Elaboração de um Código Computacional para Resolução de Sistemas Lineares de Grande Porte

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1 COMAT Coordenadora do Curso de Lcencatura em Matemátca TCC Trabalho de Conclusão de Curso Elaboração de um Códgo Computaconal para Resolução de Sstemas Lneares de Grande Porte Trabalho de Conclusão de Curso elaborado como um dos requstos para conclusão do Curso de Lcencatura em Matemátca da UFSJ. Orentador: Prof. Dr. Jorge Andrés Julca Avla Orentanda: Rosângela Asss Pres São João del-re, Dezembro de 4

2 P á g n a Sumáro. Introdução Resultados Prelmnares Método de Subespaço de Krylov Método de Arnold Método de Resíduo Mínmo Generalzado GMRES Precondconadores Testes Computaconas Conclusão... 8 Agradecmentos... 9 Referêncas Bblográfcas... 9

3 P á g n a 3 Introdução A modelagem de mutos problemas das cêncas e engenharas envolve Equações Dferencas Parcas EDP. Quando os problemas são mas próxmos ao mundo real, a teora matemátca é mas dfícl, pos são modelados por sstemas de EDP não lneares, e resolvê-los por métodos analítcos é quase mpossível. Na procura de métodos de solução de EDP encontramos os métodos numércos, os quas nos fornecem soluções aproxmadas destas EDP. Também, procuramos métodos numércos de acordo a nossa necessdade, por exemplo, a geometra do domíno de nosso problema é mutas vezes um fator mportante para a escolha do método numérco. Os métodos numércos mas usados são: Dferenças Fntas, Elementos Fntos e Volumes Fntos. Problemas que envolvem varáves temporas são, anda, mas complexos porque estudam a evolução do estado ao longo do tempo. Já os problemas estaconáros, os quas atngram seu regme permanente e não dependem da varável temporal são mas fáces resolvê-los e, por tal, seu custo computaconal é mas barato. Ao resolver numercamente um problema estaconáro percebemos que o resultado fnal da dscretzação é um sstema algébrco. Se o problema for lnear o sstema algébrco, também, será lnear e, se o problema for não lnear, o sstema algébrco também, será não lnear. Quando não é lnear deve-se lnearzar-se. Uns dos métodos mas populares para lnearzar sstemas algébrcos não lneares é o Método de Newton (o qual transforma um sstema não lnear em um número fnto de sstemas lneares) desse modo sempre estaremos resolvendo sstemas lneares. Para resolver numercamente um problema não estaconáro ou temporal, ou anda, transente procede-se do segunte modo: prmero, se dscretza a varável espacal, desse modo obtemos um sstema de Equações Dferencas Ordnáras EDO. Segundo, se dscretza a varável temporal, sto é, a dscretzação da EDO. O resultado desta dscretzação é, novamente, um sstema algébrco (lnear ou não lnear, dependendo do problema) e como já fo explcado para o caso estaconáro, tudo aponta à solução de sstemas lneares. Desse modo exstem mutas lnhas de pesqusas dreconadas ao estudo de soluções de sstemas lneares e empresas nvestndo em códgos computaconas mas efcentes, robustos e com baxo custo computaconal.

4 P á g n a 4 Sstemas Algébrcos Lneares, matematcamente, podem ser representados por Ax b onde A nn é uma matrz não sngular, x n e b n. Exstem dos métodos de solução: métodos dretos e métodos teratvos. Os Métodos dretos são quando a solução é obtda analtcamente através de manpulações algébrcas e/ou um número fnto de operações artmétcas. Estes métodos são aplcados a sstemas lneares que resultam de problemas não mutos complcados, onde o número de varáves envolvdas é pouco. Por exemplo, Elmnação Gaussana, Matrzes Inversas, Fatoração de matrzes, etc. Os Métodos teratvos são quando a solução é obtda numercamente através de aproxmações sucessvas ou sequêncas. Estes são aplcados a sstemas que resultam de problemas reas de grande porte, sto é, o número de varáves envolvdas no modelo é muto alto. Além dsso, mutas vezes a matrz A é mal condconada, em blocos e esparsa, ou seja, não possu uma estrutura bem defnda. Para ncalzação dos métodos teratvos precsa-se de um valor ncal aproxmado ou chute ncal, sto é, x n Podemos ctar como exemplos desses métodos, os métodos de Jacob, Gauss-Sedel e SOR (sobre relaxação). Assm, como também, os métodos de Gradente Conjugado (onde a matrz é smétrca e defnda postva), e outros, mas modernos, como são os Métodos de Subespaços de Krylov (MSK) e suas varantes. Um dos MSK é o método do Resíduo Mínmo Generalzado GMRES que são aplcados a sstemas lneares não smétrcos. Fo apresentado pela prmera vez por SAAD e SCHULTZ (986). Do ponto de vsta computaconal, este método apresenta problemas de armazenamento, então se sugere o estudo de métodos com rencalzação GMRES (m), veja [3]. Quando a matrz é mal condconada, algumas vezes os MSK podem se tornar muto lentos, até mesmo não convergr, nesse caso torna-se necessáro o uso de pré-condconadores, sto é, matrzes que transformem o sstema lnear orgnal em outro equvalente ao prmero, mas com propredades favoráves a convergênca.

5 P á g n a 5 Dentre as técncas de pré-condconamento podemos ctar a Fatoração LU Incompleta ( ILU ) que consste em transformar a matrz A num produto de uma matrz trangular nferor por uma matrz trangular superor, ou seja, A LU trangular nferor e U é uma matrz trangular superor., onde L é uma matrz Neste trabalho deduzremos, analsaremos e mplementaremos o Método de Resíduo Mínmo Generalzado GMRES (m) com precondconador do tpo Fatoração LU ncompleta sem preenchmento I L( U. ) Para valdação do códgo computaconal consderaremos 6 testes com matrzes que resultam de resolver numercamente problemas de grande porte das cêncas e da engenhara. Resultados Prelmnares Defnção. Defnremos alguns concetos dos tópcos de álgebra lnear. segunte forma (Sstema Algébrco Lnear) Um sstema algébrco lnear é defndo da n onde x é o vetor ncógnta, do lado dreto. A Ax b () nn é a matrz não sngular, b n é o vetor Defnção. (Matrz de Hessenberg Superor) Uma matrz H h j é Hessenberg superor se hj para todo, j tal que j, sto é, todas as entradas abaxo da prmera subdagonal são zeros. Exemplo: H h h h h h h h h h h h h h h h3 h33 h h h h h43 h44 h h h h( m)( m) h h h( m) ( m ) h( m) ( m) h h h 3 4 ( m) ( m) m 3 4 ( m) ( m) m 34 3( m) 3( m) 3m 4( m) 4( m) 4m ( m)( m) ( m) m ( m) m m( m) mm mm

6 P á g n a 6 Defnção 3. (Norma Eucldana ou Norma-) Para eucldana: n x defnmos a norma x n / x () Defnção 4. (Solução exata) Chamamos n y uma solução exata do sstema lnear () se Ay b. Defnção 5. sstema lnear () se (Solução aproxmada) Chamamos n x uma solução aproxmada do Ax b (3) Defnção 6. (Método teratvo) Um método teratvo do sstema lnear () é qualquer sequênca x em W ( subespaço vetoral de n ), tal que, Ax b. Note que x é uma solução aproxmada do sstema (). Neste caso, chamada a -ésma solução aproxmada. x é Alguns métodos teratvos são da forma x f ( x ),,,3,... (4) onde f é uma função. A equação (4) é chamada, algumas vezes, de esquema numérco do sstema (). Defnção 7. (Resíduo) O resíduo do sstema lnear () é defndo por, onde x é a solução aproxmada de (). r : b Ax (5) Em métodos teratvos, o resíduo ncal de (), é defndo por r b Ax (6) n onde x é o valor ncal ou chute ncal de (). O -ésmo resíduo de () é defndo por,

7 P á g n a 7 r b Ax (7) 3. Método de Subespaço de Krylov Apresentaremos o método de Subespaço de Krylov como um caso partcular do Método de Projeção. Defnção 8. (Método de Projeção) Sejam K e L subespaços de n, m- dmensonas, e x uma solução aproxmada de (). O método de Projeção sobre o subespaço K e ortogonal a L consste em: Encontrar tal que, xk, (8) b Ax L (9) onde L é o espaço das restrções e, a condção de restrção (9) é chamada de Condção de Petrov-Galern. No caso que exsta um chute ncal x a condção (8) será xx K. Note que K e L são subespaços arbtráros de construr apropradamente estes espaços. n por sso que o desafo consste em Defnção 9. (Espaço de Krylov) Um espaço de Krylov é defndo por A, r Span r, Ar, A r,... K () Note que Ar, K é um subespaço de n. Um subespaço de Krylov é defndo por Uma matrz de Krylov é defnda por, Span,,,..., K A r r Ar A r A r () K r Ar A r... A r () m

8 P á g n a 8 Uma base natural para o subespaço de Krylov é dada por Assm, qualquer z A, r r, Ar, A r,..., A r (3) K pode ser escrto como, z A r A... A I r q Ar (4) onde q é um polnômo de grau, não maor que,. Por outro lado, se A é uma matrz nvertível, então, de (3) e (6), temos que x x A r (5) Em (5), podemos obter Assm, A aplcando o Teorema de Kayley-Hamlton à matrz A. A r A... A I r (6) n n onde, os coefcentes podem ser obtdos pela equação caraterístca de A. Logo, de (4), E, portanto, de (5) e (6), temos que A r K A, r (7) xx K A, r (8) Isso sugere a ntrodução dos espaços de Krylov na solução de sstema lneares. O método de Subespaço de Krylov é um método de Projeção que procura uma solução aproxmada mpondo a condção de Petrov-Galern x do sstema lnear (), no subespaço afm x A, r K, b Ax L (9) onde L é o espaço de restrções de dmensão. Exstem város métodos de subespaço de Krylov, que surgem através da escolha de L. Por exemplo, quando L K, Ar

9 P á g n a 9 o método se subespaço de Krylov é chamado método dos Resíduos Mínmos MINRES. 4. Método de Arnold Antes de ncar a busca pela solução aproxmada x do sstema lnear () no subespaço de Krylov é necessáro construr uma base aproprada para este subespaço. A prncípo poderíamos consderar a base, dada em (3), porém a escolha não é adequada porque essa sequênca de vetores converge para o autovetor assocado ao maor autovalor, em módulo, da matrz A e, por sso, tende a tornar-se lnearmente dependente quando o número de operações de cálculo e precsão é alto. Por outro lado, se tornarmos cada vetor de como sendo ortonormal, teremos uma base mas estável e sem o problema de tornar-se lnearmente ndependente. Para a ortonormaldade de usaremos o método de Ortonormalzação de Arnold, também conhecdo como o processo de Gram-Schmdt modfcado, que a segur, descreveremos. A partr de um vetor ncal e untáro v r () r o Método de Arnold gera vetores v através da ortonormalzação de Av com relação aos vetores gerados prevamente. O Algortmo de ortonormalzação de Arnold é apresentado na Tabela. Tabela. Algortmo : Processo de ortonormalzação de Arnold Entrada: A, b e x. r b Ax r. v r 3. Para j,,3,... fazer 4. v j Av 5. Para,..., j fazer j

10 P á g n a 6. (, j) v, v j 7. v v (, j) v 8. Fm j j 9. ( j, j) v j. Se ( j, j). Então, pare. v. Fm v j j j j Seja a matrz H C +, a matrz de Hessenberg superor que contém os coefcentes (, j), onde é o número de terações fetas durante o processo de Arnold. Numa observação mas detalhada pode-se conclur o algortmo atualza v da segunte forma: Do Passo temos que: ( j, j) v j v j Utlzando o Passo 6 segue que v v (, j) v, logo: j j ( j, j) v v (, j) v j j Pelo o Passo 3 concluímos que: ( j, j) v Av (, j) v j j Então, após terações a fórmula acma será: (, ) v Av (, ) v (, ) v... (, ) v () ou, (, ) v (, ) v... (, ) v (, ) v Av () Logo,

11 P á g n a Av (, ) v V h (3) onde h é a -ésma coluna da matrz H e V consttu uma base ortonormal formada pelo processo de Arnold para o subespaço de Krylov K Ar, todos os vetores de V obtemos uma mportante relação:. Generalzando para AV V H (4) Proposção. Seja bc n, então dm( K j ) será menor ou gual a n, e, portanto exstrá um prmero valor tal que Ab anterores da sequênca de Krylov, sto é: será lnearmente dependente com os vetores A b A b (5) Como já fo dto, a sequênca de vetores que consttuem o subespaço de Krylov converge para um autovetor da matrz A, o que torna natural a dea de que em alguma teração, o vetor gerado pelo método de Arnold seja uma combnação lnear dos gerados anterormente e, consequentemente, ao ortonormalzarmos este novo vetor com os anterores teremos o vetor nulo. De acordo com a Proposção e o Algortmo, sso ocorrerá na teração, onde é o grau do polnômo mínmo do vetor b com relação a matrz A. Na teração teremos encontrado uma base V [ v, v,..., v] para o subespaço de Krylov Ar, K. Como ( j, j) v j e para algum valor,, temos que (, ) então v. Assm, chega-se à conclusão que o crtéro de parada estabelecdo pelo Algortmo será satsfeto apenas quando obtver uma base para o subespaço K Ar,, onde se encontra uma solução x muto próxma da solução exata do sstema () sendo capaz de satsfazer o teste de convergênca do método teratvo, que utlza o processo de Arnold na construção de uma base ortonormal.

12 P á g n a 5. Método do Resíduo Mínmo Generalzado GMRES O método do Resíduo Mínmo Generalzado (GMRES) veja [3], é um método de projeção ortogonal baseado em subespaços de Krylov, que apresenta as seguntes característcas: Consdere o sstema lnear (). Para resolver esse sstema o GMRES parte de um valor ncal x e calcula o resíduo ncal r b Ax. K será o subespaço de Krylov: onde ( x x ) A, r, Span,,,..., K A r r Ar A r A r (6) K, sendo x a solução exata do sstema () e x a solução aproxmada do mesmo sstema obtda na -ésma teração feta pelo GMRES. O espaço L K, ou seja, de restrção será A A, r x r x L K r mn r Az z K (7) Consdere a matrz V [ v v... v ] como sendo uma base ortonormal do subespaço de Krylov K construída a partr do processo de ortonormalzação de Arnold, veja a Tabela. Temos que x K A, r x x c, onde A r forma: c K (, ), então x pode ser escrto como e sendo V uma base desse subespaço c é da segunte c y v (8) onde os y,,...,, são os escalares anda desconhecdos que tornam a equação (8) verdadera. Também podemos escrever a gualdade acma na forma de matrz: c V y (9) Neste caso, y será o vetor cujos elementos são os escalares Logo, x x c pode ser representado por: y (,..., ). x x V y (3)

13 P á g n a 3 O GMRES utlza-se da equação (3) para calcular a solução aproxmada e da equação r b Ax para calcular o resíduo em cada teração. Sem perda de generaldade vamos defnr x como sendo o vetor nulo. Depos de calcular a matrz V, a segunda etapa será encontrar os valores de y para fazer uso da equação (3). Para sso, consdere que em cada teração do GMRES o valor esperado da norma eucldana do resíduo seja mínmo. r mn b Ax x Utlzando as seguntes equações: r b Ax r b r v r v r V r e r Sendo e o prmero vetor da base canônca e V [ v v... v v ] é a matrz ortonormal, cujas colunas são formadas pelos vetores ortonormalzados pelo método de Arnold e, representa uma base para o subespaço de Krylov Ar, K. De (3), x x V y x V y De (4), temos que: r mn b Ax mn r AV y mn V r e V H y (3) x y y Para que o valor de r seja mínmo é necessáro que V r e V H y muto próxmo de zero. E como V é uma matrz ortonormal segue que V V V V I onde I é a matrz dentdade, então a matrz V possu nversa e T T, T sua nversa será V. seja V V H y V V r e V H y V r e V H y V r e (3) Assm,

14 P á g n a 4 H y r e (33) A equação (33) é, também, um sstema lnear e pode ser resolvda através de uma sére de rotações de Gvens, sendo um problema de fácl resolução comparado ao sstema () devdo à estrutura da matrz de Hessenberg superor H. Uma vez determnado o vetor y, a tercera e últma etapa é usar a equação (3) para determnar a solução aproxmada x e calcular o seu respectvo resíduo r em cada teração. As três etapas são repetdas em cada teração dentro de um laço que termna quando o teste de convergênca for satsfeto. É mportante ressaltar que o GMRES não pode fazer nfntas terações, por sso deve-se estabelecer uma determnada tolerânca para o resíduo, sto é, escolher um número muto próxmo de zero para que o método faça uma sére de terações até que o resíduo seja menor ou gual à tolerânca. Quando a dmensão da matrz A é muto alta o GMRES ocupa muto espaço de armazenamento, então para amenzar tal problema fo crado o GMRES com rencalzação, denotado por GMRES (m), e consste na escolha de um m ( m n), com o qual será gerada uma base ortonormal para encontrar a solução aproxmada de (). Quanto à escolha de um m ótmo podemos ctar Saad. 6. Precondconadores O precondconamento é o processo de transformação do sstema lnear () em outro equvalente, porém mas smples. Sendo, mutas vezes, ndspensável no sentdo de melhorar a taxa de convergênca do método. Ao aplcar-se o precondconamento em um sstema lnear espera-se que a matrz M, chamada precondconador, seja uma boa aproxmação da matrz A e, desta forma, AM deve ser uma boa aproxmação da matrz dentdade. Resolver um sstema do tpo y M c costuma não ser vável, uma vez que o cálculo de nversa de matrzes pode ser muto trabalhoso, ocupar um grande espaço de armazenamento e o custo

15 P á g n a 5 computaconal seja alto. Desse modo o mas vantajoso sera a resolução do sstema My c. Como não é possível construr um precondconador que resolva um problema de forma genérca, esta área de pesqusa está aberta ao desenvolvmento de novas técncas, uma vez que a qualquer momento podem surgr aplcações que necesstam de precondconadores mas efcentes para o tpo de problema em questão. A construção de um precondconador está assocada ao fato de poder reutlzálo em outros problemas, bem como a necessdade de acelerar a convergênca do método utlzado, para compensar o fato de que ao trabalhar com prencondconadores o custo e o armazenamento é maor se comparado com métodos teratvos sem prencondconadores. Um tpo de precondconador muto utlzado é a Fatoração LU Incompleta ( ILU ) que consste em aproxmar a matrz A de um produto de uma matrz trangular nferor por uma matrz trangular superor, ou seja, A LU, onde L é uma matrz trangular nferor e U é uma matrz trangular superor, fazendo assm M LU, veja [6]. Dentre as técncas de fatoração ILU, podemos destacar a Fatoração ILU (), neste caso, as posções nulas da matrz A, sto é, a posção dos elementos nulos da matrz A, são preservadas nas matrzes trangulares. A fatoração ILU () também é conhecda como fatoração sem preenchmento. Na Tabela, encontrar-se o pseudocódgo do GMRES (m) com a versão do precondconador ILU (), baseado prncpalmente nas referêncas [5] e [6].

16 P á g n a 6 Tabela. Pseudocódgo do GMRES (m), com o precondconador ILU (). GMRES (m) Entrada : A, b, x, M, Saída : x Faça: r b Ax, = r v r /, b e Para, m Faça enquanto: j < terações e Mz v z M v w Az ( ), Para, T h, v w, w w h, v h w, v w / h r,,,, Para,,, r - s r c h,,, r, = r h,,, c = r /, h c r s h, r c r s h,,,, s = h /, bˆ - s b, b c b, Se então nr, Vá para nr m y bnr / r nr b nr, nr Para nr, y ( b r y ) / r,, r b Ax, r Fm Precondconador ILU() Entrada: A, Saída: M LU Para, n Para, nr nr x x y z Se a e a faça,, a a / a,,, Para j, n faça a a a a,j,j,, j Para, n Para j, n Se j então u a, j,j Caso contráro, u Para, n Para j, n Fm, j Se j então l a, j,j Se j então l, j Caso contráro, l, j 7. Testes Computaconas Os testes realzados para resolução de sstemas lneares utlzam matrzes extraídas do Matrx Maret, [4]. Estas matrzes resultam de modelar problemas de grande porte, como por exemplo: problemas de convecção-dfusão D, elementos fntos na resolução de operadores b-harmôncos em placas retangulares, smulação de reservatóros, problemas de reação-dfusão, reatores tubulares, etc. para outros testes veja [].

17 P á g n a 7 O método GMRES (m) e o método GMRES com o precondconador ILU (), apresentado na Tabela, foram mplementados na Lnguagem Fortran. A execução dos programas foram fetos em um computador Intel Core 5,. GHz de CPU, 4 GB de memóra RAM e sstema operaconal Wndows 8. Foram consderados sstemas lneares cuja solução era conhecda. O Número de terações máxmo fo gual a e a Tolerânca 6, o valor de m escolhdo em todos os testes fo m 36. Na Tabela 3, encontra-se o valor do erro (sto é, x x, onde x é a solução exata do sstema e x é a solução aproxmada obtda pelo método teratvo) gerado pelo GMRES(m) com e sem precondconador. Tabela 3: Erro gerado pelo GMRES(m) com e sem precondconador. Teste Matrz Dmensão GMRES(m) Add ,5 Arc ,33 GMRES(m) Precondconado ILU(),6 6 4, 5 3 Bcsst 48 48,,8 4 4 Bcsstm Bcsstm 38 38,7 6 Cdde ,3 7 Cdde ,7 8 Cdde ,94 9 Nos ,36 Nos4 6,5 Nos ,,39 7,73 7,36 7 4,95 9 4,4 7,4 8 Odep4a 4 4,73 3 Pores 4 4,7 6,76 7 7,97 4 Pores ,8 4, Rdb 8, 6 Tub,34 9,38 8 4,33

18 P á g n a 8 Na maora dos casos, percebe-se um melhor desempenho do GMRES(m) com precondconador ILU (), destacando-se os resultados obtdos com as matrzes dos Testes e 3, cujo desempenho fo bem superor ao desempenho do GMRES(m). Há também, o caso da matrz do Teste 5, na qual o GMRES(m) apresentou uma maor proxmdade da solução exata do sstema se comparado com o GMRES(m) com precondconador ILU (). E em alguns casos, observa-se um desempenho semelhante entre os dos métodos teratvos. Lembrando que os testes realzados fzeram uso somente de matrzes cujos sstemas lneares eram resolvdos por ambos os métodos, pos o objetvo aqu era observar o desempenho do GMRES(m) e do GMRES(m) com precondconador ILU (). 8. Conclusão Nesse trabalho, deduzmos, analsamos e mplementamos o Método de Resíduo Mínmo Generalzado GMRES com rencalzação GMRES (m). Quando se observou dfculdade de aceleração da convergênca, estendeu-se para o estudo do GMRES (m) com precondconador do tpo Fatoração LU ncompleta sem preenchmento ILU (). Esses métodos teratvos, baseados em Subespaços de Krylov, resolvem sstemas lneares não smétrcos, esparsos e mal condconados que resultam ao resolver numercamente problemas de grande porte da cênca e da engenhara. O Método de Subespaço de Krylov MSK procurou uma solução aproxmada de um determnado sstema lnear em um subespaço de Krylov, mpondo restrções que facltam essa busca. O precondconador é uma forma de melhorar ou acelerar a convergênca de um MSK, claro que, cada problema exge um tpo de precondconador dferente que melhor se adapte as característcas da matrz dos coefcentes para que o precondconador cumpra a sua função e, consequentemente seja vantajoso o gasto com a sua construção.

19 P á g n a 9 Agradecmentos Agradeço a Deus pelas forças e a mnha famíla pelo apoo constante que obteve durante todos esses anos de estudo. Agradeço aos professores do DEMAT que souberam me ensnar e partcularmente ao prof. Dr. Jorge Andrés Julca Avla, pelo apoo constante na mnha vda profssonal e acadêmca. Também agradeço ao INCTmat/CNPq pelo apoo fnancero prestado durante o ano 3. Referêncas Bblográfcas [] Carvalho, Luz M. Avanços em Métodos de Krylov para Solução de Sstemas Lneares de Grande Porte. São Carlos, SP: SBMAC, 9, 48 p.,.5 cm (Notas em Matemátca Aplcada, vol. 4). [] Gonçalez, Tífan T. Algortmos Adaptatvos para o método GMRES(m). Porto Alegre: PPGMAp da UFRGS, 5. [3] Lago, Rafael F. Estudos Sobre os Métodos Iteratvos de Krylov para Solução de Sstemas de Equações Lneares. Ro de Janero: UFRJ/COPPE,. [4] Matrx Maret. Dsponível em: < >. Acesso em: 5 Nov. 4. [5] Saad, Y. e Schultz, M. H. GMRES: a generalzed mnmal resdual algorthm for solvng nonsymmetrc lnear systems. SIAM J. Sc. Stat. Comput., 7(3): , 986. [6] Van der Vorst, Hen A., Interatve Krylov Methods for Large Lnear Systyms, Cambrdge Unversty Press, New Yor, 3.

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