MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO COMPORTAMENTO DO MULTIGRID GEOMÉTRICO EM PROBLEMAS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR

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1 MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO COMPORTAMENTO DO MULTIGRID GEOMÉTRICO EM PROBLEMAS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Tese apresentada como requsto parcal à obtenção do grau de Doutor em Cêncas, pelo Programa de Pós-Graduação em Métodos Numércos em Engenara, Setor de Cêncas Exatas e Tecnologa, Unversdade Federal do Paraná. Orentador: Carlos Henrque Marc. Curtba 006

2 TERMO DE APROVAÇÃO MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO COMPORTAMENTO DO MULTIGRID GEOMÉTRICO EM PROBLEMAS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Tese aprovada como requsto parcal para a obtenção do grau de Doutor em Cêncas, na área de concentração Programação Matemátca, no Programa de Pós-Graduação em Métodos Numércos em Engenara, da Unversdade Federal do Paraná, pela segunte banca examnadora: Prof. Dr. Carlos Henrque Marc (orentador) Departamento de Engenara Mecânca, UFPR Profª Dra. Neda Mara Patas Volp Departamento de Matemátca, UFPR Prof. P.D. Clóvs Ramundo Malska Departamento de Engenara Mecânca, UFSC Profª Dra. Sandra Mara Cardoso Malta Departamento de Matemátca e Estatístca, UNIRIO Prof. Dr. Lus Carlos Matol Departamento de Matemátca, UFPR Profª Dra. Vvana Cocco Maran Departamento de Engenara Mecânca, PUC-PR Curtba, 0 de dezembro de 006.

3 A Deus, por tudo.

4 Agradecmentos Agradeço ao meu orentador, Prof. Dr. Carlos Henrque Marc, por ter acetado orentar-me neste trabalo e pelo conecmento recebdo ao longo desta orentação. Agradeço aos membros da banca examnadora, Prof. P.D. Clóvs Ramundo Malska, Prof. Dr. Luz Carlos Matol, Profª Drª Neda Mara Patas Volp, Profª Drª Sandra Mara Cardoso Malta e Profª Drª Vvana Cocco Maran, pelo tempo despenddo na letura deste trabalo e pelas mportantes sugestões apontadas. Agradeço ao Programa de Pós-Graduação em Métodos Numércos em Engenara (PPGMNE) da Unversdade Federal do Paraná (UFPR) pela oportundade de cursar o doutorado e ao Departamento de Matemátca e Estatístca da Unversdade Estadual de Ponta Grossa (UEPG) pela lcença concedda para a dedcação ao curso. Agradeço à Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoal de Nível Superor (CAPES) e à UEPG pelo suporte fnancero. Agradeço aos meus famlares e amgos pela ajuda e compreensão durante este meu percurso. Agradeço ao meu amgo Geremas Vera por estar sempre próxmo.

5 Resumo. Sobre o tempo de CPU necessáro para resolver problemas undmensonas lneares e não-lnear e um problema bdmensonal lnear, verfca-se o efeto causado por dversos valores de razão de engrossamento, város tamanos de mala, número de terações nternas, número de níves de malas, tolerâncas, estmatvas ncas, solvers, esquemas de correção (CS) e aproxmação completa (FAS), dversos valores de razão de aspecto de mala e algortmos multgrd para problemas ansotrópcos. Os problemas consderados são lneares undmensonas (equação de dfusão e de advecção-dfusão), não-lnear undmensonal (equação de Burgers) e lnear bdmensonal (equação de Laplace), todos com condções de contorno de Drclet. O método de dferenças fntas é usado para dscretzar as equações dferencas. Os sstemas de equações algébrcas são resolvdos com dversos solvers assocados ao método multgrd geométrco com cclo V. Para os problemas sotrópcos são fetas comparações entre os esquemas CS e FAS. Para o problema ansotrópco, quatro tpos de algortmos de engrossamento são consderados, envolvendo engrossamento padrão e sem-engrossamento. Alguns resultados confrmam os da lteratura e outros novos são apresentados. Entre outros, verfcou-se que: o esquema FAS é mas rápdo do que o esquema CS e que o algortmo do tpo sem-engrossamento segudo de engrossamento padrão é o mas rápdo entre os quatro testados para o problema ansotrópco. Palavras-cave: Solver, CFD, dferenças fntas, métodos numércos, ansotropa, multgrd.

6 Abstract. On te necessary CPU tme to solve one-dmensonal lnear and nonlnear problems and a two-dmensonal lnear problem, one verfes te effect consdered by several coarsenng ratos values, several number of nodes, number of nner teratons, number of grd levels, tolerances, ntal estmates, solvers, correcton (CS) and full approxmaton scemes (FAS), several grd aspect ratos values and multgrd algortms to ansotropc problems. Te consdered problems are one-dmensonal lnear (dffuson and advecton-dffuson equatons), one-dmensonal nonlnear (Burgers s equaton) and two-dmensonal lnear (Laplace s equaton) problems wt Drclet s boundary condtons. Te fnte dfference metod s used to dscretzate te dfferental equatons. Te algebrac systems are solved by several solvers assocated to geometrc multgrd metod wt V-cycle. Comparsons between CS and FAS scemes are made to sotropc problems. Four types of coarsenng algortms are consdered, nvolvng standard coarsenng and semcoarsenng to ansotropc problem. Some lterature results are confrmed and some new ones are presented. Te man conclusons are: te FAS sceme s faster tan CS sceme and te SE-EP (partal semcoarsenng) algortm s faster tan oter studed algortms to te ansotropc problem. Key-word: Solver, CFD, fnte dfference, numercal metods, ansotropy, multgrd.

7 Sumáro Lsta de fguras...0 Lsta de tabelas...3 Lsta de símbolos...5 Introdução...9. Generaldades em dnâmca dos fludos computaconal...9. Generaldades do método multgrd....3 Motvação Objetvos Revsão bblográfca Delneamento deste texto...30 Fundamentação...3. Métodos teratvos báscos...3. Análse de convergênca Análse de erros de Fourer Aplcação da análse de erros de Fourer na equação de Posson D Prncípos fundamentas do método multgrd Resumo do capítulo Método multgrd Algortmos Processo de restrção Processo de prolongação Problemas ansotrópcos Resumo do capítulo Problemas undmensonas lneares: equações de dfusão e de advecção-dfusão Modelos matemátcos Modelos numércos Dscretzação Esquema de correção (CS) Esquema de aproxmação completa (FAS) Dados de mplementação Resultados numércos com o esquema de correção (CS) Iteração nterna Nível de mala Razão de engrossamento Tolerânca e estmatva ncal Resultados numércos com o esquema de aproxmação completa (FAS) Iteração nterna Nível de mala Razão de engrossamento Tolerânca e estmatva ncal Esquema de correção (CS) versus esquema de aproxmação completa (FAS) Conclusão do capítulo Problema undmensonal não-lnear: equação de Burgers Modelo matemátco Modelos numércos Dscretzação Resultados numércos com o esquema de correção (CS) Iteração nterna Nível de mala...96

8 5.3.3 Razão de engrossamento Tolerânca e estmatva ncal Resultados numércos com o esquema de aproxmação completa (FAS) Iteração nterna Nível de mala Razão de engrossamento Tolerânca e estmatva ncal Esquema de correção (CS) versus esquema de aproxmação completa (FAS) Conclusão do capítulo Problema bdmensonal lnear sotrópco: equação de Laplace Modelo matemátco Modelo numérco Dscretzação Resultados numércos com o esquema de correção (CS) Iteração nterna Nível de mala Razão de engrossamento Resultados numércos com o esquema de aproxmação completa (FAS) Iteração nterna Nível de mala Razão de engrossamento Esquema de correção (CS) versus esquema de aproxmação completa (FAS) Conclusão do capítulo Problema bdmensonal lnear ansotrópco: equação de Laplace Modelos matemátco e numérco Dados de mplementação Resultados numércos Iteração nterna (ITI) e razão de aspecto (RA) Efeto do número de ncógntas (N) sobre a razão de aspecto (RA) Algortmo de sem-engrossamento parcal (SE-EP) Conclusão do capítulo Conclusão Referêncas bblográfcas...57 Apêndce A - Métodos teratvos báscos e outros solvers...63 A. Exemplos de métodos teratvos báscos...63 A. Métodos para a resolução de sstemas de equações...65 Método TDMA...65 Método Gauss-Sedel...67 Método MSI...68 Apêndce B - Soluções analítcas para os problemas un e bdmensonas...7 B. Solução da Equação de dfusão D...7 B. Solução da Equação de advecção-dfusão D...73 B.3 Solução da Equação de Burgers D...75 B.4 Solução da Equação de Laplace D...76 Apêndce C - Testes adconas para crtéro de convergênca...78 Apêndce D - Artgos completos com resultados desta Tese publcados em anas de Eventos...80 D. Efeto de Parâmetros do Método Multgrd sobre o Tempo de CPU para a Equação de Burgers Undmensonal...8

9 D. Effect of Parameters of Multgrd Metod on te CPU Tme for One-dmensonal Problems...95 D.3 Efeto de Parâmetros do Método Multgrd CS e FAS sobre o Tempo de CPU em Problemas D Lneares e Não-lneares...04 D.4 Efeto da Razão de Aspecto de Mala sobre o Tempo de CPU para a Equação de Laplace D Resolvda com o Método Multgrd...3 D.5 Efeto de Parâmetros do Método Multgrd CS e FAS sobre o Tempo de CPU para a Equação de Laplace Bdmensonal...38

10 Lsta de fguras Fgura.: Exemplos de malas: (a) regular e (b e c) rregular... Fgura.: Exemplos de: a) mala fna e b) mala grossa... 3 Fgura.: Modos de Fourer com k =, 3, 6 (BRIGGS et al., 000) Fgura.: (a) Jacob ponderado com ω = /3, (b) Gauss-Sedel regular aplcados ao problema undmensonal com N = 64, estmatvas ncas para k =, 3, 6 e para 00 terações (BRIGGS et al., 000)... 4 Fgura.3: Jacob ponderado com ω = /3 aplcado ao problema undmensonal com N = 64, estmatva ncal (v +v 6 +v 3 )/3 e para 00 terações (BRIGGS et al., 000) 4 Fgura.4: Jacob ponderado com ω = /3 aplcado ao problema undmensonal com N = 64, com estmatva ncal (v +v 6 )/ antes (esquerda) e depos (dreta) de 0 terações (BRIGGS et al., 000) Fgura.5: (a) Jacob regular (ω = ) e (b) Jacob ponderado com ω = /3 aplcados ao problema undmensonal com N = 64, estmatvas ncas com k 63, com norma do erro reduzda pelo fator de 00 (BRIGGS et al., 000) Fgura.6: Número de ondas k = 4 sobre uma mala fna com N = e sobre uma mala grossa com N = 6 (BRIGGS et al., 000) Fgura 3.: Malas grossas un e bdmensonal Fgura 3.: Dagrama cclo V... 5 Fgura 3.3: Operador de restrção (ponderação completa) da mala fna para a mala grossa Fgura 3.4: Operador de prolongação (nterpolação lnear) da mala grossa para a mala fna Fgura 3.5: (a) mala fna orgnal e (b) mala grossa com sem-engrossamento na dreção x Fgura 4.: Domíno undmensonal de cálculo e condções de contorno Fgura 4.: Mala D unforme Fgura 4.3: Soluções analítca e numércas para N = 3 para a equação de dfusão com CDS Fgura 4.4: Soluções analítca e numércas para N = 3 para a equação de advecçãodfusão com UDS/CDS Fgura 4.5: Tempo de CPU versus ITI para a equação de advecção-dfusão com o esquema CS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Fgura 4.6: Tempo de CPU versus L para a equação de advecção-dfusão com o esquema CS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Fgura 4.7: Tempo de CPU versus N para a equação de advecção-dfusão com o esquema CS, dversos r, com o esquema numérco UDS/CDS e dversos métodos78 Fgura 4.8: Tempo de CPU versus ITI para a equação de advecção-dfusão com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS... 8 Fgura 4.9: Tempo de CPU versus L para a equação de advecção-dfusão com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Fgura 4.0: Tempo de CPU versus N para a equação de advecção-dfusão com o esquema FAS, dversos r, com o esquema numérco UDS/CDS e dversos métodos Fgura 4.: Detale da fgura Fgura 4.: Tempo de CPU versus N para a equação de advecção-dfusão com os esquemas CS e FAS, r = e r = 3, com o esquema UDS/CDS Fgura 5.: Tempo de CPU versus ITI para a equação de Burgers com o esquema CS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS... 95

11 Fgura 5.: Tempo de CPU versus L para a equação de Burgers com o esquema CS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Fgura 5.3: Tempo de CPU versus N para a equação de Burgers com o esquema CS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Fgura 5.4: Soluções analítca e numércas para N = 3 com esquema FAS e esquema numérco UDS/CDS para a equação de Burgers Fgura 5.5: Soluções analítca e numércas para N = 3 com esquema FAS e esquema numérco CDS_CA/CDS para a equação de Burgers... 0 Fgura 5.6: Tempo de CPU versus ITI para a equação de Burgers com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS... 0 Fgura 5.7: Tempo de CPU versus ITI para a equação de Burgers com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco CDS_CA/CDS Fgura 5.8: Tempo de CPU versus L para a equação de Burgers com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Fgura 5.9: Tempo de CPU versus L para a equação de Burgers com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco CDS_CA/CDS Fgura 5.0: Tempo de CPU versus N para a equação de Burgers com o esquema FAS, dversos r, com o esquema numérco UDS/CDS e para dversos métodos Fgura 5.: Detale da fgura Fgura 5.: Tempo de CPU versus N para a equação de Burgers com o esquema FAS, r = e r = 3, com o esquema numérco CDS_CA/CDS e para dversos métodos Fgura 5.3: Detale da fgura Fgura 5.4: Tempo de CPU versus N para a equação de Burgers com os esquemas CS e FAS, r = e r = 3 e com o esquema numérco UDS/CDS... Fgura 6.: Domíno bdmensonal de cálculo para a equação de Laplace... 5 Fgura 6.: Mala D unforme... 6 Fgura 6.3: Tempo de CPU versus ITI para a equação de Laplace com o esquema CS, com o esquema numérco CDS/CDS, r = e solver MSI... 0 Fgura 6.4: Tempo de CPU versus L para a equação de Laplace com o esquema CS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e dversos solvers... Fgura 6.5: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com esquema CS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e dversos métodos... 3 Fgura 6.6: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com o esquema CS, dversos r, com o esquema numérco CDS/CDS e o solver MSI... 5 Fgura 6.7: Tempo de CPU versus ITI para a equação de Laplace com o esquema FAS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e o solver MSI... 8 Fgura 6.8: Tempo de CPU versus L para a equação de Laplace com o esquema FAS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e dversos solvers Fgura 6.9: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com o esquema FAS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e com dversos solvers... 3 Fgura 6.0: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com o esquema FAS, dversos r, com o esquema numérco CDS/CDS e solver MSI Fgura 6.: Detale da fgura Fgura 6.: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com os esquemas CS e FAS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e solver MSI Fgura 6.3: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com os esquemas CS e FAS, r = 3, com o esquema numérco CDS/CDS e solver MSI Fgura 6.4: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com os esquemas CS e FAS, r = e r = 3, com o esquema numérco CDS/CDS e solver MSI... 36

12 Fgura 7.: Exemplos de malas: a) sotrópca e b) ansotrópca com RA = Fgura 7.: Engrossamentos: EP (a-c), EP-SE (a-e), SE (3a-3c) e SE-EP (4a-4e) 4 Fgura 7.3: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com esquema CS, r =, RA =, com o esquema numérco CDS/CDS e dversos algortmos Fgura 7.4: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com esquema CS, r =, RA = 6, com o esquema numérco CDS/CDS e dversos algortmos Fgura 7.5: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com esquema CS, r =, RA = 8, com o esquema numérco CDS/CDS e dversos algortmos Fgura 7.6: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com esquema CS, r =, dversos RA, com o esquema numérco CDS/CDS e algortmo SE-EP... 49

13 Lsta de tabelas Tabela.: Comparação entre as três técncas de solução... 9 Tabela.: Razão de convergênca assntótca para o método MSG em váras malas. 6 Tabela 3.: Esquema FAS para duas malas (adaptado de Brggs et al., 000) Tabela 3.: Esquema CS para duas malas (adaptado de Brggs et al., 000) Tabela 3.3: Esquema CS para váras malas com cclo V (adaptado de Brggs et al., 000) Tabela 4.: Algumas malas para cada uma das razões testadas... 7 Tabela 4.: Varação de parâmetros de acordo com a varação da tolerânca no esquema CDS para a equação de dfusão Tabela 4.3: Varação de parâmetros de acordo com a varação da tolerânca no esquema UDS/CDS para a equação de advecção-dfusão Tabela 4.4: Varação de parâmetros de acordo com a varação da estmatva ncal no esquema CDS para a equação de dfusão... 8 Tabela 4.5: Varação de parâmetros de acordo com a varação da estmatva ncal no esquema UDS/CDS para a equação de advecção-dfusão... 8 Tabela 5.: Varação de parâmetros de acordo com a varação da tolerânca no esquema UDS/CDS... 0 Tabela 5.: Varação de parâmetros de acordo com a varação da estmatva ncal no esquema UDS/CDS... 0 Tabela 6.: Algumas malas para cada uma das razões testadas para os esquemas CS e FAS... 9 Tabela 6.: Norma nfnto do erro para as malas mas fnas para cada uma das razões testadas com o solver MSI para o esquema CS... 9 Tabela 6.3: Número de terações nternas ( ITI ) para dversos solvers, esquema CS e r =... 0 Tabela 6.4: Número de terações nternas ( ITI ) para solver MSI, esquema CS e dversas razões de engrossamento... Tabela 6.5: Coefcente (c) e ordem (p) dos métodos e solvers para o esquema CS... 4 Tabela 6.6: Coefcente (c) e ordem (p) das razões de engrossamento para o solver MSI e esquema CS... 6 Tabela 6.7: Norma nfnto do erro para as malas mas fnas para cada uma das razões testadas com o solver MSI para o esquema FAS... 7 Tabela 6.8: Número de terações nternas ( ITI ) para dversos solvers, esquema FAS e r =... 8 Tabela 6.9: Número de terações nternas ( ITI ) para solver MSI, esquema FAS e dversas razões de engrossamento... 9 Tabela 6.0: Coefcente (c) e ordem (p) dos métodos e solvers para o esquema FAS 3 Tabela 6.: Coefcente (c) e ordem (p) das razões de engrossamento para o solver MSI e esquema FAS Tabela 7.: Norma nfnto do erro para as malas mas fnas para cada uma das razões de aspectos (RA) testadas com o solver GS e o esquema CS Tabela 7.: Malas utlzadas para determnar ITI Tabela 7.3: Valor do ITI Tabela 7.4: Malas adconas usadas para obter ITI com o algortmo SE-EP Tabela 7.5: ITI para o algortmo SE-EP... 48

14 Tabela 7.6: Valor do coefcente (c) e ordem (p) da equação 6.0 para o algortmo SE- EP... 48

15 Lsta de símbolos a j A A A A H A c c p C CFD C x C y cond(a) e f x y I Coefcentes da matrz A Matrz dos coefcentes -ésma constante para a solução da EDO Operador de mala fna Operador de mala grossa Operador de mala grossa genérca Coefcente de ajuste de curvas Calor específco do fludo Comprmento do domíno D Computatonal Flud Dynamc Comprmento do domíno D: dreção x Comprmento do domíno D: dreção y Número de condconamento da matrz A Erro de teração Vetor ndependente no sstema lnear Tamano da mala na dreção x Tamano da mala na dreção y Operador de restrção I Operador de prolongação r ITI contador na dreção coordenada x vetor canônco na dreção coordenada x Número de terações nternas ITI Número de terações nternas j r j k contador na dreção coordenada y vetor canônco na dreção coordenada y Número do modo de Fourer k Modo de Fourer complementar k r vetor canônco na dreção coordenada z

16 K r K p N N x N y Coefcente para restrção Coefcente para prolongação Número de ncógntas ou subntervalos do problema Número de ncógntas na dreção x Número de ncógntas na dreção y L Número de níves L máxmo Número máxmo de níves L Número de níves O () Ordem de convergênca p Pe q& R R R r RA Re S S G S J S Φ S ω Ordem do solver Número de Peclet Geração de calor Resíduo Domíno real undmensonal Domíno real bdmensonal Razão de engrossamento Razão de aspecto Número de Reynolds Matrz de teração Matrz de teração (Gauss-Sedel) Matrz de teração (Jacob) Termo fonte de cada Φ Matrz de teração (Jacob ponderado) T Temperatura t CPU Tempo de CPU u u x Solução exata do sstema Dervada prmera de u u xx Dervada segunda de u u r Vetor velocdade v Solução aproxmada do sstema

17 v Aproxmação da solução D v, Aproxmação da solução D j v k k-ésmo modo de Fourer x, y Varáves do sstema coordenado cartesano D w, j-ésma componente do k-ésmo modo de k j Z Fourer Conjunto dos números nteros Letras gregas β ε Γ ϕ Φ η Constante para o método CDS_CA/CDS Tolerânca Coefcente de dfusão Informação a ser transferda entre malas Propredade a ser transportada Número de pré-suavzação η κ Número de pós-suavzação Condutvdade Térmca λ (A) Autovalores de A Λ Seqüênca de malas µ Número de cclos nternos ρ Massa específca ρ (A) Rao espectral de A σ ω Ω Constante para solução de EDO Fator de amortecmento Mala fna Ω Mala grossa com engrossamento padrão H Ω Mala grossa genérca K Ω Mala mas grossa

18 Símbolos r Aproxmadamente gual Operador nabla << Muto menor. Norma Eucldana (ou norma-). Norma do máxmo (ou norma-nfnto)

19 9 Introdução Neste capítulo é feto um estudo das generaldades sobre dnâmca dos fludos e sobre o método multgrd. Uma motvação para o tema desta proposta de Tese e os objetvos são apresentados. Em seguda é detalada uma revsão bblográfca sobre multgrd de uma forma geral, sobre razões de engrossamento e sobre problemas ansotrópcos.. Generaldades em dnâmca dos fludos computaconal Modelos matemátcos na dnâmca dos fludos computaconal surgem em fenômenos físcos que envolvem fludos em movmento, com ou sem troca de calor (Fortuna, 000; Malska, 004). Estes modelos matemátcos, em geral, não têm soluções analítcas conecdas. Buscam-se então soluções numércas transformando-se o modelo contínuo em um modelo dscreto. O uso de métodos numércos, juntamente com as técncas expermentas e a análse teórca, complementam-se durante um projeto que envolva escoamento de fludos e o estudo de modelos teórcos. A tabela., extraída de Tannell et al. (997), compara as três estratégas. Tabela.: Comparação entre as três técncas de solução Técnca Vantagens Desvantagens Expermental - mas realsta - equpamento exgdo - problemas de escala - dfculdades de medção - custo operaconal Teórca Numérca - mas geral - fórmula fecada - não á restrção quanto à lneardade - geometras e processos complcados - evolução temporal do processo - restrta a geometras e processos físcos smples - geralmente restrta a problemas lneares - erros de truncamento - prescrção das condções de contorno apropradas - custo computaconal Um método de dscretzação muto usado é o método de dferenças fntas (GOLUB e ORTEGA, 99; TANNEHILL et al.,997), onde, em problemas undmensonas, o domíno

20 { R : 0 x } x é partconado em N subntervalos (elementos), ntroduzndo uma mala com os pontos 0 x = ( ), =,..., N + e =, N onde é o comprmento de cada subntervalo. Isto estabelece uma mala com subntervalos (ntervalo entre dos pontos consecutvos) de tamano que se denota por Ω. Neste trabalo, por facldade de compreensão, adota-se o termo elemento para desgnar este subntervalo. Este termo é usado no mesmo sentdo que na lteratura referente ao método dos elementos fntos. A cada um dos N pontos nterores da mala, uma equação dferencal pode ser substtuída por aproxmações de dferenças fntas (TANNEHILL et al.,997; FERZIGER e PERIC, 999). Em problemas bdmensonas, o domíno {(, y) R : 0 x, y } x é partconado em subconjuntos através de um número de ncógntas ou número de pontos (nós), dado por N = N x N y, onde N x e N y são os números de ncógntas nas dreções coordenadas x e y, respectvamente, ntroduzndo uma mala com os pontos ( x, y j ) = (( ) x, ( j ) y ), com x = e N x y =, N y onde,..., = N x, j,..., N y = e x e y os comprmentos de cada elemento nas dreções coordenadas x e y, respectvamente. Isto estabelece uma mala com elementos de tamano x por y que se denota por Ω, com razão de aspecto (RA) defnda por x RA =. y Se RA =, o problema cama-se sotrópco; caso contráro, ansotrópco (BRIGGS et al., 000; DENDY et al., 989). Neste caso tem-se ansotropa de mala ou ansotropa geométrca, termo que será defndo com mas detales na seção 3.4.

21 Dependendo da dstrbução dos pontos dscretos no domíno, a mala pode ser classfcada em unforme ou não-unforme e estruturada ou não-estruturada. A fgura. lustra alguns exemplos de malas regulares (unforme e/ou estruturada) e malas rregulares (não-unforme e/ou não-estruturada). a) estruturada e unforme b) estruturada e não-unforme c) não-estruturada e não-unforme Fgura.: Exemplos de malas: (a) regular e (b e c) rregular A dscretzação dos modelos matemátcos de dnâmca dos fludos conduz a grandes sstemas de equações algébrcas do tpo Au = f, (.)

22 onde A é uma matrz quadrada, f é o vetor ndependente e u é o vetor de ncógntas. A estrutura da matrz A depende do método e das aproxmações numércas usados para dscretzar o modelo matemátco. Váras técncas numércas têm sdo estudadas para resolver o sstema dado pela equação. com o menor custo computaconal e a solução a mas próxma possível da exata (sem erros de teração, FERZIGER e PERIC, 999). A resolução por métodos dretos não é recomendável, vsto que na prátca, a matrz dos coefcentes é muto grande e o custo da nversão da matrz é alto (GOLUB e VAN LOAN, 989). Os métodos dretos são utlzados neste trabalo apenas com o ntuto de comparação com alguns métodos teratvos, mesmo porque, estes métodos geralmente têm um 3 custo computaconal da ordem de O ( N ), onde N é o número de ncógntas. Para problemas de grande porte os métodos teratvos são mas adequados (BURDEN e FAIRES, 997). Neste caso, os métodos teratvos clásscos são da ordem de ( N ) O (FERZIGER e PERIC, 999). O método do gradente conjugado (BURDEN e FAIRES, 997; GOLUB e ORTEGA, 99), ntroduzdo por Hestenes e Stefeld (95), usa técncas que são mas específcas para geometras smples e é um método sensível ao condconamento da matrz.. Generaldades do método multgrd O método multgrd, proposto orgnalmente por Fedorenko (964), é atualmente um método muto usado para resolver teratvamente sstemas de equações do tpo da equação.. A déa básca é usar um conjunto de malas e executar, ora terações em cada nível de mala, ora soluções aproxmadas desta equação em malas mas grossas (BRIGGS et al., 000). São usados operadores para transferr nformações (resíduo ou solução) da mala fna para a mala medatamente mas grossa (processo camado de restrção) e da mala grossa para a mala medatamente mas fna (processo de prolongação). Veja na fgura. exemplos de malas fna e grossa. Com o método multgrd podem ser usados alguns tpos de esquemas que se caracterzam por suas dferentes nformações e a forma como as mesmas são transportadas (BRIGGS et al., 000; TROTTENBERG et al., 00; WESSELING, 99): o esquema de correção (Correcton Sceme, CS) e o esquema de aproxmação completa (Full Approxmaton Sceme, FAS). No esquema CS, a equação. é resolvda apenas na mala

23 3 mas fna; nas malas mas grossas, resolve-se a equação resdual. Já no caso do esquema FAS, a equação. é resolvda em todas as malas. O esquema CS é geralmente utlzado em problemas lneares e o esquema FAS, em problemas não-lneares (BRANDT, 977). Outro esquema usa soluções nas malas grossas para gerar estmatvas ncas meloradas para as malas mas fnas. O esquema que usa esta estratéga cama-se multgrd completo (Full Multgrd, FMG). a) mala fna b) mala grossa Fgura.: Exemplos de: a) mala fna e b) mala grossa A razão de engrossamento, para o caso undmensonal, consderando malas unformes (os elementos possuem o mesmo tamano ), é defnda como r H Ω =, Ω onde Ω representa o tamano dos elementos da mala fna Ω e Ω H o tamano dos H elementos da mala medatamente mas grossa Ω. Para o caso bdmensonal algumas smplfcações deverão ser consderadas neste trabalo: Será admtdo engrossamento padrão (engrossamento cuja razão de engrossamento é únca em ambas as dreções coordenadas, ou seja, r = r x = r ); Será admtdo sem-engrossamento (engrossamento em apenas uma das dreções coordenadas e na outra não). y

24 Consderando-se o caso bdmensonal para malas unformes por dreção (malas unformes em cada uma das dreções coordenadas), tem-se 4 H H x Ω y Ω r = =. (.) x Ω y Ω Em partcular, para o caso sotrópco, onde RA =, ou seja, = x = y, a razão de engrossamento para o caso bdmensonal é defnda como no caso undmensonal. Em cada mala o sstema de equações é resolvdo com um método teratvo com propredades de reduzr rapdamente os erros osclatóros (propredades de suavzação). Com este conceto, város trabalos (BRANDT, 977; MONTERO et al., 00; NISHIDA e SATOFUKA, 99; SATHYAMURTHY e PATANKAR, 994; STÜBEN, 999; WESSELING e OOSTERLEE, 00) apresentaram bons resultados numércos para problemas de dnâmca dos fludos. Os resultados de Fedorenko (964) mostram que a taxa de velocdade de convergênca com o uso da técnca multgrd é muto melor que a dos métodos teratvos puros, ou seja, métodos teratvos sem o uso da técnca multgrd, também conecdo como métodos snglegrd (SG). O objetvo do método multgrd é acelerar a convergênca a fm de reduzr o tempo de CPU necessáro para resolver a equação.. Os melores desempenos do método multgrd são obtdos em problemas totalmente elíptcos (WESSELING, 99), ou seja, problemas domnados pela dfusão; e os menores em problemas domnados pela advecção (FERZIGER e PERIC, 999). Dferentes problemas e malas no contexto do método multgrd nos conduz ao estudo de duas técncas conecdas por multgrd geométrco e multgrd algébrco. No multgrd geométrco (WESSELING e OOSTERLEE, 00), as varáves u são defndas sob uma posção geométrca (pontos ou nós) na mala mas fna. Então, selecona-se um subconjunto dessas posções geométrcas como sendo a mala medatamente mas grossa. Portanto, um subconjunto das varáves u é usado para representar a solução na mala grossa. Este tpo de técnca é mas adequado quando se tem mala estruturada, onde se conece as posções geométrcas dos pontos. No multgrd algébrco (STÜBEN, 00), dentfca-se as varáves u apenas com os índces das ncógntas {,,..., N}. Então, selecona-se um subconjunto de desses índces para representar as ncógntas da mala grossa. Este tpo de técnca é mas adequado quando se tem mala não-estruturada ou método sem mala.

25 5 Em Brggs et al. (000), o uso do multgrd geométrco e algébrco para a equação de Posson bdmensonal em uma mala cartesana com condções de contorno de Drclet é comparado. Nesta referênca, é recomendado o uso do multgrd algébrco apenas em problemas onde o geométrco não possa ser utlzado, pos o multgrd algébrco é mas caro computaconalmente, em termos de memóra, computação e tempo de CPU do que o multgrd geométrco. A ferramenta básca para estudo de erros no método multgrd é a análse de Fourer. Ela é baseada na análse do erro após váras aplcações do método teratvo com um tpo especal de estmatva ncal, também conecda como modo de Fourer. Tal análse produz uma boa aproxmação do comportamento dos modos de erros osclatóros (erros de altafreqüênca), que são os modos sgnfcatvos na avalação do método multgrd..3 Motvação A solução de problemas de mecânca dos fludos e transferênca de calor através de métodos numércos exge um alto custo computaconal, pos, procurando-se dmnur drastcamente os erros de dscretzação, aumenta-se o número de elementos na mala. Estes problemas são da ordem de mlões de varáves. Isto faz com que a matrz dos coefcentes seja bastante grande e esparsa, necesstando assm, de técncas sofstcadas para tratar essas partculardades. A efcênca do método multgrd não tem sdo totalmente alcançada em aplcações realístcas da engenara na área de Dnâmca dos Fludos Computaconal (DFC). Uma mportante razão para sto é que DFC, em geral, resolve problemas com perturbações sngulares, fortes ansotropas, alta razão de aspecto, equações governantes que podem exbr um certo comportamento em uma parte do domíno e outro comportamento em outra parte do domíno, etc. Quanto mas dstnta a razão de aspecto (RA) está da undade, ou seja, 0 < RA << ou RA >>, mas se deterora a razão de convergênca do método multgrd (WESSELING e OOSTERLEE, 00), podendo até mesmo ocorrer dvergênca (LARSSON et al., 005). Este tpo de ansotropa é muto comum em problemas prátcos de engenara, como dto anterormente, em problemas de camada lmte, onde a razão de aspecto (RA) pode ser da Computatonal Flud Dynamc (CFD).

26 6 ordem de 3 0, 4 0 ou mas (WESSELING e OOSTERLEE, 00); por sto a mportânca de se estudar algortmos efcentes para razões de aspecto dstntas da undade. Para poder entender melor a degeneração do método multgrd, vejamos como o método MSG (Método de sem-engrossamento múltplo), defndo em Mulder (989), se deterora perante estas dfculdades. Veja tabela., que é uma adaptação da tabela de Nak e van Rosendale (993). Aqu RA = α γ é a razão de aspecto da equação α u + γu f xx yy = daquele artgo usando-se o solver MSG. Se RA =, o problema cama-se sotrópco; caso contráro, ansotrópco. Neste caso tem-se ansotropa de coefcentes, ou seja, ansotropa físca, termo que será defndo com mas detales na seção 3.4. Tabela.: Razão de convergênca assntótca para o método MSG em váras malas 8X8 6X6 3X3 α γ = 0,07 0,09 0,0 α γ = 0 0,3 0,5 0,5 α γ = 00 0,6 0,9 0,9 α γ = 000 0,6 0,9 0, Nota-se que quanto maor é a razão de aspecto da equação, maor será a razão de convergênca assntótca. Como poderá ser vsto no próxmo capítulo, sto mplca em um método teratvo mas lento. Em Brandt (998) e Wesselng e Oosterlee (00) são descrtas dversas defcêncas e apontados város desafos para o método multgrd geométrco, como: os sstemas de Equações Dferencas Parcas (EDP) de Naver-Stokes e Euler, suavzadores (métodos de resolução de sstemas de equações algébrcas com boas propredades de suavzação) para sstemas especas (dscretzação -elíptca, Euler e Naver-Stokes compressível nãoconservatvo, etc), operadores não-elíptcos, ondas de coque, problemas com perturbações sngulares, paralelzação de algortmos, baxa taxa de convergênca nduzda pela mala (grande razão de aspecto, expansão de malas) ou mesmo problemas de camada lmte que são problemas com as malas fortemente alongadas. Isto motva a estudar-se as propredades do método multgrd geométrco, tanto em sua fundamentação como em aplcações, para que se possam elaborar algortmos multgrd mas efcentes para classes de problemas mas abrangentes. Para tanto, nca-se o estudo com problemas undmensonas (dos lneares e um não-lnear) modelados por equações bastante

27 7 smples para se compreender o efeto que alguns parâmetros do método multgrd exercem sobre o tempo de CPU. Em seguda, contnuam-se os estudos com um problema bdmensonal lnear modelado também por uma equação bastante smples no ntuto de se verfcar se o efeto de tas parâmetros estudados no caso undmensonal contnua sendo váldo nesta etapa. Fnalmente estuda-se um problema bdmensonal lnear em um caso especal com malas alongadas. O que se espera é que as propredades encontradas nos estudos anterores sejam estenddas para equações mas geras..4 Objetvos Neste trabalo os seguntes parâmetros são nvestgados: razões de engrossamento, número de ncógntas, número de terações nternas (número de terações do método numérco a fm de suavzar as componentes de erro), o número de níves (número de malas percorrdas), os métodos de resolução de sstemas de equações algébrcas (aqu camados de solvers) Gauss-Sedel, MSI (SCHNEIDER e ZEDAN, 98) e ADI (TANNEHILL et al.,997) e os esquemas CS e FAS. São estudados também quatro algortmos baseados no método multgrd para problemas ansotrópcos para dversas razões de aspecto: engrossamento padrão, engrossamento padrão segudo de sem-engrossamento, semengrossamento e sem-engrossamento segudo de engrossamento padrão. Os objetvos desta tese são: verfcar o efeto dos dversos parâmetros ctados acma sobre o tempo de CPU para o multgrd geométrco e realzar comparações entre o esquema de correção (CS) e o esquema de aproxmação completa (FAS) com cclo V proposto em Wesselng (99) e também comparações entre os dversos algortmos para problemas ansotrópcos com a fnaldade de se melorar o desempeno do método multgrd, no que dz respeto à mnmzação do tempo de CPU, para problemas guas ou smlares aos estudados. Os resultados são comparados com os obtdos na bblografa. São usados os operadores de restrção por njeção e prolongação por nterpolação lnear (no caso undmensonal) e blnear (no caso bdmensonal) encontrados em Brggs et al., 000. Os modelos matemátcos consderados neste trabalo envolvem: as equações de dfusão, de advecção-dfusão (lneares) e Burgers (não-lnear) undmensonas e a equação de Laplace (lnear) bdmensonal. Elas representam problemas de transferênca de calor e escoamento de fludo.

28 8.5 Revsão bblográfca Brandt (977) trabalou com o método multgrd geométrco em dversos problemas de transferênca de calor e escoamento de fludos, undmensonas e bdmensonas, lneares e não-lneares. Em seu trabalo fez comparações com a razões de engrossamento r =, 3 e 3/. Para os problemas testados, Brandt (977) concluu que a razão r = é a recomendável. Neste trabalo, Brandt (977) também mostrou preferênca pelo esquema CS em relação ao esquema FAS no caso de problemas lneares. Segundo Brandt, cada cclo teratvo do esquema FAS é mas caro computaconalmente se comparado ao esquema CS devdo à transferênca de nformações a respeto do resíduo e da solução para as malas mas grossas. Stüben (999) desenvolveu um estudo com razões r = e 4 em malas não-estruturadas, para dversos problemas de transferênca de calor, escoamento e eletromagnetsmo, bdmensonas e trdmensonas, lneares e não-lneares. Em seu trabalo, a razão r = 4 se mostrou efcente para problemas ansotrópcos (ansotropa dos coefcentes e ansotropa devdo à malas fortemente alongadas). Brggs et al. (000) afrmaram que a razão r = é uma prátca unversal e que r não traz vantagens. Moro (004) trabalou com as razões r = e 4 em malas estruturadas para problemas de dfusão com termo fonte. Em seu trabalo a razão r = 4 apresentou tempo de CPU menor que a razão r =. Em Ga et al. (98) fo desenvolvdo um método multgrd mplícto para problemas fortemente acoplados aplcado às equações de Naver-Stokes para escoamentos ncompressíves com alto número de Reynolds. Em Hutcnson e Ratby (986) fo crado um método multgrd baseado no método de correção adtva de Settar e Azz (973) e fo mostrado como este método pode ser usado para melorar a razão de convergênca em problemas b e trdmensonas quando os coefcentes das equações algébrcas tornam-se fortemente ansotrópcos (ansotropa físca). Já o método de correções por blocos fo dscutdo em Kelker (990) e Satyamurty e Patankar (994) e em Kark et al. (996) com algumas alterações para o caso de problemas de acoplamento, gerando o método multgrd com correções por bloco (Block Correctons Multgrd Metod, BCMM). Uma extensão do método multgrd para malas co-localzadas fo apresentada em Hortmann et al. (990), e para malas curvlíneas em Smt et al. (993). Outros desenvolvmentos e aplcações para o método multgrd foram realzados, como o acoplamento entre a técnca multgrd e a técnca de Decomposção de Domíno para geometras complexas. Esta técnca fo apresentada em Perng e Street (99) e em La e Przekwas (996). Em Nsda e Satofuka (99) fo desenvolvdo um método multgrd

29 9 específco para as equações de Naver-Stokes na formulação vortcdade/corrente, usando uma varação do método de Runge-Kutta, conecdo como Runge-Kutta raconal (Ratonal Runge- Kutta, RRK). Aceleração do método multgrd em problemas de turbulênca fo tratada em Rubn et al. (99). Em Llek et al. (997) o método multgrd fo usado para acelerar o método Sem Implct Lnked Equatons (SIMPLE) em escoamentos ncompressíves. Uma varante do Full-Multgrd/Full Approxmaton Sceme (FMG-FAS) fo proposta em Yan e Tele (998) e Mesquta e de-lemos (004), que é usado para o caso não-lnear, onde somente o resíduo é restrto à mala grossa, contraramente ao FAS, que restrnge tanto o resíduo como a solução. Como a razão de convergênca do método multgrd, baseado em suavzadores do tpo relaxação por pontos, fala ou se degenera nos casos ansotrópcos, então, outros suavzadores, como Jacob por lnas, Gauss-Sedel por lnas, Jacob por lnas com dreções alternadas (ADLJ), etc, geralmente são necessáros para obter-se boa razão de convergênca. Em Svaloganatan (99) os métodos Gauss-Sedel smétrco (Symmetrc Coupled Gauss- Sedel, SCGS) e correção de pressão pelo método SIMPLE (SIMPLE Pressure Correcton, SPC) são ncorporados e comparados como suavzadores no método multgrd com bloco mplícto (Block Implct Multgrd Metod, BLIMM). Versões lna de SCGS são descrtas e aplcadas em Oosterlee e Wesselng (993). O SIMPLE é comparado com uma versão lna do SCGS em Sockol (993) e mostrou-se superor na presença de malas alongadas. Uma análse de suavzação na presença de engrossamento dreconal e o uso de précondconadores fo feta em Perce e Alonso (998). Estudos recentes para problemas ansotrópcos (ansotropa geométrca) têm focado para os algortmos de sem-engrossamento (engrossamento em apenas uma das dreções coordenadas). Em Mulder (989) e em Nak e van Rosendale (993) trocam-se o engrossamento padrão pelo sem-engrossamento múltplo, que mostrou ser mas precso. O sem-engrossamento dreconal combnado com relaxação por lnas fo desenvolvdo em Dendy et al. (989). Em Radespel e Swanson (995) é apresentada uma varante de semengrossamento para as equações de Naver-Stokes. Um comparatvo entre dos métodos multgrd robustos para as equações de Naver-Stokes compressível 3D (suavzadores alternados de planos combnado com engrossamento padrão e suavzadores mplíctos de planos combnado com sem-engrossamento) fo feto em Montero et al. (00). Em Larsson et al. (005) fo desenvolvdo um sem-engrossamento condconal para a equação de Posson em malas ansotrópcas, resultando em um algortmo multgrd efcente e smples de mplementar.

30 Em Zang (00), são abordados problemas ansotrópcos acoplando-se a técnca de sem-engrossamento seguda de engrossamento padrão (engrossamento em ambas as dreções) nttulado como partal semcoarsenng. Comparações foram fetas para a equação de Posson bdmensonal com a técnca que se cama de engrossamento completo (full coarsenng), conecdo também como engrossamento padrão. Zang (00) comparou estas técncas para as razões de aspecto RA =, 4, 8 e 6 (razões de aspecto modestas). Zang constatou que o algortmo partal semcoarsenng com os suavzadores red-black e four-color Gauss-Sedel são efcentes para as ansotropas estudadas. Refnamento e engrossamento são empregados smultaneamente para fns adaptatvos em malas ansotrópcas por Ham et al. (00) e em Ferm e Lötstedt (003) Delneamento deste texto Esta tese está organzada da segunte forma: No capítulo é apresentada uma vsão geral dos métodos teratvos báscos, uma análse de erros de Fourer e os prncípos báscos do método multgrd; No capítulo 3 é vsta a flosofa do método multgrd, algortmos dos esquemas CS e FAS, os operadores de transferênca entre malas, juntamente com os casos dos problemas ansotrópcos (ansotropa físca e geométrca); No capítulo 4 são apresentados os modelos matemátcos e numércos, resultados com o esquema CS e FAS e comparações para os problemas undmensonas lneares: equação de dfusão e de advecção-dfusão; No capítulo 5 é apresentado o modelo matemátco e numérco, resultados com o esquema CS e FAS e comparações para o problema undmensonal nãolnear: equação de Burgers; No capítulo 6 é apresentado o modelo matemátco e numérco, resultados com o esquema CS e FAS e comparações para o problema sotrópco bdmensonal lnear: equação de Laplace; No capítulo 7 são apresentados resultados com o esquema CS e comparações entre algortmos para o problema ansotrópco (ansotropa geométrca) bdmensonal lnear: equação de Laplace; No capítulo 8 é apresentada a conclusão, contrbuções, recomendações e extrapolações deste trabalo de Tese e propostas de trabalos futuros;

31 3 No apêndce A estão alguns exemplos de métodos teratvos báscos e outros solvers utlzados neste trabalo; No apêndce B estão as soluções analítcas para os problemas undmensonas, assm como para o problema bdmensonal; No apêndce C estão os testes adconas para o crtéro de convergênca; No apêndce D estão os artgos com resultados deste trabalo publcados em anas de Congressos Naconas e Internaconas.

32 3 Fundamentação Neste capítulo é apresentada uma fundamentação teórca para o desenvolvmento do método multgrd que será abordado no capítulo 3. Estuda-se o prncípo fundamental dos métodos teratvos báscos e faz-se uma análse de erros e de convergênca. Fnalmente, faz-se um estudo sobre os prncípos báscos do método multgrd.. Métodos teratvos báscos Esta seção ntroduz as déas báscas sobre os métodos teratvos que serão utlzados no decorrer deste trabalo. Supona que a dscretzação das equações dferencas (ordnáras ou parcas) a serem resolvdas conduz ao segunte sstema de equações algébrcas Ax = b, (.) onde A é uma matrz N x N, x e N b R, com x sendo o vetor ncógnta e b o vetor ndependente. Caso o sstema de equações algébrcas seja não-lnear, adota-se a segunte notação A ( x) = b. (.a) Em ambos os casos, seja a matrz A dvdda na forma A = M N', (.) com M não-sngular. Para a solução da equação., tem-se o segunte método que é camado de método teratvo básco Mx ( m = N' x + b, (.3) ( m+ ) ) onde o superescrto de x é a representação dos níves teratvos.

33 33 Consdera-se o método da segunte forma x ( m) = Sx + M b, (.4) ( m+ ) onde, S = M N', N' = M A, e a matrz S é camada de matrz de teração do método dado pela equação.4. Os métodos teratvos báscos podem ser amortecdos por uma pequena modfcação da equação.4, como segue x ( m) = Sx + M b, * e x ( m+ ) = ωx * + ( ω) x ( m). (.5) Substtundo * x na equação.5, tem-se x * ( m) = S x + ω M b, (.6) ( m+ ) onde, * S = ωs + ( ω) I, com I sendo a matrz dentdade e ω R. amortecda Os autovalores da matrz de teração não-amortecda S e os da matrz de teração * S são relaconados por * λ( S ) = ωλ( S) + ω. (.7) Exemplos de métodos teratvos báscos e outros métodos para a resolução se sstemas de equações (solvers) que serão tratados neste trabalo, podem ser vstos no apêndce A desta Tese.. Análse de convergênca Deve-se procurar dentre os possíves métodos teratvos báscos, aqueles que são convergentes, noção que será vsta nesta seção.

34 Seja o sstema Ax = b e o método teratvo básco 34 Mx = N' x + b. Somente nesta seção denota-se x como sendo a solução exata do sstema e x a solução aproxmada, sendo que a solução aproxmada pode anda ser representada em função de suas terações, ou seja, Desta forma, o erro é dado por e = x x, ou por e ( m) ( m) ( m) x. = x x, e sua magntude pode ser medda pelas normas vetoras padrões (BURDEN e FAIRES, 997), como a norma eucldana, também camada de norma- N e = e j, j= ou a norma do máxmo (norma-nfnto) e max e, = j N j onde e j é a j-ésma coordenada do vetor e. O erro, defndo em função de suas terações, e = x x, satsfaz ( m) ( m) e = Se ( m+ ) ( m). (.8) Nota-se que o erro é tão nacessível quanto à solução exata. Entretanto, uma medda da proxmdade de x e x (ou (m) x, em função das terações) é o resíduo, defndo por ou anda, R = b Ax, (.9) R ( m ) ( m ) = b Ax. (.0) No caso não-lnear (veja equação.a) tem-se o resíduo dado por R ( ) ( m) ( m) = b A x. (.0a)

35 35 000) Uma mportante relação entre erro e resíduo é dada pela expressão (BRIGGS et al., cond( A) R b ( m) ( m e R cond( A), (.) ( m) x b ( m ) ) com cond ( A) = A. A sendo o número de condconamento da matrz A. Por defnção cond ( A) (BURDEN e FAIRES, 997). ( m ) ( m) Nota-se anda que pela equação. R 0 mplca que e 0 somente se cond(a) é pequeno, ou seja, próxmo da undade, cond ( A). Neste caso dz-se que a matrz A é bem-condconada. Do sstema Ax = b e das defnções de resíduo R (m) e erro e (m), pode-se obter a segunte relação que é camada de equação resdual Ae (m) =R (m). (.) Dado o sstema de equações algébrcas Ax = b, com solução exata x e uma solução aproxmada na m-ésma teração (m) x, cujo resíduo é dado por R ( m ) ( m ) = b Ax, pode-se (m) melorar a aproxmação x resolvendo-se a equação resdual, dada pela equação., para (m) e e então calcular a nova aproxmação usando a defnção de erro x + ( m) ( m) = x e. A este processo dá-se o nome de correção resdual ou refnamento teratvo. No caso não-lnear (veja a equação.a juntamente com a equação.0a) a equação resdual é dada por ( m) ( x) A x ( m) ( ) R A =. (.a) Nota-se que ( m) ( m) ( m) ( m) ( e ) R A, contraramente ao que se vu no caso lnear, onde ( m) ( m) ( e ) A x x ( m) ( m) ( ) A( x) A( x ) R Ae = R. Em geral, no caso não-lnear A = =. Da expressão dada pela equação.8 tem-se que e ( m ) = m (0) S e, onde o superescrto de e é uma representação do nível teratvo e o superescrto de S é uma representação da potênca matrcal, onde vale

36 36 e ( m) m (0) m (0) S. e = S. e (.3) para qualquer norma., tal que S Sx = sup (.4) x 0 x é a norma matrcal nduzda pela norma vetoral. Neste caso S é camada de número de contração do método teratvo x ( m) = Sx + M b. ( m+ ) Defnção.: O método teratvo x ( m) = Sx + M b é camado de convergente se ( m+ ) lm S = 0, com S = M N'. m m Defnção.: O rao espectral da matrz A é dado por ρ ( A) = max λ( A), onde λ (A) são os autovalores de A. Teorema.: O método teratvo se, ρ ( S) <. x ( m) = Sx + M b é convergente, se e somente ( m+ ) Prova: Veja em Burden e Fares (997) nas págnas 44 a 45. O rao espectral ρ (S) serve também para fornecer aproxmadamente quantas terações são necessáras para reduzr o erro pelo fator de consderados nos cálculos. Seja m (número de terações) o menor ntero que satsfaz d 0, onde d é o número de casas decmas e e ( m) (0) 0 d. (.5) Prova-se em Brggs et al. (000) que esta condção será aproxmadamente satsfeta se m d [ ( S) ] 0 ρ, (.6) onde ρ ( S) é o rao espectral da matrz de teração S.

37 37 Resolvendo-se a desgualdade dada pela equação.6 para m, tem-se d m. (.7) log 0 [ ρ( S) ] Pode-se ver que ρ ( S) log0 ρ( S) 0 m. Neste caso a razão de convergênca decresce. Pode-se ver também que 0 < ρ ( S) 0 log0 ρ( S) m 0. Neste caso tem-se uma alta razão de convergênca..3 Análse de erros de Fourer É mportante conecer o desempeno dos métodos teratvos báscos estudados nas seções anterores. Por sto estuda-se a análse de erros. Seja Au = f um sstema de equações algébrcas a ser resolvdo. Daqu em dante usa-se u para a solução exata e v para uma solução aproxmada. Da defnção., nota-se que o estudo de convergênca de um método teratvo se reduz ao estudo da matrz de teração S = M N'. Pode-se notar que esta matrz depende apenas da forma como ocorreu o desmembramento da matrz A. Portanto, ao estudar-se erros do sstema Au = f, é sufcente trabalar com o sstema lnear omogêneo Au = 0 e usar estmatvas ncas arbtráras para começar o esquema teratvo, aqu também camado de esquema de relaxação. Neste caso tem-se a vantagem da solução exata u = 0 ser conecda e o erro da aproxmação v ser smplesmente v. Aplcam-se váras terações a este sstema lnear de equações com um tpo especal de estmatva ncal consstndo de vetores do tpo jkπ v k = sen, 0 j N, k N. (.8) N j=,..., N

38 Estes vetores são camados de modos de Fourer. Por este motvo este tpo de análse de erros é conecda como análse de erros de Fourer. Para cada k fxo, o índce j denota a j- ésma componente do vetor v k. Defnção.3: O ntero k é camado de número de ondas ou freqüênca. Ele ndca o número de meos senos que consttuem o vetor v k no domíno do problema. A fgura., extraída de Brggs et al. (000), lustra algumas estmatvas ncas, como v, v 3 e v 6. Nota-se que valores pequenos de k correspondem a ondas longas e suaves, enquanto que valores grandes de k correspondem a ondas curtas e osclatóras. 38 Fgura.: Modos de Fourer com k =, 3, 6 (BRIGGS et al., 000) Seja (0) e o erro na estmatva ncal usada em um método numérco. Então é possível representar (0) e usando os autovetores de A (que poder-se-á constatar pela equação.8 adante, ser gual aos autovetores S ω ) na forma N (0) = e c k w k, (.9) k = onde c k R. Após m passos de relaxação e usando a expansão dada pela equação.9, temse e ( m) N k = N m (0) m m = Sω e = c Sω w = c λ ω w. (.0) k k k = k k Pode-se conclur da equação.0 que tal método quando aplcado a um modo de Fourer, a teração muda a ampltude daquele modo, mas não o converte em um outro modo.

39 Nota-se que o k-ésmo modo consste de k ondas de senos completos que tem o 39 comprmento de onda de l = N k = k (consderando que o ntervalo tem comprmento L = e = L N ). O modo k = N tem o comprmento de onda l = 4 e o modo k = N - tem o comprmento próxmo de l = (BRIGGS et al., 000). Ondas com número de onda maor do que N (com comprmento de onda menor do que ) não podem ser representadas na mala. Defnção.4: Os modos de Fourer localzados na metade nferor do espectro, com k < N, são camados de modos de Fourer de baxa freqüênca ou modos suaves. Os modos de Fourer localzados na metade superor do espectro, com N k N, são camados de modos de Fourer de alta freqüênca ou modos osclatóros..4 Aplcação da análse de erros de Fourer na equação de Posson D Obtém-se uma boa percepção no estudo da análse de erros de Fourer, se é tomado prmeramente o caso undmensonal lnear, como é o caso da equação dada por u xx = f, 0< x <, (.) u( 0) = u( ) = 0 onde u xx representa a segunda derva da função u em relação à varável espacal x. Esta equação é conecda como equação de Posson undmensonal. Sua forma dscretzada pelo método das dferenças fntas, usando dferenças centradas (CDS), será dada por v j + v j v j+ = f j, v0 = vn = 0 j N (.) e o caso omogêneo dado por v j + v j v j+ = 0, j N, (.3) v0 = vn = 0

40 onde N, nesta seção, é o número de ncógntas (elementos) e v j é uma aproxmação (solução numérca) da solução exata u ( x j ). Consdere o método de Jacob ponderado, com fator de ponderação ω, aplcado ao problema dado pela equação.3. Temos S ω = ( ω) I + ωs J com J 40 S sendo a matrz de teração do método de Jacob (veja apêndce A). Assm, com um pouco de algebrsmo, temse: S ω ω = I A, (.4) onde A =.... (.5) ( N ) x( N ) Os autovalores de S ω e A são relaconados pela expressão ω λ( S ω ) = λ( A). (.6) Procurando-se os autovalores da matrz orgnal A, encontra-se (BRIGGS et al., 000) kπ λ k ( A) = 4sen, k N. (.7) N Os autovetores de A são dados por w k j jkπ, = sen, k N, 0 j N. N (.8)

41 Pode-se perceber que os autovetores de A são smplesmente os modos de Fourer dados pela equação.8. Dessa forma, pode-se encontrar os autovalores de S ω 4 kπ λk ( Sω ) = ω sen, k N, (.9) N enquanto que os autovetores de S ω são os mesmos autovetores de A. Tem-se que 0 < ω λk ( Sω ) < e, neste caso, o método de Jacob ponderado é convergente. Para 0 < ω (que garante convergênca) e k =, tem-se uma stuação específca para a equação.9 que será descrta a segur π π ω π λ = ω sen = ω sen. (.30) N Pode-se perceber que λ é o autovalor assocado ao modo de Fourer mas suave k = e que ele estará sempre próxmo da undade. Quanto menor o espaçamento da mala, mas próxmo λ estará da undade. Qualquer tentatva para melorar a solução (decréscmo no espaçamento, por exemplo), rá porar a convergênca dos modos suaves do erro. Nenum valor de ω amortece as componentes de erros suaves de uma manera satsfatóra. A fgura. a segur, fo adaptada de Brggs et al. (000). Ela mostra uma a aplcação de 00 terações do método de Jacob ponderado (a) para ω = 3 (fator de ponderação, BRIGGS et al., 000), e o método de Gauss-Sedel (b), ao problema modelo dado pela equação.3 numa mala com N = 64 elementos e com as estmatvas ncas para v, v 3 e v, que correspondem aos modos de Fourer para k =, 3 e 6, respectvamente. Esta fgura 6 mostra a norma nfnto (. ) do erro versus o número de terações. A fgura.3, extraída de Brggs et al. (000), mostra o método de Jacob ponderado com ω = 3 aplcado ao problema dado pela equação.3 com 00 terações numa mala com = 64 N e com a estmatva ncal ( v ) 3 v + +, ou seja, uma estmatva ncal 6 v 3 composta de modos de Fourer de baxa, méda e alta freqüêncas. A fgura.3 mostra o erro na norma.. Nota-se que o erro decresce rapdamente com as prmeras terações, depos o decréscmo é mas lento.

42 4 Fgura.: (a) Jacob ponderado com ω = /3, (b) Gauss-Sedel regular aplcados ao problema undmensonal com N = 64, estmatvas ncas para k =, 3, 6 e para 00 terações (BRIGGS et al., 000) Fgura.3: Jacob ponderado com ω = /3 aplcado ao problema undmensonal com N = 64, estmatva ncal (v +v 6 +v 3 )/3 e para 00 terações (BRIGGS et al., 000)

43 Na fgura.3, o decréscmo ncal é correspondente à rápda elmnação dos modos de erros de Fourer de alta freqüênca, ou modos osclatóros. O lento decréscmo que se sucede é devdo à presença de modos de erros de Fourer de baxa freqüênca, ou modos suaves (BRIGGS et al., 000). A fgura.4, adaptada de Brggs et al. (000), mostra a seletvdade da propredade de amortecmento. Usa-se a estmatva ncal ( v + v 6 ), ou seja, uma estmatva ncal composta de um modo suave e o outro osclatóro. Após alguns passos de relaxação (0 passos) pelo método de Jacob ponderado com ω = 3, os modos de alta freqüênca são rapdamente elmnados. Entretanto, os modos de baxa freqüênca persstem. 43 Fgura.4: Jacob ponderado com ω = /3 aplcado ao problema undmensonal com N = 64, com estmatva ncal (v +v 6 )/ antes (esquerda) e depos (dreta) de 0 terações (BRIGGS et al., 000) Defnção.5: A propredade de elmnar os modos osclatóros e dexar apenas modos suaves cama-se propredade de suavzação. A segur procura-se verfcar se todos os métodos teratvos possuem a propredade de suavzação dada pela defnção.5. A fgura.5, extraída de Brggs et al. (000), mostra o desempeno dos métodos (Jacob e Jacob ponderado) conforme a varação do número de ondas k. O gráfco mostra o número de ondas versus o número de terações exgdo para reduzr a norma do erro ncal por um fator de 0. Na fgura.5(a) tem-se o método de Jacob ponderado com ω =, ou seja, o método de Jacob regular e na fgura.5(b) tem-se o método de Jacob ponderado com ω = 3, ou seja, o método de Jacob com o fator de ponderação (BRIGGS et al., 000). Como pôde-se constatar, o método de Jacob regular não possu a propredade de suavzação. Outro método clássco que não possu tal propredade é o método Sucessve Over Relaxaton (SOR) (HACKBUSCH, 985; págna 5).

44 44 Uma análse smlar ao que fo realzada nesta seção, fazendo-se uso do método de Gauss-Sedel para o mesmo modelo dado pela equação., pode ser encontrada Brggs et al. (000). Fgura.5: (a) Jacob regular (ω = ) e (b) Jacob ponderado com ω = /3 aplcados ao problema undmensonal com N = 64, estmatvas ncas com k 63, com norma do erro reduzda pelo fator de 00 (BRIGGS et al., 000).5 Prncípos fundamentas do método multgrd Nesta seção assume-se que um método de relaxação tena sdo aplcado nas componentes de erros em uma dada mala fna até fcarem somente componentes de erro suave. Esta mala fna será denotada por Ω, o que sgnfca que cada elemento dessa mala possu tamano ; e a mala medatamente mas grossa (mala com um número menor de

45 elementos) será denotada por 45 H Ω, ou seja, cada elemento possu tamano H, com H >. Nesta seção será utlzada a razão de engrossamento padrão r =, ou seja, H =. Na fgura.6, obtda de Brggs et al. (000), observa-se como as componentes de erro suave apresentam-se em uma mala fna Ω e em uma mala mas grossa superor da fgura.6 tem-se o modo de Fourer na mala fna modo de Fourer projetado na mala medatamente mas grossa Ω. Na parte Ω e na nferor, o mesmo Ω. Fgura.6: Número de ondas k = 4 sobre uma mala fna com N = e sobre uma mala grossa com N = 6 (BRIGGS et al., 000) O modo de Fourer antes de ser projetado da mala Ω para a mala Ω, tem N = e k = 4, portanto, pela defnção.4, tem-se um modo suave. Por outro lado, o modo de Fourer após ser projetado da mala Ω para a mala Ω, tem = 6 N para o mesmo k = 4, portanto, pela defnção.4, tem-se um modo osclatóro. Pode-se notar que modos suaves em Seja Ω tornam-se mas osclatóros em k Ω. v um modo de Fourer com o número de ondas k, com k < N (veja defnção.3). Deseja-se verfcar se o número de ondas k do modo v k contnua sendo o mesmo após sua projeção da mala fna Ω para a mala grossa Ω. Para responder a esta questão, consdere-se agora o k-ésmo modo na mala fna avalado nos pontos pares desta mala. As componentes dos modos suaves (em relação à mala), ou seja, k < N, podem ser escrtas como

46 jkπ jkπ wk, j = sen = sen = wk, j, k < N n N 46. (.3) Pode-se observar que o k-ésmo modo em seja, o número de ondas k em Ω contnua sendo o mesmo k de Ω torna-se o k-ésmo modo em Ω, ou Ω, mas ao passar da mala fna Ω para a mala medatamente mas grossa Ω, o modo tornou-se mas osclatóro (em relação à mala). Isto sugere que quando um esquema de relaxação começa a tornar-se lento, snalzando a predomnânca de modos suaves de erro (veja a fgura.3), é recomendável transferr o problema de relaxação para a mala grossa, pos lá os modos de erros suaves se apresentarão mas osclatóros, e o processo de relaxação será mas efcente (WESSELING, 99 e TROTTENBERG et al. 00). Pode-se mostrar com um pouco de algebrsmo que para k = N o modo em torna-se nulo em modo em Ω e para os modos osclatóros, ou seja, N < k < N Ω torna-se o ( N k) -ésmo modo em Ω Ω são os modos suaves de Ω (BRIGGS et al., 000). Ω, o k-ésmo. Portanto, os modos osclatóros de No próxmo capítulo detala-se mas o método multgrd, com seus algortmos, operadores de transferênca entre malas, etc..6 Resumo do capítulo Neste capítulo apresentou-se uma fundamentação teórca para o método multgrd. Nesta fundamentação revsou-se a teora básca dos métodos teratvos báscos com uma breve abordagem da análse de convergênca. Nesta análse detectou-se, por exemplo, a mportânca do rao espectral para a determnação, não só da convergênca, mas também da razão de convergênca. Em seguda fo feta uma análse de erros de Fourer, onde foram defndos os modos de Fourer e a ação dos suavzadores sobre estes modos. Nesta análse detectou-se que os modos osclatóros são mas sensíves às terações dos suavzadores do que os modos suaves. Uma aplcação bastante smples dessa análse fo feta no caso da equação de Posson undmensonal. Fnalmente, estudaram-se também os prncípos fundamentas do método multgrd, onde notou-se que os modos de Fourer suaves nas malas mas fnas tornam-se modos mas osclatóros nas malas mas grossas.

47 47 3 Método multgrd A solução de problemas de mecânca dos fludos e transferênca de calor através de métodos numércos são problemas da ordem de mlões de varáves necesstando de técncas sofstcadas para tratar esses problemas. Neste capítulo estuda-se a técnca conecda como método multgrd, que é uma técnca que leva nformações do problema para dversas malas, desde as mas fnas até as mas grossas. Dessa forma, o método multgrd passa a ser efcente para todas as componentes de erro (modos suaves ou de baxa freqüênca nas malas mas grossas e modos osclatóros ou de alta freqüênca nas malas mas fnas) acelerando a solução de sstemas de equações envolvdos nos problemas. Usa-se ncalmente uma razão de engrossamento padrão r =, ou seja, o caso onde a mala grossa tem o dobro do espaçamento da mala fna, mas veremos mas adante que outros tpos de engrossamentos também são possíves, ou seja, r = 3, r = 4 e r = 5. Esta seção está dvdda da segunte forma: prmeramente estudam-se os prncpas algortmos do método multgrd. Em seguda caracterzam-se os processos de restrção e prolongação. Fnalmente estuda-se o caso especal de multgrd para problemas ansotrópcos (problemas onde o acoplamento entre os pontos vznos torna-se muto forte em alguma das dreções ou quando a dscretzação é baseada em malas com razão de aspecto bem dstnta da undade), caso onde aumenta-se a necessdade da utlzação do método multgrd. 3. Algortmos Nesta seção estuda-se um algortmo básco para duas malas que englobe os casos lnear e não-lnear, quasquer razões de engrossamento, váras malas, assm como os dversos tpos de cclos (ordem na qual as malas são vstadas), como o cclo V ou o cclo W. grossas, com L Seja dada a seqüênca = { Ω : L =,,..., K} L ( L ) Λ de malas crescentemente mas Ω = Ω para o caso de r =. Ou seja, Ω = Ω é a mala medatamente mas grossa, mas grossa, até Ω K ( K ) = Ω L K é camado de número de níves de mala. Ω = Ω é a mala mas fna, 3 4 Ω = Ω é a outra mala medatamente, que é a mala mas grossa possível. O número L, tal que

48 48 Neste trabalo a mala mas grossa para problemas undmensonas será sempre composta por dos elementos, ou seja, um nó nterno e dos pontos de frontera. Para problemas bdmensonas será sempre composta por quatro elementos, ou seja, dos elementos em cada dreção coordenada, portanto, um nó nterno e três pontos de frontera para cada face (norte, sul, leste e oeste), conforme fgura 3.. Fgura 3.: Malas grossas un e bdmensonal Seja k U, com U k k : Ω R, o conjunto de funções de mala fna, ou seja, o conjunto das funções com valores reas defndos nos pontos da mala análoga defne-se U k Ω com k : Ω + R o conjunto de funções de mala grossa. k + k u U k. De forma Pode-se provar (WESSELING, 99) a exstênca dos operadores I k + k : U k U k + (operador de restrção) e I k k k k U + + : U (operador de prolongação). Tas operadores transferem nformações da mala fna para a mala medatamente mas grossa e vce-versa, respectvamente. Seja o problema a ser resolvdo em k Ω, denotado por k k ( u ) f k A =, (3.) onde o operador k A pode ser lnear ou não. Neste caso ésmo nível de mala, ou seja, na mala k Ω. k A representa o operador A no k-

49 Por questões ddátcas, assume-se: r = e duas malas ( u ) f A = a ser resolvdo na mala fna Ω. Supona que Ω e Ω 49. Seja o problema A seja um operador não-lnear. A tabela 3. a segur nos fornece o algortmo não-lnear que é denomnado de esquema de aproxmação completa (FAS). Tabela 3.: Esquema FAS para duas malas (adaptado de Brggs et al., 000) Esquema de aproxmação completa para duas malas DG v v, f, ( ) 0, Iníco. Iterar A ( u ) = f η vezes com estmatva ncal. Calcular R = f A ( v ); 3. Escoler v0 = I v ; 4. Obter R = I R ; 5. Defnr f = A ( v0 ) + R ; 6. Resolver A ( u ) = f com estmatva ncal v 0 ; v 0 ; 7. Calcular e = v v0 ; 8. Obter e = I e ; 9. Corrgr v v + e ; 0. Iterar A ( u ) = f η vezes com estmatva ncal DG v v, f, Fm de ( ) 0, v. O algortmo descrto na tabela 3. será detalado a segur. O passo () representa η terações de suavzação (pré-suavzação) na mala fna fm de se obter uma aproxmação v. No passo () o resíduo Ω. Em (3) é escolda uma estmatva ncal v 0 é a restrção da solução aproxmada Ω com uma estmatva ncal v 0 para a mala grossa v da mala fna v 0 a R é calculado na mala fna Ω. Neste algortmo, Ω para a mala grossa Ω, ou seja, v 0 é o vetor resultante da aplcação do operador de restrção I sobre o vetor v (solução na mala Ω ). O passo (4) representa a obtenção do resíduo na mala grossa Ω pelo processo de restrção. No passo (5) é defndo o novo termo fonte (vetor ndependente) f na mala grossa Ω. Este termo fonte é extraído da equação resdual dada por.a. O passo (6) representa a resolução (exatamente ou aproxmadamente) da equação resdual na mala grossa Ω com uma estmatva ncal Em (7) é calculada a correção e na mala grossa v 0 a fm de se obter uma aproxmação v. Ω. No passo (8) é obtda a correção na

50 mala fna na mala fna Ω através do processo de prolongação. No passo (9) a aproxmação da solução Ω é corrgda. O passo (0) representa η vezes terações de suavzação (póssuavzação) na mala fna Ω com a estmatva ncal 50 v, dada pelo passo (9), a fm de se obter uma melor aproxmação v. Na prátca, η e η são tomados, ou 3 (BRIGGS et al., 000). Uma camada de DG desenvolve uma únca teração de duas malas. O esquema a segur desenvolve dversas camadas de DG até se atngr um certo crtéro de convergênca ou até se atngr um número te max pré-fxado. Camada do algortmo DG (adaptado de Wesselng, 99). Escoler v 0 e te max = Enquanto (não atngr o crtéro de convergênca) ou ( temax ), faça DG v v, f, v = v 0 Fm enquanto ( ) 0, É de grande vala verfcar quas dferenças ocorrem quando tem-se operador lnear. Neste caso é razoável assumr que 99). Seja agora o problema k A sendo um k + A também seja lnear (WESSELING, A u = f a ser resolvdo na mala fna Ω. A tabela 3. a segur nos fornece o algortmo lnear que é denomnado de esquema de correção (CS). Tabela 3.: Esquema CS para duas malas (adaptado de Brggs et al., 000) Esquema de correção para duas malas LDG ( v 0, v, f, ) Iníco. Iterar A u = f η vezes com estmatva ncal. Calcular R = f A v ; 3. Escoler v 0 = 0 ; 4. Obter R = I R ; 5. Defnr f = R 6. Resolver A u = f com estmatva ncal 7. Calcular e = v ; 8. Obter e = I e ; 9. Corrgr v v + e ; 0. Iterar A u = f η vezes com estmatva ncal LDG v v, f, Fm de ( ) 0, v 0 ; v 0 ; v.

51 5 A dferença básca entre os esquemas CS e FAS está no passo 3 do esquema acma, onde v 0 no caso do esquema CS. Note que esta estmatva ncal é razoável, pos neste 0 = esquema (CS) quer se resolver a equação resdual A v = R na mala grossa Ω, onde v representa a correção e da equação.. Algumas questões aparecem nestes dos esquemas anterores (CS e FAS):. Como transferr da mala fna Ω para a mala grossa Ω e vce-versa?. Como obter o operador A? A prmera questão sugere a necessdade de alguns mecansmos, como os operadores de transferênca entre malas, ou seja, os operadores I serão defndos nas seções seguntes, no decorrer deste capítulo. I e (restrção) e A segunda questão sugere mecansmos de geração dos operadores I. Exstem bascamente duas formas para se obter A : I (prolongação), que A ) Aproxmação de mala grossa por dscretzação: como A, obtda pela dscretzação da equação dferencal no domíno; ) Aproxmação de mala grossa por Galerkn : =. A I A I a partr de A A, também é Neste trabalo opta-se pela prmera forma, ou seja, pela redscretzação do operador A na obtenção de A, pos a aproxmação de Galerkn demanda muto mas memóra no armazenamento dos operadores de restrção e prolongação, além de efetuar operações entre matrzes esparsas de grande porte ( I, A e ). Com sto, este tpo de aproxmação é usado somente para fns teórcos (WESSELING, 99). Nota-se que o problema na mala grossa é dêntco ao problema orgnal. Portanto, pode-se repetr este processo sucessvamente para outras malas mas grossas. A vantagem deste processo é que se pode cegar a um nível de mala grossa que seja possível calcular a solução exata (ou com grande precsão) da equação ou da equação resdual. Então, basta ter efcentes processos de restrção e prolongação para poder transferr dados de uma mala para outra sem perda na qualdade dessas nformações. A fgura 3., adaptada de Brggs et al. (000), mostra um cclo V com L = 5. O ponto representa uma operação de suavzação e a lna que os une são os operadores de transferênca entre malas. Pode-se referr também a este cclo V como cclo- V ( η,η ) devdo aos números de passos de pré e pós-suavzação η e η. I O nome desta técnca nada tem a ver com o nome do método varaconal conecdo como Método de Galerkn, utlzado na lteratura do Método dos Elementos Fntos.

52 5 Fgura 3.: Dagrama cclo V Nota-se que este cclo recebe o nome de cclo V devdo ao seu formato. Assume-se então a exstênca de L > malas, ou níves, com a razão de engrossamento padrão, L portanto, malas com tamanos de elementos dados por,, 4,..., K =, onde é o tamano do elemento da mala mas fna e K da mala mas grossa, no caso de r =. Por questões ddátcas o esquema de correção (e não o esquema de aproxmação completa) toma-se como exemplo de algortmo para váras malas conforme tabela 3.3. Neste caso, faz-se uso do cclo V. A ordem na qual as malas são vstadas é camada de cclo multgrd. Exste uma generalzação do cclo V conecda como cclo µ (WESSELING, 99). Desta generalzação pode-se obter outros tpos de cclos, que devdo aos seus formatos, são camados de cclo W, cclo F, cclo-dente-de-serra, etc. Por facldade na programação, neste trabalo faz-se uso apenas do cclo V tanto para o esquema de correção (CS) como para o esquema de aproxmação completa (FAS). Consdere-se um cclo V aplcado a um problema d-dmensonal com d N ncógntas. d Pode-se verfcar em Brggs et al. (000) que o custo de cada cclo V é de O ( N ) e com sto, o custo para a convergênca do erro de teração até o nível do erro de dscretzação é de O( N d log N).

53 53 Tabela 3.3: Esquema CS para váras malas com cclo V (adaptado de Brggs et al., 000) Esquema de correção cclo V LMG ( v 0, v, f, ) Iníco Iterar A u = f η vezes com estmatva ncal Calcular R = f A v ; Obter f = I R ; o Iterar A u o Calcular R o Obter f o Corrgr Iterar Calcular = f = f A v ; v 0 ; η vezes com estmatva ncal v 0 ; 4 4 = I R ; A u = f R = f A v ; Obter f Corrgr Iterar v A = I 4 R ; v 0 = 4 η vezes com estmatva ncal v 0 ;.. K K K Resolver A u = f ; v + I v ; u = f 4 v + I 4 v ; η vezes com estmatva ncal o Iterar A u = f η vezes com estmatva ncal Corrgr v v + I v ; Iterar A u = f η vezes com estmatva ncal v. LMG v v, f, Fm de ( ) 0, v ; 0 = v 4 ; 3. Processo de restrção Os operadores que transferem nformações da mala fna Ω para a mala grossa Ω são camados de operadores de restrção e são denotados genercamente por Entre os operadores de restrção conecdos (WESSELING, 99; BRIGGS et al., 000; TROTTENBERG et al. 00), o mas comum é o operador de restrção por njeção. Para a razão de engrossamento r = ele é defndo por Para o caso undmensonal tem-se [ I nj ] v = v. I. N v j = v j, j, (3.)

54 54 onde N + é o número de pontos (nós) da mala fna. E para o caso bdmensonal tem-se N N x y v, j = v, j, j, j, (3.a) onde N + e N + são os números do nós da mala fna nas dreções coordenadas x e y, x y respectvamente. Outro operador de restrção bastante conecdo (WESSELING, 99; BRIGGS et al., 000; TROTTENBERG et al. 00) é o operador de restrção com ponderação completa, defndo por [ I ] v = v. pond Para o caso undmensonal tem-se N ( v + v + v ), j v j = j j j+, (3.3) 4 onde N + é o número do nós da mala fna. E para o caso bdmensonal tem-se v, j = + ( v [ v 6, j, j + v, j+ + v, j+ + v, j + v + v +, j +, j + v ) + 4v +, j+, j ], (3.3a) com N, j N, onde N + e N + são os números dos pontos x y (nós) da mala fna nas dreções coordenadas x e y, respectvamente. Usa-se a smbologa geral I x y para o operador de restrção, ndependente de qual seja seu tpo, pos sto fcará claro no contexto. Neste trabalo será utlzada uma generalzação destes operadores de restrção para qualquer razão de engrossamento para o caso undmensonal. Esta generalzação será dada no capítulo 4, na seção que trata do detalamento dos esquemas CS e FAS utlzado neste trabalo. A fgura 3.3, obtda de Brggs et al. (000), mostra a ação do operador de restrção por ponderação completa com razão de engrossamento r = para o caso undmensonal.

55 55 Fgura 3.3: Operador de restrção (ponderação completa) da mala fna para a mala grossa (BRIGGS et al., 000) São estabelecdas agora as propredades espectras do operador com ponderação completa, ou seja, estabelece-se como esse operador de restrção age sobre os modos de Fourer do operador orgnal A. Sejam os modos de Fourer de A dados por w k, j jkπ = sen, k N, 0 N j N. (3.4) Pode-se mostrar (BRIGGS et al., 000) que I kπ = cos wk N N wk, k. (3.5) Da expressão acma conclu-se que o operador I age nos k-ésmos modos suaves de A produzndo os k-ésmos modos de A, ou seja, o operador de restrção com ponderação completa não altera o número de ondas (ou freqüênca) após sua ação sobre os modos de Fourer suaves. Como o número de pontos após o processo de restrção será sempre menor que o número de pontos da mala anteror e o número de ondas é o mesmo, pode-se conclur que o modo de Fourer tornou-se mas osclatóro nesta mala após a ação deste operador; propredade desejável no uso do método multgrd. Esta propredade também é verfcada para o operador de restrção por njeção.

56 Processo de prolongação Os operadores que transferem nformações da mala grossa Ω para a mala fna Ω são camados de operadores de prolongação, também conecdos como nterpolação, e são denotados genercamente por I. Entre os conecdos (WESSELING, 99; BRIGGS et al., 000; TROTTENBERG et al. 00), o mas comum e bastante efcente é o operador de nterpolação lnear, defndo por ln v v I = ] [. Para o caso undmensonal tem-se ( ) + = = + + 0, N j v v v v v j j j j j, (3.6) onde + N é o número do nós da mala fna. E para o caso bdmensonal tem-se = + = + = = ) ( 4 ) ( ) (,,,,,,,,,,,,, j j j j j j j j j j j j j v v v v v v v v v v v v v, (3.6a) com, y x N j N, onde + x N e + y N são os números de nós da mala fna nas dreções coordenadas x e y, respectvamente. Outros operadores de prolongação podem ser vstos em Wesselng (99), como o operador por nterpolação quadrátca ou o operador de prolongação de De Zeeuw. Usa-se a smbologa geral I para o operador de prolongação, ndependente de qual seja seu tpo, pos sto fcará claro no contexto. A fgura 3.4, obtda de Brggs et al. (000), mostra a ação do operador de prolongação (nterpolação lnear) com razão de engrossamento = r para o caso undmensonal.

57 57 Fgura 3.4: Operador de prolongação (nterpolação lnear) da mala grossa para a mala fna (BRIGGS et al., 000) São estabelecdas agora as propredades espectras do operador de nterpolação lnear, ou seja, estabelece-se como esse operador age sobre os modos de Fourer do operador orgnal A. Sejam os modos de Fourer de A dados por w k, j jkπ = sen, N k N, 0 j N. (3.7) Pode-se mostrar (BRIGGS et al., 000) que k k I w k O wk O w ' k N N = +. (3.8) Da expressão acma conclu-se que os modos suaves em dos modos suaves em (defndo como Ω recebem forte nfluênca Ω e pouca nfluênca dos modos complementares osclatóros k' = N k ). Inversamente ocorre para os modos osclatóros em Ω. Portanto, o operador de prolongação por nterpolação lnear altera o número de ondas (ou freqüênca) após sua ação sobre os modos de Fourer suaves e osclatóros. Na pótese de estarmos prolongando modos suaves (e geralmente é sto que se espera após um processo de suavzação na mala grossa) da mala grossa para a mala fna, após o processo de prolongação, este modo rá receber maor nfluênca de modos suaves do que dos modos

58 osclatóros, snalzando a exstênca de modos suaves na mala fna novamente; propredade desejável para conclur-se que a nterpolação fo de qualdade Problemas ansotrópcos Nas seções anterores nada se falou sobre a natureza dos operadores ou o tpo de mala dsponível. Pretende-se nesta seção aplcar o método multgrd para um tpo de problema mas específco, para tanto esta seção propõe-se a tratar de problemas ansotrópcos. Consderem-se problemas bdmensonas, tas que: Stuação : A equação dferencal tena coefcentes constantes para as dervadas parcas, porém dstntos, nas dreções coordenadas. Neste caso defne-se como sendo ansotropa físca ou ansotropa de coefcentes. Stuação : A dscretzação da mala tena tamanos constantes, porém dstntos, nas dreções coordenadas. Neste caso defne-se como sendo ansotropa geométrca ou ansotropa de mala. Um modelo que exemplfca estas duas stuações pode ser dado por: [ c + s ] u + ( ε ) csu [ s + ε c ] u f ε, (3.9) xx xy yy = onde c = cos(α ), s = sen(α ), 0 α π e 0 < ε << ou ε >>, ou seja, ε bem dstnto da undade. Aqu ε representa a relação entre os coefcentes ou os tamanos de mala dstntos nas dreções coordenadas. No caso partcular onde α = 0, a expressão dada pela equação 3.9 torna-se u ε u f, (3.0) xx yy = e dz-se que a ansotropa está alnada com o exo coordenado x. π E no caso partcular onde α =, a equação 3.9 torna-se ε u u f, (3.) xx yy = e dz-se que a ansotropa está alnada com o exo coordenado y.

59 Por questões ddátcas, toma-se como problema modelo o caso onde α = 0, ou seja, ansotropa alnada na dreção x, dado pela equação 3.0. Neste caso tem-se: Exemplo da stuação (ansotropa físca): a equação dferencal dada pela equação 3.0 dscretzada em uma mala de tamano em ambas as dreções ( = ), x y = com ε bem dstnto da undade. Neste caso a razão de aspecto (RA), conforme defnda na seção., é redefnda em função da equação 3.9 (e obvamente de 3.0 e 3.) por 59 RA = ε. (3.) Exemplo da stuação (ansotropa geométrca): a equação de Posson u u xx yy = f, dscretzada em uma mala com tamano constante x na dreção x e = ε na dreção y, com ε bem dstnto da undade. Neste caso a razão de y x aspecto (RA) é redefnda por x RA = = ε. (3.a) y Ambas as stuações são defndas como problemas ansotrópcos, ou seja, problemas onde o acoplamento entre os pontos vznos torna-se muto forte em alguma das dreções coordenadas (ansotropa físca) ou quando a dscretzação é baseada em malas com razão entre os tamanos de mala bem dstnto nas dreções coordenadas (ansotropa geométrca). Pode-se ter duas stuações, a saber: 0 < ε << ou ε >>. Quando tem-se 0 < ε <<, o forte acoplamento se dá na dreção x e quando tem-se ε >>, na dreção y. Vale lembrar que para ε = tem-se o caso sotrópco. Ao aplcar-se o método multgrd padrão 3, o fator de convergênca se deterora quando se tem ε 0 ou ε >>. Para que se possa entender essa deteroração no caso específco onde se tem ε 0, toma-se o caso extremo, onde ε = 0 na equação 3.0. Com sto tem-se o problema undmensonal u xx = f, (3.3) 3 Quando a razão de engrossamento r = em ambas as dreções.

60 60 ou seja, tem-se a equação de Posson sem conexão nenuma na dreção y. Portanto, os métodos de relaxação, como Jacob ponderado ou Gauss-Sedel, suavzarão as componentes de erro apenas na dreção x, o que sgnfca que o controle do erro na dreção y será totalmente aleatóro. Como em Brggs et al. (000), aqu se estabelece uma estratéga para tratar de problemas que envolvam este tpo de ansotropa: Estratéga: Como a boa convergênca do método multgrd é esperada para o caso undmensonal na dreção x, que é a dreção de forte acoplamento, deve-se executar o método multgrd empregando-se relaxação por pontos, mas com um engrossamento apenas na dreção x. A este processo dá-se o nome de sem-engrossamento. Neste caso, a restrção dá-se por um tpo especal de engrossamento onde é tomado duas vezes o espaçamento na dreção x (caso seja adotada a razão de engrossamento padrão r = ) e com o espaçamento orgnal na dreção y. A fgura 3.5 mostra um processo de sem-engrossamento na dreção x. Fgura 3.5: (a) mala fna orgnal e (b) mala grossa com sem-engrossamento na dreção x Pelo fato do engrossamento ser undmensonal, o cclo V mantém sua complexdade da ordem O ( N ) no caso de sem-engrossamento. Para detales sobre outras estratégas para tratar de problemas ansotrópcos, como: engrossamento padrão com relaxação por lnas e sem-engrossamento com relaxação por lnas, veja em Brggs et al. (000), em Wesselng (99) e outras referêncas ctadas na revsão bblográfca.

61 6 3.5 Resumo do capítulo 3 Neste capítulo apresentaram-se os prncpas aspectos do método multgrd. Mostrouse um algortmo bastante smples que desfruta a propredade de suavzação de certos métodos teratvos. Este algortmo é o esquema de aproxmação completa (que trata das nãolneardades) e que tem como caso partcular o esquema de correção (que trata das lneardades). Os dversos cclos no método multgrd, com alguns dos prncpas algortmos para duas malas e dversas malas foram comentados, nclundo o que será utlzado neste trabalo que é o cclo V. Em seguda detalaram-se os processos de restrção e prolongação ndcando seus operadores mas utlzados e suas propredades espectras. Fnalmente fo descrto um caso especal do método multgrd, que é o caso dos problemas ansotrópcos com opções para solução.

62 4 Problemas undmensonas lneares: equações de dfusão e de advecção-dfusão 6 Neste capítulo descreve-se a prmera classe de problemas tratados neste trabalo, que são os problemas undmensonas lneares. Neste caso estudam-se as equações de dfusão e de advecção-dfusão (VERSTEEG e MALALASEKERA, 995). Este capítulo está dvddo da segunte forma: prmeramente estudam-se os modelos matemátcos com suas defnções e soluções analítcas. Em seguda estudam-se os modelos numércos com suas dscretzações e os esquemas multgrd usados: esquema de correção (CS) e esquema de aproxmação completa (FAS) e dados de mplementação. Fnalmente detalam-se os prncpas resultados numércos com estes esquemas, como: terações nternas, nível de mala, razão de engrossamento, tolerânca e estmatva ncal. 4. Modelos matemátcos Tem-se a segur um modelo matemátco geral para problemas em regme permanente de advecção-dfusão com termo fonte (VERSTEEG e MALALASEKERA, 995) r r r r. ρ, (4.) ( uφ) =. ( Γ Φ) + SΦ r r r r onde = () x + () y j + ( ) z k é o operador nabla, ρ é a massa específca, Γ é o r r r r coefcente de dfusão, u = u + u j + u3k é o vetor velocdade para os quas u, u e u 3 são as componentes nas dreções coordenadas cartesanas x, y e z, respectvamente, S Φ é o termo fonte de cada propredade Φ, r r Φ é o vetor gradente do escalar Φ e u r. é o escalar dvergente do vetor u r. Consderando-se Φ = T (temperatura), S = q& Φ (geração de calor) e Γ = κ c p na equação 4., obtém-se a equação da conservação da energa r r r., (4.) r ( ρ ut ) =. ( κ T ) + q& c p onde κ é a condutvdade térmca do fludo e c p é o calor específco do fludo.

63 63 Para o caso undmensonal, com propredades constantes e não avendo escoamento, ou seja, velocdade constante u 0, tem-se a segunte smplfcação da equação 4. = d T dx q& + κ = 0, ou anda, d T dx + f x ( ) = 0, (4.3) onde x é a coordenada cartesana espacal e f ( x) é o termo fonte. Esta equação recebe o nome de equação de dfusão e é conecda também como equação de Posson (TANNEHILL et al., 997). Para o caso undmensonal, velocdade u 0 constante, com propredades constantes (portanto, fludo ncompressível) e sem geração de calor, ou seja, q& = 0, tem-se a segunte smplfcação da equação 4. dt d T Pe =, (4.3a) dx dx onde Pe ( u c ρ C) κ = é o número admensonal de Peclet (TANNEHILL et al., 997) e C é p o comprmento do domíno. Esta equação recebe o nome de equação de advecção-dfusão (TANNEHILL et al., 997). Neste capítulo serão consderadas as condções de contorno de Drclet num domíno undmensonal untáro, { x R : 0 x } serem resolvdos serão, conforme a fgura 4., portanto os problemas a d T + f dx T ( x) = 0, 0 < x < ( 0) = 0, T ( ) = (4.4)

64 64 e Pe T dt dx d T =, dx ( 0) = 0, T ( ) 0 < x <. (4.5) = Fgura 4.: Domíno undmensonal de cálculo e condções de contorno Para a equação 4.4, toma-se ( ) f x = + 3x + 6x e para a equação 4.5, o número de Peclet, Pe = 0, será um dado fxo, ou seja, um problema de convecção domnante. O nteresse aqu é estudar o efeto da advecção e não da dfusão, como já realzado no problema dado pela equação 4.4. Com a fnaldade de buscar-se uma solução analítca para os problemas 4.4 e 4.5, usase a técnca de solução de equações dferencas ordnáras lneares de segunda ordem com coefcentes constantes (GREENBERG, 998). Estas soluções analítcas serão descrtas no apêndce B desta Tese. 4. Modelos numércos Tem-se a segur um detalamento dos esquemas numércos a serem adotados neste capítulo para as equações undmensonas lneares estudadas (equação de dfusão e equação de advecção-dfusão), além de suas soluções numércas. Tem-se também uma breve descrção dos esquemas multgrd utlzados: esquema de correção (CS) e esquema de aproxmação completa (FAS).

65 Dscretzação O método numérco a ser utlzado nos problemas descrtos na seção anteror será o método de dferenças fntas (BURDEN e FAIRES, 997; TANNEHILL et al., 997). A dscretzação do domíno será desenvolvda, fazendo-se uso de malas estruturadas e unformes, onde o domíno { R : 0 x } x é partconado em um número N de subntervalos (elementos). Isto ntroduz uma mala dada por x = ( ), onde =,..., N + e = / N. Neste caso, estabelece-se uma mala com elementos de tamano que se denota por Ω. Cada ponto de referênca será denotado por P, seu vzno a oeste por W e o seu vzno a leste por E, conforme fgura 4.. Fgura 4.: Mala D unforme Prmeramente vamos detalar o esquema numérco para o problema 4.4, ou seja, a equação de dfusão. Neste esquema numérco é utlzada a dferença centrada (CDS) para a dervada de segunda ordem (termo dfusvo). O esquema CDS pode ser vsto em Tannell et al. (997). Para cada um dos N pontos nterores da mala, a equação resultante é v v + v v + + = 0; f = 0, N, (4.6) v = N + onde v é uma aproxmação (solução numérca) para a solução exata ( ) Rearranjando os termos da equação 4.6, obtém-se a forma geral T. x a v = a v + a v + b, (4.7) p P w W e E p

66 66 onde os coefcentes são dados por a p =, (4.8 a) a = aw, (4.8 b) e = b p = f. (4.9) Em seguda vamos detalar os esquemas numércos para o problema 4.5, ou seja, a equação de advecção-dfusão. Neste problema são utlzados dos esquemas dstntos: ) No prmero esquema numérco são utlzadas a dferença atrasada (UDS) para a dervada de prmera ordem (termo advectvo), também conecdo como esquema Upwnd, e a dferença centrada (CDS) para a dervada de segunda ordem (termo dfusvo). O esquema UDS/CDS pode ser vsto em Tannell et al. (997). Para cada um dos N pontos nterores da mala, a equação resultante é v Pe v v = v = 0; v v + v N + +, = N. (4.0) Rearranjando os termos da equação 4.0, obtém-se a forma geral dada pela equação 4.7, onde os coefcentes são dados por a p = + Pe, (4. a) a w = + Pe, (4. b) a e =, (4. c)

67 67 b = 0. (4.) p ) No segundo esquema numérco são utlzadas a dferença centrada com correção adada (CDS_CA) para a dervada de prmera ordem (termo advectvo) e dferença centrada (CDS) para a dervada de segunda ordem (termo dfusvo). O esquema CDS_CA/CDS pode ser vsto em Llek et al. (997). Para cada um dos N pontos nterores da mala, a equação resultante é v Pe v v v + v + β v + = 0; * v v = N + = v + v +, N, (4.3) onde 0 β e o índce * denota valores que são obtdos da teração anteror. Rearranjando os termos da equação 4.3, obtém-se a forma geral dada pela equação 4.7, onde os coefcentes são dados pelas equações 4. a, b e c e b * v v + v+ p = β Pe. (4.4) Note que para β = 0 tem-se o esquema UDS/CDS e para β = tem-se o CDS_CA/CDS. Se v e f são denotados por v ) t = ( v,..., v N + e f ) t = ( f,..., f N +, respectvamente, então os sstemas dados pelas equações 4.6, 4.0 e 4.3, podem ser representados por um sstema de equações algébrcas, do tpo da equação., dada por Av = f, (4.5) onde A é uma matrz trdagonal ( + ) ( N +) N x, defnda postva (Brggs et al., 000; Burden e Fares, 997), f é o vetor ndependente e v é o vetor de ncógntas.

68 68 A equação 4.5 é resolvda com o método dreto TDMA (Ferzger e Perc, 999), para obter-se nformações sobre a performance do método neste tpo de problema. Resolve-se também este problema, apenas na mala mas fna, com o método snglegrd de Gauss-Sedel. No caso do método multgrd, os sstemas de equações Av = b, onde b representa o termo fonte (resíduo na restrção e correção na prolongação) a cada nível de mala, são resolvdos com o método de Gauss-Sedel a cada nível de mala. Estes métodos de solução das equações empregados foram descrtos no apêndce A. 4.. Esquema de correção (CS) Consderando-se o esquema de correção para duas malas ntroduzdo pela tabela 3. da seção 3., pretende-se fazê-lo mas geral, nclundo dversas razões de engrossamento. Neste caso, como vsto na seção., a razão de engrossamento é defnda por r H Ω =, (4.6) Ω onde Ω é a notação utlzada para representar uma mala fna e mas grossa. Como pode-se notar, H representa-se também por H =, H = 3, H = 4, etc. Uma forma alternatva para reescrever a equação 4.6 é H Ω a mala medatamente H = r, por exemplo, p * r =, p, q Z +, p > q. (4.6 a) q Neste caso, a razão de engrossamento r é camada razão pura, ou ntera, se q =. Seja o problema A u = f a ser resolvdo e supona que A seja um operador H lnear. Neste caso é razoável assumr o operador A também lnear (WESSELING, 99). De acordo com o algortmo dado pela tabela 3. (esquema da correção para duas malas), basta substtur por H dos passos 3 ao 8 daquele algortmo. Nas smulações a serem executadas com este algortmo já alterado (substtundo-se por H nos passos do algortmo dado pela tabela 3.), consdera-se η = η = ITI para os passos e 0, ou seja, o número de pré-suavzações gual ao número de pós-suavzações. Neste caso, ITI será

69 camado de número de terações nternas. Cada repetção dos passos de a 0 será camada de teração externa, também denotada por ITE. Os operadores de transferênca da mala fna Ω para a mala grossa camados de operadores de restrção, são denotados genercamente por H Ω 69, que são H H I φ = φ, onde φ assume o valor do resíduo R. Vale lembrar que na seção 3. fo defndo o operador de restrção I para o caso partcular onde H =. Neste trabalo um operador de njeção com H sua forma generalzada para qualquer razão de engrossamento (, ) problemas undmensonas. Ele é dado por r fo desenvolvdo para φ H r cr H ( K ) φ ; N = K φ + +, (4.7) r cr com p p H q cr = celng ( ), K r = cr ( ), N = N (4.8) q q p e N sendo o número de ntervalos (elementos) da mala medatamente mas fna. A função celng é defnda por ( x) = mn{ z Z z x} celng : R Z, com x a celng /, (4.9) onde Z é o conjunto dos números nteros. H A equação 4.7 não é calculada para = e = N +, vsto que neste capítulo adota-se as condções de contorno de Drclet. Portanto, R = 0 (resíduo nulo) nos pontos de frontera. Os operadores de transferênca da mala grossa Ω H para a mala fna Ω são camados de operadores de prolongação, ou nterpolação, e são denotados genercamente por H I H φ = φ, onde φ assume a aproxmação do erro na equação resdual, ou seja, a correção. Vale lembrar que na seção 3.3 fo defndo o operador de prolongação I H para o caso partcular onde H =. Como no caso do operador de restrção, neste capítulo um operador

70 de nterpolação lnear com sua forma generalzada para qualquer (, ) Ele é dado por 70 r fo desenvolvdo. φ p H cp H ( K ) φ ; N = K φ + +, (4.0) p cp com q q cp = celng ( ), K p = cp ( ). (4.) p p 4..3 Esquema de aproxmação completa (FAS) Consderando-se o esquema de aproxmação completa para duas malas ntroduzdo pela tabela 3. da seção 3., pretende-se fazê-lo mas geral, nclundo dversas razões de engrossamento. Seja o problema A u = f ( ) a ser resolvdo e supona que A seja um operador não-lnear. De acordo com o algortmo dado pela tabela 3. (esquema de aproxmação completa para duas malas), basta substtur por H dos passos 3 ao 8 daquele algortmo. Novamente, nas smulações a serem executadas, consdera-se η = η = ITI, para os passos e 0. Neste caso, como no esquema CS, ITI será camado de número de terações nternas. Cada repetção dos passos de a 0 será camada de teração externa, também denotada por ITE. Os operadores de restrção e de prolongação são os mesmos dados no esquema de correção, portanto são os operadores dados pelas equações 4.7 e 4.0, respectvamente Dados de mplementação Nas smulações a segur consdere-se o número de níves L, tal que L K, onde L { Ω : L =,,..., K} Λ = é uma seqüênca de malas sucessvamente mas grossas, com sendo a mala mas fna, grossa possível. Ω a mala medatamente mas grossa, até K Ω Ω, que é a mala mas

71 O crtéro de parada para as terações externas ITE (número necessáro de cclos para suavzar as componentes de erro) é dado pela razão entre a norma L do resíduo (Ferzger e Perc, 999) e a norma do resíduo com base na estmatva ncal, onde o resíduo de cada nó é calculado através da equação.9. Ou seja, o crtéro de parada é 7 R R ( k) ( 0) < ε, (4.) onde, o símbolo R ( 0) representa o resíduo baseado na estmatva ncal e ( k) R representa o resíduo na k-ésma teração. Neste trabalo adota-se como referênca ε = 0 7 e v = ( 0,0,...,) para o crtéro de parada e estmatva ncal, respectvamente, mas outros valores de ε, como ε = 0 4 e ε = 0 0, e outros valores de v, como = ( 0,,,...,,) v e v = ( 0,,,...,) também serão adotados. A menos que se dga o contráro, esses valores serão adotados nos demas capítulos. Todos os algortmos deste capítulo e dos capítulos seguntes foram mplementados na lnguagem FORTRAN/95 com o uso do Compaq Vsual FORTRAN 6.6, projeto tpo Console e em versão release. Os testes foram realzados em um mcrocomputador com Processador Intel Pentum 4 com,66 GHz e GB RAM usando artmétca de dupla precsão. Os resultados completos dos testes podem ser vstos no ste do Grupo de Dnâmcas dos Fludos Computaconal da UFPR, cto: ftp://ftp.demec.ufpr.br/cfd/monografas/006_marco_vllela_doutorado. O foco de estudo deste trabalo é a mnmzação do tempo de CPU. Entende-se por tempo de CPU, o tempo gasto para realzar a geração de malas, atrbução da estmatva ncal, cálculo dos coefcentes e resolução do sstema lnear 4.5 até atngr o crtéro de convergênca (crtéro de parada). Este tempo é meddo em segundos (s) e usando-se a função TIMEF da bbloteca PORTLIB do FORTRAN/95. Através de testes realzados verfcou-se que a ncerteza desta função é de aproxmadamente ± 0, 05s.

72 7 4.3 Resultados numércos com o esquema de correção (CS) De acordo com a defnção dada pela equação 4.6a, pode-se defnr os seguntes engrossamentos que foram usados nesta seção: engrossamento padrão, ou seja, r = e alguns engrossamentos fortes, ou seja, (, ) r, usando-se razões puras da forma r = p q, onde q =, tas como: r = 3, r = 4 e r = 5. Um pouco mas de 300 smulações foram realzadas com outras varantes, como: número de ncógntas (elementos) dos problemas (N), número de terações nternas (ITI), número de níves de malas (L), tolerâncas (ε ) e estmatvas ncas ( v ). Somente alguns destes testes são apresentados nesta seção, pos são os testes mas representatvos, sufcentes para mostrar qualtatvamente o desempeno do método multgrd. A tabela 4. mostra em sua prmera lna as razões de engrossamento utlzadas em testes numércos para as equações de dfusão e de advecção-dfusão. Na segunda e tercera lnas têm-se os números mínmos e máxmos de elementos da mala mas fna (N) nos dversos testes. Na quarta lna têm-se alguns N utlzados nos testes representatvos escoldos. Nota-se que para cada razão de engrossamento foram utlzados N dstntos. Entretanto, são valores de N que possbltam mostrar o efeto qualtatvo das propredades que serão avaladas nas seções seguntes. Tabela 4.: Algumas malas para cada uma das razões testadas r N mínmo N máxmo N Na fgura 4.3 tem-se a solução analítca e as soluções numércas para a equação de dfusão dada pela equação 4.4 com ( ) f x = + 3x + 6x, usando-se o esquema numérco CDS dado pela equação 4.6. A solução analítca é comparada com as soluções numércas para três métodos dstntos: multgrd usando a razão de engrossamento r =, o método de Gauss- Sedel e o método dreto TDMA. Neste caso, estpulou-se que as soluções numércas deveram atngr erro de máquna, elmnando-se assm o erro de teração e dmnundo-se o erro numérco (soma dos efetos dos erros dos erros de teração, arredondamento e dscretzação). Para este problema, com N = 3 tem-se uma mala que reduz razoavelmente o erro de dscretzação, por sto é que as soluções numércas são vsualmente concdentes. Estpulou-se anda o uso do método de dscretzação

73 73 CDS, reduzndo-se assm o erro de dscretzação, pos como se sabe, é um método de segunda ordem (VERSTEEG e MALALASEKERA, 995). Pode-se perceber vsualmente com sto, que a solução analítca e as soluções numércas são concdentes. Fgura 4.3: Soluções analítca e numércas para N = 3 para a equação de dfusão com CDS Na fgura 4.4 tem-se as soluções analítca e numércas para a equação de advecçãodfusão dada pela equação 4.5 com Pe = 0, usando-se o esquema numérco UDS/CDS dado pela equação 4.0. Fgura 4.4: Soluções analítca e numércas para N = 3 para a equação de advecção-dfusão com UDS/CDS

74 74 Na fgura 4.4, a solução analítca é comparada com as soluções numércas para os mesmos métodos que a equação de dfusão. Como anterormente, estpulou-se que as soluções numércas deveram atngr erro de máquna. Estpulou-se anda o uso do método de dscretzação UDS/CDS, que é um método de prmera ordem (VERSTEEG e MALALASEKERA, 995). Pode-se perceber vsualmente com sto, que a solução analítca e as soluções numércas não são concdentes devdo ao erro de dscretzação Iteração nterna Deve-se lembrar que, como fo dto na seção 4.., número de terações nternas (ITI) é defndo como sendo η = η = ITI nos passos e 0 (número de pré-suavzações gual ao número de pós-suavzações) do algortmo dado pela tabela 3. (esquema de correção). A fgura 4.5 mostra a nfluênca do número de terações nternas (ITI) sobre o tempo de CPU para a equação de advecção-dfusão. Esta fgura mostra também o número de terações nternas ( ITI, que é o ITI que resulta no menor tempo de CPU) para as dversas razões de engrossamento (r) para um número fxo de elementos da mala mas fna (N) dos problemas. Estes números são dados pela últma lna da tabela 4.. Fgura 4.5: Tempo de CPU versus ITI para a equação de advecção-dfusão com o esquema CS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS

75 Pode-se notar que os valores de N desta tabela, e que são utlzados por estes gráfcos, são dstntos entre s. Esta fgura serve apenas para mostrar o efeto qualtatvo da varação do ITI. Nota-se anda que, o número de terações nternas nfluenca o tempo de CPU com o uso do esquema CS e que ITI r para a maora das razões estudadas, onde r é a razão de engrossamento. Este resultado confrma o resultado de Tannell et al. (997) para r =, no caso da equação de Laplace bdmensonal, ou seja, ITI = 3 ou ITI = 4. Verfcou-se que, para todas as razões estudadas e para ambos os problemas, uma pequena dmnução do número de terações nternas, relatvamente ao ponto de mínmo, aumenta drastcamente o tempo de CPU, podendo até mesmo ocorrer dvergênca. Por outro lado, o aumento sensível do número de terações nternas, relatvamente ao ponto de mínmo, aumenta pouco o tempo de CPU. Portanto recomenda-se utlzar ITI = r para as razões puras; por exemplo, para r =, recomenda-se ITI = 4. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU, em função do número de terações nternas, para as dversas razões de engrossamento com o uso do esquema CS. Para este problema, verfcou-se que o número de terações nternas tem uma forte nfluênca do número de vezes que o método de Gauss-Sedel necessta para atualzar o resíduo (R) em todo o domíno undmensonal Nível de mala A fgura 4.6 mostra a nfluênca do número de níves (L) sobre o tempo de CPU e o número de níves ( L, que é o L que resulta no menor tempo de CPU) para as dversas razões de engrossamento (r) e número de elementos (N) de problemas dados pela tabela 4. para a equação de advecção-dfusão. Pode-se notar que os valores de N desta tabela, e que são utlzados por estes gráfcos, são dstntos entre s. Esta fgura serve apenas para mostrar o efeto qualtatvo da varação do número de níves. Nota-se anda que, o número de níves pode afetar sgnfcatvamente o tempo de CPU com o uso do esquema CS e que os problemas. L L para as dversas razões estudadas para ambos máxmo

76 76 Fgura 4.6: Tempo de CPU versus L para a equação de advecção-dfusão com o esquema CS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Aqu L máxmo representa o número máxmo possível de níves. Por exemplo, uma mala com N =. 04 elementos e usando r =, possu L = 0, sto é, usando-se a razão de engrossamento r =, para resolver o problema na mala mas fna de.04 elementos (que é o nível, o nível da mala mas fna, ou seja, máxmo Ω ), pode-se usar no máxmo mas 9 níves adconas, além de N =. 04, que são: 5 (que é o nível, o nível da mala medatamente mas grossa, ou seja, 5, ou seja, 56 Ω Ω 6 Ω ), 3 (nível 6, ), 56 (nível 3, ou seja, 4 Ω 3 Ω ), 6 (nível 7, ), 8 (nível 4, ou seja, 64 Ω ), 8 (nível 8, 8 Ω ), 64 (nível 8 Ω ), 4 (nível 9, ) e (que é o nível 0, o nível da mala mas grossa que são dos elementos com um ponto nterno, ou seja, 5 Ω ). Outro exemplo, uma mala com =. 458 máxmo N elementos e usando r = 3, possu L = 7, sto é, usando-se a razão de engrossamento r = 3, para resolver o problema na mala mas fna de.458 elementos (que é o nível, o nível da mala mas fna, ou seja, Ω ), pode-se usar no máxmo mas 6 níves adconas, além de N =.458, que são: 486 (que é o nível, o nível da mala medatamente mas grossa, ou seja, 3 Ω ), 6 (nível 3, ou seja, 8 Ω ), 6 (nível 6, 9 Ω ), 54 (nível 4, ou seja, 7 Ω ), 8 (nível 5, ou seja, 43 Ω ) e (que é o nível 7, o nível da mala mas grossa que são dos elementos com um ponto nterno, ou seja, 79 Ω ).

77 Para ambos os problemas e para todas as razões testadas, verfcou-se que, em geral o tempo de CPU tem uma taxa de decréscmo bastante acentuada até atngr os seus mínmos ( L ótmo ) e, após estes pontos, a taxa de crescmento é bem menor até atngr L máxmo. Portanto, 77 recomenda-se utlzar L = para as razões puras (razões da forma r = p q onde p Z Lmáxmo e q = ); por exemplo, para a equação de advecção-dfusão, para r = e N = 0 = elementos, recomenda-se usar L = 0, que é exatamente o L máxmo. Este resultado é smlar aos resultados de Tannell et al. (997), no caso da equação de Laplace bdmensonal (caso lnear); e Mesquta e De-Lemos (004), no caso da equação de Naver- Stokes compressível bdmensonal (caso não-lnear), ambos para o caso onde r =. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU, em função do número de níves, para as dversas razões de engrossamento com o uso do esquema CS. Para este problema, verfcou-se que o número de níves tem uma forte nfluênca da velocdade com que é resolvdo o problema em uma quantdade maor de malas sucessvamente mas grossas, ou seja, malas com uma quantdade menor de pontos Razão de engrossamento A fgura 4.7 mostra o tempo de CPU para as dversas razões de engrossamento para o método multgrd, e também uma comparação entre os métodos snglegrd Gauss-Sedel e TDMA, em função de dversos N para a equação de advecção-dfusão com o uso do esquema CS. Neste trabalo, os métodos dretos são utlzados apenas para efeto de comparação entre os métodos snglegrd (SG) e multgrd (MG). Pode-se notar que o método TDMA é o mas efcente de todos os métodos testados para o problema. Vale lembrar que este método é da ordem O ( N ), enquanto que outros métodos dretos (por exemplo, Elmnação de Gauss), em 3 geral são da ordem ( N ) O (BURDEN e FAIRES, 997). Este método é segudo pelos métodos multgrd e fnalmente pelo método de Gauss-Sedel. Métodos teratvos báscos, em geral são da ordem de ( N ) O (FERZIGER e PERIC, 999). Portanto, para os problemas undmensonas testados, recomenda-se o uso do método dreto TDMA. Entretanto o objetvo nesta seção (esquema CS) e na próxma seção (esquema FAS) é verfcar o efeto dos parâmetros multgrd no tempo de CPU para o multgrd geométrco com o uso dos dferentes esquemas (CS e FAS) em problemas undmensonas lneares a fm de se obter nformações para outros tpos de problemas que serão tratados nos capítulos seguntes.

78 78 Fgura 4.7: Tempo de CPU versus N para a equação de advecção-dfusão com o esquema CS, dversos r, com o esquema numérco UDS/CDS e dversos métodos Para os mesmos ε, v e N, com as razões de engrossamento testadas e o método multgrd esquema CS, pode-se perceber que para os problemas testados (equação de dfusão e equação de advecção-dfusão), tem-se ( r = ) < t ( r = 3) < t ( r = 4) < t ( r = 5) tcpu CPU CPU CPU. (4.3) Portanto, no caso do método multgrd com o uso do esquema CS, recomenda-se o uso da razão r = para as equações em questão. Este estudo confrma as análses de Brandt (977). Em seu trabalo, Brandt fez análses teórcas e expermentas (numércas) entre as razões de engrossamento r =, r = 3 e r = 3 para dversos problemas, mas não tratou estes problemas. Em seus estudos constatou que a razão r = é a recomendável, por estar mas próxma da razão de engrossamento ótma e ser mas convenente e econômca para o processo de nterpolação, além de ser de mas fácl mplementação. Brggs et al. (000) afrmam que r, em geral, não traz vantagens, sem especfcar para quas problemas ou classes de problemas sto é verdade.

79 79 Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função das dversas razões de engrossamento e com o uso do esquema CS. Para este problema, verfcou-se que a razão ótma de engrossamento (r que resulta no menor tempo de CPU) tem uma forte nfluênca de dos prncpas aspectos: a razão de queda do número de ncógntas (elementos) de uma mala para a outra mala medatamente mas grossa e a qualdade das nformações passadas pela restrção e pela prolongação Tolerânca e estmatva ncal Nesta seção estudam-se os casos com varações, tanto da tolerânca ε como da estmatva ncal v. Os seguntes engrossamentos foram usados: engrossamento padrão, ou seja, r = e um engrossamento forte usando-se uma razão pura, que no caso fo r = 3. Estes engrossamentos foram utlzados por terem apresentado boas característcas no que dz respeto à mnmzação do tempo de CPU, apresentadas nas seções anterores. Para a varação da tolerânca, estudam-se os casos onde ε = 0 4 e ε =0 0, além de ε = 0 7 usado nos resultados anterores. Os resultados dos estudos do número de terações nternas sofreram pouca varação sobre o tempo de CPU: cerca de,40% ao se adotar ITI = r para a equação de dfusão e cerca de 3,40% para a equação de advecçãodfusão. Para a varação da estmatva ncal, estudam-se os casos onde = ( 0,,...,,) v = ( 0,,...,), além de = ( 0,0,...,) v e v usado nos resultados anterores. Os resultados dos estudos do número de terações nternas sofreram uma varação sobre o tempo de CPU um pouco mas substancal: cerca de 8,70% ao se adotar ITI = r para a equação de dfusão e cerca de,00% para a equação de advecção-dfusão. Em relação ao número de níves, ao se adotar L = Lmáxmo, a maor varação encontrada, fo para a equação de dfusão, e esta varação fo de 0,90%, ndependentemente de se estar varando a tolerânca ou a estmatva ncal. As tabelas 4. e 4.3, para as equações de dfusão e de advecção-dfusão, respectvamente, mostram em suas colunas, o estudo referente ao ITI, L e t CPU para as razões de engrossamento r = (com N = e L = 0 ) e r = 3 (com N =.06.8 e L = 3 ), para problemas varando a tolerânca ε e consderando máxmo máxmo

80 80 prmeramente a estmatva ncal fxa. Neste caso, adotou-se a estmatva ncal padrão ( 0,0,...,) v = para os dos tpos de problemas. Nestas tabelas e nas demas, o símbolo denota que as smulações não foram realzadas. Tabela 4.: Varação de parâmetros de acordo com a varação da tolerânca no esquema CDS para a equação de dfusão ε ITI t CPU de ITI r = r = 3 r = = 3 L t CPU de L r = r = 3 r = r = 3 r ,39 5,45 8-8, ,89 46,7 9-3, ,03 68,8 8-46,9 - Tabela 4.3: Varação de parâmetros de acordo com a varação da tolerânca no esquema UDS/CDS para a equação de advecção-dfusão ε ITI t CPU de ITI r = r = 3 r = = 3 L t CPU de L r = r = 3 r = r = 3 r ,88 4, ,84 4, ,83 45, ,8 45, As tabelas 4.4 e 4.5, para as equações de dfusão e de advecção-dfusão, respectvamente, mostram em suas colunas, o estudo referente ao ITI, L e t CPU para as razões de engrossamento r = (com N = e L = 0 ) e r = 3 (com N =.06.8 e L = 3 ), para problemas varando as estmatvas ncas e máxmo máxmo consderando agora a tolerânca fxa. Neste caso, adotou-se a tolerânca padrão Isto mostra que o da tolerânca mplca em pequena varação do ε = 0 7. ITI é fracamente dependente da tolerânca ε (grande varação ITI ) e fortemente dependente da estmatva ncal v (grande varação da estmatva ncal mplca em grande varação do ITI ). E o L é fracamente dependente da tolerânca e estmatva ncal. Conclu-se que se pode utlzar ITI = r e L = Lmáxmo para as equações de dfusão e de advecção-dfusão com o uso do esquema CS.

81 Tabela 4.4: Varação de parâmetros de acordo com a varação da estmatva ncal no esquema CDS para a equação de dfusão ITI t CPU de ITI r = r = 3 r = = 3 8 L t CPU de L r = r = 3 r = r = 3 v r v = 0,0,..., 3 5 3,89 46,7 9-3,6 - ( ) ( 0,,...,,) = ( 0,,...,) v = 4 5 3,05 44,5 8-30,94 - v 3 0,55 4,7 9-0,47 - Tabela 4.5: Varação de parâmetros de acordo com a varação da estmatva ncal no esquema UDS/CDS para a equação de advecção-dfusão ITI t CPU de ITI r = r = 3 r = = 3 L t CPU de L r = r = 3 r = r = 3 v r v = 0,0,..., 3 5 3,83 45, ,8 45, ( ) ( 0,,...,,) = ( 0,,...,) v = v 3 9,98 3, ,95 3, Resultados numércos com o esquema de aproxmação completa (FAS) Os seguntes engrossamentos foram usados nesta seção: engrossamento padrão, ou seja, r = e alguns engrossamentos fortes usando-se razão pura. Cada esquema numérco usa as seguntes razões de engrossamento: UDS/CDS ( r =, r = 3, r = 4 e r = 5) e CDS_CA/CDS ( r = e r = 3). Estes engrossamentos foram utlzados por terem apresentado boas característcas no que dz respeto à mnmzação do tempo de CPU apresentadas na seção anteror onde se utlzou o algortmo CS. Cerca de 40 smulações foram realzadas com outras varantes, como: número de ncógntas (elementos) dos problemas (N), número de terações nternas (ITI), número de níves de malas (L), tolerâncas (ε ) e estmatvas ncas (v). São apresentados nesta seção os resultados mas representatvos, sufcentes para mostrar qualtatvamente o desempeno do método multgrd. Nesta seção não se apresentam testes com relação à equação de dfusão. Pôde-se perceber que os resultados com o esquema FAS não seram muto dstntos para as duas equações (dfusão e advecção-dfusão), aos resultados alcançados com o esquema CS, já que a equação de advecção-dfusão apresenta esquemas numércos de dscretzação um pouco mas complexo ao esquema numérco de dscretzação da equação de dfusão, ambas lneares. Os números de ncógntas (elementos) usados nesta seção são dados pela tabela 4..

82 Iteração nterna Através da fgura 4.5 concluu-se que o número de terações nternas nfluenca o tempo de CPU para o esquema CS. A fgura 4.8 mostra, para o esquema numérco UDS/CDS, a nfluênca do número de terações nternas (ITI) sobre o tempo de CPU para alguns valores de N e razões de engrossamento com o uso do esquema FAS. Fgura 4.8: Tempo de CPU versus ITI para a equação de advecção-dfusão com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Esta fgura mostra também o ITI para as razões de engrossamento consderadas. Pode-se notar que os valores de N deste gráfco são dstntos entre s. Esta fgura serve apenas para mostrar o efeto qualtatvo da varação do número de terações nternas. Nota-se anda que o número de terações nternas tem nfluênca o tempo de CPU para o esquema FAS e que ITI 3r para ambas as razões. Para as razões estudadas, verfcou-se que uma dmnução sensível do número de terações nternas, relatvamente ao ponto mínmo, aumenta drastcamente o tempo de CPU, podendo até mesmo ocorrer dvergênca. Por outro lado, o aumento pequeno do número de terações nternas, relatvamente ao ponto mínmo, aumenta pouco o tempo de CPU. Portanto

83 recomenda-se utlzar ITI = 3r para as razões puras; por exemplo, para r =, recomenda-se ITI = 6 para ambos os problemas (equação de dfusão e de advecção-dfusão) e para ambos os esquemas numércos. Na seção anteror, verfcou-se que 83 ITI r para o esquema CS. Aqu para o mesmo problema, verfcou-se que ITI 3r para o esquema FAS. Portanto, o esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca o ITI no método multgrd, pos no esquema FAS á a necessdade de atualzação do resíduo e solução, enquanto que no esquema CS, apenas do resíduo. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do número de terações nternas para as dversas razões de engrossamento para o esquema FAS. Para este problema, verfcou-se que o número de terações nternas tem uma forte nfluênca do número de vezes que o método de Gauss-Sedel necessta para atualzar o resíduo e a solução em todo o domíno undmensonal Nível de mala Através da fgura 4.6 concluu-se que o número de níves (L) nfluenca o tempo de CPU para o esquema CS. A fgura 4.9 mostra a nfluênca de L sobre o tempo de CPU para alguns valores de N com o uso do esquema FAS. Esta fgura mostra também L para as razões de engrossamento consderadas para a equação de advecção-dfusão usando o esquema numérco UDS/CDS. Nota-se que o número de níves pode afetar sgnfcantemente o tempo de CPU e que L L para as razões estudadas. Nota-se que, em geral o tempo de CPU tem uma taxa de decréscmo bastante acentuada até atngr os seus mínmos e, após estes pontos, a taxa de crescmento é bem menor até atngrem L máxmo. Portanto recomenda-se utlzar L = Lmáxmo para as razões puras. máxmo Para os problemas lneares undmensonas estudados na seção anteror, verfcou-se L L máxmo para o esquema CS. Aqu, para o problema lnear undmensonal estudado, verfcou-se L L para o esquema FAS. Portanto, o esquema utlzado (CS ou FAS) máxmo não nfluenca o número de níves para o método multgrd.

84 84 Fgura 4.9: Tempo de CPU versus L para a equação de advecção-dfusão com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Razão de engrossamento A fgura 4.0 mostra, para o esquema numérco UDS/CDS, o tempo de CPU para as razões de engrossamento consderadas para o método multgrd e também uma comparação entre métodos snglegrd Gauss-Sedel e TDMA em função de dversos N para a equação de advecção-dfusão. A fgura 4. mostra um detale da fgura 4.0. Pode-se notar novamente que o método TDMA é o mas efcente dos métodos testados. Ele é segudo pelos métodos multgrd e fnalmente pelo método de Gauss-Sedel. Para os mesmos ε, v e N, com as razões de engrossamento testadas e o método multgrd com o esquema FAS, pode-se perceber que para a equação de advecção-dfusão, para a maora dos pontos do domíno em estudo, tem-se ( r = 3 ) < t ( r = 4) < t ( r = ) < t ( r = 5) tcpu CPU CPU CPU. (4.4) Portanto, no caso do método multgrd com o uso do esquema FAS, recomenda-se o uso da razão r = 3 para a equação em estudo. Esta constatação é nédta e nesperada, além de

85 mostrar que a razão r = perde a egemona perante outras razões, pos com o uso do esquema FAS, á a atualzação do resíduo e da solução. Por este motvo, pode-se fazer uso de um engrossamento mas agressvo ( r = 3, por exemplo) de tal forma que os processos de restrção e de prolongação não percam qualdade. 85 Fgura 4.0: Tempo de CPU versus N para a equação de advecção-dfusão com o esquema FAS, dversos r, com o esquema numérco UDS/CDS e dversos métodos Fgura 4.: Detale da fgura 4.0

86 Entretanto, Brandt (977) em seu trabalo fez análses entre as razões de engrossamento r =, r = 3 e r = 3 para dversos problemas (mas não especfcamente para as equações 4.4 e 4.5), entre eles, problemas elíptcos e de escoamento transônco, e constatou que a razão r = é a recomendável. Brggs et al. (000) afrmam que r, em geral, não traz vantagens, sem especfcar para quas problemas ou classes de problemas. Para os problemas lneares undmensonas estudados na seção anteror, verfcou-se que r = é a razão ótma para o esquema CS. Aqu, para o problema lnear undmensonal estudado, verfcou-se que r = 3 é a razão ótma para o esquema FAS. Portanto, pode-se conclur que o esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca a razão ótma para o método multgrd para os casos estudados. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função das dversas razões de engrossamento e com o uso do algortmo FAS. Para este problema, constatou-se que a razão ótma tem uma forte nfluênca dos seguntes aspectos: a razão de queda do número de pontos de uma mala para a outra mala medatamente mas grossa, a qualdade das nformações transferdas pela restrção e pela prolongação e, prncpalmente, o uso do esquema FAS, que transfere nformações a respeto do resíduo e da solução para as demas malas mas grossas Tolerânca e estmatva ncal Nesta seção estudam-se os casos com varações, tanto da tolerânca ε como da estmatva ncal v, como na seção anteror. Para a varação da tolerânca, os resultados dos estudos do número de terações nternas sofreram uma varação substancal sobre o tempo de CPU: cerca de 6,87% a 4,53% ao se adotar ITI = 3r para a equação de equação de advecção-dfusão. Para a varação da estmatva ncal, os resultados dos estudos do número de terações nternas sofreram uma varação sgnfcatva sobre o tempo de CPU: cerca de,93% a 3,65% ao se adotar ITI = 3r para a equação de advecção-dfusão. Em relação ao número de níves, ao se adotar L = Lmáxmo, a maor varação encontrada para a equação de advecção-dfusão fo de 4,78%, ndependentemente de se estar varando a tolerânca ou a estmatva ncal. Isto mostra que o ITI contnua sendo fracamente dependente da tolerânca ε e fortemente dependente da estmatva ncal v e L é fracamente dependente da tolerânca

87 e estmatva ncal. Conclu-se que se pode utlzar equações de advecção-dfusão com o uso do esquema FAS. 87 ITI = 3r e L = Lmáxmo para as 4.5 Esquema de correção (CS) versus esquema de aproxmação completa (FAS) Usando-se as fguras 4.7 e 4.0 para uma comparação entre os esquemas multgrd CS e FAS para as razões de engrossamento r = e r = 3, pode-se notar que o esquema FAS é mas rápdo do que o esquema CS em qualquer N para as duas razões analsadas. Por exemplo, para a mala de elementos o tempo de CPU do MG-FAS(r = ) e MG- CS(r = ) é de 8,48 s e 9,8 s, respectvamente, ou seja, o MG-FAS(r = ) é cerca e 4,5 vezes mas rápdo do que o MG-CS(r = ). Outro exemplo, para a mala de elementos o tempo de CPU do MG-FAS(r = 3) e MG-CS(r = 3) é de 7,9 s e 36,70 s, respectvamente, ou seja, o MG-FAS(r = 3) é cerca e 7,9 vezes mas rápdo do que o MG- CS( r = 3). Na fgura 4. se faz uma comparação entre os esquemas multgrd CS (com a melor razão de engrossamento, r = ) e FAS (com a melor razão de engrossamento, r = 3) em função de dversos valores de N. Fgura 4.: Tempo de CPU versus N para a equação de advecção-dfusão com os esquemas CS e FAS, r = e r = 3, com o esquema UDS/CDS

88 Pode-se notar que o esquema FAS é mas rápdo do que o CS em qualquer N. Usando-se ajuste geométrco de curvas, o tempo de CPU do MG-FAS( r = 3) pode ser 88 aproxmado por t CPU 5,04 = 3,85x0 N e MG-CS( r = ) pode ser aproxmado por t CPU 5,05 =,53.0 N. Pode-se notar que o esquema MG-FAS( r = 3) é mas rápdo do que o esquema MG- CS( r = ) em qualquer N. Por exemplo, para a mala de 5 0 elementos o tempo de CPU do MG-FAS( r = 3) e MG-CS( r = ) é de 0,60 s e,65 s, respectvamente, ou seja, o MG- FAS( r = 3) é cerca de 4,4 vezes mas rápdo do que o MG-CS( r = ). Outro exemplo, para a 6 mala de 0 elementos o tempo de CPU do MG-FAS( r = 3) e MG-CS( r = ) é de 6,56 s e 9,59 s, respectvamente, ou seja, o MG-FAS( r = 3) é cerca de 4,5 vezes mas rápdo do que o MG-CS( r = ). O motvo para este fato ocorra (FAS mas rápdo do que CS) será explcado ao fnal desta seção. Portanto, recomenda-se o uso do esquema FAS com a razão r = 3 para a equação de advecção-dfusão. Esta constatação é nédta e nesperada, pos o esquema CS é ndcado para resolver equações lneares e o esquema FAS, para equações não-lneares. Aqu vemos que o esquema CS perde a egemona perante o esquema FAS, mesmo que para um problema lnear. A conclusão do presente capítulo dfere daquela de Brandt (977). Ele fez análses teórcas e expermentas (numércas) entre as razões de engrossamento r =, 3 e 3 para dversos problemas, mas não se referu à equação 4.5 exatamente. Brandt mostra preferênca pelo esquema CS em relação ao esquema FAS no caso de problemas lneares. Segundo Brandt, cada cclo teratvo do esquema FAS é mas caro computaconalmente se comparado ao esquema CS devdo aos cálculos exgdos no esquema FAS. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do uso dos dferentes esquemas CS e FAS. Para este problema, verfcou-se que o esquema tem uma forte nfluênca da qualdade das nformações transferdas pela restrção e pela prolongação e, prncpalmente, pela transferênca de nformações a respeto do resíduo e da solução para as malas mas grossas. Entretanto, no presente trabalo verfcou-se que o número de cclos ou terações externas do esquema FAS é sgnfcatvamente menor do que o esquema CS. Por exemplo, para a equação de advecção-dfusão e para a mala de elementos, o número de cclos, ou terações externas (ITE), do MG-FAS(r = ) e MG-CS(r = ) é de 3 e 5, respectvamente.

89 Conclusão do capítulo 4 Neste capítulo foram resolvdos numercamente dos problemas: equações de Posson e advecção-dfusão undmensonas. Estas equações são lneares e elas representam problemas de transferênca de calor. Os esquemas numércos de aproxmação usados foram: CDS, UDS/CDS e CDS_CA/CDS. Foram descrtos e usados dos esquemas do método multgrd: esquemas CS (Correcton Sceme) e FAS (Full Approxmaton Sceme). Com base nos resultados deste capítulo, verfcou-se que:. Para os mesmos dados (ε, v e N), o esquema FAS é mas rápdo do que o esquema CS;. O número de terações nternas (ITI) afeta sgnfcatvamente o tempo de CPU para os esquemas CS e FAS. O esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca o ITI. Com o uso do esquema CS, ITI r, e com o uso do esquema FAS, ITI 3r ; 3. O número de níves de malas (L) afeta sgnfcatvamente o tempo de CPU para os esquemas CS e FAS. O esquema utlzado (CS ou FAS) não tem muta nfluênca no L. Para ambos os esquemas L Lmáxmo ; 4. Para os mesmos dados (ε, v e N), com L = Lmáxmo para cada N, entre as razões de engrossamento de malas testadas ( r =, 3, 4 e 5), o esquema CS é mas rápdo com r = ; já o esquema FAS é mas rápdo com r = 3; 5. O esquema FAS com razão de engrossamento r = 3 é aproxmadamente 4 vezes mas rápdo do que o esquema CS com razão de engrossamento r =. Recomendações prátcas: Com base nos resultados deste capítulo são fetas as seguntes recomendações aos usuáros do método multgrd para problemas guas ou smlares aos estudados. Problemas undmensonas lneares: Esquema: FAS; Razão de engrossamento: r = 3; Número de terações nternas: ITI = 9 ; Número de níves de malas: L = Lmáxmo.

90 90 5 Problema undmensonal não-lnear: equação de Burgers Neste capítulo descreve-se a segunda classe de problemas tratados neste trabalo, que é o problema undmensonal não-lnear. Neste caso estuda-se a equação de Burgers 4 (TANNEHILL et al., 997). Este capítulo está dvddo da segunte forma: prmeramente estuda-se o modelo matemátco com sua defnção e solução analítca. Em seguda estudam-se os modelos numércos com suas dscretzações. Fnalmente detalam-se os prncpas resultados numércos com os esquemas usados: esquema de correção (CS) e esquema de aproxmação completa (FAS), dados em Brggs et al. (000), como: terações nternas, nível de mala, razão de engrossamento, varação de tolerânca e estmatva ncal. 5. Modelo matemátco Tem-se a segur um modelo matemátco geral para problemas em regme permanente de escoamento de fludo ncompressível com termo fonte dado pela equação 4.. Consderando-se Φ = u (velocdade), S Φ o termo fonte de cada Φ com pelo menos o gradente de pressão r p, onde p é a pressão, e Γ = µ na a equação 4., obtém-se a equação da conservação da quantdade de movmento lnear na dreção coordenada x onde µ é a vscosdade do fludo. r r r r. ρ, (5.) ( u ) = ( µ u ) + SΦ u. Para o caso undmensonal com propredades constantes e sem gradente de pressão, consderando u = u, tem-se a segunte smplfcação da equação 5. ( u u) d d u Re = + S dx dx ou du d u Re = + S, (5.) dx dx 4 Apresentando ansotropa de coefcentes, ou seja, ansotropa físca, como defnda na seção 3.4 do capítulo 3.

91 onde x é a coordenada cartesana espacal, Φ é o termo fonte, ( ρ max ) µ S = S número admensonal de Reynolds (TANNEHILL et al., 997), 9 Re = U C é o U max é velocdade máxma de referênca e C é o comprmento do domíno. Neste texto, dá-se preferênca pela segunda notação, dada pela equação 5., onde se utlza u. Esta equação recebe o nome de equação de Burgers (TANNEHILL et al., 997). Neste capítulo serão consderadas as condções de contorno de Drclet num domíno undmensonal untáro, { x R : 0 x } resolvdo será, conforme a fgura 4., portanto o problema a ser du d u Re = + S, dx dx u ( 0) = 0, u( ) 0 < x <. (5.3) = Com a fnaldade de buscar-se uma solução analítca para o problema dado pela equação 5.3, usa-se a técnca de solução fabrcada (ROACHE, 998) para equações dferencas ordnáras não-lneares de segunda ordem com termo fonte. Nesta técnca, desgna-se uma solução desejada para a equação e busca-se o termo fonte para que tal solução desgnada seja de fato a solução do problema em questão. Esta técnca será descrta com mas detales e aplcada à equação 5.3 no apêndce B desta Tese. O número de Reynolds será um dado fxo, ou seja, Re = Modelos numércos Tem-se a segur um detalamento dos esquemas numércos a serem adotados neste capítulo para a equação undmensonal não-lnear estudada (equação de Burgers), além de suas soluções numércas. 5.. Dscretzação Como no capítulo anteror, o método numérco a ser utlzado será o método de dferenças fntas (BURDEN e FAIRES, 997; TANNEHILL et al., 997). A dscretzação do

92 domíno será desenvolvda, fazendo-se uso de malas estruturadas e unformes, ntroduzndo uma mala que se denota por Ω. Vamos detalar os esquemas numércos para o problema dado pela equação 5.3. Neste problema são utlzados dos esquemas dstntos: ) Prmero são utlzados o esquema Upwnd (UDS) para a dervada de prmera ordem (termo advectvo) e a dferença centrada (CDS) para a dervada de segunda ordem (termo dfusvo). O esquema UDS/CDS pode ser vsto em Tannell et al. (997). Para cada um dos N pontos nterores da mala, a equação resultante é 9 v Re v v = v v = 0; + v v + N + + S, = N, (5.4) onde v é uma aproxmação (solução numérca) para a solução exata ( ) ( ) S = S. x A lnearzação da equação 5.4, como em Ferzger e Perc (999), é da forma u e x v v Re * v * v v = v = 0; v v + v N + + = + S, N, (5.5) onde v v v e o índce * denota valores que são obtdos da teração anteror. * Rearranjando os termos da equação 5.5, obtém-se a forma geral lnearzada dada pela equação 4.7, onde os coefcentes são dados por a p * Rev = +, (5.6 a) a w * Rev = +, (5.6 b)

93 93 a e =, (5.6 c) p S b =. (5.7) ) Após são utlzadas a dferença centrada com correção adada (CDS_CA) para a dervada de prmera ordem (termo advectvo) e dferença centrada (CDS) para a dervada de segunda ordem (termo dfusvo). O esquema CDS_CA/CDS pode ser vsto em Llek et al. (997). Para cada um dos N pontos nterores da mala, a equação resultante é = = + + = ;, * N v v N S v v v v v v v v Re β, (5.8) onde 0 β e o índce * denota valores que são obtdos da teração anteror. A lnearzação da equação 5.8, como em Ferzger e Perc (999), é da forma = = + + = ;, * * * N v v N S v v v v v v v v v v Re β, (5.9) onde v v v * e o índce * denota valores que são obtdos da teração anteror, como já descrto anterormente. Rearranjando os termos da equação 5.9, obtém-se a forma geral dada pela equação 4.7, onde os coefcentes são dados pelas equações 5.6 a, b, c e * + = + v v v Re S b p β. (5.0)

94 Note que para β = 0 tem-se o esquema UDS/CDS e para β = tem-se o CDS_CA/CDS. 94 Se v e f são denotados por v ) t = ( v,..., v N + e f ) t = ( f,..., f N +, respectvamente, então os sstemas dados pelas equações 5.5 e 5.9, podem ser representados pelo sstema de equações algébrcas do tpo dado pela equação 4.5. Como já fo dto no capítulo 4, esta equação 4.5 (sstema de equações algébrcas) é resolvda com o método dreto TDMA, para obter-se nformações sobre a performance do método neste tpo de problema. Resolve-se também este problema, apenas na mala mas fna, com o método snglegrd (SG) de Gauss-Sedel. No caso do método multgrd, os sstemas de equações são resolvdos com o método de Gauss-Sedel a cada nível de mala. Estes métodos foram descrtos no apêndce A desta Tese. 5.3 Resultados numércos com o esquema de correção (CS) De acordo com a defnção dada pela equação 4.6a, pode-se defnr os seguntes engrossamentos que foram usados nesta seção: engrossamento padrão, ou seja, r = e alguns engrossamentos fortes, ou seja, (, ) r, usando-se razões puras da forma r = p q, onde q =, tas como: r = 3, r = 4 e r = 5. Um pouco mas de 00 smulações foram realzadas com outras varantes, como: número de ncógntas (elementos) do problema (N), número de terações nternas (ITI), número de níves de malas (L), tolerâncas (ε ) e estmatvas ncas ( v ). Somente alguns destes testes são apresentados nesta seção, pos são os testes mas representatvos, sufcentes para mostrar qualtatvamente o desempeno do método multgrd. A tabela 4. mostra as razões de engrossamento e alguns N mínmos e máxmos utlzados nos dversos testes para a equação de Burgers Iteração nterna No capítulo anteror, analsaram-se os resultados numércos com relação ao parâmetro terações nternas com os esquemas de correção (CS) e de aproxmação completa (FAS) para as equações de dfusão e de advecção-dfusão. Concluu-se que ITI = r é o recomendado para o esquema CS e ITI = 3r para o esquema FAS, onde r é a razão de engrossamento pura.

95 Aqu se analsam os resultados numércos com relação a este mesmo parâmetro com o esquema CS para a equação de Burgers. A fgura 5. mostra a nfluênca do número de terações nternas (ITI) sobre o tempo de CPU para a equação de Burgers para o esquema CS e esquema numérco UDS/CDS. Esta fgura mostra também o número de terações nternas ( ITI 95 ) para dversas razões de engrossamento para um número fxo de elementos da mala mas fna (N) do problema. Podese notar que os valores de N da tabela 4., e que são utlzados por este gráfco, são dstntos entre s. Esta fgura serve apenas para mostrar o efeto qualtatvo da varação do número de terações nternas. Nota-se anda que o número de terações nternas afeta o tempo de CPU e que ITI r para a maora das razões estudadas. Fgura 5.: Tempo de CPU versus ITI para a equação de Burgers com o esquema CS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Nota-se que para todas as razões estudadas, uma dmnução sensível do número de terações nternas, relatvamente ao ponto mínmo, aumenta drastcamente o tempo de CPU, podendo até mesmo ocorrer dvergênca. Por outro lado, o aumento pequeno do número de terações nternas, relatvamente ao ponto mínmo, aumenta pouco o tempo de CPU. Portanto

96 96 recomenda-se utlzar ITI ótmo = r para as razões puras; por exemplo, para r =, recomenda-se ITI = 4 para o problema em questão. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do número de terações nternas para as dversas razões de engrossamento para o esquema CS. Para este problema (equação de Burgers), como no capítulo 4, verfcou-se que o número de terações nternas tem uma forte nfluênca do número de vezes que o método de Gauss-Sedel necessta para atualzar o resíduo em todo o domíno undmensonal Nível de mala No capítulo anteror, analsaram-se os resultados numércos com relação ao parâmetro número de níves com os esquemas de correção (CS) e de aproxmação completa (FAS) para as equações de dfusão e de advecção-dfusão. Concluu-se que L = L é o recomendado, tanto para o esquema CS, como para o esquema FAS, onde L máxmo é o número máxmo de níves. Aqu se analsam os resultados numércos com relação a este mesmo parâmetro com o esquema CS para a equação de Burgers. A fgura 5. mostra a nfluênca do número de níves (L) sobre o tempo de CPU para a equação de Burgers. Esta fgura mostra também o número de níves ( L ) para dversas razões de engrossamento para um número fxo de elementos da mala mas fna (N) do problema. Pode-se notar que os valores de N da tabela 4., e que são utlzados por este gráfco, são dstntos entre s. Esta fgura serve apenas mostrar o efeto qualtatvo da varação do número de níves. Nota-se anda que o número de níves pode afetar sgnfcatvamente o tempo de CPU com o uso do esquema CS e que máxmo máxmo L L para todas as razões estudadas. Este resultado é smlar aos resultados de Tannell et al. (997), no caso da equação de Laplace bdmensonal (caso lnear); e Mesquta e De-Lemos (004), no caso da equação de Naver-Stokes compressível bdmensonal (caso não-lnear), ambos para o caso onde r =. Nota-se que, em geral o tempo de CPU tem uma taxa de decréscmo bastante acentuada até atngr os seus mínmos e, após estes pontos, a taxa de crescmento é bem menor até atngrem L máxmo. Portanto recomenda-se utlzar L = Lmáxmo para as razões puras; por exemplo, para r = e N = 0 = , recomenda-se usar L = 0, que é exatamente o L máxmo.

97 97 Fgura 5.: Tempo de CPU versus L para a equação de Burgers com o esquema CS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do número de níves para as dversas razões de engrossamento com o uso do esquema CS. Como no capítulo anteror, para este problema (equação de Burgers), verfcou-se que o número de níves tem uma forte nfluênca da velocdade com que é resolvdo o problema em uma quantdade maor de malas sucessvamente mas grossas, ou seja, malas com uma quantdade menor de elementos Razão de engrossamento No capítulo anteror, analsaram-se os resultados numércos com relação ao parâmetro razão de engrossamento (r) com os esquemas de correção (CS) e de aproxmação completa (FAS) para as equações de dfusão e de advecção-dfusão. Concluu-se que r = é o recomendado para o esquema CS e r = 3 é o recomendado para o esquema FAS. Aqu se analsam os resultados numércos com relação a este mesmo parâmetro com o esquema CS para a equação de Burgers.

98 98 Nas smulações a segur, consderem-se razões de engrossamentos fortes usando-se razões puras dada pela equação 4.6a. A fgura 5.3 mostra as dversas razões de engrossamento para o método multgrd e também uma comparação entre os métodos snglegrd Gauss-Sedel e TDMA em função de dversos N (número de elementos da mala mas fna) para a equação estudada. Como fo dto no capítulo anteror, o método dreto TDMA é utlzado apenas para efeto de comparação. Fgura 5.3: Tempo de CPU versus N para a equação de Burgers com o esquema CS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS Pode-se notar que o método TDMA é o mas efcente de todos os métodos testados para o problema. Ele é segudo pelos métodos multgrd e fnalmente pelo método de Gauss- Sedel. Portanto, para o problema undmensonal testado, recomenda-se o uso do método dreto TDMA. Entretanto o objetvo nesta seção (esquema CS) e na próxma (esquema FAS) é verfcar o efeto dos parâmetros do método multgrd geométrco no tempo de CPU com os dferentes esquemas (CS e FAS) em problemas undmensonas não-lneares a fm de se obter nformação para outros problemas que serão tratados nos capítulos seguntes.

99 Para os mesmos ε, v e N, com as razões de engrossamento testadas e o método multgrd com o uso do esquema CS, pode-se perceber que para o problema testado, tem-se o conjunto de desgualdades dado pela equação 4.3. Portanto, no caso do método multgrd com o uso do esquema CS, recomenda-se o uso da razão r = para a equação em questão. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função das dversas razões de engrossamento. Para este problema (equação de Burgers), verfcou-se que a razão ótma tem uma forte nfluênca de dos prncpas aspectos: a razão de queda do número de elementos de uma mala para a outra mala medatamente mas grossa e a qualdade das nformações (resíduos) passadas pela restrção e pela prolongação Tolerânca e estmatva ncal Nesta seção estudam-se também casos com varações tanto da tolerânca ε como da estmatva ncal v. Para a varação da tolerânca, estudam-se os casos onde ε = 0 4 e ε =0 0, além de ε = 0 7 usado nos resultados anterores. Os resultados dos estudos do número de terações nternas sofreram pouca varação sobre o tempo de CPU: cerca de 0,5% ao se adotar ITI = r. Como para o problema de advecção-dfusão dado no capítulo anteror, para a varação da estmatva ncal, estudam-se os casos onde v = ( 0,,...,,) e v = ( 0,,...,) ( 0,0,...,), além de v = usado nos resultados anterores, devdo ao fato de se ter a mesma solução analítca. Os resultados dos estudos do número de terações nternas sofreram uma varação sobre o tempo de CPU um pouco mas substancal: cerca de 5,75% ao se adotar ITI = r. Em relação ao número de níves, ao se adotar L = L, a maor varação máxmo encontrada fo de 6,33%, ndependentemente de se estar varando a tolerânca ou a estmatva ncal. Isto mostra que o ITI é fracamente dependente da tolerânca ε e fortemente dependente da estmatva ncal v e L é fracamente dependente da tolerânca e estmatva ncal. Conclu-se que se pode utlzar ITI = r e L = Lmáxmo para a equação de Burgers com o uso do esquema CS.

100 Resultados numércos com o esquema de aproxmação completa (FAS) De acordo com a defnção dada pela equação 4.6a, pode-se defnr os seguntes engrossamentos que foram usados nesta seção: r =, r = 3, r = 4 e r = 5 para o esquema UDS/CDS, e r = e r = 3 para o esquema CDS_CA/CDS. Estes engrossamentos foram utlzados por terem apresentado boas característcas no que dz respeto à mnmzação do tempo de CPU quando se utlzou o esquema UDS/CDS na seção anteror. Um pouco mas de 500 smulações foram realzadas com outras varantes, como: número de ncógntas (elementos) do problema (N), número de terações nternas (ITI), número de níves de malas (L), tolerâncas (ε ) e estmatvas ncas (v). Somente alguns destes testes são apresentados nesta seção, pos são os testes mas representatvos, sufcentes para mostrar qualtatvamente o desempeno do método multgrd. A tabela 4. mostra as razões de engrossamento e algumas dmensões mínmas e máxmas utlzadas nos dversos testes para a equação de Burgers. Nas fguras 5.4 e 5.5 têm-se as soluções analítca e numérca para a equação de Burgers dada pela equação 5.3, usando-se os esquemas numércos UDS/CDS e CDS_CA/CDS, dados pelas equações 5.5 e 5.9, respectvamente. Fgura 5.4: Soluções analítca e numércas para N = 3 com esquema FAS e esquema numérco UDS/CDS para a equação de Burgers

101 0 Fgura 5.5: Soluções analítca e numércas para N = 3 com esquema FAS e esquema numérco CDS_CA/CDS para a equação de Burgers A solução analítca é comparada com as soluções numércas usando-se o método multgrd com a razão de engrossamento r = para ambos os esquemas numércos. Estpulou-se que as soluções numércas deveram atngr erro de máquna, elmnando-se assm o erro de teração. Estpulou-se anda o uso dos métodos de dscretzação UDS/CDS e CDS_CA/CDS, que são métodos de prmera e de segunda ordem, respectvamente (VERSTEEG e MALALASEKERA, 995). Pode-se perceber vsualmente com sto, que as soluções numércas va métodos teratvos (comparando os esquemas numércos UDS/CDS e CDS_CA/CDS, dados pelas fguras 5.4 e 5.5, respectvamente) não são concdentes, sendo que, a solução que usa o esquema CDS_CA/CDS é a mas precsa por ser um esquema numérco de segunda ordem Iteração nterna No capítulo anteror, analsaram-se os resultados numércos com relação ao parâmetro terações nternas com os esquemas de correção (CS) e de aproxmação completa (FAS) para as equações de dfusão e de advecção-dfusão. Concluu-se que ITI = r é o recomendado para o esquema CS e ITI = 3r para o esquema FAS. Aqu, se analsam os resultados numércos com relação a este mesmo parâmetro com o esquema FAS para a equação de Burgers.

102 Através da fgura 5. concluu-se que o número de terações nternas (ITI) nfluenca o tempo de CPU para a equação de Burgers com o uso do esquema CS. As fguras 5.6 e 5.7 mostram a nfluênca de ITI sobre o tempo de CPU para a equação de Burgers com o uso do esquema FAS para os esquemas numércos UDS/CDS e CDS_CA/CDS, respectvamente. Estas fguras mostram também que ITI 3r. Nota-se que, para todas as razões estudadas, uma dmnução sensível do número de terações nternas, relatvamente ao ponto mínmo, aumenta drastcamente o tempo de CPU, podendo até mesmo ocorrer dvergênca. Por outro lado, o aumento pequeno do número de terações nternas, relatvamente ao ponto mínmo, aumenta sensvelmente o tempo de CPU. Portanto recomenda-se utlzar recomenda-se ITI = 6. 0 ITI = 3r para as razões puras; por exemplo, para r =, Para a equação de Burgers estudada na seção anteror, verfcou-se esquema CS. Aqu, para o mesmo problema, verfcou-se ITI = r para o ITI = 3r para o esquema FAS. Pode-se conclur que o esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca o número de terações nternas para o método multgrd. Fgura 5.6: Tempo de CPU versus ITI para a equação de Burgers com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS

103 03 Fgura 5.7: Tempo de CPU versus ITI para a equação de Burgers com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco CDS_CA/CDS Para os problemas lneares undmensonas do capítulo anteror, verfcou-se para o esquema CS e ITI = r ITI = 3r para o esquema FAS. Aqu, para problema não-lnear undmensonal, verfcaram-se os mesmos resultados tanto para o esquema CS, como para o esquema FAS. Pode-se conclur que o esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca gualmente os problemas lneares e não-lnear estudados no que dz respeto ao número de terações nternas. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do número de terações nternas para as dversas razões de engrossamento para o esquema FAS. Para este problema (equação de Burgers), verfcou-se que o número de terações nternas tena uma forte nfluênca do número de vezes que o método de Gauss-Sedel necessta para atualzar o resíduo e a solução em todo o domíno undmensonal Nível de mala No capítulo anteror, analsaram-se os resultados numércos com relação ao parâmetro número de níves com os esquemas de correção (CS) e de aproxmação completa (FAS) para

104 as equações de dfusão e de advecção-dfusão. Concluu-se que máxmo 04 L = L é o recomendado para os esquemas CS e FAS. Aqu, se analsam os resultados numércos com relação a este mesmo parâmetro com o esquema FAS para a equação de Burgers. Através da fgura 5., concluu-se que o número de níves nfluenca o tempo de CPU para o esquema CS. As fguras 5.8 e 5.9 mostram a nfluênca de L sobre o tempo de CPU para a equação de Burgers usando-se os esquemas numércos UDS/CDS e CDS_CA/CDS, respectvamente. Pode-se notar que o número de níves pode afetar sgnfcatvamente o tempo de CPU e que L L para todas as razões estudadas. máxmo Nota-se que, em geral, o tempo de CPU tem uma taxa de decréscmo bastante acentuada até atngr os seus mínmos e, após estes pontos, a taxa de crescmento é bem menor até atngrem L máxmo. Portanto recomenda-se utlzar L = Lmáxmo para as razões puras. Fgura 5.8: Tempo de CPU versus L para a equação de Burgers com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco UDS/CDS L = Para os problemas lneares undmensonas do capítulo anteror, verfcou-se L máxmo, tanto para o esquema CS como para o esquema FAS. Aqu, para problema nãolnear undmensonal, também se verfcou L = Lmáxmo para os dos esquemas (CS e FAS).

105 Pode-se conclur que o algortmo utlzado (CS ou FAS) não nfluenca o número de níves para o método multgrd. 05 Fgura 5.9: Tempo de CPU versus L para a equação de Burgers com o esquema FAS, dversos r e com o esquema numérco CDS_CA/CDS Para os problemas lneares undmensonas do capítulo anteror, verfcou-se L = L máxmo para os esquemas CS e FAS. Aqu, para problema não-lnear undmensonal, se verfcou L = Lmáxmo para o esquema FAS. Pode-se conclur que o esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca gualmente os problemas lneares e não-lnear estudados no que dz respeto ao número de níves. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do número de níves para as dversas razões de engrossamento. Para este problema (equação de Burgers), verfcou-se que o número de níves tem uma forte nfluênca da velocdade com que é resolvdo o problema em uma quantdade maor de malas sucessvamente mas grossas, ou seja, malas com uma quantdade de pontos menor Razão de engrossamento No capítulo anteror, analsaram-se os resultados numércos com relação ao parâmetro razão de engrossamento com os esquemas de correção (CS) e de aproxmação completa

106 (FAS) para as equações de dfusão e de advecção-dfusão. Concluu-se que r = é o recomendado para o esquema CS e r = 3 para o esquema FAS, onde r é a razão de engrossamento. Aqu se analsam os resultados numércos com relação a este mesmo parâmetro com o uso do esquema FAS para a equação de Burgers. As fguras 5.0 e 5. mostram o tempo de CPU para as razões de engrossamento consderadas para o método multgrd e também uma comparação entre métodos snglegrd Gauss-Sedel e TDMA em função de dversos N para a equação de Burgers com o esquema FAS e usando os esquemas numércos UDS/CDS e CDS_CA/CDS, respectvamente. As fguras 5. e 5.3 mostram detales das fguras 5.0 e 5. para facltar a vsualzação das curvas referentes às razões de engrossamento testadas nos métodos multgrd. Pode-se notar novamente que o método TDMA é o mas efcente dos métodos testados para ambos os esquemas numércos. Ele é segudo pelos métodos multgrd e pelo método de Gauss-Sedel. Para os mesmos ε, v e N, com as razões de engrossamento testadas para o método multgrd FAS, pode-se perceber que para a equação estudada, para a maora dos pontos do domíno em estudo, tem-se para o esquema UDS/CDS 06 ( r = 3 ) < t ( r = 4) < t ( r = ) < t ( r = 5) tcpu CPU CPU CPU, (5.) e para o esquema CDS_CA/CDS ( r = 3 ) < t ( r = ) tcpu CPU. (5.) Portanto, no caso do método multgrd com o uso do esquema FAS, recomenda-se o uso da razão r = 3 para ambos os esquemas numércos para a equação em questão. Esta constatação é nédta e nesperada, além de mostrar que a razão r = perde a egemona perante outras razões. Entretanto, Brandt (977) em seu trabalo fez análses entre as razões de engrossamento r =, r = 3 e r = 3 para dversos problemas (mas não especfcamente a equação 5.3) e constatou que a razão r = é a recomendável. Brggs et al. (000) afrmam que r, em geral, não traz vantagens, sem especfcar para quas problemas ou classes de problemas.

107 07 Fgura 5.0: Tempo de CPU versus N para a equação de Burgers com o esquema FAS, dversos r, com o esquema numérco UDS/CDS e para dversos métodos Fgura 5.: Detale da fgura 5.0

108 08 Fgura 5.: Tempo de CPU versus N para a equação de Burgers com o esquema FAS, r = e = 3 com o esquema numérco CDS_CA/CDS e para dversos métodos r, Fgura 5.3: Detale da fgura 5.

109 09 Para os problemas lneares undmensonas do capítulo anteror, verfcou-se que r = é a melor razão de engrossamento para o esquema CS e r = 3 para o esquema FAS. Aqu, para o problema não-lnear undmensonal estudado, verfcaram-se os mesmos resultados tanto para o esquema CS, como para o esquema FAS. Pode-se conclur que o esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca gualmente os problemas lneares e não-lnear estudados no que dz respeto à razão de engrossamento ótma. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função das dversas razões de engrossamento e com o uso do algortmo FAS. Para este problema (equação de Burgers), verfcou-se que a razão ótma tem uma forte nfluênca dos seguntes aspectos: a razão de queda do número de pontos de uma mala para a outra mala medatamente mas grossa, a qualdade das nformações transferdas pela restrção e pela prolongação e, prncpalmente, o uso do algortmo FAS, que transfere nformações a respeto do resíduo e da solução para as demas malas mas grossas Tolerânca e estmatva ncal No capítulo anteror, analsaram-se os resultados numércos com relação à varação da tolerânca e da estmatva ncal com os esquemas de correção (CS) e esquema de aproxmação completa (FAS) para as equações de dfusão e de advecção-dfusão. Aqu, se analsam os resultados numércos com relação a estes mesmos parâmetros com o uso do esquema FAS para a equação de Burgers. Nesta seção estudam-se também casos com varações tanto da tolerânca ε como da estmatva ncal v, como na seção anteror. Para a varação da tolerânca, os resultados dos estudos do número de terações nternas sofreram uma varação substancal sobre o tempo de CPU: cerca de 6,7% ao se adotar ITI = 3r. Para a varação da estmatva ncal, estudam-se os casos onde = ( 0,,...,,) v = ( 0,,...,), além de = ( 0,0,...,) v e v usado nos resultados anterores. Os resultados dos estudos do número de terações nternas sofreram uma varação sobre o tempo de CPU um pouco mas substancal: de 0 à 7,04% ao se adotar ITI = 3r. Em relação ao número de níves, ao se adotar L = L, a maor varação máxmo encontrada fo de 0,65%, ndependentemente de se estar varando a tolerânca ou a estmatva ncal.

110 A tabela 5. mostra em suas colunas o estudo referente ao 0 ITI, L e t CPU para as razões de engrossamento r = (com N = e L = 0 ) e r = 3 (com N =.06.8 e L = 3 ), para problemas varando a tolerânca ε e consderando máxmo prmeramente a estmatva ncal fxa. Neste caso, adotou-se a estmatva ncal padrão ( 0,0,...,) v = usando-se o esquema numérco UDS/CDS. máxmo Tabela 5.: Varação de parâmetros de acordo com a varação da tolerânca no esquema UDS/CDS ITI t CPU L t CPU ε r = r = 3 r = r = 3 r = r = 3 r = r = ,8 6,6 0 6,80 6, ,30 9,7 8 0,30 9, ,94 4, ,94 4,38 A tabela 5. mostra em suas colunas, o estudo referente ao ITI, L e t CPU para as razões de engrossamento r = (com N = e L = 0 ) e r = 3 (com N =.06.8 e L = 3 ), para problemas varando as estmatvas ncas e máxmo máxmo consderando agora a tolerânca fxa. Neste caso, adotou-se a tolerânca padrão usando-se o esquema numérco UDS/CDS. ε = 0 7 Tabela 5.: Varação de parâmetros de acordo com a varação da estmatva ncal no esquema UDS/CDS ITI t CPU L t CPU v r = r = 3 r = r = 3 r = r = 3 r = r = 3 v = 0,0,..., 6 8,30 9,7 0,30 9,6 ( ) ( 0,,...,,) = ( 0,,...,) v = 6 9,3 9,50 0 0,3 9,48 v 7 0,7 9,80 0 3,7 9,80 Isto mostra que, como na seção anteror, ITI é fracamente dependente da tolerânca e fortemente dependente da estmatva ncal e L é fracamente dependente da tolerânca e estmatva ncal. Conclu-se que se pode utlzar ITI = 3r e L = Lmáxmo para a equação de Burgers com o uso do esquema FAS. Pode-se conclur que o esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca gualmente os problemas lneares e não-lnear estudados no que dz respeto à tolerânca e estmatva ncal.

111 5.5 Esquema de correção (CS) versus esquema de aproxmação completa (FAS) Usando-se as fguras 5.3 e 5.0 para uma comparação entre os esquemas multgrd CS e FAS para as razões de engrossamento r = e r = 3, pode-se notar que o esquema FAS é mas rápdo do que o esquema CS em qualquer N para as duas razões analsadas. Por exemplo, para a mala de elementos o tempo de CPU do MG-FAS(r = ) e MG- CS(r = ) é de 47.5 s e 4.47 s, respectvamente, ou seja, o MG-FAS(r = ) é cerca e 3 vezes mas rápdo do que o MG-CS(r = ). Outro exemplo, para a mala de elementos o tempo de CPU do MG-FAS(r = 3) e MG-CS(r = 3) é de 8.9 s e s, respectvamente, ou seja, o MG-FAS(r = 3) é cerca e 5 vezes mas rápdo do que o MG- CS( r = 3). Na fgura 5.4 se faz uma comparação entre os esquemas multgrd CS (com a melor razão de engrossamento, r = ) e FAS (com a melor razão de engrossamento, r = 3) em função de dversos valores de N. Pode-se notar que o esquema FAS é mas rápdo do que o CS em qualquer N. Fgura 5.4: Tempo de CPU versus N para a equação de Burgers com os esquemas CS e FAS, r = e r = 3 e com o esquema numérco UDS/CDS

112 Usando-se ajuste geométrco de curvas, o tempo de CPU do MG-FAS( r = 3) pode ser aproxmado por t CPU 6,0 = 8,79x0 N e MG-CS( r = ) pode ser aproxmado por t CPU 5,03 =,60x0 N. Pode-se notar que o esquema MG-FAS( r = 3) é mas rápdo do que o esquema MG- CS( r = ) em qualquer N. Por exemplo, para a mala de 5 0 elementos o tempo de CPU do MG-FAS( r = 3) e MG-CS( r = ) é de 0.97 s e 3,78 s, respectvamente, ou seja, o MG- FAS( r = 3) é cerca de 4,0 vezes mas rápdo do que o MG-CS( r = ). Outro exemplo, para a 6 mala de 0 elementos o tempo de CPU do MG-FAS( r = 3) e MG-CS( r = ) é de 9,9 s e 40,69 s, respectvamente, ou seja, o MG-FAS( r = 3) é cerca de 4, vezes mas rápdo do que o MG-CS( r = ). Portanto, recomenda-se o uso do esquema FAS com a razão r = 3 para a equação de Burgers. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do uso dos dferentes esquemas CS e FAS. Para este problema, verfcou-se que o esquema tem uma forte nfluênca da qualdade das nformações transferdas pela restrção e pela prolongação e, prncpalmente, pela transferênca de nformações a respeto do resíduo e da solução para as malas mas grossas. Entretanto, no presente trabalo verfcou-se que o número de cclos ou terações externas do esquema FAS é sgnfcatvamente menor do que o esquema CS. Por exemplo, para a equação de Burgers e para a mala de elementos, o número de cclos ou terações externas (ITE) do MG-FAS(r = ) e MG-CS(r = ) é de 3 e, respectvamente. 5.6 Conclusão do capítulo 5 Neste capítulo fo resolvdo numercamente um problema: equação de Burgers undmensonal. Esta equação é não-lnear e ela representa o problema de escoamento de fludo. Os esquemas numércos de aproxmação usados foram: UDS/CDS e CDS_CA/CDS. Foram usados dos esquemas do método multgrd: esquemas CS (Correcton Sceme) e FAS (Full Approxmaton Sceme). Com base nos resultados deste capítulo, verfcou-se que:. Para os mesmos dados (ε, v e N), o esquema FAS é mas rápdo do que o esquema CS;. O número de terações nternas (ITI) afeta sgnfcatvamente o tempo de CPU para os esquemas CS e FAS. O esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca o

113 3 ITI. Para o uso do esquema CS, ITI r, e o uso do esquema FAS, ITI 3r ; 3. O número de níves de malas (L) afeta sgnfcatvamente o tempo de CPU para os esquemas CS e FAS. O esquema utlzado (CS ou FAS) não tem muta nfluênca no L. Para ambos os esquemas L Lmáxmo ; 4. Para os mesmos dados (ε, v e N), com L = Lmáxmo para cada N, entre as razões de engrossamento de malas testadas ( r =, 3, 4 e 5), o esquema CS é mas rápdo com r = ; já o esquema FAS é mas rápdo com r = 3; 5. O esquema FAS com razão de engrossamento r = 3 é aproxmadamente 4 vezes mas rápdo do que o esquema CS com razão de engrossamento r = ; 6. O comportamento qualtatvo dos parâmetros estudados do método multgrd é dêntco para os problemas lneares do capítulo anteror e o problema nãolnear deste capítulo. Recomendações prátcas: Com base nos resultados deste capítulo são fetas as seguntes recomendações aos usuáros do método multgrd para problemas guas ou smlares ao estudado. Problemas undmensonas não-lneares: Esquema: FAS; Razão de engrossamento: r = 3; Número de terações nternas: ITI = 9 ; Número de níves de malas: L = Lmáxmo.

114 6 Problema bdmensonal lnear sotrópco: equação de Laplace 4 Neste capítulo descreve-se a tercera classe de problemas tratados neste trabalo, que é o problema bdmensonal lnear em malas sotrópcas 5. Neste caso estuda-se a equação de Laplace (TANNEHILL et al., 997). Este capítulo está dvddo da segunte forma: prmeramente estuda-se o modelo matemátco com sua defnção e solução analítca. Em seguda estuda-se o modelo numérco com sua dscretzação. A segur detalam-se os prncpas resultados numércos com os algortmos multgrd usados: esquema de correção (CS) e esquema de aproxmação completa (FAS), ambos dados em Brggs et al. (000), terações nternas, níves de mala, razão de engrossamento e solvers. Fnalmente, faz-se uma comparação entre os esquemas CS e FAS. 6. Modelo matemátco Tem-se a segur um modelo matemátco geral para problemas em regme permanente de advecção-dfusão com termo fonte dado pela equação 4.. Como no capítulo 4, consderando Φ = T (temperatura), S = q& Φ (geração de calor) e Γ = κ c p na equação 4., obtém-se a equação da conservação da energa dada pela equação 4.. Para o caso bdmensonal, com propredades constantes e não avendo escoamento, ou seja, velocdade constante u r = 0, tem-se a segunte smplfcação da equação 4.: T x T + y q& + = 0, κ ou anda, T x T + y + f ( x) = 0, (6.) 5 Isotropa de mala, ou seja, sotropa geométrca, como defnda na seção 3.4 do capítulo 3.

115 onde x e y são as coordenadas cartesanas espacas e f ( x) é o termo fonte. Esta equação recebe o nome de equação de dfusão e é conecda também como equação de Posson (TANNEHILL et al., 997). Se f ( x) = 0 5, ela é conecda como equação de Laplace (TANNEHILL et al., 997). Neste trabalo serão consderadas condções de contorno de Drclet num domíno bdmensonal untáro, (, y) { R : 0 x, y } x, conforme a fgura 6.. Fgura 6.: Domíno bdmensonal de cálculo para a equação de Laplace Portanto o problema lnear de condução de calor bdmensonal (equação de Laplace) com condções de contorno de Drclet, em coordenadas cartesanas, consderado neste e no próxmo capítulo é (Malska, 004) T T x T + y = 0, 0 < ( x, y) < ( x,0) = T ( 0, y) = T (, y) = 0, T ( x,) = sen( π x). (6.) Com a fnaldade de buscar-se uma solução analítca para o problema dado pela equação 6., usa-se a técnca de solução por separação de varáves para as equações dferencas parcas elíptcas (GREENBERG, 998). Esta técnca está descrta no apêndce B desta Tese.

116 6 6. Modelo numérco Tem-se a segur um detalamento do esquema numérco a ser adotado neste capítulo para a equação bdmensonal lnear estudada (equação de Laplace). 6.. Dscretzação Como nos capítulos anterores, o método numérco a ser utlzado será o método de dferenças fntas (BURDEN e FAIRES, 997; TANNEHILL et al., 997). A dscretzação do domíno será desenvolvda fazendo-se uso de malas estruturadas e unformes, onde o domíno (, y) { R : 0 x, y } x é partconado em subconjuntos através de um número de ncógntas (ou número de pontos) dado por N = N x N y, onde N x e N y são os números de pontos nas dreções coordenadas x e y, respectvamente. Como vsto na seção., sto ntroduz uma mala, conforme a fgura 6., com os pontos ( x y ) ( ),( j ) = ( ), com, j x y x = e N x y =, (6.3) N y onde,..., = N x, j,..., N y = e x e y são os comprmentos de cada elemento nas dreções coordenadas x e y, respectvamente. Fgura 6.: Mala D unforme

117 x y 7 Neste caso, estabelece-se uma mala com elementos de tamano por que se denota por Ω, com razão de aspecto (RA) defnda nas seções. e 3.4 e dada novamente neste capítulo por questões ddátcas x RA =. (6.4) y Se RA =, o problema cama-se sotrópco; caso contráro, ansotrópco 6 (Brggs et al., 000; Dendy et al., 989). Neste capítulo trata-se apenas de problemas sotrópcos. Problemas ansotrópcos com 0 < RA << ou RA >> serão tratados no próxmo capítulo. Vamos detalar o esquema numérco para o problema dado pela equação 6.. Neste esquema numérco é utlzada a dferença centrada (CDS) para a dervada de segunda ordem (termo dfusvo). O esquema CDS pode ser vsto em Tannell et al. (997). Para cada um dos ( ) x ( N ) N pontos nterores da mala, a equação 6. resulta em x y v, j v, j + v+, j v, j v, j + v, j+ + x v, = v, j y = v N x, = 0, = 0, v, N y N = sen x, ( π x ), N y j N y,(6.5) onde v, é uma aproxmação (solução numérca) para a solução exata ( ) j T x, y j. Rearranjando os termos da equação 6.5, obtém-se a forma geral a v = a v + a v + a v + a v + b, (6.6) p P n N s S e E w W p onde os coefcentes são dados por a p = +, (6.7 a) x y a n = as =, (6.7 b) y 6 Isotropa geométrca.

118 x 8 a e = aw =, (6.7 c) b = 0. (6.8) p Se v e f são denotados por v ) t = ( v,..., v N e f ) t = ( f,..., f N, respectvamente, onde f é o vetor ndependente formado pelos termos b p e v é o vetor de ncógntas, então o sstema dado pela equação 6.5, pode ser representado por um sstema de equações algébrcas do tpo da equação 4.5, onde A é uma matrz pentadagonal N por N, smétrca e defnda postva (Brggs et al., 000; Burden e Fares, 997). A equação 4.5 é resolvda com o método multgrd fazendo-se uso dos dos esquemas (CS e FAS) ctados no capítulo 4. Neste caso, os sstemas de equações do tpo da equação 4.5, onde f agora representa o termo fonte (resíduo ou solução aproxmada) a cada nível de mala, são resolvdos com os solvers Gauss-Sedel (GS), MSI (descrtos no apêndce A) e ADI. Resolve-se também este problema na mala mas fna, usando-se o método padrão de mala únca, aqu camado de método snglegrd: GS, MSI e ADI. 6.3 Resultados numércos com o esquema de correção (CS) Neste e no próxmo capítulo, os operadores de transferênca entre malas de restrção e prolongação, são dados respectvamente pelas equações 3.a e 3.6a. Os seguntes engrossamentos foram usados nesta seção: r =, 3, 4 e 5. Estes engrossamentos foram utlzados por terem apresentado boas característcas no que dz respeto à mnmzação do tempo de CPU para os problemas undmensonas (lneares e nãolnear), apresentados nos capítulos anterores e para os dos esquemas (CS e FAS). Um pouco mas de 300 smulações foram realzadas com as seguntes varantes: número de ncógntas (nós) da mala mas fna (N), número de terações nternas (ITI), número de níves de malas (L), solvers (GS, MSI e ADI) e razão de engrossamento (r). São apresentados nesta seção os resultados mas representatvos, sufcentes para mostrar qualtatvamente o desempeno do método multgrd. A tabela 6. mostra alguns valores de N, mínmos e máxmos nos dversos testes para os esquemas CS e FAS.

119 9 Tabela 6.: Algumas malas para cada uma das razões testadas para os esquemas CS e FAS r N mínmo N máxmo SG 3x3 = 9 53x53 = x3 = 9 049x049 = x3 = 9 459x459 = x3 = 9 049x049 = x3 = 9 5x5 = nfnto ( Na tabela 6. a solução analítca é comparada com a solução numérca va norma. ) para as dversas razões de engrossamento para os métodos multgrd e para o método snglegrd. Onde a norma vetoral questão ddátca., defnda na seção., é repetda aqu por e max e, = N onde e é a -ésma coordenada do vetor e. Tabela 6.: Norma nfnto do erro para as malas mas fnas para cada uma das razões testadas com o solver MSI para o esquema CS r N T analtca T numérca SG 53x53 = ,0x0 049x049 = ,70x x459 = ,33x x049 = ,7x0 5 5x5 = ,8x0 Em todos os casos (multgrd para as váras razões de engrossamento e snglegrd), o MSI fo o solver utlzado Iteração nterna A fgura 6.3 mostra a nfluênca do número de terações nternas (ITI) sobre o tempo de CPU para alguns valores de N, solver MSI e razão de engrossamento r =. Verfcou-se que, para cada mala, em geral o menor tempo de CPU ocorre com o menor valor de ITI. Aumentando-se o valor de ITI, em geral aumenta-se sgnfcatvamente o tempo de CPU. Este

120 comportamento da fgura 6.3 também ocorre com os outros solvers testados (GS e ADI) e para outras razões de engrossamento. 0 Fgura 6.3: Tempo de CPU versus ITI para a equação de Laplace com o esquema CS, com o esquema numérco CDS/CDS, r = e solver MSI Para os três solvers testados e para a razão de engrossamento r =, a tabela 6.3 mostra o número de terações nternas ( ITI ), que é o ITI que resulta no menor tempo de CPU. Observa-se que N e o solver nfluencam pouco o valor de muto grande e r =, ITI = com qualquer solver. ITI. Para N Tabela 6.3: Número de terações nternas ( ITI ) para dversos solvers, esquema CS e r = N GS MSI ADI 57x57 53x53 05x05 Para o solver MSI e para as dversas razões de engrossamento r =, 3, 4 e 5, a tabela 6.4 mostra o número de terações nternas ( ITI ), mostra-se também o N máxmo utlzado por cada razão para se cegar a tal conclusão. Observa-se que a razão de

121 engrossamento nfluenca pouco o valor de ITI. Estes valores de ITI dferem daqueles encontrados em problemas undmensonas lneares, dados no capítulo 4, onde ITI = 3 para o solver GS, r = e o mesmo método multgrd. Tabela 6.4: Número de terações nternas ( ITI de engrossamento ) para solver MSI, esquema CS e dversas razões R N máxmo ITI 05x x x x5 Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do número de terações nternas para as dversas razões de engrossamento para o esquema CS. Para este problema, verfcou-se que o número de terações nternas sofre pouca nfluênca do número de vezes que o solver necessta para atualzar o resíduo em todo o domíno bdmensonal Nível de mala A fgura 6.4 mostra a nfluênca do número de níves (L) sobre o tempo de CPU, para N = 53x 53 nós e os três solvers testados (GS, MSI e ADI) e a razão de engrossamento r =. Para esta mala L = 9, sto é, usando-se a razão de engrossamento r =, para máxmo resolver a mala mas fna de 53x53 nós, pode-se usar no máxmo mas 8 níves, que são: 57x57, 9x9, 65x65, 33x33, 7x7, 9x9, 5x5 e 3x3, que representa a mala mas grossa, que é apenas um ponto nterno. Portanto, L máxmo é o número máxmo possível de níves. Verfcou-se que, para cada solver, o número de níves de mala ( L ), que é o L que resulta no menor tempo de CPU, ocorre em geral para L L. = máxmo Dmnundo-se o valor de L, em geral aumenta-se sgnfcatvamente o tempo e CPU. Este resultado é pratcamente o mesmo encontrado em problemas undmensonas lneares e nãolneares, vstos nos capítulos 4 e 5, onde método multgrd. L L para o solver Gauss-Sedel e o mesmo máxmo

122 Fgura 6.4: Tempo de CPU versus L para a equação de Laplace com o esquema CS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e dversos solvers Este resultado é também smlar aos resultados de Tannell et al. (997), no caso da equação de Laplace bdmensonal; e Mesquta e De-Lemos (004), no caso da equação de Naver-Stokes compressível bdmensonal. Portanto recomenda-se utlzar L = L com o esquema CS, os solvers GS, MSI e ADI e razão de engrossamento r =. Devdo a esta análse com r =, adotou-se L = Lmáxmo para outras razões de engrossamento estudadas. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do número de níves para as dversas razões de engrossamento. Para este problema bdmensonal, assm como nos casos undmensonas dos capítulos 4 e 5, verfcou-se que o número de níves sofre uma forte nfluênca da velocdade com que é resolvdo o problema em uma quantdade maor de malas sucessvamente mas grossas, ou seja, malas com uma quantdade menor de pontos. máxmo Razão de engrossamento A fgura 6.5 mostra a nfluênca do número de ncógntas (N) sobre o tempo de CPU para os três solvers (GS, MSI e ADI) usados com o método multgrd (MG) com razão de engrossamento r =.

123 3 Fgura 6.5: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com esquema CS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e dversos métodos Também são mostrados resultados para os mesmos solvers, mas usando-se o snglegrd (SG). Além dsso, são apresentados resultados para um método dreto, elmnação de Gauss (SG_Gauss), também baseado em mala únca. Como fo dto nos capítulos anterores, o método dreto de Elmnação de Gauss é usado apenas para efeto de comparação para os métodos snglegrd e multgrd. As malas usadas são: 5x5, 9x9,... até 65x65 (SG_Gauss) ou 53x53 (SG) ou 049x049 (MG) nós. Na fgura 6.5 são mostrados apenas pontos cujo tempo de CPU não é muto nfluencado pela ncerteza de sua medção. Verfcou-se que, para malas com 4 N > 0, o tempo de CPU do método multgrd com qualquer solver é sgnfcatvamente menor do que o método snglegrd teratvo, que por sua vez, é sgnfcatvamente menor do que o método snglegrd dreto (SG_Gauss). Por exemplo, para a mala 65x65 nós, o tempo de CPU do SG- MSI (método snglegrd usando-se o solver MSI) e o SG-Gauss é de 0,84 s e 5737, s, respectvamente, ou seja, o SG-MSI é cerca de 6830,0 vezes mas rápdo do que o SG-Gauss. Outro exemplo, para a mala 53x53 nós, o tempo de CPU do MG-MSI e SG-MSI é de 3,3 s e 7006 s, respectvamente, ou seja, o MG-MSI é cerca de 56,8 vezes mas rápdo do que o SG-MSI. Estas dferenças fcam cada vez maores à medda que N aumenta, pos as

124 nclnações das curvas com MG são menores do que com SG. Entre os métodos teratvos, em geral, observa-se que 4 t ( MSI ) t ( GS) t ( ADI ) <. (6.9) CPU CPU < CPU Entre os três solvers testados, o MSI é o mas efcente com qualquer método empregado, sto é, requer o menor tempo de CPU para resolver um dado sstema com N ncógntas. O MSI, que é o solver mas fortemente mplícto (resolve o sstema em poucas terações, tendo um comportamento quase de método dreto) é o mas rápdo com multgrd ou snglegrd. Para os pontos da fgura 6.5, a tabela 6.5 apresenta a nclnação (p) e os coefcentes (c) das curvas, obtda por ajuste geométrco de mínmos quadrados consderando a segunte função p t CPU = cn, (6.0) onde p representa a ordem do solver assocado ao método empregado, e c é um coefcente que depende de cada método e cada solver. O método multgrd deal é aquele cujo p =, sto é, aquele cujo tempo de CPU cresce lnearmente com o tamano do problema, ou com o número de ncógntas N. Portanto, para cada solver, quanto mas próxmo da undade estver sua ordem p, melor é o seu desempeno. Nota-se que o solver SG-Gauss fo aplcado apenas para o método snglegrd, pos não faz sentdo usar o método multgrd juntamente com um solver dreto, que é o caso do SG- Gauss. Tabela 6.5: Coefcente (c) e ordem (p) dos métodos e solvers para o esquema CS solver Tpo de SG - c SG p MG - c MG p solver SG_Gauss Dreto - 3,5x0 4, GS Iteratvo -9,60x0,50-7 7,6x0,35 MSI Iteratvo -8,5x0,8-6 5,97x0,9 ADI Iteratvo -9,8x0,50-7 9,94x0,36

125 Pela tabela 6.5 pode-se perceber que a ordem dos solvers é muto afetada em função do método adotado, se dreto ou teratvo, e se snglegrd ou multgrd. Entre os três solvers testados, o MSI é o que possu o menor p para qualquer método empregado. Portanto, o solver mas fortemente mplícto (MSI) é o que possu o menor p. Para o solver MSI, a fgura 6.6 mostra a nfluênca do número de ncógntas (N) sobre o tempo de CPU para o método multgrd (MG) para as dversas razões de engrossamento ( r =, 3, 4 e 5). Também são mostrados resultados usando-se o método snglegrd (SG- MSI). As malas usadas para o snglegrd são: de 5x5, 9x9,... até 53x53 nós. As malas usadas para o multgrd são: de 5x5, 9x9,... até 049x049 nós para r =, de 7x7, 9x9,... até 459x459 nós para r = 3, de 9x9, 33x33,... até 049x049 nós para r = 4 e de x, 55x55,... até 5x5 nós para r = 5. 5 Fgura 6.6: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com o esquema CS, dversos r, com o esquema numérco CDS/CDS e o solver MSI Verfcou-se que o tempo de CPU do método multgrd com qualquer razão de engrossamento é sgnfcantemente menor do que o método snglegrd. Estas dferenças fcam cada vez maores à medda que N aumenta, pos as nclnações das curvas com MG são menores do que com SG. Entre os métodos, em geral, observa-se que

126 t ( r = ) < t ( r = 3) < t ( r = 4) < t ( r = 5) t ( SG). (6.) CPU CPU CPU CPU < CPU 6 Este estudo confrma as análses de Brandt (977). Em seu trabalo, Brandt fez análses teórcas e expermentas (numércas) entre as razões de engrossamento r =, r = 3 e r = 3 para dversos problemas, mas não se referu à equação 6. especfcamente. Em seus estudos constatou que a razão r = é a recomendável, por estar mas próxma da razão de engrossamento ótma e ser mas convenente e econômca para o processo de nterpolação, além de ser de mas fácl mplementação. Brggs et al. (000) afrmam que r, em geral, não traz vantagens, sem especfcar para quas problemas ou classes de problemas. Para os pontos da fgura 6.6, a tabela 6.6 apresenta a nclnação (p) das curvas, dada pela equação 6.0, como no caso anteror. A ordem p das razões de engrossamento é muto afetada em função do método adotado, se snglegrd ou multgrd, mas pouco afetada pelas razões de engrossamento. Entre as razões de engrossamento testadas, r = 4 é a razão que possu a menor ordem p, seguda pela razão r = 3. Tabela 6.6: Coefcente (c) e ordem (p) das razões de engrossamento para o solver MSI e esquema CS r MG - c MG - p 7,59x0,8-6,90x0, 3-6 5,85x0,8 4-5,7x0, 5-6 4,6x0,6 SG -9 Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função das dversas razões de engrossamento e com o uso do esquema CS. Para este problema, constatou-se que a razão ótma sofre uma forte nfluênca de dos prncpas aspectos: a razão de queda do número de ncógntas de uma mala para a outra mala medatamente mas grossa e a qualdade das nformações passadas pela restrção e pela prolongação. Influêncas menores podem surgr do crtéro de parada, precsão das contas, etc. 6.4 Resultados numércos com o esquema de aproxmação completa (FAS) Os seguntes engrossamentos foram usados nesta seção: r =, 3, 4 e 5. Cerca de 500 smulações foram realzadas com as seguntes varantes: número de ncógntas (nós) da mala

127 mas fna (N), número de terações nternas (ITI), número de níves de malas (L), solvers (GS, MSI e ADI) e razão de engrossamento (r). Note que o número de smulações para gerar esta seção fo maor que da seção anteror. Isto se explca devdo a alguns testes adconas para poder detectar com mas precsão o 7 ITI e o coefcente (c) e ordem (p) dos métodos MG e SG para os dversos solvers. São apresentados nesta seção os resultados mas representatvos, sufcentes para mostrar qualtatvamente o desempeno do método multgrd. A tabela 6. mostra os valores de alguns N mínmos e máxmos nos dversos testes para o esquema FAS. Na tabela 6.7 a solução analítca é comparada com a solução numérca va norma nfnto para as dversas razões de engrossamento com o uso do método multgrd e para o método snglegrd. Em todos os casos, o MSI fo o solver utlzado. Tabela 6.7: Norma nfnto do erro para as malas mas fnas para cada uma das razões testadas com o solver MSI para o esquema FAS r N T analtca T numérca 049x049 = ,49x x459 = ,0x x049 = ,40x0 5 5x5 = ,73x0 Nota-se que pelas tabelas 6. e 6.7 que, quando se tem ε = 0 7 (que é o caso padrão), a norma nfnto do erro numérco (soma dos efetos dos erros de teração, arredondamento e dscretzação) pode ser sgnfcatvamente dferente ao se usar CS e FAS. Em função de comentáros da banca sobre uma possível nconsstênca de tas tabelas, foram realzados testes e comentáros adconas que se encontram no apêndce C desta Tese Iteração nterna A fgura 6.7 mostra a nfluênca do número de terações nternas (ITI) sobre o tempo de CPU para alguns valores de N, solver MSI e razão de engrossamento r =. Verfcou-se que, para cada mala, em geral o menor tempo de CPU ocorre com ITI = 4. Dmnundo-se ou aumentando-se o valor de ITI em relação ao, pode-se aumentar sgnfcatvamente o tempo de CPU. Este comportamento da fgura 6.7 também ocorre com os outros solvers testados (GS e ADI) e para outras razões de engrossamento.

128 8 Fgura 6.7: Tempo de CPU versus ITI para a equação de Laplace com o esquema FAS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e o solver MSI Para os três solvers testados e para a razão de engrossamento r =, a tabela 6.8 mostra o número de terações nternas ( ITI ). Observa-se que N e o solver nfluencam pouco o valor de ITI. Para os N da tabela 6.8 e r =, recomenda-se utlzar ITI = 3, 4 e 5, respectvamente, para os solvers GS, MSI e ADI. Tabela 6.8: Número de terações nternas ( ITI ) para dversos solvers, esquema FAS e r = N GS MSI ADI 57x x x Para o solver MSI e para as dversas razões de engrossamento r =, 3, 4 e 5, a tabela 6.9 mostra o número de terações nternas ( ITI ) e o N máxmo utlzado por cada razão para se cegar a tal conclusão. Note na tabela 6.9, que para r = é recomendado ITI = 3, o que dfere da recomendação acma ( ITI = 4 para r = e solver MSI), pos ao se estudar as dversas razões, levaram-se em conta problemas anda maores, devdo ao fato do FAS ser mas rápdo.

129 Deste estudo concluu-se que, assntotcamente, para o solver MSI e r =, o ITI tende ao valor 3. Observa-se que a razão de engrossamento nfluenca pouco o valor de valores de 9 ITI. Estes ITI dferem daqueles encontrados em problemas undmensonas lneares, dados no capítulo 4, onde ITI = 6 para o solver GS, r = e o mesmo método multgrd. Tabela 6.9: Número de terações nternas ( ITI razões de engrossamento ) para solver MSI, esquema FAS e dversas r N máxmo ITI 049x x x x5 4 Na seção anteror, verfcou-se que para o esquema CS e usando-se o solver MSI, ITI = para r = e ITI = para as demas razões de engrossamento. Já nesta seção, verfcou-se que para o esquema FAS, ITI = 3 para as razões r = e 3, e ITI = 4 para as razões r = 4 e 5. Portanto, o esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca o número de terações nternas do método multgrd. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do número de terações nternas para as dversas razões de engrossamento para o esquema FAS. Para este problema, verfcou-se que o número de terações nternas sofre pouca nfluênca do número de vezes que o solver necessta para atualzar o resíduo e a solução em todo o domíno bdmensonal Nível de mala A fgura 6.8 mostra a nfluênca do número de níves (L) sobre o tempo de CPU, para N = 53x 53 nós, os três solvers testados (GS, MSI e ADI) e a razão de engrossamento r =. Verfcou-se que, para cada solver, o número de níves de mala ( L ), ocorre na méda, para L = L máxmo, ou seja, L Lmáxmo. Dmnundo-se o valor de L, em geral aumenta-se sgnfcatvamente o tempo e CPU. Portanto recomenda-se utlzar L = L máxmo com o esquema FAS, os solvers GS, MSI e ADI e razão de engrossamento r =.

130 30 Fgura 6.8: Tempo de CPU versus L para a equação de Laplace com o esquema FAS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e dversos solvers Na seção anteror, verfcou-se que para o esquema CS, L L, com = máxmo qualquer solver. Já nesta seção, ocorre o mesmo para o esquema FAS. Portanto, o esquema utlzado (CS ou FAS) não tem grande nfluênca sobre o número de níves para o método multgrd. Devdo a esta análse com r =, adotou-se L = Lmáxmo para outras razões de engrossamento estudadas. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do número de níves para as dversas razões de engrossamento. Para este problema bdmensonal, assm como nos casos undmensonas dos capítulos 4 e 5 e no esquema CS da seção anteror, verfcou-se que o número de níves sofre uma forte nfluênca da velocdade com que é resolvdo o problema em uma quantdade maor de malas sucessvamente mas grossas Razão de engrossamento A fgura 6.9 mostra a nfluênca do número de ncógntas (N) sobre o tempo de CPU para os três solvers (GS, MSI e ADI) usados com o método multgrd (MG) com razão de engrossamento r =.

131 Também são mostrados resultados para os mesmos solvers, mas usando-se o método snglegrd (SG) e elmnação de Gauss (SG_Gauss). As malas usadas são: 5x5, 9x9,... até 65x65 (SG_Gauss) ou 53x53 (SG) ou 049x049 (MG) nós. Na fgura 6.9 são mostrados apenas pontos cujo tempo de CPU não é muto nfluencado pela ncerteza de sua medção. Verfcou-se que, para malas com 3 4 N > 0, o tempo de CPU do método multgrd com qualquer solver é sgnfcatvamente menor do que o método snglegrd teratvo, que por sua vez, é sgnfcatvamente menor do que o método snglegrd dreto (SG_Gauss). Por exemplo, para a mala 53x53 nós, o tempo de CPU do MG-MSI e SG-MSI é de 3,8 s e 7006 s, respectvamente, ou seja, o MG-MSI é cerca de 843,7 vezes mas rápdo do que o SG-MSI. Estas dferenças fcam cada vez maores à medda que N aumenta, pos as nclnações das curvas com MG são menores do que com SG. Entre os métodos teratvos, em geral, também vale a equação 6.9. Entre os três solvers testados, o solver mas fortemente mplícto (MSI) é o mas rápdo. Fgura 6.9: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com o esquema FAS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e com dversos solvers Para os pontos da fgura 6.9, a tabela 6.0 apresenta o coefcente (c) e a nclnação (p) das curvas, obtda por ajuste geométrco de mínmos quadrados consderando a função dada na equação 6.0. Pelas tabelas 6.5 e 6.0 pode-se perceber que a ordem dos solvers com

132 3 multgrd é pouco afetada em função do esquema adotado, se CS ou FAS, mas bastante afetada em função do método adotado, se dreto ou teratvo, se snglegrd ou multgrd. Entre os três solvers testados, o MSI é o que possu o menor p com qualquer método empregado, ou seja, o solver mas fortemente mplícto (MSI) é o que possu o menor p. Tabela 6.0: Coefcente (c) e ordem (p) dos métodos e solvers para o esquema FAS Solver tpo de solver SG - c SG - p MG c MG - p SG_Gauss Dreto - 3,5x0 4, GS Iteratvo -9,60x0,50 7,68x0,40 MSI Iteratvo -8,5x0,8 6,90x0, ADI Iteratvo -9,8x0,50 7,99x0,39 Para o solver MSI a fgura 6.0 mostra a nfluênca do número de ncógntas (N) sobre o tempo de CPU para o método multgrd (MG) para as dversas razões de engrossamento ( r =, 3, 4 e 5). Também são mostrados resultados usando-se o método snglegrd (SG- MSI). A fgura 6. mostra um detale da fgura 6.0. As malas usadas para o multgrd são: de 5x5, 9x9,... até 049x049 nós para r =, de 7x7, 9x9,... até 459x459 nós para r = 3, de 9x9, 33x33,... até 049x049 nós para r = 4 e de x, 55x55,... até 5x5 nós para r = 5. Verfcou-se que o tempo de CPU do método multgrd com qualquer razão de engrossamento é sgnfcatvamente menor do que o método snglegrd. Estas dferenças fcam cada vez maores à medda que N aumenta, pos as nclnações das curvas com MG são menores do que com SG. Entre os métodos, para problemas de grande porte, observa-se que t ( r = ) < t ( r = 4) < t ( r = ) < t ( r = 5) t ( SG) 3. (6.) CPU CPU CPU CPU < CPU Esta constatação é nédta e nesperada, além de mostrar que a razão r = perde a egemona perante outras razões. Para os pontos da fgura 6.0, a tabela 6. apresenta a nclnação (p) das curvas, dada pela equação 6.0, como no caso anteror. A ordem p das razões de engrossamento é muto afetada em função do método adotado, se snglegrd ou multgrd, mas pouco afetada pelas razões de engrossamento. Entre as razões de engrossamento testadas, r = é a razão que possu a menor ordem p, seguda pela razão r = 4.

133 33 Fgura 6.0: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com o esquema FAS, dversos r, com o esquema numérco CDS/CDS e solver MSI Fgura 6.: Detale da fgura 6.0

134 Tabela 6.: Coefcente (c) e ordem (p) das razões de engrossamento para o solver MSI e esquema FAS r MG - c MG p,5x0,8 6,90x0, 3 7 7,6x0, 4 6,43x0, ,9x0,3 SG Na seção anteror, verfcou-se que para o esquema CS e usando-se o solver MSI, r = é a razão de engrossamento ótma. Já nesta seção, verfcou-se que para o esquema FAS, r = 3 é a razão de engrossamento ótma. Portanto, o esquema utlzado (CS ou FAS) nfluenca a razão de engrossamento ótma do método multgrd. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função das dversas razões de engrossamento e com o uso do esquema FAS. Para este problema, constatou-se que a razão ótma sofre uma forte nfluênca dos seguntes aspectos: a razão de queda do número de ncógntas de uma mala para a outra mala medatamente mas grossa, a qualdade das nformações transferdas pela restrção e pela prolongação e, prncpalmente, o uso do algortmo FAS, que transfere nformações a respeto do resíduo e da solução para as demas malas mas grossas. 6.5 Esquema de correção (CS) versus esquema de aproxmação completa (FAS) Nas fguras 6. e 6.3, respectvamente para as razões r = e r = 3, se faz uma comparação entre os esquemas multgrd CS e FAS em função de dversos valores de N com o solver MSI. Pode-se notar que o esquema FAS é mas rápdo do que o esquema CS em qualquer N para as duas razões analsadas. Por exemplo, para a mala de 049x049 nós o tempo de CPU do MG-FAS( r = ) e MG-CS( r = ) é de 83,55 s e 46,55 s, respectvamente, ou seja, o MG-FAS( r = ) é cerca de 4,8 vezes mas rápdo do que o MG-CS( r = ). Outro exemplo, para a mala de 459x459 nós o tempo de CPU do MG-FAS( r = 3) e MG-CS( r = 3) é de 30,94 s e 84,6 s, respectvamente, ou seja, o MG-FAS( r = 3) é cerca de 6,0 vezes mas rápdo do que o MG- CS( r = 3).

135 35 Fgura 6.: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com os esquemas CS e FAS, r =, com o esquema numérco CDS/CDS e solver MSI Fgura 6.3: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com os esquemas CS e FAS, r = 3, com o esquema numérco CDS/CDS e solver MSI

136 Na fgura 6.4 se faz uma comparação entre os esquemas multgrd CS (com a melor razão de engrossamento, r = ) e FAS (com a melor razão de engrossamento, r = 3) em função de dversos valores de N com o solver MSI. 36 Fgura 6.4: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com os esquemas CS e FAS, r = e r = 3, com o esquema numérco CDS/CDS e solver MSI Usando-se ajuste geométrco de curvas, o tempo de CPU do MG-FAS( r = 3) pode ser aproxmado por t CPU 7, = 7,6x0 N e MG-CS( r = ) pode ser aproxmado por t CPU 6, =,90x0 N. Pode-se notar que o esquema MG-FAS( r = 3) é mas rápdo do que o esquema MG- CS( r = ) em qualquer N. Por exemplo, para a mala de FAS( r = 3) e MG-CS( r = 5 0 nós o tempo de CPU do MG- ) é de 0,85 s e 3,45 s, respectvamente, ou seja, o MG- FAS( r = 3) é cerca de 4, vezes mas rápdo do que o MG-CS( r = ). Outro exemplo, para a 6 mala de 0 nós o tempo de CPU do MG-FAS( r = 3) e MG-CS( r = ) é de 3,87 s e 56,65 s, respectvamente, ou seja, o MG-FAS( r = 3) é cerca de 4, vezes mas rápdo do que o MG- CS( r = ). Portanto, recomenda-se o uso do esquema FAS com o solver MSI e razão de engrossamento r = 3 para a equação de Laplace bdmensonal. Esta constatação é nédta e nesperada, pos o esquema CS é ndcado para resolver equações lneares, caso deste

137 capítulo, e o esquema FAS, para equações não-lneares. Aqu se vê que o esquema CS perde a egemona perante o esquema FAS, mesmo para um problema lnear. Os resultados do presente trabalo dferem daqueles de Brandt (977). Ele faz análses teórcas e expermentas (numércas) entre as razões r =, 3 e 3 para dversos problemas, mas não se referu à equação 6. exatamente. Brandt mostra preferênca pelo esquema CS em relação ao esquema FAS no caso de problemas lneares. Segundo Brandt, cada cclo teratvo do esquema FAS é mas caro computaconalmente se comparado ao esquema CS, devdo aos cálculos exgdos no esquema FAS. Seja o problema de mnmzação do tempo de CPU em função do uso dos dferentes esquemas CS e FAS. Para este problema, constatou-se que o esquema sofre uma forte nfluênca da qualdade das nformações transferdas pela restrção e pela prolongação e, prncpalmente, transferênca de nformações a respeto do resíduo e da solução para as malas mas grossas. Para o esquema FAS, por exemplo, a estmatva ncal para as malas mas grossas é sempre a restrção da solução suavzada da mala medatamente mas fna, enquanto que para o esquema CS, a estmatva ncal é sempre a estmatva ncal nula. Ou seja, o esquema FAS tem sempre estmatvas ncas melores para os problemas nas malas mas grossas. Com sto, constatou-se no presente capítulo que o número de cclos ou terações externas (ITE) do esquema FAS é sgnfcatvamente menor do que o esquema CS, ou seja, cada cclo teratvo do esquema FAS é mas caro computaconalmente se comparado ao esquema CS, mas o número de cclos teratvos deste esquema é sgnfcatvamente menor que do esquema CS. Por exemplo, para a mala 049x049 nós, o ITE do MG-FAS( r = ) e o MG-CS( r = ) é de e 5, respectvamente. Outro exemplo, para a mala de 459x459 nós o ITE do MG-FAS( r = 3) e o MG-CS( r = 3) é de e 5, respectvamente Conclusão do capítulo 6 Neste capítulo fo resolvdo numercamente um problema: equação de Laplace bdmensonal. Esta equação é lnear e ela representa um problema de transferênca de calor. O esquema numérco de aproxmação usado fo: CDS/CDS. Foram usados dos esquemas do método multgrd: esquemas CS (Correcton Sceme) e FAS (Full Approxmaton Sceme). Com base nos resultados deste capítulo, verfcou-se que:. Para os mesmos dados (ε, v e N), o esquema FAS é mas rápdo do que o esquema CS;

138 38. O solver MSI é mas rápdo do que o Gauss-Sedel e o ADI, para os esquemas CS e FAS. Portanto, mesmo com o método multgrd, quanto mas fortemente mplícto é o solver, mas rápdo ele é; 3. O número de terações nternas (ITI) afeta sgnfcatvamente o tempo de CPU para os esquemas CS e FAS. O esquema utlzado (CS ou FAS) e a dmensão do problema (D ou D) nfluencam o ITI. Para o uso do esquema CS e r =, ITI = com qualquer solver, e o uso do esquema FAS e r =, ITI = 3 a 5, dependendo do solver. Para o solver MSI, o ITI é quase constante com a varação das razões de engrossamentos testadas; 4. O número de níves de malas (L) afeta sgnfcatvamente o tempo de CPU para os esquemas CS e FAS. O esquema utlzado (CS ou FAS) não tem muta nfluênca no L. Para ambos os esquemas e para os solvers testados, L L máxmo ; 5. Para os mesmos dados (ε, v e N), com L = Lmáxmo para cada N, entre as razões de engrossamento de malas testadas ( r =, 3, 4 e 5), o esquema CS é mas rápdo com r = ; já o esquema FAS é mas rápdo com r = 3; 6. O esquema FAS (com razão de engrossamento r = 3) é aproxmadamente 4 vezes mas rápdo do que o esquema CS (com razão de engrossamento r = ). Recomendações prátcas: Com base nos resultados deste capítulo são fetas as seguntes recomendações aos usuáros do método multgrd para problemas guas ou smlares ao estudado. Problemas bdmensonas lneares sotrópcos: Esquema: FAS; Solver: MSI; Razão de engrossamento: r = 3; Número de terações nternas: ITI = 3; Número de níves de malas: L = Lmáxmo.

139 7 Problema bdmensonal lnear ansotrópco: equação de Laplace 39 Neste capítulo descreve-se a quarta classe de problemas tratados neste trabalo, que é o problema bdmensonal lnear em malas ansotrópcas 7. Neste caso, como no capítulo anteror, estuda-se a equação de Laplace (TANNEHILL et al., 997). No capítulo anteror estudaram-se problemas sotrópcos onde RA =, ou seja, x = y. Aqu RA é a razão de aspecto defnda pela equação 6.4. Este capítulo dedca-se a problemas ansotrópcos (BRIGGS et al., 000; DENDY et al., 989) onde 0 < RA << ou RA >>, ou seja, ansotropa devdo aos elementos da mala ser altamente alongados (ansotropa geométrca). Na fgura 7. tem-se um exemplo de mala sotrópca e um outro exemplo de mala ansotrópca com RA = 4. A b Fgura 7.: Exemplos de malas: a) sotrópca e b) ansotrópca com RA = 4 Sabe-se que quanto mas dstnta a razão de aspecto (RA) está da undade, mas o desempeno do método multgrd se deterora (Wesselng e Oosterlee, 00), com sso a taxa de convergênca pora, podendo até mesmo ocorrer dvergênca (Larsson et al., 005). Este tpo de ansotropa é muto comum em problemas prátcos de engenara, como em problemas 7 Ansotropa de mala, ou seja, ansotropa geométrca, como defnda na seção 3.4 do capítulo 3.

140 de camada lmte, onde a razão de aspecto (RA) pode ser da ordem de 3 0, ou mas (Wesselng e Oosterlee, 00). Este capítulo está dvddo da segunte forma: prmeramente estudam-se os modelos matemátco e numérco e dados de mplementação. Em seguda detalam-se os prncpas resultados numércos com os algortmos multgrd usados para problemas ansotrópcos: EP, EP-SE, SE e SE-EP, que serão defndos nas seção Modelos matemátco e numérco O problema lnear de condução de calor bdmensonal (equação de Laplace), com condções de contorno de Drclet, em coordenadas cartesanas, consderado neste capítulo é o modelo dado pela equação 6.. Como nos capítulos anterores, o método numérco a ser utlzado neste problema será o método de dferenças fntas (BURDEN e FAIRES, 997; TANNEHILL et al., 997). A dscretzação do domíno será desenvolvda, fazendo-se uso de malas estruturadas e unformes por dreção 8, onde o domíno (, y) { R : 0 x, y } x é partconado em subconjuntos através de um número de ncógntas (ou número de pontos), dado por N = N x N y, onde N x e N y são os números de pontos nas dreções coordenadas x e y, respectvamente. Isto ntroduz uma mala, conforme equação 6.3. Neste caso, estabelece-se uma mala com elementos de tamano por que se denota por x y Ω, com razão de aspecto (RA) defnda pela equação 6.4. O esquema numérco para este problema será o mesmo utlzado no capítulo anteror, ou seja, dferenças centradas (CDS) para a dervada de segunda ordem (termo dfusvo), resultando, portanto, na equação 6.6 com os coefcentes dados pelas equações 6.7 e termo fonte pela equação 6.8. Novamente a equação 4.5 é resolvda com o método multgrd fazendo-se uso do esquema CS e quatro algortmos que serão detalados na próxma seção. Neste caso, os sstemas de equações do tpo da equação 4.5, onde f representa o termo fonte (resíduo) a cada nível de mala, são resolvdos com o solver Gauss-Sedel (GS). 8 x e y são constantes, mas não necessaramente guas.

141 4 7. Dados de mplementação Neste capítulo são descrtos quatro algortmos baseados no método multgrd para problemas com malas ansotrópcas ( RA ). São eles: engrossamento padrão (EP), engrossamento padrão segudo de semengrossamento (EP-SE), sem-engrossamento (SE) e sem-engrossamento segudo de engrossamento padrão (SE-EP). A razão de engrossamento r = é usada em todos os algortmos apresentados a segur: ) Engrossamento padrão (EP): neste algortmo, apresentado em Brandt (977), é realzado smultaneamente o engrossamento em ambas as dreções coordenadas x e y. Desta forma, mantém-se a mesma razão de aspecto em todas as malas. Este algortmo é mostrado nos passos a a c da fgura 7.. ) Sem-engrossamento (SE): neste algortmo, apresentado em Mulder (989), é realzado o engrossamento em apenas uma das dreções coordenadas, onde sto seja possível ou desejado. Com sso, dmnu-se a razão de aspecto a cada nível percorrdo até se atngr a mala mas grossa possível ou desejada, que dealmente é sotrópca, ou seja, RA =. Este algortmo é mostrado nos passos 3a a 3c da fgura 7.. 3) Engrossamento padrão segudo de sem-engrossamento (EP-SE): neste algortmo, proposto neste trabalo, prmero aplca-se o algortmo EP (passos a a c da fgura 7.) e, em seguda, o SE (passos c a e da fgura 7.). 4) Sem-engrossamento segudo de engrossamento padrão (SE-EP): neste algortmo, apresentado por Zang (00), prmero aplca-se o algortmo SE (passos 4a a 4c da fgura 7.) e, em seguda, o EP (passos 4c a 4e da fgura 7.). O método apresentado em Larsson et al. (005) não fo objeto de comparação nesta seção, pos ele trata somente de sem-engrossamento condconal e a proposta aqu é comparar algortmos que mesclem a técnca de engrossamento padrão com sem-engrossamento. No presente capítulo, adota-se o número máxmo possível de níves de engrossamento padrão para os algortmos EP e EP-SE. Como se tratam de problemas ansotrópcos, para os algortmos EP-SE, SE e SE-EP, a dreção de sem-engrossamento sempre exste (Zang, 00).

142 4 a: 9x33 a: 9x33 3a: 9x33 4a: 9x33 b: 5x7 b: 5x7 3b: 9x7 4b: 9x7 c: 3x9 c: 3x9 3c: 9x9 4c: 9x9 d: 3x5 4d: 5x5 e: 3x3 4e: 3x3 Fgura 7.: Engrossamentos: EP (a-c), EP-SE (a-e), SE (3a-3c) e SE-EP (4a-4e)

143 43 Esta dreção também exste em problemas sotrópcos, entretanto não é nteressante utlzar um algortmo de sem-engrossamento em um domíno e uma mala onde o algortmo EP é sufcentemente bom. O algortmo proposto neste capítulo, EP-SE, confronta o algortmo proposto por Zang (00), SE-EP, que se utlza as técncas de engrossamento padrão e semengrossamento na ordem nversa. Acredta-se que este algortmo (EP-SE) possa ter bons resultados devdo ao número reduzdo de operações artmétcas se comparado com o algortmo SE-EP. 7.3 Resultados numércos A razão de engrossamento padrão r =, o esquema CS e o solver Gauss-Sedel foram utlzados para todas as smulações descrtas nesta seção. Cerca de 40 smulações foram realzadas com as seguntes varantes: algortmos EP, EP-SE, SE e SE-EP; número de ncógntas (nós) da mala mas fna (N), número de terações nternas (ITI) e razões de aspecto (RA) 04,,, 6, 8, 04 e 89. São apresentados neste capítulo os resultados mas representatvos, sufcentes para mostrar qualtatvamente o desempeno do método multgrd. Na tabela 7. a solução analítca é comparada com a solução numérca, segundo o algortmo SE-EP, va norma nfnto para as dversas razões de aspecto para o método multgrd. Tabela 7.: Norma nfnto do erro para as malas mas fnas para cada uma das razões de aspectos (RA) testadas com o solver GS e o esquema CS RA N T analtca T numérca x7 4 5,54x0 049x ,80x0 049x ,5x0 6 53x ,46x0 8 9x ,7x x3769 4,39x0 89 7x ,57x0

144 Nota-se desta tabela que os valores de N utlzados para as malas com razão de aspecto RA = 04 e RA = 04 são dferentes, pos o processo de resolução para a mala com RA = 04 é muto mas lento do que para RA = 04 com N menor para esta mala (com RA = 04 ). 44, logo optou-se por uma mala 7.3. Iteração nterna (ITI) e razão de aspecto (RA) A tabela 7. mostra o número de ncógntas ( N = N x N y ) das malas fnas e as respectvas razões de aspecto (RA) utlzadas para determnar o número de terações nternas ( ITI ) para cada conjunto de dados consttuídos por: algortmo, RA e número de ncógntas (N). Nota-se que, dada uma certa razão de aspecto RA, o N vara de um algortmo para outro. Isto se explca porque o tempo de CPU vara muto de um algortmo para outro. Para o algortmo que apresentou o menor tempo de CPU, optou-se por nvestgar malas mas refnadas. Tabela 7.: Malas utlzadas para determnar ITI RA EP EP-SE SE SE-EP 05x x53 57x53 9x57 57x x53 33x53 33x53 33x53 8 9x05 9x05 9x05 7x049 A tabela 7.3 mostra o ITI para as malas da tabela 7.. Pode-se notar que o ITI é fortemente afetado pelo valor de RA e também pelo algortmo utlzado, exceto o algortmo SE-EP. Os algortmos EP, EP-SE apresentam um comportamento crescente e acentuado do ITI à medda que se aumenta RA. O algortmo SE apresentou o comportamento oposto. Fnalmente, o algortmo SE-EP apresentou o mesmo comportamento crescente dos algortmos EP e EP-SE, porém de uma forma muto mas suave e parece ter establzado em ITI = 3.

145 45 Tabela 7.3: Valor do ITI RA EP EP-SE SE SE-EP Efeto do número de ncógntas (N) sobre a razão de aspecto (RA) As fguras 7.3 a 7.5 apresentam uma comparação entre os dversos algortmos (EP, EP-SE, SE e SE-EP) para as razões de aspecto RA =, 6 e 8. Estas fguras mostram o tempo de CPU em função do número de ncógntas (N). Na Fg. 7.3, onde se estuda o comportamento dos algortmos para RA =, pode-se notar que o algortmo SE-EP é o mas rápdo entre os quatro algortmos testados. Ele é segudo de perto pelos algortmos EP e EP-SE, que quanttatvamente são muto próxmos, e fnalmente pelo algortmo SE, com tempo de CPU muto maor. Nesta fgura, as seguntes malas foram usadas: 65x9, 9x57, 57x53, 53x05 e 05x049 para os algortmos EP e EP-SE; 33x65, 65x9, 9x57 e 57x53 para o algortmo SE; e 65x9, 9x57, 57x53, 53x05, 05x049 e 049x4097 para o algortmo SE-EP. Fgura 7.3: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com esquema CS, r =, RA = esquema numérco CDS/CDS e dversos algortmos, com o

146 46 Conforme a fgura 7.4, onde se estuda o comportamento dos algortmos para RA = 6, o algortmo SE-EP também é o mas rápdo. Ele é segudo pelo algortmo SE em uma prmera parte dos pontos do domíno e a partr daí pelos algortmos EP e EP-SE, que quanttatvamente são muto próxmos em pratcamente todos os pontos do domíno. Fgura 7.4: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com esquema CS, r =, RA = 6 esquema numérco CDS/CDS e dversos algortmos, com o Na fgura 7.4, as seguntes malas foram usadas: 9x9, 7x57, 33x53, 65x05 e 9x049 para os algortmos EP, EP-SE e SE; e 7x57, 33x53, 65x05, 9x049 e 57x4097 para o algortmo SE-EP. Na fgura 7.5, onde se estuda o comportamento dos algortmos para RA = 8, podese notar que o algortmo SE-EP contnua sendo o mas rápdo. Ele é segudo pelo algortmo SE e fnalmente pelos algortmos EP e EP-SE, que quanttatvamente são muto próxmos. Nesta fgura, as seguntes malas foram usadas: 5x53, 9x05 e 7x049 para o algortmo EP; 5x53 e 9x05 para o algortmo EP-SE; 5x53, 9x05, 7x049 e 33x4097 para o algortmo SE; e 5x53, 9x05, 7x049, 33x4097, 65x893 e 9x6385 para o algortmo SE-EP.

147 47 Fgura 7.5: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com esquema CS, r =, RA = 8, com o esquema numérco CDS/CDS e dversos algortmos Portanto, o algortmo SE-EP de Zang (00) é o mas rápdo entre os quatro algortmos e para as razões de aspecto testadas. Pode-se notar que os algortmos EP e EP-SE se tornam mas lentos à medda que se aumenta RA. O algortmo SE torna-se mas rápdo, mas nunca é melor que o algortmo SE-EP. Em resumo, para os mesmos dados (ε, v r, N e RA), dentre os quatro algortmos testados, tem-se t ( SE EP) < t ( EP, EP SE SE), (7.) CPU CPU, em todos os pontos do domíno em estudo. Zang (00) já ava constatado que o algortmo partal semcoarseng (aqu camado de SE-EP) com os solvers red-black e four-color Gauss- Sedel é o mas rápdo, se comparado ao algortmo EP, mas somente para RA =, 4, 8 e 6 e usando-se a equação de Posson bdmensonal Algortmo de sem-engrossamento parcal (SE-EP) Pelo fato do algortmo SE-EP ser o mas rápdo entre os quatro algortmos testados, fo analsado o seu comportamento para alguns valores de RA anda maores. A tabela 7.4

148 mostra o número de ncógntas das malas ( N = N x N y 48 ) e as respectvas razões de aspecto complementares ( RA = 04, 04 e 89) utlzadas para obter o ITI para o ITI são apresentados na tabela Os resultados Tabela 7.4: Malas adconas usadas para obter ITI com o algortmo SE-EP RA / N 893x9 9x893 9x307 Tabela 7.5: ITI para o algortmo SE-EP RA / ITI Pode-se notar nas tabelas 7.3 e 7.5 que ITI, para o algortmo SE-EP, é fracamente afetado por RA, sendo gual a três, exceto num caso. A tabela 7.6 mostra o valor do expoente p obtdo por ajuste geométrco de mínmos quadrados, dado pela equação 6.0, para os resultados da fgura 7.6 cujas malas usadas foram: 4097x5, 893x9 e 6385x7 para a RA = 04 ; 9x9, 57x57, 53x53, 05x05, 049x049 para a RA = ; 65x9, 9x57, 57x53, 53x05, 05x049 e 049x4097 para a RA = ; 7x57, 33x53, 65x05, 9x049, 57x4097 e 53x893 para a RA = 6 ; 9x05, 7x049, 33x4097, 65x893 e 9x6385 para a RA = 8 ; 5x4097, 9x893, 7x6385 e 33x3769 para a RA = 04 e 5x3769, 9x65537 e 7x3073 para a RA = 89. Tabela 7.6: Valor do coefcente (c) e ordem (p) da equação 6.0 para o algortmo SE-EP RA c p /04 9 3,00x ,6x ,30x ,76x ,30x ,68x ,5x0.5

149 49 Fgura 7.6: Tempo de CPU versus N para a equação de Laplace com esquema CS, r =, dversos RA, com o esquema numérco CDS/CDS e algortmo SE-EP Pode-se observar que p ( RA) > p( RA) ( RA ) p( ) RA. E, em geral, dado RA < RA, tem-se que p <. O comportamento crescente de p em função da RA só é nterrompdo para RA = 6. O crescmento de p em função da RA não ocorre de uma forma acentuada, ou seja, á uma fraca dependênca entre p e RA. Pode-se observar na fgura 7.6 que, em geral t t CPU CPU ( RA = ) < tcpu ( RA = ) < tcpu ( RA = 89) < ( RA = 6) < t ( RA = 04) < t ( RA = 8) CPU CPU. (7.) A prmera desgualdade da equação 7. era esperada, pos trata-se da comparação entre um problema sotrópco e um problema ansotrópco com a mala levemente alongada, ou seja, razão de aspecto próxma da undade ( 0 < RA ). A segunda desgualdade mpressona, pos trata-se da comparação entre dos problemas ansotrópcos, porém com razões de aspecto bem dstntas: uma levemente alongada e a outra fortemente alongada, ou seja, razão de aspecto muto dstnta da undade ( RA >> ).

150 De uma forma geral, pode-se conclur da equação 7. que, razões de aspecto próxmas da undade ou muto dstntas da undade são razões de aspecto para as quas o algortmo SE- EP possu um bom desempeno, por exemplo, RA = e 89. Por outro lado, para razões de aspecto ntermedáras, por exemplo, RA = 8, o algortmo SE-EP possu um dos pores desempenos entre as razões de aspecto testadas, mas mesmo assm, anda é melor que os outros algortmos (EP, EP-SE e SE). Veja fgura 7.5. Isto pode ser explcado pelo fato de que para problemas ansotrópcos com malas levemente alongadas ( 0 < RA ), o algortmo SE-EP comporta-se de forma muto semelante ao problema sotrópco, onde o multgrd funcona bem. Por outro lado, para problemas ansotrópcos com malas fortemente alongadas ( RA >> ), o algortmo SE-EP comporta-se de forma muto semelante aos problemas undmensonas, devdo à predomnânca de sem-engrossamentos; e neste caso, o multgrd também funcona bem. Os resultados observados na fgura 7.6 são mas confáves do que os resultados da tabela 7.6, pos estes últmos resultam do ajuste de curvas, que depende fortemente da quantdade e qualdade dos dados observados, tendo portanto, erros. E mas, os resultados da tabela 7.6 fornecem apenas uma aproxmação da ordem de complexdade dos algortmos para as dversas razões de aspecto, enquanto que os resultados da fgura 7.6 fornecem o tempo de CPU em função do número de ncógntas (N) Conclusão do capítulo 7 Neste capítulo fo resolvdo numercamente o mesmo problema do capítulo anteror: equação de Laplace bdmensonal, com malas ansotrópcas. O esquema numérco de aproxmação usado fo CDS/CDS. Fo usado o esquema CS (Correcton Sceme) do método multgrd. Foram apresentados quatro algortmos utlzados para problemas ansotrópcos: EP (engrossamento padrão), EP-SE (engrossamento padrão segudo de sem-engrossamento), SE (sem-engrossamento) e SE-EP (sem-engrossamento segudo de engrossamento padrão). Com base nos resultados deste capítulo, verfcou-se que:. Para os mesmos dados (ε, v, N e RA), o algortmo SE-EP resulta no menor tempo de CPU entre os quatro algortmos testados para o problema ansotrópco;. A varação de RA resulta em grande varação do ITI para os algortmos EP, EP-SE e SE, e pequena varação para o algortmo SE-EP.

151 5 3. O ITI para o algortmo SE-EP é o mesmo para RA e RA, e para as razões de aspecto muto dstntas da undade, ou seja, 0 < RA << ou RA >> ; 4. A ordem do algortmo SE-EP (p) cresce com RA; 5. Para os mesmos dados (ε, v, N e RA), o algortmo SE-EP resulta em menor tempo de CPU para as malas levemente ( RA ) e fortemente alongadas ( RA >> ); e maor tempo de CPU para as malas com RA ntermedáro. Recomendações prátcas: Com base nos resultados deste capítulo são fetas as seguntes recomendações aos usuáros do método multgrd para problemas guas ou smlares ao estudado. Problemas bdmensonas lneares ansotrópcos: Algortmo: SE-EP; Número de terações nternas: ITI = 3.

152 5 8 Conclusão Neste trabalo foram resolvdos numercamente quatro problemas: equações de Posson, advecção-dfusão e Burgers, todas undmensonas e equação de Laplace bdmensonal. Estas equações são todas lneares, exceto a equação de Burgers. Elas representam problemas de transferênca de calor e escoamento de fludo. Os esquemas numércos de aproxmação usados foram: CDS, UDS/CDS e CDS_CA/CDS. Foram descrtos e usados dos esquemas do método multgrd: esquemas CS (Correcton Sceme) e FAS (Full Approxmaton Sceme). Foram apresentados quatro algortmos utlzados no caso de problemas ansotrópcos: EP (engrossamento padrão), EP-SE (engrossamento padrão segudo de sem-engrossamento), SE (sem-engrossamento) e SE-EP (sem-engrossamento segudo de engrossamento padrão). Com base nos resultados deste trabalo, verfcou-se que, para as equações estudadas:. Para os mesmos dados (ε, v e N), o esquema FAS é mas rápdo do que o esquema CS, para os problemas lneares (un e bdmensonas) e não-lnear (undmensonal);. O solver MSI é mas rápdo do que o Gauss-Sedel e o ADI, para os esquemas CS e FAS. Portanto, mesmo com o método multgrd, quanto mas fortemente mplícto é o solver, mas rápdo ele é; 3. O número de terações nternas (ITI) afeta sgnfcatvamente o tempo de CPU para os esquemas CS e FAS. O esquema utlzado (CS ou FAS) e a dmensão do problema (D ou D) nfluenca o ITI. Para o caso undmensonal com uso do esquema CS, ITI r, e com uso do esquema FAS, ITI 3r. Para o caso bdmensonal com o uso do esquema CS, ITI = com qualquer solver, e com o uso do esquema FAS, ITI = 3 a 5, dependendo do solver; 4. O número de níves de malas (L) afeta sgnfcatvamente o tempo de CPU para os esquemas CS e FAS. O esquema utlzado (CS ou FAS) não tem muta nfluênca no L. Para ambos os esquemas e para os solvers testados, L L máxmo ;

153 53 5. Para os mesmos dados (ε, v e N), com L = Lmáxmo para cada N, entre as razões de engrossamento de malas testadas ( r =, 3, 4 e 5), o esquema CS é mas rápdo com r = ; já o esquema FAS é mas rápdo com r = 3; 6. O esquema FAS (com razão de engrossamento r = 3) é aproxmadamente 4 vezes mas rápdo do que o esquema CS (com razão de engrossamento r = ), tanto para problemas undmensonas como para problemas bdmensonas; 7. O comportamento qualtatvo dos parâmetros estudados do método multgrd é dêntco para problemas lneares e não-lneares undmensonas; 8. Para os mesmos dados (ε, v, N e RA), o algortmo SE-EP resulta no menor tempo de CPU entre os quatro algortmos testados para o problema ansotrópco; 9. A varação de RA resulta em grande varação do ITI para os algortmos EP, EP-SE e SE, e pequena varação para o algortmo SE-EP. 0. O ITI para o algortmo SE-EP é o mesmo para RA e RA, e para as razões de aspecto muto dstntas da undade, ou seja, 0 < RA << ou RA >> ;. A ordem do algortmo SE-EP (p) cresce com RA;. Para os mesmos dados (ε, v, N e RA), o algortmo SE-EP resulta em menor tempo de CPU para as malas levemente ( RA ) e fortemente alongadas ( RA >> ); e maor tempo de CPU para as malas com RA ntermedáro. Contrbuções desta tese: Esta tese contrbu com a lteratura exstente no sentdo de que: a) foram apresentados operadores de restrção por njeção e prolongação por nterpolação lnear generalzados para quasquer razões de engrossamento ( ) r, em problemas undmensonas; b) verfcou-se que o esquema FAS é mas rápdo do que o esquema CS, mesmo em problemas lneares; c) verfcou-se que r = perde a egemona sobre outras razões de engrossamento, por exemplo, para r = 3 quando se utlza o esquema FAS; d) constatou-se que para problemas ansotrópcos, o algortmo SE-EP é o mas adequado para razões de aspecto bem dstntas da undade, problemas de nteresse da engenara.

154 54 Recomendações prátcas: Com base nos resultados desta tese são fetas as seguntes recomendações aos usuáros do método multgrd para problemas guas ou smlares aos estudados. Problemas undmensonas lneares e não-lneares: Esquema: FAS; Razão de engrossamento: r = 3; Número de terações nternas: ITI = 9 ; Número de níves de malas: L = Lmáxmo. Problemas bdmensonas lneares sotrópcos: Esquema: FAS; Solver: MSI; Razão de engrossamento: r = 3; Número de terações nternas: ITI = 3; Número de níves de malas: L = Lmáxmo. Problemas bdmensonas lneares ansotrópcos: Algortmo: SE-EP; Número de terações nternas: ITI = 3. Extrapolação: Os problemas abordados nesta Tese são problemas modelados por equações smples, onde todos apresentam soluções analítcas conecdas. Espera-se que as conclusões srvam também para equações mas geras e para problemas que não possuam solução analítca conecda. Portanto, apresentam-se a segur algumas possbldades de extrapolação dos resultados desta Tese: Equação de advecção-dfusão bdmensonal. Aqu tem-se os efetos dos coefcentes constantes e varáves. No últmo caso (coefcentes varáves), por se tratar de ansotropa físca, pode-se estender a aplcação dos algortmos para ansotropa geométrca vstos no capítulo 7; Equação de termoelastcdade bdmensonal. Aqu tem-se os efetos do acoplamento entre as varáves de nteresse. Podem-se estender os aspectos qualtatvos dos parâmetros estudados para a equação de Laplace

155 bdmensonal ( ITI, L processo de resolução, como na fase elástca; 55, r ótma, CS versus FAS), tanto na fase térmca do Equação de Naver-Stokes bdmensonal. Aqu tem-se o acoplamento pressão/velocdade. Podem-se aplcar os aspectos qualtatvos dos parâmetros estudados para a equação de Laplace bdmensonal ( ITI, L, r ótma, CS versus FAS), na equação de Posson envolvda na resolução no cclo da massa (Larsson et al., 005 e Souza, et al., 006). Proposta de trabalos futuros: Apresentam-se a segur algumas questões que abrem camnos para novas pesqusas. Equação de advecção-dfusão bdmensonal: poucos aspectos qualtatvos com relação ao ITI, L, r ótma e esquemas CS versus FAS vararam para o caso undmensonal e bdmensonal. Acredta-se que tas propredades também devam valer para a equação de advecção-dfusão para o caso bdmensonal. Nesta etapa podem-se estudar também a nfluênca do número de Peclet em cada uma das dreções coordenadas, o ângulo do vetor de velocdades, etc. Equação de termoelastcdade bdmensonal: nada se estudou com relação a sstema de equações dferencas. A equação de termoelastcdade é uma boa equação para se começar os estudos de propredades do método multgrd em sstemas de equações, devdo ao acoplamento entre as varáves de nteresse. Equação de Naver-Stokes: este é outro sstema de equações dferencas com característcas bem peculares. Pode-se analsar a nfluênca do acoplamento pressão/velocdade no efeto multgrd. Devem-se analsar város tpos de acoplamento, dferentes funções de nterpolação, dferentes operadores de restrção e prolongação, etc. Aspectos qualtatvos no método dos volumes fntos: todas as conclusões deste trabalo são extraídas do método das dferenças fntas. Propõe-se avalar os aspectos qualtatvos deste estudo alterando-se o método para o método dos volumes fntos. Problemas ansotrópcos: estudou-se apenas ansotropa geométrca, ou seja, ansotropa da mala. Propõe-se amplar o estudo de ansotropa geométrca (outras ansotropas de mala) e também de ansotropa físca (ansotropa dos coefcentes),

156 56 além de realzar um estudo detalado sobre as dversas razões de engrossamento, solvers e esquemas CS e FAS para problemas ansotrópcos dversos; Multgrd algébrco: estudaram-se apenas problemas em malas estruturadas com o uso do multgrd geométrco. Propõe-se amplar o estudo em malas não-estruturadas com o uso do multgrd algébrco, além de realzar um estudo comparando a efcênca do multgrd geométrco e algébrco, ambos fazendo-se uso de malas estruturadas.

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163 63 Apêndce A - Métodos teratvos báscos e outros solvers Neste apêndce são apresentados alguns dos métodos teratvos báscos e estudam-se alguns dos métodos de solução dos sstemas de equações algébrcas que serão tratados neste trabalo. A. Exemplos de métodos teratvos báscos Esta seção será dedcada à apresentação dos métodos teratvos báscos mas conecdos, mostrando-se apenas como deve ocorrer a dvsão A = M N' : ) Método de Jacob por pontos 9 Este esquema de relaxação pode ser expresso em forma matrcal. Separando-se a matrz A na forma A = D L U, (A.) onde D é a dagonal de A, e L e U são estrtamente as partes nferor e superor de A, respectvamente. No caso do método de Jacob tem-se M dag( A) = D =. Assm Ax = b ( D L U ) x = b Dx ( L + U ) x + b = x = D ( L + U ) x + D b.(a.) Defnndo-se S J = D ( L + U ), (A.3) o método de Jacob na forma matrcal dar-se-á por x S x + D b. (A.4) J ) Método de Jacob Ponderado: Na forma matrcal, tem-se 9 Ou smplesmente Método de Jacob.

164 64 x ( m) = [( ω ) I + ωs ] x + ωd b, (A.5) ( m+ ) J onde ω R é camado de fator de ponderação. Defnndo-se a matrz de teração para o método de Jacob ponderado como S = ( ω) I ωs, tem-se ω + J x Sω x + ωd b. (A.6) Nota-se que se ω =, tem-se o método de Jacob orgnal. ) Método de Jacob por lnas Neste caso tem-se M obtda de A trocando-se todo a j por zero, para todo, j com j, j e j +. v) Método Gauss-Sedel por pontos 0 Novamente representa-se a matrz A na forma dada pela equação A.. Neste caso M é obtda de A trocando-se todo a j por zero, para todo, j com j >. Tem-se Ax=b ( D L U ) x = b ( D L) x = Ux + b x = ( D L) Ux + ( D L) b. Defnndo-se a matrz de teração para o método de Gauss-Sedel por S G = ( D L) U, (A.7) pode-se expressar o método de Gauss-Sedel como x S x + ( D L) b. (A.8) G v) Método Gauss-Sedel por lnas Neste caso M é obtda de A trocando-se todo a j por zero, para todo, j com j > +. 0 Ou smplesmente Método de Gauss-Sedel.

165 65 Nota-se que os métodos do tpo relaxação por lnas, dscutdos anterormente, exgem a solução de um sstema trdagonal. Para a resolução deste tpo de algortmo, deve-se recorrer ao algortmo de Tomas, mas conecdo como, algortmo para matrzes trdagonas (TDMA), que será vsto como um dos métodos para sstemas de equações do apêndce A.. A. Métodos para a resolução de sstemas de equações Nesta seção são descrtos alguns dos métodos numércos (dretos e teratvos) usados neste trabalo para a resolução dos sstemas de equações, também camados de solvers. Começa-se prmeramente pelo método dreto TDMA, que é usado para o caso undmensonal, em seguda descreve-se o método de Gauss-Sedel com a versão para o caso bdmensonal e a versão undmensonal sendo um caso partcular desta. Fnalmente descreve-se o método MSI para o caso bdmensonal. Os algortmos tratados nesta seção consderam um sstema lnear do tpo Au = f. Caso tena-se um sstema não-lnear do tpo A ( u) = f eles podem ser usados gualmente, mas tomando-se o cudado de aver um cclo externo para a atualzação dos coefcentes da matrz A do sstema. Método TDMA As matrzes de banda trdagonas são freqüentes na dnâmca dos fludos computaconal, partcularmente, em problemas undmensonas. O algortmo para a resolução de sstemas trdagonas (GOLUB e VAN LOAN, 989) que será descrto nesta seção é camado de TDMA (FORTUNA, 000 e MALISKA, 004). Ele é conecdo também como algortmo de Tomas. Seja a matrz A dos coefcentes trdagonal não-sngular b a 0 A = M 0 0 c b a 3 M c b 3 M a M N 0 b M N a N 0 0 0, (A.9) M c N bn Trdagonal Matrx Algortm (TDMA). Modfed Strongly Implct Metod (MSI).

166 66 cuja decomposção LU é da forma = N N N N L β α β α β α β α β M M M M M M (A.0) e = N U γ γ γ M M M M M M. (A.) Pode-se determnar os valores de α, β e γ das matrzes A.0 e A. em função dos elementos da matrz A.9 comparando-se A com os respectvos elementos do produto LU. Dessa comparação obtém-se = = = = = = =,,,,, N N N N N N a b a c a b a N c b γ β α β γ γ β α β γ β. (A.) Uma vez determnado os valores de todos os elementos de L e U, o sstema orgnal f Au = é escrto da segunte forma ( ). com, s U u f L s f u LU f Au = = = = Para se resolver o sstema f s L =, tem-se a forma progressva ( ) = = s f s N f s β α β,. (A.3)

167 67 Para se resolver o sstema U u = s, tem-se a forma retroatva N u = s N N, u = s γ u+. (A.4) Tabela A.: Procedmento dreto TDMA para problemas D Procedmento TDMA para Au = f. Dados a matrz A e o vetor f do sstema Au = f ;. Determnar os valores de α, β e γ pela equação A.; 3. Calcular s a partr da equação dada por A.3; 4. Calcular u a partr da equação dada por A.4. Este método apresenta uma boa efcênca computaconal. Ele solucona um sstema trdagonal com N equações necesstando de um número de operações artmétcas proporconas a N, ou seja, o algortmo TDMA é da ordem de O ( N ). Método Gauss-Sedel As matrzes de banda trdagonas e pentadagonas são freqüentes na dnâmca dos fludos computaconal para problemas un e bdmensonas, respectvamente. Um conecdo método teratvo para a resolução desses sstemas será descrto nesta seção. Dada uma equação dferencal governante para o caso bdmensonal, uma equação algébrca é formada para cada elemento de controle. Veja abaxo um exemplo de um esquema de 5 pontos, usando-se uma notação muto comum em DFC A u + p, j n s e w, j = A, ju, j+ + A, ju, j + A, ju+, j + A, ju, j f, j, (A.5) onde p A j a, j n s e w, =, A, j = a, j+, A, j = a, j, A, j = a+, j e A, j = a, j. Note que para o caso undmensonal, algumas smplfcações devem ser fetas. Como, por exemplo, tem-se pares (, j) A = A para todos os superíndces, u, j = u e f, j = f para todos os p, j p n e A A = 0, ou seja, = s, j, j

168 68 A u + p e w = A u+ + A u f. (A.6) Voltando ao caso bdmensonal: a coleção de equações na forma da equação A.5, escrta para cada par (, j) do domíno, produz uma equação matrcal da forma Au = f. O método de Gauss-Sedel (BURDEN e FAIRES, 997) é um método teratvo usado para se resolver este tpo de sstema de equações. Esse método resolve o sstema vstando equação por equação, teratvamente, usando-se em um mesmo cclo, os valores das varáves já calculadas nesse cclo teratvo. Pode-se reescrever a equação A.5 na forma A u = A u + A u + A u + A u + p k + k k + k k + P n N s S e E w W f P, (A.7) onde o superíndce k representa a k-ésma teração e o subíndce a posção do nó na mala computaconal. Neste caso usou-se o ordenamento lexcográfco, ou seja, de oeste (W) para leste (E) e do sul (S) para o norte (N), podendo-se consderar como conecdas, na mesma teração, as varáves u W e u S. Tabela A.: Procedmento teratvo de Gauss-Sedel para problemas D e D Procedmento de Gauss-Sedel para Au = f. Dados k = 0, k _ maxmo e 0 u ; k +. Calcular u P pela equação A.7 para todo P; 3. Faça k receber k + ; 4. Volte ao passo até convergr ou atngr k _ maxmo. Método MSI Como já fo dto antes matrzes de banda pentadagonas são freqüentes na dnâmca dos fludos computaconal, especfcamente, para problemas bdmensonas. Com a equação dferencal governante para o caso bdmensonal forma-se uma equação algébrca para cada elemento de controle. Abaxo tem-se um exemplo para 5 pontos

169 69 A u = s, j w p n e, j + A, ju, j + A, ju, j + A, ju, j+ + A, ju+, j f, j. (A.8) A coleção de equações na forma da equação A.8, escrta para cada par (, j) do domíno, produz uma equação matrcal da forma Au = f. O MSI (Modfed Strongly Implct Metod, SCHNEIDER e ZEDAN, 98), é um método teratvo para se resolver este sstema de equações. Dentre suas vantagens estão: remover ou enfraquecer a nfluênca da assmetra das matrzes [ L ][ U ]; reduzr o esforço computaconal demandado para se obter a solução convergda (solução numérca após atngr o crtéro de convergênca); reduzr a sensbldade à razão de aspecto da mala ( RA = x y, onde x e y são os comprmentos do elementos bdmensonas, nas dreções x e y respectvamente). Neste método, uma decomposção LU é proposta, tal que, [ L ][ U ] = [ A' ], onde as matrzes [ L ] e [ U ] são matrzes trangulares nferor e superor, respectvamente, com U tendo a dagonal untára. Ao se formar o produto LU, em adconas não-nulas denotadas por φ e φ. Desta forma, a matrz segunte forma: [ A ] = [ A] + [ B] A ' exstem duas dagonas A ' pode ser escrta da ', onde a matrz B consste apenas das dagonas φ e φ. Os coefcentes das matrzes L e U e os coefcentes adconas não-nulos que aparecem na matrz modfcada A ' podem ser determnados dretamente pela defnção das equações determnadas pela formação do produto LU. Um procedmento teratvo e corretvo é necessáro para anular a forte nfluênca destes termos no sstema de equações modfcado. Um parâmetro teratvo α é empregado para o cancelamento parcal da nfluênca dos termos adconas de A '. Isto é feto, escrevendo-se as equações modfcadas de de 5 pontos da segunte forma A ' para o esquema A φ s, j, j 4, j u, j [ u+, j α ( u, j + u+, j + u, j )] + [ u α( u + u + u )] = f., j+ + A w, j u, j + A, j p, j u, j, j + A n, j u, j+, j+ + A e, j, j u +, j φ (A.9) +

170 70 Tabela A.3: Procedmento teratvo MSI para problemas D Procedmento MSI para Au = f. Dado: Au = f, t = e t _ max ;. Some Bu em ambos os lados: ( A B) u = f + Bu + ; k + ' k + k 3. Cre o processo teratvo: ( ) A + B u = A u = f + Bu ; 4. Aplque a decomposção LU em ' k + k A : ( LU ) u = f + Bu ; 5. Dados k = 0, k _ maxmo e 0 u ; 6. Resolva por substtução retroatva: k + L v = f + Bu k ; + 7. Resolva por substtução progressva: U u k + = v k ; 8. Faça k receber k + ; 9. Volte ao passo 5 até convergr ou atngr k _ maxmo. 0. Atualze os coefcentes de A;. Faça t receber t + ;. Volte ao passo até convergr ou atngr t _ max. Detales sobre a obtenção dos coefcentes das matrzes L e U e as dagonas da matrz B podem ser encontrados em Scneder e Zedan (98). No método MSI, o sstema é resolvdo em poucas terações, com um comportamento parecdo ao de um método dreto, por sto ele é consderado um método fortemente mplícto.

171 Apêndce B - Soluções analítcas para os problemas un e bdmensonas 7 Neste apêndce descrevem-se as soluções analítcas dos problemas tratados nesta Tese. No apêndce B., encontra-se a solução do problema lnear undmensonal (equação de dfusão) do capítulo 4 desta Tese. No apêndce B., encontra-se a solução do problema lnear undmensonal (equação de advecção-dfusão) também do capítulo 4. No apêndce B.3, encontra-se a solução do problema não-lnear undmensonal (equação de Burgers), referente à equação tratada no capítulo 5. Fnalmente, no apêndce B.4, encontra-se a solução do problema lnear bdmensonal (equação de Laplace) dos capítulos 6 e 7 desta Tese. B. Solução da Equação de dfusão D Prmeramente busca-se a solução para a equação de dfusão, ou seja, a equação 4.3. Para tal equação, usa-se uma técnca para equações não-omogêneas (GREENBERG, 998). Busca-se então, uma solução da forma T ( x) T ( x) T ( x) =, (B.) + p onde T ( x) é a solução da equação omogênea e ( x) T p é uma solução partcular da equação não-omogênea. Esta solução partcular T p ( x) pode ser dada da segunte forma T ( x) = T ( x) + T ( x) +... T ( x) p p p + pm, (B.) onde m é o número de partes em que pode-se dvdr o termo fonte. No caso partcular da equação 4.3 e consderando-se especfcamente ( x) + 3x 6x f = +, tem-se ( x) C C x T + =, (B.3) T ( x) T ( x) + T ( x) T ( x) =. (B.4) p p p + p3

172 Usando-se o método dos coefcentes ndetermnados (GREENBERG, 998), pode-se deduzr que, após o processo de ntegração, tem-se 7 Tp = x, ( x ) Tp = x, ( x 3 ) Tp 3 3 = x. 6 ( x 4 ) Portanto, a equação B.4 possu o segunte formato T p 3 =. (B.5) ( x) x x x geral Com as equações B.3 e B.5 substtuídas na equação B., tem-se a solução analítca T 3 =. (B.6) ( x) C + C x x x x Com as condções de contorno aplcadas à solução analítca geral B.6, o problema dado pela equação 4.4 apresenta a segunte solução T 5 3 =. (B.7) ( x) x x x x A segur tem-se a tabela B. com o valor da solução analítca dada pela equação B.7 em alguns pontos do domíno de cálculo. A fgura B. lustra esta solução.

173 73 Tabela B.: Valor da solução analítca para a equação da dfusão Domíno: x Solução analítca: equação B.7 0,0 0, , 0, , 0, ,3, ,4, ,5, ,6, ,7, ,8, ,9, ,0, Fgura B.: Solução analítca para a equação de dfusão B. Solução da Equação de advecção-dfusão D Neste momento busca-se a solução para a equação de advecção-dfusão, ou seja, a equação 4.3a. Para tal usa-se uma técnca para equações omogêneas (GREENBERG, 998). Busca-se uma solução da forma T λx ( x) e =. (B.8) Se B.8 é uma solução de 4.3a, então deve ser verdade que

174 λx ( Pe) λ e = 0 74 λx λ e, (B.9) ou anda, ( λ ( Pe) λ) = 0 λ e x. (B.0) x Como e λ 0, λ, x R, tem-se que λ 0 ou λ = Pe. Pelo Teorema da superposção de soluções (GREENBERG, 998), tem-se que = λx λ x ( x) C e + C e T =, (B.) ou seja, Pex ( x) C C e T + =. (B.) Com as condções de contorno aplcadas à solução analítca geral B., o problema dado pela equação 4.5 apresenta a segunte solução ( Pe) x e T ( x) = ( Pe). (B.3) e A segur tem-se a tabela B. com o valor da solução analítca dada pela equação B.3 em alguns pontos do domíno de cálculo. A fgura B. lustra esta solução. Tabela B.: Valor da solução analítca para a equação de advecção-dfusão Domíno: x Solução analítca: equação B.3 0,0 0, , 0, , 0, ,3 0, ,4 0, ,5 0, ,6 0, ,7 0, ,8 0, ,9 0, ,0,

175 75 Fgura B.: Solução analítca para a equação de advecção-dfusão B.3 Solução da Equação de Burgers D Para fns de comparação com a solução do problema de advecção-dfusão dado pela equação 4.5, busca-se para o problema dado pela equação 5.3 a segunte solução ( Re) x e u ( x) = ( Re), (B.4) e que é a mesma solução analítca dada pela equação B.3 quando tem-se Re = Pe. Neste caso tem-se a solução analítca do problema 5.3, dada pela equação B.4, dêntca a solução do problema 4.5, dada pela equação B.3. Se B.4 é solução da equação 5.3, então deve ser verdade que ( x) ( ) ( Re) ( e ) x( Re) x( Re) ( Re) ( Re) e e e S =. (B.5) O número de Reynolds, Re = 0, será um dado fxo. Na tabela B. do apêndce anteror, tem-se também os valores da solução analítca para a equação de Burgers, que também serve para a equação B.4, em alguns pontos do

176 domíno de cálculo. Desta forma, a fgura B. lustra esta solução, onde o exo das ordenadas recebe a varável u, ao nvés de T. 76 B.4 Solução da Equação de Laplace D Prmeramente busca-se uma solução para a equação 6. da forma ( x y) X ( x) Y ( y) T, =. (B.6) Substtundo B.6 na equação 6. com ( x) = 0 resultado, tem-se f e manpulando-se algebrcamente o d X dx X d = Y dy Y = σ, (B.7) onde σ é uma constante. Então, resolve-se o segunte sstema de equações dferencas ordnáras, onde cada uma das equações é uma equação omogênea de segunda ordem com coefcente constante (GREENBERG, 998) d X dx d Y dy σ X σ Y = 0. (B.8) = 0 Como a equação de Laplace é uma equação dferencal lnear, pode-se utlzar o teorema da superposção das soluções (GREENBERG, 998), resultando na segunte solução geral T ( x, y) = ( A + A x)( A3 + A4 y) + [ A cos( x) + A sen( σ x) ][ A cos( σ y) + A sen( σ y) ] 5 σ 6 7 8, (B.9) onde A, A, A 3, A 4, A 5, A 6, A 7 e A8 são constantes a determnar.

177 77 Com as condções de contorno dadas pela equação 6., estas constantes acma assumem seus valores e este problema apresenta a segunte solução analítca, que é apresentada na fgura B.3 ( π y) ( π ) sen T ( x, y) = sen( π x). (B.0) sen Fgura B.3: Solução analítca para a equação de Laplace bdmensonal