O uso de relaxação Lagrangiana em uma abordagem exata para o problema de carregamento de paletes do produtor

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1 O uso de relaxação Lagrangana em uma abordagem exata para o problema de carregamento de paletes do produtor Llan Káta de Olvera (FSA) llan.olvera@fsa.br Renaldo Morabto (UFSCar) morabto@power.ufscar.br Resumo Neste trabalho apresenta-se um método exato para resolver o problema de carregamento de paletes (PCP) do produtor. Este problema consste em arranjar sem sobreposção o máxmo número de retângulos de dmensões (l,w) ou (w,l) sobre um retângulo maor (L,W). O método aqu proposto é baseado no método de Beasley (985) para um problema de corte e empacotamento mas geral. Tal método envolve um procedmento de busca em árvore do tpo branch and bound que, em cada nó, utlza lmtantes dervados de relaxações Lagrangana e Surrogate de uma formulação de programação lnear 0-. Um algortmo de otmzação do subgradente é usado para otmzar estes lmtantes. São aplcados anda testes de redução do problema e uma heurístca Lagrangana na otmzação do subgradente. São apresentados os resultados obtdos em testes computaconas resolvendo exemplos da lteratura e exemplos reas. Palavras-chave: Problema de carregamento de paletes do produtor; Relaxações Lagrangana; método Branch and Bound.. Introdução Este trabalho trata de um caso partcular dos problemas de corte e empacotamento, denomnado problema de carregamento de paletes do produtor (PCP do produtor), o qual é classfcado como /B/O/C (bdmensonal, seleção de tens, únco objeto, tens guas), de acordo com a tpologa de Dyckhoff (990). Bascamente, este problema consste em arranjar sem sobreposção o máxmo número de retângulos de dmensões (l,w) ou (w,l) (faces nferores das caxas) sobre um retângulo maor (L,W) (superfíce do palete). Admtmos que as caxas estão dsponíves em grandes quantdades e devem ser arranjadas ortogonalmente, sto é, com seus lados paralelos aos lados do palete. Estes arranjos de caxas formam camadas que são então emplhadas sobre o palete. Devdo à escala e extensão de certos sstemas logístcos, um pequeno aumento do número de produtos carregados sobre cada palete pode resultar em economas substancas. O PCP do produtor é dfícl do ponto de vsta da complexdade computaconal, pos aparentemente smples de ser resolvdo otmamente, o problema não é resolvdo em tempo polnomal, embora sto anda não tenha sdo provado (Tarnowsk et al., 994; Nelssen, 994; Letchford e Amaral, 00; Martns, 00). Além dsso, o PCP do produtor é mportante nas atvdades logístcas de armazenagem e transporte de produtos embalados em caxas e carregados sobre paletes e camnhões (Morabto et al. 000). Poucos autores propuseram métodos exatos para resolver o PCP do produtor, entre eles, Dowsland (987), Tsa et al. (993) e Battacharya et al. (998). Devdo à dfculdade com os métodos exatos, dversas heurístcas têm sdo propostas na lteratura para resolver o PCP do produtor. Exemplos podem ser encontrados em Steudel (979), Smth e De Can (980), Bschoff e Dowsland (98), Dowsland (993), Nelssen (994, 995), Arenales e Morabto (995), Schethauer e Terno (996), Herbert e Dowsland (996), Schethauer e Sommerwess (998), Morabto e Morales (998, 999), Farago e Morabto (000), G e Kang (00), Martns (00), Lns et al. (003),

2 Pureza e Morabto (003, 005), Alvarez-Valdes et al. (005) e Brgn et al. (005). Lns et al. (003) apresentaram uma abordagem explorando partções na forma de um L, e conjeturaram que ela é exata para o PCP do produtor. A desvantagem desta abordagem é o relatvamente grande requsto de tempo computaconal, o que fo atenuado no estudo recente em Brgn et al. (005). Lmtantes superores para o PCP do produtor foram estudados em Nelssen (995), Letchford e Amaral (00), Morabto e Farago (00) e Martns (00). Neste trabalho, o PCP do produtor é modelado como um problema ntero 0- smlarmente a Farago e Morabto (000). O modelo pode ser vsto como um caso partcular do modelo proposto em Beasley (985) para o problema mas geral da classe /B/O/M (bdmensonal, seleção de tens, únco objeto, város tens dferentes). Apresentamos um método exato baseado na aplcação da técnca de relaxação Lagrangana, que fornece um excelente lmtante para ser usado num procedmento de busca em árvore (método branch and bound). Beasley (985) utlzou um método smlar baseado em relaxação Lagrangana e Surrogate para o problema mas geral acma ctado. Um algortmo de otmzação do subgradente é usado para otmzar o lmtante obtdo por relaxação Lagrangana. São aplcados anda testes de redução com o objetvo de reduzr o tamanho do problema, e a heurístca Lagrangana em Farago e Morabto (00). Os testes computaconas foram realzados utlzando exemplos conhecdos da lteratura e exemplos reas. O trabalho está organzado como descrto a segur. Nas seções, 3 e 4 são apresentados a formulação do problema adaptada de Beasley (985), a aplcação de relaxação Lagrangana e o procedmento de busca em árvore (branch and bound), respectvamente. Na seção 5 apresentamos alguns resultados computaconas e conclusões obtdas, bem como perspectvas futuras para o trabalho.. Formulação do problema Um palete (L,W), de comprmento L e largura W, deve ser carregado com caxas guas com faces nferores de dmensões l e w. Admtmos que L, W, l e w são números nteros, e que l w e l mn { L, W }. Por smplcdade, defnmos ( l, w ) = ( l, w ) e ( l, w ) = ( w, l ), assm, ( l, w ), =,, correspondem ao comprmento e largura da face de uma caxa com orentação. O problema consste em encontrar um arranjo de caxas em camadas horzontas, tal que a utlzação da superfíce do palete seja a máxma possível. Defnmos P e Q o mínmo e o máxmo número de caxas por camada, respectvamente, que podem ser colocadas sobre o palete (0 P Q). Consderamos um sstema de coordenadas cartesanas com orgem no canto nferor esquerdo do palete. Sabemos que as caxas podem ser colocadas em váras posções ao longo do comprmento L e largura W do palete. Sejam X = { p 0 p L- w, ntero} e Y = { q 0 q W - w, ntero} os conjuntos das coordenadas (p,q), respectvamente, para se colocar o canto nferor esquerdo da face (l,w) de uma caxa dentro do palete. Sem perda de generaldade (Beasley, 985), podemos restrngr os conjuntos X e Y para: X = { p p= lb, 0 p L w, b 0 e ntero, =, } = = Y = { q q= wb, 0 q W w, b 0 e ntero, =, }. Defnmos anda a função a que é útl para descrever restrções de sobreposção de caxas sobre o palete, e que pode ser computada com antecedênca para cada posção (p,q), cada posção (r,s), e cada orentação, com p X tal que p L-l, q Y tal que q W-w, r X, s Y, e =, (Beasley, 985):

3 , se 0 p r p+ l L e 0 q s q+ w W apqrs =. 0, caso contráro Fnalmente, para todo p X tal que p L-l, q Y tal que q W-w e =,, temos a varável de decsão x pq :, se uma caxa é colocada na posção ( p, q) do palete com orentação xpq =. 0, caso contráro O PCP do produtor pode então ser formulado pelo segunte problema lnear 0- (Beasley, 985, Farago e Morabto, 000): Max p X p L l } s.a. = = { { q Y q W w } x () pq { p X p L l } { q Y q W w } pqrs pq = { p X p L l } { q Y q W w } pq a x, para todo r X, s Y () P x Q (3) x pq {0,}, =,, p X tal que p L-l ; q Y tal que q W-w (4) A função objetvo () maxmza o número de caxas colocada sobre o palete. A restrção () garante que cada par (r,s) seja ocupado por no máxmo uma caxa e, desta manera, evta sobreposção no arranjo de caxas (Fgura ). A restrção (3) garante que o número de caxas arranjadas esteja dentro do ntervalo [P,Q] (em geral, temos P = 0). O problema ()-(4) envolve O( X Y ) varáves e restrções, o que o torna em geral dfícl de ser resolvdo otmamente nos casos prátcos. Consderamos anda a nclusão dos raster ponts em substtução aos conjuntos normas, para reduzr o tamanho destes conjuntos. Assm, os conjuntos X e Y, podem ser bem reduzdos, elmnando algumas varáves usando o conceto de raster ponts (Schethauer e Terno, 996; Morabto e Morales, 998). Tem-se que os pontos ( p, q ), sem perda de generaldade, devem fazer parte dos conjuntos normas X e Y, ou anda, fazer parte dos conjuntos raster ponts X e Y dados por: X ' = {( L p) p X } {0} Y' = X {( W q) q Y } {0} Y ( p ') = max{ p p X, p p '} ( q') = max{ q q Y, q q '}. X 3. Relaxação Lagrangana (LAG) Utlzando a técnca de relaxação Lagrangana em ()-(4), ou seja, ntroduzndo os multplcadores de Lagrange g rs ( 0) para todo r X e todo s Y da expressão (), obtemos o segunte problema Lagrangano (note que temos X Y multplcadores): Y Max s.a. V x + g (5) { p X p L l} { q Y q W w} pq pq rs = r X s Y P x Q (6) = { p X p L l } { q Y q W w } pq x pq {0,}, =,, p X tal que p L-l ; q Y tal que q W-w (7) onde V g a. = pq rs pqrs r X s Y

4 Sejam { X pq} representando os valores das varáves {x pq } na solução do problema Lagrangano (5)-(7), com valor dado por Z = V X + g, UB pq pq rs = { p X p L l}{ q Y q W w} r X s Y que corresponde a um lmtante superor para o valor ótmo do problema orgnal ()-(4), para quasquer {g rs } não negatvos. Observe que, dados {g rs }, o problema (5)-(7) pode ser faclmente resolvdo, uma vez que se decompõe em dos problemas ndependentes (um para cada tpo de orentação de caxa), e que cada subproblema pode ser faclmente resolvdo por nspeção. Seja n o número de varáves x pq com valores V pq estrtamente postvos: Se n Q, então escolha as Q varáves com maores valores V pq, e fxe-as em. Se P n < Q, então escolha as n varáves com maores valores V pq, e fxe-as em. Se n < P, então escolha as P varáves com maores valores V pq, e fxe-as em. As demas varáves são fxadas em 0. Note que o problema Lagrangano (5)-(7) possu a propredade de ntegraldade, uma vez que, dados {g rs }, sua solução não se altera ao trocarmos a restrção de ntegraldade x pq {0,} por sua relaxação lnear 0 x pq. Isto mplca que o melhor lmtante superor produzdo pelo problema Lagrangano (5)-(7) para o problema ()-(4) não é melhor do que o lmtante superor obtdo pela relaxação de programação lnear do problema ()-(4). Para resolver o problema dual Lagrangano: mn g rs 0 {problema Lagrangano (5)-(7)}, é utlzado o método de otmzação do subgradente (Camern et al., 975; Crowder, 976; Beasley, 985, 993; e Farago e Morabto, 000). É possível também aplcar, durante cada teração do método de otmzação do subgradente, alguma heurístca Lagrangana para gerar soluções factíves para o problema orgnal ()-(4), a partr da solução obtda para o problema Lagrangano do passo (modelo (5)-(7)). Também podemos aplcar alguma técnca de redução do problema para tentar fxar, sem perda de generaldade, alguma varável em 0 ou, e, desta manera, reduzr o tamanho do problema ()-(4). Neste trabalho consderamos a heurístca Lagrangana e a técnca de redução do problema apresentados em Farago e Morabto (000) 4. Busca em árvore No fnal do procedmento de otmzação do subgradente, o menor lmtante superor (Z mn ) e o máxmo lmtante nferor (Z LB ) correspondente a uma solução factível, podem não concdr e, para resolver este problema, aplcamos o método branch and bound (Nemhauser e Wolsey, 988). O problema é resolvdo utlzando uma árvore bnára com busca em profunddade e, em cada nó da árvore, é computado um lmtante superor de relaxação Lagrangana. A segur é apresentado resumdamente o algortmo do procedmento de busca em árvore (Nemhauser e Wolsey, 988). Consderemos: L : lsta de problemas nteros ( P ) que devem ser nvestgados ou nós abertos. S : conjunto das soluções factíves do problema Z LB P pertencente a L : lmtante nferor para o valor objetvo de P (relaxação). Z UB : lmtante superor para o valor objetvo de P (solução factível). Z: valor da função objetvo do problema P. Passo : Incalzação: forme uma lsta L={P} (sendo P o problema ()-(4)) com os 0 0 problemas anda não resolvdos, S = S, Z = e Z =. UB LB

5 Passo : Teste de parada: se L= então a solução x 0 que assegura ZLB = Z é a solução ótma. Passo 3: Seleção do problema e relaxação: selecone e elmne um problema P de L. Resolva a relaxação do problema seleconado (RP ). Seja Z R o valor ótmo da relaxação e seja xr a solução ótma se exstr. Passo 4: Sondagem: a) se ZR Z LB, vá para o passo ; b) se x R S, vá para o passo 5; c) se x R S e Z > Z LB, faça ZLB = Z. Elmne de L todos os problemas com ZUB Z LB. Se Z = Z R, vá para o passo, caso contráro vá para o passo 5. Passo 5: Dvsão (branch): Seja { S j }, j=, a dvsão de S. Assm teremos dos novos subproblemas e devemos seleconar uma varável e esta será fxada com valor gual a no nó j da esquerda e, conseqüentemente, gual a 0 no nó da dreta. Esses novos subproblemas ( P ), j j=, são ncluídos na lsta L onde Z = Z. Em seguda, vá para o passo. UB R No método de busca em árvore ncalmente deve-se formar uma lsta L={P} (sendo P o problema ()-(4)) com os problemas anda não resolvdos, em seguda deve-se ncar o lmtante superor e lmtante nferor. Para o cálculo do lmtante superor foram utlzados os lmtantes da Razão da Área e o de Barnes (Barnes, 979). O lmtante nferor pode ser ncado com a solução homogênea com todas as caxas arranjadas na mesma dreção, ou anda com a heurístca de Morabto e Morales (998). No Passo 5 do algortmo de procedmento de busca em árvore acma, devemos fazer a dvsão dos nós (branchng) e seleconar a varável a ser fxada na dvsão dos nós. Consderamos as estratégas apresentadas em Beasley (985), Reeves (993), a de maor valor Lagrangano (ou seja, com maor V pq para ser fxada em 0 ou em ) e uma escolha aleatóra, onde a varável a ser fxada na dvsão dos nós é seleconada de forma aleatóra, sem nenhum crtéro pré-defndo. 5. Resultados computaconas e conclusões Nesta seção apresentamos alguns resultados computaconas do método exato utlzando relaxação Lagrangana. As mplementações foram codfcadas em lnguagem Pascal (complador Delph 5) e os testes foram realzados em um mcrocomputador Pentum III 650 MHz. Foram fetos város testes computaconas (maores detalhes veja Olvera, 004) e os resultados em relação à otmzação do subgradente apontaram para utlzar o método de redução do problema e ncar o parâmetro com f = (tamanho do passo na otmzação do subgradente) e dvd-lo a cada 30 terações. Em relação ao procedmento de busca em árvore, os resultados dos testes apontaram para utlzar a regra de Beasley (985) para escolher para a seleção da varável a ser fxada na dvsão dos nós; utlzar os valores de multplcadores assocados com o melhor lmtante superor obtdo no nó predecessor da árvore; utlzar os conjuntos de raster ponts ao nvés dos conjuntos normas, e utlzar a heurístca construtva de Morabto e Morales (998) para gerar bons lmtantes nferores ncas. Por motvo de espaço, a segur apresentamos apenas alguns resultados destes testes. Os demas resultados encontram-se detalhados em Olvera (004). O prmero grupo de exemplos fo subdvddo nos Grupos A e B conforme Tabelas e. Os 6 exemplos do Grupo A (L-L6) foram escolhdos aleatoramente do conjunto Cover II da lteratura (Nelssen, 993, 994; Schethauer e Terno, 996), que contém

6 exemplos do PCP do produtor com solução ótma conhecda (composta de 5 a 00 caxas). Todos os exemplos do Grupo A têm solução ótma não-gulhotnada de prmera ordem. Os 6 exemplos do Grupo B (L7-L3) são exemplos do Cover II dfíces de se resolver com as heurístcas de lteratura (Morabto e Morales, 998; Lns et al., 003), pos nenhum deles tem solução ótma não-gulhotnada de prmera ordem. O segundo grupo de exemplos (Grupo ) refere-se a 30 exemplos reas (R-R30 na Tabela 3) de uma transportadora em Campnas, SP. Estes exemplos utlzam o palete Brasl (PBR: 0x00 cm), adotado na maora das empresas brasleras. Tabela. Exemplos do Grupo A com solução ótma de prmera ordem. GRUPO A Exemplo (L,W) (l,w) X Y ( X Y ) X Y ( X Y ) L (77,47) (0,7) L (4,36) (7,4) L3 (55,55) (,5) L4 (44,9) (5,4) L5 (85,46) (,5) L6 (5,47) (7,5) L7 (70,43) (7,6) L8 (68,56) (3,4) L9 (5,5) (9,4) L0 (5,36) (8,3) L (78,40) (8,5) L (70,63) (,5) L3 (0,64) (9,5) L4 (60,56) (9,4) L5 (00,8) (7,5) L6 (3,57) (,6) Méda 49,5 9,5 88,5 36,69 0,75 5,00 Tabela. Exemplos do Grupo B sem solução ótma de prmera ordem. GRUPO B Exemplo (L,W) (l,w) X Y ( X Y ) X Y ( X Y ) L7 (43,6) (7,3) L8 (49,8) (8,3) L9 (57,34) (7,4) L0 (63,44) (8,5) L (6,35) (0,3) L (67,37) (,3) L3 (6,38) (0,3) L4 (6,38) (6,5) L5 (67,40) (,3) L6 (74,49) (,4) L7 (93,46) (3,4) L8 (06,59) (3,5) L9 (4,7) (3,8) L30 (74,46) (7,5) L3 (86,5) (9,5) L3 (08,65) (0,7) Méda 57,44 6,5 309,63 46,9 9,00 780,00

7 Tabela 3. Exemplos do Grupo exemplos reas de uma transportadora com (L,W)=(0,00) cm. GRUPO Exemplo (l,w) X Y ( X Y ) X Y ( X Y ) R (3,) R (50,0) R3 (33,3) R4 (34,6) R5 (36,5) R6 (8,) R7 (3,8) R8 (38,6) R9 (5,5) R0 (46,30) R (39,5) R (38,0) R3 (49,0) R4 (8,7) R5 (40,9) R6 (35,) R7 (7,) R8 (,) R9 (4,9) R0 (3,4) R (6,0) R (9,4) R3 (44,9) R4 (5,33) R5 (36,) R6 (35,0) R7 (0,4) R8 (,7) R9 (37,0) R30 (4,3) Méda 4,00 9,97 340,00 0,7 7,80 89,3 Nas Tabelas a 3 a coluna X Y representa o número (aproxmado) de varáves 0 envolvdas no modelo (5)-(7) e a coluna X Y consdera os raster ponts (seção ) apresentando da mesma forma, o número (aproxmado) de varáves envolvdas no respectvo modelo. Observe nas Tabelas a 3 que o número de varáves envolvdas no modelo consderando os raster ponts (coluna X Y ), em geral, é bem menor do que sem os raster ponts (coluna X Y ). As tabelas a segur apresentam as médas do lmtante superor (Z mn ) e do lmtante nferor (Z LB ) no nó ncal da árvore para cada um dos métodos. Anda são apresentados os valores médos da solução ótma (Z * ), da solução obtda em um tempo computaconal lmtado em 3 horas de processamento, do número de nós envolvdos na busca em árvore, e do tempo total (em mnutos) gasto para se resolver o conjunto de exemplos (computado apenas para os exemplos resolvdos em menos de 3 horas). A Tabela 4 apresenta os resultados do método LAG obtdos para os exemplos dos Grupos A e B, usando as melhores varações para a otmzação do subgradente e a busca

8 em árvore descrtas no níco desta seção. Observe na tabela que o método não encontrou a solução ótma de todos os exemplos do Grupo B dentro do lmte de tempo de 3 horas. Nos exemplos L9, L30 e L3, a melhor solução obtda pelo método LAG empacota uma caxa a menos do que a solução ótma. Grupo Tabela 4. Resultados computaconas do método LAG para Grupo. Nó ncal Busca em árvore Z mn Z LB Z * Solução # nós Tempo (mn) Obtda A 73,44 73,3 73,3 73,3*,63,34 B 80,06 79,06 80,06 79,88 49,3,76 Exemplo Tabela 5. Resultados computaconas do método LAG para Grupo. Sol. Transp. Nó ncal Busca em árvore Amercana N de Tempo Z TA Z mn Z LB Z* nós (mn) Z*-Z TA R < 0,0 R 0 < 0,0 R < 0,0 R4 < 0,0 0 R ,0 0 R < 0,0 R < 0,0 R < 0,0 0 R < 0,0 4 R < 0,0 R 0,0 0 R < 0,0 0 R3 < 0,0 0 R ,0 0 R < 0,0 0 R < 0,0 R < 0,0 R ,93 0 R < 0,0 0 R < 0,0 0 R 0 3 0,0 R < 0,0 R < 0,0 0 R < 0,0 0 R < 0,0 R ,0 R < 0,0 R < 0,0 4 R ,0 0 R < 0,0 Méda 0,0 3,47 0,0 0,97

9 Lns et al. (003) também realzaram testes computaconas com o Grupo B, e os resultados apresentados mostraram que o método proposto pelos autores (com conjetura de ser exato) resolve a maora dos exemplos em menos de hora de tempo computaconal. Em outros exemplos, como os L8, L9 e L3, o tempo computaconal fo bem maor, em torno de 8 horas. Convém observar, no entanto, que o método de Lns et al. (003), ao resolver cada problema, também resolve mutos subproblemas deste problema, dado que utlza programação dnâmca. O tempo médo dos 3 exemplos resolvdos em Lns et al. (003) fo de 60,50 mnutos, ou seja, maor que o tempo médo dos 3 exemplos resolvdos pelo método LAG (,76 mnutos, conforme a Tabela 4). O mcrocomputador utlzado fo um Pentum III 700 MHz, ou seja, comparável ao mcrocomputador utlzado no presente trabalho (Pentum III 650 MHz). Recentemente Brgn et al. (005) realzaram expermentos adconas com a abordagem em Lns et al. (003), explorando estruturas de dados dferentes daquelas utlzadas em Lns et al. (003), mostrando que os tempos computaconas da abordagem podem ser bem reduzdos. No entanto, os requstos de memóra computaconal são bem maores do que os anterores. Uma comparação mas efetva entre os dos métodos está além do escopo deste trabalho. A Tabela 5 compara as soluções do método LAG com as soluções utlzadas pela transportadora, para os 30 exemplos reas do Grupo. Note que o método LAG fo capaz de resolver otmamente todos os exemplos em um tempo médo relatvamente pequeno (0,0 mnutos), o que sugere que ele pode ser uma boa alternatva para resolver exemplos reas. Observamos anda que em 6 exemplos, a solução da transportadora não é ótma. Podemos dzer que, em méda, o método LAG é capaz de melhorar em 0,97 caxas (por camada do palete) a solução da transportadora. Observe nos exemplos R9 e R8 que a solução do método coloca 4 caxas a mas que a solução da transportadora. Implementamos o modelo ()-(4) na lnguagem de modelagem GAMS e resolvemos todos os exemplos dos Grupos e pelo software CPLEX (versão 7 que utlza um método branch and cut). A Tabela 6 compara as soluções obtdas pelo GAMS/CPLEX e pelo método LAG. Note que, assm como o método LAG, o pacote GAMS/CPLEX fo capaz de resolver todos os exemplos em um tempo computaconal máxmo de 3 horas, exceto para o Grupo B. Podemos dzer que o método LAG é mas rápdo no Grupo A (,34 mnutos contra 9,3 mnutos), mas mas lento no Grupo B (,76 mnutos contra 7,55 mnutos). E no Grupo, ele é bem mas rápdo (0,0 mnutos contra 8,5 mnutos). Assm, o método LAG parece ser uma boa alternatva para resolver exemplos reas. Tabela 6. Resultados computaconas do método LAG e do software GAMS/CPLEX para Grupos e. Grupo Z * LAG Tempo (mn) GAMS/CPLEX Tempo (mn) A 73,3 73,3*,34 73,3* 9,3 B 80,06 79,88,76 79,94 7,55 0,0 0,0* 0,0 0,0* 8,5 Foram realzados também város testes computaconas com exemplos do conjunto Cover I (veja Olvera, 004) e o método LAG também apresentou um bom desempenho computaconal em relação à outros métodos exatos e ao software GAMS/CPLEX. Uma das perspectvas para pesqusas futuras é tentar reduzr os tempos computaconas do método LAG. Em partcular pretende-se consderar as déas apresentadas no trabalho de Alvarez-Valdes et al. (005) para reduzr o problema, consderando a redução de varáves e restrções nos modelos com os conjuntos de raster ponts e consderações de domnânca de posções nestes conjuntos.

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