L 1 + du dx 1 cos( θ ), cos( ) dx θ γ =, dθ k =, dx ( 2.9 ) e a energa de deformação pode ser expressa smplesmente por: U L 2 2 [ EA EIk ] dx. 1 = xx 2 ε + ( 2.1 ) O potencal das forças externas V é defndo como: V = S F u ds. ( 2.11 ) 2.4 Referencas Para problemas de establdade de sstemas estruturas esbeltos é necessára a solução de um sstema de equações algébrcas não-lneares. Para tanto, utlzam-se métodos que procuram resolver essas equações passo a passo, combnando procedmentos ncrementas e teratvos. Para descrever o movmento de corpos sóldos duas formulações têm sdo propostas: as dos tpos Eulerana e Lagrangeana. Na formulação Eulerana, as coordenadas espacas, sto é, aquelas assocadas ao corpo deformado, são empregadas como coordenadas de referênca. Já na formulação Lagrangeana, as coordenadas materas, ou sea, aquelas assocadas ao corpo antes de sua deformação, são utlzadas como coordenadas de referênca. A formulação Lagrangeana é partcularmente aproprada para análses não-lneares do tpo passo-a-passo de corpos sóldos, onde o nteresse está centrado na hstóra de deformação de cada ponto do corpo durante o processo de carregamento. Já a formulação Eulerana, segundo Yang e Kuo [47], tem sdo amplamente adotada na análse de problemas de mecânca dos fluídos, onde a atenção está focada no movmento do materal ao longo de um volume

34 34 específco de controle. Posto sso, o presente trabalho restrngr-se-á fundamentalmente a formulações do tpo Lagrangeana, mas precsamente, a formulação Lagrangeana total com abordagem corrotaconal para os deslocamentos. Os deslocamentos totas para esta formulação são expressos em coordenadas locas, coordenadas estas que são constantemente atualzadas, grando e transladando com o elemento. Adconalmente neste elemento fnto é aceta a hpótese da teora de vgas de Bernoull, desprezando, portanto, os efetos csalhantes. Assm, na seção será apresentado o conceto da formulação Lagrangeana e de suas varações e na seção segunte (2.4.2) a formulação Lagrangeana total com abordagem corrotaconal (formulação corrotaconal) para os deslocamentos Formulação Lagrangeana, Pnhero [46] A formulação de metodologas ncrementas para análse não-lnear começa com a dvsão do camnho de carregamento de um corpo sóldo em um certo número de confgurações de equlíbro. Três tpos de confgurações para o corpo podem ser concebdos em termos de um sstema estaconáro de coordenadas Cartesanas: a confguração ncal, a últma confguração deformada t e a confguração deformada corrente t + t. Por hpótese, assumese que todas as varáves de estado, tas como tensões, deformações e deslocamentos, untamente com a hstóra de carregamento, são conhecdas na confguração t. A partr daí, a questão prncpal passa a ser a formulação de um processo ncremental para determnar todas essas varáves de estado para o corpo na confguração t + t, consderando que o carregamento externo atuando na confguração t tenha sofrdo um pequeno acréscmo de valor. O passo que caracterza o processo de deformação do corpo de t para t + t é tpcamente referdo como um passo ncremental. Dependendo de qual confguração anteror é seleconada como referênca para a obtenção do estado de equlíbro do corpo na confguração deformada corrente t + t, dos tpos de referencas Lagrangeanos podem ser dentfcados: o referencal Lagrangeano atualzado, onde a últma confguração t de equlíbro é seleconada como o estado de referênca, e o referencal Lagrangeano total, que utlza a confguração ncal ndeformada para o mesmo propósto.

35 35 Para a formulação atualzada, os deslocamentos são meddos em relação a últma confguração de equlíbro obtda no processo ncremental, ou sea, em relação a um referencal que é atualzado a cada ncremento de carga, conforme lustrado na Fgura 2.1. Já na formulação total, os deslocamentos são meddos em relação à confguração ncal ndeformada, como mostra o esquema da Fgura 2.2. t y t + t t + t e u 2 t + t e v 2 t x Y GL y t + t e u 1 t t + t e v 1 t = x X GL Fgura 2.1 Referencal Lagrangeano atualzado (Galvão [45]). y t + t e u 2 t + t Y GL t + t e u 1 t e u 2 t t + t e v 2 t e v 2 t + t e v 1 t e u 1 t e v 1 t = x X GL Fgura 2.2 Referencal Lagrangeano total (Galvão [45]).

36 Formulação Corrotaconal, Galvão [45] Consderações Incas Crsfeld [43] observa em seu lvro que o termo corrotaconal tem sdo utlzado na lteratura em contextos dferentes, sendo portanto, como afrmam anda Pacoste e Erksson [44], uma denomnação nconsstente. Para os modelos corrotaconas a serem dscutdos no presente trabalho, a déa central é se calcular a matrz de rgdez e o vetor de forças nternas no campo dos deslocamentos naturas totas, ntroduzndo um sstema de coordenadas locas que é atualzado a cada passo de carga. Pacoste e Erksson [44] afrmam que as duas abordagens, total e corrotaconal, de manera como são apresentadas, só são dferentes na forma de agrupar e nterpretar os termos de uma mesma fórmula. y, v t+ t x P 2 M 2 y t+ t y t+ t L θ n1 θ = θ r + θ 2 n2 v 2 θ r θ 1 M 1 x v 1 P 1 u 2 u 1 x,u L Fgura 2.3 Relações geométrcas: corrotaconal (Galvão [45]).

37 37 Os deslocamentos totas podem ser expressos em coordenadas locas de acordo com: n [ u ( u )], u = ( 2.12 ) n onde o vetor de deslocamentos naturas totas tem três componentes: u T [ θ θ ], = ( 2.13 ) n u n 2 n1 n2 que podem ser calculados pelas relações, conforme pode-se ver na Fgura 2.3: u t n2 = L + t L, θ = θ θ, θ = θ θ. ( 2.14 ) n1 1 r n2 2 r Nessas relações, L é o comprmento elementar ncal dado por: 2 2 ( x x ) + ( y y ), L = ( 2.15 ) t+ t L é o comprmento elementar, na confguração de equlíbro corrente, dado por: 2 2 ( x + u x u ) + ( y + v y ), + t L = ( 2.16 ) t v1 e a rotação de corpo rígdo, θ r é calculada através da segunte relação: ( x2 x1 )( v2 v1 ) ( y2 y1 )( u2 u1 ) ( )( ) ( ) ( ) x x x x + u u + y y + y y + v v, arctan θ r = ( 2.17 ) Para a defnção da energa de deformação em coordenadas locas, são consderados dos casos que, conseqüentemente, geram duas formulações de elementos fntos. No prmero caso são assumdas as relações lneares dadas pelas eqs. (2.5) e no segundo caso são utlzadas as relações de segunda ordem dadas pelas eqs. (2.1, 2.2 e 2.3). Essas relações equvalem às utlzadas nas formulações com abordagem total, para as quas foram fetas aproxmações de prmera e segunda ordem para as funções trgonométrcas.

38 38 Nos dos casos são usadas as aproxmações: u = H u ( 2.18 ) n 2 n2, θ n = H3θ n1 + H 4θ n2, ( 2.19 ) onde H 2 é a função lnear: x H 2 =, ( 2.2 ) L e H 3 e H 4 são as funções quadrátcas: x 3x 1 2x 3x H 3 = 1 + e L L 4 H = + + ( 2.21 ) L L Relações lneares Substtundo-se as relações lneares (2.5) na eq. (2.1), usando-se as funções de nterpolação (2.2 e 2.21), obtém-se a segunte expressão para a energa nterna das deformações: U EA 2 EI 2 2 = un2 + 2 ( θ n1 + θ n1θ n2 + θn2 ). ( 2.22 ) 2L L Relações de segunda ordem Substtundo-se as relações de segunda ordem (2.1, 2.2 e 2.3) na eq. (2.1), usando-se as funções de nterpolação (2.2 e 2.21), obtém-se a segunte expressão para a energa nterna das deformações: EA L EI 2 2 U = un2 θ n1 θn 1θ n2 θ n2 + 2 ( θn 1 + θn 1θ n2+ θn2 ). 2L ( 2.23 ) L 2

39 Vetor de forças nternas e matrz de rgdez O vetor de forças nternas e a matrz de rgdez podem ser obtdos em coordenadas globas para o elemento, aplcando-se sucessvas dferencações, de acordo com: t+ t u U F = un = u u n,, θn 1, θ 2, n u n 2 n ( 2.24 ) u = u1, v1, θ1, u2, v2, θ2, t+ t K 2 U = un u n u n u u k u n 1 U + u n 2 un u u k 1, ( 2.25 ) que pode ser reorganzado na segunte forma: t+ t F = T Ac Fn, ( 2.26 ) t+ t K = A K A + PA + M A + M T c n c A 3, c1 1 c2 2 c ( 2.27 ) onde F n e K n são defndos como: F n = T [ P M M ] =, 1 2 U u n2 U θ n1 U θ n2 T ( 2.28 ) K n = u 2 U { k } = ; = 1,2,3 = 1,2,3 n u n ( 2.29 )