PROJECTO DO LAYOUT DE INSTALAÇÕES INDUSTRIAIS

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1 2 PROJECTO DO LAYOUT DE INSTALAÇÕES INDUSTRIAIS Determnar a sequênca de operações de fabrco, quas e quantos recursos estão dsponíves para cada tpo de operação, como fluem os materas e as pessoas, qual o local dos armazéns, como estes são abastecdos e quas são os requstos de espaço, são algumas das questões a responder no planeamento de nstalações ndustras. Este problema pode ser consderado como um caso partcular do problema mas geral, conhecdo por problema de proecto de layout de nstalações. De facto, o planeamento e arrano físco de recursos (materas e/ou humanos) em nstalações ndustras, servços, escrtóros, nstalações comercas, são problemas típcos de proecto de layout de nstalações. Este capítulo fornece um vsão global dos aspectos relaconados com resolução deste tpo de problemas, focando-se na sua caracterzação, na dentfcação das suas prncpas dfculdades, na descrção de alguns dos modelos usados e na apresentação de alguns dos prncpas métodos usados na sua resolução. 15

2 16 Proecto do Layout de Instalações Industras 2.1 Planeamento e Proecto de Instalações O Problema do Proecto de Layout de Instalações 1 (PPLI) consdera um conunto de nstalações que têm de ser colocadas dentro de um edfíco de modo a assegurar um arrano que optmza uma dada especfcação para um dado problema. A resolução do PPLI é uma actvdade com aplcação a dversos problemas reas, tas como as nstalações ndustras, escrtóros, armazéns, parques de estaconamento, restaurantes, servços de atendmento, etc Layout de Instalações Industras Consderando, no entanto, o caso partcular das nstalações ndustras, alguns dos obectvos que podem ser consderados são enumerados a segur (Mecklenburgh, 1985; Fancs et al, 1992; Heragu, 1997; McKendall et al, 1999): 1. Mnmzar o custo de manpulação ou manobra de materas 2, o tempo e sua a frequênca; 2. Mnmzar o captal e custo de operação do equpamento e da planta 3 ; 3. Mnmzar o tempo global de produção; 4. Maxmzar o uso de espaço em termos efectvos e económcos; 5. Facltar a operação do processo de produção e do fluxo; 6. Proporconal conforto e segurança aos recursos humanos; 7. Assegurar a flexbldade do arrano e operação; 8. Mnmzar a varação nos tpos de equpamento de manpulação e manobra de materas; 1 Este problema é conhecdo na lteratura nternaconal por Faclty Layout Desgn Problem. 2 O termo usado em língua nglesa para manpulação e manobra de materas é Materal Handlng. 3 Ao usar o termo planta, pretende-se referr parte ou todo o espaço nteror da nstalação fabrl que normalmente é o nteror de um edfíco.

3 2.1 Planeamento e Proecto de Instalações Facltar a estrutura organzaconal e a gestão da tomada de decsões; 10. Mnmzar o rsco e o ncómodo do públco; 11. Assegurar uma construção segura e efcente; 12. Obedecer a consderações legas, tas como o bem estar da força laboral, atender a problemas de segurança e do ambente. No entanto, na resolução destes problemas, são consderados tpcamente dos tpos de obectvos, que usualmente se podem sobrepor aos anterores. Estes obectvos são baseados na adacênca (1 a 12) e baseados na dstânca (1 a 5). Para soluconar um PPLI é também necessáro escolher uma representação para as soluções. O layout de blocos é uma forma frequentemente usada para a representação das soluções. Este estabelece a localzação relatva e o tamanho das nstalações. Normalmente, estas nstalações requerem uma área fxa embora a sua forma possa ser varável. A representação por blocos pode ser realzada de uma forma dscreta ou contínua. Numa representação por blocos, dscreta, é usada uma colecção de grelhas para representar as nstalações. Por outro lado, numa representação contínua são consderados parâmetros como o ponto central, a área, o comprmento e a largura de cada nstalação para especfcar a sua localzação exacta dentro da planta. A Fgura 2-1a mostra uma solução para um PPLI representada por um layout de blocos, em que cada bloco representa uma nstalação. É possível, anda, realzar algum trabalho adconal de forma a determnar um layout mas detalhado, em que a estrutura de corredores para o equpamento de transporte, os locas dos pontos de entrada e saída e o layout dentro de cada nstalação é especfcado (Fgura 2-1b). A determnação do layout detalhado nclu problemas de layout de lnhas de fluxo, problemas de layout de máqunas e problemas de desenho de células de manufactura, onde se consdera que as máqunas são de gual área e de dmensões fxas (Hassan, 1995; Meller, 1996). Na secção segunte são enumerados os dferentes tpos de layout que se poderão encontrar nestes stuações. Como se pode constatar, o PPLI possu aspectos geométrcos e combnatóros que fazem dele um problema de dfícl resolução por meos computaconas. Além

4 18 Proecto do Layout de Instalações Industras dsso, estão-lhe assocados alguns factores quanttatvos e qualtatvos que fazem dele um problema de dfícl modelação e análse. Por exemplo, o problema de atrbução quadrátca, que consste num modelo usado para formular o PPLI e que é descrto na secção 2.4.2, apesar de consderar algumas smplfcações é conhecdo por ser um problema (NP)-completo (a) (b) Fgura 2-1: (a) Layout de blocos e (b) layout detalhado Tpos de Layout Baseados no Fluxo Os layouts são frequentemente catalogados conforme executem transformações físcas ou conforme executem outro tpo de transformações, como, por exemplo, servços. Relatvamente ao proecto de layouts relaconados com o processo produtvo, dependendo da natureza dos produtos e do tpo de operações executadas, podem ser dentfcadas as seguntes categoras de layout : De produto estátco é usado quando o produto a processar é volumoso e não pode ser faclmente deslocado. Nestes casos, o produto é fabrcado ou montado num local fxo e os recursos materas e/ou humanos deslocam-se à 4 Para entender o termo (NP)-completo é necessáro conhecer as funções de complexdade temporal dos algortmos. Estas funções permtem conhecer um maorante para taxa de aumento da quantdade de tempo que um algortmo necessta para soluconar um problema em função do crescmento da dmensão do problema. Quando esta função é exponencal então é dto que o algortmo é (NP)-completo. Para um dscussão mas detalhada acerca desta teora aconselha-se o texto de Garey e Johnson (1979).

5 2.1 Planeamento e Proecto de Instalações 19 volta do produto. Alguns exemplos deste tpo são encontrados na construção de edfícos, avões ou navos. O fabrco deste tpo de produtos é controlado tendo em conta o proecto e a localzação dos recursos, e é alterado à medda que a construção evolu. Baseado no produto ou na produção é usado quando um produto ou um conunto de produtos muto semelhantes são fabrcados em grandes volumes. As máqunas ou estações de trabalho são arranadas segundo uma lnha de fabrco ou montagem. A ordem das máqunas na lnha segue a ordem em que o processo produtvo é realzado. Antes da elaboração duma confguração deste tpo, é frequente a determnação do melhor conunto de tarefas ou operações que devem ser executadas em cada estação. De grupo ou celular utlza-se quando uma famíla de componentes são fabrcados numa pequena célula. Com este arrano, um grupo de máqunas forma uma célula. Cada célula terá o seu sstema de maneo ou manpulação de materas, tpcamente um robot ou sstema de transporte. Se for possível, uma parte do componente é completamente processada numa smples máquna. Todos os componentes são então encamnhados para as áreas de montagem. Baseado no processo agrupa máqunas que executam tarefas ou operações smlares em dferentes departamentos. Desta forma, podem ser encontrados departamentos com tornos mecâncos, departamentos com fresas, departamentos com máqunas de polr, entre outros. Layouts deste tpo geram um enorme volume de tráfego no transporte de componentes entre departamentos para as váras operações. Uma vantagem desta va está na especalzação dos trabalhadores e supervsores no processo produtvo. Híbrdo consdera que nem todas as companhas podem adoptar apenas um tpo de layout. Com a adaptação ao mercado, quer pelo aumento de volume e lnhas de produtos, uma companha pode constatar que nenhuma das soluções anterores resolve os seus problemas. Desta forma é frequente encontrar layouts que são uma combnação dos anterormente descrtos.

6 20 Proecto do Layout de Instalações Industras Tpos de Layout Baseados na Funconaldade Uma forma dferente de catalogar os dferentes tpos de layout relacona-se com a sua funconaldade. Um típco armazém comercal pode ser catalogado como um layout de processo, consderando obvamente os dversos departamentos, tas como vestuáro, acessóros, utensílos, servços ao clente, entre outros. Mas como complemento a esta orentação ao processo, o layout dá corpo a uma mríade de outras funconaldades. Entre estas, podem ser dentfcadas as seguntes: Marketng e Promoção que determnam um arrano dos corredores e balcões de manera a melhorar a capacdade da frma para vender os seus produtos. Os város departamentos são arranados de forma a promover a vsualzação de produtos ou nduzr o utente à sua aqusção. Armazéns que exstem porque apenas uma parte dos produtos do nventáro da frma está localzado na área reservada às vendas, estando o stock restante em áreas de armazenamento e, como tal, não estão drectamente dsponíves para a venda medata. Segurança que promove o arrano dos corredores, as caxas para pagamento, e entradas/saídas de modo a mnmzar stuações de roubo e evtar acdentes. Acessbldade e vsbldade que são funconaldades a ter em conta no proecto de layouts quando se pretende facltar o fluxo de clentes através das nstalações. Os motvos podem relaconar-se com o encoraamento para a vsualzação e recolha de produtos, ou mnmzação do seu tempo de permanênca nas nstalações, percepção das flas de espera e/ou possvelmente outros senãos. Sem se pretender fornecer uma lsta exaustva, nteressa anda enumerar outras funconaldades com alguma mportânca no proecto de layout. Estas são: Proporconar prvacdade ou garantr confdencaldade; Consderar questões de segurança; Maxmzar o sentdo de oportundade ou velocdade em chegar ao mercado;

7 2.2 Recolha de Informação para o Layout de Instalações Industras 21 Obter efcênca produtva ou controlo de custos; Implementar um fluxo de nformação efcente. 2.2 Recolha de Informação para o Layout de Instalações Industras Ao ncar um proecto de layout de uma nstalação ndustral é necessáro compreender os produtos e processos que nela ocorrem. Dependendo do tamanho e da sofstcação da companha, muta da nformação necessára á exste dsponível em dferentes departamentos, mutas vezes de uma forma mplícta e armazenada em dversos suportes e formatos. No entanto, parte da nformação pode não exstr dentro da própra companha, o que exge que esta tenha de ser obtda do exteror. Todos estes factores contrbuem para fazerem com que o processo de recolha de nformação sea um processo complexo para o qual é necessáro despender um esforço sgnfcatvo. A recolha de nformação de uma forma sstemátca não só auda na realzação de um bom proecto de layout, como também contrbu com outros benefícos de grande mportânca. A documentação da nformação dos produtos e dos processos pode revelar nefcêncas no processo, audar a revelar fontes de problemas de qualdade, dentfcar desperdícos de materas e audar a crar uma estrutura adequada de contabldade de custos. Consequentemente, deve-se sempre procurar recolher a melhor nformação possível e documenta-la de manera a ser de fácl acesso e análse. Essencalmente, do ponto vsta do proecto de layout de nstalações ndustras, é necessáro saber o que é que va ser produzdo, como é que va ser produzdo e quando Produtos Para proectar uma nstalação ndustral é necessáro ter bem presente os tpos de produtos a fabrcar uma vez que estes vão afectar fortemente a natureza da undade ndustral. A nformação dos produtos é tpcamente obtda nos

8 22 Proecto do Layout de Instalações Industras departamentos de proecto. É também mportante compreender como os produtos são usados pelos clentes para obter uma melhor aprecação dos requstos de qualdade e especfcações operaconas. Para melhor compreender os produtos é essencal ter acesso aos desenhos técncos, lsta das partes e à relação de materas. Os desenhos técncos de todos os componentes, subprodutos e produtos fnas permtem a compreensão da complexdade dos produtos e de como os dferentes componentes se untam para formar o produto fnal. Ao mesmo tempo é de grande utldade observar o produto ou um seu protótpo para se ter uma dea da sua envergadura e peso. A lsta de componentes possu nformação detalhada acerca das partes e do número de componentes necessáro de cada parte. Por últmo, a relação de materas 5 dá uma categorzação herárquca da lsta de partes e ndca como estas se combnam no processo de manufactura para formar um produto fnal. Esta representação herárquca pode conter outra nformação, como, por exemplo, decsões para fabrco ou compra, que são crítcas para o layout da planta fabrl. Além de ser necessáro ter um bom conhecmento dos produtos, é necessáro também conhecer a quantdade a produzr e quando produzr. Mutas companhas estmam o que esperam produzr em cada ano durante város anos. Tpcamente esta estmatva faz parte do seu plano estratégco. A quantdade a produzr é frequentemente acompanhada de nformação probablístca acerca da possbldade de r ao encontro das expectatvas e/ou estmatvas. Por exemplo, as companhas podem proporconar cenáros de valores médos, optmstas e/ou pessmstas. Ao proectar uma undade fabrl é mportante ter em conta esta nformação probablístca. Um bom plano para uma nstalação fabrl deve permtr a expansão da sua capacdade se as vendas forem superores às esperadas, e um plano de contngênca se estas forem nferores àquelas que foram estmadas. 5 Na lteratura de língua nglesa, o termo para desgnar a relação de materas é bll of materals.

9 2.2 Recolha de Informação para o Layout de Instalações Industras Especfcação do Processo Depos da exacta defnção do conunto de produtos a fabrcar, é necessára a especfcação do processo a usar. Nesta fase é de grande mportânca o envolvmento do responsável pelo proecto do layout. Se a maor parte das decsões para a especfcação do processo á foram tomadas antes do seu envolvmento, há que procurar dentfcar se exste alguma flexbldade no plano do processo que possa ser explorada. A escolha do processo de fabrco a usar depende de um grande número de dferentes factores. Para além da capacdade do sstema para crar produtos, deve anda ser consderada a capacdade de produção, a qualdade dos produtos, os factores económcos, ambentas e as questões de segurança. A especfcação fnal do processo de fabrco passa pela cração de alguns documentos, dos quas se referem: Gráfcos de Operações de Processo, que lstam todas as operações, as ferramentas necessáras, os tempos e a ordem pela qual as operações serão realzadas. Roteros, que ndcam a ordem pela qual as operações serão realzadas, bem como a sequênca de máqunas ou estações de trabalho a serem utlzadas por forma a se obter uma parte ou a totaldade de um produto. Planos de Processo, que contêm nformação mas detalhada acerca das operações fabrs. Além da nformação dsponível nos gráfcos de operações de processo e nos roteros, contêm nformação detalhada a utlzar tas como os valores dos parâmetros das máqunas. Dagramas de Montagem, que mostram a ordem preferencal em que os váras componentes são agrupados de forma a crar o produto fnal. Dagramas de Precedênca, que mostram todas as operações a que é sueta uma parte de um produto ou os passos de uma operação de montagem para além de ndcarem quas as tarefas que devem ser executadas antes de outras começarem. O grafo resultante pode ser usado para determnar as sequêncas alternatvas das operações fabrs.

10 24 Proecto do Layout de Instalações Industras 2.3 Parâmetros para a Avalação da Qualdade de Layouts Defne-se que um layout é de boa qualdade quando o custo de mover ou transportar materas e pessoas entre nstalações é mínmo. Deste modo, os parâmetros fundamentas para a avalação da qualdade de layouts são, fundamentalmente, a nteracção entre as dferentes nstalações e a dstânca entre estas. Nesta secção são apresentadas as prncpas métrcas usadas na avalação da qualdade dos layouts Métrcas de Interacção A nteracção entre as dferentes nstalações pode ser determnada segundo crtéros subectvos ou obectvos. Estes são normalmente desgnados por métrcas qualtatvas e métrcas quanttatvas, respectvamente. Métrcas Qualtatvas Por vezes é dfícl obter todos os dados qualtatvos necessáros ao proecto de layout. Muther (1973) desenvolveu um método que permte aos pertos capturar nformação de uma forma subectva. A este método deu o nome de Planeamento Sstemátco do Layout (SLP Systematc Layout Plannng). O método basea-se na defnção de uma relação de adacênca para cada par de nstalações. Esta relação representa a mportânca da adacênca de nstalações usando os ses níves de valores ndcados a segur, por ordem decrescente de mportânca: A E I O U X Absolutamente necessáro Especalmente mportante Importante Importânca ordnára Sem mportânca Indeseável

11 2.3 Parâmetros para a Avalação da Qualdade de Layouts 25 Consderando um par de nstalações com um nível de mportânca A, estas devem estar necessaramente adacentes, enquanto que para um par com o nível X, as nstalações do par nunca deverão fcar adacentes. Normalmente, um par com um dado nível de mportânca nunca será adacente se exstr um par com nível superor que não sea adacente. Um requsto fundamental do método consste em procurar que os níves de mportânca ocorram segundo uma frequênca crescente desde A até U, enquanto a frequênca de X depende do problema. Obvamente, se mutos pares possuem o nível A, a probabldade de todos fcarem adacentes é menor. Estes níves de mportânca, que são usualmente desgnados por classes de proxmdade, podem ser faclmente convertdos para valores numércos de modo a permtr uma medda quanttatva da qualdade do layout. A atrbução de um valor de adacênca para cada par de nstalações é realzado construndo um Gráfco de Relações como o da Fgura 2-2. Instalação 1 Instalação 2 Instalação 3 Instalação 4 A 1,2 E 2 X 3 I 2 U 2 O 1,3 Códgo Razão Fluxo Supervsão Segurança Fgura 2-2: Um exemplo de um gráfco de relações com quatro nstalações. Cada damante representa a relação entre pares de nstalações. A metade superor do damante é usada para ndcar o seu nível de mportânca, enquanto a metade nferor é usada para ustfcar o motvo do nível atrbuído. É necessáro crar uma tabela que descreva o sgnfcado dos códgos de ustfcação utlzados. Métrcas Quanttatvas As meddas de fluxo ndcam o grau de nteracção entre pares de nstalações e, como tal, os valores de fluxo entre todos esses pares devem ser consderadas no proecto de layout. Não se deve esquecer, no entanto, outros possíves factores que

12 26 Proecto do Layout de Instalações Industras podem nfluencar a localzação das nstalações, tas como a área, a forma e os requstos de espaço. Uma métrca quanttatva usada frequentemente pelos pertos é a frequênca de vagens entre as nstalações. O fluxo de materas entre nstalações e/ou pessoas é também uma outra métrca do fluxo. A nformação necessára para executar esta tarefa encontra-se, normalmente, em dversos documentos, tas como relações de materas, roteros, planos de processo e dagramas de precedênca. Quanto aos volumes de produção, estes obtêm-se das prevsões de produção. Combnando os dados de processo com os dados dos volumes de produção, é possível determnar o fluxo entre nstalações. Para determnar o fluxo entre nstalações são usadas geralmente dos tpos de matrzes: Matrz De-Para, mostra fluxo de uma nstalação para outra; ou sea, o fluxo em cada drecção para cada par de nstalações; Matrz de Fluxo ndca o fluxo entre nstalações, e portanto, combna o fluxo nas duas drecções. Esta matrz é smétrca, no sentdo em que o valor do fluxo nserdo na posção (, ) é gual ao da posção (, ). É claro que nestas matrzes o valor do fluxo nserdo nas posções da dagonal prncpal descendente (todas as posções (, )) é sempre zero. Na construção destas matrzes é necessáro calcular os valores de fluxo equvalentes de modo a assegurar que os valores do fluxo nserdos na matrz são proporconas. Por exemplo, se 1000 peças da parte X são deslocadas entre a nstalação 1 e a nstalação 2, e 100 peças da parte Y são deslocadas entre a nstalação 3 e a nstalação 4, mas, no entanto, a parte Y pesa 100 vezes mas que a parte X, então o fluxo equvalente em termos de peso é 1 entre a nstalação 1 e a nstalação 2, e 10 entre a nstalação 3 e a nstalação 4. Para o cálculo do fluxo equvalente é comum consderar o peso ou a quantdade untára do equpamento de manpulação de materal ou transporte. A quantdade untára pode ser um recpente, uma palete ou uma caxa. Ocasonalmente, se uma parte a mover é extremamente cara e susceptível de ser danfcada durante a sua manpulação, o fluxo pode ser pesado de acordo com o rsco envolvdo e o valor da parte. O fluxo total entre duas nstalações é calculado pela soma dos fluxos equvalentes de todas as partes entre as duas nstalações. O gráfco de processo para

13 2.3 Parâmetros para a Avalação da Qualdade de Layouts 27 cada parte é examnado para determnar quas as nstalações que são vstadas. Uma estmatva da procura de cada parte é calculada usando as prevsões da procura dos produtos fnas e a relação de materas. Fnalmente, a procura é convertda em fluxos equvalentes Métrcas de Dstânca Um factor fundamental na avalação da qualdade de um dado layout é a dstânca entre as undades de produção. O cálculo da dstânca pode ser efectuado de dversas formas. Geralmente, estas consderam o centro geométrco das nstalações. Algumas das formas de cálculo da dstânca podem ser as que se enumeram a segur (Heragu, 1997): Eucldana, é o comprmento do segmento de recta que une os centros das nstalações. A dstânca entre as nstalações e é dada por d 2 2 = ( x x ) + ( y y ). Embora não sea uma medda realsta em algumas stuações, é no entanto, uma das formas de cálculo de uso frequente; Eucldana quadrátca, é uma métrca de dstânca que usa a expressão d 2 2 = ( x x ) + ( y y ). Esta medda atrbu uma maor preponderânca aos pares de nstalações que se encontram mas afastadas; Rectlínea, é também conhecda por dstânca Manhattan ou rectangular. Esta métrca da dstânca é dada pela expressão d = x x + y y. É uma das mas usadas dado que permte um cálculo muto smples, e é aproprada para mutas stuações prátcas como, por exemplo, a dstânca entre dos pontos numa cdade ou a dstânca entre nstalações servdas por dspostvos de transporte de materas, entre os quas apenas pode haver movmento de uma forma rectlínea; Tchebychev, é uma métrca da dstânca que é dada pela expressão d = max( x x, y y ). Esta forma de medda é muto usada em stuações em que o tempo gasto para chegar ao centro da nstalação a partr da nstalação depende da (maor) dstânca segundo x ou y;

14 28 Proecto do Layout de Instalações Industras Dstânca lateral, é uma métrca dferente das anterores, por permtr que se faça o cálculo da dstânca efectvamente percorrda pelo equpamento de transporte ao longo do seu percurso. Na Fgura 2-3 a dstânca entre a nstalação e a nstalação é dada pela soma dos comprmentos dos segmentos a, b, c e d. A prncpal aplcação desta métrca de dstânca é em problemas de layout ndustras, no entanto, como o percurso do equpamento de transporte não é conhecdo à partda, esta métrca é usada apenas nas etapas de planeamento e avalação de soluções; Instalação d Instalação Instalação c a b Fgura 2-3: Cálculo da dstânca lateral. Adacênca, esta é uma métrca smples que ndca apenas se as nstalações são ou não adacentes; no entanto, não consegue dferencar entre duas nstalações não adacentes. Esta métrca é usada para calcular o desempenho do layout na presença de meddas de nteracção qualtatvas. Em geral a dstânca d é calculada da segunte forma: d 0 = 1 se as nstalações e são adacentes nos restantes casos Consderando a Fgura 2-3 observa-se que d k = d k = 0 e d = 1. Camnho mas curto, é uma métrca usada em problemas de localzação e dstrbução baseados em grafos. Exstem frequentemente camnhos alternatvos entre dferentes pares de nós, e a cada camnho está assocado um peso, que representa a dstânca entre os nós adacentes.

15 2.3 Parâmetros para a Avalação da Qualdade de Layouts Avalação da Qualdade de Layouts Para se aferr acerca da qualdade de um dado layout, dversos crtéros podem ser usados. Estes podem ser agrupados em duas classes, que dferem por se basearem em factores qualtatvos e quanttatvos. Os crtéros qualtatvos mas comuns são baseados nas classes de proxmdade, enquanto que os quanttatvos são geralmente baseados nos valores do fluxo. O método mas comum de avalar a qualdade de um layout, consderando a classe, e baseado em factores qualtatvos, usa uma combnação entre classes de proxmdade e a métrca de dstânca por adacênca. O custo de um layout é dado pela equação (2-1). P Custo = n n = 1 = 1 p d (2-1) em que: P Custo é o custo qualtatvo total de um dado layout ; p é o valor da classe de proxmdade para o par entre as nstalações e ; d é a dstânca entre as nstalações e segundo a métrca de adacênca. Por outro lado, o método mas comum para avalar a qualdade de um layout, consderando factores quanttatvos, basea-se geralmente em três parâmetros: o fluxo de materas ou frequênca de vagens entre nstalações; a dstânca entre nstalações usando normalmente um métrca eucldana ou quadrátca e; em algumas stuações, um custo que em geral é o custo assocado ao transporte de uma undade de materal por undade de dstânca. Esta forma quanttatva de avalar a qualdade de layout é dada pela equação (2-2). n 1 n F = c f d (2-2) Cost = 1 = + 1 em que: F Custo é o custo quanttatvo total de um dado layout ;

16 30 Proecto do Layout de Instalações Industras c é o custo de transporte de uma undade de materal por undade de dstânca entre as nstalações e ; f é o fluxo entre as nstalações e ; d é a dstânca entre as nstalações e, segundo as métrcas de eucldana ou rectlínea. O parâmetro c pode ser usado para representar factores qualtatvos, cada um com um peso assocado. Pode também representar o tempo gasto no transporte ou o custo assocado ao equpamento de manpulação de materas. Outros valores de custo qualtatvos e quanttatvos podem ser dentfcados, podendo envolver combnações de dversos tpos de valores de custo. Na maor parte das stuações prátcas é bastante dfícl determnar valores para o parâmetro c e, portanto, é muto frequente que estes valores seam estmados (Heragu, 1997). Por outro lado, nas stuações em que a avalação de um dado layout não requer o uso deste parâmetro, basta consderar a atrbução do valor 1 a todos os c. Tanto os métodos de avalação baseados em factores qualtatvos como os baseados em factores quanttatvos, possuem as suas lmtações. Os métodos baseados em factores qualtatvos possuem demasada subectvdade, e o layout é obtdo pela pré atrbução de valores numércos às váras classes de proxmdade. Por outro lado, os métodos baseados em factores quanttatvos não conseguem tratar de uma forma efectva restrções como, por exemplo, a stuação em que duas nstalações devem estar tão dstancadas quanto possível devdo a questões ambentas ou de segurança. Tendo em conta estas lmtações foram ntroduzdos métodos de avalação de layout mult-crtéro (Rosenblatt, 1979; Dutta e Sahu, 1982) que consderam os factores qualtatvos e quanttatvos. Um destes métodos, lustrado pela equação (2-3), consdera estes dos factores, equlbrando a mportânca de cada um deles. Custo = W F W P (2-3) f Cost p Cost em que: Custo é o custo global de um dado layout ;

17 2.4 Modelos Matemátcos para o Proecto de Layout 31 F Custo é o custo quanttatvo total de um dado layout ; P Custo é o custo qualtatvo total de um dado layout ; Wf é o peso assocado ao fluxo; Wp é o peso assocado às classes de proxmdade. Alguns autores observaram que o PPLI é um problema de natureza dnâmca (Rosenbatt, 1986; Montreul e Venkatadr, 1991; Urban, 1992). Desta forma surgu uma formulação do problema que tem em lnha de conta que o fluxo é função do tempo (Rosenbatt, 1986). A avalação do layout passa então a ser efectuada de acordo com (2-4). D T = T t = 1 C t t + F (2-4) 1, t em que D T é o custo global de um dado layout até ao período T ; C s,t é o custo de rearrano do layout na passagem de período, ou sea, de s para t ; F t é o custo convenconal de um dado layout no período t ; T é número de períodos temporas consderado. Para um dado problema poder-se-ão usar varações dos crtéros aqu apresentados. Uns crtéros serão mas adequados do que outros. Cabe ao proectsta do layout a responsabldade de escolher o crtéro, ao verfcar o que melhor se adapte aos obectvos a atngr. 2.4 Modelos Matemátcos para o Proecto de Layout Ao longo desta secção são consderados modelos matemátcos desenvolvdos com obectvo de soluconar o PPLI. No entanto, nteressa em prmero lugar efectuar o enquadramento deste problema em dos tpos de sub-problemas:

18 32 Proecto do Layout de Instalações Industras Problemas de atrbução de espaço de uma dmensão, em que as nstalações são dspostas ao longo de uma lnha; Problemas de atrbução de espaço de duas dmensões. Neste caso as nstalações são organzadas (lnearmente) ao longo de duas ou mas lnhas, que não necesstam de ser rectlíneas. Mutos dos modelos descrtos consderam que as nstalações são rectangulares, a sua forma é conhecda à partda (é conhecda a relação entre o seu comprmento e a largura), e não exstem nenhumas restrções à topologa do edfíco onde vão ser posconadas as nstalações. Embora a suposção de que as nstalações são de forma rectangular não sea propramente uma consderação realsta, constata-se que as nstalações que não são rectangulares podem ser aproxmadas a um rectângulo (Heragu, 1997). A Fgura 2-4 mostra como esta aproxmação pode ser realzada. No entanto, se a forma das nstalações dfere bastante de um rectângulo, então a qualdade da solução apresentará alguns senãos, embora se deva referr que esta stuação é pouco frequente. Esta aproxmação permte smplfcar bastante o problema bem como a sua resolução. Fgura 2-4: Aproxmação da forma das nstalações que não são propramente rectângulos Modelo para Problemas de Atrbução de Espaço de Uma Dmensão A modelação de problemas de proecto de layout em termos de um problema de atrbução de espaço de uma dmensão, tem em conta que as nstalações são dspostas

19 2.4 Modelos Matemátcos para o Proecto de Layout 33 ao longo de uma lnha recta, e que as suas orentações são conhecdas à partda (Kusak e Heragu, 1987). Neste caso, para efetos de modelação, a orentação ndca quas dos lados, se o mas comprdo ou se o mas curto, fca paralelo com a recta. Em mutos sstemas de produção, os pontos de carga e descarga da nstalação devem fcar alnhados com os pontos de carga e descarga do equpamento de manpulação e transporte. Como estes são pontos fxos das máqunas, a orentação é de facto conhecda à partda na maor parte dos casos. Neste tpo de problemas utlza-se, normalmente, a segunte notação: n é o número de nstalações; f é o fluxo ou frequênca de vagens entre as nstalações e ; c é o custo de transporte de uma undade de materal por undade de dstânca entre as undades de produção e ; l é o comprmento da nstalação ; d é a dstânca mínma (folga), a que as nstalações e devem estar colocadas; x é a varável de decsão e corresponde à dstânca entre o centro da nstalação e o referencal utlzado. A resolução de um problema deste tpo passa por se encontrar o mn n-1 n c f x x = 1 = + 1 (2-5) sueto às restrções: 1 x x ( l + l ) + d,, ; < (2-6) 2 x 0, (2-7) 1 1 H l x l, (2-8) 2 2 A Fgura 2-5 mostra como se relaconam os parâmetros e as varáves de decsão deste problema. A função obectvo (2-5) mnmza os custos totas relaconados com o fluxo de produtos sem-acabados entre as nstalações. A restrção (2-6) assegura que as nstalações no layout não se sobreponham. Embora a restrção (2-7) não

20 34 Proecto do Layout de Instalações Industras consttua um requsto fundamental para esta solução, esta mpõe que os valores das varáves de decsão seam sempre postvos. l d l Instalação Instalação x x Lnha de Referênca Fgura 2-5: Os parâmetros e varáves de decsão de um problema de atrbução de espaço de uma dmensão. Caso se conheça a dmensão do edfíco, para que as nstalações seam colocadas no seu nteror, podem ser adconadas as restrções (2-8), em que o parâmetro H é o comprmento do edfíco. No entanto, como a função obectvo mnmza a dstânca entre nstalações, mplctamente o layout obtdo á satsfaz estas restrções, mesmo que estas não esteam presentes Modelos para Problemas de Atrbução de Espaço de Duas Dmensões Dferentes modelos têm sdo propostos para tratar o problema do layout como um problema de espaço a duas dmensões. Uma das característcas que os dstnguem relacona-se com a área das nstalações. Alguns modelos consderam apenas nstalações de áreas guas, enquanto que outros tratam também nstalações de áreas dferentes. Por outro lado, alguns destes modelos são modelos de Programação Intera Msta (PIM), enquanto que outros envolvem termos não lneares (Koopmans e Beckman, 1957; Heragu e Kusak, 1991; Montreul et al, 1993).

21 2.4 Modelos Matemátcos para o Proecto de Layout 35 Problemas com Instalações de Áreas Iguas O Problema de Atrbução Quadrátca (Quadratc Assgnment Problem QAP) é um problema clássco em que o obectvo a atngr tem a ver com a modelação do processo de localzação de nstalações nter-actuantes, com áreas guas, tendo sdo abordado pela prmera vez por Koopmans e Beckman (1957). Este é um típco problema do tpo PIM, que consdera a exstênca de n nstalações a serem atrbuídas a n locas predefndos. O termo atrbução aqu usado sgnfca que se faz corresponder cada nstalação a um local específco e vce-versa. O formalsmo do QAP requer que o número de nstalações sea gual ao número de locas. Se exstrem n locas e m nstalações, sendo n>m, então devem-se consderar n-m nstalações fctícas, e consderar que os fluxos entre s bem como as demas nstalações do problema é nulo. Por outro lado, se n<m então o problema não tem solução. A resolução do QAP tem em consderação o fluxo de materas entre pares de nstalações, e a dstânca entre s. Normalmente, esta dstânca é medda entre o centro de cada par de nstalações, utlzando-se uma métrca rectlínea. Outro factor a ter em conta é o custo do transporte por undade de dstânca e por peça. A resolução do problema passa por se atrbur a cada nstalação um e um só local de modo a mnmzar o custo do transporte. A formulação do problema atende a que: n é o número total de nstalações e locas; a é o rendmento que se obtém pela colocação da nstalação no local ; f k é o fluxo de materal da nstalação para a nstalação k, que é ndependente dos locas onde estas nstalações estão colocadas; c l representa o custo de transporte de uma undade de materal do local para o local l ; x é uma varável de decsão, que tem o valor 1 se nstalação está no local, e 0 caso contráro. A resolução do problema passa então por max n n a x = 1 = 1 = 1 = 1 k= 1, l = 1, k l n n n n f k c l x x kl (2-9)

22 36 Proecto do Layout de Instalações Industras sueto às restrções: n = 1 n = 1 x = 1, (2-10) x = 1, (2-11) x = 0 ou 1,, (2-12) No entanto, redefnndo a de modo a representar o custo de localzar e operar a nstalação no local, a função obectvo (2-9) passa a ter a segunte formulação: mn n n n n n n a x + = 1 = 1 = 1 = 1 k = 1, l k = 1, l f k c l x x kl (2-13) Apesar de formulações do QAP serem usadas frequentemente para soluconar problemas de layout de nstalações, este não pode ser usado drectamente como modelo para todos os tpos de problemas de layout. Este lmta-se às stuações em que as nstalações possuem a mesma forma e requerem a mesma área. Portanto, quando esta stuação não se verfca, não é possível determnar prevamente a dstânca entre os dferentes locas. Nestas crcunstâncas a dstânca entre dos locas depende sempre do arrano das nstalações no layout. Por outro lado constata-se que as nstalações com áreas dferentes podem ser tratadas recorrendo a um QAP modfcado (Meller e Gau 1996; Kaku et al., 1988; Kusak e Heragu, 1987). As nstalações são quebradas em pequenas grelhas de área gual, sendo atrbuído um valor de fluxo para as grelhas da mesma nstalação de tal modo sgnfcatvo, que assegura que estas seam colocadas em locas adacentes. No entanto, devdo ao aumento do número de nstalações (as grelhas), a resolução de problemas de dmensões nferores quando as nstalações possuem áreas dferentes é mas dfícl. Problemas com Instalações de Áreas Dferentes Para mutos problemas de layout reas, a suposção de que as nstalações possuem áreas guas não é realsta. Para tratar estes problemas, Heragu e Kusak

23 2.4 Modelos Matemátcos para o Proecto de Layout 37 (1991) propuseram um modelo para atrbução de espaço de duas dmensões, baseado em suposções não lneares e dêntco ao modelo descrto na secção De gual forma assume-se que as nstalações possuem uma forma rectangular e a sua orentação é conhecda. Este modelo usa a segunte notação (Fgura 2-6): n é o número de nstalações; f é o fluxo de materas ou a frequênca de vagens entre as nstalações e ; c é o custo de transporte de uma undade de materal por undade de dstânca entre as nstalações e ; l é o comprmento horzontal da nstalação ; b é o comprmento vertcal da nstalação ; dh é a dstânca mínma, na horzontal (folga), a que as nstalações e devem estar colocadas; dv é a dstânca mínma, na vertcal (folga) a que as nstalações e devem estar colocadas; x é uma varável de decsão, que corresponde à dstânca, na horzontal, entre o centro da nstalação e referencal utlzado; y é uma varável de decsão, que corresponde à dstânca, na vertcal, entre o centro da nstalação e o referencal utlzado. De notar que se todos os l e b forem guas, então a formulação concde com a de um problema com nstalações de área gual. Na sua forma mas smples tem-se l = b = 1 e dh = dv = 0 e, nesta stuação, é possível encontrar algumas semelhanças com o QAP. Na sua forma mas geral, para a resolução do problema, há que consderar a função obectvo: mn n-1 n c = 1 = + 1 f ( x x + y y ) (2-14) sueta às restrções: 1 x x + Mz ( l + l ) + dh,, ; < (2-15) 2

24 38 Proecto do Layout de Instalações Industras 1 y y + M (1 z ) ( b + b ) + dv,, ; < (2-16) 2 z ( 1 z ) = 0,, ; < (2-17) LRV x b Instalação dh dv l l b Instalação y x y LRH Fgura 2-6: Os parâmetros e varáves de decsão de um problema de atrbução de espaço de duas dmensões. Tal como o problema da secção 2.4.1, a função obectvo (2-14) usa para mnmzação do custo total o fluxo relaconado com a manpulação e transporte de materas. As restrções (2-15), (2-16) e (2-17) asseguram que a nstalações não se sobrepõem, tanto na horzontal como na vertcal. É possível, se as dmensões do edfíco forem conhecdas e se tal for necessáro, adconar restrções semelhantes às restrções (2-8), quer em relação à lnha de referênca horzontal, quer segundo a lnha de referênca vertcal, que assegurem que as nstalações seam colocadas dentro dos lmtes do edfíco.

25 2.4 Modelos Matemátcos para o Proecto de Layout 39 Modelo de Montreul Este caso é uma generalzação do modelo desenvolvdo por Heragu e Kusak (1991), á apresentado para problemas com nstalações de áreas dferentes. Aqu a orentação, o comprmento e a largura das nstalações não são conhecdos à partda. A notação utlzada é dada a segur: L e W são, respectvamente, o comprmento e largura do edfíco; a é área mínma necessára para a nstalação ; ub e lb são o lmte superor e o lmte nferor para o comprmento e a largura da nstalação, respectvamente p e P denotam os perímetros mínmo e máxmo da nstalação ; f é o fluxo de materas ou frequênca de vagens entre as nstalações e ; dx e dy é a dstânca em lnha recta entre as nstalações e, segundo x e y, respectvamente; x e y é a posção do ponto central da nstalação no edfíco; l e w denotam metade do comprmento e da largura da nstalação ; z x e z y são varáves de decsão, que denotam as posções relatvas das nstalações e ; As varáves de decsão referentes às posções relatvas tomam os valores: x z 0 = 1 se as nstalações e são adacentes nos casos restantes y z 0 = 1 se as nstalações e são adacentes nos casos restantes A formulação da solução para o problema é então dada na forma: mn n n f ( dx + dy ) = 1 = 1, (2-18) sueto às restrções:

26 40 Proecto do Layout de Instalações Industras dx x x,, (2-19) dx x x,, (2-20) dy y y,, (2-21) dy y y,, (2-22) l x L l, (2-23) w y W w, (2-24) lb 2 l ub, (2-25) lb 2 w ub, (2-26) x x y y 2 z + z + z + z 3,, ; < (2-27) x + l x l + Lz,, (2-28) x x + l x l + Lz,, (2-29) x y + w y w + Wz,, (2-30) x y + w y w + Wz,, (2-31) x p 4( l + w ) P, (2-32) A função obectvo (2-18) é análoga à do últmo problema, e basea-se no produto entre o fluxo e a dstânca entre nstalações. As restrções (2-19) a (2-22) mplementam um subterfúgo que tem em vsta a lnearzação da função valor absoluto usada no cálculo de dstâncas. As restrções (2-23) e (2-24) mpõem que as nstalações seam colocadas dentro do mesmo edfíco. Os valores mínmo e o máxmo do comprmento das nstalações são mantdos pelas restrções (2-25) e (2-26). Requstos para as posções relatvas das nstalações são assegurados pela restrção (2-27), enquanto que as restrções (2-28) a (2-31) garantem que as nstalações não se sobreponham. Fnalmente, a restrção lnear (2-32) assegura os requstos a que devem obedecer as áreas das nstalações e substtu a restrção não lnear 4l w = a. Apesar da solução endossada por Montreul utlzar Programação Intera Msta, apenas problemas de pequena dmensão, com ses ou menos nstalações, podem ser soluconados de forma óptma. Uma abordagem baseada em heurístcas, de modo a tratar problemas de maores dmensões, passa por se fxar o valor das varáves que

27 2.5 Algortmos para a Resolução do Problema do Layout 41 admtem apenas os valores 0 e 1 e, soluconar o problema de programação lnear daí resultante (Montreul et al, 1993). 2.5 Algortmos para a Resolução do Problema do Layout Para a resolução de PPLI pode-se recorrer a pacotes de software especalzados, seam de Programação Lnear ou até mesmo de Programação Intera Msta. No entanto, foram desenvolvdas técncas com dferentes graus de complexdade com o obecto de soluconar os PPLI, de uma forma mas efcente. Estes procedmentos (ou algortmos) podem ser classfcados em algortmos óptmos e em algortmos sub-óptmos ou heurístcos Algortmos Óptmos Um algortmo óptmo produz sempre a melhor solução para um dado problema, ou pelo menos uma das melhores soluções quando váras são possíves. Pelo contráro, os algortmos heurístcos geram mas rapdamente soluções, geralmente boas, embora não garantem que se obtenha a melhor solução. Desde o níco dos anos sessenta tem havdo um trabalho consderável no desenvolvmento de algortmos óptmos, partcularmente para a resolução do QAP. Estes algortmos podem ser agrupados em três classes (Heragu, 1997): Algortmos Branch & Bound (Lawler e Wood, 1966) de que é exemplo o algortmo desenvolvdo por Glmore (1962) e Lawler (1963), de forma ndependente, para soluconar o QAP; Algortmos de decomposção que se baseam na separação do problema de Programação Intera Msta em dos problemas; um problema de Programação Intera e outro de Programação Lnear, que são soluconados separadamente, teratva e alternadamente, até se encontrar uma solução óptma (Benders, 1962);

28 42 Proecto do Layout de Instalações Industras Algortmos baseados em planos de corte 6 (Kelley, 1960; Cook et al, 1987). A razão pela qual se usam aproxmações heurístcas, dado que os algortmos óptmos fornecem sempre a melhor solução para um dado problema, deve-se ao facto de que os procedmentos para a resolução dos PPLI são nerentemente (NP)-completos. Consderando o smples QAP como exemplo, foram apenas encontradas soluções óptmas para os casos em que o número de nstalações era nferor a 20 (Kettan e Oral, 1993) Algortmos Baseados em Heurístcas Devdo às dfculdades na obtenção da solução óptma para problemas com alguma dmensão, não surpreende que tenham sdo desenvolvdos algortmos baseados em heurístcas, em que o obectvo fundamental é o de obter boas soluções. Estes algortmos são normalmente agrupados em quatro classes: construtvos, com refnamento, híbrdos e baseados na teora dos grafos. Meller e Gau (1996) dentfcaram uma grande varedade de algortmos heurístcos, desenvolvdos ao longo das últmas dezenas de anos. Para além das quatros classes referdas, Meller e Gau consderam os algortmos baseados na adacênca e os algortmos baseados na dstânca. Não se pretende aqu efectuar uma dentfcação e descrção exaustva de todos os algortmos, mas sm apresentar as prncpas deas e concetos subacentes às classes dentfcadas. Construtvos Os algortmos construtvos geram um layout, consderando apenas uma teração, recorrendo a heurístcas que selecconam a ordem de colocação das nstalações e sua respectva posção. As prncpas dferenças entre os dversos algortmos construtvos têm a ver com os crtéros usados para determnar qual a prmera nstalação a colocar no layout, qual ou quas as nstalações que se devem colocar a segur e, fnalmente, qual o local da prmera nstalação e o das seguntes. Alguns dos prncpas algortmos 6 Algortmos baseados em planos de corte fo a solução encontrada para cuttng plane algorthms.

29 2.5 Algortmos para a Resolução do Problema do Layout 43 construtvos são o HC66 (Hller e Connors, 1966), o ALDEP (Seehof e Evans, 1967), o CORELAP (Lee e Moore, 1967), o RMA (Muther e McPherson, 1970), o MAT (Edwards et al, 1970), o PLANET (Desenroth e Apple, 1972), o LSP (Zoller e Adendorff, 1972), o FATE (Block, 1978), o INLAYT (O Bren e Barr, 1980), o SHAPE (Hassan et al, 1986), o NLT (van Camp et al, 1991) e o QLAARP (Baneee et al, 1992). Refnamento Para esta classe de algortmos é sempre necessára a exstênca de uma solução ncal, que frequentemente é gerada aleatoramente. A esta solução ncal, e de uma forma teratva, são aplcadas algumas operações com o obectvo de melhorá-la. As operações aplcadas consstem, normalmente, em trocas entre nstalações. O resultado destas trocas é avalado e a troca que produzr a melhor solução é selecconada. Este procedmento contnua enquanto se produzrem melhoras. Estes algortmos têm como característca prncpal o facto de que a qualdade da solução fnal depende da solução ncal. Alguns dos prncpas algortmos de refnamento desenvolvdos para soluconar o PPLI são o CRAFT (Armour and Buffa, 1963), o COL (Vollmann et al, 1968), o FRAT (Khall, 1973), o COFAD (Tompkns e Reed, 1976), o LOGIC (Tam, 1992a, Tam, 1992b), o MULTIPLE (Bozer et al, 1994), o FLEX-BAY (Tate e Smth, 1995), o MULTI-HOPE (Kochhar e Heragu, 1998) e o DHOPE (Kochhar e Heragu, 1999). É de salentar que nos últmos anos tem-se assstdo ao desenvolvmento de técncas que usam algortmos meta-heurístcos especalmente adaptadas à resolução de PPLI, em especal na área dos algortmos genétcos, do smulated-annealng e da pesqusa tabu. Refra-se que o LOGIC é um exemplo representatvo destes métodos. A abordagem por eles seguda na resolução de problemas permte que seam classfcados como algortmos de refnamento. O CRAFT é o arquétpo dos algortmos de refnamento. Tendo sdo desenvolvdo por Armour and Buffa (1963), é dos algortmos de refnamento mas usados. Este começa por determnar o ponto central de cada nstalação no layout

30 44 Proecto do Layout de Instalações Industras ncal e, prossegue com a troca do ponto central de duas ou três nstalações que não tenham de estar fxas à posção orgnal, que requerem uma área gual ou são adacentes no layout em consderação. Por cada troca, é calculada uma redução estmada do custo, escolhendo-se aquela que proporcona a maor redução de custo. A troca escolhda orgna então um novo layout para a teração segunte. Este processo de trocas prossegue até não ser possível encontrar nenhuma troca que melhore o layout. O método usado pelo CRAFT para realzar as trocas tem o efeto, por vezes ndeseável, de poder orgnar nstalações com uma forma rregular. Com desenvolvmento dos algortmos LOGIC, Tam ntroduzu uma representação para o PPLI baseada em árvores de corte 7 (Tam e L, 1991; Tam, 1992a; Tam, 1992b). Esta representação é usada por dos algortmos, um baseado no smulated-annealng e o outro nos algortmos genétcos. Em ambas as versões, o layout é representado por meo de uma árvore de corte, onde as nstalações são colocados nas folhas da árvore e, os cortes preenchem os restantes nós. Uma árvore de corte não é mas do que uma estrutura herárquca do arrano de obectos rectangulares, dentro de uma dada área também rectangular, capaz de conter todos os obectos sem provocar sobreposção entre eles. Esta descrção especfca a posção relatva entre os obectos. A forma mas smples destas árvores de corte dá pelo nome de árvores de corte bnáras. Estas recorrem ao conceto de fatas. Uma fata ou é um rectângulo básco ou então exste um segmento de recta, horzontal ou vertcal, que dvde a fata em duas metades, de tal modo que as metades também consttuem uma fata. Desta forma um obecto rectangular pode ser recursvamente cortado por sucessvos cortes de gulhotna. A Fgura 2-7a representa a forma como uma árvore de corte se traduz no layout da Fgura 2-7b. 7 Na lteratura em língua nglesa é usado o termo slcng trees para desgnar as árvores de corte.

31 2.5 Algortmos para a Resolução do Problema do Layout 45 h h A G h A v h B C F v v H I F G D E B C D E H I (a) Fgura 2-7: (a) Árvore bnára de corte; (b) Layout de blocos correspondente. (b) Híbrdos São consderados algortmos heurístcos híbrdos aqueles que se enquadram num dos dos tpos seguntes: 1. Combnação de duas ou mas classes de algortmos baseados em heurístcas, como, por exemplo, combnação entre algortmos construtvos e de refnamento; 2. Combnação de algortmos óptmos com heurístcas. Uma combnação natural de algortmos heurístcos basea-se no uso de um algortmo construtvo para gerar uma solução ncal para almentar um algortmo de refnamento. Um exemplo deste tpo de algortmos é o algortmo embebdo no programa desenvolvdo por Donaghey e Pre (1991). Relatvamente ao segundo tpo, pode-se referr o caso em que se modfca um algortmo óptmo de modo a parar ao fm de um determnado período de tempo predefndo, e melhorar a melhor solução encontrada pelo uso do algortmo de refnamento (Burkard e Stratman, 1978; Bazaraa e Sheral, 1980; Bazaraa e Krca, 1983). Baseados na Teora dos Grafos Os algortmos baseados na teora dos grafos usam concetos de grafos planos e de grafos planos máxmos. Um grafo, que contendo um conunto não vazo de nós e um conunto de arcos, é plano se este pode ser desenhado num plano (a duas

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